автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмическое и программное обеспечение проблемы глобальной идентифицируемости и дискриминируемости динамических моделей в пространстве состояний

На правах рукописи

Каргин Сергей Алексеевич

Алгоритмическое и программное обеспечение проблемы глобальной идентифицируемости и дискриминируемое™ динамических моделей в пространстве состояний

Специальность 05 13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

I

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

I

I

Новосибирск - 2003

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент

Авдеенко Татьяна Владимировна

Официальные оппоненты: доктор технических наук, доцент

Фроловский Владимир Дмитриевич

кандидат технических наук Парлюк Артем Викторович

Ведущая организация:

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

Защита состоится 3 марга 2004 г. в 16-30 часов на заседании диссертационного совета Д 2t2.173.06 в Новосибирском государственном техническом университете по адресу: 630092, г. Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета

Автореферат разослан

февраля 2004 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.173.06

к.т.н., доцент

Чубич В.М

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из наиболее распространенных способов построения математических моделей является параметрическая идентификация, при которой сначала на основании имеющейся априорной информации мы определяем структуру модели, содержащей неизвестные параметры, а затем, используя экспериментальные данные, оцениваем эти параметры Однако исследователи часто упускают из виду тот факт, что далеко не всегда для выбранной структуры модели задача нахождения оценок параметров имеет единственное решение. Если задача оценивания параметров модельной структуры имеет неединственное решение, то структуру называют неидентифицируемой и в этом случае корректность задачи оценки параметров вызывает определенные сомнения. Особенно важна идентифицируемость структуры тогда, когда параметры имеют некоторый физический смысл и их значения представляют самостоятельный интерес для исследователя. Таким образом, проверка идентифицируемости модельной структуры является необходимым шагом, предшествующим этапу оценивания параметров.

Особенно актуальна проблема идентифицируемости для динамических моделей в пространстве состояний. Именно в этом классе моделей наиболее велика доля неидентифицируемых структур. В то же время динамические модели в пространстве состояний широко используются в различных областях науки, поскольку они естественным образом возникают согласно физическим, химическим, биологическим и пр. законам, описываемым дифференциальными уравнениями.

Принято считать, что начало целенаправленному изучению проблемы идентифицируемости линейных динамических моделей положила работа Р Беллмана и К. Острема, опубликованная в 1970 году. Именно после появления этой работы последовал, широкий поток публикаций, посвященных идентифицируемости динамических моделей. К настоящему времени теория идентифицируемости динамических моделей в целом сложилась и в ее арсенале имеется множество различных методов и алгоритмов. С другой стороны большинство известных методов анализа идентифицируемости применимо только для моделей небольших размерностей не более 6. Причиной этого является необходимость применения для анализа идентифицируемости структур методов компьютерной алгебры, поскольку на данном этапе конкретные значения параметров (оценки) неизвестны и анализ должен проводится для всех точек параметрического пространства одновременно, т.е. в символьном виде. Таким образом, чрезвычайно актуальна разработка аналитических методов проверки идентифицируемости, применимых также и для моделей больших размерностей.

Очень тесно с проблемой идентифицируемости связана проблема проверки дискриминируемости конкурирующих модельных структур. Дискриминируе-Мость двух различных модельных структур должна быть установлена до этана дискриминации моделей и по сути означает принципиальную различимость модельных структур по отклику. Методы проверки идентифицируемости и

дискриминируемое™ основаны на общих принципах и потому очень схожи и вследствие этого имеют схожие недостатки. В частности проверка дискриминируемое™ моделей больших размерностей с помощью аналитических методов зачастую невыполнимая задача Поэтому проблема разработки аналитических методов проверки дискриминируемое™ для моделей больших размерностей весьма актуальна.

Цели и ¡адачи исследований. Целью проводимых исследований является разработка методов и алгоритмов для анализа глобальной идентифицируемое ж и дискриминируемое! и линейных моделей в пространстве состояний, эффективных также и в случае моделей больших размерностей.

В рамках поставленной цели выделим две основные задачи. Во-первых, эте разработка алгоритмов для нахождения решений системы уравнений подо-Сия для идентифицируемости и дискриминируемое™. Во-вторых, разработка на базе метода преобразования подобия способа нахождения истинных сепара-юр-jB параметрического пространства, делящих параметрическое пространство на области с различными решениями задачи идентификации.

Методы исследований. При решении поставленных задач использовались меч оды теории систем, теории идентафикации, линейной и компьютерной алгебры.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложено условие ранга для проверки глобальной идентифицируемое™ структур общего вида, а также эффективный алгоритм для нахождения параметрических офаничений, удовлетворяющих условию ранга. Предложен алгоритм нахождения параметрических ограничений, при которых матрица глобальной идентифицируемости имеет неполный столбцовый ранг.

2. Предложен алгоритм для приведения прямоугольной матрицы к верхнему блочно-треугольному виду с минимальными размерами диагональных блоков.

3. Доказаны основные свойства истинных сепараторов. Доказана теорема об определении максимального количества решений задачи идентифицируемости на основе истинных сепараторов. Доказан критерий истанноста сепараторов, требующий только вычисления ранга матрицы Якоби системы уравнений подобия.

4. Предложено условие ранга для проверки дискриминируемое™ конкурирующих модельных структур общего вида. Для структур с числовыми матрицами управления и наблюдения уменьшена размерность матрицы, фигурирующей в условии ранга. Разработан алгоритм нахождения параметрических ограничений, удовлетворяющих условию ранга для дискриминируемое™.

5. Разработано программное обеспечение в среде пакета символьных вычислений Maple для анализа глобальной идентифицируемости и дискриминируемое™ динамических моделей.

На защиту выносятся:

1. Условие ранга для проверки глобальной идентифицируемости структур общего вида и алгоритм, основанный на данном условии, для формирования

Г

систем уравнений, содержащих решения задачи идентифицируемости.

2. Алгоритм приведения прямоугольной матрицы, имеющей полный столбцовый ранг, к верхнему блочно-треугольному виду с минимальными размерами диагональных блоков.

3. Алгоритм нахождения сепараторов для структур с линейными ограничениями на параметры.

4. Условие глобальной идентифицируемости, основанное на истинных сепараторах, и критерий истинности сепараторов.

5. Условие ранга для анализа дискриминируемое™ структур общего вида и структур с линейными ограничениями на параметры, а также алгоритм проверки данного условия.

6. Программное обеспечение для анализа глобальной идентифицируемости и дискриминируемое™ динамических моделей.

Практическая ценность и реализация результатов исследования. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы могут найти применение при анализе глобальной идентифицируемости и дискриминируемое™ линейных динамических моделей в пространстве состояний. Такими моделями могут быть описаны, в частности, системы автомагического управления, различные физические, химические, биологические и т.п. явления.

С использованием разработанных методов и алгоритмов была исследована глобальная идентифицируемость моделей системы чтения информации с жесткого диска компьютера, системы управления электроприводом и биомедииин-ских камерных систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались:

- на V Международной конференции «Актуальные проблемы ■электронного приборостроения» (Новосибирск, 2000 г.);

- на V Российско-Корейском международном симпозиуме «Научные основы высоких технологий» К01Ш8-2001 (Томск, 2001 г.);

- на XIV, XV Международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-14, ММТТ-15 (Смоленск, 2001 г.; Тамбов, 2002 г.);

- на П Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» БЮРЯСОЭ (Москва, 2003 г.).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубмкованы 8 печатных работ. В опубликованных работах автору принадлежат результаты, изложенные в тексте диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников из 110 наименований. Объем работы составляет 139 страниц машинописного текста, включая 4 рисунка.

Автор приносит глубокую благодарность научному руководителю к.т.н., доценту Авдеенко Т.В., оказавшей огромное влияние на формирование темы

исследования и помогавшей в течение всей работы над диссертацией ценными советами и консультациями, а также д.т.н., профессору Денисову В.И за постоянную поддержку и помощь при написании диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, определена цель исследования, отмечена научная новизна и практическая ценность работы.

Глава 1. Основные положения теории идентифицируемости. В первой главе проводится исследование современного состояния проблемы идеи I и-фицируемости и формулируются цели диссертационной работы.

В первом разделе проводится обзор имеющийся литературы по теме исследования. На основе критического анализа основных работ по идентифицируемости и дискриминируемости выявляются до сих пор еще не решенные задачи и намечаются пути их решения. В частности отмечается, что ни один из известных аналитических методов проверки глобальной идентифицируемости и дискриминируемости практически не применим для модельных структур больших размерностей.

Введем класс линейных динамических моделей в пространстве состояний:

мо _

М(в):

■■ А{в)х{0 + В(в)и((), х(0) = О,

х О = С(0)Х(О,

где А е , В е , С 6 Ят*п - матрицы состояния, управления и наблюдения соответственно, хеЯ", и е II с /?*, у е Ят - векторы состояния, управления и наблюдения соответственно, 0 еО. с Яр - векюр параметров, I е Л+ -переменная времени. Предполагается, что все элементы матриц А, В, С являются полиномиальными функциями вектора в, а множество и состоит из векторов, элементами которого являются ограниченные кусочно-непрерывные функции времени.

Назовем модельной структурой М(-) дифференцируемое отображение из параметрического пространства П во множество моделей М = {М(в): в еП} Определим понятия структурно локально идентифицируемой (СЛИ) модели и структурно глобально идентифицируемой (СГИ) модели.

Определение 1. Параметр в, (элемент вектора (?) называется СЛИ, если почти для любого О(за исключением, возможно, точек множеств меры нуль) существует окрестность у(0) стакая, что если в* 6 \'{0), то выполняется

М(в')*>М(в)=>в1 =в,.

Определение 2. Параметр 0, называется СГИ, если почти для любого

в е С! выполняется

М(в*)«М(в)=>в* =в1.

Определение 3. Модель называется СЛИ (СГИ), если все ее параметры 0„1 = йр являются СЛИ (СГИ).

Таким образом, свойство локальной идентифицируемости эквивалентно локальному гомеоморфизму структуры и для его проверки достаточно вычислить ранг матрицы Якоби в символьном виде. В то время как для проверки глобальной идентифицируемости необходимо аналитически найти всс решения системы полиномиальных уравнений.

Также приводятся определения структурной управляемости и структурной наблюдаемости, обобщающие классические понятия управляемости и наблюдаемости, и описывается критерий Калмана, необходимый для проверки этих свойств.

Рассматриваются два наиболее эффективных подхода к анализу идентифицируемости: метод преобразования подобия и метод модальных матриц. В основе метода преобразования подобия лежит идея нахождения множества линейных преобразований вектора состояния х - Тх и соответствующих им нелинейных преобразований вектора параметров 9* = . В результате применения метода получаем билинейную систему уравнений подобия

S{&,в) =

А{в')Т-ТА{в)Л

= 0 (2)

B(ß )~ТВ(в)

С(в*)Т-С(в) \ /

вид решений которой и определяет тин идентифицируемости. К недостаткам данного метода можно отнести очень большое количество неизвестных (п2 элементов матрицы Т и р элементов вектора 0) и уравнений, устранение этих недостатков позволило бы значительно увеличить эффективность метода при анализе структур больших размерностей.

В дальнейшем широко будет использоваться следующая запись системы уравнений (2). Пусть s - вектор так называемых системных параметров:

/=(?г Вт Crf, где А, В, С - векторы, полученные вытягиванием по строкам элементов матриц А, В, С соответственно. Систему уравнений (2) можно представить в следующем виде:

х\в\0%Т-1„) + в(в*)-т=Ъ, (3)

где Т, 1„ - векторы, полученные вытягиванием по строкам элементов матриц Т, /„ соответственно. Матрица Х*(9*,в) имеет вид:

* (0,0) =

( А(0*) ®I„-In <&AT(в) -1„<а>вт(в)

(4)

С(в )®/„

где символ ® обозначает прямое (Кронекерово) произведение матриц.

Метод модальных матриц можно использовать только в случае, когда параметры содержатся исключительно в матрице состояния А. Идея метода заключается в переходе от анализа идентифицируемости матрицы состояния А к анализу идентифицируемости ее собственных векторов, составляющих модальную матрицу. В результате использования метода также получается билинейная система уравнений, вид решений которой и определяет тип идентифицируемости модели. На основе метода модальных матриц Ж. Делфоржем и коллегами была предложена идея использования истинных сепараторов параметрического пространства, разделяющих различные решения задачи идентификации.

В результате проведенного анализа современного состояния проблемы идентифицируемости формулируются задачи диссертационной работы.

Глава 2. Условия ранга для глобальной идентифицируемости и методы их проверки. Во второй главе рассматриваются условия глобальной идентифицируемости, полученные с использованием метода преобразования подобия.

На основе метода преобразования подобия было получено следующее условие глобальной идентифицируемости структур вида (1).

Утверждение 2.1. Если при наложении ограничения 0* = f(0) вектор-столбец ^ линейно зависит от столбцов матрицы

Х*(в*,ву, , , то ограничение 0* = f(ß) будет являться решением задачи I в =/(в)

параметрической идентификации, где h(0 ,0) = s{0) — s(0').

Для формирования с помощью утверждения 2.1 систем уравнений, содержащих решения исходной системы (2), предлагается алгоритм, базирующийся на применении метода исключения Гаусса. Обозначим К = (х* < hj. Назовем полином к(0*,0) простым, если в его разложении на множители fc(0*,0) = не имеется множителей вида f,(0',0),

I j l

в противном случае будем называть элемент сложным. Идея алгоритма заключается в том, чтобы при помощи метода Гаусса преобразовать матрицу К к матрице, имеющей столбец, состоящий только из нулей и сложных элементов. Если система уравнений, соответствующая данному столбцу, имеет решения, то в соответствии с утверждением 2.1 при соблюдении следующих двух условий эти решения являются решениями исходной системы (2). Во-первых, в процессе преобразования Гаусса должен участвовать столбец матрицы К, со-

ответетвующий вектору А. Во-вторых, в качестве главного при исключении должен выбираться простой элемент, чтобы не потерять некоторые решения. Если же главным можно выбрать только сложный элемент к(0* ,0), то необходимо рассмотреть два случая к(0 ,0) = О и к(0 ,0)^0. Поскольку при применении метода Гаусса с каждым шагом исключения элементы преобразуемой матрицы быстро «разбухают» от накапливающихся множителей, мы предварительно с помощью перестановок строк и столбцов приводим матрицу К к верхней блочно-треугольной форме (БТФ) с минимальными размерностями диагональных блоков, алгоритм такого преобразования будет описан далее. Применение преобразования Гаусса в пределах каждого диагонального блока, имеющего минимально возможный ранг, не слишком усложняет вид элементов преобразуемой матрицы.

Предположим, что параметризация структуры (1) задается следующими линейными ограничениями:

Г* = Г0, (5)

где числовая матрица Г размерности г х (и +пк + пгп) имеет ранг равный г (условие независимости ограничений), числовой вектор правой части Г0 имеет размерность гх

1. Матрица ГХ (в ,0) называется матрицей глобальной идентифицируемости. Для глобальной идентифицируемости структуры (1) достаточно чтобы в разложении

л*[(гх')тгх*] = (6)

1 '

не имелось множителей вида /¡(В ,0).

Предположим, что в разложении (6) имеется Ь > 1 множителей вида /¡(0*,0), являющихся функциями как от 0*, так и от 0. Доказано следующее утверждение, дающее необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости.

Теорема 2.1. Для того чтобы модель (1) с ограничениями (5), удовлетворяющая условиям управляемости, наблюдаемости и локальной идентифицируемости, была СГИ, необходимо и достаточно, чтобы для любого / (\<,1 <,!.) система уравнений

5(0 ,<9) = 0,

где /¡(в*,в) - множитель разложения (6), была несовместной.

Для нахождения множителей /¡(0*,0) разложения (6), прямая факторизация определителя АеХ[{1Х* (0* ,0))Т ГХ' {0* ,0)) применима только в самых простейших случаях, поскольку в случае моделей больших размерностей вычислить данный определитель и разложить его на множители почти всегда невоз-

можно Для решения этой проблемы, предлагается эффективный алюриш нахождения множителей f(6 ,в) определителя de![( ГА'*)' Г'А'* ] Доказы ваегся,

что все множители разложения (6) имеются в разложении dot К , где К квад-

*

ратная невырожденная подматрица матрицы ГХ , имеющая ранг равный рашу ГХ Чтобы найти множители dot К приведем ма1рицу К к верхнему блочно-греуголыюму виду с блочными матрицами из главной диаго-

нали Тогда определитель матрицы К будет иметь вид

АеХК = det(^j,)det(^22)...det(^„) (8)

Разложим каждый определитель det(K„), 1 <t is на множители, в итоге получим разложение определителя матрицы К на множители

¿е^П^ШД^П/Д0*-0) (9)

Множители вида е,(в*) и g}(0) выражения (9) не будем принимать во внимание, поскольку простые множители нас не интересуют Сформируем числовые значения 6*N, BN для векторов в*, в, удовлетворяющие ограничению //(0дг,0дг) = 0, и если матрица ГХ* {e"N,6N) имеет неполный столбцовый ранг, то //(в*,в) является множителем разложения (6)

Чем меньше размер диагональных блоков К„,1< ; < у, тем проще вычислить разложение (8) Таким образом, оптимальный выбор подматрицы К с минимальными размерностями диагональных блоков, повышает эффективность алгоритма Для проверки утверждения (2 1) также 1ребуется находить блочно-треугольную форму (БТФ) прямоугольной матрицы К с минимальными размерами диагональных блоков В диссертации предлагается алгоритм приведения прямоугольной матрицы К, имеющей полный столбцовый ранг, к верхнему треугольному виду с минимальными размерностями диагональных блоков Условимся считать БТФ для К матрицу К, удовлетворяющую следующим требованиям'

1) матрица К получена из К путем перестановок строк и столбцов,

2) матрица К имеет верхний блочно-треугольный вид с прямоугольными Mai-рицами Кп, i !, v на главной диагонали, причем матрицы К„, i = 1, s имеют полный столбцовый ранг;

3) в классе матриц, удовлетворяющих первым двум условиям, матрица К обладает минимальной характеристикой max(rgKn )

i=l,s

Разобьем процесс построения БТФ на два этапа На первом этапе мы выбираем q базисных линейно независимых строк матрицы К, где q - количество столбцов К Понятно, что данный выбор неоднозначен и мы будем проводить его руководствуясь требованием 3 На втором этапе БТФ, построенную по базисным строкам, пополняем оставшимися строками (строками, коюрыс не

попали в число базисных), вставляя их таким образом, чтобы выполнялось требование 2.

Опишем основные шаги первого этапа. Выберем д произвольных линейно независимых строк матрицы К и сформируем из них матрицу Е, оставшиеся после выбора строки сгруппируем в матрице Р. Поставим в соответствие матрице Е направленный граф Г, состоящий из q вершин. В графе Г тогда и только тогда существует дуга [/, у] от вершины к другой вершине у, когда Ф 0. Известно, что если вершины 1 и у фафа Г лежат на одном направленном цикле, то соответствующие строки и столбцы магрицы Е принадлежаг одному диагональному блоку в БТФ матрицы Е и каждому циклу длины к соответствует диагональный блок размерности к.

Для уменьшения размера диагонального блока мы должны заменить некоторые из строк, принадлежащие этому блоку, на строки матрицы Р, таким образом, чтобы «разрушить» соответствующий данному диагональному блоку цикл в графе Г, и не породить других циклов такого же или большего размера. Подобные замены продолжаются до тех пор, пока мы способны уменьшить размер самого большого диагонального блока.

Глава 3. Исследование идентифицируемости с использованием сепараторов параметрического пространства. В третьей главе рассматривается метод анализа глобальной идентифицируемости структур с линейными ограничениями на параметры с использованием сепараторов параметрического пространства.

Представленные во второй главе методы проверки идентифицируемости, применимы для более широкого класса моделей (для моделей больших размерностей) в сравнении с известными методами. В данной главе для класса моделей с линейными ограничениями на параметры предлагается еще более эффективный метод анализа глобальной идентифицируемости, основанный на идее сепараторов параметрического пространства, не требующий решения системы уравнений.

Как уже говорилось, понятие сепаратора параметрического пространства впервые было введено Ж. Делфоржем и коллегами. Сепараторами названы гиперповерхности параметрического пространства, на которых нарушается условие локальной идентифицируемости. Среди сепараторов имеются так называемые истинные сепараторы, которые делят параметрическое пространство на подобласти, каэдая из которых содержит одно и только Ьдно решение задачи идентификаций. Делфорж выдвинул не совсем верную гипотезу об определении истинных сепараторов. В данной диссертационной работе приводится пример, опровергающий эту гипотезу.

В данной главе формулируются и доказываются лемма и следствие из нее, на которых основывается доказательство основных результатов главы.

Лемме 3.1. Пусть в* - Н(в) - решение системы уравнений подобия (2). Тогда обргтным для отображения Я: О -> О является также отображение

//: Q ~> Q, т.е. Я-1 = Н.

Следствие 3.1. Пусть 0 = Н{в) - решение системы уравнений подобия (2). Тогда если имеет место равенство f(0',0) =/(Н(в),0) = О, где / • Q х Q - > /?', то справедливо и равенство f(ß, 0*) = f(0, Н(в)) = О

Приведем определение сепараторов для структур с линейными ограничениями на параметры (5).

Определение 3.1. Сепаратором параметрического пространства назовем

равенство вида /(0,0) = 0, гце f(0,0) = f(ß*f(ß*,0) - множитель в

разложении (6). Сепаратор, соответствующий совместной системе уравнений (7), называется истинным. Сепаратор, соответствующий несовместной системе уравнений (7), называется ложным.

С учетом определения 3.1, условие глобальной идентифицируемости, основанное на сепараторах, является следствием теоремы 2.1.

Следствие 3.2, Для того чтобы структура (1) с ограничениями на параметры (5), удовлетворяющая условиям управляемости, наблюдаемости и локальной идентифицируемости, была СГИ, необходимо и достаточно, чтобы все ее сепараторы были ложными.

Из определения истинных сепараторов не следует, что они разделяют различные решения задачи параметрической идентификации. Этот факт устанавливается в следующей теореме.

Теорема 3.1. Пусть система уравнений

/(0» = О, S(e\ö) = О,

где /: Cl xQ -> Rl и f (0,0)^0, имеет решение 0* =Н(0). В этом случае решения 0* =0 и в* - Н(0) лежат по разные стороны относительно гиперповерхности f{z,z)-Q. Причем при достаточно близком приближении решения О* - в к данной гиперповерхности решение в* = И(0) также приближается на такое же расстояние к гиперповерхности, но с другой стороны.

Зная все истинные сепараторы, можно определить количество решений задачи параметрической идентификации с помощью следующей теоремы.

Теорема 3.2. Максимальное количество изолированных решений задачи идентифицируемости равно количеству связных областей, ограниченных истинными сепараторами. Каждая из этих областей содержит точно одно решение.

В некоторых случаях проверка истинности сепаратора с помощью исследования совместности системы уравнений (7) - весьма трудоемкая, а порой и невозможная операция. В разделе 3.2 предлагается и доказывается критерий истинности сепаратора, не требующий проверки совместности системы уравнений.

Теорема 3.3 (критерий истинности сепаратора). Пусть структура (1) с ограничениями на параметры (5) удовлетворяет условиям управляемости, наблюдаемости и локальной идентифицируемости. Наложим на структуру М дополнительное ограничение /(#,0) = 0, соответствующее множителю /(в*,в) в разложении (6), и обозначим структуру с дополнительным ограничением Му Предположим, что структура Му управляема и наблюдаема. В этом случае сепаратор /(0,0) = 0 является истинным тогда и только тогда, когда структура Му локально идентифицируема.

В разделе 3.4 рассматривается и обосновывается два способа элиминирования глобальной неидентифицируемости структуры с помощью истинных сепараторов. Первый способ заключается в изменении структуры модели путем наложения в качестве дополнительного ограничения уравнения истинного сепаратора. Тогда если полученная таким образом структура является управляемой и наблюдаемой, то согласно теоремам 3.1 и 3.2 эта структура локально идентифицируема и имеет меньшее количество решений задачи идентификации, чем исходная структура, и, следовательно, имеет большую степень идентифицируемости. Второй способ более универсален, он состоит в том, что на этапе нахождения оценок параметров мы производим их поиск в пределах только какой-либо одной области, ограниченной истинными сепараторами. Согласно теореме 3.2 в пределах области, ограниченной истинными сепараторами, структура является глобально идентифицируемой.

Глава 4. Анализ дискриминнруемостн конкурирующих модельных структур. В четвертой главе рассматривается условие ранга для дискриминируемое™ модельных структур, а также алгоритм проверки данного условия.

Проблема дискриминируемое™ (различимости) конкурирующих модельных структур очень тесно связана с проблемой идентифицируемости. Предположим, что наблюдаемое явление помимо модели (1) можно описать с помощью модели

М (в ):

= А'(в')х\0 + В*(в'М0, х*(0) = О,

Л У ' ч/ У ' 4 ' (10)

|/(0 = с*«?У(0,

где в ей сЯр. Перед дискриминацией различных моделей (1) и (10) по данным эксперимента необходимо убедиться в принципиальной дискриминируемое™ структур М и М*. Для анализа дискриминируемое™ также можно использовать метод преобразования подобия, уравнения подобия в этом случае имеют вид:

А (в )Г — ТА(в)~ О,

• В*(0*)-7В(0) = О, (Н)

С''(в')Т-С(в)= О

В разделе 4 1 предлагаются полученные на базе метода преобразования подобия условия ранга для неразличимости структур общею вида и структур с числовыми матрицами управления и наблюдения Для структур общего вида условие формулируется следующим образом

Утверждение 4.1 (условие ранга для неразличимости). Модельная Сфук гур<: К4 , определяемая системой (1), неразличима с модельной структурой М*, определяемой системой (10). тогда и только тогда, когда существует мно-жеаво ненулевой меры Г2 с П на котором выполняем условие

г^(в*,в) \ Цв*,в))= (12)

где

W(0 ,0)-

А (в )®1п-1„ -1„®Вт(в) С\в*)®1„

1 Лт(0)л

, И(в ,0) =

А (в )-А(<0)

В_\о')-В{в) С\о')-С{0)

(13)

Аналогично, M неразличима с M тогда и только тогда, когда существует множество ненулевой меры Ù* с. Q* на котором выполняется условие (12)

Для случая структур с числовыми матрицами управления и наблюдения размерность матрицы 1¥(в*,6) и вектора h(0*,0) можно значительно уменьшить Пусть магрицы управления и наблюдения обеих структур являются числовыми и выполняется условие

rgB = rgB* = k , rgC = rgC'* = m (14)

Toc да справедливо следующее достаточное условие дискриминируемое™

Утверждение 4.2 (достаточное условие дискриминируемое™). Для дискриминируемое™ модельных струкгур M и М*, определяемых соответственно системами (1) и (10), с числовыми магрицами управления и наблюдения, удовлетворяющих условиям (14), достаточно, чтобы выполнялось условие

„®(в*Л m ^ С®1„ J *\с j

Пусть достаточное условие дискриминируемое™ (15) не выполняется, следовательно, существует матрица Р, удовлетворяющая сис1еме уравнений

г8

(И)

В С*

(16)

где Р - вектор, полученный вытягиванием элементов матрицы Р по строкам Обозначим Р~хА{0)Р = АР(в) СР = С, В* = В Приведем матрицы ВТ и С к

нижнему ступенчатому виду при помощи метода гауссовского исключения

в'=в7и, С = СК,

где и и V квадратные верхние треугольные матрицы порядка п Тогда в утверждении 4 1 для матрицы 1У(в* ,9) и вектора /)(0 ,9) можно использовать выражения

IV(в',в)-- А\в*)У®и-У®А$(ву1,Н(в\9)=А1,(в)~Т(9*) (17) Размерность матриц (17) гораздо меньше размерности матриц (13), что существенно облегчает проверку условия (12)

Условие ранга для дискриминируемое™ (утв 4.1) не является конструктивным, т с оно не дает какого либо способа построения множеств ненулевой меры или О* ей', фигурирующих в условии В данном разделе пред-

лагается алгоритм нахождения таких множеств ненулевой меры, основанный на факторизации определителей различных подматриц матрицы 2 -(IV ] /)) Матрица 2 имеет неполный столбцовый ранг в том случае, если определители всех квадратных подматриц матрицы 7., имеющих размерность равную количеству столбцов 2, равны нулю Обозначим одну из >аких квадратных подматриц с ненулевым определителем как 2' Разложим определи гель матрицы 2.' на множители.

' ] I

Идея алгоритма сосюит в том, чтобы обнулить данный определитель, наложив дополнительное Офаничение /¡(в*,в) - 0, соответствующее какому либо сложному множителю выражения (18) Если таким образом мы обнулим определители всех квадратных подматриц матрицы 2 и при этом результирующая система дополнительных ограничений

71(0*,в)'

/(0 ,0)=

/2(0

= 0 (19)

,Л(0 ,в))

будет име1ь некоторое решение 0* = Н(0*,в), ненулевые компоненты которого функционально независимы, то система (19) будет описывать множество ненулевой меры на котором выполняется условие (12) Предлагаемый алгоритм состоит из двух этапов

Первый этап Цель первого этапа - нахождение всех сложных множителей /Д0*,0), таких, что при ограничениях /¡(в*,0) = 0 матрица 2 имеет неполный столбцовый ранг

Выберем любую квадратную подматрицу 2\ матрицы 2 размерности I, имеющую ненулевой определитель. Загем определитель этой матрицы факт о ризуем

' У '

Пусть ¿| первых множителей /1(0*, в) образуют совместную относительно 0* систему уравнений. Формируем числовые значения векторов и 6>Л,, удовлетворяющих ограничениям //(0*,0) = 0, / = 1, £]. Определяем в числовой матрице 2(О*х,0ц) квадратную невырожденную подматрицу и из строк символьной матрицы 2, соответствующих строкам этой выбранной числовой квадратной подматрицы, формируем символьную подматрицу 2'г ■ Вновь факторизуем определитель подматрицы 2\:

= П )П е) (0>П Л2 ' ^ ■

' ) I

Пусть ¿2 первых множителей ,0) вместе с множителями предыдущего этапа /¡(0*,О), I-1,1] образуют совместную относительно 0* систему. Опять формируем числовые значения векторов 0*^ и 0^, удовлетворяющих ограни-

1 * --т * -

чениям /¡{в ,0) = 0, 1 = 1,Ц, /¡(О ,0) = О, I = \, ¿2 . Как и на предыдущем этапе, определяем подматрицу 2'^, факторизуем ее определитель и повторяем остальные действия. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока находятся новые множители вида /¡к(0*,0) или пока матрица 2(0^,0^ не будет иметь неполный столбцовый ранг. Если новых множителей вида /¡к(0* ,0) больше не имеется, а матрица 2{О*ц,0ц) все же имеет полный столбцовый ранг, то возвращаемся в начало первого этапа и повторяем процесс с другими множителями /¡(0* ,0), I = ¿1 +1,К . Если же других начальных множителей не имеется, то структура М* различима с М. Если нам удалось получить на каком либо этапе матрицу 2(0*^,0^), имеющую неполный столбцовый ранг, то переходим ко второму этапу.

Второй этап. В результате выполнения первого этапа мы имеем конечное число множителей /](0*,0),К ,/К(0*,0), при равенстве нулю которых матрица 2 имеет неполный столбцовый ранг. Также система уравнений

М0*,в)=о, Л

/К(0',0) = О

является совместной относительно 0*. Цель второго этапа - среди полученных множителей выбрать множители, при равенстве нулю которых матрица 2 имела бы неполный столбцовый ранг, а матрица IV имела бы полный столбцовый

ранг. Если таких множителей не имеется, то вновь переходим к первому этапу, иначе структура М* неразличима со структурой М. Для проверки рангов матриц при различных комбинациях ограничений также как и на первом этапе формируем числовые значения векторов в*^ и в^, удовлетворяющих ограничениям.

В разделе 4.2 отмечается, что алгоритм анализа глобальной идентифицируемости, изложенный в разделе 2.1 диссертации, без каких либо изменений применим также и для анализа дискриминируемости, и приводится пример проверки дискриминируемости структур с помощью данного алгоритма

Глава 5. Практическое применение предложенных алгоритмов анализа глобальной идентифицируемости на примерах реальных динамических систем. В пятой главе проводится анализ глобальной идентифицируемости различных динамических систем, имеющих практическое значение, с помощью предложенных в работе методов.

С помощью предложенных методов исследована глобальная идентифицируемость различных моделей реальных технических систем. В качестве объектов анализа выбраны параметрические модели систем автоматического управления и камерные модели фармакокинетики. Рассмотрены модели системы чтения информации с жесткого диска компьютера, системы управления электроприводом и биомедицинских камерных систем.

Рассмотрим динамическую модель системы управления электроприводом Системные матрицы модели имеют следующий вид:

А =

0 - Д21 2 0 0 0 0 0

«21 ' "«21 0 0 0 0 0

0 «32 - *с12«32 -«32 *с12«32 0 0

0 0 «43 0 ~«43 0 0

0 0 *с12«54 «54 -(^12 + ^с2з)«54 ~«54 *с23«54

0 0 0 0 «65 0 ~«65

0 к 0 0 0 *с23«76 «76 " *с23«76

-1 0 0 0 0 0 0 У с=Г°0 0 ; • (о о о 0 1 0 0 0 0

1 1 -у > «32 1 = . «43 = <М1 1 Тс12 1 ■ «54 = ~-. «65 = >М2 1 Тс21 «76 и 5>

Т,

лл >

Тм2, Тш - механические постоянные времени двигателя, Тлг, Тс2^ - постоянные времени, характеризующие жесткость упругих передач, Т^ - малая постоянная времени, кс12, кс 23 - относительные коэффициенты демпфирования. Предположим, что коэффициенты кл2, £с2з известны, а постоянные Т^,

ТМ2, Тмз, ТсП, Тс23, TfD необходимо оценить по экспериментальным данным. Исследуем структурную идентифицируемость неизвестных параметров.

Вектор неизвестных параметров имеет следующий вид:

в ~ («21«32.«43«54«65*«76У ■

Легко проверить, что модель является структурно управляемой и структурно наблюдаемой. Построим матрицу линейных ограничений на параметры Г и вычиским матрицу локальной идентифицируемости ГХ, имеющую размерность 64x49. Матрица ГА' имеет полный столбцовый раш, следовательно, можно сделать вывод о лохальной идентифицируемости модели.

Проверим глобальную идентифицируемость структуры. Система уравнений подобия для данной модели содержит 70 уравнений при 55 неизвестных и попытка решения системы с помощью системы Maple не приводит к успеху. Таким образом, метод преобразования подобия не позволяет провести анализ глобальной идентифицируемости модели. Используем для проверки глобальной идентифицируемост и подход, основанный на сепараторах. Вычислим матрицу ГАГ*, ее размерность равна 64 x 49. После удаления из матрицы CV* строк, имеющих единственный ненулевой простой элемент, и столбцов, соответствующих этим простым элементам, получаем матрицу размерности 25x21, которую обозначим К. Выберем любую квадратную невырожденную подматрицу матрицы К и разложим ее определитель на множители. Используя ал1 о-ритм, описанный в главе 2, легко устанавливаем, что не имеется ни одного сепаратора. Следовательно, можно заключить, что структура глобально идентифицируема.

Рассмотрим 8-камерную модель, имеющую следующие системные матрицы:

"«21 0 0 0 0 0 0 0 ^

«2! - ЙГ32 - а42 - «62 0 0 0 0 0 0

0 «32 -«43-«73 0 0 0 «37 0

0 «42 «43 «44 0 0 0 «48

0 0 0 «54 «55 0 0 0

0 «62 0 0 0 «66 0 0

0 0 «73 0 «75 0 -«37 0

0 0 0 «84 0 0 0 «88/

'0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

й=(1 0 0 0 0 0 0 о)г,с = 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

ч0 0 0 0 0 0 0 к

Вектор параметров содержит 15 элементов:

в = (а2\'а32'а37'а42>а41>а44>а4Ьа54>а55>аЬ2>а66>аП,а1<,-аЫ>ам)Т ■ Струю ура является управляемой, наблюдаемой, а также локально идентифицируемой.

Проведем анализ глобальной идентифицируемости структуры. Вычислим

параметрическую матрицу глобальной идентифицируемости у/Я* (0*,в),

* *

имеющую размерность 49x21. Поскольку матрица y/R (в ,0) достаточно небольшой размерности, го нет никакой необходимости в применении оптимизирующих алгоритмов для выбора невырожденной квадратной подматрицы и

приведения ее к блочно-треугольному виду. Просто выберем в матрице * *

y/R (в ,0) любую квадратную невырожденную подматрицу размерности 21x21 и разложим на множители ее определитель. В результате применения

алгоритма, описанного в разделе 2.2.2, находим единственный сложный мно-*

житель а21 - e32 - а42 - а62, который является одновременно и множителем разложения det|(y//?*)ri^/?*J. Следовательно, равенство а2\ - «32 - а42 - а62 = О является сепаратором.

Для проверки истинности найденного сепаратора воспользуемся критерием, доказанным в разделе 3.2. Добавив дополнительное ограничение на параметры f = а2\ — а ж ~ а42 ~ a62 = 0 к исходным ограничениям у/а - 0, получим структуру My. Легко проверить, что структура Мj управляема, наблюдаема и локально идентифицируема. Следовательно, сепаратор / = 0 является истинным и делит параметрическое пространство на непересекающиеся области, содержащие различные решения задачи идентификации. В соответствие с теоремой 3.2 максимальное количество решений задачи идентификации равно 2, что свидетельствует о глобальной неидентифицируемости модели.

В разделе 5.2 рассматривается разработанное программное обеспечение для анализа управляемости, наблюдаемости, локальной, глобальной идентифицируемости и дискриминируемое™ линейных динамических структур. Программа реализована в среде символьных вычислений Maple и исполнена в вице внешнего подключаемого модуля.

В заключении сформулированы основные результаты исследования. В приложении представлены акты о внедрении результатов работы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В соответствии с поставленными задачами в диссертационной работе по лучены следующие результаты:

1. Предложено условие ранга для проверки глобальной идентифицируемости структур общего вида. Данное условие разработано на базе уравнений подобия и позволяет избавиться от части неизвестных, сформировав дополнительные системы нелинейных уравнений, содержащие меньшее количество неизвестных. Для формирования на основе условия ранга дополнительных систем

уравнений разработан алгоритм, использующий метод исключения Гаусса.

2. Для структур с линейными ограничениями на параметры доказано необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости, требующее только проверки совместности системы уравнений.

3. Разработан алгоритм для приведения прямоугольной матрицы, имеющей полный столбцовый ранг, к верхнему блочно-треуголыюму виду с минимальными размерами диагональных блоков. Данное преобразование матрицы очень важно для повышения эффективности предложенных методов анализа глобальной идентифицируемости в случае моделей больших размерностей

4. Разработан алгоритм нахождения сепараторов параметрического пространства.

5. Доказаны основные свойства истинных сепараторов. Доказана теорема об определении с помощью истинных сепараторов максимального количества решений задачи идентифицируемости. Доказан критерий истинности сепараторов. Обоснованы два способа элиминирования глобальной неидентифицируемости с помощью истинных сепараторов.

6. Предложено условие ранга для проверки дискриминируемое™ структур общего вида и структур с линейными ограничениями на параметры. Данное условие разработано на основе уравнений подобия для дискриминируемое™ и позволяет сформировать более простые уравнения с меньшим количеством неизвестных для нахождения решений исходной системы уравнений. Разработан алгоритм для формирования систем уравнений с использованием условия ранга для дискриминируемое™. Алгоритм основан на факторизации различных определителей подматриц матрицы ранга.

7. Исследована глобальная идентафицируемость реальных технических систем, имеющих практическое значение.

8. Разработано программное обеспечение для анализа идентифицируемо-ста и дискриминируемое™ модельных структур. Программа разработана в среде программной системы символьных вычислений Maple и выполнена в виде внешнего подключаемого модуля.

Основпое содержание и результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Авдеенко Т В., Каргин С А. Приложение методов компьютерной алгебры к анализу глобальной идентафицируемости линейных динамических моделей // Научный вестник НГТУ. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. - №2(9). - С. 2736.

2. Avdeerlko T.V., Kargin S.A. The problem of distinguishabihty of State space models II Proc. 2000 5Л Int. Conf. on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering (APEIE-2000). - Novosibirsk, 2000. - V.l. - P. 77-82. (Авдеенко TB., Каргин C.A. Проблема различимости моделей в пространстве состояний // Сб. тр. 5-ой Межд. конф. актуальных проблем электронного приборостроения (АПЭП-2000). - Новосибирск, 2000. - ТА. - С. 77-82.)

3. Avdeenko T.V., Kargin S.A. А Computer algebra method for testmg structural

distinguishability of state space models // Proc of 5th Korea-Russia Inern. Symp. on Science and Technology (KORIJS-2001). - Tomsk, 2001. Part 1. P. 77-80. (Лв-деенко T.B., Каргин С.Л. Метод компьютерной алгебры для проверки структурной различимости моделей в пространстве состояний // Тр. 5-го Корейско-Российского межд. симп. по науке и технологиям (KORUS-2001). - Томск, 2001. - Т 1.-С. 77-80.)

4. Авдеенко Т.В., Каргин С.А. О дискриминируемое™ модельных структур в пространстве состояний // Сб. чр. XIV Межд. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-14. - Смоленск, 2001. - 'Г.2. - С. 114116.

5. Авдеенко Т.В., Горский В.Г., Каргин С.А., Швецова-Шиловская Т.Н. Электронный каталог сведений по анализу идентифицируемости линейных динамических моделей // Сб. тр. XV Межд. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-15. - Тамбов, 2002. Т 5. - С. 90-94.

6 Avdeetiko T.V., Kargin S.A. New results on global identifiability of linear state space models // Prep. 13th IF AC Symp. on System Identification SYS1D-2003. -Netherlands, Rotterdam, 2003. - 6 p. (Авдеенко T.B., Каргин С.А. Новые результаты по глобальной идентифицируемости линейных моделей в пространстве состояний // Преп. 13-ой IF АС симп. по идентификации систем SYSID-2003 -Нидерланды, Роттердам, 2003. - 6 с.)

7. Авдеенко Т.В., Каргин С.А. О глобальной идентафицируемости линейных динамических моделей // Тр. II Межд. конф. «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO'03). - М., 2003. - С. 182-194.

8. Авдеенко Т.В., Каргин С.А. Анализ глобальной идентифицируемости линейных моделей с использованием матрицы Яхоби // Сборник научных трудов НГТУ. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - № 2 (32). С. 3-12.

Подписано в печать Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная

Тираж 100 экз Печ л 1,5

Заказ №36

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г Новосибирск, пр К. Маркса, 20

t;

¿

Р- 278 5

РНБ Русский фонд

2004-4 33623

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ.

1.1. Обзор литературы по проблеме идентифицируемости.

1.2. Основные определения.

1.3. Два метода анализа структурной идентифицируемости.

1.3.1. Метод преобразования подобия.

1.3.2. Метод модальных матриц.

1.4. Основные задачи диссертационной работы.

2. УСЛОВИЯ РАНГА ДЛЯ ГЛОБАЛЬНОЙ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ И МЕТОДЫ ИХ ПРОВЕРКИ.

2.1. Исследование глобальной идентифицируемости структур общего вида.

2.1.1. Условие ранга для глобальной идентифицируемости.

2.1.2. Алгоритм формирования систем уравнений для нахождения решений задачи идентифицируемости на основе условия ранга.

2.2. Проверка глобальной идентифицируемости структур с линейными ограничениями на параметры.

2.2.1. Необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости, требующее только проверки совместности системы уравнений.

2.2.2. Алгоритм нахождения ограничений, при которых матрица глобальной идентифицируемости имеет неполный столбцовый ранг.

2.3. Алгоритм приведения прямоугольной матрицы к верхнему блочно-треугольному виду.

2.4. Выводы по главе.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЕПАРАТОРОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА.

3.1. Определение сепараторов.

3.2. Критерий истинности сепаратора.

3.3. Примеры анализа глобальной идентифицируемости модельных структур с помощью сепараторов.

3.4. Элиминирование неидентифицируемости с помощью истинных сепараторов.

3.4.1. Использование истинных сепараторов как ограничений структуры модели.

3.4.2. Нахождение оценок параметров внутри областей, ограниченных истинными сепараторами.

3.5. Выводы по главе.

4. АНАЛИЗ ДИСКРИМИНИРУЕМОСТИ КОНКУРИРУЮЩИХ МОДЕЛЬНЫХ СТРУКТУР.

4.1. Условие ранга для проверки структурной различимости.

4.1.1. Условие ранга для структур общего вида.

4.1.2. Условие ранга для структур с числовыми матрицами управления и наблюдения.

4.1.3. Алгоритм проверки условия ранга.

4.1.4. Примеры анализа дискриминируемости структур с помощью условия ранга.

4.2. Модификация метода преобразования подобия для дискриминируемости

4.3. Выводы по главе.

5. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕДЛОЖЕННЫХ АЛГОРИТМОВ АНАЛИЗА ГЛОБАЛЬНОЙ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ НА ПРИМЕРАХ. 108 РЕАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

5.1. Модели технических систем.

5.1.1. Система чтения информации с диска.

5.1.2. Система управления электроприводом.

5.1.3. Модель B-метаболизма аполипопротеина человека.

5.1.4. 8-камерная модель.

5.2. Описание программного обеспечения для анализа глобальной идентифицируемости.

5.3. Выводы по главе.

Наиболее распространенным способом построения математических моделей является параметрическая идентификация, которая обычно состоит из двух этапов. На первом этапе производится выбор структуры модели исходя из имеющейся априорной информации: физических, химических, биологических и т.п. законов. Структура содержит неизвестные параметры и фактически описывает множество моделей - каждому конкретному значению параметров соответствует некоторая модель из множества. На втором этапе осуществляется нахождение оптимальной модели из множества моделей, функция отклика которой наиболее близка к реально измеренной. Существенной проблемой на этом этапе может стать неидентифицируемость параметров структуры, означающая по сути неединственность выбора оптимальной модели из множества моделей. Неидентифицируемость параметров может быть вызвана различными причинами. Во-первых, причинами, относящимися непосредственно к процедуре оценивания параметров модели, например, недостаточной точностью экспериментальных данных, неудачно выбранным планом эксперимента, неэффективностью метода нахождения оценок. Во-вторых, отсутствием согласия между сложностью структуры и количеством информации, которую можно извлечь из эксперимента. В этом случае имеет место так называемая структурная (априорная) неидентифицируемость. Исследованию проблемы структурной идентифицируемости и посвящена настоящая работа.

Особенно актуальна проблема структурной идентифицируемости для динамических моделей в пространстве состояний. Именно в этом классе моделей наиболее велика доля неидентифицируемых структур. В то же время известные методы анализа идентифицируемости для динамических структур пригодны лишь в случае небольшой размерности (не более 6) вектора состояния. Причиной этого является необходимость применения для анализа идентифицируемости структур вычислений в символьном виде, поскольку на данном этапе конкретные значения параметров (оценки) неизвестны, и анализ должен проводится для всех точек параметрического пространства одновременно.

Различают два вида идентифицируемости модельных структур. Наиболее благоприятным для исследователя является случай глобально идентифицируемой структуры, когда взаимно однозначное соответствие между вектором параметров и функцией отклика модели существует на всем параметрическом пространстве. Если же взаимно однозначное соответствие между вектором параметров и функцией отклика имеет место только в некоторой подобласти параметрического пространства, то структуру называют локально идентифицируемой. В случае неидентифицируемой {локально неидентифицируемой) структуры каждому значению функции отклика соответствует континуальное множество точек параметрического пространства.

Анализ локальной и глобальной идентифицируемости - это различные по уровню сложности задачи. Обычно для анализа идентифицируемости строятся уравнения неразличимости, отражающие условие неразличимости откликов двух различных точек параметрического пространства. Для проверки локальной идентифицируемости достаточно вычислить ранг матрицы Якоби уравнений неразличимости, в то время как для проверки глобальной идентифицируемости данные уравнения необходимо решить. В зависимости от используемого подхода меняется степень нелинейности уравнений неразличимости и количество неизвестных, но, как правило, для структур, размерность которых больше 6-7, эти уравнения не удается решить даже с помощью современных систем символьных вычислений, таких как Maple, Mathematica, Reduce. Здесь сказывается присущий символьным преобразованиям эффект «комбинаторного взрыва», когда с каждым шагом преобразований размер символьного выражения увеличивается экспоненциально. Таким образом, анализ глобальной идентифицируемости модельных структур размерности больше 6 с помощью известных методов зачастую невыполнимая задача.

С учетом вышесказанного, решение проблемы анализа глобальной идентифицируемости для структур большой размерности возможно только лишь путем упрощения уравнений неразличимости или же разработкой подхода, не требующего решения уравнений. С этой точки зрения чрезвычайно удобны уравнения, полученные с помощью метода преобразования подобия, они имеют строго определенную билинейную структуру, не зависящую от размерности модели. В то же время данные уравнения (уравнения подобия) содержат слишком большое число неизвестных, которое растет экспоненциально с ростом размерности модели. Устранение этого недостатка позволило бы расширить границы применимости метода преобразования подобия.

Оригинальный подход для анализа глобальной идентифицируемости был предложен в 1985 году Ж. Делфоржем и коллегами. Этот подход не требует решения системы уравнений и основывается на идее нахождения истинных сепараторов - гиперповерхностей параметрического пространства, разделяющих различные решения задачи идентифицируемости. Ж. Делфорж выдвинул ряд до сих пор не доказанных гипотез об определении истинных сепараторов для частного случая камерных моделей. Данные гипотезы были получены на основе метода модальных матриц, который во многом схож с методом преобразования подобия. Определение истинных сепараторов с помощью метода преобразования подобия, который применим для более широкого класса моделей, по сравнению с методом модальных матриц, позволило бы решить проблему анализа глобальной идентифицируемости моделей больших размерностей.

Очень тесно с проблемой идентифицируемости связана проблема проверки дискриминируемости (различимости) конкурирующих модельных структур. Дискриминируемость двух различных модельных структур должна быть установлена до этапа дискриминации моделей и по сути означает принципиальную различимость модельных структур по отклику. Только в случае дискриминируемости двух структур процедура дискриминации моделей имеет смысл. Если модельные структуры неразличимы друг от друга по входу-выходу, то любая попытка дискриминации между ними будет бессмысленной. Методы проверки идентифицируемости и дискриминируемости основаны на общих принципах и потому очень схожи, а значит, имеют схожие недостатки. Поэтому разработка методов проверки дискриминируемости для моделей больших размерностей также весьма актуальна.

Все вышесказанное позволяет сформулировать цель данной диссертационной работы. Целью работы является разработка методов и алгоритмов для анализа глобальной идентифицируемости и дискриминируемости линейных моделей в пространстве состояний, эффективных также и в случае моделей больших размерностей. В рамках поставленной цели выделим три основные задачи. Во-первых, это разработка алгоритмов для упрощения системы уравнений подобия: уменьшения количества уравнений и неизвестных. Во-вторых, разработка на базе метода преобразования подобия способа нахождения истинных сепараторов параметрического пространства. В-третьих, разработка эффективных условий проверки дискриминируемости конкурирующих модельных структур.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории систем, теории идентификации, линейной и компьютерной алгебры.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложено условие ранга для проверки глобальной идентифицируемости структур общего вида, а также эффективный алгоритм для нахождения параметрических ограничений, удовлетворяющих условию ранга. Предложен алгоритм нахождения параметрических ограничений, при которых матрица глобальной идентифицируемости имеет неполный столбцовый ранг.

2. Предложен алгоритм для приведения прямоугольной матрицы к верхнему блочно-треугольному виду с минимальными размерами диагональных блоков. Такое преобразование прямоугольной матрицы чрезвычайно важно для повышения эффективности предложенных методов проверки глобальной иден-^ тифицируемости в случае структур больших размерностей.

3. Введено понятие истинного сепаратора параметрического пространства и доказаны его основные свойства. Доказана теорема об определении максимального количества решений задачи идентифицируемости на основе истинных сепараторов. Доказан критерий истинности сепараторов, требующий только лишь вычисления ранга матрицы Якоби системы уравнений подобия.

4. Предложено условие ранга для проверки дискриминируемости конкурирующих модельных структур общего вида. Для структур с числовыми матрицами управления и наблюдения уменьшена размерность матрицы, фигурирующей в условии ранга. Разработан алгоритм нахождения параметрических ограничений, удовлетворяющих условию ранга для дискриминируемости. Алгоритм основан на факторизации различных ненулевых определителей подматриц матрицы, фигурирующей в условии ранга.

5. Разработано программное обеспечение в среде пакета символьных вычислений Maple для анализа глобальной идентифицируемости и дискриминируемости динамических моделей.

На защиту выносятся:

1. Условие ранга для проверки глобальной идентифицируемости структур общего вида и алгоритм, основанный на данном условии, для формирования систем уравнений, содержащих решения задачи идентифицируемости.

2. Алгоритм приведения прямоугольной матрицы, имеющей полный столбцовый ранг, к верхнему блочно-треугольному виду с минимальными размерами диагональных блоков.

3. Алгоритм нахождения сепараторов для структур с линейными ограни-^ чениями на параметры.

4. Условие глобальной идентифицируемости, основанное на истинных сепараторах, и критерий истинности сепараторов.

5. Условие ранга для анализа дискриминируемости структур общего вида и структур с линейными ограничениями на параметры, а также алгоритм проверки данного условия.

6. Программное обеспечение для анализа глобальной идентифицируемости и дискриминируемости динамических моделей.

Практическая ценность и реализация результатов исследования. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы могут найти применение при анализе глобальной идентифицируемости и дискриминируемости линейных динамических моделей в пространстве состояний. Такими моделями могут быть описаны, в частности, системы автоматического управления, различные физические, химические, биологические и т.п. явления.

С использованием разработанных методов и алгоритмов была исследована глобальная идентифицируемость моделей системы чтения информации с жесткого диска компьютера, системы управления электроприводом и биомедицинских камерных систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались:

- на V Международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2000 г.);

- на V Российско-Корейском международном симпозиуме «Научные основы высоких технологий» К01Ш8-2001 (Томск, 2001 г.);

- на XIV, XV Международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-14, ММТТ-15 (Смоленск, 2001 г.; Тамбов, 2002 г.);

- на II Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» ЗЮРЯО'ОЗ (Москва, 2003 г.).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 8 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников из 110 наименований. Объем работы составляет 139 страниц машинописного текста, включая 4 рисунка.

5.3. Выводы по главе

В данной главе были проведены следующие исследования:

1. Проведен анализ глобальной идентифицируемости двух реальных систем автоматического управления с использованием сепараторов параметрического пространства. На примере данных систем рассмотрена процедура перехода от физических параметров системы к системным параметрам.

2. Исследована глобальная идентифицируемость реальной биомедицинской модели большой размерности. Произведена оценка эффективности метода, основанного на сепараторах, в сравнении с методом преобразования подобия.

3. Также была описано программное обеспечение для анализа глобальной идентифицируемости линейных динамических структур, разработанное в среде программной системы символьных вычислений Maple.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Суммируем основные полученные в работе результаты.

1. Предложено условие ранга для проверю! глобальной идентифицируемости структур общего вида. Данное условие разработано на базе уравнений подобия и позволяет избавиться от части неизвестных, сформировав дополнительные системы нелинейных уравнений, содержащие меньшее количество неизвестных. Для формирования на основе условия ранга дополнительных систем уравнений разработан алгоритм, использующий метод исключения Гаусса.

2. Для структур с линейными ограничениями на параметры доказано необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости, требующее только проверки совместности системы уравнений.

3. Разработан алгоритм для приведения прямоугольной матрицы, имеющей полный столбцовый ранг, к верхнему блочно-треугольному виду с минимальными размерами диагональных блоков. Данное преобразование матрицы очень важно для повышения эффективности предложенных методов анализа глобальной идентифицируемости в случае моделей больших размерностей.

4. Разработан алгоритм нахождения сепараторов параметрического пространства.

5. Доказаны основные свойства истинных сепараторов. Доказана теорема об определении с помощью истинных сепараторов максимального количества решений задачи идентифицируемости. Доказан критерий истинности сепараторов. Обоснованы два способа элиминирования глобальной неидентифицируемости с помощью истинных сепараторов.

6. Предложено условие ранга для проверки дискриминируемости структур общего вида и структур с линейными ограничениями на параметры. Данное условие разработано на основе уравнений подобия для дискриминируемости и позволяет сформировать более простые уравнения с меньшим количеством неизвестных для нахождения решений исходной системы уравнений. Разработан алгоритм для формирования систем уравнений с использованием условия ранга для дискриминируемости. Алгоритм основан на факторизации различных определителей подматриц матрицы ранга.

7. Исследована глобальная идентифицируемость реальных технических систем, имеющих практическое значение.

8. Разработано программное обеспечение для анализа идентифицируемости и дискриминируемости модельных структур. Программа разработана в среде программной системы символьных вычислений Maple и выполнена в виде внешнего подключаемого модуля.

1. Koopmans Т.С. Identification problems in economic model construction. // Studies in econometric method / Ed. By W.C. Hood and T.C. Koopmans. -New-York: Wiley. 1953.

2. Fisher F.M. Generalization of the rank and order conditions for identiflability // Econometrica. 1959. - V. 27. - P. 431-447.

3. Fisher F.M. Identiflability criteria in nonlinear systems // Econometrica. — 1961.-V.29.-P. 574-590.

4. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. М.: Статистика,1978.-224 с.

5. Wald A. Note on the identification of economic relations // Statistical inference in dynamic economic models. New-York: Mc Graw-Hill, 1950.

6. Bellman R., Astrom K.J. On structural identiflability // Math. Biosci. 1970. -V.7.-P. 329-339.

7. Cobelli C., Lepschy A., Romanin Jacur G. Identiflability of compartmental systems and related structural properties // Math. Biosci. 1979. - V.44. — P. 1-18.

8. Bossi A., Cobelli C., Colussi L., Romanin Jacur G. A method of writing symbolically the transfer matrix of a compartmental model // Math. Biosci. —1979.-V.43.-P. 187-198.

9. Audoly S., D'Angio L. On the identiflability of linear compartmental systems; a revisited transfer function approach based on topological properties // Math. Biosci. 1983. - V.66. - P. 201-228.

10. Delforge J., D'Angio L., Audoly S. A relation between certain transfer functions and their application to the identiflability of linear models // Int. J. Control. 1983.-V.38.-N.6.-P. 1181-1188.

11. Audoly S., D'Angio L., Pia Saccomani M., Cobelli C. Global identifiability of linear compartmental models a computer algebra algorithm // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. - 1998. - V.45. - N.l. - P. 36-47.

12. Godfrey K., Compartmental models and their application. London, U.K.: Academic, 1983.

13. Jacquez J.A. Compartmental analysis in biology and medicine. — Ann Arbor: BioMedware, 1996.

14. Pohjanpalo H. System identifiability based on the power series expansion of the solution // Math. Biosci. 1978. - V.41. - P. 21-33.

15. Pohjanpalo H. Identifiability of deterministic differential models in state space: Research Report No. 56 / Technical Research Centre of Finland. — Espoo, 1982.

16. Thowsen A. Identifiability of dynamic systems // Int. J. Syst. Sci. 1978. -V.9.-N.7.-P. 813-825.

17. Grewal M.S., Glover K. Identifiability of linear and nonlinear dynamical systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1976. - V. AC-21. - P. 833-837.

18. Lecourtier Y., Lamnabhi-Lagarrigue F., Walter E. Volterra and generating power series approaches to identifiability testing // Identifiability of parametric models / Ed. E. Walter. Oxford: Pergamon Press, 1987. - P. 50-66.

19. Walter E., Lecourtier Y. Global approaches to identifiability testing for linear and nonlinear state space models // Math. Comput. Simulation. — 1982. — V.24.-P. 472—482.

20. Norton J.P. Normal-mode identifiability analysis of compartmental systems in linear stages // Math. Biosci. 1980. - V.50. - P. 95-115.

21. Delforge J. New results to the problem of identifiability of a linear system // Math. Biosci. 1980. - V.52. - P. 73-96.

22. Delforge J. On local identifiability of linear systems // Math. Biosci. 1984. -V.70.-P. 1-37.

23. Delforge J., D'Angio L., Audoly S. On the use of the norm-coerciveness theorem in the identifiability problem of linear compartmental models // IEEE Trans. Automat. Control. 1986. - V. AC-31. - P. 573-575.

24. Delforge J., D'Angio L., Audoly S. Results and conjectures on the identifiability of linear systems // Identifiability of parametric models / Ed. E. Walter. Oxford: Pergamon Press, 1987. - P. 21-31.

25. Berman M., Schoenfeld R. Invariants in experimental data on linear kinetics and the formulation of models // J. Appl. Phys. 1956. - V.27. - P. 1361— 1370.

26. Rubinow S.I., Winzer A. Compartment analysis: an inverse problem // Math. Biosci. 1971. - V.11. - P. 203-247.

27. Walter E., Lecourtier Y. Unidentifiable compartmental models: What to do? // Math. Biosci. -1981.- V.56. P. 1-25.

28. Travis C.C., Haddock C. On structural identification // Math. Biosci. 1981. -V.56.-P. 157-173.

29. Горский В.Г., Авдеенко T.B. В кн.: Оптимальное проектирование, планирование экспериментов и моделирование многофакторных объектов. - Новосибирск: НЭТИ, 1989.-е. 18-23.

30. Авдеенко Т.В. Разработка методов и алгоритмов анализа идентифицируемости и планирования экспериментов для динамических объектов управления: Автореф. канд. дисс. Новосибирск: НЭТИ, 1990. — 18 с.

31. Vajda S., Godfrey K.R., Rabitz H. Similarity transformation approach to identifiability analysis of nonlinear compartmental models // Math. Biosci. -1989.-V.93.-P. 217-248.

32. Ljung L., Glad T. On global identifiability for arbitrary model parametriza-tions // Automatica. 1994. - V.30. - No.2 - P. 265-276.

33. Асадуллин P.M. Исключение неизмеряемых концентраций веществ и обратные задачи нестационарной химической кинетики: Автореф. докт. дисс. Уфа: Баш. ГУ, 1998. - 35 с.

34. D'Angio L., Audoly S., Bellu G., Saccomany M.P., Cobelli C. Structural identifiability of nonlinear systems: algorithms based on differential ideals // IF AC System Identification Simp. Copengagen, Denmark, 1994. — P. 977982.

35. Saccomany M.P., Audoly S., Bellu G., D'Angio L., Cobelli C. Global identifiability of nonlinear model parameters // IF AC System Identification Simp. Kitakyushu, Fukuoka, 1997. - P. 233-238. .

36. Писаренко B.H., Погорелов А.Г., Кононов Н.Ф. Доклады АН СССР, 1966. - Т. 167. - №4. — с. 859-862.

37. Писаренко В.Н., Погорелов А.Г. Планирование кинетических исследований. М.: Наука, 1969. - 176 с.

38. Клибанов М.В., Спивак С.И., Тимошенко В.И., Слинько М.Г. Доклады АН СССР, 1973. - Т.208. - №5. - с. 1387-1390.

39. Спивак С.И. Информативность эксперимента и проблема неединственности решения обратных задач химической кинетики: Автореф. докт. дисс. Черноголовка: ИХФ АН СССР, 1998. - 35 с.

40. Спивак С.И. Методы построения кинетических моделей каталитических стационарных реакций: Автореф. канд. дисс. Новосибирск: ИК СО АН СССР, 1998.-35 с.

41. Коковин Г.А., Титов В.А., Буждан Я.М., Дехтярь Р.В. // Изв. СО АН СССР, сер. хим. наук. 1975. - №7. - вып.З. - С. 25-35.

42. Спивак С.И., Ахмадишин З.Ш. // React. Kinet. Catal. Zett. 1979. - V.10. -No.3. - P. 271-274.

43. Avdeenko T.V. Rank and order conditions for local identiflability of linearthdynamical models // 4 Intern. Conf. on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering APEIE-98.-Novosibirsk, 1998.-V.l.-P. 14-19.

44. Авдеенко T.B. Условия ранга и порядка для локальной идентифицируемости линейных динамических моделей с исключающими и балансовыми ограничениями на матрицу состояния // Сб. науч; тр. НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 1998. - № 3(12). - С. 25-34.

45. Авдеенко Т.В. Классификация исключающих ограничений на матрицу состояния по их вкладу в локальную идентифицируемость линейных динамических моделей // Научный вестник НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 1999. -№ 1(6). - С. 3-15.

46. Авдеенко Т.В., Горский В.Г. Новый подход к анализу идентифицируемости систем линейных дифференциальных уравнений // Сб. тр. XIII Межд. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-13. Санкт-Петербург, 2000. - Т.1. - С. 29-32.

47. Авдеенко Т.В. О планировании идентифицируемой модельной структуры в пространстве состояний // Тез. докл. Межд. конгр. ИНПРИМ-2000. Новосибирск, 2000. - С. 3-4.

48. Авдеенко Т.В. О планировании модельной структуры в пространстве состояний: анализ структурной идентифицируемости // Сибирский журнал индустриальной математики. 2001. - Т. IV. - № 2(8). - С. 59-72.

49. Avdeenko T.V. On structural identiflability of system parameters of linear models // Proc. of 15 IF AC World Congress. Barselona, Spain, 2002. - 6 p.

50. Авдеенко Т.В. Анализ априорной идентифицируемости динамических моделей с использованием условий ранга и порядка // Тр. II Межд. конф. «Идентификация систем и задачи управления» SICPRCT03. — М., 2003.-13 с.

51. Avdeenko T.V. Sufficient condition for global identifiability of linear dynamical models // Proc. of the Third Russian-Korean Intern. Symposium on Science and Technology (KORUS-99). Novosibirsk: NSTU, 1999. - P. 505-509.

52. Avdeenko T.V., Kargin S.A. The problem of distinguishability of state spacethmodels // Proc. 5 Int. Conf. on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering APEIE-2000. Novosibirsk, 2000. - V.l. - P. 77-82.

53. Avdeenko T.V., Hai Gon Je. On the study of solution uniqueness to the task of determining unknown parameters of mathematical models // East Asian Math. J. 2000. - No.2. - P. 251-266.

54. Авдеенко T.B., Горский В.Г. Нахождение оцениваемых параметричеIских функций для неидентифицируемых моделей // Сб. тр. 14 Межд. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-14. Смоленск, 2001. - Т.2. - С. 117-118.

55. Авдеенко Т.В., Горский В.Г. Нахождение оцениваемых параметрических функций для локально неидентифицируемых модлей в пространстве состояний // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. -2002. Т.68. -№.11.- С.52-59.

56. Авдеенко Т.В. Два способа элиминирования неидентифицируемости динамических моделей в пространстве состояний // Сб. тр. XV Межд. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-15. Тамбов, 2002. - Т.5. - С. 84-89.

57. Walter Е. Identifiability of state space models. — Berlin, Germany: SpringerVerlag, 1982.-197 p.

58. Gunn R.N., Chappel M.J., Cunningham V.J. Reparameterisation of unidentifiable systems using the Taylor series approach // Proc. of the IFAC Symposium. Warwick, 1997. - P. 247-250.

59. DiStefano III J.J. Complete parameter bounds and quasiidentifiability conditions for a class of unidentifiable linear systems // Math. Biosci. — 1983. — V.65.-P.51-68.

60. Landaw E.M., Chen B.C., DiStefano III J.J. An algorithm for the identifiable parameter combinations of the general mammilary compartmental model // Math. Biosci. 1984.- V.72.- P. 199-212.

61. Chen B.C., Landaw E.M., DiStefano III J.J. Algorithms for the identifiable parameter combinations and parameter bounds of unidentifiable catenary compartmental models // Math. Biosci. 1985. - V.76. - P. 59-68.

62. Cobelli C., Toffolo G. Identifiability from parameter bounds: structural and numerical aspects // Math. Biosci. 1984. - V.71. - P. 237-243.

63. DiStefano III J.J. Letter to the editor // Math. Biosci. 1984. - V.71. - P. 245-246.

64. Vajda S., DiStefano III J.J., Godfrey K.R., Fagarasan J. Parameter space boundaries for unidentifiable compartmental models // Math. Biosci. 1989. -V.97.-P. 27-60.

65. Delforge J. On the similarity between two approaches to the identifiability problem//Math. Biosci. 1986. - V.81. -P. 127-144.

66. Delforge J. Relations between the main approaches to linear system identifiability: application to calculation of jacobian matrices determinants // Int. J. Systems Sci.- 1989.-V.2.-N.6.-P. 1079-1097.

67. Walter E., Pronzato L. Qualitative and quantitative experiment design for phenomenological models a survey // Automatica. - 1990. - V.26. - No.2. -P. 195-213.

68. Walter E., Pronzato L. On the identifiability and distinguishability of nonlinear parametric models // Mathematics and Computers in Simulation. — 1996. -V.42.-P. 125-134.

69. Горский В.Г., Круглов B.B., Храименков М.И. Идентифицируемость динамических моделей (обзор). 1985. - 36 с. - Деп. в ВИНИТИ, 555285.

70. Gorsky V.G. A prior parameter identifiability analysis of fixed structure models // Design of experiments and data analysis: new trends and results / Edited by E.K. Letzky. Moscow: Antal, 1993. - P. 92-131.

71. Feng D., DiStefano III J.J. Decomposition-based qualitative experiment design algorithms for a class of compartmental models // math. Biosci. 1992. -V.110.-P. 27-43.

72. Milanese M., Sorrentino N. Decomposition methods for the identifiability analysis of large systems // Int. J. Control. 1978. - V.28. - P. 71-79.

73. Eisenfeld J. New techniques for structural identifiability for large linear and nonlinear compartmental systems // Math. Comput. Simulation. 1982. -V.24.-P. 494-501.

74. Eisenfeld J., Grundy S.M. Structural identification of large systems by reduction to subsystems: VLDL triglycerides // Math. Biosci. 1983. - V.66. - P. 129-149.

75. Raksanyi A., Lecourtier Y., Walter E., Venot A. Identifiability and distin-guishability testing via computer algebra // Math. Biosci. 1985. - V.77. - P. 245-266.

76. Lecourtier Y., Raksanyi A. The testing of structural properties through symbolic computation // Identifiability of parametric models / Ed. E. Walter. -Oxford: Pergamon Press, 1987. P. 75-84.

77. Бухбергер Б. Базисы Гребнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных идеалов // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Б. Бухбергера, Дж. Коллинза, P. Jlooca. -М.: Мир, 1986. С. 331-372.

78. Ван Хюльзен Я., Калме Ж. Системы компьютерной алгебры // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Б. Бухбергера, Дж. Коллинза, P. Jlooca. М.: Мир, 1986. - С. 277-307.

79. Saccomani М.Р., Audoly S., D'Angio L., Sattier R., Cobelli C. PRIDE: a program to test a prior global identifiability of linear compartmental models // IFAC System Identification Simp. Copengagen, Denmark, 1994. - P. 989-994.

80. Vajda S. Structural equivalence of linear systems and compartmental models // Math. Biosci. 1981. - V.55. - P. 39-64.

81. Zadeh L.A. The concepts in system, aggregate and state in system theory // System theory / Ed. by Zadeh L.A., Polak E. New York: McGraw-Hill, 1969.

82. Walter E., Lecourtier Y., Happel J. On the structural output distinguishability of parametric models, and its relations with structural identifiability // IEEE Trans, on Autom. Control. 1984. - V.AC-29. - No. 1. - P. 56-57.

83. Walter E., Lecourtier Y., Raksanyi A., Happel J. On the distinguishability of parametric models with different structures // Mathematics and Computers in Biomedical Applications / Ed. by Eisenfeld J., Delisi C. Amsterdam: Elsevier, 1985.-P. 145-159.

84. Vajda S. Structural equivalence and exhaustive compartmental modeling // Math. Biosci. 1984. - V.69. - P. 57-75.

85. Walter E., Lecourtier Y., Happel J., Kao J.Y. Identifiability and distinguishability of fundamental parameters in catalytic methanation // AIChE J. 1986. -V.32.-P. 1360-1366.

86. Chapman* M.J., Godfrey K.R. On structural equivalence and identifiability constraint ordering // Identifiability of parametric models / Ed. E. Walter. -Oxford: Pergamon Press, 1987. P. 32-41.

87. Chapman M.J., Godfrey K.R. A methodology for compartmental model in-distinguishability // Math. Biosci. 1989. - V.96. - P. 141-164.

88. Godfrey K.R., Chapman M.J. The problem of model indistinguishability in pharmacokinetics // J. Pharmacokin. Biopharm. 1989. - V. 17. - P. 229267.

89. Zhang L.Q., Collins J.C., King P.H. Indistinguishability and identifiability analysis of linear compartmental models // Math. Biosci. 1991. - V.103. -P. 77-95.

90. Kalman R.E., Falb P.L., Arbib M.A. Mathematical system theory. New York: McGraw-Hill, 1969.

91. Тьюарсон Т. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1977. - 189 с.

92. Оре О. Теория графов. М.: Наука, - 1980.

93. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1974. - 832 с.

94. Авдеенко Т.В., Каргин С.А. О глобальной идентифицируемости линейных динамических моделей // Тр. II Межд. конф. «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRCT03). М., 2003. - 13 с.

95. Авдеенко Т.В., Каргин С.А. Приложение методов компьютерной алгебры к анализу глобальной идентифицируемости линейных динамических моделей // Научный вестник НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. -№2(9).-С. 27-36.

96. Авдеенко Т.В., Каргин С.А. Анализ глобальной идентифицируемости линейных моделей с использованием матрицы Якоби // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - № 2 (32). - С. 3-12.

97. Авдеенко Т.В., Каргин С.А. О дискриминируемости модельных структур в пространстве состояний // Сб. тр. XIV Межд. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-14. Смоленск, 2001. -Т.2. - С. 114-116.

98. Дьяконов В.П. Maple 7: учебный курс. Санкт-Петербург: Питер, 2002. - 672 с.

99. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. — 558 с.

100. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. — М.: Лаборатория базовых знаний, Юнимедиастрой, 2002.

101. Башарин A.B., Постников Ю.В. Примеры расчета автоматизированного электропривода на ЭВМ. Ленинград: Энергоатомиздат, 1990.

102. Авдеенко Т.В. Разработка методов исследования структурной идентифицируемости моделей в пространстве состояний. Автореф. доктор, дисс. Новосибирск: НГТУ, 2003, 34 с.