автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и реализация моделей измерения латентных переменных с нечеткими множествами данных

На правах рукописи

СОЛОВЬЕВА ЕЛЕНА ВАЛЕНТИНОВНА

РАЗРАБОТКА И РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ ЛАТЕНТНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ С НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ ДАННЫХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж — 2014

005554146

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный архитектурно-строительный университет».

Научный руководитель: Моисеев Сергей Игоревич, кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный архитектурно-строительный университет», доцент кафедры управления строительством

Официальные оппоненты: Маслак Анатолий Андреевич, доктор

технических наук, профессор, филиал ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет» в г. Славянске-ка-Кубани, заведующий лабораторией объективных измерений

Сергеев Михаил Юрьевич, кандидат технических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», доцент кафедры автоматизированных и вычислительных систем

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Воронежский государствен-

ный университет»

Защита состоится 22 сентября 2014 года в 1100 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский проспект, 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» и ка сайте www.vorstu.ru

Автореферат разослан «28» июля 2014 года.

Учёный секретарь ^

диссертационного совета <0/'---Барабанов Владимир Фёдорович

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Многие системы и процессы в социальных, гуманитарных, образовательных и многих других областях науки описываются с помощью латентных (то есть скрытых, неявных) переменных. Математические методы измерения латентных переменных - направление в математическом моделировании достаточно новое и до конца не исследованное, а потребность в таких методах, несомненно, высокая. Возможность объективно и адекватно измерять латентные переменные позволит на математическом уровне оперировать с такими качественными категориями, как эффективность, уровень, степень, качество, а так же многими другими.

Существует несколько подходов к измерению латентных переменных. В начале XX века в психологии для оценки латентных параметров личности была разработана теория латентно-структурного анализа, которая позволяла на достаточно поверхностном уровне оценивать латентные показатели. Значительным прорывом в области измерения латентных переменных стало создание в 60-е годы датским математиком Георгом Рашем самосогласованной модели оценки латентных переменных, основанной на вероятностном подходе к оценкам переменных через измеряемые индикаторные переменные.

Раш-анализ в настоящее время активно развивается, в том числе и в нашей стране. Весомый научно-методический вклад в развитие и использование методов измерения латентных переменных внесли отечественные ученые Аванесов B.C., Анисимова Т.С, Беспалько В.П., Майоров А.Н., Маслак A.A., Михайлычев Е.А., Нейман Ю.М., Самыловский А.И., Татур А.О., Мельникова М.Б., Хлебников В.А. и другие. Однако существующие модели оценки латентных переменных, особенно основанные на Раш-анализе, имеют и ряд ограничений. Наиболее существенными недостатками модели Раша являются следующие:

выборки обрабатываемых данных должны носить дискретный характер (дихотомические и политомические модели). При этом на практике часто возникает потребность в обработке данных, имеющих непрерывный спектр;

необходимость использования для практических расчетов специализированного программного обеспечения;

невозможность измерения латентных переменных, меняющихся с

течением времени.

Устранение этих недостатков, несомненно, позволит значительно расширить область применения латентных измерений.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью создания новых математических моделей измерения латентных переменных, совершенствования математического, алгоритмического и программного обеспечения вычислительного аппарата, разработки новых подходов к их применению в различных сферах практической и научной деятельности.

з

Тематика диссертационной работы соответствует одному из научных направлений ФБГОУ ВПО «Воронежский государственный архитектурно-строительный университет» - «Системы управления сложными организационно-техническими объектами».

Цель работы. Целью диссертации является создание математических методов и моделей измерения латентных переменных, позволяющих работать с нечеткими множествами исходных данных, в том числе и в динамике их изменений, разработать численные методы и алгоритмы для их реализации, конечной целью которых является создание программного продукта.

Задачи исследования. Для достижения цели работы требовалось решить следующие основные задачи:

1. Провести анализ научных исследований в области оценки латентных переменных, сформулировать ограничения и недостатки существующих моделей.

2. Получить математическую модель, позволяющую проводить измерения латентных переменных по нечетким множествам исходных данных.

3. Разработать динамическую модель оценки латентных переменных, учитывающую их изменение с течением времени и позволяющую осуществлять прогнозы, а также модель, позволяющую эффективно проводить оценку латентных переменных, распределенных по нормальному закону.

4. Разработать численные методы и алгоритмы реализации полученных моделей и создать программный комплекс, позволяющий эффективно проводить оценки латентных переменных по нечетким множествам исходных данных, а также описать возможности проведения комплексных исследований на ЭВМ.

5. Описать подходы к применению разработанных методов и моделей в сфере организации труда с обоснованием эффективности их применения.

Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, методы оптимизации, теория игр, методы математического программирования, вероятностные и статистические методы, численные методы, алгоритмизация и теория объектно-ориентированного программирования.

Тематика работы соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18:

3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Научная новнзна^В диссертации получены следующие результаты характеризующиеся научной новизной:

1. Математическая модель измерения латентных переменных, отли-

4

чающаяся от классической модели Раша использованием в вычислительном ядре метода наименьших квадратов, что позволяет обрабатывать нечеткие множества исходных данных.

2. Математическая модель измерения динамически изменяющихся латентных переменных, отличающаяся учетом данных на разных временных этапах, что позволяет осуществлять прогноз значений латентных переменных по времени, а также математическая модель измерения латентных переменных, распределенных по нормальному закону.

3. Численный метод и алгоритм нелинейной оптимизации остаточной суммы метода наименьших квадратов, отличающийся параллельным использованием алгоритмов поиска условного и безусловного экстремума, что позволяет увеличигь скорость получения результата.

4. Структура программного комплекса, особенностью которого является параллелизм исполнения алгоритма условной и безусловной оптимизации остаточной суммы метода наименьших квадратов, что повышает эффективность обработки нечетких множеств данных.

Практическая значимость. Предложенные в работе модели, численные методы и алгоритмы оценки латентных переменных с нечеткими множествами исходных данных, основанные на методе наименьших квадратов, реализованы в виде программного комплекса. В результате практической апробации программный комплекс продемонстрировал высокую точность и скорость расчетов оценок латентных переменных, что позволяет использовать его в различных сферах научной и практической деятельности.

На основании представленных моделей разработаны оригинальные подходы при организации комплексных исследований в области моделирования групповых работ: формирование рабочих коллективов, случай индивидуального выполнения группового задания и случай совместного выполнения работ группового задания. Проведенный эксперимент показал эффективность применения разработанных подходов на практике.

Реализация и внедрение результатов работы. Основные алгоритмы и методы, предложенные в диссертации, реализованы и апробированы в виде программного комплекса, позволяющего проводить оценки латентных переменных с нечеткими множествами исходных данных. Разработки, представленные в диссертационной работе, внедрены в кадровую систему ООО «ТМ МЕТАРХ» для оценки ИТР при выдвижении их на вакантные должности. Представленные методы и программный продукт включены в состав учебного курса «Информационные технологии в профессиональной деятельности» в Институте менеджмента, маркетинга и финансов, используются в учебном процессе на строительном факультете Воронежского государственного архитектурно-строительного университета.

Апробация работы. Основные результаты исследований и научных разработок докладывались и обсуждались на следующих конференциях: XII Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ XII) (Москва, 2014); II Международная научно-практическая конференция «Проблемы современных экономических, правовых и естественных наук в России» (Воро-

5

неж, 2014); VI Международная науч.-практ. конф. «Управление социально-экономическими системами: анализ современных тенденций и перспектив развития» (Харьков, 2014); 65-67-й конференциях Воронежского ГАСУ «Инновации в сфере науки, образования и высоких технологий. Малое инновационное предпринимательство» (Воронеж, 2013, 2014).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 11 научных работ, в том числе 3 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат: [1, 3, 4] - анализ и практическая реализация использованных моделей, [5, 7, 11] - разработка моделей распределения исполнителей и методология их исследования, [6, 8] - описание, численное решение и адаптация моделей под решаемые задачи.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 130 наименований и трех приложений. Основная часть изложена на 130 страницах, содержит 25 таблиц и 24 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе приведен обзор состояния научных исследований по тематике работы на текущий момент. Процитированы основные работы по моделям измерения латентных переменных. Описаны классические методы шкального оценивания. Рассмотрены теоретические аспекты латентно-структурного анализа. Обосновывается предположение о том, что наиболее общей и качественной по многим показателям является модель оценки латентных переменных, разработанная Георгом Рашем (G. Rasch) в 1960-х годах для оценки качества образования. Анализируются основные преимущества и недостатки данной модели, описывается специфика ее использования.

Приводится анализ специализированного программного обеспечения для вычислений по методу Раша. Сформулированы цели и задач» диссертационной работы.

В основе классической модели Раша лежит логистическая функция, позволяющая найти вероятности положительных оценок j-м субъектом /-го объекта, если эти субъекты и объекты оцениваются с помощью латентных переменных ß, и 0„ которые в Раш-анализе принято называть логитыпг

P^l + e^i- О)

Исходные данные для получения оценок формируются в результате тестов или опросов. Пусть имеются и объектов, которые оценивают m субъектов. На основании оценок измеряется некоторая латентная величина 0, характеризующая объекты с одной стороны, м сами тестируемые измеряются некоторой латентной величиной ß, характеризующей отношения субъектов к объекту. В классической дихотомической модели выборка xtJ исходных данных должна быть дискретной и обычно равна:

fl, если тестируемый положительно оценил объект _/; ^ '" [О, если тестируемый i отрицательно оценил объект j.

Классическая модель не лишена недостатков и ограничений. Главным недостатком классического Раш-анализа является ограниченность использования исходных данных, заключающаяся в том, что их множество должно содержать лишь две возможные оценки: «О» и «1» (2). С точки зрения математической модели Раш-анализа это ограничение связано с тем, что ядром модели является метод максимального правдоподобия (МП-метод), согласно которому составляется функция правдоподобия, равная произведению вероятностей того, что теоретические вероятности ответов совпадают с эмпирическими. Другими словами, если л„ = I, то ее вероятностная составляющая включается в функцию правдоподобия, если х,у = 0, то не включается.

Другим недостатком является необходимость применения специализированного программного обеспечения для практического применения Раш-анализа, что связано со сложностью оптимизационной задачи, вытекающей из МП-метода. На устранение этих недостатков и направлено диссертационное исследование.

Во второй главе описана модель оценки латентных переменных, основанная на методе наименьших квадратов (МНК), позволяющая обрабатывать нечеткие множества исходных данных, а также две модели, вытекающие из основной: модель, использующая функцию распределения вероятностей Лапласа, что позволяет более точно оценивать показатели, распределенные по нормальному закону, и динамическая модель, учитывающая изменение латентных переменных во времени и позволяющая осуществлять прогнозирование.

Для устранения недостатков классической модели соискателем предлагается новый подход к расчету оценок латентных переменных, согласно которому МП-метод заменяется МНК: параметры 0, и ß, модели оценки латентных переменных выбираются так, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических данных х,-, (2) от расчетных вероятностей рц (1) была наименьшей.

Задача сводится к минимизации остаточной суммы:

р, у

min . (3)

ЦК Л . ,»гР,

,.1 Ы м V I + <-

В случае нормирования логитов и установки начала отсчета на средние значения логитов целевая функция (3) дополняется системой ограничений:

{т п

1б,=о;£р,.=о. (4)

Представленная модель (3) и (4) позволяет использовать данные, которые измеряются по непрерывным и дискретно непрерывным оценочным шкалам. К тому же с вычислительной точки зрения задача упрощается, что позволяет использовать более простые и надежные численные методы и т-горитмы и ее реализащш, а также, для ряда случаев, доступное программное обеспечение.

Из теории математической статистики известно, что для некоторых данных вместо МНК можно использовать метод абсолютных отклонений, согласно которому целевая функция (3) примет вид

т п т а 0|-Р/

5(6,- ,ß;) = H Xj, - Pi, = I Е *// - ^-e-^7 ~> min'

¿=1 м м j=1 ' 1 + e '

Автором была проанализирована возможность применения этого метода при оценке латентных переменных, однако такая модель при численном решении показала плохую сходимость, и ее использование, по мнению автора нецелесообразно.

Далее описывается модель, использующая функцию Лапласа, которая может применяться для латентных переменных, распределенных по нормальному закону, что позволит увеличить точность оценок по сравнению с общей моделью. В основе классической модели Раша лежит логистическая функция (I) распределения вероятности от разности логитов (0, - ß,). Однако реальное распределение данного показателя может быть иным. Оценка объекта 9 и уровень субъекта ß формируются под влиянием большого числа факторов различной природы, и согласно центральной предельной теореме теории вероятностей их распределение, как и распределение их разности, будет близким к нормальному. На этом основании была разработана модель, в которой логистическая функция (1) была изменена на функцию Лапласа нормального распределения:

Ф{х) = жУгл' (5)

где х = 6 - ß - разница между уровнем оценки объекта и уровнем (возможностью) оценивания субъектом, полученные по модели, которые измеряются в логитах. Тогда вероятности (1) будут вычисляться как

Нахождение оценок логитов можно проводить как МП-методом, так и МНК, в последнем случае минимизируется функция:

/

= х,-4=" \e':-dt

/=1 >1 V2ft

► min. (7)

Были проведены вычислительные эксперименты с различными матрицами исходных данных по классической модели Раша с логистической функцией и модели, построенной на основе функции Лапласа. Обнаружены следующие закономерности:

1. Корреляция оценок по двум методам высокая, коэффициент корреляции Пирсона около 0,99, а связь между оценками, полученными на основании (1) и (5), хорошо описывается линейной регрессионной моделью.

2. Оба метода дают одно и то же ранжирование оцениваемых категорий.

3. Разница в методах проявляется в масштабах оценок. Функция Лапласа дает больший размах оценок, чем классическая модель Раша.

В работе приведено статистическое обоснование предпосылки использования функции Лапласа при оценке латентных переменных, которая заключается в том, что оцениваемые показатели распределены нормально. Для этого были взяты результаты тестирования группы из 70 студентов в рамках проверки остаточных знаний по дисциплине «Математический анализ». Была осуществлена проверка статистической гипотезы о нормальности распределения данных, которая проводилась по критерию согласия Пирсона (критерий х2)- На уровне значимости а<0,05 была принята гипотеза о том, что все группы данных имеют распределение, близкое к нормальному.

Рассчитаны парные коэффициенты корреляции Пирсона между различными шкалами оценивания: классической шкальной, балльной и с помощью Раш-анализа по методам МНК и МП-методу. Корреляционная матрица представлена в табл.1.

Таблица 1

КОРРЕЛЯЦИЯ Балл Логит МП-метод Логит МНК Оценка

Балл 1 0,9054 0,9058 0,7977

Логит МП-метод 0,9054 1 0,9999 0,8877

Логит МНК 0,9058 0,9999 1 0,8885

Оценка 0,7977 0,8877 0,8885 1

По результатам корреляционного анализа можно сделать следующие выводы:

1. Коэффициенты корреляции между всеми показателями оценки качества знаний (баллы, логиты или оценки) являются значимыми на уровне значимости а<0,05.

2. Результаты расчета по МП-методу и методу наименьших квадратов дают очень высокую относительно друг друга корреляцию результатов.

3. Результаты тестирования, полученные методом Раша, имеют значимо более высокую корреляцию с итоговыми оценками по дисциплине, чем балльные оценки, хотя они получены на одних и тех же исходных данных. Следовательно, предложенный метод оценки латентных переменных является более объективным для обработки результатов тестирования.

Далее рассматривается динамическая модель оценки латентных переменных. Пусть латентные переменные могут меняться во времени, а оценивание проводится в течение продолжительного периода и разбито на несколько этапов. В конце каждого этапа проводится тестирование и оценивание латентных переменных. Все промежуточные тестирования должны быть однородны, то есть субъекты и объекты должны быть одни и те же на всех этапах.

Динамическая модель позволяет показатели не только оценить латентные на текугцем этапе, но и учитывать результаты предыдущих этапов, а также прогнозировать результаты на будущий этап. Также предла-

гается некоторый интегральный показатель, который бы учитывал результаты всех оценок в совокупности по сумме всех этапов. Рассмотрим сначала двухлаговую модель, учитывающую результаты текущего и прошлого оценивания. Здесь предложены два подхода к решению задачи.

1. Если использовать политомическую модель Раша, то матрица данных может формироваться по правилу

д-„ = 24-" ■*■ л-;/:| ,

где .v!г" и д-'/'1 - данные по прошлому и позапрошлому этапу. Тогда вероятности положительных оценок субъектами объектов будут вычисляться по формуле

Р(х,- = х) = р.

(8)

;=о

2. Намного удобнее использовать методику, описанную в предыдущем разделе данной главы, и применить для расчетов модель, основанную на МНК. Тогда исходные данные для двухлаговой модели можно построить как:

x¡j= сиг1'1'у + (1-а) х'"2^,

где л1'1 - результаты последнего оценивания, а х1'2' - предпоследнего, а - некоторый вес (важность) последнего оценивания по сравнению с предпоследним. Параметр а изменяется от 0 до I, при а>0,5 последнее оценивание дает больший удельный вклад в итоговый результат, чем предпоследнее. Данный подход можно применить для любого числа этапов. В случае обработки г этапов, в котором на к-м этапе оценивания получена матрица результатов вида х\- 1, а важность данного этапа определяется весовым коэффициентом IIa",

итоговую матрицу с обобщенными результатами тестирования можно построить по формуле

x<¡=~--• (9)

I

Данная матрица будет содержать произвольные значения от 0 до 1, и ее можно обработать методикой, основанной на МНК. Результаты тестирования можно использовать для прогнозирования результатов на будущем этапе. Если на основании расчетов предыдущих этапов найдены оценки показателей объектов 0 и субъектов р, то по ним можно рассчитать вероятности положительного оценивания каждого объекта каждым субъектом (1). Вероятности, рассчитанные по (1), можно интерпретировать как прогноз положительных оценок субъектов объектами, при р0, близких к единице, оценка, вероятнее

всего, будет положительной, при малых pv - отрицательной.

Таким образом, описанная математическая модель (3) и (4) позволяет обрабатывать нечеткие множества исходных данных и, кроме этого, дает возможность использовать две другие модели оценки латентных переменных: динамическую (9) и использующую функцию Лапласа (7) для обработки данных, распределенных по нормальному закону.

В третьей главе представлены численные методы и алгоритмы, которые адаптированы под тип решаемой задачи и позволяют реализовать описанные модели в виде программного комплекса.

Представленная модель оценки латентных переменных, позволяющая обрабатывать нечеткие множества данных, основанная на методе наименьших квадратов, содержит в себе задачу нелинейной оптимизации. Для ее решения автором выбраны современные и хорошо зарекомендовавшие себя алгоритмы. Для задачи, не содержащей условных ограничений, используется классический алгоритм нелинейной безусловной оптимизации методом градиентного спуска. В случае условной оптимизации, когда экстремум ищется с условием (4) нормирования средних значений логитов на ноль (как в классическом Раш-анализе), используется известный итерационный алгоритм нелинейной оптимизации Generalized Reduced Gradient (GRG2), разработанный учеными США. Выбор алгоритма обусловлен типом задачи - с ограничением (4) или без него. Отличительной особенностью представленного алгоритма является парал.челыюе использование алгоритмов условной и безусловной ommtMU3aifim (рис. 1, блок В). Вычислительный эксперимент, описанный ниже, показал, что параллельное использование алгоритмов позволяет увеличить скорость сходимости к конечному результату на 10-30 %. Общая структура решения задачи соответствует схеме, представленной на рис. 1.

Алгоритм в блоке вычисления функции Лапласа (рис. 1, блок А) содержит несобственный интеграл, и для его расчета использовался переход к определенному интегралу и численное интегрирование. Для вычисления определенного интеграла применен метод Симпсона, с возможностью контроля точности вычислений. Схема алгоритма представлена на рис. 2.

Далее в главе описывается реализация алгоритмов в виде программного продукта и приведены результаты вычислительных экспериментов, характеризующих основные свойства алгоритмов и качество результатов.

Укрупненная модульно-функциональная схема реализации представленных алгоритмов представлена на рис. 3.

В качестве среды для реализации алгоритма была выбрана инструментальная среда разработки приложений и компонентов Visual Studio 2012. Главная форма программного комплекса (рис. 4) представляет собой набор управляющих элементов, позволяющих определить основные параметры вычислительной задачи и ввести исходные данные.

Блок вывода результатов вычислений (рис. 3) запускается в случае, если исходные данные введены корректно, нелинейная оптимизация показала сходимость к конечному результату и не выявлено внутренних вычислительных ошибок.

п

Начало

Определение размерности решаемой задачи

->/ Ввод или импорт

исходных данных ху

г

Минимизация 5(в(,Р;) методом Generalized Reduced Gradient

Минимизация 5(9,,р;.) методом градиентного спуска

Вывод и сохранение результатов расчета 0, и ру

Рве. Í. Алгоритм, реализующий новые модели оценки латентных переменных

Окно вывода и сохранения результатов программного комплекса (рис. 5) отображает результаты вычисления логитов с необходимым округлением. Имеются возможности сохранить результаты вычислений в виде файла - текстового или файла MS Excel, в зависимости от того, какой переключатель установлен. Причем сохраняются не только значения логитов, но и вероятности pij, рассчитанные на основании оцененных логитов.

Далее описываются вычислительные эксперименты, направленные на проверку достоверности полученных результатов путем сравнения их с результатами, полученными по классической модели Раша, и сравнение скорости сходимости задач условной и безусловной оптимизации.

Рис. 2. Алгоритм расчета функции Лапласа (рис. I, блок А)

Г-не. 3. Модульно-функциональная схема программного комплекса

¡3

as

ЧИСЯ© ЯЙ^и {Í

■ММй^етш

_ Г ' { .....,•„„„„„,-„„

ЧЖЛОМпвМр -5 1 L Загрумт.данн»«. 1

гьужэвкате-жяжттъяяшь Вмтапкаше л?™к гей

1 Да . :

Произвест и вычисления

..... ~~

Рис. 4. 1 лавное управляющее окно программного комплекса Результаты вычислений логвтов

оцемнк /¡oímtob 9

ei эг 9} 04 еб за в? I 0,2 I 1 ?8¡ol4|i 74 | 0,43]T25¡ 1 83{¿>|o.9gj

Ol'PWW «шм р

Pl Р2 РЗ 04 ра ¡16 р7 р8 g8 Pío Pí 1 Р12 р13 рн р!5 [ад? j 0.28 | 0,93]"0,8Й | С | 0.33 | ¡US j l,4l¡Ts7 [ 2,02 | 1,31 | П | 1,34 р.43 j ¡ 42 |

Сохранить результаты

Формат сохрш№К£ Ф Текстовой файл ОфвйлЕгсое!

í'iic. 5. Окно вывода и сохранения результатов

Для решения первой задачи проводилась генерация случайных матриц с исходными данными я„ разного размера п и т, и находились оценки логи-тов по модели, представленной в работе и классической модели Раша. В качестве расчетного инструмента по модели МНК использовался описанный выше программный продукт., а для классической модели Раша - пакет прикладных программ «RUMM 2020». Затем вычислялся коэффициент парной корреляции Пирсона между данными, рассчитанными по разным алгоритмам. Показано, что корреляция данных высокая, все коэффициенты корреляции значимы на уровне значимости а<0,05. Это говорит о том, что представленная в работе модель дает объективные оценки, сравнимые с полученными по классической моделии, но возможности применения разработанной соискателем модели значительно шире.

В результате анализа результатов установлено, что корреляция уменьшается пропорционально произведению размера матрицы исходных данных п т. Среднее значение коэффициента корреляции составляет 0,961 - для ло-гитов 8,. и 0,967 - для логитов р,-.

И

Вторая часть вычислительного эксперимента состояла в сравнении скорости нахождения оптимального решения по методу градиентного спуска при параллельном использовании условной и безусловной оптимизации (он реализован в авторском программном продукте) и методу GRG2, в случае условной оптимизации (он реализован, в частности, в MS Excel).

Скорость сравнивалась по количеству итераций, затраченных на поиск оптимального решения. В качестве показателя скорости была взята безраз-

N /

мерная величина V — , где ,V„a, - число итераций при комбинирован-

ном методе условной и безусловной оптимизации, a Ny - при условной по методу GRG2. Результаты расчетов для размерностей от 5 до 15 представлены на рис. 6.

Рис. 6. Эмпирическая зависимость относительной скорости V = Л^/А^ нахождения оптимального решения от произведения размерности пт

Показано, что скорость при условной оптимизации заметно падает относительно безусловной при увеличении размерности исходных данных, и эта зависимость близка к линейной от произведения размерностей пт. Это говорит о том, что оптимизация алгоритма увеличивает скорость работы программного продукта на 10-30 % и более (для матриц средних размеров), и разница в скорости тем существеннее, чем больше размерность задачи.

Четвертая глава иллюстрирует способы применения разработанных моделей и алгоритмов для комплексного исследования научно-технических проблем. В частности, предлагаются новые подходы к применению методов Раш-анализа в менеджменте, а точнее, в задаче о назначениях, связанной с распределением работ по исполнителям.

Рассматривается некоторый комплекс работ (проект), который должна выполнить группа исполнителей.

Рассмотрены три модели организации выполнения групповых заданий.

1) формирование рабочих коллективов: группа исполнителей разбивается на подгруппы с различной степенью ответственности, и внутри каждой подгруппы определяются роли участников;

2) случай индивидуального выполнения группового задания: каждому исполнителю поручается только одна работа, и каждую работу может выполнить только один участник;

3) случай совместного выполнения работ группового задания: одну работу могут делать сразу несколько исполнителей, и один исполнитель может в той или иной степени участвовать в нескольких работах.

Кроме описания самих методик, в работе приведены результаты эксперимента, подтверждающего их эффективность (табл. 2).

Таблица 2

Результаты Р-тестов и ^тестов сравнения дисперсий и средних _для обоснования эффективности методик_

Статистический показатель Методика формирования трудовых коллективов Методика индивидуального распределения работ

Контрольная группа Экспериментальная группа Контрольная группа Экспериментальная группа

Объем выборки 19 22 25 26

Средние 7,158 5,545 7,911 6,902

Дисперсии 0,384 0,525 0,261 0,347

Сравнение дисперсий

Степени свободы 18 21 24 25

р-статистика 2,231 Дисперсии разные 1,835 Дисперсии равны

Критич. уровень значимости 0,046 0,071

Г критическое одностороннее 2,191 1,975

Сравнение средних

(-статистика 2,477 Средние разные 2,367 Средние разные

Критич. уровень значимости 0,009 0,011

1 - критическое одностороннее 1,687 1,677

Эксперимент проводился в рамках подготовки слушателей отделения повышения квалификации с двумя группами обучающихся по направлению «Менеджмент и управление». На практических занятиях слушатели выполняли проектно-расчетные комплексные задання, которые позволяли использовать представленные методики выполнения работ на практике и проконтролировать полученные результаты.

Для проведения эксперимента были взяты две группы слушателей, каждая группа разбивалась на две подгруппы - экспериментальную и контрольную, в контрольной группе задания выполнялись по классической ме-

тодике, без применения описанных методик, а в экспериментальной — с использованием методик. За выполнение заданий выставлялись оценки по десятибалльной шкале (см. табл. 2). На уровне значимости а<0,05 эффективность выполнения работ в экспериментальных группах в среднем выше, чем в контрольных. Это дает основание утверждать, что представленные технологии в организации групповых заданий эффективны.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В процессе выполнения диссертационного исследования были получены следующие основные результаты:

1. Проведен анализ научных исследований в области оценки латентных переменных, сформулированы ограничения и недостатки существующих моделей.

2. Получена математическая модель, позволяющая проводить измерения латентных переменных на основании нечетких множеств исходных данных.

3. Разработана динамическая модель оценки латентных переменных, учитывающая их изменение с течением времени и позволяющая осуществлять прогнозы. Создана модель, позволяющая эффективно проводить оценку латентных переменных, распределенных по нормальному закону.

4. Разработаны численные методы и алгоритмы реализации полученных моделей, и создан программный комплекс, позволяющий эффективно проводить оценки латентных переменных по нечетким множествам исходных данных. Описаны подходы к проведению вычислений на ЭВМ с помощью MS Excel.

5. Описаны подходы к применению разработанных методов и моделей в сфере организации труда с обоснованием эффективности их применения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Соловьева, Е.В. Новые подходы к оценке латентных переменных на основе модели Раша / С.А. Баркалов, Е.В. Соловьева // Экономика и менеджмент систем управления. — 2014. -№ 1.2(11). — С. 200-207.

2. Соловьева, Е.В. Модели распределения исполнителей при выполнении групповых работ, основанные на методах оценки латентных переменных // Экономика и менеджмент систем управления. - 2014. —№ 1.2 (11). — С. 281289.

3. Соловьева, Е.В. Математические модели подготовки и проверки качества освоения компетенций в образовательном процессе / С.А. Баркалов, С.И. Моисеев, Н.С. Кочерга, Е.В. Соловьева // Открытое образование. - 2014. -№ 2.-С. 9-16.

Статьи в других изданиях

4. Дедюрина, Е.В. Адаптивный метод тестирования знаний, основанный на модели Раша оценки латентных переменных / С.А. Баркалов, С.И. Моисеев, Е.В. Дедюрина // Научный вестник Воронежского ГАСУ. Сер. «Управление строительством». — 2013. - Вып. № 2 (5). - С. 118-121.

5. Дедюрина, Е.В. Модель оценки латентных переменных, основанная на вероятностном распределении Лапласа / С.И. Моисеев, Е.В. Дедюрина, Н.С. Кочерга // Научный вестник Воронежского ГАСУ. «Управление строительством».-2013.-Вып. №2 (5).-С. 121-124.

6. Соловьева, Е.В. Разработка моделей распределения исполнителей при выполнении групповых работ / С.И. Моисеев, Е.В.Соловьева // Проблемы современных экономических, правовых и естественных наук в России: матер. II межд. науч.-практ. конф. (21-23 марта 2014 г.). - Воронеж, 2014. - С. 131-134.

7. Соловьева, Е.В. Организация и оценка качества групповых занятий / / С.А. Баркалов, С.И. Моисеев, Е.В. Соловьева // Управление социально-экономическими системами: анализ современных тенденций и перспектив развития: материалы междунар. VI науч.-практ. конф. - Харьков, 2014. - Ч. 1. -С. 110-114.

8. Соловьева, Е.В. Применение метода наименьших квадратов при оценке латентных переменных методом Раша / С.А. Баркалов, С.И. Моисеев, Е.В. Соловьева // Научный вестник Воронежского ГАСУ. Сер. «Управление строительством». - 2014. - Вып. № 1 (6). - С. 98-100.

9. Соловьева, Е.В. Алгоритм решения задачи оценки латентных переменных, обрабатывающих нечеткие множества данных / Е.В. Соловьева // Научный вестник Воронежского ГАСУ. Сер. «Управление строительством». - 2014. - Вып. № 1 (6). - С. 101-105.

10. Соловьева, Е.В. Динамическая модель оценки латентных переменных / Е.В. Соловьева // Научный вестник Воронежского ГАСУ. Сер. «Управление строительством». - 2014. - Вып. № 1 (6). - С. 106-108.

11. Соловьева, Е.В. Модели обучения и проверки компетенций в образовании: новые методики / С.А. Баркалов, С.И. Моисеев, Е.В. Соловьева // Материалы XII Всероссийского совещания по проблемам управления (ВСПУ-2014). - М.: ИПУ РАН, 2014. - С. 9386-9396.

СОЛОВЬЕВА ЕЛЕНА ВАЛЕНТИНОВНА

РАЗРАБОТКА И РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ ЛАТЕНТНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ С НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ

ДАННЫХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 09.07.2014г. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ №323

Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ 394006 г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Воронежский государственный архитектурно-строительный университет"

На правах рукописи

04201460905

СОЛОВЬЕВА ЕЛЕНА ВАЛЕНТИНОВНА

РАЗРАБОТКА И РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ ЛАТЕНТНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ С НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ ДАННЫХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ................................................................................4

Глава 1. МОДЕЛИ ОЦЕНИВАНИЯ ЛАТЕНТНЫХ

ПЕРЕМЕННЫХ .........................................................................10

1.1. Состояние исследований в области измерения латентных переменных.......................................................................10

1.2. Латентно-структурный анализ и его практическое применение 16

1.3. Модель Раша измерения латентных переменных................. 27

1.3.1. Основные положения Раш-анализа...........................27

1.3.2. Алгоритм расчета по дихотомической модели Раша .. .34

1.3.3. Статистические методы обработки данных по модели Раша........................................................................39

1.4. Обзор программного обеспечения по оценке латентных переменных методом Раша ....................................................44

1.5. Выводы ......................................................................51

Глава 2. МОДЕЛИ ОЦЕНКИ ЛАТЕНТНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ, ОСНОВАННЫЕ НА МЕТОДЕ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ............53

2.1. Модель оценки для нечетких данных .................................53

2.2. Модель, использующая функцию Лапласа ..........................58

2.3. Динамическая модель и ее использование в прогнозировании ... 66

2.4. Выводы .......................................................................72

Глава 3. АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ 74

3.1. Алгоритмы оценивания латентных переменных по модели, использующей МНК ............................................................74

3.2. Программная реализация алгоритмов и результаты вычислительного эксперимента ..............................................81

3.2.1. Описание программного продукта ..........................81

3.2.2. Проверка достоверности работы алгоритма .............85

3.3. Расчет латентных переменных с помощью средств MS Excel .... 89

3.4. Выводы .......................................................................95

Глава 4. ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ОЦЕНКИ ЛАТЕНТНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В ОРГАНИЗАЦИИ ТРУДА......................................96

4.1. Модель организации рабочих коллективов для выполнения комплекса работ .................................................................96

4.2. Индивидуальное распределение исполнителей по работам...... 102

4.2.1. Случай индивидуального выполнения работ группового задания.....................................................................102

4.2.2. Случай совместного выполнения работ группового задания ....................................................................105

4.3. Обоснование эффективности методик выполнения групповых заданий ............................................................................107

4.4. Выводы ......................................................................116

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................118

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ......................119

ПРИЛОЖЕНИЕ А - Акт об использовании результатов кандидатской диссертационной работы Соловьевой Елены Валентиновны в

ООО "ТМ Метарх"....................................................................................131

ПРИЛОЖЕНИЕ Б - справка о внедрении результатов диссертации Соловьевой Елены Валентиновны в АОНО ВПО "Институт

менеджмента, маркетинга и финансов"..................................................132

ПРИЛОЖЕНИЕ В - справка о внедрении результатов диссертации Соловьевой Елены Валентиновны в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»..............133

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

Многие системы и процессы в социальных, гуманитарных, образовательных и многих других областях науки описываются с помощью латентных (то есть скрытых, неявных) переменных. Математические методы измерения латентных переменных - направление в математическом моделировании достаточно новое и до конца не исследованное. А потребность в таких методах, несомненно, высокая. Возможность объективно и адекватно измерять латентные переменные позволит на математическом уровне оперировать с такими качественными категориями, как эффективность, уровень, степень, качество и многими другими.

Существует несколько подходов к измерению латентных переменных. В начале XX века в психологии для оценки латентных параметров личности теории была разработана теория латентно-структурного анализа, которая позволяла на достаточно поверхностном уровне оценивать латентные показатели. Значительным прорывом в области измерения латентных переменных стало создание в 60-е годы датским математиком Георгом Рашем самосогласованной модели оценки латентных переменных, основанной на вероятностном подходе к оценкам переменных через измеряемые индикаторные переменные.

Раш-анализ в настоящее время активно развивается, в том числе и в нашей стране. Весомый научно-методический вклад в развитие и использование методов измерения латентных переменных внесли отечественные ученые Аванесов B.C., Анисимова Т.С, Беспалько В.П., Майоров А.Н., Маслак A.A., Михайлычев Е.А., Нейман Ю.М., Самыловский А.И., Татур А.О., Челышкова М.Б., Хлебников В.А. и другие.

Однако, существующие модели оценки латентных переменных, особенно основанные на Раш-анализе, имеют и ряд ограничений. К наиболее существенным недостаткам модели Раша являются:

- Выборки обрабатываемых данных должны носить дискретный характер (дихотомические и политомические модели). При этом многие практические потребности требуют возможность обработки данных, имеющих непрерывный спектр.

Необходимость использования для практических расчетов специализированного программного обеспечения.

- Невозможность измерения латентных переменных, меняющихся с течением времени.

Исправление этих недостатков хоть в некоторой мере, несомненно, позволит значительно расширить область применения латентных измерений.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью создания новых математических моделей измерения латентных переменных, совершенствованию математического, алгоритмического и программного обеспечения вычислительного аппарата, разработке новых подходов к их применению в различных сферах практической и научной деятельности.

Тематика диссертационной работы соответствует одному из научных направлений ФБГОУ ВПО «Воронежский государственный архитектурно-строительный университет» - «Системы управления сложными организационно-техническими объектами».

Цель работы.

Целью диссертации является создание математических методов и моделей измерения латентных переменных, позволяющих работать с нечеткими множествами исходных данных, в том числе и в динамике их изменений, разработать численные методы и алгоритмы для их реализации, конечной целью которых является создание программного продукта.

Задачи исследования.

Достижение цели работы потребовало решения следующих основных

задач:

1. Провести анализ научных исследований в области оценки

латентных переменных, сформулировать ограничения и недостатки существующих моделей.

2. Получить математическую модель, позволяющую проводить измерение латентных переменных по нечетким множествам исходных данных.

3. Разработать динамическую модель оценки латентных переменных, учитывающую их изменение с течением времени и позволяющую осуществлять прогнозы, а также модель, позволяющую эффективно проводить оценку латентных переменных, распределенных по нормальному закону.

4. Разработать численные методы и алгоритмы реализации полученных моделей и создать программный комплекс, позволяющий эффективно проводить оценки латентных переменных по нечетким множествам исходных данных, а также описать возможности проведения комплексных исследований на ЭВМ.

5. Описать подходы к применению разработанных методов и моделей в сфере организации труда с обоснованием эффективности их применения.

Методы исследования.

В работы использованы методы математического моделирования, методы оптимизации, теория игр, методы математического программирования, вероятностные и статистические методы, численные методы, алгоритмизация и теория объектно-ориентированного программирования.

Тематика работы соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18:

3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения

вычислительного эксперимента.

5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Математическая модель измерения латентных переменных, отличающаяся от классической модели Раша использованием в вычислительном ядре метода наименьших квадратов, что позволяет обрабатывать нечеткие множества исходных данных.

2. Математические модели измерения динамически изменяющихся латентных переменных, отличающиеся учетом данных на разных временных этапах, что позволяет осуществлять прогноз значений латентных переменных по времени, а также измерения латентных переменных распределенных по нормальному закону.

3. Численный метод и алгоритм нелинейной оптимизации остаточной суммы метода наименьших квадратов, отличающийся параллельным использованием алгоритмов поиска условного и безусловного экстремума, что позволяет увеличить скорость получения результата.

4. Структура программного комплекса, особенностью которого является параллелизм исполнения алгоритма условной и безусловной оптимизации остаточной суммы метода наименьших квадратов, что повышает эффективность обработки нечетких множеств данных.

Практическая значимость.

Предложенные в работе модели, численные методы и алгоритмы оценки латентных переменных с нечеткими множествами исходных данных, основанные на методе наименьших квадратов, реализованы в виде программного комплекса. В результате практической апробации программный комплекс продемонстрировал высокую точность и скорость

расчетов оценок латентных переменных, что позволяет его использовать в различных сферах научной и практической деятельности.

На основании представленных моделей разработаны оригинальные подходы при организации комплексных исследований в области моделирования групповых работ: формирование рабочих коллективов, случай индивидуального выполнения группового задания и случай совместного выполнения работ группового задания. Проведенный эксперимент показал эффективность применения разработанных подходов на практике.

Реализация и внедрение результатов работы.

Основные алгоритмы и методы, предложенные в диссертации, реализованы и апробированы в виде программного комплекса, позволяющего проводить оценки латентных переменных с нечеткими множествами исходных данных. Разработки, представленные в диссертационной работе внедрены в кадровую систему ООО «ТМ МЕТАРХ» для оценки ИТР при выдвижении их на вакантные должности. Представленные методы и программный продукт включены в состав учебного курса «Информационные технологии в профессиональной деятельности» в Институте менеджмента, маркетинга и финансов, используются в учебном процессе на строительном факультете Воронежского государственного архитектурно-строительного университета.

Апробация работы.

Основные результаты исследований и научных разработок докладывались и обсуждались на следующих конференциях: XII Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ XII), г. Москва, 2014 г.; II Международная научно-практическая конференция «Проблемы современных экономических, правовых и естественных наук в России» г. Воронеж, 2014 г.; VI Международная науч.-прак. конф. «Управление социально-экономическими системами: анализ современных тенденций и перспектив развития», г. Харьков, 2014 г.; 65, 66, 67 конференциях

Воронежского ГАСУ «Инновации в сфере науки, образования и высоких технологий. Малое инновационное предпринимательство» г. Воронеж 2013 г, 2014г.

Публикации.

По результатам исследований опубликовано 11 научных работ [11-16, 62,63, 73-75], в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ [12, 16, 74]. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат: [11, 14-16] - анализ и практическая реализация использованных моделей, [13, 62] - разработка моделей распределения исполнителей и методология их исследования, [12, 63] - описание, численное решение и адаптация моделей под решаемые задачи.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 130 наименований и трех приложений. Основная часть изложена на 130 страницах, содержит 25 таблиц и 24 рисунка.

Глава 1. МОДЕЛИ ОЦЕНИВАНИЯ ЛАТЕНТНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.1. Состояние исследований в области измерения латентных

переменных

Под термином "переменная" подразумевается величина, принимающая в течение своего измерения различные значения [38]. В математике и статистике под термином "латентная переменная" понимают вид переменных, которые в явном виде не измеряются. Они могут быть вычислены только с помощью математических моделей наблюдаемых переменных. Главное преимущество, которое заставляет многих исследователей обращаться к инструментарию латентных переменных это то, что они позволяют уменьшить размерность рабочих данных. Значительная выборка наблюдаемых переменных может быть приведена к математической модели, отражающей изучаемую концепцию, что делает данные более легкими для восприятия и обработки. В этом плане латентные переменные выполняют функцию подобную функции научной теории.

В различных литературных источниках латентные переменные часто называют скрытыми или гипотетическими. В настоящее время латентные переменные получили широкое распространение в самых различных областях человеческой деятельности, что отражено как в российской, так и в зарубежной литературе [18, 24, 53, 87, 106, 122, 124, 127-130]. Они активно используются, например, в психологии, социологии, экономике, здравоохранении, образовании и др. [18, 43, 60, 68, 91, 92, 124]. Отечественный опыт представлен в публикациях ряда российских исследователей [6, 52-54, 56, 117].

Так, к примеру, в экономике в качестве латентных переменных применяют качество жизни, уровень благосостояния, мораль, деловое доверие и тому подобное. Рассмотрим подробнее латентную переменную "уровень жизни населения". Её считают измерителем понятия "человеческого

развития". При этом, в свою очередь, рассматриваемая переменная "уровень жизни населения" состоит из ряда показателей, объединенных в систему и характеризующих различные аспекты деятельности человека в отдельности или социума в целом. И в эту систему иерархически входят такие понятия, как, например, уровень денежных доходов, уровень жилищных условий, уровень потребления населением продуктов питания и не продовольственных товаров и т.д. На основании этих и подобных наблюдаемых переменных, полученных статистическими методами, строиться математическая модель и вычисляется значение исследуемой латентной переменной.

Измерение самых разнообразных скрытых переменных при изучении и анализе социально-экономических систем позволяет как решать конкретные задачи прикладного характера или мониторинга ситуации, так и помогает выявить методологические проблемы, решение которых лежит в плоскости экономической теории. Особенно важно отметить, что для получения максимально точного результата, оптимально отражающего проблематику исследования, необходимо точно подбирать и корректировать в процессе исследования выборку наблюдаемых (индикаторных) переменных. Этим специалист уточняет экономический, или иной необходимый для исследования, смысл анализируемой латентной переменной.

Как было сказано ранее, латентные переменные вычисляются при помощи математических моделей. Основными методами работы с ними являются: факторный анализ, скрытая марковская модель, ЕМ-алгоритм, метод главных компонент, латентно-семантический анализ и вероятностный латентно-семантический анализ, алгоритмы Байеса и латентное размещение Дирихле и др. [26, 41, 71, 81, 109, 125].

Первой логически законченной теорией измерения латентных переменных стал латентно-структурный анализ [24, 30, 46, 47, 67, 76-78, 85, 95, 100, 110, 111, 118]. Подробнее основные его аспекты рассмотрены в следующем разделе. Однако, латентно-структурный анализ имел

существенные ограничения по своей практической применимости и в настоящее время его используют в ограниченных отраслях науки: социологии, психологии и некоторых других.

Основоположником современной теории из