автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Достижение заданных качественно-численных характеристик классов систем управления с возмущениями в обратной связи

Глава I. ВВЕДЕНИЕ.

Глава II. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ ВОЗМУЩЕНИЯ В ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

§2.1. Решение задачи Н00- управления.

§ 2.2. Решение задачи абсолютной стабилизации "по выходу".

§2.3. Основной результат.

Синтез регуляторов пониженной размерности.

§ 2.4. Примеры синтеза регуляторов.

§ 2.5. Доказательства результатов.

Глава III. СИНТЕЗ КОНЕЧНОМЕРНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ

§3.1. Решение задачи Н00- управления бесконечномерными системами.

§ 3.2. Управление поперечными колебаниями упругой балки. Результаты численного эксперимента.

Глава IV. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Актуальность темы. Краткая история вопроса

Диссертация посвящена разработке математических методов управления динамическими системами с помощью динамических регуляторов в условиях неполной информации о параметрах объекта и характеристиках действующих возмущений.

Эта задача является одной из самых приоритетных проблем математической теории управления, поскольку главным моментом в постановке задач современной теории управления становится отражение дефицита информации об управляемом объекте. В связи с этим появились и новые разделы: теория адаптивного управления и в последнее время теория "робастного" управления.

Робастным принято называть управление, осуществляемое регуляторами, которые способны обеспечить выполнение цели управления в условиях какой-либо неопределенности в описании объекта. При этом замкнутая система должна быть грубой (в смысле A.A. Андронова [3], [4]) при отсутствии возмущений (в отличие, например, от адаптивных регуляторов [43], [67], [68]).

В исследуемых в данной работе классах систем управления эта неопределенность проявляется, в частности: в виде отсутствия характеристик внешнего возмущения, неполной априорной и апостериорной информации о текущем состоянии объекта, наличия неточностей в математическом описании объекта, помех в системе измерения выходных данных управляемого объекта.

Под возмущением здесь понимается такое возмущающее воздействие, которое нарушает требуемую функциональную связь между регулируемыми или управляемыми переменными и управляющим воздействием. Возмущение может характеризовать действие внешней среды на объект, в этом случае, будем называть его внешним возмущением. Если возмущающее воздействие возникает внутри объекта за счет протекания не описанных точно процессов при его функционировании, то такие возмущения будем называть внутренними.

Основная цель автоматического управления любым объектом или процессом состоим в том, чтобы непрерывно поддерживать с заданной точностью требуемую функциональную зависимость между управляемыми переменными, характеризующими состояние объекта и управляющими воздействиями в условиях взаимодействия объекта с внешней средой, то есть при наличии как внутренних, так и внешних возмущающих воздействий [2], [36].

Одной из рассматриваемых в диссертации задач является задача #°°-управления "по выходным данным" в условиях постоянно действующих возмущений как в объекте, так и в системе измерения выхода объекта.

Н°° - критерий управления представляет собой некоторый интегральный критерий качества управления. При выполнении этого критерия на процессах протекающих в замкнутой системе "управляемый объект"-"регулятор" осуществляется гашение (с заданной степенью) так называемого "вредного" процесса [24], с учетом "платы за управление". При этом за интенсивность сигнала принимается величина средней энергии сигнала [40].

В настоящее время существует два основных подхода для решения этой проблемы: подход, связанный с параметрическим представлением передаточной функции стабилизирующих регуляторов ([74],[57],[56], [45]) и подход, использующий оптимизационные и минимаксные задачи [6] и связанные с ними матричные уравнения типа Лурье-Риккати [58],[75], [48], [49]. Каждый из этих подходов проявляет свои достоинства и недостатки при решении конкретных прикладных задач. Успех второго из этих подходов в последние годы связан с открытием новых эффективных методов численного решения матричных уравнений и неравенств [69], а так же с появлением новых возможностей обобщения на бесконечномерные, стохастические и нестационарные системы [58], [75]. Робаетные регуляторы, получающиеся с помощью этого подхода, описываются системой линейных дифференциальных уравнений, зависящих от двух положительно-определенных решений матричных уравнений Риккати. При этом класс робастных регуляторов определяется с помощью неравенств на эти матрицы. Это существенно затрудняет синтез регуляторов, поскольку такой подход порождает ряд ограничений, из которых есть трудно проверяемые и недоступные для аналитической проверки их осуществимости.

Метод работы [12] и настоящей работы позволяют избежать такого рода условия, заменяя их частотными неравенствами. Как показывают приведенные в диссертации примеры применение данного метода приводит к такой параметризации класса регуляторов, которая позволяет определять допустимую область параметров регуляторов в форме неравенств с явно входящими параметрами.

Другой важной задачей, исследуемой в диссертации, является задача об абсолютной стабилизации динамических систем. Свойство абсолютной стабилизацируемости системы можно трактовать как сохранение глобальной ассимптотики нелинейной системы при изменении нелинейности в пределах заданного класса.

Эта задача является обобщением известной задачи об абсолютной устойчивости [38] на управляемые динамические системы. Задача об абсолютной устойчивости, как известно, была поставлена в 40-50ых годах А.И. Лурье ([33], [34]). К тому времени основной задачей теории устойчивости стала проблема устойчивости систем автоматического регулирования. Согласно математической постановке этой задачи, идущей от работ Л. Максвелла и И.А. Вышнеградского, системы автоматического регулирования описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с нелинейной функцией в правой части, носящей название характеристики нелинейного звена системы. Эта характеристика, как правило, задается с определенной степенью точности, причем известны лишь ее предельные положения. А.И. Лурье выдвинул идею о рассмотрении сразу целого класса характеристик вместо одной отдельно взятой [33] и искать условия устойчивости для всего такого класса регулируемых систем. Метод решения был основан на построении глобальной функции Ляпунова специального вида (квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности). Принципиально иной подход к проблеме абсолютной устойчивости был предложен В.М. Поповым. В работах В.М. Попова [38] , а затем В.А Якубовича [44], в качестве достаточных условий абсолютной устойчивости возникли "частотные неравенства" - неравенства, в которых фигурировали Фурье -изображения функций времени, определенных заданными линейными соотношениями. Такая форма достаточных условий оказалась удобной для ее использования в задачах автоматического управления. В работах В.М. Попова и В.А. Якубовича математический аппарат задачи абсолютной устойчивости получил законченный вид и в дальнейшем был распространен на ее более общие постановки. Обобщение, в основном, касалось во введении свойства "равномерности" по классу нелинейно-стей и введении в рассмотрение новых классов нелинейных функций. Позднее было сделано обобщение на системы с функциональным гильбертовым пространством состояний [10], [48], и стохастические системы [11]. Но и в случае конечномерного и детерминисткого варианта задачи было дано много различных формулировок понятия абсолютной устойчивости, отличающихся друг от друга отдельными элементами.

Новое описание класса робастных регуляторов, решающих как задачу Н°° - управления, так и задачу абсолютной стабилизации было получено В.А. Брусиным [12], [13], [49]. Это описание основано на частотных неравенствах для некоторой вспомогательной линейной системы, названой системой "в отклонениях". Применение частотных неравенств позволило избежать ряда ограничений, к которым, например, относится известное матричное неравенство, выполнение которого требуется для решений двух нелинейных матричных уравнений [8], [56], [64].

Следует отметить, что общим недостатком упомянутых выше направлений точного решения задачи робастного регулирования является то, что получающиеся на их основе динамические регуляторы имеют ту же размерность, что и управляемый объект. В.А. Брусиным был предложен метод синтеза регуляторов уменьшенной (на размерность выхода) размерности [14].

Одной из целей настоящей диссертации является разработка метода синтеза регуляторов пониженной (на размерность выходного вектора) размерности, решающих задачу абсолютной стабилизации конечномерных систем "по выходным" переменным в условиях действия внутренних возмущений возникающих как в объекте управления так и в системе измерения выхода объекта.

В диссертации также рассматривается задача управления бесконечномерными объектами. В работах М.Балаша, А.Бутковского, К. Ито, Р. Куртейна, ([46], [47], [26], [59], [54]) был предложен ряд алгоритмов управления линейными распределенными системами различных классов, базирующиеся на двух основных подходах: 1) конечномерной аппроксимации объекта с последующим использованием известных конечномерных регуляторов, 2) учете особенностей передаточных функций бесконечномерных объектов. Ряд работ касается применения адаптивных регуляторов для бесконечномерных объектов [65], [7]. Основным методом исследования распределенных систем является метод, заключающийся в разложении исходной системы на гармоники и отбрасывании высших гармоник (или немоделируемой части). Распространение методов управления конечномерными объектами на бесконечномерные системы порождает ряд математических трудностей, так как неучитываемые в законе управления старшие гармоники в совокупности могут внести такой вклад в движение замкнутой системой, который сделает ее неустойчивой.

В частности, в настоящее время большое внимание уделяется задаче о гашении колебаний высотных зданий и мостов, вызванных внешними нерегулярными возмущениями (например, сейсмическими или ветровыми воздействиями) [72], [55].

Одними из наиболее эффективных методов синтеза регуляторов для стабилизации распределенных объектов и гашения колебаний, вызванных внешними нерегулярными возмущениями стали методы Н°°-теории [73], [61], [70], [63].

В диссертации дается решение задачи обобщения Н°° - теории на объекты с бесконечным числом степеней свободы, в частности, описывающиеся уравнениями в частных производных, и предложено решение в классе конечномерных регуляторов.

Базовый метод

Основные результаты диссертации были получены на основе разработанного профессором Брусиным В.А. метода робастного управления, изложенного в работах [12]-[15], [49]. Суть этого метода состоит в решении исходной задачи с помощью некоторого параметрически заданного класса динамических регуляторов "по выходым" переменным, который строится исходя из "частотных"неравенств на некоторую передаточную функцию вспомогательной системы "в отклонениях".

Управляемый объект описывается системой х — Ах + В\и 4- В2£, ж(0) = х0, ^^^

У = Ях где х £ В,п - вектор состояния динамической системы, и Е Ят - вектор управления, у £ Нк - выходная переменная динамической системы, на основе ее текущих значений будет определяться управление по принципу обратной связи [29]; функция £(£) € В} может играть роль как внешнего аддитивного возмущения и тогда она будет явно зависеть от переменной t, или может быть "внутренним" возмущением, то есть, реакцией какого-либо точно неизвестного, возможно, нелинейного блока, и тогда £(£) будет зависеть от £ неявно: £(£) =

Предполагается, что объект является стабилизируемым по управлению [29], то есть существует матрица 3 такая, что матрица А\

Аг = А + ВгБ, (1.2) устойчива.

Предполагается также, что матрица 5 может быть представлена в виде

5 = + (1.3)

Вводится в рассмотрение квадратичная форма F : Еп х К"1 х Я1 —> К1 вида х,рх >п +2 < Х,ду >п +2 < х,а£ >п +2 < >т + + <£,7£>а + <^™>т; г>0, 7 < О,

1.4) где V = и — Бх.

Предполагается, что для этой формы будет существовать положительно-определенная матрица пхп Р = РТ > 0, удовлетворяющая уравнению Лурье - Риккати (1.5)

РАг + А1Р + р - гЬ -

РВ1 + д + 1\т + = 0, (1.5)

РВ% + о; + ¿2 7 + ¡гР — О и такая, что матрица А\

Л1 = А1 + ВгЬ + В2к, (1.6) будет устойчивой.

Такое решение часто называют стабилизирующим [56]. Достаточные условия существования такого решения уравнения (1.5) даны в [5], [16], в виде частотных неравенств на передаточные функции.

Вводится класс линейных динамических регуляторов, описывающихся системой вида 'х = Ах + Вщ + В4 + Т[С)х - у], х{0) = ¿о, < V = (1.7) £ = кх, где х - вектор состояния регулятора, Ь, - линейные ограниченные операторы из (1.5), Т - матричный параметр.

Управление системой (1.1) определяется по формуле и = 51® + Ву + V. (1.8)

Пусть

00 — СЮ 00 2

V = V — V*,

1.9) = l2x, v* = hx. Исходя из (1.1), - (1.12) и (1.7) - (1.9) получается следующая вспомогательная система, называемая также системой "в отклонениях" х = (Аг- + TQ + В212)х + B2i, v = -(Si + k)x.

Установление, что класс робастных регуляторов вида (1.7), (1.8) определяется следующим частотным условием

T(-juj)r4!(ju) + 2Re^fT(—juj)(3 + 7 < 0, \/oj > 0, (1.11) где Ф(р) - передаточная функция системы "в отклонениях" (1.10) от ее "входа" £ к "выходу" v при условии ее устойчивости.

При выполнении всех этих условий будет существовать квадратичная функция V(x), определяемая как функция Беллмана следующей условной минимаксной задачи

V(h) = mbxmmJoC°F(x(t),v(t),£(t))dt, Ç е Ll2, v G L™ (1.12) при условии

X = Ах + Biv + B¡£, x(0) = h, (1.13) где v(t) = u(t) - Sx{t) = u(t) - Six(t) - Dy(t), (1.14)

При этом функция (1.12) будет удовлетворять следующему неравенству

V(T) - V(0) + /0Т F{x, v, Ç)dt + /0Т[< r(v -v*),v-v*> +

2<v- - Г) > + < 7Й - CU- С >]dt < С(х( 0)), VT > 0,

1.15) где С (5(0)) - некоторая константа, обращающаяся в нуль при нулевых начальных условиях объекта и регулятора.

Выполнение неравенства (1.15) приводит к решению поставленной задачи - будь то задача Н°° управления или абсолютной стабилизации.

Цель работы

При проведении исследований, отраженных в диссертации, были поставлены следующие цели:

1. Получить класс динамических регуляторов уменьшенной (на размерность выхода) размерности, обеспечивающих выполнение Н°°-критерия в условиях действия внешних возмущений и возмущений в обратной связи замкнутой системы.

2. Получить класс робастных регуляторов уменьшенной размерности для управления объектами с нелинейными неопределенными блоками в условиях действия внутреннего возмущения в системе измерения выходных сигналов.

3. Дать метод синтеза конечномерных регуляторов для решения задачи Н°° - управления для класса распределенных объектов, описание которых можно свести к бесконечномерным системам обыкновенных дифференциальных уравнений с управлением и возмущением в правой части.

4. На основе полученных алгоритмов решить ряд конкретных задач гашения вынужденных колебаний механических систем из упру-госвязанных масс в условиях действия помех объекте и в системе измерения, а так же задачи гашения поперечных колебаний упругой балки на основе Н°° - критерия.

Методы решения

При решении поставленных задач использовались методы теории глобальных функций Ляпунова, элементы теории дифференциальных игр, теории управления многосвязанными объектами, теории дифференциальных уравнений и матричного анализа, метод априорных оценок, теории функцианального анализа, теории абсолютной устойчивости, а так же методы численного моделирования в пакете МАТЬАВ.

Научная новизна

В диссертационной работе предложены новые алгоритмы управления конечномерными системами в условиях априорной и апостериорной неопределенности о параметрах объекта с возмущениями в обратной связи замкнутой системы "управляемый объект" - "регулятор" и конкретными требованиями к качественно - численным характеристикам замкнутой системы (размерность регулятора, абсолютная стаби-лизируемость, Н°° - критерий с заданными параметрами). Установлены теоремы для регуляторов, решающих задачи Н°° - управления и абсолютной стабилизации. Получена и обоснована процедура понижения размерности полученных регуляторов. Сформулированы и доказаны условия, при которых полученные конечномерные динамические регуляторы по выходу обеспечивают выполнение Н°° - критерия для широкого класса бесконечномерных объектов.

Практическая ценность

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы как для управления конечномерными, так и распределенными системами. При этом объекты управления могут подвергаться неизмеряе-мому внешнему возмущению неизвестной природы, иметь неопределенные нелинейные внутренние блоки и, более того, могут быть подвержены возмущениям, действующим в измерительных устройствах управляющей системы. В частности, для актуальной в настоящее время задачи создания систем автоматического управления высотными сооружениями в сейсмически опасных зонах.

Немаловажно, что полученные регуляторы используют в качестве текущей информации неполную информацию об объекте, а только некоторый выходной процесс. Это отражает реальные возможности, имеющиеся при управлении многими сложными объектами.

Предлагаемые регуляторы имеют размерность, уменьшенную на размерность выходного вектора объекта, что весьма выгодно с технической точки зрения при проектировании и изготовлении управляющих систем.

Изложенные здесь регуляторы работают в реальном времени и легко реализуемы компьютерной и аналоговой техникой, что также отвечает современным требованиям к управлению конкретными системами.

Содержание и структура диссертации

В первой главе (Введение) обосновывается актуальность темы диссертации, дается краткая история проблемы и ее современное состояние, представлен базовый метод, описаны основные достигнутые результаты и структура работы.

Глава IV. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе представлены новые результаты по управлению широкими классами конечномерных и бесконечномерных динамических систем для достижения ими заданных качественно-численных характеристик, таких как размерность регулятора, абсолютная стаби-лизируемость, Н°° - критерий с заданными численными параметрами.

Рассмотренные в диссертации алгоритмы управления являются развитием методов предложенных в работах [12]-[15]. В отличие от этих работ в предложенных алгоритмах учитываются возможные возмущения в обратной связи замкнутой системы "управляемый объект"-"регулятор", что важно для многих прикладных задач управления. Для конечномерных систем решены задачи Н°° - управления и абсолютной стабилизации. При этом структура синтезированных регуляторов одна и та же как для Н°° - управления, когда действует незатухающее возмущение, так и для задачи абсолютной стабилизации. Требуется только соответствующая переналадка векторного параметра со значения характеризующего степень демпфирования к значению характеризующего класс нелинейностей.

На базе полученных в конечномерном варианте результатов произведено обобщение Н°° - теории управления для широкого класса бесконечномерных систем, что позволило решение в классе конечномерных регуляторов.

Дано параметрическое описание конечномерных динамических регуляторов по выходу для исследуемых в работе классов управляемых систем. Для всех рассмотренных задач управления установлены теоремы, гарантирующие достижение поставленных целей управления (заданных качественно-численных характеристик).

Предлагаемые регуляторы допускают применения представленной в диссертации процедуры понижения размерности, что весьма выгодно с технической точки зрения при проектировании и изготовлении управляющих систем. С помощью этой процедуры размерность регулятора может быть уменьшена на размерность выходного вектора объекта.

Изложенные в диссертации алгоритмы управления отвечают достаточно жестким требованиям, включая: управление "по выходу" - без полной информации о состоянии управляемой системы, конечномерность регуляторов, реализуемость в реальном времени, оперативность управления, отсутствие точной математической модели объекта и возмущающего воздействия, возможность понижения размерности.

Эффективность предложенных методов проиллюстрирована примерами расчета класса регуляторов для различного сорта механических систем, в том числе: колебания системы из упруго и вязко связанных масс, подверженных возмущающим и управляющим воздействиям, поперечные колебания балки с одним закрепленным концом. Применение метода получения робастных регуляторов пониженной размерности на примере двухмассовой упругосвязанной системы показало, что в уравнениях такого рода регуляторов имеются независимые параметры (независимые от исходных параметров задачи и, в частности, что особенно важно - от решений матричного уравнения Риккати), которые позволяют добиться выполнения частотных условий, определяющих класс робастных регуляторов.

Диссертация иллюстрирует важное положение современной теории управления: управлять в реальном времени, с помощью динамической обратной связи, можно и не имея a priori точного математического описания динамики. Представленные алгоритмы управления дают широкие возможности для практических применений, в частности, в актуальной задаче создания систем автоматической стабилизации высотных сооружений, и, возможно, явятся основой будущих исследований в данной области "робастного" управления.

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Наука, 1963.

2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

3. Андронов A.A. Собрание трудов. М.: Изд. АН СССР, 1956.

4. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1959.

5. Баландин Д.В. Предельные возможности управления в задачах Н°° -оптимизации // Вестиник Университета, вып. 2(21). с.156-169.

6. Барабанов А.Е. Синтез минимаксных регуляторов. Изд-во СПбУ, 1996.

7. Бондарко В.А., «Пихтарников A.JL, Фрадков A.JI. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного объекта с распределенными параметрами // АиТ, N 12, 1979.

8. Барабанов А.Е., Первозванский A.A. Оптимизация по равномерно частотным показателям (Н-теория) // Автоматика и Телемахани-ка, N 9, 1992.

9. Бирюков В.Ф., Максимов Ю.М. Синтез регуляторов минимального порядка в условиях неопределенности модели объекта управления // Вестник МГТУ, N 3, сер. Машиностроения, 1991.

10. Брусин В.А. Уравнения Лурье в гильбертовом пространств и их разрешимость // Прикладная математика и механика, т.40, N 5, 1976.

11. Брусин В.А. Глобальная устойчивость и дихотомия класса нелинейных систем со случайными параметрами // Сибирский математический журнал, т.22, N 2, 1981.

12. Брусин В.А. Частотные условия Н°° управления и абсолютной стабилизации // АиТ. N 5, 1996.

13. Брусин В.А. Частотные критерии в общей задаче об абсолютной стабилизируемости // АиТ, N 1, 2000.

14. Брусин В.А. Метод синтеза класса робастных регуляторов пониженной размерности // АиТ, N 10, 2000.

15. Брусин В.А. Синтез регуляторов пониженной размерности для решения задач Н°° критерием // ДАН, т.372, N 1, 2000, с.34-35.

16. Брусин В.А. Существование и предельные возможности центральных регуляторов в задачах с Н°° критериями // АиТ, N 5, 2002.

17. Брусин В.А., Бовырин A.B. Синтез регуляторов для решения задач с Н°° критерием // тезисы конференции "Архитектура и строительство 2000", 2000.

18. Брусин В.А., Бовырин A.B. Решение некоторого класса задач управления с возмущениями в выходных переменных // Дифференциальные уравнения, т.37, N 11, 2001.

19. Бовырин A.B. Синтез класса регуляторов пониженной размерности для систем с возмущением в наблюдении // тезисы 6-ой Нижегородской сессии молодых учч;ных, Саров, 2001 г.

20. Брусин В.А., Бовырин A.B. Синтез регуляторов пониженной размерности для задачи Н°° управления // Вестник Нижегородского Университета им. Н.И. Лобачевского, N 2(24), 2001.

21. Брусин В.А., Бовырин A.B. Синтез конечномерных регуляторов для некоторого класса бесконечномерных систем // труды VII международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, 2002.

22. Брусин В.А., Бовырин A.B. Синтез конечных регуляторов для некоторого класса бесконечномерных систем // доклады XI Польско-Российского семинара "Теоретические основы строительства", Варшава, 2002.

23. Брусин В.А., Бовырин A.B. Управление бесконечномерными колебательными системами по Л°°-критерию с помощью конечномерных регуляторов // труды VI научной конференции "Нелинейные колебания механических систем", Н.Новгород, 2002.

24. Брусин В.А. Активное гашение колебаний и матричные уравнения // Соросовский образовательный журнал, т.7, N 9, 2001.

25. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1980.

26. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. М.: Наука, 1977.

27. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.

28. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

29. Калман Р., Фарб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.

30. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

31. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982.

32. Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных производных. М.: Мир, 1972.

33. Лурье А.И., Постников В.Н. К теории абсолютной устойчивости регулируемых систем, ПММ, т. УШ, N 3, 1944.

34. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951.

35. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

36. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1972.

37. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматгиз, 1961.

38. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970.

39. Писаренко Г.С. Колебания упругих систем с учетом рассеивания энергии в материале // Изв. АН УССР, Киев, 1955.

40. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир, 1982.

41. Титчмарш Э. Введение в теорию интегралов Фурье. Гостехиздат, 1948.

42. Тихонов A.M., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

43. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981.

44. Якубович В.А. Частотная теорема для случая, когда пространства состояний и ее применение в некоторых задачах оптимального управления // Сибирский матем. журнал, Т.15, N 3, 1974.

45. Якубович В.А. Оптимальное гашение вынужденных колебаний по заданному выходу системы // ДАН, Т.337, N 3, 1994.

46. Balas M.J. Finit-dimensional controller for linear distributed parameter systems: Galerkin aproximation of infinite dimensional controllers //J. Math. Anal. Appl., 1986, У.117.

47. Balas M.J. Finit-dimensional controller for linear distributed parameter systems: exponetial stability using residual mode filters // J. Math. Anal. Appl., 1988, V.133.

48. Brusin V. "Frequency criteria in the absolute output stabilization problem for infinite dimensional system" // Proc. European Control Conf. Brussels, Belgium, 1997.

49. Brusin V. "Absolute stabilisation of infinite dimensional system with non-linear uncertain block", Preprints of NOLCOS-98 , Enshede, The Motherlands, V.2, 1998.

50. Brusin V.A., Bovyrin A.V. On controller design in output H°° problems // Труды VI международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, 2000.

51. Brusin V.A., Bovyrin A.V. The absolute stabilization problem as continuation of the Lur'e problem // 5th IFAC Symp. NOLCOS-Ol, Санкт-Петербург, 2001.

52. Brusin V.A., Bovyrin A.V. Design of reduced order robust controller class for the systems with observation disturbances based on frequency conditions // Procedings of IEEE Conference on decision and control, Florida, Orlando, 2001.

53. Battilotti S. // IEEE Trans. Autom. Contr. 2001. V. 46, e 1. P. 3-16.

54. Curtain R.F. On stabilizability of linear special systems via state boundary feedbeak // SIAM J. Control and Application, 1985, N 1.

55. Dyke S.J., Spencer B.F., Quast P., Kaspari DC, Jr., and M.K. Sain, "Implementation of an Active Mass Driver Using Acceleration Feedback Control,"Microcomputers in Civil Engineering: Special Issue on Active and Hybrid Structural Control, Vol. 11, 1998.

56. Doyle J., Gloven K., Khargonegar K., Frances B. "State-Space Solution to standard H2 and H00 Control Problems" //IEEE Trans. Autom. Contr., 1989, V.34, N 8.

57. Fransis B.A. A course in H°° control theory. Springer-Verlag, New York, 1987.

58. Ichikawa A. Quadratic games and H°° type problems for time -varying systems // Int. J. Conf., 1991 V. 54, N 5.

59. Ito K. Finit-dimensional compensators for ininite-dimensional systems via Galerkin-type approximation // SIAM J. Cont. Optim., 1990, V.28.

60. Indri A. Tornambe. Flexible structures: analysis of the approximate motion equations by using Lyapunov functions // Proc. of 3rd European Control Conference, Rome, Italy, 1995.

61. Jabbari F., W.E. Schmitendorf and J.N. Yang, Control for Seismic-Excited Buildings with Acceleration Feedback, "J. Engrg.Mech., ASCE, vol. 21, no. 9, pp. 994- 1002, 1995.

62. Kalman R.E. Lyapunov functions for the problem of Lur'e in automatic control // Proc. Nat. Acad. Sei. N 49, USA, 1963.

63. Kose I.E., Schmitendorf W.E., F. Jabbari and J.N. Yang, "Active Seismic Response Control Using Static Output Feedback,"J. Engrg. Mech., ASCE, vol. 122, no. 7, pp. 651 659, 1996.

64. Khargonekar P., Retersen I. R., Zhou K. // IEEE Trans. Autom. Contr. 1989. V. 35.

65. Kobayashi T. Model Reference Adaptive Control for Spectral Systems // International Journal of Control, 1987, Y.46, P.1511-1523.

66. Morgul O. Dynamic boundary control of a flexible robot arm // Proc. of 3rd European Control Conference, Rome, Italy, 1995, P. 1522-1527.

67. Monopoli P.V., Hsing C.C. Parameter adaptive control of multivariable systems // Int. J. Control, 1975, V.22, N 3.

68. Narendra K.S., Valavani L.S. Stable adaptive controller desighn direct control // IEEE Trans. Automat. Control, 1978, V.23, N 4.

69. Nesterov Yu., Nemirovskii A. "Interior point polygonal methods in convex programming" // Studies in Applied Math, 1994, V.13, Philadelphia, PA.

70. Orlov Y.V. Discontinuous Unit Feedback Control of Uncertain Infinite-Dimensional Systems // IEEE Trans. Autom. Contr., 2000, V. 45, N 5.

71. Serraens A.F.A., Molengraft M.J.G., Kok J.J., Steen L. H°° Control for Supressing Stick Slip in Oil Well Drillstring // Trans. IEEE. Control System. 1988. N4.

72. Spencer B. F., Jr. and Michael K. Sain, "Controlling Buildings: A New Frontier in Feedback" // IEEE Control Systems Magazine: Special Issue on Emerging Technologies (Tariq Samad Guest Ed.), Vol. 17, No. 6, pp. 19-35, 1997.

73. Suhardjo J., Spencer B.F., Jr. and A. Kareem "Frequency Domain Optimal Control of Wind Excited Buildings", J. Engrg. Mech., ASCE, vol. 118, no. 12, pp. 2463 2481, 1992.

74. Vidyasagar M. "Control system syntheses: a factorization approach", MITPress, 1985.

75. Ugrinovskii V.A. "Robust H°° control in the presence of stochastic uncertainty" // Int. J. Control, 1998, V.71, N 2.