автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка методов анализа и синтеза нелинейных динамических систем на основе дифференциально-геометрической теории бесконечномерных многообразий

На правах рукописи Четвериков Владимир Николаевич

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление

и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2006

003067044

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Н. Л. Григоренко

доктор физико-математических наук профессор Н. А. Кудряшов

доктор физико-математических наук профессор Г. Н. Яковенко

Ведущая организация: Вычислительный центр

имени А. А. Дородницына РАН

Защита диссертации состоится » 200^года

в ) 1 часов О-^1 мин на заседании диссертационного совета Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим высылать по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, МГТУ имени Н.Э. Баумана, ученому секретарю совета Д 212.141.15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан «_»_ 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, .

д.ф.-м.н., профессор И. К. Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Наиболее общим методом управления нелинейными системами является метод преобразования системы в эквивалентную линейную систему:

х = /(г,х,и) х£Е", иеГ ^ г=Т~т.

р-1

Начиная с конца 70-х годов XX века, А.П. Крищенко, В.И. Елкин, А. Исидори, X. Ниймеер, Б. Якубчик, В. Респондек и другие использовали преобразования, представляющие собой замены переменных состояния и замены управления:

Р: у = У(г,х), ь = :,и),

У= (У1,УЪ---,У1П1~1\У2,---,У%"'~1))> п = щ + --- + пт.

При этом рассматривались только аффинные системы, т.е. системы линейные по управлению. Нелинейные системы, которые таким преобразованием сводятся к эквивалентным линейным системам указанного вида, называют статически линеаризуемыми. Был разработан метод решения задач теории управления, основанный на таких преобразованиях. Были найдены необходимые и достаточные условия статической линеаризуемости в случае аффинных систем, разработаны методы проверки этих условий.

Однако с развитием теории управления возникла потребность в рассмотрении все более сложных систем, которые чаще всего не являются статически линеаризуемыми. Понятие статической линеаризуемости было обобщено. В 1989 году Б. Шарле, Ж. Левин и Р. Марино ввели понятие динамической линеаризуемости, а в 1992 году М. Флисс, Ж. Левин, Ф. Мартин и П. Рушон — понятие плоскостности. Динамическую систему с управлением называют плоской, если все ее решения параметризуются набором произвольных

1

ч

функций времени. Оба понятия сводятся к построению линеаризующего преобразования которое задается функциями, зависящими, кроме времени, состояния и управления, также от производных управления до некоторого порядка:

(у,у)т = Ь^х,и,й,...Мк)), (1)

Р1-1 : (х,и)т = <р(Ь,у,у,ь,...,у{1)).

Оказалось, что многие системы с управлением из различных областей техники линеаризуются новым типом преобразования и задачи управления для них решаются разработанными методами. Такими системами, в частности, описываются модели: самолета вертикального взлёта, портального подъемного крана, многих мобильных роботов, автомобиля с тг-прицепами, смесевого химического реактора, гибкой буровой штанги, саморегулирующейся муфты и др.

Были получены отдельные факты о динамически линеаризуемых стационарных системах, в частности, было доказано, что плоская система динамически линеаризуема. Однако общей математической теории таких систем до последнего времени не было построено. Не был получен ответ на вопрос: следует ли из динамической линеаризуемости плоскостность. Не были разработаны методы проверки существования линеаризующего преобразования. Задача построения такого преобразования для конкретной системы решалась исходя из физических особенностей системы. Если таких особенностей не было видно, вопрос о линеаризуемости оставался открытом.

Теория статически линеаризуемых систем построена на геометрической основе. В частности, соответствующее преобразование Р интерпретируется как отображение конечномерных пространств. В случае динамической линеаризуемости соответствующее преобразование можно интерпретировать как отображение только бесконечномерных пространств. Ограничиться рассмотрением конечного набора производных управления, как правило, не удается. Поэтому для исследования динамически линеаризуемых систем естественно использовать методы бесконечномерной геометрии.

Отметим также, что для многих систем с запаздыванием и систем с распределенными параметрами преобразование аналогичное

указанному строится и задачи управления для таких систем решаются указанными методами. Однако до последнего времени понятия динамической линеаризуемости и плоскостности для таких систем не были определены.

Целью работы является разработка методов решения задачи динамической линеаризуемости; разработка методов анализа и синтеза систем с управлением на основе бесконечномерной геометрии; развитие геометрии систем с запаздыванием и систем с распределенными параметрами и распространение на эти системы разработанных методов.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, бесконечномерной дифференциальной геометрии и теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные новые результаты, которые выносятся на защиту.

1. Теория динамически линеаризуемых и плоских нестационарных систем с управлением.

2. Решение проблемы плоскостности систем, линеаризуемых динамической обратной связью.

3. Структура алгебр высших симметрий динамических систем с управлением и метод вычисления этих алгебр.

4. Обобщение теории деформаций геометрических структур на бесконечномерный случай, разработанные на его основе условия плоскостности и метод поиска плоского выхода для динамических систем и систем уравнений в частных производных.

5. Обобщение теории плоских систем на случай динамических систем с запаздыванием.

6. Теория диффеотопов систем функционально-дифференциальных уравнений, имеющих гранично-дифференциальную форму, ориентированная на решение задач теории управления.

Результаты диссертации носят теоретический характер и являются развитием математической теории управления и геометрии дифференциальных уравнений.

Практическая ценность полученых результатов. Теоретические результаты доведены до конструктивных процедур, позволяющих решать задачи анализа конкретных динамических систем и синтеза управления для них.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Современные дифференциально-геометрические и компьютерно-алгебраические методы исследования нелинейных проблем физики и механики" (Тарту, Эстония, 1989), Всесоюзной конференции "Современные дифференциально-геометрические и компьютерно-алгебраические методы исследования нелинейных проблем" (Одесса, 1990), 9-ом межгосударственном коллоквиуме "Современный групповой анализ. Методы и приложения" (Ниж.-Новгород, 1992), Международной конференции "Геометрические и алгебраические структуры в дифференциальных уравнениях" (Энсхеде, Голландия, 1993), Международной конференции " Классическая и квантовая геометрия однородных пространств" (Москва, 1994), Международной конференции "Вторичное дифференциальное исчисление и нелинейные проблемы в физике" (Вьетри-суль-Маре, Италия, 1994), Международной конференции "Вторичное дифференциальное исчисление и когомологическая физика" (Москва, 1997), 5-ом международном симпозиуме "Нелинейные системы с управлением (1ЧОЪС08'01)" (Санкт-Петербург, 2001), 15-ом всемирном конгрессе ИФАК (Барселона, Испания, 2002), 7-ом Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2002), 6-ой международной конференции "Современная геометрия" (Неаполь, Италия, 2005), 9-ом Международном семинаре семинара им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2006), а также на научных семинарах в МГТУ им. Н.Э. Баумана, на механико-математическом факультете и факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, в Независимом университете в Москве, в Международном институте математической физики им. Шредингера в Вене, в Национальном Исследовательском Институте по Информатике и Автоматике (ШЫА, отделение в София Антиполис, Франция).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 21 работа, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 162 библиографических ссылки, содержит 3 рисунка. Общий объем работы составляет 229 страниц.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №99-0100863, №02-01-00704, №05-01-00840, гранта Е02-1.0-211 Министерства Образования РФ, проекта УР.03.01.018 по программе «Университеты России - фундаментальные исследования» Министерства образования РФ, проекта УР.03.01.141 раздела 1.2. «Университеты России» подпрограммы «Фундаментальные исследования» и проекта 2.1.1.2381 ведомственной научной программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006 - 2007)» Федерального агентства по образованию РФ.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор результатов, относящихся к теме работы, обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В первой главе вводятся и исследуются основные понятия теории динамически линеаризуемых и плоских систем. Используются методы бесконечномерной геометрии, теории систем и теории гладких отображений.

Рассмотрим регулярную систему с управлением

х = f(t, х, и), rang (dfi/duj) = т, (2)

где х = (xi,...,хп) G Ж" — состояние системы, и = (ui,...,ит) б Rm — ее управление, f = (/i,...,/n), /, € <7°°(Rn+m+1), i = Рассмотрим векторную функцию, зависящая от i,x,u и производных и до некоторого порядка L:

y = h(t,x,u,u,...,uM), у = (j/i,..-,ут) £ Шт, (3)

а также производные функции у в силу системы (2) до порядка К:

у = Dh, y = D2h = D(Dh), у{к) = DKh = D{DK~lh), (4)

где D = d/dt + f{t,x,и)д/дх + ид/du + ... + иЬ+Ъд/ди® + ....

(a) Предположим функция у такова, что из системы уравнений (3)-(4) переменная х выражается через t,y — (у, у, ■ ■ ■, у^):

x = F(t,y).

Тогда система (2) переписывается в виде:

DF{t,y,y(K+V)=f{t,F(t,y),u). (5)

Так как система (2) регулярная, то m из п соотношений (5) разрешимы относительно и, причем и = G(t, у, y(K+1î). Остальные п — т соотношений в (5) при и — G(t, у, y^K+V)) обращаются в тождества, если функция (3) удовлетворяет условию:

(Ь) для любого j > 0 набор функций t, h, Dh,..., D}h функционально независим.

Обозначив 2(о) = у, Z(i) = у, ..., z{K) = у(к\ V = у(к+1\ получим линейную систему

¿(0) =2(1 ), ¿(К-1) = ¿(К), ¿(К) = v■ (6)

Пусть существует такая векторная функция £ = Q(t,z), £ G уцт(К+1)-п^ 2 = (z(0), . . . , что соотношения

i = i, x = F(t,z), t = Q(t,z)

задают замену переменных, а

t = t, g = H(t,x,Ç) (7)

— обратная замена переменных. Тогда доказывается, что система (6) в переменных t, х, v имеет вид

x = f(t,x,G(t,H(t,x,0,v)), é = Qi(t,H(t,x,0,v), (8)

Система (8) эквивалентна линейной тривиальной системе (6) и получается из (2) с помощью динамической обратной связи

и = G(t, H(t, x,0,v), i = Qx (i, H(t, x, 0,v).

На этой связи с системой (6) основан метод управления для системы (2). Например, рассмотрим задачу терминального управления для системы (2):

x(tn) = хн, x(tK) = хк. (9)

Добавляя к заданным условиям на х начальные и конечные условия на дополнительные переменные £:

е(*н) = ы, е(*к) = (ю)

получаем задачу терминального управления для системы (8). Значения £н и £к являются параметрами решения и могут быть выбраны достаточно произвольно с учетом особенностей конкретной задачи.

Переходя к переменным z, получаем задачу терминального управления для линейной системы (6):

z[tK) = Я(*н, «н, 60, z{tK) = H{tK, хк, £к)- (11)

Метод решения этой задачи хорошо известен. Подставляя полученное решение задачи (6), (11)

z = z(t), v = v{t), t G [tlbtK].

в функции, задающие обратное преобразование, получаем решение исходной задачи (2), (9):

х = F(t,z(t)), и = G(t,z(t),v(t)), t е [ts,tK]-

В диссертации показано также, как аналогичным образом решается задача стабилизации для системы (2), удовлетворяющей условиям (а) и (Ь). Этот метод демонстрируется на примере задачи управления движением самолета вертикального взлета.

Приведенные рассуждения мотивируют выделение следующих классов систем. Говорят, что система (2) линеаризуема динамической обратной связью

и = Ь^,х,£,у), £ = а(Ьх,(,у), £€Е!,уеШт, (12)

если получающаяся с помощью этой связи система

х = ж, £,«)), £ = а& (13)

обратимой заменой переменных вида (7) преобразуется в линейную систему (6).

Систему (2) называют плоской, а векторную функцию (3) — ее линеаризующим выходом, если функция (3) удовлетворяет указанным условиям (а) и (Ь). Важнейшей проблемой теории управления остается задача плоскостности: "для заданной системы выяснить является ли она плоской или нет".

Приведенные выше рассуждения представляют собой алгоритм построения динамической обратной связи, линеаризующей плоскую систему. Таким образом, любая плоская система динамически линеаризуема.

Основными методами, используемыми в диссертации, являются методы бесконечномерной геометрии. А именно, с системой (2) связывается бесконечномерное пространство К00 с координатами

t г, х м(0) и® и\г) и^ и{2) (14)

I, XI, ..., хп, , ..., ит , , ..., ит , ^ , ...,

где координаты и® соответствуют переменным ц, а координаты и^ — производным й1щ1<й1,1 > 0. Обозначим через подмножество пространства Е00 с координатами (14), в котором определена система (2) и лежат допустимые управления. Систему (2) будем обозначать иногда через £.

Каждое гладкое решение = (а:*(£), гг,(£)) системы (2) и точка ¿о, в окрестности которой это решение определено, задают точку из £°° с координатами

t = to, Ъ = ^ = (15)

где г — 1, гг, = 1 ,т,1 > 0. Эта точка называется бесконечным джетом решения я (4) в точке ¿о, а множество бесконечных джетов решения $(£) во всех точках ¿о, в окрестности которых это решение определено, — графиком в £°° решения Любая точка множества £°° является бесконечным джетом некоторого решения.

На множестве £°° вводятся обычные дифференциально-геометрические понятия: гладкие функции, векторные поля, дифференциальные формы и т. д. В частности, гладкой функцией на £°° называют бесконечно дифференцируемую функцию, зависящую от конечного (но произвольного) набора переменных (14). Алгебру гладких функций на обозначают через Т{£).

Векторное поле

определенное в точках £°°, называется полной производной по £ на £°°. Производная Ли вдоль И функции д € Т{£) совпадает с производной функции д в силу системы (2). Фазовые кривые векторного поля I) совпадают с графиками в £°° решений системы (2). Поэтому в качестве геометрической модели системы (2) берется пара (£°°, .0), которая называется диффеотопом системы (2).

Множество £°° можно понимать как расширенное фазовое пространство бесконечной системы

х = М,х,и®), ..., «№-!) = «№), ...,

а И — как соответствующее векторное поле.

Пусть (£°°, Дг) и (5°°, £>$) — два диффеотопа. Отображение

Р: £°° 5°° (17)

называют гладким, если соответствующее индуцированное отображение Р* отображает любую гладкую функцию на 500 в гладкую функцию на £°°, т.е. 2Г*(^Г(<5)) С где по определению

р*(<р) = 1р о К

Отображение (17) называют диффеоморфизмом, если оно гладкое, взаимнооднозначное, и обратное отображение также является гладким.

Гладкое отображение (17), сохраняющее независимую переменную, т.е. = называют С-отображением, если

ВгоГ=:Го (18)

где символы £>£ и обозначают производную Ли вдоль соответствующих векторных полей, а вся формула понимается как равенство отображений алгебр функций.

Диффеоморфизм, являющийся одновременно С-отображением, называют С-диффеоморфизмом (или изоморфизмом Ли-Бэклунда). Системы, чьи диффетопы связаны С-диффеоморфизмом, называют С-диффеоморфными.

Теорема 1 Если две регулярные системы вида (2) С-диффеомор-фны, то их управления имеют одинаковую размерность.

Введенные понятия позволяют дать следующие геометрические интерпретации систем, эквивалентных относительно преобразований вида (1), а также плоских систем.

Теорема 2 Системы эквивалентны тогда и только тогда, когда они С-диффеоморфны.

Теорема 3 Если система С-диффеоморфна плоской системе, то она также является плоской, причем С-диффеоморфизм отображает линеаризующий выход в линеаризующий выход.

Тривиальной системой называют систему вида

¿ = ю, г,го€Кг. (19)

Теорема 4 Система (2) плоская в окрестности точки в £ тогда и только тогда, когда существует С-диффеоморфизм Р из окрестности этой точки в открытое подмножество диффеотопа тривиальной системы (19). При этом функции 1),..., Р*(гг) образуют линеаризующий выход системы (2) в некоторой окрестности точки в 6

Из приведенных теорем выводятся следующие следствия.

1. Если линейные системы регулярны и управляемы, то для того, чтобы они были С-диффеоморфны необходимо и достаточно, чтобы их управления имели одинаковую размерность.

2. Плоская система не обладает первыми интегралами.

3. Статически линеаризуемая система плоская.

4. Для того, чтобы линейная система была плоской, необходимо и достаточно, чтобы она была управляемой.

На геометрическом языке переформулируются также понятия регулярной динамической обратной связи и динамической линеари-зуемости. А именно, говорят, что динамическая обратная связь (12) системы (2) удовлетворяет условию соответствия решений, если для любого решения (ж(£), ы(£)) системы (2) существуют векторные функции £(4) и г>(4), которые вместе с функциями г(£) и и(£) тождественно удовлетворяют уравнениям (12).

Из условия соответствия решений следует, что набор функций и^)) образует решение системы (13). Отметим, что динамическая обратная связь (12) определяет отображение из множества решений системы (13) в множество решений системы (2). В случае выполнения условия соответствия решений это отображение сюръективно.

Обозначим систему (13) через £\, через £™ — ее диффеотоп, а через Ек — ^(¿^-модуль, порожденный 1-формами

£&, <1хи ...,

где i = l,n,s = l,l,j = 1,т, а — функции из (12), по-

нимаемые как функции на Отметим, что модуль Ек состоит из всех линейных комбинаций указанных 1-форм, коэффициенты которых есть функции из Р{£1). Под размерностью какого-либо ¿^-подмодуля Е С Л1^!0) в точке 9 € понимают размерность пространства ковекторов {а'в \ и> € ¿?}. Через сНт Е мы обозначаем целочисленную функцию на значение которой в точке в есть размерность Е в в. Динамическую обратную связь (12) системы (2) называют регулярной в окрестности точки в 6 £1°, если в этой окрестности сИш-Е; — сНт Е1-1 = т (здесь I — количество переменных £,).

Теорема 5 Пусть в окрестности точки диффеотопа (£f°, D^) системы (13) модуль £¡-1 имеет постоянную размерность. Тогда в окрестности этой точки эквивалентны следующие утверждения:

(a) динамическая обратная связь (12) удовлетворяет условию соответствия решений;

(b) динамическая обратная связь (12) регулярна;

(c) любой конечный набор функций, составленный из

t, Х\, ..., хп, Ъ\, ..., Ьт,

DM •••> Щ(Ьт), Dl(bi), (20)

функционально независим на

(d) среди переменных £ можно выбрать такой поднабор ( = • • ■, ?»,)> 4X0 система (13) эквивалентна системе

х = f(t, х, »7(o)), С = С, х, 77(0), • • •, щ-i),w),

4(0) = 4(1) > V(i-i)=w,

где С € К9, w G Mm, i?(s) 6 Мт при s = 0,...,l — 1, причем эквивалентность задается заменой переменных

t = t, х = х, ?7(о) = b(t, ж, w), ??(i) = D£l(b), ...,

m-D^Dl£-\b), w = Dl£l(b), < = (&,...,&,).

Гладкое отображение

F: <S°° (21)

удовлетворяющее условию -F*(t) = t, называют накрытием, если

1) оно удовлетворяет условию Ds ° F* = F* о Dg-,

2) в каждой точке в £ «S00 касательное отображение F»^ является эпиморфизмом векторных пространств;

3) размерность ядра Ftß постоянна для всех в € <S°°. Размерностью накрытия называется размерность слоя отображения F или, что эквивалентно, размерность ядра F*ß. Любой С-диффеоморфизм является накрытием нулевой размерности. Если (21) — накрытие, то будем говорить, что система S накрывает систему £, или что F — накрытие системы £ системой S.

Теорема 6 Регулярная динамическая обратная связь (12) системы (2) определяет конечномерное накрытие этой системы системой (13). Обратно, пусть £°° — диффеотоп системы (2), F : S°° —> £°° — конечномерное накрытие, в € <S°°. Тогда в некоторой окрестности точки F(0) € существует такая регулярная динамическая обратная связь вида (12), что конечномерное накрытие определенное ею есть ограничение F на окрестность точки в.

Теорема 7 Регулярная система динамически линеаризуема в окрестности точки в тогда и только тогда, когда существует накрытие из некоторого открытого подмножества диффеотопа тривиальной системы в окрестность точки в.

Из теоремы 4 следует, что задача плоскостности является нелинейной геометрической задачей. В виду сложности нелинейных задач для их решения в геометрии используется следующая схема. Сначала решается линейная задача, представляющая собой геометрическую линеаризацию исходной. Затем интегрируя (в геометрическом смысле) полученные решения линейной задачи, получают некоторые решения нелинейной задачи.

Во второй главе эта схема применяется к задаче плоскостности. А именно, пусть £ — система (2), (р € J-"(£). Обозначим через dcip 1-форму dip — D(ip)dt на £°°. Формами Картана на £°° называют 1-формы вида dc<p, а модулем Картана на £°° — ^"(£)-модуль С1Л(£), порожденный 1-формами dc<p, <р € ?{£)■

Каждый С-диффеоморфизм F: £°° —<S°° индуцирует изоморфизм

F*: CXA(«S) СХА{£).

Таким образом, модули Картана тривиальной и плоской систем изоморфны. Этот факт дает необходимое условие плоскостности, поскольку модуль Картана тривиальной системы легко описать.

Над алгеброй функций F{£) модуль С1К{£) бесконечномерен, но его образующие получаются из конечного набора 1-форм дифференцированием в силу системы (см. теорему 8). Этот результат используется в той или иной степени для получения почти всех результатов второй главы.

Обозначим ^г(£)-подмодуль модуля СгА(£), порожденный 1-формами dcxi,..., dcxn, через И\. Определим Нк для к > 1 индуктивно равенством

-Hk+1 = {и><= Hk\Dcü е нк}. (22)

Точку в G £°° называют Б-регулярной, если в некоторой окрестности этой точки система £ регулярна и для любого к > 1 модули Нк и Hk + D(Tík) имеют постоянную размерность.

Теорема 8 Пусть {хъ■■■,Хр} — максимальный набор функционально независимых первых интегралов системы £ в окрестности Б-регулярной точки. Тогда в окрестности этой точки существуют такие 1-формы ..., шт из С1 Л(£), что

{dcXi, DJ(us) : i - ~р, s = m, j > О}

— базис модуля ClA(£) над Т{£).

Доказательство теоремы 8 конструктивно и дает следующий алгоритм нахождения первых интегралов Xii--->X/> и 1~форм и>1,..., шгп. Для любой Б-регулярной точки существует такое положительное целое число s*, что в окрестности этой точки = Ца.. Используя определение модулей Ни, находим их образующие последовательно, начиная с%и кончая 7íS'. Образующие модуля Tis' можно выбрать вида (¿сХъ • • • > ¿сХр> где Хъ ■ ■ • > Хр — первые интегралы системы £. Так как Hs* С MS'-i, то эти формы лежат в Tís'-i- Дополним их 1-формами a>i,... ,шт, (mi < m) до базиса модуля %а*-1- По построению модуля Hs*-1 1-формы

dcXu •••>dcXp, wi, ..., wmi, Duu ..., Dwmi

^"(£)-линейно независимы и лежат в "Hs'-i- Дополним их 1-формами wmi+1,..., üjm2 (mi <m-¿<m) до базиса модуля По-

вторяя эту процедуру последовательно для модулей • • •, Ни

находим 1-формы {и>i,..., ui,n}.

Теорема 9 Для плоской системы р = 0, т.е. tía- = {0}.

Набор 1-форм {о;1,..., шт} будем называть Б-базисом системы, если 1-формы Б1 (шк) для к = 1,т ж ^ > 0 образуют базис модуля С1Л(£00). Из теоремы 8 следует, что в окрестности Б-регулярной точки система обладает Б-базисом тогда и только тогда, когда р = 0. Отсюда, применяя теорему 9, получаем, что плоская система обладает Б-базисом. Алгоритм, приведенный выше, позволяет находить Б-базис.

Из теоремы 8 выводятся также: необходимые и достаточные условия плоскостности и статической линеаризуемости, структура высших симметрий систем с управлением и доказательство плоскостности динамически линеаризуемых систем. Эти факты имеют следующие формулировки.

Дифференциальный оператор вида

А = 5о + дФ + ^г-О2 Н-----Н 9к&к, до,9ъ...,9к € Г(£), (23)

называют С-дифференциальным оператором порядка к. Каждый С-дифференциальный оператор отображает модуль С1К{£) в себя. Матрица, элементы которой являются С-дифференциальными операторами, определяет обычным образом оператор на множестве столбцов функций или дифференциальных форм. Такой оператор называют матричным С-дифференциальным оператором.

Теорема 10 Пусть в — Б-регулярная точка системы (2). Система (2) плоская в окрестности в в том и только том случае, когда р = 0 и в окрестности в существуют т функций и ма-

тричные С-дифференциальные операторы А и V такие, что

где {а>1,..., шт} — Б-базис в окрестности 9, 1с1 — тождественный оператор. При этом функции Ль ..., Лт образуют линеаризующий выход системы (2).

Следующая теорема позволяет проверять: является ли заданный выход линеаризующим для заданной системы или нет.

А о V = 1<1, V о А = 1<1, (24)

Теорема 11 1. Если векторная функция (3) такова, что переменные х состояния системы (2) выражаются через у,у,..., то система (2) плоская, а (3)— ее линеаризующий выход. 2. Если для К — тпЬ — 1 переменные х состояния системы (2) нельзя выразить через у, у,..., то (3)— не является линеаризующим выходом системы (2).

Для каждого к — 1,...,в* модуль Лк вместе с 1-формой <И порождает распределение Тк- Следующая теорема представляет собой необходимые и достаточные условия статической линеаризуемости.

Теорема 12 1. В окрестности Б-регулярной точки система (2) статически линеаризуема тогда и только тогда, когда в этой окрестности = {0}, а распределения Тк, к = 2,..., 5*—1, интегрируемы.

2. Б-базис статически линеаризуемой системы может быть выбран из 1-форм ¿сЛх,..., ¿сЬ,т, где А*,..., Ат — функции, зависящие от t, XI, ..., хп.

3. Пусть числа п,- определяются условием «¿с^ £ "Нп, \ %ц+1> где г = 1, т. Тогда замена переменных

г = г, уг = Ы(г,х), V, = £>2'(А,(г,ж)), г = 1 ,т,

преобразует систему (2) в линейную систему

= г = 17т. (25)

Теорема 13 В случае одномерного управления система (2) плоская в окрестности Б-регулярной точки тогда и только тогда, когда она статически линеаризуема.

Векторные поля на £°°, у которых отсутствует слагаемое д/дЬ, называют вертикальными. Высшей (инфинитезималъной) симметрией системы (2) называют вертикальное поле X на £°°, удовлетворяющее условию

[ВД = 0. (26)

Мотивировка этого определения следующая. Если векторное поле У на £°° обладает фазовым потоком, и преобразования этого потока

отображают графики решений системы (2) в графики решений этой системы, то

[У,£>] = аД аб7(£). (27)

Ввиду бесконечномерности £'50 векторные поля на £°°, как правило, не обладают фазовым потоком. Будем искать произвольные поля на £°°, удовлетворяющие условию (27). Всякое векторное поле У на £°° можно однозначно представить в виде суммы вертикального поля X и поля КБ, к 6 Т{£), т.е. У = Х+УьВ. При этом условие (27) означает, что вертикальная составляющая X удовлетворяет условию (26), т. е. является высшей симметрией, а горизонтальная составляющая {НИ) произвольна, т. е. /г — произвольная функция. Таким образом, найдя все высшие симметрии £°°, мы найдем все поля, удовлетворяющие условию (27).

Высшие симметрии, которым соответствуют поднятия векторных полей с конечномерного пространства, а значит, обладающие фазовым потоком, называют классическими. Первые результаты по классическим симметриям были получены еще Софусом Ли. Его последователи построили известную теорию групп и алгебр Ли. Тот факт, что результаты Софуса Ли касались симметрии дифференциальных уравнений, был забыт более чем на полвека. Только в 70— х годах XX века теория симметрий дифференциальных уравнений получила свое развитие в работах Л. В. Овсянникова, Н. X. Ибрагимова, А. М. Виноградова, В. Ф. Журавлева и других. Особенностью этой теории является то, что она применима к нелинейным дифференциальным уравнениям и позволяет находить автомодельные решения, размножать решения, доказывать, что две системы не эквивалентны, и т.д. Симметрии использовались в теории управления Ю. Н. Павловским, Г. Н. Яковенко, В. И. Елкиным, А. П. Кри-щенко, А. Н. Канатниковым и другими.

Алгебры Ли высших симметрий плоской и тривиальной систем изоморфны. Это дает еще один путь решения задачи плоскостности, так как алгебра высших симметрий тривиальной системы хорошо известна.

Из теоремы 8 следует, что существует натуральное число г и такие матрицы А, В, Щ, I = 0,..., г, функций на £°°, что

г г

йсх = Айсх + X) ¿си = Вйсх + £ НзВ'ш'

3=0 ¿=0

где йсх = {йсх ь..., <1схпу, ¿си = (¿сщ,..., ¿сит)т, ¿сХ = №х 1, • • • > ¿сХр)т, & и = (Р^шх,...,

Теорема 14 В окрестности Б-регулярной точки любая высшая симметрия системы (2) имеет вид

п л оо т л

где

г г

(<Ръ • • •, <Р«)Т = ^ =

/3 — р-столбец произвольных функций переменных Хъ.. ■, Хр> 7 — т-столбец произвольных функций на £°°.

Данная теорема дает полное описание структуры алгебр высших симметрий систем с управлением и метод вычисления этих алгебр. При этом в отличии от известного ранее метода здесь нет необходимости в интегрировании дифференциальных уравнений и находятся сразу все симметрии.

Пусть (£°°, Дг) и (З'*', Ц?) — диффеотопы системы (2) и некоторой плоской системы соответственно, (уи уг) — линеаризующий выход системы с?00, а и: ¿>°° —£°° — накрытие. Для к > 0 через Л]. (5) обозначим модуль над порожденный 1-формами

Я, ¿уи ..., йуг, с1у?\ ..., йу¥\ ..., ¿у[к\

Положим также

£к = {ше ЛЧОКИ 6 Л£(5)}.

Множества Ск являются ^г(£)-модулями. Пусть ка — такое целое, что формы

и*{йх{), ..., ^"(йхп), ..., и*(<1ит)

лежат в Точку в б в окрестности которой система (2)

регулярна, а модули Съ для к = 0,1,..., ка имеют постоянную размерность, будем называть и-регулярной.

Теорема 15 Если существует накрытие v из диффеотопа какой-либо плоской системы в диффеотоп системы (2), то в окрестности f-регулярной точки система (2) плоская.

В диссертации приведен пример применения теоремы 15 для доказательства неплоскостности системы. А именно, система неплоская, если существует накрытие из ее диффеотопа в диффеотоп какой-либо известной неплоской системы S. В качестве системы S предлагается брать систему с одномерным управлением, потому что для таких систем существует простой метод проверки плоскостности (см. теоремы 12 и 13). Следствием теорем 7 и 15 является следующий важный теоретический результат.

Теорема 16 В окрестности v—регулярной точки система динамически линеаризуема тогда и только тогда, когда она плоская.

Доказательства приведенных теорем дают следующий алгоритм построения линеаризующего выхода динамически линеаризуемой системы. Пусть построена динамическая обратная связь (12), линеаризующая систему (2). Из существования такой связи следует плоскостность системы (13). Пусть (yi,..., ут) — линеаризующий выход системы (13). Так как системы (2) и (13) регулярны, то г = т. Для каждого к > 0 обозначим через У^ набор дифференциалов:

У w = {dt, dyi,..., dym, dyi,..., dym,..., dyf\ ..., dy$}.

Часть переменных системы (13) выражаются через (20). Другая часть переменных & вместе с функциями (20) образуют систему координат на диффеотопе системы (13). Если систему координат на этом диффеотопе образуют только функции (20), то накрытие из теоремы 7 есть С-диффеоморфизм, а функции yi,...,t/m образуют линеаризующий выход и системы (13), и системы (2).

Рассмотрим случай, когда функции (20) образуют систему координат на диффеотопе системы (13) вместе с некоторыми переменными Представим элементы наборов к > 0, в этой системе координат. Доказывается, что для любого к модуль введенный

выше, состоит из тех линейных комбинаций элементов набора У W с коэффициентами из которые не содержат а содержат

только дифференциалы функций (20). Будем искать 1-формы, порождающие Ск■ Любое jCfc содержит dt. Минимальное к, для которого модуль Ck отличен от линейной оболочки dt, обозначим через ко. Из доказательства теоремы 15 следует, что модуль £к0 имеет базис, состоящий из форм вида dt, dh\,..., dhmi. При этом 1-формы dt, dh\,..., dhmi, dhi,..., dhmi линейно независимы и лежат в £^+1. Этот набор форм дополняется до базиса в Ск0+1 точными формами dhmi+i,... ,dhm2, где mj < тг < т. Продолжаем увеличивать к пока не получим набор т функций h\,...,hm, который и представляет собой линеаризующий выход системы (2).

В третьей главе понятие плоскостности обобщается на системы с запаздыванием вида

x(t) = f(t,x(t),u(t),x(t — Oi),u(i — ai),...

...,x(t-ap),u{t-ap)), геГ, и G Rm, (29)

где / — гладкая векторная функция, ai,...,ap — действительные положительные постоянные.

Для произвольной функции д от t и любого действительного числа а обозначим через да функцию ga(t) — g(t — а) (например, xlA{t) = Xi(t—a)), а через А — множество чисел вида i\a\ + .. .+ipap, где h,...,ip — произвольные целые.

Систему (29) мы называем плоской, если существуют функции hi,..., hr, зависящие от конечного набора функций вида

t, xita, wj'o, г = 1, n, j = 1, m, I > 0, a G A,

и удовлетворяющие следующим двум условиям. Во-первых, функции х vi и выражаются через конечный набор функций вида t, где a G А и производная по t берется с учетом (29). Во-вторых, любой конечный набор функций вида t, hi^a, а € А, с учетом (29) функционально независим. Набор (h\,... ,hr), удовлетворяющий указанным условиям, называется линеаризующим выходом системы (29).

Рассмотрим систему уравнений, получающуюся из системы (29) заменой ж(£ —а,) и и{Ь~щ) для г = 1, р на х{Ь) и и{€) соответственно, т.е. динамическую систему с управлением

х — .. ,,х,и). (30)

Для функции /г, зависящей от Ь и конечного набора переменных ж, а,

(I) ^ '

и),а> а £ -А, обозначим через к функцию, получающуюся из к заменой х1>а,и^а для любого а € Л на и® соответственно. Для систем с запаздыванием получено следующее необходимое условие плоскостности.

Теорема 17 Пусть система (29) автономная или ее правая часть периодическая по t и любое число а\,...,ар является ее периодом. Если, кроме того, система (29) плоская с линеаризующим выходом (/11,..., Кг), то система (30) также плоская, и (Ь,\,..., кт) — ее линеаризующий выход.

Эта теорема позволяет доказывать не только неплоскостность системы вида (29), если система (30) не является плоской, но и дает дополнительную информацию о линеаризующем выходе системы (29), если она плоская. Использование этой информациии позволило найти линеаризующий выход системы с запаздыванием, описывающей модель дизельного двигателя.

Особенностью плоских систем с запаздыванием является то, что как переход от переменных состояния и управления к переменным линеаризующего выхода, так и обратный переход может зависеть не только от значений переменных "в настоящем и прошлом", но и от значений переменных "в будущем" (при а < 0). Однако при решении задач теории управления можно использовать только функции переменных "в настоящем и прошлом". Эта особенность создает дополнительную трудность при распространении методов решения упомянутых задач в случае плоских систем без запаздывания на случай плоских систем с запаздыванием. В главе 3 предлагаются методы решения задач терминального управления и стабилизации с преодолением этой трудности. Метод решения задачи стабилизации демонстрируется на примере системы, описывающей модель дизельного двигателя.

В четвертой главе предложен еще один путь решения задачи плоскостности. Он основан на применении теории деформаций геометрических структур, построенной Д. К. Спенсером, В. Гийеми-ном, С. Стернбергом и другими. В диссертации теория деформаций обобщена на бесконечномерный случай. Суть этого обобщения заключается в замене условия (24) из теоремы 10 на равенство

(dc + R)(u) = 0, где R = Д-1 о dc о Д - de.

Задача поиска обратимого С-дифференциального оператора Д заменяется на задачу поиска оператор R указанного вида.

Показано, что матричный оператор R имеет компоненты вида

Rij = Y1 аЬ А < 6 СХЛ(£). 3 = $

I

Множество матричных операторов размера m X m такого вида обозначается через C1ADiff (£). Вводятся подстановка векторного поля Z в Rg C1ADiff(£):

щи)» =

s

и правая подстановка Z в R:

(R[Z)tj = ° (Z]a:7), R,j = J>3 ° К Л !)•

s s

Для фиксированного R из C1ADiff(f ) и произвольных С-дифференциального оператора А и векторного поля Z вводятся операторы

Z(A) = ZJ ([dc, А] - А о л), Z{A} = ([dc, A} + RoA) [Z.

Теорема 18 Пусть w — m-столбец 1-форм, образующих Б-базис системы. В окрестности точки общего положения система плоская тогда и только тогда, когда существует оператор R Е C1ADiff(£), удовлетворяющий условиям:

(A) [dc + R) И = 0;

(В) £гс(Д) + ДоД = 0;

(С) для любого положительного к и любого набора векторных полей ..., ^ порядок операторов

ограничен фиксированным числом.

Данная теорема дает необходимое и достаточное условие плоскостности и следующий алгоритм поиска линеаризующего выхода в случае, когда порядок оператора К ограничен сверху. Шаг 1. Для исследуемой системы с управлением находим Б-базис и>.

Шаг 2. Находим оператор Л € С1ЛБ1££(£), удовлетворяющий условиям (А), (В) и (С).

Шаг 3. В окрестности заданного решения я системы яаходим С— дифференциальный оператор Д из уравнений

Шаг 4. Находим линеаризующий выход к из уравнения А(и>) =

Представленный результат обобщен на случай плоских систем уравнений в частных производных. А именно, пусть задана какая-либо система уравнений в частных производных на функции и = (и1,..., ит) переменных £ = (¿1,... ,<„):

Здесь и далее а — мультииндекс, а для и = %\.. л* полагаем |<т| = к,

Выражение, стоящее в левой части равенства (31), означает, что функция £?а зависит от Ь, и и некоторого конечного набора производных вида иа. Система (31) называется плоской, если существуют такие функции

у1 = Л1^,и,...,)1 УТ = и,...„(32)

23

Са(Ь,и,...,иа,...) = 0, а-1,1

(31)

что переменные и выражаются с учетом (31) через ... ,in, функции (32) и производные до какого-то конечного порядка функций (32) по ii,... ,in, а любой конечный набор функций (32), их производных с учетом (31) и функций ti,...,tn функционально независим. При этом функции (32) называются линеаризующими зависимыми переменными системы (31).

Теорема 18 дает метод решения и других классических задач теории дифференциальных уравнений, которые, как и задача плоскостности, сводятся к решению уравнения (24). Показано, что задача поиска условий совместности систем именно такая задача, и предложен новый метод ее решения.

Пятая глава посвящена обобщению теории диффеотопов на системы функционально-дифференциальных уравнений, имеющих гранично-дифференциальную форму вида

G(t, u{t), ua{t), u{g{t)),ua{g{t))) — 0, t G R", и G Mm, g G Ç, (33)

где Q — конечный набор отображений пространства независимых переменных Ж". Показано, что системы с запаздыванием, системы с распределенными параметрами и системы интегро-диф-ференциальных уравнений имеют такой вид.

Известное понятие пространства джетов обобщается так, чтобы системы гранично-дифференциальных уравнений можно было интерпретировать как подмногообразия этого пространства. А именно, для каждой точки fo € M™ вводится следующее отношение эквивалентности на множестве бесконечно дифференцируемых векторных функций. Векторные функции u(t) и v(t) эквивалентны, если они имеют одинаковые производные всех порядков во всех точках o)i g € G- Класс эквивалентности функции u(t) мы называем (оо, 0)~джетом функции u(t) в точке ¿о- Пространство (оо, G)~ джетов га-векторных функций от п переменных обозначается через J°°(n,m;G). На этом пространстве вводится следующая каноническая система координат:

{Ъ, и3 : г = I7n, j = Î7m, \а\ > 0, g G Q}.'

Распределение на то; О), заданное векторными полями

д ^ дд*1М) 4 д . -—

3,3,1 а

называют распределением Картана на п,т; {?).

Уравнения (33) и все их следствия определяют подмногообразие £°° пространства 7°°(тг,т;^). Векторные поля £>,-, i — 1,п, касаются подмногообразия £°°. Их ограничение на £со задают распределение, которое называют распределением Картана на £с°. Подмногообразие £°°, снабженное распределением Картана называют диффеотопом системы (33).

Теорема 19 Подмногообразие N С £°° есть график решения системы (33), в том и только том случае, когда N является максимальным интегральным многообразием распределения Картана на £°°, инвариантным относительно любого отображения д € £/.

Данная теорема мотивирует следующее определение высшей симметрии. Определим модуль картановских форм на £°° как множество С1К{£) таких 1-форм, которые в каждой точке в £ £°° аннулируются векторами распределения Картана на £°°. Высшей (ин-финитезимальной) симметрией системы (33) мы называем такое вертикальное поле X на £°°, которое удовлетворяет условиям

Х{С1к[£))с.С1К{£) и д*°Х = Х°д*

для любого д £Е Я- Известный метод вычисления высших симметрий обобщен на рассматриваемый случай системы функционально-дифференциальных уравнений, имеющих гранично-дифференциальную форму.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1. Бесконечномерная геометрия является основой для решения задачи плоскостности и других задач приведения систем к каноническим видам.

2. Динамическая линеаризуемость эквивалентна плоскостности.

3. Динамические системы с управлением имеют богатые алгебры высших симметрий. Этот факт является базой эффективного применения теории высших симметрий для анализа и синтеза нелинейных динамических систем.

4. Бесконечномерная теория деформаций геометрических структур является основой применения метода линеаризации в теории дифференциальных уравнений.

5. Установлена связь задачи плоскостности с другими классическими нелинейными задачами теории дифференциальных уравнений. Их решение не получено известными методами и поэтому требует разрабоки новых методов, в том числе на основе бесконечномерной геометрии.

6. Теория диффеотопов является основой для дальнейшего распространения развитых в диссертации методов анализа и синтеза нелинейных динамических систем на системы с запаздыванием и системы с распределенными параметрами.

7. Совокупность основных результатов диссертации можно рассматривать как основание для формирования нового научного направления, состоящего в разработке методов анализа и синтеза нелинейных динамических систем на основе дифференциально-геометрической теории бесконечномерных многообразий.

ТРУДЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Четвериков В. Н. О структуре интегрируемых С-полей на бесконечно продолженных уравнениях // Доклады АН СССР. — 1986. — Т. 286, № 1. — С. 54-57.

2. Chetverikov V. N. Оп the structure of integrable C-fields // Differential Geom. Appl. — 1991. — V. 1. — P. 309-325.

3. Chetverikov V. N. Invertible linear differential operators on two-dimensional manifolds // Preprint of the Erwin Schrodinger International Instituíe for Mathematical Physics (Vienna). — 1993. — № 55. — 16 p.

4. Chetverikov V. N., Kudryavtsev A. G. A method for computing symmetries and conservation laws of integro-differential equations // Acta Appl. Math. — 1995. — V. 41, № 1-3. — P. 45-56.

5. Chetverikov V. N., Kudryavtsev A. G. Modelling integro-differential equations and a method for computing their symmetries and conservation laws // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. — 1995. — V.167. — P. 1-22.

6. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / А. В. Бочаров, А. М. Вербовецкий, А. М. Виноградов и др. — М.: Факториал, 1997. — 464 с.

7. Четвериков В. Н. Геометрическая интерпретация систем с управлением // Научный вестник МГТУ ГА. Математика. — 1999. — № 16. — С. 69-75.

8. Четвериков В. Н. Высшие симметрии и инфинитезимальная форма Бруновского систем с управлением // Научный вестник МГТУ ГА. Математика. — 1999. — № 16. — С. 77-83.

9. Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics / A. V. Bocharov, V. N. Chetverikov, S. V. Duzhin et al. — Providence (RI): Amer. Math. Soc., 1999. — 333 p.

10. Chetverikov V. N. New flatness conditions for control systems // Proc. of NOLCOS'Ol. — St.Petersburg, 2001. — P. 168-173.

11. Дорошенко Т. Г., Четвериков В. Н. Управление плоскими системами // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VII Международного семинара. — М., 2002. — С. 154-155.

12. Chetverikov V. N. New flatness conditions for control systems // Nonlinear Control Systems 2001 / A. B. Kurzhanski, A. L. Fradkov, Eds. — St.Petersburg, 2002. — P. 191-196.

13. Четвериков В. Н. Высшие симметрии и инфинитезимальная форма Бруновского систем с управлением // Дифференциальные уравнения. — 2002. — Т. 38, № 11. — С. 1525-1532.

14. Chetverikov V. N., Kanatnikov A. N., Krishchenko А. Р. Classical and higher symmetries of control systems // Proc. of the 15th World Congress IFAC b'02. — Barcelona (Spain), 2002. — P. 221-226.

15. Дорошенко Т. Г., Четвериков В. Н. Терминальное управление плоской системой // Нелинейная динамика и управление: Сборник статей / Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина (М.). — 2003. — Вып. 3 — С. 191-200.

16. Chetverikov V. N. Flat control systems and deformations of structures on diffieties // Forum Math. — 2004. — V. 16. — P. 903-923.

17. Четвериков В. H. Плоскостность динамически линеаризуемых систем // Дифференциальные уравнения. — 2004. — Т. 40, № 12. — С. 1665-1674.

18. Chetverikov V. N. A nonlinear Spencer complex for the group of invertible differential operators and its applications // Acta Appl. Math. — 2004. — V. 83, № 1-2. — P. 1-23.

19. Четвериков В. H. Плоские управляемые системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 41, № 12. — С. 1655-1662.

20. Горбунов А. В., Четвериков В. Н. Управление плоской системой с запаздыванием на примере дизельного двигателя // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов IX Международного семинара им. Е. С. Пятницкого. — М., 2006. — С. 64-65.

21. Четвериков В. Н. Динамически линеаризуемые и плоские системы с управлением // Дифференциальные уравнения. — 2006. — Т. 42, № 8. — С. 1143-1144.

Подписано к печати 1.12.2006 г. Заказ № 546 Объем 1.75 п.л. Тираж 100 экз. Типография МГТУ имени Н.Э.Баумана

Введение.

1. ДИНАМИЧЕСКИ ЛИНЕАРИЗУЕМЫЕ И ПЛОСКИЕ СИСТЕМЫ

1.1. Системы с управлением

1.2. Линеаризация статической обратной связью.

1.3. Линеаризация динамической обратной связью и плоские системы.

1.4. Решение задач терминального управления и стабилизации методом динамической обратной связи.

1.5. Управление движением самолета вертикального взлета

1.6. Бесконечномерная модель системы с управлением

1.7. Классы эквивалентных систем с управлением.

1.8. Геометрическая интерпретация плоскостности

1.9. Условие регулярности динамической обратной связи

1.10. Построение динамической обратной связи, линеаризующей плоскую систему.

1.11. Геометрическая интерпретация динамической линеа-ризуемости.

1.12. Выводы.

2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ПЛОСКОСТНОСТИ

2.1. Формы Картана и их свойства.

2.2. Инфинитезимальная форма Бруновского систем с управлением

2.3. Необходимое и достаточное условие плоскостности, основанное на понятии Б-базиса.

2.4. Условия статической линеаризуемости.

2.5. Высшие симметрии систем с управлением.

2.6. Построение плоских выходов динамически линеаризуемых систем.

2.7. Выводы.

3. ПЛОСКИЕ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ.

3.1. Необходимое условие плоскостности для систем с запаздыванием

3.2. Решение задачи терминального управления.

3.3. Решение задачи стабилизации.

3.4. Геометрическая модель систем с запаздыванием

3.5. Геометрическая интерпретация плоскостности

3.6. Доказательство теорем 3.1и3.2.

3.7. Выводы.

4. УСЛОВИЯ ПЛОСКОСТНОСТИ.

4.1. Плоские системы уравнений в частных производных

4.2. Задача поиска оператора совместности.

4.3. Геометрическая модель систем уравнений в частных производных.

4.4. Геометрические структуры, связанные с дифференциальными операторами

4.5. Переформулировка задач плоскостности и поиска оператора совместности.

4.6. Нелинейный комплекс Спенсера для группы обратимых С-дифференциальных операторов.

4.7. Правая подстановка.

4.8. Теорема о точности нелинейного комплекса Спенсера

4.9. Следствие теоремы о точности

4.10. Выводы.

5. ГЕОМЕТРИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

5.1. Пространства /¿-джетов

5.2. Преобразование уравнений в гранично-дифференциальную форму.

5.3. Пространства (к, С/)-джетов.

5.4. Пространства бесконечных джетов.

5.5. Гранично-дифференциальные операторы.

5.6. Поднятие линейных операторов на .700 (я-; С/).

5.7. Распределение Картана на 7°°(7г;

5.8. Интегральные многообразия распределения Картана

5.9. ^-инвариантные симметрии распределения Картана на ■7°°(7г;а)

5.10. Диффеотопы гранично-дифференциальных уравнений

5.11. Высшие симметрии гранично-дифференциальных уравнений

5.12. Связность Картана инфинитезимальной формы Бру-новского

5.13. Выводы.

Проблема, исследуемая в данной диссертации, в более общей формулировке была поставлена еще в 1784 году Г. Монжем [111]. П. Зер-вос в своем обзоре 1932 года [162] сформулировал ее следующим образом: "для недоопределенной системы к обыкновенных дифференциальных уравнений на п неизвестных (к < п) найти общее решение в виде выражения неизвестных через п — к произвольные функции времени, их производные до некоторого порядка и возможно некоторое количество констант". Обозначив через щ,.,ип неизвестные заданной системы, приходим к задаче нахождения таких выражений

К) щ г = 1,., п, (В1) что, подставляя в (В1) вместо /&!,., произвольные дифференцируемые функции времени вместо к\,., — их производные до порядка К, а вместо с\,., сг — произвольные константы, получим решение системы, причем все решения получаются таким образом. В случае существования выражений (В1) будем называть их параметризацией решений системы, а саму систему — параметризуемой.

В 1912 году Д. Гильберт [76] показал, что в случае к = 1,п = 2 любое уравнение первого порядка параметризуемо, а среди уравнений второго порядка имеются непараметризуемые. Примером такого уравнения является уравнение

Щ = (й2)2. (В2)

В 1915 году Э. Картан [41] полностью решил задачу Монжа в случае п — к = 1. Наконец, в 1932 году появился обзор П. Зервоса [162], а в 1971 М. Жанэ [81] дал современное изложение полученных результатов.

Интерес к задаче Монжа возродился в конце XX века после введения М. Флиссом, Ж. Левиным, Ф. Мартиным и П. Рушоном [61] понятия плоской системы с управлением. Плоской они назвали параметризуемую систему в случае, когда параметризация (В1) не содержит констант и обратима в том смысле, что переменные /&!,., Нп-к выражаются через щ,., ип и производные щ,., ип по < до какого-то конечного порядка. Набор функций Н\указанных переменных они назвали плоским выходом системы. Новое понятие оказалось тесно связанным с понятием динамически линеаризуемой системы, введенным чуть ранее Б. Шарле, Ж. Левиным и Р. Ма-рино [42, 43]. Было показано, что любая плоская система с управлением динамически линеаризуема (см. [97, 99, 66]), и для ее управления можно использовать методы, разработанные ранее для линейных систем. Были также найдены примеры плоских систем с запаздыванием [112, 117, 70, 114, 129, 116, 113, 130, 128, 147] и плоских систем с распределенными параметрами, т.е. систем уравнений в частных производных с граничными условиями и граничным управлением [71, 114, 31, 72, 56, 69, 88, 94, 128, 133, 150, 57]. А именно, решения этих систем также параметризуются набором произвольных функций одной переменной.

Оказалось, что многие системы с управлением из различных областей техники являются плоскими и задачи управления для них решаются разработанными методами. В часности, плоский выход допускают модели: плоского твердого тела с силами [103, 121]; ракеты [103]; самолета вертикального взлёта [75, 102]; портального подъемного крана [67, 64, 93, 90]; туннельного вентилятора [109, 123]; перевернутого маятника на тележке [64, 103]; многих подвижных роботов [97, 64, 89, 103, 122, 160]; буксируемой кабельной системы [120, 103]; самолета с обычной схемой взлета [97, 101, 102]; спутника с двумя управлениями [103]; автомобиля с п-прицепами [144, 143, 64, 60]; катящегося диска, катящейся сферы и велосипеда [103]; саморегулирующейся муфты [92]; стеклоочистительных щеток [37]; парковки автомобиля [144, 64, 60]; преобразователя постоянного тока с широтно-импульсной модуляцией [153, 84]; двухфазная модель асинхронного электродвигателя [53, 108, 107, 96, 152]; смесевого химического реактора [141, 115, 72, 103, 147]; трубчатого реактора [72, 147, 103]; реактора, в которой протекает реакция полимеризации [142, 103]; гибкой буровой штанги [117, 70, 31, 71]; движения жидкости в цистерне [56, 133, 103]; передачи сигнала через электрическую цепь [69, 103]; сети сбыта [113]; цепи, один конец которой прикреплен к тележке, а другой свободно свисает [134] и др.

Теория плоских систем применяется: при проектирование автомобильного оборудования [37, 90], в аэронавтике [101, 102], при управлении вертолетом [118, 107], в гидравлике [36], при управлении изгибом балки [150], при решении задачи расположения магнитных опор [91, 149], в пищевой промышленности [35], в агро-продовольст-веной области [34] и др.

Решения плоской системы находятся во взаимно однозначном соответствии с набором произвольных функций времени. Этот факт позволяет переносить на плоские системы методы управления линейными системами. В частности, на плоские системы распространены методы решения задач терминального управления (см. [143, 144, 64] и параграфы 1.4 и 3.2 ниже), стабилизации ([63, 60], параграфы 1.4 и 3.3), оптимального управления [124, 131, 132, 110], предиктивного управления [68] и др.

Важнейшей нерешенной проблемой теории управления остается задача плоскостности: "для заданной системы выяснить является ли она плоской или нет". Разработка методов решения этой задачи актуальна, потому что:

1) задачи теории управления разрешимы для плоских систем, соответствующие методы или уже разработаны, или успешно разрабатываются;

2) большое количество технических объектов и процессов описывается плоскими системами, поэтому есть надежда, что плоскими являются и системы с управлением, интересные с технической точки зрения и плоскостность (или неплоскостность) которых нельзя доказать существующими методами.

Полного и конструктивного решения задачи плоскостности пока не получено. Основная трудность в ее решении заключается в определении порядка производных щ,., ип по t, от которых может зависеть искомый плоский выход. Назовем этот порядок порядком плоского выхода, а систему, обладающую плоским выходом порядка L, — L-плоской. Если система обладает плоским выходом порядка L, то она обладает также бесконечным количеством плоских выходов любого порядка больше, чем L. Задача проверки L-плоскостности конкретной системы трудна с вычислительной точки зрения, но разрешима. Однако если система не обладает плоским выходом порядка L, она может обладать плоским выходом большего порядка. Оценка для порядка плоского выхода в общем случае не известна, и доказательство неплоскостности остается нерешенной проблемой.

Доказать неплоскостность можно было бы, имея необходимые условия, близкие к достаточным. Используя метод, которым Д. Гильберт [76] доказал непараметризуемость уравнения (В2), П. Рушон получил необходимые условия [142], обобщающие полученные ранее результаты В. М. Слюса [156]. Однако эти условия применимы к незначительному количеству примеров. Значение их в том, что из них П. Рушон вывел [142] следующий важный теоретический результат. Неплоские системы с управлением образуют открытое всюду плотное множество в С°°-топологии Уитни. Этот результат допускает следующую интерпретацию: наугад выбранная система с вероятностью 1 будет неплоской. Казалось бы, это противоречит плоскостности большого количества технических систем (см. выше). Но противоречие исчезает, если учесть, что технические системы не произвольны, а описывают те или иные явления природы. А для таких систем свойство плоскостности может быть общим, т.е. наугад выбранная техническая система с ненулевой вероятностью плоская.

Хотя в общем случае задача плоскостности нерешена, некоторые успехи в ее решении для систем частного вида достигнуты. А именно, получены следующие результаты. Плоской является любая статически линеаризуемая система (см. [61] и следствие 1.4 ниже). Поэтому известные необходимые и достаточные условия статической линеаризуемости (см. [80, 10, 78, 15, 14] и теорему 2.4 ниже) являются одновременно достаточными условиями плоскостности. Но этим условиям удовлетворяют небольшое количество плоских систем. Исключение составляют системы с одномерным управлением, которые плоские тогда и только тогда, когда они статически линеаризуемы (это следствие классических результатов Э. Картана [41], см. также [42, 43, 32] и теорему 2.5 ниже).

Аффинные системы коразмерности 1

71-1

А = /О{х) + ^щ/г(х), X еШП г=1 имеют плоский выход порядка 0, если они удовлетворяют условию сильной достижимости для почти всех х [42, 43]. Так как плоские системы всегда удовлетворяют условию сильной достижимости [66], то приведенный факт представляет собой необходимое и достаточное условие плоскостности и оценку для порядка плоского выхода {Ь = 0) таких систем. Для систем коразмерности 1 нелинейных по управлению (неаффинных) также известны условия плоскостности [98], но формулировка их значительно сложнее.

Необходимые и достаточные условия 1-плоскостности для аффинных систем с двумерным управлением и четырехмерным состоянием получены в [136]. Анализ этих результатов показывает насколько сложна проверка ¿-плоскостности даже для малых Ь.

Для аффинных систем вида известны условия плоскостности в двух случаях: т — 2 [104] и тп = п — 2 [105, 106]. Некоторые результаты о плоских ситемах вида (ВЗ) можно найти также в [119, 122, 160, 159, 155].

В [139] рассмотрены механические системы с п-мерным конфигурационным пространством (2п-мерным состоянием) и управлением размерности п — 1. Получены необходимые и достаточные условия существования плоского выхода, зависящего только от конфигурационных переменных.

Цитируемые работы и древность задачи плоскостности показывают, что эта задача трудна, и для ее решения необходимо использовать новые методы, которые еще не применялись в теории управления. Первоначально плоскостность была определена на алгебраическом языке [61, 64], более привычном ее авторам. Но довольно скоро было понято [62, 135, 65, 66], что более удобен бесконечномерный геометрический язык, развитый российской школой математиков под руководством А. М. Виноградова [2, 4, 161, 1]. Применение языка дифференциальных форм [126], используемого американскими математиками [40], позволило доказать цитируемые выше результаты о плоских ситемах вида (ВЗ). Но на успех этого подхода в дальнейших исследованиях трудно надеяться (это, видимо, понимает и один из авторов работы [126] — см. [ЮЗ]).

ТП

ВЗ)

Подход А. М. Виноградова заключается в отождествлении системы дифференциальных уравнений с бесконечномерным многообразием, снабженным конечномерным распределением. Это распределение называется распределением Картана, а многообразие, на котором оно определено, — диффеотопом. Решения системы отождествляются с максимальными интегральными многообразиями распределения Картана, которые называются графиками решений. Тем самым, диффеотоп и распределение Картана полностью определяют систему и ее решения.

Интерпретируя набор ., /гп-/0 произвольных дифференцируемых функций времени t как решение "пустой системы уравнений", параметризацию (В1) в случае отсутствия констант с\,. ,сг можно понимать как преобразование решений пустой системы в решения заданной системы. При этом функции, задающие такое преобразование, зависят не только от t и решений ,., Нп-к пустой системы, но и от производных ., этих решений до некоторого порядка К. На диффеотопическом языке такое преобразование определяет гладкое отображение из диффеотопа пустой системы в диффеотоп заданной системы, причем распределение Картана пустой системы отображается в распределение Картана заданной системы. Обратимость параметризации означает обратимость этого отображения. Таким образом, плоскостность системы означает существование диффеоморфизма из диффеотопа пустой системы в диффеотоп заданной системы, сохраняющий распределения Картана.

Диффеотопический подход имеет категорное изложение, аналогичное [9] (срав. категории БЕ в [1] и в [9]). Но если в [9] рассматриваются только преобразования, при которых состояние одной системы выражается через состояние другой, то диффеотопический подход позволяет рассматривать наиболее общие преобразования систем, при которых состояние выражается через состояние, управление и производные управления до любого фиксированного порядка.

Применяя диффеотопический подход, Е. Аранда-Брикэр, К. О. Муг и Ж.-Б. Помэ переформулировали задачу плоскостности для стационарных систем как задачу поиска обратимого дифференциального оператора некоторого типа, удовлетворяющего некоторому условию (см. [32] и теорему 2.2 ниже). В диффеотопической геометрии [2, 4, 161, 1] операторы указанного типа исследуются и называются ^-дифференциальными. Обратимые дифференциальные операторы также исследовались ранее [6, 23, 44, 45], но применить известные результаты о них к задаче плоскостности не удалось. Анализ упомянутого условия (см. равенство (2.23) ниже) показал, что для его упрощения естественно использовать теорию деформаций геометрических структур, развитую Д. Спенсером [158], В. Гийемином, С. Стернбергом [74] и др. Напомним, что эта теория изучает деформации (преобразования) под действием непрерывной группы какой-либо геометрической структуры, заданной комплексом. Одним из инструментов этой теории является нелинейный комплекс Спенсера.

Целью диссертации является: разработка методов решения задачи плоскостности и других задач приведения систем к каноническим видам; развитие геометрии диффеотопов, в том числе определение диффеотопа системы с запаздыванием и диффеотопа системы с распределенными параметрами и распространение понятия плоскостности на такие системы; применение диффеотопических методов в теории управления и разработка методов анализа и синтеза систем с управлением на основе диффеотопических методов.

Актуальность диссертации объясняется

1) актуальностью задачи плоскостности (см. выше);

2) возможностью после применения новых методов в теории управления решить как проблемы приведения систем к наиболее простому виду, на подобии задачи плоскостности, так и проблемы управления нелинейными системами;

3) распространением на системы с запаздыванием и системы с распределенными параметрами геометрии диффеотопов, что позволит применить новые методы для решения как задачи плоскостности, так и задач управления такими системами.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные новые результаты, которые выносятся на защиту.

1. Теория динамически линеаризуемых и плоских нестационарных систем с управлением.

В серии работ [42, 43, 61, 62, 64, 135, 65, 66] были получены отдельные факты о динамически линеаризуемых и плоских стационарных системах с управлением. В частности, для таких систем была введена бесконечномерная геометрическая модель, доказано, что плоская система динамически линеаризуема, размерности плоского выхода и управления совпадают, для линейных систем плоскостность эквивалентна управляемости и т.д. В диссертации эти и другие факты доказываются для нестационарных систем с управлением.

2. Решение проблемы плоскостности систем, линеаризуемых динамической обратной связью.

Все попытки доказать, что любая динамически линеаризуемая система плоская, до сих пор были неудачными. Поэтому Ф. Мартин [97, 100] ввел специальный термин "эндогенная" для динамической обратной связи, которая линеаризует плоскую систему. Более точно, эндогенная — это динамическая обратная связь, дополнительные переменные которой выражаются через переменные состояния, управления и производные управления до некоторого порядка. Он доказал, что система, линеаризуемая эндогенной динамической обратной связью, является плоской. В диссертации эта проблема ре-шана в полном объёме и доказано (теорема 2.8), что в окрестности точки общего положения любая динамически линеаризуемая система плоская независимо от типа линеаризующей динамической обратной связи.

Для доказательства последнего факта используется известное понятие накрытия одного диффеотопа другим [3, 86, 87, 1]. Доказывается, что система динамически линеаризуема в том и только том случае, когда она накрывается тривиальной системой (теорема 1.11), а плоская система может накрывать только плоскую систему (теорема 2.7). Из этих двух теорем следует упомянутый выше факт (теорема 2.8), а из их доказательства — метод поиска плоского наблюдателя для динамически линеаризуемой системы (см. § 2.6). Одновременно теорема 2.7 позволяет доказывать неплоскостность системы, если удается построить накрытие из этой системы в какую-либо неплоскую систему (см. пример 2.11).

Исследуется условие регулярности динамической обратной связи (см. [42]) и приводится три эквивалентных ему, но более понятных условия (теорема 1.7). Эти новые условия объясняют понятие динамической обратной связи с разных позиций, при этом для проверки мы по-прежнему используем условие регулярности (см. пример 4.2).

3. Структура алгебр высших симметрии динамических систем с управлением и метод вычисления этих алгебр.

Для высших симметрий используются также термины "операторы Ли-Бэклунда" [12, с. 166] и "обобщенные симметрии" [18, с. 173]. В подходе А. М. Виноградова высшая симметрия интерпретируется как инфинитезимальное преобразование (векторное поле) диффеото-па рассматриваемой системы, сохраняющее распределение Картана (точные формулировки приведены ниже — см. параграфы 2.5 и 5.11). Локальный фазовый поток такого векторного поля, если он существует, отображает графики решений в графики решений. Поэтому высшие симметрии можно понимать как векторные поля на многообразии решений системы. Однако векторные поля на диффеотопе, вообще говоря, не обладают даже локально фазовым потоком, поскольку диффеотоп — бесконечномерное многообразие (подробности см. в [23, 44]). Высшие симметрии, которым соответствуют поднятия векторных полей с конечномерного многообразия, а значит, обладающие фазовым потоком, называются классическими.

Симметрии играют фундаментальную роль в геометрии диффе-отопов (см. [1, 2, 4, 11, 12, 17, 18, 161] и ссылки там). Применение их в теории управления только начинается. В [19, 30, 13] классические симметрии использовались для решения задачи декомпозируемости систем с управлением. В [13] получены также общие результаты о таких симметриях. О связи симметрий и инвариантной задачи стабилизации см. [145], а о симметриях, сохраняющих плоский выход, и о их роли в физических приложениях — [103].

Предложенный метод вычисления алгебры высших симметрий использует инфинитезимальную форму Бруновского систем с управлением [32], обобщенную на нестационарный случай. Однако применить симметрии к решению задачи плоскостности не удается. Полученный результат (теорема 2.6) показывает, что если система не имеет первых интегралов, ее алгебра высших симметрий однотипна как для плоских систем, так и неплоских. Отличия можно ожидать только при более глубоком исследовнии этой алгебры.

4. Обобщение теории деформаций геометрических структур на бесконечномерный случай, разработанные на его основе условия плоскостности и метод поиска плоского выхода для динамических систем и систем уравнений в частных производных.

Обобщение состоит в распространении теории деформаций на случай действия группы обратимых С-дифференциальных операторов на комплекс (4.16) (см. § 4.6). В работе сконструирован нелинейный комплекс Спенсера и доказана его точность в окрестности точки общего положения (теорема 4.3). Это позволило получить необходимые и достаточные условия плоскостности (следствие 4.1) и на их основе метод поиска плоского выхода (см. § 4.9). Эффективность этого метода продемонстрирована на рассмотренных примерах.

В диссертации также показано, что из точности соответствующего нелинейного комплекса Спенсера следуют необходимые и достаточные условия плоскостности систем уравнений в частных производных и условия существования оператора совместности некоторого вида (см. главу 4). Тем самым доказана связь задачи плоскостности с другими классическими задачами теории дифференциальных уравнений.

5. Обобщение теории плоских систем на случай динамических систем с запаздыванием.

Понятия плоскостности обобщается на случай систем с запаздыванием (см. главу 3). При этом учитывается замечание М. Флис-са [59] (см. также [ЮЗ]) о том, что для таких систем переход от переменных состояния и управления к переменным плоского выхода, как и обратный переход может зависеть не только от значений переменных "в настоящем и прошлом", но и от значений переменных "в будущем". Однако при решении задач теории управления следует использовать только функции переменных "в настоящем и прошлом". Эта особенность создает дополнительную трудность при распространении методов решения упомянутых задач в случае плоских систем без запаздывания на случай плоских систем с запаздыванием. В диссертации предлагаются методы решения задач терминального управления и стабилизации с преодолением этой трудности (см. параграфы 3.2 и 3.3).

Доказано необходимое условие плоскостности для систем с запаздыванием (теорема 3.1). Используя это условие можно доказывать как неплоскостность, так и плоскостность систем с запаздыванием. Мы демонстрируем это на примере системы, описывающей модель дизельного двигателя, рассмотренной в [82]. Используя предложенные методы, мы находим плоский выход и показываем, как решается задача стабилизации для этой системы (см. примеры 3.1 и 3.2).

6. Теория диффеотопов систем функционально-дифференциальных уравнений, имеющих гранично-дифференциальную форму, ориентированная на решение задач теории управления.

Вводится понятие диффеотопа для систем с запаздыванием, для систем интегро-дифференциальных уравнений и для других типов систем, имеющих гранично-дифференциальную форму (см. § 5.2). Разделы геометрии диффеотопов, касающиеся пространств конечных и бесконечных джетов, дифференциальных операторов, описания распределения Картана и симметрий, обобощаются на этот случай (см. главу 5). Это обобщение дает возможность распространить в дальнейшем на случай систем с запаздыванием и систем с распределенными параметрами результаты, полученные для динамических систем с управлением, в частности, необходимые и достаточные условия плоскостности, следующие из точности нелинейного комплекса Спенсера.

Совокупность основных результатов диссертации можно рассматривать как основание для формирования нового научного направления, состоящего в разработке методов анализа и синтеза нелинейных динамических систем на основе дифференциально-геометрической теории бесконечномерных многообразий.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Современные дифференциально-геометрические и компьютерно-алгебраические методы исследования нелинейных проблем физики и механики" (Тарту, Эстония, 1989), Всесоюзной конференции "Современные дифференциально-геометрические и компьютерно-алгебраические методы исследования нелинейных проблем" (Одесса, 1990), 9-ом межгосударственном коллоквиуме " Современный групповой анализ. Методы и приложения" (Ниж.-Новгород, 1992), Международной конференции "Геометрические и алгебраические структуры в дифференциальных уравнениях" (Энсхеде, Голландия, 1993), Международной конференции

Классическая и квантовая геометрия однородных пространств" (Москва, 1994), Международной конференции "Вторичное дифференциальное исчисление и нелинейные проблемы в физике" (Вьетри-суль-Маре, Италия, 1994), Международной конференции "Вторичное дифференциальное исчисление и когомологическая физика" (Москва, 1997), 5-ом международном симпозиуме "Нелинейные системы с управлением (ЮЬС08'01)" (Санкт-Петербург, 2001), 15-ом всемирном конгрессе ИФАК (Барселона, Испания, 2002), на 7-ом Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2002), 6-ой международной конференции "Современная геометрия" (Неаполь, Италия, 2005), на 9-ом Международном семинаре семинара им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2006), а также на научных семинарах в МГТУ им. Н.Э. Баумана, на механико-математическом факультете и факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, в Независимом университете в Москве, в Международном институте математической физики им. Шредингера в Вене, в Национальном Исследовательском Институте по Информатике и Автоматике (ШША, отделение в София Антиполис, Франция).

Публикации. Материалы диссертации использовались при публикации 21 работы: монографии [1], статей в отечественных журналах [8, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29], статей в зарубежных журналах [44, 45, 47, 48, 49, 51, 52], переводной монографии [38] и тезисов докладов [5, 7, 46, 50].

Структура диссертации. Диссертация разбита на пять глав в порядке усложнения методов. Глава 1 содержит результаты о динамически линеаризуемых и плоских системах с управлением. Используются бесконечномерная геометрическая модель, методы теории систем и теории гладких отображений. В главе 2 исследуется инфинитезимальная форма Бруновского систем с управлением и выводятся следствия из нее. Используется геометрическая теория дифференциальных форм. Глава 3 посвящена распространению понятия плоскостности на системы с запаздыванием. Глава 4 содержит обобщение теории деформаций на бесконечномерный случай и применение этого обобщения к задаче плоскостности. Полученное обобщение применимо как к обыкновенным дифференциальным уравнениям, так и к уравнениям в частных производных. Наконец, глава

5 посвящена геометрии функционально-дифференциальных уравнений. Здесь доказываются все факты геометрии диффеотопов, которые использовались в предыдущих главах без доказательства. При этом сначала определяются диффеотопы наиболее общего вида — систем функционально-дифференциальных уравнений. А потом показывается, что диффеотопы динамических систем с управлением, систем уравнения в частных производных и систем с запаздыванием являются частными случаями введенного понятия.

Каждая глава и некоторые параграфы начинаются с краткого введения, где формулируются решаемые задачи. Каждая глава заканчивается выводами по главе, а диссертация — заключением. В них в краткой форме перечисляются основные полученные результаты и выводы.

Основные выводы диссертации.

1. Бесконечномерная геометрия является основой для решения задачи плоскостности и других задач приведения систем к каноническим видам.

2. Динамическая линеаризуемость эквивалентна плоскостности.

3. Динамические системы с управлением имеют богатые алгебры высших симметрий. Этот факт является базой эффективного применения теории высших симметрий для анализа и синтеза нелинейных динамических систем.

4. Бесконечномерная теория деформаций является основой применения метода линеаризации в теории дифференциальных уравнений.

5. Установлена связь задачи плоскостности с другим классическими нелинейными задачами теории дифференциальных уравнений. Их решение не получено известными методами и поэтому требует разрабоки новых методов, в том числе на основе бесконечномерной геометрии.

6. Теория диффеотопов является основой для дальнейшего распространения развитых в диссертации методов анализа и синтеза нелинейных динамических систем на системы с запаздыванием и системы с распределенными параметрами.

7. Совокупность основных результатов диссертации можно рассматривать как основание для формирования нового научного направления, состоящего в разработке методов анализа и синтеза нелинейных динамических систем на основе дифференциально-геометрической теории бесконечномерных многообразий.

1. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / А. В. Бочаров, А. М. Вербовецкий, А. М. Виноградов и др. — М.: Факториал, 1997. — 464 с.

2. Виноградов А. М. Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. — 1980. — Т. И. Проблемы геометрии. — С. 89-134.

3. Виноградов А. М., Красильщик И. С. К теории нелокальных симметрий нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных // Доклады АН СССР. — 1984. — Т. 275, № 5.1. С. 1044-1049.

4. Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986. — 335 с.

5. Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными. — М.: Мир, 1990. — 536 с.

6. Дорошенко Т. Г., Четвериков В. Н. Управление плоскими системами // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VII Международного семинара. — М., 2002. — С. 154-155.

7. Дорошенко Т. Г., Четвериков В. Н. Терминальное управление плоской системой // Нелинейная динамика и управление: Сборник статей / Под ред. C.B. Емельянова, С.К. Коровина (М.).2003. — Вып. 3 — С. 191-200.

8. Елкин В. И. Редукция нелинейных управляемых систем: Дифференциально-геометрический подход. — М.: Наука, Физ-матлит, 1997. — 320 с.

9. Жевнин А. А., Крищенко А. П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления // Доклады АН СССР.- 1981. Т. 258, № 4. - С. 805-809.

10. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. — М.: Наука, 1988. — 328 с.

11. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983. — 280 с.

12. Канатников А. Н., Крищенко А. П. Симметрии и декомпозиция нелинейных систем // Дифференциальные уравнения. — 1994. — Т. 30, № 11. — С. 1880-1891.

13. Краснощеченко В. И., Крищенко А. П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. — 520 с.

14. Крищенко А. П. Преобразования аффинных систем и их множества достижимости // Дифференциальные уравнения. — 1997.

15. Т. 32, № 8. — С. 1144-1145.

16. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980. — 439 с.

17. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 400 с.

18. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. — М.: Мир, 1989. — 635 с.

19. Павловский Ю. Н. Групповые свойства управляемых динамических систем и фазовые организационные структуры // Ж. вы-числ. мат. и мат. физ. — 1974. — Т. 14, № 4. — С. 862-872; Т. 14, № 5. — С. 1093-1103.

20. Павловский Ю. Н., Яковенко Г. Н. Группы, допускаемые динамическими системами // Методы оптимизации и их приложения.

21. Новосибирск: Наука, 1982. — С. 155-189.

22. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. — М.: Мир, 1983. — 400 с.

23. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 421 с.

24. Четвериков В. Н. О структуре интегрируемых С-полей на бесконечно продолженных уравнениях // Доклады АН СССР. — 1986. — Т. 286, № 1. — С. 54-57.

25. Четвериков В. Н. Геометрическая интерпретация систем с управлением // Научный вестник МГТУ ГА. Математика. — 1999. — № 16. — С. 69-75.

26. Четвериков В. Н. Высшие симметрии и инфинитезимальная форма Бруновского систем с управлением // Научный вестник МГТУ ГА. Математика. — 1999. — № 16. — С. 77-83.

27. Четвериков В. Н. Высшие симметрии и инфинитезимальная форма Бруновского систем с управлением // Дифференциальные уравнения. — 2002. — Т. 38, № 11. — С. 1525-1532.

28. Четвериков В. Н. Плоскостность динамически линеаризуемых систем // Дифференциальные уравнения. — 2004. — Т. 40, № 12.1. С. 1665-1674.

29. Четвериков В. Н. Плоские управляемые системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 41, № 12.1. С. 1655-1662.

30. Четвериков В. Н. Динамически линеаризуемые и плоские системы с управлением // Дифференциальные уравнения. — 2006.

31. Т. 42, № 8. — С. 1143-1144.

32. Яковенко Г. Н. Декомпозиция управляемых нелинейных систем с группой симметрий // Механика гироскопических систем (Киев). — 1986. — Вып. 5. — С. 131-137.

33. Theory and practice in the motion planning and control of a flexible robot arm using mikusiriski operators / Y. Aoustin, M. Fliess, H. Mounier et all // Proc. of the Fifth IFAC Symposium on Robot Control. — Nantes (France), 1997. — P. 287-292.

34. Avanessof D., Baratchart L., Pomet J.-B. Sur l'intégrabilité (très) formelle d'une partie des équations de la platitude des systèmes de contrôle // Preprint of INRIA. — Décembre 2003, — 78 p. (http : / / www. inria. fr/rrrt/rr-5045. html)

35. Baron R., Boillereaux L., Lévine J. Platitude et conduite non-linéaire: illustration en extrusion et en photobioréacteur // C.R. Acad. Sei. Paris. Série I. — 2004. — V. 339 — P. 519-524.

36. Baron R., Lévine J., Mastail M. Modeling and control of a fish extrusion process // Proc. of the 1st IMACS/IFAC Conf. Mathematical Modeling and Simulation in Agriculture and BioIndustries. — Bruxelles, 1995. — P. 37-42.

37. Flachheitsbasierte Regelung eines hydraulischen Antriebs mit zwei Ventilen für einen Grossmanipulator / R. Bindel, R. Nitsche, R. Rothfuss et all // Automatisierungstechnik. — 2000. — Bd. 48. — S. 124-131.

38. Bitauld L., Fliess M., Lévine J. A flatness based control synthesis of linear systems and application to windshield wipers // Proc. of the 4th European Control Conf. — Brussels, 1997. — P. 29-34.

39. Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics / A. V. Bocharov, V. N. Chetverikov, S. V. Duzhin et al. — Providence (RI): Amer. Math. Soc., 1999. — 333 p.

40. Brunovsky P. A classification of linear controllable systems // Kybernetica. — 1970. — V. 6. — P. 176-188.

41. Exterior Differential Systems / R. L. Bryant, S. S. Chern, R. B. Gardner et all. — New-York: Springer-Verlag, 1991. — 324 p.

42. Cartan E. Sur l'intégration de certains systèmes indéterminés d'équations différentielles // J. fiir reine und angew. Math. — 1915.

43. Bd. 145. — S. 86-91. (Also in OEuvres Complètes, part II. — Paris: CNRS, 1984. — V. 2. — P. 1164-1174).

44. Char let B., Lévine J., Marino R. On dynamic feedback linearization // Systems and Control Letters. — 1989. — V. 13. — P. 143151.

45. Charlet B., Lévine J., Marino R. Sufficient conditions for dynamic state feedback linearization // SIAM J. Control Optim. — 1991.1. V. 29 — P. 38-57.

46. Chetverikov V. N. On the structure of integrable C-fields // Differential Geom. Appl. — 1991. — V. 1. — P. 309-325.

47. Chetverikov V. N. Invertible linear differential operators on two-dimensional manifolds // Preprint of the Erwin Schrodinger International Institute for Mathematical Physics (Vienna). — 1993.55. — 16 p.

48. Chetverikov V. N. New flatness conditions for control systems // Proc. of NOLCOS'Ol. — St.Petersburg, 2001. — P. 168-173.

49. Chetverikov V. N. New flatness conditions for control systems // Nonlinear Control Systems 2001 / A. B. Kurzhanski, A. L. Fradkov, Eds. — St.Petersburg, 2002. — P. 191-196.

50. Chetverikov V. N. Flat control systems and deformations of structures on diffieties // Forum Math. — 2004. — V. 16. — P. 903923.

51. Chetverikov V. N. A nonlinear Spencer complex for the group of invertible differential operators and its applications // Acta Appl. Math. — 2004. — V. 83, № 1-2. — P. 1-23.

52. Chetverikov V. N., Kanatnikov A. N., Krishchenko A. P. Classical and higher symmetries of control systems // Proc. of the 15th World Congress IFAC b'02. — Barcelona (Spain), 2002. — P. 221-226.

53. Chetverikov V. N., Kudryavtsev A. G. A method for computing symmetries and conservation laws of integro-differential equations // Acta Appl. Math. — 1995. — V. 41, № 1-3. — P. 45-56.

54. Chetverikov V. N., Kudryavtsev A. G. Modelling integro-differential equations and a method for computing their symmetries and conservation laws // Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2. — 1995.1. V. 167. — P. 1-22.

55. Chiasson J. Dynamic feedback linearization of the induction motor // IEEE Trans. Automat. Control. — 1993. — V. 38. — P. 15881594.

56. Delaleau E., Rudolph J. Decoupling and linearization by quasi-static feedback of generalized states // Proc. of the 3rd European Control Conf. — Rome, 1995.— P. 1069-1074.

57. Delaleau E., Rudolph J. Control of flat systems by quasi-static feedback of generalized states // Int. J. Contr. — 1998. — V. 71.1. P. 745-765.

58. Dubois F., Petit N., Rouchon P. Motion planing and nonlinear simulations for a tank containing a fluid // Proc. of the European Control Conference. — Karlsruhe, 1999. — P. 673-678.

59. Motion planing for a nonlinear Stefan problem / W. B. Dunbar, N. Petit, P. Rouchon et all // ES AIM: COCV. — 2003. — V. 9.1. P. 275-296.

60. El Moubaraki J., Bastin G., Lévine J. Nonlinear control of biological processes with growth/production decoupling // Mathematical Biosciences. — 1993. — V. 116. — P. 21-44.

61. Fliess M. Variations sur la notion de controlabilité // Journée Soc. Math France. — 17 juin 2000. — P. 1-39.

62. Sur les systèmes non linéaires différentiellement plats / M. Fliess, J. Lévine, Ph. Martin et ail // C.R. Acad. Sei. Paris. Série I. — 1992.1. V. 315 — P. 619-624.

63. Linéarisation par bouclage dynamique et transformations de Lie-Bäcklund / M. Fliess, J. Lévine, Ph. Martin et ail // C.R. Acad. Sei. Paris. Série I. — 1993. — V. 317 — P. 981-986.

64. Design of trajectory stabilizing feedback for driftless flat systems / M. Fliess, J. Lévine, Ph. Martin et all // Proc. 3rd European Control Conf. — Rome, 1995. — P. 1882-1887.

65. Flatness and defect of non-linear systems: Introductory theory and examples / M. Fliess, J. Lévine, Ph. Martin et all // Int. J. Contr.1995. — V. 61, № 6. — P. 1327-1361.

66. Nonlinear control and diffieties, with an application to physics / M. Fliess, J. Lévine, Ph. Martin et all // Contemporary Mathematics.1998. — V. 219. — P. 81-92.

67. A Lie-Bäcklund approach to equivalence and flatness of nonlinear systems / M. Fliess, J. Lévine, Ph. Martin et all // IEEE Trans. Automat. Control. — 1999. — V. 44, № 5. — P. 922-937.

68. Fliess M., Lévine J., Rouchon P. A generalized state variable representation for a simplified crane description // Int. J. Contr.1993. — V. 58. — P. 277-283.

69. Fliess M., Marquez R. Continuous time linear predictive control and flatness: a module theoretic setting with examples // Int. J. Contr. — 2000. — V. 73. — P. 606-623.

70. Active signal restoration for the telegraph equation / M. Fliess, Ph. Martin, N. Petit et all // Proc. of the 38th IEEE Conf. on Decision and Control. — Phoenix, 1999. — P. 1107-1111.

71. Controllability and motion planning for linear delay systems with an application to a flexible rod / M. Fliess, H. Mounier, P. Rouchon et all // Proc. of the 34th IEEE Conf. on Decision and Control. — New Orleans, 1995. — P. 2046-2051.

72. Systèmes linéaires sur les opérateurs de Mikusinski et commanded'une poutre flexible / M. Fliess, H. Mounier, P. Rouchon et ail/ '

73. ESAIM Proc. Elasticité, viscolélasticité et contrôle optimal. 8ème entretiens du centre Jacques Cartier. — Lyon, 1996. — P. 157-168.

74. A distributed parameter approach to the control of a tubular reactor: A multi-variable case / M. Fliess, H. Mounier, P. Rouchon et all // Proc. of the 37th IEEE Conf. on Decision and Control. — Tampa, 1998. — P. 439-442.

75. Fliess M., Rudolph J. Corps de Hardy et observateurs asympto-tiques locaux pour systèmes différentiellement plats // C.R. Acad. Sei. Paris. Série II. — 1997. — V. 324. — P. 513-519.

76. Guillemin V., Sternberg S. Deformation theory of pseudogroup structures // Mem. Amer. Math. Soc. — 1966. — V. 64. — P. 1-80.

77. Hauser J., Sastry S., Meyer G. Nonlinear control design for slightly nonminimum phase systems: Application to V/STOL aircraft // Automatica. — 1992. — V. 28. — P. 665-679.

78. Hilbert D. Uber den Begriff der Klasse von Differentialgleichungen // Math. Ann. — 1912. — V. 73. — P. 95-108. (Also in Gesammelte Abhandlungen, V. III. — Chelsea, New York, 1965. — P. 81-93).

79. Hoo K. A., Kantor J. C. An exothermic continuous stirred tank reactor is feedback equivalent to a linear system // Chem. Eng. Commun. — 1985. — V. 37. — P. 1-10.

80. Hunt L. R., Su R., Meyer G. Global transformations of nonlinearsystems // IEEE TVans. Automat. Control. — 1983. — V. 28. — P. 24-31.

81. Ibragimov N. H., Kovalev V. F., Pustovalov V. V. Symmetries of Integro-Differential Equations: A Survey of Methods Illustrated by the Benney Equations // Nonlinear Dynamics. — 2002 — V. 28, № 2. — P. 135-153. (http://arxiv.org/abs/math-ph/0109012)

82. Jakubczyk B., Respondek W. On linearization of control systems // Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Math. — 1980. — V. 28. — P. 517522.

83. Janet M. P. Zervos et le problème de Monge // Bull. Sci. Math.1971. — V. 95, № 2. — P. 15-26.

84. Jankovic M. Control Design for a Diesel Engine Model with Time Delay // Proc. of the 40th IEEE Conf. on Decision and Control.

85. Orlando, 2001. — P. 117-122.

86. KailathT. Linear Systems. Englewood Cliffs. — N J: Prentice-Hall, 1980. — 328 p.

87. Karsenti L., Rouchon P. A tracking controller-observer scheme for DC-to-DC converters // Proc. of the 4th European Control Conf.

88. Brussels, 1997. — P. 197-202.

89. Kiss B., Lévine J., Lantos B. Trajectory planning for dextrous manipulation with rolling contacts // Proc. of the 37th IEEE Conf. on Decision and Control. — Tampa, 1998. — P. 2118-2119.

90. Krasilshchik I. S., Vinogradov A. M. Nonlocal symmetries and the theory of covering // Acta Appl. Math. — 1984. — V. 2. — P. 79-86.

91. Krasilshchik I. S., Vinogradov A. M. Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Bâcklund transformations // Acta Appl. Math. — 1989. — V. 15. — P. 161-209.

92. Laroche B., Martin Ph., Rouchon P. Motion planing for the heat equation //Int. Journal of Robust and Nonlinear Control. — 2000.1. V. 10. — P. 629-643.

93. Lenoir Y., Martin Ph., Rouchon P. 2kn, the juggling robot // Proc. of the 37th IEEE Conf. on Decision and Control. — Tampa, 1998.1. P. 1995-2000.

94. Lévine J. Are there new industrial perspectives in the control of mechanical systems // Advances in Control: Highlights of ECC'99 / P. M. Frank, Ed. — London: Springer-Verlag, 1999. — P. 197-226.

95. Lévine J., Lottin J., Ponsart J. C. A nonlinear approach to the control of magnetic bearings // IEEE Trans. Control Systems Technology, Special Issue on Magnetic Bearing Control. — 1996.1. V. 4. — P. 524-544.

96. Lévine J., Rémond B. Flatness based control of an automatic clutch // Proc. of the MTNS-2000 — Perpignan, 2000. — P. 331336.

97. On the control of US Navy cranes / J. Lévine, P. Rouchon, G. Yuan et all // Proc. of the 4th European Control Conf. — Brussels, 1997.1. P. 417-422.

98. Malgrange B. Ideals of differentiable functions. — Oxford: Oxford University Press, 1966. — 198 p.

99. Marquez R., Delaleau E. Une application de la commande prédictive linéaire basée sur la platitude // Actes Journées Doctorales d'Automatique. — Nancy (France), 1999. — P. 148-152.

100. Martin Ph. Contribution à l'étude des systèmes diffèrentiellement plats: PhD thesis, — Paris: École des Mines, 1992. — 176 p.

101. Martin Ph. A geometric sufficient conditions for flatness of systems with m inputs and m + 1 states. // Proc. of the 32nd IEEE Conf. on Decision and Control. — San Antonio, 1993. — P. 3431-3436.

102. Martin Ph. An intrinsic condition for regular decoupling 11 Systems and Control Letters. — 1993. — V. 20. — P. 383-391.

103. Martin Ph. Endogenous feedbacks and equivalence // Systems and Networks: Mathematical Theory and Applications (MTNS'93).

104. Berlin: Akademie Verlag, 1994. — V. 2 — P. 343-346.

105. Martin Ph. Aircraft control using flatness // Proc. of the CESA'96 IMACS Multiconf. — Lille (France), 1996. — P. 194-199.

106. Martin Ph., Devasia S., Paden B. A different look at output tracking: Control of VTOL aircraft // Automatica. — 1996. — V. 32. — P. 101-108.

107. Martin Ph., Murray R., Rouchon P. Flat systems // Proc. of the 4th European Control Conf. Plenary lectures and Mini-courses.

108. Brussels, 1997. — P. 211-264.

109. Martin Ph., Rouchon P. Feedback linearization and driftless systems // Math. Control Signal Syst. — 1994. — V. 7. — P. 235254.

110. Martin Ph., Rouchon P. Any (controllable) driftless system with 3 inputs and 5 states is flat // Systems and Control Letters. — 1995.1. V. 25. — P. 167-173.

111. Martin Ph., Rouchon P. Any (controllable) driftless system with m inputs and m+2 states is flat // Proc. of the 34th IEEE Conf. on Decision and Control. — New Orleans, 1995. — P. 2886-2891.

112. Martin Ph., Rouchon P. Flatness and sampling control of induction motors // Proc. of the IFAC World Congr. — San Francisco, 1996. — P. 389-394.

113. Martin Ph., Rouchon P. Two remarks on induction motors // Proc. of the CESA'96 IMACS Multiconf. — Lille, 1996. — P. 7679.

114. Milam M. B., Murray R. M. A testbed for nonlinear flight control techniques: The Caltech ducted fan // Proc. of the IEEE International Conference on Control and Applications. — Tampa, 1999. — P. 1320-1325.

115. Milam M. B., Mushambi K., Murray R. M. A new computational approach to real-time trajectory generation for constrained mechanical systems // Proc. of the 39th IEEE Conf. on Decision and Control. — Sydney, 2000. — P. 845-851.

116. Mounier H. Propriétés structurelles des systèmes linéaires à retards: aspects théoriques et pratiques: PhD thesis, — Orsay: Université Paris Sud, 1995. — 115 p.

117. High speed network congestion control with a simplified time-varying delay model / H. Mounier, M. Mboup, N. Petit et all // Proc. of the IFAC Conf. System Structure Control. — Nantes, 1998. — P. 43-47.

118. Mounier H., Rouchon P., Rudolph J. Some examples of linear systems with delays //J. Europ. Syst. Autom. — 1997. — V. 31. — P. 911-925.

119. Mounier H., Rudolph J. Flatness based control of nonlinear delay systems: A chemical reactor example // Int. J. Contr. — 1998. ■— V. 71. — P. 871-890.

120. Tracking control of a vibrating string with an interior mass viewed as delay system / H. Mounier, J. Rudolph, M. Fliess et all // ESAIM: COCV. — 1998. — V. 3. — P. 315-321. (www.eamth.fr/cocv)

121. A flexible rod as a linear delay system / H. Mounier, J. Rudolph, M. Petitot et all // Proc. of the 3rd European Control Conf. — Rome, 1995. — P. 3676-3681.

122. A toy more difficult to control than the real thing / P. Mullhaupt, B. Srinivasan, J. Levine et all // Proc. of the 4th European Control Conf. — Brussels, 1997. — P. 497-502.

123. Murray R. M. Nilpotent bases for a class on nonintegrable distributions with applications to trajectory generation for nonholonomic systems // Math. Control Signal Syst. — 1994. — V. 7. — P. 58-75.

124. Murray R. M. Trajectory generation for a towed cable flight control system // Proc. of the IFAC World Congress. — San Francisco, 1996. — P. 395-400.

125. Murray R. M., Rathinam M., Sluis W. Differential flatness of mechanical control systems: A catalog of prototype systems // Proc. of the ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition. — Baltimor, 1995. — P. 361-366.

126. Murray R. M., Sastry S. S. Nonholonomic motion planning: Steering using sinusoids // IEEE Trans. Automat. Control. — 1993. — V. 38. — P. 700-716.

127. Van Nieuwstadt M. J., Murray R. M. Approximate trajectory generation for differentially flat systems with zero dynamics // Proc. of the 34th IEEE Conf. on Decision and Control. — New Orleans, 1995. — P. 4224-4230.

128. Van Nieuwstadt M. J., Murray R. M. Real time trajectory generation for differentially fiat systems // Int. Journal of Robust and Nonlinear Control. — 1998. — V. 8, № 11. — P. 995-1020.

129. Van Nieuwstadt M. J., Murray R. M. Rapid hover to forward flight transitions for a thrust vectored aircraft // Systems and Control Letters. — 1998. — V. 21, № 1. — P. 93-100.

130. Van Nieuwstadt M. J., Rathinam M., Murray R. M. Differential flatness and absolute equivalence of nonlinear control systems // SIAM J. Control Optim. — 1998. — V. 36, № 4. — P. 12251239.

131. Nijmeijer H., Van der Schaft A.J. Nonlinear Dynamical Control Systems. — New-York: Springer-Verlag, 1990. — 468 p.

132. Petit N. Delay Systems. Flatness in Process Control and Controlof some Wave Equations: PhD thesis, — Paris: Ecole des Mines, 2000. — 89 p.

133. Petit N., CrefF Y., Rouchon P. ¿-freeness of a class of linear delayed systems // Proc. of the 4th European Control Conf. — Brussels, 1997. — P. 225-230.

134. Petit N., Creff Y., Rouchon P. Motion planning for two classes of nonlinear systems with delays depending on the control // Proc. of the 37th IEEE Conf. on Decision and Control. — Tampa, 1998.1. P. 1007-1011.

135. Minimum time constrained control of acid strength on a sulfuric acid alkylation unit / N. Petit, Y. Creff, L. Lemaire et all // Chemical Engineering Science. — 2001. — V. 56, № 8. — P. 27672774.

136. Petit N., Milam M. B., Murray R. M. Inversion based constrained trajectory optimization // Proc. of the NOLCOS'Ol.

137. St.Petersburg, 2001. — P. 186-191.

138. Petit N., Rouchon P. Dynamics and solutions to some control problems for water-tank systems // IEEE Trans Automatic Control.— 2002. — V. 47, № 4. — P. 1-16.

139. Petit N., Rouchon P. Flatness of heavy chain systems // SIAM J. Control Optim. — 2001. — V. 40, № 2. — P. 475-495.

140. Pomet J.-B. On dynamic feedback linearization of four-dimensional affine control systems with two inputs // ESAIM: COCV. — 1997. — V. 2. — P. 151-230. (www.edpsciences.com/cocv)

141. Pomet J.-B., Moog C. H., Aranda-Bricaire E. A non-exact Brunovsky form and dynamic feedback linearization // Proc. of the 31st IEEE Conf. on Decision and Control. — Tucson, 1992.1. P. 2012-2017.

142. Raczy C. Commandes optimales en temps pour les systèmes différentiellement plats: PhD thesis, — Lille: Université des Sciences et Technologies de Lille, 1997. — 117 p.

143. Rathinam M., Murray R. M. Configuration flatness of Lagrangian systems underact uated by one control // SI AM J. Control Optim. — 1998. — V. 36, № 1. — P. 164-179.

144. Rothfuss, R. Anwendung der flachheitsbasierten Analyze und Regelung nichtlinearer Mehgrössensysterne. — Düsseldorf: VDI, 1997. — 278 p.

145. Rothfuss R., Rudolph J., Zeitz M. Flatness based control of a nonlinear chemical reactor model // Automatica. — 1996. — V. 32.1. P. 1433-1439.

146. Rouchon P. Necessary condition and genericity of dynamic feedback linearization //J. Math. Systems Estim. Control. — 1994.1. V. 4, № 2. — P. 1-14.

147. Flatness and motion planning: the car with n-trailers / P. Rouchon, M. Fliess, J. Lévine et all // Proc. of ECCT93. — Groningen, 1993.1. P. 1518-1522.

148. Flatness, motion planning and trailer systems / P. Rouchon, M. Fliess, J. Lévine et all // Proc. of the 32nd IEEE Conf. Decision and Control. — San Antonio, 1993. — P. 2700-2705.

149. Rouchon P., Rudolph J. Invariant tracking and stabilization: problem formulation and examples // Lecture Notes in Control and Information Sciences. — 1999. — V. 246. — P. 261-273.

150. Rouchon P., Rudolph J. Réacteurs chimiques différentiellement plats: planification et suivi de trajectoires // Automatique et procédés chimiques / J. P. Corriou, Ed. — Paris: Hermès, 2000.1. P. 116-127.

151. Rouchon P., Rudolph J. Réacteurs chimiques différentiellement plats: planification et suivi de trajectoires // Commande de procédés chimiques: réacteurs et colonnes de distillation. / J. P. Corriou, Ed.

152. Paris: Hermès, 2001. Traité IC2. — P. 163-200.

153. Rudolph J. Flatness-based control by quasi-static feedback illustrated on a cascade of two chemical reactors // Int. J. Control.2000. — V. 73. — P. 115-131.

154. Rudolph J., Woittennek F., von Löwis J. Zur Regelung einer elektromagnetisch gelagerten Spindel // Automatisierungstechnik.2000. — Bd. 48. — S. 132-139.

155. Sedoglavic A. Méthodes seminumériques en algèbre différentielle; applications à l'étude des propriétés structurelles de systèmes différentiels algébriques en automatique: PhD thesis, — Paris: Ecole Polytechnique, 2001. — 121 p.

156. Sekhavat S. Planification de Mouvements sans Collision pour Systèmes non Holonomes: PhD thesis, — Toulouse: LAAS-CNRS, 1996. — 138 p.

157. Sira-Ramirez H. A passivity plus flatness controller for the permanent magnet stepper motor // Asian J. Control. — 2000. — V. 2. — P. 1-9.

158. Sira-Ramirez H., Ilic-Spong M. Exact linearzation in switched-mode DC-to-DC power converters // Int. J. Control. — 1989. — V. 50. — P. 511-524.

159. Sira-Ramirez H., Rios-Bolivar M. Feedback passivity of nonlinear multivariable systems // Proc. of the XIV World Congress IFAC. — Peking (China), 1999. — P. 73-78.

160. Sluis W. M. Absolute Equivalence and its Application to Control Theory: PhD thesis, — Ontario: University of Waterloo, 1992. — 158 p.

161. Sluis W. M. A necessary condition for dynamic feedback linearization // Systems Control Letters. — 1993. — V. 21. — P. 277-283.

162. Smoluchowsky M. Drei Vorträge über Diffusion, Brounische Bewegung und Koagulation von Kolloidteilehen // Phys. Zeits. — 1916. — Bd.17. — S. 557-585.

163. Spencer D. C. Deformation of structures on manifolds defined by transitive continuous pseudogroups // Ann. of Math. — 1962. — V. 76. — P. 306-445; — 1965. — V. 81. — P. 389-450.

164. Tilbury D., Sordalen 0., Bushnell L., Sastry S. A multisteering trailer system: conversion into chained form using dynamic feedback // IEEE Trans. Robotics Automation. — 1995. — V. 11, № 6. — P. 807-818.

165. Tilbury D. M. Exterior differential systems and nonholonomic motion planning: PhD thesis, — Berkeley: University of California, 1994. — 138 p.

166. Vinogradov A. M. Local symmetries and conservation laws // Acta Appl. Math. — 1984. — V. 2, № 1. — P. 21-78.

167. P. Zervos. Le problème de Monge. // Mémorial des Sciences Mathématiques. — 1932. — V. 53. — P. 1-38.