автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Аксиоматическая теория идентификации динамических систем

ВВЕДЕНИЕ

0.1. Актуальность темы исследований.

0.2. Краткое содержание диссертации.

0.3. Апробация работы.

1 ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ

Введение.

1.1. Аксиоматизация идентификационного процесса.

1.2. Формулировка основной задачи идентификации.

1.3. Базы и базисы 1-классификации. Идентификационная непрерывность и идентификационная инвариантность.

1.4 Идентифицируемость и топология пространства математических моделей динамических систем.

1.5. Равномерность идентификационного пространства.

1.6. Фактор-пространство максимальных идентифицируемых подмножеств.

2.1. Вспомогательные построения.46

2.2. Конструкции идентификационного пространства.51

2.3. Геометрические свойства семейства сигнальных функций.56

2.4. Структура идентификационного базиса.62

2.5. Геометрия максимальных идентифицируемых подмножеств в(1(Н,Х),3Л).69

Основные результаты и выводы.73

3.1-ПРОЦЕСС И ПРОБЛЕМА РЕАЛИЗАЦИИ В КЛАССЕ ЛИНЕЙНЫХ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ДИНА]УШЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Введение.75

3. Ь Постановки задач.76

3.2. Эквивалентность представления моделей. Существование сильной неопровергнутой (АЗ)-модели.81

3.3. Необходимые и достаточные условия идентифицируемости.90

3.4. Существование и единственность сильной неопровергнутой (А,В)-модели с заданной формой аналитического представления.96

3.5. Решение задачи регуляризации в классе пассивных стационарных моделей.105

3.6. Анализ прямых алгоритмов параметрической идентификации с позиций выбора структуры идентификатора, геометрии 1-базиса и семейства сигнальных функций.107

Основные результаты и выводы.112

4. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 1-ПРОЦЕССА В КЛАССЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ НОРМАЛЬНО-ГИПЕРБОЛИ

ЧЕСКОГО ТИНА

Введение.116

4Л. Определения и основные положения. Формулировки стандартных» задач.117

4.2. Вспомогательные построения.120

4.3. Основные теоремы.133

4.4. Спектральная наблюдаемость волнового динамического процесса.143

Основные результаты и выводы.149

5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ПОРЯДКОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СВОЙСТВ СУЩЕСТВОВАНИЯ СИЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ

Введение.152

5.1. Постановка задач.153

5.2. Вспомогательные построения.155

5.3. Теорема о расширении (А,В)-множества. Некоторые следствия для множества наблюдений со специальной структурой.160

5.4. Дополнительные определения и утверждения.170

5.5. Характеризация обыкновенного пласта над счетным множеством наблюдений.177

5.6. Некоторые свойства в случае суш,ествованмя обыкновенного пласта.180

Основные результаты и выводы.184

6. ПОСТРОЕНИЕ СИЛЬНЫХ {А,В)-МОДЕЛЕЙ С МИНИМАЛЬНОЙ

ОПЕРАТОРНОЙ НОРМОЙ Введение.187

6Л. Предельные представления реализаций сильных (А,В)-моделей.188

6.2. Задача идентификационной аппроксимации линейной нестационарной конечномерной модели.195

6.3. Представление реализации в классе C(T,L(R",R"))xC(T,L(R"',R")).201

6.4. Сходимость конечномерной аппроксршации.205

6.5. Ослабление условий равномерной сходимости (А,В)-ААоделей с применением процедуры конечномерной аппроксимации.210

Основные результаты и выводы.211

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.215

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 225

ВВЕДЕНИЕ

0Д. Актуальность темы исследований. Общая теория идентификации в целом достаточно обширна и продолжает быстро расти [63]. В последнее десятилетие заметно повысился интерес специалистов по теории систем к глобальным и нелинейным аспектам двух основных задач, возникающих в качественной теории идешификации: задаче реализации и задаче классификации при расширении традиционных классов моделей, используемых для описания реальных объектов (системы на дифференцируемых многообразиях [10], системы над кольцами [4,81,83,88] и т. п.) с привлечением к ним классических результатов 5,39,43, 55]. Поворот этот, прежде всего, выразился в интенсивном привлечении современного математического аппарата геометрии гладких многообразий, векторных расслоештй, алгебры и топологии. Остановимся кратко на существе вьщеленных задач.

Проблема реализации - сравнительно недавно возникшее научное направление. Как самостоятельная ветвь "общей теории идентификации, она сформировалась за последние 20-30 лет и заняла [59] одно из центральных мест в качественных исследованиях математической теории систем. Сошлёмся в области автономных систем на работы Н. Еругина [44], Я. Виллемса [13], А. Шафта [10], Я, Шумахера [125], Э. Дружинина и А. Дмитриева [40,42], обзор Б. Якубчика [109,110], классическую монографию П. Эйкхоффа [91], а также литературу, указанную в них, и для неавтономных систем на монографию Р. Калмана, П. Фалба, М. Арбиба [47] и работы В. Солодовникова, В. Дмитриева и И. Егупова, обобщенные в их монографии [75]. Существо проблемы заключается в том, чтобы для заданного отображения «вход-выход» (ишогда определенного в виде ряда Вольтера [62,96,108] или в форме порождающего степенного ряда [103, 108]) построить некоторое многообразие, называемое (минимальным) пространством состояний, начальное значение (из указанного многообразия) и систему типа «вход-выход», эволюционирующую на этом многообразии и имеющую такое же отображение «вход-выход» как исходное. Таким образом, «задача реализации, это просто абстрактная формулировка научного подхода к построению моделей» [47, с. 21].

Проблема классификации также является в настоящее время достаточно стащ1артной областью исследования. В точной формулировке проблемы клас-сификащщ существенно свойство эквивалентности, которое, как правило, определяется некоторой группой преобразований (соответствующие понятия вводятся и исследуются на языке современной алгебраической геометрии [43]). Множество классов эквивалентности при определенных ограничениях представляют собой так называемое многообразие модулей. В рамках теории систем некоторые аспекты проблемы классификации были сформулированы и изучены Р. Калманом [113] и М. Хазевинкелем [105,106] а затем К. Бирнсом [97,99,100], Н. Хартом [98], А. Таненбаумом [126] и др. Ясно, что само многообразие модулей систем зависит от определения эквивалентности, т.е. от действующей группы преобразований (полной линией группы преобразования координат [83], полной группы обратной связи [4] и т. д.).

Связать эти две проблемы, а именно, исследовать теоретико-прикладные задачи проблемы реализации методами классификации, составляет одну из основных целей данной диссертационной работы.

Другая цель работы - продвинуться в направлении решения следующей методологической проблемы. Она, по-видимому, впервые была поставлена на 2-ом симпозиуме 1РАС «Идентификация и оценивание параметров» в 1970 г. (Прага) в обзорной работе К. Острема и П. Эйкхоффа [93], в которой отмечалось, что широта предмета и количество разделов идентификации как теории стали приводить в замешательство даже специалистов в данной области теории систем. Авторы указали, что весьма желательно провести в этой области некоторую унификацию'. Эта мысль представлялась вполне уместной, поскольку излишняя разнородность усилий исследователей мало способствовала прогрессу практических приложений идентификации. Но даже более десяти лет спустя Эйкхофф в своей аннотации [76, с. 9] на работу В. Петерки [76, с. 278] был вынужден констатировать: «Автор доказывает, что данный метод оценивания можно рассматривать как средство, способное превратить идентификацию в самостоятельную теорию с формальными структурами. Когда такое состояние будет достигнуто и получено отчетливое представление о предмете, решение частных задач идентификации окажется возможным находить с помощью дедукции без каких-либо специальных методов. Очень воодушевляющая перспектива !» Через 5 лет (после этой констатации) автору диссертации удалось получить первые результаты [67-69] в этом направлении, причем в отличие от подхода, предложенного Петерки и основанного на построении универсального метода идентификации («Байесовской подход к идентификации» [76]), в [67] был предложен по суш;еству аксиоматический подход к данной проблеме. При этом основной принцип, заложенный в аксиоматику, состоял в использовании понятий пространства и структуры, как методологического средства, позволяющего формально пояснить вопросы, связанные с интуитивным пониманием слов идентификация и идентифицируемость. В соответствии с этим основное внимание автора было обращено, прежде всего, к рассмотрению теоретико-множественных конструкций с использованием структуры равномерности [6,50] как прототипа последующих, поскольку общая топология достигла того наиболее естественного уровня обпщости, который позволяет излагать топологические принципы, концепции и конструкции с наибольшей прозрачностью и одновременно обеспечивать им максимально широкое приложение в других специальных областях.

Здесь следует заметить, что аксиоматический подход в истории уже неоднократно зарекомендовал себя (аксиоматика, как результат индукции, обобщения примеров, дедукцией помогает "экономно обслуживать" не только ранее рассмотренные задачи, но и видеть новые [6,47,57,59,60]).

Существует также ряд сугубо практических соображений (помимо естественного стремления обобщить известный «конечномерный факт»), мотивировавших в диссертации углубленное развитие общей методологии идентификации математических моделей динамических объектов с уравнениями состоя 1шя в бесконечномерном векторном пространстве [92], хотя объекты в конечномерном варианте также интенсивно изучаются (см. обзоры [51,61,76]).

Одно из них заключается в том, что появляется возможность (есть надежда) выявить дескриптивный характер качественного отличия идентифицируемых математических моделей конечно- и бесконечномерных динамических объектов от неидентифрпщруемых, опираясь исключительно на алгебраические и топологические свойства их фазовых траекторий. Это важно, так как даже для автономных объектов [40-42] такое различие играет определяющую роль при выделении класса моделей, идентифицируемых на одном частном решении (траектории), и алгоритмизации процедуры формального (в смысле определения работы [67]) идентификационного процесса (1-процесса).

Другое соображение, далеко не столь очевидное, состоит в том, что язык то-полого-алгебраических структур семейств сигнальных функций и 1-базисов, развитый в диссертации, делает возможным подход к тому, что, без преувеличения, можно было бы назвать первой проблемой общей теории идентификации: нахождение наиболее сильной неопровергнутой модели, объясняющей заданное множество наблюдений (моделируемых явлений). Иными словами, концептуальная сторона проблемы заключается в построеьши (в заданном классе динамических систем) характеристического признака «принципа Поппера»Л [121], так как в большинстве приложений отсутствие согласованности между данными и моделью возникает, прежде всего, не по причине случайности или шума измерения, а благодаря сознательному использованию «удобной» моде

Поппер (Popper) Карл Раймонд - философ, логик, социолог, представитель аналитической философии. Выдвинул принцип фальсификации «опровержимости», согласно которому критерий научности теории определяется возможностью ее опровержения опытом. ли, структура которой, как правило, априори не позволяет охватить природную сложность наблюдаемого физического процесса. Таким образом, аксиоматический подход к теории идентифжации для динамических систем позволяет строго (в рамках математического формализма) ставить и решать задачи «структурной идентификации» [18; 91, сс. 7,26].

0.2. Краткое содержание диссертации. В диссертации 6 глав, каждая из которых начинается с введения, разделяется на параграфы и заканчивается кратким подведением итогов с указанием возможных перспектив развития рассмотренных в ней вопросов.

Результаты работы и перспективы дальнейших исследований

1. В рамках концепции «черного ящика» предложены и исследованы элементы математических основ теории идентификации сложных динамических систем. При этом особое внимание уделено анализу структур типа топологии и равномерности, возникающих в пространстве отображений, содержащем модель исследуемой динамической системы. Пол5Д1енные теоремы позволяют в терминах этих структур формулировать необходимые и достаточные условия для существования модели входных воздействий, разрешающей вопрос об апостериорном распознаваьши математической модели исследуемой динамической системы.

В круг проблем, требующих (на взгляд автора) своего развития в рамках то-пологЕиеской концепции «черного ящика», можно включить:

- построение теории 1-процессов в предположении, что Л-модель является многозначным отображением;

- развитие теории вдентификационной размерности на основе использования аппарата кардинальиых функций и конструкций топологического веса, характера и плотности пространства 2,-моделей;

- исследование поведений факторных отображений на фактор-пространствах максимальных идентифицируемых подмножеств.

2. Построены основные математические конструкции геометрического универсума качественной теории идентификации математических моделей линейных управляемых динамических систем с уравнениями состояния в бесконечном банаховом пространстве; при этом:

- показано, что семейства сигнальных фзпкций характеризуются классами обычных лебеговых функциональных пространств Ьр;

- доказаны теоремы о сепарабельности рефлексивности и замкнутости максимальных 1-базисов в топологии пространств входных сигналов;

- описана тополого-алгебраическая структура максимальных идентифицируемых подмножеств в идентификационном пространстве, как семейств топологических векторных пространств с топологиями поточечной сходимости на I-базисах.

К проблемно-методологическим задачам, ожидающим своего решения в рамках общей теории 1-процессов в классе линейных непрерывных управляемых динамических систем с уравнениями состояния в общем банаховом пространстве (не обязательно сепарабельном и равномерно выпуклым), следует отнести:

- развитие теории в предположении, когда наблюдается выход у(1)=С(1)х(1), где С - оператор «наблюдателя», а х - вектор состояния;

- построение теории сильных (А,В)-моделей;

- определение идентификационных инвариантов на семействах максимальных идентифицируемых фактор-пространствах (А,В)- и л-моделей.

3. Установлено, что общепринятая классификация методов и алгоритмов апостериорного построения моделей в рамках предложенной в диссертации теории 1-процессов сводится к заданию той или иной структуры 1-базиса, а также выбора того или иного подмножества семейства сигнальш>1Х функций; при этом:

- сформулированы и доказаны необходимью и достаточные условия существования сильной неопровергнутой (А,В)-модели;

- для заданного характеристического элемента 1-процесса и произвольного фиксированного конечномерного подпространства А-моделей определены и доказаны необходимые и достаточные условия псевдо-идентифицируемости точек этого подпространства;

- для фиксированного класса конечномерных подпространств пространства А-моделей определены и доказаны необходимые и достаточные условия существования характеристического элемента 1-процесса, для которого все точки данного подпространства псевдо-идентифицируемы.

В области качественных исследований теории 1-процессов в классе непрерывных конечномерных динамических систем остаются нерешенными многие интересные постановки и проблемы, к числу самых привлекательных из которых, автор отнес бы следуюпще:

- описание аналитических условий существования характеристического элемента 1-процесса порожденного нестационарной (А,В)-моделью, и такого, что данная (А,В)-модель будет идентифицируемой в содержащем ее фиксированном конечномерном подпространстве пространства (А,В)-моделей с 1-базисом, индуцированным элементом х;

- построение признака, характеризующего произвольный набор пар «траектория, управление» как подмножества из класса допустимых решений некоторой (А,В)-модели, принадлежащей фиксированному, в частности, конечномерному, собственному подпространству пространства (А,В)-моделей;

- развитие теории 1-процессов для нелинейных дифференциальных систем с линейно-параметрической правой частью.

4. В терминах конструкций 1-процесса поставлена и исследована задача о нахождении конечного числа элементов спектра эллиптического оператора управляемого объекта, динамика которого описывается линейной моделью нормально-гиперболического типа; при этом:

- получены теоремы, характеризующие тополого-алгебраическую структуру 1-базиса в идентификационном процессе 5,-моделей линейного управляемого объекта с уравнениями состояния в пространстве Фреше, из которых, в частности, следует, что время любого прямого вычислительного метода идентификации спектральных характеристик модели динамического объекта нормально-гиперболического типа в принципе ограничено по продолжительности лишь техническими возможностями измерительной и вычислительной аппаратуры;

- в терминах конструкций 1-базиса дж заданного целого Пщах и фиксированной линейной нормально-гиперболической модели определены условия существования волнового динамического процесса, спектрально наблюдаемого до шдекса пЛах;

- для волнового динамического процесса, представляющего обобщенное решение нормально-гиперболической модели и спектрально наблюдаемого до некоторого индекса, определена численная процедура вычисления величин этого индекса Пшах и Пщах различных собственных чисел элементов спектра эллиптического оператора данной модели.

В плане дальнейших продвижений в решении общей проблемы идентификации спектральных характеристик динамического объекта нормально-гиперболического типа, не вызывает сомнений актуальность рассмотрений следую-пщх вопросов:

- учет влияьшя диссипации;

- определение аналитических характеристик волнового динамического процесса а-наблюдаемого в спектре;

- выбор геометрии идеальных измерителей, гарантирующей свойство спектральной наблюдаемости с индексом п (или а-наблюдаемости).

5. Изучены геометрические и порядковые характеристики свойств существования сильных (А,В)-моделей, идентифицируемых над множеством наблюдаемых динамических процессов (набором пар «траектория, управление») со счетным числом элементов; при этом:

- получены достаточные условия для элементарного алгебраического расширения линейного (А,В)-множества со счетным базисом Гамеля с сохранением (А,В)-свойства;

- доказана эквивалентность математических конструкций распределенного и обыкновенного пластов над множеством наблюдений со счетным числом в классе пассивных решений линейных непрерывных управляемых конечномерных динамических систем;

- в терминах конструкций максимальных вполне упорядоченных гнезд получены теоремы существования сильных (А,В)-моделей.

Автор считает, что дальнейшие возможные шаги в области исследований геометрических и порядковых характеристик свойств существования сильных (А,В)-моделей могут быть сделаны в направлении;

- построения в терминах семейств сигнальных функций, индуцированных конструкцией некоторого порождающего элемента 1-процесса х, характеристического признака для элементарного алгебраического расширения элементом % произвольного, фиксированного, линейного (А,В)-множества со счетным базисом Гамеля с сохранением (А,В)-свойства;

- выделения классов алгебраически замкнутых множеств наблюдаемых дина-Аfflчecкиx процессов (пар «траектория, управление»), для которых конструкции обыкновенных и распределенных пластов эквивалентны;

- определения аналитической структуры для вида правой части дифференциальной системы, порождаемой (в задаче реализации) конструкцией произвольного фиксированного распределенного пласта.

6. В терминах конструкций 1-процессов исследованы вопросы существования и построения сильных неопровергнутых (А,В)-моделей с минимальной операторной нормой в пространстве А-моделей; при этом:

- получены теоремы о необходимых и достаточных условиях существования реализаций с минимальной операторной нормой в зависимости от аналитических структур пространств входтгх и выходных сигналов;

- найдены необходимые и достаточные условия, определяющие для произвольного конечномерного подпространства л-моделей отклонение конечномерной аппроксимации (в структуре этого подпространства) в норме пространства л-моделей от реализации л-моделей с минимально нормой;

- сформулированы и доказаны теоремы сходимости конечномерной аппроксимации (А,В)-модели к физически реализуемой (А,В)-модели.

Теоретико-прикладными задачами следующего этапа развития теории 1-про-цессов применительно к проблеме аппроксимации конечномерными идентификационными моделями могут стать различные обобщения и интерпретации задачи конечномерной аппроксимации л-моделей в рамках теории полиномиальных операторов, интервальных алгебраических (операторных) уравнений, быстрых преобразований Фурье, Уолша, Хаара.

Следует также отметить, что на Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» 81СРК0'2000 (Москва, 2000 г.) [63] в рамках построеьпюго в диссертации аксиоматического подхода к ОТИ выдвинут проект [73], ставящий целью формализацию идентификационных процессов, связанных с понятиями апостериорного моделирования структуры исследуемой динамической системы (система трактуется экзогенно, т.е. в конструкциях определения 1.8 [47, с. 20], термин структура понимается в смысле Бурбаки). Предложенный в проекте теоретико-модельный подход «дифференцирует» проблему структурной вдентификации на пять областей исследований, упорядоченных (между собой) дедуктивным процессом «принятия решений». Сами области, в соответствии с указанным порядком, терминологически можно обозначить так: первая - «анализ типов», вторая - «синтез типов», третья - «анализ представлений», четвертая - «синтез представлений», пятая - «конструирование»:

- задачи «анализа типов» должны в терминах математических дефиниций ключевых признаковых универсалий определять тип структуры, имманентной дршамической системе, «обслуживающей» предъявленные наблюдения в виде пар «траектория, управление» (в интерпретации Бурбаки типу структуры отвечает ее род);

- задачи «синтеза типов» обязаны выявлять условия сохранения ранее установленного типа структуры моделируемого динамического объекта при расширении апостериорной информации;

- задачи «анализа представлений» призваны определять вид структуры (этот термин необходимо воспринимать, как сужение типа структуры на фиксированный класс математических моделей с конечной идентификационной размерностью);

- задачи «синтеза представлений» предназначены описывать инвариантность идентифицированного вида структуры по отношению к расширению апостериорной информации;

- постановка «конструирование» предполагает манипулирование (в идеале -оптимизацию) численными значениями свободных параметров в рамках той структуры, которая зафиксирована результатом решений четырех предыдуш,их задач.

Все перечисленные выше результаты и возможнью перспективы их развития указывают на наличие тесной взаимосвязи между глобальными тополого-алгеб-раическими свойствами пространств непрерывных управляемых систем, а также их реше1шями и важнейшими теоретическими вопросами идентификации математических моделей этих систем. Автор надеется, что намеченный в диссертации путь фундаментальных исследований по теории 1-процессов перекинет новый мост между общей и прикладной теориями систем в области математического моделирования сложных динамических объектов.

Таким образом, в диссертации получены и выносятся на защиту следующие основные результаты:

1. В рамках концепции «черного ящика» предложены и исследованы математические основы общей теории идентификации динамических систем. При этом особое внимание уделено анализу структур типа топологии и равномерности, возникающих в пространстве отображений, содержащем математическую модель исследуемой динамической системы, и позвол5пощих формулировать необходимые и достаточные условия существования множества входных сигналов, разрешающего вопрос об апостериорном распознавании математической модели указанной динамической системы.

2Т—г и и О Построен универсальный математический аппарат качественной теории идентификации математических моделей линейных динамических систем управления с уравнениями состояния в банаховом пространстве; при этом:

- показано, что семейства сигнальных функций характеризуются классами лебеговых функциональных пространств Ьр;

- доказаны теоремы о сепарабельности, замкнутости и рефлексивности максимальных 1-базисов в топологии пространства входных сигналов идентификационного процесса, порождённого его характеристическим элементом;

- описана тополого-алгебраическая структура максимальных идентифицируемых подмножеств, как семейств топологических векторных пространств с топологиями поточечной сходимости на 1-базисах.

3. Установлено, что общепринятая классификация методов апостериорного построения линейных конечномерных дифференциальных систем управления в рамках теории 1-процессов сводится к заданию структуры 1-базиса, а также выбора подмножества семейства сигнальных функций; при этом:

- определены и доказаны необходимью и достаточные условия существования сильной неопровергнутой (А,В)-модели;

- для характеристического элемента 1-процесса и произвольного фиксированного конечномерного подпространства Л-моделей получены необходимые и достаточные условия псевдо-идентифицируемости этого подпространства;

- доказана теорема о существовании конечного числа пар «траектория, управление», обеспечивающих идентифицируемость пространства Л-моделей.

4. В терминах конструкций 1-процесса исследована задача о нахождении конечного числа элементов спектра эллиптического оператора объекта управления, динамика которого описывается линейной моделью нормально-гиперболического типа; при этом:

- получены теоремы, характеризующие тополого-алгебраическую стрзтстуру 1-базиса в идентификационном процессе Л-моделей линейного объекта управ-лершя с уравнениями состояния в пространстве Фреше;

- в терминах конструкции 1-базиса для заданного целого пЛах определены условия существования волнового динамического процесса, спектрально наблюдаемого до индекса Пищ;

- для волнового динамического процесса, представляющего обобщенное решение нормально-гршерболической модели и спектрально наблюдаемого до некоторого индекса, определены численные процедуры вычисления величины этого индекса Пщк и Пщк различных собстве1шых чисел элементов спектра эллиптического оператора данной модели.

5. Изучены геометрические и порядковые характеристики свойств существования сильных (А,В)-моделей, реализуемых над множеством наблюдаемых динамических процессов со счетным числом элементов; при этом:

- доказана эквивалентность математических конструкций распределенного и обыкновенного пластов в классе траекторргй с нулевым управлением;

- в терминах конструкций максимальных вполне зпорядоченных гнёзд получены теоремы существования сильных (А,В)-моделей;

6. Исследованы вопросы существования и построения сильных неопровергну-тых (А,В)-моделей с минимальной операторной нормой ; при этом:

- получены необходимые и достаточные условия существования реализаций (А,В)-моделей с мршимальной операторной нормой в зависимости от метрических структур пространств входных и выходных сигналов 1-процесса;

- построена аналитическая оценка ошибки при конечномерной аппроксимации Л-модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе изложен аксиоматический подход в теории идентификации, позволяющий с позиций едЕпных предположений и единого понятийного базиса ставить и решать задачи общей теории идентификации (ОТИ), ориентированные на качественный анализ методов и алгоритмов апостериорного построения математических моделей сложных динамических систем по результатам наблюдения их функционирования. Предложенный подход, названный теорией I-процессов, отличается от известных (ориентированных, в основном, на систематизацию и унификацию существующих в ОТИ методов) универсальностью своей теоретико-множественной модели, охватывающей основной класс проблемно-методологических задач ОТИ и допускающей весьма компактную форму их постановки. Разработанная в работе теория 1-процессов позволила осуществить в рамках строгого математического формализма принципиальное решение следующих центральных задач ОТИ:

A. Выбор множества входных воздействий, гарантирующего, что математическая модель любой исследуемой динамической системы из фиксированного класса моделей будет идентифицируема при определенных предположениях о возможностях наблюдения их реакций.

Б. Формирование диагностического теста для заданной динамической системы.

B. Построение максимальных идентифицируемых подмножеств, как топологических или линейных топологических пространств, в фиксированном семействе математических моделей при заданном множестве входных воздействий.

Г. Определение для динамической системы, представленной апостериори обобщенным графиком (набором пар «траектория, управление») в произведении пространств входных и выходных сигналов, ее соответствия фиксированному классу математических моделей динамических систем («структурная идентификация»).

Д. Разработка эффективных методик идентифшсационных процессов.

Для систематического изложения математических основ ОТИ (на примере решения задач А-Д) предложены унифицированные теоретико-множественные конструкции, отражающие основные понятия и свойства известных идентифицированных процессов: 1-процесс, 1-классификация, идентифицированное пространство, 1-базис, идентификационная размерность, Л-модель, (А,В)-модель, семейство сигнальных функций, сильная (А,В)-модель (сильная не опровергнутая (А,В)-модель), распределенный и обыкновенный пласты над множеством и и и и -1—г наблюдений, реализация с минимальной операторной нормой. При этом в приведенных выше терминах и конструкциях сформулированы и изучены такие общие методики построения идентификационных процессов как, технология «вход-выход» и конечномерная аппроксимация 2,-модели.

1. Авербух В.И. Квазилинейные уравнения в линейных топологических пространствах // УМН. 1967. Т. 22. № 3. С. 233-234.

2. Авербух В.И., Смолянов О.Г. Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах // УМН. 1967. Т. 22. J№ 6. С. 201-260.

3. Авербух В.П., Смолянов О.Г. Различные определения производной в линейных топологических пространствах // УМН. 1968. Т. 23. № 4. С. 67-116.

4. Бирнс К., Краух П. Геометрические методы классификации линейных систем с обратной связью / Теория систем. Математические методы и моделирование. М.: Мир, 1989. С. 281-295.

5. Бобылев H.A., Болтянский В.Г., Всехсвятский СЮ. и др. Математическая теория систем. М.: Наука, 1986. 166 с.

6. Бурбаки П. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. 272 с.

7. Бурбаки П. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. М.: Наука, 1967. 396 с.

8. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представление. М.: Наука, 1970. 320 с.

9. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М.: Иностранная литература, 1959. 410 с.

10. Ван дер Шафт А. К теории реализации нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями высшего порядка // Теория систем. Математические методы и моделирование. М.: Мир, 1989. С. 192-237.

11. И. Варга Дж. Оптимальные управления дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.

12. Васильев СП., Русанов В.А., Данеев A.B. Автоматическое построение математических моделей с помощью методов структурно-параметрическойидентификации // Микроэлектронные системы контроля и управления на транспорте. Иркутск: ИрИИТ, 1996. № 2. С. 54-77.

13. Виллемс Я. От временного ряда к линейной системе // Теория систем. Математические методы и моделирование. М.: Мир, 1989. С. 8-191.

14. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.

15. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств М.: Физматгиз, 1961. 408 с.

16. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967. 416 с.

17. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 549 с.

18. Гинсберг К.С. Основы системного моделирования реального процесса структурной идентификации: ключевые понятия // Автоматика и телемеханика. 1998. № 8. С. 97-108.

19. Гроп Д. Методы идентификации. М.: Мир, 1979. 302 с.

20. Далецкий Ю.Л., Фомин СВ. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. -М.: Наука, 1983. 384 с.

21. Данеев A.B., Русанов В.А. К аксиоматической теории идентификации динамических систем. I. Основные структуры // Автоматика и телемеханика. 1994. № 8. С 126-136.

22. Данеев A.B., Русанов В. А. К аксиоматической теории идентификации динамических систем. П. Идентификация линейных систем // Автоматика и телемеханика. 1994. № 9. с. 120-133.

23. Данеев A.B., Русанов В.А. Элементы качественной теории идентификации динамических систем. Иркутск: ИрГТУ, 1994. 167 с.

24. Данеев A.B., Русанов В.А. Об одной теореме существования сильной мо-дели//Автоматика и телемеханика. 1995. № 8. С 64-73.

25. Данеев A.B., Русанов В. А. К методам качественной теории идентификации сложных динамических систем // Доклады АН. 1997. Т. 355. № 2. С. 174177.

26. Данеев A.B., Русанов В. А. Уравнения движения сверхмалых отстояний в полной пространственно-угловой динамике полета вблизи опорной поверхно-сти//Вестник МГТУ. Сер. Приборостроение. 2000. № 1. С. 104-110.

27. Данеев A.B., Русанов В. А. Адаптивная стабилизация углового движения ЛА с аналоговым рулевым приводом // Известия вузов. Авиационная техника. 1997. №3 . С. 14-21.

28. Данеев A.B., Куменко А.Е., Русанов В.А. Задача спектральной идентификации математической модели линейной динамической системы управления ЛА. //Известия вузов. Авиационная техника. 1999. № 1. С. 20-24.

29. Данеев A.B., Русанов В.А. Порядковые характеристики свойств существования сильных линейных конечномерных дифференциальных моделей // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 1. С. 43-50.

30. Данеев A.B., Русанов В.А. Геометрические характеристики свойств существования конечномерных (А,В)-моделей в задачах структурно-параметрической идентификации// Автоматика и телемеханика. 1999. № 1. С. 3-8.

31. Данеев A.B., Петряков М.Г., Русанов В.А. Принцип сравнения и оптимальная стабилизация ршвариантного множества в задаче высокоточного наведения // Известия АН. Теория и системы управления. 1999. № 2. С. 67-76.

32. Данеев A.B., Русанов В.А. Об одном классе сильных дифференциальных моделей над счетным множеством динамических процессов конечного характера // Известия вузов. Математика. 2000. № 2. С. 32-40.

33. Данеев A.B., Русанов В.А. О спектрально-векторной идентификации линейной непрерывной нестационарной конечномерной системы управления // Известия вузов. Приборостроение. 2001. Т. 44. № 8. С. 25-32.

34. Данеев A.B., Русанов В, А. Геометрический подход к решению некоторых обратных задач системного анализа // Известия вузов. Математика. 2001. № 10. С. 18-28.

35. Данеев A.B., Русанов В.А. Спектральный анализ 1-процессов в классе смешанных задач для линейных моделей нормально-гиперболического типа. I // Ред. ж. "Изв. вузов. Математика". Казань, 2001. 21 с. (реф. в 2001. № 4. С. 80.) / Деп. в ВИНИТИ, № 3030-В00.

36. Данеев A.B., Русанов В.А. Спектральный анализ 1-процессов в классе смешанных задач для линейных моделей нормально-гиперболического типа. II // Ред. ж. "Изв. вузов. Математика". Казань, 2001. 18 с. (реф. в 2001. № 4. С. 80) / Деп. в ВИНИТИ, № 3030-В00.

37. ДезЕИ A.A. Многомерный анализ и дискретш>1е модели. М.: Наука, 1990. 240 с.

38. Дмитриев A.B., Дружинин Э.И. Идентификация динамических характеристик непрерывных линейных моделей в условиях полной параметрической неопределенности // Известия РАН. Теория и системы управления. 1999. № 3. С. 44-52.

39. Дружинин Э.И., Дмитриев A.B., Русанов В.А. Адаптивная стабилизация автоколебаний // Труды 2-го Сибирского семинара по динамике космических объектов. Новосибирск, 1980. С. 224-243.

40. Дружинин Э.И. I. К теории прямых вычислительных алгоритмов параметрической идентификации линейных объектов / Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления. Новосибирск: Наука, 1985. 211-217 с.

41. Дьедонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариан-тов.-М: Мир, 1974. 80 с.

42. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифферешщальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую // ПММ, Т. XVI, № 6, 1952. С. 659-670.

43. Залманзон Л.А. Преобразование Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989. 496 с.

44. ИосидаК. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

45. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М.:Мир, 1971.400 с.

46. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 442 с.

47. Капалин В.И., Прокопов Б.И. Методы идентификации. М.: МИЭМ, 1989. 234 с.

48. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1968. 384 с.

49. Клейман Е.Г. Идентификация нестационарных объектов // Автоматика и телемеханика. 1999. № 10. С. 3-36.

50. Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

51. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974. 832 с.

52. Красовский A.A., Буков В.А., Шендрик B.C. Универсальные алгоррггмы оптимального управления непрерывными процессами. М.: Наука, 1977. 270 с.

53. Крафт X. Геометрические методы в теории инвариантов. М.: Мир, 1987. 320 с.

54. Лакеев A.B., Носков СИ. Описание множества решений линейного уравнения с интервально заданными оператором и правой частью// Доклады АН. 1990. Т. 330. №4 С 430-433.

55. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев СП. Метод сравнения в математической теории систем Новосибирск: Наука, 1980. 481 с.

56. Массера Х.Л., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. 456 с.

57. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. -М.:Мир, 1978. 312 с.

58. Матвеев A.C., Якубович В.А. Абстрактная теория оптимального управления. Санкт-Петербург: СПБУ, 1993. 372 с.

59. Осетинский Н.И. Обзор некоторых результатов и методов современной теории линейных систем / Теория систем. Математические методы и моделирование. М.: Мир, 1989. С. 328-375.

60. Попков Ю.С., Ашимов A.A., Асаубаев К.Ш. Статистическая теория автоматических систем с динамической частотно-импульсной модуляцией. М.: Наука, 1988. 256 с.

61. Прангишвили И.В., Лотоцкий В.А., Гинсберг К.С. Международная конференция Идентификация систем и задачи управления (SICPRO'2000) // Вестник РФФИ. 2001. № 3(25). С. 44-57.

62. Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 587 с.

63. Рубан А.И. Адаптивное управление с идентификацией. Томск: ТГУ, 1983.136 с.

64. Рудин у. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. 444 с.

65. Русанов В.А. К вопросу построения теоретико-множественной модели процессов идентификации сложных динамических систем. Иркутск: ИрВЦ СО СССР, 1988. 44 с. (Препринт № 11. ИрВЦ СО СССР).

66. Русанов В.А. О свойствах максимальных идентифицируемых подмножеств в пространстве динамических систем // Асимптотические методы в теории систем. Иркутск: ИНЦ СО СССР, 1989. С. 100-115.

67. Русанов В.А. Геометрические свойства сжнальных функций в методе спектральной идентификации // Асимптотические методы в теории систем. -Иркутск: ИНЦ СО СССР, 1990. С. 232-236.

68. Русанов В.А. Идентификация линейных моделей в классе динамических объектов с уравнениями состояния в общем банаховом пространстве // Асимптотические методы в задачах аэродинамики и проектирования летательных аппаратов. Иркутск: ИрГТУ, 1994. С. 100-115.

69. Русанов В.А. К аналитической теории сильных моделей // Асимптотические методы в задачах аэродинамики и проектирования летательных аппаратов. -Иркутск: ИрГТУ, 1995. С. 69-75.

70. Русанов В.А. О некоторых свойствах сильных моделей // Асимптотические методы в задачах аэродинамики и проектирования летательных аппаратов. -Иркутск: ИрГТУ, 1996. С. 48-54.

71. Сейдж А., Меле Дж. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974. 246 с.

72. Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления. М.: Машиностроение, 1986. 440 с.

73. Современные методы идентификации систем / Иод ред. П.Эйкхоффа. М.: Мир, 1983. 400 с.

74. Справочник по теории автоматического управления / Иод ред. А.А.Кра-совского. М.: Наука, 1987. 712 с.

75. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980. 463 с.

76. Толстоногов A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 296 с.

77. Тостых В.К. Идентифицируемость систем с распределенными параметра-ми//Автоматика и телемеханика. 1989. № 10. С. 49-55.

78. У имен Б., Конте Дж., Пер дон А. Локальная и глобальная теория линейных систем / Теория систем. Математические методы и моделирование. М.: Мир, 1989. С. 296-315.

79. Уонем М. Линейные многомерные системы управления. М.: Наука, 1980. 376 с.

80. Хелмке У. Топология пространства модулей достижимых линейных динамических систем над полем комплексных чисел / Теория систем. Математические методы и моделирование. М.: Мир, 1989. С. 238-280.

81. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 412 с.

82. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. -М.: Мир, 1985. 376 с.

83. Хори Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 656 с.

84. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М.: Наука, 1984. 320 с.

85. Шейман М. Уравнения Риккати, линейные потоки на многообразии флагов и разложения Брюа / Теория систем. Математические методы и моделиро-вание.-М.: Мир, 1989. С. 316-327.

86. Шилов Т.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства). -М.: Наука, 1969. 432 с.

87. Шилов Т.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл, мера и производная. М.: Наука, 1967. 220 с.

88. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975. 688 с.

89. Ahmed N.U. Optiinization and Identification of Systems Governed by Evolution Equations on Banach Space. New York: John Wiely and Sons. 1986. 188 p.

90. Astrom K.J., Eykhoff P. System Identification. A Survey // Automática. № 7. 1971. P. 123-163.

91. Barah H., Boka J. Implementation Problems in Modal Identification Vibrating Structure // AIAA/ASME/ASCE/AHS 29 th Struct. Struc. Dyn. and Mater. Conf. Williamsburg Va Apr. 18-20. 1988. Collect. Techn. Pap. Pt.3. Washington. D.C. 1988. P. 1542-1555.

92. Bamh H., Khatri H.P. Identification of Modal Parameters in Vibrating Structure // AIAA/ASME/ASCE/AHS 28 th Struct. StRic. Dyn. and Mater. Conf Monterrey Calif Apr. 9-10 1987. Collect. Techn. Pap. Pt.2A. New-York N.Y. 1987. - P. 152162.

93. Brocket R.W. Volterra Series and Geometric Control Theory // Automática. № 12. 1976. P. 167-176.

94. Byrnes C.I., Falb P.L. Applications of Algebraic Geometry in System Theory // Amer. J. Math. № 101. 1979. P. 337-363.

95. Byrnes C.I., Hurt N.E. On the Moduli of Linear Dynamical System Theory // Adv. in Math. Studies in Analysis. № 4. 1979. P. 83-122.

96. Byrnes C.I. Algebraic and Geometric Aspects of the Analysis of Feedback Systems // Geometrical Methods for Thetheory of Linear Systems Reidel Dordrecht. 1980. P. 85-124.

97. Byrnes C.I., Duncan T. On Certain Topological Invariants Arising in System theory // New Directions in Applied Mathematics Springer-Verlag New-York. 1981. P. 29-71.

98. Coodley J.W., Tukey J.W. An Algorihtm for the Mashine Calculation of Complex Fourier Series //Math. Comp. 1965. Vol. 19. P. 297-301.

99. Creamer N.G., Junkins J.L. An Identification Methods for Flexible Structures // AL\A/ASME/ASCE/AHS 28 th Struct. Struc. Dyn. and Mater. Conf Monterrey Calif Apr. 9-10. 1987. Collect. Teclin. Pap. Pt.2A.- New-York. N.Y. 1987. P. 163171.

100. Fliess M. Fonctionelles Causales non Lineaires en Indeterminees non Commu-tatives // Bull. Soc. Math. France. № 109. 1981. P. 3-40.

101. Fullekrug V. Structural-Dynamics Identification in the Time Domain: Estimation ofmodal parameters based on forced vibrations // Int. J. Anal. And Exp. Modal. 1989. Vol. 4. № 2. P. 58-63.

102. Hazewinkel M., Kaknan R. Moduli and Canonical Forms for Linear Dynamical system. Report 7504. Econometric Institute. Erasmus Univ. Rotterdam. 1974.

103. Hazewinkel M., Kaknan R. On Invariants, Canonical Forms and Moduli for Linear, Constant, Finite-Dimensional, Dynamical System. Lecture Notes in Econ.-Math. System Theory. Vol. 131. Springer-Verlag. New-York. 1976. P. 48-60.

104. Ibrahim S.R. Modal Identification Techniques Assessment and Comparison // Proc. 3 rd Mt. Modal Anal. Conf. Orlando. Fla. Jan 28-31. 1985. Vol. 2. Schenectady. N. Y. 1985. P. 831-839.

105. Isidori A. Nonlinear Control System: an Introduction // lecture Notes in Control and Information. Vol. 72. Springer-Verlag. Berlin. 1985.

106. Jakubczyc B. Existence and Uniqueness of Realizatios of Nonlinear Systems // SL\M J. Control Optim. № 18. 1980. P. 455-471.

107. Jakubczyc B. Realizations of Nonlinear Systems: Three Approaches // Proceedings of the Conference on the Algebraic and Geometric Methods in Nonlinear Control Theory. Paris. 1985. Reidel. Dordrecht. 1986.

108. Jiang J.S., Gu S. N., Wang Y.J., Yao Q. H. A Modal Parameter Identification Technique and its Application to Large Complex Structures With Multiple Steady Sinusoidal Excitation // J. Sound and Vibr. 1990. Vol. 138. № 2. P. 221-231.

109. Kakutani S. Some Characterizations of EucHdean Space // Jap. Jom. Math. Vol. 16. №2. 1939. P. 93-98.

110. Kaknan R. Algebraic-Geometric Description of the Class of Linear Systems of Constant Dimension // Proc. 8 th Annual Prinston Conf. On Information Sciences and Systems. 1974. P. 189-191.

111. Kreinovich V., Lakeyev A. V., Noskov S.I. Optimal Solufion of Interval Linear systems is Introctable (NP-hard) // Interval Computations. 1993. № LP. 6-14.

112. Li K.Y., Hossian S.A., Venkayya V.B. System Identification of a Flexsible structures // AIAA/ASME/ASCE/AHS 29 th Struct. Struc. Dyn. and Mater. Conf. Williamsburg. Va. Apr. 18-20. 1988. Collect. Techn. Pap. Pt.3. Washington B.C. 1988. P. 1202-1209.

113. McLernon D.C. Parametric Modeling of Cyclostationary Processes // Int. J. Electron. 1992. Vol. 72. № 3. P. 383-398.

114. Nachbin L. A Theorem of the Hahn-Banach Type for Linear Transformations // Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 68. № 1. 1950. P. 29-46.

115. Pettis B.J. On hitegration in Vector Spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1938. Vol. 44. P. 277-304.

116. Pi Yong Lin, Mickleborougn N. C. Modal Identification of a Vibrating Structure in the Time Domain // Comput. and Struct. 1989. P. 1105-1115.

117. Popper K.R. Cojectures and Refutations. Harper and Row, London. 1963. Razzaghi M., Lin S.D. Identification of Time-Varying Linear and Bilinear Systems via Fourier Series // Comput. and Electr. Eng. 1991. Vol. 17. № 4. P. 237-244.

118. Rusanov V.A., Daneev A.V., Dmitriev A.V. The Spectral Analysis of I-Processes in the Class of Mixed Problems for Linear Models of Normal-Hyperbolic Type // Proc. 14-th World Congress of IF AC. Beijing, China. 5-9 July, 1999. Vol. H. P. 409-414.

119. Samavat M., Rashidie A.J. A New Algorithm for Analysis and Identification of Time-Varying Systems //Proc. 1995 Amer. Control Conf Seattle, 1995. Vol. 1. P. 708-712.

120. Schumacher J.M. Transformations of Linear Systems Under External Equivalence. CWI Report OS-R8604. April, 1986.

121. Tannenbaum A. On the Stabilizer Subgroups of a Pair of Matrices. Linear Algebra and its Applications, Vol. 50,1985. P. 527-544.