автореферат диссертации по энергетике, 05.14.02, диссертация на тему:Разработка метода анализа устойчивости в "малом" электроэнергетических систем на основе функций Ляпунова в квадратичной форме и узловых уравнений

Г.;ЗЖСТЕ?ЛЗО ВЫЗПЕГО К С?ЗЯ?2Р0 СПЕЕХГЬЯОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ 73Г2С:СТАК

ТАШКЕНТСКИ ГОСУДАРСТВЕННА ТЕХНИЧЗКЗЙ ЛШВВРСйТЗГ кивни АБУ PAlXAHA Б2РУШ

ЖРЗАЕАЕВ АКРАМ ШКАЖВЙЧ

РАЗРАБОТКА iraOEA АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ Б "МАГОМ" ЭГШРЭЭНЕРПаЖЕЕйа СПСТЗ/. НА ОСНОВЕ СУНКЦИЗ ЛЯПУНОВА 3 КВАДРАТИЧНОЙ COP-'JS '¿'i. УЗЛОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Слецгальность 05.14.С2 - ЗяектрзчесЕЕв стаЕПкг (электрическая часть), оетг, э.-актроэзергетичаскяе

Еа правах рукописи

сгстемы я упрлвлзк-лв икг

АВТОРЕФЕРАТ

дзссертгггг на сок скака в учгкоЗ стегает кшдзднта технически карт..

Тазшент - I5SI

Работа выполнена на кафедре "Электрические систем и сети" Ташкентского Государственного технического университета имени А^у Райхана Беру ни.

Научный руководитель - лауреат Государственной премии СССР,

академик АН Республики Узбекистан Х-Ф. Фаэылоэ'

Научный консультант - д.т.н. догянт К.Р. Аллаев

Офиияальнце. оппоненты - чд.-к .■ АН Республики Узбекистан

Ф.Б. Абуталиев,

к.т.н. доцент Р.А. Темирбулатов

Ведущее предприятие - Сибирский-научно-исследовательский

институт энергетики (СибНИИЭ).

1 ■ ' ■

Защита состоится 25 декабря 1991 г. в " 10 " часов на заседании спепиадизированнога совета К 067.03.12 э Ташкентском Государственном техническом университете имени Абу Райхана Беруни (7С0095Г Ташяент-95,. ул. Мирошкиной, 2, ТашГТУ, энергетический факультет, ауд. 341)..

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТашГТУ имени

Абу Райхана Беруни (Ташкент, ул. Навои, 13). •

Автореферат разослал 25 ноября 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета Н 067.03.12» доцент

V/, //

Щ */ Т.М. Кадаров

з

общ хшкшжтт. РАБОТЫ

Актуальность работа. Повышение уроиня автЬматизают современных электроэнергетических систем.(ЭЭС) трэбует разработки более полных и эффективных математических моделей и нетолов их анализа, позволявших получить необходимые и достаточные условия устойчивости, в то!; числе и при "малых" возмушеяиях параметров режима. Наиболее строгий в этом смысле и пригодным для алгоритмизации является метод функций Ляпунова в квадратичной форма. Дня эквивалентной схемы ЭЭС "генератор - линия - шины" данный метод непосредственно в аналитической форме позволяет получать условия апериодической и колебательной устойчивости. Однако для сложных ЭЭЗ его прямое применение требует весьма громоздких аналитических и вычз-слитальннх процедур. Поэтому для практических расчетов возникает весьма актуальная задача применения выводов, полученных для прос-гейше5 схемы методом функции Ляпунова в квадратичной форте к ело- ' кной многоузловой развитой сети ЗЭ2 при малых возмущениях в них. Данную задачу удалось решить с привлечением широко используемых уравнений узловых напряжений (УУН) - узлового метода исследования режимов ЗЭС. Такой подход позволяет выявить слабый, с точки зрэ- . ния устойчивости, генерирукцяй узел, с учетом их автоматических регулирующих устройств. Необходимость расчетно-теоретическах наследования предлагаемого способа анализа устойчивости ЭХ в ' лом" и раскрытие его вычислитальнкх свойств определила постановку данной работы^

Цель работы. Разработка нового, эЖектгвного катода анализа ¡гстойчивостн сложных ЭЭС в "малом" на основе 4уккпяй Ляпунова в квадратичной форме и узловга уравнений (у.у.), позволявшего вызвать необходимые и достаточные их условия.

Метрика исследований основана на теория математического моделирования режимов ЭХ, метода функций Ляпунова, численные катоды линейной алгебры.

Натекая новизна и основккэ положения, выносимые на запятт:

- получен, на основе функщш Ляпунова в квадратичной форма, нова! практичестай критерий, дазшшй необходимые и достаточные условия устойчивости ЭЭС в "малом";

- доказана адекватность условий устойчивости ЭЭС в "малом", полученных на основе функций Ляпунова условиям, доставляемыми критериями Гурваца;

- показана вычислительная эффективность метода аналяза устойчивости слокннх ЭЭС в "малом" при совместном применении узловых уравнений а фушсцни Ляпунова, по сравнении с методами 1) -разбиений и вычисления собственных значений матриц функций.

, Ишктическая^деаность работа. Разработанная методика а программа расчета устойчивости сложных ЭЭС а "малой" совместным ис-

«

пользование« узловых уравиекгй а функций Зядунова в квадратичной" форма крайне Еакйа дашг выявления уязвимого, с точке зрения устойчивости, узла сета 333, содержащего генераторы с автокатачасккш регуляторам. Результаты работы могут быть использованы научно-исследовательскаиг, проахтшш' организациями и энергоуправленияга ■как при оперативных ведениях pesaisa, так и исследованиях перспективных схем.

Реализации габоты. Результаты исследований и программа расчета устойчивости RUI реализованная на ФОРТРАНЕ (CM-ISÛ0) "Мара", внедрены в CAO БШ гНИИ "Энергосагызроект" и используются при анализе ражвмов персаедгавннх схем ЗЭС. .

Апробация гаооты. Основные положения диссертационной раоотн

бшги доложены и обсуздеш ка: ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава энергетического факультета ТашШ (1985-1990 гг.); меззузовской научно-теорегвче-жой конференции молодых учених я преподавателей "Эффективность »спользования ресурсов- при совершенствовании управления производном, технологическими проаессаьа а оборудование!!* (Ташкент, !9Б7); республиканской научно-практической конференции молодых ^еяых и специалистов (Ташкент,. 1988); республиканской научно-срактической конференции методах ученых и спецзалистов "Опит гкс-■луатадии и перспективы развития АСУ эвергсобъедияешй Узбеяиста-;а" (Ташкент. 1389)'; всесоюзном научно-техническом совещании Соросы устойчивости я надежности энергосистем" (Ленинград-Душанбе, 9SS).

По результатам вшгаляенякх исследований опубликованы S пэ-атных работ.

Объем работа. Дпссертйция состоит из введения, 4 глав, зак-. оченгя, приложений, изложенных на 112 страницах машинописного зкста, 4 таблиц, 23 рисунков, содержит список использованной иературы из 107 наименований.

СОДЕНШШЗ РАБОТЫ

Зо введения рассмотрено современное состояние проблемы ис-едованяя устойчивости ЭХ в "малой", поставлена задача изуче-. я эффективные в алгоритмическом и тзачисдательном отношениях медов ее рещения.

Нетвзя глава посвядека обзору существупцих методов исследо-кия режима ЭХ в "налом" и критериям их устойчивости. Обосновв-цалесообразкость использования метода фувкплй Ляпунова для ре-

•з

иения этой задача. Оплачено, что современный уровень вычислительной техники, разработанные в последние годы методы решения матричного Уравнения Ляпунова, а также достижения в области теории волокительннх матриц открывают новые возможности для аффективного использования данного метода.

Вторая глава посвящена математическим основам, метода функции Ляпунова.. Фуккдаяш Ляпунова принято называть функции Ч составляемые на основе дифференциальных уравнений изучаемого объекта и поэвадястгае определить траекторию его двияэния относительно исходного состояния. Известно, что из-за отсутствия регулярного способа построение функции Ляпунова в общем случав зшется методом проб. Такая функция, как правило, обеспечивает достаточные условия устойчивости. В то &э вр&вд для линейной или линеаризованной системы ыонео получить, регулярнув функцию Ляпунова на основе квадратичной формы, которая обеспечивает условия устойчивости дянаш'чэсво® системы в делом при малых возмущениях параметров ее регшма.

; В работе показано, что предложенная процедура "составления функций Ляпунова для анализа устойчивости 5ЭС в "малом" позволяет подучить необходимые а достаточные ее условия однознаннс. Зе сущность закликается в следупяэи. Линейная стационарная система- описывается уравнением

~ + Б , Ш

где А - - квадратная: матрица п -го порядка, составленная из постоянных параметров элементов ЗЭС; л - п -мерный вектор-столбец - координатами Хт, Хо.-.-Х^ ; В - функция управления.

Для этой сяст&мк фунгашя Ляпунова V имеет вид;

Злееъ 0. - пока неизвестная квадратная матрица коэффициентов свалратичной фар:л:; 1Г - гранслокярованный X (вектор-строка). 1олкая производная от ¿унетии .Ляпунова V , взятая но времени, ) силу (2) оугет

= хтах - х7ах =кг(Ата -+за)х 13)

лтрабуя, чтобы V удовлетворяло услоЕЯс

(О

яе Т«7 - произвольно задаваемая квздратитаая форт перэмеящвг остояния

Тл/ = ХТСЛ , ,5)

э.тучги:

)слелпва уравнение, назгзаемое уразнекнем Ляпунова, стглшт в со-'вэтетвае все:о?, егк/етрично? матрица & гатряпу С я наоборот, ячем ото соответствие ляаейпэ (элементы матрют б; олрегсляк1-кз (С) резоаао» п(п-п)/£ утаэненвй, тля п -"зс.го урггет-й). Поэтому звгыа вгсг.0, тгобн ктгргга С гЗшгз чв толг.по пало- ■

.зительЕс определенной, но ег удобной при расчетах. Экспериментальные расчеты показала., что этого шзшо достичь, приняв в качества С единичнув матрицу. Если при этом условия положительной определенности матрицы О квадрагичэой Форш (4> такае будут удовлетворены, то необходимые и достаточные условия устойчивости положения равновесия системы (1> будут обеспечены. По критерии Сильвестра они выполняется при положительности диагональных миноров 5 :

■ Рассмотренная процедура бкда использована для доказательства адекватности кратераев устойчавостя в "калом", получаемых методов функций Ляпунова, с общепризнанными крлтаряящ Гурзица на примере системы "генератор - линия - шины". Установлено, что первый элемент квадратичной формы , • полученный на основе функции Ляпунова, содержит в себе и наобхадишэ з достаточные услоеия устойчивости. В самом деле, согласно (?) и. з силу дифференциальных уравнений, описывающих изучаемую систему

= = ё

Т] 71го Ло'д

• к > О ,

значение может быть положительный только при выполнении

гледупзпх услоеий

¿о С9>

- > с (10)

■ Л«/, кы + Хс

К > О (П).

¡олокительность (II), при пренебрежения деифорким козф$ац2онтом ^ 0, Ри — О), может наругаться только при

с> 3.1% и г- ГГ ,

5/. = ~ -*- -^-¿спС<5-<х„ <0 {12)

!лп, что то е8

О < «„ - агып—Ьц--(И)

■де 6 - угол ротора синхронного генератора; <*>/• - дополняю- ■ :з2 угол. Соотношения (9-13) определяют грангды апериодической -СТ0ЙЧ2В0СТИ, сгиовозбуяде.чзя и саморасклчзванпя в рассматрггвзе-!ой схема, доставляемые также крзтергяш 1Урпипа. Анализ доказал, ;то позволяет определять услопзя сйуоргсыа^гваЕгл незавяоя-'0 от прячякы ез возникновения - паракотрп^згкоэ пля Ее за счэт •правд шгая.

Следогататьно, крлтеряа устойчпзосгг 2ЭС в "калси", сзлучст-[зо на основе ^укпрл Лязугтова л язадргггасЗ фэряэ, полностью

совпадает с условиями, аслучвнкыш критериями Гурвиаа. В работе показано, что подученный елинстзенвы! критерий вида (8) и условия устойчивости (9-13), вытекавшие из него, имеют ряд вычислительных преимуществ. чем п критериев Гурвша.

В третьей главе работы приведены результаты исследований устойчивости ЗХ разной сложности, выполненных на база метола ®укк-пан Ляпунова.

С цель» выявления вычислительных сзойств и скрытых возможностей предлагаемого метода сыла прсведекн детальные гкспесимекта-дькне тзасчета опно-трехгенераторннх. 33С.

Функция Ляпунова в авадратичной форма для системы "генератор • - ЛОП - шит" ( з качестве примера рассаотоенной с наличием АНЕ аронорцаопального даЙатвЕЯ ), описываемая уравнениями четвертого посадка, после вшшшанин процедура (2) - (5) будет иметь слвдуо-•лзй вид:

"5

Vs¿-Si?i-/XjXL U4)

Произвольно задаваемая квадратичная форма W - (5) однозначно определяется заданной единичной матрицей С, Дадаз по описанной процедуре форшруатся матраца квадратичной форш 5

На рас. Г для наглядности показаны результаты расчетов коэффициентов характеристачасхаго уравнения aQ, аг, а*, опраде-литадэй Гурвиаа Álr,¿2r>á.ír,¿4r и определителей Сильвестра Л1Л , Ua квадратичной формы функции Ляпунова в виде зависимостей от угла ¿Г . Предельный по устойчивости реким определен на основе изевотного способа - постепенным увеличением передаваемой мощное та от генесатог;а.

Анализ показызает следующее. lo мере утяжеления, изменения определителей Ляпунова иыепт одзнахозуз закономерность - возрастают с увеличением утла ó"=r(P) а стреиятся к + ^ при приближении s пределу устойчивости. 3 то на врэш изменения хоэсгйипиентоз характеристического уравнения n¿ а определителей ГурЕпоа различны и она меняет знак при различных значениях параметров рехима. В рассматриваемом случае необходимые условия устойчивости по Гурзи-цу с яаруазются по з, при ü = 106°. 3 то за время а.=с, пвизнах азетзиошческой устойчивости наступает при о = 3

таких случаях оценка устокчавостп в "малой" систем только до зна-::у свободного члена характеристического уравнения,- как это делается so многих промысленных згограгмах, неизбежно приводит к опаске, так как существует диапазон значений параметров резаиа, з зредо-дах которого необходимые и достаточные условия устойчивости достигается при разных их значениях (на рис* IIIo и 102° соответственно }. Установлено, что варьирование значений параметров AF3 синхронного генератора, а такгэ других элементов системы мсзсат кал расширять, так л сужать этот диапазон неопределенности. Аналогичные результаты получены и для более сложных систем с генераторами, снасхенними AFB сильного действия.

Многоварлангнна расчеты заявила особенность, свойственную первому элементу квадратично;? £орка о - ггр3 пряйглноягя системы г. пределу его величина растет наиболее интенсивно з в случае нарушения устойчивости исследуемой системы раяьяе других определителей Сильвестра меняет сво4 знак. Зта закснсгдерность сохраняется и в случаях расчета более слсишх ЗЗС, чта дает основание для использования только о з качестве ¡тактического -ерзя устойчивости ЗЗС з "\шси". Тадим' образом, псслеясзаняя ус -

Анализ устойчивости в "малом" лросгейпай системы с генератором, -содержавиы АРВ лропорхшоналького - типа, олвсивабиая дарахтерлстэтесеты уравнением четвертого дорвдка

0-I-GC4

A¿,— 0Г5)2£.аггтел2 £урБДД£; . - -

¿¿л_ слрсййззтЁДп: кггрлда хгаггатачной: çops Ляпунова.

тойчявссти ЗЗС при малых возмущениях параметров реетма должны быть проведены на базе строгого метода, одредадяпдего необходимые и достаточные зе условия. Раздельный анализ апериодической з колебательной устойчивости гзояот быть провален для весьма простых ЭЭС 2 ара отсутствия ах рогуллрупшзх устройств.

3 четвертой глазе рассматривается вопросы, связанные с расширением применения метода функдий Ляпунова в квадратзчдой форме для анализа устойчивости сводных ЭХ. Расчетный анадгаз показывает, что наиболее удобякы для.алгоритмазацая я результативным по вычислительным свойствам является аспользованп» метода фунтота Ляпунова совместно с узловыми уравнениями (дрздисжэн К.?. Агдаа-выа). 7.7., устанавливая футтдтокальнур связь мшсду мощностями- я напряжениями узлов, в наиболее полном зада ошасшзавт электрическое ссстоянзе сети ллбоА сложности, а функхзая Ляпунова позволяет контролировать выполнение необходимых я достаточных условий ее устой-чавоств до узлаы. Алгоратп реализации предлагаемого способа анализа устойчивости состоим в сл едущем. Для иссладузмого ражима система расчетом установившиеся раазшов находятся напряжения узлов и фиксируя их последовательно для генерирующих узлов з узлов, содеряащих зралакдаеся кавиян, проверяется долсжительность матраца квадратичной фор!,та Ляпунова. Таким образом, фактически задача сводится я многократному исследованию схемы "генератор - аинк" независимо от сложности ЗЗС. Одновременно появляется возможность реализации ндеа анализа устойчивости, исходя из абсолютного ее движения. При зтем в зависимостл от доставленной задачи э тгызо расчета могут быть использованы различные матеиатнчзекзе уозолл генераторов и ах ре^удирушах устройств, обычно в зрактнке с^.аь-заемые алгебро~га$фзрашшальншя уравнениям не более 5-15 зоряд-за.

Предлагаемый метод до характеру изменения 9« позволяет выявить конкрогкугз стансЕЮ ые генератор, который оыстрее других пргслагается к своену пределу и могет первым выйти из сицхрониз-ца. Лля целей эксплуатации ЗЗС данный результат является засыга важные, поскольку позволяет нэ только отказаться от неооходимос-тк озределензя "опасных сечений", теор-зтгческг необоснованных и практически размытых, но л прадаогять иерк для предотвращения нарушения устокчквоста генератора £ ЗЭС при помсьв регудирупакх устройств.

На основе изложенного-алгоритма-разработана программа RFL , наднсанная на языке ФОРТРАЕ (Ci-1300 "Мера"). Программа апробирована экспэриканталышш расчетами устойчивости ЗЭС разной слоало-сти, в том чгсде эквивалентной схиа западной части ОЭС Средней .Asse, а также тестовой схеии ВГШ' и НШ "Энергосетьпроект", результаты которой приведены на рис. 2. ПрэдедъЕкй до усто£нн20ота режим определен постепенным одновременным утяаейедаеи мосноотей станций Г-S и Г-4 с учетом ex АРЕ. И в данном случае прп приблг-Еення к предельному по коотоста режиму .крааля первого определителя квадратичной фориы Ляпунова - для станцпг Г-4 резхо возрастает.

В работе se основе экспериментальных расчетов ЭЗС разной слсгкоста сравнены результаты к оцанекы вычислительные свойства предлагаемого г других истодов, дрлкенявыых на драктнко. Установлено, тга рсзультс-тг, солучскнио" cQBiiscTULü! пскользовакьец узловых ураатэнсЁ ü ггзтсда ¿¡указ* ¿яхгунова в квадратичной форме и на schob в пройкгденвсй програкш CTATJC t об пгдлаг. только в случае одргдслаиал грапгд апераодячагкоЁ устойчив оста при условии, что ь спстзкр нагугэ:гзс. кзлвЗатедькоЗ усгэ^чпвсстк еседечзкэ. хг-твчел BspokHiHosTL смзехся, то ггрсдлагавшй катод позволяет оярь-

Анализ устойчивости тестовой схвш ЗПШ я НИИ "Энергосатьпроеет"

1,2 - кривые изменения Q^ соответственна для Г-3 я Г-4; 3 - граница устс£чгвостя по промышленной программа СТАТТС

делать границы самораскачивания для какцого генератора (или же эквивалентной стащив ) ЭЭС. Показано, что при применении предлагаемого способа исследования устойчивости в "малом" затраты машинного времени меньше, чем в традиционных методах, используемых в настоящее время. Например* для расчета апериодической устойчивости ЭЭС с 15 генерирующими узлами предлагаемым методом требуется на порядок меньшее количество операций уклонения и деления по сравнении с методом, основанным на определении собственных значений матриц коэффициентов уравнений (метод Арнольда), являющимся самым аффективным в этом отыоаении методом. Необходимо отметать, что с усложнением структуры энергосистемы вычислительная эффективность предлагаемого метода с шагается из-са возрастания затрат машинного времени для решения у.у. (например, при расчете ЭЭС с 70 генери-рувдими узлами экономия малинного'времени составляет только 32 %).

В таблице приведены оценки вычислительной сложности, выраженные иеобходк!дд5 числом операций умножения и деления в процессе анализа устойчивости в "малом" для наиболее широко используемых методов исследования, подтверядавцие эффективность прадлагаомого способа.

деленный метод Количество генераторов

I 3 7 15 ю

I 1> -разйпеная 0.23x10* 0,7£хЮ5 2,£хЮ6 0,ЗЗх1С8 -

Расчет собственных значений но «л -алгоритм!' З.ЕЕхЮ3 0,27х105 2.4x10е £,ш:о5 6,4х10Г;

5 Расчет ссбствен-шх зкачений по методу Арнольд; 2,1х106 6,Бх107

Совместное изменение у. л функций ¿ХДуВО-ва в квадрат, форма О.ТЗхЮ3 5,£х103 5,оехю4 4.БХ105 4,6x10"

Таким образом, совместное использование метода функций Ляпунова в квадратичной форме и узловых уравнений является мощным способом в исследовании устойчивости ЗЗС в "малом" и моает дать весьма плодотворные результаты.

На основа проведенных исследований mosho сделать сладутсиа

3 Ы В О Д И:

1. Доказана режимная з вычислительная эффективность использования фунвздй Ляпунова в квадратичной форме для анализа устойчивости 333 з случае малых отклонений ах режгшых параметров.Нря этом задача решается в целой, бэз разделения на апериодическое и колебательное виды устойчивости.

2. Установлено, что при приближении ЗЭС к предельному по устойчивости режиму первый элемент квадратичной формы функция Ляпунова возрастает наиболее интенсивно а первым меняет свой знак при нарушения устойчивости. На основания этого, положительность о íf можно рекомендовать в качестве практического критерия, доставляг>~ щего и необходимые, и достаточные условия устойчивости ЗоС в "малец" .

3. Доказано, что свойства Зуппи4 Ляпунова в-квадратичной форма позволяют однозначно опредатзть стащшю ила генератор, пси-ближахшзся к пределу устойчивости по мере утяжеления реаима.

4. Показано, что совместное использование двух фундаментальных методов - уоловых уравнений я функций Ляпунова в квадратичной |орые позволяет свести задачу исследования устойчивости слохных ЗЭС в Гмалом" я схеме "генератор - латая - айны".

По теме диссертация опубликованы слацуисяе работы:

I. Мирзабаев А.Ы., Азазоэ Т.Е. Ыатематячвскоа мсдалдссзание

z расчет статической устойчивости злехтрических систем методой дунксий Ляпунова в квадратичной $«рме / Сб. Трудов ТапМ "Моделирована е н разработка технических средств для АСУ ТП". - Ташкент, ISC7. - С, ез-е?.

2. Иирзабаев АХ. Математическое моделирование и расчет статической устойчивости слоецых электроэнергетических систем// Тезисы докладов к Республиканской научно-технической конференции молодых ученых в специалистов. Опыт эксплуатации к перспектввы развития АСУ экергооб. Уаб. - Ташкент, 2S89. - С» 22-23.

3. Иирзабаев A.U. К исследованию статической устойчивости энергосистем методом функций Ляпунова в квадратичной форае // Тезиск докладов Республиканской научно-практической конференция молодых ученых ж специалистов. - Ташкент, 1288. - С. 65.

4. Алла ев K.P., Мзрзабаев А.!.'. Исследование статической устойчивости электроэнергетических систем совместным применением метода функций Ляпунова в квадратичной форме и узловых уравнений // Тезисы докладов к Всесоюзному научво-технячзскойу совещанию "Бодрова устойчивости и еэдзейости энергосистем СССР". - Душанбе, июнь IS89. - Л, 1989. - С. 38-39.

Е. Аллаев K.P., Иврзабаев А.Ы. Исследование статической устойчивости электроэнергетических систем совместным применением и/зтодв Фунхсдий.Ляпунова в квадратичной форме и узловых уравнений // В кн.: Вопроси устойчивости и надежности энергосистем. Под ред д.т.н. Л.А. Кощеева. - К.: ИвГАЕ,*1Э50. - С. 72-76.

С. Аллаев K.P., i&psaöaea A.U. Моделирование калшс колебаний анергоспстеы функцией. Ляпунова // Тезисы докладов I научной кснфереяпиЕ "Уоделдровакдв электроэнергетических систем". Каунас. IQSI. — С. X9ä.

7. МирзасЗаав A.M. Исследований статической устойчивости эло-ряческнх систем функциями Ляпунова / СО. Трудов ТааБИ. Ташкент, 51 (в сачата).

Подписано в-печать 4.11.91г. Зяназ 1265, тир «ж 100

Отпечатано ня 'ротапринте ШО"Узэ,втотранстехнина" Пчпагпгяческря, 16