автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка методов повышения точности регулирования в релейных системах управления

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

УДК 62-50 На правах рукописи

КОЧЕТКОВ СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ПОВЫШЕНИЯ

ТОЧНОСТИ РЕГУЛИРОВАНИЯ В РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность: 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2010

004602532

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

УТКИН Виктор Анатольевич

Научный консультант: доктор технических наук

КРАСНОВА Светлана Анатольевна

Официальные оппоненты:

доктор технических наук КУРДЮКОВ Александр Петрович

кандидат физико-математических наук ТКАЧЕВ Сергей Борисович

Ведущая организация: Федеральное государственное

образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский технологический университет Московский институт стали и сплавов (НИТУ «МИСиС»)

Защита состоится «31 » мая 2010 г. в 14.00 часов на заседании Диссертационного Совета Д 002.226.01 Учреждения Российской академии наук Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, Москва, Профсоюзная ул., 65. Телефон Совета (495) 334-93-29, факс (495) 334-93-40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ РАН.

Автореферат разослан « 29 » апреля 2010 г.

Ученый секретарь Диссертационного ( доктор технических наук б"*" В.К. Акинфиев

Диссертационного Совета Д 002.226.01,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В диссертационной работе исследуются проблемы анализа и синтеза многомерных релейных систем управления при действии внешних неизмеряемых возмущений. Основное внимание уделяется системам с разрывными управлениями, функционирующим в скользящем режиме (Емельянов С.В., Уткин В.И. и др.), а также проблемам, обусловленным неидеальностями релейных элементов различного типа.

Преднамеренная организация скользящих режимов является эффективным инструментом для решения проблем декомпозиции, инвариантности и робастного управления в многомерных динамических системах. Перечислим основные достоинства данного подхода. 1. Общее движение замкнутой системы разделяется по времени на две составляющие: попадание на многообразие скольжения за конечное время; движение по этому многообразию. 2. В скользящем режиме понижается динамический порядок системы: траектории системы принадлежат вырожденным траекториям - многообразиям размерности меньшей, чем все пространство состояний. 3. Движение в скользящем режиме не зависит от управления и определяется свойствами объекта и уравнениями поверхностей разрыва, что позволяет декомпозировать задачу синтеза на независимо решаемые подзадачи: выбор многообразия скольжения; стабилизация редуцированной системы. 4. Процедуры синтеза разрывных управлений просты, так как условия возникновения скользящего режима имеют вид неравенств и не требуют детализированной математической модели объекта управления. 5. Движение в скользящем режиме, инвариантное к действию ограниченных возмущений, принадлежащих пространству управления, обеспечивается при конечных амплитудах разрывных управлений, что существенно отличает такие системы от систем с непрерывными управлениями, где обеспечение инвариантности предполагает использование бесконечно больших коэффициентов усиления (Мееров М.В., Цыпкин Я.З.).

Дополнительная декомпозиция задач синтеза (особенно в нелинейной постановке) может быть основана на методах линеаризации по обратной связи, геометрическом подходе (Исидори А., Кршценко А.П., Халил Х.К.); методах обратного обхода интеграторов (back-stepping control, Кокотович П.), методе АЬСАР (аналитическое конструирование агрегированных регуляторов, Колесников А.А.), блочном подходе (Лукьянов А.Г, Уткин В.А, Уткин В.И., Краснова С.А.); методе синтеза на основе функций Ляпунова (Зубов В.И.).

Особенность дифференциальных уравнений с разрывной правой частью состоит в том, что классические условия существования и единственности решения не выполняются на поверхности переключений. Проблема доопределения движения на многообразии разрывов рассматривалась в работах Филиппова А.Ф., Пятницкого Е.С., Уткина В.И, Якубовича В.А. Идеальный скользящий режим (движение по многообразию скольжения с бесконечно большой частотой и бесконечно малой амплитудой) трактуется как предельный случай реального скользящего режима, а уравнения движения в скользящем режиме получаются в результате предельного перехода при стремлении к нулю неидеальностей различного рода. Отметим, что в рассматривае-

мых в диссертационной работе системах, в которых неидеальные релейные характеристики являются неизменяемой частью модели объекта управления, такой предельный переход непосредственно не применим.

Центральной проблемой при реализации скользящих режимов на практике является проблема низкочастотных колебаний (автоколебаний, в иностранной литературе - «чатгеринг»), обусловленных статическими и динамическими неидеальностями релейных элементов, а также неучтенной в модели объекта управления малой динамикой. В реальном скользящем режиме движение происходит в некоторой окрестности многообразия скольжения с конечной частотой, что существенно влияет на точность регулирования в установившемся режиме, а также может приводить к быстрому износу исполнительных устройств, в частности механических.

Основные пути преодоления этой проблемы - повышение частоты переключений и/или уменьшение амплитуды разрывных управлений за счет совершенствования элементной базы и алгоритмов управления по обратной связи. К последним относятся алгоритмы: с асимптотическими наблюдателями состояния (Уткин В.И.); с комбинированным управлением (Уланов Г.М., Земляков С.Д., Уткин В.А.); с переменной амплитудой разрывных управлений (Изосимов Д.Б., Шабанович А.); с непрерывной допредельной аппроксимацией разрывных управлений sat-функциями (Слотини Д., Састри С.С.), сигма-функциями (Уткин В. А.) и др. В последние годы широко исследуются задачи синтеза скользящих режимах второго рода (Левант А., Фридман JI.M.), в которых вместе с разрывными управлениями используются непрерывные негладкие локальные обратные связи. Перечисленные подходы априори предполагают идеальность характеристики переключения реле, что не имеет места в реальных технических системах. Кроме того, при неидеальных реле характер движения в окрестности поверхности переключений зависит от внешних возмущений, вызывающих ошибку выходной переменной, которая может быть существенно больше амплитуды низкочастотных колебаний.

В диссертации рассматриваются многомерные динамические объекты управления, математическая модель которых представлена системой как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений с неидеальными релейными элементами на входах (как неотъемлемые и неизменяемые составляющие модели объекта управления), функционирующей в условия параметрической неопределенности и при действии внешних возмущений. Учитывая, что в современных объектах автоматизации в качестве исполнительных устройств широко используются электромеханические преобразователи, управляемые инверторами напряжения, заведомо функционирующими в ключевом режиме, класс систем с релейными входами достаточно широк, а проблема повышения точности регулирования в системах с неидеальными релейными управлениями является актуальной

Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных методов синтеза инвариантных релейных систем с учетом неидеальностей релейных характеристик различного типа (люфт, гистерезис, насыщение, мертвая зона, сухое трение и др.). Основные задачи работы:

1) разработка процедуры форсирования скользящего режима в системах с неидеальными реле по обратной связи, а также доопределение уравнений движения в идеальном скользящем режиме, трактуемом как предельный случай реального скользящего режима;

2) разработка алгоритмов компенсации по обратной связи низкочастотных колебаний в установившемся режиме («чатгеринга»), возникающих из-за неидеальностей релейных элементов, за счет добавления высокочастотных сигналов на входы релейных элементов;

3) синтез алгоритмов управления, обеспечивающих инвариантность замкнутых релейных систем с заданной точностью к внешним ограниченным модельным возмущениям, на основе метода динамической компенсации;

4) применение разработанных процедур, в частности, динамической компенсации возмущений заданного класса, в задаче оценивания профиля поверхности с помощью профилометра-профилографа с дифференциальным индуктивным чувствительным элементом.

Методы исследования. Теоретические результаты работы обоснованы математически с использованием аппарата линейной алгебры, математического анализа, теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, методов современной теории управления: блочного принципа управления, разделения движений в классах систем с большими коэффициентами и разрывными управлениями, функционирующих в скользящем режиме, теории наблюдателей состояния, динамической компенсации, инвариантности и устойчивости. Теоретические положения подтверждены результатами моделирования в среде МАТЬАВ/ЗтиНпк, а также их практическим использованием в задачах управления профилографом-профилометром серии 252.

Научная новизна. 1. В отличие от известных методов доопределения движения в скользящем режиме, основанных на стремлении неидеальностей различного рода к нулю, в данной работе неидеальные релейные характеристики являются неизменяемой частью модели объекта управления. Предложен способ их компенсации за счет использования глубоких обратных связей, позволяющий в пределе организовать идеальный скользящий режим и формализовать уравнения скольжения.

2. Предложен и обоснован метод подавления низкочастотных колебаний за счет подачи на вход реле высокочастотного сигнала.

3. Для релейных систем решена проблема обеспечения инвариантности с заданной точностью к модельным возмущениям с использованием глубоких обратных связей и вибролинеаризующего сигнала на основе метода динамической компенсации. Получены оценки точности регулирования при конечных коэффициентах усиления и ограниченной частоте внешнего модулирующего сигнала. Разработаны практические рекомендации по выбору коэффициентов усиления и частоты модулирующего сигнала.

4. Разработанные алгоритмы применены для синтеза системы управления профилографом-профилометром и обеспечивают повышенную скорость трассировки и точность идентификации неровностей поверхности.

Практическая значимость заключается в том, что реализация резуль-

татов, полученных в диссертационной работе, приведет к достижению значительного технико-экономического эффекта при проектировании и эксплуатации релейных систем управления широкого класса, функционирующих в условиях действия внешних возмущений и с учетом неустранимых неидеально-стей релейных элементов различного типа.

Реализация результатов работы. Разработанные процедуры синтеза использовались при разработке опытного образца портативного профиломет-ра, выполненной по заказу ООО «СЭТ» в Управлении научных исследований Тольятгинского государственного университета в 2008-2009 гг. На базе про-филографа-профилографа-252 внедрена в учебный процесс «Компьютерная система управления и идентификации» в Тольятгинском государственном университете по курсу «Метрология, стандартизация, сертификация».

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции «Проблемы электротехники, электроэнергетики и электротехнологий», (Тольятти, ТГУ, 2004, 2007); Международной конференции "Physics and Control" (Санкт-Петербург, 2005); Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO (Москва, ИПУ РАН, 2006, 2009); Международной научно-технической конференции «Автоматизация технологических процессов и производственный контроль» (Тольятти, ТГУ, 2006); 9-м международном семинаре по системам с переменной структурой "Variable Structure Systems VSS'06" (Италия, Альгеро, 2006); Всероссийском молодежном научно-инновационном конкурсе-конференции «Электроника 2006» (Зеленоград, МИЭТ, 2006); Международном симпозиуме "Nonlinear Control Systems conference" (ЮАР, Претория, 2007); 17-м Всемирном конгрессе IF АС (Южная Корея, Сеул, 2008); 6-й международной конференции "Euromech Nonlinear Dynamics Conference" (Россия, Санкт-Петербург, 2008); Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Проблемы управления и информационные технологии» (Казань, КАИ, 2008); Всероссийской конференции «Информационные технологии и системы» (Геленджик, 2008; Москва, 2009); V Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Управление большими системами» (Липецк, ЛГТУ, 2008); Международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем», DSMSI (Киев, КНУ, 2009); VI Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Управление большими системами» (Ижевск, 2009); 9-м симпозиуме IF АС по управлению роботами SYROCO'09. (Япония, Гифу, 2009); Всероссийской научно-технической конференции «Проведение научных исследований в области машиностроения» (Тольятти, ТГУ, 2009); на семинарах ИПУ РАН, МГТУ им. Н.Э. Баумана, СПбГУ, ТГУ. Работа выполнена в рамках комплексного проекта фундаментальных исследований РАН 2.4.2,2422/07 (тема 3.4.1, 3412/07).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 26 работ, в том числе 2 [21, 26] в журналах, рекомендуемых ВАК РФ. Структура работы. Диссертация изложена на 130 страницах, состоит из введения, 5-ти глав, заключения, содержит 27 рисунков, список литературы (122 наименования), 4 приложения, 2 из них подтверждают внедрение полученных результатов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Первая глава имеет обзорно-постановочный характер. В разделе 1.1 проводится сравнительный анализ различных способов доопределения движения в скользящем режиме. В разделе 1.2 обсуждаются перспективы развития систем с разрывными управлениями, известные методы компенсации низкочастотных колебаний в установившемся режиме. В разделе 1.3 приводятся основные методы синтеза инвариантных систем с использованием разрывных управлений. Рассмотрены классические подходы, алгоритмы с наблюдателями и динамическими компенсаторами. В разделе 1.4 сформулированы основные цели и задачи диссертационной работы.

Во второй главе разработана процедура доопределения движения в скользящем режиме за счет обратной связи. В разделе 2.1 приводятся основные положения теории скользящих режимов, на которых основывается дальнейшее изложение. Ставится задача стабилизации линейной динамической стационарной системы х = Ах + Ви + ()%, где х е Л" - вектор состояния, иеЯр- вектор управления, £ е Я" - вектор внешних ограниченных по модулю возмущений, пара (А, В) управляемая, 2 = 5А. С помощью невырожденной замены переменных и соответствующих преобразований подобия данная система может быть представлена в регулярной форме с единичной матрицей перед управлением:

хх = Апх,+ Апхг, хг = /¡,,л', + Апхг + и + (2.1)

ЛЛ

где х = Т 1 , йсХТпкп ^ 0, л:, е хгвЯр - фиктивное управление,

, О - нулевая, / - единичная

матрицы соответствующих размерностей. Представление системы в виде (2.1) позволяет использовать блочный подход к синтезу задачи стабилизации: на первом этапе выбираются фиктивные управления в виде линейной локальной обратной связи х2 = -Сх,; на втором этапе сформированная зависимость Сг, + хг = 0 обеспечивается с помощью синтеза истинных управлений.

Преднамеренная организация в системе (2.1) скользящего режима на многообразии скольжения

л=Сл:1+л:2 = 0, хеЯ" (2.2)

приводит к редукции порядка дифференциальных уравнений, описывающих движение в скользящем режиме, а именно

х, = (Ап -АпС)хх, х2 = -Сх,. (2.3)

Выбором матрицы С е можно назначить произвольный спектр мат-

рицы собственных движений редуцированной системы (2.3). Для организации скользящего режима по многообразию (2.2) решается задача стабилизации второго уравнения системы

, (Ах Н 2В- Го "

ТАТ= | ' и

¿22 ] (А/"™ у

xl=(All-AnC)xl+Ai2s, s = AIxl + Ais + u + A%, (2.4)

где Ax = [(CAn+A2l)-(CAuC + AnC)], As =CAu + .4n, управления выбраны в виде разрывных функций, реализуемых с помощью идеального реле:

u, =-sign,(s,), i = \,p, (2.5)

где здесь и далее sign,(ij - обозначение идеального реле с амплитудами М*, М~ >0. Из достаточных условий возникновения скользящего режима на многообразии (2.2) limi(<0, lim i, > 0, / = 1,р имеем нижнюю оценку

для выбора амплитуд: тт{М* ,М~} >|| А[ || || || +1| A's || || s || +1| Л' || \\£,\\, i = 1,р, здесь и далее || А'( ) ||, || Л' || - строчные нормы /-х строк матриц. При дальнейшем изложении индексы / в обозначении sign(-) опускаются, sign(i) = (sign(51),...,sign(s;,))T.

В случае, когда управляющие воздействия н, реализуются с помощью релейных элементов, имеющих статические или динамические неидеальности, возникает движение в реальном скользящем режиме. При этом траектории системы (2.4) находятся в некоторой Д-окрестности пересечения поверхностей скольжения, что может привести к неудовлетворительным показателям качества регулирования замкнутой системы.

В разделе 2.2 вместе с системой (2.4), (2.5) рассматривается система с неидеальными релейными управлениями:

xj =(AU-АпС)хх s = Axx\+Ass'+ А^+и, (2.6)

где x'eR"~p, s'&R", и e Rp, i7 = -sign(//) = -(sign(/5*),...,sign(/.^))T -

вектор управляющих воздействий, в компонентах которого учтены неидеальности релейных элементов (гистерезис, мертвая зона, люфт и т.д., см. рис. 1):

-М , s; >Д,//, — М+, Л/">0,/ = const>0, Д,>0, у = 1,2. M-, s,<-A2H, i = l,p, '

~д2 А,

-ЛГ

-Л'2

-А2\

м

-.М-

-А,

м

-М'

-Д'2 Г

-АД L

\

J -М'

а бег

Рис. 1. Неидеальности реле: а-гистерезис; б-гистерезис с зоной нечувствительности; в - зона нечувствительности; г - усилитель с зоной нечувствительности

В системах с разрывными управлениями, функционирующих в скользящем режиме, время попадания на многообразие скольжения конечно. Неиде-

альности релейных элементов приводят к попаданию за конечное время только в некоторую окрестность многообразия скольжения. В диссертации сформулированы и доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1. Если для систем (2.4), (2.6) выполнены условия

-М~ + Я, < Ах,х. + Аг1х + АЛ <М+ -Л.,

' ' ' , _ (2.7)

-М + Л2<Ах1х"1+А^х'+А1^ < М+-А,,(А,Д2 =соп51>0),/ = 1,/з,

где Ахп Аи, А, — ; -е строки соответствующих матриц, то за конечный промежуток времени обеспечивается неравенство ||<тах(Д„Д2)//, где (—Д2), Д, - амплитуды сигналов на входах реле, при которых управляющие воздействия выходят на границы М~, (-М+), ||/|| = шах{|^'|}1 —.

Теорема 2.2. Пусть для систем (2.4), (2.6) выполнены условия (2.7), Тогда для любой пары решений систем (2.4), (2.6) существует такое положительное число го Ц^Д/)-■**(')II = Нт||*,(/)—*'(011 = 0-

Пусть !р - момент времени, когда идеальный скользящий режим (при идеальном реле) возникает на всех поверхностях ^ ) = 0, /=1 ,р. Тогда

поведение системы (2.4), а также системы (2.6) в пределе при / со (также как и идеальный скользящий режим) однозначно описывается формулой Ко-

ши х^) = е'А"л'-с*'~'р^ р) , х2(/) = —Сх,(/), где х^р) - вектор начальных

условий. При стремлении коэффициентов усиления обратной связи к бесконечности траектории движений системы (2.4) с идеальными реле и системы (2.6) с неидеальными реле близки с точностью до бесконечно малой (Д//). В пределе обеспечивается инвариантность системы (2.6) к внешним возмущениям При конечных коэффициентах усиления траектории различаются на достаточно малую, но конечную величину (А/1), что при достаточно большом коэффициенте усиления позволяет обеспечить заданную точность в задаче инвариантной стабилизации с использованием неидеальных реле.

В разделах 2.3, 2.4 разработана методика доопределения движения в скользящем режиме с помощью выбора обратной связи на основе сравнения решений двух нелинейных систем вида

¿1 = /■ > 4 =(2 8)

¿ = /2(.*„я) + Д2С*„5)н, ¿'=/2(**,/)+В2(дс*,/)и, где ** е Яп~р, / е Яр, /,(х„ 5), /,(*', /), /2(х„ 5), /2(*,\ /) - ограниченные вектор-функции, удовлетворяющие условию Липшица, гапк52(л,, з) = р , и, ¿Те /Г, и ~ -¿?2^ф), и = -J?2Лign(/.^) - вектор управления, в котором учтены различные неидеальности реле (см. рис. 1).

Теорема 2.3. Если для систем (2.8) выполнены условия

- М~ + Аг < /2, s) <, М* - Я,, (Я,, Я2 = const), (' = 1, р, где /,,(>*, /), /2Дх,, i) - / -е элементы вектор-функций /2(х', /), /2(х„ s), то за конечный промежуток времени выполняются неравенства: || j" || < (A//), ||s||<(A//), Д = шах(А,, Д2), где(-Д2),А, - амплитуды сигналов на входах реле, при которых управляющие воздействия üi выходят на границы М', (-ЛО, ||/1|<max{|,$* |]1=1—, ||¿||<max{|i,

Теорема 2.4. Если для систем (2.8) выполнены условия (2.9), для вектор-функций /,(•)> ЛО можно указать константу Липшица Я, то тогда для любой пары решений систем (2.8) существует такое положительное число Nx> 0, что || x,(/)-xi(/)||=Nx(A//). При этом в пределе при /-»оо справедливо равенство: Иш || *.(/)-x'(t)||=0.

Пусть t - момент времени, когда скользящий режим возникает на всех

поверхностях s((i ) = 0, i =1,р. Тогда поведение второй системы (2.8) при

/-»со однозначно описывается системой уравнений х" = /¡(х', 0), s*=0, определяющих движение в скользящем режиме.

В известных доопределениях движения в скользящем режиме (Филиппов А.Ф., Уткин В.И., Пятницкий Е.С.) предполагается, что начальные условия принадлежат пограничному слою || s' || $ А, пограничный слой (а, следовательно, и неидеальности различной природы) стремится к нулю. Доказательства теорем 2.1 - 2.4 построены в несколько ином ключе, а именно, в теоремах 2.1 и 2.3 выделяется область начальных условий, из которых обеспечивается попадание в пограничный слой за конечное время, и получена оценка этого времени. В теоремах 2.2 и 2.4 релейные элементы полагаются неотъемлемой составляющей модели объекта управления и какое-либо их стремление к идеальному реле неправомерно с физической точки зрения. Идея устремления пограничного слоя к нулю реализуется по обратной связи.

В третьей главе рассматриваются математические модели объектов управления в регулярной форме с неидеальными релейными управлениями (2.6). На практике частота переключений релейных элементов конечна, что приводит к автоколебаниям в установившемся режиме. Принципиально избежать эту проблему можно двумя способами - повышать частоту переключений релейных элементов или уменьшать их амплитуду. В электромеханических системах изменение амплитуды релейных элементов часто связано со значительными трудностями в реализации, энергетическими затратами, инерционностью силовых цепей. При наличии в модели объекта управления неизменяемых неидеальных релейных элементов остается один способ повысить качественные характеристики регулирования - повышать частоту пере-

ключений релейных элементов. В разделе 3.1 разработан новый подход к подавлению «чатгеринга», основанный на подаче высокочастотного сигнала на входе реле, что позволяет на высоких частотах линеаризовать релейные характеристики и в пределе перейти к линейной замкнутой системе, в которой «чаттеринг» отсутствует. Таким образом, хорошо известные методы вибролинеаризации релейных элементов используются для решения качественно новой задачи - компенсации «чатгеринга» - за счет модуляции в достаточно малой окрестности зоны неидеальности реле.

При наложении дополнительного внешнего высокочастотного сигнала на вход реле средняя составляющая управления u(t) на периоде колебаний

зависит от средней составляющей сигнала Ls'(t), подаваемого на исполнительное устройство (Фельдбаум A.A., Красовский A.A., Цыпкин Я.З.). Покажем, что эффект вибролинеаризации позволяет корректировать движения системы в (Д//)-окрестности многообразия скольжения и обеспечить требуемые показатели качества переходного процесса.

При анализе системы (2.6) с управляющим воздействием ïï(t) вида

sr=-ü¡ü(¿/(0+5(0). (3.1)

где 5(1) - вибролинеаризующий сигнал, L¡ = d¡ag{/lf}, i = 1, р, рассматривались вибролинеаризующие сигналы, имеющие синусоидальную и треугольную формы соответственно:

л 2й>

JL<,<|L; (3.2)

л 2а> 2а

., 2ha Зл ^ 2л

4/1+-í, —<t<—,

л 2 со (о

где о - частота, h - амплитуда вибролинеаризующего сигнала, величина которой достаточно мала и соотнесена с размером пограничного слоя: h > Д, + Д2 + е , где с = const > 0 - малая положительная величина.

Теорема 3.1. Пусть справедливы условия теоремы 2.1 и траектории замкнутой системы (2.6), (3.1) находятся в Д-окрестности многообразия скольжения ||í* ||<(Д//). Тогда, если <а ->œ , функция £(/) удовлетворяет

условию Липшица, то переменные дг,*(0> s'(t) не содержат низкочастотных колебаний и замкнутая система (2.6), (3.1) эквивалентна усредненной системе

■¿'о =(ЛП +К = aix"Ù+4^ + "о+с

где s'a(í), 5*(0, jc*0(í), м0(/), £0(Г) - средние на периоде 2л/а значения

переменных i*(/), s'(t), x'uj(t), «(/), ¿,(t).

При подстановке полученных выражений для средней составляющей

1)5(0 = Asina/; 2 )<?(/) =

м„(0 управляющего воздействия ы(/) в (2.6) и рассмотрении предельного случая при треугольном вибролинеаризующем сигнале, имеем:

** =(41 --412С)Х+Л,25*, к_м* + М~

¿'~Ахх'г+(А,-кЦ^' + А^=0, 2И

где - постоянное возмущение, обусловленное несимметричностью реле. В силу эффекта вибролинеаризации движение замкнутой системы (2.6), (3.1) в (Д//)-окрестности многообразия скольжения ||л* ||<(Д//) при ш ->со описывается системой линейных дифференциальных уравнений (3.3), в которой можно избежать появления низкочастотных автоколебаний.

В разделе 3.2 разработан алгоритм компенсации смещения, вызванного несимметричностью характеристик переключения реле за счет введения интегральной обратной связи. При несимметричной характеристике реле имеет место следующий эффект: кроме внешних возмущений £ на систему действует и некоторое постоянное возмущение £*, что, в свою очередь, приводит к тому, что траектории системы (3.3) асимптотически сходятся не в нуль, а к некоторой окрестности начала координат, размеры которой зависят от указанных возмущений:

¡КН^К-^СГМаУИ!- (3-4)

Применительно к системам с релейными управлениями разработан алгоритм компенсации постоянной ошибки регулирования с использованием интегральной обратной связи при £ =0 (случай с ненулевым внешним возмущением рассмотрен в главе 4).

Расширим систему (2.6) за счет введения интегральной переменной: л:,* =(ЛП -А,2С)х'+А125*, = Ахх\ +Л55* +и, ¿ = л*. (3.5)

Для компенсации постоянной составляющей использован эффект вибролинеаризации. Модифицируем поверхность переключения = + Ь2: (¿п™ - ЬАХХ~\ + (АА + + ¿1« ) и сформируем управление в виде

и =—+12:), (3.6)

где матрицы X,, ¿2 невырожденные. При выполнении условий

/„А/^/л^тци-к/лл'и+и«'«. _

КК > КII41! II II II4IIЧ/) I! * II» ¡^Р,

и с учетом теоремы 2.1 имеем сходимость траекторий (3.3) в окрестность ||з*ск || < Д + Л. При рассмотрении предельного случая получено описание замкнутой системы (3.5)-(3.6) при возникновении высокочастотных переключений, в частности, при треугольном вибролинеаризующем сигнале: х\ =(Ап- АпС)х\ + АГУ, ¿* =Ахх',+(А1 -кЬ^'-кЬ2:+%', ¿ = 5*.

Выбором матриц /„,, Л2 обеспечивается устойчивость движения замкнутой системы (3.5)-{3.6). Тогда согласно (3.7) в установившемся режиме имеют место равенства: х* = 0, /=0, : = -Г2Е,'. Аналогичные построения выполнены и для синусоидального вибролинеаризующего сигнала.

В разделе 3.3 рассматривается допредельный случай, когда частота переключения реле ограничивается сверху по технологическим требованиям. Разработана процедура оценки амплитуды автоколебаний, позволяющая выбрать на практике частоту модуляции. При рассмотрении допредельного случая при конечной частоте переключений т получено, что движения замкнутой системы (2.6), (3.1) при попадании в (Д//)-окрестность описываются уравнениями (3.3), (3.7) с точностью до малой величины, зависящей от со . Получены количественные оценки максимальной амплитуды колебаний, возникающих из-за конечности частоты переключений реле в предположении, что внешние возмущения удовлетворяют условию «квазистационарности» на

1,+Т

периоде колебаний 2тг/ш , т.е. — «£(/)•

Т /

В допредельном случае управление й(1) содержит высокочастотную муаг и низкочастотную м0 составляющие (см. теорему 3.1). Соответственно, в установившемся режиме переменные л*, х\ также содержат «медленные» х'„ и «быстрые» ^, х,*1аг составляющие, что позволяет представить векторы х* (/) = (*!* ¿У, «(О в виде и(О = й0+иш(О, и0 =0, х (0 = х* + х'гаг (/), х0 = 0. При этом согласно (2.6)

X (0 = х0 + х1 (/) - А(ха + х^) + В(И0 +иуш) + Щ, где для простоты изложения приняты обозначения х'=(х* 5 )т,

А =

%-л,2с д 4

4,

В = (0„(„.., /рхр)т, Н = Ат)т. Для посто-

янной и переменной составляющих получены следующие соотношения: Лх* = -Виа + Щ, х'з, = Ах'х + Busv.

Для оценки «чатгеринга» необходимо определить норму Цх^Ц^, под которой будем понимать максимальную по модулю компоненту вектора **„(/)• В разделе 3.2 получена оценка || х*ш Ц^,, которая является наименьшим корнем уравнения

/ II Л II тг \ тг

(3.8)

АМ ф \ 2 а) 4а)

где М = М* + М~. Согласно (3.8) в первом приближении имеет место неравенство

и II ЛII яг V' Мл

2т) 4ю

которое позволяет оценить максимальною амплитуду колебаний переменных

*;«): II *,'(/) II < (М+IIА ||,|| 4II)2 -5-, / = Гр.

4 аМ

В четвертой главе разработаны алгоритмы синтеза инвариантных систем с использованием релейных элементов с различного рода неидеально-стями на основе процедуры вибролинеаризации (см. главу 3). Рассматривался класс внешних ограниченных возмущений, которые порождаются автономной динамической моделью с известными параметрами

i = $eRm, WeRmKm, (4.1)

где пара (A, W) - наблюдаема, начальные условия не известны.

В разделе 4.1 используется свойство линеаризации нелинейных характеристик посредством добавления высокочастотного сигнала на входы реле. Данный эффект позволил использовать методы построения инвариантных систем, в частности, синтезировать комбинированное управление.

Рассмотрим систему (2.6) с управлением вида

«(f) = -sign(/s* + Лг,+ Ip8(t)), г, = W:x + BJs', (4.2)

где I = const>0, вектор состояния динамического компенсатора,

структура которого выбрана согласно модели возмущений (4.1), В] е Rm"p.

Запишем дифференциальное уравнение для переменной snnv = Is" + Лг,:

+Г\А, +Л В,Хей. +r,(AW-{A! + AB])\)z] + +и).

Из достаточных условий возникновения скользящего режима получено неравенство для выбора амплитуд разрывных управлений:

- М+ + \ < Ах1х' +(4 + ЛЯ,)/ + (Л*Г),.г,// + Л'£ < АГ/ = Гр, (4.3)

где Яр Я2 = const > О, Ах,, (As + AS,),, (AfV)n Л' - /-е строки соответствующих матриц. С учетом (4.3) и теоремы 2.1 траектории замкнутой системы (2.6), (4.2) за конечное время попадают в область || jbw ||<Д, в которой начнутся высокочастотные переключения управляющих воздействий, обусловленные модулирующим сигналом 5(f). Рассмотрим предельную ситуацию, когда в качестве вибросигнала (3.2) выбран треугольный сигнал с частотой оз ->°о. Согласно теореме 3.1, замкнутая система (2.6), (4.2) имеет вид

~(4i ~АгС)х\ "^Лг5 > ....

i* = Ахх\ + (А, - kllp )s* - ¿Ac, + , ¿, = т, +BJs'.

Здесь и далее полагается, что структура модели возмущений (4.1) учитывает наличие постоянной составляющей £ *, обусловленной несимметричностью характеристик переключения исполнительных устройств. С учетом

новой переменной е = £ - Ar, перепишем систему (2.6), (4.2) в виде

=(Л,1 +/i12i*, j* = .<lrx,' + (Л, - k!I„ )s~ + Ae, e = We-B,kls'.

Согласно методу эквивалентного управления при / -» оо (//со 0) имеем kls Ахх\ - Ле, и последняя система может быть представлена в виде

Ч-л12с о >

\ В,АХ IV + Д,Л j

Скорости сходимости переменных х] п е к нулю могут быть назначены произвольным образом в силу предположения об управляемости системы (2.6) и наблюдаемости пары (Л, IV). Таким образом, при неидеальных релейных управлениях введение вибросигнала позволяет не только компенсировать «чатгеринг», но также обеспечить инвариантность системы (2.6), (4.2) к внешним модельным возмущениям (4.1).

В разделе 4.2 изучены важные с инженерной точки зрения вопросы реализации предложенных алгоритмов в допредельной ситуации, когда частота переключений достаточно высока, но конечна.

В допредельном случае движения замкнутой системы (2.6), (4.2) при попадании в (А//) -окрестность описываются уравнениями (4.4) с точностью до малой величины, зависящей от со . Показано, что при конечной частоте со подавление возмущений, которые порождаются автономной динамической моделью с известными параметрами, возможно только с заданной точностью. На практике возможна ситуация, когда при / -> со и конечной частоте со скорость роста сигнала inew существенно превосходит величину производной модулирующего сигнала <5(7), что, в свою очередь, приводит к возникновению автоколебаний с частотой, превышающей частоту со . Такая ситуация нежелательна из-за тепловых потерь в ключевых элементах, так как частота вибролинеаризующего сигнала выбирается и так максимально возможной.

Чтобы избежать указанной ситуации, необходимо предусмотреть ограничение на величину коэффициента усиления обратной связи /. Получено соотношение между величинами / и <а, при котором в любых возможных ситуациях моменты переключения управляющих воздействий в основном зависят от вибросигнала 5(1). Если для переменной incw выполняются условия (4.3), то можно указать следующее ограничение на величину производ-Н01"1 ^пе» '• II ^new II - ^ , где М - некоторая константа. Запишем выражение для производной ? = jnew+<?(/): s =l(f(x'l,smK,) + u) + lp5(t), и = sign(s),

/(*,*Aew,--.) = >U +r'(4+Mhe,v + r\AW~(As + Aß,)A).~, +A£.

При выборе / на основе неравенства

/>|5(0|/Ä7,|5(0I = —, (4-5)

и при £ £[-Д,, Д2] выполняется неравенство 5* < 0 .

Таким образом, переменные будут стремиться к области [-Д,, Д2], а сигналы ¿„„,,(0 будут стремиться отрабатывать вибролинеаризующий сигнал (-5(0). При выполнении (4.5) и реализации управления с помощью идеального реле переменные в точности совпадали бы с (-5(1)). В случае неидеального реле имеет место неравенство ||£петД?) + ^(0Н-[~Д2> Д,] •

Итак, при коэффициенте /, удовлетворяющем (4.5), движения системы (2.6), (4.2) происходят в [-Д,, Д2] окрестности начала координат. При этом величины 15* 1, ¡ = 1,р могут существенно превосходить значение 15 (г) |, что при неизменной величине амплитуды колебаний А, + Д2 переменных неизбежно приведет к повышению частоты переключений а,, со, >Ф.

В разделе 4.3 получены оценки ошибки компенсации внешних возмущений при конечной частоте модуляции, когда среднее значение управления м0(0 является линейной функцией от компонент /^(/)+Аг10(0 (где г10(/) -среднее на периоде значение переменной :,(()) лишь приближенно с некоторой погрешностью (в отличие от предельного случая со °о, когда обеспечивается полное подавление внешнего модельного возмущения)

Рассмотрим решение системы (2.6), (4.2) на периоде колебаний

т е[/, г + (2тг/со)]: х(т) = ел<г""х(0 + }е~л('-$\Ви{в) + 1${в))с1д , где

х = (л, е)т, А =

А]2С Аг (0

А; А 0 , В =

0 /5, Ж) 1ч

, ¿=(0,„,(„-„) Лт 0ЮИ)Т.

С учетом ограничений на управление и внешнее возмущение \и(в)\<М, оценена разница значений х(т)-х(1):

|| х(т)-х(/) || <|| (е3(г-'> -1п+т)х(1) || +

' , ~ - (4.6)

+1| |е^ХВи(в) + Щ0 ))<# || < 0,(1 /«О.

I

где ОД1/ш) = (е11Ярг'ш-/я+т)||Зс(0||+еЙ12!!/в(Л/+||Л||^). Величина 0,(1/ю) является величиной порядка малости 1/<о . С учетом того, что функция х(0 удовлетворяет условию Липшица, по теореме о среднем найдется такой момент времени 0'е|/, Г + (2я'/«)], что *(0') = хо(О. С учетом (4.6) оценена норма разности *(г)-*„(0: II х(х)~х0(г) II ^ 0,(1/а>) и получена оценка

I ^Г.С'Л'!

(0-^0,(0 II = II //(0 + А--, (0 - (Ь'М + Аг,„(0) (4.7)

где 02(1 /со) = (/+|| Л 11)0,(1/«). Результаты вычисления средней составляющей управления при со -»со использованы для вычисления средней составляющей неидеального реле при конечной частоте со . В частности, для реле с гистерезисом (см. рис. 1,а):

2ж ,

со

М--КГ А,-Д.

А,-¡¡мМ) 2л

411 ш

тс . +

4/1

со

2 4п 4Л

. м~+М* . , . , чч =4,--^—('^ДО+^и,^)).

где г,, /2 -моменты переключения реле.

Заметим, что для вычисления среднего значения г/0(/) вектора «(/) на периоде колебаний необходимо знать решение системы, которое в общем случае можно получить только численно. С учетом (4.7) получены оценки приближенных средних значений компонент %(/) вектора м0(/):

|К(0-<?*-Че*о,(ОИ03(1/й)), где О3(1/со) = Ю2(1/а>). Таким образом, при конечной частоте переключений система дифференциальных уравнений для средних составляющих от переменных системы (2.6), (4.2) примет вид

= (^11 — ^пО-'-Ю + 42Х0>

^0=Ахх'0+(А,-Ш„)л'0+Ае0 + ^ , е0(0 = £0(0-*чо(0.

(4.8)

¿0 = - ВхкЬи,

(О

где <?0 =— \е(в)(19 , £ - ограниченное по норме возмущение, || || < 0}.

2 я ,

Траектории усредненной устойчивой системы (4.8) частоте будут сходиться в некоторую окрестность начала координат, размеры которой определяются нормой ¡| Щ || < Оъ. Таким образом, предлагаемый подход позволяет компенсировать среднее значение внешнего модельного возмущения с заданной точностью. Получена оценка установившейся ошибки подавления внешних возмущений для усредненной системы (4.8):

||Х0||<|М* ЦII2Г1"II = II Л*IIОз(1 /а»).

Ам <Г ( 0 ^

где А" = Ах А-тр Л , ? =

1 0 1В, г к о ^

В разделе 4.4 приводятся результаты моделирования разработанных алгоритмов для линеаризованной электромеханической системы вида

X] = х2, = = а\Х\ + «2^2 + «з^з + Ьи + , где X] - координата тела (угол поворота), - скорость движения (вращения), ^з - электромеханическая сила (момент), действующая на тело, и -управление (например, напряжение на обмотке двигателя, магнита и т.д.), аьаг,Ь - постоянные параметры, £ е Ят - внешнее возмущение, Л е ЯЫт .

Требуется обеспечить движение в скользящем режиме хх-хг, х2 = -5 Ох, -15х, по поверхности 5 = х3 + 50х[ + 15лс2 . Предполагается, что внешнее возмущение Л£ содержит постоянную и гармоническую составляющую и описывается моделью ^ = £2> £2 = ^о^з* £з >

Л = (1 0 1), где и'д — частота колебаний гармонической составляющей внешнего возмущения. При моделировании приняты следующие параметры реле с гистерезисом: М+= 1,2, М~ =4, Л, =0,1, А, = 0,2; И = 0,3 - величина амплитуды вибросигнала, со = 104 - частота вибросигнала,/= 10; а, = 400, а2 =-1760, а3 =—118, 6 = 600.

На рис. 2 представлены результаты моделирования при реле с гистерезисом. Как видно, ошибка регулирования имеет составляющую, обусловленную внешними возмущениями порядка Ю-5, и довольно значительные колебания более высокой частоты порядка 210"6. На рис. 3 представлены результаты моделирования при управлении (4.2). Частота колебаний повышена за счет внешнего модулирующего сигнала <5(0, что приводит к уменьшению амплитуды колебаний переменной .у(0 и соответственно Х\. Величины ошибок в этом случае на несколько порядков меньше, чем при классическом подходе и примерно равны 10~8 и 0,7-10"8.

1.» !.> Рис. 2. Результаты моделирования при реле с гистерезисом

Рис. 3. Результаты моделирования при управлении (4.2)

В данной главе показано, что использование методов динамической компенсации возможно и в случае релейных систем. При этом введение высокочастотного сигнала позволяет линеаризовать нелинейную характеристику переключения реле и проводить дальнейший синтез обратной связи в рамках линейной теории. Для использования этого подхода должна быть известна порождающая модель возмущающих воздействий. В противном случае компенсация медленной составляющей ошибки регулирования возможна лишь с заданной точностью. Ошибка регулирования также возникает при конечной частоте модулирующего сигнала, однако на основе соотношений, полученных в разделе 4.3, всегда можно выбрать частоту модуляции так, чтобы получить любую заданную точность регулирования.

В главе 5 разработанные алгоритмы синтеза инвариантных систем на основе вибролинеаризации используются для синтеза системы управления и идентификации для профилографа-профилометра.

Большинство современных контактных приборов контроля шероховатости - профилографы-профилометры - построены по разомкнутому циклу преобразования. Традиционный подход заключается в том, что по исследуемой поверхности скользит игла с малым радиусом закругления. Во время движения игла колеблется относительно опорной колодки, повторяя форму неровностей профиля. Колебания иглы преобразуются затем с помощью дифференциального индуктивного датчика в изменения напряжений, пропорциональные этим колебаниям. Сигнал на выходе трансформатора определяется соотношением сопротивлений плечей моста и, в конечном счете, является линейной функцией перемещения алмазной иглы. В дальнейшем сигнал усаливается, фильтруется, детектируется подобно процессу обработки сигнала в тракте радиопередачи (см. рис. 4).

1 2 4 5 6 7

1 • ищи клиЗ • гютроиеиничесай л [»«бриошей;) - »юрки ноовд 4 ■ кмлтнк 5 • фвльтр весуоеб плоти; 6 • тмжсх ? • оошыыюйй ор«бор; $. жпровный интнратор; У • допмнкте.икы{г уснлгш; 10 - фмьтр отсечен шзп; 11 • исшдуеш шдерхиосп; ¿1. ^-цлтиные мшутом* ^ • яармггуичккие ютущсши.

Рис. 4. Передача сигнала в контактном приборе при традиционном подходе

1 - ротор, 2 — кятушки индуктивности, 3 — тока крепления ротора, 4 - алмазная игла. 5 - контролируемая поверхность

Рис. 5. Конструкция первичного преобразователя.

Описанный подход имеет существенный недостаток: аддитивные и параметрические возмущения в силу линейности тракта передачи искажают полезный сигнал. В данной главе разработаны алгоритмы синтеза замкнутой системы управления и идентификации параметров устройства измерения шероховатости, которые в значительной степени лишены указанных выше недостатков. Основная идея состоит в использовании обратной связи для фор-

мирования замкнутой системы, ориентированной на идентификацию требуемого параметра, и его последующее восстановление известными методами. Получаемая в результате нелинейная система обладает высокими избирательными свойствами по отношению к регистрируемой величине. При этом скорость восстановления нужного параметра оказывается сопоставимой со скоростью переходного процесса в объекте управления.

В разделе 5.1 описывается постановка задачи, обсуждаются особенности решаемой задачи. Стандартная конструкция дифференциального индуктивного первичного преобразователя представлена на рис. 5. Дифференциальные уравнения электромеханического преобразователя имеют вид: ф = а,

. mgc рк i/0 2J0

/,2

(50-р(р)2 (5 0+р<р)2

Л

d'h _ pifi> hRt(d0 + pep) , (¿о + pep) „ . (5-1)

M ~ S , 7 1 1 '

at д0 + pq> к к

di2 _ pi2a /^(gp-pç?) , (S0-p<p)

-— -----1--U2 -r ijJ ,

dt 50 - pep к к

где ф - угол положения ротора первичного преобразователя, m - скорость вращения ротора первичного преобразователя, m — масса ротора, к, р — конструктивные коэффициенты, J0 - момент инерции, <50 - номинальный воздушный зазор, Mit) - момент реакции опоры (момент силы N), /'„ /2 -токи в обмотках датчика, Л,, R2 — активные сопротивления обмоток датчика, т?,(0> f?2(0 - внешние детерминированные возмущения. Для параметров электромеханического преобразователя выполняется соотношение <50 » р(р .

Ставится задача идентификации величины <р, пропорциональной отклонению ротора от нулевой линии Ох (рис. 5), а, следовательно, и величине неровностей, по результатам измерения токов /',, /2.

В разделе 5.2 разработан алгоритм управления, позволяющий подавить влияние внешних возмущений и одновременно обеспечить режим автоколебаний, благоприятный для идентификации параметров. Система (5.1) переписана относительно суммы х, = /, +i2 и разности токов jr2 = /', - i2 :

i, =-CÎ1X[ -a2x2 + +b2u2 x2 = -cc2x, -atx2 + bxv2 + b2v1 + <!;.,

2 2 o0 + p<p к

рю ô0-p<p 2ô0 2 p<p

а„=--+ -; и, =н, +u2, и2=щ-и„ è,= —6,=-^—;

oQ-p(p к к ' к

(5.2)

=77, +г)2, =г), -)?,. Параметр Ьг пропорционален величине </>, следовательно, и величине неровностей контролируемого профиля. Для решения поставленной задачи используется метод динамической компенсации. Управляющие воздействия выбраны в виде

и, =и2 = Л^п (/,х,-х3), хъ =11х1, ' (5.3)

В разделе 5.2. показано, что в замкнутой системе (5.2), (5.3) возникает предельный цикл с амплитудой А и периодом Т, которые в первом приближении оцениваются выражениями

.¡ФуМ2-!^ /, , , з/,

А= 13-^-, Г =4-^ + 4 -^-. (5.4)

V «,(/,«,+/,)' и \ах(1,а1+12)

При этом проявляется эффект вибролинеаризации собственными автоколебаниями. Согласно результатам главы 4 средняя на периоде Т составляющая сигнала дг, не зависит от постоянных внешних возмущений.

В разделе 5.3 реализован алгоритм идентификации с учетом влияния внешних постоянных возмущений =0, = 0. Для решения задачи идентификации параметров и внешних возмущений выбран наблюдатель со структурой, объединяющей в себе модели объекта управления (5.2) и постоянных возмущений

а, = к,х, т„ 6, = -£2и,т„ = у12, а2 = А,х,т2, Ьг = -¿.цг,, = у22, где а,, а2, , £2, , ¿2 - оценки параметров системы (5.2) и возмущений, , г21 (/ = 1,2,3) - корректирующие воздействия наблюдателя, кх,к2> 0 -коэффициенты коррекции идентификатора, г,, т2 - отфильтрованные величины корректирующих воздействий V, (, т21,

^,=-1,+^,, ^г2=-т2+у21, ц->0. (5.6)

При выборе разрывных корректирующих воздействий V,,, V,, в виде V,, , У2, =451£П(Х2), Ц, I, = СОП51 >0 (5.7)

с достаточно большими амплитудами I,, ¿2 на многообразии х, = 0, Зс, = 0 возникает скользящий режим, движение в котором описывается с помощью метода эквивалентного управления:

ЫеЧ = -ед +1",, (у21)сч = -а2х, +Ь2и, +|"2 -V,,.

Значения эквивалентных управлений (г„)еч, (г,,)^ получены с выходов

низкочастотных фильтров вида (5.6). Оставшиеся корректирующие воздействия выбраны линейными

у12 =-А'3тм г>22 = -к3т2, (5.8)

где А:3 > 0 - коэффициент коррекции.

Результаты компьютерного моделирования, приведенные в разделе 5.4,

21

демонстрируют свойство инвариантности к внешним аддитивным и параметрическим возмущениям. Моделирование проводилось при следующих значениях параметров: активные сопротивления катушек /?, = 90, R2 = 80 [Ом];

номинальный зазор <5„ = 0,003 [м]; конструктивный параметр ¿ = 0,24-10 3 [м/Гн]; конструктивный параметр р~ 0,02 [м]; в (5.3) М = 5, /,=100, /2 = 108; начальные условия /,(0) = 0,004, г2(0) = 0 ; номинальные параметры ап = 1125, а22 = 1000, а, =1062,5, а, = 62,5, 5, = 25.

На рис. 6 показаны результаты моделирования алгоритма управления (5.3) при нулевых внешних возмущениях = 0 , = 0 . Расчетные значения амплитуды и частоты колебаний (5.4): А = 0,006639 [А], Ах =18,2922, / = 4620 [Гц]; полученные в результате моделирования: Л = 0,00663 [А], Ах = 17,7, т.е. выражения (5.4) позволяют достаточно точно оценить амплитуды автоколебаний.

Рис. 6. Результаты моделирования алгоритма (5.3) при ¡¡¡, = 0 , = О

Далее рассматривались внешние возмущения, изменяющиеся по гармоническому закону с частотой напряжения сети 50 Гц: Т7, =37,5 вт(1 00л 0, ^ = 72,5 яшО 00л:(),

ц2 =35з1п(100л-/), ^ = 2,5зш(100?гГ).

Рис. 7. Моделирование системы с наблюдателем (5.5), (5.7), (5.8)

Уголф, характеризующий положение ротора чувствительного элемента,

изменялся по закону = 5"3 31п(550/) + 5~3 з1п(275/). Оценка параметра

<р(0 производилась согласно ф(/) = (Ь2к)1 р. На рис. 7 представлены результаты моделирования системы с наблюдателями (5.5), (5.7), (5.8) с коэффициентами = 103, к2 = 109, кг = 104, Ц = 12 = 100.

На рис. 8 представлены результаты моделирования «классического» алгоритма управления о, =и2 = 10зт(14000/17) без компенсации влияния внешнего возмущения в системе (5.2), когда для питания обмоток датчика использовался генератор напряжения высокой частоты. Эксперимент разделен на два этапа. На первой стадии возмущения отсутствуют и наблюдатель (5.5), (5.7), (5.8) позволяет оценить величину неровностей профиля. На второй стадии (при / > 0,02) на систему начинают действовать возмущения вида (5.9). Из-за отсутствия компенсации возмущений средняя величина одного из опорных сигналов теперь во многом определяется значениями <!;,, , что приводит к неустойчивости алгоритма идентификации. Действительно, коэффициенты обратной связи выбраны для значения амплитуды автоколебаний (5.4), которая может быть существенно меньше «средней» на периоде составляющей сигнала х,, вызванной возмущениями. Как известно, большие коэффициенты в канале обратной связи могут привести к неустойчивости наблюдателя.

Рис. 8. Моделирование при «классическом» алгоритме управления

Результаты моделирования показали, что замкнутая система обладает высоким быстродействием, нечувствительна к параметрическим и внешним аддитивным модельным возмущениям. Алгоритм управления (5.3) и алгоритм идентификации (5.5), (5.7), (5.8) и вовсе не предполагает какой-либо настройки параметров первичного преобразователя, что часто происходит в современных приборах оценивания шероховатости. Такой вариант представляется наиболее привлекательным с точки зрения реализации, поскольку является наименее затратным, и может стать основой для массового производства. При синтезе алгоритма идентификации была решена проблема компенсации квадратурной составляющей а2х, в уравнении (5.2), что является наиболее важной задачей при разработке фазочувствительных амплитудных детекторов. Разработанные алгоритмы могут быть использованы в любых уст-

ройствах, имеющих дифференциальные чувствительные элементы, например, в датчиках давления, влажности, массового расхода воздуха и т.д.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе разработаны методы повышения точности в релейных системах с неидеапьными релейными элементами. На защиту выносятся следующие результаты, полученные в диссертационной работе при исследовании проблем анализа и синтеза инвариантных релейных систем:

1) предложен новый способ доопределения движения в скользящем режиме с помощью выбора обратной связи при наличии различного рода не-идеальностей релейных исполнительных устройств и при действии внешних ограниченных возмущений;

2) разработан подход к подавлению амплитуды низкочастотных колебаний («чатгеринга») в установившемся режиме в релейных системах на основе высокочастотной модуляции;

3) на основе метода динамической компенсации разработаны алгоритмы синтеза релейных систем, инвариантных с заданной точностью к внешним модельным возмущениям, при фиксированных неидеальностях релейных характеристик;

4) получены оценки точности регулирования в допредельном случае при конечных коэффициентах усиления в обратной связи и ограниченной частоте внешнего модулирующего сигнала, даны практические рекомендации по их выбору;

5) разработан алгоритм синтеза замкнутой системы управления и идентификации для профилографа-профилометра с дифференциальным индуктивным преобразователем линейных перемещений; представлены результаты моделирования разработанных алгоритмов идентификации и управления для профилографа-профилометра с типовыми характеристиками.

Публикации по теме диссертации

1. Кочетков С. А., Шаврин П.А. Система управления и идентификации устройства измерения шероховатости //Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы электротехники, электроэнергетики и электротехнологий». 21-24 сентября 2004. Тольятти. Ч. 1. С. 88-90.

2. Kochetkov S.A., Shavrin P.A. An approach to surface profile estimation // Proceedings of 2-d International conference on Physics and Control. Saint Petersburg. 24-26 August 2005. P. 713-719.

3. Кочетков С.А., Шаврин П.А. Алгоритмы управления и идентификации в задаче оценивания профиля // Труды V Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'06. Москва, 29 ян-варя-2 февраля 2006. С. 278-290.

4. Kochetkov S.A., Shavrin P.A. Sliding mode identification for surface profile estimation // Proceedings of 9-th International Workshop on Variable Structure Systems VSS'06. Italy, Alghero. 4-6 June 2006. P. 238-243.

5. Кочетков С.А., Шаврин П.А. Об одном подходе к задаче идентификации

микропрофиля поверхности // Сборник трудов международной научно-технической конференции «Автоматизация технологических процессов и производственный контроль». Тольятти. 20-24 мая 2006. Ч. 2. С. 49-56.

6. Кочетков С. А. Система управления и идентификации для профилографа-профилометра // Тезисы докладов Всероссийского молодежного научно-инновационного конкурса-конференции «Электроника 2006». Зеленогорад. 30 ноября -1 декабря 2006. С. 50.

7. Кочетков С.А., Шаврин П.А. Алгоритм управления и идентификации для приборов с дифференциальными индуктивными чувствительными элементами // Сборник трудов Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы электротехники, электроэнергетики и электротехнологий». Тольятти. 20-24 мая 2007. Ч. 1. С. 263-269.

8. Gostkov A.S., Kochetkov S.A., Shavrin P.A. Sensorless sliding mode control for electromagnet H Proceedings of Nonlinear Control Systems conférence NOLCOSW. South Africa, Pretoria. 21-24 August 2007. P. 1151-1155.

9. Kiselyov S.A., Kochetkov S.A., Shavrin P.A. The control and identification algorithm for devices with differential inductive sensors // Proceedings of 17 world IFAC congress. South Korea, Séoul. 6-11 July 2008. P. 1809-1814.

10. Kiselyov S.A., Kochetkov S.A., Shavrin P.A. Control of magnetostrictive vibrators // Proceedings of 6-th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conférence ENOC'08. 30 June-4 July 2008. Russia, Saint Peiersburg. P. 1786-1791.

11. Кочетков С.A. Применение динамических компенсаторов в задаче оценивания профиля поверхности // Тезисы докладов всероссийской школы-семинара молодых ученых «Проблемы управления и информационные технологии» ПУИТ'08. Казань. 23-28 июня 2008. С. 251-254.

12. Кочетков С.А., Синюков А.В. Задачи оптимизации и наблюдения при управлении ДПТ // Тезисы докладов всероссийской школы-семинара молодых ученых «Проблемы управления и информационные технологии» ПУИТ'08. Казань. 23-28 июня 2008. С. 303-306.

13. Кочетков С.А. Вычисление геометрических параметров поверхности при наличии детерминированных возмущений // Сборник трудов конференции молодых ученых и специалистов «Информационные технологии и системы» ИТиС'08. Геленджик. 29 сентября-3 октября 2008. С. 132-137.

14. Кочетков С.А. Подход к реализации алгоритмов управления на скользящих режимах при наличии неидеальностей актюаторов // Сборник трудов V всероссийской школы-семинара молодых ученых «Управление большими системами» УБС'08. Липецк. 21-24 октября 2008. Т. 1. С.184-191.

15. Кочетков С.А., Уткин В.А. Оценка характеристик шумов в линейных системах в режиме реального времени // Труды VIII Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'09. Москва. ИПУ РАН. 29 января-2 февраля 2009. С. 891-912.

16. Кочетков С.А., Уткин А.В. Управление траекторией мобильного робота // Тезисы докладов международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем» DSMSI'09. Киев. 27-29 мая 2009 г. С. 293.

17. Кочетков С.А., Уткин A.B. Автономное управление выходными переменными в нелинейных системах // Тезисы докладов международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем» DSMSI'09. Киев. 27-29 мая 2009 г. С. 315.

18. Кочетков С.А. Компенсация неидеальностей исполнительных устройств с разрывной характеристикой // Труды 1-й традиционной школы «Управление, информация и оптимизация». Переславль. 21-28 июня 2009. С. 119— 129.

19. Кочетков С.А. Синтез инвариантных систем с помощью релейных управляющих воздействий // Труды VI Всероссийской школы-семинара молодых ученых «Управление большими системами». Ижевск. 1-4 сентября 2009. Т1. С. 221-235.

20. Kochetkov S.A., Utkin V.A. Control of the systems with flexible structure // Proceedings of the 9th IF AC Symposium on Robot Control SYROCO'09. September 9-12, 2009. Gifu, Japan. P. 913-918.

21. Кочетков С.А., Уткин В.А. Инвариантность в системах с неидеальными релейными элементами // Управление большими системами. Выпуск 26. М.: ИЛУ РАН, 2009. С. 117-169.

22. Кочетков С.А. Оценка амплитуды колебаний в релейных системах // Труды конференции «Информационные технологии и системы», ИТИС'09. Пос. в/о Бекасово. 15-18 декабря 2009. С. 108-114.

23. Кочетков С.А., Уткин A.B. Алгоритм управления для мобильного робота // Сборник материалов Всероссийской научно-технической конференции «Проведение научных исследований в области машиностроения». Тольятти. 27-28 ноября 2009. Ч. 2. С. 105-111.

24. Уткин A.B., Краснова С.А., Кочетков С.А. Задача слежения в электромеханических системах, функционирующих в условиях неопределенности // Сборник материалов Всероссийской научно-технической конференции «Проведение научных исследований в области машиностроения». Тольятти. 27-28 ноября 2009. Ч. 2. С. 302-309.

25. Кочетков С.А., Краснова С.А., Уткин В.А. Метод регуляризации скользящих движений по обратной связи // Уфимский математический журнал. Т. 1.№4. С. 67-77.

26. Кочетков С.А., Уткин В.А. Компенсация неустранимых неидеальностей исполнительных устройств // Автоматика и телемеханика. 2010. № 5. С. 21-47.

Личным вкладом соискателя в работах [1-5, 7] является разработка моделей объекта управления, синтез алгоритмов идентификации и численное моделирование; в работах [8, 10, 12] - синтез наблюдателей состояния на скользящих режимах; в работе [9] - синтез алгоритма идентификации с компенсацией параметрических возмущений; в работе [15] - синтез алгоритма оценивания дисперсии шумов; в работах [16, 23] — синтез алгоритмов управления и численное моделирование; в работах [17, 20, 24] - численное моделирование; в работах [21,25,26] - доказательства основных теорем.

Подписано в печать:

28.04.2010

Заказ № 3656 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение.

Глава 1. Проблемы анализа и синтеза систем с разрывными управлениями, функционирующих в скользящем режиме.

1.1. Доопределения уравнений движения в скользящем режиме.

1.2. Перспективы развития теории скользящих режимов. Проблема автоколебаний при движении в реальном скользящем режиме.

1.3. Синтез инвариантных систем в классе разрывных управляющих воздействий.

1.3.1. Инвариантность к произвольным возмущениям

1.3.2. Инвариантность к модельным возмущениям

1.4. Цели и задачи диссертационной работы.

Глава 2. Доопределение движения в скользящем режиме по обратной связи.

2.1. Постановка задачи стабилизации для линейной системы.

2.2. Регуляризация описания движения в скользящем режиме по обратной связи для линейных систем.

2.3. Постановка задачи стабилизации для нелинейной системы.

2.4. Процедура регуляризации по обратной связи для нелинейной системы.

2.5. Выводы к главе 2.

Глава 3. Компенсация неидеальностей релейных элементов.

3.1. Использование эффекта вибролинеаризации.

3.2. Использование интегральной обратной связи.

3.3. Оценивание «чаттеринга».

3.4. Выводы к главе 3.

Глава 4. Инвариантность в релейных системах с учетом неидеальностей релейных элементов.

4.1. Обеспечение инвариантности с использованием принципов высокочастотной модуляции

4.2. Конечная частота и оценка погрешности.

4.3. Оценка погрешности при подавлении внешних возмущений.

4.4. Результаты моделирования линеаризованной электромеханической системы.

4.5. Выводы к главе 4.

Глава 5. Алгоритмы управления и идентификации в задаче оценивания профиля поверхности.

5.1. Постановка задачи.

5.2. Синтез алгоритма управления.

5.3. Синтез алгоритма идентификации.

5.4. Результаты моделирования.

5.5. Выводы к главе 5.

Актуальность работы. В диссертационной работе исследуются проблемы анализа и синтеза многомерных релейных систем управления при действии внешних неизмеряемых возмущений. Основное внимание уделяется системам с разрывными управлениями, функционирующим в скользящем режиме (Емельянов С.В., Уткин В.И. и др.), а также проблемам, обусловленным неидеальностями релейных элементов различного типа.

Системы со скользящими режимами служат эффективным инструментом для решения проблем декомпозиции, инвариантности и робастного управления для систем высокой размерности. Перечислим основные особенности этих систем.

1. Общее движение замкнутой системы разделяется по времени на две составляющие: попадание на многообразие скольжения за конечное время и движение по этому многообразию.

2. В скользящем режиме понижается динамический порядок системы: траектории вектора состояния принадлежат вырожденным траектория - многообразиям размерности меньшей, чем все пространство состояний.

3. Движение в скользящем режиме не зависит от управления и определяется свойствами объекта и уравнениями поверхностей разрыва, что позволяет осуществить декомпозицию задачи синтеза на независимые подзадачи меньшей размерности: выбор многообразия скольжения; решение задачи стабилизации редуцированной системы.

4. Процедуры синтеза систем с разрывными управлениями просты в реализации, не требуют громоздких выкладок и детализированной математической модели объекта управления, так как условия возникновения скользящих режимов имеет вид неравенств.

5. Движение системы в скользящем режиме инвариантно к действию внешних и параметрических ограниченных возмущений, принадлежащих пространству управления, и обеспечивается при конечных амплитудах разрывных управлений, что существенно отличает такие системы от систем с непрерывными управлениями, где задача обеспечения инвариантности предполагает использование бесконечно больших коэффициентов усиления (Мееров М.В., Цыпкин Я.З.).

В случае, когда управляющие воздействия априори имеют ключевую природу, а именно такие системы рассматриваются в работе, использование методов теории скользящих режимов выглядит естественным. Дополнительная декомпозиция задач синтеза (особенно в нелинейной постановке) может быть основана также на методах, разработанных в последние десятилетия:

- метод линеаризации по обратной связи, геометрический подход (Иси-дори А., Крищенко А.П., Халил Х.К.);

- декомпозиционные методы синтеза: back-stepping control — обратный обход интеграторов (Кокотович П.), АКАР - аналитическое конструирование агрегированных регуляторов (Колесников А.А.), блочный подход (Лукьянов А.Г, Уткин В.А, Уткин В.И., Краснова С.А.);

- метод синтеза на основе функций Ляпунова (Зубов В.И.).

Особенность дифференциальных уравнений с разрывной правой частью состоит в том, что классические условия существования и единственности решения не выполняются на поверхности переключений. Проблема доопределения движения на многообразии переключений рассматривалась в работах Филиппова А.Ф., Пятницкого Е.С., Уткина В.И, Якубовича В.А. Идеальный скользящий режим (движение по многообразию скольжения с бесконечно большой частотой и бесконечно малой амплитудой) трактуется как предельный случай реального скользящего режима, а уравнения движения в скользящем режиме получаются в результате предельного перехода при стремлении к нулю неидеальностей различного рода. Отметим, что в рассматриваемых в диссертационной работе системах, в которых неидеальные релейные элементы являются неизменяемой частью модели объекта управления, такой предельный переход непосредственно не применим.

Центральной проблемой при реализации скользящих режимов на практике является проблема низкочастотных колебаний (автоколебаний, в иностранной литературе — «чаттеринг»), обусловленных статическими и динамическими неидеальностями релейных элементов, а также неучтенной в модели объекта управления малой динамикой. В реальном скользящем режиме движение происходит в некоторой А -окрестности многообразия скольжения с конечной частотой, что существенно влияет на точность регулирования в установившемся режиме, а также может приводить к быстрому износу исполнительных устройств, в частности механических.

Основные пути преодоления этой проблемы - повышение частоты переключений и/или уменьшение амплитуды разрывных управлений за счет совершенствования элементной базы и алгоритмов управления по обратной связи. К последним относятся следующие методы.

1. Алгоритмы с разрывными управлениями с переменной амплитудой (Изосимов Д.Б., Шабанович А.), которые позволяют уменьшать амплитуду разрывных управлений при движении в скользящем режиме.

2. Алгоритмы с непрерывной допредельной аппроксимацией разрывных управлений sat-функциями (Слотини Д., Састри С.С.), сигма-функциями (Уткин В.А.) и др.

3. Системы со скользящими режимами второго рода (Левант А., Фридман J1.M.), в которых вместе с классическими разрывными управлениями используются непрерывные локальные обратные связи (для которых условие Липшица не выполняется), обеспечивающие близкие к скользящим режимам робастные свойства и редукцию порядка системы.

4. Системы с асимптотическими наблюдателями состояния. При синтезе обратной связи по вектору состояния наблюдателя замкнутый контур не включает паразитную динамику, что позволяет обеспечить асимптотическую сходимость к многообразию скольжения.

5. Комбинированное управление (Уланов Г.М., Земляков С.Д., Уткин В.А.), которое содержит две компоненты: непрерывную и разрывную. Непрерывная компонента используется для регулирования поведения всей системы, а разрывная — только для подавления внешних возмущений и неопределенностей объекта управления. В этом случае амплитуда релейных воздействий может быть уменьшена до величины, гарантирующей подавление внешних возмущений, что также приводит к уменьшению «чаттеринга».

Все перечисленные подходы априори предполагают идеальность характеристики переключения реле, что не имеет места в реальных технических системах. Кроме того, при неидеальных реле характер движения в Д-окрестности поверхности переключения зависит от внешних возмущений, что вызывает появление ошибки выходной переменной, которая может быть существенно больше амплитуды низкочастотных колебаний.

В диссертации рассматриваются многомерные динамические объекты управления, математическая модель которых представлена системой как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений с неидеальными релейными элементами на входах (как неотъемлемые и неизменяемые составляющие модели объекта управления), функционирующих в условия параметрической неопределенности и при действии внешних возмущений. Учитывая, что в современных объектах автоматизации в качестве исполнительных устройств широко используются электромеханические преобразователи, управляемые инверторами напряжения, заведомо функционирующими в ключевом режиме, класс систем с релейными входами достаточно широк, а проблема повышения точности регулирования в системах с неидеальными релейными управлениями является актуальной.

Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных методов синтеза инвариантных релейных систем с учетом неидеальностей релейных характеристик различного типа (люфт, гистерезис, насыщение, мертвая зона, срьгвное трение и др.). Данная цель определяет следующие основные задачи работы:

1) разработка процедуры форсирования скользящего режима в системах с неидеальными реле по обратной связи, а также доопределение уравнений движения в идеальном скользящем режиме, трактуемом как предельный случай реального скользящего режима;

2) разработка алгоритмов компенсации по обратной связи низкочастотных колебаний в установившемся режиме («чаттеринга»), возникающих из-за неидеальностей релейных элементов, за счет добавления высокочастотных сигналов на входы релейных элементов;

3) синтез алгоритмов управления, обеспечивающих инвариантность замкнутых релейных систем с заданной точностью к внешним ограниченным модельным возмущениям, на основе метода динамической компенсации;

4) применение разработанных процедур, в частности, динамической компенсации возмущений заданного класса, в задаче оценивания профиля поверхности с помощью профилометра-профилографа с дифференциальным индуктивным чувствительным элементом.

Указанный комплекс задач определяет структуру и содержание диссертационной работы, состоящей из пяти глав.

Первая глава носит обзорно-постановочный характер. В разделе 1.1 рассмотрены основные способы доопределения движения на поверхностях разрыва для нелинейных систем общего вида, в том числе и не содержащих в явном виде управляющих воздействий. В разделе 1.2 описывается проблема низкочастотных колебаний в установившемся режиме («чаттеринга») и различные способы ее решения. Отмечено, что в основном существующие подходы базируются на использовании законов комбинированного управления с непрерывной компенсирующей составляющей. В разделе 1.3 описываются методы синтеза инвариантных систем с разрывными управляющими воздействиями, функционирующих в скользящем режиме, при действии на объект управления внешних ограниченных возмущений. В разделе 1.4 даны содержательные постановки задач, решаемых в диссертационной работе.

Во второй главе разработана процедура доопределения движения в скользящем режиме за счет выбора обратной связи. Предполагается, что управление может быть сформировано только в классе разрывных функций, которые реализуются с помощью релейных элементов с различного рода не-идеальностями и постоянными во времени характеристиками (амплитуды управляющих воздействий, параметры нелинейностей). В разделе 2.1 формализована постановка задачи для линейной системы. В разделе 2.2 доказано, что с точностью до размера пограничного слоя движения в реальном скользящем режиме обладают теми же свойствами (финитность попадания на поверхность скольжения, инвариантность, редукция системы), что и в идеальном. Кроме того, за счет выбора обратной связи величина пограничного слоя может быть параметризована и в пределе устремлена к нулю. Проводится сравнительный анализ разработанной процедуры доопределения по обратной связи движения по поверхности разрыва с известными подходами Филиппова А.Ф., Пятницкого Е.С., Уткина В.И. В разделах 2.3, 2.4 аналогичный результат получен для случая нелинейной системы.

Третья глава посвящена проблеме синтеза инвариантных систем при действии внешних ограниченных модельных возмущений и неидеальных релейных элементах. В разделе 3.1 центральное внимание уделено проблеме компенсации «чаттеринга» за счет использования принципов высокочастотной модуляции. Показано, что при ограниченных коэффициентах усиления обратной связи величина пограничного слоя, а, следовательно, и автоколебаний, может быть уменьшена за счет подачи на вход релейного элемента высокочастотного модулирующего сигнала. При этом на физическом уровне данный подход предполагает использование обратно пропорциональной связи между частотой и амплитудой автоколебаний в реальном скользящем режиме. При стремлении частоты модуляции к бесконечности движения замкнутой системы в пограничном слое происходят без низкочастотных колебаний и описываются некоторой усредненной системой дифференциальных уравнений, собственные числа характеристического уравнения которой могут быть выбраны произвольным образом за счет коэффициентов усиления обратной связи. Данный эффект, хорошо известный в технических приложениях и получивший название «вибролинеаризующего» (Фельдбаум А.А., Цыпкин ЯЗ., Красовский А.А., Астром К. Д., Моссахеб С.), используется для решения качественно новой задачи - компенсации «чаттеринга» — за счет модуляции в достаточно малой окрестности зоны неидеальности реле. В разделе 3.2 разработан алгоритм компенсации постоянного смещения, вызванного несимметричностью характеристик переключения исполнительных устройств за счет введения интегральной обратной связи. В разделе 3.3 рассматривается допредельный случай, когда частота переключения исполнительных устройств ограничивается инженерными соображениями. Разработана процедура оценки амплитуды автоколебаний, позволяющая выбрать на практике частоту модуляции.

В четвертой главе разработана процедура синтеза инвариантных систем с разрывными управляющими воздействиями. В разделе 4.1 разработан закон управления с использованием метода динамической компенсации (Уо-нэм У.М., Уткин В.А.) на основе алгоритмов, разработанных в главах 2, 3. Данный алгоритм обеспечивает в предельном случае (частота модуляции стремится к бесконечности) полную инвариантность к внешнему модельному возмущению. В разделе 4.2 рассматривается важный с практической точки зрения случай конечной частоты вибролинеаризующего сигнала. Показано, что в этой ситуации можно обеспечить только s-инвариантность к внешним возмущениям, получены оценки точности регулирования при конечных коэффициентах усиления обратной связи и частоте модуляции. В разделе 4.3 формализовано условие разнесения собственных частот колебаний системы, обусловленных коэффициентами усиления обратной связи, и частоты модулирующего сигнала. Данный результат позволяет вычислить ограничение на коэффициенты усиления в зависимости от частоты. В разделе 4.4 приводятся результаты моделирования для линейной системы, подтверждающие эффективность разработанных алгоритмов.

В пятой главе решается задача оценивания профиля поверхности с помощью профилографа-профилометра с дифференциальным электромеханическим преобразователем. Предполагается, что на объект исследования (электромеханический преобразователь) действуют внешние ограниченные возмущения (в том числе электродвижущие силы, вызванные в условиях производства внешними магнитными полями цепей питания). Наличие возмущений ограничивает возможности применения стандартных подходов к идентификации профиля поверхности, которые базируются на принципах амплитудной модуляции высокочастотного сигнала с выхода электромеханического преобразователя. В качестве объекта управления рассматривается электромеханический преобразователь профилографа-профилометра серии 252 с типовыми характеристиками. В разделе 5.1 формализована постановка задачи управления и идентификации. В разделе 5.2 разработана процедура синтеза разрывного управления, обеспечивающего е-инвариантность замкнутой системы к внешним возмущениям. Основная идея базируется на создании с помощью управляющих воздействий автоколебаний в замкнутой системе, при которых возможно использование процедур, разработанных в главах 2, 3. Показано, что при этом в предельном цикле также проявляется эффект вибролинеаризации, обусловленный внутренними автоколебаниями системы. В разделе 5.3 разработана процедура синтеза алгоритма идентификации на скользящих режимах, а также с большими коэффициентами обратной связи. В разделе 5.4 приводятся результаты моделирования, подтверждающие эффективность разработанных алгоритмов.

На защиту выносятся следующие результаты, полученные в диссертационной работе при исследовании проблем анализа и синтеза инвариантных релейных систем с неидеальными релейными характеристиками:

1) предложен новый способ доопределения движения в скользящем режиме с помощью выбора обратной связи при наличии различного рода не-идеальностей релейных исполнительных устройств и при действии внешних ограниченных возмущений;

2) разработан подход к подавлению амплитуды низкочастотных колебаний («чаттеринга») в установившемся режиме в релейных системах на основе высокочастотной модуляции;

3) на основе метода динамической компенсации разработаны алгоритмы синтеза релейных систем, инвариантных с заданной точностью к внешним модельным возмущениям, при фиксированных неидеальностях релейных характеристик;

4) получены оценки точности регулирования в допредельном случае при конечных коэффициентах усиления в обратной связи и ограниченной частоте внешнего модулирующего сигнала, даны практические рекомендации по их выбору;

5) разработан алгоритм синтеза замкнутой системы управления и идентификации для профилографа-профилометра с дифференциальным индуктивным преобразователем линейных перемещений; представлены результаты моделирования разработанных алгоритмов идентификации и управления для профилографа-профилометра с типовыми характеристиками.

Методы исследования. Теоретические результаты работы обоснованы математически с использованием аппарата линейной алгебры, математического анализа, теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, методов современной теории управления: блочного принципа управления, разделения движений в классах систем с большими коэффициентами и разрывными управлениями, функционирующих в скользящем режиме, теории наблюдателей состояния, динамической компенсации, инвариантности и устойчивости. Теоретические положения подтверждены результатами моделирования в среде MATLAB/Simuiink, а также их практическим использованием в задачах управления профилографом-профилометром серии 252.

Научная новизна.

1. В отличие от известных методов доопределения движения в скользящем режиме, основанных на стремлении неидеальностей различного рода к нулю, в данной работе неидеальные релейные характеристики являются неизменяемой частью модели объекта управления. Предложен способ их компенсации за счет использования глубоких обратных связей, позволяющий в пределе организовать идеальный скользящий режим и формализовать уравнения скольжения.

2. Предложен и обоснован метод подавления низкочастотных колебаний за счет подачи на вход реле высокочастотного сигнала.

3. Для релейных систем решена проблема обеспечения инвариантности с заданной точностью к модельным возмущениям с использованием глубоких обратных связей и вибролинеаризующего сигнала на основе метода динамической компенсации. Получены оценки точности регулирования при конечных коэффициентах усиления и ограниченной частоте внешнего модулирующего сигнала. Разработаны практические рекомендации по выбору коэффициентов усиления и частоты модулирующего сигнала.

4. Разработанные алгоритмы применены для синтеза системы управления профилографом-профилометром и обеспечивают повышенную скорость трассировки и точность идентификации неровностей поверхности.

Практическая значимость заключается в том, что реализация результатов, полученных в диссертационной работе, приведет к достижению значительного технико-экономического эффекта при проектировании и эксплуатации релейных систем управления широкого класса, функционирующих в условиях действия внешних возмущений и с учетом неустранимых неидеаль-ностей релейных элементов различного типа.

Реализация результатов работы. Разработанные процедуры синтеза использовались при разработке опытного образца портативного профиломет-ра, выполненной по заказу ООО «СЭТ»» в Управлении научных исследований Тольяттинского государственного университета в 2008-2009 гг. На базе профилографа-профилографа-252 внедрена в учебный процесс «Компьютерная система управления и идентификации» в Тольяттинском государственном университете по курсу «Метрология, стандартизация, сертификация».

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции «Проблемы электротехники, электроэнергетики и электротехнологий», (Тольятти, ТГУ, 2006, 2007); Международной конференции "Physics and Control" (Санкт-Петербург, 2005); Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO (Москва, ИПУ РАН, 2006, 2009); Международной научнотехнической конференции «Автоматизация технологических процессов и производственный контроль» (Тольятти, ТГУ, 2006); 9-м международном семинаре по системам с переменной структурой "Variable Structure Systems VSS'06" (Италия, Альгеро, 2006); Всероссийском молодежном научно-инновационном конкурсе-конференции «Электроника 2006» (Зеленоград, МИЭТ, 2006); Международном симпозиуме "Nonlinear Control Systems conference" (ЮАР, Претория, 2007); 17-м Всемирном конгрессе IF АС (Южная Корея, Сеул, 2008); 6-й международной конференции "Euromech Nonlinear Dynamics Conference" (Россия, Санкт-Петербург, 2008); Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Проблемы управления и информационные технологии» (Казань, КАИ, 2008); Всероссийской конференции «Информационные технологии и системы» (Геленджик, 2008; Москва, 2009); V Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Управление большими системами» (Липецк, ЛГТУ, 2008); Международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем», DSMSI (Киев, КНУ, 2009); VI Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Управление большими системами» (Ижевск, 2009); 9-м симпозиуме IF АС по управлению роботами SYROCO'09. (Япония, Гифу, 2009); Всероссийской научно-технической конференции «Проведение научных исследований в области машиностроения» (Тольятти, ТГУ, 2009); на семинарах ИПУ РАН, МГТУ им. Н.Э. Баумана, СПбГУ, ТГУ.

Работа выполнена в рамках комплексного проекта фундаментальных исследований РАН 2.4.2, 2422/07 (тема 3.4.1, 3412/07).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 26 работ, в том числе 2 [30, 31] в журналах, рекомендуемых ВАК РФ.

Структура работы. Диссертационная работа изложена на 130 страницах, состоит из введения, 5-ти глав, заключения, содержит 27 рисунков, список литературы (122 наименования), 4 приложения, в том числе 2, подтверждающих внедрение полученных результатов.

5.5. Выводы к главе 5

В данной главе разработаны алгоритмы управления и идентификации устройства измерения профиля поверхности. Замкнутая система обладает высоким быстродействием, и кроме того, оказывается нечувствительной к внешним аддитивным и параметрическим возмущениям, которые могут быть описаны некоторой динамической моделью. Существенно, что использование алгоритма управления (5.7) и алгоритма идентификации вида (5.30), (5,31), (5,33) не предполагает какой-либо настройки параметров первичного преобразователя, что часто происходит в современных приборах оценивания шероховатости [7, 14, 113]. Такой вариант представляется наиболее привлекательным с точки зрения реализации, поскольку, очевидно, является наименее затратным, и может стать основой для массового производства.

При синтезе алгоритма идентификации была решена проблема компенсации квадратурной составляющей а2х\ в уравнении (5.7), что является наиболее важной задачей при разработке фазочувствительных амплитудных детекторов [14, 58]. На практике коэффициент а2 полагается постоянным, и влияние квадратурной компоненты устраняется первоначальной подстройкой, которая достаточно сложна и в конечном итоге влияет на стоимость готового прибора [84]. Как видно из результатов моделирования (см. рис. 5.5) при измерении с достаточно большой скоростью трассировки иглы вдоль поверхности коэффициент а2 не является постоянным, что приводит к снижению динамической точности современных приборов. По этой причине скорость трассировки современных контактных профилографов-профилометров ограничена величиной 1мм/с, в то время как существует необходимость построения скоростных высокоточных систем контроля качества поверхности, в том числе и для получения ЗБ-профиля [109].

Разработанные алгоритмы имеют широкое применение и могут быть использованы в различных устройствах, имеющих дифференциальные чувствительные элементы. Например, в датчиках давления, влажности, массового расхода воздуха и т.д.

124

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе разработаны методы повышения точности в релейных системах с неидеальными релейными элементами. На защиту выносятся следующие результаты, полученные в диссертационной работе при исследовании проблем анализа и синтеза инвариантных релейных систем:

1) предложен новый способ доопределения движения в скользящем режиме с помощью выбора обратной связи при наличии различного рода не-идеальностей релейных исполнительных устройств и при действии внешних ограниченных возмущений;

2) разработан подход к подавлению амплитуды низкочастотных колебаний («чаттеринга») в установившемся режиме в релейных системах на основе высокочастотной модуляции;

3) на основе метода динамической компенсации разработаны алгоритмы синтеза релейных систем, инвариантных с заданной точностью к внешним модельным возмущениям, при фиксированных неидеальностях релейных характеристик;

4) получены оценки точности регулирования в допредельном случае при конечных коэффициентах усиления в обратной связи и ограниченной частоте внешнего модулирующего сигнала, даны практические рекомендации по их выбору;

5) разработан алгоритм синтеза замкнутой системы управления и идентификации для профилографа-профилометра с дифференциальным индуктивным преобразователем линейных перемещений; представлены результаты моделирования разработанных алгоритмов идентификации и управления для профилографа-профилометра с типовыми характеристиками.

1. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем // АиТ.1974. Ч. I: № 7. С. 33-47; Ч. И: № 8. С. 39-61.

2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.:1. Наука, 1976.

3. Андриевский Б.Р., Фрадков A.J1. Избранные главы теории автоматического управления. СПб: Наука, 1999.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз,1959.

5. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теорияконструирования систем управления. М.: Наука, 2003.

6. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука,1967.

7. Бирюков Г.С., Серко A.J1. Измерение геометрических величин и их метрологическое обеспечение. М.: Изд-во стандартов, 1987.

8. Боголюбов Н.Н., Митропол ьскии Ю.А. Асимптотические методы в теориинелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

9. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения сингулярновозмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. Ю.Гамкрелидзе Э.В. О скользящих оптимальных режимах // ДАН СССР, 1962. Т. 143. №6.

10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

11. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

12. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

13. М.Домрачев В.Г. Схемотехника цифровых преобразователей перемещений. М.: Энергоатомиздат, 1987.

14. Дракунов С.В., Изосимов Д.Б., Лукьянов А.Г., Уткин В.А., Уткин В.И. Принцип блочного управления // АиТ. Ч. I. 1990. № 5. С. 3-13; Ч. П. 1990. №6. С. 20-31.

15. Дунин-Барковский И.В., Карташова А.Н. Измерение шероховатости, волнистости и некруглости поверхности. М.: Машиностроение, 1985.

16. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи: управление при неопределенности. М.: Наука, 1997.

17. Емельянов С.В. Избранные труды по теории управления. М.: Наука, 2006.

18. Журавлев Ю.Н. Активные магнитные подшипники: Теория, расчет, применение. Спб.: Политехника, 2003.

19. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа, 1982.

20. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

21. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.: Физматлит, 2004.

22. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных сотрудников иинженеров. М.: Наука, 1968.

23. Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. М.: Физматлит, 2007.

24. Кочетков С.А., Шаврин П.А. Алгоритмы управления и идентификации в задаче оценивания профиля // Труды V Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления», SICPRO'06. Москва, 29 января 2 февраля 2006. С. 278-290.

25. Кочетков С.А. Вычисление геометрических параметров поверхности при наличии детерминированных возмущений // Сборник трудов конференции молодых ученых «Информационные технологии и системы», ИТиС'08. Геленджик, 29 сентября-3 октября 2008. С. 132-137.

26. Кочетков С.А. Синтез инвариантных систем с помощью релейных управляющих воздействий // Труды VI Всероссийской школы-семинара молодых ученых «Управление большими системами». Ижевск, 1-4 сентября 2009. Т1. С. 221-235.

27. Кочетков С.А. Оценка амплитуды колебаний в релейных системах // Труды всероссийской конференции (Информационные технологии и системы», ИТИС'09. С. 108-114.

28. Кочетков С.А., Краснова С.А., Уткин В.А. Метод регуляризации скользящих движений по обратной связи // Уфимский математический журнал. 2009. Т. 1. №4. С. 67-77.

29. Кочетков С.А., Уткин В.А. Инвариантность в системах с неидеальными релейными элементами // Управление большими системами. Выпуск 27. М.: ИЛУ РАН, 2009. С. 117-168.

30. Кочетков С.А., Уткин В.А. Компенсация неустранимых неидеальностей исполнительных устройств // АиТ. 2010. № 5. С.21-47.

31. Краснова С.А., Уткин В.А, Михеев Ю.В. Каскадный синтез наблюдателей состояния нелинейных многомерных систем // АиТ. 2001. №2. С. 43-63.

32. Краснова С.А., Кузнецов С.И. Оценивание на скользящих режимах неконтролируемых возмущений в нелинейных динамических системах // АиТ. 2005. №10. С. 54-69.

33. Краснова С.А., Уткин В.А. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем. М.: Наука, 2006.

34. Краснощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005.

35. Красовский А.А. О вибрационном способе линеаризации некоторых нели-нейностей // АиТ. 1948. № 1. С. 34-42.

36. Кротов В.Ф. О разрывных решениях одного класса задач оптимального управления // АиТ. 1995. №1. С. 29^12.

37. Кулебакин B.C. К теории автоматических вибрационных регуляторов для электрических машин // Теоретическая и экспериментальная электроника. 1932. №4.

38. Курдюков А.П. Основы робастного управления. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1995.

39. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

40. Лукьянов А.Г., Уткин В.И. Методы сведения уравнений динамических систем к регулярной форме // АиТ. № 4. 1981. С. 5-13.

41. Матюхин В.И. Управление механическими системами. М.: Физматлит, 2009.

42. Мееров М.В. Системы многосвязного регулирования. М.: Наука, 1967.

43. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.

44. Нгуен К.Х., Уткин В.А. Задачи управления двигателем постоянного тока // АиТ. 2006. №5. С. 102-118.

45. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

46. Неймарк Ю.И. О скользящем режиме релейных систем автоматического регулирования // АиТ. 1957. № 1. С. 27-33.

47. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. Спб.: Наука, 2003.

48. Петров Б.Н., Земляков С.Д., Рутковский В.Ю. Адаптивное координатно-параметрическое управление нестационарными объектами. М.: Наука, 1980.

49. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

50. Проскурников А.В., Якубович В.А. Задача об инвариантности системы управления по части выходных переменных // Доклады РАН. 2006. Т 406. С. 30-34.

51. Пятницкий Е.С. Избранные труды: в 3 т. М.: Физматлит, 2004.

52. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: Гостехиздат, 1947.

53. Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1969.

54. Рудаков В.В., Столяров И.М., Дартау В.А. Асинхронные электроприводы с векторным управлением. Л.: Энергоатомиздат, 1987.

55. Рывкин С.Е. Скользящие режимы в задачах управления автоматизированным синхронным электроприводом. М.: Наука, 2009.

56. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управления / Под ред. А.А. Колесникова. Таганрог: ТРТУ, 2000.

57. Сорочкин Б.М. Средства для линейных измерений. Л.: Машиностроение, 1978.

58. Теория систем с переменной структурой / Под ред. С.В. Емельянова. М.: Наука, 1970.

59. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1998.

60. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: 1990.

61. Труды 1 Международного конгресса ИФАК. Т. 1. М.: АН СССР, 1961.

62. Уонэм У.М. Линейные многомерные системы управления. Геометрический подход. М.: Наука, 1980.

63. Уткин А.В. Метод расширения пространства состояния в задаче синтеза автономного управления // АиТ. 2007. № 6. С. 81-98.

64. Уткин В.А., Уткин В.И. Метод разделения в задачах инвариантности // АиТ. 1983. № 12. С. 39-48.

65. Уткин В.А. Инвариантность и автономность в системах с разделяемыми движениями // АиТ. 2001. № 11. С. 73-94.

66. Уткин В.И., Янг К.Д. Методы построения плоскостей разрыва в многомерных системах с переменной структурой // АиТ. 1978. № 10. С. 72-77.

67. Уткин В.И. Принципы идентификации на скользящих режимах // ДАН СССР. 1981. Т. 257. № 3. С. 558-561.

68. Уткин В.И. Скользящие режршы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981.

69. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Наука, 1966.

70. Филиппов А.Ф. Дифференциальный уравнения с многозначной разрывной правой частью // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 1. С. 65-68.

71. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

72. Фомин В.Н., Фрадков A.JI. Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981.

73. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974.

74. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управлениянелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006.

75. Чиликин М. Г., Ключев В. И., Сандлер А.С. Теория автоматизированного электропривода. М.: Энергия, 1979.

76. Юркевич В.Д. Синтез нелинейных нестационарных систем управления с разнотемповыми процессами. Спб.: Наука, 2000.

77. Якубович В.А. Периодические и почти периодические предельные режимы регулируемых систем с несколькими, вообще говоря, разрывными нелинейностями // ДАН СССР. 1966. Т. 171. № 3. С. 533-536.

78. Aguiar A., Martinez-Guerra R., Maya-Yescas R. State estimation of partially unknown nonlinear systems: a class of integral high gain observers // IEEE Proc. Control Theory and Applications. 2003. Vol. 150 (3). P. 240-244.

79. Astrom K.J. Oscillations in systems with relay feedback // Adaptive Control, Filtering, and Signal Processing. 1995. Vol. 74. P. 1-25.

80. Bernardo M., Johansson K.H. and Vasca F. Self-oscillations and sliding in relay feedback systems: Symmetry and bifurcations // International Journal of Bifurcations and Chaos. 2000. Vol. 11 (4). P. 1121-1140.

81. Boiko I. Analysis of sliding modes in frequency domain // International J. Control. 2005. Vol. 78 (10). P. 969-981, 2005.

82. Bondarev A.G., Bondarev S.A., Kostylyeva N.Y., Utkin V.I. Sliding modes in systems with asymptotic state observers // Automation and Remote Control. 1985. Vol. 46 (6). P. 679-684.

83. Chetwynd D.G. Low-cost testing of profilometer stylus forces // Elektrotechnik und Informationstechnik. 1999. Vol. 116 (4). P. 254-259.

84. Dissent B.J., Duggirala V.M. Globally Asymptotic and Locally Exponential Tracking Observer/Controller for a Relatively Large Class of Systems with Hysteresis // J. of Intelligent and Robotic Systems. 2007. V.50(2). P. 207-215.

85. Drazenovic B. The Invariance Conditions in Variable Structure Systems // Automatica. 1969. Vol. 5 (3). P. 287-295.

86. Fridman L. Singularity perturbed analysis of chattering in relay control systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 2002. Vol. 47 (12). P. 2079-2084.

87. Gelig A.Kh., Churilov A. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse Modulated Systems. Berlin: Birkhauser, 1998.

88. Gon9alves J.M., Megretski A., M.A. Dahleh. Global stability of relay feedback systems // IEEE Trans, on Autom. Control. 2001. V. 46 (4). P. 550-562.

89. Gostkov A.S., Kochetkov S.A., Shavrin P.A. Sensorless sliding mode control for electromagnet // Proc. Nonlinear Control Systems conference NOL-COS'07. South Africa, Pretoria. 21-24 august 2007. P. 1151-1155.

90. Hoon Lee, Utkin. V.I. Chattering analysis. // Lecture Notes in control and information Science. 2006. No. 334. P. 107-121.

91. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd Ed. Berlin: Springer-Verlag, 1995.

92. Johansson, K.H., A. Barabanov and K.J. Astrom. Limit cycles with chattering in relay feedback systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2002.

93. Khalil H.K. Nonlinear Systems. Prentice-Hall, 2002.

94. Kiselyov S.A., Kochetkov S.A., Shavrin P.A., Control of magnetostrictive vibrators// In Proc. of the 6-th EUROMECPI Nonlinear Dynamics Conference ENOC'08. Russia, Saint-Petersburg. 30 June-4 July 2008. P. 1786-1791.

95. Kiselyov S.A., Kochetkov S.A., Shavrin P.A., The control and identification algorithm for devices with differential inductive sensors // Proc. of the 17th World Congress IF AC. Seoul, Korea. July 6-11, 2008. PP. 1809-1814.

96. Kochetkov S.A., Shavrin P.A. Sliding mode identification for surface profile estimation // Proc. of the 9-th International Workshop on Variable Structure Systems VSS'06. Italy, Alghero, 4-6 июня 2006. P. 238-243.

97. Kochetkov S.A., Utkin V.A. Control of the systems with flexible structure // Preprints of the 9th IF AC Symposium on Robot Control SYROCO 09. September 9-12, 2009. Gifu, Japan. P. 913-918.

98. Kokotovic P.V., O'Malley R.B., Jr. and Sannuti P. Singular Perturbation and Order Reduction in Control Theory //Automatica. 1976. Vol. 12. P. 123-132.

99. Kristic M., Kanellalopoulos I., Kokotovic P.V. Nonlinear and adaptive control design. N.Y.: Jhon Willey and Sons, 1995.

100. Kwakernaak H. Asymptotic Root-Loci of Multivariable Linear Optimal Regulator//IEEE Trans. 1976. Vol. AC-21. P. 378-392.

101. Levant A. Fligher order sliding modes, differentiation and output feedback control // Int. J. of Control. 2003. Vol. 76 (9-10). P. 924-941.

102. Levant A. Principles of 2-sliding mode design // Automatica. 2007. Vol. 43.1. P. 576-586.

103. Ljung L. System Identification. Theory for the User. Prentice-Hall. New Jersey, USA, 1999.

104. Marino R., Tomei P. Global estimation of n unknown frequencies // IEEE Trans, on Automatic control. 2002. Vol. 47 (8). P. 1324-1328.

105. Modern sliding mode control theory (Series Lecture Notes in Control and Information Sciences) Bartolini G., Fridman L., Pisano A., Usai E. Berlin. Heidelberg: Springer, 2008. Vol. 375.

106. Morrison E. The development of a prototype high-speed stylus profilometer and its application to rapid 3D surface measurement // Nanotechnology. 1996, Vol. 1. P. 37-42.

107. Mossaheb S. Application of a method of averaging to the study of dither in non-linear systems // International Journal of Control. 1983. Vol. 38 (3). 1983.

108. Ortega R., Tang Y. Robustness of adaptive controllers a survey // Auto-matica. 1989. Vol. 25 (5). P. 651-677.

109. Pervozvanski A.A., Canudas de Wit C. Asymptotic analysis of the dither effect in systems with friction // Automatica.2002. Vol. 38 (1). P. 105-113.

110. Pradeep L. Menezes, Kishore and Satish V. Kailas. Influence of roughness parameters and surface texture on friction during sliding of pure lead over 080 M40 steel // Inter. Journal of Advanced Manufacturing Technology. 2009. Vol.43 (7-8). P. 731-743.

111. Slotine J.J., Sastry S.S. Tracking control of nonlinear systems using sliding surfaces, with application to robot manipulators // Int. Journal Control. 1983. Vol. 38. P. 465-492.

112. Utkin V.A. The method of dynamic compensation in a problem of estimation of external disturbances // In Proc. SICPRO'06. Moscow, 2006. P. 754-771.

113. Utkin V.I. Guldner J., Shi J. Sliding mode control in Electromechanical Systems. Tailor and Francis, London, 2009.

114. Van der Schaft A.J., Schumacher J.M. An introduction to Hybrid Dynamical Systems. Berlin: Springer-Verlag, 2000.

115. Varigonda S. and Georgiou T.T. Dynamics of relay relaxation oscillators // IEEE Transactions on Automatic Control. 2001. Vol. 46 (1). P. 65-77.

116. Vidyasagar M. Nonlinear Systems Analysis. Prentice Hall. Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.

117. Zelikin M.I., Borisov V.F. Optimal Chattering Feedback Control // Journal of Mathematical Sciences. 2003. Vol. 114 (3). P. 1227-1344.N