автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.02, диссертация на тему:Моделирование и анализ режимов сложных электротехнических систем на спектральных моделях

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭНЕРГЕТИКЕ

в ОД

На правах рукописи

О KT ®

СТЕПАНОВ Анатолий Владимирович

МОДЕЛИРОВАНИЕ-И АНАЛИЗ РЕЕИМОВ СЛОЗНИХ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА СПЕКТРАЛЬНЫХ МОДЕЛЯХ

(спец. 03.13.02 - Математическое моделирование в научных исследованиях)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

КИЕВ - 1995 г.

Диссертацией является рукопись

Работа выполнена в Институте проблем моделирования в

энергетике HAH Украины

час.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук В.Н. йвраиенко доктор технических наук В.Л. Баранов член.-корр. HAH Украины, доктор Физико-математических наук, профессор й.А. Картинок

Ведущая организация

Институт проблем энергосбереаения HAH Украины

Завита состоится на заседании специализированного Совета Д 01.91.01 при Институте проблем моделирования в энергетике НйН Украины (252660. ГСП, Киев-164. ул. Генерала Наумова,.15)

С диссертацией moiho ознакомится в', библиотеке Института,

Рефер г разослан . ^МЛР^ЬЛ... 1995 г.

Ученый секретарь специализированного ¿/^^-З.П.Семагина совета Д 01.91,01 ■ канд. техн. наук

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Современные сло!ные технические системы (к которым могут быть отнесены крупномасштабные электроэнергетические системы, электрические и электронные цепи электро-.радиотехнических и вычислительных систеи) состоят из множества элементов различной физической гтрироды, число которых достигает десятков тысяч. Такие системы представляют собой сложные многомерные нелинейные объекты, описываемые, в. частности, математическими моделями в виде систем нелинейных . алгебро-дифференциальннх уравнений большой размерности. Многомерность, многосвязность, а такяе нелинейность является характерной особенность*) этих систем. Ь таких системах необходимо исследовать слоаные динамические процесс^ от различных возмущающих и управляющих воздействий, локализующиеся ( при устойчивом их Функционировании ) в окрестности некоторого устойчивого положения равновесия! называемого рабочей точкой. Б такого класса системах предполагается возмояность существования мновества поломений равновесия, как устойчивых, так и настойчивых. Сложность задачи анализа этих систеи делает актуальной разработку специальных эффективных методов ее ревения, ориентированных на использование современных средств компьютерного моделирования, языков высокого уровня для вычислений на матричных и конвейерных процессорах, транспьютерных ЭВМ. локальных сетях ПЭВМ.

Учитывая приведенные зыие аргументы, мовно сделать вывод об актуальности развития и исследования методов математического моделирования нногонерных нелинейных динамических систем с . мнояеством половений равновесия при различных возмущающих и управляющих воздействиях, применения этих методов к исследованию слояных электротехнических систем. Решении этой словной проблемы посвящены исследования многих ученых, как в странах блимнего (СНГ), так и дальнего зарубеаья, .которыми получен целый ряд валных Фундаментальных результатов. Это в первую очередь такие исследователи, как Андронов A.A., Бондаренко В.М., Бондарь Н.Г., Белнан Р., Валеев К.Г., Вайкан М.Я., Воронов A.A.. Воронов P.A., Данилов /1.В., Демирчян К.,., Идельчик В.И., Мартыннж A.A., Матросов В.М., Нагорный Л.Я.. Осипов В.М., Петренко А.И.. Пухов Г.Е., Сигорский В.П.. Синицкий Л.А.. Чуа Л.О., Grujic LI.Т.. Ribbens-Pavella Н..

Shlliac D.D. и др. ~

Вместе с тем, несмотря на полученные этики исследователями результаты, в проблеме анализа многомерных нелинейных динамических систем с множеством положений равновесий в настоялее время имеется ряд задач, реиение которых требует дальнейвего развития и расширения возмоиностей методов математического моделирования этого класса систем.

Цельи диссертационной работы является создаиие и развитие современных методов математического и компьютерного моделирования сложных электротехнических систем при различных возку-цаюцих воздействиях и исследования их устойчивости.

Поставленная цель достигается посредством разработки способов представления и аппроксимации сложных процессов. Формализованных методов декомпозиции системы, применением спектральных моделей на основе дифференциальных и дифференциально-комплексных преобразований, методов скалярных и векторных функций Ляпунова.

Основные задачи исследований:

- разработка эффективных методов математического описания движений в сложных многомерных электротехнических системах, методов преобразования и декомпозиции математических моделей сложных технических систем, в частности многомавинных электроэнергетических систем, позволявших построить формализованные алгоритмы разбиен..я системы на подсистемы;

- разработка и усовериенстяование методов определения , множества Положений равновесия в сложных многомерных электротехнических системах, позволявших реви'ть задачи с требуемой точностью на универсальных ПЭВМ за практически приемлемое время;

- разработка эффективных методов математического моделирования процессов в декомпозированных системах, построение эффективных an; ¿оксимационньх численных и численно-аналитических схем анализа динамических процессов при различных возмущениях на основе спектральных моделей систем;

' - усовервенстеование с целью повывения их эффективности методов моделирования и анализа устойчивости возмущенных движений для 'послеаварийных режимов нрупномаситабных электроэнергетических систем, методик уточненной оценки областей устойчивости для таких систем на основе скалярных и векторных функций

Ляпунова.

Реиение приведенных выие задач позволяет создать теоретическую базу для построения аффективных универсальных алгоритме и программ моделирования слонних электротехнических систем, ориентированных на использование современных средств вычислительной техники, позволяюцих в частности, повысить точность и уменыаить вычислительные затраты при исследосании динамической устойчивости многонаиинных электроэнергетических систем.

' Метод» исследования. Методология выполненных в диссертационной работе исследований основана на использовании теоретических полоаений математических методов моделирования слоаных систен, а именно: теории ОДУ. аппроксимации Функций, интервального' анализа, эллиптических Функций и функций комплексного переменного, а такае методах теории дифференциальных преобразований, теоретической электротехники и теории электроэнергетических систем.-

Научная новизна работы замечается в следующем:

1. Разработаны методики преобразований математических моделей систем на основе оптимальной аппроксимации нелинейных характеристик. Предловен Формализованный способ декомпозиции слоаных электротехнических систем, использумий свойства полиномиальной дппроксимации нелинейностей.

2. Предлояены усовервенствованные методы определения мно-аества реэениА для алгебраических моделей сложных нелинейных систем, основанные на преобразованиях математических моделей, методах декомпозиции, нтерационнах методах интервального анализа.

. 3. Разработаны специализированные методы анализа, ориентированные на представления процессов в слоаных системах в . комплексной области и построена спектральныо формы дифферен-циально-комплексннх преобразований для их компьвтерного моделирования.

4. Для систем со специфическими формами процессов (колебательными. слоаных нелинейных форы) разработаны методики математического моделирования, адаптированные к их особенностям: с использованием эллиптических функций Якоби, аппроксимацион-ные варианты методов математического моделирования на спектральных моделях, которые обеспечивают значительно лучяув точность и быстродействие по сравнению с известными методами вычислительной математики.

- 5. На основе разработанных алгоритмов определения мно-■ества положений равновесия и алгоритмов декомпозиции предложены методики уточненой оценки областей устойчивости для многомашинных энергосистем с помоць» функций Ляпунова,

Практическая ценность работы. С использованием предлагаемых методов и алгоритмов разработан комплекс программ для ПЗВМ моделирования возыужеиных движений и анализа устойчивости многомашинных электроэнергетических систем. Полученные результаты позволяет:

1. Повысить эффективность методов математического моделирования, создать аппроксимационные варианты ДТ-схем численного моделирования процессов на спектральных моделях, обладавших повыиэнной точностью и позволявших моделировать процессы с больким вагом расчета,

2. Расширить возмомности методов определения множества положений равновесия применительно к многомавинным электроэнергетическим системам в плане увеличения размерности системы за счет учета особенностей структуры модели, использования йнг тервальных методов, упрочения методики определения множества положений равновесия применением формализованного алгоритма декомпозиции.

3. Получить уточненные оценки областей устойчивости для сложных многомаиинных электроэнергетических систем на основе . методов скалярной и векторных функций Ляпунова.

4. Увеличить быстродействие, надежность и достоверность получаемых результатов анализа устойчивости крупномасштабных . электроэнергетических систем при воздействии различных возмущений.

Реализация результатов работы. Диссертационная работа выполнена в соответствии с планами научно-исследовательских работ в ИПМЭ HAH Украины и программой фундаментальных исследований ГКНТ Украины «раздел "Информатика", вифр темы "Дельта").

Результаты теоретических и экспериментальных исследований по разработке методик моделирования и анализа сложных систем используются на предприятиях электротехнической промышленности (белорусский теплоэнергетический научно-исследовательский институт, г. Минск, предприятия г. Запорожья).

Апробация работы. Основные положения диссертации аппроби-ровались на конференциях и семинарах: Международном симпозиуме по вопросам рационального управления энергетикой и широкое

аспрвстранение опыта в этой области в центральной и восточной вропе (г. Киев,1994 г.). Международной научной конференции Эффективность и качество электроснабжения проявленных предп-пятий" (г. Мариуполь.1994г.), Всесоюзных конференциях "Проб-змы нелинейной электротехники" (г. Киев. 1981.1984,1992 г.. , Черкассы, 1968 г.). Всесоюзной конференции по теоретической нектротехнике (г. Тавкент, 1987 г.), всесоизной-научно-техни-5Ской конференции "Математическое моделирование в энергетике" Киев. 1990 г.). Всесоюзной научно-технической конференции 1роблемы моделирования динамических систем" (г. Кишинев, !89 г.). Республиканских вколах - семинарах "Теоретическая ¡ектротехника,'электроника и моделирование" (г. Львов, 1981, 183,1987,1989,1993 г.). Республиканских вколах - семинарах [ифференцкальныв преобразования и их приложения" (г. 1итомир, 185,1987 г., г. Киев ,1989.1991,1993 г.), Республиканской |учно-технической конференции "Проблемы автоматизированного делирования в электронике" (г. Киев 1993 г.), научных конфе-нциях Института проблем моделирования в энергетике НЙН Зкра-ы.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 34 работы, работах [3,4.24,28,30] автору принадлевнт создание методики делирования. разработка алгоритмов и программ, решение тес-вых задач, в работах [1,2] -постановка задачи, разработка и ладка прикладных программ, в (23] разработка аппрокс'имационт го варианта Л-схемы численного интегрирования.

Положения, выносимые на завиту.

1. Методики упрощения математических моделей сложных ектротехнических систем на основе оптимальной для данного да моделирования аппроксимации нелинейных зависимостей.

2. Итерацирнные алгоритма интервального анализа для поис-мновества половений равновесия в словных электротехнических лемах.

3. Методика декомпозиции крупномасятабных технических ;тем и формализованный алгоритм разделения на подсистедн.

4. Методика представления сложных процессов на коиплекс-

! плоскости на основе дифференциально-комплексных преобразо-1Ий; различные формы прямого и обратного дифференцналь-■комплексного преобразований, способы перехода от действи-|ьных Функций (оригиналов) к комплексным функциям (изображено и наоборот.

5. Методы математического моделирования динамических процессов в сложных электротехнических системах на основе дифференциально-комплексных преобразований.

6. ДТ-схемы численного интегрирования ОДУ. построенные с использованием условий гладкости и аппроксимационные варианты ДТ-пхем численного моделирования систем с полиномиальными не-линейностями.

7. Методика анализа на спектральных моделях нелинейных колебательных систем с использованием эллиптических функций Зкоби. Ортогональные преобразования эллиптических функций Яко-би.

8. Методики уточненой оценки областей устойчивости с использованием скалярной функции Ляпунова энергетического типа и метода векторных функций Ляпунова для крупномасштабных много-мавинних электроэнергетических систем.

Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждена численными, экспериментами, проведенными при выполнении плановых НИР ИПНЕ HAH Украины, сравнительным анализом с результатами, полученными в работах других исследователей, а также необходимыми математическими доказательствами.

Совокупность полученных в диссертации результатов мовно квалифицировать как новое достижение в развитии перспективного научного направления по разработке методов моделирования и анализа реяимов сложных электротехнических систем на спектральных моделях.

Разработанные методы, алгоритмы и программы способствует значительному совериенствованив методов анализа словных электро технических систем, повывапт надевность функционирования и живучесть в зкеплутационных и аварийных ревимах.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, вести глав,заключения и приловения. Общий объем основного текста 291 страниц», рис. ? и табл. 22. Список литературы включает 264 наименований.

СОДЕРШИЕ РАБОТЫ f Во введении обосновано направление исследований, показана актуальность, поставлена цель и сформулированы основные задачи диссертационной работы, изложено краткое содержание диссертации и выделены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматривается постановка задачи модели-

- э -

рования и анализа реаимов слоанчх электротехнических систем,.в частности многомашинных электроэнергетических систем, при различных воэмуцаюцих воздействиях. Проведен анализ наиболее ви-роко используемых математических моделей электротехнических систем и методов их моделирования.

Математические модели для вирокого класса электротехнических систем строятся на основе уравнений Киргофа и уравнений, описывающих характеристики элементов цепи. Однако зтст подход, основанный на уравнениях Киргофа. практически не применяется в чистом виде и используются методы, позволявшие сводить расчеты к системам, имевции значительно меньвий порядок. Наиболее вирокое прнменейие получил метод узловых напряжений, в котором за основные величины принимаются напрязеиия узлов цепи по от-.новенип к некоторому базисному. Ьектор определяющих величин для учета различных элементов расвиряется, что позволяет моделировать электротехнические системы широкого класса.

Математическая модель при этом в об^ев случае мояет быть записана в виде

A(x)^.i-Bx+Cy(0C)=f(t), (П

где X . - вектор переменных,

~ вектор Нелинейных функций,

А(Х),В,0 ~матрйЦЫ'.

f(t) ' вект°Р Функция.

При расчьге установившихся реяимов напряжения и проводимости часто описываптся комплексами вида

1ке *kt

где Yfá ~ проводимость для участка меаду узлами к и t для i -того узла имеем . =y¡ + +Y¡z * • Y¡~ про~ зодимость в / -ом узле. Различные элементы цепи представляются эквивалентными схемами замещениями. Тогда уравнения установившегося реанма могут быть записаны в виде

YÜ=Í.

При расчетах установившихся реяимов электроэнергетических систем уравнения составляются из условий баланса мощности в цзлах цепи. Комплекс мощности, рассеиваемой в сети определяется

умножением вектора токов на сопряженный вектор узловых напряжений. Приравнивая рассеиваемую мощность генерируемой в узлах цепи, имеем \

' (пи = Р=Р-Л]. (2)

Это соотновение позволяет для расчета установиввихся режимов получать систему уравнений при задании различных условий в узлах сети.

При анализе электроэнергетических систем аироко исполь-зувтся упрощенные математические модели, описывающие электромеханические процессы, протекающие в системе. Одной из таких моделей явлется так называемая позиционная модель. Исследуется позиционная модель в следующем виде:

где Т|= ; £}.= ; _ инерционная постоянная,

ц^ - синхронная скорость, р* - номинальная мощность); . ру . - активная мощность, подводимая к г -му узлу; р - мощность, рассеиваемая в ветвях, подходящих, к I -му узлу;

"V) - угол между осью ротора ?»ой машины и синхронной осью.

Мощность в системе (3) определяется из следующих зависимостей:

п

Рг9ц+I 9ц(4) е*}

' 2

9ц = Е1Уц, 9{С = Е/ Ег у,-е |

¿пУн, ¿иУ/г.

Позиционная модель (3) подвергается справедливой критике за присущие ей недостатки, в частности., модель на учитывает зависимость моментов на валу ротора от скорости. В связи с этим использование модели (3) корректно при незначительных относительных отклонениях скоростей вращения роторов машин от синхронной.

В работе для анализа динамической устойчивости многома-

- и -

винных систйм примененяетса так называемая классическая мо- . дель. учитывавшая демпфирующие свойства мамин. В классической модели демпфирувщие свойства ¿-ой мавинк учитывается коаффи-циентом демпфирования /}/ , тогда двивения системы описывается уравнениями

Т. -б^+Т). - Д- П. | = (5)

' СИ2 'СИ * I' ' ' '

л/

где Р; - определяется выражением (4).

Получены уравнения возмущенных движений для послеаварий-ных режимов многомавинных электроэнергетических.систем, для случаев: параллельной работы мавин на вину бесконечной мощности, движений относительно ротора некоторого вталонного генера-. тора и движений относительно центра инерции. Обозначим вектор углов, сортветсвуввих устойчивому положение равновесия, через У тогда производя в (5) замену переменных +ОС> получим систему, уравнений возмущенного движения

Т^щ<в>

где • Предполагается, что узел, связанный с виной

бесконечной мощности, имеет номер 0.

йнализ устойчивости движений относительно ротора эталонного генератора или центра инерции, как правило проводится в предполовении равномерного демпфирования. Выбор той или иной модели.определяется особенностями конкретной задачи, стоящей перед исследователем при анализе режимов работы многомавинных электроэнергетических систем.

Обычно устойчивость энергосистемы принято исследовать методами численного моделирования с использованием математической модели в виде системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассматривается подходы к построения эффективных численных процедур моделирования возмущенных двивений на основе операционного метода дифференциальных преобразований. Иетод дифференциальных преобразований позволяет легко алгебраизиро-вать математические модели различных классов динамических систем переходя от исходной модели к спектральной в области дифференциальных изображений.

Отмечается, что повывение эффективности численных проце-

дур связано с разработкой различных способов описания движений позволявших по дифференциальный спектрам эффективно восстанавливать процессы различного характера.

Для данного возмущения вычисление кривых качания должно проводится на достаточно продолжительной отрезке времени, прежде чей сделать вывод о тенденции системы к синхронизации. Поэтому в последнее время для анализа устойчивости, в частности при исследованиях живучести системы в реальном масжтабе времени, интенсивно развиваются подходы, основанные на пряном методе Ляпунова.

Применение прямого метода Ляпунова при исследованиях устойчивости многомавинных энергосистем позволяет не строить непосредственно траектории возмущенных движений, а использовать критерии устойчивости, основанные на функциях Ляпунова.

В настоящее время наиболее интенсивно развиваются два подхода к анализу устойчивости электроэнергетических систем, основанные на скалярной и векторных функциях Ляпунова.

Наиболее существенные результаты по оценке областей устойчивости были получены' с использованием функции Ляпунова энергетического типа. Однако для надежной оценки областей устойчивости требуется определение множества положений равновесия системы. Задача определения множества положений равновесия в многомавинных электроэнергетических системах является очень сложной и надежных методов ее режения для систем больвой размерности в настоящее время не существует. На практике эта задача может быть несколько упрощена за счет предположения, что система функционирует а устойчивом положении равновесия. При это* исследуется вопрос г существовании неустойчивых положений равновесия (седел) в окрестности устойчивого. Поиск положений равновесия в этом случае локализуется в некоторой ограниченной области многомерного пространства. Для надежного определения множеств положений равновесия требуется детальное исследование соответствующей системы нелинейных уравнений в заданной области многомерного пространства.

Несмотря на несомненные успехи в области использования энергетических .функций при анализе устойчивости, вопросы повы-«ения надежности и точности оценок областей устойчивости все еще являются актуальными. В частности, важным является вопрос нахождения множества реиений алгебраических систем уравнений для более достоверного определения критической (управляющей)

- 13 -

точки неустойчивого равновесия.

Более скромные результаты при анализе устойчивости многомашинных электроэнергетических систеи получесы на основе нового подхода, использующего метод декомпозиции и вектор-функции Ляпунова. Этот подход привлекателен тем, что используется декомпозиция системы и тем самым расширяются возможности при анализе крупномасштабных систем.

Несмотря на определенный прогресс в этой области, результаты, получаемые по этой методике, достаточно скромные и существенно уступают результатам, полученным по методикам основанным на скалярной функции Ляпунова. Оценки областей устойчивости на основе*метода вектор-Функций Ляпунова существенно занижены. что является недостатком при их практическом применении. Поэтому важным направлением в развитии этого метода является расширение его возможностей в плане уточнения оценок областей устойчивости (приближение их к более реалистичнын) и создание эффективных формализованных процедур, ориентированных на современные средства вычислительной техники.

Вторая глава посвящена описанию методик упрощения математических моделей на основе оптимальной аппроксимации нелинейных зависимостей, алгоритмам определения множества положений равновесия и декомпозиции сложных электротехнических систеи.

Разработаны методики аппроксимации нелинейных характеристик полиномами наилучаего приближения. При этом для нахождения полиномов наилучиего прибливения используются итерационные алгоритм!., разработанные Е.Я. Ремезов. Разработаны способы аппроксимации нелинейных характеристик полиномами наилучиего приближения с 'заданием различных условий в точке устойчивого положения равновесия.

Разработана методика оптимальной аппроксимации нелинейных характеристик, представленных аналитически, кусочно-линейными функциями (сплайнами первой степени) с заданной абсолютной или относительной погревностью. Рассмотрены случаи аппроксимации нелинейных характеристик кусочно-линейными Функциями с заданием интерполяционного условия в точке устойчивого полоаения равновесия. Построены алгоритмы аппроксимации кусочно-линейными функциями табличных функций с заданной погревностью.

Рассмотрена задача определения множества положений равновесия в слояных нелинейных обьектах сводится к нахоадешш ре-

шений системы нелинейных алгебраических уравнений, которая может быть записана в виде

f(X)=у(Х)-8 = 0, (7)

где X={iC<j#g,...,i£n} - вектор переменных.

6s{ôi,De,—> вп} ~ Ректор постоянных.

Определение множества решений системы (7) с использованием кусочно-линейных алгоритмов основано на разбиении многомерного пространства на подобласти и решении в подобластях систем линейных уравнений. Возможности этого подхода можно существенно расширить если учесть, что для широкого класса задач система нелинейных уравнений вида (7) является сильно разреженной, Алгоритм определения множества решений системы вида (7) заключается в следующем. На первом этапе с учетом разреженности системы (7) проводится анализ сдстимы в подобластях на возможность существовыания решения в данной подобласти. После такого анализа общее число подобластей возможного существования решения в многомерном пространстве может существенно уменьшится.

На втором этапе производится поиск ремений в выделенных подобластях: при кусочно-линейной аппроксимации в каждой подобласти рожается линейная система алгебраических уравнений,,в общем случае могут быть использованы итерационные методы интервального анализа.

При решении разреженных систом повышение эффективности достигается использованием методов работы с разреженными матрицами. Для этого в диссертационной работе предлагается итерации по методу Кравчика строить с использованием выражения

К(XJ)- ™ (XJ)~y + 2 , С8)

при этом у и интервальный вектор Н вычисляются путем решения систем линейных уравнений

(9) .

J(m(XjjZ=[J(m(xJ)H(XJ)](XJ-m(XJ)). чо>

. При ревэнии приведенных выве уравнений (9),(10) матрица ^т(ХЬ) быть разлоиена на треугольные мнонители с при-

менением техники работы с раэревенными матрицами. Интервальный вектор 2 вычисляется по правилам интервальной арифметики. После вычисления интервального вектора К(Х*) по выражения (8) следувщее прнблинение к реяению определяется по формуле

(и:

Зта процедура применяется во всех подсекциях, в которых возможно существование реоения,

Для повывения эффективности методов анализа крупномасв-табных систем предлагается способ декомпозиции на основе .аппроксимации нелинейных зависимостей полиномами в окрестности устойчивого положения равновесия. Этот подход позволяет построить формализованную процедуру декомпозиции, применимую к системен различной структуры. Аппроксимируя нелинейности (¡¡(Х;)

М^^Ы'ГО * ^Г)} полиномами степени не выве т ,

имеем

т

г- э

д^о-Т. , <12)

3-1

■ т '

М^). ИЗ)

Группируя в правой части системы члены, содержащие только переменную ОС/ , запивем

&

т _ п 5

где Кэ+г ,.

т

Взаимосвязь подсистем в системе (14) определяется по-

- 1В -

линимамиАуф,®:). Если пренебречь этими членами, система декомпозируется на П изолированных подсистем, вида

У*/

"и функции связей А^(Х^ОС,-).

Предложенный способ декомпозиции может быть использован при определении положений равновесия. В качестве положений равновесия исходной системы принимаются положения равновесия системы, полученной в результате декомпозиции. Эти значения могут служить в качестве начального приближения к ревению, а затем уточняться каким либо итерационным методом.

В третьей главе приведены теоретические основы представления процессов в комплексной области.

Динамические процессы в комплексной области предлагается представлять в виде некоторой кривой, заданной ее параметрическим уравнением, действительная и комплексная чёсти Которого будут соответственно равны некоторой функции и ее производной.

Таким образом, действительная функция , может быть

преобразована в комплексную кривую, заданную параметрически, при поножи некоторого дифференциально-комплексного.оператора, например

где j~]pf . тогда

Обозначим . :

V , г!гг (16)

Функция Х(€) определяет параметрически заданную кривую на комплексной плоскости. Если соответствующая функция непрерывно дифференцируема, то кривая называется гладкой.

Зта кривая может Сыть отображена посредством аналитической функции, например, ЬпН , определенной для любого 2 (кроме 2=0 и 2= оо ) в некоторую другую кривую.

При построении конформных отображений комплексных кривых начиная с некоторой начальной точки обеспечивается непрерыв-

ность отображенной кривой при переходе на другой лист риыаног-вой поверхности. Зто обеспечивается разложением соответствующей функции в окрестности некоторой начальной точки в степенной ряд и использовании метода припасовывания.

Отображая кривуи Х,(Ь) аналитической функцией в

некоторую другую кривую £)(Ь) . получим

уа^то^^^1^^ ад" (17)

где

Эти преобразования, приведенные в предыдущих разделах, позволяют перейти от действительных Функций (оригиналов) аргумента Ь к комплексной функции действительного аргумента £ определяющей некоторую кривую на комплексной плоскости. Зта коивая затем может отображаться аналитической функцией комплексного аргумента в некоторую другую кривую. Зто преобразование (переход от действительных функций к некоторым кривым на комплексной плоскости - изображениям) можно назвать прямим дифференциально-комплексным преобразованием, поскольку переход , к кривым осуществляется на основе дифференциально-комплексного оператора..

Выражения (16),(17) в дальнейшем будем называть прямым преобразованием, которое от исходных переменных действительных Функций ОС(Ь) (оригиналов) позволяет перейти к некоторым комплексным функциям действительного аргумента ^ (изображения«). После определения в области изображений функции у(1) , обратное преобразование, переход от комплексных функций действительного аргумента t к исходным действительным функциям (оригиналам), осуществляется путем отображения с помощью обратной функции и выделения действительной части.

Функция ЗС(Ь) может быть нормирована. Рассмотрим функцию ад/ад . Модуль этой функции в окрестности точки ё -О близок к единице. Функция у(Ь) будет равна

=Еп1х(1)1-еп1Х(0)1^{а2д х(1уагдх(о)].

V

Действительная и мнимая части Функции у(£) в этом случае при равны нулю. Обратное преобразование - переход от функ-

у

ции у({) к функции Х(±) - производится по формуле

М)

хр)=х(о)е

чГ

Функция в этом случае восстанавливается по формуле

Х(1)={Х(0)С05 (у^-АтюиМ}^*® (20) где У1(0=1т{у(ф-

На основе выражения (19) можно восстанавливать производную функции

Х\0=[Х(о)В1п(^1(Ь))+Х'(О)сОВ(у1(1)))б сгп

Обратный переход можно осуществлять также через произв о дну в функции Х(Ь) , используя выражение (21). Применение дифференциально-комплексных преобразований упрощается заменой операций над функциями операциями над их спектрами, путем использования операционного метода дифференциальных преобразований. Это позволяет практически с лвбой требуемой точностью осуществлять отобравения действительных функций в комплексные и наоборот. Задаваясь дифференциальным спектром функции Х(1) , полученным из спектральной^модели. можно вычислить спектры функций СС(Ь) . а затем к у (Ь) ,

Пусть задан дифференциальный спектр функции Х(1) ,, обозначим его/до . 0,1,2,

Дифференциальный спектр комплексной Функции QC.it) > называемый в дальнейшем дифференциально-комплексным спектром, может быть получен по следующему выражению

Х(к.гХ^тт'ЛМ). (22)

Дифференциальный спектр функции представляет со-

бой ряд комплексных чисел. Дифференциально-комплексный спектр Функции вычисляется по следующему выражению

Ум=—V—

В этой случав

Формулы (22),(23) позволяют установить связь меиду тейлоровскими спектрами функций Х(Ь) и у(Ь)', Вычисляя из спектральной модели дифференциальный спектр функции ОЧ(Ь) , по выражению (22) получаец спектр функции ЭС(£) • Затеи используя (23). мовно найти дифференциально-комплексный спектр Финкции У(Ь) • Обратный переход от функции к оригиналу СС(Ь) производится по выравенив (21), где

Поскольку восстановить оригинал с требуемой точностью на боль'вом интервале не всегда удается, то получены внравения позволяющие . от.дифференциально-комплексного спектра в одной точке перейти к дифференциальному спектру в другой точке и наоборот. Зто даетвозмояность восстановив функцию на одном интервале, перейти к восстановлению функции на другой интервале. Дифференциально-комплексные спектры функции в точках £/ и^ связывают следувиие соотношения

к=о,1,г,.....•

Дифференциально-комплексные спектры функций Х(Ь), у(Ь) в точке -Ц связаны соотнооениями

Укыг-—-:--'

Ш

V - 20 -

позволяющими по спектра XI(к) . к-0,1,2.,... по выражению 126) вычислить спектр У/'ОУ . При практических вычислениях ограничиваются некоторым числом учитываемых дискрет К . Тогда используя условия непрерывности функции и возможно ее производных до М -ой включительно (условия гладкости), получено следующее соотновение между дискретами в двух точках

где»/ГД»^-некоторые постоянные.

Выражение (28) позволяет получать соотновения между дискретами на двух смежных интервалах при различном числе учитываемых дискрет и различных требованиях к гладкости в точке 6' •

Ь четвертой главе исследуются методы моделирования возмущенных движений, использующие спектральные могели и аппрокси-мационные варианты дифференциально-комплексных преобразований.

Получены спектральные модели для случая описания объекта системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В общем случае дифференциально-комплексный спектр вычисляется по следующему рекуррентному выражению

где Х(0) = Х(0)+^ Х(1).

Сложные динамические процессы представляются некоторыми кривыми на комплексной плоскости. Задача аппроксимации комплексной кривой сводится к задаче аппроксимации двух действительных функций. Поскольку комплексная кривая заданная параметрически .УАЦ-К/УДО состоит из двух составляющих, то для ее аппроксимации необходимо две системы линейно-независимых Функций

. ......

.....Х(Сп,о).

- 21 -

Аппроксимирующее выражение в этом случае можно записать-в :ледующем' виде

т=1 (зо)

■ -а -1 _

Параметры-С} .С/ .¡=1,П обычно считаются известными, ю в некоторых случаях могут определяться из дополнительных

}словий.

■ Коэффициенты ¿7/ , 3/' . /=О.П , аппроксимирующего выра-!ения (30), определяются из уравнений полученных приразннва-шем дифференциальных спектров функций Т(Ь)+,и ¿(1) .

Рассмотрены случаи восстановления процессов по дифферент шально-комплексным спектрам степенными, дробно-рациональными >ункциями, гармоническими функциями.

Построены процедуры численного моделирования динамических фоцессов на спектральных моделях сложных технических систем.

Дифференциально-комплексные преобразования позволяют вос-:танавливать речение в точке Ц-ц с использованием экспонен-1иальной функции с комплексным показателем. Вычислив дифферен-|иальный, а затем дифференциальногкомплексный спектр; вычис-1Яем спектр у. Значение функции У(Ь) в точк будет

13вно

к-1

Приближенное значение ОС(б^) вычисляется по формуле

хЪн) = М1)ехР{£У1(к)}. (32)

ыделив действительную часть выражения (32). получаем приб-иженное значение функции в точке

К

Г1(33) к-1

- Ь X,[11т $(к))]} ехр[[ееае$(к))]. ' к=1

- 22 -

Проведено сравнение метода дифференциальных преобразовав. вий (восстановление рядом Тейлора) и дифференциально-комплексного метода при численном моделировании. Полученные результаты подтвердили, что предлагаемый метод монет существенно повысить точность при численном моделировании некоторого класса систем.

Построены схемы численного моделирования, использующие условие непрерывности не только по самой Функции, но и по ее производным. Такой подход позволил получить аирокий класс раз' личных ДТ-схем численного интегрирования.

Рассмотрена нелинейная задача-

ад=х0,£еЕо,Т]. (34)

В области изображений получена следующая система нелинейных алгебраических уравнений для этой задачи . К-М-2 ,

ХЩ1. У^ ХШ'Ъ(К-М))(1 -Ь(К-М-1))(1-Ъ(К-М-2))+д ^

Р!(Х'(Ю), к=о, к-м-2,к-м>о. (зв)

Процедура численного моделирования заключается в следующем. Задаваясь некоторый начальным приближением по рекуррентному соотношению (35) вычисляются дискреты Х'(к) . к=1 »2, •........ Затем с использованием выражения (36) находится новое приближен« для дискрет Х'(О) • Этот процесс повторяется до .тех пор пока Х'(0) не будет найдено с требуемой точность«.

Этот подход на единой основе позволяет строить явные и неявные ДТ-схемы численного моделирования динамических процессов. в технических системах.

Рассмотрены вопросы построения на спектральных моделях процедур численного моделирования на основе <Г -метода Ланцожа. З^т подход позволяет повысить точность и обеспечить устойчивый счет при численном моделировании динамических процессов.

- 23 -

Исследованы так» вопросы устойчивости предлагаемых процедур численного моделирования динамических процессов на спектральных моделях.

В пятой главе приводится методика, моделирования нелинейных систем, с использованием эллиптических функций.Якоби.

Получены выражения для вычисления дифференциальных изображений эллиптических функций Якоби. Зти изображения вычисляется по следувцим.формулам '

к

к+1

= о?)

(38) .

-де обозначено и(Ь)=6ПЭе1:,У^)=СП ЭИ^^-вп^Ь

Используя приведенные выяе выражения ( начиная с К -О ) 1етруйно рекуррентно вычислить составлявшие дифференциального :пектра эллиптических функций Якоби.

Рассмотрены воэмоаности аппроксимации процессов с [спользованием систем эллиптических функций Якоби.

При аппроксимации колебательных процессов системами глиптических функций Якоби необходимо определять параметры Ср и ЭВ . Разработан подход, при котором параметры С{,. и <36 опре-еляотся непосредственно, используя дифференциальные спектры ункций. Причем дифференциальный спектр вычисляется по спект-альным моделям исследуемого обьекта.

Рассмотрено два случая: первый, когда известен период ко-ебаний и дифференциальный спектр: второй, когда извгестен олько дифференциальный спектр и необходима найти параметры &

эе .

Исследованы возможности моделирования процессов в нели-ейных системах с использованием ортогональных преобразований ллиптических функций Якоби.

Процесс, описываемый функцией ЗС(Ь), представляется рядом о системе ортогональных функций £<р

2п

1=0 (40)

где ^

о

Автором рассматривается функциональные преобразования определяемые выравеннем ^

[ШВДсЙ, (42)

'с

о

символ ~ будет обозначать переход от оригиналов к изображениям. Обратный переход от изображений к оригиналам будем производить на основе выражения (40). в котором

Определены некоторые часто встречавшиеся операции в области изображений:

ОК*) = С*5, («О

СО ОО

. Ос по

где

Т

о Т

- 25 -

Этот подход применяется к моделированию нелинейных систем На :основе приведенных выше выражений от исходной математический модели системы переходик к спектральной модели в области изобракений. Определив ревение в спектральной области-динамические процессы в нелинейной систеие восстанавливаются с использованием выражения (40).

Рассмотрена задача моделирования уравнения качания синхронного генератора с использованием эллиптических Функций Яко-би. Получены выранения, позволяющие вычислять параметры качаний: амплитуду, период, частоту. .

Шестая глава посвящена применении разработанных подходов . к исследованию режимов сложных электротехнических систен.

При моделировании процессов с использованием предлагаемых методик требуется построение спектральных моделей электротехнических систем. Спектральные модели формируются переводом в область дифференциальных изображений исходной математической модели системы. Это производится с применение« правил операций над дифференциальными спектрами. Получены спектральные Формы для упроченных математических моделей электротехнических систем. Переводя в область дифференциальных изображений систему уравнений (1). получаек '

IА (Х(к-е) О- Х(е+1)+В Х(к)+С У(к) = (47 > £=0

, к=0,1,2,.....•

Далее рассматривается классическая модель электроэнергетической системы. В области дифференциальных изображений'эта модель имеет следующий вид

(^^ъ^т^тм--- с«, .

.ж • _ _

Получены также спектральные модели для различных сариан-тов исследования возмущенных движений электроэнергетических . систем. Рассмотрены случай: параллельной работы синхронных машин на вину бесконечной мощности, движения относительно неко-

= К(к)

- 26 -

торого эталонного генератора » центра масс.

Далее рассмотрена задача определения мноаества полояений равновесия в электроэнергетических системах.

При поиске ремений системы алгебраических уравнений используется замена переменных

сое = в, ,

гдв 1

е [-*,-§] ми ¿¡е[§,0Г]1

что позволяет для некоторых реяимов локализовать поиск ревений в некоторой ограниченной области многомерного пространства.

Применением кусочно-линейного алгоритма разработаны конкретные вычислительные процедуры определения множества положений равновесия в нелинейных системах.

Для повывения эффективности алгоритмов орпеделенив множества ревений , основанных на разбиении многомерного пространства на подобласти, предлагается Процедура сортировки подобластей по .критерию возможности существования ревения. Зта сортировка осуществляется по алгоритмам, учитывающим разреженность матрицы математической модели системы.

Повывение тсностн и надевности определения ревений в подобластях достигается путем применения интервальных методов, для этого используется модифицированный метод Кравчика.

При декомпозиции системы для моделирования процессов в подсистемах разработана методика использующая эллиптические Функции Якоби. При этой при аппроксимации нелинейностей полиномами третьей степени возмояно получение точных аналитических ревений этой задачи.

Разработана методика анализа процессов в электротехнических системах с использованием дифференциально-комплексных преобразований. Процессы при этом представляются на комплексной плоскости некоторыми кривыми. Двивения. в случае устойчивого функционирования системы, локализуется в окрестности устойчивого положения равновесия. Если невозмущенные двияения асимптотически устойчивы, то эти траектории на комплексной плоское^ стремятся к началу координат (устойчивому полояе-нив равновесия).

- 27 -

Рассматривается усовервенствованная методика оценки областей динамической устойчивости на основе.функций Ляпунова энергетического типа. Использование разработанных алгоритмов по . определении положений равновесия математических'моделей электроэнергетических систем позволило повысить надежность и точность при оценках областей устойчивости.

Предложена методика оценки областей устойчивости методом вектор функций Ляпунова. Декомпозиция системы, в этом случае, производится с использованием аппроксимации нелинейностей полиномами третьей степени.

Аппроксимируем нелинейности системы полиномоми, тогда уравнение возмущенного движения имеют вид

-К](хпхД МА (49) .т

где Р}(йС,)=С1|'0С|'+Ь!Х|+^(<1ф полином третьей степени,

- полином переменных , Xj степени не выве второй. Формально декомпозицию системы осуществляем, пренебрегая членами

В результате получаем Сравнения изолированных подсистем

т, <«>

и функции связей СС^ ИЦ С£|>ЭД ' ¡ = %П jф¡

Функции Ляпунова для изолированных подсистем строятся в

виде

^у^'^М^У^ЭДМ, (51)

гдв щ¡/тф-

о

Далее рассматриваются вопросы построения линейной системы сравнения и анализа свойств функций Ляпунова применением простых критериев положительной определенности квадратичных Форм.

На рисунке приведена иестимавинная система работающая на шину бесконечной мощности. В этой системе были найдены 9 положений равновесия. Устойчивое положение равновесия и положение

равновесия с наименьмим значением Функции Ляпунова приведены-в , таблице 1. Результаты по оценке области динамической устойчивости методом векторных функций Ляпунова по предлагаемой методике приведены в таблице 2.

В прилоеении приведены листинги и описания программ, реализующие предложенные в диссертационной работе алгоритмы оценки областей динамической устойчивости для многомашинных электроэнергетических систем на основе скалярной и векторной Функций Ляпунова. Приводятся документы об использовании результатов диссертационной работы.

Ц-0.2

0.52*00.24

о.ъг+югч о.з2+^о.2Ч-

ол+ю

Та = 0.015 Тэ =025 % = 0.16 Т5 -0.2.

Юг = 0.2 Оз=0.2 Бг = 0,2

Ег = 1,2.5 Рз =0.585 ^ = 1.33 Е5 = 1.2.7' = 0.545 Ез=1.33 Р4 =0.277 Р5=0.35

Вестимаяинная система работающая на шину бесконечной мощности.

Таблица 1.

! и- : ! Реи.! >цг < • 41/ : т2 г3 X 1 х ! V ;

! 1 ! 0-249 ; о.оэо 0.497 0.961 0.624 ! 0.308 ! 0.0 !

! 2 • : 3.119 ! 0.348 0.497 0.961 0.624 ! 0.508 ! 1.38 !

Таблица 2.

; к : ¡подсист.! и ; л а,\ .>1 С| 1 Чо 1

! 1 ! 0.17 1 0.0999 0.484 0.032 -0.040 0.24 ;

: 2 ; 0.15 ! 0.0999 0.467 0.007 -0.038 0.29 :

! 3 0.25 ! 0.0999 0.586 -0.003 -0.048' 0.39 !

! 4 0.18 ! 0.0999 0.447 0.015 -0.037 0.10 !

! 5 ! 0.25 ! 0.0999 0.448 0.049 -0.037 0.19 ;

: 6 : 0.25 ! 0.0999 0.515 0.031 -0.042 0.27 !

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе решена научная проблема компьютерного моделирования динамических режимов сложных электротехнических систем общего вида и. в частности, многомашинных электроэнергетических систем, которая включает ревение следующих научио-техни-ч'еских задач: .' . -

- создание математических моделей, адекватно описывающих поведение системы, формализованных методов преобразования одной формы математического описания в другую, способов аналитического представления нелинейных характеристик объекта, позволявших обеспечить оптимальное соотножение между сложностью описания и' требуемой точностью моделирования;

- разработка методик компьютерного анализа математических моделей, включающих методы и алгоритмы численного анализа, учитывавшие особенности конкретных моделей для оптимизации вычислительных процедур;

- адаптация моделей и методов к решению задач в конкретной прикладной области, в частности, в области моделирования и анализа электроэнергетических систем.

Основным направлением диссертационной работы является разработка и исследование новых операционных методов моделирования на основе мфференциальных спектральных представлений, а также их использование для построения и преобразования математических моделей, методов их численного анализа применительно - к задачам* расчета динамических режимов и оценки областей устойчивости электротехнических и элетро'энергетических систем.

В рамках этого направления проанализированы характерные особенности проблемы моделирования слоеных технических систем. Показано, что одним из существенных свойств математических моделей таких- си-тем является существование многих положений равновесия, что значительно усложняет задачу анализа и требует разработки специальных аффективных методов ее ревения. . Выполненные в диссертационной работе исследования математических моделей .позволили получить следующие результаты:

1. Получены уравнения возмещенного движения для различных вариантов математических моделей электротехнических систем, используемых при исследовании режимов и анализе динамической устойчивости.

- 31 - •

С целью упрощения этих уравнений предлагаются алгоритмы, аппроксимации входящих в модели нелинейных зависимостей, полиномами наилучвего приближения, а также полиномами специального вида. . У

Разработаны процедуры оптимальной аппроксимации нелинейных характеристик, заданных аналитически или таблично, кусоч-^ но-линейными Функциями (сплайнами первой степени).

2. Предложенная аппроксимация нелинейных характеристик обеспечивает возможность декомпозиции математических моделей на подсистемы. Разработана методика и построен Формализованный алгоритм декомпозиции системы. Показано, что в этом случае можно использовать положения равновесия изолированных подсистем в качестве некоторого приближения к положениям равновесия исходной системы.

3. В области дифференциальных изображений получены спектральные формы для математических моделей сложных электротехнических систем. Спектральные модели позволяют построить« эффективные численные методы реяения уравнений возмущенного движения в области дифференциальных изображений.

4. Исследована задача определения множества положений равновесия в сложных электротехнических системах. Предложен алгоритм анализа многомерной области на возможность существования ревений. Алгоритм основан на разбиении многомерной области на подобласти с учетом разреяенности матрицы коэффициентов системы, что существенно сокращает вычислительные*затраты.

5. Предложены новые методики исследования математических моделей в форме нелинейных дифференциальных уравнений для сложных электротехнических систем, основанные на идеологии операционных методов. В рамках этого подхода разработаны основы комплексно-дифференциальных преобразований, различные варианты аппроксииационных методов на основе дифференциальных -преобразований, а именно:

- предложен способ моделирования процессов в сложйых электротехнических системах с использованием комплексных функций действительного аргумента. Получены представления в виде кривых на комплексной плоскости для наиболее часто встречающихся действительных функций. Исследованы свойства конформных отображений этих кривых на комплексной плоскости аналитической Функцией:

- с использованием метода представления .процессов на

комплексной плоскости построены преобразования названные, дифференциально-комплексными, позволяющие перейти от действительной функции (оригинала) к комплексной функции действительного аргумента (изображению), с последующим конформный отображением этой функции аналитической функцией комплексного'аргумента. Разработаны различные варианты обратного преобразования, перехода от комплексной Функции (изображения.) к действительной функции (оригиналу) с использованием экспоненциальных функций.

6. Исследована связь дифференциальных и дифференциально-комплексных преобразований. Построены процедуры, позволяющие от дифференциального спектра функции (оригинала) перейти непосредственно к дифференциально-комплексному спектру (изображению). Получены уравнения связи дифференциально-комплексных спектров для двух смежных участков, обеспечивающие непрерывность функции и ее производных в граничной точке.

7. Предложен способ восстановления динамических процессов по дифференциально- комплексный спектрам степенными и дробно-рациональными функциями. Получены конструктивные формулы для определения неизвестных параметров систем аппроксимирующих функций.

8. Для аппроксимации колебательных процессов разработана методика, использующая гармонические Функции с переменными амплитудой и частотой. Неизвестные параметры аппроксимирующих Функций определяются из баланса соответствующих дифференциально-комплексных спектров.

9. Предложен способ представления процессов в нелинейных системах с использованием эллиптических функций Якоби, что позволяет более эффективно анализировать нелинейные колебательные системы. С этой целью:

- проанализированы системы Функций на основе эллиптических функций Якоби и исследованы их свойства: линейная независимость, полнота. Разработана методика моделирования нелинейных систем на спектральных моделях, использующая эллиптические функции Якоби;

. - разработаны основы ортогональных преобразований с использованием эллиптических функций Якоби. Получены правила ортогональных преобразований для ряда математических операций: сложения, вычитания, умножения, дифференцирования. Зти правила обеспечивают переход дифференциальных ма-ематических моделей в область ортогональных изображений без внесения методической

погрешности.

10. Разработанные ыетоды преобразований математических моделей, математический аппарат функциональных преобразований и операционные методы анализа на его основе использованы для построения новых численных схем решения уравнений. Б зюй области:

- построены процедуры поиска реиений-в выделенных подобластях с использованием итерационных методов интервального анализа. Предложена модификация интервального метода Кравчика. позволяющая использовать технику работы с разреженными матрицами:

- разработаны различные варианты схем численного моделирования динамических процессов на спектральных моделях..С использованием дифференциально-комплексных преобразований построены схемы" численого решения ОДУ. Предложена нетодика построения на единой основе, широкого класса схем численного интегрирования, как язного так и не явного типа;

- с использование!! Т-метода Ланцова разработаны ДТ-схемы численного интегрирования как линейных, так и динамических систем с полиномиальными нелинейностями.

Исследована устойчивость предлагаемых ДТ-схеы численного моделирования. ~

11. Полученные теоретические результаты'использованы при ревении слвдувщих практических задач:

- для классической нодели многомавинной электроэнергетической системы предложено преобразование переменных, обеспечивающее упрощение модели и ограничивающее область существования ее ревений, что существенно повывает эффективность определения устойчивого положения равновесия в области малых углов;

- реализован в программе для ПЭВМ алгоритм определения инояества полоаений равновесия для аногонерных нелинейных математических моделей сложных электротехнических систем;

- ревена задача анализа с высокой точностью процессов в нелинейных электротехнических системах с помощью дифференциально-комплексных преобразований;

- для декомпозированных систем получены аналитические решения. описывающие движения в изолированных подсистемах. Для слабосвязных систем этот подход позволяет эффективно миделиро-вать движения исходной системы. В общем случао эти описания могут быть использованы для приближенного моделирования движе-

ний исходной системы.

12. Повнаена надежность оценки областей . динамической устойчивости электроэнергетических систем с помощью функций Ляпунова энергетического типа за счет использования алгоритмов определения полного множества положений равновесия!

Разработана прикладная методика оценки областей динамической устойчивости многомашинных электроэнергетических систем, основанная на методе вектор функций Ляпуновыа. В методике использованы простые критерии положительной определенности квадратичных Форм. Области устойчивости, построенные по .этой методике для слабосвязных систем (к которым во многих случаях относятся электроэнергетические системы) существенно расаирен" по сравнении с оценками по другим методикам.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1. Расчет сложных электрических цепей/Методические рекомен-дации/сост. Козорез Г.А.. Корчинская И.К.,

, Семагина.3.П., Степанов А.В.-Киёв.: Наук.думка, 1981.

' - 61 с. ..

2. Семагина Э.П., Степанов А.В. Способ определения тейлоровских изображений нелинейных Функций//Злектрон. моделирование. - 1981, N 5. - с.'97-99.

3. Семагина Э.П., Степанов А,В. Моделирование электромеханических процессов в энергосистемах при малых возмущениях// Злектронное моделирование. - 1993. - 15,К 3. - с. 3-9.

4.Сейагина З.П.. Степанов й.В. Анализ устойчивости много-мааинных электроэнергетических систем//Злектрон.моделирование. - 1994. - 16,N 5. - с. 23-31.

>5. Степанов ».В. Анализ нелинейных систем с полиномиальными нелинейностями, аппроксимационными ДТ-методами числен-

■ . ного интегрирования//Теоретическая электротехника, 1989, внп. 45. - с. 52-58.

в. Степанов А.В. Кусочно-линейная аппроксимация нелинейных характеристик с заданной абсолютной или относительной погреаностьв//Сб. Вычислительная техника и моделирование в энзргаткке. - Киев: Наук.думка. 1981. - с. 93-99.

?. Степанов А.В. Оптккальная аппроксимация аналитически заданных оь'нкцип глакккж параболическими сплайнами//Элект-

- 35 -

рои. моделирование. - 1984. - N 4. - с. 9-13.

8. Степанов А.В. Аппроксимация таблично-заданных характеристик элементов электронных схем' гладкими равномерными сплайнами//Теоретическая электротехника, 1984, вып. 37.

- с. 43-31.

9. Степанов А.В. Аппоксимационный вариант неявной Т-схемы численного интегрирования//Теоретическая электротехника.

- 1985, вып. 39. - с. 123-126. •

10. Степанов А.В. Об аппроксимациоиных вариантах неявных ДТ-схем численного интегрирования//Злектрон. моделирование. - 1988,H 3. - с. 8-12.

И. Степанов А.В. ДТ-схемы численного интегрирования ОДУ, полученные на основе условий гладкости//Сб."Гибридные вычислительные машины и комплексы", Киев: Наук.думка, 1989, N 12. - с. 7-11.

12. Степанов А.В. Восстановление переходных колебательных

' процессов по дифференциальным спектрам//Электрон. моделирование. - 1989. - 11,N 8. - с. 103-106.

13. Степанов А.В. Аппроксимация колебательных процессов по дифференциальным спектрам с использованием эллиптических

! функций 3Ko6H//.Elektroteknlka. - 1990. - 9.N 3-4;

- с. 355-383.

14. Степанов А.В. Об аппроксимации переходных сильно-колебательных процессов по дифференциальным спектрам//Сб. Науч. тр./Теория дифференциальных преобразований и ее приложения. АН УССР. Ин-т проблем моделирования в энергетике.-Киев: Наук.думка, 1990. - с. 65-70.

15. Степанов А.В. Об аппроксимации колебательных процессов в нелинейных системах эллиптическими функциями Якоби// Техника средств связи, серия: системы связи(сс], науч. техн. сб.. И.. 1991, вып. 1. - с. 39-46.

16. Степанов А.В. Анализ нелинейных систем при периодическом внешнем воздействии по дифференциальным спектрам с ис--пользованием эллиптических функций Як'оби//Злектр(Ш. моделирование. - 1991. - 13,N 5. - с. 58-63.

17. Степанов А.В. Восстановление динамических процессов в комплексной области по дифференциальным спектрам// Электрон, моделирование. - 1992. - 14,H 5. - с. 16-19.

18. Степанов А.В. Восстановление динамических процессов сложными функциями в комплексной области по дифферен-

- 36 -

циальным спектрам//Сб. науч. тр. Методы математического моделирования з энергетике. ЙН УССР. Ин-т проблем моделирования в энергетике.- Киев: Наук.думка, 1992,- с. 44-53.

19. Степанов A.B. Дифференциально-комплексные преобразования и моделирование словных динамических лроцес'сов//3'лект-рон. моделирование. - 1993. - 15,Н 1. - с. 14-19.

20. Степанов A.B. Некоторые вопросы Т-анализа нелинейных электрических цепей. - Препринт/Институт проблем моделирования в энергетике АН УССР, Н 10, Киев, 1985. - 54 с.

21. Степанов fl.B. Аппроксимация эллиптическими функциями . Якоби колебательных процессов по дифференциальным спектрам. -СПрепринт/АН УССР. Ин-т проблем моделирования в энергетике). - Киев, 1391. - 50 с.

22. Степанов A.B. Оптимальная сплайновая аппроксимация характеристик элементов вентильных цепей//Сб. Математическое и програмное обеспечение автоматизированного проектирования и исследования устройств электропитания на ЭВМ. КПИ, Киев. 1982.- с. 181-168. Рук.деп. в УкрНИИНТИ N 3991 Ук-д82.

23. Пухов Г.Е., Пфенинг В.В.. Ронто Н.И., Семагина З.П., Степанов. A.B. Дифференциальные преобразования в задачах моделирования динамических процессов//Сб. Проблемы моделирования ди"амических систем. - Кивинев: Втиинца, 1990. - с. 40-46. "

?А. Пухов Г.Е.. Семагина З.П.,. Степанов A.B. Возмояности математического моделирования в обеспечении эффективности и качества электроснабвения//Сб. трудов 3-й Международной научной конференции "Эффективность и качество электроснабжения промывленных предприятий" 15-17 сентября 1994г. Украина, г. Мариуполь. - с. 71-73.

25. Степанов ".В. Дифференциально-комплексные преобразования Функций при моделировании словных динамических процессов по дифференциальным спектрам//Тезисы докладов 4-й научно-технической конференции "Проблемы нелинейной электротехники". 1992.' - с. 15-15,

20. Степанов A.B. Аппроксимация нелинейных характеристик элементов электронных схем гладкими равномерными сплайна-ми//Тезисы докладов "Третьего республиканского совещания семинара по мавинноиу проектированию электронных схем". Львов - 1983. - с, 68-69.

27. Степанов А.в. Анализ резистивных цепей с нелинейными характеристиками представленными сплайнами//Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы нелинейной электротехники", часть 1. Киев: Наук.думка, 1984. - с. 117-113.

28. Семагина З.П., Степанов A.B. Анализ электромеханических процессов в энергосистемах при малых возм!гнениях//Тезисы докладов 4-й научно-технической конференции "Проблемы нелинейной электротехники", IS92. - с. 15-15.

29. Степанов A.B. О кусочно-линейной аппроксимация нелинейных характеристик//Тезисн докладов Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы нелинейной электротехники", часть 3, Киев: Наук.думка, 1981. - с. 63-65.

30. Степанов A.B., Семагина З.П. Ингегро-алгебраические уравнения в ДТ-анзлизе электрических цепей/'/Тезисы докладов 2-й Республиканской научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании". ч,1, Киев. 1988. - с. 210-211.

31. Степанов A.B. Анализ электрических цепей с использованием- апнроксймационных ДТ-схен численного интегрирования //Тезисы докладов 1-й Всесоюзной конференции по теоретической- электротехнике. - Тавкент, 1987. - с. 161-162.

32. Степанов A.B. Анализ нелинейных электрических цепей А-устойчивкми ДТ-ме^одами численного интегрирования// Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Проблемы нелинейной электротехники". 1988. - е.,71-73.

33. Степанов A.B. Аппроксимация эллиптическими функциями Якоби колебательных процессов в электроэнергетических системах по дифференциальным спектрам//Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции "Математическое моделирование в энергетике". - Киев, Ин-т проблем моделирования в энергетике АН УССР. 1990. ч.4. - с. 123-124.

34. Степанов A.B. Численное моделирование динамических процессов на основе дифференциально-комплексных преобразова-ний//Тезисы докладов Республиканской научно-технической конференции "Проблемы автоматизированного моделирования в электронике". - Киев. 1993. - с. 20-21.

. - 38 -

Stepanov A.U. Simulation arid analysis of coaplex electrotechnlcal system regiaes on spectral aodels.

Dissertation for doctor of technical degree by speciality 05.13.02 "Mathematical siaulation in scientific researches". The Institute of Modeling Probleas in Energetics of National flcadeiy of Sciences of Ukraine/Kiev. 1995.

34 scientific works are defended that Include theoretical researches on development and working out the modern aethods of mathematical and computer siaulation of coaplex electrotechnlcal systeas by sharp perturbations and the investigation of their stability.

The efficient representation and approximation techniques of complex dynamic processes, foraalized aethods of systea decoapositlon, siaulation aethods of complex systeas on the base of differential and differentlal-coaplex transforms, the research techniques of stability are developed hy applying scalar and vector Lyapunov functions.

Key words: coaputer siaulation of coaplex systeas, spectral aodels, operational transforms, stability by Lyapunov.

Степанов A.B. Моделввання та анал1з peiimlß складних злектротехн1чних систем на спектральниХ моделях.

Дисертац1я на здобуття вченого ступени доктора техн!чних наук за спец1альн1ств 05.13.02 - Матеиатичне моделввання у на-укових досл1двеннях, 1нститут проблем моделввання в энергетиц1 HAH Укра1ни, Ки1в, 1995.

Захицасться 34 наукових прац!,' як! вклвчавть теоретичн1 досл1дяення по 'розробц! та розвитку сучасних метод1в матема-тичного та компьютерного моделмвання складних электротехн!чних систем при р1зких збудаеннях та досл!дхення Ix ст!йкост1.

Розроблен1 ефективн1 засоби зобравення та апрокс1мац11 складних динам1'ших процес1в, формал!зованих ыетод!в деком-поз1Ц11 системи, методи моделввання складних систем на основ! дэференц1йних та деференц1йно-комплексних перетворпвань, методики досл1д!ення ст1йкост1 з застссуванням скалярних та век-торних функц!й Ляпунова. .

Клвчов! слова: компьютерно моделввання складних систем, спектральн! ыодел), операц1йн1 перетвЬрення, ст1йк1сть за Ляпуновим.

Подписано к печати \Ч.о9,1995г. Формат 60x84/16 Бумага офсетная Усл.-печ. лист. 2,О.Уч.-изд. лист 2,0, Тирах ioo Заказ383.

Полиграф, уч-к Института электродинамики АН Украинн-252057, Киав-57, проспект Победы, 56.

Введение

Глава 1. Постановка задачи и методы анализа режимов сложных электротехнических систем при воздействии возмущений.

1.1. Постановка задачи исследования режимов сложных электротехнических систем.

1.2. Обзор методов моделирования режимов сложных электротехнических систем.

1.3. Дифференциальные преобразования и спектральные модели.

1.4. Выводы.

Глава 2. Дифференциально-комплексные преобразования и моделирование переходных процессов.

2.1. Представление переходных процессов в комплексной области.

2.2. Конформные отображения переходных процессов на комплексной плоскости.

2.3. Прямое и обратное дифференциально-комплексные преобразования.

2.4. Спектральные формы дифференциально-комплексных преобразований.

2.5. Преобразование дифференциально-комплексных спектров.

2.6. Локальная ошибка методов дифференциальных и дифференциально-комплексных преобразований.

2.7. Моделирование качаний ротора синхронного генератора.

2.8. Выводы.

Глава 3. Численное моделирование переходных процессов на дифференциально-спектральных моделях.

3.1. Дифференциальные изображения нелинейных функций.

3.2. Аппроксимация нелинейных характеристик сплайн функциями.

3.3. ДТ-схемы численного интегрирования.

3.4. Аппроксимационные ДТ-схемы численного моделирования.

3.5. Вычисление параметров переходных колебательных режимов с использованием эллиптических функций Якоби.

3.6. Выводы.

Глава 4. Математические и дифференциально-спектральные модели электротехнических систем.

4.1. Модель синхронного генератора.

4.2. Модель асинхронного двигателя.

4.3. Модель трансформатора.

4.4. Модель линии электропередачи.

4.5. Уравнения режимов электротехнических систем.

4.6. Консервативная модель электроэнергетической системы.

4.7. Выводы.

Глава 5. Анализ переходных процессов и динамической устойчивости прямым методом Ляпунова.

5.1. Функция Ляпунова энергетического типа многомашинной электроэнергетической системы.

5.2. Оценка запаса динамической устойчивости.

5.3. Анализ динамической устойчивости с использованием вектор-функции Ляпунова.

5.4. Вычисление множества положений равновесия электротехнических систем.

5.5. Определение критических значений функции Ляпунова.

5.6. Выводы

Глава 6. Программная реализация и компьютерное моделирование электротехнических систем при больших возмущениях.

6.1. Структурные компьютерные модели элементов электротехнических систем.

6.2. Расчет и моделирование трехфазного КЗ на шинах синхронного генератора.

6.3. Анализ динамической устойчивости двумашинного и трехмашинного эквивалента электроэнергетической системы.

6.4. Анализ и оценка запаса динамической устойчивости многомашинной электроэнергетической системы.

6.5. Выводы.

Актуальность проблемы. Создание сложных электротехнических систем для решения ряда глобальных задач в области энергетики, транспорта, связи, экологии является основой развития современной высокоинтегрированной экономики. К сложным электротехническим системам могут быть отнесены автономные электрические системы, системы электроснабжения на транспорте, крупных промышленных предприятий, крупномасштабные электроэнергетические системы. Сложные электротехнические системы состоят из большого числа различных подсистем, связанных для выполнения поставленных целей в единую многоуровневую иерархическую структуру. Управления сложными электротехническими системами вызывает особые трудности вследствие большого числа возможных состояний, различных возмущающих и управляющих воздействий. Например, в электроэнергетике одной из основных задач деятельности системы оперативно-диспетчерского управления согласно закону РФ "Об электроэнергетике" является «обеспечение надежного энергоснабжения и качества электрической энергии, соответствующих требованиям технических регламентов и иным обязательным требованиям, установленных иными нормативными актами, и принятие мер для обеспечения исполнения обязательств субъектов электроэнергетики».

Сложность управления режимами электроэнергетических систем связана с тем, что такие системы представляют собой многомерные нелинейные объекты, описываемые математическими моделями в виде систем нелинейных алгебро-дифференциальных уравнений большой размерности. Многомерность, многосвязность и нелинейность являются характерными особенностями этих систем.

Для обеспечения устойчивого функционирования такого типа электротехнических систем в окрестности некоторого устойчивого положения равновесия, называемого рабочей точкой, необходимо исследовать переходные процессы на большом множестве различных возмущающих и управляющих воздействий. При устойчивом функционировании системы фазовые траектории локализуются в области, называемой областью динамической устойчивости, содержащую устойчивое положение равновесия,. Предполагается, что в окрестности положения равновесия может существовать множество особых точек, определяющих фазовый портрет системы [4, 28, 29, 37, 44, 68 - 72], что затрудняет анализ динамической устойчивости таких систем.

Надежность функционирования и живучесть электротехнических систем при воздействии различных возмущений обеспечивается качеством управления режимами и наличием запасов динамической устойчивости. Под динамической устойчивостью электроэнергетической системы понимают свойство системы возвращаться к послеаварийному устойчивому положению равновесия системы под действием больших возмущений. В электроэнергетике нарушение устойчивой параллельной работы синхронных генераторов в энергосистеме может быть вызвано различными причинами: отключением элемента сети, однофазным или многофазным коротким замыканием (КЗ), отключением генерирующих мощностей или крупного потребителя. Вследствие возмущения в системе возникает аварийный режим, который должен быть ликвидирован средствами противоаварийной защиты и автоматики или действиями оперативного персонала. После отключения возмущения система переходит в послеаварийный режим. Под действием возмущения в послеаварийной системе возникает переходной процесс, который может привести к нарушению динамической устойчивости и асинхронному ходу генераторов.

Динамическая устойчивость многомашинной энергосистемы зависит от интенсивности возмущающих воздействий и времени их отключения, от параметров нормального (доаварийного) режима, конфигурации системы и параметров послеаварийного режима.

Исследованию процессов в сложных электротехнических системах, разработке моделей, методов их анализа и их применению к решению практических задач посвящены работы многих ученых, как в странах ближнего (СНГ), так и дальнего зарубежья. Это, прежде всего такие исследователи, как: В.А. Веников, Н.И. Воропай, А.А. Горев, П.С. Жданов, В.И. Идельчик, А.А. Мартынюк, В.М. Матросов, И.П. Норенков, Г.Е. Пухов, В.А. Строев, J1.B. Цукерник, JI.O. Чуа, Lj.T. Grujic, М Ribbens-Pavella, и многие другие [1, 2, 4, 18, 20, 22, 27, 28, 34 - 36, 38-40, 42, 44, 46, 50, 51, 54, 57, 58, 61 - 63, 67-72, 76 - 78, 84, 87 - 89, 100, 103, 105, 106, 108, 111, 117 - 130, 141, 147, 150, 153, 187-189, 195, 201, 206, 209]. Ими получен целый ряд важных фундаментальных результатов.

Традиционно задачу исследования динамической устойчивости электроэнергетической системы решают методами математического моделирования, при этом вычисляется траектория движения роторов синхронных генераторов при воздействии на систему возмущения [2, 34, 52, 61, 88, 150], после которого возможно изменение структуры системы, переменных состояния. Несмотря на управляющее воздействие для отключения возмущения, фазовые траектории могут покинуть область притяжения послеаварийного положения равновесия. Произойдет нарушение устойчивой работы системы. Таким образом, чтобы оценить область динамической устойчивости системы необходимо произвести численное интегрирование аварийной траектории, а затем послеаварийной траектории, причем это необходимо сделать для достаточно большого набора возмущающих и управляющих воздействий. Вследствие этого, для качественного анализа динамической устойчивости системы необходимо производить многовариантные расчеты траекторий движения, требующие больших вычислительных затрат. В то же время методы численного моделирования позволяют использовать достаточно подробные математические модели системы, учитывающие особенности электромагнитных и электромеханических процессов в системе и получать достоверные фазовые траектории движения.

Наряду с численными методами расчета переходных процессов [12, 16, 23, 74, 107, 111, 131, 195] в электротехнике получили широкое распространение операторные методы на основе интегрального преобразования [33, 75, 85]. Эти методы позволяют получить решение в аналитическом виде, однако операторные методы на основе интегральных преобразований применимы только к линейным системам. Разработанный Г.Е. Пуховым [120 - 125] операторный метод дифференциальных преобразований, в отличие от операторных методов на основе интегральных преобразований, позволяет получить решение в аналитическом виде не только в линейных, но и в нелинейным системах. При анализе фазовых траекторий кроме их вычисления целесообразно получить качественные оценки переходного процесса для заданного возмущения в системе. Это направление, развиваемое рядом авторов [93, 95, 98, 110], анализа нелинейных систем основано на теории устойчивости динамических систем и прямом методе Ляпунова. Основными проблемами при разработке методов анализа динамической устойчивости сложных электротехнических систем является построение адекватных моделей и функций Ляпунова, а также разработка эффективных методов их анализа.

Вместе с тем, несмотря на полученные исследователями существенные результаты, сложность задачи анализа переходных процессов и динамической устойчивости электротехнических систем с множеством положений равновесия делает актуальными развитие и разработку специальных и эффективных методов математического моделирования, ориентированных на современные средства компьютерного моделирования и информационных технологий. Развитие методов математического моделирования сложных электротехнических систем должно касаться следующих аспектов:

- исследований в области построения и анализа математических моделей (с точки зрения их точности и адекватности);

- разработки эффективных методов математического анализа нелинейных систем, в плане развития операторных методов моделирования нелинейных систем;

- разработки качественных методов (прямого метода Ляпунова) для анализа и оценки запасов динамической устойчивости.

Разработка методов решения этой задачи позволит более эффективно выбирать управляющие воздействия для повышения надежности и живучести электротехнических и электроэнергетических систем.

Особенностью развиваемого в работе подхода является совместное использование методов численного моделирования и методов качественного анализа для исследования переходных процессов и определения наиболее тяжелых возмущений. При этом для расчета переходных траекторий используются современные операторные методы математического моделирования (метод дифференциальных преобразований) и более сложные модели, позволяющие учитывать особенности электромагнитных процессов в электротехнической системе [143, 145]. Для качественного анализа системы (оценки запасов динамической устойчивости) используется метод функций Ляпунова [3, 80, 81, 184] и упрощенные консервативные модели системы. Вычисленные с помощью метода дифференциальных преобразований динамические траектории используются для определения седловых точек и критического значения функции Ляпунова энергетического типа [3]. Функция Ляпунова используется для определения наиболее опасных направлений движения роторов синхронных машин и оценки наиболее тяжелых возмущений [3]. Также разработана приближенная методика оценки запасов динамической устойчивости для определения наиболее тяжелых возмущений [80, 81]. Методика основана на аппроксимации функции Ляпунова в окрестности положения равновесия квадратичной формой. Проведенные исследования показали, что гибридный подход позволяет получать наиболее приемлемые с практической точки зрения оценки запасов динамической устойчивости, и применим к системам большой размерности. Эта методика предполагает вычисление на более точных моделях системы фазовых траекторий и оценку запасов с использованием упрощенной консервативной модели системы. Реализация развиваемого подхода, к решению задачи анализа динамической устойчивости, ориентирована на использование современных средств вычислительной техники и информационных технологий.

К задачам решаемых в данной работе относятся:

- развитие метода дифференциальных преобразований, применительно к моделированию переходных процессов в электротехнических и многомашинных электроэнергетических системах, описываемых системами нелинейных алгебро-дифференциальных уравнений, в плане уменьшения вычислительных затрат при получении математической модели в области дифференциальных изображений и вычислении дифференциальных спектров;

- развитие аппроксимационных методов для более эффективного описания характеристик нелинейных систем и вычисления дифференциальных спектров с использованием полиномов и сплайн-функций;

- разработка на основе дифференциально-спектральных моделей нелинейных систем новых эффективных операторных методов моделирования нелинейных систем, с использованием представления динамических процессов в комплексной области;

- разработка методов моделирования колебательных процессов в нелинейных системах с применением спектральных моделей в области дифференциально-комплексных изображений;

- разработка методов расчета параметров колебательных процессов по дифференциальным спектрам с использованием эллиптических функций Якоби;

- построение аппроксимационных численных методов и численных схем моделирования динамических процессов при различных возмущениях на основе спектральных моделей систем в области дифференциальных изображений;

- построение спектрально-дифференциальных моделей электротехнических систем в области дифференциальных изображений;

- разработка и усовершенствование методов анализа и оценки запаса динамической устойчивости для электротехнических и многомашинных электроэнергетических систем с использованием скалярной и векторной функций Ляпунова.

Целью работы является развитие теории и разработка новых методов математического моделирования и анализа динамической устойчивости сложных электротехнических систем при различных возмущающих воздействиях. Поставленная цель достигается посредством разработки способов представления и аппроксимации сложных процессов, формализованных методов построения дифференциально-спектральных моделей систем, применением операторных методов на основе дифференциальных и дифференциально-комплексных преобразований, методов скалярных и векторных функций Ляпунова.

Диссертация выполнена в соответствии с планами научно-исследовательских работ по темам «Альфа», «Базис», «Тейлор», «Сигма-1» в ИПМЭ HAH Украины и программой фундаментальных исследований ГКНТ Украины < раздел "Информатика", шифр темы "Дельта").

Методы исследования. Методологические основы работы составляют: теория обыкновенных дифференциальных уравнений, качественная теория дифференциальных уравнений, теория аппроксимации функций действительного переменного, теория функций комплексного переменного, теория эллиптических функций, теория дифференциальных преобразований, теория устойчивости движения, метод функций Ляпунова, теория систем, методы интервального анализа, методы вычислительной математики и математического моделирования, теория электрических цепей и электрических машин, теория электромеханических и электроэнергетических систем, теория устойчивости электрических систем.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Рассмотрены возможности метода дифференциальных преобразований применительно к моделированию переходных процессов в нелинейных системах. Отмечено, что наиболее важным моментом, ограничивающим практическое применение метода является трудоемкость процедуры получения дифференциальных изображений нелинейных функций. Исследованы различные методы вычисления дифференциальных изображений нелинейных функций. Наиболее эффективным является вычисление дифференциальных изображений на основе представления нелинейных зависимостей эквивалентным дифференциальным уравнением.

2. Разработаны методики оптимальной аппроксимации нелинейных характеристик систем полиномами и сплайн-функциями, что позволяет повысить эффективность построения спектральных математических моделей нелинейных систем в области дифференциальных изображений.

3. Предложен метод дифференциально-комплексных преобразований отображающий переходные процессы в комплексную область. Дифференциально-комплексные преобразования основаны на прямом преобразовании, которое позволяет перейти от действительных функций времени (оригиналов) к комплекснозначным функциям (изображениям). Рассмотрены возможности конформных отображений изображений на комплексной плоскости и исследованы их свойства. Разработаны методы обратного преобразования, перехода от изображений (комплекснозначных функций) к оригиналам (действительным функциям аргумента ?)•

4. Получены дифференциально-комплексные изображения ряда основных функций: степенных, экспоненциальных, гармонических, эллиптических функций Якоби. Исследованы конформные отображения различного вида изображений переходных процессов представленных кривыми на комплексной плоскости.

5. Получены спектральные формы прямого и обратного дифференциально-комплексного преобразования в области дифференциальных изображений. Спектральные формы позволяют с помощью дифференциальных спектров вычисленных по спектральной модели системы определить дифференциально-комплексные изображения, такой подход существенно упрощает выполнение прямого и обратного дифференциально-комплексного преобразования.

6. На основе дифференциально-комплексных преобразований построен численно-аналитический метод моделирования переходных процессов использующий спектральную модель в области дифференциальных изображений.

7. Рассмотрены дифференциальные преобразования эллиптических функций Якоби и разработан метод вычисления с использованием спектральных моделей параметров колебательных процессов в нелинейных системах. Вычисление параметров колебательных процессов производится путем приравнивания дифференциальных спектров эллиптических функций Якоби и спектра полученного по спектральной модели системы.

8. На основе разработанного метода, использующего эллиптические функции Якоби и спектральную модель системы, получены аналитические выражения, позволяющие вычислить параметры колебаний (амплитуда, частота) ротора синхронной машины при различных возмущениях.

9. На основе припасовывания дифференциальных спектров построены схемы численного интегрирования переходных процессов с использованием спектральных моделей системы в области дифференциальных изображений.

10. Разработаны модификации (для случая использования полинома Чебышева и полинома Лежандра) аппроксимационных ДТ-схем численного интегрирования, основанных на спектральных моделях системы. Этот подход позволяет повысить точность при аппроксимации решения степенными рядами.

11. Построены спектральные модели основных элементов электротехнических систем в области дифференциальных изображений, позволяющие получить дифференциально-спектральную модель электротехнической системы и вычислить дифференциальные спектры переходных процессов при воздействии различных возмущений. Получены спектральные модели для расчета режимов электротехнических систем.

12. Исследованы возможности анализа динамической устойчивости электроэнергетических систем прямым методом Ляпунова. Отмечено, что наиболее значимые с практической точки зрения результаты получены использованием функции Ляпунова энергетического типа, сохраняющей структуру сети.

13. Предложена методика анализа динамической устойчивости, основанная на декомпозиции системы и применении векторных функций Ляпунова, использующая аппроксимацию нелинейностей системы полиномами. Аппроксимация полиномами позволяет формализовать процедуру декомпозицию системы на подсистемы. Однако проведенные исследования показали, что метод векторных функций Ляпунова приводит к получению существенно заниженных оценок области динамической устойчивости, которые не имеют практической ценности.

14. Разработана методика анализа переходных процессов и оценки запасов динамической устойчивости в электротехнических системах с использованием фазовых траекторий. Фазовые траектории вычисляются с помощью спектральных моделей в области дифференциальных изображений. Запас динамической устойчивости определяется с использованием функции Ляпунова энергетического типа для консервативной модели системы.

15. Разработан метод приближенного определения критического значения функции Ляпунова. Критическое значение функции Ляпунова вычисляется с применением прямой заданной параметрическим уравнением. Эта прямая проходит через устойчивое положение равновесия и точку локального максимума потенциальной составляющей функции Ляпунова на фазовой траектории, вычисленной для заданного возмущения.

16. Предложена методика для приближенного определения критического значения функции Ляпунова. При поиске критического значения используется аппроксимация квадратичной формой функции Ляпунова в окрестности положения равновесия. Далее вычисляется собственный вектор матрицы квадратичной формы соответствующий минимальному по модулю собственному числу, который используется для поиска критического значения функции Ляпунова. Эта методика позволяет локализовать поиск критического значения функции Ляпунова в некоторой области фазового пространства и предназначена для сокращения вычислительных затрат при определении критического значения.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты позволяют:

1. Повысить эффективность методов математического моделирования сложных электротехнических систем, описываемых нелинейными системами алгебро-дифференциальных уравнений. Это достигается развитием операторных методов основанных на дифференциальных преобразованиях и использованием спектральных моделей электротехнических систем.

2. Повысить точность и адекватность моделирования процессов на основе использования аппроксимационных ДТ-схем численного моделирования на спектральных моделях электротехнических систем в области дифференциальных изображений.

3. Повысить эффективность моделирования колебательных процессов в нелинейных электротехнических системах путем использования предложенного метода дифференциально-комплексных преобразований и эллиптических функций Якоби.

4. Расширить возможности прямого метода Ляпунова при анализе динамической устойчивости многомашинных систем путем использования предложенной методики основанной на вычислении фазовых траекторий и функций Ляпунова для оценки запаса динамической устойчивости.

5. Упростить и повысить эффективность методов определения критического значения функции Ляпунова в сложных электротехнических системах с применением аппроксимационных методов.

6. Уточнить оценки областей устойчивости для многомашинных электроэнергетических систем на основе методов скалярной и векторных функций Ляпунова.

7. Увеличить быстродействие, надежность и достоверность методов анализа устойчивости крупномасштабных электроэнергетических систем при воздействии различных возмущений.

8. Более обоснованно производить планирование режимов и выбор управляющих воздействий для обеспеченья надежного функционирования электротехнических систем.

С использованием предлагаемых методов и алгоритмов разработан комплекс программ для моделирования процессов и анализа устойчивости сложных электротехнических систем.

Апробация работы. Основные положения диссертации апробировались на конференциях и семинарах: На международном симпозиуме по вопросам рационального управления энергетикой и широкое распространение опыта в этой области в центральной и восточной Европе (г. Киев, 1994 г.). На международной научной конференции "Эффективность и качество электроснабжения промышленных предприятий" (г. Мариуполь, 1994г.), на Всесоюзных конференциях "Проблемы нелинейной электротехники" (г. Киев, 1981, 1984, 1992 г., г. Черкассы, 1988 г.). На Всесоюзной конференции по теоретической электротехнике (г. Ташкент, 1987 г.). Всесоюзной научно-технической конференции "Математическое моделирование в энергетике" (г. Киев, 1990 г.). Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы моделирования динамических систем" (г. Кишинев, 1988 г.). На Республиканских школах семинарах "Теоретическая электротехника, электроника и моделирование" (г. Львов, 1981, 1983, 1987, 1989, 1993 г.). Республиканских школах семинарах "Дифференциальные преобразования и их приложения" (г. Житомир, 1985, 1987 г., г. Киев 1989, 1991, 1993 г.). Республиканской научно-технической конференции "Проблемы автоматизированного моделирования в электронике" (г. Киев 1893 г.), научных конференциях Института проблем моделирования в энергетике НАН Украины, 7-й научной конференции Московского технологического университета «СТАНКИН».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 43 работы. Основные научные результаты работы изложены в монографии [186].

На защиту выносяться:

1. Операторный метод дифференциально-комплексных преобразований. Методика отображения процессов во временной области в комплексную область. Спектральные формы прямого и обратного дифференциально-комплексного преобразования. Методы восстановления переходных процессов во временной области по дифференциально-комплексным спектрам.

2. Методы численного моделирования на основе дифференциально-комплексных преобразований.

3. ДТ-схемы численного интегрирования ОДУ, построенные на основе формул припасовывания дифференциальных спектров.

4. Аппроксимационные варианты ДТ-схем численного моделирования электротехнических систем.

5. Методика определения параметров колебательных процессов по дифференциальным спектрам с использованием эллиптических функций Якоби.

6. Методики аппроксимации нелинейных характеристик электротехнических систем сплайн-функциями.

7. Методика анализа и оценки запасов динамической устойчивости электроэнергетической системы основанная на вычислении фазовых траекторий и их анализе с использованием функции Ляпунова энергетического типа.

8. Методика определения критического значения функции Ляпунова для консервативной модели электроэнергетической системы использующая квадратичную форму, аппроксимирующую функцию Ляпунова в окрестности положения равновесия.

9. Методика оценки областей динамической устойчивости сложных электротехнических систем на основе метода вектор функций Ляпунова.

Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждена численными экспериментами, проведенными при выполнении плановых НИР Института проблем моделирования в энергетике НАН Украины, сравнительным анализом с результатами, полученными в известных работах других исследователей, а также необходимыми математическими доказательствами.

Совокупность полученных в диссертации результатов можно квалифицировать как новое достижение в развитии перспективного научного направления по разработке методов моделирования и анализа переходных процессов и динамической устойчивости сложных электротехнических систем на спектральных моделях.

Разработанные методы, алгоритмы и программы способствуют значительному совершенствованию методов анализа сложных электротехнических систем, позволяют повысить надежность и живучесть функционирования электротехнических систем при выборе режимов и управляющих воздействий.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы.

223 6.5. Выводы

1. Проведенные исследования позволили разработать программы и построить структурные компьютерные модели, реализующие разработанные методы для моделирования и анализа запасов динамической устойчивости сложных электротехнических систем. Разработанные структурные компьютерные модели основных элементов электротехнических систем используются при моделировании системы, вычислении фазовых траекторий, вычислении и исследовании функции Ляпунова. Разработанные программы и модели позволяют вычислять фазовые траектории углов роторов синхронных генераторов, определять неустойчивые положения равновесия, производить анализ и оценку запасов динамической устойчивости при воздействии больших возмущений.

2. Проведен анализ переходных процессов и запасов динамической устойчивости двухмашинного и трехмашинного эквивалентов электроэнергетической системы при воздействии возмущения в виде трехфазного КЗ на одной из линий. Анализ динамической устойчивости проводился для различных длительностей отключения КЗ. Полученные результаты подтвердили эффективность предлагаемых методик анализа и оценки запасов динамической устойчивости при воздействии различных возмущений. Проведенные исследования и вычислительные эксперименты подтвердили возможность использования консервативной модели системы при оценке запасов динамической устойчивости.

3. С использованием предлагаемых методов в работе приведен пример расчета многомашинный электроэнергетической системы, получены оценки запаса динамической устойчивости для различной интенсивности возмущений. Вычисления проводились для возмущения в виде короткого замыкания на одной из линий. Интенсивность возмущений варьировалась путем изменения проводимости шунта при постоянном времени отключения возмущения. Проведенные исследования запасов динамической устойчивости многомашинных электроэнергетических систем показали, что такая методика повышает эффективность и достоверность получаемых результатов по анализу и оценке запаса динамической устойчивости сложных электротехнических систем. На практике использование предлагаемых методов позволяет обеспечить большую обоснованность принимаемых решений при выборе режимов и управляющих воздействий для повышения живучести и надежности функционирования сложных электротехнических систем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных исследований разработаны методы анализа динамической устойчивости сложных электротехнических систем, в которых возможно существование множества положений равновесия (как устойчивых, так и неустойчивых). Особенностью предлагаемых методов является совместное использование операторных методов и качественных методов - метода функций Ляпунова при анализе переходных процессов и динамической устойчивости сложных электротехнических систем. При этом разработаны методы, основанные на спектральных моделях системы в области дифференциальных изображений и на качественных методах анализа (оценки запаса динамической устойчивости) - методе функций Ляпунова. В диссертационной работе были получены следующие основные результаты:

1. Исследованы возможности операторного метода дифференциальных преобразований применительно к моделированию переходных процессов в нелинейных системах.

2. Предложен метод дифференциально-комплексных преобразований, основанный на представлении переходных процессов комплекснозначными функциями действительного аргумента.

3. Получены спектральные формы прямого и обратного дифференциально-комплексного преобразования в области дифференциальных изображений.

4. На основе дифференциально-комплексных преобразований разработаны методы численного моделирования переходных процессов в нелинейных системах на спектральных моделях в области дифференциальных изображений.

5. Разработаны методы вычисления дифференциальных изображений нелинейных функций с использованием аппроксимации нелинейных характеристик полиномами и сплайн-функциями.

6. Разработаны и исследованы методы численного интегрирования переходных процессов на основе спектральных моделей в области дифференциальных изображений. На основе уравнений связи между дискретами дифференциального спектра на смежных интервалах и метода припасовывания разработан подход и построены как явные, так и неявные методы численного интегрирования.

7. Построены аппрокснмационные варианты ДТ-схем численного моделирования с полиномиальными нелинейностями электротехнических систем.

8. Разработана методика расчета параметров колебательных процессов в нелинейных системах на основе эллиптических функций Якоби и использованием спектральных моделей в области дифференциальных изображений.

9. Рассмотрены математических модели основных элементов электротехнических систем (синхронного генератора, асинхронного двигателя, трансформатора, линии электропередачи) и на основе метода дифференциальных преобразований получены их спектральные модели в области дифференциальных изображений.

10. Предложена методика анализа динамической устойчивости на основе прямого метода Ляпунова, использующая для оценки запаса динамической устойчивости функцию Ляпунова энергетического типа и фазовые траектории, вычисленные на основе спектральных моделей.

11. Предложена методика оценки запаса динамической устойчивости, основанная на экстраполяции зависимости критического значения функции Ляпунова от интенсивности возмущения (проводимости шунта, времени отключения возмущения и т. д.). Методика позволяет уменьшить число вариантов при расчете фазовых траекторий и получить приближенную оценку критического значения функции Ляпунова.

12. Предложена методика анализа динамической устойчивости на основе метода векторных функций Ляпунова и исследованы ее возможности.

13. Разработана методика приближенного определения критических значений функции Ляпунова, основанная на аппроксимации ее составляющей Щ8) квадратичной формой, что позволяет сократить вычислительные затраты при определении критического значения функции Ляпунова.

14. Полученные в диссертационной работе результаты внедрены в Научно-производственном объединении «Электроавтоматика» (г. Запорожье), а также использованы в Белорусском теплоэнергетическом научно-исследовательском институте при исследовании динамической устойчивости многомашинных электроэнергетических систем.

Разработанные в работе теоретические положения, методики, методы и алгоритмы, использующие для решения задачи динамической устойчивости траектории движения, вычисленные с помощью операторного метода, и анализ этих траекторий на основе функций

226

Ляпунова позволили по сравнению с известными методиками существенно снизить вычислительные затраты при анализе динамической устойчивости. Использование прямого метода Ляпунова для консервативной модели системы дает возможность определить запас динамической устойчивости сложных электротехнических систем при воздействии различных возмущений. Кроме того, при вычислении траекторий движения используются модели, более адекватно отражающие процессы в элементах системы, а при анализе динамической устойчивости прямым методом Ляпунова более простая консервативная модель. Такая методика повышает достоверность получаемых результатов по оценке запаса динамической устойчивости. На практике предлагаемые методы обеспечивают большую обоснованность принимаемых решений при выборе режимов и управляющих воздействий для повышения живучести и надежности функционирования сложных электротехнических систем.

1. Абраменкова И.А., Воропай Н.И., Заславская Т.Е. Структурный анализ электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 1990. 224 с.

2. Авраменко В.Н., Степанов A.B. Определение запаса динамической устойчивости энергосистем прямым методом Ляпунова. Техническая электродинамика, 1999, №5. С. 55-58.

3. Адонц Г. Т. Расчеты установившегося оптимального и несимметричного режимов электрической системы. Ереван, 1984. 256 с.

4. Алберг Дж., Нилъсон Э., УолшД. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 316 с.

5. Аксенов Е.П. Специальные функции в небесной механике. М.: Наука, 1986.320 с.

6. Алексия Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: Изд. Иностр. Лит., 1963. 360 с.

7. Андронов A.A. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568 с.

8. Арзамасцев Д. А., Рудницкий М.П. О применении эллиптических функций для анализа динамической устойчивости синхронных машин// Изв. Вузов «Электромеханика». 1965. №3. С. 291-299.

9. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000. 368 с.

10. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.304 с.

11. Бабушка И., Прагер М., Витасек Е. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. 314 с.

12. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 224 с.

13. Бари Н. Теория рядов. М.: Физматгиз, 1961. 236 с.

14. Баулин Н.И., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 496 с.

15. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1986. 288 с.

16. Бейкер Дж., Грейвс-Морис П. Аппроксимация Паде. М.: Мир, 1988. 504 с.

17. Береговенко Г.Я., Пухов Г.Е. Ступенчатые изображения и их применение. Киев: Наук, думка, 1983. 216 с.

18. Биленко В.И. Аппроксимационный метод решения интегральных уравнений типа Вольтера-Урысона с полиномиальными нелинейностями// Журн. Вычислительной математики и мат. физики. 1989. 29, № 10. С. 1577-1591.

19. Блакъер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969. 400 с.

20. Бордовицина Т. В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984. 136 с.

21. Бондаренко В.М. Вопросы анализа нелинейных электрических и электронных цепей. Киев: Наук, думка, 1967. 159 с.

22. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.: Наука, 1980.208 с.

23. Брумберг В.А. Небесно-механические методы проведения буквенных операций на ЭВМ. Томск.: ТГУ, 1974. 115 с.

24. Валеев КГ. Линейные дифференциальные уравнения: Расщепление решений. К.: Изд. Общ. «Знание», 1978. 48 с.

25. Вайиберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.

26. Вайман М.Я. Исследование устойчивости в "большом". М.: Наука, 1981.254 с.

27. Варайя П., Чханъ Жунлян Прямые методы анализа динамической устойчивости энергосистем: Новые результаты. ТИИЭР. 1985. 73, № 12. С. 8-22.

28. Васин В.П. Интеграл энергии для уравнений переходных процессов электроэнергетической системы при учете нагрузок статическими характеристиками. Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1974. № 6. С. 26-25.

29. Васин В.П. Структура области существования самоустанавливающихся режимов электроэнергетических систем в пространстве активных мощностей// Изв. АН

30. СССР. Энергетика и транспорт. 1981. № 1. С. 6-18.

31. Васин В.П. Граница области существования режима трехмашинной электрической системы// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1982. № 2. С. 40-47.

32. Ващенко-Захарченко М.Е. Символическое исчисление и применение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений. Киев.: Киев. Университет, 1982. 92 с.

33. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М.: Высшая школа, 1985. 536 с.

34. Верланъ А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами на ЭВМ. Киев.: Наук, думка, 1978. 292 с.

35. Винер К, Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964. 268 с.

36. Воропай Н.И. Упрощение математических моделей динамики электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 1981. 110с.

37. Вулъф A.A. Устойчивость параллельной работы электрических станций. JL-М.: ГОНТИ, 1938. 160 с.

38. Вульфсон И.И., Коловский М.З. Нелинейные задачи динамики машин. Л.: Машиностроение, 1968. 282 с.

39. Гаврилов Л. П. Аналитический метод расчета электрических цепей с применением ЦВМ. М.: Изд. Моск. уняверситета, 1975. 202 с.

40. Гамм А.З. Методы расчета нормальных режимов электроэнергетических систем. Иркутск: Изд. ИПИ, 1972. 342 с.

41. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1986. 552 с.

42. Гелих А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным положением равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

43. Головкин П.И. Энергосистема и потребители электрической энергии. М.: Энергия, 1979. 205 с.

44. Голубенцев А.Н. Инженерные методы в динамике. Киев: Техшка, 1967. 350 с.

45. Горев A.A. Введение в теорию параллельной работы электрических станций. Л.: КУБУЧД935. 205 с.

46. Горев A.A. Переходные процессы синхронной машины. Л.: Наука, 1985. 502с.

47. Горюнов Ю.П., Смоловик C.B. Математические модели элементов электроэнергетических систем и исследование их динамических свойств. СПб. Гос. Тех.Ун-т, Санкт-Перербург, 1992. 80с.

48. Гребенников Е.А., Рябов Е.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 431 с.

49. Груйч Л.Т., МартынюкA.A., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев.: Наук.думка, 1984. 306 с.

50. Гуревич Ю.Е., Либова Л.В., Окин A.A. Расчеты устойчивости и протиаварийной автоматики в энергосистемах. М.: Энергоатомиздат, 1990. 390 с.

51. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений// ДАН СССР. 1953. 88. № 4. С. 601-602.

52. Данилов Л. В. Ряды Вольтера-Пикара в теории нелинейных электрических цепей. М.: Радио и связь, 1987. 224 с.

53. Дзядык В.К. Введение в теорию приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 427 с.

54. Дзядык В. К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев.: Наук, думка, 1988. 304 с.

55. Директор С., Рорер Р. Введение в теорию систем. М.: Мир, 1974. 464 с.

56. Долбня В.Т. Топологические методы анализа и синтеза электрических цепей и систем. Харьков: Вища школа, Изд. При ХГУ, 1974. 145 с.

57. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1978. 458 с.

58. ДэбниДж., Хартмаи T. Simulink® 4. Секреты мастерства/ М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. 403 с.

59. Жданов П. С. Вопросы устойчивости электрических систем. М.: Энергия, 1979. 456 с.

60. Жданов П.С. Устойчивость электрических систем. М., Л.: Госэнергоиздат, 1948. 399 с.

61. Жуков Л.А., Стратана И.П. Установившиеся режимы сложных электрических сетей и систем. М.: Энергия, 1979. 357 с.

62. Завьялов Ю. С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

63. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высш. Школа, 1979. 400 с.

64. Зубов В. И. Методы функций Ляпунова и их применение. Л.: Изд. Ленинградского университета, 1957. 239 с.

65. Зуев Э.Н., Строев В.А. Математическое описание элементов электрической системы. М.: МЭИ, 1983. 83 с.

66. Иделъчик В.И. Расчеты установившихся режимов электрических систем. М.: Энергия, 1977. 189 с.

67. Иделъчик В.И. Пример анализа существования и единственности решения уравнений установившегося режимов/УЭлектричество. 1983. № 6. С. 56-59.

68. Иделъчик В.И., Крумм Л.А., Тарасов В.И. Экспериментальное исследование неоднозначности решения уравнений установившегося режима// Труды ИПИ. 1971. № 72. С. 27-47.

69. Иделъчик В.И., Лабезник А.И. Аналитическое исследование существования и единственности решения уравнений установившегося режима электрической системы// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1972. № 2. С. 51-59.

70. Иделъчик В.И. Расчеты и оптимизация режимов электрических сетей и систем. М.: Энергоатомиздат, 1988. 287 с.

71. Картвелишвили И.А. Задачи устойчивости энергетических систем, как задачи общей теории устойчивости// Второй метод Ляпунова и его применение в энергетике. Труды семинара-симпозиума. Часть 2. Новосибирск, 1966. С. 122-150.

72. Ковалев Ю.З. Тригонометрические функционалы для построения численных методов типа Рунге-Кутта// Сб. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1983. 14, № 1. С. 61-75.

73. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. М.: Наука, 1964. 328 с.

74. Копылов И.П., Ковалев Ю.З. Расчет переходных процессов электрических машин при автоматизированном проектировании// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1980. № 3. С. 7-12.

75. Костюк О. М. Элементы теории устойчивости энергосистем. Киев: Наук, думка, 1983. 296 с.

76. Костюк О.К, Соломаха М.И. Колебания и устойчивость синхронных машин. Киев: Наук, думка, 1991. - 200 с.

77. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

78. Кузовкин В.А., Степанов A.B. Оценка запаса динамической устойчивости энергосистем прямым методом Ляпунова. Электричество. 2002. № 1. С. 2-8.

79. Кузовкин В.А., Степанов A.B. Исследование запаса динамической устойчивости электротехнических систем прямым методом Ляпунова с использованием системы MATLAB. 7-я Научная конференция МГТУ «СТАНКИН». Сборник докладов, М.: 2004. С. 180-183.

80. Лаврик В.И., Фнлъчакова В.П., Яшин A.A. Конформные отображения физико-топологических моделей. Киев: Наук, думка, 1970. 252 с.

81. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961.524 с.

82. Лебедев С.А., Жданов П. С. Устойчивость параллельной работы электрических систем. М., Л.: Энергоиздат, 1934. 387 с.

83. Левинштейн М.Л. Операционное исчисление в задачах электротехники. Л.: Энергия, 1972. 357 с.

84. Ленг С. Эллиптические функции. М.: Наука,1984. 312 с.

85. Литкенс И.В., Пуго В.И. Колебательные свойства электрических систем. М.: Энергоатомиздат, 1988. 216 с.

86. Лукашов Э.С., Калюжный А.Х., Лизалек H.H. Длительные переходные процессы в энергетических системах. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1985. 197 с.

87. Лукашов Э.С. Введение в теорию электрических систем. Новосибирск: Наука, 1981. 173 с.

88. Малкин ИТ. Теория устойчивости движения. М.: Издательство «Наука», 1966. 532 с.

89. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1978. 418 С.

90. Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. М.: Наука, 1979. 56 с.

91. Мартынюк A.A. Практическая устойчивость движения. Киев: Наук, думка, 1983.248 с.

92. Мартынюк A.A., Гутовски Р. Интегральные неравенства и устойчивость движения. Киев: Наук, думка, 1979. 271 с.

93. Мартынюк A.A. Техническая устойчивость в динамике. Киев: Техника, 1973.187 с.

94. Мартынюк А. А. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наук, думка, 1975. 352 с.

95. Матросов В.М., Анаполъский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1980. 479 с.

96. Матросов B.M.K теории устойчивости движения. ППМ. 1962. 26,6. С. 9921000.

97. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. Под ред. A.A. Воронова, В.М. Матросова. М.: Наука, 1987. 312 с.

98. Молчанов A.A. Моделирование и проектирование сложных систем. К.: Вища школа. 1988. 359 с.

99. Молчанов И.Н. Машинные методы решения прикладных задач. Дифференциальные уравнения. К.: Наук, думка, 1988. 343 с.

100. Морошкин Ю.В. Функции Ляпунова для математических моделей электрических систем при учете переходных процессов в контурах ротора. Электричество, 1977, № 10. С. 13-19.

101. Нагорный Л.Я. Моделирование электронных цепей на ЦВМ. Киев: Техника, 1974. 360 с.

102. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949. 437 с.

103. Норенков И. П. Введение в автоматизированное проектирование технических устройств и систем. М.: Высш. Школа, 1980. 311 с.

104. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 336с.

105. ОртегаД., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 288 с,

106. Орурк H.A. Новые методы синтеза линейных и некоторых нелинейных динамических систем. М.-Л.: Наука, 1965. 207 с.

107. Осипов В.М. Основы метода изображающих векторов. Томск.: Изд. Томского университета, 1983. 426 с.

108. Павелла М. От общей теории Ляпунова к практическому прямому методу анализа динамической устойчивости энергосистем. Электричество. 2000. № 6. С. 14-26.

109. Петренко А.К, Власов» А.К, Тимченко А.П. Табличные методы моделирования электронных схем на ЭЦВМ. К.: Вица школа, 1977. 200 с.

110. Попов Б.А., Теслер Г.С. Приближение функций для технических приложений. Киев: Наук, думка, 1980. 352 с.

111. Потемкин ВТ. Вычисления в среде MATLAB. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2004.720 с.

112. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 392 с.

113. Пупков К.А., Копалин В.П., Ющенко А.С. Функциональные ряды в теории в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. 448 с.

114. Пупков К.А., Шмыкова H.A. Анализ и расчет нелинейных систем с помощью функциональных степенных рядов. М.: Машиностроение, 1982. 150 с.

115. Пухов Г.Е. Комплексное исчисление и его применение к расчету периодических и переходных процессов в системах с постоянными, переменными и нелинейными параметрами. Таганрог, 1956. 362 с.

116. Пухов Г.Е. Избранные вопросы теории математических машин. Киев: Наук, думка, 1964. 248 с.

117. Пухов Г.Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых электронных цепей. Киев: Киев: Наук, думка, 1967. 568 с.

118. Пухов Г.В. Преобразование Тейлора и их применение в электротехнике и электронике. Киев: Наук, думка, 1980. 418 с.

119. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразование функций и уравнений. Киев: Наук, думка, 1980.419 с.

120. Пухов Г.В. Дифференциальный анализ электрических цепей. Киев: Наук, думка, 1982. 496 с.

121. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования и математическое моделирование физических процессов. Киев: Наук, думка, 1988. 180 с.

122. Пухов Г.Е. Приближенные методы математического моделирования, основанные на применении дифференциальных преобразований. Киев: Наук, думка, 1988. 216с.

123. Пухов Г.Е. Дифференциальные спектры и модели. Киев: Наук, думка, 1990.184 с.

124. Пухов Г.Е., Ронто H.H. Об одном неявном методе интегрирования дифференциальных уравнений повышенной точности//Докл. АН СССР. 1980. 251,№ 3. С. 554-557.

125. Пухов Г.Е. Возможное обобщение классического метода расчета переходных процессов в электрических цепях// Техническая электродинамика. 1990. № 5. С. 3-14.

126. Пухов Г.Е. Метод основных и дополняющих составляющих в теории нелинейных электрических цепей// Elektroteknika. 1990. № 3-4. С. 275-276.

127. Пухов Г.Е. Векторные тригонометрические преобразования и применение их для моделирования переходных и периодических процессов// Теоритическая электротехника. 1984. Вып. 37. С. 3-18.

128. Ракитский Ю.В., Устинов СМ., Чериоруцкий Н.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. 208 с.

129. Ракитский Ю.В. О некоторых свойствах решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений одно шаговыми методами численного интегрирования// ЖВМиМФ. 1971. 11, № 6. С. 947-962.

130. Расчет сложных электрических цепей /Методические рекомендации/сост. Козорез Г.А., Корчинская К.Я., Семагина Э.П., Степанов A.B. Киев.: Наук .думка, 1981. 61 с.

131. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой// Сб. науч. труд. Под ред. Проф., д.т.н. Куликова Н.К., авт. Куликов Н.К., Кузьменко З.В., Миронова A.A., Некрасова О.Н. и др. М.: МТИПП, 1974. 208 с.

132. Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения. Киев: Наук.думка, 1989. 623 с.

133. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.

134. Самойленко A.M., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев: Вища школа, 1976. 180 с.

135. Семагина Э. П., Степанов A.B. Способ определения тейлоровских изображений нелинейных функций// Электрон, моделирование. 1981. № 5. С. 97-99.

136. Семагина Э.П., Степанов A.B. Моделирование электромеханических процессов в энергосистемах при малых возмущениях// Электронное моделирование. 1993. 15. №3. С. 3-9.

137. Семагина Э.П,. Степанов A.B. Анализ устойчивости многомашинных электроэнергетических систем//Электрон. моделирование. 1994. 16. N 5. С. 23-31.

138. Семагина Э.П,. Степанов A.B. Анализ электромеханических процессов в энергосистемах при малых возмугцениях/ЛГезисы докладов 4-й научно-технической конференции «Проблемы нелинейной электротехники». 1992. С. 15-15.

139. Сенигов П.H. Переходные процессы в синхронных машинах. Челябинск: ЧГТУ, 1993.-44с.

140. Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем. М.: Сов.радио, 1976. 606 с.

141. Симак Л. А. Дифференциальные преобразования на основе производных дробного порядка// Электрон. Моделирование. 1986. 8. № 4. С. 54-60.

142. Синицкий Л.А. Элементы качественной теории нелинейных электрических цепей. Львов: Изд. Львовского государственного университета, 1975. 152 с.

143. Совалов С.А., Баринов В.А. Режимы энергосистем: методы анализа и управления. М.: Энергия, 1990. 440 с.

144. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. /Редакторы Дя. Холл, Дх. Уатт. М.: Мир, 1979. 312 с.

145. Справочник по проектированию электрических сетей. / Под редакцией Д.Л. Файбисовича. М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2006. 320 с.

146. Стахив В.Г. Анализ динамических режимов в электронных схемах с многополюсниками. Львов: Вигца школа, 1988. 237 с.

147. Степанов A.B. О кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик//Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции «Проблемы нелинейной электротехники», часть 3, Киев: Наук. Думка, 1981. С. 63-65.

148. Степанов A.B. Оптимальная сплайновая аппроксимация характеристик элементов вентильных цепей//Сб. Математическое и программное обеспечение автоматизированного проектирования и исследования устройств электропитания на ЭВМ. КПИ, Киев. 1982. С. 161-168.

149. Степанов A.B. Аппроксимация нелинейных характеристик элементов электронных схем гладкими равномерными сплайнами//Тезисы докладов «Третьего республиканского совещания семинара по машинному проектированию электронных схем». Львов, 1983. С. 68-69.

150. Степанов A.B. Анализ резистивных цепей с нелинейными характеристиками представленными сплайнами//Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции «Проблемы нелинейной электротехники». Часть 1. Киев: Наук, думка, 1984. С.117-118.

151. Степанов A.B. Кусочно-линейная аппроксимация нелинейных характеристик с заданной абсолютной или относительной погрешностью// Сб.

152. Вычислительная техника и моделирование в энергетике. Киев: Наук, думка, 1984. С. 93-99.

153. Степанов A.B. Оптимальная аппроксимация аналитически заданных функций гладкими параболическими сплайнами//Электрон. моделирование. 1984. № 4. С. 9-13.

154. Степанов A.B. Аппроксимация таблично-заданных характеристик элементов электронных схем гладкими равномерными сплайнами/ЛГеоретическая электротехника. 1984. Вып. 37. С. 43-51.

155. Степанов A.B. Некоторые вопросы Т-анализа нелинейных электрических цепей. Препринт/Институт проблем моделирования в энергетике АН УССР. № 10. Киев. 1986. 54 с.

156. Степанов A.B. Аппроксимационный вариант неявной Т-схемы численного интегрирования/Теоретическая электротехника. 1985. Вып.39. С. 123-126.

157. Степанов A.B., Носач В.В. Метод математического моделирования в физическом эксперименте. Препринт /Институт проблем моделирования в энергетике АН УССР. N 36. Киев. 1985.25 с.

158. Степанов A.B., Семагина Э.П. Интегро-алгебраические уравнения в ДТ-анализе электрических цепей//Тезисы докладов 2-й Республиканской научно-технической конференции «Интегральные уравнения в прикладном моделировании», ч. 1, Киев, 1988. С. 210-211.

159. Степанов A.B. Анализ электрических цепей с использованием аппроксимационных ДТ-схем численного интегрирования//Тезисы докладов 1-й Всесоюзной конференции по теоретической электротехнике. Ташкент. 1987.1. С. 161-162.

160. Степанов A.B. Анализ нелинейных электрических цепей А-устойчивыми ДТ-методами численного интегрирования//Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Проблемы нелинейной электротехники». 1988. С. 71-73.

161. Степанов A.B. Об аппроксимационных вариантах неявных ДТ-схем численного интегрирования//Электрон. моделирование. 1988. № 3. С. 8-12.

162. Степанов A.B. Анализ нелинейных систем с полиномиальными нелинейностями, аппроксимационными ДТ-методами численного интегрирования//Теоретическая электротехника. 1989. Вып. 46. С. 52-58.

163. Степанов A.B. ДТ-схемы численного интегрирования ОДУ полученные на основе условий гладкости//Сб. «Гибридные вычислительные машины и комплексы». Киев: Наук, думка, 1989. № 12. С. 7-11.

164. Степанов A.B. Восстановление переходных колебательных процессов в электрических цепях по дифференциальным спектрам//Электрон. моделирование. 1989. 11. №6. С. 103-106.

165. Степанов A.B. Восстановление переходных колебательных процессов по дифференциальным спектрам//Управляющие электрические цепи и электромагнитные поля. Сб. науч. Трудов. Уфа. УАИ. 1989. С. 8-12.

166. Степанов A.B. Аппроксимация колебательных процессов подифференциальным спектрам с использованием эллиптических функций Якоби //Elektroteknika. 1890. 9. N 3-4. С. 355-363.

167. Степанов A.B. Об аппроксимации колебательных процессов в нелинейных системах эллиптическими функциями Якоби // Техника средств связи. Сер.: Системы связи. М., 1991. Вып. 1. С. 39-48.

168. Степанов A.B. Аппроксимация эллиптическими функциями Якоби колебательных процессов по дифференциальным спектрам. / Препринт. Ии-т проблем моделирования в энергетике АН УССР. Киев, 1991. 50 с.

169. Степанов A.B. Анализ нелинейных систем при периодическом внешнем воздействии по дифференциальным спектрам с использованием эллиптических функций Якоби // Электрон, моделирование. 1991. Т. 1., № 5. С . 58-63.

170. Степанов A.B. Дифференциально-комплексные преобразования функций при моделировании сложных динамических процессов по дифференциальным спектрам // Тезисы докладов 4-й научно-технической конференции «Проблемы нелинейнойэлектротехники». 1992. С. 15-15.

171. Степанов A.B. Восстановление динамических процессов в комплексной области по дифференциальным спектрам // Электрон, моделирование. 1992. Т. 14. № 5. С. 18-19.

172. Степанов A.B. Дифференциально-комплексные преобразования и моделирование сложных динамических процессов // Электрон, моделирование. 1993. Т. 15. N 1.С. 14-19.

173. Степанов A.B. Моделирование сложных процессов в комплексной области с использованием спектральных моделей динамических систем // Теор. электротехника. 1995. №52. С. 43-52.

174. Степанов A.B. Анализ запаса динамической устойчивости многомашинных энергосистем прямым методом Ляпунова. Вестник МГАУ. Электротехнологии, электрофикация и автоматизация сельского хозяйства. М.: 2005. 3(13). С. 51-57.

175. Степанов A.B. Выбор и расчет параметров математических моделей синхронных генераторов. Вестник МГАУ. Электротехнологии, электрофикация и автоматизация сельского хозяйства. М.: 2006. 3(18). С. 151-157.

176. Степанов A.B. Дифференциальные, дифференциально-комплексные преобразования и анализ сложных электротехнических систем. М.: Изд. МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2008. 166 с.

177. Стратан И.П., Неретин В.И., Спивак В.П. Расчет и анализ режимов электроэнергетических систем. Кишинев: 1990. 100 с.

178. Строев В.А., Шулъженко C.B. Математическое моделирование элементов электрических систем. Курс лекций. М. Издательство МЭИ, 2002. 56 с.

179. ФазыловХ.Ф. Теория и методы расчета электрических систем. Ташкент: Наука, 1964. 98 с.

180. Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике. Киев: Наук. Думка, 1972. 743 с.

181. Хайрер Э., Нерсет С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.

182. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972. 400 с.

183. Чебан В.М., Ландман А.К., Фишов А.Г. Управление режимами электроэнергетических систем в аварийных ситуациях. М.: Высшая школа, 1990. 147 с.

184. Черепенников В.Б. Метод функциональных параметров в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1983. 113 с.

185. ЧуаЛ. О., Пен-Мин Лин Машинный анализ электрических схем. М.: Энергия, 1980. 640 с.

186. Шипилло В.П. Операторно-рекуррентный метод анализа электрических цепей и систем. М.: Энергоатомиздат, 1991. 312 с.

187. Шокин Ю.И., Калмыков М.А., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1988. 224 с.

188. Шокин Ю.И., Калмыков С.А. Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1988. 224 с.

189. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978. 451 с.

190. Эроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986. 243 с.

191. Aylett P.D. The energy integral criterion of transient stability limits of power systems. // Proc. IEE. 1958. P. 1132-1141.

192. Bailliful J., Byrnes C.I. Geometric critical point analysis of lossness power systems models // IEEE Trans. Circuits and systems. 1982. 29. № 11. P. 703-711/

193. Bellman P. Vector Lyapunov function // SIAM J. Cont. 1962. Ser. A. № 1. P. 32-34.

194. Bergent A.R., Hill D.J., Marcot C.L. Lyapunov function for multimachine power systems with generator flux decay and voltage dependent loads // Inter. J. of Electrical power Energy systems. 1986. 8. № 1. P. 32-34.

195. Chao K.S., Lin D.K., Pan С. T. A systematic seach method for obtaining multiple solutions of simultaneous nonlinear equations. // IEE Trans. Circuits and Systems. 1975. Vol. 22. № 9. P. 248-253.

196. Caprio U.Di. Accounting for transfer conductance effects in Lyapimov transient stability analysis of a multimachine power systems // Int. J. of Electrical power Energy systems. 1988. 10. №4. P. 232-246.

197. Chua L. O., Ushida A. Aswitching-parameter algoritm for finding multiple solutions of nonlinear resistive circuits. // Int. J. Cicuits Teory and Applications. 1976. vol. 4. №3. P. 215-271.

198. Dahl O. G. C. Power system stability. // Electric Power Circuits. Vol. 11, New York: McCraw-Hill. Inc. 1938. 521 p.

199. Fouad A. A., Vittal V. The transient energy function method // Int. J. of Electrical power Energy systems. 1988. 10. № 4. P. 233-247.

200. Grujic Lj.T., MartynyukA.A., Ribbens-Pavella H. Large-scale systems stability under structual and singular perturbation. Berlin: Springer-Verlag, 1987. 366 p.

201. Lee S.M., Chao K.S. Multiple solutions of piecewise-linear resistive networks // IEEE Trans Circuits and systems. 1983. 30. №2. P. 84-89.

202. Magnusson P.C. Transient energy method of calculating stability. // AIEE Trans. 1947. Vol. 66. P. 211-223.

203. Morgan A.P. A method for computing all solutions to systems of polynomial equations. // ACM Trans. Mathematical Software. 1983. vol. 19. № 1. P. 1-17.

204. Pai M.A., Vittal V. Multimachine stability analysis using Vector Lyapunov functions with inertial center decomposition // Int. J. Electrical power energy systems. 1983. Vol 3. P. 138-144.

205. Ribbens-Pavella M, Evans F.J. Direct methods for studying dynamics of large-scale electric power systems-a survey // Automatica. 1985. 21. № 1. P. 1-21.

206. Shilling H.H., Yamakawa M.H. A graphical solution of transient stability. // Electrical Eng. 1940. Vol. 59. P. 159-167.

207. Xue Y., Wehenkel l, Delhomme R., Rousseaux P., Pavella M., Euxibie E., Heikbronn B., Kesigne J.F. Extended equak area criterion revisited. // Trans, on Power system. 1992. vol. 7. № 3. P. 1012-1021.1. Описание программ

208. FLp процедура вычисления функции Ляпунова;

209. К=6; число учитываемых дискрет дифференциального спектра;tshunt=0.1; время отключения КЗ;

210. Го г кш=1 :па1оас! п71=р8аЫ(кт,1); ¡Г п/,1 -=пЬа1р8аЫ(кт,1)=п; е1&е!Г пг1==прзаЫ(кт, 1 )=пЬа1; епс! епс) епс!п21=пи/0(пЬа1);пг2=пиг0(п); пиг0(п)=п21; пи2()(пЬа1)=П72;

211. Angd=zeros(l ,ngen); Ang=Angd;

212. V,W,Vg.=FLp(n,ngen,nload,naload,psg,psld,psald,. mc,cnuz,YdO,YluO,Sld,Sald,. Angs,Angd,U,Us,Ws,signL) Ws=W;

213. Wt=zeros(l,100); Wmax=0; signL=2; for kt=l:it for km=l:n1. U(km)=Ut(km,kt) ; endfor km=l:ngen

214. Ang(km)=An(km,kt) ; Angd(km)=And(km,kt); end it

215. S(km)=U(km) * conj (S (km)); if ksgn(km)==01. Sd(km)=-S(km); else

216. Sd(km)=S0(km)-S(km); end endfunction U,An,And,Tt,itk.=transient(n,ngen,nload,naload,. psg,psld,psald,mc,cnuz,Yd,Ylu,diag,lsparse,usparse,nrow,ncol,.

217. UO,AngO,AngdO,Us,Angs,signBL,T,K,signM,EmaxT) % Расчет переходных режимов if signBL==0ns=n-l; elsens=n; end

218. Задание массивов Angk=zeros(ngen, 10); Pgk=zeros(ngen, 10); uu=zeros(ngen, 10);

219. Ack=complex(uu,uu); % дифференциально-комплексный спектр Ack 1 =complex(uu,uu);

220. Вычисление задающих токов генераторов ank=0; for kt=I:ngen if psg(kt,12)~=10 nz=psg(kt,l); for ktl=l:k+lank(kt 1 )=Angk(kt,kt 1); end

221. Angk(kt,k+3 )=((HA2) * ph)/((k+1) * (k+2) * psg(kt, 10)). -kdP=Angk(kt,2);end end

222. Вычисление дифференциального спектра скольжений if naload>0 for kt=l :naloadnz=psald(kt,l);un=psald(kt,3);upd=psald(kt,10);upz=psald(kt,ll);r=psald(kt,7);xk=psald(kt,8);sn=psald(kt,2);a=(sn*upd*r)/(un*upz);for ktl=l:k+l

223. Angk(kt, 1 )=Angk(kt, 1 )+Angk(kt,kt 1+1 ) ; if ktl>l

224. Angk(kt,2)=Angk(kt,2)+kt 1 * Angk(kt,kt 1+1 ) ; end end endelseif signM==2 for kt=l :ngen for ktl=l :K-1

225. Aek(kt,kt 1 )=Angk(kt,kt 1 )+((h(kt) * kt 1 )/H) * Angk(kt,kt 1+1 ) * i ; endur=Ack(kt,l); for ktl=l:K-l

226. Ack(kt,kí 1 )=Ack(kt,kt 1 )/ur; endfor ktl=l:K-l ifktl==l

227. Ack 1 (kt, 1 )=log(Ack(kt ,1 )); end

228. Ack 1 (kt,kt 1+1 )=Ack(kt,kt 1+1 )/Ack(kt, 1 ); if ktl>l url=0; for l=l:ktl-lur 1 =ur 1+(l/kt 1 ) * (Ack(kt,kt 1 -1)/Ack(kt, 1 )) * Ack 1 (kt,l+1 ) ;end

229. Ack 1 (kt,kt 1+1 )=Ack 1 (kt,kt 1+1 )-ur; end end url=0;for ktl=l:K-lur 1 =ur 1 + Ack 1 (kt,kt 1 ) ; endur2=ur*exp(url); Angk(kt,l)=real(ur2); Angk(kt,2)=H * imag(ur2) ; endelseif signM==3 for kt=l:ngen for ktl=l:2

230. Ack(kt,kt 1 )=Angk(kt,kt 1 )+((h(kt) * kt 1 )/H) * Angk(kt,kt 1+1 ) * i ; endur=Ack(kt,l); for ktl=l:2

231. Ack(kt,ktl )=Ack(kt,ktl )/ur; end

232. U(kt,kpointl )=Uk(kt, 1); endfor kt=l :ngen if psg(kt,12)~=10 An(kt,kpoint 1 )=ang(kt); And(kt,kpoint 1 )=angd(kt)/H; else

233. An(kt,kpointl)=0; And(kt,kpointl)=0; end end

234. Tt(kpointl)=t; itk=kpointl; end elsefor kt=l :ngen

235. Вычисление дифференциального спектра функций sin, cos Sk=zeros(l,10);

236. Ck=zeros(l,10); Sk( 1 )=sin(ank( 1)); Ck( 1 )=cos(ank( 1)); if k>0 for 1=1 :k

237. Sk(k+1 )=Sk(k+1 )+(l * Ck(k-1+1 )* ank(l+1 ))/k; Ck(k+1 )=Ck(k+1 )-(l* Sk(k-1+1 )* ank(l+1 ))/k; end end-------------------------------------------------------------------------------------------------function psk.=pgspect(k,U3,U4)

238. Вычисление спектра активной мощности генераторовu=zeros(l,l);1. U=complex(u,u);psk=0;for 1=1 :k+l

239. U=U+U3 (k-1+2) *conj (U4(l)); endpsk=real(U);-------------------------------------------------------------------------------------------------function pad.=palspect(k,r,xk,uc,s)

240. Y(k 1 )=(ur 1 -ur2)/x( 1); endpad=y(k+l);-----------------------------------------------------------------------------function mad.=malspect(k,al ,a2,s)

241. B(kr)=B(kr)-lsparse(kc)*B(icol); end end endfor kr=l:n

242. B(n-kr+1 )=B(n-kr+1 )/diag(n-kr+1); kl=nrows(n-kr+l); kh=nrows(n-kr+2)-l; ifkh>=kj for krl=kl:kh irow=ncol(krl);

243. Vn=mgen(kg,3); % номинальное линейное напряжение

244. Pn=mgen(kg,4); % номинальная активная мощность со sfi=mgen(kg, 5);

245. Sn=Pn/cos(cosfi); % полная мощность fn=mgen(kg,6); % номинальная частота p=mgen(kg,7); % число пар полюсов

246. Vf=l; % номинольное напряжение возбуждения обмотки ротора (в pu)wen=2*pi*fn; % номинальная угловая частота токаwmn=wcn/p; % номинальная угловая скорость ротора

247. J=mgen(kg,8); % момент инерции кг*мА2

248. H=(J*wmnA2)/(2*Sn*1.0e+6); % постоянная инерции в сек.

249. Vb=sqrt(2/3)*Vn; % базовое напряжение Ib=sqrt(2/3)*Sn/Vn; % базовый ток

250. Rrq=xrq/(wen* Tsqo); Trq=Tsqo;case 2 Tsqo=(Tsq*xq)/xsq; Tpqo=Tsqo; Rrq=xrq/(wen* Tsqo); Trq=Tsqo;case 3 xrql=xrq;a=(xmqA2) * (xsq-xq-xrq 1 +2 * xmq); b=xsq*xrq 1 -xq*xrq 1 -xmqA2; xrq2=a/b;xprq=( 1 -(xmqA2)/(xq*xrq2)) * xq;

251. B=Rs 0 0 xq xmq; 0 Rr О 0 0; 0 0 Rrd 0 0; -xd -xmd -xmd Rs 0; О О О 0 Rrq.; Binv=inv(B);al=xd/wen;a2=xmd/wen; a3=xr/wen; a4=xrd/wen; a5=xq/wen; a6=xmq/wen; a7=xrq/wen;

252. A=al a2 a2 О 0 0; a2 аЗ a2 О 0 0; a2 a2 a4 О О 0; ООО a5 аб аб; О О 0 аб a7 аб; О О О аб аб а8.;

253. Tsqb=xsq*Tsqo/xq; % case 2 % we have Tq", we need Tqo" xa=xl;1. Tsqob xq*Tsq/xsq; %case 3 % we have Tqo',Tqo", we need Tq',Tq" xa=xl;

254. So=Tpqo+Tsqo; Po Tpqo*Tsqo;

255. A=xq*xq*xsq -So*xq*xpq*xsq xpq*xsq*Po*(xq+xsq)-xq*xsq*xsq*Po.; TQ=sort(roots(A)); if(imag(TQ(2))~=0) Tpqb=Tpqo*xpq/xq; % Tpq=abs(TQ(2)); else1. Tpqb=TQ(2); end

256. Tsqb=Po * xsq/ (xq* Tpq) ; case 4 % we have Tq',Tq", we need Tqo',Tqo" xa=xl;

257. Wg=Wg-(e*u*cos(ag-au))/xg; end end

258. Вычисление узловых напряжений U для определения критического значенияu=zeros(l ,п);1.=complex(u,u);ns=n;if signBL==0ns=n-l; endfor ku=l:ngen ifpsg(ku,12)~=10 nz=psg(ku,l); yg=l/(psg(ku,3)*i); di ag(nz)=diag(nz)+y g; end end

259. Вычисление вектора задающих токов

260. УХВЕЩДД!) Замдиректора по научной работе» к.т.н.

261. Акт об использовании результатов научной работы

262. От ИПМЭ HAh Украины От предприятия

263. Зав. отделом Начальник отделе1. Семагина Э «Iisст.н.сот-р1. Зав.сектором1. Степанов Ä.B1. ТимовскиЙ А.К-Д11ректср<-В©лоруесксго

264. Завлечение о возможности использования результатовдиссертационной работы А.В.Степанова ■ &