автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение метода функций Ляпунова в задачах приемлемости приближенных математических моделей

На правах рукописи

ии^458Э62

ЖУРАВЛЕВА Ирина Викторовна

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В ЗАДАЧАХ ПРИЕМЛЕМОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

^ /, я и 5

Воронеж - 2009

003458962

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Марийский государственный технический университет»

Научный руководитель

доктор физико-математических

наук, профессор_

Скимель Виктор Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, доцент

Агранович Юрий Яковлевич;

кандидат физико-математических наук, доцент

Веневитина Светлана Семеновна

Ведущая организация ГОУ ВПО «Марийский государ-

ственный университет»

Защита диссертации состоится «29» января 2009 г. в Ю00 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет».

Автореферат разослан "_" ^декабря 2008 г.

Ученый секретарь Тл!^^^

диссертационного совета у / Питолин В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время наблюдается высокий уровень развития средств современной вычислительной техники и численных методов анализа, вместе с тем особенного внимания требует проблема построения и оценки адекватности приближенных математических моделей сложных систем. Особенно важны такие оценки погрешности приближенной модели, которые справедливы для целых классов зависимостей, а не только для конкретных функций или значений параметров. Для динамических систем важное значение имеют и размеры временной области, в которой сопоставляются результаты, полученные по приближенной и точной моделям.

Упрощенные модели часто являются единственным средством качественного анализа процессов, используемым на этапе предварительных расчетов при проектировании сложных систем. Понижение порядка дифференциальных уравнений модели способно существенно снизить затраты машинного времени, что особенно важно для моделей очень большой размерности.

Одним из методов получения оценок приближенных решений является метод, основанный на использовании функций Ляпунова. Изначально метод функций Ляпунова предназначался для исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений. Н.Г.Четаев первым (1957г.), предложил использовать этот метод для оценки погрешности приближенных решений дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие эта идея Н.Г.Четаева получила в работах В.Н.Скимеля. Ему принадлежит строгая математическая формулировка понятия приемлемости приближенных решений дифференциальных уравнений по существенным параметрам. Используя квадратичные функции Ляпунова, В.Н.Скимель получил критерии проверки приемлемости приближенных решений линейных динамических систем. Впервые понятие и термин «приемлемость» применительно к приближенным решениям дифференциальных уравнений динамики гироскопических систем использовал Д.Р.Меркин( 1956г.).

Реализация оценок, получаемых методом функций Ляпунова, затрудняется необходимостью решения нелинейных неравенств и матричных уравнений высокого порядка. Эти трудности могут быть преодолены с помощью возможностей современной вычислительной математики и компьютерной техники. При этом появляется возможность оптимизировать качество этих оценок и сделать их более доступными для специалистов прикладных областей.

Таким образом, актуальными являются создание строго обоснованных критериев возможности использования упрощенных дифференциальных моделей механических систем; дальнейшее развитие метода функций Ляпунова как средства оценки точности приближенных решений дифференциальных уравнений; создание доступных алгоритмов и программ для численной реализации оценок погрешности приближенных моделей на основе метода функций Ляпунова.

Связь диссертационной работы с планами НИР, НИ ОКР и проектами по грантам. Результаты исследований использовались при выполнении фанта РФФИ: 05-07-90313 «Создание информационной системы для мониторинга космической погоды на уровнях внутренней ионосферы», а также в учебном процессе МарГТУ.

Цель работы и задачи исследования. Целью работы является получение аналитических и численных оценок погрешностей приближенных дифференциальных моделей механических систем, содержащих существенные параметры.

В соответствии с указанной целью в работе поставлены следующие основные задачи:

1. Анализ методов исследования упрощенных моделей как средства качественного анализа процесса функционирования системы.

2. Моделирование направлений развития метода функций Ляпунова в задачах приемлемости приближенных математических моделей.

3. Разработка алгоритмов построения оценок приближенных решений систем дифференциальных уравнений.

4. Реализация алгоритмов построения оценок приближенных решений систем дифференциальных уравнений в виде программ.

Методы исследования. Работа выполнена с применением методов функций Ляпунова, аппарата матричной алгебры, теории дифференциальных уравнений, линейной алгебры и теории оптимизации, метода эллипсоидальных оценок областей изменения фазовых переменных динамических систем. При выполнении численных исследований использован пакет программ общематематического назначения МаЛса«].

Научная новизна. К результатам работы, отличающимся научной новизной относятся:

- расширение понятия «приемлемость», отличающееся охватом неавтономных систем дифференциальных уравнений с существенным параметром при матричных коэффициентах и обеспечивающее построение унифицированного подхода к оценке близости точного и приближенного решений;

- доказательства «приемлемости» приближенных дифференциальных моделей некоторых механических систем, позволяющие построить оценки погрешности этих приближенных решений, отличающиеся использованием ограничений, накладываемых на неравенства, содержащие собственные значения матриц, порождаемых квадратичной функцией Ляпунова;

- метод улучшения оценок погрешностей, основанный на эллипсоидальной аппроксимации областей изменения фазовых переменных и использовании экстремальных квадратичных функций Ляпунова, необходимый для улучшения качества оценок погрешностей;

- алгоритмы построения численных оценок параметра «приемлемости», отличающиеся оперативной оценкой качества приближения при численной минимизации погрешности, реализованные в виде программы для ЭВМ.

Практическая значимость. Практическая значимость диссертационной работы заключается в создании методики оценки погрешности приближенных решений, получаемых в результате замены исходных дифференциальных уравнений вырожденными. Данная методика позволяет повысить качество оценок погрешностей приближенных решений дифференциальных уравнений, получаемых на основе метода функций Ляпунова. В рамках диссертационного исследования разработаны компьютерные алгоритмы и программы для получения количественных данных о погрешностях приближенных решений

Реализация и внедрение результатов работы. Основные теоретические и практические результаты диссертационной работы реализованы в виде компьютерных программ, позволяющих получить оценки погрешности приближенной модели или выбрать значение существенного параметра, обеспечивающего заданную точность приближенной модели. Результаты диссертационной работы используются в учебном

процессе механико-машиностроительного факультета МарГТУ. Результаты исследований использовались при выполнении гранта РФФИ: 0507-90313 «Создание информационной системы для мониторинга космической погоды на уровнях внутренней ионосферы». Имеется соответствующий акт о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на IV Международной научной конференции "Циклы природы и общества" (Ставрополь, 1998), научной конференции аспирантов КазГТУ (Казань, 1999), научной конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов МарГТУ (Йошкар-Ола, 1998), третьих Вавиловских чтениях (Йошкар-Ола, 1999), IV Ахметга-

леевских чтениях (Казань, 2000), научной конференции преподавателей и аспирантов Московского университета Дружбы народов (Москва, 1999), Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 2000).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 научных работах, в том числе 4 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат следующие результаты: [1] - доказательство выполнения достаточных условий приемлемости для нелинейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, построение оценки нормы решения вырожденной системы и ее производных по времени, [3] - доказательство выполнения достаточных условий приемлемости для системы с малым параметром при старшей производной, исследование зависимости решения вырожденной системы от существенного параметра, [8] - аналитическое исследование приемлемости системы второго порядка.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 72 наименований. Основная часть работы изложена на 121 странице, содержит 9 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, изложено состояние проблемы, сформулированы цели и задачи исследований, показаны научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Приведены основные положения, выносимые автором на защиту, сведения об апробации работы.

В первой главе дается общее определение понятия приемлемости приближенного решения системы дифференциальных уравнений, содержащей существенные параметры. Излагаются основы применения метода функций Ляпунова для оценки приближенных решений, а также полученные этим методом критерии приемлемости.

Пусть и(/,а) = со/(М|(/,а),...,«„(/,а)) - приближенное решение дина- " мической системы

5 = Fft,/,a)f (1)

где а е Rr - вектор существенных параметров системы; а)-век-

тор-функция времени (>0 и фазовых переменных \ е R" , удовлетво-

ряющая в области D е R" при любых а е Da условиям существования и единственности решения уравнения (1).

Для сравнения приближенного и(/,а) и точного !;(/,а) решений системы (1) вводится вектор отклонения х = ^ —и. Рассматривая близость точного и приближенного решений по переменным (т < п), обозначим соответствующие отклонения >"а=ха (а = 1 ,...,т), а остальные - = xmt/3(fi = 1,..., р = п- т); тогда х=со/( у,г).

В пространстве R" отклонений {х\,...,хп} вводятся множества GE = {X:|y||<s1;||Z|<e2} и G& = {х :||у|| <6, <е,,И < б2 < s2} .

Здесь GIG- множество точек границы; все нормы - евклидовы.

Определение 1. Приближенное решение и(/,а) системы (1) приемлемо по переменным (а = 1, ..., т) , если для любых наперед заданных чисел е | > 0 , 8 2 > 0 (первое может быть сколь угодно мало, а второе - велико) можно указать значения параметров а и числа s 2 > 0 и 8]>0 такие, что отклонение х(/,а") е Gt при / > 0, если только xg е G§.

Геометрическая интерпретация этого определения в случае п = 3, т - 2, р = 1 показана на рис.1.

Чтобы воспользоваться методом функций Ляпунова для исследования приемлемости приближенного решения, запишем дифференциальное уравнение для отклонений \(1,я), представив его в форме

х = Р(а)х + г(х,/,а), (2)

где Y(x,/,a) = F(u + x,í,a)-P(a)x-ú(/,a); матрица Р(а)при а е Da является Гурвицевой.

Для асимптотически устойчивой линейной однородной системы х = Р(а)х в качестве функции Ляпунова обычно используют квадратичную форму

Г м ' N"

F = xrD(a)x=yrM(a)y + 2y7'N(a)z + z7'L(a)Z, D(a) = -у}— (3)

N ¡ L

матрица которой D(a) находится из матричного уравнения Ляпунова

Pr(a)D+DPfa) = -T, (4)

где матрица Т - любая симметричная положительно определенная.

Основная идея предложенного Н.Г. Четаевым метода оценки отклонения х(?) состоит в использовании той же функции Ляпунова (3) для исследования поведения решения системы (2).

Условие отрицательности производной V в силу (2) содержит сумму отрицательной квадратичной и линейной форм

V = -х7Тх + 2(x,Dx) < 0 (5)

и обязательно выполняется при достаточно больших ||х||>/?(а), если только ¡D(a)y(x,/,a)||- равномерно ограничена по / и по х . Граница области Q отрицательных значений V будет ограничивать и область изменения отклонений x(t).

Задачу понижения порядка дифференциальных уравнений движения механической системы

A(a)q + G(a)q + C(a)q = f(/) (6)

с существенным параметром а, за счет отбрасывания члена со вторыми производными, можно сформулировать как задачу исследования приемлемости по обобщенным координатам q решения р(/, а) вырожденного уравнения

G(a)p + C(a)p = f(/). (7)

Такое исследование включает как теоретический аспект - доказательство наличия свойства приемлемости у решения вырожденного уравнения (7), так и практический аспект - оценку значения параметра

а', которое гарантирует для отклонения ||q(/,a*)-p(/,a )|<Б].

Для задачи понижения порядка уравнения (6) получим в (2):

Р(а) =

О 1

_____i______

• А~'С I - A~'G

у(г,а) =

(8)

0_

Критерий существования приемлемости решения вырожденной системы формулируется в виде теоремы.

Теорема 3. Решение вырожденной системы (7) приемлемо для системы (6) по переменным q , если для любых sx > О, S2 > 0 существует зависящее от них значение параметра а*, при котором выполняются одновременно неравенства

Ят.»,2>»тах(а>22, (9)

2Л(а*)/гтш , (10)

гае Л™п(а'). Ч™х(а')'Ртах(а*)> гтах " наибольшие и наименьшие собственные значения матриц S = М - NLT'N т, L , D, Т соответственно; h

* *

верхняя грань нормы произведения D(a )у(х,/,а ).

При исследовании приемлемости решения р(/, а) важное значение имеют как свойства матриц А (а), В(а), С(а), так и свойства решения р(/, а) вырожденного уравнения (6). Так из (8) следует, что для выполнения условия (10) теоремы 3 необходима как минимум ограниченность р(/,а) при / > 0.

Доказаны два свойства сохранения приемлемости решения.

Теорема 1. Свойство приемлемости решения (9) для уравнения (8) по параметру а остается инвариантным относительно любого линейного невырожденного и независимого от параметра а преобразования переменных q, р.

Теорема 4. Приемлемость решения (9) сохраняется при достаточно малом s > 0 для уравнения

A(a)q + G(a)q + C(a)q = f(í) + ец/ (í.q, q), где функция y/(t,q,q, а) непрерывна и ограничена при />0 в любой замкнутой области пространства фазовых переменных.

В заключительном п.п. 1.5 первой главы приводится пример исследования приемлемости приближенного решения линейного скалярного дифференциального уравнения <j + aq + q = t двумя способами: методом функций Ляпунова (с помощью теоремы 3) и путем непосредственного сравнения точного и приближенного решений.

Во второй главе исследуется приемлемость решений вырожденных систем для линейных неоднородных систем дифференциальных уравнений пяти частных видов.

В п.п. 2.1-2.4 рассматриваются четыре типа механических систем, дифференциальные уравнения движения которых содержат скалярный параметр а:

Я + аВ<] + Сч = Г(0, (11)

(1 + (аВ + Г)ч + Сд = Г(/), (12)

Ч + (В + аГ)я + Сч = Г(/), (13)

а-'ч + (В + Г)я + СЧ = Г (/), (14)

здесья е Кк - вектор обобщенных координат; А = Ат » 0, В = Вт » 0,

Г = -Гт, С = Ст » 0 - матрицы инерции, диссипативных, гироскопических и потенциальных (консервативных) сил.

Сформулированы и доказаны теоремы о приемлемости по обобщенным координатам q решений вырожденных уравнений соответствующих (1 !)-(14). В доказательствах использовались условия приемлемости (9). (10).

Доказанные теоремы отличаются характером ограничений, накладываемых на вектор-функцию Для диссипативной системы (11)

достаточно ограниченности ¡¡Г(')|> Для систем (12), (14) дополнительно требуется ограниченность |[Г(/)|[, а для гироскопической системы (13) кроме того и выполнения условия Ц^оЦ- а", ( т<0).

Продемонстрируем технику доказательства приемлемости на примере системы типа (11 ):

¿¡ + аВ4 + сч = Г('/), (15)

где а - существенный параметр, с > 0 - постоянная, В » 0, Г(г) -вектор-

функция с ограниченной при I > 0 производной |г(')| < й, •

Для доказательства приемлемости решения соответствующей (15) вырожденной системы

р = -/д:Вчр+ «?('), где <?(/) = ^В-'ДО; ц = (16)

воспользуемся условиями (6) и (7) теоремы 3.

Решая уравнение (4), находим матрицу D(a) =

и состав-

! * Г_М_1 ^

1ЧГ ! ь

ляющие её матрицы М = 0,5ас~|В + 0,5а"|с(1 + с~')В~|, N = 0,5счЕ(*>, Ь = 0,5<а"' (1 + с"1 )В"', а также Б = 0,5а(с +1)'1 В + 0,5<аГ'с(1 + с"' )В"'.

Отсюда для характеристических чисел матриц Б, Ь, Э соответственно получаем оценки:

^тах ~ Я = ' (17)

на основании которых, заключаем, что: 1) неравенство (9) обязательно выполняется при достаточно больших значениях параметра я; 2) левая часть неравенства (10) имеет при а оо конечный, не зависящий от а предел.

Величина И(а) в правой части (10) допускает оценку -ГМр~

-Lp

(18)

Построим оценку для ||р(/,я)|, полагая, что ||р(0)||</, Цф)^//.

Продифференцировав (16) по времени, получаем

dp

dt

= -¿jcB р + ф(1,а)

и приходим к оценке

(19)

(20)

UpÍ^0))! ^ а"'|В"'||(с |р(/,й)|+ Н).

Представим решение р(/) уравнения (19) в форме Коши

i

р(г, а) = Х(/, а)р(0, а) + Jx(f - s, a)p(s, a)ds . (21)

о

Для фундаментальной матрицы Х(/,а) используем известную

оценку ¡Х(г,а)|| < Nехр ——/ (N- постоянная,/? - наибольшее собст-\ afi )

венное значение матрицы В). Выразим р(0,я) через начальные условия р(0) с помощью (16) и оценим |jp(0,a)|j<a4||BM|j|f(0)-cp(0)| . (22) С учетом (21), (22) неравенство (20) преобразовывается к виду

На с

¡p(/,a)|| < ^]|в-'|| j^|¡B-'||max И[с I + |¡f(0)||]

+ Н ,

(23)

поэтому ||р(/,а)|| ~ /у = а'' .

Из (18) с учетом найденных выше представлений матриц 14, Ь и оценки Цр(/, й)| получаем /¡(/¿) ~ // = а'1 . Это означает, что при достаточно большом значении параметра а выполняется и неравенство (10). Приемлемость таким образом установлена.

В последнем разделе второй главы рассмотрен пример механической системы с двумя степенями свободы, описываемой системой дифференциальных уравнений вида (11). Для неё построена оценка значений параметра а, обеспечивающих заданный уровень отклонения решения вырожденной системы от решения исходной системы. Выполнено сравнение оценки с результатами численного решения.

В третьей главе рассматривались задачи оценки погрешностей приближенных решений для систем нелинейных дифференциальных уравнений 2-х типов.

Первая из рассмотренных систем у = Ау +

• ¿ = /(ст) , (24)

а = с1у-р£,

описывает поведение системы непрямого регулирования. Здесь у = со1(уи...ууп) - вектор фазовых переменных; векторы Ь = со1(Ьх,...,Ьп), с = с01(с\,...,сп) и скаляр р> 0 - постоянные; А = |а1}|, (/,_/ = !,...,«)- постоянная матрица (Гурвицева, т.е. асимптотически устойчива), т.е. действительные части всех ее характеристических чисел отрицательны ЯеЯДА) < 0 ;

(управляющее воздействие) и сг -(сигнал обратной связи) - скалярные переменные, которые связаны нелинейной дифференциальной зависимостью (рис.2).

Нелинейная функция /(сг) является непрерывной, её производная ограничена |_/"(ст)[ < N при (7*0, /(0) = 0 /(а)а>0.

Наряду с исходной (24) рассматривалась упрощенная линейная система

й = Аи + Ь/7

• г) = ко , <? = сти - рт]

решение которой (и, г|) принимается в качестве приближенного для исходной системы (24). Здесь и - вектор , г) - скалярная переменная, к -постоянный коэффициент.

Были получены ДУ для отклонений <р = у-ии = точного решения (у, £,) и приближенного решения (и, г|): ф = А<р + Ьу/ ■у = /{а)-ку{1) , сг = с Т(р-ру/ + у(1)

здесь (р - вектор, у(1) = с7 и(/) - рг|(0 - скалярная функция, которая выражается через решение упрошенной системы.

Для нормализации данной системы производится преобразование переменных, в результате которого получаем систему.

Г х = Ах + Ь/(0)-Ь*Г(О = стх - р/{в) + рку(1) + у(1)

где х, б - новые переменные, 0 = 5- у(1).

Область изменения решения системы (25), т.е. область изменения отклонений была исследована с помощью функции Ляпунова следующего вида:

о

У(\,в) = хгВх + |/(г)£/г » О.

о

Построена оценка области изменения отклонений ср(1) = у - и и

у(1) = Е,- ц на основании заданной оценки области начальных отклонений.

Вторая рассмотренная в третьей главе нелинейная система ДУ имеет вид:

¿¡ + аВ(Ч)ч + СЧ = Г(/), (26)

где ц е /?* - вектор обобщенных координат; а > О - скалярный существенный параметр", С = Ст » О - постоянная симметричная положи-

тельно-определенная матрица; Ш) - вектор-функция, ограниченная по норме вместе со своей первой производной при * > 0. Матрица В(д) -диагональная В(д) = diag(b^ (¿¡г(),...,Ьк^к)) положительно определенная, причем функции ..., Ьк(дк) ограничены, т.е. в области ||я|| < Н < оо выполняются неравенства 0 < т < ¿>, (д,) < М , /' = 1,..., к .

В качестве приближенного решения системы (26) рассматривалось решение системы

аВ(р)р + Ср = Г(/), полученной отбрасыванием в (26) членов со второй производной.

Затем, как и ранее для линейной системы, построена система ДУ для отклонений у = ч-р, г = с| - р

= ^=-Су-аВ(р + у)г-Р(р,а,у). т ш

В качестве функции Ляпунова выбиралась функция У(р,х,а) = 0,5а21 у(р, у )| + а (у(р,у),г)+1| г |2 + утСу , где компоненты вектора \р(р,у) определяются выражениями:

у,

Ч'ЛРпУ,)^ ]&,(/>,(1 = 1,...,к).

о

С помощью функции V доказана приемлемость по параметру а приближенного решения р(0 для исходной системы (26). Так как исходная и вырожденная системы нелинейные, а функция Ляпунова не квадратичная, то доказательство приемлемости не опирается на теоре- ' му 3.

В четвертой главе описаны алгоритмы численной реализации оценок, полученных методом функций Ляпунова для значений параметра приемлемости а, предложен способ улучшения качества оценок при

помощи эллипсоидальной аппроксимации области £1 = х е Я": У(х) < 0} и выбора оптимальной квадратичной функции Ляпунова. Представлены результаты, полученные для линейных неавтономных динамических систем с одним скалярным параметром а, для которых приемлемость соответствующих приближенных решений была установлена в главе 2.

После положительного решения принципиального вопроса о приемлемости приближенного решения, естественным образом возникают следующие задачи:

Задача 1. Определить числовые значения существенных параметров (аь а2, ■ ■ ■ , ат ) = а, которые обеспечивают заданную норму е отклонения приближенного решения от точного.

Задача 2 (обратная). Найти наибольшее значение £ нормы погрешности приближенного решения при заданных значениях (а|, а2,..., ат ) = а существенных параметров.

В п.п.4.1 описан алгоритм вычисления значений параметра приемлемости а по заданной величине е верхней границы нормы отклонения приближенного решения от точного.

Условия приемлемости (9) и (10) представляются функциями

^(а)^^2-^«)^ " Р2(а) = £^тю(а)/ртгх(а)-^^-, от-

г

Ш1П

рицательные значения которых, выражают меру невыполнения этих условий.

Для вычисления значений ^(а), Г2(а) задаем а, е, Т:

1. Находим матрицу Э , как решение матричного уравнения (4).

2. Находим матрицы О, Ь, Б и вычисляем их характеристические • числа ртах, 1'т„ , Ятш .

3. Вычисляем значение <У = ||я(0)-С"'(а)[-С(а)р(0) + Г(0)]||.

4. Находим И{а) > зир ¡1>У(')|| •

5. Вычисляем значения F](a) и А(я).

Описанная процедура используется на каждом шаге поиска такого значения параметра а*, которое обеспечивает выполнение неравенств Г,(а) > 0 и Р2(а) > 0 одновременно.

В п.п.4.2 строится эллипсоидальная аппроксимация для дополнения П' области А отрицательных значений производной V .

Преобразуя неравенство (4), получим

(х-у)тТ(х-у) < утЯу = 6(у)>0, (27)

где И = Э Т_|0 - симметричная положительно определенная; V = у.

Неравенство (27) при фиксированном Ь{у) описывает семейство эллипсоидов, центры которых находятся в точках с радиус-векторами V (рис.3).

Пусть область изменения вектора у(/) (8) известна и представляет собой эллипсоид в/?*, ( к = п / 2) тогда и область изменения вектора у =

Т 1D у будет вырожденным эллипсоидом Е, в R", а само множество Q' будет являться объединением семейства эллипсоидов (27) (рис.3).

Все эллипсоиды (27) подобны, т.е. имеют одинаковые главные направления и одинаковые отношения соответствующих полуосей. Поэтому можно заменить их одним эллипсоидом Е2 наибольшего объема, взяв Ь = шах[6(у)].

Такое представление области Q' позволяет использовать для неё эллипсоидальную аппроксимацию, предложенную в работах Ф.Л. Черно-усько. Применительно к нашему случаю это будет построение эллипсоида Eq наименьшего объема, заключающего в себе сумму эллипсоидов Ei и Е2 (рис.3).

Решение x(t) системы для отклонений не сможет пересечь изнутри поверхность К(х)= С= const , описанную вокруг эллипсоида Eq (рис.3), поэтому эллипсоид Es можно рассматривать как оценку области изменения отклонений х(г)

(28)

где Атах наибольший из корней характеристического уравнения det( D - ACT') = 0 .

В п.п.4.3 предлагается способ оптимизации оценки (28).

При построении оценки (28) использована квадратичная функция Ляпунова У(х) =xTD х , определяемая уравнением (4) с точностью до произвольной положительно определенной матрицы Т. Этот произвол в выборе матрицы Т и может быть использован для некоторой оптимизации оценки.

' Сформулируем соответствующую оптимизационную задачу. Естест-! венно считать оценку (28) тем более качественной, чем меньше объем эллипсоида £5(Т).

Поэтому можно взять в качестве целевой функцию

IV (Т) = det (ятх (T)D~'(T)), (29)

тогда оптимизационная задача принимает вид:

W (Т) -» min , при Т » 0 (30)

Для параметризации положительно-определенной матрицы Т используем известное разложение Т = Л Лт , где Л - треугольная матрица с положительными диагональными элементами.

Для нахождения экстремальных матриц Л * , D* и соответствую- щей им наилучшей оценки (28) используется алгоритм многомерной оптимизации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Доказаны теоремы, расширяющие понятие «приемлемость», отличающееся охватом неавтономных систем дифференциальных уравнений с существенным параметром при матричных коэффициентах и обеспечивающее построение унифицированного подхода к оценке близости точного и приближенного решений.

2. Получены доказательства «приемлемости» приближенных дифференциальных моделей некоторых механических систем, позволяющие построить оценки погрешности этих приближенных решений, отличающиеся использованием ограничений, накладываемых на неравенства, содержащие собственные значения матриц порождаемых квадратичной функцией Ляпунова.

3. Разработан новый метод улучшения оценок погрешностей, основанный на эллипсоидальной аппроксимации областей изменения фазовых переменных и использовании экстремальных квадратичных функций Ляпунова, необходимый для улучшения качества оценок погрешностей.

4. Разработаны алгоритмы построения численных оценок параметра приемлемости и погрешностей приближенных моделей, которые реализованы в виде программы для ЭВМ, позволяющие улучшить качество оценок погрешности приближенных моделей.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Журавлева И.В., Скимель В.Н. К задачам приемлемости приближенных решений дифференциальных уравнений // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева. 1998. №3.- С.29-33.

2. Журавлева И.В. Приемлемость приближенных решений дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной И Математическое моделирование. 2000. Т.12. №3. - С.20-21.

3. Журавлева И.В., Скимель В.Н. Приближенные решения линейной системы с малым параметром при старшей производной // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева. 2000. №1. - С.16-21.

4. Журавлева И.В. Оценка области изменения фазовых переменных неавтономной системы с помощью экстремальных функций Ляпунова // Системы управления и информационные технологии: научно-технический журнал. М., 2008. №3(33). - С. 82-85.

Статьи и материалы конференций

5. Журавлева И.В. Применение метода функций Ляпунова к некоторым задачам приемлемости приближенных решений дифференциальных уравнений // Циклы природы и общества: материалы VI Междунар. конф. Ставрополь: Изд-во Ставропольского ун-та, 1998. Ч.1.- С.35-37.

6. Журавлева И.В. Оптимизация оценки приближенного решения дифференциальных уравнений в задачах приемлемости // Третьи Вави-ловские чтения: материалы постоянно действующей Всерос. междисци-плинар. конф. - Йошкар-Ола: Map. гос. техн. ун-та, 1999. 4.1. -С.475-476.

7. Журавлева И.В. Применение метода функций Ляпунова в задачах приемлемости приближенных решений дифференциальных уравне- ! ний динамики // Труды^научной конференции по итогам НИР МарГТУ. Секция: Математика. - Йошкар-Ола: Map. гос. техн. ун-т, 1998.- С.27-31.

8. Журавлева И.В., Скимель В.Н. Метод функций Ляпунова в задачах приемлемости приближенных математических моделей // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: тез. докл. VIII Четаевской Междунар. конф. Казань, 2002.- С.62-64.

Подписано в печать 26.12.2008. Формат 60x84/16 Бумага для множительных аппаратов.

Усл. печ. л. 1,0. Тираж 90 экз. Заказ №_

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет» 394026 Воронеж, Московский просп., 14

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В ЗАДАЧАХ ПРИЕМЛЕМОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ

1.1. Понятие приемлемости. Постановка основных задач

1.2. Приемлемость решений вырожденных уравнений движения механических систем

1.3. Преобразование переменных

1.4. Свойства решений вырожденной системы уравнений

1.5. Исследование приемлемости решения вырожденной системы методом функций Ляпунова

1.6. Сохранение приемлемости при возмущениях

1.7. Пример исследования приемлемости

ГЛАВА 2. МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ЧАСТНОГО ВИДА.

ПРИЕМЛЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Понижение порядка уравнений движения диссипативной системы

2.2. Понижение порядка уравнений диссипативной системы при наличии гироскопических сил

2.3. Понижение порядка уравнений движения гироскопической системы

2.4. Понижение порядка дифференциальных уравнений движения механических систем с малым параметром при старших производных

2.5. Пример оценки значений параметра приемлемости

ГЛАВА 3. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА

3.1. Четаевская А - X оценка погрешности линеаризованных дифференциалных уравнений системы автоматического регулирования

3.2. Приемлемость приближенного решения нелинейной диссипативной системы при постоянно действующих возмущениях

ГЛАВА 4. АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРА ПРИЕМЛЕМОСТИ И ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ МОДЕЛЕЙ

4.1. Алгоритм нахождения значений параметра приемлемости

4.2. Эллипсоидальная оценка области отрицательных значений производной функции Ляпунова v

4.3. Использование экстремальных функций Ляпунова при вычислении значений параметра приемлемости

Актуальность темы исследования. В настоящее время наблюдается высокий уровень развития средств современной вычислительной техники и численных методов анализа, вместе с тем особенного внимания требует проблема построения и оценки адекватности приближенных математических моделей сложных систем. Особенно важны такие оценки погрешности приближенной модели, которые справедливы для целых классов зависимостей, а не только для конкретных функций или значений параметров. Для динамических систем важное значение имеют и размеры временной области, в которой сопоставляются результаты, полученные по приближенной и точной моделям.

Упрощенные модели часто являются единственным средством качественного анализа процессов, используемым на этапе предварительных расчетов при проектировании сложных систем. Понижение порядка дифференциальных уравнений модели способно существенно снизить затраты машинного времени, что особенно важно для моделей очень большой размерности.

Одним из методов получения оценок приближенных решений является метод, основанный на использовании функций Ляпунова. Изначально метод функций Ляпунова предназначался для исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений. Н.Г.Четаев первым (1957г.), предложил использовать этот метод для оценки погрешности приближенных решений дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие эта идея Н.Г.Четаева получила в работах В.Н.Скимеля. Ему принадлежит строгая математическая формулировка понятия приемлемости приближенных решений дифференциальных уравнений по существенным параметрам. Используя квадратичные функции Ляпунова, В.Н.Скимель получил критерии проверки приемлемости приближенных решений линейных динамических систем. Впервые понятие и термин «приемлемость» применительно к приближенным решениям дифференциальных уравнений динамики гироскопических систем использовал Д.Р.Меркин (1956г.).

Реализация оценок, получаемых методом функций Ляпунова, затрудняется необходимостью решения нелинейных неравенств и матричных уравнений высокого порядка. Эти трудности могут быть преодолены с помощью возможностей' современной вычислительной математики и компьютерной техники. При этом появляется возможность оптимизировать качество этих оценок и сделать их более доступными для специалистов прикладных областей.

Таким образом, актуальными являются создание строго обоснованных критериев возможности использования упрощенных дифференциальных моделей механических систем; дальнейшее развитие метода функций Ляпунова как средства оценки точности приближенных решений дифференциальных уравнений; создание доступных алгоритмов и программ для численной реализации оценок погрешности приближенных моделей на основе метода функций Ляпунова.

Связь диссертационной работы с планами НИР, НИОКР и проектами по грантам. Результаты исследований использовались при выполнении гранта РФФИ: 05-07-90313 «Создание информационной системы для мониторинга космической погоды на уровнях внутренней ионосферы», а так же в учебном процессе МарГТУ.

Цель работы и задачи исследования. Целью работы является получение аналитических и численных оценок погрешностей приближенных дифференциальных моделей механических систем, содержащих существенные параметры.

В соответствии с указанной целью в работе поставлены следующие основные задачи:

1. Анализ методов исследования упрощенных моделей как средства качественного анализа процесса функционирования системы.

2. Моделирование направлений развития метода функций Ляпунова в задачах приемлемости приближенных математических моделей

3. Разработка алгоритмов построения оценок приближенных решений систем дифференциальных уравнений

4. Реализация алгоритмов построения оценок приближенных решений систем дифференциальных уравнений в виде программ

Методы исследования. Работа выполнена с применением методов функций Ляпунова, аппарата матричной алгебры, теории дифференциальных уравнений, линейной алгебры и теории оптимизации, метода эллипсоидальных оценок областей изменения фазовых переменных динамических систем. При выполнении численных исследований использован пакет программ общематематического назначения Mathcad.

Научная новизна. К результатам работы, отличающимся научной новизной относятся: расширение понятия «приемлемость», отличающееся охватом неавтономных систем дифференциальных уравнений с существенным параметром при матричных коэффициентах и обеспечивающее построение унифицированного подхода к оценке близости точного и приближенного решений. доказательства «приемлемости» приближенных дифференциальных моделей некоторых механических систем, позволяющие построить оценки погрешности этих приближенных решений, отличающиеся использованием ограничений, накладываемых на неравенства, содержащие собственные значения матриц порождаемых квадратичной функцией Ляпунова метод улучшения оценок погрешностей, основанный на эллипсоидальной аппроксимации областей изменения фазовых переменных и использовании экстремальных квадратичных функций Ляпунова, необходимый для улучшения качества оценок погрешностей. алгоритмы построения численных оценок параметра «приемлемости», отличающиеся оперативной оценкой качества приближения при численной минимизации погрешности, реализованные в виде программы для ЭВМ.

Практическая значимость. Практическая значимость диссертационной работы заключается в создании методики оценки погрешности приближенных решений, получаемых в результате замены исходных дифференциальных уравнений вырожденными. Данная методика позволяет повысить качество оценок погрешностей приближенных решений дифференциальных уравнений получаемых на основе метода функций Ляпунова. В рамках диссертационного исследования разработаны компьютерные алгоритмы и программы для получения количественных данных о погрешностях приближенных решений

Реализация и внедрение результатов работы. Основные теоретические и практические результаты диссертационной работы реализованы в виде компьютерных программ, позволяющих получить оценки погрешности приближенной модели или выбрать значение существенного параметра, обеспечивающего заданную точность приближенной модели. Результаты диссертационной работы используются в учебном процесссе механико-машиностроительного факультета МарГТУ. Результаты исследований использовались при выполнении гранта РФФИ: 05-07-90313 «Создание информационной системы для мониторинга космической погоды на уровнях внутренней ионосферы». Имеется соответствующий акт о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на IV Международной научной конференции "Циклы природы и общества" (г.Ставрополь, СГУ, 15.10.98 г.), на научной конференции аспирантов КазГТУ (г.Казань, 9.02.99 г.), на научной конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов МарГТУ (г. Йошкар-Ола, 1998г.), на третьих Вавиловских чтениях (г.Йошкар-Ола, 1999г.), на 4-х

Ахметгалеевских чтениях (Казань, КазГТУ, 2000 г.), на научной конференции преподавателей и аспирантов Московского университета Дружбы народов (Москва, 25.05.1999 г.), на Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения (Саранск, СарГУ, 2000г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 научных работах, в том числе 4 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат следующие результаты: в [1] — доказательство выполнения достаточных условий приемлемости для нелинейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, построение оценки нормы решения вырожденной системы и ее производных по времени, в [3] - доказательство выполнения достаточных условий приемлемости для системы с малым параметром при старшей производной, исследование зависимости решения вырожденной системы от существенного параметра, в [8] — аналитическое исследование приемлемости системы второго порядка.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 72 наименования. Основная часть работы изложена на 121 странице, содержит 9 рисунков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе рассматриваются системы дифференциальных уравнений, описывающих широкий класс механических систем, коффициенты которых содержат существенные параметры. Для таких систем уравнений при некоторых значениях параметров может ставиться вопрос об их замене более простыми - вырожденными дифференциальными уравнениями. При этом решение вырожденной системы оказывается достаточно близким (приемлемым по выбранным параметрам) к решению исходной системы.

Основными результатами диссертационной работы являются новые методы исследования и оценки близости решений точных и вырожденных систем уравнений. Эти результаты заключаются в следующем:

1. Доказаны теоремы о приемлемости приближенных решений линейных неавтономным относительно параметров при матрицах инерции, дисси-пативных и гироскопических сил.

2. Доказаны теоремы о сохранении приемлемости для линейных неавтономных систем при линейных невырожденных преобразованиях переменных и при наличии малых нелинейных постоянно действующих возмущений.

3. Доказана теорема о приемлемости решений вырожденных уравнений для системы, содержащей нелинейность в коэффициентах при первой производной.

4. Получена оценка погрешности при линеаризации дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования с непрямым регулированием.

5. Разработан новый метод эллипсоидальной оценки области изменения отклонений решения вырожденной системы от точного решения.

6. Предложена процедура оптимизации оценки параметра приемлемости за счет выбора в классе квадратичных форм экстремальной функции Ляпунова.

7. Разработаны алгоритмы вычисления оценок погрешностей приближенных решений рассмотренных в работе типов дифференциальных уравнений.

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.:Изд-во АН СССР, 1963. - 140 с.

2. Анапольский Л.Ю.Четаевские оценки приближенных решений регулируемых систем//Автоматикаи телемеханика, 1970,С.5-12.

3. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова//Итоги науки и техники, сер. Общая механика. — М.:ВИНИТИ, 1975. Т.2. - С.53-112.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э., Теория колебаний.-М.:Физматгиз, 1959.-915 с.

5. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости.- М.: Наука, 1967. -223 с.

6. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. -240 с.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.:Наука,1969. —368 с.

8. Булгаков Б.В. Колебания.- М.: Гостехиздат, 1954, 568 с

9. Вахонина Г.С., Земляков А.С., Матросов В.М. О способах построения квадратичной вектор-функции Ляпунова для нелинейных систем//АиТ, 1973. №2. - С.5-17.

10. Ю.Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.- М., Наука, 1984.318 с.

11. Н.Воронов А.А.Устойчивость, управляемость, наблюдаемость.- М.: Наука, 1979.-335 с.

12. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: Изд-во БГУ, 1975.-280 с.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.- 552 с.

14. Горбунов А.Д. Об одном методе получения оценок решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений//Вестн.Моск. ун-та, сер. физ.-мат. и естест.н.,1950. №10. - С.19-26.

15. Горбунов А.Д. Об оценках координат решений систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений//Вестн.Моск. ун-та, сер. физ.-мат. и естест.н.,1954. №5. - С.27-31.

16. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.-М.:Наука, 1967.-472 с.

17. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.:Наука, 1970.-644 с.

18. Журавлева И.В., Скимель В.Н. К некоторым задачам приемлемости приближенных решений дифференциальных уравнений.-Вестник,1998,№3.

19. Журавлева И.В., Скимель В.Н. Приближенные решения линейной системы с малым параметром при старшей производной.//Вестник КГТУ им.А.Н.Туполева.2000.№ I.e. 16-20.

20. Земляков А.С. Способ построения квадратичной вектор-функции Ляпунова для линейных систем//Тр. КАИ, 1975. Вып. 180. — С. 14-21.

21. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.:Высшая школа, 1973. -272 с.

22. Карачаров К.А., Пилютик А.Г. Введение в техническую теорию устойчивости движения. М.:Физматгиз, 1962. - 244 с.

23. Каханнер Д.,Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение.- М.: Мир, 1998.- 575с.

24. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. -М.:Физматгиз, 1959.-212 с.

25. Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. М.:Наука, 1973.-208 с.

26. Кузьмин П.А. Устойчивость при параметрических возмущениях//ПММ, 1957. -Т.21.Вып.1. С.129-132.

27. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа.-М.:Физматгиз, 1961.-524 с.

28. Ла-Салль Ж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. - 168 с.

29. Летов А.М Устойчивость нелинейных регулируемых систем. -М.:Физматгиз, 1962. 483 с.

30. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.: Мир, 1967. - 184 с.31 .Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. -М.-Л.:ГИТТЛ, 1951. -216 с.

31. Лурье А.И. Аналитическая механика. -М.:Физматгиз, 1961.-е.

32. Лурье А.И., Постников В.Н., К теории устойчивости регулируемых сис-тем//ПММ, 1944. Т.8. Вып.З. - С.246-248.

33. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.:Гостехиз-дат, 1950. 386 с.

34. Малкин И.Г. Об устойчивости при постояно действующих возмущени-ях/ЯТММ, 1944. Т.8. Вып.З. - С.241-245.

35. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.:Гостехиздат, 1952. - 432 с. 2-е изд. - М.:Наука,1966.

36. Матросов В.М.К теории устойчивости движения//ПММ, 1962. Т.26. Вып.6. - С.992-1002.

37. Матросов В.М. Развитие метода функций Ляпунова в теории устойчиво-сти//Тр.2-го съезда по теоретич. и прикл. механике. Обзорные доклады. Вып. 1. М.:Наука, 1965, С.112-125.

38. Матросов В.М., Маликов А.И. Развитие идей А.М.Ляпунова за 100 лет: 1892-1992. Известия ВУЗов. Математика, 1993. №4. С.3-47.

39. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.:Наука, 1971.-312 е.; 3-е изд. М.:Наука, 1987. -304 с.

40. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.:Наука, 1974. -344 с.

41. Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. М.: Наука, 1971.-632 с.43.0зиранер А.С., Румянцев В.В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.:Наука, 1987. -256 с.

42. Пустовойтов Н.А. Исследование матричных уравнений второго метода Ляпунова//Динамические системы и вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений. Киев: ИМ АН УССР, 1973. - С.95-103.

43. Рудаков В.П. Оценка решений и устойчивость на конечном интервале псевдолинейных систем. //Дифференциальные уравнения, 1969. — Т.5.№8. -С.1385-1389.

44. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части пере-менных//Вестн. МГУ. Мат. и мех., 1957. - №4. - С.9-16.

45. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения/Механика в СССР за 50лет. М.:Наука, 1968 - С.7-66.

46. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.:Мир, 1980. - 300 с.

47. Савченко А.Я., Игнатьев А.О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных динамических систем. Киев:Наук. Думка, 1989. - 208 с.

48. Сарыбеков Р.А. Об экстремальной квадратичной функции Ляпунова систем уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами,- Сиб. мат. журн., 1977, №5, с. 1159-1167.

49. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. Казань:Изд-во казанского авиационного института, 1971. - с.

50. Скимель В.Н. О свойстве жесткости движений и приемлемости приближенных решений//Проблемы аналитической механики, теорий устойчивости и управления. -М.:Наука, 1975. С. 284-289.

51. Скимель В.Н. О свойстве жесткости движения //ПММ. 1978. Т.42, вып.З. С. 407-414.

52. Скимель В.Н. Применение метода функций Ляпунова к некоторым задачам приемлемости приближенныхрешений дифференциальных уравнений //ПММ. 1992. Т.56, вып.6. С. 918-925.

53. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра.-Матем.сборник, 1948, Т.22. С.193-204.

54. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений , содержащие малые параметры при производных.-Матем.сборник, 1952,Т.31(73),№3.

55. Чезари JL Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Мир, 1964. - 477 с.

56. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.гНаука, 1988. - 300 с.

57. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределенной матрицей//ПММ, 1996. — Т.60, вып.6. С.940-950.бО.Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. - с.

58. Четаев Н.Г. О выборе параметра устойчивой механической систе-мы/ТПММ, 1951. Т.15, №3. С.371-372

59. Четаев Н.Г. К вопросу об оценках приближенных интегрирований//ПММ, 1957. -Т.21, №3. С.419-421.бЗ.Четаев Н.Г. Устойчивость движения.Работы по аналитической механике. — М.: Изд-во АН СССР, 1962. 534 с.

60. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости//Методы исле-дования нелинейных систем автоматического управления/Под ред. Р.А. Нелепина. М.: Наука, 1975. С.74-175.

61. Постановка задач приемлемости упрощенных математических моделей. Методы исследования. Приложение к механическим, регулируемым и электромеханическим системам. Отчет о госбюджетной НИР / КГТУ, рук-ль темы Скимель В.Н., № ГР 01940004180, Казань, 1995.

62. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. М.: Наука, 1987. 312 с. под ред. А.А.Воронова, В.М. Матросова.

63. Bailey F.N.The application of Lyapunov's second method to interconnected systems//Journ. Soc. Industr. and Appl. Math.Ser.A,Control, 1965. V.3, N3. -P.443-462.

64. Bailey F.N. Vector Lyapunov functions for a class of interconnected sys-tems//Proc.electron.conf., 1965. V.21. -P.593-598.

65. Grujic L.T. On practical stability//Int. J. Control, 1973. V.17,N4. - P.881-887.

66. Hahn W. Theorie und Anwendung der direction Methode von Ljapunov. Ber-lin-Gottingen-Heidelberg: Springer-Verlag, 1959.

67. Muller W.Fehlerabschatzung fur Nahezungslasungen nichtlinearere Differen-tialg leichungen mit Hilfe der directen Mehtade von Ljapunov/ZDeutsche Akademie der Wissenschaften fur Angewandte Math. Und Mechanik, №1, 1965.

68. Yoshizawa T. Stability theory by Lyapunov's second method//Tokyo:Math. Sol. Japan, 1966.-223 p.