автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оценивание параметрических возмущений в задачах анализа и синтеза технических систем

На правах рукописи

Огородников Юрий Иннокентьевич

—

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЗАДАЧАХ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Иркутск - 2004

Работа выполнена в Иркутском государственном университете путей сообщения Министерства путей сообщения Российской Федерации

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Мухопад Юрий Федорович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Куцый Николай Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент Данеев Алексей Васильевич

Ведущая организация:

Новосибирский государственный технический университет

Защита состоится " 27 " мая 2004 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 218.004.01 при Иркутском государственном университете путей сообщения по адресу: 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15, ауд.802.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского государственного университета путей сообщения.

Автореферат разослан "2?" апреля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБШДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Действительные значения параметров элементов технических систем всегда отличаются от расчетных, принятых при проектировании. Такие отклонения обусловлены действием целого ряда факторов. Это приводит к тому, что существует различие между результатами аналитических прогнозов и истинным поведением системы. Инженеру необходимо оценить степень соответствия между математической моделью и реальной системой заранее, уже на стадии синтеза, поскольку во многих случаях получение ответа на вопрос в результате накопления практического опыта может оказаться слишком дорогостоящим. В инженерной практике параметры, содержащие априорную аналитическую или апостериорную измеримую информацию относительно системы, могут быть определены только с некоторой точностью. Кроме того, параметры изменяются в зависимости от внешних условий и от времени. Вследствие этого, модель, принятая при проектировании, существенно отличается от реального объекта, что значительно уменьшает эффективность разработанной системы управления. В связи с этим, необходимо оценивать реальные значения параметров в режиме нормального функционирования технических объектов. Техника имеет дело с номинальными (расчётными) значениями параметров и с соответствующими допусками. Поэтому одной из наиболее важных и вместе с тем весьма сложных проблем, возникающих при проектировании и эксплуатации технических систем, является проблема учёта отклонений реальных значений параметров технических объектов от расчётных и обеспечения требуемого качества функционирования объектов.

Цель работы. Оценивание параметров линеаризованных динамических моделей механических систем в виде уравнений Лагранжа второго рода размерности до 50 степеней свободы с числом оцениваемых

РОС НАЦИОНАЛЬНА«) БИ&ДИОТМА 1

: ¡ПВМП

параметров до 50 и более. Разработка соответствующего программного обеспечения.

Исследование влияния на динамику технических систем вариаций параметров различной природы, являющихся элементами функциональных пространств. Разработка методики оценивания допусков на параметры, обеспечивающих гарантированное качество функционирования объектов, с помощью норм операторов.

Объект исследования. Объектом исследования являются технические системы, описываемые двумя типами математических моделей. При параметрической идентификации исследуются линеаризованные динамические модели механических систем лагранжевой структуры (в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка). Такие модели описывают в практически важном случае малых колебаний конструкции движение широкого круга подвижных технических объектов: такими объектами могут быть и железнодорожный вагон и управляемый космический телескоп, представляющий собой крупногабаритную упругую конструкцию. При разработке методики оценивания допусков на параметры технических систем с помощью норм операторов использовалась модель в виде системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. Такие модели являются классическим средством описания электрических цепей и микроэлектронных систем управления.

Методы исследований. В диссертационной работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, линейной алгебры, теории чувствительности, теории линейных управляемых систем.

Научную новизну диссертации представляют следующие основные результаты, которые выносятся на защиту:

- алгоритм вычисления функций чувствительности линеаризованных динамических моделей механических систем лагранжевой структуры,

допускающий идентификацию в реальном времени параметров моделей размерности до 50 степеней свободы с числом оцениваемых параметров до 50 и более;

- функциональный метод параметрической идентификации с использованием функций чувствительности, основанный на схеме Ньютона-Канторовича решения функциональных уравнений;

- прямой алгоритм параметрической идентификации линеаризованных динамических моделей механических систем в пространстве состояний;

- методика оценивания допусков на параметры технических систем, обеспечивающих гарантированное качество функционирования объектов, с помощью норм операторов;

- оценки на норму вектора вариаций параметров, гарантирующих отклонение возмущенной фазовой траектории от номинальной в заданных пределах. - *

Практическая ценность. Полученные результаты и разработанная система прикладного программного обеспечения внедрены на предприятии НПО им. С. А. Лавочкина. Результаты исследований могут быть использованы при проектировании, анализе и параметрической идентификации многомерных механических систем, при проектировании электрических цепей и микроэлектронных систем управления.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзной школе по электромеханическим системам в Москве в ноябре 1983 г., на конференции "Численные методы в аэродинамике и механике сплошных сред" в-Иркутске в мае 1984г., на семинарах Института динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск, 1985- 1999гг., ИрГУПС, 2000-2003гг., на Международной конференции "Математика, информатика, управление " в Иркутске в июне 2000г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в восьми печатных работах, из них пять статей в сборниках и трудах

всероссийских конференций, и семинаров и. три. свидетельства о регистрации программ в фонде алгоритмов и программ.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы - 138 страниц, из них 114 страниц основного текста, 9 рисунков, 1 таблица, библиография из 134 наименований на 12 страницах, приложение на 12 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается, актуальность темы исследования, определена научная и практическая новизна, приведены основные результаты и краткое содержание по главам.

В главе 1 дан обзор литературных источников по вопросам темы диссертации. Проблеме - проектирования технических систем с учётом возможных, параметрических отклонений посвятили свои работы: О.В.Абрамов, Ф.П.Бернацкий, Б.В.Васильев, С.П.Инберг, В.В.Здор, Е.Н.Розенвассер, Д.В.Свечарник, А.А.Супоня, Р.М.Юсупов, E.M.Bandler, P.C.Liu, H.Tromp и другие. В принципе параметры могут' принимать постоянные значения для каждой реализации системы или быть переменными. Математический аппарат работ в представленном обзоре базируется, в основном, на первом случае. Автором предлагается подход с позиций функционального анализа, в котором допускаются в качестве параметров переменные параметры, т.е. элементы функциональных пространств. Параметрической идентификации линеаризованных динамических моделей лагранжевой структуры посвящены работы:. S.R.Ibrahim, J.N. Juang, E.C.Mikulcik, R.S.Pappa, R.M. Staley, С.Т. Sun, P.C.Yue и другие. Исследуемые в этих работах модели имеют небольшой порядок: до 10 степеней свободы. Автором ставится задача модификации

б

алгоритма параметрической идентификации с использованием функций чувствительности, позволяющая исследовать в реальном времени динамические модели размерности до 50 степеней свободы с числом оцениваемых параметров до 50 и более.

В главе 2 представлена разработанная процедура упрощения модели чувствительности для линеаризованных динамических моделей лагранжевой структуры многомерных механических систем. Предложен функциональный метод параметрической идентификации с использованием функций чувствительности, основанный на схеме Ньютона-Канторовича решения функциональных уравнений. Приведено описание разработанного прямого алгоритма параметрической идентификации линеаризованных динамических моделей в пространстве состояний.

Для активного управления крупногабаритными конструкциями (КГК) необходимо располагать точными оценками параметров. Алгоритмы синтеза адаптивных законов управления представляются нежелательными ввиду большого числа тех степеней свободы, которыми приходится управлять. Поэтому практический путь для большинства КГК заключается в следующем: осуществить идентификацию параметров конструкции, воспользоваться полученной информацией для настройки законов управления и, возможно, привлечь адаптивные методы для изменений небольшого числа критических параметров в реальном времени.

Одним из эффективных алгоритмов идентификации объектов, структура которых и расчетные значения параметров известны, является алгоритм чувствительности (АЧ)1, который применим как к линейным, там и к нелинейным системам.

1 Розенвассер E.H., Юсупов Е.М. Чувствительность систем управления, М: Наука, 1981.-464с.

АЧ - итерационный алгоритм. Необходимость решения на каждой итерации задачи Коши размерности п + пт (где п - порядок модели, т -число идентифицируемых параметров, пт — порядок уравнений чувствительности) приводит к тому, что АЧ становится практически неприемлемым при идентификации в реальном времени систем высокого порядка с большим количеством оцениваемых параметров вследствие высоких затрат машинного времени. Поэтому с практической точки зрения очень важным является уменьшение вычислительного объема алгоритма за счет упрощения модели для определения функций чувствительности.

Класс рассматриваемых моделей - линеаризованные математические модели упругих конструкций в практически важном случае малых колебаний:

М(р)х + С(р)х+К(р)х = /(1) , х(10)=х0 , ¿(О=*о » (1)

где х - «-мерный вектор физических перемещений; Г - «-мерный вектор сил; М, С, К -матрицы масс, демпфирования, жесткости размерности п х п; р - вектор номинальных (расчетных) значений идентифицируемых параметров размерности N

Проблема оценивания параметров заключается в определении матриц М, С, К по измеренным значениям сил, приложенным к конструкции, и откликов на эти силы.

Действительные значения параметров р в алгоритме чувствительности получаются на основании вычисления корректирующих добавок Ар. Для вычисления величин Ар на интервале идентификации интегрируется система дифференциальных уравнений, состоящая из уравнений исходной модели (1) и уравнений чувствительности по каждому параметру общей размерности 2п(Ы+1), а затем решается система линейных алгебраических уравнений размерности N.

Уравнения чувствительности по каждому параметрур,{¡=\,2,...И)

имеют вид (2), (3) или (4) в соответствии с вхождением оцениваемого параметра в матрицу масс, демпфирования или жесткости.

(2)

(3)

(4)

Максимальный размер вектора оцениваемых параметров для модели вида (1) равен Зп\ В этом случае количество дифференциальных уравнений, интегрируемых на интервале идентификации при каждой итерации АЧ, составляет 6«3+2л, где п - число степеней свободы системы (1).

Упрощение модели чувствительности, состоящей из уравнений модели (1) и уравнений чувствительности (2)-(4), базируется на результатах, полученных в теории управляемости линейных систем2.

При упрощении модели чувствительности (1)-(4) используется тот факт, что адекватная (1)-(4) модель чувствительности в пространстве состояний не является полностью управляемой.

Алгоритм упрощения модели чувствительности включает в себя следующие пункты.

1) Введением 2п-мерного вектора переменных состояния =(■>(:(?), х(г))т преобразуем систему (1) к нормальной форме Коши.

2) Обнуляем начальные условия в системе (1), вводя новую переменную , и добавляя еще один вход в виде

единичной ступенчатой функции.

3) Формируем вектор состояния модели чувствительности ур, вклю-

2 Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М: Мир, 1977.-650с.

чающий в себя состояния исходной системы (1) в нормальной форме Коши и функции чувствительности по каждому параметру, матрицы модели чувствительности в пространстве состояний Fp и Gp и матрицу управляемости Ср = lfrp,FpGp,Fp2Gp,...,Fp2n^*1}'lGp).

4) Проверяем столбцы матрицы управляемости на линейную независимость, используя процедуру Грамма-Шмидта для исключения столбцов, которые линейно зависимы с другими столбцами. Множество оставшихся столбцов представляет собой матрицу Q\ размерности r.

5) Формируем неособую матрицу преобразования Q = (Qi,Q2)> где вектор-столбцы матрицы образуют базис r - мерного подпространства управляемых состояний модели чувствительности, а вектор-столбцы матрицы вместе с вектор-столбцами матрицы образуют базис всего 2n(N+l) — мерного пространства.

6) С помощью- линейного преобразования У p{t)~Q~lyp{f)

преобразуем модель чувствительности в каноническую форму управляемости линейной дифференциальной системы, в которой 2n(N+l)-r неуправляемых состояний остаются нулевыми в силу нулевых начальных условий.

7) Интегрируем на интервале идентификации дифференциальную систему для r управляемых состояний yc(f) размерности г.

8) По преобразованию yp{t)=Qiyc{t) находим состояния модели чувствительности на интервале идентификации в желаемых точках.

Подпространство управляемых состояний модели чувствительности имеет размерность r, равную рангу матрицы управляемости, сформированной для модели чувствительности в пространстве состояний.

Сформулирован следующий результат, на основании которого значительно уменьшается размерность модели чувствительности.

ТЕОРЕМА 1. Для систем вида АСс(/)+Ск(/)+/(0 ранг матрицы управляемости модели чувствительности в пространстве состояний не превышает числа 2п(г+1), где п - число степеней свободы системы, г - число возмущающих сил.

Предложенный алгоритм упрощения модели чувствительности позволяет уменьшить размерность системы дифференциальных уравнений для определения всех функций чувствительности в 3п раз для случая, когда возбуждаются все степени свободы системы, и в Зиг раз при идентификации системы на свободном движении (п- число степеней свободы). Полученные результаты дают возможность идентификации в реальном времени параметров линеаризованных моделей механических систем лагранжевой структуры высокой размерности с большим количеством оцениваемых параметров на основе алгоритма чувствительности.

Функциональный метод параметрической идентификации с использованием функций чувствительности получен на основе схемы Ньютона-Канторовича решения функциональных уравнений. Предлагаемый подход дает возможность адаптировать многочисленные результаты по исследованию метода Ньютона-Канторовича к решению таких проблем алгоритма параметрической идентификации с использованием функций чувствительности как оценка быстроты сходимости, априорные оценки погрешности, выбор начальных приближений вектора идентифицируемых параметров, гарантирующих сходимость.

Сформирован прямой алгоритм параметрической идентификации* линеаризованных динамических моделей в пространстве состояний, позволяющий определять коэффициенты матриц модели по результатам измерений вектора состояния и вектора входных воздействий. Условия

работоспособности алгоритма требуют полной измеримости перемещений и скоростей механической системы.

Третья глава посвящена разработке методики, обоснования допусков на параметры автоматических, систем с помощью норм операторов исходя из заданных требований к качеству системы. Использована техника оценки координат или нормы решения уравнений возмущённого, движения с применением интегральных неравенств Гёльдера. Для получения оценок использовались уравнения в вариациях, первого и второго порядка. Получены оценки на норму вектора вариаций параметров, гарантирующих отклонение возмущенной фазовой траектории от номинальной в заданных пределах.

Рассматривается задача нахождения- допусков на реализацию программного управления, при- которых гарантируется отклонение возмущённой фазовой траектории от номинальной в заданных пределах. Такая задача возникает в связи с тем, что в реальной системе автоматического управления управляющее устройство реализует расчётное программное управление с некоторой погрешностью.

Рассматриваются системы управления, поведение- которых во времени определяется векторным дифференциальным уравнением,

где *(/) е Л " - и-мерный вектор состояния системы; ■ и(/) е Я" - т-мерный вектор управления;

*(■) е О (7), £> (7) - пространство абсолютно непрерывных на Г функций; и (•) е Ь, (Т), 1Г (7) - пространство ю-мерных кусочно-непрерывных векторных функций с нормой:

/{х, и)- известная и-мерная вектор - функция;

м(-), *(•) - символы функций, рассматриваемых как точки функциональных.

(5)

(6)

пространств.

Рассматриваются системы, для которых вектор-функция /(х,ы) непрерывна по совокупности аргументов вместе с якобианами д//дх и д//ди и все требования существования и единственности решения уравнения (5) при заданных начальных условиях выполнены.

Если номинальному управлению и(-) соответствует некоторая "невозмущённая" траектория системы х(-) и управление «(•) возмущено малой функцией 5и(-)е£,.(Т), то следствием будет малое возмущение фазовой траектории: х(-) —> х(-) + 8х(-).

Сформулируем задачу нахождения допусков на отклонение программного управления от номинального: найти у > 0, такое, что при заданном вещественном (3 >0 и выполнении условия

(7)

на конечном интервале времени 7Mfo.fi] обеспечивается неравенство

1М = тах|&, (/)</? (8)

Связь между и определяет известное уравнение в

вариациях. В теории первого порядка оно имеет вид

%(')=/,№(')+МЫЛ (9)

В (9) элементами на пересечении 1-ой строки и ^го столбца матриц и ./¿(О служат частные производные 8//'дх} и соответственно,

вычисленные в точке (и,х).

Уравнение (9) является точным для систем вида (5), линейных относительно х и и. В общем случае отличается от точной разности между возмущённой и невозмущённой траекториями на величину более высокого порядка малости, чем норма от 5и. Доказана следующая теорема.

Теорема 2. Для того чтобы на интервале времени ^[¿о, /1] для системх(/)= /(эг(/),и(/)), линейных относительно хи ивыполнялось соотношение |&(-)|| = тах тах|дх1 где Р - произвольное вещест-

венное положительное число, достаточно, чтобы выполнялось условие

(10)

В (10) g¡k (?!,/) - элементы матрицы Коши уравнения в вариациях (9); /и - якобиан для исходной дифференциальной системы, связывающей вектор состояния х($ размерности п и вектор управления и(() размерности т; гид- сопряженные показатели (вещественные положительные числа), связанные соотношением Мг + 1/д= 1.

В практических приложениях наиболее часто употребляемыми являются нормы (6) для значений г = 1,2 и оо. Оценки (10) в этих случаях имеют вид

V-

р

max шах max

i=!,2, ^t,т teT

HsAh,t){fMK к=1

l&fla*

Ml*

max 1=1.2, *

Л

tj-1

dt

1/2 '

(11)

(12)

(13)

dt

max ЕЛ^МСШ*

1=1,2, -Ij^J. ы

Вычислительный алгоритм получения наиболее важной в практическом смысле оценки (13) упрощается на основании следующего результата. Доказана теорема.

Теорема 3. В системахx(f)=/(x(i),«(i)), линейных относительно x{t) и u{t), для которых справедливо

для того чтобы на интервале времени ^[/о,^] выполнялось соотношение||<&(-)||= шах , где /}■ положительная констан-

та, достаточно, чтобывыполнялосьусловие

дх,

1-1,. ,Я

ди

К

(15)

где дх/ди/^-значение в конечный момент времени ^ функции чувствительности 1-ой координаты вектора х по ]-ой координате вектора и.

Показано, что (14) всегда выполняется для монотонно меняющихся функций чувствительности.

Функции чувствительности определяются из модели чувствительности, представляющей собой совокупность исходных уравнений' движения (5) и уравнений чувствительности

(16)

где

(17)

На основании теоремы 3 получение оценки (13) можно осуществить по формуле (15), используя известные методы получения функций чувствительности..

Производится обобщение полученных результатов на параметры различной природы, являющиеся элементами функциональных пространств и предлагается схема улучшения оценок, использующая технику оценивания, основанную на интегральных неравенствах Гёльдера, с учётом уравнения в вариациях в теории второго порядка.

Принят подход к представлению технических систем, состоящий в том, чтобы рассматривать их как устройства, преобразующие пространства

входных параметров в пространства выходных параметров3. Термин "параметры" понимается не в "узком" смысле как физические "константы" самих технических устройств, а в более "широком" — как величины, содержащие априорную аналитическую или измеримую информацию относительно системы. Таким образом, входными параметрами могут служить не только параметры элементов системы, но и входные сигналы, когда они являются известными функциями времени, включая и программное управление. Исследуются системы вида (5), в которых вместо вектора управления рассматривается вектор входных

параметров р(1).

Номинальным значением параметра называют математическое ожидание процесса р($ в момент времени ¿о« Возможен случай, когда номинальное значение параметра можно считать неслучайным. На практике ему соответствует ситуация, когда технологический разброс параметров пренебрежимо мал (элементы высокого класса точности) или же начальное значение параметра устанавливается точно в процессе настройки (регулировки) или подбора элементов.

Получены уравнения в вариациях второго порядка в виде

(18)

Вводя скал » » я

1-1 1=1

и обозначая

Портер У. Современные основания общей теории систем. М: Наука, 197]. -555с.

1б

л'=

дх, сЬ,

г

ах,2 Э2'

/' = •/в

'а3/ «?

дх1дх2

а2/,

п п

дх^дх2 дх,дх„

д2/,

дх] ' 8хгдхп

¿Г,

дх2дх„ ' 5x1

где симметричная матрица Гесса, (18) можно записать в виде

' р

&(У = 0 , 1 = й . (19)

Учитывая то, что дх и др являются малыми величинами, решение

системы нелинейных дифференциальных уравнений' (19) можно

осуществить методом итераций: сначала найти решение системы

линейных дифференциальных уравнений (СЯДУ) вида (9), а затем это

первое приближение подставить в квадратичные члены уравнения (19) и

найти следующее приближение <5;с(/) решением СЛДУ

> < = й . (20) Дальнейших итераций можно не проводить, поскольку они дают

поправки к дх, имеющие формально третий порядок малости.

Решение СЛДУ (20) имеет вид

где

Фу

В (21) - (22) g,t!¡t,r) , к=1,2,...,п; 1=1,2,...,п-элементы матрицы Коши уравнения в вариациях первого порядка (9). Доказана теорема.

Теорема 4. Для того чтобы на интервале времени Т=\1о, ¡¡] для систем *(*)=/(х(/),/?(/)) выполнялось соотношение |Ле,'(01— Р , где Р произвольное вещественное положительное число, достаточно, чтобы выполнялось условие

Лх .

(22)

где

(23)

(24)

Теорема 2 и теорема 4 позволяют для линейных и нелинейных систем дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши получить оценки на норму вектора вариаций параметров, гарантирующих отклонение возмущенной фазовой траектории от номинальной в заданных пределах.

В четвёртой главе приводится описание системы прикладного программного обеспечения (СППО) для исследования динамики многомерных механических систем и результаты опытной эксплуатации модуля параметрической идентификации. Разработанный программный комплекс применялся для исследования ряда моделей механических систем.

Автор являлся ответственным исполнителем и основным разработчиком СППО для исследования динамики многомерных механических систем. Назначение СППО - автоматизация исследований по динамике при проектировании многомерных механических систем. Объем СППО составляет 15000 строк исходного текста на алгоритмическом языке высокого уровня. Из 9000 строк оригинального исходного текста СППО автором написаны 8500, остальные 6000 строк представляют собой адаптацию известных, численных методов. СППО предоставляет исследователям динамики многомерных механических систем следующие возможности:

1. Синтез линеаризованных динамических моделей.

2. Машинный анализ динамики построенной математической модели, включающий в себя:

а) построение амплитуд вынужденных колебаний;

б) интегрирование математической модели;

в) исследование проблемы собственных значений;

г) анализ чувствительности динамической модели по параметрам.

3. Параметрическая идентификация (ПИ) математической модели (ММ) с использованием следующих алгоритмов:

а) прямой вычислительный алгоритм ПИ линеаризованных ММ;

б) алгоритм чувствительности ПИ ММ;

в) алгоритм идентификации по методу Раджарама-Джанкинса.

Программный комплекс позволяет проводить синтез линеаризованных динамических. моделей, вычисление амплитуд собственных колебаний и анализ чувствительности по параметрам моделей размерности до 200 степеней свободы, интегрирование и вычисление собственных значений - до 100 степеней свободы и параметрическую идентификацию линейных моделей числом обобщённых координат, меньших 50.

Функциональное наполнение СППО включает в себя три проблемных модуля: "Синтез динамической модели", "Анализ динамики", "Параметрическая идентификация".

Проблемные модули "Синтез динамической модели" и "Анализ динамики" взаимосвязаны и позволяют последовательно проводить синтез динамической модели (дифференциальных уравнений движения) и машинный анализ построенной математической модели.

Разработанный программный комплекс применялся' для исследования ряда моделей механических систем, в том числе для синтеза модели управляемого космического телескопа, имеющей 177 степеней свободы, вычисления амплитуд вынужденных колебаний конструкции и решения задачи собственных значений. Задача вычисления амплитуд вынужденных колебаний в конечном счете сводилась к решению системы линейных алгебраических уравнений 354-го порядка с использованием методов разреженных матриц и процедуры Хеллермана-Рарика4.

Приведены результаты опытной эксплуатации модуля параметрической идентификации. Рассматривается идентификация динамической модели реального объекта 45-го порядка с 21 оцениваемым параметром.

4 Муртаф Б. Современное линейное программирование. Теория и практика. М: Мир, 1986. -224с.

Приложение к диссертации содержит описание основных элементов интерфейса системы прикладного программного обеспечения для исследования динамики многомерных механических систем и результаты численного эксперимента по параметрической идентификации динамической модели реального объекта.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Для линеаризованных моделей механических систем лагранжевой структуры предложен новый алгоритм вычисления функций чувствительности и получены все необходимые соотношения для реализации этого алгоритма. Этот алгоритм дает возможность идентификации в реальном времени параметров линеаризованных динамических моделей механических систем лагранжевой структуры размерности до 50 степеней свободы с числом оцениваемых параметров до 50 и более.

2. Предложен функциональный метод параметрической идентификации с использованием функций чувствительности. Этот метод получен на основе схемы Ньютона-Канторовича решения функциональных уравнений. Предлагаемый подход дает возможность адаптировать многочисленные результаты по исследованию метода Ньютона-Канторовича к решению таких проблем алгоритма параметрической идентификации с использованием функций чувствительности как оценка быстроты сходимости, априорные оценки погрешности, выбор начальных приближений вектора идентифицируемых параметров, гарантирующих сходимость.

3. Предложен прямой алгоритм параметрической идентификации линеаризованных динамических моделей в пространстве состояний. Условия работоспособности алгоритма требуют полной измеримости перемещений и скоростей механической системы.

4. Разработана методика оценивания' допусков на параметры технических систем, обеспечивающих гарантированное качество функционирования объектов, с помощью норм операторов. Получены оценки на норму вектора вариаций параметров, гарантирующих отклонение возмущенной фазовой траектории от номинальной в заданных пределах.

5. Разработана система прикладного программного обеспечения для исследования динамики многомерных механических систем.

6. На основе разработанного комплекса программ исследованы конкретные динамические модели многомерных механических систем.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ -

1. Дружинин ЭИ, Огородников Ю.И., Шелехов В.А. Алгоритмическое и программное обеспечение для автоматического синтеза и анализа линеаризованных динамических моделей многомерных механических систем //Интеллектуализация программных средств. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990.-е. 168-178.

2. Огородников Ю.И. Оценка предельных значений допустимых вариаций параметров систем управления // Труды 11-ой Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения", т.4.— Иркутск,

1999.-С.153-156.

3. Огородников Ю.И. Определение допусков на реализацию программного управления в автоматических системах //Информационные технологии контроля и управления на транспорте. - Иркутск: ИрИИТ,

2000.-С.44-47.

4. Мухопад Ю.Ф., Огородников Ю.И. Подход к исследованию алгоритма параметрической идентификации на основе функций чувствительности. // Труды Академии инженерных наук РФ. - Иркутск: ИрГУПС, 2002, вып. 10.-е. 3-6.

5. Огородников Ю.И. Алгоритм параметрической идентификации линеаризованных динамических моделей. // Труды Академии инженерных наук РФ. - Иркутск: ИрГУПС, 2002, вып. 10. - с. 33-36.

6. Огородников Ю. И., Шелехов В.А. Свидетельство о регистрации программы "Программа синтеза линеаризованных динамических моделей многомерных механических систем". Регистрационный номер 2000610054.

7. Огородников Ю. И. Свидетельство о регистрации программы "Программа параметрической идентификации нелинейных динамических моделей объектов управления на основе функций чувствительности". Регистрационный номер 2000610055.

8. Огородников Ю. И. Свидетельство о регистрации программы "Программа параметрической идентификации линейных динамических моделей лагранжевой структуры методом наименьших квадратов", Регистрационный номер 2000610056.

Лицензия № 021231 от 23.07.97 Подписано в печать 19.04.04 Формат 60x84/16. Печать офсетная Усл. печ. л. -1,3 План 2004 г. ЗАКАЗ 1302

Глазковская типография, г. Иркутск, ул. Гоголя, 53

Р-9 4 38

Введение.

Глава 1. Методы проектирования и идентификации технических систем.

1.1. Методы проектирования технических систем с учётом вариаций параметров.

1.2. Методы параметрической идентификации динамических моделей механических систем.

1.3. Цель работы, задачи исследований.

Глава 2. Разработка метода параметрической идентификации с использованием функций чувствительности.

2.1. Алгоритм чувствительности.

2.2. Упрощение модели чувствительности.

2.3. Исследование алгоритма чувствительности.

2.4. Алгоритм параметрической идентификации линеаризованных динамических моделей.

2.5. Выводы по главе 2.

Глава 3. Построение оценок допусков на параметры технических систем.

3.1. Определение допусков на реализацию программного управления.

3.2. Вычислительные алгоритмы получения оценок.

3.3. Использование уравнения в вариациях второго порядка.

3.4. Пример вычисления оценок.

3.5. Выводы по главе 3.

Глава 4. Информационные технологии и алгоритмы исследования динамики систем.

4.1. Система прикладного программного обеспечения для исследования динамики многомерных механических систем.

4.2. Результаты опытной эксплуатации модуля параметрической идентификации.

4.3. Выводы по главе 4.

Актуальность темы. Действительные значения параметров элементов технических систем всегда отличаются от расчетных, принятых при проектировании. Такие отклонения обусловлены действием целого ряда факторов. Это приводит к тому, что существует различие между результатами аналитических прогнозов и истинным поведением системы. Инженеру необходимо оценить степень соответствия между математической моделью и реальной системой заранее, уже на стадии синтеза, поскольку во многих случаях получение ответа на вопрос в результате накопления практического опыта может оказаться слишком дорогостоящим. В инженерной практике параметры, содержащие априорную аналитическую или апостериорную измеримую информацию относительно системы, могут быть определены только с некоторой точностью. Кроме того, параметры изменяются в зависимости от внешних условий и от времени. Вследствие этого, модель, принятая при проектировании, существенно отличается от реального объекта, что значительно уменьшает эффективность разработанной системы управления. В связи с этим, необходимо оценивать реальные значения параметров в режиме нормального функционирования технических объектов. Техника имеет дело с номинальными (расчётными) значениями параметров и с соответствующими допусками. Поэтому одной из наиболее важных и вместе с тем весьма сложных проблем, возникающих при проектировании и эксплуатации технических систем, является проблема учёта отклонений реальных значений параметров технических объектов от расчётных и обеспечения требуемого качества функционирования объектов.

Цель работы. Оценивание параметров линеаризованных моделей механических систем в виде уравнений Лагранжа второго рода размерности до 50 степеней свободы с числом оцениваемых параметров до 50 и более. Разработка соответствующего программного обеспечения. Исследование влияния на динамику технических систем вариаций параметров различной природы, являющихся элементами функциональных пространств. Разработка методики оценивания допусков на параметры, обеспечивающих гарантированное качество функционирования объектов, с помощью норм операторов.

Объект исследования. Объектами исследования являются технические системы, описываемые двумя типами математических моделей. При идентификации в пространстве состояний исследуются линеаризованные динамические модели многомерных механических систем лагранжевой структуры (в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка). Такие модели описывают в практически важном случае малых колебаний конструкции движение широкого круга подвижных технических объектов: такими объектами могут быть и железнодорожный вагон и управляемый космический телескоп, представляющий собой крупногабаритную упругую конструкцию. При разработке методики оценивания допусков на параметры технических систем с помощью норм операторов использовалась модель в виде системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. Такие модели являются классическим средством описания электрических цепей и микроэлектронных систем управления.

Методы исследований. В диссертационной работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, линейной алгебры, теории чувствительности, теории линейных управляемых систем.

Научную новизну диссертации представляют следующие основные результаты, которые выносятся на защиту:

- алгоритм вычисления функций чувствительности линеаризованных моделей механических систем лагранжевой структуры, допускающий идентификацию в реальном времени параметров моделей размерности до 50 степеней свободы с числом оцениваемых параметров до 50 и более; функциональный метод параметрической идентификации с использованием функций чувствительности, основанный на схеме Ньютона-Канторовича решения функциональных уравнений; прямой алгоритм параметрической идентификации линеаризованных динамических моделей в пространстве состояний; методика оценивания допусков на параметры технических систем, обеспечивающих гарантированное качество функционирования объектов, с помощью норм операторов; оценки на норму вектора вариаций параметров, гарантирующих отклонение возмущенной фазовой траектории от номинальной в заданных пределах.

Практическая ценность. Полученные результаты и разработанная система прикладного программного обеспечения внедрены на предприятии НПО им. С. А. Лавочкина. Результаты исследований могут быть использованы при проектировании, анализе и параметрической идентификации многомерных механических систем, при проектировании электрических цепей и микроэлектронных систем управления.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзной школе по электромеханическим системам в Москве в ноябре 1983 г., на конференции "Численные методы в аэродинамике и механике сплошных сред" в Иркутске в мае 1984г., на семинарах Института динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск, 1985-1999гг., ИрГУПС, 20002003гг., на Международной конференции "Математика, информатика, управление " в Иркутске в июне 2000г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в восьми печатных работах [31], [60-66], из них пять статей в сборниках и трудах всероссийских конференций и семинаров и три свидетельства о регистрации программ в Российском агентство по патентам и товарным знакам.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы - 138 страниц, из них 114 страниц основного текста, 9 рисунков, 1 таблица, библиография из 134 наименований на 12 страницах, приложение на 12 страницах.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

1. Для линеаризованных моделей механических систем лагранжевой структуры предложен новый алгоритм вычисления функций чувствительности и получены все необходимые соотношения для реализации этого алгоритма. Предложенный алгоритм позволяет уменьшить размерность системы дифференциальных уравнений для определения всех функций чувствительности в 3 п раз для случая, когда возбуждаются все степени свободы системы и в Ъп раз при идентификации системы на свободном движении (п - число степеней свободы). Полученные результаты дают возможность идентификации в реальном времени параметров линеаризованных динамических моделей механических систем лагранжевой структуры размерности до 50 степеней свободы с числом оцениваемых параметров до 50 и более.

2. Предложен функциональный метод параметрической идентификации с использованием функций чувствительности. Этот метод получен на основе схемы Ньютона-Канторовича решения функциональных уравнений. Предлагаемый подход дает возможность адаптировать многочисленные результаты по исследованию метода Ньютона-Канторовича к решению таких проблем алгоритма параметрической идентификации с использованием функций чувствительности как оценка быстроты сходимости, априорные оценки погрешности, выбор начальных приближений вектора идентифицируемых параметров, гарантирующих сходимость.

3. Предложен прямой алгоритм параметрической идентификации линеаризованных динамических моделей. Условия работоспособности алгоритма требуют полной измеримости перемещений и скоростей механической системы.

4. Разработана методика оценивания допусков на параметры технических систем, обеспечивающих гарантированное качество функционирования объектов, с помощью норм операторов. Использована техника оценки координат или нормы решения уравнений возмущённого движения с применением интегральных неравенств Гёльдера. Для получения оценок использовались уравнения в вариациях первого и второго порядка. Получены оценки на норму вектора вариаций параметров, гарантирующих отклонение возмущенной фазовой траектории от номинальной в заданных пределах. Эти оценки можно использовать в задачах нахождения допусков на реализацию программного управления, в задачах назначения допусков на параметры динамических систем, задачах нормирования антропогенных воздействий.

5. Разработана система прикладного программного обеспечения (СППО) для исследования динамики многомерных механических систем. Программный комплекс позволяет проводить синтез линеаризованных динамических моделей, вычисление амплитуд собственных колебаний, вычисление собственных значений и анализ чувствительности по параметрам моделей размерности до 200 степеней свободы, интегрирование моделей -до 100 степеней свободы и параметрическую идентификацию линейных моделей числом обобщённых координат, меньших 50. Разработанный программный комплекс применялся для исследования ряда моделей механических систем, в том числе для синтеза модели, имеющей 177 степеней свободы, вычисления амплитуд вынужденных колебаний и решения задачи собственных значений. Проведена идентификация динамической модели объекта 45-го порядка с 21 оцениваемым параметром на основе алгоритма чувствительности. Численный эксперимент показал, что алгоритм чувствительности обеспечивает быструю и точную подстройку параметров жёсткости, демпфирования и параметров матрицы приведённых масс в случае полной и неполной измеримости вектора состояния.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абгарян К.А. Введение в теорию устойчивости движения на конечном интервале времени. М: Наука, 1992. -160с.

2. Абрамов О.В., Бернацкий Ф.П., Здор В.В. Параметрическая коррекция систем управления. М: Энергоатомиздат, 1982. -176с.

3. Абрамов О.В., Инберг С. П. Параметрический синтез настраиваемых технических систем. М: Наука, 1986. -124с.

4. Абрамов О.В., Здор В.В., Супоня А.А. Допуски и номиналы систем управления. М: Наука, 1976. -160с.

5. Авдеенко Т.В., Каргин С.А. О глобальной идентифицируемости линейных динамических моделей // Труды II Международной конференции "Идентификация систем и задачи управления", М., 2003, с. 182-194.

6. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.-43Ос.

7. Алгоритмы управления и идентификации. Сборник научных трудов. М: Диалог-МГУ, 1997. -170с.

8. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М: Наука, 1976. -185с.

9. Андронов А.А., Понтрягин JI.C. Грубые системы // ДАН СССР. — 1937, т. XIV, №5, с.247-250.

10. Анисимов А.С., Кононов В.Т., Худяков Д.С. Современное состояние методов параметрической идентификации линейных дискретных динамических объектов // Научный вестник НГТУ, 2002, 1, с. 13-28.

11. И. Антушев Г.С., Горячев JI.B., Здор В.В., Супоня А.А. Алгоритмы определения допусков на параметры элементов систем управления. в кн.: Параметрическая надёжность и чувствительность. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1973, с. 50-72.

12. Баяковский Ю.Н. и др. ГРАФОР: комплекс графических программ на Фортране. Препринт ИПМ, 1983. -182с.

13. Беккер П., Йенсен Ф. Проектирование надежных электронных схем // Пер. с англ. А. Л. Райкина; Под ред. И. А. Ушакова. М.: Сов. радио, 1977. -256с.

14. Бесекерский В.А., Небылов А.В. Робастные системы автоматического управления. М: Наука, 1983. -240с.

15. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М: Наука, 1973. -320с.

16. Быховский М.Л. Основы динамической точности электрических и механических цепей. М.: Изд-во АН СССР, 1958. -157с.

17. Васильев Б. В., Козлов Б.А., Ткаченко Л.Г. Надёжность и эффективность радиоэлектронных устройств. М.: Сов. радио, 1964. -336с.

18. Виттенбург И. Динамика систем твердых тел. М: Мир, 1980.292с.

19. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М: Наука, 1984. -318с.

20. Волкович В.Л., Волошина А.Ф., Горлова Т.М. Методы и алгоритмы автоматизированного проектирования сложных систем управления. Киев: Наукова думка, 1984. -216с.

21. Востриков А.С. Синтез нелинейных систем методом локализации. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1990. -120с.

22. Гавурин М. И. Фарфоровская Ю.Б. Об одном итеративном методе разыскания суммы квадратов // ЖВМ и МФ, №6, 1966, с. 1094-1097.

23. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей. М.: Сов. радио, 1973. -200с.

24. Горелова Г.В., Здор В.В., Свечарник Д.В. Метод оптимума номинала и его применение. М.: Энергия, 1970. -200с.

25. Даугавет И.К. Приближённое решение линейных функциональных уравнений. JL: Изд-во Ленинградского университета, 1985. -224с.

26. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979. -240с.

27. Дидук Г.А., Коновалов А.С., Орурк И.А., Осипов Л.А. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления. М.: Наука, 1984.-344с.

28. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика упругого летательного аппарата // Итоги науки и техники. Общая механика. М: ВИНИТИ, 1982, т. 5, с. 135-197.

29. Дмитриев А.В., Дружинин Э.И. К теории прямых вычислительных алгоритмов параметрической идентификации // Сб. "Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления", Новосибирск: Наука, 1981.

30. Дмитриев А.В., Дружинин Э.И. Идентификация динамических характеристик непрерывных линейных моделей в условиях полной параметрической неопределённости. // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 1999, №3, с. 44-52.

31. Дружинин Г. В. Надёжность автоматизированных систем. М: Энергия, 1977. -536с.

32. Евланов Л.Г. Контроль динамических систем. М: Наука, 1979.432с.

33. Жуков В.И. Особенности аэродинамики, устойчивости и управляемости экраноплана. М: Издательский отдел ЦАГИ, 1997. -81с.

34. Здор В.В., Кочубиевский И.Д. Об одном методе определения областей допустимых вариаций параметров автоматических систем // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, № 6, 1966, с. 52-55.

35. Ибрахим С.Р. Вычисление нормальных собственных форм колебаний по идентифицированным комплексным собственным формам // Аэрокосмическая техника-1983, т.1, №11, с. 93-99.

36. Ибрахим С.Р. Построение динамических моделей конструкций по измеренным комплексным собственным формам // Аэрокосмическая техника-1984, т.2, №2, с. 153-158.

37. Ибрахим С.Р. Квазилинейная идентификация нелинейных динамических систем во временной области // Аэрокосмическая техника-1985, т.З, №6, с. 29-36.

38. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.-744с.

39. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М: Мир, 1977. -650с.

40. Клейман Е.Г. Идентификация нестационарных объектов // Автоматика и телемеханика. 1999. №10, с. 3-36.

41. Ковалёв A.M., Щербак В.Ф. Условия идентифицируемости нелинейных механических систем // Механика твёрдого тела. 1984, №16, с.77-91.

42. Ковалёв A.M., Щербак В.Ф. Управляемость, наблюдаемость, идентифицируемость динамических систем. Киев: Наукова Думка, 1993. -236с.

43. Константинов Г.Н. Нормирование воздействий на динамические системы. Иркутск: изд-во Ирк. ун-та, 1983. -188с.

44. Кофанов Ю.Н. Построение методологии автоматизации технического проектирования на основе теории параметрической чувствительности. Л.: Изв. ЛЭТИ, 1970. -100с.

45. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. -456с.

46. Крутько П.Д. Решение задачи идентификации методом теории чувствительности // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, № 6, 1969.

47. Ланкастер П. Теория матриц. М: Наука, 1982. -269с.

48. Лурье А.И. Аналитическая механика. М: Физматгиз, 1961. -824с.

49. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. / Пер. с англ. М: Наука, 1991. -432с.

50. Маслов А.Я., Татарский В.Ю. Повышение надёжности радиоэлектронной аппаратуры. М: Сов. радио, 1972. -264с.

51. Маслов А.Я. и др. Оптимизация радиоэлектронной аппаратуры. М: Радио и связь, 1982. -200с.

52. Микишев Г.Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. М: Машиностроение, 1978. —247с.

53. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000. -549с.

54. Мук Д. Дж. Оценка и идентификация нелинейных динамических систем // Аэрокосмическая техника, 1990, № 2, с.44-53.

55. Муртаф Б. Современное линейное программирование. Теория и практика. М: Мир, 1986. -224с.

56. Небылов А. В. Гарантирование точности управления. М: Наука, 1998. -228с.

57. Норенков И.П. Введение в автоматизированное проектирование технических устройств и систем. М: Высш. шк., 1980. 311с.

58. Hyp Г.С., Райан Р.С., Скофилд Х.Н., Сине Д.Л. Динамика больших космических конструкций и управление ими // Аэрокосмическая техника, 1985, т.З, №6, с. 129-147.

59. Огородников Ю. И. Оценка предельных значений допустимых вариаций параметров систем управления // Труды 11-ой Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения".- Иркутск, 1999, т.4, с. 153-156.

60. Огородников Ю. И. Определение допусков на реализацию программного управления в автоматических системах //Информационные технологии контроля и управления на транспорте. — Иркутск: ИрИИТ, 2000,— с.44-47.

61. Мухопад Ю.Ф., Огородников Ю. И. Подход к исследованию алгоритма параметрической идентификации на основе функций чувствительности. // Труды Академии инженерных наук РФ. Иркутск: ИрГУПС, 2002, вып. 10, с. 3-6.

62. Огородников Ю. И. Свидетельство о регистрации программы "Программа параметрической идентификации нелинейных динамических моделей объектов управления на основе функций чувствительности". Регистрационный номер 2000610055.

63. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М: Наука, 1987. -352с.

64. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М: Сов. радио, 1976. -184с.

65. Портер У. Современные основания общей теории систем. М: Наука, 1971. -555с.

66. Раджарам С., Джанкинс Дж. Идентификация вибрирующих упругих конструкций // Аэрокосмическая техника, № 4, 1986, № 4, с.126-135.

67. Райншке К. Модели надёжности и чувствительности систем. М: Мир, 1979.-452с.

68. Раушенбах Б. В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. М: Наука, 1974. -600с.

69. Розенвассер Е.Н. и др. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении. JI: Энергия, 1971. -344с.

70. Розенвассер Е.Н., Юсупов Е.М. Чувствительность систем управления, М: Наука, 1981. -464с.

71. Рубан А. И. Идентификация нелинейных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности. Томск: изд-во Том. ун-та, 1976. -270с.

72. Рубан А. И. Классификация работ по идентификации // Системы управления. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1978, вып.З, с.61-73.

73. Рубан А. И. Идентификация и чувствительность сложных систем. Томск: изд-во Том. ун-та, 1982. -302с.

74. Сейдж Э., Мелса Д. Теория оценивания и её применение в связи и управлении. М: Связь, 1976. -496с.

75. Сильвестров А.Н., Чинаев П.И. Идентификация и оптимизация автоматических систем. М: Энергоатомиздат, 1987.-200с.

76. Современные методы идентификации систем / Пер. с англ.; Под ред. П. Эйкхофа. М.: Мир, 1983. -400с.

77. Соколов С. И., Силин И. Н. Нахождение минимумов функционалов методом линеаризации. / препринт Объединенного института ядерных исследований, 1961.

78. Справочник по теории автоматического управления. / Под редакцией Красовского А.А. М: Наука, 1987. -711с.

79. Срагович В. Г. О новых задачах адаптивного управления линейными уравнениями // Докл. АН СССР, 1987, т. 297, № 4, с. 812-815.

80. Стренг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов. М: Мир, 1977. -349с.

81. Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности. М: Сов. радио, 1972. -240с.

82. Тьюарсон Т. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1977. -189с.

83. Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М: Физматгиз,1983.-734с.

84. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. М: Мир, 1988. -428с.

85. Цурков В.И. Динамические задачи большой размерности. М: Наука, 1988. -288с.

86. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М: Наука, 1984. -320с.

87. Чернецкий В.И., Дидук Г.А., Потапенко А.А. Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем. Л.: Энергия, 1970.

88. Шамриков Б.М. Параметрическая идентификация динамических объектов по выборкам ограниченного объема // Изв. РАН. — Теория и системы управления, 1997, №2, с. 81-89.

89. Шлаустас Р.Ю. Асимптотический метод решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Сб. "Асимптотические методы в теории систем", Иркутск, АН СССР, Сиб. отд-е, Сиб. энерг. инс-т, 1983, с. 27-31.

90. Штейнберг Ш.Е. Идентификация в системах управления. М: Энергоатомиздат, 1987. -80с.

91. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М: Мир, 1975.-683с.

92. Эльясберг П. Е. Измерительная информация: сколько её нужно? как её обрабатывать? М: Наука, 1983. -207с.

93. Alvin K.F., Park К.С. Second-order structural identification procedure via state-space-based system identification // AIAA Journal, 1994, No. 2, pp. 397-406.

94. Audoly S., D'Angio L., Saccomani M. P., Cobelli C. Global identifi-ability of linear compartmental models a computer algebra algorithm // IEEE Trans. On Biomedical Engineering, 1998, Vol. 45, No. 1, pp. 36-47.

95. Avdeenko Т. V., Je H.G. On the study of solution uniqueness to the task of determination unknown parameters of mathematical models // East Asian Math. J., 2000, Vol. 16, No. 2, pp.251-266.

96. Baruch M.K. Optimal correction of mass and stiffness matrices using measured modes // AIAA Journal, vol. 20, No.l 1, 1982, pp. 1623-1626.

97. Boyie I.M., Moler C.B., Smith В. T. Matrix Eigensistem Roytines, EISPACK Guide, Lecture Notes Computer Sciences, v. 6, Berlin-Heidelberg-New-York: Springier-Verlag, 1976.

98. Butler E.M. Realistic design using large-change sensitivity and performance contours // IEEE Trans. Circuit Theory, 1971, vol. CT18, No. 1, pp. 58-66.

99. Caughey Т.К., O'Kelly M.E. Classical normal modes in damped lineal dynamics systems // Journal of Applied Mechanics, vol. 32, series E, 1985, pp. 583-588.

100. Chen J.C. Evalution of spacecraft modal test methods // Journal of Spacecraf and Rockets, vol. 24, No. 1, 1986, pp. 52-62.

101. Chen J.-M., Chen B.-S. A high-order correlation method for model-order and parameter estimation // Automatica, 1994, Vol.30, No.8, pp. 13391344.

102. Dunn H.J., Montgomery R.C. A moving window parameter adaptive control system for the F-8-DFBW aircraft // IEEE Trans. Automat.Contr., vol. AC-22, № 5, 1977, pp. 788-795.

103. Edward C., Sau-Ying T. Estimation of aeroelastic models in structural limit cycle oscillation from test data // AIAA Journal, 1997,35, No. 6, pp. 1025-1029.

104. Eisenstat S.C., Gursky M.C., Schultz M.N., Sherman A.H. Yale sparse matrix package. Reseach report № 114, Deht. Of Computer Sciences,. Yale University, 1977.

105. Gupta N.K., Mehra R.K. Computational aspects of maximum like-hood estimation // IEEE Trans. Automat.Contr., vol. AC-19, № 12, 1974, pp. 774-783.

106. Hendricks S.L. Identification of mass, damping and stiffness matrices for large linear vibratory system. // AIAA Journal of guidance, control and dynamics, vol. 7,1984, pp. 244-245.

107. Ibrahim S.R., Mikulcik E.C. A time domain modal vibration test technicue. Chock and Vibration Bulletin, Bull. 43, Pt. 4, 1973, pp. 21-37.

108. Ibrahim S.R., Mikulcik E.C The experimental determination of vibration parameters from responses. Chock and Vibration Bulletin, Bull. 46, Pt. 5, 1976, pp. 187-196.

109. Ibrahim S.R., Mikulcik E.C. A method for the direct identification of vibration parameters from the free response // Chock and Vibration Bulletin, Bull. 47, Pt. 4,1977, pp. 183-198.

110. Ibrahim S.R., Pappa R.S. A parametric study of the Ibrahim time domain modal identification algoririthm //, Chock and Vibration Bulletin, Bull. 51, Pt. 3, 1981, pp.43-72.

111. Ibrahim S.R., Pappa R.S. Large modal survey testing using the Ibrahim time domain modal technique // Journal of Spacecraft and Rockets, vol. 19, No. 5, 1982, pp.459-465.

112. Juang J.N., Pappa R.S. An eigensistem realization algorithm (ERA) for modal parameter identification and model reduction, present at the NASA/JPL Workshop on identification and control of flexible space structures, San Diego, Calif., June 1984.

113. Juang J.N., Sun C.T. System identification of large flexible Structures by using simple continuus models // Journal of the Astronautical Sciences, vol. 31, No. 1,1983, pp. 77-98.

114. Kalman R. E. On the general theoiy of control systems. Proceeding First International Congress IF AC. Vol. 1, Butterworh, London, 1961, pp. 481492.

115. Kalman R. E. Mathematical description of linear dynamical systems // SIAM J. Control, 1963, Ser.A, vol.1, p. 152-192.

116. Kane T.R., Wang C.F., On the derivation of equations of motion. J. Soc. Indust. And Appl. Math., 1965, 13, No. 2, pp. 487-492.

117. Karlsson E., Sjostrom E. In subspase system identification of noisy input-output systems // SYSID'94: 10th IF AC Symp. Syst. Identif., Cophenha-gen,4-6 July,1994, Vol.2, pp. 385-390.

118. Liquan Z., Feugquan W. Phisical parametr identification technique using local measurement data // Vibr. and Shod, 1996, 15, No. 4, pp. 63-67.

119. Matausek M. R., Stankovic S.S. Robust real-time algorithm for identification of non-linear time-varying systems // Int. J. Control, 1980, vol. 31, No. 1, pp. 79-94.

120. Murray-Smith D.J. An identification-based approach to the validation of complex nonlinear dynamic models // Simul.Pract. and Theory, 1993, vol.1, No.l, pp. 5-6.

121. Nikiforov V.O. Robust high-order tuner of simplified structure // Automatica. 1999, vol.35, No.8, pp. 1409-1415.

122. Staley R.M., Yue P.C. On system parameter identifiability // Information Sciences, vol.2, 1970, pp. 127-138.

123. Vandersteen G. On the use of compensated total least squares in system identification // IEEE Trans. Automat. Contr., 1998, Vol. 43, No.10, pp. 1436-1442.

124. Walter E. Identifiability of state space models. Berlin: Springler-Verlag, 1982, 197p.

125. Wei F.S. Stiffness matrix correction from incomplete test data // AIAA Journal, vol. 18, No. 10, 1980, pp. 1274-1275.

126. Williams T.W. A square root method for the identification of large . space structures // International Journal of Control, vol. 42, 1985, pp. 11551173.

127. Wuef R. Mathematical methods for digital computers, Willy, New-York-London, 1960, pp. 110-120.

128. Zheng W.X. On a least-squares-based algorithm for identification of stochastic linear systems // IEEE Trans. Signal Process, 1998, Vol. 46, No.6, pp. 1631-1638.

129. Zheng W.X., Soderstrom Т., Stoica P. Comments on "On a least-squares-based algorithm for identification of stochastic linear systems" // IEEE Trans. Signal Process, 1999, Vol. 47, No.5, pp. 1395-1396.