автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы оценивания параметров статистически неопределенной линейной модели

На правах рукописи

Медведева Наталья Валерьевна

МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ СТАТИСТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

("ВЗЗ

Екатеринбург - 2009

003487833

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» (УрГУПС) на кафедре «Высшая математика».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Г.А. Тимофеева

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.И. Матасов;

кандидат физико-математических наук, доцент К.В. Семенихин;

Ведущая организация: Московский государственный университет

путей сообщения

Защита состоится чЛ9 » ¿>000 г. в ¿й? ч. РО мин. на заседа-

нии Диссертационного совета Д212.133.01 при Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете) по адресу: 109028, Москва, Б. Трехсвятительный пер., д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИЭМ.

Автореферат разослан ¿¿сЛ-^М- Лсс& г.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организации (в двух экземплярах), просим направлять в адрес Диссертационного совета по почте.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д212.133.01 кандидат технических наук, доцент С.Е. Бузников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования. В диссертационной работе изучается задача оценивания параметров линейной модели в условиях неполной статистической информации.

Актуальность работы. Оценивание параметров систем - одна из центральных проблем в современной теории и практике адаптивного управления. Это связало с тем, что функционирование многих технических, экономических систем происходит на фоне случайных воздействий. В таких ситуациях, как правило, возникает необходимость в решении задачи: по результатам измерений доступных наблюдению величин в условиях постоянно действующих воздействий постараться наилучшим образом оценить истинные параметры изучаемого объекта.

Математическая формализация подобных задач связана с принятыми в каждом конкретном случае информационными условиями, вызванными как функционированием самого объекта, так и процедурой измерения. В соответствии с этими информационными предположениями применяются разные подходы к решению задач оценивания.

Статистический подход разрешения данного вопроса предполагает, что известны вероятностные распределения возмущений или, по крайней мере, известны такие статистические характеристики, как математические ожидания и ковариационные матрицы случайных возмущений.

Фундаментальным результатом в области исследования задач оценивания состояния линейной стохастической системы с наблюдением, возмущения в которой описываются случайными процессами с заданными параметрами распределений, являются соотношения фильтра Р. Калмана, главной особенностью которого является то, что оценка состояния может быть получена рекуррентно и уточнена по мере поступления новых наблюдений.

Большое число исследований посвящено моделям, структура которых содержит случайные помехи. Наиболее полные результаты получены для задачи идентификации и управления линейной системой с гауссовскими распределениями случайных возмущений и квадратичным критерием качества. Задачи, связанные с оцениванием и управлением стохастическими системами, исследованы в работах В.Н. Афанасьева, A.C. Братуся, М. Дэвиса, В.Б. Колмановского, Р.Ш. Липцера, А.Д. Мыщкиса, В.Р. Носова, B.C. Пугачева, И.Н. Синицина, А.Н. Ширяева и других авторов. Задача идентификации параметров линейной модели в предположении, что возмущения в наблюдениях носят случайный характер, была исследована в работах А. Альберта, B.C. Пугачева, С.Р. Рао.

При детерминированном (гарантирующем) подходе предполагается, что

информация о возмущениях в системе исчерпывается заданием множеств их

\

возможных значений. Решение задачи в этом случае сводится, как правило, к описанию эволюции областей, называемых информационными множествами, которые содержат все состояния системы, совместимые как с результатами измерений, так и с априорными ограничениями на неопределенные возмущения. Описание указанных областей, таким образом, обеспечивает гарантированные оценки состояния системы или ее параметров. Они строятся, как и в первом случае, адаптивно, по реализовавшимся значениям наблюдений.

Идейной основой теории гарантированного оценивания послужили фундаментальные работы H.H. Красовского. Это направление было развито в работах A.B. Куржанского, Д.П. Бертсекаса, М.И. Гусева, Х.С. Витзенхаузе-на, Е.К. Костоусовой, О.И. Никонова, И.В. Родеса, Т.Ф. Филипповой, Ф.Л. Черноусько, Ф.С. Швеппе и других авторов.

В ситуациях, при которых информационные предположения носят двоякий характер (с одной стороны, известны некоторые сведения о распределениях, с другой - параметры этих распределений неизвестны или известны неточно), применяют статистически неопределенный подход. Задачи оценивания состояний или параметров системы, структура которой содержит как случайные возмущения, так и неслучайные возмущения, информация относительно которых исчерпывается заданием областей их возможных значений, называются статистически неопределенными задачами оценивания.

В работах H.H. Красовского, M.JI. Лидова, Ф. Швеппе сформулированы подходы к решению задачи оценивания в условиях неполной статистической информации о распределении случайных возмущений. Минимаксным методам решения статистически неопределенных задач управления и оценивания посвящены работы Б.Ц. Бахшияна, С. Верду, Ю.С. Кана, А.И. Кибзуна, В.Б. Колмановского, М.Л. Лидова, А.И. Матасова, P.P. Назирова, А.Р. Панкова, К.В. Семенихина, В.Н. Соловьева, Б.Н. Пшеничного, В.Г. Покотило, П.Э. Эльясберга и других авторов.

В работах И.Я. Каца и A.B. Куржанского предложены линейные рекуррентные процедуры оценивания состояния многошаговой системы на основе описания динамики множеств апостериорных средних. Задаче построения доверительных областей для вектора состояния статистически неопределенных систем посвящены работы Б.И. Ананьева, И.А. Дигайловой, Г.А. Тимофеевой. Методы решения задач оценивания и оптимизации в условиях неполной статистической информации, предлагаемые Б.Т. Поляком и Я.З. Цыпкиным, базируются на робастном подходе, предложенном П. Хьюбером.

Проблемы нахождения оптимальных линейных оценок для статистически неопределенных систем исследовались в работах Б.Ц. Бахшияна, В.Б. Колмановского, М.Л. Лидова, А.И. Матасова, P.P. Назирова, А.Р. Панкова, К.В. Семенихина, П.Е. Эльясберга и других авторов.

Данная работа базируется на подходах и методах, предложенных А.Б.

Куржанским1, И.Я. Кацем2 и Г.А. Тимофеевой3.

Особенностью данного диссертационного исследования является то, что задача оценивания неизвестного вектора параметров статистически неопределенной линейной модели изучается при отсутствии априорной информации об оцениваемых параметрах.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является исследование задачи оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели, структура которой содержит как случайные гаус-совские возмущения, так и неопределенные возмущения, информация о которых исчерпывается заданием областей их возможных значений.

Поставленная цель предполагает решение следующих задач:

1) исследовать свойства линейных процедур доверительного оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели; построить уточненные линейные доверительные множества для вектора параметров модели;

2) построить оценки вектора параметров статистически неопределенной линейной модели по методу максимального правдоподобия; исследовать их свойства;

3) разработать алгоритмы оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории вероятностей, выпуклого анализа, линейной алгебры и методы компьютерного моделирования.

Научная новизна. В работе получены результаты, дополняющие существующие методы оценивания статистически неопределенных систем новыми эффективными линейными процедурами построения доверительных множеств и нелинейными процедурами оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели.

Основные результаты диссертационной работы:

1) исследованы свойства линейных процедур доверительного оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели; построены уточненные доверительные множества для вектора параметров модели;

2) на основании метода максимального правдоподобия построены нелинейные оценки вектора параметров статистически неопределенной линейной модели; исследованы свойства оценок по методу максимального правдоподо-

'Кац И.Я., Куржаяский A.B. Минимаксное оценивание в многошаговых системах // Доклады АН СССР. - 1975. - T.221. - №3. - С. 535-538.

2Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Динамические оценки доверительных и информационных множеств в статистически неопределенных системах// Изв. РАН. Техническая кибернетика. - 1994. - Х'6. - С. 42-46.

3Гимофеева Г.А. Обобщенные доверительные множества для статистически неопределенного случайного вектора // Автоматика и телемеханика. - 2002. - Л'!0. - С. 44-56.

бия;

3) разработаны алгоритмы оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели.

Теоретическая и практическая ценность работы. Процедуры оценивания, предложенные в работе, являются новыми методами решения задачи оценивания неизвестного вектора параметров статистически неопределенной линейной модели, что приводит к расширению применения теории оценивания в теоретической и практической области.

Апробация работы. Основные результаты исследования обсуждались на научных конференциях: 34, 35 и 39-й Региональных молодежных конференциях «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург: УрО РАН, 2003, 2004 и 2008); 4,5, 6 и 8-й Научно-технических конференциях «Молодые ученые - транспорту» (Екатеринбург: УрГУПС, 2003, 2004, 2005, 2007); 9-й Международной конференции «Системный анализ и управление» (Крым, Евпатория, 2004); 5-й Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» (Москва: ИПУ РАН, 2006), на международных научных семинарах: «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона - Якоби» (Екатеринбург: УрГУ, 2005); «Устойчивость, управление и моделирование динамических систем» (Екатеринбург: УрГУПС, 2006); «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва: ИПУ РАН, 2008); а также на научных семинарах кафедр «Кибернетика» (Москва: МИЭМ, 2006, 2009), «Теория вероятностей» (Москва: МАИ, 2009) и кафедры «Высшая математика» (Екатеринбург: УрГУПС, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1, 2, 3] журналов, входящих в Перечень ВАК; в сборниках трудов [4-16] и тезисах [17-22] научных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (103 источника). В работе приведено 19 рисунков, 5 таблиц. Общий объем диссертации составляет 136 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, перечислены основные результаты исследования, обоснована их теоретическая и практическая значимость, изложено краткое содержание диссертации.

Сформулируем задачу оценивания, являющуюся предметом данного диссертационного исследования.

Рассматривается линейная модель

V - ао + й1Х1 + а,2Х2 + ... + а„хп, (1)

где а = {оо, 01,02,... ,оп} € Е"+1 - неизвестный детерминированный вектор параметров модели; х — {1,Х1,Х2,... ,х„} € - известный детерминированный вектор значений аргумента.

Пусть произведено к наблюдений, в каждом из которых значения функции У измеряются неточно

У1 = атх^ + щ + 1 = 1,...,к, к >п + 1, (2)

где у; - измерение; величины щ и & - ошибки измерений.

Помехи & - это независимые случайные несмещенные гауссовские величины с известными дисперсиями:

Щг — 0) Щг = Е^=0, (3)

а величины щ - это неопределенные неслучайные помехи, относительно которых известно, что они могут принимать произвольные значения из отрезков

и,:

гцеЩ = {ьеЕ} |и| < Д1}. (4)

Систему (2) можно записать в векторном виде:

у = ва + и 4- (5)

где у = {у\, 2/2, • • •, У к} ~ случайный вектор наблюдений, у €

и = {щ,и2, ■ ■ ■, щ} - вектор неопределенных параметров, и € I/ С К* где V = [-Дь Д1] х [-Д2; Д2] х ... х [-ДА; Д^]; £ = {£ь Й) • ■ • 1" вектор случайных возмущений;

( \

Х(2)Т

- матрица к х (п + 1) и гап&((?) = п + 1.

<3 =

\ х«Т )

Требуется для неизвестного вектора параметров а модели (2)-(4) построить линейные доверительные и нелинейные процедуры оценивания по известным значениям вектора наблюдений у и векторов г — 1,..., к, к > п + 1 при отсутствии априорной информации об оцениваемых параметрах.

Первая глава посвящена построению линейных, по отношению к вектору наблюдений у, процедур доверительного оценивания неизвестного вектора параметров статистически неопределенной линейной модели.

Пусть Л - невырожденная матрица размера к х к, и матрица С^Я-^ также обратима. Обозначим через

Л(Я) = (С^я-^г^д-1 = ВДС^/Г1, (6)

P(R) = (GTR~1G)-\

где Л (fi) - матрица размерности (n + 1) х к, P{R) - симметричная матрица размерности (п+1)х(п+1). Тогда для реализовавшегося вектора наблюдений у и фиксированного значения вектора неопределенных параметров и* EU С справедливо равенство:

в = Л(Я)(у-ы*-0. (7)

Обозначим через

â(y,R) = A(R)y (8)

- линейную, по отношению к реализовавшемуся вектору наблюдений у, оценку вектора а параметров модели (2)-(4); через

е(и*,Я) = -Л(Я)и* (9)

- неопределенную ошибку оценки â(y, R) при фиксированном значении вектора неопределенных параметров и* Ç.U С Rfc; через

е&Я) = -Л(Я)£ (10)

- случайную ошибку оценки â(y, R).

Матрица ковариаций случайного вектора е(£, Я) имеет вид:

£?[е(€, R)T] = (GTRr1G)~1 = P{R).

Здесь распределение случайного вектора е(£, Я) ошибки оценки не зависит от значений неопределенных параметров, то есть от и* и а. Обозначим через W(R) множество вида

W(R) = -Л(R)U С R"+1. (И)

В работе показано, что множество W(R) имеет непустую внутренность. Для неопределенной ошибки e(u*,R) выполняется включение e(u*,R) € W(R) С R"+1.

Согласно равенствам (6)—(10), для реализовавшегося случайного вектора наблюдений у при фиксированном значении вектора неопределенных параметров и* € {/ cl4 справедливо равенство:

а = Л(Я)(у — и* — Ç) — â{y, R) + e(u*, Я) + e(Ç, Я).

Обозначим через (Î7, А, Р) вероятностное пространство, на котором определены случайные величины £ь6> При фиксированном значении вектора и* £ U неопределенных параметров в работе рассматриваются доверительные множества для ошибки а — â(y, R) оценки а(у, Я) вектора а параметров модели (2)-(4).

Справедлива

Теорема 1. Пусть Л(Я) = P{R)GTITl = (GTR~1G)~1GTR~1 - матрица размерности (n+ 1) х к, где матрицы R и GTR~1G- невырожденные матрицы размерностей к х к и (п + 1) х (п + 1), Ва - произвольное доверительное множество для случайного вектора е(£, R) = —A(R)£, то есть P{e(S,R)eBa}=a.

Тогда для любого фиксированного и* € (/ множество

Da(R) = W(R) + Ba, (12)

где W(R) = —A(R)U С является доверительным множеством для ошибки а — ä(y, R) оценки ä(y, R) в задаче (2)-(4) уровня выше, чем а, то есть Р{а - ä(y, R) 6 W(R) + BQ} > а.

Пусть для модели (2)-(4) матрица R равна матрице ковариаций вектора случайных возмущений f = {£ъ£2, • • • >&} и Oi — а при i = 1,...,к. Тогда R = a2I(k) и

Л = Л (oa/(t)) = (GrG)-1Gr,

P = P(a2I{k))=a2(GTG)-\ (13)

В этом случае оценка вектора а параметров модели (2)-(4) имеет вид:

ä(y) = ä(y, и%к)) = (GTG)~1GTy = Ау, (14)

неопределенная ошибка оценки равна:

е(и*) = e{u*,a2I[k)) = -(GTG)~lGTu* = -Au*,

при этом

е(и") ZW С Rn+1, где W = —ЛU, а случайная ошибка оценки имеет вид:

е(0 = е&а21[к]) = -(G^y'G^ =

Матрица ковариаций случайной ошибки е(£) определяется равенством (13).

Оценка вектора а параметров модели (2)-(4) при фиксированном значении и" £ U С И* в случае, когда <т4 = а, i = 1,..., к имеет вид:

ä(y,u*) ~ а{у,и*,а21{к)) = А(у - и*) = а(у) + е(и*).

При этом выполняется равенство

а-а(у,и*) = е(0,

так как а = а(у)+е(и*) + е(£). В работе показано, что оценка а{у, и*) является несмещенной линейной оценкой. Отметим также, что при фиксированном

значении и* € £/ оценка а(у,и") в классе линейных несмещенных оценок является оптимальной в смысле минимума второго момента ошибки 4>5.

Если неопределенные возмущения не заданы и известно лишь, что щ 6 [/¡, то объединение оценок а(у,и*) вектора а по всем возможным и* 6 II имеет вид:

МУ)= и «(»,«*) = Л(У-и)

«•е и

или, согласно (11), (14),

А(у,Н) = а(у) + Ш,

где = -Аи С И"*1. Множество

= КУ) + № (15)

будем называть стандартной линейной оценкой вектора параметров модели (2)-(4).

Далее, с помощью стандартной линейной оценки построены доверительные множества для неизвестного вектора а параметров статистически неопределенной линейной модели (2)-(4).

При Я — &21(к) доверительное множество Оа(Н.) ошибки а—а(у) оценки а{у), согласно (12), примет вид

Иа = Па{а21[к]) = Ш + Ва,

где У/ = —А11 С М"+1, Ва - произвольное доверительное множество уровня а для случайного вектора е(£) = — Л£. Определение 1. Множество

Ба = Ш + Ва, (16)

где IV = — Аи С К.п+1, Ва - произвольное доверительное множество уровня а для случайного вектора е(£) = —будем называть стандартным доверительным множеством для ошибки а — а(у) оценки а(у) в задаче (2)-(4).

В работе рассмотрены свойства стандартного доверительного множества Ва ошибки а — а(у) оценки а{у) вектора а параметров модели (2)-(4). Определение 2. Множество

Му) = КУ) + А* (17)

будем называть стандартной линейной доверительной оценкой вектора параметров модели (2)~(4).

4Брайсон Д., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. - М.: Мир, 1972.

5Матасов А.И. Метод гарантирующего оценивания. - М.: Изд-во МГУ, 2009.

Стандартную линейную доверительную оценку Аа{у) можно записать в виде

Му) = МУ) + Ва, (18)

где А(у) = ä(y) + W - стандартная линейная оценка вектора а параметров модели (2)-(4) и Ва- произвольное доверительное множество уровня а для случайного вектора е(£) = — Л£ . По построению стандартная линейная доверительная оценка Аа(р) шире, чем стандартная линейная оценка А(у) = ä(y) + W, то есть выполняется включение: А(у) С Аа(у). В работе показано, что

min Р{а - ä(y) GW + Ва} > а,

иеи

то есть стандартное доверительное множество Da = W + Ва является доверительным множеством для ошибки а — а{у) оценки а{у) уровня выше, чем а для любого U&U.

Для уточнения стандартного доверительного множества Da, а значит, и для уточнения стандартных доверительных множеств Аа(у), в работе построены доверительные множества Са ошибки а — а{у) оценки а(у) вектора а параметров статистически неопределенной линейной модели (2)-(4), для которых

minP{o - а(у) € Са) > а.

U&J

Построение доверительных множеств Са осуществлялось на основании подхода, предложенного в работе 3. Рассмотрим статистически неопределенный 3 вектор

где

е{и*) = —Au* = -{GTGYlGTu'

- неопределенная ошибка оценки а{у) при фиксированном и* £ U С tfc вектора а параметров модели (2)—(4), е(и*) £ W = —AU С Rn+1; и случайный вектор

е(0 = -Л Z = -(GTG)-'GTi

имеет нормальное распределение с параметрами:

Ee(S) = 0, = Р = cr2(GTG)~1.

В случае, когда вектор и неопределенных возмущений не задан и известно лишь, что и £ U, то статистически неопределенный вектор ё = ё(е(£), W) является ошибкой оценки а(у) вектора а параметров модели (2)—(4), то есть выполняется равенство

ё = о - ä{y) = (e(u*) + е(01 е(и*) € W},

где W = —AU - замкнутое, связное, ограниченное множество из Kn+1, содержащее более одной точки. Для вектора ё в работе строятся уточненные доверительные множества.

Обозначим через Вп - с-алгебру борелевских множеств на R".

Определение 3. Множество Са € Вп будем называть уточненным доверительным множеством уровня а для статистически неопределенного случайного вектора ё(е(£), W), если минимальная вероятность события {ё(е(£), W) € С„} равна а, то есть

7>{e(e(0,e(u*)) 6 Са) 4 min Р{ё(е(£),е(и*)) € Са} - а.

e(u')GW

Показано, что для вектора ё выполняется равенство:

V{e£W + SQ} = min Р{е{и") + е(£) € W + Ва} > а.

e(u')s W

Откуда следует, что при произвольном фиксированном e(u*) € W стандартное доверительное множество Da = W + Ва является уточненным доверительным множеством для вектора ё статистически неопределенной модели (2)-(4) уровня выше, чем а.

Для построения уточненных доверительных множеств вектора ё ошибки оценки а(у) рассматривается функция

ф(Ъ,р,п) = J J ^±^exp(-0,b\\t-z\\2)dt,

Е„

где Ер = Е(0 J(n),р) - шар радиуса р, b = ||f|| = {zf + ... + zl)1'2 - норма вектора z G R". Функция ip(b,p,n) определяет зависимость вероятности попадания в шар Ер = Е(0,1{п),р) нормально распределенного вектора r/(aj) + z с ненулевым средним от нормы b = ||z|| и радиуса шара р.

Обозначим через r(a,d,n) — г корень уравнения

1p(d,d + r,n) = а. (19)

Из свойств функции ip(d, d+ г, п) следует, что корень г = r(a, d, п) уравнения (19) всегда существует и единственен для любых фиксированных а € (0; 1), d > 0, п > 1.

В работе доказана

Теорема 2. Пусть множество W С Rn+1 оценивается эллипсоидом W С Е = Е(0, Q, 1), и матрица Р = a2(GTG)_1 - матрица ковариаций случайного вектора е(£) = — Л£.

Тогда, если г (а, d,n +1) является корнем уравнения (19), где

а — \-i \2

" ~~ лтахлшш 12

и Хтах, Лшщ- наибольшее и наименьшее собственные значения матрицы то множество

Са = Е + Е(0, Р, г(а, й,п+ 1)) является уточненным доверительным множеством для вектора ё ошибки оценки а(у) вектора параметров модели (2)-(4) уровня не ниже а, то есть Т{ё 6 Са} > а.

Теорема 2 используется в работе для численного построения эллипсоидальных доверительных множеств вектора ё и уточненных доверительных множеств а{у) + Са вектора параметров модели (2)-(4).

Первая глава содержит примеры, иллюстрирующие построение стандартных и уточненных доверительных множеств для вектора параметров статистически неопределенной линейной модели.

В работе, наряду со статистически неопределенной моделью (2)-(4), рассматривается модель, не содержащая случайных возмущений:

у* = аТх{{)+ щ, г = к, к>п +1, (20)

гДе У1 ~ измерение, а — {ао, 01,..., а„} € Еп+1 - неизвестный детерминированный вектор параметров модели, л^ = {^х^,^,...,^} € ®п+1 -известные детерминированные векторы значений аргумента, информация о неопределенных помехах щ задается условием (4).

Обозначим через у* = {у1,у2, ■■■,У1} ~ неслучайный вектор наблюдений детерминированной модели (4), (20), у* € К*. Отметим, что для случайного вектора наблюдений у статистически неопределенной линейной модели (2)-(4) выполняется равенство у = у* + где £ - вектор случайных возмущений & с дисперсиями <7?, г = 1,..., к.

В случае, когда <7* = сг при г = 1,..., к вектор случайных возмущений £ будем обозначать £ = вектор наблюдений статистически неопределенной модели (2)-(4) - через у{о) = у' + ¿К

Согласно подходу 6, для детерминированной модели (4), (20) вводится определение информационного множества А^(у*).

Определение 4. Информационным множеством Айе'(у*) значений параметров модели (4), (20) является множество параметров а = {ао,аь..., а„}, таких, что существуют и\ € £/,-, для которых выполняется равенство

у* =аТх^ + и*, г = 1,...,/с.

По определению информационное множество Айе1(у*) значений параметров модели (4), (20) имеет вид:

А**(у') = р| {а б йп+1 : у* - атх{1) е Щ. (21)

1=1 ,...,к

6Кохцеев А.С., Куржанский А.Б. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределенности Ц Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1983. - № 2. - С. 72-93.

Отметим, что вектор наблюдений у^ статистически неопределенной модели (2)-(4) при а —* 0 приближается по вероятности к вектору наблюдений у* детерминированной модели (4), (20), то есть для любого фиксированного е > 0 выполняется условие:

~ 2/*Н >£■}—► 0 при сг-»0.

При этом стандартные (и уточненные) доверительные множества Аа(у{а)) = а(уМ) + \¥ + в£\

по свойству Ва ^ - доверительного множества уровня а случайного вектора е(£М) = при а —* 0 приближаются к множеству А{у*) = а(у*)+Ш. В

свою очередь, множество А(у*) не совпадает с информационным множеством А'ы(у*) детерминированной модели (4), (20), а выполняется лишь включение Ам(у*) с А(у*).

Данное обстоятельство мотивирует разработку других методов решения задачи оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели (2)-(4). В работе для решения задачи оценивания вектора параметров статистически неопределенной модели (2)-(4) применяется метод максимального правдоподобия, применение которого для случая неполной статистической информации было предложено в работах 2' 7.

Во второй главе решение задачи оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели проводится с помощью метода максимального правдоподобия. Здесь не используется минимаксный подход, так как при построении оценок выбираются наиболее вероятные значения всех априорно неизвестных параметров.

Получаемые на основе этого метода оценки вектора параметров статистически неопределенной модели не являются линейными по отношению к вектору наблюдений у. Однако, они обладают важным свойством, которого нет у линейных оценок, а именно: в случае малых дисперсий случайных возмущений приближаются к информационному множеству детерминированной модели.

Согласно данному подходу, для статистически неопределенной модели (2)-(4) вводится функция невязки, которая зависит от реализовавшегося наблюдения у:

к

У(у;а0,а,1, ...,ап,и) = - атх{'] - и,)2 • о'2, ¿=1

где и = {иии2,...,ик} € 11.

7Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Модифицированный метод невязки в статистически неопределенной задаче оценивания // Автоматика и телемеханика. - 1994. - № 2. - С. 100-109.

Поскольку распределение случайных величин гауссовское, то совместная многомерная плотность распределения вектора у при заданных и* имеет вид:

р(у;ао,аи-,ап,и') = (2л")~= ■ (04 • ст-2 ■... ■ с7*;)_1х z ¿=1

Следовательно, для фиксированного значения неопределенных параметров и* € U и заданного наблюдения у выполняется соотношение:

Ф(у; о0, Ol,..., o„,u*) = С0 - 21пр(у; <ю, аи..., а„, и*),

где Со = 21п(27г)~5 . (сгх • 02 • ••• • о*)-1- Так как параметры щ априорно неизвестны, а известны лишь ограничения на области их возможных значений, то функция

р{у\а0,аи...,ап,и)

с учетом ограничений (4) может рассматриваться как функция правдоподобия для вектора b = {а, и} на множестве R"+1 xU с М', где I = п +к +1, то есть

У(у\а0,аъ...,ап,и) = С - 21пр{у;а0,аи ...,ап,и), (22)

гДе р(у, ао> o-i,..., ап, и) - плотность распределения вектора у.

В качестве оценки вектора а системы (2)-(4) принимаются такие значения ао, oi,..., а„, при которых плотность р(у; Оо, fti, ...,ап,и) достигает максимума. Рассматривается

Определение 5. Множеством А(у) наиболее вероятных значений вектора а параметров модели (2)~(4) будем называть множество параметров {о5, а{, ...,а*}, которые доставляют максимум плотности распределения вектора у, то есть

Му) = {{«о. •••> ап) : К, о*,..., а*п} = arg max р(у, а0, ah..., а„),

edep(y;aQ,ai,...,an) = maxp{y;a0,au ...,ап,и). иеи

Таким образом, в соответствии с данным подходом, в качестве оценки вектора а параметров статистически неопределенной линейной модели (2)-(4) выбирается множество А(у) их наиболее вероятных значений.

Соответственно, учитывая равенство (22), в качестве оценки вектора о модели (2)-(4) берутся такие значения ao,ai,...,an, которые доставляют минимум функции N(y; ао, oj,..., а„), где

iV(y;a0,ai,...,an) = тгаФ(у;ао,о1)...,о„,и),

по всем возможным значениям а € Rn+1. Для модели (2)-(4) получаем min N(y,a0,au...,an) = min min®(y;oo,ai,...,o„,u) = к

= min > min (vi - aTx^ — u,)2 • ст."2.

«о»-|u,|<Aj ' '

Обозначим

Ш - aTxU) = min (Vi - aTx« - mf ■ of =

io, если \yi - атхЩ < Ar,

(:yi - aTxW - A,)2 ■ а,-2, если у,- - ara:w > А;; (у, - атхЮ + А;)2 • err2, если у{ - атх^ < -А;,

или

fiiz) = (max {0; |z| - A;})2 ■ a"2, i = 1,..., ft, (23)

где z — yx — aFx^.

Учитывая равенство (23), функцию невязки для модели (2)-(4) можно записать следующим образом:

к

N(y; ao, ab a„) = £ ~ аГх(<))> (24)

¡=1

где

fi(z) = min (г - Uif ■ af = (max {0; |z| - A,})2 ■ <rf2, i = 1,.., ft. (25) М<Д(

По построению функция N(y; üq, aj,..., an), определяемая равенствами (24), (25), является непрерывно дифференцируемой, выпуклой функцией, причем N{y, оо, оь..., о„) > 0.

Утверждение. Множество А(у) наиболее вероятных значений параметров совпадает со множеством минимумов функции невязки N(y, üq, ai, ...,an), определяемой равенствами (24), (25).

Таким образом, множество А(у) минимумов функции невязки, определяемой соотношениями (24), (25) можно рассматривать в качестве оценки по методу максимального правдоподобия для статистически неопределенной задачи (2)—(4), то есть

Ä(y)=Axg min N{y;a0,ai,...,an) -

Оо, ...,a„

= {{äo,äi,...,ä„} € Rn+1: N(y;äo,äu.-,än) = min ЛГ^ао,^,...,^)}.

aov..,an

i6

Из формул (24)-(26) следует, что функция невязки может иметь неединственный минимум. Следовательно, множество А(у) наиболее вероятных значений параметров статистически неопределенной линейной модели (2)-(4) может содержать более чем одну точку.

Далее в работе исследованы свойства оценок, построенных по методу максимального правдоподобия. Аналогично условию (21), которое определяет информационное множество Adet(y*) детерминированной модели (4), (20), для статистически неопределенной модели (2)-(4) рассматривается множество Ädet(y), где

Ädet{y) = П € : у' ~ ^^ 6 (27)

Отметим, что для реализовавшегося вектора наблюдений у модели (2)-(4) соответствующее ему множество Adet(y) может быть пустым. Это связано с тем, что каждое измерение у, статистически неопределенной модели (2)-(4) содержит как неопределенно составляющую щ, так и случайную ошибку

Теорема 3. Если множество Adel(y), определяемое равенством (27), непусто, то оно совпадает со множеством минимумов функции невязки, и минимум невязки равен нулю, то есть

Ädet(y) = Arg min N(y, ei0, аь..., а„) =

= {{ä0,äi,...,ä„} € En+1 : N(y; ä0, öb..., ä„) = 0}.

Для стандартной линейной оценки Ä(y) значений вектора а параметров модели (2)-(4)

Mv) = U u*) = а(») + W = A(y-U) (28)

uiU

и множества Ädet(y) справедлива

Теорема 4. Пусть для произвольного фиксированного вектора наблюдений у модели (2)-(4) соответствующее ему множество Ädet(y), определяемое равенством (27), непусто. Тогда выполняются соотношения

Ä(y) = idet(y) С Ä(y),

где А(у) - стандартная линейная оценка, определяемая равенством (28).

Следовательно, если множество Adet(y) статистически неопределенной модели (2)—(4), соответствующее данному наблюдению у, непусто, то оно является оценкой неизвестного вектора а параметров статистически неопределенной модели (2)-(4) по методу максимального правдоподобия.

В работе рассмотрены условия, при которых множество А(у) наиболее вероятных значений - одноточечное.

Теорема 5. Пусть а = ао € Е1. Тогда, если множество Айе1(у), определяемое равенством (27), соответствующее фиксированному вектору у, пусто, то множество А(у) наиболее вероятных значений параметра а = ао € К1 состоит из единственной точки а = {йо}.

Далее исследуется поведение множества АйЛ{у) статистически неопределенной линейной модели (2)-(4) при одинаковых и малых дисперсиях случайных возмущений, то есть при а} = а2 —» 0, г = 1,..., к.

Теорема 6. Пусть у^ - вектор наблюдений статистически неопределенной линейной модели (2)-(4), - вектор случайных возмущений, где £<■*) ~ Л/"(0, сг21{к)) и С = Е(0,1,1) С Кп+1 - единичный шар.

Тогда для любого фиксированного £ > 0 выполняется условие

Р{АйЛ{уЫ) с Ай*(у*) +еС}~* 1 при <7 —» 0.

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 6, и информационное множество Лйе'(2/*) = {о*} € детерминированной модели (4), (20) состоит из одной точки. Тогда множество Айе1(у^) сходится по вероятности к {а*}, то есть для любого фиксированного е > 0 выполняется условие

Р{р(А*е\уМ), {а*}) < е} -> 1 при а -» 0.

Теорема 6 позволяет сделать вывод, что в случае малых дисперсий случайных возмущений в статистически неопределенной линейной модели (2)-(4) множество Аа<Л(у^) приближается к информационному множеству ААл(у*) детерминированной модели (4), (20).

Таким образом, в результате диссертационного исследования на основании метода максимального правдоподобия получены нелинейные процедуры оценивания вектора параметров модели (2)-(4), которые позволяют определять значения неизвестных параметров статистически неопределенной модели (2)-(4). Исследованы свойства полученных оценок.

Данные процедуры являются методами оценивания вектора параметров статистически неопределенной модели (2)-(4), применимыми при малых дисперсиях случайных возмущений.

Во второй главе на численных примерах проведено сравнение возможных подходов к максимизации функции правдоподобия для статистически неопределенных систем, построенных линейных и нелинейных процедур оценивания неизвестного вектора а параметров статистически неопределенной линейной модели (2)-(4). Рассмотрены примеры, иллюстрирующие эффективность оценок, построенных по методу максимального правдоподобия, в случае относительно малых (по сравнению с Д,) дисперсиях случайных возмущений.

В третьей главе предложены алгоритмы применения исследованных методов оценивания к численному построению оценок неизвестного вектора

параметров статистически неопределенной линейной модели.

В частности, рассмотрен алгоритм численного построения стандартных и уточненных доверительных множеств для неизвестного двумерного вектора параметров статистически неопределенной линейной модели. Данный алгоритм можно использовать для произвольного числа наблюдений к >2.

Для оценивания неизвестного вектора параметров статистически неопределенной линейной модели (2)-(4) с помощью метода максимального правдоподобия разработана процедура численного нахождения минимума функции невязки (24), (25). При построении данной процедуры был использовап метод градиентного спуска с постоянным шагом.

С учетом того, что функции /¿(г), г = 1,..., к, определяемые равенством (25), - непрерывно дифференцируемые функции, получили:

к

а(т+1) = а(ш) + ^ £ а:(%(а(т)), т = 0,1,2,..., (29)

>=1

где а<т+1) = {4т+1),а[т+1\...,а1т+1)} и д^а) - градиент функции /¡(у; -аТх^), то есть

Г 2а-2(у,- - атх« - Д,), у, - атх^ > Д„ Ф) = УМУг - Л(,)) = { 0, \уг - атх«| < Д„

I 2а-2(у, - атхМ + Д,.), у, - атх^ < -Д,,

(30)

В качестве начального приближения а® можно взять значения параметров уравнения метода наименьших квадратов, построенного по выборке (х^, г = 1,...,к.

Доказана теорема о сходимости последовательности (29), (30) к точке, которая принадлежит множеству А(у) наиболее вероятных значений параметров модели (2)-(4).

Отметим, что с помощью процедуры (29), (30) точечного оценивания вектора неизвестных параметров статистически неопределенной линейной модели можно определить, будет ли множество А^(у), соответствующее данному вектору наблюдений у, пустым. Эта особенность данной процедуры существенна при оценивании вектора параметров больших размерностей, когда непосредственное построение множества Айе1(у), определяемого равенством (27), является сложной задачей.

В работе построены алгоритмы определения параметров линейных моделей, содержащих лишь неопределенные возмущения. Данные алгоритмы могут быть использованы при исследовании ряда проблем экономики, техники, геологии, геодезии, социологии и других областей, связанных с необходимостью определить неизвестные параметры линейной модели, в измерениях которой присутствуют неслучайные помехи.

В третьей главе также приведены примеры, иллюстрирующие применение предлагаемых алгоритмов для оценивания параметров линейной статистически неопределенной модели. Рассмотрены примеры решения прикладных задач.

Итак, в диссертации рассмотрены два различных метода оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели, а именно: метод линейного доверительного оценивания и метод максимального правдоподобия. Оценки, получаемые на основании данных методов, имеют различные свойства. Линейные процедуры оценивания описываются достаточно простыми соотношениями, с помощью которых могут быть получены доверительные множества. Оценки, построенные по методу максимального правдоподобия, в случае малых дисперсий случайных возмущений приближаются к информационному множеству модели без случайных возмущений. Линейные оценки таким свойством не обладают.

Таким образом, два рассмотренных метода дополняют друг друга при решении задачи оценивания статистически неопределенной линейной модели.

В заключении кратко описываются основные результаты, полученные в работе.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Линейные процедуры построения уточненных доверительных множеств для вектора параметров статистически неопределенной линейной модели.

2. Нелинейные процедуры оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели, основанные на методе максимального правдоподобия; свойства оценок вектора параметров статистически неопределенной модели, полученных по методу максимального правдоподобия.

3. Алгоритмы оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели.

Публикации по теме диссертации

1. Медведева Н.В., Тимофеева Г.А. Сравнение линейных и нелинейных методов доверительного оценивания для статистически неопределенных систем // Автоматика и телемеханика. - 2007. - №4. - С. 51-60.

2. Медведева Н.В., Тимофеева Г.А. Свойства нелинейных доверительных оценок для статистически неопределенных систем // Автоматика и телемеханика. - 2007. - №10. - С. 166-174.

3. Медведева Н.В. Алгоритмы оценивания параметров статистически неопределенной линейной модели и их приложения // Вестник государственного техн. университета. - Воронеж: ВГТУ, 2009. - №10. - Т.5. - С. 30-34.

4. Медведева Н.В., Тимофеева Г.А. Об оценивании параметров множественной линейной регрессии в условиях неполной статистической информации // Вестник инженеров-электромехаников железнодорожного транспорта.

- Самара: СамГАПС, 2003. С. 461-465.

5. Медведева Н.В. Алгоритмы оценивания параметров линейной модели в условиях неполной информации о распределениях случайных возмущений // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 34-й Региональной молодежной конференции. - Екатеринбург: УрО РАН, 2003. - С. 170-174.

6. Медведева Н.В. К задаче оценивания параметров линейной модели в условиях неполной статистической информации // Молодые ученые

- транспорту: Труды IV научно-технической конференции. - Екатеринбург: УрГУПС, 2003. - С. 384-391.

7. Медведева Н.В. Сравнение методов оценивания для статистически неопределенной задачи // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 35-й Региональной молодежной конференции. - Екатеринбург: УрО РАН, 2004. - С. 259-263.

8. Медведева Н.В. Методы оценивания параметров динамической системы в условиях неполной статистической информации / / Молодые ученые

- транспорту: Труды V научно-технической конференции. - Екатеринбург: УрГУПС, 2004. - Ч. 1. - С. 295-301.

9. Медведева Н.В. Примеры построения доверительных оценок параметров линейной модели в условиях неполной статистической информации // Молодые ученые - транспорту: Труды VI научно-технической конференции. - Екатеринбург: УрГУПС, 2005. - С. 482-491.

10. Медведева Н.В., Тимофеева Г.А. Оптимальные доверительные оценки параметров линейной модели в условиях неполной статистической информации // Вестник УГТУ-УПИ: Серия «Информационно-математические технологии». - Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2006. - №6(77). - С. 69-77.

11. Медведева Н.В. Линейные и нелинейные доверительные оценки параметров в линейной модели в условиях неполной статистической информации Ц Идентификация систем и задачи управления: Труды V Международной конференции. - Москва: ИПУ РАН, 2006. - С. 1137-1147. - Электрон, опт. диск (CD ROM).

12. Медведева Н.В., Тимофеева Г.А. Построение доверительных оценок параметров линейной модели в условиях неполной статистической информации // УрГУПС. - Екатеринбург, 2006. - 13 с. - Библиогр.: 9 назв. - Рус. Рукопись деп. в ВИНИТИ 24.04.2006, № 542-В2006.

13. Медведева Н.В. Построение оптимальных доверительных оценок параметров линейной модели в условиях неполной статистической информации // Идентификация систем и задачи управления: Труды V Международной

конференции. - Москва: ИПУ РАН, 2007. - С. 1327-1337. - Электрон, опт. диск (СБ НОМ).

14. Медведева Н.В. Нелинейные доверительные оценки вектора параметров линейной модели в условиях неполной статистической информации // Молодые ученые - транспорту: Труды VII научно-технической конференции. - Екатеринбург: УрГУПС, 2007. - С. 488-502.

15. Медведева Я. В. Оценивание параметров множественной статистически неопределенной линейной модели // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Региональной молодежной конференции. -Екатеринбург: УрО РАН, 2008. - С. 286-290.

16. Медведева Н.В., Тимофеева Г.А. Метод максимального правдоподобия при оценивании параметров статистически неопределенной линейной модели // Молодые ученые - транспорту: Труды IX научно-технической конференции. - Екатеринбург: УрГУПС, 2009. - С. 374-391.

17. Медведева Н.В., Тимофеева Г.А. Нелинейные методы идентификации параметров статистически неопределенной модели // Системный анализ и управление: Тезисы докладов 9-й Международной конференции. - Москва: МАИ, 2004. - С. 128.

18. Медведева Н.В., Тимофеева Г.А. Оптимальные доверительные оценки параметров линейной модели в условиях неполной статистической информации // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона - Якоби: Тезисы докладов Международного семинара, поев. 60-летию акад. А.И. Субботина. - Екатеринбург: УрГУ, 2005. - С. 107-109.

19. Медведева Н.В. Доверительные множества в задаче оценивания параметров статистически неопределенной модели // Устойчивость, управление и моделирование динамических систем: Материалы Международного научного семинара, поев. 75-летию И.Я. Каца. - Екатеринбург: УрГУПС, 2006. -N554(137). - С. 56-57.

20. Медведева Н.В. Обобщенные доверительные множества в задаче оценивания параметров статистически неопределенной модели // Математика. Механика. Информатика: Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. - Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2006. - С. 89.

21. Медведева Н.В. К вопросу об оценивании параметров линейной множественной статистически неопределенной модели // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов X Международного семинара им. Е.С. Пятницкого. - Москва: ИПУ РАН, 2008. - С. 197-198.

22. Медведева Н.В. Применение методов оценивания к построению алгоритма распознавания линейных моделей // Наука и технологии: Тезисы докладов XXVIII Российской школы. - Екатеринбург: УрО РАН, 2008. - С. 106-108.

Медведева Наталья Валерьевна

МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ СТАТИСТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

620034, г. Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66 Издательство УрГУПС

Формат бумаги 60x84 1/16 Подписано к печати 24.11.2009 Усл. п.л. 1,4 Тираж 100 экз. Заказ №315

Введение.

Глава 1. Линейное доверительное оценивание параметров статистически неопределенной линейной модели.

§ 1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Линейное оценивание параметров модели.

§ 1.3. Стандартные линейные доверительные множества.

§ 1.4. Уточненные линейные доверительные множества.

Глава 2. Метод максимального правдоподобия оценивания параметров статистически неопределенной линейной модели.

§2.1. Построение оценок параметров модели по методу максимального правдоподобия.

§ 2.2. Свойства оценок, построенных по методу максимального правдоподобия.

§2.3. Сравнение методов оценивания параметров модели.

Глава 3. Алгоритмы оценивания параметров статистически неопределенной линейной модели.

§ 3.1. Построение линейных доверительных множеств.

§3.2. Нахождение минимума функции невязки.

§ 3.3. Определение выборок совместных с детерминированной моделью.

§3.4. Метод распознавания линейных моделей.

Проблема оценивания параметров систем представляет собой одну из центральных проблем в современной теории и практике адаптивного управления. Это связано с тем, что функционирование многих технических, экономических систем происходит на фоне случайных воздействий и, как правило, в таких ситуациях возникает' необходимость в решении задачи: по результатам измерений доступных наблюдению величин в условиях постоянно действующих воздействий постараться наилучшим возможным образом оценить истинные параметры изучаемого объекта. Такие задачи называются задачами оценивания.

Математическая формализация подобных задач связана с принятыми в каждом конкретном случае информационными условиями, вызванными как функционированием самого объекта, так и процедурой измерения. Для разрешения данного вопроса возможны различные подходы: классические - статистический и детерминированный, и неклассические - смешанные подходы.

Статистический подход предполагает, что известны вероятностные распределения возмущений или, по крайней мере, известны такие статистические характеристики, как математические ожидания и ковариационные матрицы случайных возмущений.

При детерминированном (гарантирующем) подходе предполагается, что информация о возмущениях в системе исчерпывается заданием множеств их возможных значений. Решение задачи в этом случае сводится, как правило, к описанию эволюции областей, называемых информационными множествами, которые содержат все состояния системы, совместимые как с результатами измерений, так и с априорными ограничениями на неопределенные возмущения. Описание указанных областей, таким образом, обеспечивает гарантированные оценки состояния системы или ее параметров. Они строятся, как и в первом случае, адаптивно, по реализовавшимся значениям наблюдений.

В ситуациях, при которых информационные предположения носят двоякий характер: с одной стороны, известны некоторые сведения о распределениях, однако с другой - параметры этих распределений неизвестны или известны неточно, применяют статистически неопределенный подход. Задачи оценивания состояний или параметров системы, структура которой содержит как случайные возмущения, параметры распределений которых неизвестны или известны неточно, так и неслучайные возмущения, информация относительно которых исчерпывается заданием областей их возможных значений, называются статистически неопределенными задачами оценивания.

В соответствии с этими информационными предположениями применяются разные методы для формализации и решения задач оценивания. В первом случае - это аппарат теории вероятностей и математической статистики. Во втором - минимаксные методы, заключающиеся в определении такой стратегии оценивания или управления, качество которой при наихудшем на множестве неопределенности сочетании неизвестных параметров будет наилучшем по сравнению с другими стратегиями. Таким образом, имеет место игровая постановка, в которой критерий качества оценивания или управления минимизируется по одному параметру (фильтрации или оценивания) и максимизируется по другому (неопределенным параметрам модели).

Решение статистически неопределенных задач достигается при синтезе первых двух методов.

Фундаментальным результатом в области исследования задач оценивания состояния линейной динамической системы с наблюдением, возмущения в которой описываются гауссовскими случайными величинами с известными параметрами распределений, являются соотношения фильтра Р. Калмана [91], главной особенностью которого является то, что оценка состояния может быть получена рекуррентно из достаточно простых уравнений и уточнена по мере поступления новых наблюдений.

Большое число исследований посвящено моделям, структура которых содержит случайные помехи. Наиболее полные результаты получены для задачи идентификации и управления линейной системой с гауссовскими распределениями случайных возмущений и квадратичным критерием качества. К таким моделям приводят многочисленные задачи, связанные с оцениванием и управлением стохастическими системами, исследованные в работах В.Н. Афанасьева, А.С. Братуся, М. Дэвиса,' В.Б. Колмановского, Р.Ш. Липцера, А. Д. Мышкиса, В.Р. Носова, B.C. Пугачева, И.Н. Синицина, Ф.Л. Черноусько, А.Н. Ширяева [5, 8, 89, 35, 60, 67].

Задача идентификации параметров линейной модели в предположении, что возмущения в наблюдениях носят случайный характер была исследована в работах А. Альберта, B.C. Пугачева, С.Р. Рао [1, 68, 72].

Идейной основой теории гарантированного оценивания послужили фундаментальные работы Н.Н. Красовского [26]—[28]. Это направление было развито А.Б. Куржанским в монографии [30], где содержатся основополагающие результаты исследования задач наблюдения и оценивания в динамических системах на основе гарантированного подхода. Развитию данной теории посвящены работы Д.П. Бертсекаса, Х.С. Витзенхаузена, М.И. Гусева, В.М. Кунцевича, А.И. Матасова, О.И. Никонова, И.В. Ро-деса, Т.Ф. Филипповой, Ф.С. Швеппе [86, 103, 10, 29, 37, 61, 32, 100] и других авторов.

Одним из наиболее простых и удобных подходов в гарантированном оценивании является метод эллипсоидов. В рамках этого метода предлагается, что возмущения и ошибки в системе удовлетворяют квадратичным ограничениям, и ставится задача нахождения эллипсоида, содержащего фазовый вектор системы. В настоящее время эллипсоидальная техника представляет собой достаточно широко распространенный инструмент. Задачи эллипсоидального оценивания подробно изучены в работах А.Б. Куржанского, И. Вальи, А.В. Назина, Б.Т. Поляка, Ф.Л. Черноусько, Ф.С. Швеппе [96, 99, 62,.83, 100] и других авторов.

В работах Е.К. Костоусовой [22, 23] для задачи определения области достижимости линейной многошаговой системы исследовались возможности двусторонних аппроксимаций при помощи параллелотопов.

В работах Н.Н. Красовского, M.JI. Лидова, Ф. Швеппе [26, 33, 100] сформулированы подходы к решению задачи оценивания в условиях неполной статистической информации о распределении случайных возмущений.

Минимаксным методам решения задач управления и оценивания посвящены работы Б.Ц. Бахшияна, P.P. Назирова, Б.Н. Пшеничного, В.Г. Покотило, П.Э. Эльясберга [6, 70, 71, 84] и других авторов.

В работах И.Я. Каца и А.Б. Куржанского [17, 18] были предложены линейные рекуррентные процедуры оценивания состояния многошаговой системы на основе описания динамики множеств апостериорных средних. Основой для развития методов оценивания статистически неопределенных систем стали результаты теории управления и наблюдения в условиях неполной информации [30]. Развитию этого подхода посвящены работы Б.И. Ананьева, С. Верду, И.А. Дигайловой, А.С. Кощеева, Х.В. Пура, Г.А. Тимофеевой и других [2, 3, 101, 102, 12, 13, 24, 19].

Методы решения задач оценивания и оптимизации в условиях неполной статистической информации, предлагаемые Б.Т. Поляком и Я.З. Цыпкиным [66, 81, 82], базируются на робастном подходе, предложенном П. Хыобером [80].

Проблемы нахождения оптимальных линейных оценок для статистически неопределенных систем исследовались в работах Б.Ц. Бахши-яна, В.Б. Колмановского, М.Л. Лидова, А.И. Матасова, P.P. Назирова, А.Р. Панкова, К.В. Семенихина, П.Е. Эльясберга [6, 34, 21, 97, 37, 63, 74].

Обзоры основных результатов в задаче оценивания состояния ди-нимаческой системы в условиях неполной информации приведены в [31, 95, 97].

В работе Д. Катлина [87] рассмотрены линейные модели, содержащие одновременно неограниченные неслучайные и случайные параметры. На основе работ А. Альберта, Ш. Закса, С.Р. Рао [1, 15, 72] в [88] построен алгоритм оптимальной по среднеквадратическому критерию линейной идентификации данных моделей.

В отличие от задач оценивания для систем с детерминированными возмущениями, в которых процедуры оценивания опираются на построение информационных множеств [25], задачи оценивания со случайными возмущениями даже в случае полной информации о распределениях допускают различные подходы: байесовское оценивание, метод минимизации дисперсии оценки, метод максимального правдоподобия, построение доверительных множеств [16].

Заметим, что задача построения доверительных областей для вектора состояния статистически неопределенных систем является достаточно сложной и имеет неединственное решение [80]. Решению данной задачи посвящены работы Б.И. Ананьева, И.А. Дигайловой, Г.А. Тимофеевой [3, 4, 14, 77, 78].

В [3] введено понятие случайного информационного множества для систем с дискретным временем и со смешанной неопределенностью. В [4] предложено обобщение случайных информационных множеств, называемых мультиоценками, для многошаговых стохастических включений.

В работе [14] доверительные области ищутся в виде эллипсоидов. Предложен способ построения верхних оценок доверительных областей в виде суммы области, являющейся гарантированной множественной оценкой вектора средних, и доверительной области задачи с фиксированной неопределенностью. В работах [77, 78] предложены подходы к решению задачи доверительного оценивания состояния динамической системы с наблюдением в условиях неполной статистической информации, использующие информационные множества для возмущенной детерминированной системы.

В отличие от гарантированного оценивания при доверительном оценивании искомое состояние системы принадлежит доверительной области лишь с некоторой заданной вероятностью. Для одного и того же случайного вектора существует целое семейство доверительных множеств заданного уровня вероятности, и выбор конкретного доверительного множества основан, как правило, на использовании множеств уровня целевого функционала. Таким образом, задача доверительного оценивания приводит к задаче стохастической оптимизации с вероятностным или квантильным критериями. Задачи стохастической оптимизации с кван-тильным критерием систематически исследуются, начиная с работы С. Катаока [93].

Одним из наиболее эффективных методов решения вероятностных задач управления, предложенный А.И Кибзуном и В.В Малышевым [36], является получение для них детерминированных эквивалентных, не зависящих от случайных величин и позволяющих свести задачу стохастического программирования к эквивалентной детерминированной. В свою очередь, для решения детерминированных задач, эквивалентным стохастическим, можно использовать стандартные методы математического программирования [66].

Реальную возможность получить явные уравнения фильтров и управляющих стратегий дает подход, основанный на переходе к двойственной (по отношению к исходной минимаксной проблеме) задаче. Согласно этому подходу минимаксная стратегия строится как оптимальная, но рассчитанная для наихудшего распределения случайных параметров модели. Применение двойственного подхода к задачам минимаксного оценивания было начато относительно недавно в работах С. Верду, А.Р. Панкова, К.В. Семенихина, В.Н. Соловьева [101, 102, 63, 64, 65, 75].

В работе [64] рассмотрена задача минимаксной параметрической идентификации многомерной неопределенно-стохастической линейной модели в условиях априорной неопределенности. В этой работе показано, что проблема идентификации неопределенно-стохастической модели может быть решена в общей постановке на основе минимаксного подхода [102, 75]. Приведены условия разрешимости задачи построения минимаксного аффинного оператора оценивания. Получены необходимые и достаточные условия, при которых минимаксный оцениватель однозначно определяется решением двойственной задачи.

Работа [65] посвящена исследованию проблемы оценивания параметров и состояний многомерной линейной статистически неопределенной модели наблюдения, содержащей одновременно как неизвестные неслучайные параметры, так и случайные с частично известными законами распределений. Оптимизация процедуры оценивания осуществляется по вероятностному критерию (равным вероятности того, что евклидовая норма ошибки оценки превысит заданный уровень). Показано, что задача линейного оценивания равносильна минимаксной проблеме со сред-неквадратическим критерием.

Оценивание параметров и состояний линейных статистически неопределенных моделей при использовании среднеквадратического критерия исследовалось в работах А.Б. Куржанского, С. Верду, А.И. Мата-сова, А.Р. Панкова, К.В. Семенихина, В.Н. Соловьева [95, 102, 97, 64, 76, 74, 98].

Таким образом, анализ публикаций по проблеме диссертационного исследования показывает, что задачи оценивания и управления в статистически неопределенных моделях систематически исследуются российскими и зарубежными математиками начиная с 60-х годов прошлого столетия.

Наиболее полные результаты исследования оценивания параметров линейной статистически неопределенной модели получены с помощью среднеквадратического критерия качества. Однако, используя средне-квадратический критерий, нельзя определить вероятностные характеристики ошибок оценивания в многомерном случае, даже если известно, что модель наблюдения является гауссовской [65]. В связи с этим проблемы оптимального оценивания и управления для статистически неопределенных систем остаются актуальными. В последнее время интенсивно исследуются задачи, использующие вероятностный и квантильный критерии оптимизации, развивается подход, основанный на решении двойственной задачи.

Данная работа базируется на методах, предложенных А.Б. Кур-жанским, И.Я. Кацом и Г.А. Тимофеевой [17, 19, 20, 77, 78].

В работе изучается задача оценивания параметров линейной модели в условиях неполной статистической информации.

Особенностью данной диссертационной работы является то, что в проводимом исследовании изучается задача оценивания неизвестного вектора параметров линейной статистически неопределенной модели при отсутствии априорной информации об оцениваемых параметрах.

В отличие от работ А.Р. Панкова, К.В. Семенихина [63, 64, 65, 74], здесь рассматриваются линейные процедуры доверительного оценивания, а также нелинейные процедуры получения оценок вектора параметров статистически неопределенной линейной модели.

Цель исследования. Основной целью диссертационной работы является исследование задачи оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели, в измерениях которой содержатся как случайные гауссовские возмущения, так и неопределенные возмущения, информация о которых исчерпывается заданием областей их возможных значений.

Поставленная цель предполагает решение следующих задач:

1) исследовать свойства линейных процедур доверительного оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели; построить уточненные линейные доверительные множества для вектора параметров модели;

2) построить оценки вектора параметров статистически неопределенной линейной модели по методу максимального правдоподобия; исследовать их свойства;

3) разработать алгоритмы оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории вероятностей, выпуклого анализа, линейной алгебры и методы компьютерного моделирования.

Научная новизна. В работе получены результаты, дополняющие существующие методы оценивания статистически неопределенных систем новыми эффективными процедурами нахождения линейных доверительных множеств и нелинейных оценок вектора параметров статистически неопределенной линейной модели.

Основными результатами исследования являются:

1) исследованы свойства линейных процедур доверительного оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели; построены уточненные линейные доверительные множества для вектора параметров модели;

2) на основании метода максимального правдоподобия построены оценки вектора параметров статистически неопределенной линейной модели; исследованы свойства оценок по методу максимального правдоподобия.

3) разработаны алгоритмы оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели.

Теоретическая и практическая ценность работы. Процедуры оценивания, предложенные в работе, являются новыми методами решения задачи оценивания неизвестного вектора параметров статистически неопределенной линейной модели, что приводит к расширению области применения теории оценивания в задачах с неполной статистической информацией в теоретическом и в практическом плане.

Апробация работы. Основные результаты исследования обсуждались на научных конференциях:

1) Проблемы теоретической и прикладной математики. 34-ая Региональная молодежная конференции.- Екатеринбург: УрОРАН, 2003.

2) Молодые ученые - транспорту. IV, V, VI, VIII научно-техническая конференция.- Екатеринбург: УрГУПС, 2003, 2004, 2005, 2007.

3) Проблемы теоретической и прикладной математики. 35-ая Региональная молодежная конференция.- Екатеринбург: УрО РАН, 2004.

4) Системный анализ и управление. 9-ая международная конференция. Крым, Евпатория, 2004.

5) Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона- Якоби. Международный семинар. Екатеринбург, 2005.

6) Идентификация систем и задачи управления. V международная конференция. Москва: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, февраль 2006 г.

7) Методы оценивания параметров линейной модели в условиях неполной статистической информации. Научный семинар. Москва: МИ-ЭМ, кафедра «Кибернетика», февраль 2006 г.

8) Устойчивость, управление и моделирование динамических систем. Международный научный семинар, посвященный 75-летию со дня рождения И.Я. Каца.- Екатеринбург: УрГУПС, 2006.

9) Проблемы теоретической и прикладной математики. 39-ая Региональная молодежная конференция - Екатеринбург: УрО РАН, 2008;

10) Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. X Международный семинар им. Е.С. Пятницкого - Москва: ИПУ РАН, 2008; а также на научных семинарах кафедр: «Кибернетика» (Москва: МИЭМ, 2006, 2009), «Теория вероятностей» (Москва: МАИ, 2009) и «Высшая математика» (Екатеринбург: УрГУПС, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 печатных работах [38]- [59], в том числе в статьях [51], [57], [58] журналов, входящих в Перечень ВАК.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (103 источника). В работе приведено 19 рисунков, 5 таблиц.

Заключение

В данной диссертационной работе исследована задача оценивания вектора параметров линейной модели по результатам измерений, каждое из которых содержит случайную и неслучайную помехи. При этом предполагается, что информация о неслучайных помехах исчерпывается заданием областей их возможных значений, а случайные возмущения-это независимые гауссовские величины, с известными дисперсиями.

Исследованы свойства линейных процедур доверительного оценивания априорно неизвестных параметров статистически неопределенной линейной модели. Для сужения линейных доверительных оценок вектора параметров статистически неопределенной линейной модели построены уточненные доверительные множества. Для уточненных линейных доверительных множеств вектора параметров статистически неопределенной линейной модели получены оценки сверху, позволяющие строить эллипсоидальные доверительные множества.

С помощью метода максимального правдоподобия построены нелинейные процедуры оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели. Исследованы свойства оценок, полученных по методу максимального правдоподобия. Доказано, что получаемые на основе этого метода оценки вектора параметров статистически неопределенной модели в случае малых дисперсий случайных возмущений приближаются к информационному множеству модели, содержащей только неопределенные возмущения.

В работе предложены алгоритмы применения исследованных методов оценивания к численному построению оценок неизвестного вектора параметров статистически неопределенной линейной модели. В частности, рассмотрен алгоритм построения линейных доверительных множеств и уточненных доверительных множеств для неизвестного двумерного вектора параметров статистически неопределенной линейной модели.

Разработан алгоритм оценивания вектора параметров статистически неопределенной линейной модели с помощью метода максимального правдоподобия. Доказана сходимость данной процедуры к точке, которая принадлежит множеству наиболее вероятных значений параметров модели.

На основании алгоритма нахождения минимума функции невязки, построены алгоритмы определения параметров линейных моделей, содержащей только неопределенные возмущения. Данные алгоритмы могут быть использованы при исследовании ряда проблем экономики, техники, геологии, геодезии, социологии и других областей, связанных с необходимостью определить неизвестные параметры линейной модели, в измерениях которой присутствуют неслучайные помехи.

Приведены примеры, иллюстрирующие применение предлагаемых алгоритмов оценивания параметров линейной статистически неопределенной модели. Рассмотрены примеры решения прикладных задач.

1. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977.

2. Ананьев Б.И. Минимаксные среднеквадратичные оценки в статистически неопределенных системах // Дифференциальные уравнения. 1984. Т.20, № 8. С. 1291-1297.

3. Ананьев Б.И. Информационные множества для многошаговых статистически неопределенных систем // Труды Математического инта им.Стеклова, 2000. Доп.вып.2: Труды ИММ УрО РАН. С. 1-15.

4. Ананьев Б.И. Распределения мультиоценок для многошаговых стохастических включений// Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. № 3. С. 59-66.

5. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. 2-е изд. М.: Наука, 1998.

6. Бахшиян Б.Ц., Назиров P.P., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. М.: Наука, 1980.

7. Брайсон Д., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

8. Братусь А.С., Черноусько Ф.Л. Численное решение задач оптимальной коррекции при случайных возмущениях. ЖВМ и МФ. 1974, т. 14. №1. С.68-78.

9. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

10. Гусев М.И. Оптимальность линейных алгоритмов в задачах гарантированного оценивания // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1994, т. С.87-95.

11. Данцинг Дж. Линейное программирование, его обобщения и приложения.- М.: Прогресс, 1966.

12. Дигайлова И. А. Метод гарантированного оценивания состояния линейной динамической системы со смешанной неопределенностью // Вестник МГУ. Сер. Вычислительная математика и кибернетика. 2000. № 3. С. 33-37.

13. Дигайлова И.А. Задача фильтрации со смешанной неопределенностью //Изв. РАН. Теор. и сист. управл. 2001. № 5 С. 16-24.

14. Дигайлова И.А. Рекуррентные решения задач оценивания при комбинированных возмущениях//Автореферат дисс. на соис. ст. канд. физ.-мат. наук. 2003. 14 с.

15. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975.

16. Кац И.Я. Оценки состояния управляемых многошаговых систем в условиях статистической неопределенности. Свердловск: Изд-во УрГУ, 1990.

17. Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксное оценивание в многошаговых системах // Доклады АН СССР. 1975. Т.221, № 3. С. 535-538.

18. Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределенных ситуациях // Автоматика и телемеханика. 1978. № 11. С. 79-87.

19. Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Модифицированный метод невязки в статистически неопределенной задаче оценивания // Автоматика и телемеханика. 1994. № 2. С. 100-109.

20. Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Динамические оценки доверительных и информационных множеств в статистически неопределенных системах/ / Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1994. № 6. С. 42-46.

21. Колмановский В.В., Матасов А.И. Задача фильтрации в системах с последействием при ненулевых начальных условиях //Доклады РАН, 2000. Т. 362, № 4. С. 463-468.

22. Костоусова Е.К. О полиэдральном оценивании областей достижимости линейных многошаговых систем // Автоматика и телемеханика, 1997. № 3. С. 57-68.

23. Костоусова Е.К. Внешнее и внутреннее оценивание областей достижимости линейных систем при помощи параллелотопов // Вычислительные технологии. 1998. Т.З, № 2. С. 11-20.

24. Кощеев А.С. Некоторые задачи гарантированного оценивания параметров многошаговых систем // Гарантированное оценивание и задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. С.68-75.

25. Кощеев А.С., Куржанский А.Б. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределенности // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. № 2. С. 72-93.

26. Красовский Н.Н. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28, вып. 1. С. 3-14.

27. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

28. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.

29. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. Киев: Наукова Думка, 2006.

30. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

31. Куржанский А.Б. Задача идентификации: Теория гарантирующих оценок // Автоматика и телемеханика. 1991. № 4. С. 3-26.

32. Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Диференциальные включения с фазовыми ограничениями. Метод возмущений // Сб. статей к 70-лет. акад. Е.Ф. Мищенко. М.: Наука. 1995. С.304-315.

33. Лидов М.Л. К априорным оценкам точности определения параметров по методу наименьших квадратов// Космические исследования. 1964. Т.9, № 5. С. 713-718.

34. Лидов М.Л., Бахшиян Б.Ц., Матасов А.И. Об одном направлении в проблеме гарантирующего оценивания // Космические исследования. 1991. Т. 29, № 11. С. 659-684.

35. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1976.

36. Малышев В.В., Кибзун А.И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1987.

37. Матасов А.И. Введение в теорию гарантирующего оценивания. М.: Изд-во МАИ. 1999.

38. Медведева Н.В. К задаче оценивания параметров линейной модели в условиях неполной статистической информации// Молодые ученые транспорту: Труды IV научно-технической конференции-Екатеринбург: УрГУПС, 2003,- С. 384-391.

39. Медведева Н.В. Сравнение методов оценивания для статистически неопределенной задачи// Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 35-й Региональной молодежной конференции-Екатеринбург: УрО РАН, 2004.- С. 259 263.

40. Медведева Н.В. Методы оценивания параметров динамической системы в условиях неполной статистической информации// Молодые ученые транспорту: Труды V научно-технической конференции-Екатеринбург: УрГУПС, 2004 - С. 295-301.

41. Медведева Н.В. Примеры построения доверительных оценок параметров линейной модели в условиях неполной статистической информации// Молодые ученые транспорту: Труды VI научно-технической конференции.- Екатеринбург: УрГУПС, 2005. С. 482491.

42. Медведева Н.В. Обобщенные доверительные множества в задаче оценивания параметров статистически неопределенной модели// "Математика. Механика. Информатика". Тезисы докладов Всероссийской научной конференции, Челябинск, 19-22 сент. 2006. С. 89.

43. Медведева Н.В. Нелинейные доверительные оценки вектора параметров линейной модели в условиях неполной статистической информации// Труды VII научно-технической конференции «Молодые ученые транспорту».- Екатеринбург: УрГУПС, 2007. С. 488502.

44. Медведева Н.В. Оценивание параметров множественной статистически неопределенной линейной модели// Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Региональной молодежной конференции Екатеринбург: УрО РАН, 2008.- С. 286-290.

45. Медведева Н.В. Применение методов оценивания к построению алгоритма распознавания линейных моделей// Наука и технологии. Тезисы докладов XXVIII Российской школы.- Миасс: МСНТ, 2008.- С. 94.

46. Медведева Н.В. Алгоритмы оценивания параметров статистически неопределенной линейной модели и их приложения// Вестник государственного технического университета. Воронеж: ВГТУ, 2009. №0. Т. 5.- С. 173-176.

47. Медведева Н.В., Тимофеева Г.А. Нелинейные методы идентификации параметров статистически неопределенной модели// Тезисы докладов 9-ой международной конференции "Системный анализ и управление". Крым, Евпатория, 2004.- С. 128.

48. Медведева Н.В., Тимофеева Г.А. Построение доверительных оценок параметров линейной модели в условиях неполной статистической информации// Деп. в ВИНИТИ 24.04.2006, № 542-В2006.- 13 е.- Библиогр.: 9 назв.- Рус.

49. Медведева Н.В., Тимофеева Г.А. Сравнение линейных и нелинейных методов доверительного оценивания для статистически неопределенных систем// Автоматика и телемеханика. 2007. № 4. С. 51-60.

50. Медведева Н.В., Тимофеева Г.А. Свойства нелинейных доверительных оценок для статистически неопределенных систем// Автоматика и телемеханика. 2007. № 10. С. 166-174.

51. Медведева Н.В., Тимофеева Г.А. Метод максимального правдоподобия при оценивании параметров статистически неопределенной линейной модели// Труды IX научно-технической конференции «Молодые ученые транспорту». - Екатеринбург: УрГУПС, 2009. С. 480-499.

52. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.- М.: Гостехиздат, 1972.

53. Никонов О.И. Экстремальные свойства входных воздействий в задачах гарантированного оценивания // Гарантированное оценивание и задачи управления. УНЦ АН СССР, Свердловск, 1986. С.83-91.

54. Назии С.А., Поляк Б.Т. Параметрическое оценивание методом эллипсоидов в линейных многомерных системах с неопределенным описанием модели// Автоматика и телемеханика. 2007. № 6. С. 6780.

55. Панков А.Р., Семенихин К.В. Минимаксная идентификация неопределенно стохастической линейной модели // Автоматика и телемеханика. 1998. № 11. С. 158-171.

56. Панков А.Р., Семенихин К.В. Методы параметрической идентификации многомерных линейных моделей в условиях неопределенности //Автоматика и телемеханика. 2000. № 5. С. 76-92.

57. Панков А.Р., Семенихин К.В. О минимаксном оценивании по вероятностному критерию // Автоматика и телемеханика. 2007. 3. С. 66-82.

58. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука. 1983.

59. Пугачев B.C., Синицин И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука. 1985.

60. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука. 1979.

61. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

62. Пшеничный Б.Н., Покотило В.Г. О задачах наблюдения в дискретных системах // Прикладная математика и механика. 1981. Т. 45. Вып. 1. С. 3-10.

63. Пшеничный Б.Н., Покотило В.Г. Минимаксный подход к оценке параметров линейной регрессии // Известия АН СССР, Техническая кибернетика. 1983. № 2. С. 94-102.

64. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их приложения. М.: Наука. 1968.

65. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ М.: Мир, 1973.

66. Семенихин К.В. Оптимальность линейных алгоритмов оценивания в задаче минимаксной идентификации // Автоматика и телемеханика. 2004. № 3. С. 148-158.

67. Соловьев В.Н. Двойственные экстремельные задачи и их применение к задачам минимаксного оценивания // Успехи мат. наук, 1997. Т. 52, № 4. С. 49-86.

68. Соловьев В.Н. К теории минимаксно-байесовского оценивания // Теория вероятн. и ее применения, 1999. Т. 44, № 4. С. 738-756.

69. Тимофеева Г.А. Обобщенные доверительные множества для статистически неопределенного случайного вектора // Автоматика и телемеханика. 2002. № 6. С. 44-56.

70. Тимофеева Г.А. Оптимальные доверительные множества для статистически неопределенных систем // Автоматика и телемеханика. 2003. № И. С. 84-95.

71. Хонин В.А. Гарантированные оценки состояния линейных систем с помощью эллипсоидов// Эволюционные системы в задачах оценивания. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. С. 104-123.

72. Хыобер П. Робастность в статистике. М.: Мир. 1984.

73. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М.: Наука, 1984.

74. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Оптимальные алгоритмы критериальной оптимизации в условиях неопределенности// Доклады АН СССР, 1983. Т. 273. № 2. С. 315-318.

75. Черноусько Ф.М. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.

76. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука, 1976.

77. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. М.: Сов. радио, 1979.

78. Bertsekas D.P., Rhodes I.В. Recursive state estimation for a set-membership description of uncertainty// IEEE Trans. Ant. Control. 1971. AC-16.

79. Catlin D. Estimation, control and the discrete Kalman filter. N.Y.: Springer-Verlag, 1988.

80. Catlin D. Estimation of random states in general linear models // IEEE Trans. Autom. Cont. 1991. V. AC-36. № 2. P. 248-252.

81. Davis M., Norman A. Portfolio selection with transaction costs // Math. Oper. Res. 1990. Vol.15.

82. Calafiore G.C., El Ghaoui L. Robust Maximum Likelihood Estimation in the Linear Model// Automatica, pp. 573-580, 2001, Vol. 37, ISSN: 0005-1098.

83. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // J. Basic Engr. ASME Trans. 1960. Vol. 82-D. P. 35-45.

84. Kataoka S. A Stochastic Programming Model // Econometrica. 1963. Vol. 31. P. 181-196.

85. Kumkov S.I. Informational Sets in Applied Problems of Evaluiation. In Proc. Vol. of the IFAC Workshop, Nonsmooth and Discontinuonus Problems of Control and Optimization, Chelyabinsk, Russia. Perghamon, UK. P. 149-154.95 96 [97 [9899100 101 [102103

86. Kurzhanski A.B. Identification: A Theory of Guaranteed Estimates, From data to Model // Ed. J.C. Willems. Berlin: Spinger-Verlag. 1989.

87. Kurzhanski A.B.,Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston: Birkhauser, 1997.

88. Matasov A.I. Estimators for uncertain dynamic systems. Boston etc.: Kluwer, 1999.

89. Pankov A.R., Siemenikhin K.V. Minimakx estimation for singular linear multivariate models with mixed uncertainty // J. Multivariate Anal. 2007. V. 98. № 1. P. 145-176.

90. Polak B.T., Nazin A.V., Topunov M.V., Nazin S.A. Rejection of bounded disturbances via invariant ellipsoids technique// Proc. 45th IEEE Conference on Decision and Control. San Diego, USA. Dec. 1315, 2006. P. 1429-1434.

91. Schweppe F.C. Uncertain dinanic systems. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1973.

92. Verdu S., Poor H.V. On minimax robustness. A general approach // IEEE Trans. Information Theory. 1984. Vol. 20, № 2. P. 328-340.

93. Verdu S., Poor H.V. Minimax linear observars and regulators for stochastic systems with uncertain second order statistics // IEEE Trans. Automatical Control. 1984. Vol. AC-29, № 6. P. 499-511.

94. Witsenhausen H.S. Set of possible state of linear systems given perturbed observations // IEEE Trans. Control. 1968. AC-13.