автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка методов исследования периодических процессов в задачах управления

РГ 8 ОД

1 ч АПР

На правах рукописи

Дзюба Сергеи Михайлович

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

05.13.01 - Управление в технических системах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1998

Работа выполнена в Тамбовском ' государственном техническом университете и Тамбовском государственном университете им. Г.Р.Державина.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Гусятников Петр Борисович; доктор физико-математических наук, профессор Дикусар Василий Васильевич; доктор технических наук, профессор Попков Юрий Соломонович.

Ведущая организация:

Институт проблем управления РАН.

Защита состоится "¿20" ОЦ 1998 г. в /0"~00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.63.02 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук при Институте системного анализа РАН по адресу:

117312, Москва, проспект 60-летия Октября, д. 9 (аудитория 906).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " 20" 1998 г.

Подписано в печать 10.03.98 г. Формат 60x84/16. Объем 1,62 п.л. Тираж 102. Заказ № 1065. Бесплатно. 392008, г.Тамбов, Комсомольская пл., 5. Издатсльско-полнграфичсский центр ТГУ им. Г.Р.Державина.

Ученый секретарь диссертационного совета

Пропой А.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Задача стабилизации, как известно, является одной из важнейших для теории управления. Эта задача постоянно возникает там, где требуется отследить некоторый номинальный режим, соответствующий положению равновесия системы и получаемый, например, при решении задачи статической оптимизации. Задача управления, таким образом, здесь сводится к отысканию, скажем, оптимального статического режима и автоматическому поддержанию режимов работы, найденных в результате статической оптимизации.

Построеная по такому принципу система управления, однако, далеко не всегда является оптимальной с технологической точки зрения. В ряде случаев там, где дальнейшее изменение регулируемых параметров не может уже привести к улучшению показателей процесса, существуют дополнительные возможности его интенсификации. Так, в последнее время появилось большое количество работ, в которых на основании анализа многочисленных экспериментов и результатов численного моделирования химико - технологических, пищевых и ряда других процессов установлено, что эффективность многих процессов (тепло - и массобменных и каталитических) может быть повышена, еелн вместо постоянного управления, полученного в результате решения задачи статической оптимизации, использовать периодическое управление со средним значением, равным значению оптимального статического управления.

Вопрос об использовании периодических управлений представляется весьма важным еще и потому, что,, как выяснилось, повышение эффективности процессов при использовании периодических управлений, вообще говоря, может рассматриваться как некое технологическое проявление интенсивно развивающегося в настоящее время принципа обратной связи.

Таким образом, в этой области интересы теории автоматического управления начинают пересекаться с интересами теории дифференциальных уравнений и, особенно, теории колебаний, поскольку вопрос о существовании периодических режимов для последних является одним из важнейших. Многочисленные результаты, полученные здесь, не гарантируют существование периодических решений

у нелинейных систем размерности более двух, даже если все решения ограничены. Что же касается многомерного нелинейного случая, то здесь, как известно, из существования ограниченного решения следует существование только инвариантного интегрального множества.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка математических методов исследования периодических процессов в задачах управления. Данные методы базируются на новом понятии условно - периодического решения и должны не только возможно более полно описывать поведение решений систем с периодическими управлениями, но' и позволять рассматривать задачи отыскания оптимальных периодических и условно - периодических процессов и задачи синтеза периодических законов управления, предназначенных для реализации заданных периодических режимов.

Научная новизна.

1. Разработан математический аппарат для исследования динамических систем с периодическими управлениями. Данный аппарат базируется на новом понятии условно - периодического решения. Показано, что из существования у системы с периодической по времени правой частью ограниченного решения следует существование условно - периодического решения. В частности, оказывается, что в автономном случае рекуррентными траекториями могут быть траектории, описываемые условно - периодическими решениями, и только они.

2: В рамках развития разработанного аппарата исследования систем 6 периодической правой частью-получены условия существования асимтпотически устойчивого в целом периодического решения. ' Полученные условия в некоторых случаях сводят проблему существования и устойчивости периодического решения к некоторой конечномерной экстремальной задаче. В диссертации предложен и опробован алгоритм, приводящий к конструктивной процедуре решения упомянутой экстремальной задачи.

3. В рамках дальнейшего развития аппарата исследования систем с периодической правой частью изучен класс объектов,"характеризуемых периодическим оператором сдвига вдоль кривых. Данный класс включает в себя такие объекты как дифференциальные уравнения Каратёодори и функционально - дифференциальные урав-

: з ч

нения запаздывающего типа. Для периодического оператора сдвига'£ ~ вдоль кривых введено понятие условно - периодической кривой, ¿на- -Л логичное понятию условно - периодическоГо-решения. Показано, что ", из существования' у некоторого оператора сдвига" кривой, содержа- - ■.-, щейся в некотором компактном множестве, следует существование у • ; него условно - периодической кривой. . ' •'• Г

4. В рамках приложения разработанного аппарата исследования систем с периодической правой частью" к задачам управления1 показано, что задача отыскания оптимального периодического ре- =■-' жима не всегда имеет решение и, потому, в общем случае ее следует заменять задачей отыскания оптимального'условно - периодического - ■ режима.

5. В диссертации сформулирована и полностью решена задача квазистатической оптимизации системы с управлениями, прилагаемыми в конечные моменты времени. Приведены условия существования асимптотически устойчивого в целом оптимального квазистатического режима.

Практическая значимость. Методы и алгоритмы, полученные в работе, могут быть использованы для решения различных задач управления многими реальными процессами. К числу таких процессов относятся процесс ректификации, процессы очистки и регенерации газов, осушки и в другие каталитические процессы со сменным катализатором. Частным случаем таких задач являются рассмотренные в диссертации задачи управления процессами ректификации воздуха и регенерации воздуха в замкнутом объеме.

Полученные в диссертации результаты вошли в курс лекций «Специальные главы технической кибернетики», прочитанный автором в 1992 - 97 г.г. в Тамбовском государственном техническом университете. В настоящее время планируется внедрение основных результатов работы в учебный процесс на физико - математическом и экономическом факультетах Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина. Кроме того, основные результаты диссертации используются при разработке систем очистки и регенерации воздуха в Тамбовском научно - исследовательском химическом институте.

Аппробация работы. Основные положения диссертации докладывались на научном семинаре по качественной теории диффе-

ренциальных уравнений в..Московском государственном универси-тет&'(марти1994 г.)' и нау^нык сейшТа^аЬс Института проблем управления РАН и Института системного-анализа РАН (1989 - 97 г.г.), на третьей Всесоюзной школе «Прикладные проблемы управления макросистемами» (Аппатиты, май 1989 г.), четвертой Всероссийской научно - технической конференции «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования» (Тамбов, октябрь 1995 г.) и четвертой научно - практической конференции в Тамбовском государственном техническом университете (Тамбов, апрель 1997 г.).

Публикации. По теме диссертации в изданиях, оговоренных ГВАК России, опубликовано 11 работ.

Объем работы. Диссертация, состоящая из введения, пяти глав, -заключения, списка литературы и приложения, изложена на 190 страшилах машинописного текста, содержит 10 рисунков; список литературы включает-110 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, кратко изложено ее содержание и структура, приведены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена рассмотрению ряда вопросов, связанных с существованием периодических и условно - периодических процессов в управляемых динамических системах.

Прежде всего, в главе выявлена основная задача о периодических режимах в реальных промышленных процессах. Выявлению этой задачи предшествует анализ современного состояния вопроса об использовании периодических управлений в реальных промышленных процессах. Здесь же приводятся некоторые рассуждения, позволяющие в известной .степени обосновать эффективность применения на практике периодических управлений.

Одними из важнейших задач теории управления являются, как известно, задачи стабилизации и слежения. Эти задачи возникают там, где требуется отследить соотвестсвенно постоянный и переменный номинальные режимы, получаемые, например, при решении каких - либо оптимизационных задач. Поэтому с позиций использо-

вания периодических управлений задача слежения на первый взгляда приобретает еще большее значение. Здесь; однако, имеют места'два -обстоятельства, в большинстве случаев перечеркивающие возмож-" ность использования традиционных методов. •■ .

Во - первых, использование периодического управления не вле-? ■ чет за собой существования в системе периодического процесса. По- - ; этому задача отыскания номинального периодического режима сама-;; по себе не тривиальна. >•

Во - вторых, если задача слежения не сводится к задаче стаби-" лизации, то на бесконечном интервале времени эта задача, как пра--'-вило, не имеет решения и здесь возникает потребность в разработке специальных приближенных методов, позволяющих преодолеть это обстоятельство. Один из возможных подходов описан в главе 3.

Не приводит к успеху попытка отыскивать периодические режимы как решения оптимизационных задач с последующим решением задачи слежения путем сведения ее к задаче стабилизации.

В самом деле, задачу отыскания оптимальных периодических режимов представляется уместным трактовать как задачу о минимизации функционала

т

I(u) = J f°(x(t),u(t))dt (1)

о

при ограничениях

х = /(х,и) (2)

и

х(0) = х{Т) = х0, (3)

где х = (ж1,..., хп) — n-мерный фазовый вектор, и = (и1,..., ит) — m-мерный вектор управления, и / — соответствующие гладкие функции, а хо — заданное начальное значение вектора х.

Сформулированная выше задача о минимизации функционала (1) при ограничениях (2) и (3) является специальным случаем задачи оптимального управления с закрепленными концами и заданным временем перехода. Результаты, полученные здесь, в ряде случаев разрешают проблему существования ее решения и* и дают необходимые условия экстремума. При этом в силу условия (3) функция управле-

пня и, построенная по формуле ■ ■ • •'! ■ ■ .л^. • и 'ч: ! -11 г г..

обеспечивает существование п системе (2) периодического управляемого процесса.

В общем случае подстановка управления (4) в систему (2) позволяет переписать ее в следующем эквивалентном виде:

(5)

где функция д периодична по Ь с периодом, равным Т. Заметим теперь, что уже б случае трехмерного вектора х система (5) может не им,еть ни одного периодического решения периода, равного Т, если, даже,' каждое' ее решение £(£) определено для всех значений / > 0 и ограничено при этих значениях Чтобы получить периодичность и преодолеть, таким образом, указанные трудности, на первый взгляд представляется уместным заменить задачу о минимизации функционала (2) при ограничениях (1) и (3) задачей, например, о минимизации функционала

т

Ди) = I/>(*(<), и(*))Л + Р(х(Т)) - ^(0)) (6)

о

при ограничении (2), где Р — некоторая гладкая функция.

Решение и* задачи о минимизации функционала (6) при ограничении (2) не гарантирует, конечно, выполнения условия

®(0) = 1(Г).

Поэтому нельзя ожидать, что при управлении, построенном по формуле (4), система (5) будет иметь периодическое решение х{1) периода, равного Т, и, следовательно, нельзя ожидать при использовании оптимальной функции управления и* существования в системе (2) периодического управляемого процесса.

Задача о минимизации функционала (6) при ограничении (2) является стандартной вариационной задачей и в настоящей работе не рассматривается. Здесь, однако, большое значение приобретает задача разработки методов исследования систем с периодическими

управлениями. Данные методы должны позволять по возможности^ устанавливать существование периодических режимов, а в общем случае — наиболее полно описывать непериодические, в частности," условно - периодические режимы. - . ..

Вторая глава посвящена изучению проблемы существования ? ■ условно - периодических решений дифференциальных уравнений и -; приложению полученных результатов к теории управления. . _ -:

Рассмотрим автономную систему обыкновенных дифферент!-,Т альных уравнений • -.

± = /(*),

считая, что I € Ей / — гладкое векторное поле, определенное в каждой точке некоторого открытого подмножества Е евклидова векторного пространства Е".

Определение 4.1. 1 Пусть Т — некоторое положительное число и пусть £(£) — некоторое решение системы (7), определенное для всех значений £ > ¿о и ограниченное при этих значениях £. Предположим, что для каждого положительно числа е можно указать такое натуральное число что для всех значений Ь > ¿о выполнено неравенство

Тогда будем говорить, что £_(<) есть условно - периодическое относительно периода Т решение.

Легко видеть, что простейшими примерами условно - периодических относительно любого периода Т решений могут служить периодическое решение и иррациональная обмотка тора. В общем случае существование условно - периодических относительно периода решений устанавливает следующая теорема, позволяющая уточнить известную структуру предельных множеств автономных систем.

Теорема 4.1. Пусть £(<) —некоторое решение системы (7), определенное для всех значений Ь > ¿о и ограниченное при этих значеньях и пусть Л — и-предельное множество решения £(£). Тогда для каждого значения Т > О множество П содержит траекторию К, описываемую условно - периодическим относительно периода Т решением (р(1) системы (7).

'Нумерация определений, теорем и.примеров соответствует нумерации, принятой в диссертации.

Непосредственны;.! продолжением теоремы 4.1 является тео-рсх)а;4.2, представляющая ¿ь'ббй'^ойой^ение к теореме Биркгофа о рекуррентных траекториях 'и минимальных множествах.

Те.орема- 4.2. Пусть <,•?(£) — Некоторое решение системы

(7), определенное для всех значений £ > ¿о и ограниченное при этих значениях I, и пусть К — траектория, описываемая этим решениемДля того, чтобы траектория К была рекуррентной, необходимо и достаточно, чтобы решение было условно - периоды",сским относительно некоторого периода Т.

Рассмотрим теперь нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, векторная запись которой имеет вид

* = /(*,*), (8)

гдб х >х'1) ~ векторная функция действительного перемен-

ного Ь, а'/•==.(/\,■/") т— векторная функция, определенная и непрерывная вместе со своими частными производными

дР . . .

на прямом произведении К х Е действительной оси К и некоторого открытого подмножества Е евклидова векторного пространства К". Кроме того, будем считать, что функция / периодична по t с периодом, равным единице.

Распространение теоремы 4.1 на случай системы (8), прежде всего, предполагает введение определения условно - периодического решения неавтономной системы.

Определение 5.1. Пусть £(£)— некоторое решение системы

(8), определенное для всех значений t > ^ и ограниченное при этих значениях £. Решение £(£) назовем условно - периодическим, если для каждого положительного числа е можно указать такое натуральное число Л^, что для всех значений £ > ¿о выполнено неравенство

М£)\<е.

Далее, традиционный подход в распространении результатов, относящихся к системе (7), на систему (8) предполагает также обобщение понятия ш-предельного множества на решения неавтономных систем. Подход же применяемый в диссертации, использует несколько более простое понятие присоединенного решения.

Определение 5.2. Пусть — некоторое условно - пери-: одическое решение системы (8) и пусть £(£) — некоторое другое решение данной системы, также определенное для всех значений Ь > ¿о-и ограниченное при этих значениях Будем говорить, что решение присоединено к решению £(<), если для каждого положительного . числа £ и всех значений £ > ¿0 можно указать такое натуральное чи-.-; ело М, что

Ы1)-ф + М)\<е." '

Легко видеть, что каждое условно - периодическое решение^ ; присоединено к себе. В общем случае существование присоединен-^' ных условно - периодических решений устанавливает следующая теорема.

Теорема 5.1. Пусть система (8) имеет некоторое решение £(1), определенное для всех значений £ > ¿о и ограниченное при этих значениях Ь. Тогда система (8) имеет также и условно - периодическое решение <£(£). При этом либо само решение является условно - периодическим решением, либо решение </?(<) присоединено к решению .

Далее, в главе 2 рассматривается проблема существования оптимальных периодических режимов. Здесь приводится только пример, подтверждающий общие рассуждения.

Пример 9.1. Пусть и — скалярная функция управления, удовлетворяющая условию

М < А. (9)

где Д — некоторое положительное число. Предположим, что система (2) имеет вид

¿ = (1 -и)д(х). (10)

Будем считать, что задача управления системой (10) заключается в минимизации функционала

. г

J(u) = у /°(1(4),и(*))Л

о

при ограничениях

х(0) = 1(1)

и (9).

Если величина Д достаточно мала, то в пространстве К3 векторное поле д в системе (10) может быть подобрано так, что использование любого периодического управления, периода, равного единице, не влечет за собой,существование периодического решения периода, равного единице. Последнее означает, что найдется такое векторное поле д, что при всех достаточно малых значениях Д сформулированная выше задача оптимального управления не имеет решений. Это еще раз потверждает важность для теории управления теорем 4.1 и Г>.1.

Третья глава посвящена изучению весьма важных для теории управления вопросов — будет ли система (8) иметь единственное периодическое решение и будет ли это решение устойчивым. Ответ на эти вопросы в днссетращш во многом связывается с понятием однородного множества.

Определение 10.1. Пусть на множестве Е определена некоторая полудифференцируемая функция Ф и пусть М — ее полудифференциал. Далее, предположим, что для всех значений |i| < оо на множестве Е имеет место неравенство

М[х - yj(t,x) - f(t, у)] < L[t, Ф(х - у)],

где L — непрерывная функция, такая, что каждое решение u{t, щ) уравнения

й = L(t, и) (11)

с начальными значениями (f-o,vo) определено для всех значений |£| < оо и удовлетворяет условиям

lim u(t,uo) = +оо, если щ > 0,

¿-»-оо

И

lim u(t,uo) = —оо, если щ < 0.

fco

И, наконец, пусть при некотором значении t = t' для любых двух различных точек х и у множества Е выполнено условие

М [x-yj(t',x)~j(t',y)]<0.

Тогда будем говорить, что Е — однородное множество.

Простейшим примером однородного множества может служить множество, во всех точках которого выполнено условие

{К(х - у), f(t, х) - Д(, у)) < -k(t)\x - у\\ (12)

где К — произвольная симметрическая невырожденная матрица и к •— некоторая скалярная функция, такая, что для всех значений |fo| < оо справедливы равенства

Использование теоремы 5.1 и понятия однородного множества приводит к следующей теореме, позволяющей в известных случаях установить существование периодических решении и довольно полно описать структуру ограниченных непериодических решений.

Теорема 10.1. Пусть £(<) —• решение системы (8), определенное для всех значений t > to и содерокащееся при этих значениях t в некотором компактном подмножестве Е однородного множества Е. Тогда система (1) имеет также единственное периодическое решение (p(t) периода, равного единице. При этом либо

Основным результатом главы 3 является теорема 11.1, позволяющая по ограниченности всех решений на однородном множестве судить о существовании устойчивого в целом на однородном множестве периодического решения.

Определение 11.2. Пусть £ — однородное множество. Тогда, если для всех значений 0 < ¿о < 1 11 Со 6 £ решение £({) системы (8) с начальными значениями (¿о, Со) определено для всех значений I > ¡о и ограничено при этих значениях то будем говорить, что Е есть множество Ляпунова для системы (1).

Теорема 11.1. Пусть Е — множество Ляпунова для системы (8). Тогда на множестве Е система (8) имеет единственное периодическое решение периода, равного единице. При этом на множестве Е решение у>(£) асимптотически устойчиво в целом.

Поскольку функция / пернодична по I с периодом, равным единице, то функцию к в неравенстве (12) также можно считать периодической с периодом, равным единице. Предположим, что для всех

Ч13)

m = <p(t),

либо

lim |£(£)-</>(*) 1 = 0.

значений 0 < t < 1 во всех точках х, у пространства R" имеет место неравенство (12), а функция к удовлетворяет условию

1

Jk(t)dt>0. (15)

о

Тогда-согласно периодичности функции к условие (15) представляет собой частный случай условия (13). При этом уравнение (11) принимает вид

û = —k(t)u

и, потому, в силу условия (15) каждое его решение u(t,iiQ) определено для всех значений t > to и ограничено при этих значениях t, т.е. каждое решение Ç(f) системы (1) определено для всех значенний t > to н ограничено при этих значениях t. С другой стороны, так как, очевидно, условия (13) и (15) эквиваленты, то пространство R" является однородным множеством.

Таким образом, при выполнении условий (12) и (15) пространство М" будет множеством Ляпунова для системы (8) и, значит, в силу теоремы 11.1 существует устойчивое в целом периодическое решение <f(t) этой системы периода, равного единице. Пусть

— матрица Якоби для функции /. Для простоты обозначений положим

Л (Л г) = KF(t,x). Обозначим через A (t, х) — наибольшее собственное число матрицы

A(t,x) + A'{t,x) 2

где штрих означает транспонирование. Тогда оказывается, при выполнении условия

' 1

sup J X(t,x)dt < 0 (16)

о

выполняются'также и неравенства (12) и (15) и, потому, пространство К" будет множеством Ляпунова для системы (8).

Условие (16) выглядит гораздо более привлекательно для использования, чем условия (12) и (15). Рассмотрим задачу о нахождении точной верхней грани функции •

1

J{x) = У Х(Ь,х)Л, (17)

о

где сохранены все ранее принятые обозначения. Если точная верхняя грань 7* функции (17) отрицательна, то, очевидно, справедливо также и неравентсво (16) и, потому, для системы (8) будут выполнены условия теоремы 11.1. Последнее позволяет в некоторых случаях свести задачу о существовании и устойчивости в целом периодического решения к конечномерной экстремальной задаче. В главе 3 приведен алгоритм решения этой задачи и простейший пример его приложения к задаче слежения за заданным периодическим режимом при управлении маятником с трением. Более содержательные примеры использования данного алгоритма приведены в главе 5.

В качестве одного из приложений теоремы 11.1 рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, векторная запись которой имеет вид

х = - - и2,... - щ,...), (18)

где х = (г1,..., хп) — фазовый вектор, и... — скаляр-

ные управления, прилагаемые к системе (18) в моменты времени Ь, ¿2, ■ ■ • I tk, ч и / = (/\..., /п) — гладкое векторное поле, определенное для всех значений |£| < оо во всех точках некоторого открытого подмножества Е евклидова векторного пространства К".

Предположим, что задача управления системой (18) заключается в отыскании управлений их, и?,..., щ,..., которые минимизируют функционал

оо

./(иьиа,..., «*,-■•) = I (*(«)-(19) о

при ограничении

»

О < Щ < Т, к = 1,2,3,..., (20)

где ~ некоторая симметрическая положительно определенная матрица, г(/) — заданный номинальный режим и Т — некоторое положительное число.

Сформулированная выше задача довольно часто встречается в приложениях, например, при оптимизации процессов очистки и регенерации газов, осушки II любых других процессов со сменным катализатором. При этом для практики часто бывает достаточно рассмотреть эту задачу в более простой форме, когда оптимизация осуществляется в кпазистатическнх режимах.

Будем считать, что за время Т одновременно используется ровно N управлений. Далее, пусть заданный номинальный режим г({) тривиален, т.е.

г(1) = а,

где а £ Е. И, наконец, предположим, что при малых отклонениях о.т номинального режима а решение системы (18) на отрезке [0, 7"] достаточно точно оценивается формулой

Ф) = - "I) + • • • - (21)

где ..., — некоторые гладкие функции, определенные на действительной оси К. При этом считается, что

==0 при££[0 ,Т)

и

6(0 = 0 при ¿£[0,Т], * = 1,...,ЛГ-1.

Пусть

Тогда в качестве квазистатического приближения к сформулированной выше задаче о лшшшпзацшг функционала (19) при ограничениях (18), (20) можно рассмотреть задачу о минимизации функции

/(н„...,«лг-1)= (х{1)-а,д{х^)~а)), (22)

где х(1) определяется по формуле (21).

Необходимое условие экстремума в последней задаче дает следующая теорема.

Теорема 14.1. Пусть и],...л1д._[ — решение задачи о минимизации функции (22) и пусть для всех значений 0 < I < Т

+ - "О + • • • + &•-!(*' - «V-!)] Ф «.

Тогда, если функция £ унимодальна на отрезке [О, Т] и се максимум достигается о некоторой внутренней точке <о отрезка [0,7'), то

и'к = кг, к = 1...../V - 1, (23)

где

Т

Т=лг

При подстановке оптимального управления (23) в систему (18) последняя может быть переписана в следующем эквивалентном виде:

¿ =/(я,*-г,*-2г, (24)

где функция / периодична по < с периодом, равным Мт. Для простоты обозначений положим

Мт = 1.

Во многих практических ситуациях корректность использования управления (23) в системе (18), вообще говоря, зависит от существования и устойчивости периодического решения системы (24) п, значит, от выполнения условий, например, теоремы 11.1 пли ее следствий.

Четвертая глава посвящена обобщению результатов, полученных в главе 2, на системы, характеризуемые непрерывным оператором сдвига вдоль кривых. Идея подобного обобщения основана на том, что при доказательстве теорем 4.1 и 5.1 существенным образом используется только групповые свойства фазового потока, порожденного полем фазовой скорости, и оператора сдвига по интегральным кривым соответственно. Поэтому можно ожидать, что аналоги теорем 4.1 и 5.1 должны быть справеливы для гораздо более широкого класса систем, который характеризуется оператором с групповыми свойствами, аналогичными групповым свойствам оператора сдвига по интегральным кривым.

Пусть Ъ — некоторое банахово пространство, К — действительная ось ( — с», со) и — действительная полуось [0, оо) и пусть

¡г(<т,£, хо) — отображение множества Ж х К+ х Ъ в Ъ. Для всех значений (а, () £ Е х 1+ положим

х{о,Ь,хй) = С(сг, ¿)а: 0

и будем считать, что:

(a) отображение х{а, I, хо) непрерывно;

(b) для всех значений о £ К

С(<г,0) = /, (25)

где I — оператор тождественного преобразования;

(c) для всех значений (а, г, й) е К х х К+

С(<т + 5,'г)<3(сг,5) = <7(<г,в + *). (26)

Тогда будем говорить, что х{а^,хо) — кривая.

Описанные выше свойства (25) и (26) оператора <?(сг, £) полностью совпадают с известными свойствами оператора сдвига по интегральным кривым нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида (8). Поэтому представляется уместным называть оператор С(сг, (!) оператором сдвига вдоль кривых.

Если векторная функция непериодична по то, как известно, система вида (8) имеет нетривиальные периодические решения только в исключительных случаях. В гораздо большей степени сказанное, видимо, относится к системам, характеризуемым оператором сдвига вдоль кривых Поэтому в дальнейшем при исследова-

нии существования периодических и условно — периодических кривых будет рассматриваться только периодический оператор сдвига вдоль кривых периода, равного Т, т.е. оператор, для всех значений (сг, £) 6 Е х Й+ удовлетворяющий условию

¿7(<г + Т,*) =в{а,г).

Пример 16.1. Рассмотрим функционально - дифференциальное уравнение запаздывающего типа

« = /(<, «О, (27)

в котором / — функция, определенная и непрерывная на множестве М х Ъ и принимающая значения в пространстве Еп,

3 = С7([-г,0],Кп) 16

х({в) = X (£ + <?), -г<в< О,

т.е. 6 Ъ.

Для некоторых значений а 6 К и 6 "В обозначим через £о) решение уравнения (27) с начальным условием

6т (о-, 6) =

определенное на некотором отрезке [<х, сг+а]. Тогда, если все решения уравнения (27) нелокально продолжаемы и имеет место единственность решений уравнения (27), то оператор

С(а, *) = &+«(*,$>) (28)

является оператором сдвига вдоль кривых в пространстве Ъ. При этом, если функция / периодична по £ с периодом, равным Т, то оператор (28) является периодическим оператором сдвига периода, равного Т.

Определение 16.1. Пусть щ — некоторая точка множества "В, <р(сг, £,у?о) — кривая и пусть (?(сг, £) — периодический оператор сдвига вдоль (р(а, £, (ро) периода, равного Т. Предположим, что при некотором значении а € К и всех значениях I € кривая '¿{о. £, о^) содержится в некотором компактном множестве Е С Ъ, причем для каждого положительного числа е можно указать такое натуральное число что для всех значений { 6 Е+ выполнено неравенство

|И<т, щ) - <р(а, г + ^¿Т, у?о)|| < е.

Тогда будем говорить, что <р(сг, у>о) есть условно - периодическая кривая.

Наряду с понятием условно - периодической кривой введем теперь в рассмотрение понятие присоединенной кривой. Определение 16.2. Пусть

У?(сг, = (7(<7,£)<А)

— некоторая условно - периодическая кривая, при некотором значении а € К и всех значениях 4 6 Е+ содержащаяся в компактном множестве Е С и пусть

£(аЛ&) = С(М)£ о

— некоторая другая кривая, при всех значениях ! 6 К+ также содержащаяся в множестве Е. Тогда будем говорить, что кривая

о) присоединена к кривой о)> если для каждого поло-

жит льного числа е и всех значений Ь € Е+ можно указать такое натуральное число М, что

Из приведенных выше определений следует, что каждая условно - периодическая кривая присоединена к себе. Существование же присоединенных условно - периодических кривых устанавливает следующая теорема, обобщающая теорему 5.1. Теорема 16.1. Пусть кривая

при некотором значении а € Е и всех значениях I Е К+ содержится в некотором компактном множестве Е С Ъ. Тогда и-пределъное множество П(сг,£о) кривой £(<7, £,£о)>

1>0 \з>(

содержит условно - периодическую кривую 1р(о,г,<р0) =

присоединенную к кривой ^(а, ¿,£о)-

Если оператор <) не зависит от а, то оператор

можно отождествить с динамической системой, а кривую

х{1,х0) = 3(1)х0

— с автономным процессом. Поскольку для каждого положительного числа Т динамическую систему 5(0 можно рассматривать как систему, характеризуемую периодическим оператором сдвига О (а, ¿) периода, равного Т, введем следующее определение условно - пери' одического процесса.

Определение 16.3. Пусть Т — некоторое положительное число и пусть <p{t, fo) — процесс в системе S(t), при всех значениях t £ содержащийся в некотором компактном множестве Е С 23. Предположим, что для каждого положительного числа е можно указать такое натуральное число ¿V£, что для всех значений i 6 R+ выполнено неравенство

Тогда будем говорить, что <p(t.<po) есть условно - периодический относительно периода Т процесс.

Наряду с определением условно - периодического процесса введем теперь определение присоединенного процесса.

Определение 16.4. Пусть y{t,<pо) — некоторый условно -периодический относительно периода Т процесс в системе S(t), при всех значениях t € R+ содержащийся в компактном множестве Е С 23, и пусть £(f,£o) — некоторый другой процесс в системе S(t), при всех значениях t £ R+ содержащийся в множестве Е. Предположим, что для каждого положительного числа е и всех значений t G можно указать такое натуральное число N, что

IM«, <Л>) - i(t + NT, 6>)|| < г.

Тогда будем говорить, что процесс <p(t, £о) присоединен к

Существование присоединенных условно - периодических относительно периода процессов устанавливает следующая теорема, обобщающая теорему 4.1.

Теорема 16.2. Пусть — процесс в динамической си-

стеме S(t), при всех значениях t £ Е." содержащийся а некотором компактном множестве Е С Ъ. Тогда для каждого положительного числа Т ш-предельиое множество fi(£o) процесса о) содержит условно - периодический относительно периода Т процесс ip(t,tpo) в системе S(t), присоединенный к процессу £о)-

Пятая глава посвящена приложению результатов, полученных в главах 2 - 4, к расмотрению некоторых вопросов, связанных с существованием периодических и условно - периодических процессов в управляемых динамических системах.

Открывает главу задача слежения для системы с управлениями, прилагаемыми в конечные моненты времени. Данная задача

является развитием задачи, рассмотренной в главе 3, и представляет ;Го С та т о ч I г 6:'б о л ь ш о п практический пМчфес в связи с задачами З'пра-влёнйя не£от;орьгми промышленными процессами, например, процессами очистки и регенерации, осушки газов и другими каталитическими процессами со сменным катализатором. Путем сведения задачи слежения за кусочно - постоянным номинальным режимом к последовательности задач, изученных в главе 3, получены условия существования субоптимальных управлений, существования и устойчивости периодических режимов и физической реализуемости управлений.

В качестве приложения полученных здесь результатов, рассмотрена реальная задача управления процессом регенерации воздуха в замкйутом объеме.

• Регенерация воздуха является процессом поглощения двуокиси углерода'-и 'выделения кислорода. Этот процесс осуществляется с помощью хемосорбционных систем со сменными элементами. Каждый элемент представляет собой реактор, заполненный либо химическим поглотителем двуокиси углерода ССЬ (поглотительный реактор), либо регенеративным веществом, поглощающим СО2 с одновременным выделением кислорода Оп (регенеративный реактор).

Система очистки и регенерации воздуха представляет собой ряд установочных мест для регенеративных и поглотительных реакторов, оборудованных вентиляторами, обеспечивающими заданный поток воздуха через реакторы. Обозначим через N и М — число регенеративных и поглотительных реакторов, одновременно работающих в системе очистки и регенерации воздуха, а через То2 и Тсо2 ~ время работы регенеративного и поглотительного реактора соответственно.

В процессе работы системы очистки и регенерации воздуха в замкнутом помещении в ряде случаев по тем или иным причинам могут возникать внештатные ситуации, в которых концетрация СО2 резко возрастает и превышает допустимые нормы, что, например, может нести существенную угрозу жизни людей, находящихся в данном помещении. Именно в таких и только таких ситуациях используются поглотительные реакторы. Поэтому время работы Тс о, каждого из поглотительных реакторов достаточно велико. После того, как какой - либо реактор теряет поглощающую способность, т.е. че-

рез суммарное время Тсо2 его работы, на его место устанавливают > новый реактор. . ■' "

В отличие от поглотительных регенеративные реакторы рабо- г. тают постоянно, если, конечно, имеются источники выделения.двуокиси углерода и поглощения кислорода. Со временем регенератив- - -ные реакторы также теряют свою способность поглощать двуокись углерода и выделять кислород. Поэтому не более, чем через вр.емя Тог каждый регенеративный реактор изымается и на его место уста- ' навливается новый реактор. Таким образом, для систем очистки и * регенерации воздуха возникает задача выбора моментов времени за->-мены отработанных поглотительных и регенеративных реакторов.. на новые с учетом мощности источиков СОг и стоков О2 , что, как правило, определяется количеством людей, находящихся в замкнутом помещении, и интесивностью их дыхания.

Обозначим через V — объем замкнутого помещения. Считая воздух, находящийся в данном помещении, объектом идеального смешения, обозначим через х1 и х2 — концентрации соответственно двуокиси углерода и кислорода в нем. Тогда, как известно, изменение концентраций а;1 и х1 подчиняется закону, достаточно точно описываемому следующей системой дифференциальных уравнений:

N М-

Ух1 = - Е * - «о - Е^(«).«- ч),

<

V ;=1 • (29)

Ух2 = -?2(<) + Е Ф(^), *- и),

в которой V — объем помещения, д1 и д2 — суммарные источники СОг и О2 , и и — моменты замены регенеративных и поглотительных реакторов, <р1 и <р2 — производительности регенеративного и поглотительного реактора по двуокиси углерода и ф — производительность регенеративного реактора по кислороду.

Пусть а1 и а2 — заданные номинальные значения концентраций СОг и Ог соотвественно. Тогда сформулированная выше задача о замене отработавших регенеративных и поглотительных реакто-

ров может трактоваться как задача .в минимизации функционала

■ .»и. • и <■ ч: со''1 -а г <"._! . .

' ' Аи,Ь) = f■(x{t)-^d,Q(x{i)^a))dt (30)

о •

при ограничении (29), где х ~ (х^х2), а = (а1, а'1) и ф — некоторая симметрическая положительно определенная матрица весовых коэффициентов.

Рассмотрим случай, когда мощности источника двуокиси углерода д'тн стока кислорода д2 остаются постоянными во времени. Пренебрегая в этом случае внештатными ситуациями, можем считать, что поглотительные, реакторы здесь не используются. Поэтому система (29) может быть переписана в следующем эквивалентном виде:

(31)

кх2 =-в2 + х;

1=1

При этих допущениях сформулированная выше задача о минимизации функционала (29) при ограничении (30) превращается в задачу о минимизации функционала

со

J{ti) = У (х(0 - а, д(х(£) - £*))ей (32)

о

при ограничении (31).

Если уклонение х(() решения системы (31) от номинального режима а мало, то, вообще говоря, задача о минимизации функционала (32) при ограничении (31) является задачей о минимизации функционала (19) при ограничениях (18), (20) и ее квазистатическое приближение находится в условиях применимости теоремы 14.1. Поэтому решение последней задачи достаточно точно оценивается равенством

и=1т, г — 1,2,3,..., (33)

где

г А

N

Подставновка управления (33) в систему (31) превращает по-* следнюю в систему вида (8). Расчеты, проведенные с помощью алгоритма, описанного в главе 3, показали, что для некоторых регене-'* ративных реакторов существует устойчивый в целом периодический режим, некоторых — нет. И, хотя, система (31) находится в уело-' виях применимости теоремы Массера, ни единственность, ни асим-" птотическая устойчивость любого из периодических решений этоГГ." системы не гарантируется. Более того, расчеты показали, что в--этом случае наиболее часто встречаются, видимо, условно - перио-~ дическне режимы.

Далее в главе 5 рассматривается задача управления процессом-регенерации воздуха в замкнутом объеме при кусочно - постоянных мощностях источиков СОг и стоков Ог . Некоторое отличие этой задачи от задачи оптимального управления, изученной в главах 3 и 5, состоит в том, что здесь в процессе работы системы управления может изменяться не заданный номинальный режим, а правая часть системы. Это отличие не носит принципиального характера и, поэтому, последняя задача достаточно просто рассматривается с описанных выше позиций.

Завершает главу рассмотрение вопросов использования периодических управлений в подсистеме ректификации в процессе разделения воздуха. Ввиду огромной сложности объекта исследования результаты, полученные здесь, в отличие от других результатов настоящей главы носят, главным образом, иллюстративный характер, демонстрирующий эффективность использования периодических режимов. Именно, расчеты с использованием моделей, алгоритмов и программ, разработанных на кафедре "Информатизационные процессы и управление" ТГТУ, показали, что при использовании периодических управлений энергозатраты на ректификацию воздуха несколько снижаются. При этом все полученные численно решения системы дифференциальных уравнений, описывающей процесс ректификации воздуха, оказались исключительно условно - периодическими решениями или присоединенными к условно - периодическим решениям.

^ г оЬнрВДЫЕ' р^-ЗУ^Ьу^ТЫ РАБОТЫ

В диссертации разработано нойое научное направление в рамках качественной теории управления, заключающееся в создании схемы решения задач управления процессами, эффективность которых повышается при использовании периодических управлений. Тем самым предложен новый подход к исследованию периодических процессов в задачах управления, позволяющий существенно расширить круг теоретических и прикладных проблем, решаемых теорией управления.

В рамках развитого в диссертации научного направления получены следующее основные результаты:

•1. Разработан математический аппарат для исследования динамических'сйстем. с периодическими управлениями. Данный аппарат базируемся на новом понятии условно - периодического решения. Показано, что из существования у системы с периодической по времени правой частью ограниченного решения следует существование условно - периодического решения. В частности, оказывается, что в автономном случае рекуррентными траекториями могут быть траектории, описываемые условно - периодическими решениями, и только они.

2. В рамках развитая разработанного аппарата исследования систем с периодической правой частью получены условия существования асимтпотически устойчивого в целом периодического решения. Полученные условия в некоторых случаях сводят проблему существования и устойчивости периодического решения к некоторой конечномерной экстремальной задаче. !' диссертации предложен и опробован алгоритм, приводящий к конструктивной процедуре решения упомянутой эк(.. '>емальной задачи.

3. В рамках дальнейшего развития аппарата исследования систем с периодической правой частью изучен класс объектов, харак-' теризуемых периодическим оператором сдвига вдоль кривых. Данный класс включает в себя такие объекты как дифференциальные уравнения Каратеодори и функционально - дифференциальные уравнения запаздывающего типа. Для периодического оператора сдвига вдоль кривых введено понятие условно - периодической кривой, аналогичное понятию условно - периодического решения. Показано, что

из существования у некоторого оператора; сдвига кривой, содержа- с щейся в некотором компактном множестве,.следует существование у него условно - периодической кривой. ■'•■. г-

4. В рамках приложения разработанного'аппарата исследова- ... ния систем с периодической правой частью к задачам управления по- : ■ казано, что задача отыскания оптимального периодического режима ••; не всегда имеет решение и, потому, в общем случае ее следует, заменять задачей отыскания оптимального условно - периодического " режима. Данная задача является стандартной задачей оптималь- * ного управления и в диссертации рассматриваются только ее част4-ные случаи, связанные с некоторыми реальными процессами.

5. В диссертации сформулирована и полностью решена задача квазнстатической оптимизации системы с управлениями, прилагаемыми в конечные моменты времени. Приведены условия существования асимптотически устойчивого в целом оптимального квазистатического режима. Данная задача имеет большое практическое значение, поскольку она достаточно часто встречается в промышленности, например, в процессах очис'гхг. п регенерации газов, осушки и в других каталитических процессах со сменным катализатором. Частным случаем такой задачи является рассмотренная в диссертации задача управления процессом регенерации воздуха в замкнутом объеме.

6. В качестве иллюстрации развиваемого подхода в диссертации рассмотрена задача об управлении стадией ректификации в процессе разделения воздуха.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Дзюба С.М. О периодических решениях уравнения х = /(£, х) // Сб. трудов ВНИИ системных исследований «Оптимизация управляемых динамических систем». — М.: ВНИИСИ, 1990. — № 1. С. 69-72.

2. Дзюба С.М. О грубых периодических решениях дифференциальных уравнений // Сб. трудов ВНИИ системных исследований «Динамика неоднородных систем». — М.: ВНИИСИ, 1990. — № 13. С. 31-34.

3. Дзюба С.М. О периодических решениях некоторых функци-гшдаьных^р^внёнК'// ^ 1991. — Т. 317, № 3.

tf. 584г596.1 . 1 * ''/*•'' Л,

4. Дзюба С.М. О некоторых свойствах траекторий динамических систем //Докл. Ы СССР. —'1991. — Т. 319, № 1. — С.

\ • ' " о ,

•88-90.

5. Дзюба С.М. Два многомерных дополнения к теореме Пуанкаре - Бендиксона // Дифференц. уравнения. — 1995. — Т. 31, JNs 4. — С. 579-582.

6. Дзюба С.М. Ограниченные и периодические решения дифференциальных уравнений // Вестник ТГТУ. — 1995. — Т. 1, № 3-4. — С. 355-360. 71

' .. 7. Дворецкий С.И.,Дзюба С.М., Полкунов A.A., Мамонтов И.Н. Об одном0 алгоритм^ решения^адачй стабилизации состояния нели-1 фйно^В.прдцбссДу/'Сб.-теЗцсов 4-.¿и'Всероссийской научно - техни-чбской конференции «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования». — Тамбов, 1995. — С. 225-227.

8. Дзюба С.М. Об аналогах теоремы Х.Л. Массера для периодического оператора сдвига кривых // Вестник ТГТУ. — 1997. — Т. 3, № 1-2. — С. 126-136.

9. Дзюба С.М. О рекуррентных траекториях и условно - периодических решениях динамических систем // Вестник ТГТУ. — 1997. Т. 3, № 4. — С. 455-460.

10. Дзюба С.М. Условно - периодические решения дифференциальных уравнений. Тамбов.: Изд-воТГУим. Г.Р.Державина. — 19971 — 33 с.'

11. Афанасьев А.П, Дзюба С.М., Кримштейн А.А, Чуркин A.B. Оптимизация систем с управлениями, прилагаемыми в конечные моменты времени. Тамбов.: Изд-во ТГУ им. Г.Р. Державина. — 1997.

25 с



РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.01 — «Управление в технических системах»

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Дзюба Сергей Михайлович

Москва — 1998

Оглавление

Введение 7

1 Периодические процессы в задачах управления 14

§1. Периодические процессы и управление....................16

Повышение эффективности технологических процессов 16 Использование периодических управлений для повышения эффективности процессов..................18

Оптимальные и субоптимальные периодические процессы в управляемых системах....................24

§2. Периодические управления: периодические и условно -

периодические процессы ..................................27

Дифференциальные уравнения с периодической правой

частью ..............................................27

Основная задача исследования: свойства систем с периодическими управлениями......................31

2 Условно — периодические решения дифференциальных уравнений 33

§3. Предварительные замечания................................34

§4. Условно - периодические решения автономных систем . 36

Определение и примеры....................................36

Существование условно - периодических относительно

периода решений....................................38

Рекуррентные траектории и условно - периодические

решения..............................................44

§5. Условно - периодические решения неавтономных систем 45

Определения и примеры....................................46

Существование присоединенных условно - периодических решений........................................48

Предельные множества и условно - периодические решения неавтономных систем......................54

§6. Существование присоединенных периодических решений 56

Регулярные решения ......................................56

Существование присоединенных периодических решений 57 §7. Пример трехмерной системы, имеющей периодические

решения только второго рода..............................59

Вращение векторного поля и его основные свойства . . 60

Описание примера..........................................62

§8. Функции Ляпунова и существование условно - периодических решений ............................................68

§9. Существование оптимальных периодических процессов 71

Задача управления с закрепленными концами..........72

Ослабление условия (3)....................................75

3 Существование и устойчивость единственного периодического решения 77

§10. Существование единственного периодического решения 78

Неавтономный случай......................................78

Автономный случай........................................82

§11. Существование и устойчивсть единственного периодического решения............................................85

Неавтономный случай......................................85

Автономный случай........................................87

§12. Пример множества Ляпунова для неавтономных систем 89

О проверке условий теоремы 11.1........................89

Простейший пример множества Ляпунова для неавтономных систем......................................92

Существование множества Ляпунова как экстремальная задача ..........................................96

Управление маятником с трением........................98

§13. Пример множества Ляпунова для автономных систем . 104 Простейший пример множества Ляпунова для автономных систем......................................104

Алгоритм проверки условия существования множества

Ляпунова......................106

§14. Оптимизация системы с управлениями, прилагаемыми

в конечные моменты времени..............................108

Задача квазистатической оптимизации.........109

Замкнутая система с оптимальным квазистатическим

управлением........................................111

4 Периодический оператор сдвига и условно — периодические кривые 114

§15. Периодический оператор сдвига..........................115

Определения и основные свойства........................115

Функционально - дифференциальные уравнения

запаздывающего типа..............................118

§16. Условно - периодические и присоединенные кривые . . 119

Условно - периодические и присоединенные кривые . 120 Существование присоединенных условно - периодических кривых....................121

Функционально - дифференциальные уравнения

запаздывающего типа...............128

Автономный случай....................129

§17. Существование присоединенных периодических кривых 130 Регулярные кривые и существование присоединенных

периодических кривых..............131

Функционально - дифференциальные уравнения

запаздывающего типа...............134

Приложение к дифференциальным уравнениям Кара-

теодори.......................135

5 Периодические и условно - периодические процессы в управляемых системах 138 §18. Задача слежения для системы с управлениями, прилагаемыми в конечные моменты времени.........139

Исходная задача управления...............139

Квазистатическое приближение к исходной задаче . . 141

Физическая реализуемость управлений..................147

§19. Управление процессом регенерации воздуха в замкнутом объеме.........................148

Краткое описание процесса................................148

Управление при постоянных источниках СО2 и стоках

02....................................................151

Управление при кусочно - постоянных источниках

СО2 и стоках О2....................................155

§20. Периодические управления в подсистеме ректификации

процесса разделения воздуха...............160

Краткое описание процесса................160

Краткое описание стадии ректификации........161

Управление стадией ректификации..........164

Субоптимальные периодические управления......166

Существование периодических процессов на стадии

ректификации...................171

Заключение 173

Литература 176

Приложение 189

Введение

Задача стабилизации, как известно, является одной из важнейших для теории управления. Эта задача постоянно возникает там, где требуется отследить некоторый номинальный режим, соответствующий положению равновесия системы и получаемый, например, при решении задачи статической оптимизации. В свете указанных позиций многие из существующих в настоящее время систем управления реальными помышленными процессами основаны на локальных регуляторах, действующих по отклонениям от номинального статического режима. Задача управления, таким образом, здесь сводится к отысканию, скажем, оптимального статического режима и автоматическому поддержанию режимов работы, найденных в результате статической оптимизации.

Построеная по такому принципу система управления, однако, далеко не всегда является оптимальной с технологической точки зрения. В ряде случаев там, где дальнейшее изменение регулируемых параметров не может уже привести к улучшению показателей процесса, существуют дополнительные возможности его интенсификации. Так, в последнее время появилось большое количество работ, в которых на основании анализа многочисленных экспериментов и результатов численного моделирования химико - технологических, пищевых и ряда других процессов установлено, что эффективность

многих из этих процессов (тепло - и массобменных и каталитических) может быть повышена, если вместо постоянного управления, полученного в результате решения задачи статической оптимизации, использовать периодическое управление со средним значением, равным значению оптимального статического управления. И, хотя, эта идея нашла многочисленные подтверждения, в настоящее время практически отсутствует математический аппарат для исследования периодических процессов в задачах управления.

Первые попытки использования строгих математических методов для построения периодических поцессов были связаны либо с исследованием линейных систем, либо находились в предположении о существовании оптимального периодического режима, подлежащего определению. На практике, однако, получить периодический режим, тем более оптимальный, удается далеко не всегда.

Вопрос о существовании периодических режимов представляется весьма важным для теории автоматического управления еще и потому, что, как выяснилось, повышение эффективности процессов при использовании периодических управлений, вообще говоря, может рассматриваться как некое технологическое проявление весьма интенсивно развивающегося в настоящее время принципа обратной связи.

Таким образом, в этой области интересы теории автоматического управления начинают пересекаться с интересами теории дифференциальных уравнений и, особенно, теории колебаний, поскольку вопрос о существовании периодических режимов для последних является одним из важнейших. Многочисленные результаты, полученные здесь, не гарантируют существование периодических решений у нелинейных систем размерности более двух, даже если все решения ограничены. Что же касается многомерного нелинейного случая,

то здесь, как известно, из существования ограниченного решения следует существование только инвариантного интегрального множества.

Именно последний случай, когда система с периодической правой частью не имеет периодических решений (по крайней мере с заданными начальными значениями) представляется наиболее типичным для задач управления реальными процессами. Сказанное, в частности, объясняется тем, что тепло - и массобмен обычно происходят при турбулентном режиме движения жидкости или газа. При этом выяснилось, что когда речь идет о математическом описании турбулентности, лучше всего описывают действительность гиперболические притягивающие множества. Приближение фазовых траекторий к гиперболическому притягивающему множеству представляет собой стремление системы к некоторому предельному режиму. Этот режим структурно устойчив и, одновременно, весьма сложен, а по своим свойствам аналогичен стохастичекому режиму.

Заметим теперь, что в случае систем с периодическими управлениями ситуация еще более усложняется, поскольку векторное поле, являющееся полем фазовой скорости для гиперболического притягивающего множества, здесь существенным образом зависит от внешней возмущающей силы, которая изменяется по периодическому закону. Поэтому возникает задача о разработке математического аппарата, позволяющего исследовать указанное явление. Как будет показано, данная задача, имеющая самостоятельное значение, оказывается весьма полезной при рассмотрении и некоторых задач оптимального управления.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка математических методов исследования периодических процессов в задачах управления. Данные методы базируются на новом для

теории дифференциальных уравнений понятии условно - периодического решения и должны не только возможно более полно описывать поведение решений систем с периодическими управлениями, но и позволять рассматривать задачи отыскания оптимальных периодических и условно - периодических процессов и задачи синтеза периодических законов управления, предназначенных для реализации заданных периодических режимов.

В работе используется аппарат теории автоматического управления, теории дифференциальных уравнений, теории оптимального управления, теории функций действительного переменного, дифференциальной геометрии и математического программирования. Содержание диссертационной работы изложено в пяти главах.

В первой главе выясняется современное состояние проблемы, определяется роль и место рассматриваемых задач в теории управления и качественной теории дифференциальных уравнений, формулируются основные цели исследования, излагается основная идея работы.

Во второй главе приведено определение условно - периодического решения и рассмотрены вопросы существования периодических и условно - периодических решений дифференциальных уравнений. В частности, доказано, что если система имеет ограниченное решение, то она имеет также и условно - периодическое решение. Показано, что в трехмерном пространстве существует система, все решения которой ограничены, но которая не имеет ни одного периодического решения периода, равного периоду правой части системы/ В качестве одного из приложений этого результата установлено, что задача об отыскании отпимального периодического режима далеко не всегда имеет решение.

В третьей главе рассматривается проблема существования

устойчивого в целом периодического режима. Получены условия существования такого режима. Показано, что в некоторых случаях эти условия сводят проблему существования и устойчивости периодического режима к некоторой конечномерной экстремальной задаче. Предложен алгоритм, приводящий к конструктивной процедуре ре-

О «_» т-г <_»

шения упомянутой экстремальной задачи. Далее, в третьей главе сформулирована и решена задача квазистатической оптимизации системы с управлениями, прилагаемыми в конечные моменты времени, и в качестве приложения полученных ранее результатов приведены условия существования асимптотически устойчивого в целом оптимального квазистатического режима.

В четвертой главе в рамках дальнейшего развития аппарата исследования систем с периодической правой частью изучен класс объектов, характеризуемых периодическим оператором сдвига вдоль кривых. Данный класс включает в себя такие объекты как дифференциальные уравнения Каратеодори и функционально - дифференциальные уравнения запаздывающего типа. Для периодического оператора сдвига вдоль кривых введено понятие условно - периодической кривой, аналогичное понятию условно - периодического решения. Показано, что из существования у некоторого оператора сдвига кривой, содержащейся в некотором компактном множестве, следует существование у него условно - периодической кривой.

В пятой главе в рамках приложения разработанного в главах 2-4 аппарата сформулирована задача, имеющая большое практическое значение при оптимизации процессов очистки и регерерации газов, о сушки и других процессов со сменным катализатором. Для этой задачи приведены условия существования устойчивых в целом периодических режимов и условия физической реализуемости заданного кусочно - постоянного номинального режима. Здесь же рассмо-

трены также две задачи управления реальными процессами. Одна из этих задач является приложением полученых ранее результатов к исследованию задачи синтеза ситемы управления процессом очистки и регенерации воздуха в замкнутом объеме; полученные здесь результаты носят законченный характер, вполне пригодный для практического использования. Вторая из этих задач связана с изучением одного из наиболее характерных процессов, в которых использование периодических управлений приводит к повышению эффективности процесса. Этим процессом является процесс ректификации и в пятой главе рассматривается задача управления подсистемой ректификации процесса разделения воздуха. Поскольку данный процесс является необычайно сложным технологическим процессом, приведенные здесь результаты носят более иллюстративный характер, главным образом, подтверждающий эффективность использования периодических управлений.

Основные положения диссертации докладывались на научном семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском государственном университете (март 1994 г.) и научных семинарах Института проблем управления РАН и Института системного анализа РАН (1989 - 97 г.г.), на третьей Всесоюзной школе «Прикладные проблемы управления макросистемами» (Ап-патиты, май 1989 г.), четвертой Всероссийской научно - технической конференции «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования» (Тамбов, октябрь 1995 г.) и четвертой научно - практической конференции в Тамбовском государственном техническом университете (Тамбов, апрель 1997 г.).

Полученные в диссертации результаты вошли в курс лекций «Специальные главы технической кибернетики», прочитанный ав-

тором в 1992 - 97 г.г. в Тамбовском государственном техническом университете. В настоящее время планируется внедрение основных результатов работы в учебный процесс на физико - математическом и экономическом факультетах Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина. Кроме того, основные результаты диссертации используются при разработке систем очистки и регенерации воздуха в Тамбовском научно - исследовательском химическом институте.

Основные результаты работы опубликованы в изданиях, оговоренных ГВАК России.

Глава 1

Периодические процессы в задачах

управления

Настоящая глава посвящена рассмотрению ряда вопросов, связанных с существованием периодических и условно - периодических процессов в управляемых динамических системах.

Открывает главу §1, в котором выявлена основная задача о периодических режимах в реальных промышленных процессах. Выявлению этой задачи предшествует анализ современного состояния вопроса об использовании периодических управлений в реальных промышленных процессах. Здесь же приводятся некоторые рассуждения, позволяющие в известной степени обосновать эффективность применения на практике периодических управлений.

Одними из важнейших зада