автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка методов исследования и критериев общности положения нелинейных систем управления на основе теории дифференциальной геометрии

На правах рукописи

Баранов Александр Владимирович

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ И КРИТЕРИЕВ ОБЩНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Специальность: 05.13.01-Системный анализ, управление и обработка информации (технические системы)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

гиВБО

Санкт-Петербург - 2009

003470850

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина).

Научный руководитель -

доктор технических наук, профессор Душин Сергей Евгеньевич Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Лукомский Юрий Александрович доктор технических наук, профессор Осипов Леонид Андроникович

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный университет

информационных технологий, механики и оптики (СПбГУ ИТМО)

Защита диссертации состоится «£Ь> и^сн^ 2009 г. в часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.238.07 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) по адресу: 197376, г. Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д. 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан <»¿0» Линя. 2009 г.

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций

Цехановский В. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Высокие требования, предъявляемые к свойствам поведения современных технических систем, способствуют разработке новых и совершенствованию существующих направлений теории автоматического управления. Традиционное использование линейных и линеаризованных математических моделей (ММ) объектов, функционирующих в условиях значительных сигнальных и параметрических возмущений, не всегда позволяют добиваться поставленных целей управления, что объективно ведёт к необходимости учёта нелинейностей. Среди большого разнообразия нелинейных систем (НС), изучаемых в теории управления, можно выделить классы аффинных и полиномиальных, для которых в настоящее время получены конструктивные результаты, представленные в работах Ю.Н. Андреева, А.П. Крищенко, П.Е. Крауча, У. Портера, Ф. Сверна и др. При исследовании и проектировании систем управления (СУ) различными техническими объектами и технологическими процессами возникает задача управляемости, как правило, предшествующая решению задач синтеза и оптимизации.

Проблема управляемости нелинейных СУ относится к числу фундаментальных. На важность её исследования в системах различных классов обращалось внимание в трудах известных отечественных и зарубежных учёных: A.A. Андронова, Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой, A.A. Красовского, А.М. Летова, A.M. Малышенко, ЭЛ. Рапопорта, Р.У. Брокетта, Р. Калмана, Р. Германна, Э.Б. Ли, К. Лобри, А. Кренера, Л. Маркуса, Д. Шильяка и многих других. Однако к настоящему времени окончательного разрешения эта проблема не имеет. Её решение возможно лишь для объектов управления (ОУ) ограниченного класса и при определённых условиях функционирования. С повышением порядка СУ трудности решения значительно возрастают. Синтез систем, особенно нелинейных со сложной структурой, в первую очередь требует ответа на вопрос о принципиальной возможности управления данным объектом. Игнорирование этого вопроса при проектировании может привести к тяжёлым последствиям при эксплуатации реальных технических систем.

Часто, с целью упрощения, проблему управляемости нелинейных СУ сводят к исследованию другого системного свойства — общности положения. Вопросы общности положения достаточно подробно обсуждались в трудах Л.С. Поптряпша, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, A.A. Воронова, В.А. Олейникова, Н.В. Смирнова, B.C. Хорошавина, A.A. Колесникова и др. Для линейных систем условия общности положения и управляемости (по Р. Калману) являются тождественными. Для нелинейных аффинных систем, как было показано проф. В.А. Олейниковым, критерий общности положения можно трактовать как условие управляемости.

Л/

Современное состояние теории и практики автоматического управления допускает различные подходы к решению задач управляемости и общности положения. Применение аппарата линейной алгебры для НС зачастую оказывается недостаточным и возникает потребность в использовании методов дифференциальной геометрии и теории групп (В.И. Арнольд, В.И. Елкин, А.П. Крищенко, В.И. Краснощёченко, Н.Б. Филимонов, П. Олвер, У.М. Уонем, Ф. Уорнер и др.). Геометрический подход даёт возможность с единых позиций производить анализ системных свойств, синтез алгоритмов управления и оптимизацию. Запись условий общности положения (УОП) в форме коммутаторов векторных полей позволяет установить схожесть и различия в критериях управляемости и общности положения изучаемых НС разных порядков, выявить новые качественные свойства поведения управляемых объектов.

Как показал сравнительный анализ, известные методы и алгоритмы исследования общности положения практически применимы для НС невысокого порядка. При повышении порядка систем существующие алгоритмы анализа УОП значительно усложняются, что препятствует их использованию для выявления новых свойств поведения НС рассматриваемых классов. Традиционные подходы обычно не учитывают структурные и функциональные особенности СУ, что могло бы существенно облегчить анализ. Разработка критериев определения общности положения для СУ произвольного порядка и создание на их основе алгоритмического и программного обеспечения способствовали бы уменьшению сроков проектирования реальных СУ. Таким образом, разработка и развитие методов исследования УОП нелинейных аффинных, в частности, полиномиальных СУ, получение новых критериев определения общности положения, создание адекватного алгоритмического и программного обеспечения являются актуальными задачами автоматического управления.

Цель диссертационной работы заключается в разработке методов исследования и критериев общности положения аффинных, в том числе полиномиальных, систем управления на основе математического аппарата дифференциальной геометрии.

Для достижения поставленной цели в диссертации решались следующие задачи.

1. Разработка алгебраического метода исследования общности положения нелинейных аффинных систем со скалярным и векторным управлением на основе теории дифференциальной геометрии.

2. Получение ранговых критериев общности положения для нелинейных аффинных, в частности, полиномиальных систем управления.

3. Разработка структурного метода исследования общности положения нелинейных аффинных систем управления.

4. Разработка количественных оценок близости состояния нелинейных аффинных систем к установленным границам общности положения.

5. Разработка алгоритмического и программного обеспечения анализа общности положения нелинейных аффинных систем.

6. Применение разработанных методов, критериев и алгоритмов для анализа общности положения различных технических объектов.

Объектом исследования в работе является класс нелинейных аффинных, в том числе полиномиальных, математических моделей СУ.

Предмет исследования составляет создание и развитие методов анализа общности положения нелинейных аффинных СУ, разработка адекватных критериев и оценок па основе теории дифференциальной геометрии.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались методы теории дифференциальной геометрии и теории групп, теории матриц и функционального анализа, теории автоматического управления. Теоретические положения подтверждаются результатами компьютерного моделирования в среде символьных преобразований Maple.

Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Разработан алгебраический метод исследования общности положения нелинейных аффинных систем со скалярным и векторным управлением с использованием дифференциально-геометрического математического аппарата.

2. Получены ранговые критерии общности положения для нелинейных аффинных, в частности, полиномиальных, систем различных порядков.

3. Разработан структурный метод анализа общности положения нелинейных аффинных систем для типовых соединений звеньев.

4. Получены количественные оценки (меры) близости состояний нелинейных аффинных систем к границам общности положения.

5. Разработано алгоритмическое обеспечение для анализа общности положения аффинных систем.

Степень новизны научных результатов.

1. Разработанный алгебраический метод исследования общности положения нелинейных аффинных систем, в отличие от известных, базируется на математическом аппарате дифференциальной геометрии и теории групп, что позволяет на единой основе определять достаточные условия общности положения и выявлять в пространстве состояний инвариантные к управлению многообразия, которые необходимо учитывать при синтезе и оптимизации.

2. Полученные ранговые критерии общности положения, отличающиеся использованием коммутаторов векторных полей, применимы для нелинейных аффинных систем произвольных порядков с векторным управлением. Для аффинных систем второго порядка найденный критерий общности положения определяется собственными свойствами объекта и не

зависит от приложенного управления. Для полиномиальных систем полученный критерий, в отличие от известных, позволяет установить связь общности положения с функциональными особенностями нелинейностей.

3. Разработанный структурный метод анализа общности положения учитывает типовые структуры соединений звеньев, что позволяет установить связь общности положения со структурными особенностями нелинейных систем.

4. Предложенные количественные оценки (меры), основанные на сингулярном разложении прямоугольных матриц, позволяют определить близость состояния нелинейных аффинных систем к границам допустимых областей выполнения условий общности положения.

5. Алгоритмическое обеспечение для анализа общности положения аффинных систем, реализованное в программной среде символьной математики Maple, обладает полнотой и универсальностью. Предложенные алгоритмы характеризуются единообразием их построения.

Степень достоверности научных результатов. Достоверность научных положений, результатов и выводов подтверждается: корректным использованием апробированных методов исследования; сравнением результатов анализа и вычислительных экспериментов по разработанным методам, алгоритмам и программам с известными; обсуждением полученных результатов на представительных научных конференциях и экспертизой публикаций в ведущих научных изданиях.

Практическая ценность. Практическая ценность полученных результатов заключается в разработанных критериях и оценках, алгоритмическом и программном обеспечении для установления управляемости и общности положения, позволяющих сократить время проектирования и повысить качество проектов, предотвратить аварийные ситуации в процессе эксплуатации. Они могут быть использованы в различных отраслях промышленности при создании автоматизированных систем научных исследований и проектирования современных систем автоматического управления техническими объектами и технологическими процессами.

Реализация результатов. Работа выполнена на кафедре Автоматики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» и связана с проведением автором ряда госбюджетных работ по заданию Министерства образования и науки РФ.

Полученные в работе результаты внедрены в практику проектирования СУ технологическими процессами производства резинотехническими изделиями ЗАО «Петрошина» г. Санкт-Петербурга, а также используются в учебном процессе на кафедре Автоматики и процессов управления СПбГЭТУ «ЛЭТИ», о чём имеются соответствующие акты.

Положения диссертационной работы, выпоснмые па зашшу

1. Алгебраический и структурный методы исследования общности положения нелинейных аффинных СУ с использованием диффсрснциалыю-гсомстрического математического аппарата.

2. Ранговый критерий общности положения для нелинейных аффинных СУ произвольных порядков.

3. Количественная оценка близости состояния нелинейной аффинной системы к установленной границе общности положения.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на Всероссийских научных конференциях «Управление и информационные технологии» в 2003, 2005, 2006, 2008 гг., одиннадцатой и двенадцатой международной студенческой олимпиаде по автоматическому управлению (Балтийская олимпиада - ВОАС 2006, 2008), международной научной конференции «Системный синтез и прикладная синергетика - 2006», 4-й Всероссийской научно-практической конференции «Системы управления электротехническими объектами», межвузовской научной конференции «Завалишинские чтения - 2008», а также на конференциях профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ «ЛЭТИ» в 2005-2008 годах.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пятнадцати печатных работах, в том числе в пяти журнальных статьях (две из них из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных научных результатов) и в десяти сборниках материалов международных и всероссийских научно-технических конференций.

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, двух приложений, изложенных на 145 страницах основного текста, содержит 17 рисунков, 4 таблицы. Список литературы включает 144 работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и основные задачи исследования, положения, выносимые на защиту, показана научная новизна и значимость работы, перечислены методы исследований.

Первая глава посвящена обзору методов исследования управляемости и общности положения НС. Анализ известных работ по управляемости и общности положения показал, что проблема исследования указанных системных свойств полностью не решена. Приводятся основные понятия и определения теории управляемости и общности положения. В качестве объектов исследования выбраны математические нелинейные модели СУ - аффинные и полиномиальные системы. Дано обоснование выбора математического аппарата для проведе-

ния исследований - метода дифференциальной геометрии и теории алгебр и групп Ли, сформулированы цель и задачи диссертационной работы.

Синтезу алгоритмов управления должны предшествовать исследования, направленные на установление принципиальных возможностей осуществления процессов управления в заданной системе (объекте). Эти возможности в значительной степени выявляются при изучении свойства системы, которое принято называть управляемостью. В основе поиска возможных управлений для нелинейных объектов лежат УОП. Вытекающие из соотношений принципа максимума Л.С. Понтрягина, УОП гарантируют однозначное нахождение оптимального по быстродействию управления исходя из основных положений указанного принципа; при этом оказывается, что функция управления кусочно-постоянная и её значениями являются вершины многогранника ограничений на управление. В работе приводятся алгебраическая и геометрическая формулировки УОП.

Для исследования НС и возникающих в них особых ситуаций в работах проф. В.А. Олейникова и его учеников был разработан математический аппарат, позволяющий определять особые траектории, зависящие в явном виде от координат состояния нелинейного объекта. При этом утверждалось, что УОП представляют собой критерий управляемости для НС рассматриваемого класса. Утверждение подкреплялось анализом многочисленных примеров, из которого следовало, что УОП позволяют определять не только размерность пространства управления, но и особые поверхности этого пространства. Таким образом, применение методов качественного исследования управляемости и общности положения нелинейных объектов направлено на обнаружение новых закономерностей, обусловленных природой протекающих физических процессов и структурой этих объектов. Выявляемые в пространстве состояний особые многообразия представляют собой соотношения - инварианты во времени - связывающие между собой координаты и параметры объектов.

Выполнение УОП в виде соответствующего рангового критерия указывает на существование управления из определённого класса функций (кусочно-постоянных, непрерывных, измеримых), которое переводит объект из одного состояния в другое.

Как показывает анализ ММ реальных объектов, многие из них являются аффинными и могут быть представлены векторно-матричным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

х = А(х)+В(х)и, (1)

где хе Я" - и-мерный вектор-столбец координат, А(х) и В(х) - гладкие (дифференцируемые необходимое количество раз) функциональные матрицы с элементами , х*2,х„), /2(х,,л2,...,д:„), ..., /„(*!,х2,...,*„) и , /' = 1,2, ...,п , 7=1,2, ...,т соответст-

венно, ие/Г — т -мерный вектор-столбец управлений щ,иг,..., ит. Предполагается, что ДУ (1) удовлетворяет известным условиям существования и единственности.

Если матрицы А(х) и В(х) состоят из элементов, заданных полипомами, то такие системы называются полиномиальными. Описание полиномиальной системы имеет вид:

^СЧХ1Х2 ■

+ (2)

• ..х1'

где / = (/,,/2...!„) - мультииндекс, с,1 = 2,3, ...,п - коэффициенты полиномов, зависящие только от I.

Функциональная матрица

0„=[В,(х,и) В2(х,и) ... В„(х,ч)], где элементы Ву(х, и) определяются рекуррентным образом

получила название матрицы УОП для аффинных систем.

При разработке методов исследования и критериев общности положения для СУ представленного вида (1) и (2) целесообразно учитывать структурные особенности их построения.

Вторая глава посвящена разработке методов исследования и критериев общности положения аффинных и полиномиальных СУ на основе теории дифференциальной геометрии. Основываясь на выражениях для скобок Ли различных порядков, а также используя свойства коммутатора векторных полей, для аффинной системы п -го порядка со скалярным управлением получена матрица УОП

Оп = [аё ° В(х) ас1 ^В, (х, и)+ас1 |,В, (х, и)и ... ас) (х, и)+аА ¡,В„_, (х, и)и], причем скобки Ли нулевого и первого порядка, составляющие матрицу, определяются выражениями а<1 °в(х) = в(х) и асЗ ^В(х) = [А(х),В(х))(х) = ^^А(х)-^^В(х) соответственно.

дх дх

Критерием общности положения для НС произвольного порядка является выполнение рангового условия

гапкО„ -п

для любого момента времени. Другими словами, ранг матрицы при движении системы не меняется и равен п.

Наличие управления в выражениях элементов, составляющих матрицу УОП, весьма усложняет исследование общности положения НС. На основе рекуррентного представления В, (х, и) = аё [П^, (х, и) + ах1 ¡,Ву_, (х, и)и = [А(х), В;_, (х, и)] + [В(х), (х, и)]и, / = 2,3,...,« сформулированы условия инвариантности матрицы к управлению и. Для этого достаточно, чтобы в точке пространства, где вычисляется коммутатор, выполнялись условия

а<3 ¡,В,_,(х,и) = 0, / = 2,3,..„и, т. е. направления векторов В(х) и В;_,(х) совпадали. При выполнении этих условий для всех

В,_, (х), / = 2,3.....п по отношению к вектору В(х), матрица УОП приобретает вид

Б„=[ас1°В(х) ас^ВДх) ... аа^В„.,(х)].

Разработаны критерии общности положения для аффинных систем второго и третьего порядка со скалярным управлением. Для СУ 2-го порядка матрица УОП

И2 =(В [А(х), В(х)]).

Элементы матрицы УОП и, соответственно, её ранг (детерминант), не зависят от и. Случаи потери общности положения определяются исключительно собственными свойствами СУ.

Матрица УОП для систем 3-го порядка

= [ас1 дВ(х) ас! 'дВ(х) ас! 1В(х)-ас1 ¿А(х)и], где ас1 дВ(х) = [А(х),ас1 'дВ(х)](х). Матрица УОП и, следовательно, её ранг в общем случае зависят от управления и. Достаточное условие инвариантности матрицы к и:

а(1*А(х) = 0.

Для установления общности положения аффинных систем с векторным управлением с использованием теории дифференциальной геометрии получена матрица УОП 1>™ =КС,(х)...а<Ст(х) ас11АС1(х)...а<11АСт(х) ас1'АВ21(х, и1)+<|(1)Вя(х,«1>11 ...

¡"^„.„.(х,«О+аа^уВ^.Дх,...аа^В(Ы)„(х,и„)+а(1^В(„_|)т(х,ия)ия], где Су (х), / = 1,2,..., т - / -е столбцы матрицы В(х).

Критерием общности положения является выполнение равенства

гапкВ„„ =п

в любой момент времени.

Достаточное условие инвариантности матрицы УОП к управлению сводится к выполнению

Показано, что для аффинных систем второго порядка с векторным управлением матрица УОП будет иметь представление:

022=(в(х) [А(х),С[(х)] [л(х),О,(х)|).

Ранговый критерий общности положения не зависит от управления и.

Метод исследования общности положения для аффинных систем был распространен на класс полиномиальных систем вида (2). Рассмотрен случай, когда описание ОУ 2-го порядка представлено линейными бинарными формами (бинарные системы). В целом же метод применим и для более сложного описания ОУ (квадратичные и кубичные, тернарные формы). Выявлены особые случаи, приводящие к потере общности положения, которые соответствуют различным механизмам понижения степени полиномиальной функции определителя матрицы УОП.

Третья глава посвящена разработке структурного метода анализа общности положения аффинных систем. Решается задача установления связи между свойством общности положения НС рассматриваемого класса с их структурными особенностями. Разработан метод исследования общности положения для объектов типовых структур, допускающих последовательное и параллельное соединения произвольного числа обобщённых нелинейных звеньев (ОНЗ).

Для типовых соединений ОНЗ получены представления матриц УОП, по которым устанавливается связь общности положения со структурой, тем самым упрощая анализ. Сформулированы частные критерии общности положения для аффинных ОУ 2-го и 3-го порядков, заданных типовыми соединениями ОНЗ, отличающиеся сравнительной простотой и компактностью записи.

Для объектов с последовательным соединением произвольного числа ОНЗ (рис. 1а) матрица УОП имеет верхнетреугольную структуру, а её детерминант определяется только диагональными элементами. Эта особенность структуры позволяет выявлять нелинейности, не влияющие на общность положения.

■-/и

/лО XV /

Г

Ао !

XI

-/и

■ Ло -»О-* I

а)

б)

Рис. 1. Типовые соединения ОНЗ

Делается утверждение, что если среди п ОНЗ, включенных параллельно (рис. 16), имеется т одинаковых, то объект будет обладать общностью положения в пространстве . Выявлено, при каких условиях это пространство может содержать особые поверхности (точки, кривые), на которых нарушаются УОП. Реальные промышленные объекты часто содержат параллельно включенные устройства, описываемые идентичными ОНЗ, что, как показано, упрощает исследование общности положения.

Четвертая глава посвящена получению количественных оценок общности положения нелинейных аффинных систем. Установление общности положения и управляемости систем на основе «пороговых» критериев часто является недостаточным для формирования инженерного подхода к решению разнообразных задач анализа и синтеза, ибо имеет сугубо качественный характер. На практике всегда важно знать, в какой мере объект является управляемым по той или иной координате или в целом, т. е. существенное значение приобретает вопрос о количественных оценках (мерах) общности положения и управляемости. Понятие меры общности положения должно не только определять строгую границу между выполнением критерия общности положения и его невыполнением, но также учитывать степень близости состояния СУ к этой границе.

В работе ставится и решается задача получения количественных оценок (мер) общности положения для систем со скалярным управлением. Предлагаемый подход к построению количественных оценок для анализа общности положения нелинейных ОУ базируется на использовании сингулярных разложений прямоугольных матриц. Для любого фиксированного г-го набора х, (/) и «, (/) матрица УОП

»„ = [*,(*,(')) Вг(х,('Ы')) ... В„(х,(/),»,('))].

а её размер (пкп). Сингулярное разложение матрицы УОП:

Ь„ =Р, О,

где Р, - ортогональная матрица размера (ихи), построенная из собственных векторов матрицы , И, - ортогональная матрица размера (ихи), построенная из собственных векторов матрицы .

Квадратная блочная матрица <2, размера (их л) имеет специальную структуру

<?,=(М, 0),

где М, =cliag{¿i¡¡,/^l¡,...,fll ), а остальные элементы матрицы равны нулю. Элементами квадратной матрицы М, являются сингулярные числа -"'Л» матрицы УОП 1)„ ,

расположенные в порядке их убывания (невозрастания).

Величина, обратная спектральному числу обусловленности матрицы М, £ =_\_= ^

CondltM.,) м„ '

может представлять количествеш1ую меру обпщости положения системы для фиксированного набора x,(f), u,(t). Для скалярного управления (и е R1) матрица УОП является квадратной и, следовательно, мерой общности положения для г-го набора может служить величина, обратная спектральному числу обусловленности матрицы Dn :

' СопсИ(р„ )

На практике рекомендуется, чтобы значения не располагались близко к нулю, а именно: не попадали в интервал [0-т- ОД]. Для систем, функционирующих в условиях большой неопределенности моделей объекта и внешней среды, а также при повышенных требованиях к работоспособности, следует выбирать более широкий интервал значений.

В качестве обобщённой количественной меры общности положения для нелинейных систем, определяемой по всем /-м наборам x(i,), u(tj при фиксированном управлении и может служить величина

£„ = inf-—г = inf—.

' Cond2{M,) ' д

На использовании обобщённой меры основано сравнительное количественное оценивание общности положения нелинейных систем при различных управлениях.

Применение количественных оценок позволяет целенаправленно корректировать структуру и параметры моделей объектов и может служить методологической базой в задачах поиска оптимальных (или приемлемых) управлений.

Пятая глава посвящена разработке алгоритмического и программного обеспечения анализа общности положения НС, а также исследованию общности положения конкретного технического ОУ - газоструйной мельницы.

Решение задач анализа общности положения с использованием разработанных в работе методов приводит к алгебраизации этих задач в терминах коммутаторов векторных полей различных порядков. В процессе решения используются полученные рекуррентные аналитические соотношения, упрощающие процедуру вычисления векторов, составляющих блочную матрицу УОП. Эти обстоятельства обусловливают также сокращение объема и времени вычислений, необходимых для получения ранга (определителя) функциональной матрицы УОП в символьном виде. Использование в работе мощного встроенного языка пакета символьной

математики Maple и развитые средства визуализации результатов вычислений делают возможным эффективную программную реализацию алгоритмов исследования общности положения с применением двух- и трехмерной графики.

Алгоритм определения УОП нелинейных аффинных систем произвольного порядка со скалярным управлением представлен на рис. 2.

Рис. 2. Алгоритм определения УОП нелинейных аффинных систем произвольного порядка со скалярным управлением

Предложенный алгоритм реализован в программной среде Марк для систем до четвертого порядка включительно. Объективных технических трудностей, препятствующих программной реализации алгоритмов анализа общности положения для систем высокого порядка, нет. Вместе с тем, программное обеспечение для определения УОП систем высокого порядка может включать в себя анализ структурных особенностей, что не требуется для систем низкого порядка. Также могут итеративно вычисляться меры близости состояния системы к границе общности положения, что повышает эффективность исследования.

Разработана ММ сложного ОУ - струйной мельницы, для которой производился анализ общности положения. Модель основана на представлении процесса измельчения и разделения материала как последовательности операций, связанных с разгоном материала до необходимых скоростей, измельчения в помольной камере, его транспортирования и разделения в циклонной части.

Модель ОУ представляется смешанным соединением нелинейных звеньев, замкнутых обратными связями. Показано, что максимальная размерность пространства, в котором происходит управление, равна четырём, но возможно снижение её на единицу. Была составлена упрощенная ММ процесса, в которой взаимный удар двух встречных струй заменён ударом одной струи о преграду. Исследование такой ММ показало, что размерность исследуемого пространства понижается на единицу. В работе предложено два пути анализа общности положения: 1) на основе решения системы ДУ; 2) с помощью разработанных критериев, не требующих решения ДУ.

В заключении сформулированы основные выводы по диссертационной работе в целом.

В приложении приведены примеры исследования общности положения технических объектов различного назначения с использованием пакета Марк. В состав рассмотренных объектов входят нелинейные элементы с одним или несколькими входами, допускающие описание гладкими характеристиками.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе получены научные и практические результаты, составляющие теоретическую, методическую и алгоритмическую основу анализа общности положения нелинейных аффинных, в том числе полиномиальных, СУ, которые сводятся к следующему.

1. Разработан алгебраический метод исследования общности положения нелинейных аффинных систем со скалярным и векторным управлением на основе теории дифференциальной геометрии.

2. Получены ранговые критерии общности положения для нелинейных аффинных СУ и, в частности, для полиномиальных систем, на основе которых были установлены связи общности положения с функциональными особенностями нелинейностей.

3. Разработан структурный метод исследования общности положения нелинейных аффинных СУ, позволивший найти закономерности в образовании областей управляемости объектов, имеющих различные типовые соединения звеньев.

4. Разработаны количественные оценки близости состояния нелинейных аффинных систем к установленным границам общности положения.

5. Разработано алгоритмическое и программное обеспечение для анализа общности положения нелинейных аффинных систем.

6. Произведена апробация методов, критериев и алгоритмов на математических моделях различных технических объектов с известными динамическими свойствами с целью подтверждения справедливости основных теоретических положений и выводов.

7. Произведено исследование условий общности положения полученной в работе математической модели нелинейного объекта (струйной мельницы). Найдены области существования допустимого управления. Даны практические рекомендации по управляемости объекта.

Дальнейшие исследования целесообразно проводить в направлениях развития методов синтеза нелинейных аффинных систем и оптимальных управлений, базирующихся на критериях общности положения, и расширения класса исследуемых нелинейных систем.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в издапиях, рекомендованных ВАК России:

1. Душин, С.Е. Анализ условий общности положения нелинейных систем методами дифференциальной геометрии [Текст] / A.B. Баранов, С.Е. Душин // Мехатроника, автоматизация, управление. - М.: Изд-во «Новые технологии», 2006, №5. - С. 2-6.

2. Душин, С.Е. Анализ условий общности положения нелинейных систем с несколькими управляющими воздействиями методами дифференциальной геометрии [Текст] / A.B. Баранов, С.Е. Душин // Мехатроника, автоматизация, управление. - М.: Изд-во «Новые технологии», 2007, №3. - С. 9-12.

Другие статьи и материалы конференций:

3. Баранов, A.B. Исследование общности положения аффинных систем с векторным управлением методом дифференциальной геометрии [Текст] / A.B. Баранов // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ», серия «Информатика, управление и компьютерные технологии». - СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2007, №2. - С. 71-74.

4. Баранов, A.B. Исследование общности положения типовых соединений нелинейных звеньев со скалярным управлением методом дифференциальной геометрии [Текст] / A.B. Баранов // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ», серия «Информатика, управление и компьютерные технологии». - СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2007, №3. - С. 45-49.

5. Баранов, A.B. Количественные оценки общности положения нелинейных систем со скалярным управлением [Текст] / A.B. Баранов // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». -СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008, №5. - С. 11-16.

6. Душин, С.Е. Условия потери управляемости по заданным функциям состояний равновесия для нелинейных объектов, представленных статическими моделями [Текст] / A.B. Баранов, С.Е. Душин // Сб. тр. Всерос. науч. конф. «Управление и информационные технологии - 2003». - Т. 1. - СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2003. - С. 92-97.

7. Душин, С.Е. Исследование условий общности положения нелинейных систем с использованием методов дифференциальной геометрии (скалярное управление) [Текст] / A.B. Баранов, С.Е. Душин // Сб. докл. Всерос. науч. конф. «Управление и информационные технологии - 2005». - Т.1. - СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2005. - С. 77-85.

8. Baranov, A.V. Analysis of State Commonness Condition of Nonlinear Systems with Differential Geometry Methods (Анализ общности положения нелинейных систем методами дифференциальной геометрии) [Текст] / A.V. Baranov // Preprints of 11th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). - Saint-Petersburg: SPb State University of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2006. - PP. 56-60.

9. Душин, С.Е. Исследование аффинных систем с векторным управлением на общность положения с использованием дифференциально-геометрического метода [Текст] / A.B. Баранов, С.Е. Душин // Сб. докл. межд. науч. конф. «Системный синтез и прикладная синергетика - 2006». - Пятигорск: РИА-КМВ, 2006. - С. 334-337.

10. Баранов, A.B. Дифференциально-геометрический критерий общности положения для аффинных систем второго порядка с векторным управлением [Текст] / A.B. Баранов // Сборник докладов Международной научной конференции «Системный синтез и прикладная синергетика-2006». - Т. 2. Пятигорск: РИА-КМВ, 2006. - С. 141-145.

11. Душин, С.Е. Исследование условий общности положения нелинейных систем с использованием методов дифференциальной геометрии (векторное управление) [Текст]/ A.B. Баранов, С.Е. Душин // Сб. докл. Всерос. науч. конф. «Управление и информационные технологии - 2006». - СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006. - С. 86-91.

12. Баранов, A.B. Критерий общности положения аффинных систем с векторным управлением [Текст] / A.B. Баранов II Системы управления электротехническими объектами: Тр. 4-ой Всерос. науч.-практ. конф. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. - С. 128-130.

13. Баранов, А.В. Количественное оценивание общности положения аффинных нелинейных систем управления [Текст] / А.В. Баранов // Завалишинские чтения: Сборник докладов. - СПб.: ГУАП, 2008. - С. 19-22.

14. Baranov, A.V. Quantitative Measures of State Commonness of Nonlinear Systems with Scalar Control (Количественные оценки общности положения нелинейных систем со скалярным управлением) [Текст] / A.V. Baranov // Preprints of 12th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). - Saint-Petersburg: SPb State Polytechnical University, SPb State University of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2008.-PP. 57-61.

15. Душин, C.E. Количественные оценки общности положения аффинных нелинейных систем управления [Текст] / А.В. Баранов, С.Е. Душин // Управление и информационные технологии (УИТ-2008): Доклады 5-й научной конференции, Санкт-Петербург, 14-16 окт. 2008 г. - СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008. - Т. 1. - С. 98-102.

Подписано в печать 12.05.09. Формат 60*84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 24.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства СПбГЭТУ "ЛЭТИ"

Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ" 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ УПРАВЛЯЕМОСТИ И ОБЩНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.

1.1. Основные понятия и определения теории управляемости и общности положения. Формы представления математических моделей.

1.2. Аналитический обзор методов исследования управляемости нелинейных систем.

1.2.1. Управляемость треугольных систем.

1.2.2. Критерий управляемости, основанный на методе инвариантных соотношений.

1.2.3. Структурная управляемость.

1.2.4. Мотивировка применения теории дифференциальной геометрии для решения задач управления нелинейными системами.

1.2.5. Дифференциально-геометрические методы исследования достижимости и управляемости нелинейных систем.

1.3. Связь условий общности положения с оптимальным управлением.

Выводы по главе 1.

2. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБЩНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ АФФИННЫХ И ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ.

2.1. Основные положения дифференциальной геометрии и теории групп.

2.2. Разработка метода и критерия общности положения для нелинейных аффинных систем произвольного порядка со скалярным управлением.

2.3. Критерии общности положения для аффинных систем второго и третьего порядка со скалярным управлением.

2.4. Разработка метода и критерия общности положения для нелинейных аффинных систем с векторным управлением произвольного порядка.

2.5. Критерий общности положения для нелинейных аффинных систем второго порядка с векторным управлением.

2.6. Разработка метода исследования общности положения полиномиальных систем.

Выводы по главе 2.

3. РАЗРАБОТКА СТРУКТУРНОГО МЕТОДА АНАЛИЗА

ОБЩНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ АФФИННЫХ СИСТЕМ.

3.1. Анализ общности положения для объектов с последовательным соединением двух звеньев.

3.2. Анализ общности положения для объектов с последовательным соединением трех звеньев.

3.3. Анализ общности положения для объектов с последовательным соединением произвольного числа звеньев.

3.4. Анализ общности положения для объектов с параллельным соединением двух звеньев.

3.5. Анализ общности положения для объектов с параллельным соединением трех звеньев.

3.6. Анализ общности положения для объектов с параллельным соединением произвольного числа звеньев.

Выводы по главе 3.

4. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ ОБЩНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ АФФИННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.

4.1. Мотивировка использования количественных оценок для системных свойств объектов управления.

4.2. Математические основы метода определения количественных оценок общности положения аффинных систем.

4.3. Количественные оценки общности положения аффинных систем со скалярным управлением.

Выводы по главе 4.

5. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМИЧЕСКОГО И ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ. АНАЛИЗ ОБЩНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ НА ПРИМЕРЕ ГАЗОСТРУЙНОЙ МЕЛЬНИЦЫ.

5.1. Алгоритмическое обеспечение анализа общности положения нелинейных систем.

5.1.1. Алгоритмизация критериев общности положения для аффинных систем.

5.1.2. Алгоритм определения У Oil для общего случая.

5.1.3. Алгоритм определения УОП для систем второго порядка.

5.1.4. Алгоритм определения УОП для систем третьего порядка.

5.2. Программная реализация алгоритмов.

5.2.1. Реализация алгоритма для системы второго порядка.

5.2.2. Реализация алгоритма для системы третьего порядка.

5.2.3. Особенности программной реализации алгоритмов для систем высокого порядка.

5.3. Пример анализа общности положения конкретного технического объекта управления - газоструйной мельницы.

5.4. Математическое описание объекта управления.

5.4.1. Краткое описание работы мельницы.

5.4.2. Математическая модель инжектора.

5.4.3. Математическая модель помола материала.

5.4.4. Математическая модель пьглеразделителя.

5.5. Исследование общности положения системы.

Выводы по главе 5.

Актуальность работы. Современные требования к сложным техническим системам способствуют разработке новых и совершенствованию существующих направлений теории автоматического управления. Традиционное использование линейных и линеаризованных математических моделей объектов, функционирующих в условиях значительных сигнальных и параметрических возмущений, не всегда позволяют добиваться желаемых результатов, что объективно ведёт к необходимости учёта нелинейностей. Среди большого разнообразия нелинейных моделей, изучаемых в теории управления (ТУ), можно выделить аффинные и полиномиальные, для которых в настоящее время получены конструктивные результаты (в работах Ю.Н. Андреева, А.П. Крищенко, П.Е. Крауча, У. Портера, Ф. Сверна и др.). При исследовании и проектировании систем управления (СУ) различными техническими объектами и технологическими процессами возникает задача управляемости, как правило, предшествующая решению задач синтеза и оптимизации.

Проблемы управляемости нелинейных СУ относятся к числу фундаментальных. На важность их исследования в системах различных классов обращалось внимание в трудах известных отечественных и зарубежных учёных: А.А. Андронова, Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой, А.А. Красовского, A.M. Летова, Б.Н. Петрова, A.M. Малышенко, Э.Я. Рапопорта, Р.У. Брокетта, Р. Калмана, Р. Германна, Э.Б. Ли, К. Лобри, А. Кренера, Л. Маркуса, Д. Шильяка и многих других. Однако к настоящему времени окончательного разрешения эти проблемы не имеют. Их решение возможно лишь для объектов управления (ОУ) ограниченного класса и при определённых условиях функционирования. С повышением порядка ОУ трудности решения значительно возрастают. Синтез систем, особенно нелинейных со сложной структурой, в первую очередь требует ответа на вопрос о принципиальной возможности управления данным объектом. Игнорирование этого вопроса при проектировании может привести к тяжёлым последствиям при эксплуатации реальных технических систем.

Часто, с целью упрощения, проблему управляемости сводят к исследованию другого системного свойства — общности положения. Постановка задачи и анализ общности положения достаточно подробно описывались в трудах Л.С. Понтрягина, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, А.А. Воронова, В.А. Олейникова, Н.В. Смирнова, B.C. Хорошавина, А.А. Колесникова и др. Для линейных систем условия общности положения и управляемости (по Р. Калману) являются тождественными. Для нелинейных аффинных систем, как было показано В.А. Олейниковым, критерий общности положения можно трактовать как условие управляемости.

Современное состояние теории и практики автоматического управления допускает различные подходы к решению указанных проблем. Применение аппарата линейной алгебры для нелинейных систем (НС) часто оказывается недостаточным и возникает потребность в использовании методов дифференциальной геометрии и теории групп (В.И. Арнольд, В.И. Елкин, А.П. Крищенко, В.И. Краснощёченко, Н.Б. Филимонов, П. Олвер, У.М. Уонем, Ф. Уорнер и др.). Геометрический подход даёт возможность с единых позиций производить анализ системных свойств, синтез алгоритмов управления и оптимизацию. Представление условий общности положения (УОП) в форме коммутаторов векторных полей позволяет установить схожесть и различия в критериях управляемости и общности положения исследуемых НС разных порядков, выявить новые качественные свойства поведения управляемых объектов.

Как показал сравнительный анализ, известные методы и алгоритмы исследования общности положения практически применимы для НС невысокого порядка. При повышении порядка систем существующие алгоритмы анализа УОП значительно усложняются, что препятствует их использованию для выявления новых свойств поведения НС рассматриваемых классов. Традиционные подходы не всегда учитывают структурные и функциональные особенности СУ, что могло бы существенно облегчить анализ. Разработка универсальных критериев определения общности положения и создание на их основе алгоритмического и программного обеспечения способствовала бы уменьшению сроков проектирования реальных СУ. Таким образом, разработка и развитие методов исследования УОП нелинейных аффинных, в частности, полиномиальных СУ, получение новых критериев определения общности положения, создание адекватного алгоритмического и программного обеспечения является актуальной задачей автоматического управления.

Цель диссертационной работы заключается в разработке методов исследования и критериев общности положения аффинных, в том числе полиномиальных, систем управления на основе математического аппарата дифференциальной геометрии.

Для достижения поставленной цели в диссертации решались следующие задачи.

1. Разработка алгебраического метода исследования общности положения нелинейных аффинных систем со скалярным и векторным управлением на основе теории дифференциальной геометрии.

2. Получение ранговых критериев общности положения для нелинейных аффинных, в частности, полиномиальных систем управления.

3. Разработка структурного метода исследования общности положения нелинейных аффинных систем управления.

4. Разработка количественных оценок близости состояния нелинейных аффинных систем к установленным границам общности положения.

5. Разработка алгоритмического и программного обеспечения для анализа общности положения нелинейных аффинных систем.

6. Применение разработанных критериев, методов и алгоритмов для анализа общности положения различных технических объектов.

Объектом исследования в работе является класс нелинейных аффинных, в том числе полиномиальных, математических моделей СУ.

Предмет исследования составляет создание и развитие методов анализа общности положения нелинейных аффинных СУ, разработка адекватных критериев и оценок на основе теории дифференциальной геометрии.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались методы теории дифференциальной геометрии и теории групп, теории матриц и функционального анализа, теории автоматического управления. Теоретические положения подтверждаются результатами компьютерного моделирования в среде символьных преобразований Maple.

Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Разработан алгебраический метод исследования общности положения нелинейных аффинных систем со скалярным и векторным управлением с использованием дифференциально-геометрического математического аппарата.

2. Получены ранговые критерии общности положения для нелинейных аффинных, в частности, полиномиальных, систем различных порядков.

3. Разработан структурный метод анализа общности положения нелинейных аффинных систем для типовых соединений звеньев.

4. Получены количественные оценки (меры) близости состояния нелинейных аффинных систем к границам общности положения.

5. Разработано алгоритмическое обеспечение для анализа общности положения аффинных систем.

Степень новизны научных результатов

1. Разработанный алгебраический метод исследования общности положения нелинейных аффинных систем в отличие от известных базируется на математическом аппарате теории дифференциальной геометрии и теории групп, что позволяет на единой основе определять достаточные условия общности положения и выявлять в пространстве состояний инвариантные к управлению многообразия, которые необходимо учитывать при синтезе и оптимизации.

2. Полученные ранговые критерии общности положения, отличающиеся использованием коммутаторов векторных полей, применимы для нелинейных аффинных систем произвольных порядков с векторным управлением. Для аффинных систем второго и третьего порядков найденные условия особенны тем, что общность положения определяется собственными свойствами объекта и не зависит от приложенного управления. Для полиномиальных систем полученный критерий, в отличие от известных, позволяет установить связь общности положения с функциональными особенностями нелинейностей.

3. Разработанный структурный метод анализа общности положения, в отличие от известных, учитывает типовые структуры соединений звеньев, что позволяет установить связь общности положения со структурными особенностями нелинейных систем.

4. Предложенные количественные оценки (меры), основанные на сишу-лярном разложении прямоугольных матриц, позволяют определить близость состояния нелинейных аффинных систем к границам допустимых областей выполнения условий общности положения.

5. Алгоритмическое обеспечение для анализа общности положения аффинных систем, реализованное в программной среде символьной математики Maple, обладает полнотой и универсальностью. Предложенные алгоритмы характеризуются единообразием их построения.

Степень достоверности научных результатов. Достоверность научных положений, результатов и выводов подтверждается: корректным использованием апробированных методов исследования; сравнением результатов анализа и вычислительных экспериментов по разработанным методам, алгоритмам и программам с известными; обсуждением полученных результатов на представительных научных конференциях и экспертизой публикаций в ведущих научных изданиях.

Практическая ценность. Практическая ценность полученных результатов заключается в разработанных критериях и оценках, алгоритмическом и программном обеспечении для установления управляемости и общности положения, позволяющих сократить время проектирования и повысить качество проектов, предотвратить аварийные ситуации в процессе эксплуатации. Они могут быть использованы в различных отраслях промышленности при создании автоматизированных систем научных исследований и проектирования современных систем автоматического управления техническими объектами и технологическими процессами.

Реализация результатов. Работа выполнена на кафедре Автоматики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» и связана с проведением автором ряда госбюджетных работ по заданию Министерства образования и науки РФ.

Полученные в работе результаты внедрены в практику проектирования СУ технологическими процессами производства резинотехническими изделиями ЗАО «Петрошина» г. Санкт-Петербурга, а также используются в учебном процессе на кафедре Автоматики и процессов управления СПбГЭТУ «ЛЭТИ», о чём имеются соответствующие акты.

Положения диссертационной работы, выносимые на защиту

1. Алгебраический и структурный методы исследования общности положения нелинейных аффинных СУ с использованием дифференциально-геометрического математического аппарата.

2. Ранговый критерий общности положения для нелинейных аффинных СУ произвольных порядков.

3. Количественная оценка близости состояния нелинейной аффинной системы к установленной границе общности положения.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на Всероссийских научных конференциях «Управление и информационные технологии» в 2003, 2005, 2006, 2008 гг., одиннадцатой и двенадцатой международной студенческой олимпиаде по автоматическому управлению (Балтийская олимпиада - ВОАС 2006, 2008), международной научной конференции «Системный синтез и прикладная синергетика - 2006», 4-й Всероссийской научно-практической конференции «Системы управления электротехническими объектами», межвузовской научной конференции «Завалишинские чтения - 2008», а также на конференциях профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ «ЛЭТИ» в 2005-2008 годах.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пятнадцати печатных работах, в том числе в пяти журнальных статьях (две из них из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных научных результатов) и в десяти сборниках материалов международных и всероссийских научно-технических конференций.

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, двух приложений, изложенных на 145 страницах текста, содержит 17 рисунков, 4 таблицы. Список литературы содержит 144 работы.

Выводы по главе 5

1. На основе полученных во второй главе результатов теоретического исследования общности положения и управляемости НС с применением методов дифференциальной геометрии разработано алгоритмическое и программное обеспечение. С его помощью осуществляется нахождение (поиск) многообразий, на которых не выполняются УОП, что демонстрируется на тестовых примерах систем второго и третьего порядка. Для таких систем производится визуализация результатов символьных вычислений.

2. Разработана математическая модель сложного ОУ - струйной мельницы, для которой производится анализ общности положения. Модель основана на представлении процесса измельчения и разделения материала как последовательности операций, связанных с разгоном материала до необходимых скоростей, измельчения в помольной камере, его транспортирования и разделения в циклонной части.

3. Проведено исследование управляемости конкретного сложного объекта — струйной мельницы — на основе предложенной математической модели. При исследовании управляемости объект представляется в виде смешанного соедит нения нелинейных звеньев, замкнутых обратными связями. Показано, что максимальная размерность пространства, в котором происходит управление, равна четырём, но возможно снижение её на единицу, так как два параллельно работающих инжектора, имеющие одинаковую динамику, работают как одно звено, что ведёт к упрощению математической модели объекта.

4. Составлена упрощенная модель процесса, в которой взаимный удар двух встречных струй заменён ударом одной струи о преграду.

5. Исследование упрощённой модели показало, что размерность исследуемого пространства понижается на единицу и дальнейшее исследование общности положения значительно упрощается. Предложено два пути анализа общности положения: 1) прямой путь решения системы уравнений и на основе решений поиск особых случаев; 2) не решая системы, исследование общности положения с помощью разработанных критериев.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены научные и практические результаты, составляющие теоретическую, методическую и алгоритмическую основу анализа общности положения нелинейных аффинных, в том числе полиномиальных, систем управления, которые сводятся к следующему.

1. Разработан алгебраический метод исследования общности положения нелинейных аффинных систем со скалярным и векторным управлением на основе теории дифференциальной геометрии.

2. Получены ранговые критерии общности положения для нелинейных аффинных СУ и, в частности, для полиномиальных систем.

3. Разработан структурный метод исследования общности положения нелинейных аффинных СУ.

4. Разработаны количественные оценки близости состояния нелинейных аффинных систем к установленным границам общности положения.

5. Разработано алгоритмическое и программное обеспечение для анализа общности положения нелинейных аффинных систем.

6. Произведена апробация методов, критериев и алгоритмов на математических моделях различных технических объектов с известными динамическими свойствами, подтвердившая справедливость основных теоретических положений и выводов. Это позволяет рекомендовать их для широкого использования в теории и практике автоматического управления.

7. Исследована полученная в работе математическая модель нелинейного объекта (струйной мельницы) на выполнение условий общности положения. Даны практические рекомендации по управляемости объекта. Найдены области существования допустимого управления.

Использование условий общности положения позволяет найти закономерности областей управляемости объектов, имеющих различные структурные схемы. Они заключаются в том, что УОП выделяют подпространства управления и особые поверхности, характерные для нелинейных объектов.

Результаты исследований на тестовых примерах позволяют сделать вывод об эффективности разработанных методов анализа и методик их применения.

Дальнейшие исследования целесообразно проводить в направлениях развития методов синтеза нелинейных аффинных систем и оптимальных управлений, базирующихся на критериях общности положения, и расширения класса исследуемых нелинейных систем.

1. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

2. Справочник по теории автоматического управления/Под ред. А.А. Кра-совского. -М.: Наука, 1987.

3. Ковалев A.M. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории динамических систем. — Киев: Наукова думка, 1980.

4. Олейников В.А. Оптимальное управление технологическими процессами в нефтяной и газовой промышленности. — Л.: Недра, 1982.

5. Милованов В.П. Неравновесные социально-экономические системы: синергетика и самоорганизация. М.: Эдиториал УРСС, 2001.

6. Петров Н.Н. О локальной управляемости. // Дифференц. уравнения, 1978, т. 12, С. 2214-2222.

7. Elliott D.L. A consequence of controllability. J. Diff. Equations, 1971, v. 10, №3, p. 364-370.

8. Locanda M.C., Fernandez F.J. Mechanical Control Systems and Kinematic Systems. IEEE Trans. Automat. Control, 2008, v. 53, № 5, p. 1297-1302.

9. Haynes G.W., Hermes H. Nonlinear controllability via Lie theory. SIAM J. Control, 1970, v. 8, № 4, p. 450-460.

10. Hermann R., Krener A. Nonlinear controllability and observability. IEEE Trans. Automat. Control, 1977, v. AC-22, № 5, p. 728-740.

11. Hermes H. On local and global controllability. SIAM J. Control, 1974, v. 12, №2, p. 252-261.

12. Hermes H. High order algebraic conditions for controllability. In: Math. Systems Theory. Lecture Notes in Economics and Math. Systems, № 131, N. Y.: Springer-Verlag, 1976, p. 165-171.

13. Lobry C. Controllability des systems non lineares. SIAM J. Control, 1970, v. 8, №4, p. 573-605.

14. Lobry C. Dynamical polysystems and control theory. In: Geometric methods in system theory. Dordrecht - Boston, 1973, p. 1-42.

15. Sussman H.J. Existence and uniqueness of minimal realizations of nonlinear systems. Math. System Theory, 1977, v. 10, № 3, p. 263-284.

16. Brockett R.W. Nonlinear Systems and Differential Geometry. Proc. IEEE, 1970, v. 64, № l,p. 61-72.

17. Hirschorn R.M. Controllability in Nonlinear Systems. J. Diff. Equations, 1975, v. 19, № l,p. 46-61.

18. Jakubczyk B. Existence and uniqueness of realization of nonlinear systems. SIAM J. Control and Optimization, 1980, v. 18, № 4, p. 455-471.

19. Judjevic V., Quinn J.P. Controllability and Stability. J. Diff. Equations, 1970, v. 28, №3, p. 381-389.

20. Lobry C. Une propriete de l'ensemble des etats accessibiles d'un systeme guidable. Paris: C.R. Acad. Sci., 1971, Ser. A, № 272, p. 153-156.

21. Lobry C. Controllability of nonlinear systems on compact manifolds. -SIAM J. Control, 1974, v. 12, № 1, p. 1-4.

22. Boothby W.M. A transitivity problem from control theory. J. Diff. Equations, 1975, v. 17, № 3, p. 296-307.

23. Boothby W.M., Wilson Ed. N. Determination of the transitivity of bilinear systems. SIAM J. Control and Optimization, 1979, v. 17, № 2, p. 212-221.

24. Brockett R.W. On the reachable set for bilinear systems. In: Variable Structure Systems with Appl. to Economics and Biology. Berlin - N. Y.: Springer-Verlag, 1975, № 111, p. 54-63.

25. Cheng G.-S. J., Tarn T. J., Elliott D. L. Controllability of Bilinear Systems. -In: Variable Structure Systems with Appl. to Economics and Biology. Berlin — N. Y.: Springer-Verlag, 1975, p. 83-100.

26. Conti R. On relay controllability for bilinear processes. — In: Differential Equations. Proc. from the Uppsala 1977 International Conf. of Diff. Equations. Uppsala, 1977, p. 32-36.

27. Hirschorn R.M. Control of bilinear systems. — In: Applications of Lie Group theory to nonlinear network problems. North Hollywood, Calif., 1974, p. 12-28.

28. Kucera J. Solution in the large of control problem: x = (A(j — u) + Bu)x . -Czechoslovak Math. J., 1966, v. 16(91), p. 600-623.

29. Kucera J. Solution in the large of control problem: x = (Au + Bv)x. — Czechoslovak Math. J., 1967, v. 17, № 1, p. 91-96.

30. Kucera J. On the accessibility of control systems x<=Q(x). — Czechoslovak Math. J., 1970, v. 20(95), № 1, p. 122-129.

31. Розоноэр Л.И. Вариационный подход к проблеме инвариантности систем автоматического управления. // Автоматика и телемеханика, 1963, № 6, С. 544-556, №7, С. 861-870.

32. Хохлов А.С. Управляемость на многообразии струй. В кн.: Сложные системы управления, вып. 47. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1980, С. 26-36.

33. Hermes Н. Local controllability of observables in finite and infinite dimensional nonlinear control systems. Applied Math, and optimization, 1979, v. 5, № 2, p. 117-125.

34. Hermes H., Haynes G.W. On the nonlinear control problem with control appearing linearly. J. SIAM Control, 1963, v. 1, № 1, p. 85-108.

35. Hirschorn R.M. Global controllability of nonlinear systems. -SIAM J. Control and Optimization, 1976, v. 14, № 5, p. 700-711.

36. Асмыкович И.К., Габасов P., Кириллова Ф.М., Марченко B.M. Задачи управления конечномерными объектами. // Автоматика и телемеханика. 1986, № 11, С. 5-29.

37. Петров Н.Н. Плоские задачи теории управляемости. // Вестн. Ленингр. ун-та, 1969, № 13, С. 69-78.

38. Петров Н.Н. Некоторые вопросы теории управления в плоскости. // Дифференц. уравнения, 1973, т. 9, № 6, С. 1054-1067.

39. Петров Н.Н. Замечание о плоских аналитических системах управления. // Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, № 4, С. 743-744.

40. Коробов В.И. Решение задачи синтеза с помощью функции управляемости. // Докл. АН СССР, 1979, т. 248, № 5, С. 1051-1055.

41. Коробов В.И. Общий метод решения задачи синтеза ограниченных управлений. // Вестн. Харьк. ун-та, 1981, № 221, С. 3-11.

42. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

43. Копейкина Т.Б. Об управляемости нелинейных систем. В кн.: Оптимизация динамических систем. — Минск: Вышейш. шк., 1978, С. 76-81.

44. Тонков Е.Л. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению. // Прикл. матем. и мех., 1974, т. 38, вып. 4, С. 599-606.

45. Лепе Н.Л. Геометрический метод исследования управляемости билинейных систем второго порядка. // Автоматика и телемеханика, 1984, № 11, С. 19-25.

46. Sussman HJ. Lie brackets and local controllability: a sufficient condition for scalar-input systems. SIAM J. Control and Opt., 1983, v. 21, № 5, p. 686-713.

47. Sussman H.J., Judjevic V. Controllability of nonlinear systems. J. Different. Equations, 1972, v. 12, № 2, p. 95-116.

48. Casti J. L. Recent developments and future perspectives in nonlinear system theory. SIAM Rev., 1982, v. 24, № 3, p. 301-331.

49. Weiss L. The concepts of differential controllability and differential observability. J. Math., Anal. Appl., 1965, № 10, p. 242-248.

50. Chang A. An algebraic characterization of controllability. IEEE Trans. Automat Control, 1965, v. AC-10, № 1, p. 112-113.

51. Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем. — М.: Наука, 1985.

52. Малышенко A.M. Системы автоматического управления с избыточной размерностью вектора управления. Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2005.

53. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М.: Энерго-атомиздат, 1994.

54. Калман Р. Об общей теории систем управления. — В кн.: Труды I международного конгресса ИФАК, т. 2. М.: Изд-во АН СССР, 1961, С. 521-526.

55. Brockett R. W., Mesarovic С. The reproducibility of multivariable systems. -Math Analysis and Applications, 1965.

56. Филимонов Н.Б. Функциональная управляемость и синтез систем управления методом обратной задачи динамики. // Автоматическое управление объектами с переменными характеристиками: Межвуз. сб. Новосибирск, 1986, С. 58-68.

57. Душин С.Е., Яковлев В.Б. Условия потери управляемости по заданным процессам для нелинейных систем управления // Изв. вузов СССР. Приборост-рение. Москва, 1994. - Т. 37, № 7-8. - С. 27-31.

58. Коробов В.И. Управляемость, устойчивость некоторых нелинейных систем // Дифференц. уравнения, 1973, т. 9, № 4, С. 614-619.

59. Гавриляко В.М., Коробов В.И., Скляр Г.М. Синтез ограниченного управления динамическими системами во всем пространстве с помощью функции управляемости. // АиТ, 1986, № 11, С. 30-36.

60. Lin С.Т. Structural controllability. IEEE Trans. Automat. Control, 1974, v. AC-19, № 3, p. 201-208.

61. Franksen O.I., Falster P., Evans E.Y. Structural aspects of controllability and observability. P. I. Tensorial aggregation; P. II. Diagraph decomposition. — J. Franklin Institute, 1979, v. 308, № 2, p. 79-124.

62. Burrows C.R., Sahinskaya M.N. A modified algorithm for determining structural controllability. Int. J. Control, 1983, v. 37, № 6, p. 1417-1431.

63. Casti J. L. Dynamical systems and their application: linear theory. N.Y. — L. Academic Press, 1977.

64. Аврамчук Е.Ф., Ляшенко H.H., Фомин Б.Ф. Структурная управляемость систем с параметрическими связями. В кн.: Теория сложных систем и методы их моделирования. — М.: Наука, 1984, С. 3-18.

65. Шильяк Д.Д. Децентрализованное управление сложными системами: Пер. с англ. М.: Мир, 1994.

66. Brockett R.W. System Theory on Group Manifolds and Coset Spaces. -SIAM J. Control, 1972, v. 10, № 2, p. 264-284.

67. Krener A.J. A decomposition theory for differential systems. — SIAM J. Control and Optimization, 1977, v. 15, № 5, p. 813-829.

68. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.

69. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.

70. Новиков С.П., Фоменко А.Т., Дубровин В.А. Современная геометрия. -М.: Наука, 1979.

71. Brockett R.W. Some geometric questions in the theory of linear systems. -IEEE Trans. Automat. Control, 1976, v. AC-21, № 4, p. 449-455.

72. Теория автоматического управления: Учеб. для вузов/С.Е. Душин, Н.С. Зотов, Д.Х. Имаев и др.; Под ред. В.Б. Яковлева. М.: Высш. шк., 2003.

73. Brockett R.W., Byrnes C.I. On the algebraic geometry of the output feedback pole placement map. In: Proc. of the 18th IEEE Conf. on Decision and Control. N. Y.: IEEE, 1979, Pt. II, p. 754-757.

74. Brockett R.W., Krishnaprasad P.S. A Scaling Theory for Linear Systems. -IEEE Trans. Automat. Control, 1980, v. AC-25, № 2, p. 197-206.

75. Овсянников JI.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978.

76. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1979.

77. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1970.

78. Brockett R.W., Rahimi A. Lie Algebras and Linear Differential Equations. -In: Ordinary Differential Equations. N. Y.: Acad. Press, 1972, p. 379-386.

79. Калман P., Фалб П., Арбиб M. Очерки по математической теории систем. -М.: Мир, 1971.

80. Ляпунов А.А. Общая задача об устойчивости движения. М.: Меркурий-Пресс, 1993.

81. Hermann R. On the accessibility problem in control theory. In: international Symposium, Nonlinear Differential Equations and Nonlinear Mechanics. N.Y.: Acad. Press, 1963, p. 325-332.

82. Семенов В.П. Об управляемости нелинейных динамических систем. — В кн.: Кибернетика и вычислительная техника. Республ. межвед. сб., вып. 8. Киев: Наукова думка, 1971, С. 34-40.

83. Семенов В.П. Динамические системы управления на гладких многообразиях. В кн.: Кибернетика и вычислительная техника. Вып. 31. Киев: Науко-ва думка, 1976, С. 36-44.

84. Яковенко Г.Н. Необходимое условие управляемости. В кн.: Вопросы прикладной математики. — Иркутск: Сиб. энерг. ин-т, 1976, С. 108-119.

85. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М. - Л.: Гостехиздат, 1947.

86. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М. - Л.: Гостехиздат, 1948.

87. Judjevic V. Certain controllability property of analytic control systems. -SIAM J. Control, 1972, v. 10, p. 354-360.

88. Яковенко Г.Н. Групповой подход к управляемости и инвариантности динамических систем. — В кн.: Кибернетика и вычислительная техника, вып. 39. Киев: Наукова думка, 1978, С. 26-39.

89. Brockett R.W., Fuhrmann P.A. Normal Symmetric Dynamic Systems. — SIAM J. Control and Optimization, 1976, v. 14, № 1, p. 107-119.

90. Sussman H.J. A sufficient condition for local controllability. SIAM J. Control and Optimization, 1978, v. 16, № 5, p. 790-802.

91. Mohler R.R. Bilinear Control Processes. N. Y.: Acad. Press, 1973.

92. Judjevic V., Sussman H.J. Control Systems on Lie Groups. J. Diff. Equations, 1972, v. 12, №3, p. 313-329.

93. Levitt N., Sussman H.J. On controllability by means of two vector fields. — SIAMJ. Control, 1975, v. 13, №6, p. 1271-1281.

94. Sussman H.J. On the number of directions needed to achieve controllability. SIAM J. Control, 1975, v. 13, № 2, p. 414-419.

95. Руденко A.B. Методы дифференциальной топологии в задаче локальной управляемости. В кн.: Сложные системы управления, вып. 47. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1980, С. 16-26.

96. Casti J.L. Polyhedral dynamics and the controllability of dynamical systems. J. Math. Analysis and Appl., 1979, v. 68, № 2, p. 334-346.

97. Семенов B.H. О геометрических аспектах управляемости. — В кн.: Сложные системы управления, вып. 4. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1977, С. 3-11.

98. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.

99. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Физматгиз, 1961.

100. Ли Э. Б., Маркус П. Основы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1972.1. Глава 2

101. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Физматлит, 2004.

102. Аграчев А.А., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит, 2005.

103. Jurdjevic V. Geometric control theory. — Cambridge University Press, 1997.

104. Sontag E.D. Mathematical control theory: deterministic finite dimensional systems. Springer-Verlag, 1990.

105. Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005.

106. Беллман Р. Введение в теорию матриц. -М.: Наука, 1969.

107. Душин, C.E. Анализ условий общности положения нелинейных систем методами дифференциальной геометрии Текст. / А.В. Баранов, С.Е. Душин // Мехатроника, автоматизация, управление. — М.: Изд-во «Новые технологии», 2006, №5. С. 2-6.

108. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1981.

109. Крищенко А.П. Исследование управляемости и множеств достижимости нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1984, №6. С. 30-36.

110. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -M.: Наука, 1966.

111. Математика. Большой энциклопедический словарь. /Гл. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Большая Российская энциклопедия, 1998.1. Глава 3

112. Клюев А.С., Колесников А.А. Оптимизация автоматических систем, оптимальных по быстродействию. М.: Энергоатомиздат, 1982.

113. Kalman R., On the General Theory of Control Systems; Proc. of the First IFAC Congress, London, Butter-Worth, 1., 1960.

114. Балонин H.A. Новый курс теории управления движением. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000.

115. Балонин Н.А., Мироновский JI.A. Линейные операторы динамической системы // Автоматика и телемеханика, 2000, №11. — С. 57-68.

116. Balonin N.A, Mironovsky L.A., Petrova X.Y. Finding Singular Functions of the Convolution Operator // Proc. of Conference on Oscillations and Chaos, Saint-Petersburg, Russia, 2000. V.3. P. 414-417.

117. Балонин H.A., Попов O.C. Идентификация параметров систем в режиме их нормального функционирования // Автоматика и телемеханика, 1992, №8. -С. 92-103.

118. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

119. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989.

120. Баранов, А.В. Количественные оценки общности положения нелинейных систем со скалярным управлением Текст. / А.В. Баранов // Известия СПбГЭ-ТУ «ЛЭТИ». СПб.: Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008, №5. - С. 11-16.

121. Баранов, А.В. Количественное оценивание общности положения аффинных нелинейных систем управления Текст. / А.В. Баранов // Завалишин-ские чтения: Сб. докладов. СПб.: ГУАП, 2008. - С. 19-22.

122. Дьяконов В.П. Maple 8 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН-Пресс, 2003.

123. Аладьев В.З. Эффективная работа в Maple 6/7. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002.

124. Рапопорт Э.Я. Анализ и синтез систем автоматического управления с распределенными параметрами. — М.: Высш. шк., 2005.

125. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления/Под ред. А.А. Воронова и И.А. Орурка. М.: Наука, 1984.

126. Гельперин Н.И. Основные процессы и аппараты химической технологии. Кн.2. -М.: Химия, 1981.

127. Горобец В.И., Горобец Л.Ж. Новое направление работ по измельчению. М.: Недра, 1977.

128. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. М.: Наука, 1964.

129. Савельев И.В. Курс общей физики. В 3-х т. Том 1. Механика. Молекулярная физика. СПб.: Лань, 2007.

130. Эльперин И.Т. Процессы переноса во встречных струях. Минск: Наука и техника, 1972.