автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.07, диссертация на тему:Разработка машинно-ориентированных методов статистического анализа нелинейных нестационарных систем

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Общая характеристика методов анализа нелинейных автоматических систем при случайных воздействиях.

1.2. Статистический анализ нелинейных систем, описываемых функциональными рядами Вольтера.

1.3. Метод статистической линеаризации вероятностного анализа нелинейных систем.

1.4. Методы статистического анализа, основанные на использовании разложения корреляционной функции выходного сигнала нелинейного статического элемента по степеням нормированной корреляционной функции воздействия.

1.4.1. Метод эквивалентной передаточной функции.

1.4.2. Метод баланса спектральных плотностей и математических ожиданий.

1.5. Вероятностное исследование нелинейных нестационарных систем методом статистических испытаний.

1.6. Метод канонических разложений статистического анализа нелинейных нестационарных систем.

1.7. Метод эквивалентных возмущений.

1.8. Интерполяционный метод анализа точности систем автоматического управления.

1.9. Спектральные методы анализа нелинейных систем при случайных воздействиях.

1.10. Выводы.

ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНА

ЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

2.1. Спектральный метод вероятностного исследования стационарных нелинейных систем в установившемся и неустановившемся режимах с использованием статистической линеаризации нелинейных элементов.

2.2. Спектральный метод вероятностного анализа нестационарных нелинейных систем с использованием статистической линеаризации нелинейных элементов.

2.3. Метод статистического баланса 2"го порядка.

2.4. Спектральный метод статистического исследования систем для случая, когда закон распределения на входе нелинейного элемента отличен от нормального.

2.5. Численно-спектральный метод статистического анализа нелинейных нестационарных автоматических систем.

2.6. Метод статистического баланса п-го порядка исследования нелинейных автоматических систем.

2.7. Выводы.

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ МЕТОДОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

К ВЕРОЯТНОСТНОМУ РАСЧЕТУ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКОГО СЛЕДЯЩЕГО ВИБРАТОРА И САР КС.

3.1. Системы вибрационных нагружений (СВН) для испытаний конструкций атомной энергетики.

3.2. Конструкция электрогидравлического вибростенда и его математическая модель.

3.3. Статистический анализ электрогидравлического следящего вибратора спектральным методом с использованием статистической линеаризации.

3.4. Статистический анализ ЭГСВ методом статистического баланса 2"го порядка.

3.5. Алгоритм исследования точности работы электрогидравлической системы вибрационных нагружений на нестационарные случайные нагрузки.

3.6. Проблемы автоматического регулирования реакторов нулевой мощности.

3.7. Статистический анализ системы автоматического регулирования критического стенда.

3.8. Выводы.

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭГСВ

КАК НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ.

4.1. Цель и содержание эксперимента.

4.2. Методика проведения эксперимента.

4.3. Результаты эксперимента.

4.4. Выводы.

Реальные элементы автоматических систем лишь при известной идеализации можно считать в некоторых пределах линейными. В силу этого практически любая система является нелинейной. Большинство нелинейных систем автоматического управления следует относить к нестационарным, так как в зависимости от режимов и времени работы изменяются их параметры. В этом случае динамические процессы в системах описываются дифференциальными, разностными или интегральными уравнениями с переменными коэффициентами. У одних систем нестационарными являются объекты управления, а у других - автоматические регуляторы, которые могут реализовать нелинейные законы управления или создать типовые нелинейности [34, 58, 86].

Большая часть автоматических систем управления находится под действием случайных возмущений и, как следствие, случайных управляющих воздействий, которые в общем случае следует рассматривать как случайные функции. Для их исследования следует применять статистические (вероятностные) методы [59, 67]. Чтобы полностью охарактеризовать случайный процесс и поведение автоматической системы, необходимо на множестве реализаций этих процессов или состояний системы задать вероятностную меру. В качестве такой вероятностной меры служит п - мерный закон распределения случайной функции 7(/) для всех п произвольно взятых значений /ь к, ■ ■ ■ Л аргумента времени I.

В практических инженерных расчетах полными вероятностными характеристиками случайных процессов - «-мерными законами распределения пользоваться неудобно в силу сложности их вычисления. Поэтому применяют менее полные, но более простые вероятностные характеристики -моменты случайных функций и величин [67]. Наиболее широко в практике исследования автоматических систем управления применяют начальный вероятностный момент первого порядка случайной функции, представляющий математическое ожидание случайной функции ту (/) = М[¥(1)], т. е. среднее ее значение для каждого аргумента и и второй центральный вероятностный момент случайной функции ¿г)= М{[¥(Н ) - ту(Ь )]• {У(12) -- ту(Н )]} для каждой пары значений аргумента представляющий собой корреляционную функцию, а при равных аргументах 1\ = *2 = 1 ~ дисперсию Оуу (0 = Яуу (А 0 случайной функции.

Важной задачей статистического анализа систем автоматического управления (САУ) является определение математического ожидания и корреляционной функции (или дисперсии) выходного сигнала системы или сигнала ошибки.

Актуальность темы. Разработка вероятностных методов, позволяющих эффективно решать задачи анализа, синтеза оптимального управления, оптимизации качества систем и идентификации параметров является одним из основных направлений в статистической теории автоматических систем. В настоящее время методы решения перечисленных задач хорошо развиты применительно к нелинейным стационарным системам, работающим в установившихся режимах. Однако для более общего класса систем - нелинейных нестационарных систем - эти методы разработаны еще недостаточно и по этой причине мало применяются в инженерной практике.

Следует отметить, что характерной чертой методов статистического анализа нелинейных нестационарных автоматических систем является их относительная сложность по сравнению с методами детерминированного анализа, поэтому актуальной становится задача разработки современных машинных методов статистического анализа нелинейных нестационарных систем и соответствующего алгоритмического и программного обеспечения.

Цель работы и задачи исследования. Предлагаемая работа посвящена проблеме статистического анализа и автоматизированного исследования нелинейных нестационарных систем. Целью работы является разработка методов, и программного обеспечения статистического анализа нелинейных нестационарных систем управления, удобных в инженерной практике.

Для достижения сформулированной цели ставятся следующие задачи исследования:

1. Разработка методов статистического анализа нелинейных нестационарных систем автоматического управления, пригодных для анализа как установившихся, так и неустановившихся режимов работы как стационарных, так и нестационарных систем.

2. Разработка алгоритмического и программного обеспечения для автоматизированного исследования нелинейных нестационарных систем.

3. Проведение теоретических и экспериментальных исследований неустановившегося режима работы нелинейной автоматической системы, в качестве которой рассматривается электрогидравлический следящий вибратор (ЭГСВ), применяемый для испытаний элементов конструкций ядерных энергетических установок (ЯЭУ).

4. Проведение теоретических исследований неустановившегося режима работы нелинейной автоматической системы, представляющей собой систему автоматического регулирования (САР) критического стенда (КС) [79].

Научная новизна работы. Разработаны новые методы статистического анализа нелинейных нестационарных систем с использованием разложений временных характеристик сигналов и систем по базису ортогональных функций. Разработанные методы отличают: возможность применения методов для статистического анализа как стационарных, так и нестационарных систем, причем нестационарными могут быть режимы работы, сигналы и сама система; возможность учета обогащения спектральной плотности (для стационарных систем) на выходе нелинейного статического элемента (метод статистического баланса 2 порядка); применимость при большом количестве нелинейных элементов в системе; применимость при высоком порядке (сотни) линейной части системы; ориентация на применение ЭВМ.

Разработаны алгоритмы статистического анализа и программное обеспечение в среде пакета Л£47ХА# (версии 4.2 и выше), предназначенное для автоматизированного исследования нелинейных нестационарных систем.

Проведен статистический анализ серийного вибрационного стенда, построенного на основе ЭГСВ. Произведен статистический анализ нелинейной модели САР КС.

Практическая ценность и внедрение. Разработанные методы статистического анализа нелинейных нестационарных систем управления, а также построенное на их основе программное обеспечение использованы при проведении статистического исследования ЭГСВ, входящего в состав опытной электрогидравлической вибрационной испытательной установки. Эта установка является частью разработанной в Калужском филиале МГТУ им. Н.Э. Баумана многоцелевой системы управления виброиспытаниями изделий машино- и приборостроения. Целью исследования была оценка влияния нелинейного закона изменения коэффициента передачи цепи главной электрической обратной связи ЭГСВ на статистические характеристики его выходного сигнала. Результаты исследования включены в проектную документацию.

Разработанные методы внедрены на 3-х предприятиях г. Калуги: АО "Калужский турбинный завод", АО "Калужский приборостроительный завод "Тайфун"" и АО "Восход". Методы внедрены также в учебных процессах кафедр: "Системы автоматического управления и электротехника" Калужского филиала МГТУ им. Н.Э. Баумана и "Автоматика, контроль и диагностика ядерных энергетических установок" Обнинского института атомной энергетики. Имеются соответствующие акты о внедрении.

Положения, выносимые на защиту. Автор защищает:

1) Спектральный метод статистического анализа нелинейных нестационарных систем с использованием статистической линеаризации;

2) Метод статистического баланса 2 порядка;

3) Алгоритмическое и программное обеспечение для автоматизированного исследования нелинейных нестационарных систем;

4) Результаты исследования ЭГСВ и САР КС.

Апробация работы и публикации. Проведенные с помощью разработанных методов статистические исследования конкретных конструкций испытательных стендов на основе ЭГСВ включены в конструкторскую документацию.

Результаты работы докладывались на Российских и международной научно-технических конференциях [20, 26, 29, 30, 48, 97, 98], а также на XXXII НАУЧНЫХ ЧТЕНИЯХ, посвященных разработке творческого наследия К.Э. Циолковского [31, 32]. По теме диссертации проведена работа в двух программах Министерства общего и профессионального образования Российской Федерации: 1) "Конверсия и высокие технологии. 1997-2000 г.г." (Проект № 43-1-28); 2) "Университеты России. Технические университеты. 1997 г.".

Основное содержание работы отражено в 2-х статьях [27, 32], в книге [41] и в учебном пособии по курсу "Теория автоматического управления" [25].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Работа изложена на 200 страницах, в том числе основного текста 165 страниц, 64 рисунка, 2 таблицы, библиографический список из 122 наименований на 11 страницах и приложение на 24 страницах.

-1634.4. Выводы

С целью проверки теоретических положений, изложенных во второй главе, и достоверности результатов статистического анализа конкретной конструкции ЭГСВ, выполненного в третьей главе, проведено экспериментальное исследование.

В качестве объекта исследования выбран ЭГСВ, входящий в состав опытной электрогидравлической вибрационной установки. ЭГСВ в эксперименте рассматривается как нелинейная стационарная система. Исследуется переходный режим работы.

Опытная электрогидравлическая вибрационная установка входит в состав многоцелевой системы управления виброиспытаниями, разработанной в Калужском филиале МГТУ им. Н.Э. Баумана. Система реализована на базе микро-ЭВМ и имеет модульную структуру. На основе типовых модулей этой системы была собрана экспериментальная установка для статистического исследования ЭГСВ в классе нелинейных систем.

Полученные экспериментальные данные вполне удовлетворительно согласуются с теоретическим расчетом по методу статистического баланса 2-го порядка: качественное совпадение практически полное, а расхождение теоретических и экспериментальных оценок статистических характеристик выходного сигнала (математического ожидания, дисперсии, нестационарной автокорреляционной функции) не превышает 10%.

В целом эксперимент позволяет сделать вывод, что моделирование нелинейных стационарных и нестационарных систем методами, предложенными во второй главе, дает достаточно адекватное для большинства практических приложений формальное описание таких систем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработаны методы статистического анализа нелинейных нестационарных систем, основанные на использовании разложений временных характеристик сигналов и систем по базису ортогональных функций: 1) Спектральный метод статистического анализа нелинейных нестационарных систем с использованием статистической линеаризации; 2) Метод статистического баланса 2 порядка.

Методы обеспечивают:

- расчет математического ожидания и корреляционной функции выходных случайных сигналов нестационарных систем при действии случайных нестационарных входных сигналов, а также переходных режимов работы стационарных систем;

- учет в стационарных системах обогащение спектральной плотности на выходе нелинейного статического элемента (см. п. 2.3 диссертации - метод статистического баланса 2-го порядка).

- получение математического описания нелинейной системы на основе дискретных спектральных характеристик, которое позволяет одинаково легко решать как прямую так и обратную задачу анализа, т.е. имеется возможность определять как статистические характеристики выходных сигналов по характеристикам входных, так и наоборот, определять статистические характеристики входных сигналов по известным характеристикам выходных.

Кроме того,

• в системе может быть множество (порядка десятков и сотен) нелинейных статических элементов;

• линейная часть системы может быть высокого порядка (сотни).

• методы ориентированы на использование ЭВМ. Задача статистического анализа сводится к решению систем матричных алгебраических уравнений и решается методом последовательных приближений.

-1652. Получено математическое описание на основе дискретных спектральных характеристик для типовых моделей нелинейных систем и разработаны алгоритмы их статистического анализа. Большинство реальных нелинейных нестационарных систем управления может быть сведено к одной из этих типовых моделей, что позволяет значительно упростить задачу анализа.

3. Проведено апробирование методов в вычислительной практике -теоретическое исследование электрогидравлического следящего вибратора и системы автоматического регулирования критического стенда.

4. Выполнено экспериментальное исследование электрогидравлического следящего вибратора, входящего в состав опытной электрогидравлической вибрационной установки. Вибратор в эксперименте рассматривается как нелинейная стационарная система с одним нелинейным статическим элементом, имеющим зоны линейности и насыщения. Полученные экспериментальные данные хорошо согласуются с теоретическими расчетами, проведенными по методу статистического баланса 2-го порядка.

Автор выражает искреннюю благодарность профессору, члену-корреспонденту АИН Егупову Н.Д., доценту Слекеничсу Я.В. и профессору Корнюшину Ю.П. за непрерывное внимание и активную поддержку в работе над диссертацией.

1. Аверьянов И.Н., Габибулаев М.О., Мусатов Е.А. Адаптивный гидравлический вибратор // Автоматизация исследования, проектирования и испытания сложных технических систем: Тез. докл. Росс. науч. технич. конф.- Калуга, 1993.- с. 60.

2. Автоматическое управление вибрационными испытаниями. М.: Энергия, 1978.- 110 с.

3. Астапов Ю.М., Медведев B.C. Статистическая теория систем автоматического регулирования и управления / Под ред. Е.П. Попова. М: Наука, 1982.- 304 с.

4. Ахмет Н., Pao К. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь, 1980.- 248 с.

5. Баранов В.Н., Захаров Ю.Е. Электрогидравлические и гидравлические вибрационные механизмы. М.: Машиностроение, 1977.- 326 с.

6. Баранов В.Н. Электрогидравлические следящие приводы вибрационных машин. М.: Машиностроение, 1988.- 264 с.

7. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. -М.: Наука, 1975.-767 с.

8. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1971.-408 с.

9. Божко А.Е. Воспроизведение вибраций. Киев: Наукова думка, 1975.- 190 с.

10. Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний. М.: Физматгиз, 1961.-16712. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейныхколебаний: Учеб. пособ. для втузов. М.: Наука, 1987.- 384 с.

11. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М: Советское радио, 1971.- 326 с.

12. Ванюрихин Г.И., и др. Основы автоматического управления. М.: Воениз-дат, 1972.-327 с.

13. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов / Пер. с англ. под ред. Ю.Л. Климантовича. М: ИЛ, 1961.- 159 с.

14. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифферен-циальных уравнений / Пер с англ. под ред. П.И. Кузнецова. М.: Наука, 1982.- 304 с.

15. Воронов A.A., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1977.- 519 с.

16. Вычислительные методы / Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И., т. 1 .-М.: Наука, 1976.- 304 с.

17. Вычислительные методы / Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И., т. 2.-М.:Наука, 1977.-400с.

18. Гладкий В.Ф. Прочность, вибрация и надежность конструкции летательного аппарата. М: Наука, 1975.- 454 с.

19. Евланов Л.Г., Константинов В.М. Системы со случайными параметрами. -М.: Наука, 1976.- 588 с.

20. Егупов Н.Д. (соавтор §1.4, § 1.5, §1.6, §1.7, §1.8, §3.1, §3.2 Габибулаев М.О.) Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического управления: Учебное пособие / Под ред. Корнюшина Ю.П.- Калуга, 1997.-с. 48-148,265-311.

21. Егупов Н.Д., Габибулаев М.О. Спектральный метод статистического анализа нелинейных нестационарных систем // Труды МГТУ № 569 "Методы исследования и проектирования сложных технических систем".- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997.- с. 3-13.

22. Егупов Н.Д., Кожевников А.Б., Татьянич Н.В. Управление в технических системах. Статистическая динамика систем управления // Методические указания по изучению теоретических положений дисциплины "Управление в технических системах". Калуга, 1988,135 с.

23. Идентификация и оптимизация нелинейных стохастических систем / Попков Ю.С., Киселев О.Н., Петров Н.П., Шмульян Б.Л. М: Энергия, 1976.440 с.

24. Казаков И.Е. Статистические методы проектирования систем управления. М.: Машиностроение, 1969.- 262 с.

25. Казаков И.Е., Доступов Б.Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1962. - 332 с.

26. Канторович П.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -M.-JL: ГИФМЛ, 1962.-708 с.

27. Кириллов Н.Е. Помехоустойчивая передача сообщений по каналам со случайно изменяющимися параметрами. М.: Связь, 1971256 с.

28. Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. М.: Наука, 1966.-317 с.

29. Кочубиевский И.Д. Системы нагружения для исследования и испытаний машин и механизмов. М: Машиностроение, 1985.- 221 с.-17040. Кузовков Н.Т. Динамика систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1968.-426 с.

30. Лапин C.B., Егупов Н.Д. (соавтор §4.4 Габибулаев М.О.). Теория матричных операторов и ее приложение к задачам автоматического управления. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997.- с. 317-330.

31. Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностью модели и методы в системах связи и управления. М.: Радио и связь, 1985. Вып. 24.- 312 с.

32. Лекции по теории управления / Зубов В.И. М.: Наука, 1975.- 496 с.

33. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. М.: Изд-во МАИ, 1995.- 344 с.

34. Лившиц НА., Пугачев В.Н. Вероятностный анализ систем автоматического управления. Т. 1 и 2 М: Советское радио, 1963.- 896 с. и 484 с.

35. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Пер. с англ. под. ред. Я.З. Цыпкина. М.: Наука, 1991.- 432 с.

36. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978.- 376 с.

37. Машинные методы расчета и проектирования систем электросвязи и управления: Учеб. Пособие / А.Н. Дмитриев, Н.Д. Егупов, A.M. Шестопа-лов, Ю.Г. Моисеев. М.: Радио и связь, 1990.- 272 с.

38. Методы автоматизированного проектирования нелинейных систем / С.К. Коваленко, М.А. Колывагин, B.C. Медведев и др.; Под ред. Ю.И. Топчее-ва. М: Машиностроение, 1993.- 576 с.

39. Методы оптимизации в статистических задачах управления / Батков A.M. и др. М.: Машиностроение, 1974.- 240 с.

40. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы / Пер. с фр. и предисловие А.И. Штерна. М.: Наука, 1990.- 488 с.

41. Михайлов Ф.А., Теряев Е.Д., Булеков В.П., Данков Г.Ю., Саликов Л.М., Степаньянц Г.А. Динамика нестационарных линейных систем. М: Наука, 1967.- 368 с.

42. Налимов В.В. Теория эксперимента М.: Наука, 1971.- 207 с.

43. Нелинейные нестационарные системы / Г.Л. Вышковский, J1.3. Ганополь-ский, A.M. Долгов и др. Под ред. Топчеева Ю.И. М.: Машиностроение, 1986.-336 с.

44. Основы автоматического управления / 3-е изд. Под ред. B.C. Пугачева. -М: Наука, 1974.- 720 с.

45. Основы автоматического управления и регулирования / Зайцев Г.Ф., Кос-тюк В.И., Чинаев П.И. Киев: Технжа, 1975.- 496 с.

46. Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.-615 с.

47. Первозванский A.A. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. М: Физматгиз, 1962.- 352 с.

48. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.- 392 с.

49. Попов Д.Н. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем: Учебник для вузов. М.: Машиностроение, 1987.- 464 с.-17265. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования иуправления. М: Наука, 1979.- 256 с.

50. Приборы и системы для измерения вибраций, шума и удара. Справочник в 2-х книгах / Под ред. Клюева В.В. М.Машиностроение, 1978.- 447 и 439 с.

51. Пугачев B.C. Теория случайных функций и их применение в задачах автоматического управления. М: Физматгиз, 1962. - 883 с.

52. Пугачев B.C., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистаческой теории автоматических систем. -М.: Машиностроение, 1974.- 400 с.

53. Пупков К.А. Метод исследования точности существенно нелинейных систем автоматического управления при помощи эквивалентной передаточной функции. Автоматика и телемеханика, 1960, т. 21, № 2.

54. Пупков К.А. Статистический расчет нелинейных систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1965.- 404 с.

55. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко A.C. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. - 448 с.

56. Пупков К.А., Неусыпин К.А. Вопросы теории и реализации систем управления и навигации. М.: Биоинформ, 1997.- 368 с.

57. Пупков К.А., Себряков Г.Г. Ортогональный метод исследования нелинейных систем автоматического управления при случайных воздействиях. -Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1967, № 2, с. 147-157.

58. Пупков К.А., Шмыкова H.A. Анализ и расчет нелинейных систем с помощью функциональных степенных рядов М.: Машиностроение, 1982.150 с.

59. Романенко А.Ф., Сергеев Г.А. Вопросы прикладного анализа случайных процессов. М.: Советское радио, 1968.- 256 с.

60. Санковский Е.А. Вопросы теории автоматического управления. М.: Высш. школа, 1971.-231 с.

61. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука, 1968.-463 с.

62. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М.: Наука, 1965.-511с.

63. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.- 312 с.

64. Солодовников В.В. Введение в статистическую динамику систем автоматического управления. Л.: Госуд. изд-во технико-теоретической литературы, 1952.- 368 с.

65. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, i960.- 655 с.

66. Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления. М.: Машиностроение, 1986.-440 с.

67. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев A.B. Теория автоматического управления техническими системами: Учеб. пособие. М: Изд-во МГТУ, 1993.-492 с.

68. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.: Наука, 1974. - 335 с.

69. Статистический анализ и оптимизация следящих систем / Под ред. A.B. Поцелуева. М.: Машиностроение, 1977. - 360 с.

70. Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического управления. Под ред. Б.Г. Доступова. М.: Машиностроение, 1970.408 с.

71. Сырицин Т.А. Надежность гидро- и пневмопривода. М.: Машиностроение, 1981.-216 с.

72. Теория рядов. Воробьев H.H., 4 изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1979, 408 с.

73. Терентьев В.Г., Чиглинцева И.М. Системы контроля, регулирования и защиты ядерных энергетических установок. Ч. 1. Динамика ядерного реактора при работе на малых уровнях мощности: Учебное пособие. М: Изд-во МИФИ, 1974.- 164 с.

74. Тихонов В.И. Анализ и синтез нелинейных систем при случайных воздействиях: Современные методы проектирования систем автоматического управления / Под ред. Б.Н. Петрова, В.В. Солодовникова, Ю.И. Топчеева. -М.: Машиностроение, 1967, с. 488-519.

75. Тихонов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986. - 624 с.

76. Тищенко Н.М. Введение в проектирование систем управления. М.: Энергоатомиздат, 1986.- 248 с.

77. Трофимов А.И., Егупов Н.Д., Дмитриев А.Н. Методы теории автоматического управления. М.: Энергоатомиздат, 1996.- 654 с.

78. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир, 1969,-506 с.

79. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973.-957 с.

80. Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968.- 399 с.

81. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973.-414 с.

82. Чернецкий В.И. Анализ точности нелинейных систем управления. М.: Машиностроение, 1968,246 с.

83. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965.-208 с.

84. Шаталов А.С. Преобразование сигналов автоматического управления. -M.-JL: Энергия, 1965.- 344 с.

85. Шетсен М. Моделирование нелинейных систем на основе теории Винера. -ТИИЭР, 1981, т. 69, № 12, с. 44-62.

86. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 1. Пер. с англ. М.: Мир, 1985.-264 с.

87. Adomian G. Stochastic Nonlinear Modeling of Fluctuations in a Nuclear Reactor a New Approach // Ann. Nuclear Energy, 1981, Vol. 6.- pp. 329-330.

88. Benhadj Braiek E., Rotella F. LOGID: a non-linear systems identification software. MODELLING AND SIMULATION of systems, P. Breedveld et al. (editors), J.C. Baltzer AG, Scientific Publishing Co., IMACS, 1989.- pp. 211217.

89. Chou J.-H. Horng I.-R. State estimation using continuous orthogonal functions. INT.J. SYSTEMS SCI., 1986, Vol. 17, No. 9.-pp. 1261-1267.

90. Kung F.-C., Shih D.-H. Analysis and identification of Hammerstein model non-linear delay systems using block-pulse function expansions. INT. J. CONTROL, 1986, Vol. 43,No. l.-pp. 139-147.

91. Lee H., Bien Z. Method of computing the inverse of matrix whose elements are a linear combination of Walsh functions. INT. J. CONTROL, 1988, Vol. 47, No. 5.-pp. 1235-1242.

92. Lee T.-T., Chang Y.-F. Analysis, parameter estimation and optimal control of non-linear systems via general orthogonal polynomials. INT. J. CONTROL, 1986, Vol. 44, No. 4.- pp. 1089-1102.

93. Longman M. The Summation of Fourier, Chebyshev, and Legendre Series. APPLIED MATHEMATICS AND COMPUTATION, 1987, No. 23.- pp. 61-70.

94. Palanisamy K.R., Balachandran K. Analysis of time-varying singular systems via single-term Walsh-series approach. IEE PROCEEDENGS, Vol. 135, Pt. D, No. 6, November 1988.- pp. 461-462.

95. Ranganathan V., Jha A.N. Rajamani V.S. Identification of non-linear distributed systems via a Laguerre polynomial approach. INT. J. SYSTEMS SCI., 1986, Vol. 17, No. 2.- pp. 241-249.

96. Ranganathan V., Jha A.N. Rajamani V.S. Recursive parameter-estimation algorithms for bilinear and non-linear systems using a Laguerre-polynomial approach. INT. J. CONTROL, 1986, Vol. 44, No. 2.- pp. 419-426.

97. Shih D.-H., Kung F.-C. Nonlinear system identification via block-pulse functions. Advances in Modeling & Simulation, AMSE Press, Vol. 5, No. 1, 1986.-pp. 49-62.

98. Shih D.-H., Kung F.-C. The shifted Legendre approach to non-linear system analysis and identification. INT. J. CONTROL, Vol. 42, No. 6,1985.- pp. 13991410.