автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка методов оптимального планирования эксперимента и анализа интервальных данных

МОСКОВСКИЙ ордена ЛЕНИНА и ордена ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ЭНЕРГЕТИЧ^ЖИ ИНСТИТУТ

На правах рукописи ДНВАК Николай Петрович

Разработка методов оптимального планирования эксперимента и анализа интервальных дашшх

Специальность - Сб. 13.01 - Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Работа выполнена в Московском ордена. Ленина, и ордэна Октябрьской революции энергетическом институте

Научный руководитель:

доктор технических наук, профеосор Вощинин А. П.

Офищ&лыше оппоненты: доктор технически наук,

профессор Ле1цсий Э. К. кандидат технических наук, доцент Волгин В. В.

Ведущее предприятие: Львовский научно-исследовательский радиотехнический институт

Защита состоятся гг К 199£ г.

в аудиторш Г-5-¡о в М час 00 мин. на заседании специализированного Совета К. 063.16.18 в Московском энергетическом институте.

Отзывы, заверенные печатью, просим высылать по адресу: 106838, ГСП, Москва, Е-2Э0, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый Совет МЭИ.

С диссертацией могно ознакомиться в библиотеке МЭИ. Автореферат разослан апрепл, 199£ г.

Ученый секретарь специалидировалшого совета, кандидат технических наук , / Полотнов М. М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. При решении задачи оптимального управления любой технической системой требуется ее математическая модель. Часто технические системы оказываются очень сложными и не подцаются теоретическому изучению в разумные сроки. При неполном знании механизма явления математическая модель моют быть построена по результатам наблюдений над входными и выходными перемешав-ш.

Проведешге опытов всегда осуществляется в условиях некоторых помех, ошибок. Бсуш ошибки соизмеримы с самими опытными величинами, а опыты являются сложными и дорогостоящими, то необхода-гесть применения методов планирования окспериме1гга для построения математической модели .очевидна.

Существующие метода оптимального планирования эксперимента как правило опираются на модель случайной адаптивной неограшмешюй ошибки. Еместе с тем на практике такая модель ошибки не всегда соответствует действительности. В частности, ошибки измерения часто имеют ограниченный диапазон, при имитационном моделггроватпт и оюзпертном опросе не всегда обосновано предположение о случайности ошибки. Пссггому в последнее время все большее внимание исследователей привлечено к методам решения задач управления в условиях ограниченных по амплитуде ошибок. Одним из таких подходов является метод интервального анализа данных. Метод бил разработан для построения математических моделей систем по интервальным опытным данным. Бря втом не рассматривались вопросы о том, каким образом получены эти данные. Очевидно, что оптимальное планирование эксперимента позволит повысить точность модели системы.

В связи с этим возникает необходимость разработки методов оптимального планирования ¡эксперимента при интервальном Э-нализе дангшх.

С другой сторота во многих практических задачах пссле проведения огастрлменга оказывается удобном описште опытных данных некоторой простой явно заданной функцией .например отлаян-футодтей.

Подобные рзд-тт возникают при согдалгш систем, в

состав которых входят банки картогра$;1ческих данных и требуется компактное представление данных с целью минимизации объема памяти, выделяемой для их хранения. К таким системам относятся системы отображения местоположения объекта, на фоне карты и системы навигации по цифровым картам местности.

В отих случаях вогшссает гадача приближения табличных данных явно заданной функцией , вадаиои гладкости и с требуемой точностью.

Пель работы. Целями работы является: 1. Разработка методов планирования оптимального насыщенного ьжеиеримеита. при интервальных данных; 2.. Исследование свойств моделей интервальных ошибок и разработка алгоритма оптимального последовательного планирования эксперимента при интервальных сшибках опытов; 3. Построение процедуры приближения табличных данных сплайн-функциями с заданной точностью.

Указанные цели достигаются путем решения следующих задач 1. Для построения методов планирования оптимального насыщенного эксперимента при интервальных данных необходимо: -разработать методику анализа предеказательных свойств интервальной модели, определить ее точностные характеристики и проанализировать свойства области о возможных значений параметров модели при насыщенном эксперименте;

-разработать и определоть критерии огггимальносги насыщенных планов;

-разработать алгоритмы синтеза оптимальных насыщенных интервалышх экспериментов;

-провести сравнительный анализ оптимальных планов интервального и регрессионного насыщенных экспериментов.

Для исследования моделей интервальных ошибок и разработай алгоритма оптимального последовательного пладароваяия эксперимента при интервальных ошибках опытов необходимо: -провести анализ интервальных шибок, предложить их математические модели и выделить основные свойства ;

-исследовать асимптотические свойства области возможных значений параметров при разных моделях интервальных ошибок;

-проанализировать точность, преджазания интервальной модели и выбрать критерий оптимальности последовательного планирования интервального эксперимента;

- о -

-построить алгоритм оптимального последовательного планирования интервального эксперимента.

3. Для построения процедуры приближения табличных данных сплайн-функциями с ваданной точностью необходимо:

-рагрсьботатъ метод и алгоритм приближения данных сплайн- функциями с заданной точностью, обеспечивающий минимальное число узлов стыковки сплагшов.

4. Апробировать разработанные методы и алгоритмы при анализе .сжатии и компактном представлении картографических данных.

использовались методы интервальной математики, теории вероятностей и математической статистики, теории приближения функций, аппарат математического программирования, некоторые аспекты линейной алгебры.

-получено выражение для определения максимальной ошибки прогноза линейной многомерной интервальной модели и алгоритм оценки максимальной на области эксперимента ошибки прогноза квадратичной модели;

-показало, что в случае насыщенного эксперимента область о возможных значений параметров модели в пространстве параметров является правильным, -симметричным, выпуклым многогранником с цэнтром симметрии,совпадающим с МНК оценкой, вычисленной по средним интервальным значениям опытов;

-предложены и определены гл~,!в~.тс~.'а~ и 7о" критерии -оптимальности планов насыщенного интервального эксперимента, задающие соответственно сумму квадратов длин диагоналей, квадрат объема, квадрат длины максимальной диагонали области о, среднюю и максимальную ошибку прогноза модели на области планирования;

-доказаны теорема эквивалентности между 70~

оптимальными насыщенными планами интервального и соответственно А-,В- оптимальными насыщенными планами регрессионного экспериментов и для линейной многомерной модели на гиперсфере теорема эквивалентности и 1 а~

оптимальных насыщенных планов;

-предложено и обосновано вместо ' а- и -оптимальных планов использовать их приближения - Б- и 0- оптимальные

[. Для решения поставленных задач

заключается в следующем:

насыщены з планы регрессионного эксперимента;

-пре дложены модели: неслучайной неустранимой ограниченной ошибки; случайной ошибки с фшштным . распределением; смешанной интервальной ошибку и показаны их свойства;

-приведены асимпто-ймеские свойства области возможных значений параметров о и показана возможность уменьшения ее раямеров путем повторных опытов в случае случайной или смешанной интервальных ошибок;

-разработан алгоритм, позволяющий находить последовательный план шггервального эксперимента , минимизирующий на области планирования максимальное значение ошибки прогноза ;

-сформулирована задача приближения табличных данных сплайнами с заданной точностью как задача интервального анализа данных и предложена процедура, ее решения, минимизирующая общее число узлов стыковки сплайнов.

Практическая вначимость работа. 1. Предложенные критерии оптимальности насыщенных оптшальны* планов и теоремы еквивале! ггаости оптимальных насыщенных планов регрессионного и интервального эксперимента позволякг выбрать для конкретного исследования с учетом целей и требования его проведения шин эксперимента. с небольшим числом наблюдений. При этом можно воспользоваться таблицами планов регрессионного эксперимента для полиномиальных моделей. 2. Предложенные . модели интервальных ошибок могут быть использованы для описания факторов неопределенности при получении и анализе опытных данных. Применение метода, и алгоритма последовательного планирования эксперимента, разработанных в работе, для построения математических моделей обьктов с интервальной неопределеноостью помогает сократить объемы и сроки проведения исследований и повысить ♦ точность модели. 3. Использование процэдуры приближения данных сплайн- функциями позволяет компактно предетавить опэтные данные и добиться минимального объема памяти, выделяемой для их хранения.

Реализация результатов габоты. Разработанные метода был* использованы при анализе ошибок .возникающих при созданш цифровых карг местности и решении задачи сжапс картографических данных с целью минимизации объема, памяти, выделяемой дли их хранения.

Атгообаиия работы. Основные положения и результаты диссертационной работы обсуждались и докладывались на. IV Вэесоюзной конференции "Перспективы и опыт внедрения статисттгческзк методов в АСУ ТП" (Тула. 1990г.), на I Международной конференции "Information technologies for image analisis and pattern recognition" (Lviv, USSR, 1990г. ), на. Бзесоюзноа конференции "Актуальные проблемы прикладной математики" (Саратов, 1991г. ).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 5 печатных работ.

Структура и объем pajeara. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 93 наименования, и приложения. Работа изложена на 153 страницах машинописного текста, содержит £2 рисунка и 9 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во взедании обоснована актуальность теми дясоэртационной работы, определены цели и задачи исследовашй. научная новизна, и практическая ценность работы .

В пешой главе рассматриваются особенности существующих методов планирования эксперимента, анализа и приближения табличных данных в условиях ошибок опытов, и даются постановки задач диссертационной работы.

Пусть, изучаемый объект описывается линейно-параметризованным уравнением известного вида ■

..УоСЗ)^?)^, С1)

где у0(х)- истинное значение выхода; с*).....

вектор известных базисных функций; rMfy.....вектор

неизвестных параметров.В литературе достаточно хорошо изучена задача оценки неизвестного вектора по данным эксперимента, содержащего опытные значения выходной переменной v( *t) при фиксированных входах , смешанные с аддитивной случайной .как правило нормально распределенной ошибкой 9 . При этом схема опытов задается формулой

y(*t)=y0(x)+et ¿=1.....N (2)

Однако, на практике модель (£) аддитивной случалной нормально распределенной сгаибки часто не соответствует реальной депствтггельности. В частности, ошибки измерений

- ь -

часто имеют ограниченный диапазон, при имитационном моделировании на ЭЕМ и экспертном опросе не всегда обосновано предположение о случайности ошибки. В этих случаях наиболее естественно представление опытных данных в интервальной форме, когда задается диапазон возможных значений опытной величины.

В работах Нортона, Меркурьева, Воицщина, Бочкова и д. р. предложен метод интервального анализа данных и рассмотрена задача оценивании вектора ^ при интервальной ошибке опытов. . При этом данные эксперимента задаются совокупностью шггервальных опытных значений выхода при фиксированных

входам и имеют вид *t. [у~,у*], <=1.....N, где у^, ~

заданные границы выходной переменной. Предполагается, что

v t-1н о)

Решением системы (3) (предполагается, что решение существует) является область о значения оценок параметров Т< (аналог доверительной области в регрессионном анализе):

^eff ; }, (4)

где ¿=1.....N - векторы гршппных значений

выхода; У=1.....т, <=1.....Ю - матрица размера

Н » m - значений базисных функции. Облаять « одновременно является областью возможных значений параметров 7'.

Используя область можно определить множество [у(х)] шггервальных моделей объекта - функций заданного вида, проходящих через все интервальные опытные данные [у~,у*],

i=l.....N. При этом:

[у(3)Ы$-(3>,9+<;5)], (5)

где y~(*)=rain «^(х)-?, y+(x)=max p'CxJ-S - задают границы

возможного истшшого значения у0(х).

Метод шггервального анализа данных и интервальные модели, построенные на его основе, получают все большое признание практиков. Проведенный обзор работ по данному направлению показал, что при построении интервальных моделей по экспериментальным данным не рассматривалась задела оптимального планирования эксперимента. Решение этой задачи позволит повысить точность интервальной модели, а следовательно и качество управления объектом.

В датой главе также рассматривается задача приближения

сложной функции, заданной таблицей *t, у£, t=l.....N, с

требуемой точностью с более простой функцией , т. е.

V 2t (6)

Подобные задачи, в частности возникают, когда в состав разрабатываемой системы входит банк картографических линия и требуется описать эти линии некоторыми гладкими функциями с заданной точностью. Обзор методов приближения таблично-заданных функций позволил выделить методы приближения сплалн-функциями - как наиболее эффективно обеспечивающие заданные условия (6) и требования гладкости приближающей функции f (*, iï). Однако, существующие алгоритмы построения сплайн-функций не позволяют минимизировать число узлов стыковки сплайнов при заданной точности приближения. Для решения данной задачи предлагается использовать метод интервального анализа данных.

Вторая глава посвящена анализу преджазательных свойств интервальной модели.

Основной характеристикой точности предсказания модели является ошибка прогноза при фиксированном входе

определяемая как ширина функционального коридора. (5):

Л^З^Щах ^(xi-^-fflin ï^C?) г?= max î^Cx) ), (7)

SeO s.=n ь 6 «ю p J

p' j

где ¿j - вершины выпуклого многогранника о (области возможных значений параметров модели). Показано, что функция лу(2) сшибки прогноза является кусочной функцией.

Приведена методика анализа преджазательных свойств линейной многомерной интервальной модели в зависимости от расстояния до центра *0 эксперимента и направления z, и получено выражение для определения максимальной ошибки прогноза на гиперсфере радиуса р:

щах Д (8)

г J

где векторы 3*, 3* определяют длину максимальной диагонали области п. Таким образом, если область планирования х - офера радиуса р, то максимальное значение ошибки прогноза линейной модели равно длине максимальной диагонали увеличенной в р раз.

Приводятся пример« изменения точности прогноза для квадратичной интервальной модели с двумя входными

переменными в зависимости от направления и расстояния до центра ¡эксперимента, построенные по результатам имитационного експеримента . Отмечена- сложность анализа щэеджааательных свойств квадратичной модели и показано наличие нескольких точек'максимума функции ошибки прогноза. Предлагается алгоритм определения максимального значения ошибки прогноза на заданной области эксперимента.

В третьей главе рассмотрено планирование насыщенного эксперимента в задачах анализа интервальных данных.

Предполагается: изучаемый объект описывается линейно-параметризованным уравнением (1); имеется возможность

изменять входные переменные *=(.....*п)т в некоторой

ограниченной области а для любого известна предельная абсолютная интервальная ошибка ¿С*); искомый план эксперимента

1=

содержит К=т опытов, т. е. является насыщенным.

По аналогии с регрессионным анализом предложено две постановки задачи нахождения оптимального априорного плана I:

1. Найти план X, обеспечивающий минимальные размеры области « возможных значений параметров д модели (1).

Е. Найти план X, минимизирующий ошибку прогноза, интервальной модели.

Задача оптимального планирования эксперимента как в постановке 1,так и в постановке £ рассматривается как задача, нахождения квадратной матрицы базисных функций Ф, соответствующей плану X.

Для решения задачи планирования в ранках постановки 1 требуется анализ свойств области о при насыщенном эксперименте. С использованием выражения (4) при, N=111 для области о доказаны следующие свойства: 1. Область о является выпуклым симметричным многогранником с вершинами Ф ' где Чу 0=1.....Ет)- векторы составленные из концов интервалов [у^, у ¿1, *=1,...,т; Цегаром симметрии области о является точка 2С= Ф"г ■'?с. совпадающая с МНК оценкой вектора вычисленной по средним интервальным значениям !?с; 3. Область о имеет главных диагоналей, длина которых определяется выражением

[ хч.....Х<п|

I X . . . .V 1 4 т./ » ' ' ' • тп*'

(9)

ij; .....ZV + (9)

где векторы составленные из компонент вида

Показано, что при любом насыщенном невырожденном плане X

вокруг многогранника « можно описать елипсоид

>, СЮ)

проходящий через все вершины п , с центром тяжести >~>с. совпадающим с центром симметрии о. В выражении (10) Г <4.....0 Ч

£■=/ . . . I - известная матрица интервальных ошибок

lo ...:.AJ

опытов =

На основе анализа. сходетв и разлзми между доверительной областью в регрессионном анализе и область» ° в интервальном анализе предложены следующие критерии оптимальности планов интервального эксперимента: ¿л-i

'Е=п>ах i* . ai)

При етом : Kpirrepuñ определяет квадрат длины

максимальной диагонали области о и в этом смысле является аналогом Е- критерия, определяющего u квадрат длины максимальной оси доверительного эллипсоида; 1к-критерия определяет сумму квадратов длин диагоналей о и является аналогом А- критерия, определяющего сумму квадратов длин осей доверительного эллипсоида; -критерий определяет квадрат объема V области ° и является аналогом D- критерия, определяющего квадрат объема доверительного эллипсоида.

Таким образом, план X является соответственно ¡K- ¡ i0- оптимальным, если:

/ (X'brain / , / (X')=min i. '(Х*)= min ¡ (IE)

Б j E A j К l> X

В работе. с использованием выражения (10), получены аналитические выражения дгхя введенных критериев. позволяющие синтезировать оптимальные планы:

*=1.....Zm~' , (IS)

-БРСЕ-СФ-ФТ' -ЕУ, (14)

/„=4"1-с!еи^-(Ф-фт)"' -О, (15)

где Sp( •) и dot( •) обозначают соответственно след и определитель матрицы.

С учетом (13), (14), (1S), а также известных выражений

для А-, D- критериев оптимальности планов регрессионного эксперимента

A=Sp($T-W_i-Ф D=det(<J>T-VT'-<i> )"'. (16)

-f.....О

где W= . г - известная матрица, дисперсий опытов, дока-

0,...'. "

4 ..... хк J

вала теорема:

Теорема. 1. Насыщенные и io- 'оптимальные планы эквивалентны соответственно А- и D- оптимальным насыщенным планам регрессионного эксперимента, если выполняется хотя бы одно из двух условий:

1. Ду-const, о-£= const v ¿=1.....m;

z. - V t-1.....rn .

На основе приведенной теоремы эквивалентности и с использованием существующих каталогов А- и D- оптимальных планов регрессионных экспериментов для полиномиальных моделей второго порядса на гиперкубе построена таблица и tD-оптимальных насыщенных планов интервальных экспериментов.

В рамках постановки 2 задачи планирования эксперимента предложены 1 а- критерии:

f • VSW дуС?)' <17)

X

определяющие при фиксированном плане соответственно среднюю и максимальную ошибку прогноза. Как видно, ¡а- критерии являются аналогами Q- и G- критериев регрессионного эксперимента, минимизирующих среднюю и максимальную дисперсию прогноза соответственно. Насыщенный план I интервального эксперимента будем называть 1 а- и оптимальным, если выполняются соответствующие условия

/в«">чп1п /в. /0(Г>-ш1п (18)

Анализ предсказательных свойств интервальной модели,, построенной по . результатам насыщенного эксперимента, позволил доказать следующую теорему:

Теорема Е.Дпя линейной многомерной модели на гиперсфере

с центром в точке х£ - (0.....0), и оптимальные

напыщенные планы являются эквивалентными.

В виду кусочности функции ошибки прогноза. йу( Jj построение ! и 1 а~ оптимальных планов является затруднительным. В связи с этим рассмотрено приближение

Фужщni ошибки прогноза интервальной модели в виде коридора.

УС*) у(х) у(х)>

где

Д=(,. .. ,лт). Границы коридора (19) являются гладами функция)«. Показано, что в случае р<шноточных опытов функция Ау(х) является константой, т. е. не зависит от плана эксперимента, а выражение для верхней границы ^ ^коридора. (19), полученное с использованием аппроксимации области о эллипсоидом (10), с точностью до постоянного множителя совпадает с выражением для дисперсии прогноза d(x) регрессионной модели при насыщенном эксперименте. Это позволяет при равноточных опытах вместо синтеза и 1 оптималышх планов воспользоваться Q- и G- огтгкмальными насмцешшми планами, приведенными в каталогах планов регрессионного эксперимента, Насыщенные Q- и G- оптимальнее планы в данном случае соответственно обеспечивают

njnCí\(í),<¿) и Ш1П(щах^(?)). .

1 * 1

В данной главе также приводятся npiitepu синтеза и характеристики ¡A-, iD-, ¡а- и iа-оптимальных насыщенных планов интервального эксперимента.

Четвертая глава посвящена вопросам последовательного планирования эксперимента при анализе интервальных ошибок и приближения табличных данных сплайн-функциями с заданной точностью.

Отмечено,что для построения процедуры последовательного планирования требуется анализ интервальных ошибок.

Предложены следующие модели интервальных ошибок : неслучайной неустранимой ограниченной ошибки; аддитивной случайной ошибки с финитным распределением; аддитивной смешанной ограниченной ошибки.

Модель 1. Неслучайная ошибка. &та модель чаще всего возникает при экспертном опросе. им1ггационном моделировании (ошибки округлений), при измерениях с систематической ошибкой, когда в результате проведения опытов нельзя получить истинное значение v0( *t) выходной величины , но возможно указать интервал

y"(xt)<y0(3?.)<y*(5?.) (go)

гарантировано его содержащий. Основным свойством ©той модели ошибки является то, что дублирование опытов при одном и том же наборе входных переменных не приводит к

уменьшению неопределенности отнссигельно истинного значения.

Модель Шесте с тем при измерениях ошибки часто имеют случайный характер. Рассмотрена схема проведения опытов

у = Уе+ е. (£1)

когда ошибка е является аддитивной случайной с финитным распределением плотности вероятности на интервале [-л,&].При д/блировании опытов в этом случае будет получена, выборка Н случайных значений у у, которая порождает выборку случайных

интервалов .....N. ' Так как истинное

значение у0 не меняется во время проведения повторных опытов, то оно принадлежит интервалу полученному в результате пересечения интервалов с^. ы /

= п а, (2£)

Для модели случайной интервальной ошибки доказано •, что при увеличении цтиш N выборки результирующий интервал Бн сжимается в точку, совпадающую с истинным значением у0.

у = у0+ е(+ ег, (£3)

где ег - неслучайная ограниченная ошибка с известным диалабоном возможных значений -л(<е/5д;, ег- случайная ошибка, имеющая некоторое распределение на известном интервале [ , истинное значение у0 принадлежит

интервалу [у-л,у+л]. л=Д(+лг. При дублировании опытов как и для модели случайной интервальной ошибки истинное значение . лежит на пересечении случайных выборочных интервалов с!у , однако с увеличением числа опытов результирующий интервал всегда утоляется конечным и в пределе стремится к интержалу

■Для введенных моделей интервальных ошибок был проведен анализ асимптотических свойств области возможных значений параметров о. Показано, что при неслучайной неустранимой шггервальной ошибке (модель 1) с увеличением числа опытов N область о не уменшается. При случайной интервальной ошибке (модель ?.) область о с увеличением тесла опытов сужается и в еоимптотик*- спремшея к нотшшому вектору Г* п&рометров .

В случае проведения опытов с» смешанной шггервальной' аддитивной ошибкой (модель 3) область п содержит истинный вектор ¡3, однако при увеличении числа опытов стлигвается к области конечных размеров, обусловленной налгакм неустранимой составляющей ошибки.

Таким образом, последовательное плалтгров-зизге интервального эксперимента имеет «шел только в том случае, когда опыты содержат интервальные ач>"1?лгную или смешанную ошибки. В работе дня этих моделей разработала процод/{а оптимального последовательного гшашгровмкя шггсрвальнсго эксперимента, каждый шаг которой включает анализ результатов предыдущих опытов, оптимальный выбор последующей опытноп точки и проведение самого опита. На каждом Н+1 шаге процедуры опытная точка выбирается в сосггветствга! со след/ющ™

правилом

агдщах а (24)

В задаче приближения таблично ааданнсл (, у (, I =1.....Н)

функции у(*) сплайн-функциями известной структуры .

З^кГ, >=1.....|,й (Е5)

требуется обеспечить: заданную гладкость р<т приближающей сплайн-функции, т. е. условия отковка сплайнов в узлах

dp(f/z,.)) tAr^Cz,))

(26)

минимальнее число M узлов z^ стыковки сплайнов и требуемую точность приблгаения /:1

у.-е^Сх^-З V ¿=1.....N, J= 1.....М-1 (27)

Условие (£7) обеспечивает прохождение всех сплайнов внутри шггервалов [У(,У*], где yi=yt"et> Данная задача

решалась с использованием метода интервального анализа данных. На основе вычислительной схемы интервального анализа предложена последовательная процедура нахождения сплайнов (25) при миншальном числе узлов стыковки z^. и выполнении условий (26) и (27). Процедура основана на последовательном увеличении числа, условия (27) (числа интервальных данных) и и нахождении области " параметров сплайна (2S).

Пятая глава содерягг материалы, связанные с применением метода интервального анализа данных к обработке картографической информации.

Для систем навигации, использующих картссличительные методы и устройства отображения текущего положения на фоне карты местности с целью повышения точности навигации, возникает проблема минимизации объема машинной памяти, предназначенной для хранения картографических данных.

В работе' описана технология получения исходной картографической информации путем обработки аэро- и космических фотоснимков. Преобразование картографических данных в цифровую форму осуществляется с помощью различных модификаций оггтико-механических развертывающих устройств (ОМРУ).К наиболее существенному искажению информации на разных этапах ее обработки приводят следующие ощибки: сшибки пря получении фотоснимков местности, связанные с различными помехами и нелинейностями среди в оптическом диапазоне волн; ошибки элалого-цифрового преобразования на стадии ввода с помощью ОМРУ; методологические ошибки на этапе первичной обработки; ошибки округлений при вычислениях на ЭВМ.

На основе анализа ошибок, возникающих при получении и обработке картографической информации, предложено для описания исходных картографических данных использовать смешанную модель аддитивной интервальной ошибки С 23), которая включает две составляющие неслучайную ограниченную и случайную с финитным распределением ошибки.

Задача сжатия и компактного представления картографических данных, заданных в интервальной форме, сформулирована как задача приближения данных сплаЯн-Функциями с заданной точностью.

Структура сплайн-функций для описания линий равных высот рельефа местности была выбрана с использованием данных, полученных в ГКО' "КАРТОГРАФИЯ" при разработке цифровых карт местности.

Для решения задачи сжатия картографической информации использовалась последовательная процедура нахождения сплайнов, рассмотренная в четвертой главе.

На рис. 1 приведен участок топографической карты с выделенной линией ¡равного уровня рельефа местности. Таблица 1

i Хс y¿ ¿ y¿ У i

1 0 9,4 10,4 26 5 3,66 4,66 •

2 С,2 9,55 10,55 27 5,2 4,68

3 0,4 S,4 10,4 28 5.4 3,71 4.71

4 0,6 9,28 10,28 29 0 ,6 3 ,ÓD 4,65

5 0,8 9|2 10,2 30 5,8 3,63 4,63

6 1 9,05 10,05 31 5 3,55 4,55

7 1,2 8 i 6 9,6 32 6,2 3,31 4,31

8 1,4 7,Ü 8,8 33 6,4 2,95 3,95

9 1,6 6,8 7,8 34 5,6 r) ^ ч 3,51

10 1,8 6 7 35 6,6 2,42 3,42

11 2 5,2 6,2 35 7 2,35 3,3o

12 2,2 4,65 5,65 37 7,2 2,21 3,21

13 2,4 4,25 5,25 38 7,4 2,05 3,u5

14 2,0 4 5 3a 7, o o.-. J. , W ^ 2,95

15 2,8 3,65 4,85 4j 7,8 1,75 2,75

16 3 3,75 4,75 41 8 1 ,ol 2,51

17 3,2 3, G2 4,62 42 8,2 1,25 2,25

18 3.4 3,58 4,58 43 8,4 0,S4 1,94

19 3,6 3,56 4,56 44 b, ù 0,76 1,76

20 3,8 3,55 4,55 45 8,8 0,6 1,6

21 4 3,56 4,56 46 9 ■ 0,4 1,4

22 4,2 3,56 4,56 47 9,2 0 1

23 4,4 3,57 4,57 48 9,4 -0,3 0,7

24 4,6 3,58 4,58 49 9,6 •0,36 0,64

25 4,0 3,6 4.6 50 9,8 -0,46 Q,o 4

ТЛБДЩА 2

J OÍ 6>t óí

1 10 ■ 2,45 -3,4 0,65 0

2 7,2 - 1,267 0,05 0,017 3,2

3 -55,5 25,55 -3,5 ^ ,10 5,6

4 — — — 10

содержит интервальные данные, задающие выделенную линию. Таблица 2 получена в результате пршенента алгориггма сжатия картографически данных и содержит коэффициенты ^ , и узлы стыковки г . сплайнов. задающих участок линии равных высот. Дзипке таблицы 1 и таблицы 2 подтверждают высокую степень сжатия информации.

Разработанное программное обеспечение позволяет: вводить и корректировать картографические данные; проводать' их сортировку и упорядочивание; формировать таблицы исходных данных в интервальной форме с учетом принятой модели интервальной ошибки , проводить их сжатие и представлять сплайн функциями; строить модели рельефа! местности.

Методика и алгоритм сжатия картограф! шеских данных успешно применялся в опытно-конструкторских работах по созданию хранению и доставке карго1твф№1еской информация и били непосредственно внедреня на предприятиях: ЖО "КАРТОГРАФИЯ", Львовский НИГГЙ, ВЛ НТВ г.Москва, о чем свидетельствуют документы , приведенные в приложении диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИСШТАВД01Ш0И РАБОТЫ.

1. Для линейной многомерной интервальной модели получено выражение для определения максимальной ошибки прогноза на гиперсфере заданного радиуса. Приведен алгоритм для оценки максимальной на области «ссперименга ошибки прогноза квадратичной модели. Показано, что при насыщенном эксперименте область п возможных значений параметров является правильным, симметричным, вьшуклым многогранником с центром симметрии,совпадающим с М1Е оценкой, вычисленной по средним интервальным значениям огоггов.

2. Па основе анализа предсказателышх свойств интервальной модели и свойств области о при натащенном эксперименте, подложены и определены /д-,1а- и 1д-критерии оптимальносш планов насыщенного интервального эксперимента, задающие соответственно сумму квадратов длин диагоналей, гсвадат объема, квадрат длины максимальной диагонали области п, среднюю и максимальную ошибку прогноза модели на области планирования.

3. Доказала (эквивалентность между 1А-,1Г.~ оптимальными насыщенными планами шгтервалытого и соответственно А- , I)-

оптималышш! насыщенными юшнш регрессионного эксперте :ен-тов. Для лгадайной многомерной модели на. гиперсфере деиддонг эквивалентность и 'оптималымх настршск штанов.

4. Для насыщенного эксперимента по::ан.'а>о приблкетлте функции ошибки прогноза в виде кододорг и доказала эквивалентность 0- .0- оптамальннх наскцгяавк планов регрессионного эксперимента, планам 'чэтваанрдссдем соответственно среднее и максимально» ка области планирования значение верхней гра ада коридора. На осяорэ этого предложено вместо I и ? ^-огтшътътх платав использовать в- и 0- оптимальные насыщенные пжшя рггрее-сионного эксперимента.

5. Составлена табягаг1 гл~ и оптшялншх каски;е-нп2£< планов для полиномиальных моделей второго порядка на гиперкубе. Приведены прчтмеры синтеза стямгшавс планов интервального эксперимента.

6. Исследованы: модель неслучайной шустрашя-юй сгрази-ченной ошибки; модель случайной сшиб!-:.н с финитным разделением; смешанная модель'интервальной ошибки. Пок.чгано .что при неустранимой ошибке д/блироваше опытов не игме-тжт кггервал неопределенности относительно истинного неизвестного значения. При случайной интервальной оси¡йсе утеличокие чизла слотов Н в фиксированной точке обеспе'К5вяет сужение интервала. ^.гарантированно содержадрго истинное снэч^ей? у0 огаггязн веягап-нн и при И—*» , >у0. В случае емета-ннои клъ'рвальнои модэял дублирование частично сужает гаггеррал неогргделеннсстп ->н.

7. Приведены асимптотические своиатва области воикзодк значений параметров о при разных моделях интервальных оыгЗок опытов и показана вогможность уменьшения ее? размеров путем повторных опытов в с-луч-е слученной или смедгннсй интервальных ошибок. Для этих типов моделей шибок разработан алгоритм оптимального паследорателъного пячнирования ннгер&а-льного эксперимента. В качестве критерия оотимяльности вкбрано максимальное значение ошибки пропята на области планирования.

8. ■ Показана возможность решети ¡задачи приближения та.бл!гшнх данных сгаки'щ-фунлциями с заданной точностью методом интервального анализа данных . Предложена процедура последовательного нахождения сплайнов и их узлов из условш минимизации общего числа. у&лов.

- 2С -

9, Разработанные методы били использованы при анализе ошибок, возникающих в процессе получения картографических данных, а также при решении задачи сжатия и компа.кггного описания этих данных с целью минимггзации объема памяти, выделяемой для ie< хранения. Алгоритм сжатия картографических данних и разработанное программное обеспечение применялись в оготю-кожяр>кторских работах по созданию хранению и доставке цифровых проблемно-ориентированных каргт местности. При этом была подтверждена их работоспособность и высокая эффективность.

Основные результаты дносерггации отражены в следующих публикациях.

1. Вощинин А. П., Дывак H. II. Планирование эксперимента при интервальном анализе данных//1У Воесоюзная конференция "Перспективы и опыт внедрения статистических методов в, АСУ ТП": Тез. докл. -Тула. - 1990. -ч. 1. -с. 90-91.

2. Вощинин А. П. , Дывак Н. П. , Почхуа 3. Г. , Ким По Пхир. Интервальные метода в задачах планирования эксперимента, анализа и сжатия данных//Воесоюзная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики": Докл. -Саратов. - 1991. -том 3. -с. 288.

3. Дывак Н. П. Интервальные модели ошибок в прикладных задачах//Воесоюзная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики": Докл. -Саратов. - 1991. -тем 1. -с. 70-75.

4. Вощинин А. П., Дывак П. П. , Симов С. Ж. Метод интервального анализа данных в приложении к обработке картографической информации-'--' I Междугородная конференция "Информационные технологии в анализе изображений и распознавании образов": Докл. - СССР, Львов. - 1990. -том 2.

с. 391-3S6 (на английском языке).

5. A.C. H 1462404, (СССР). Устройство отображения траектории объекта на экране электронно-лучевой трубки/ И. А. . Балягаш, Н. П. Дывак, И. Г. Загородний, С. В. Озерковский. Опубл. в В. И. 1989, N8.

|lnViil<'nm> tv ni1'!:)*" П. . .1 /¿S г"1':|1,:

Л 'О зжа* ^^ веспмип.

тиш»|.аф,1» M 411. Kfn

.ipwnui.tR, 13,