автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка методов исследования структурной идентифицируемости моделей в пространстве состояний

На правах рукописи

Авдеенко Татьяна Владимировна

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ СТРУКТУРНОЙ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ МОДЕЛЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

Специальность 05.13.18 - "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Новосибирск - 2003

Работа выполнена на кафедре программных систем и баз данных Новосибирского государственного технического университета

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор Горский Владимир Григорьевич Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Воевода Александр Александрович доктор технических наук, профессор Котюков Владислав Игоревич доктор технических наук, профессор Кочегуров Владимир Александрович

Ведущая организация:

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР), г. Томск

Защита состоится 17 сентября 2003 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.06 в Новосибирском государственном техническом университете по адресу: НГТУ, пр. К. Маркса, 20, г. Новосибирск, 630092

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета

Автореферат разослан " 3 " [/С^ОЛ^С- 2003 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.173.06

к. т. н., доцент Чубич В.М.

// О!

' / ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. С начала семидесятых годов за рубежом и в нашей стране стало развиваться новое научное направление, связанное с построением математических моделей по экспериментальным данным - анализ структурной идентифицируемости моделей. Подобные модели обычно формируются на основе известных законов или теоретических представлений о механизме функционирования исследуемой системы, в силу чего они имеют фиксированную структуру, определенную с точностью до неизвестных параметров, подлежащих отысканию из эксперимента. Задачи, связанные с их определением, называют обратными задачами математического моделирования.

Характерная особенность обратных задач состоит в том, что их решение нередко оказывается неединственным. Неединственность решения может быть связана не только с малым объемом экспериментальных данных или неудачным выбором точек плана эксперимента. Причина может быть более принципиальной. Неоднозначность оценок параметров может быть обусловлена отсутствием согласия между сложностью модели и числом содержащихся в ней параметров, с одной стороны, и ограниченностью информации о параметрах, которую можно извлечь из эксперимента, с другой стороны.

Цель априорного анализа структурной идентифицируемости заключается в определении возможности однозначного оценивания неизвестных параметров модельной структуры по данным предполагаемого идеального эксперимента, когда отсутствуют ошибки в уравнениях наблюдения и состояния (априорно), и независимо от конкретных значений параметров (структурно). Очевидно, что априорная идентифицируемость построенной модельной структуры является необходимым условием корректности последующей процедуры оценивания параметров по данным реального эксперимента.

К началу 90-х годов было разработано множество методов и подходов к исследованию идентифицируемости линейных и нелинейных моделей в пространстве состояний. Сложилось мнение, что основы теории полностью разработаны (во всяком случае, для линейных систем). Невозможность получения результата исследования моделей сравнительно больших размерностей объяснялась несовершенством вычислительной техники. Создалась иллюзия, что стоит увеличить мощность компьютера, и все проблемы будут решены.

Однако бурное развитие вычислительной техники в последнее десятилетие не устранило препятствий, возникающих на пути разработчиков моделей в пространстве состояний. Причина заключается в том, что анализ структурной идентифицируемости требует вычислений в символьном виде, так как предполагает исследование одновременно во всех точках параметрического пространства (на этапе построения модельной структуры числовые значения параметров неизвестны). Существующие на сегодняшний день методы проверки идентифицируемости даже для линейных систем требуют очень громоздких символьных вычислений, с которыми не справляются современные версии систем компьютерной алгебры, установленные на современных мощных компьютерах. В

результате размерность моделей, которые могут быть исследованы с использованием существующих методов анализа идентифицируемости, сравнительно мала.

Необходимость использования символьных вычислений при анализе идентифицируемости особенно очевидна в случае, когда модель оказывается локально или глобально неидентифицируемой. В этом случае только с использованием аналитических преобразований можно получить некоторую качественную информацию, необходимую для элиминирования неидентифицирусмости — преобразования исходной модельной структуры с целью улучшения показателей идентифицируемости.

Целью работы является создание комплексного подхода к построению идентифицируемых модельных структур в пространстве состояний, обеспечивающего исследователя эффективными методами анализа структурной идентифицируемости, а также способами преобразования неидентифицируемых модельных структур с целью элиминирования неидентифицируемости.

Для достижения поставленной цели в диссертации ставятся и решаются три основные задачи. Первая задача заключается в разработке таких критериев (условий) идентифицируемости, проверка которых требует наименее громоздких аналитических вычислений. Вторая задача состоит в разработке специализированных методов и алгоритмов компьютерной алгебры, эффективных при проверке предложенных критериев идентифицируемости. Актуальность этой задачи обусловлена тем, что встроенные в компьютерные системы алгоритмы ориентированы на самый широкий класс матриц и нелинейных алгебраических систем уравнений, и поэтому не всегда эффективны в конкретных условиях. Третья задача заключается в разработке эффективных способов элиминирования локальной и глобальной неидентифицируемости модельных структур.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории систем, теории идентификации, теории неявных функций, линейной и компьютерной алгебры.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Установлены пределы эмпирической информации при идентификации системных параметров естественно параметризованной модельной структуры. Предложен наиболее удобный для формулировки условий идентифицируемости способ введения априорной информации в виде системы линейных ограничений на системные параметры.

2. Доказаны теоремы, дающие необходимое и достаточное условие локальной идентифицируемости и достаточное условие глобальной идентифицируемости (условия ранга для локальной и глобальной идентифицируемости) системных параметров модельной структуры общего вида.

3. Выделены три подкласса модельных структур, являющихся подмножествами исходного общего класса и широко используемых в практических приложениях. При этом удалось существенно понизить размерность матриц иден-

тифицируемости, и тем самым упростить проведение анализа в символьном виде. Для каждого из классов получены условия порядка - неравенства, задающие минимально необходимое для обеспечения идентифицируемости число ограничений на системные параметры.

4. Для четырех классов модельных структур получен общий вид системы детерминирующих уравнений для поиска параметрических функций, допускающих локальное оценивание (ПФДЛО), на основе которого может быть сделан вывод о локальной идентифицируемости отдельных параметров модели неполного ранга. Предложены методы элиминирования локальной неидентифицируемости, не требующие вычисления базиса ПФДЛО.

5. Доказано необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости, являющееся результатом дальнейшего развития условия ранга, являющегося лишь достаточным. Разработан эффективный алгоритм компьютерной алгебры проверки условия ранга (достаточного условия) для глобальной идентифицируемости. Результатом работы алгоритма является множество соотношений, для которых достаточное условие глобальной идентифицируемости не выполняется.

6. Разработан метод нахождения истинных сепараторов - гиперповерхностей, разделяющих параметрическое пространство на непересекающиеся множества, каждое из которых содержит одно и только одно решение задачи параметрической идентификации, на основе СГИ-матрицы. Предложены способы использования истинных сепараторов для элиминирования глобальной неидентифицируемости.

7. Разработано необходимое и достаточное условие дискриминируемое™ конкурирующих модельных структур с числовыми матрицами управления и наблюдения.

8. С использованием разработанного подхода доказано, что полностью замкнутые цепные модели являются глобально идентифицируемыми для любой размерности, а полностью замкнутые звездные модели являются лишь локально идентифицируемыми для любой размерности модели. Для моделей звездного типа получена зависимость числа решений задачи параметрической идентификации от размерности модели.

9. Для моделей камерного типа, допускающих только балансовые ограничения, разработаны необходимые и достаточные условия идентифицируемости, которые ввиду простоты их использования были названы условиями порядка. Произведена классификация исключающих ограничений. По степени влияния на идентифицируемость модельной структуры исключающие ограничения отнесены к одной из четырех групп. Получены условия независимости ограничений внутри каждой из групп. Для моделей с исключающими ограничениями сформулированы уточненные условия порядка, задающие минимально необходимое для обеспечения идентифицируемости количество ограничений, не являющихся исключающими.

10. Построен электронный каталог сведений об управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости трехкамерных моделей со стандартными число-

выми матрицами управления и наблюдения. Предложенная иерархическая структура каталога позволяет быстро найти информацию о требуемой модельной структуре.

На защиту выносятся:

1. Условия ранга для локальной и глобальной идентифицируемости модельных структур четырех классов: моделей в пространстве состояний общего вида, моделей со стандартными параметризованными матрицами управления и наблюдения, моделей с произвольными числовыми матрицами управления и наблюдения, моделей со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения.

2. Условия порядка (необходимые условия идентифицируемое 1 и) для трех последних из перечисленных в п.1 классов модельных структур, а также для модельных структур, допускающих исключающие ограничения на элементы матрицы состояния.

3. Метод построения системы детерминирующих уравнений для поиска параметрических функций, допускающих локальное оценивание, применительно к моделям неполного ранга. Методы элиминирования локальной неидентифицируемости.

4. Необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости модельных структур общего вида. Алгоритм проверки достаточного условия глобальной идентифицируемости (вычисления соотношений, для которых это условие не выполняется).

5. Метод анализа глобальной идентифицируемости, базирующийся на построении истинных сепараторов параметрического пространства. Способы элиминирования глобальной неидентифицируемости с исиольльзованием истинных сепараторов.

5. Необходимое и достаточное условие дискриминируемое™ модельных структур и разработанный на его основе метод анализа дискриминируемое™.

6. Условия идентифицируемости модельных структур камерного типа с исключающими и балансовыми ограничениями на элементы матрицы состояния.

7. Электронный каталог сведений об управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости трехкамерных модельных структур.

Практическая ценность и реализация результатов исследования. Разработанный в диссертации подход может найти применение при моделировании технических, физических, химических, биологических и пр. явлений и процессов, везде, где используются модели в пространстве состояний. Разработанные в рамках подхода методы, алгоритмы и комплекс программ позволяют наиболее эффективным и целенаправленным способом построить идентифицируемую модельную структуру, удовлетворяющую необходимым априорным ограничениям. Использование программного обеспечения, реализующего разработанный подход, позволяет исследовать структурные свойства моделей существенно больших размерностей (анализ локальной идентифицируемости

удается проводить для моделей размерности 20-25, анализ глобальной - для моделей размерности до 10)

С использованием разработанного подхода была исследована идентифицируемость моделей технических систем: системы стабилизации летательного аппарата и класса систем, в которых матрицей состояния является матрица Фро-бениуса (системы стабилизации летательного аппарата по тангажу, системы управления перегрузкой летательного аппарата, различных следящих систем: с гибкой и жесткой обратной связью, с асинхронным двухфазным двигателем и т.п.). Получены условия, при которых модельные структуры являются глобально идентифицируемыми. В диссертации проведен анализ идентифицируемости ряда практически значимых кинетических (химическая кинетика и фармакоки-нетика) модельных структур и предложены способы элиминирования локальной или глобальной неидентифицируемости. Построен каталог сведений о структурных свойствах моделей камерного типа. Эффективность подхода наглядно подтверждается сравнением с другими наиболее широко известными методами по таким двум критериям, как время счета и принципиальная возможность получения результатов в символьном виде.

Разработанные алгоритмы и программы, а также каталог структурных свойств камерных моделей, вошли в комплекс математического моделирования камерных фармакокинетических моделей, разрабатываемый в Государственном НИИ Органической Химии и Технологии (г. Москва). Результаты проведенных исследований используются соискателем в курсах лекций «Методы идентификации систем» и «Математические методы планирования эксперимента», читаемых для магистрантов факультета прикладной математики и информатики Новосибирского государственного технического университета, а также при выполнении дипломных проектов и при подготовке кадров высшей квалификации (руководство аспирантами).

Диссертационная работа выполнялась в рамках тематического плана по заданию МО РФ на 1999-2001 гг. «Моделирование стохастических статических и динамических объектов на основе наблюдений» (НГГУ. 1.3.99), на 2002-2005 гг. «Математическое моделирование многофакторных объектов на основе наблюдений» (НГГУ. 1.1.02), а также являлась частью исследований по федеральной целевой программе «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки» 1997-2001 гг.

Проведение диссертационных исследований было поддержано грантом МО РФ по фундаментальным исследованиям на 2001-2002 гг. «Разработка методов анализа идентифицируемости и дискриминируемое™ модельных структур в пространстве состояний» (научный руководитель Авдеенко Т.В., шифр гранта Е00-2.0-9).

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, симпозиумах и конгрессах: III Всесоюзная конференция «Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов» (Гродно,

1988 г.); VI Всесоюзная школа-семинар «Применение математических методов для описания и изучения физико-химических равновесий» (Новосибирск, 1989); IX Всесоюзная конференция «Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях» (Москва, 1989 г.); Международная конференция «Нестационарные процессы в катализе» (Новосибирск, 1990 г.); И, IV и V Международные конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 1994 г., 1998 г., 2000 г.); Российско-Корейские Международные Симпозиумы "Научные основы высоких технологий" КОЬШв '99, К01Ш5 '2000, КСЖШ '2001 (Новосибирск, 1999 г.; Ульсан, Корея, 2000 г.; Томск, 2001 г.); Международный Конгресс по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000 г.); XIII, XIV, XV Международные научные конференции "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-13, ММТТ-14, ММТТ-15 (Санкт-Петербург, 2000 г.; Смоленск,

2001 г.; Тамбов, 2002 г.); 15 Всемирный Конгресс ШАС (Барселона, Испания,

2002 г.); II Международная Конференция "Идентификация систем и задачи управления" ЗЮРЯО'ОЗ (Москва, 2003).

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в ведущих рецензируемых журналах из перечня ВАК, а также в трудах международных конференций, симпозиумов и конгрессов. Всего по результатам диссер- I тации опубликовано более 40 печатных работ. В автореферате приведены 29 основных публикаций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных источников из 182 наименований. Объем работы составляет 322 с границы основного текста, включает 23 рисунка, 2 таблицы. В приложении приведено описание программного комплекса, реализующего подход, разработанный в диссертации, а также документы, свидетельствующие о практической реализации результатов исследований и разработок автора.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель и задачи исследования, определена научная новизна и практическая ценность работы, дана общая характеристика полученных результатов.

Глава 1. Анализ состояния проблемы идентифицируемости

Цель данной главы состоит в том, чтобы дать представление о современном состоянии теории идентифицируемости, обосновать поставленную цель исследования и сформулировать основные задачи диссертационной работы.

В первом разделе приводится обзор имеющихся зарубежных и отечественных публикаций по теме исследования. В результате сформулировано представление о современном состоянии проблемы, отмечены проблемы, возникающие при анализе идентифицируемости линейных и нелинейных систем.

Основной проблемой при практическом использовании существующих методов анализа идентифицируемости моделей является сложность необходимых для проведения анализа символьных вычислений, что зачастую делает невозможным даже получение односложного ответа на вопрос, идентифицируема или нет модельная структура, не говоря уже об определении типа идентифицируемости отдельных параметров и извлечении другой полезной информации.

Далее определены понятия априорной и апостериорной идентифицируемости. Выделены основные типы идентифицируемости параметров и модельных структур: структурная локальная идентифицируемость (СЛИ), структурная глобальная идентифицируемость (СГИ), структурная неидентифицируемость (СНИ) и ее разновидности структурная локальная неидентифицируемость (СЛНИ) и структурная глобальная неидентифицируемость (СГНИ).

Выделены три принципа, на которых базируется большинство известных методов анализа идентифицируемости: принцип чувствительности, принцип достаточной характеристики и принцип генерирования эквивалентных моделей. Обсуждается связь идентифицируемости с планированием эксперимента.

Описаны четыре базовых метода анализа идентифицируемости линейных динамических моделей в пространстве состояний: метод матриц Маркова, метод преобразования Лапласа, метод модальных матриц и метод преобразования > подобия. Проведен анализ эффективности перечисленных методов, в результа-

те которого установлено, что два последних метода при прочих равных условиях генерируют менее сложные аналитические вычисления. Однако метод модальных матриц применим лишь к довольно узкому классу линейных камерных моделей со стандартными матрицами управления и наблюдения. Метод преобразования подобия, напротив, може г применяться для модельных структур самого общего вида. Именно этот метод был выбран в качестве базиса для построения комплексного подхода к анализу идентифицируемости линейных моделей в пространстве состояний, разработанного в диссертации. Однако в том виде, в котором данный метод существует, он имеет ряд недостатков, не позволяющих полностью использовать его преимущества.

Во-первых, использование метода не предусматривает раздельного анализа локальной и глобальной идентифицируемости, и в любом случае предполагает решение системы алгебраических уравнений (системы уравнений подобия). Получается, чго если решение системы уравнений подобия не может быть найдено, то мы не можем ответить на вопрос не только о глобальной, но и о локальной идентифицируемости модели. Известно, однако, что анализ локальной идентифицируемости может быть выполнен гораздо более простыми способами (например, вычислением ранга матрицы Якоби).

Во-вторых, при использовании метода преобразования подобия мы получаем систему уравнений достаточно простого вида, но с очень большим числом неизвестных, что не слишком благоприятно для ее решения общеизвестным методом решения алгебраических систем - методом базисов Гребнера. Поэтому актуальна разработка более эффективных методов компьютерной алгебры для решения системы уравнений подобия.

В третьих, указанный метод в первоначальном виде не предлагал никаких способов использования результатов анализа для элиминирования неидентифицируемости, подобных способу построения параметрических функций, допускающих локальное оценивание, разработанному учеными научной школы Горского В.Г. и Спивака С.И. для методов, основанных на принципе достаточной характеристики (метод матриц Маркова и метод преобразования Лапласа).

В результате проведенного в данной главе исследования сформулированы основные задачи диссертационной работы, решению которых посвящены следующие главы.

Глава 2. Условия ранга и порядка для локальной и глобальной идентифицируемости

Данная глава посвящена разработке условий идентифицируемости модельной структуры с естественной параметризацией. Предложенные условия локальной и глобальной идентифицируемости составляют основу подхода, разработанного в диссертации.

Вводится класс линейных динамических моделей в пространстве состояний, представляемых с помощью следующей системы дифференциальных уравнений:

щв): \~х{1)=А{в)х{1) + В(в)и(г), *(0) = 0, (21)

Ь<О = С(0)х(О + О(*МО.

где / — непрерывное время, хеИ", ие.1АсЯк, уеЯт - векторы состояния, управления и наблюдения (Ы- множество произвольных измеримых ограниченных функций), в е П - вектор неизвестных параметров, подлежащих оцениванию, А е Я"'"1, В 6 Я""*, Се Л"""1 - матрицы состояния, управления, наблюдения, Обйих'. Модели в пространстве состояний позволяют учитывать априорную информацию об исследуемом процессе в виде естественных законов (например, законов сохранения), записываемых в форме обыкновенных дифференциальных уравнений. Параметры таких моделей имеют физическую интерпретацию.

Глава начинается с рассуждения о выборе параметризации модельной структуры (зависимости элементов матриц от параметров в). Хотя модели в пространстве состояний строятся на основе некоторых законов, и интерес для исследователя представляют параметры, имеющие конкретный физический смысл, в диссертации проводится обоснование выбора естественной параметризации, при которой неизвестными параметрами являются системные параметры - элементы системных матриц. Такой выбор имеет ряд преимуществ. Во-первых, он позволяет существенно снизить размерность матриц в получаемых условиях идентифицируемости. Во-вторых, при выборе системных параметров мы получаем билинейную структуру уравнений в системе уравнений подобия, и, как следствие, линейную зависимость матриц идентифицируемости

ю

от параметров, что кардинально уменьшает объем необходимых символьных вычислений при анализе идентифицируемости. В-третьих, такой выбор не исключает возможности анализа идентифицируемости моделей самого общего вида, когда системные параметры являются нелинейными функциями исходных параметров. Для реализации этой возможности мы предлагаем двухшаго-вую процедуру, на первом этапе которой производится анализ идентифицируемости системных параметров с использованием общей методологии, разработанной в настоящей диссертации, после чего ставится дополнительная задача восстановления физических параметров из идентифицируемых системных параметров.

Введем наиболее общий из рассматриваемых в данной работе классов модельных структур с естественной параметризацией

Щх). \~Х{() = АХ(1) + Ви(1), *(0) = 0,

[;К0 = С*(0 + £>«(0,

где « - вектор системных параметров размерности N = п(п + к + т) + тк:

(2.2)

'Г С тЛ 4} № (гТЛ Ч- ГАП

= в А = лТ Аъ , 5 = в1 , С = С1 о1

с

Д Ат Аг, ст Л-,

А,., В,., С,, и 2?,-. - обозначение для / -ой строки соответствующих матриц.

В диссертации показано, что для модели (2.2) эмпирическая (апостериорная) информация имеет пределы (недостаточна) для однозначного определения вектора системных параметров . Дополнительная априорная информация может быть представлена в виде системы ограничений на вектор системных параметров. Предлагается наиболее удобный для включения в систему уравнений подобия способ представления ограничений на элементы вектора л:

Г« = Г°, (2.3)

где Г и Г° - числовые матрица и вектор линейных независимых ограничений (Г = г ), г - число ограничений.

Определим вектор независимых системных параметров р, состоящий из N - г элементов вектора 5. Такой вектор может быть получен из системы ограничений (2.3) различными способами.

При сделанных обозначениях в диссертации доказаны следующие результаты.

Теорема 2.1 (условие ранга для локальной идентифицируемости моделей общего вида). Для того чтобы модельная структура (2.2), оцениваемыми параметрами которой являются элементы системных матриц А, В, С и С, была структурно локально идентифицируемой (СЛИ) при ограничениях на системные параметры вида (2.3) и выполнении условия структурной управляемо-

г8ГХ(р) = п\ где Х(р) =

(2.4)

сти и наблюдаемости, необходимо и достаточно, чтобы почти для любого век тора р (за исключением точек множеств нулевой меры) выполнялось условие

А(р)®/„-/„®АГ(р) -1„®Вт(р) С(р)®1„ О

зависимость от р означает, что элементы матриц А, В и С выражены через независимые элементы вектора системных параметров.

Следствие 2.1 (условие порядка моделей общего вида). Необходимым условием СЛИ модельной структуры, определенной в теореме 2.1, является:

Г>Г

(2.5)

Результат (2.5) достаточно очевиден и выделяется здесь в целях обеспечения единства с приводимыми далее условиями порядка для подклассов модельных структур, являющимися нетривиальными результатами.

Теорема 2.2 (условие ранга для глобальной идентифицируемости моделей общего вида). Для того чтобы модельная структура, определенная в теореме 2.1, была структурно глобально идентифицируемой (СГИ), достаточно, чтобы условие

ГА(р*) ®1„-1„

^ГХ = п , где X

)АТ(Р)

-]„®Вт{р) С(р*)®1„

О

(2.6)

не выполнялось лишь для векторов р и р , принадлежащих множествам нулевой меры в параметрическом пространстве.

Матрицы ГХ и ГХ* в условиях ранга (2.4) и (2.6) назовем матрицами локальной и глобальной идентифицируемости (СЛИ и СГИ матрицами) соответственно. Заметим, что СЛИ и СГИ матрицы связаны следующим образом:

гх = гх*| , . \р =р

Отметим основное отличие между матрицами ГХ и ГХ . Элементы матрицы ГХ являются функциями элементов одной точки р параметрического

пространства, являющихся независимыми. Элементы же матрицы ГХ являются функциями двух точек р и р* параметрического пространства, между компонентами которых имеются функциональные зависимости. Фактически, при

проверке условия (2.6) необходимо отыскать соотношения, связывающие р и * *

р , при выполнении которых ранг матрицы ГХ меньше числа ее столбцов.

Если подобные соотношения существуют, то достаточное условие глобальной идентифицируемости считается невыполненным.

В силу указанного различия между СЛИ и СГИ матрицами следует и различие в способах проверки соответствующих условий идентифицируемости. Так, условие локальной идентифицируемости может быть проверено с использованием стандартных процедур вычисления ранга символьной матрицы, имеющихся в любой системе аналитических вычислений. Эти процедуры не

годятся для вычисления ранга матрицы ГХ (в силу зависимости от двух точек *

р и р ). Непосредственный способ проверки условия теоремы 2.2 дает использование следующего утверждения.

Утверждение 2.1. Предположим, что модельная структура, определенная в теореме 2.2, является управляемой, наблюдаемой и локально идентифицируемой (удовлетворяет условию (2.4)). Тогда для того, чтобы она была СГИ, достаточно, чтобы в разложении

с1е1[(Г*У ГА'* ] = П ^ МР* № (Р* > Р) (2-7)

/

не содержалось множителей вида Щ(р ,р).

Факторизация определителя (2.7) является конструктивным, но неэффективным способом проверки достаточного условия СГИ. Поэтому для проверки этого условия в главе 4 разработаны более эффективные методы компьютерной алгебры.

В диссертации определены три подкласса модельных структур, широко используемых в практических исследованиях и являющихся подмножествами общего класса, определенного системой (2.2). Учитывая ограничения, определяющие каждый из рассматриваемых подклассов модельных структур, нам удалось существенно понизить размерность матриц локальной и глобальной идентифицируемости по сравнению с общим случаем, и, следовательно, получить условия идентифицируемости более простого вида.

Как следствие, для каждого из рассмотренных классов были получены условия порядка - неравенства, задающие минимально необходимое число ограничений, которые могут оказаться весьма полезными на начальном этапе формирования идентифицируемой модельной структуры.

Для всех рассматриваемых далее классов модельных структур положим 0 = 0. Определим класс с произвольными числовыми матрицами управления и наблюдения. Неизвестные параметры составляют только системную матрицу состояний: ^ = А . Ограничения, накладываемые на эту матрицу, являются произвольными линейными ограничениями, определяемыми следующей системой уравнений:

(й? = (гЛ ^щ = гА, (2.8)

где ц/ и ц/й - числовые матрица и вектор размерностей х п2 и гАх.\.

Числовые матрицы Вт и С могут быть приведены к нижнему ступенчатому виду:

вт=вти, С = СУ,

где и и У - квадратные верхние треугольные матрицы порядка п. С учетом естественного предположения г$В = к, г%С = т матрицы ВТ и С содержат соответственно п - к и п — т нулевых столбцов. Пусть номера нулевых столбцов этих матриц формируют множества индексов ./' и , содержащих п - к и п-т элементов соответственно. Определим и = £/(./') и V = К(./2) - подматрицы матриц и и У, состоящие из столбцов с номерами из ./' и У2.

Для введенного класса модельных структур в диссертации доказаны следующие результаты.

Утверждение 2.2 (условие ранга для локальной идентифицируемости моделей с числовыми произвольными матрицами управления и наблюдения). Для того чтобы модельная структура (2.2), оцениваемыми параметрами которой являются элементы системной матрицы А (матрицы В и С состоят из произвольных числовых элементов, 0 = 0), была СЛИ при ограничениях на системные параметры вида (2.8) и выполнении условия структурной управляемости и наблюдаемости, необходимо и достаточно, чтобы почти для любого р (за исключением точек множеств нулевой меры) выполнялось условие

гёЧ,Х(р) = {П-к){П-т), (2.9)

Х{р) = А(р)У ®и-У®АТ(р)и, где р - вектор независимых системных параметров размерности п2 -гА.

Следствие 2.2 (условия порядка моделей с числовыми произвольными матрицами управления и 'наблюдения). Необходимым условием СЛИ модельной структуры, определенной в утверждении 2.2, является

- ' гЛ 2:(л-*)(и-т) (2

Утверждение 2.3 (условие ранга для глобальной идентифицируемости моделей с числовыми произвольными матрицами управления и наблюдения). Для того чтобы модельная структура, определенная в утверждении 2.2, была СГИ, достаточно, чтобы условие

^уХ* =(п-к\п-т), (2.11)

X* = А(р*)?®0-Г®АТ(р)а,

не выполнялось лишь для р и р , принадлежащих множествам нулевой меры в параметрическом пространстве.

Следующий введенный в диссертации класс модельных структур характеризуется тем, что неизвестные параметры могут присутствовать не только в

матрице состояния, но и в матрицах управления и наблюдения, однако последние имеют заранее определенную структуру:

ВТ =[сИав{Ь1,...,Ьк} ! 0], С =

О

О

О | ¡ИаЕ{сч+ь...,ст) ] О

• (2.12)

Определим множества ,/' = {£ + 1,...,и} и ={<7 +1,...,к,к+т-ц+ !,...«},со-

т

стоящие из номеров нулевых столбцов матриц В и С соответственно. Вектор системных параметров для этого класса моделей имеет вид

Т V V

ь ,где Ь= , С =

а, \ст)

На элементы матрицы А могут быть, как и в предыдущем случае, наложены линейные ограничения вида (2.8), на элементы векторов бис также накладываются линейные ограничения вида:

■■ф\ £ = <рлА+<рьЪ + <рсс = <р\ (2.13)

где ф и £ - матрицы ограничений размерностей гь х к и гс х т; <р л , <рь и срс - матрицы размерностей гАЬс х п2, гАЬс х к и гЛЬсхт; ф°, и <р(>- векторы правых частей.

Для вышеопределенного класса модельных структур в диссертации доказаны следующие результаты.

Утверждение 2.4 (условие ранга для локальной идентифицируемости моделей со стандартными параметризованными матрицами управления и наблюдения). Для того чтобы модель (2.2), оцениваемыми параметрами которой являются элементы матрицы А и ненулевые элементы матриц В и С стандартного вида (2.12), была СЛИ при ограничениях на системные параметры вида (2.8), (2.13) и выполнении условий структурной управляемости и наблюдаемости, необходимо и достаточно, чтобы почти для любого р выполнялось

гЕУХ = {п-к){п-т) + (к + т-Ч), (2.14)

где

оА =

> 0 0"

0 Ф 0

0 0 Х(р) =

£

Ра <Рь <Рс_

Г =

1 |... !

сл(3\1г) о о

С{1,...,к + т-д}

, Л, = /., - !., ® А, (р), Д,- и /, - / -и столбцы

атриц А и /„; сЛ(7], 7г) = А(р)1„(У2) ® 1„(Т)-1„(32)® АТ{р)1„(Т ); {.} операция формирования подматрицы из перечисленных столбцов матрицы; р

- вектор независимых системных параметров размерности (и +к + т-г).

Следствие 2.3 (условие порядка моделей со стандартными параметризованными матрицами управления и наблюдения). Необходимым условием идентифицируемости модели, определенной в утверждении 2.4, является:

г = гА+гЬ+гс + гЛЬе + т- ч) + (п - к)(п- т). (2.15)

Утверждение 2.5 (условие ранга для глобальной идентифицируемости моделей со стандартными параметризованными матрицами управления и наблюдения). Для того чтобы модель, определенная в утверждении 2.4, была

СГИ, достаточно, чтобы почти для любого р, почти для любого р выполнялось условие

Г8ГХ* =(к + т-д) + (п-кХп~т), (2.16)

где х =

О -Вг{1,...,* + т-<7} О С*{1,...,к + т-д}

сА =

Л1

1 1

л:

<Л\ =Д, (/)® /.,-/., ®АТ;(р)-, сл\Т ,72) = А{р')1„д2)® 1„0Х) - 1п{72) ® АТ{р)1п(Т).

И, наконец, еще один класс модельных структур со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения составляет множество, являющееся подмножеством всех ранее рассмотренных классов. Определим этот класс, задав стандартный числовой вид матриц управления и наблюдения:

1п 0 0 о"

О

В' =[1к 0],

С =

1т-ч 0

(2.17)

Для данного класса в диссертации получены следующие результаты.

Утверждение 2.6 (условие ранга для локальной идентифицируемости моделей со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения). Для того чтобы модель (2.2), оцениваемыми параметрами которой являются элементы системной матрицы А (матрицы б и С имеют стандартный вид (2.17)), была СЛИ при ограничениях на системные параметры (2.8) и выполнении условий структурной управляемости и наблюдаемости, необходимо и достаточно, чтобы почти для любого р выполнялось условие

= (2.18) где с*(Л-/2) = А(р)1„^2)®/„(У1)-/„(У2)®АТ(^/„(А

У1 ={*: + !.....и},У2 ={д + 1,...,М + т-д + 1,...п).

Следствие 2.4 (условие порядка для моделей со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения). Необходимым условием СЛИ модели, определенной в утверждении 2.6, является:

г = гА >{п-к\п~т). (2.19)

Утверждение 2.7 (условие ранга для глобальной идентифицируемости моделей со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения). Для того чтобы модель, определенная в утверждении 2.6, была СГИ, достаточно, чтобы почти для любого р, почти для любого р выполнялось условие

щА* (У1 ,./2 ) = (и - к)(п - т), (2.20)

где ¿¡\/^2) = А{р')1пу2)®1пух)-1„у2)®АТ{р)1„у]).

В главе показана взаимосвязь рассмотренных классов модельных структур. Приведена последовательная процедура практического использования разработанных условий для анализа идентифицируемости. Кроме того, для двух последних классов получены уточненные условия порядка для случая, когда имеются исключающие ограничения на элементы матрицы состояний.

Глава 3. Анализ локально неидентифицируемых моделей.

Элиминирование локальной неидентифицирусмости

В данной главе исследуется ситуация, когда условие ранга для локальной идентифицируемости модельной структуры, принадлежащей к одному из введенных ранее классов, не выполняется. Например, пусть не выполняется условие теоремы 2.1, т.е. справедливо

г£1'Х{р) = п2 - V для некоторого V > 0. (3.1)

В этом случае модель является СЛНИ и называется моделью неполного ранга (МНР). Число V назовем дефектом модели.

Для направления развития теории идентифицируемости, разрабатываемого в работах российских ученых, характерно детальное изучение проблемы локальной неидентифицируемости, реализованное в рамках принципа чувствительности. В соответствии с этим принципом, для МНР возможен переход от исходных неидентифицируемых параметров к новым параметрам, являющимся локально идентифицируемыми. Число новых независимых параметров меньше числа исходных на V единиц. Новые параметры являются функциями исходных и называются параметрическими функциями, допускающими локальное оценивание (ПФДЛО). Одним из способов устранения локальной неидентифицируемости является репараметризация модельной структуры (переход от исходных параметров к ПФДЛО). В работах Горского В.Г., Спивака С.И. и их учеников методы нахождения ПФДЛО разрабатывались на основе вектора достаточной характеристики. Подход, разрабатываемый в настоящей диссертации, намного эффективнее в вычислительном плане, чем методы, основанные на

принципе достаточной характеристики. Поэтому разработка способов нахождения ПФДЛО в рамках нашего подхода оказывается весьма полезной.

Система уравнений для поиска ПФДЛО имеет следующий вид

— • А = 0, (3.2)

дв К ' где в - вектор исходных параметров модели, р - искомые параметрические функции. Матрица А при использовании принципа чувствительности является матрицей линейных связей между столбцами матрицы чувствительности отклика к вариации параметров. Так как в нашем подходе матрица чувствительности явно не формируется, то необходима разработка специального способа для вычисления А. Для модели общего вида, определенной в теореме 2.1, получен следующий результат.

Утверждение 3.1. Предположим, что условие ранга (2.4) для локальной идентифицируемости модельной структуры (2.2) общего вида, сформулированное в теореме 2.1, не выполняется, и модель имеет дефект V. Тогда матрица А(р) размерности N у~ у , необходимая для генерирования системы детерминирующих уравнений для поиска ПФДЛО, может быть найдена из соотношения

А (р)=-Х(р)Цр), (3.3)

где матрица Цр) размерности п2 х у определяется уравнением

ГХ(р)Цр) = 0. (3.4)

Таблица 3.1

Формирование системы уравнений для поиска ПФДЛО

Класс модельных структур Уравнение линейных связей для СЛИ-матрицы Вычисление СЛНИ-матрицы Уравнение для поиска ПФДЛО

Модели общего вида ТХ(р)Цр) = 0 А (р) = ~Х(р)Цр) Э^-А(р) = 0 ЗУ

Модели с произв. числ. матрицами упр. и набл. Ч,Х(р)Ь(р) = 0 Мр) = -Х(р)Цр) дА

Модели со станд. парам, матрицами упр. и набл. гх(рЩр) = о Мр)=-*{р)Цр) бр^-Мр) = 0 ш

Модели со станд. числ. матрицами упр. и набл. А(р) = -с//(71,У2Н(р) Ш-Мр^О дА

Матрицу Л(р), определенную в утверждении 3.1, назовем СЛНИ-матрицей. Данная матрица играет первостепенную роль в анализе неидентифи-цируемой модельной структуры. Во-первых, она участвует в формировании системы уравнений для поиска ПФДЛО. В диссертации разработана процедура формирования системы уравнений вида (3.2) для каждого из классов модельных структур, введенных в главе 2. Полученные результаты представлены в таблице 3.1.

Как видно из таблицы, предложенный способ позволяет формировать систему детерминирующих уравнений на основе соответствующей СЛИ-матрицы единообразно для каждого класса модельных структур. Сначала производится вычисление матрицы линейных связей ( Ь, Ь или Ь) между столбцами СЛИ-матрицы. Затем по соответствующей формуле вычисляется СЛНИ-матрица ( Л, Л или Л), на основе которой окончательно формируется система уравнений для поиска ПФДЛО.

СЛНИ-матрица, участвующая в формировании системы детерминирующих уравнений, содержит ценную информацию, необходимую при переходе от мо/ дели неполного ранга к локально идентифицируемой модельной структуре.

Число столбцов этой матрицы равно V- дефекту модели. Число строк матрицы равно числу системных параметров для соответствующего класса моделей. Каждая строка соответствует элементу вектора системных параметров. Если мо' дель неполного ранга включает локально идентифицируемые параметры, то соответствующие этим параметрам строки СЛНИ-матрицы являются нулевыми. Таким образом, использование данной матрицы позволяет определить тип идентифицируемости отдельных параметров.

Построенная система детерминирующих уравнений для поиска ПФДЛО вида (3.2) представляет собой систему однородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. В диссертации анализируются два метода решения подобных систем - первый метод Якоби и теоретико-групповой подход, предложенный в работах по Горского В.Г. и его учеников. Первый метод оказывается применимым к более широкому множеству систем, в то время как второй часто приводит к решению более простым путем.

В диссертации отмечены следующие моменты, связанные с попытками ре-параметризации модели неполного ранга с использованием ПФДЛО. Во-первых, решение системы уравнений в частных производных в символьном виде для построения ПФДЛО довольно трудоемко, и может быть получено лишь в случаях, когда СЛНИ-матрица имеет наиболее простой вид. Во-вторых, даже если решение получено, оно не всегда имеет простой вид, что затрудняет и часто делает невозможной физическую интерпретацию новых параметров. В-третьих, переход к новым параметрам (собственно репараметризация), ча::то возможен только при явном представлении отклика модели, полученном после решения дифференциального уравнения состояния системы (2.2) и последующей подстановки полученного решения в уравнение наблюдения. В результате

мы получаем иную модельную структуру, отличную от модельной структуры в пространстве состояний.

В силу вышесказанного в работе предлагается иной способ устранения локальной неидрнтифицируемости, который хорошо согласуется с введенной в диссертации формой представления модельной структуры, характеризующейся естественной параметризацией с заданием дополнительных ограничений на вектор системных параметеров. В основу предлагаемых методов элиминирования неидентифицируемости легла описанная ранее техника построения системы детерминирующих уравнений для поиска ПФДЛО. Под элиминированием неидентифицируемости (локальной или глобальной) мы будем понимать частичное целенаправленное изменение модельной структуры, после которого она становится идентифицируемой (локально или глобально).

В диссертации предлагаются два способа элиминирования локальной неидентифицируемости. Первый способ заключается в расширении пределов эмпирической информации, что практически выражается в расширении схемы эксперимента. Практически это выражается в увеличении размерностей матриц управления и наблюдения при сохранении количества оцениваемых параметров. Другой способ элиминирования неидентифицируемости состоит в добавлении априорной информации об оцениваемых параметрах, представляемой в виде дополнительных ограничений, к системе исходных ограничений. Тем самым сокращается количество независимых оцениваемых параметров и достигается равновесие между количеством эмпирической и количеством априорной информации. Использование предлагаемых способов элиминирования базируется на следующих утверждениях, доказанных в диссертации.

Утверждение 3.2. Пусть модельные структуры Ж] и М2 вида (2.2) с одинаковыми матрицами состояний А (одинаковыми системами ограничений на А), но, возможно, с различными числовыми матрицами управления и наблюдения (Вь С|, Ц для Л/, и В2, С2, £>2 ял" )> являются локально неиденти-фицируемыми с матрицами линейных связей £](р) и Ь2 (Р) (размерностей и2 хк| и п2 х 1'2) между столбцами соответствующих СЛИ-матриц Г]Х|(/?) и Г2Х2(р) ■ Тогда необходимым и достаточным условием локальной идентифицируемости модельной структуры М, полученной объединением 'М\ и М2 (с

матрицей состояния А и матрицами В = [б| | В2], С=

удовлетворяющей условиям управляемости и наблюдаемости, является

г&Ыр)\12{р)]^х+У2. (3.5)

Утверждение 3.3. Пусть управляемая и наблюдаемая модель М общего вида (2.2) с ограничениями на системные параметры (2.3) и вектором оцениваемых параметров р, составленным из независимых системных параметров, является локально неидентифицируемой с матрицей линейных связей А(р), содержащей У независимых столбцов. Тогда необходимым и достаточным ус-

, Л = [А I и

ловием локальной идентифицируемости модели М+, полученной из М добавлением к системе (2.3) новых независимых ограничений вида

Г+* = Г0+, (3.6)

таких что det [г | Г+]* 0, является (при выполнении условий управляемости и наблюдаемости новой модельной структуры) следующее условие

rgV+\{p) = rg\(p) = v, (3.7)

где р— вектор независимых параметров модели 1У!+ ( dimр < dimр ). Если выполняется условие

Г+А(р) = 0,

то дефект модели Л/+ остается равным v. Если же имеет место равенство

г§Г+Л(р) = v-v , 0 < F<у, то дефект модели уменьшается (становится равным v ).

Глава 4. Анализ глобальной идентифицируемости и дискриминируемости модельных структур

Представленные ранее условия ранга для глобальной идентифицируемости являются лишь достаточными. В данной главе доказывается необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости на основе СГИ-матрицы, предложенной в главе 2.

Утверждение 4.1 (необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости). Для того чтобы модельная структура (2.2)-(2.3), удовлетворяющая условиям управляемости, наблюдаемости и локальной идентифицируемости, была структурно глобально идентифицируемой (СГИ), необходимо и достаточно, чтобы для любого I (1 < / < L) следующая система уравнений

\hl(p*,p) = О,

- . . И-')

[X (Т - I„) + s (р )-4(я) = 0, была несовместной (не имела решений). В (4.1) h/(p*,p) - множитель разложения (2.7), матрица X* определяется в (2.6), Т и /„ - векторы, составленные из соответствующих матриц по строкам, s(p) и s*(р*) - векторы системных параметров, выраженные через свои независимые элементы.

В соответствии с данным утверждением анализ глобальной идентифицируемости разбивается на два основных этапа. На первом этапе проводится поиск всех соотношений вида h/(p*,p) = О, для которых не выполняется достаточное условие глобальной идентифицируемости. Если подобных соотношений

не существует, то модель является СГИ, и анализ завершается. В противном случае переходят ко второму этапу, на котором производится проверка совместности систем уравнений, полученных в результате дополнения исходной системы уравнений подобия каждым из множества соотношений, найденных на первом этапе. Если хотя бы одна из построенных систем уравнений совместна, модельная структура является глобально неидентифицируемой.

Факторизация (2.7) не является эффективным методом вычисления соотношений И/(р*,р) = 0. В диссертации представлен более эффективный метод вычисления таких соотношений. Метод основан на следующем наблюдении: если СГИ-матрица ГХ* приведена к нижнему ступенчатому виду, ведущие элементы каждого столбца фактически являются множителями разложения (2.7). Однако при приведении матрицы ТХ* к такому виду необходимо учитывать возможную зависимость ее элементов от р и р" одновременно. Если какой-либо элемент матрицы вида /(р* ,р) (т.е. зависящий одновременно от р и р ) выбирается в качестве ведущего элемента очередного шага исключения,

необходимо рассмотреть две альтернативы: /(р ,р)Ф0 и /(р ,р) = 0. Для * *

альтернативы /(р 0 мы выбираем /(р ,р) в качестве ведущего элемента, делаем шаг исключения и т.д. Для альтернативы /(р* ,р) = 0 мы вносим изменения в матрицу, заменяя элемент /(р* ,р) нулем, после чего выбираем другой (ненулевой) элемент в качестве ведущего, и т.д. Таким образом, вычислительный процесс в этой точке разбивается на две ветви. В итоге можно построить бинарное дерево вычислительного процесса. Множество равенств ^(р* ,р) = 0, / = 1,1, получается объединением соотношений, полученных приравниванием ведущих элементов вида /(р* ,р) для всех ступенчатых матриц, являющихся листьями бинарного дерева вычислительного процесса.

Использование утверждения 4.1 с использованием вышеописанного метода построения равенств й/(р*,р) = 0, I = \,Ь, позволяет заменить решение системы нелинейных алгебраических уравнений (системы уравнений подобия) в символьном виде (что часто является неразрешимой задачей) множеством более простых задач - проверок систем вида (4.1) на совместность.

Однако анализ глобальной идентифицируемости может быть еще более упрощен с использованием идеи сепараторов параметрического пространства. В диссертации вводятся понятия сильного и слабого сепаратора. Сильные сепараторы определяются как гиперповерхности, которые делят параметрическое пространство на различные связные области, причем каждая такая область содержит одно и только одно решение задачи параметрической идентификации. Знание уравнений сильных сепараторов дает информацию о числе и локализации решений задачи нахождения оценок неизвестных параметров. Для глобально идентифицируемой модельной структуры не существует ни одного сильного

сепаратора, поэтому мы получаем одну связную область, содержащую единственное значение оценок параметров.

Нахождение сильных сепараторов на основе теоремы коэрцитивное™ по норме возможно только в простейших случаях и поэтому не применимо на практике. В диссертации вводится понятие слабого сепаратора. Слабые сепараторы определяются как уравнения гиперповерхностей в параметрическом пространстве, в точках которых справедливо равенство ск^ГЛ")7 ГХ] = 0, т.е. СЛИ-матрица ГА" имеет неполный столбцовый ранг. Такие гиперповерхности (если они существуют) как раз и являются теми множествами нулевой меры, для которых допускается невыполнение условия локальной идентифицируемости. Практическая польза слабых сепараторов заключается в том, что среди них имеются такие, которые выполняют ту же функцию, что и сильные сепараторы, т.е. разделяют параметрическое пространство на различные связные области, соответствующие различным решениям задачи идентификации параметров.

Вычисление слабых сепараторов (называемых в дальнейшем просто сепараторами) не представляет особой трудности. Трудность заключается в определении того, какие из слабых сепараторов выполняют функцию сильных. Такие сепараторы называются истинными. В отличие от этого сепараторы, которые не выполняют функции сильных сепараторов, называются ложными.

В диссертации приводятся следующие определения истинных и ложных сепараторов.

Определение 4.1. Сепаратором параметрического пространства называется равенство вида /г/(р,р)- 0, где = ^¡(р*, р) - множитель

в разложении (2.7). Сепаратор, соответствующий совместной системе уравнений (4.1), называется истинным. Сепаратор, соответствующий несовместной системе уравнений (4.1), называется ложным.

С использованием данного определения из утверждения 4.1 следует: для того чтобы модельная структура была структурно глобально идентифицируемой необходимо и достаточно, чтобы все ее сепараторы были ложными. В диссертации обосновывается и уточняется гипотеза, задающая необходимое и достаточное условие истинности сепараторов на основе СЛИ-матрицы. С использованием данной гипотезы анализ глобальной идентифицируемости исходной модельной структуры сводится к анализу локальной идентифицируемости нескольких модельных структур, полученных из исходной добавлением равенств-сепараторов. Это позволяет заменить решение нелинейных алгебраических уравнений вычислением ранга нескольких матриц, что является существенно более простой задачей. Кроме того, в диссертации предлагается способ элиминирования глобальной неидентифицируемости на основе уравнений истинных сепараторов.

С проблемой идентифицируемое™ модельной структуры тесно связана проблема дискриминируемое™ модельных структур. Эта проблема возникает в том случае, когда механизм процесса до конца не определен и для его описания

предлагается несколько конкурирующих модельных структур. Такая ситуация может иметь место, например, в химической кинетике, когда с помощью имеющихся методов генерируется несколько возможных механизмов протекания химической реакции. В этом случае встает дополнительная задача выбора «наилучшей» структуры, известная как задача дискриминации моделей. Однако перед решением данной задачи необходимо удостовериться в том, имеется ли возможность различения конкурирующих модельных структур по экспериментальным данным. Только в случае различимости (дискриминируемое™) модельных структур процедура дискриминации моделей имеет смысл. Если модельные структуры неразличимы друг от друга по входу-выходу, то любая попытка дискриминации между ними будет бессмысленной.

Проблема различимости (дискриминируемое™) модельных структур является менее проработанной, чем проблема структурной идентифицируемости. Ее разрешение требует ответа на вопрос о совместности или несовместности системы нелинейных алгебраических уравнений. Проблема громоздких аналитических вычислений стоит здесь еще более остро, чем при анализе структурной идентифицируемости.

Разрабатываемый в диссертации подход распространен для решения проблемы анализа дискриминирующих модельных структур. Подход позволяет сгенерировать систему уравнений, являющуюся линейной по части переменных. Это дает возможность применить условие совместности линейных систем для исключения переменных, входящих в систему линейно, и тем самым сократить размерность задачи. Доказано условие неразличимости модельных структур, позволяющее построить эффективный алгоритм анализа дискриминируемое™.

Глава 5. Условия идентифицируемости для моделей камерного типа

Данная глава посвящена разработке условий идентифицируемости для моделей специального вида, широко используемых на практике.

Вид условий идентифицируемости, разработанных во второй главе, а также сложность их проверки, зависит от класса, к которому отнесена модельная структура. При переходе от более общего класса к менее общему сокращается размерность матриц идентифицируемости. Такое упрощение достигается с помощью явного учета множества дополнительных ограничений, определяющих рассматриваемый класс модельных структур. Таким образом, при ослаблении ограничений на модельную структуру мы получаем все более сложные для проверки условия идентифицируемости. Наоборот, усиливая ограничения, мы можем получить еще более простые условия идентафицируемоста. Наиболее простой вид имеют условия идентифицируемости, полученные для класса модельных структур со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения. Однако имеется еще более узкий класс моделей, имеющий, тем не менее, широкое применение при описании химических, биологических, информационных, экологических процессов. Речь идет о модельных структурах камерного типа. Для данного тапа модельных структур допускается лишь два ти-

па ограничений на матрицу состояния А, являющихся частными случаями произвольных линейных ограничений, задаваемых равенством (2.3). Первый тип -исключающие ограничения - задает равенство нулю какого-либо внедиагональ-ного элемента матрицы А. Второй тип - назовем их балансовые ограничения -означает равенство нулю суммы элементов какого-либо столбца матрицы А. Кроме того, матрицы управления и наблюдения для моделей камерного типа имеют стандартный числовой вид (2.17) или стандартный параметризованный вид (2.12). Явно учитывая тип ограничений, свойственный моделям камерного типа, в диссертации получены условия идентифицируемости, максимально простые для проверки и наиболее подходящие для данного класса модельных структур.

В первом разделе рассматривается математическое описание моделей камерного типа. С использованием разработанных в диссертации условий ранга и порядка произведен анализ идентифицируемости модельных структур цепного и звездного типа, являющихся основой построения более сложных камерных структур.

Далее в главе разработаны необходимые и достаточные условия локальной идентифицируемости для случая, когда на столбцы матрицы состояния накладываются лишь балансовые ограничения.

Теорема 5.1 (условие порядка для модели с балансовыми ограничениями). Рассмотрим модельную структуру камерного типа с матрицами В и С стандартного вида (2.17) и матрицей состояния А, на элементы которой наложены только балансовые ограничения, число которых равно гА. Обозначим к]

- число столбцов матрицы А с номерами из множества У1 = {к + \,...,п), которым соответствуют балансовые ограничения, а /] - число столбцов матрицы А с номерами из множества, У2 = (с/ + 1,..., к,/с + т - у + 1,...п}, которым соответствуют балансовые ограничения. Для того чтобы данная модель была локально идентифицируемой, необходимо и достаточно, чтобы

1) выполнялось условие порядка гА >(и-т)(п -к);

2) выполнялось одно из следующих трех условий

а) т = п -1;

б) = и - к, /| = 1;

в) к^=п-к, I] = 0.

Полученные необходимые и достаточные условия идентифицируемости модели с балансовыми ограничениями чрезвычайно просты для проверки и могут применяться даже в том случае, когда размерность модели слишком велика и не позволяет вычислить ранг СЛИ-матрицы.

В диссертации проведена классификация исключающих ограничений. Все ограничения разделены на четыре группы по влиянию на идентифицируемость модели. Так, например, ограничения, принадлежащие к первой группе, являются бесполезными: их добавление или удаление не оказывает никакого влияния

на идентифицируемость модели. Анализ влияния второй и третьей групп ограничений заключается в проверке взаимного расположения нулей в матрице состояния и не требует вычисления ранга символьной матрицы. Ограничения четвертой группы при определенных условиях всегда являются взаимно независимыми. В результате проведенного исследования были сформулированы уточненные условия порядка для модельной структуры, содержащей в числе прочих исключающие ограничения. Такие условия очень удобно использовать на начальном этапе генерирования структуры модели для отбрасывания целого «букета» модельных структур, являющихся локально неидентифицируемыми.

Глава 6. Практическое применение и исследование эффективности разработанного подхода

Процесс построения идентифицируемой модельной структуры с использованием всех возможностей разработанного подхода можно наглядно представить в виде схемы, изображенной на рис. 6.1. Блок-схема отражает последовательность и основные этапы практической реализации предложенного подхода. Далее описаны возможности разработанного программного обеспечения. Программный комплекс включает 9 модулей, позволяющих решать следующие задачи:

- формировать систему априорных ограничений из исходной разнотипной информации;

- проводить исследование управляемости и наблюдаемости моделей;

- выполнять проверку условия ранга для локальной идентифицируемости моделей;

- для локально неидентифицируемых моделей формировать систему детерминирующих уравнений для поиска ПФДЛО;

- определять множество дополнительных ограничений, элиминирующих локальную неидентифицируемости;

- выполнять проверку условия ранга для глобальной идентифицируемости;

- выполнять проверку необходимого и достаточного условия глобальной идентифицируемости;

- вычислять сепараторы параметрического пространства и осуществлять элиминирование глобальной неидентифицируемости.

С использованием разработанного программного обеспечения исследована идентифицируемость системы стабилизации летательного аппарата при различных откликах. В результате получены условия на физические параметры, при которых модель, описывающая систему, становится глобально идентифицируемой. Кроме того, получены результаты идентифицируемости для класса моделей с матрицей состояний в форме Фробениуса произвольной размерности, широко используемых в технических системах (система стабилизации летательного аппарата по тангажу, система управления перегрузкой летательного аппарата, различные следящие системы: с гибкой и жесткой обратной связью, с асинхронным двухфазным двигателем и т.п.).

Рис. 6.1. Объединенная схема разработанного полхода

В следующем разделе исследуется эффективность предложенного в диссертации подхода к анализу структурной идентифицируемости. Для ряда моделей приведены результаты анализа с использованием трех методов: метода матриц Маркова, метода преобразования Лапласа и авторского подхода. Приведена таблица сравнения методов по времени счета и принципиальной возможности получения результатов. Сравнительный анализ показывает, что метод, представленный в диссертации, позволяет получить результаты даже в том случае, когда другие методы оказываются несостоятельными. Если же решение может быть получено с помощью метода матриц Маркова или с помощью метода преобразования Лапласа, время счета с использованием авторского подхода значительно меньше (на некоторых тестах время счета составляет несколько секунд для авторского подхода и соответственно десятки минут и даже 1 -2 часа для двух других методов).

На примере камерных модельных структур цепного и звездного типа доказана эффективность предлагаемого метода для моделей больших размерностей. Для каждого из трех сравниваемых методов мы определили максимальную размерность модели заданного вида, для которой возможно получение результатов в системе аналитических вычислений Maple. Результаты приведены в таблице 6.1.

Таблица 6.1.

Сравнительный анализ методов исследования идентифицируемости

■—-—_____Модель Метод ___ Звездная Цепная

Метод матриц Маркова локальная: п = 4 глобальная : п = 3 локальная : п = 6 глобальная : п = 6

Метод преобразования Лапласа локальная: п = 5 глобальная : и = 5 локальная : п = 5 глобальная : п = 5

Подход, разработанный в диссертации локальная : л = 14 глобальная : и = 8 локальная : я = 14 глобальная : и = 14

В последнем разделе главы описывается построенный в диссертации электронный каталог сведений о структурных свойствах трехкамерных моделей: управляемости, наблюдаемости, идентифицируемости. Для моделей, являющихся локально или глобально неидентифицируемыми, в каталоге представлена информация, позволяющая элиминировать неидентифицируемость (уравнения сепараторов для глобально неидентифицируемых моделей или СЛНИ-матрица для моделей неполного ранга).

Предложена иерархическая структура каталога, позволяющая избавиться от дублирования симметричных моделей и проводить оперативный поиск нужных моделей. Первый уровень иерархии в каталоге определяет структуру внутренних связей модели, основанной на учете только исключающих ограничений. Для размерности модели п = 3 выделено 13 всевозможных комбинаций исклю-

чающих ограничений, определяемых идентификаторами А, В, С, ..., Ь, М. Следующий уровень иерархии - задание схемы проведения эксперимента для модельной структуры. Последний уровень иерархии - задание балансовых ограничений. Таким образом, модельная структура камерного типа со стандартными матрицами управления и наблюдения полностью определяется рубрикатором

идентификатор_графа . схема_эксперимента . балансовые_ограничения

Несмотря на то, что каталог сконструирован для камерных моделей, содержащиеся в нем сведения могут быть использованы для формирования идентифицируемой модельной структуры, допускающей произвольные линейные ограничения.

На основании исследования информации, содержащейся в каталоге, построены сводные таблицы результатов анализа трехкамерных моделей, позволяющие наглядно проиллюстрировать тенденции изменения структурных свойств модельной структуры при варьировании некоторых характеристик, а также получить статистические данные. Всего в каталоге содержится информация об идентифицируемости 2320 модельных структур камерного типа. Из них 1262 моделей оказались СГИ, 210 моделей оказались СГНИ (но СЛИ) и 631 моделей оказались локально неидентифицируемыми. Для остальных моделей было нарушено требование управляемости и (или) наблюдаемости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Характеризуя полученные результаты в целом, можно заключить, что в диссертации разработан комплексный подход к построению идентифицируемых модельных структур в пространстве состояний, обеспечивающий наибольшую эффективность и результативность по сравнению с существующими методами исследования. Подход включает множество условий и методов проверки, которые в совокупности дают возможность полного и всестороннего анализа идентифицируемости модельной структуры, построенной на основании имеющейся априорной информации об исследуемом процессе. Все разработанные методы можно разбить на три основных тесно связанных между собой модуля.

Первый модуль составляют условия идентифицируемости моделей в пространстве состояний. Этот модуль является базовым, определяющим суть предлагаемого подхода. В диссертации разработаны разнообразные необходимые и/или достаточные условия локальной и глобальной идентифицируемости (условия ранга и порядка). Эффективность здесь достигается тем, что матрицы в условиях идентифицируемости являются разреженными, и, что очень важно, элементы этих матриц являются линейными функциями оцениваемых параметров вне зависимости от размерности модели. Условия идентифицируемости адаптированы для различных подклассов модельных структур, что выражается в сокращении размерности матриц идентифицируемости и уточнении условий

порядка, а, в конечном счете - в повышении эффективности предлагаемого подхода за счет уменьшения времени счета и увеличения размерности моделей, допускающих качественный анализ с получением аналитических результатов.

Второй модуль составляют методы и алгоритмы компьютерной алгебры для проверки условий глобальной идентифицируемости и дискриминируемое™ модельных структур. Необходимость разработки таких методов была обусловлена отсутствием или недостаточной эффективностью для конкретных задач соответствующих программных средств в существующих системах символьных вычислений. Разработанные в диссертации методы компьютерных вычислений позволяют повысить размерность решаемых задач в 2-3 раза.

Третий модуль составляют способы элиминирования локальной и глобальной неидентафицируемости, позволяющие на основе результатов анализа не-идентафицируемой модели определить, какие дополнительные ограничения или изменения в схеме проведения эксперимента приведут к повышению степени идентифицируемое™. Разработанные в диссертации способы элиминирования используют качественную информацию, полученную при проверке условий идентифицируемости, составляющих основу предлагаемого подхода.

Суммируем основные результаты диссертационной работы с указанием их практической ценности:

1. Предложена двухшаговая процедура анализа идентифицируемости моделей в пространстве состояний с произвольной параметризацией, позволяющая сократать сложность необходимых вычислений. На первом шаге предлагается исследовать идентифицируемость естественно параметризованной модельной структуры, в которой оцениваемыми параметрами являются элементы системных матриц. На втором шаге выясняется возможность определения конечных параметров из идентифицируемых системных параметров. Установлены пределы эмпирической информации при оценивании системных параметров. Предлагается эффективный способ задания ограничений на системные параметры.

2. Разработаны условия ранга (необходимые и достаточные условия) для локальной и глобальной идентифицируемости системных параметров четырех наиболее важных в смысле практического применения классов модельных структур. Показана взаимосвязь между классами и соответствующими условиями идентифицируемости. Использование условий для наиболее подходящего конкретному случаю класса модельных структур позволяет понизить размерность матриц в условиях ранга и, тем самым, уменьшить сложность необходимых символьных вычислений, обеспечивая максимальную эффективность.

3. Разработаны условия порядка, чаще всего являющиеся лишь необходимыми условиями идентифицируемости, для различных классов модельных структур, включая класс моделей камерного тапа, широко используемых в химической кинетике, фармакокинетике, экологии. Практическая польза от разработанных условий порядка заключается в том, что для их проверки не требуется проведения трудоемких символьных вычислений. Подобные условия рекомендуется использовать на начальном этапе конструирования модельной

структуры на основе имеющейся априорной информации для обоснованного отбрасывания целого множества параметризаций, заведомо являющихся не-идентифицируемыми.

4. Для локально неидентифицируемых моделей разработан метод построения системы детерминирующих уравнений для поиска параметрических функций, допускающих локальное оценивание. Предложены эффективные способы элиминирования локальной неидентифицируемости, не требующие решения системы детерминирующих уравнений.

5. Разработан метод компьютерной алгебры, являющийся комбинацией метода базисов Гребнера и метода исключения Гаусса, для проверки необходимого и достаточного условия глобальной идентифицируемости. Данный метод включает алгоритм для проверки достаточного условия глобальной идентифицируемости, позволяющий получить соотношения, для которых достаточное условие не выполняется, и последующую процедуру проверки необходимости условия на основе вычисленных соотношений.

6. Предложен метод анализа глобальной идентифицируемости, базирующийся на построении истинных сепараторов параметрического пространства. Данный метод открывает перспективы анализа глобальной идентифицируемости модели с использованием условий локальной идентифицируемости нескольких модельных структур, получающихся из исходной структуры добавлением ограничений-сепараторов. Эффективность предложенного метода вытекает из сравнения трудоемкости (и принципиальной возможности), с одной стороны, решения системы алгебраических уравнений в символьном виде и, с другой стороны, вычисления ранга нескольких символьных матриц. Предложен способ элиминирования глобальной неидентифицируемости с использованием уравнений сепараторов.

7. Предложено необходимое и достаточное условие дискриминируемое™ конкурирующих модельных структур, положенное в основу разработки метода компьютерной алгебры для исследования дискриминируемое™.

8. С использованием разработанного в диссертации подхода проведен анализ идентифицируемости ряда модельных структур, описывающих конкретные физические процессы, происходящие в технических, химических, биологических системах. Сравнение подхода с другими методами позволило убедительно показать его эффективность, как по времени счета, так и по принципиальной возможности получения результатов в символьном виде.

9. Построен электронный каталог сведений об управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости модельных структур камерного типа. Предложенная иерархическая структура каталога позволяет избежать дублирования симметричных моделей и предоставляет возможность оперативного получения информации. Собранная информация позволяет судить о соотношении числа моделей неполного ранга, локально и глобально идентифицируемых моделей в выбранном естественным образом множестве моделей

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Gorsky V.G., Spivak S.I., Avdeenko T.V. Identifiability of dynamical control models for the systems of complicated chemical reactions // Abstr. of Intern. Conf. "Unsteady State Processes in Catalysis". Novosibirsk: Institute of Catalysis. - 1990. -P. 149-150.

2. Авдеенко T.B., Горский В.Г., Маврин Е.В., Спивак С.И. Идентифицируемость параметров систем нелинейных дифференциальных уравнений химической кинетики // Неформальные математические модели в химической термодинамике. - Новосибирск: Наука. - 1991. -С.153-164.

3. Горский В.Г., Авдеенко Т.В. Новые методы анализа идентифицируемости кинетических моделей мономолекулярных реакций // Прямые и обратные задачи химической кинетики. Новосибирск: ВО Науке. - 1993. -С.211-228.

4. Абденов А.Ж., Авдеенко Т.В., Деггерев А.С. Критерий идентифицируемости линейных стохастических непрерывно-дискретных динамических систем // Тр. II межд. конф. «Актуальные проблемы электронного приборостроения». Новосибирск. - 1994. Т.2. - С. 133-138.

5. Авдеенко Т.В., Захаров В.П., Озерных И.Л. Об оптимальном планировании наблюдений для определения положения и формы фронта кристаллизации // Автометрия. - 1995, № 5. - С. 99-108.

6. Авдеенко Т.В., Захаров В.П. Об оптимальном планировании наблюдений для оценивания геометрических характеристик поверхности кристаллизации // Сборник научных трудов НГТУ. - 1997. № 4(9). - С. 27-36.

7. Авдеенко Т.В., Денисов В.И., Захаров В.П. Оптимальное планирование наблюдений нестационарной задачи идентификации границы раздела двух сред // Сибирский журнал индустриальной математики. - 1998. - Т. 1, № 1. - С. 5-20.

8. Avdeenko T.V. Rank and order conditions for local identifiability of linear dynamical models // 1998 4™ International Conference on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering APEIE-98. Novosibirsk. - 1998. - V.l. - P. 14-19.

9. Авдеенко Т.В. Условия ранга и порядка для локальной идентифицируемости линейных динамических моделей с исключающими и балансовыми ограничениями на матрицу состояния // Сб. науч. тр. НГТУ. - 1998, № 3(12). - С. 25-34.

10. Avdeenko T.V. Parameter identification of the process of direct oxidation of hydrogen sulfide into sulphur // Abstracts of the Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology (KORUS-99). - Novosibirsk: NSTU. - 1999.- V. 2.-P. 552.

11. Avdeenko T.V. Sufficient condition for global identifiability of linear dynamical models// Proceedings of the Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology (KORUS-99). - Novosibirsk: NSTU. - 1999. - P. 505509.

12. Авдеенко Т.В. Классификация исключающих ограничений на матрицу состояния по их вкладу в локальную идентифицируемость линейных динами-

ческих моделей // Научный вестник НГТУ. - Новосибирск. - 1999. № 1(6). - С. 3-15.

13. Avdeenko T.V., Kargin S.A. The Problem of Distinguishability of State Space Models // Proc. 2000 5 Int. Conf. on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering (APEIE-2000). - Novosibirsk. - 2000. - V.l. - P.77-82.

14. Avdeenko T.V. Problems of symbolic computation in testing of structural identifiability of state space models // Proc. of 4th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology (KORUS-2000). Republic of Korea: University of Ulsan. - 2000. Part 1. - P. 24-29.

15. Авдеенко T.B., Горский В.Г. Новый подход к анализу идентифицируемости систем линейных дифференциальных уравнений // Сб. тр. XIII Межд. науч. конф. "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-13. -Санкт-Петербург. - 2000. - Т. 1. - С. 29-32.

16. Авдеенко Т.В. О планировании идентифицируемой модельной структуры в пространстве состояний // Тез. докл. Межд. конгр. ИНПРИМ-2000. -Новосибирск. - 2000. - С. 3-4.

17. Авдеенко Т.В., Каргин С.А. Приложение методов компьютерной алгебры к анализу глобальной идентифицируемости линейных динамических моделей II Вестник НГТУ. - Новосибирск: Изд-во НГТУ. - 2000, №2(9). - С. 2736.

18. Авдеенко Т.В., Горский В.Г. Условия ранга и порядка для локальной идентифицируемости систем линейных дифференциальных уравнений с параметрами в матрицах состояния, управления и наблюдения // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2000. № 11. - С. 48-53.

19. Avdeenko T.V., Hai Gon Je, On the study of solution uniqueness to the task of determining unknown parameters of mathematical models // East Asian Math. J. -2000,No. 2.-P. 251-266.

20. Avdeenko T.V., Kargin S.A. A computer algebra method for testing structural distinguishability of state space models // Proc. of 5th Korea-Russia Intern. Symp. on Science and Technology (KORUS-2001). - Tomsk. - 2001. Part 1. - P. 7780.

21. Авдеенко T.B., Горский В.Г. Нахождение оцениваемых параметрических функций для неидентифицируемых моделей // Сб. тр. 14 Межд. науч. конф. " Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-14. - Смоленск.-2001.-Т. 2.-С. 117-118.

22. Авдеенко Т.В., Каргин С.А. О дискриминируемости модельных структур в пространстве состояний // Сб. тр. XIV Межд. науч. конф. "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-14. - Смоленск. - 2001. - Т. 2. -С. 114-116.

23. Авдеенко Т.В. О планировании модельной структуры в пространстве состояний: анализ структурной идентифицируемости // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2001. - Т. IV, № 2(8). - С. 59-72.

24. Авдеенко Т.В. Два способа элиминирования неидентифицируемости динамических моделей в пространстве состояний // Сб. тр. XV Межд. науч.

1j<uC. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА «¡.Петербург * 09 300 мт

конф. "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-15. — Тамбов. -2002.-Т. 5.-С. 84-89.

25. Авдеенко Т.В., Горский В.Г., Каргин С.А., Швецова-Шиловская Т.Н. Электронный каталог сведений по анализу идентифицируемости линейных динамических моделей // Сб. тр. XV Межд. науч. конф. "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-15. - Тамбов. - 2002. - Т. 5. - С. 90-94.

26. Авдеенко Т.В., Горский В.Г. Нахождение оцениваемых параметрических функций для локально неидетифицируемых моделей в пространстве состояний И Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2002. Т. 68, № 11.-С. 52-59.

27. Avdeenko T.V. On structural identifiability of system parameters of linear models // Proc. of 15 IF AC World Congress. Barselona, Spain. - 2002. 6 p.

28. Авдеенко T.B. Анализ априорной идентифицируемости динамических моделей с использованием условий ранга и порядка // Тр. II Межд. конф. "Идентификация систем и задачи управления" (SICPR.0'03). - М., - 2003. - С. 195-214.

29. Авдеенко Т.В., Каргин С.А. О глобальной идентифицируемости линейных динамических моделей // Тр. II Межд. конф. "Идентификация систем и задачи управления" (SICPRO'03). - М., - 2003. - С. 182-194.

Подписано в печать 26.06.03. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,25. Тираж 100 экз. Заказ № 399

# 12 23 9

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ.

1.1. Историческая справка.

1.2. Основные понятия теории идентифицируемости.

1.3. Основные принципы анализа идентифицируемости.

1.4. Связь анализа идентифицируемости с планированием и обработкой экспериментов.

1.5. Методы исследования идентифицируемости линейных динамических моделей в пространстве состояний.

1.5.1. Метод преобразования Лапласа.

1.5.2. Метод матриц Маркова.

1.5.3. Метод модальных матриц.

1.5.4. Метод преобразования подобия.

1.6. Основные задачи диссертационной работы.

Глава 2. УСЛОВИЯ РАНГА И ПОРЯДКА ДЛЯ ЛОКАЛЬНОЙ И

ГЛОБАЛЬНОЙ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ.

2.1.0 выборе параметризации.

2.2. Пределы эмпирической информации при оценивании системных параметров. Априорные ограничения.

2.3. Условия идентифицируемости системных параметров модельной структуры общего вида.

2.3.1. Вывод условий идентифицируемости.

2.3.2 Процедура анализа идентифицируемости с использованием условий ранга и порядка.

2.3.3. Пример анализа идентифицируемости с использованием условий ранга и порядка. 2.4. Условия ранга и порядка для некоторых классов модельных структур

2.4.1. Класс модельных структур с произвольными числовыми матрицами управления и наблюдения.

2.4.2. Класс модельных структур со стандартными параметризованными матрицами управления и наблюдения.

2.4.2.1. Вывод условий ранга и порядка.

2.4.2.2. Дополнительные необходимые условия идентифицируемости.

2.4.2.3. Примеры анализа идентифицируемости.

2.4.3. Класс модельных структур со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения.

2.5. Связь между рассмотренными классами модельных структур и соответствующими условиями идентифицируемости.

2.6. Выводы по главе.

Глава 3. АНАЛИЗ ЛОКАЛЬНО НЕИДЕНТИФИЦИРУЕМЫХ МОДЕЛЕЙ. ЭЛИМИНИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНОЙ НЕИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ.

3.1. построение и решение системы детерминирующих уравнений для поиска ПФДЛО.

3.1.1. Определение общего вида системы детерминирующих уравнений для поиска ПФДЛО.

3.1.2. Вычисление СЛНИ-матриц для основных классов модельных структур.

3.1.2.1. СЛНИ-матрица для модельных структур общего вида.Г.

3.1.2.2. СЛНИ-матрица для модельных структур с произвольными числовыми матрицами управления и наблюдения.

3.1.2.3. СЛНИ-матрица для модельных структур со стандартными параметризованными матрицами управления и наблюдения.

3.1.2.4. СЛНИ-матрица для модельных структур со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения.

3.1.3. Переход от СЛНИ-матрицы системных параметров к СЛНИ-матрице физических параметров.

3.1.4. Решение системы детерминирующих уравнений.

3.1.5. Примеры анализа локальной идентифицируемости и построения базиса ПФДЛО для моделей неполного ранга.

3.2. Элиминирование локальной неидентифицируемости.

3.2.1. Объединение модельных структур как способ элиминирования локальной неидентифицируемости.

3.2.2. Элиминирование локальной неидентифицируемости с помощью дополнительных ограничений.

3.2.3. Пример анализа идентифицируемости и элиминирования локальной неидентифицируемости.

3.3. Выводы по главе.

Глава 4. АНАЛИЗ ГЛОБАЛЬНОЙ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ И ДИСКРИМИНИРУЕМОСТИ МОДЕЛЬНЫХ СТРУКТУР.

4.1. Анализ глобальной идентифицируемости.

4.1.1. Необходимые и достаточные условия глобальной идентифицируемости.

4.1.2. Примеры использования необходимого и достаточного условия глобальной идентифицируемости.

4.1.3. Алгоритм построения равенств, для которых СГИ-матрица имеет неполный ранг.

4.2. Нахождение сепараторов параметрического пространства.

4.3. Анализ дискриминируемости конкурирующих модельных структур

4.3.1. Необходимые и достаточные условия дискриминируемости двух конкурирующих модельных структур.

4.3.2. Примеры анализа дискриминируемости.

4.4. Выводы по главе.

Глава 5. УСЛОВИЯ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ КАМЕРНОГО ТИПА.

5.1. Линейные камерные модели и их свойства.

5.1.1. Математическое описание моделей камерного типа.

5.1.2. Применение условий идентифицируемости для анализа базовых модельных структур камерного типа.

5.1.2.1. Цепная модель.

5.1.2.1. Звездная модель.

5.2. Условия идентифицируемости для модельной структуры с балансовыми ограничениями.

5.3. Классификация исключающих ограничений на матрицу состояния по их влиянию на идентифицируемость.

5.4. Выводы по главе.

Глава 6. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАЗРАБОТАННОГО ПОДХОДА.

6.1. Практическое применение разработанного подхода.

6.1.1. Объединенная схема анализа идентифицируемости модельной структуры и элиминирования неидентифицируемости.

6.1.2. Анализ идентифицируемости моделей технических систем.

6.1.2.1. Система стабилизации летательного аппарата.

6.1.2.2. Класс модельных структур с матрицей состояния в форме Фробениуса.

6.2. Анализ эффективности разработанного подхода.

6.2.1. Исследование структурной идентифицируемости некоторых кинетических моделей.

6.2.2. Сравнение эффективности различных подходов на примере моделей звездного и цепного типа.

6.3. Электронный каталог сведений по анализу структрурных свойств моделей камерного типа.

6.3.1. Структура и содержание каталога.

6.3.2. Сводная таблица результатов анализа каталога.

6.4. Выводы по главе.

С начала семидесятых годов за рубежом и в нашей стране стало развиваться новое научное направление, связанное с построением терретических моделей по экспериментальным данным - анализ идентифицируемости моделей. Подобные модели обычно формируются на основе известных законов или теоретических представлений о механизме функционирования исследуемой системы. В силу этого они имеют фиксированную структуру, определенную с точностью до неизвестных параметров, подлежащих отысканию из эксперимента. Задачи, связанные с их определением, называют обратными задачами математического моделирования.

Характерная особенность обратных задач состоит в том, что их решение нередко оказывается неединственным. Это один из признаков, по которым такие задачи относят к некорректным задачам. Неединственность решения может быть связана не с малым объемом экспериментальных данных или неудачным выбором точек плана эксперимента. Причина может быть более принципиальной. Неоднозначность оценок параметров может быть обусловлена отсутствием согласия между сложностью модели и числом содержащихся в ней параметров, с одной стороны, и ограниченностью информации о параметрах, которую можно извлечь из эксперимента, с другой стороны. В такой ситуации увеличение объема выборки и «рациональное» размещение точек в факторном пространстве делу не помогут.

Как выявить возможность возникновения такой ситуации априори? Какими последствиями это грозит исследователю и как, в частности, может сказаться на оцениваемых параметрах модели? Что необходимо делать в подобных случаях? На эти и другие вопросы дает ответ методология анализа априорной идентифицируемости параметров математических моделей, решению современных проблем которой посвящена настоящая диссертация.

Пик интереса исследователей к развитию теории структурной идентифицируемости динамических моделей пришелся на 80-е годы прошлого столетия.

К началу 90-х годов было разработано множество методов и подходов к исследованию идентифицируемости линейных и нелинейных моделей в пространстве состояний. Сложилось мнение, что основы теории полностью разработаны (во всяком случае, для линейных систем). Невозможность получения результата исследования моделей сравнительно больших размерностей объяснялась несовершенством вычислительной техники. Создалась иллюзия, что стоит увеличить мощность компьютера, и все проблемы будут решены.

Однако ускоренное развитие вычислительной техники в последнее десятилетие не устранило препятствий, возникающих на пути разработчиков моделей в пространстве состояний. Причина заключается в том, что анализ структурной идентифицируемости требует вычислений в символьном виде, так как предполагает исследование одновременно во всех точках параметрического пространства (на этапе построения модельной структуры числовые значения параметров неизвестны). Существующие на сегодняшний день методы проверки идентифицируемости даже для линейных систем требуют очень громоздких символьных вычислений, с которыми не справляются современные, версии систем компьютерной алгебры, установленные на современных мощных компьютерах. К тому же, разнообразие подходов и методов создает проблему выбора. В литературе по этому поводу приводятся расплывчатые рекомендации, что если один из методов не приводит к решению, нужно попробовать другой.

В то же время, существуют методы, которые, по сравнению с другими, генерируют менее сложные аналитические формулы. К последним относится метод преобразования подобия. Идея данного метода основывается на поиске преобразований, связывающих все эквивалентные модели (т.е. модели с одинаковой структурой и одинаковым входо-выходным поведением). Однако в том виде, в котором данный метод существует, он имеет ряд недостатков, не позволяющих полностью использовать его преимущества.

Во-первых, использование метода не предусматривает разделения на анализ локальной идентифицируемости и анализ глобальной идентифицируемости, и в любом случае предполагает решение системы алгебраических уравнений (системы уравнений подобия). Получается, что если решение системы уравнений подобия не может быть найдено, то мы не можем ответить на вопрос не только о глобальной, но и о локальной идентифицируемости модели. Известно, однако, что анализ локальной идентифицируемости может быть выполнен гораздо более простыми способами (например, вычислением ранга матрицы Яко-би).

Во-вторых, неизвестными в системе уравнений подобия являются не только элементы вектора неизвестных параметров (как в других методах), но и элементы матрицы преобразований подобия. Таким образом, мы получаем систему уравнений достаточно простого вида (билинейные уравнения) с очень большим числом неизвестных, что не слишком благоприятно для ее решения общеизвестным методом компьютерной алгебры для решения алгебраических систем - методом базисов Гребнера.

Если бы результатом исследования являлся только односложный ответ на вопрос, идентифицируема модельная структура или нет, то особого смысла в использовании символьных вычислений, значительно усложняющих анализ, не было бы. В этом случае можно было бы случайным образом выбрать точку в параметрическом пространстве, выполнить анализ в этой точке и с вероятностью 1 сделать вывод об идентифицируемости модельной структуры во всем параметрическом пространстве. Использование символьных вычислений особенно полезно тогда, когда в случае неидентифицируемости мы имеем возможность получить некоторую качественную информацию, которую можно использовать для элиминирования неидентифицируемости - преобразования исходной модельной структуры к идентифицируемой. Отметим, что метод преобразования подобия в том виде, в котором он был предложен ранее, не предоставлял подобной возможности (кроме аналитического вида и числа решений задачи параметрической идентификации). Все вышесказанное позволяет сформулировать цель данной диссертационной работы.

Целью работы является создание комплексного подхода к построению идентифицируемых модельных структур в пространстве состояний, обеспечивающего исследователя эффективными методами анализа структурной идентифицируемости, а также способами преобразования неидентифицируемых модельных структур к идентифицируемым.

Для достижения поставленной цели чрезвычайно актуальными являются три задачи. Первая заключается в разработке таких критериев (условий) идентифицируемости, проверка которых требует наименее громоздких аналитических вычислений. Решение данной задачи базируется на использовании метода преобразования подобия. Вторая задача состоит в разработке специализированных методов и алгоритмов компьютерной алгебры, эффективных при проверке предложенных критериев идентифицируемости, так как встроенные в компьютерные системы алгоритмы ориентированы на самый широкий класс матриц и нелинейных алгебраических систем уравнений, и поэтому не всегда эффективны (а часто и не всегда применимы) в конкретных условиях. Третья задача заключается в разработке способов элиминирования локальной и глобальной неидентифицируемости модельных структур.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории систем, теории идентификации, теории неявных функций, линейной и компьютерной алгебры.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Установлены пределы эмпирической информации при идентификации системных параметров естественно параметризованной модельной структуры. Предложен наиболее удобный для формулировки условий идентифицируемости способ введения априорной информации в виде системы линейных ограничений на системные параметры.

2. Доказаны теоремы, дающие необходимое и достаточное условие локальной идентифицируемости и достаточное условие глобальной идентифицируемости (условия ранга для локальной и глобальной идентифицируемости) системных параметров модельной структуры общего вида.

3. Выделены три подкласса модельных структур, являющихся подмножествами исходного общего класса и широко используемых в практических приложениях. При этом удалось существенно понизить размерность матриц идентифицируемости, и тем самым упростить проведение анализа в символьном виде. Для каждого из классов получены условия порядка — неравенства, задающие минимально необходимое для обеспечения идентифицируемости число ограничений на системные параметры.

4. Для четырех классов модельных структур получен общий вид системы детерминирующих уравнений для поиска параметрических функций, допускающих локальное оценивание (ПФДЛО), на основе которого может быть сделан вывод о локальной идентифицируемости отдельных параметров модели неполного ранга. Предложены методы элиминирования локальной неидентифицируемости, не требующие вычисления базиса ПФДЛО.

5. Доказано необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости, являющееся результатом дальнейшего развития условия ранга, являющегося лишь достаточным. Разработан эффективный алгоритм компьютерной алгебры проверки условия ранга (достаточного условия) для глобальной идентифицируемости. Результатом работы алгоритма является множество соотношений, для которых достаточное условие глобальной идентифицируемости не выполняется.

6. Разработан метод нахождения истинных сепараторов — гиперповерхностей, разделяющих параметрическое пространство на непересекающиеся множества, каждое из которых содержит одно и только одно решение задачи параметрической идентификации, на основе СГИ-матрицы. Предложены способы использования истинных сепараторов для элиминирования глобальной неидентифицируемости.

7. Разработано необходимое и достоточное условие дискриминируемости конкурирующих модельных структур с числовыми матрицами управления и наблюдения.

8. С использованием разработанного подхода доказано, что полностью замкнутые цепные модели являются глобально идентифицируемыми для любой размерности, а полностью замкнутые звездные модели являются лишь локально идентифицируемыми для любой размерности модели. Для моделей звездного типа получена зависимость числа решений задачи параметрической идентификации от размерности модели.

9. Для моделей камерного типа, допускающих только балансовые ограничения, разработаны необходимые и достаточные условия идентифицируемости, которые ввиду простоты их использования были названы условиями порядка. Произведена классификация исключающих ограничений. По степени влияния на идентифицируемость модельной структуры исключающие ограничения отнесены к одной из четырех групп. Получены условия независимости ограничений внутри каждой из групп. Для моделей с исключающими ограничениями сформулированы уточненные условия порядка, задающие минимально необходимое для обеспечения идентифицируемости количество ограничений, не являющихся исключающими.

10. Построен электронный каталог сведений об управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости трехкамерных моделей со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения. Предложенная иерархическая структура каталога позволяет быстро найти информацию о требуемой модельной структуре.

На защиту выносятся:

1. Условия ранга для локальной и глобальной идентифицируемости модельных структур четырех классов: моделей в пространстве состояний общего вида, моделей со стандартными параметризованными матрицами управления и наблюдения, моделей с произвольными числовыми матрицами управления и наблюдения, моделей со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения.

2. Условия порядка (необходимые условия идентифицируемости) для трех последних из перечисленных в п.1 классов модельных структур, а также для модельных структур, допускающих исключающие ограничения на элементы матрицы состояния.

3. Метод построения системы детерминирующих уравнений для поиска параметрических функций, допускающих локальное оценивание, применительно к моделям неполного ранга. Методы элиминирования локальной неидентифицируемости.

4. Необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости модельных структур общего вида. Алгоритм проверки достаточного условия глобальной идентифицируемости (вычисления соотношений, для которых это условие не выполняется).

5. Метод анализа глобальной идентифицируемости, базирующийся на построении истинных сепараторов параметрического пространства. Способы элиминирования глобальной неидентифицируемости с испольльзованием истинных сепараторов.

5. Необходимое и достаточное условие дискриминируемое™ модельных структур и разработанный на его основе метод анализа дискриминируемости.

6. Условия идентифицируемости модельных структур камерного типа с исключающими и балансовыми ограничениями на элементы матрицы состояния.

7. Электронный каталог сведений об управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости трехкамерных модельных структур.

Практическая ценность и реализация результатов исследования. Разработанный в диссертации подход может найти применение при моделировании технических, физических, химических, биологических и пр. явлений и процессов, везде, где используются модели в пространстве состояний. Разработанные в рамках подхода методы, алгоритмы и комплекс программ позволяют наиболее эффективным и целенаправленным способом построить идентифицируемую модельную структуру, удовлетворяющую необходимым априорным ограничениям. Использование программного обеспечения, реализующего разработанный подход, позволяет исследовать структурные свойства моделей существенно больших размерностей (анализ локальной идентифицируемости удается проводить для моделей размерности 20-25, анализ глобальной — для моделей размерности до 10)

С использованием разработанного подхода была исследована идентифицируемость моделей технических систем: системы стабилизации летательного аппарата и класса систем, в которых матрицей состояния является матрица Фробениуса (системы стабилизации летательного аппарата по тангажу, системы управления перегрузкой летательного аппарата, различных следящих систем: с гибкой и жесткой обратной связью, с асинхронным двухфазным двигателем и т.п.). Получены условия, при которых модельные структуры являются глобально идентифицируемыми. В диссертации проведен анализ идентифицируемости ряда практически значимых кинетических (химическая кинетика и фармакокинетика) модельных структур и предложены способы элиминирования локальной или глобальной неидентифицируемости. Построен каталог сведений о структурных свойствах моделей камерного типа. Эффективность подхода наглядно подтверждается сравнением с другими наиболее широко известными методами по таким двум критериям, как время счета и принципиальная возможность получения результатов в символьном виде.

Разработанные алгоритмы и программы, а также каталог структурных свойств камерных моделей, вошли в комплекс математического моделирования камерных фармакокинетических моделей, разрабатываемый в Государственном НИИ Органической Химии и Технологии (г. Москва). Результаты проведенных исследований используются соискателем в курсах лекций «Методы идентификации систем» и «Математические методы планирования эксперимента», читаемых для магистрантов факультета прикладной математики и информатики Новосибирского государственного технического университета, а также при выполнении дипломных проектов и при подготовке кадров высшей квалификации (руководство аспирантами).

Диссертационная работа выполнялась в рамках тематического плана по заданию МО РФ на 1999-2001 гг. «Моделирование стохастических статических и динамических объектов на основе наблюдений» (НГТУ.1.3.99), на 2002-2005 гг. «Математическое моделирование многофакторных объектов на основе наблюдений» (НГТУ.1.1.02), а также являлась частью исследований по федеральной целевой программе «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки» 1997-2001 гг.

Проведение диссертационных исследований было поддержано грантом МО РФ по фундаментальным исследованиям на 2001-2002 гг. «Разработка методов анализа идентифицируемости и дискриминируемости модельных структур в пространстве состояний» (научный руководитель Авдеенко Т.В., шифр гранта Е00-2.0-9).

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, симпозиумах и конгрессах: III Всесоюзная конференция «Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов» (Гродно, 1988 г.); VI Всесоюзная школа-семинар «Применение математических методов для описания и изучения физико-химических равновесий» (Новосибирск, 1989); IX Всесоюзная конференция «Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях» (Москва, 1989 г.); Международная конференция «Нестационарные процессы в катализе» (Новосибирск, 1990 г.); II, IV и V Международные конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 1994 г., 1998 г., 2000 г.); Российско-Корейские Международные Симпозиумы "Научные основы высоких технологий" KORUS '99, KORUS '2000, KORUS '2001 (Новосибирск, 1999 г.; Ульсан,

Корея, 2000 г.; Томск, 2001 г.); Международный Конгресс по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000 г.); XIII, XIV, XV Международные научные конференции "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-13, ММТТ-14, ММТТ-15 (Санкт-Петербург, 2000 г.; Смоленск, 2001 г.; Тамбов, 2002 г.); 15 Всемирный Конгресс IF АС (Барселона, Испания, 2002 г.); II Международная Конференция "Идентификация систем и задачи управления" SICPRO'03 (Москва, 2003).

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в ведущих рецензируемых журналах из перечня ВАК, а также в трудах международных конференций, симпозиумов и конгрессов. Всего по результатам диссертации опубликовано более 40 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных источников из 182 наименований. Объем работы составляет 322 страницы основного текста, включает 23 рисунка, 2 таблицы. В приложении приведено описание программного обеспечения, а также документы, свидетельствующие о практической реализации результатов исследований и разработок автора.

6.4. Выводы по главе

В данной главе были проведены следующие исследования.

1. Приведена объединенная схема практической реализации разработанного подхода, описаны возможности разработанного программного обеспечения.

2. Исследована идентифицируемость моделей технических систем. Проведен анализ некоторых реальных кинетических моделей, анализ идентифицируемости которых другими методами вызывал затруднения. Предложенные в диссертации методы позволили не только исследовать структурную идентифицируемость указанных моделей, но и предложить способы элиминирования локальной и глобальной неидентифицируемости.

2. Произведено сравнение трех методов анализа идентифицируемости на примере реальных кинетических моделей и типовых камерных модельных структур. Сравнение проводилось по времени счета и по принципиальной возможности получения результатов в символьном виде. По обоим критериям подход, разработанный в диссертации, оказался существенно эффективнее.

3. С использованием разработанного алгоритмического и программного обеспечения построен электронный каталог сведений об управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости трехкамерных моделей со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения. Предложенная иерархическая структура каталога позволяет оперативно получать информацию о требуемой модельной структуре. При построении каталога были выявлены случаи, когда наложение дополнительных ограничений не улучшает, а даже ухудшает показатели идентифицируемости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Характеризуя полученные результаты в целом, можно заключить, что в диссертации разработан комплексный подход к построению идентифицируемых модельных структур в пространстве состояний, обеспечивающий наибольшую эффективность и результативность по сравнению с существующими методами исследования. Подход включает множество условий и методов проверки, которые в совокупности дают возможность полного и всестороннего анализа идентифицируемости модельной структуры, построенной на основании имеющейся априорной информации об исследуемом процессе. Все разработанные методы можно разбить на три основных тесно связанных между собой модуля.

Первый модуль составляют условия идентифицируемости моделей в пространстве состояний. Этот модуль является базовым, определяющим суть предлагаемого подхода. В диссертации разработаны разнообразные необходимые и/или достаточные условия локальной и глобальной идентифицируемости (условия ранга и порядка). Эффективность здесь достигается тем, что матрицы в условиях идентифицируемости являются разреженными, и, что очень важно, элементы этих матриц являются линейными функциями оцениваемых параметров вне зависимости от размерности модели. Условия идентифицируемости адаптированы для различных подклассов модельных структур, что выражается в сокращении размерности матриц идентифицируемости и уточнении условий порядка, а, в конечном счете - в повышении эффективности предлагаемого подхода за счет уменьшения времени счета и увеличения размерности моделей, допускающих качественный анализ с получением аналитических результатов.

Второй модуль составляют методы и алгоритмы компьютерной алгебры для проверки условий глобальной идентифицируемости и дискриминируемости модельных структур. Необходимость разработки таких методов была обусловлена отсутствием или недостаточной эффективностью для конкретных задач соответствующих программных средств в существующих системах символьных вычислений. Разработанные в диссертации методы компьютерных вычислений позволяют повысить размерность решаемых задач в 2-3 раза.

Третий модуль составляют способы элиминирования локальной и глобальной неидентифицируемости, позволяющие на основе результатов анализа неидентифицируемой модели определить, какие дополнительные ограничения или изменения в схеме проведения эксперимента приведут к повышению степени идентифицируемости. Разработанные в диссертации способы элиминирования используют качественную информацию, полученную при проверке условий идентифицируемости, составляющих основу предлагаемого подхода.

Суммируем основные результаты диссертационной работы с указанием их практической ценности:

1. Предложена двухшаговая процедура анализа идентифицируемости моделей в пространстве состояний с произвольной параметризацией, позволяющая сократить сложность необходимых вычислений. На первом шаге предлагается исследовать идентифицируемость естественно параметризованной модельной структуры, в которой оцениваемыми параметрами являются элементы системных матриц. На втором шаге выясняется возможность определения конечных параметров из идентифицируемых системных параметров. Установлены пределы эмпирической информации при оценивании системных параметров. Предлагается эффективный способ задания ограничений на системные параметры.

2. Разработаны условия ранга (необходимые и достаточные условия) для локальной и глобальной идентифицируемости системных параметров четырех наиболее важных в смысле практического применения классов модельных структур. Показана взаимосвязь между классами и соответствующими условиями идентифицируемости. Использование условий для наиболее подходящего конкретному случаю класса модельных структур позволяет понизить размерность матриц в условиях ранга и, тем самым, уменьшить сложность необходимых символьных вычислений, обеспечивая максимальную эффективность.

3. Разработаны условия порядка, чаще всего являющиеся лишь необходимыми условиями идентифицируемости, для различных классов модельных структур, включая класс моделей камерного типа, широко используемых в химической кинетике, фармакокинетике, экологии. Практическая польза от разработанных условий порядка заключается в том, что для их проверки не требуется проведения трудоемких символьных вычислений. Подобные условия рекомендуется использовать на начальном этапе конструирования модельной структуры на основе имеющейся априорной информации для обоснованного отбрасывания целого множества параметризаций, заведомо являющихся не-идентифицируемыми.

4. Для локально неидентифицируемых моделей разработан метод построения системы детерминирующих уравнений для поиска параметрических функций, допускающих локальное оценивание. Предложены эффективные способы элиминирования локальной неидентифицируемости, не требующие решения системы детерминирующих уравнений.

5. Разработан метод компьютерной алгебры, являющийся комбинацией метода базисов Гребнера и метода исключения Гаусса, для проверки необходимого и достаточного условия глобальной идентифицируемости. Данный метод включает алгоритм для проверки достаточного условия глобальной идентифицируемости, позволяющий получить соотношения, для которых достаточное условие не выполняется, и последующую процедуру проверки необходимости условия на основе вычисленных соотношений.

6. Предложен метод анализа глобальной идентифицируемости, базирующийся на построении истинных сепараторов параметрического пространства. Данный метод открывает перспективы анализа глобальной идентифицируемости модели с использованием условий локальной идентифицируемости нескольких модельных структур, получающихся из исходной структуры добавлением ограничений-сепараторов. Эффективность предложенного метода вытекает из сравнения трудоемкости (и принципиальной возможности), с одной стороны, решения системы алгебраических уравнений в символьном виде и, с другой стороны, вычисления ранга нескольких символьных матриц. Предложен способ элиминирования глобальной неидентифицируемости с использованием уравнений сепараторов.

7. Предложено необходимое и достаточное условие дискриминируемости конкурирующих модельных структур, положенное в основу разработки метода компьютерной алгебры для исследования дискриминируемости.

8. С использованием разработанного в диссертации подхода проведен анализ идентифицируемости ряда модельных структур, описывающих конкретные физические процессы, происходящее в технических, химических, биологических системах. Сравнение подхода с другими методами позволило убедительно показать его эффективность, как по времени счета, так и по принципиальной возможности получения результатов в символьном виде.

9. Построен электронный каталог сведений об управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости модельных структур камерного типа. Предложенная иерархическая структура каталога позволяет избежать дублирования симметричных моделей и предоставляет возможность оперативного получения информации. Собранная информация позволяет судить о соотношении числа моделей неполного ранга, локально и глобально идентифицируемых моделей в выбранном естественным образом множестве моделей.

1. Working E.J. // Quart. Journ of Economics. 1927. - V.41, № 1.

2. Statistical inference in dynamic economic models / Ed by T.C. Koopmans. Ch. 2 and 3. New-York: Wiley. - 1950.

3. Koopmans T.C. Identification problems in economic model construction. -In: Studies in econometric method / Ed. by W.C. Hood and T.C. Koopmans. — New-York: Wiley. -1953.

4. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. М.: Статистика. -1978.-224 с.

5. KalmanR.E.- In: Developments in statistics / Ed. by Krishnaiah P.R. New-York: Academic Press. - 1983. -P.97-136.

6. Berman M., Schoenfeld R. // J. of Appl. Physics. 1956. - V.27, № 11. - P. 1361-1370.

7. Skinntr S.V., Clark R.E., Baker N., Shipley R. // Am. J. Physiol. 1959. - V. 196. -P.238-244.

8. Ли P. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. -М: Наука. 1966, - 176 с.

9. Bellman R., Astrom K.J. On Structural Identifiability // Math. Biosci. 1970. -V. 7, №3/4.-P. 329-339.

10. Walter E. Identifiability of state space models. Berlin, Germany: Springer-Verlag. - 1982. - 197 p.

11. Identifiability of parametric models / Ed. by Walter E. New-York: Pergamon Press.-1987.-119 p.

12. Писаренко B.H., Погорелов А.Г., Кононов Н.Ф. // Доклады АН СССР. — 1966. Т. 167, № 4. - С. 859-862.

13. Писаренко В.Н., Погорелов А.Г. Планирование кинетических исследований. -М.: Наука. 1969. - 176 с.

14. Клибанов М.В., Спивак С.И., Тимошенко В.И., Слинько М.Г.//Доклады АН СССР. 1973. - Т. 208, № 5. - С. 1387-1390.

15. Спивак С.И. Информативность эксперимента и проблема неединственности решения обратных задач химической кинетики. Автореф. докт. дисс. Черноголовка: ИХФ АН СССР. 1984. - 30 с.

16. Спивак С.И. Методы построения кинетических моделей каталитических стационарных реакций. Автореф. канд. дисс. Новосибирск: ИК СО АН СССР.-1976.-21 с.

17. Коковин Г.А., Титов В.А., Буждан Я.М., Дехтярь Р.В. // Изв. СО АН СССР, сер. хим. наук. 1975, № 7, вып.З. - С. 25-35.

18. Спивак С.И., Ахмадишин З.Ш. //React. Kinet. Catal. Zett. 1979. V. 10, №3. - P. 271-274.

19. Погорелов А.Г. Обратные задачи нестанционарной химической кинетики.- М.: Наука, 1988. - 392 с.

20. Яблонский Г.С., Быков В.И. // Теор. и экспер. химия. 1979. - Т. 15, № 1, — С. 41-45.

21. Евстигнеев В.А., Яблонский Г.С. // Теор. и экспер. химия. 1982. — Т. 18, №6.-С. 688-694.

22. Евстигнеев В.А., Яблонский Г.С. -В кн.: Математические и имитационные модели систем. № 9. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. - 1983. - С. 6472.

23. Яблонский Г.С., Быков В.И., Горбань А.Н. Кинетические модели каталитических реакций. Новосибирск: Наука. - 1983. - 254 с.

24. Евстигнеев В.А., Мельников JI.C. Яблонский Г.С. // Теор. и экспер. химия.- 1987. Т. 23. № 2. - С. 187-191.

25. Яблонский Г.С. Теоретические закономерности сложного кинетического поведения реакций гетерогенного катализа. Автореф. докт. дисс. Новосибирск: Ж СО АН СССР. 1988. - 35 с.

26. Яблонский Г.С., Евстигнеев В.А., Быков В.И. Графы в химической кинетике. В кн.: Применение теории графов в химии. - Новосибирск: Наука. - 1988. - 306 с.

27. Клибанов М.В., Слинько М.Г., Спивак С.И., Тимошенко В.И. В кн.: Всесоюзная конференция по кинетике каталитический реакций. Сб. аннот. и тез. докл. - М.: НИФХИ им.Карпова. - 1971. - С. 76-77.

28. Десяткин A.M., Спивак С.И. // Тез. докл. межвуз. конф. «Молекулярные графы в химических исследованиях». -Калинин. 1990.-С. 17.

29. Десяткин A.M. Структурная идентификация параметров моделей не-станционарной химической кинетики. Автореф. канд. дисс. Уфа: Баш. ГУ. - 1990.- 14 с.

30. Bossi A., Cobelli С., Colussi L., Romanin-Jacur G. // Math. Biosci. 1979. - V. 43, №3-4.-P. 178-198.

31. Eisenfeld J.//Math and Сотр. in Simulation. 1982. V. 24, № 5-6. P. 494-501.

32. D'Angio L. // Math. Biosci. 1985. - V. 76, № 2. - P. 207-220.

33. Лукашенок B.H. // Теор. осн. хим. технологии. 1980. - Т. 14, № 1. — С. 86-90.

34. Лукашенок В.Н.- В кн. Химическая кинетика и катализ. М.: Наука. 1979. С. 9-13.

35. Титов А.А. // Тез. докл. V Всесоюзн. шк.-сем. «Применение матем. методов для описания и изучения физ.-хим. равновесий». Ч.З. — Новосибирск: ИНХ СО АН СССР. 1985. - С. 16-19.

36. Титов А.А. Свойства решений прямых и обратных задач расчета химического равновесия. Автореф. |санд. дисс. Новосибирск: ИНХ СО АН СССР.-1990.-20 с.

37. Романовский М.Р. // ИФЖ. 1989. - Т. 57, № З.-С. 494-500.

38. Романовский М.Р. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1980, № 6.-С. 192-193.

39. Gustavsson I., Ljung L., Soderstrom Т. In: Идентификация и оценка параметров систем. Препринты IV симпоз. ИФАК. 4.1, М.: ИЛУ. - 1976. - Р. 23-61.

40. Reid J.G. // IEEE Trans. Autom. Contr. 1977. - V. 22, № 2. - P. 242-246.41.