автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Исследование компьютерных имитационных моделей методом мастер-уравнения

На правах рукописи

Лежнев Евгений Васильевич

ИССЛЕДОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ ИМИТАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ МЕТОДОМ МАСТЕР-УРАВНЕНИЯ

Специальность 05.13.17 - Теоретические основы информатики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Селезнев Вадим Александрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Хабаров Валерий Иванович

кандидат технических наук, доцент Хиценко Владимир Евгеньевич

Ведущая организация: Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики, г. Новосибирск

Защита состоится 1 декабря 2004 года в 16-00 на заседании диссертационного совета Д 212.173.06 при Новосибирском государственном техническом университете (630092, г. Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан октября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

к.т.н., доцент М^' Чубич В.М,

ям-* ЗЩЦ

22099 3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Современное состояние и актуальность темы исследований. В

последнее десятилетие методы компьютерного имитационного моделирования получили широкое распространение. Эти методы являются главным инструментом реализации информационных технологий в различных областях науки и техники. Суть этого моделирования в следующем: некоторый набор правил (аксиом) определяет свойства исследуемого объекта, и этот набор правил реализуется в виде программного продукта. В общем случае имитационные модели динамических систем не реализуются в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений. Если динамическая система и допускает дифференциальную модель, то изменение аксиоматики, продиктованное эмпирическими соображениями, приводит к моделям, не имеющим дифференциальной реализации. Пример такой ситуации был исследован автором в обобщении известной модели Вольтера-Лотки. Исследования дифференциальных моделей имитационных динамических систем основаны на хорошо разработанных методах. Для динамических систем, не имеющих дифференциальных реализаций, не существует даже методов идентификации этих моделей с их дифференциальными аналогами, что затрудняет исследование таких систем. Это обстоятельство определило первую задачу: по численной реализации динамического процесса определить дифференциальный аналог модели или, как мы будем говорить тип динамического взаимодействия.

Задача определения типа взаимодействия возникает при исследовании моделей физических процессов:

- анализ фрактальных свойств материалов (поведение дислокаций моделируется взаимодействием типа хищник-жертва, или более сложным);

- определение типа диффузии или волны в росте кластерных структур в мезоскопических физических моделях, в частности, при моделировании пробоя диэлектрика.

Причины, по которым динамические системы не имеют дифференциальных реализаций, изучались как математиками, так и физиками. Одной из причин отсутствия дифференциальной модели динамической системы является сложная "геометрия" траекторий, имеющих дробные размерности больше единицы. Однако, фрактальное описание структур, по сложившемуся мнению, является дополнительным к статистическим методам. Нигматуллиным Р. Р. предложена модель описания статистических свойств физических систем с точки зрения наличия памяти в этих системах. В его моделях процесс с памятью описывается эволюционным уравнением с дробными производными по времени. Причем, винеровскому процессу (с полным отсутствием памяти) соответствует уравнение диффузии, а процессу с полным сохранением памяти - волновое уравнение. Эта идея была взята нами на вооружение для исследования численных реализаций процессов вида

При наличии некоторой статистической определенности таких реализаций, нами был применен метод мастер-уравнения М.Каца, позволяющий сопоставить эмпирической реализации

эволюционное уравнение определенного типа. Это явилось нашей второй и главной задачей диссертационного исследования. Нами полностью обосновано решение этой задачи для реализаций в двух

случаях: при полном отсутствии памяти и при полном сохранении памяти. Таким образом, вторая задача нашей работы состоит в теоретической разработке методов определения типа памяти в численных реализациях вида , что можно рассматривать как решение проблемы Нигматуллина Р. Р. в двух предельных случаях: в системах с полным сохранением памяти и в системах с полным отсутствием памяти.

Третья задача диссертационной работы состоит в построении моделей ряда информационных систем (хищник-жертва, конкуренты, пробой диэлектрика и др.), на которых проверяется достоверность методов, разработанных при ришении первых двух задач.

Все вышесказанное определяет цель и задачи исследования, опирается на методы исследования, имеющие новизну, и позволяет сформулировать основные положения, выносимые на защиту.

Цель и задачи исследований. Целью работы является разработка информационной технологии, позволяющей по численной реализации процесса )} построить дискретное эволюционное уравнение

определенного типа.

Достижение поставленной цели заключено в поэтапном решении следующих задач:

- разработка и реализация алгоритма проверки корректности системы аксиом, определяющих имитационную модель, включая создание программ, демонстрирующих корректность систем аксиом, а также программы, генерирующей уравнение по системе аксиом дифференциальной модели;

- построение модели усреднения динамической системы, дающей основные параметры эволюционного уравнения;

- построение рекуррентных соотношений для усреднения по всевозможным состояниям системы и вывод мастер-уравнения;

- исследование условий сходимости мастер-уравнения к диффузионному и волновому уравнениям (устойчивость, аппроксимация);

- создание программного продукта "Мастер-уравнение", демонстрирующего поведение решения мастер-уравнения;

- определение типа взаимодействия динамической системы на основе метода мастер-уравнения, для имитационных моделей хищник-жертва и конкурентов;

- тестирование метода мастер-уравнения на модели броуновского движения;

- исследование одной модели пробоя диэлектрика методом мастер-уравнения.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались: методы математического моделирования, численные методы, методы теории

дифференциальных уравнений, методы численного моделирования

динамических систем.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- исследована модель мастер-уравнения, позволяющая определить тип взаимодействия, реализуемого в имитационных моделях и наличие или отсутствие памяти.

- частично решена проблема классификации динамических систем по степени сохранения памяти: в случае систем, полностью сохраняющих память обоснована сходимость мастер-уравения к волновому уравнению, в случае систем, полностью теряющих память, обоснована сходимость мастер-уравнения к диффузионному уравнению.

- разработаны и реализованы в виде компьютерных реализаций алгоритмы проверки совместности и независимости систем аксиом, определяющих динамическую систему;

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Модель мастер-уравнения и условия сходимости мастер-уравнения к волновому и диффузионному дифференциальным уравнениям (устойчивость, аппроксимация).

2. Алгоритм проверки корректности системы аксиом, задающих имитационную модель, а также программа генерации уравнений для систем аксиом, имеющих дифференциальную реализацию.

3. Исследование методом мастер-уравнения следующих имитационных моделей: пробоя диэлектрика, взаимодействия по типу конкурентов и по типу хищник-жертва, а также тестирование метода на модели броуновского движения.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и

рекомендаций обеспечивается:

- применением аналитических методов исследования сходимости дискретных моделей к дифференциальным;

- подтверждением аналитических выводов результатами компьютерного моделирования.

Практическая ценность и реализация результатов.

- разработана модель мастер-уравнения позволяющая идентифицировать имитационные модели с дифференциальными и классифицировать динамические системы по степени сохранения памяти;

- разработана программа, позволяющая по системе аксиом получить дифференциальное уравнение;

- произведено тестирование метода мастер-уравнения;

- исследована корректность аксиом соответствующих имитационных моделей;

- методом мастер-уравнения исследованы программные продукты конкретных имитационных моделей.

Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались на Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике ИНПРИМ-1998, ИНРПИМ-2000; российско-корейской конференции, KORUS-1999, KORUS-2001, KORUS-2002, KORUS-2003; конференции Наука. Техника. Инновации НТИ-2001, НТИ-2002; Сборнике работ аспирантов НГТУ, 2001, №3, 2003; на семинарах академика Монахова В. Н. ИГД СО РАН; на семинарах проф. Селезнева В. А. НГТУ, ФПМИ.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 4 работы, из них 2 статьи, 2 работы в сборниках трудов конференций. Список работ прилагается. Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения, и 5 приложений списка использованных источников из 36 наименований. Работа изложена на 104 страницах основного текста, включая 27 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование актуальности выбранной темы, формулируются цели работы.

В первой главе анализируется аксиоматический подход к моделированию динамических процессов.

В п. 1.1 на примере дифференциальных моделей В. Вольтерра проводится доказательство совместности и независимости системы аксиом, определяющих эти модели. Существуют известные достаточные признаки проверки на совместность и независимость систем аксиом.

Достаточный признак совместности системы аксиом. Система аксиом является совместной, если существует хотя бы одна реализация этой системы.

Достаточный признак независимости аксиомы. Аксиома А не зависит от системы аксиом Т, если вместе с некоторой реализацией Л](Г,.,4) системы аксиом Т и А существует некоторая реализация Rj{T,-nA) системы Т и -А.

Под отрицанием —А утверждения А мы понимаем такое утверждение, которое делает невозможным реализацию, содержащую А и-А.

В качестве реализаций систем аксиом берутся известные системы дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений и доказывается существование решения соответствующих задач для таких систем в классе положительных решений при положительных начальных данных. Существование именно таких решений говорит о совместности системы аксиом.

В п. 12 рассматривается задача автоматизации вывода дифференциальных уравнений из системы аксиом. Приводится описание программы на языке Prolog, реализующей вывод дифференциальных уравнений на основе системы аксиом.

В п. 1.3-1.4 проверяются достаточные условия совместности и независимости, аналогично п. 1.1, для имитационных моделей взаимодействия по типу конкурентов и по типу хищник-жертва.

Взаимодействие конкурентов имитируется таким поведением частиц, которое определяется аксиоматикой модели. Частицы-конкуренты располагаются на клеточном поле, которое состоит из конечного числа клеток. Кроме конкурентов на поле располагается ресурс. Приведем, для примера, аксиоматику взаимодействия конкурентов:

Аксиома 1. В начальный момент времени по клеточному полю распределено частиц-конкурентов случайно и

равновероятно для всех клеток.

Аксиома 2. Каждый вид конкурентов характеризуется параметром а¡, 1 = 12 - вероятностью воспроизводства.

Аксиома 3. Каждый вид конкурентов характеризуется параметром Ьп 1 = 12 - вероятностью исчезновения.

Аксиома 4. Если частица в данный момент времени "размножается", то новая частица того же вида, что и родитель, появляется на одной из соседних клеток. При этом исходная частица не перемещается.

Аксиома 5. Если частица в данный момент времени не "размножается", то она перемещается на одну из соседних клеток.

Аксиома 6. Ресурс существования конкурентов возобновляется на всех свободных клетках, не занятых конкурентами, после того, как произведены все операции перемещения, исчезновения, появления.

В имитационных моделях достаточным признаком совместности является существование компьютерной реализации, выдающей непустую выборку при произвольном количестве запусков.

Далее, в п. 1.5, ставится задача определения типа взаимодействия.

Во второй главе вводится усреднение динамического процесса, затем для этого усреднения выводится мастер-уравнение и исследуются условия

сходимости мастер-уравнения к диффузионному, волновому и телеграфному уравнениям.

В п. 2.1 определяется усреднение динамического процесса и его основные параметры. Усредняются следующие виды динамических систем:

- детерминированные траектории: непрерывные или

дискретные ^ {к = 1,...,«);

- стохастические траектории, представляющие достаточно большие дискретные выборки имитационной модели ^ ->!К(/^)еЛ1, (¿ = 1.....и).

Пусть динамический процесс реализуется следующим образом:

^-»УУбЛ'ДЫО,!,...,«) (1)

г* 6[0,Г], Д/= Г/и.

Определяются следующие параметры усреднения:

- М„ - число локальных экстремумов реализации (<: = 0,1,...,л);

- а(Дг) - среднее число экстремумов реализации

- среднее перемещение Дг и средняя скорость у(Д/) за Д/:

2М1

(2)

Лг =

Т.п

У ' Д/ г

(3)

(4)

где {КагК}д'" естыюлная вариация реализации к = 0,...,п.

Теперь, используя определение (2) параметра в(Дг), введем случайную величину е^ к = !,...,»:

{-1, с вероятностью я(Л/)Д< 1, с вероятностью 1 - а

Потребуем, чтобы для математического ожидания (к^) величин е^ было выполнено условие:

(е1£2...£„)=(е1)(е2)...(Е„). (6)

Используя определение е* (5) и формулы (3)-(4) для вычисления Лх,у(Д?), сформулируем следующее определение усреднения динамического процесса (1).

Определение 1. Усредненной траекторией динамической системы (1) назовем отображение Л1 х[о,Г]—>Л1

->Лг"(л,^) = ЛГ-Дх(1 + Е1+Е182+... + Е1Е2...еЛ_1)> (б) к = 1,2,...,л,

которое определено при любом и в случаях (а) и (б) в начальный

момент на интервале реализует, соответственно, возрастание или

убывание.

Будем говорить, что для динамической системы (1) определен процесс усреднения, который сопоставляет этой системе "блуждающую частицу" с параметрами (2) - (4).

Заметим, что приращение ЛК^ = У^к)-^^-]) представляется парой величин: абсолютным значением приращения и

направлением: +1 или - 1. Значению +1 величины (5) соответствует сохранение направления траектории (1), а -1 - изменение направления в пространстве У Мы требуем, чтобы свойство сохранения или изменения направления в данный момент времени не зависело от реализации этого свойства в другие моменты времени , а на величину этого приращения

не накладываем никаких ограничений.

Если динамическая система имеет фазовое пространство размерности два и более, то процесс усреднения производится для каждой компоненты, то есть для каждой проекции на координатные одномерные пространства.

В п. 2.2 выводится мастер-уравнение для усреднения (7) и исследуются условия сходимости полученного мастер-уравнения.

Рассматривается средневзвешенное по всем £,:

где от функции требуется гладкость и ограниченность ее вместе с

производными для любого действительного значения х. Далее, из этих усреднений, используя свойство независимости е,, обеспечивающее (6), строятся рекуррентные соотношения:

Эти разностные соотношения преобразуются в аналог разностной схемы

Отметим, что переходить к пределу при Д(->0 в этой схеме нельзя, как это было сделано в работе М. Каца, так как параметры усреднения а(Д<), у(Д/) могут при этом стремится к бесконечности. Например, в модели

броуновского движения стремятся к бесконечности. Для того,

чтобы включить эти случаи, мы вынуждены построить более общий оператор. Для сокращения выкладок введем следующие обозначения:

^ =^+(х±/Дх)+^"(х±/Ах), С^/ = #(х±/Лх)-^~(х±/Дх), (11)

где индексу t соответствует шаг по пространственной переменной х, а индексу к соответствует шаг по времени t. Используя (11), выразим ^(я)

через и подставим в это представление полученные выражения.

После алгебраических преобразований, приходим к следующей системе:

которую назовем мастер-уравнением. Теперь будем исключать функцию О из этой системы и исследовать сходимость полученного уравнения при различных соотношениях параметров усреднения определенных (2)-(4).

Пусть Тогда, производя

перекрестное разностное дифференцирование в (12) и исключая смешанную

- -О^"1

производную

ДхД/

получается следующее уравнение:

из первого уравнения системы,

-2

14

рк _рк-1 2

V2 At

М^г'-^г1)-

а (F+V -GÍf1)-2(F*-'-G"-1]

2Ax

( CÍ 21 -2GÎfl +G*"1 CV -2G*-1 + G^f1 ^

Ax Ax

(F+V-GÍf1)-2^^1 "G^'l+H"1 -G*/1)

2Ax

fof1 -GÍ2-')-2(F+V -GÎf1)^^-' -G*-')

-¿r1)

/к V

+аД/

(F+V-С*,"1)^*-1 -G^'J+^f1 -G*"1)

2Дх

-a At

(F+V -GÍ2-')-2(F+V-CH)

2Дх

1

+ -V

'(р+1 -Gï\\-2И ~ G* )+ H ~ G*, )

2 At Ах

(FV -GÎr1)-^-1 -С*"1)^,4 -G*-1 J

2AlAx

ni .. M

к к

Далее, используя дифференцируемость по х функций и (7±/ и

ограниченность этих функций и их производных, доказываются порядки малости отдельных слагаемых уравнения (13). Следующая лемма говорит об

этом.

Лемма 1. В соотношении (13) для следующих слагаемых выполнены условия малости:

V V

2. ----—--—-

v 2Ах

G& -2Gk+Ïl +Gk~l G^f1 -2G*"1 + GÎf''

3.^

Ах Ас

= 0(аЛ/Лх)

4.

2Дх2

(F+V-GÎj!)-2(F+V-GÎr1)+^-' - G*-1

2Ai2

S. f//V---- 0(aAt)

Ax1

= 0(Ac)

6. a&t

(F+V -GÎf1)^^-1 -G*"1 )

2Ax2

te'-c^^Hr'-GÎr'U^"1 -с'4) -,-i-

- oAi-5-i-^ = 0(aAtAx)

2Ахг

7. -v

' (^1 - GÎ, )- - G* )+ (рД - G^ )

zll-

2Д/Дх

(р+у -с^-О-гИ-1 -^ЛИ"1 -с*-1)]

----—--—-= 0(аД? + Дх).

2Д/Д*

/

После объединения всех малых слагаемых в 6>(аД?+Дх), (13) принимает следующий вид:

Д/2 А? ^ ^ + 04)

+ О(Дх + аД0-

В п. 2.3 доказывается сходимость (14) при я(Д<)->л, у(Д/)-> V, при Дг —»• 0, где а > 0, V > 0 - некоторые константы.. Результат сформулирован в виде теоремы.

Теорема 2. Уравнение (14) является аппроксимацией следующих дифференциальных операторов, в зависимости от предельных свойств д(л/) и у(Д/) при Д/ —> 0;

1) телеграфного уравнения

= 2адР

V2 д12=дх2\2д1 (15)

с порядком аппроксимации 0(Л(), если <?(Д/)-> а и у(Д/)-> V при А/ -> О, где а и V - некоторые константы, строго большие 0;

2) волнового уравнения

гъЧ а2^

дх1 дГ

с порядком аппроксимации 0(Д/), если д(Дг)=0, у(Д()-> V при Д/->0, где V - некоторая константа, строго большая 0.

Краевые условия для этих уравнений выглядят следующим образом:

^4=о=2(рМ>?М- =0. (17)

т 1(=0

В п. 2.4 доказывается сходимость мастер-уравнения (12) к уравнению диффузии при следующих отношениях параметров: пусть я(Д/)Д/-»1/2, а

у2Д?-> Д при Л/-»О.

Запишем первое уравнение системы (12) в следующем виде:

рк~рк~х о^г'-с*""1

Д / Ах

(18)

+ у----V-

2Дх 2Дх

к к

Далее, используя дифференцируемость функций Р^ и С^ по х,

раскладываем (18) в ряд Тейлора и, используя, что я(Д?)Д<-И/2, а у2Д/-> Д при Дг -> 0, получаем:

Д' 2

Условия сходимости мастер-уравнения (12) к уравнению диффузии формулируется в следующей теореме.

Теорема 3. Мастер-уравнение (13) в том случае, если а{Д?)Д/-»1/2, а

-> О при Д/ -> О является аппроксимацией уравнения диффузии

ЭУ _ Д Э V ^ " 2 э*2

с порядком

Краевым условием в этом случае будет Р(ах)=2ф(дС).

В п. 2 5 исследуется сходимость уравнения (14) в том случае, когда параметры а(Д/) и v(Aí) стремятся к бесконечности, но а(Д/)А/ 0, у(Д/)Д/ 0 при Д/ 0. В этом случае производные функций F(f,i) и G(t,x) по t могут не существовать, хотя сами они остаются непрерывными функциями. При этом получены дискретные уравнения, выражающие

рк _ f _ 2 рк + рк~1

отношения между бесконечно большими -, -,

At Ai

<з(Дг) и v(A/) при различных соотношениях между о(Д/) и v(A/) при Л/ —> 0:

а) пусть а(Д/)-»оо, a v(A/)-»v, где v - некоторая константа больше

гк

нуля, тогда, F±¡ удовлетворяет следующему соотношению:

j рк+1 -2Рк +Fk-i рк-рк~^

—г ----= -2v-:

а(Д/) д/2 - Д t

б) пусть v(A/)-> оо, a v(A/)-> v, где а - некоторая константа больше нуля, тогда, получаем следующее соотношение:

j FM - 2Fk + Fk~] F& - 2F+V + Fk~l v(Af)2 Д t2 &

в) при а(Д/)-> oo, v(Aí)->oo так, что 2а(Д/) v(A/)Y -> I D при Дг->0, где D и у - некоторые константы, причем £>>0, а у>1, то Fk¡ удовлетворяет следующему соотношению:

j FM-2Fk+Fk~l j рк-рк~1

v1'+'(A/) ~Ы2 At !

г) пусть я(Д/)-»оо и v(A/)-> оо так, что а(Д/) v(A/)-> D, где D -некоторая константа, большая нуля, то, соотношение для Fk¡ выглядит так:

pk+¡-2Fk+Fk~l F^-IF^+F*-1 , Fk-Fk~1

-----2 D—--

v2(A/) At2 A* v(A/) At

д) пусть а(Лг) -> аз и у(Д/)-»ю так, что а(Д/) уу(Д/)-> О, где £> иу-

константы, причем £>>0, а у удовлетворяет неравенству 0<у<1, то, в этом £

случае, для выполнено следующее соотношение:

у2(Д/) Д/2 Д*

В п. 2.6 все полученные случаи сходимости мастер-уравнения объединяются в Основную теорему.

В главе 3 решаются следующие задачи: классификация имитационных моделей и определение типа взаимодействия в имитационной модели при условии, что имитационная модель задана аксиоматически и численно реализована в виде динамической системы:

В п. 3.1 методом мастер-уравнения исследуются следующие имитационные модели: "хищник-жертва" из п. 1.4 и взаимодействие конкурентов из п. 1.3. Для исследования была написана программа, позволяющая проследить за изменениями параметров и

поведением решения мастер-уравнения. На рис. 1 изображено поведение мастер-уравнения и изменение параметров для имитационной

модели "хищник-жертва".

В п. 3.2 строится мастер-уравнение для дифференциальных моделей взаимодействия конкурентов и по типу "хищник-жертва" и сравнивается с предельными случаями, возможными в имитационных моделях. Обосновывается, что, предельные случаи мастер-уравнения будут одинаковыми как в дифференциальных моделях п. (1.1), так и в имитационных моделях п.п. (1.3)-(1.4).

Изменение параметров а я V при измельчении интервала на 1,2,..., Т частей и мастер-уравнение для хищника

• 0.5 ----

. 04 —г*

ПОЗ 0.2

0 1 000 2 000 г ООО 4 000 I

1......■""•"

..... ; . . .

2 000

4 000

0.012 0.01 ^ 0.003

"а оооб

0.004 0.002

/г-у*.

1000 2 000 3 000 4 000 {

11=4998 |1=4000 01=3002 11=2004 §1=1006

-40 ООО

-20000

20 000

40 000

Рис. 1

В п. 3.3 проводится тестирование метода мастер-уравнения для броуновского движения и доказывается, что в этом случае мастер-уравнение сходится к диффузионному.

В п. 3.4 рассматривается задача классификации пробоя диэлектрика методом мастер-уравнения. Одной из моделей пробоя диэлектрика является известная модель лапласова случайного блуждания, согласно работе Й. Ликлема, К. Эвертс. Эта модель отражает статистические свойства формирования пробоя газового диэлектрика, описанного в работах Л. Пьетронеро и Г. Висмана. На рис. 2 изображена одна из возможных траекторий лапласова случайного блуждания.

В данной модели мастер-уравнение предоставило критерий, позволяющий отличить два предельных случая пробоя диэлектрика: ситуацию, когда пробой локализуется и когда происходит быстрый выход на границу. В

том случае, когда пробой локализуется, ему соответствует следующее дискретное уравнение:

В этом случае присутствует частичная потеря памяти, так как в противном случае (при полной потере памяти), согласно модели Нигматуллина мы должны были бы получить уравнение диффузии. В случае быстрого выхода на границу предельным является волновое уравнение. Этому случаю соответствует полное сохранение памяти.

Заключение. Нами предложена новая информационная технология, позволяющая динамическим процессам сопоставлять эволюционное

уравнение дискретного типа, которое в случае полного отсутствия памяти и в случае полного сохранения памяти становится дифференциальным уравнением.

В соответствии с поставленными целями исследований получены следующие основные результаты:

1. Разработан алгоритм проверки корректности аксиоматики, задающей динамические системы, основанный на достаточных признаках совместности и независимости систем аксиом, а также произведена автоматизация вывода дифференциальных уравнений на основе системы аксиом.

2. Описан алгоритм построения мастер-уравнения для реализации динамического процесса и доказана сходимость мастер-уравнения при различных отношениях параметров усреднения к следующим дифференциальным операторам:

А) К телеграфному уравнению, при а(Л/)->д и при Д( —> О

где а и v - некоторые константы, большие 0, с порядком аппроксимации

0(А/).

Б) К волновому уравнению y2fLJl = iL£. > v(A/)->V при Д/->0:

дх2 dt2

где v - некоторая константа, большая 0, с порядком аппроксимации

о(м).

В) К диффузионному уравнению, если й(Л/) ->00, v(A/)->00,a 2о(Д/)/У2(Д/)-> 1/D:

дР_Рд'Р

где Д - некоторая константа, большая 0. 3. Метод мастер-уравнения был апробирован на следующих имитационных моделях: взаимодействия конкурентов, взаимодействия по типу "хищник-жертва" и модели пробоя диэлектрика.

Список публикаций

1. Lezhnev E. V., Seleznev V. A. Master equation for randomized dynamic systems. Proc. The 7lh Korean-Russian Intern. Symp. on Science and Technology: Proc. - Novosibirsk: NSTU, 2003. - P. 115-120.

2. Lezhnev E. V., Seleznev V. A. Master equation for randomized dynamic systems "sacrifices-predators" type. The 6th Korean-Russian Intern. Symp. on Science and Technology: Proc. - Novosibirsk: NSTU, 2002. - P. 253-255.

3. Лежнев Е. В. Исследование ассимптотического поведения моделей, задаваемых аксиоматически. Сб. научн. трудов НГТУ. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001. № 3 (25), стр. 85-90.

4. Лежнев Е. В., Селезнев В. А. Анализ сходимости мастер-уравнения. Сб. научн. трудов НГТУ. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003 - №1 (31) - 73-78.

Подписано в печать г. Формат 60х84х 1/16

Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Печ. л. 1.5.

Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

»20905

РНБ Русский фонд

2005-4 22099

Введение.

ГЛАВА 1. ОБ АКСИОМАТИЧЕСКОМ ПОДХОДЕ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.

1.1. Анализ аксиоматического задания двух дифференциальных моделей.

1.2. Автоматизация вывода уравнений в дифференциальных моделях.

1.3. Реализация алгоритма проверки совместности и независимости аксиоматики имитационной модели двух конкурентов.

1.4. Реализация алгоритма проверки совместности и независимости аксиоматики имитационной модели "хищник-жертва".

1.5. Постановка задачи классификации типа взаимодействия.

ГЛАВА 2. МЕТОД МАСТЕР-УРАВНЕНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.

2.1. Усреднение реализации динамической системы.

2.2. Вывод мастер-уравнения для усредненной реализации.

2.3. Сходимость мастер уравнения при ограниченных параметрах а и v.

2.4. Сходимость мастер-уравнения к уравнению диффузии.

2.5. Сходимость мастер-уравнения при неограниченных параметрах а и v

2.6. Основная теорема.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА МАСТЕР-УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНАЫХ ИМИТАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ.

3.1. Исследование имитационных моделей "хищник-жертва" и конкурентов методом мастер-уравнения.

3.3. Тестирование метода мастер-уравнения на модели броуновского движения.

3.4. Метод мастер-уравнения для одной модели пробоя диэлектрика.

Современное состояние и актуальность темы исследований.

Развитие методов компьютерного имитационного моделирования получило особенно широкое распространение в последнее десятилетие и в различных областях науки и техники является главным инструментом реализации информационных технологий. Суть этого моделирования в том, что некоторый набор правил (аксиом), определяющий свойства исследуемого объекта реализуется в виде программного продукта [16], [17], [25], [26], [31], [34], [36]. Имитационные модели динамических систем в общем случае не обязаны иметь реализацию в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений. Если динамическая система и допускает дифференциальную модель, то изменение аксиоматики, продиктованное эмпирическими соображениями, приводит к моделям, не имеющим дифференциальной реализации. Пример такой ситуации был исследован автором, [3], [22] в обобщении известной модели Вольтерра-Лотки. Исследование дифференциальных моделей имитационных динамических систем основаны на хорошо разработанных методах: от [7], до [5], [15], [25]. Для динамических систем, не имеющих дифференциальных реализаций, не существует даже методов идентификации этих моделей с их дифференциальными аналогами. Это затрудняет исследование имитационных динамических систем, не имеющих дифференциальных реализаций, [17], [26]. Это обстоятельство определило задачу, которая состоит в том, что по численной реализации динамического процесса определить дифференциальный аналог модели или, как мы будем говорить тип динамического взаимодействия. Например, всегда ли аксиоматические задание взаимодействия типа хищник-жертва или типа конкурентов таковыми являются на самом деле? Исследование в лингвистической среде не дает решения проблемы. Идентификация фазовых портретов - пригодна лишь для динамических систем, имеющих дифференциальные реализации.

Для динамических систем, не имеющих дифференциальной реализации, вопрос остается открытым. Итак, под определением типа взаимодействия в имитационной динамической системе мы понимаем задачу идентификации этих моделей с их дифференциальными аналогами.

Задача определения типа взаимодействия возникает при исследовании моделей физических процессов:

- анализ фрактальных свойств материалов (поведение дислокаций моделируется взаимодействием типа хищник-жертва, [36], или более сложным);

- определение типа диффузии или волны в росте кластерных структур в, мезоскопических физических моделях, в частности, при моделировании пробоя диэлектрика, [8], [9], [23].

Причины, поь которым динамические системы не имеют дифференциальных реализаций, изучались как математиками, так и физиками. С точки зрения, моделирования физических процессов эти исследования приведены, например, в.обзорах [30]; [12]. Одношиз причин, отсутствия дифференциальной модели динамической системы является сложная "геометрия" траекторий; имеющих дробные размерности больше единицы. Однако, фрактальное описание структур по сложившемуся мнению, [12] является дополнительным к статистическим методам. Нигматуллиным Р. Р. в [27], предложена модель описания статистических свойств физических систем с точки зрения наличия памяти в этих системах. В его моделях процесс с памятью описывается эволюционным уравнением с дробными производными по времени. Причем винеровскому процессу (с полным отсутствием памяти) соответствует уравнение диффузии, а процессу с полным сохранением памяти — волновое уравнение. Эта идея была взята нами на вооружение для исследования численных реализаций процессов вида tk —> y{tk ) е R {к = 1,2,.). При наличии некоторой статистической определенности таких реализаций нами был применен метод мастер-уравнения Каца, [13], [30], позволяющий сопоставить эмпирической волны. Это явилось нашей второй и главной задачей диссертационного исследования. Нами полностью обосновано решение этой задачи для реализаций )}" в двух случаях: при полном отсутствии памяти и при полном сохранении памяти. Таким образом, вторая задача нашей работы состоит в теоретической разработке информационных методов определения типа памяти в численных реализациях вида что можно рассматривать как решение проблему Нигматуллина в двух предельных случаях: в системах с полным сохранением памяти и в системах с полным отсутствием памяти.

Третья задача диссертационной работы состоит в построении моделей ряда информационных систем (хищник-жертва, конкуренты, пробой диэлектрика и др.) на которых проверяется достоверность методов, разработанных при решении первых двух задач.

Все вышесказанное определяет цель и задачи исследования, опирается на методы исследования, имеющие новизну, и позволяет сформулировать основные положения, выносимые на защиту.

Цель и задачи исследований. Целью работы является разработка информационной технологии, позволяющей по численной реализации процесса построить дискретное эволюционное уравнение определенного типа.

Достижение поставленной цели заключено в поэтапном решении следующих задач:

- разработка и реализация алгоритмов проверки корректности системы аксиом, определяющих имитационную модель (гл. I, §1-3), включая создание пакета программ, демонстрирующих корректность систем аксиом, а также программы, генерирующей уравнение по системе аксиом дифференциальной модели;

- построение модели усреднения динамической системы, дающей параметры эволюционного уравнения (гл. II, §1);

- построение рекуррентных соотношений для усреднения по всевозможным состояниям системы и вывод мастер-уравнения (гл. И, §2);

- исследование условий сходимости мастер-уравнения к диффузионному и волновому уравнениям (устойчивость, аппроксимация) (гл. И, §3,5);

- создание программного продукта "Мастер-уравнение", демонстрирующего поведение решения мастер-уравнения (гл. III, §1);

- определение типа взаимодействия динамической системы на основе метода мастер-уравнения, для имитационных моделей хищник-жертва и конкурентов (гл. III, §2-3);

- тестирование метода мастер-уравнения на модели броуновского движения (гл. III, §4);

- исследование модели пробоя диэлектрика методом мастер-уравнения.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовался аппарат методов математического моделирования, численные методы, методы теории дифференциальных уравнений, методы численного моделирования динамических систем.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- разработаны и реализованы в виде компьютерных реализаций алгоритмы проверки совместности и независимости систем аксиом, определяющих динамическую систему;

- частично решена проблема классификации динамических систем по степени сохранения памяти: в случае систем, полностью сохраняющих память обоснована сходимость мастер-уравение к волновому уравнению, а в случае систем, полностью теряющих память, обоснована сходимость мастер-уравнения к диффузионному уравнению.

- исследована модель мастер-уравнения, позволяющая определить тип взаимодействия, реализуемого в известных имитационных моделях пробоя диэлектриков, хищник-жертва, конкурентов) и наличия или отсутствия памяти; Основные положения, выносимые на защиту.

1. Модель мастер-уравнения и условия сходимости мастер-уравнения к волновому и диффузионному дифференциальным уравнениям (устойчивость, аппроксимация).

2. Алгоритм проверки корректности системы аксиом, задающих имитационную модель, а также программа генерации уравнений для систем аксиом, имеющих дифференциальную реализацию.

3. Исследование методом мастер-уравнения следующих имитационных моделей: пробоя диэлектриков, взаимодействия по типу конкурентов и по типу хищник-жертва, а также тестирование метода на модели броуновского движения.

Обоснованность» и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечивается:

- применением аналитических методов исследования сходимости дискретных моделей к дифференциальным;

- подтверждением аналитических выводов результатами компьютерного моделирования.

Практическая ценность и реализация результатов. Разработанная модель мастер-уравнения позволяет:

- идентифицировать имитационные модели с дифференциальными;

- классифицировать динамические системы по степени сохранения памяти;

- исследовать корректность аксиом соответствующих имитационных моделей;

- исследовать программные продукты конкретных имитационных моделей. Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались на Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике ИНПРИМ-1998, ИНРПИМ-2000; российско-корейской конференции, KORUS-1999, KORUS-2001, KORUS-2002, KORUS-2003; конференции

Наука. Техника. Инновации НТИ-2001, НТИ-2002; Сборнике работ аспирантов НГТУ, 2001, №3, 2003; на семинарах академика Монахова В. Н. ИГД СО РАН; на семинарах проф. Селезнева В. А. НГТУ, ФПМИ. Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации опубликовано в 4 публикациях.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав основного содержания, 27 рисунков, заключения, списка использованных источников и 5 приложений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нами предложена новая информационная технология, позволяющая динамическим процессам {y(f^)} сопоставлять эволюционное уравнение дискретного типа, которое в случае полного отсутствия памяти и в случае полного сохранения памяти становится дифференциальным уравнением.

В соответствии с поставленными целями исследований получены следующие основные результаты:

1. Разработан алгоритм проверки корректности аксиоматики, задающей динамические системы, основанный на достаточных признаках совместности и независимости систем аксиом, а также произведена автоматизация вывода дифференциальных уравнений на основе системы аксиом.

2. Описан алгоритм построения мастер-уравнения для реализации динамического процесса (yfot)} и доказана сходимость мастер-уравнения при различных отношениях параметров усреднения к следующим дифференциальным операторам:

А) К телеграфному уравнению, при a(At) —> а и v(At) —> v при At —> 0:

1 d2F d2F 2a dF v2 dt2 ~ dx2 v2 5/ ' где а и v — некоторые константы, большие 0, с порядком аппроксимации 0(At).

Б) К волновому уравнению, если <я(Д/)= 0, v(A/)—> v при At —> 0:

2 d2F d2F v -=dx2 dt2 где v - некоторая константа, большая 0, с порядком аппроксимации 0(At).

В) К диффузионному уравнению, если a{At) —> оо, v(Ai) —> оо, а 2a(At)/v2(At)->l/D: dF D d2F dt ~ 2 dx2 ' где D — некоторая константа, большая 0. 3. Метод мастер-уравнения был апробирован на следующих имитационных моделях: взаимодействия конкурентов, взаимодействия по типу "хищник-жертва" и модели пробоя диэлектрика.

1. Арнольд. Динамические системы. ВИНИТИ, 1985 г.

2. Александров А. Д. Основания геометрии. М.: Наука, 1987 г.

3. Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1961 г.

4. Висман Г., Пьетронеро Л. Свойства лапласовских фракталов при пробое диэлектриков в двух и трех измерениях. Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике (Фракталы в физике), М.: Мир, 1988, стр. 210-221.

5. Висман Г., Пьетронеро Л. Свойства подобия растущей зоны и емкость лапласовских фракталов. Труды VI международного симпозиума поIфракталам в физике (Фракталы в физике), М.: Мир, 1988, стр. 210-226.

6. Ю.Вольтера В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976 г.

7. И.Гильберт Д., Бернайс П. Основания геометрии. М. Наука, 1979 г.12.3осимов В. В., Лямшев Л. М. УФН, т. 165, №4, стр. 361-401.

8. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. М.: Наука, 1967 г.

9. М.Кнут Д. Искусство программирования на ЭВМ. Москва, "Мир", 1976 г.

10. Козлов Н. И., Кузнецов В. И., Кузьмин Ю. В. Невольтеровская модель леса. Мат. Моделирование, 8, №10, 1996 г.

11. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000 г.

12. Крупянский Ю. Ф., Гольданский В. И. Динамические свойства и энергетический ландшафт простых глобулярных белков. Успехи физ. наук, 2002, №11, 1247-1269.

13. Лежнев Е. В. Исследование ассимптотического поведения моделей, задаваемых аксиоматически. Сб. научн. трудов НГТУ. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001. № 3 (25), стр. 85-90.

14. Лежнев Е. В., Селезнев В. А. Анализ сходимости мастер-уравнения. Сб. научн. трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. (сдано в печать).

15. Лежнев Е. В., Селезнев В. А. Исследование ассимптотического поведения моделей, задаваемых аксиоматически. Тезисы докладов региональной НТК "Наука. Техника. Инновации" НТИ-2001, ч. 1, стр. 113.

16. Лежнев Е. В., Селезнев В. А. О случаях сходимости мастер-уравнения для блуждания за конечный промежуток времени. Тезисы докладов региональной НТК "Наука. Техника. Инновации" НТИ-2002 — Ч. 1. С. 202-203.

17. Лежнев Е. В., Селезнев В. А. Об одной численной модели динамики популяций. Третий Сибирский Конгресс по Прикладной и

18. Индустриальной Математике (ИНПРИМ-1998). Тезисы докладов, стр. 127.

19. Ликле,ма Й., Эвертс К., Лапласово случайное блуждание. Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике (Фракталы в физике), М.: Мир, 1988, стр. 122-130.

20. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965 г.

21. Медвинский А. Б. и др. Формирование пространственно-временных структур, фракталы и хаос в концептуальных экологических моделях на примере динамики взаимодействия популяций планктона и рыбы. Успехи физ. наук, 2002, №1, 30-60.

22. Модели динамики нейронной активности при обработке информации мозгом итого "десятилетия". Успехи физ. наук, 2002, №10, 1189-1214.

23. Нигматуллин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация. Теоретическая и математическая физика, т. 90, №3, 1992 г.

24. Рассохин Д. От С к С++. Москва, "Эдель", 1993 г.

25. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977 г.

26. Соболев С. Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса. Успехи физических наук, 1997, том 167, № 10.

27. Суидан Т. М. Одномерный гравитационно взаимодействующий газ и выпуклая миноранта броуновского движения. Успехи математических наук, 2001, 56, №4, с. 73-96.

28. Теллесс, М. Borland С++ Builder. Спб.: Питер, 1998 г.

29. Тертычный-Даури В. Ю. Стохастическая механика. М.: Факториал — Пресс. 2001 г.

30. Федер Е. Фракталы. Пер.с англ.-М.: Мир, 1991 г.

31. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985 г.

32. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Москва-Ижевск: РХД, 2001 г.