автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка и применение асимптотических методов к исследованию моделей резервирования и массового обслуживания

На правах рукописи

- V .

003052134 Маркова Наталья Владимировна "

Разработка и применение асимптотических методов к исследованию моделей резервирования и массового обслуживания

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Биробиджан - 2007

003052134

Работа выполнена на кафедре математики ГОУ ВПО "Дальневосточная государственная социально-гуманитарная академия"

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Цициашвили Гурами Шалвович доктор технических наук, профессор Абрамов Олег Васильевич доктор физико-математических наук, доцент Чеботарев Владимир Иванович

Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН

Защита состоится 5 апреля 2007 года в 12 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.056.11 при Дальневосточном государственном университете по адресу: г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27, к. 343.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета.

Автореферат разослан / ¿о

2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

.Ю. Чеботарев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из основных моментов при анализе сложной системы является нахождение явных зависимостей между ее входными и выходными характеристиками. Под явными зависимостями будем понимать либо независимость выходных характеристик от входных - своего рода инвариантность, - либо их скачкообразную зависимость, - аналог фазового перехода в физических системах. Обнаружение таких зависимостей даже для упрощенной модели системы позволяет рассчитывать на их сохранение при более детальном описании системы. В результате возникают содержательные гипотезы о поведении сложной системы. Без формулировки таких гипотез дальнейшее аналитическое исследование и вычислительный эксперимент могут стать весьма громоздкими и затратными процедурами.

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию асимптотических методов с целью нахождения явных зависимостей между входными и выходными характеристиками для сетевых моделей массового обслуживания и надежности. Актуальность такой задачи связана с интенсивным развитием телекоммуникационных и компьютерных сетей, а также других технических систем. Постоянная модернизация компьютерных сетей и компонентов связи требует умения своевременно реаги^ ровать на происходящие изменения. Естественно появляется необходимость посмотреть на примере математических моделей, как ведут себя системы при различных значениях параметров.

В работе исследуются два типа асимптотик, характерных для сложных стохастических систем. Первый из них связан с эффектом объединения автономно работающих систем. Изучение таких эффектов в различных сетевых моделях теории надежности и теории массового обслуживания представляет большой практический интерес, т.к. в этом случае появляется иной режим работы. Объединенная система приобретает новые свойства, знание которых позволяет в дальнейшем конструировать системы, обладающие заданными характеристиками.

Второй тип асимптотик, исследуемый в настоящей работе связан с поведением тяжелых хвостов распределений случайных величин, обнаруженных в последние годы во многих моделях массового обслуживания, теории надежности и страхования. Однако модели, для которых проводятся эти исследования, в основном ограничиваются классической моделью риска и одноканальными системами массового обслуживания в стационарном режиме. В современных же системах передачи данных

(включая Интернет) потоки являются нестационарными и, более того, имеют зависимые интервалы между приходом заявок. Поэтому существует потребность в изучении систем массового обслуживания с такими потоками. Причем основной акцент делается на выборе таких нестационарных характеристик потоков, чьи асимптотические свойства можно было бы получать для сетей со структурой достаточно общего вида.

Цель работы. Используя асимптотические методы выделить явные зависимости между входными и выходными характеристиками в моделях резервирования, массового обслуживания и страхования.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) исследовать поведение вероятности наличия элементов на всех рабочих местах объединенной системы дублирования с восстановлением и системы резервирования с восстановлением и конкуренцией между ремонтными местами;

2) провести асимптотическое исследование нестационарных характеристик потоков в системах массового обслуживания;

3) провести асимптотическое и численное исследование вероятности разорения в модели риска с дискретным временем.

Научная новизна.

1. Для предельной вероятности наличия элементов на рабочих местах системы резервирования с восстановлением (с конкуренцией между ремонтными местами и без таковой) обнаружено явление типа фазового перехода.

2. Получены новые предельные соотношения для хвоста распределения интервалов между выходом заявок и хвоста распределения времени пребывания заявки в многоканальной системе массового обслуживания в нестационарном режиме.

3. Впервые исследована асимптотика хвоста распределения свободного периода в открытой сети массового обслуживания.

• • 4. Получены новые асимптотические формулы для хвостов распределения времени ожидания в одноканальных системах массового обслуживания.

5. Получена новая асимтотика распределения времени жизни логической системы с ненадежными элементами.

6. Получены асимптотические и численные оценки вероятности разорения на конечном отрезке времени в модели риска с дискретным временем.

Теоретическая и практическая значимость. Обнаруженные свойства рассмотренных моделей могут быть использованы для исследования широкого круга моделей сложных стохастических систем, при обработке данных для систем, которые описываются этими моделями, при планировании вычислительных экспериментов.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Апробация результатов. Результаты реферируемой работы докладывались на Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика Б.В. Золотова (Владивосток, 2001, 2003, 2005, 2006 гг.), на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2001-2003 гг.), на семинарах ИПМ ДВО РАН (Владивосток, 2002, 2004 гг.), на Международной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" (Хабаровск, 2003 г.), на заседаниях кафедры математики БГПИ (Биробиджан, 2001-2004 гг.), на двух семинарах лаборатории приближенных методов и функционального анализа ВЦ ДВО РАН (Хабаровск, 2004. г.). Работа вошла составной частью в поддержанный РФФИ проект 0301-00512: "Разработка методов стохастического управления параметрами систем массового обслуживания и асимптотического исследования их потоков".

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 98 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Работа изложена на 83 страницах.

Личный вклад. Диссертационная работа подготовлена автором самостоятельно и содержит ее личный вклад в проведенные исследования; который заключается в следующем: участие в выборе исследуемых моделей, участие в доказательстве основных результатов, проведение вычислительного эксперимента.

Содержание работы

Во введении проводится обзор литературы и описывается состояние проблемы на сегодняшний день. Излагается актуальность темы, формулируются цели и задачи работы и кратко описывается ее содержание.

В первой главе исследуется явление типа фазового перехода для объединенной системы дублирования с восстановлением, системы резервирования с восстановлением и конкуренцией между ремонтными местами. Показывается, как конкуренция меняет свойства рассматривае-

мой модели. Приводятся данные численного эксперимента, подтверждающие и уточняющие характер обнаруженного явления. Полученные результаты тесно связаны с исследованием надежности сложных восстанавливаемых систем, широко используемых в телекоммуникационных и компьютерных сетях, а также в других технических системах.

Рассмотрим систему ненагруженного дублирования с восстановлением, имеющую одно рабочее место с интенсивностью отказа Л, одно ремонтное место с интенсивностью ремонта ц, р = X/ß и два элемента. Будем предполагать, что случайные времена безотказной работы и ремонта имеют показательное распределение с параметрами Л, р соответственно. Обозначим -Pi(p) стационарную вероятность наличия элемента на рабочем месте системы. Известно, что для высокой надежности системы, когда Р\(р) —1, требуется, чтобы р —> 0. Если рассматривать п независимых систем, то вероятность наличия элементов на рабочих местах всех п систем одновременно Р"(р) -> 0, п —> оо при любом значении р < 1. Возникает вопрос, что произойдет, если эти системы объединить специальным образом?

Возьмем п независимых копий системы указанного вида и объединим их так, чтобы получилась система ненагруженного резервирования с восстановлением, имеющая п рабочих мест, п ремонтных мест и 2п элементов. Исследуем при п —у оо поведение вероятности Р„(р) наличия элементов на всех рабочих местах для различных р = р(п), принимающих значение в окрестности единицы. Эта вероятность может интерпретироваться как вероятность работы всех п подсистем дублирования с восстановлением, составляющих данную систему резервирования с восстановлением.

Теорема 1.1. Если р является постоянной, то справедливы формулы

lim Рп(р) = ^ р = 1; lim Рп(р) = 1, р < 1; lim Рп(р) =0, р > 1.

П—>00 z TWOO п—Юо

Таким образом, при р < 1 только за счет объединения подсистем достигается высокая вероятность работы Рп(р)• Более детально этот факт характеризуется следующими утверждениями.

Теорема 1.2. Если р = ехр(—ап), ап = п-1/2+е', 0 < е < 1/2, то справедлива формула

lim Pn(p) = 1.

п-юо

Если р = ехр(—ап), ап — п~1/2~£, е > 0, то справедлива формула

lim Рп(р) = i

п-> оо А

Теорема 1.2 показывает, насколько можно уменьшать интенсивность восстановления р, (и, следовательно, затраты на восстановление), чтобы сохранить высокую вероятность Рп(р) работы всех объединяемых подсистем.

Теорема 1.3. Если р = ехр(ап), ап = п~1!2+е', 0 < е < 1/2, то справедлива формула

lim Рп{р) = 0.

п-> оо

Если р = ехр(а„), ап = п-1/2-6, е > 0, то справедлива формула

lim Рп{р) =

П-» 00 I

На основе полученной классификации предельного поведения вероятности Рп{р) был проведен вычислительный эксперимент в случае, когда п относительно невелико. Результаты вычислений вероятности Рп(р) при ап = n~v для различных значений v, п представлены в таблице:

v\n 100 1000 2000 3000 4000

0,75 0,645 0,577 0,564 0,558 0,553

0,7 0,676 0,606 0,591 0,584 0,579

0,6 0,757 0,699 0,685 0,677 0,672

0,55 0,806 0,767 0,758 0,753 ■ 0,749

0,51 0,848 0,831 0,827 0,825 0,824

0,505 0,853 0,839 0,836 0,835 0,834

0,5 0,858 0,847 . 0,845 0,845 0,844

0,495 0,864 0,855 0,854 0,854 0,854

0,49 0,869 0,863 0,863 0,864 0,864

0,45 0,909 0,924 0,930 0,934 0,936

0,4 0,952 0,978 0,984 0,987 0,989

0,3 0,995 0,999 0,999 0,999 0,999

0,25 0,999 1 1 1 1

Результаты вычислительного эксперимента показывают, что сходимость в теоремах 1.2, 1.3 к предельным значениям 1 и 1/2 тем медленнее, чем ближе параметр V к критическому значению 1/2.

Приведем графики зависимости Рп(р) от п при ап = п~у и значениях V = 1/4 и у = 3/4:

0,5-1-,-,-.-,-,-1-,-г*

О 50 ¡00 150 200 250 300 350 40,0

Теперь рассмотрим описанную выше систему резервирования с восстановлением, добавив в нее новое свойство - конкуренцию между ремонтными местами. Будем считать, что элемент, пришедший в ремонтную фазу, делает запрос во все ремонтные места и получает информацию о возможных временах его ремонта. Затем выбирается место с минимальным временем ремонта, на котором производится обслуживание данного элемента. В это время все остальные ремонтные места не работают. Таким образом, ремонтная фаза данной системы может рассматриваться как одноканальная система массового обслуживания с интенсивностью обслуживания пр.. Аналогично исследуем при п —► со поведение вероятности Рп(р) наличия элементов на всех рабочих местах системы для различных р = р{п).

Теорема 1.4. Если р является постоянной, то справедливы формулы

1 = lim Рп(1) < lim Рп{р) = 1, р < 1; lim Рп(р) = 0, р> 1.

71—ЮО П—*00 П—>СО

Теорема 1.5. Если р = 0 < а < 1/2, то справедлива формула

lim Рп(р) = 0.

п-+оо

Если р = еп~", а > 1/2, то справедлива формула

lim Рп{р) = 1.

п—too

Во второй главе проводится асимптотическое исследование тяжелых хвостов распределения случайных величин, характеризующих различные математические модели массового обслуживания. Этой тематике посвящено достаточно большое число работ, среди которых работы С. Асмуссена, К. Клюппельберг (1997), А. Балтрунас, Д. Дэйли, К. Клюппельберг (2004), В. Витта (2000), Д. Коршунова, С. Асмуссена, С. Фосса (2003), А. Шеллера-Вольфа и К. Сигмана (1998), А. Шеллера-Вольфа (2000), Ф. Бачелли, С. Шлегеля, В. Шмидта (1999). Однако в

большинстве из них рассматриваются одноканальные системы массового обслуживания (СМО) в стационарном режиме. В этой части диссертационной работы построена:

1) асимптотика хвоста распределения интервалов между выходом заявок из СМО в случае, когда интервалы между приходом заявок и времена их обслуживания имеют субэкспоненциальные распределения и показано, что эта асимптотика определяется более тяжелым из хвостов данных распределений;

2) асимптотика хвоста распределения свободного периода в открытой сети массового обслуживания (СеМО) и установлено, что эта асимптотика эквивалентна хвосту распределения интервала между приходом заявок в сеть;

3) асимптотика хвоста распределения времени пребывания и времени ожидания 71-ой заявки входного потока в многоканальной системе массового обслуживания и показано, как она зависит от числа обслуживающих приборов в этой системе и номера заявки;

4) асимптотика распределения времени жизни логической системы с ненадежными элементами.

Говорят, что функция распределения (ф.р.) Р(х) имеет тяжелый хвост Р = 1 — Р(х), если Еехр^Х} — со для любого 7 > 0. В работе использованы хорошо известные классы распределений с тяжелыми хвостами: класс субэкспоненциальных распределений

и класс регулярно меняющихся распределений И.

Будем говорить, что ф.р. Р(х), определенная на [0, оо), принадлежит классу И регулярно меняющихся распределений, если существуют а > О и медленно меняющаяся функция 1{х) такие, что Р(х) = 1(х)х~а, х > 0.

Рассмотрим одноканальную СМО Л\ с входным потоком 0 = Ц < = ¿о + Со < ¿2 = ¿1 + £1 • • ■, временами обслуживания г/о, щ, ■ ■ • и дисциплиной обслуживания "первым пришел - первым обслужился". Обозначим

>t) = F^t), P(r?n > i) = F2{t), n > 0, Fi(t), F2{t) € 5. (1)

Пусть СМО Ai свободна в момент i0 и обозначим То, Т\ = То + До, Т2 = Ti + Ai,... моменты выхода из системы 0-й, 1-й, 2-й, ... заявок входного потока. В силу принятой в СМО Ai дисциплины обслуживания почти наверное выполняются неравенства 0 < То < Т\ < Т2 < ...

Теорема 2.1. Пусть для одноканальной СМО А\ случайные последовательности {^о, бь • • ■}> {vo, Vit ■ ■ •} независимы, случайные величины

7?о, , ■ ■ • также независимы, справедливы формулы (1), тогда выполняются соотношения:

= <-4оо, (2)

72(*) = О(Л(4))=>-Р(Д*>*)~:Р1(*), ¿^оо. (3)

Замечание 1. Поскольку теорема 2.1 справедлива для любых совместных распределений случайных величин £0) £1,..., то утверждения (2),(3) легко распространяются на многофазную СМО, а также на СМО с нестационарными входными потоками, с зависимыми интервалами между поступлением заявок, возникающими, например, в Интернете.

Полученные в теореме 2.1 результаты в диссертационной работе удалось распространить и на ш-канальную СМО Лт, т < оо. В тех же самых предположениях, что и для системы Л}, сформулируем полученные результаты.

Теорема 2.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 2.1, тогда для СМО Лоо с бесконечным числом каналов справедливы соотношения (2), (3) и формула

Р(Ак < -г) ~ туг), г ->• оо. (4)

Теорема 2.3. Предположим, что для многоканальной СМО Лт с конечным числом каналов т > 1 случайные последовательности {£о, £ъ • • •}, ??1> • • •} независимы и выполняются формулы (1), тогда справедлива формула (3).

Особенность полученных результатов состоит в необходимости "правильной" нумерации заявок выходного потока, которая позволяет получить асимптотические формулы. При иной ("неправильной") нумерации эта возможность теряется.

Рассмотрим открытую СеМО В, в которую поступает входной поток заявок 0 = <о < = ¿о + £о < ¿2 = + £1 • • •• Обозначим щ, т?1,... суммарные времена обслуживания 0-й, 1-й, 2-й, ... заявок входного потока в СеМО Б. Предположим, что выполнено условие

Р(т]п < оо) = 1, п>0, . (5)

и при наличии в сети заявок хотя бы один прибор занят их обслуживанием. Положим 0 < Д0 < Й! < ... - выходной поток сети. Следует отметить, что выходной поток /?о, -Къ ^2, • • •, упорядоченный в соответствии с последовательностью моментов ухода заявок из сети В, и выходной поток То, Тг, Т2,..., характеризующий моменты ухода из сети 0-й,

1-й, 2-й, ... заявок входного потока, различаются вследствие перемешивания заявок в сети. Определим Ьп = тах(0, ¿п+1 — Лп) как свободный период в сети перед приходом (п + 1)-й входной заявки.

Теорема 2.4. Пусть случайные последовательности {£о, £ь • • •}

и

{770, Ш, ■ ■ ■} независимы и справедливы формулы (5), тогда для открытой СеМО В справедливо соотношение

Особенность результатов теоремы 2.4 состоит в нестандартном выборе свободного периода (отличного от общепринятого в теории массового обслуживания), который позволяет вывести универсальную асимптотическую формулу для хвоста его распределения при самых общих предположениях о структуре сети массового обслуживания.

Далее в диссертационной работе для СМО С|С|т|оо исследуются асимптотики хвостов распределения времени пребывания ип и времени ожидания ш„ п - ой заявки входного потока.

Теорема 2.5. Пусть ^ € тогда для п > т > 1

Теоремы 2.5, 2.6 развивают и уточняют результаты А. Шеллера-Вольфа для системы £7|£?|т|оо. Доказанные соотношения получены, главным образом, благодаря удобному выбору характеристик рассматриваемой системы.

Рассмотрим модель логической системы со случайными элементами. Полагаем, что неравная тождественно ни 1, ни 0 логическая функция А от логических переменных г Е Z представлена в виде дизъюнктивной нормальной формы (логической функции А соответствует несколько таких форм, однако выбор конкретной формы непринципиален)

с помощью семейства {(£,-, Z^)í 1 < г < г} пар подмножеств Z^, Zi С Zí Zif]Zi = 0, 1 < г < г. Считаем, что логическая переменная г в течение случайного времени г (г) принимает значение 1, после чего

Р(ЪП > ¿) ~ г -> оо.

(6)

Теорема 2.6. Пусть ^ е 'Я, тогда для т > 1, п > 1

Р{и„ > ~ < ->■ оо.

(?)

1<»<г [гб^

становится равной 0. Случайные величины t(z), z G Z, независимы в совокупности и для любого z £ Z определены

b(z) > 0, ф) > 0 : c(zi) ф c(z2), zhz2 GZ, г\ф z2, (8)

причем

- In P{t{z) > t) ~ b[z)tc{-z\ t ->■ oo. (9)

Обозначим т(А) случайное время, в течение которого логическая система Л работает, т.е. логическая функция А равна 1. Используя представление (7) и условие (8), определим с fa), 1 < г < г, с(гд) равенствами

с fa) = тах(с(г) : z е Zi), c(za) = min с fa). (10)

l<i<r

Теорема 2.7. При выполнении условий (7) - (10) справедливо асимптотическое соотношение

- In Р(т(Л) > t) ~ b{zA)tc{zA), t oo. (11)

Вычисление асимптотики существенно проще, чем непосредственное вычисление вероятностных характеристик рассматриваемой модели и основано как на знании структуры логической системы, так и на вероятностных свойствах ее элементов.

В третьей главе строятся и исследуются инвариантные характеристики хвостов стационарных распределений времен ожидания в СМ О M|G|l|oo и G|G|l|oo, принадлежащих классу субэкспоненциальных распределений. Хвосты субэкспоненциальных распределений задаются с точностью до медленно меняющихся множителей и отыскиваются стационарные характеристики, инвариантные относительно этих множителей. Идея построения инвариантных характеристик основана на классификации субэкспоненциальных распределений, предложенной Голди и Клюп-пельберг, на теореме Карамата и на формуле Эмбрехтса-Веравербеке.

Обозначим через L класс непрерывно дифференцируемых на [0, оо) и медленно меняющихся функций. Положим

Li = {1(х) Е L : lim sup ^^ < оо}, Ь2 = {1{х) € L : ^-1{х) G L}. х—юо 1{х) X

Рассмотрим S* - класс распределений вещественных случайных величин V(x), удовлетворяющих условию

Г— — —

/ V(x — у) V(y)dy ~ 2m+V(x), х-i оо,

J о

где т+ = /0°° V(t)dt.

Приведем одно из достаточных условий принадлежности распределения V(x) к классу S*.

(А). Пусть V(x) = exp(—v(x)), функция v(x) непрерывно дифференцируема, w(x) = v'{x). Если w(x) Е L2, lima;-*«, ги(х) = 0 и, начиная с некоторого значения аргумента, w(x) монотонно убывает, тогда V(x) ES*.

Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания M\G\l\oo с пуассоновским интенсивности А < 1 входным потоком заявок, имеющих распределение времени обслуживания B(t), f£°tdB(t) = 1. Обозначим Т(х) хвост стационарного распределения времени ожидания в исследуемой системе M\G\l\oo.

Теорема 3.1. Предположим, что хвост В{х) — l(x)x~p, l(x) Е L, р > 1. Тогда в системе M|G|l|oo для любого d > 0 справедлива формула

х~>оо. (12)

T(xd) V ;

Теорема 3.2. Пусть интегрированный хвост Bi(х) = B(t)dt = exp(—Q{x)), причем существует производная Q'(x) = х~71(х), 7 Е (0,1), 1{х) Е L. Тогда в системе M\G\l\oo для любого d > 0 справедлива формула _

х-,00. (13)

In T{xd) '

Теорема 3.3. Пусть интегрированный хвост Bj(x) = exp(—Q(x)) удовлетворяет условию (А). Тогда в системе M|G|l|oo для любого d > 0 справедлива формула

ЬТ(Ж) ! \nT(xd)

00. (14)

Теорема 3.4. Пусть интегрированный хвост Вт(х) = ехр(—<3(х)), <3(ж) = С(1п:с), С{х) > 0, причем существует производная С(х) = жа|г(а;)| >0, а > 0, 1(х) Е Ь. Тогда в системе М|С|1|оо для любого й > О справедлива формула

(15)

1п Т{х*) К '

Приведенные выше свойства инвариантности далее обобщаются на систему ¿?|С?|1[оо. Обозначим и(х) хвост распределения разности между временем обслуживания и интервалом между последовательными поступлениями в систему заявок. Тогда соотношение (12) выполняется, если и{х) = 1(х)х~р, 1(х) 6 Ьи р > 1. Соотношение (13) выполняется, если интегрированный хвост [//•(;г) = ехр(—С?(х)), причем 3 (¿'(х) =

x~7l(x), 7 e (0,1), 1{х) € Ai, и функция Q(x) — In <71 (ж) монотонно возрастает и стремится к бесконечности при х —у оо. Соотношение (14) выполняется, если Ui(x) = ехр(—Q(x)), причем 3 Q'(x) = ¡72(2) 6 где функция Q(ac) — In 32(2;) монотонно возрастает и стремится к бесконечности при х —> со, а -ß^) £ Аг ~ невозрастающая с некоторого значения х функция и lim R'2{x) = 0.

ж—>00

В приложении рассматривается модель риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты. Получены асимптотические и численные оценки вероятности разорения на конечном отрезке времени в рассматриваемой модели. Предложен алгоритм численного интегрирования медленно меняющейся функции.

Основные результаты работы

1. Исследованы коммутационные эффекты в модели дублирования с восстановлением и модели резервирования с восстановлением и конкуренцией между ремонтными местами.

2. Получены асимптотичекие формулы для хвостов распределения интервалов между выходом заявок из многоканальных систем массового обслуживания, хвостов распределения времени пребывания и времени ожидания заявки в этих системах в нестационарном режиме и хвоста распределения свободного периода в открытой сети массового обслуживания. Получена асимтотика распределения времени жизни логической системы с ненадежными элементами.

3. Получены инвариантные характеристики хвостов стационарного распределения времени ожидания в системах массового обслуживания M|G|l|oo и G|G|l|oo, определяемых субэкспоненциальными распределениями.

4. Проведено асимптотическое и численное исследование вероятности разорения на конечном отрезке времени в модели риска с дискретным временем.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору Г.Ш. Цициашвили за постановку задач, внимательное и требовательное отношение к работе.

Публикации по теме диссертации

1. Цициашвили, Г.Ш. Переходные явления в объединенной системе резервирования с восстановлением / Г.Ш. Цициашвили, Н.В. Маркова // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. - Владивосток: Дальнаука, 2001. - С. 68-69.

2. Цициашвили, Г.Ш. Переходные явления в объединенной системе резервирования с восстановлением / Г.Ш. Цициашвили, Н.В. Маркова // Дальневосточный математический журнал. - 2001. - Т. 2, № 2. -С. 106-114.

3. Tsitsiashvili, G.Sh. Phase Transition in Unity of Renewal Systems with Common Reserve / G.Sh. Tsitsiashvili, N.V. Markova // GSIT-2001. Ufa, 2001. - V. 2. - P. 85-89.

4. Маркова, Н.В. Инвариантные асимптотики в классической модели риска / Н.В. Маркова, Г.Ш. Цициашвили // Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию: тезисы докладов. - Владивосток: Дальнаука, 2001. - С. 24-25.

5. Цициашвили, Г.Ш. Асимптотические инварианты в одноканалыгой системе массового обслуживания G|G|l|oo / Г.Ш. Цициашвили, Н.В. Маркова // Дальневосточный математический журнал. - 2002. - Т. 3, №

1. - С. 52-57.

6. Цициашвилщ Г.Ш. Асимптотическое исследование нестационарных характеристик одноканальной системы обслуживания /Г.Ш. Цициашвили, А.Б. Талалаева, Н.В. Маркова // Труды ДВГТУ. - Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2002. - Вып. 132. - С. 219-221.

7. Маркова, Н.В. Асимптотические характеристики выходных потоков в сетях массового обслуживания / Н.В. Маркова, Г.Ш. Цициашвили // Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию: тезисы докладов. - Владивосток: Дальнаука, 2002. - С. 27-28.

8. Цициашвили, Г.Ш. Асимптотические характеристики выходных потоков в сетях массового обслуживания / Г.Ш. Цициашвили, Н.В. Маркова // Дальневосточный математический журнал. - 2003. - Т. 4, № 1. - С. 36-43.

9. Маркова, Н.В. Асимптотические характеристики выходных потоков / Н.В. Маркова, Г.Ш. Цициашвили // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. - Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2003. - С. 84-85.

10. Цициашвили, Г.Ш. Асимптотические характеристики выходных потоков / Г.Ш. Цициашвили, Н.В. Маркова // Современные матема-

тические методы анализа и оптимизации телекоммуникационных сетей: материалы междунар. науч. конф. - Минск: ВГУ, 2003. - С. 261267.

И. Маркова, Н.В. Асимптотические характеристики выходных потоков в сетях массового обслуживания / Н.В. Маркова, Г.Ш. Цициашвили // Фундаментальные и прикладные вопросы механики: сб. докладов междунар. конф. - Хабаровск: Изд-во Хабаров, гос. тех. ун-та, 2003.

- С. 367-370.

12. Маркова, Н.В. Асимптотический анализ времени пребывания заявки в многоканальной системе массового обслуживания / Н.В. Маркова // Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию: тезисы докладов.

- Владивосток: Дальнаука, 2003. - С. 25.

13. Маркова, Н.В. Асимптотический анализ времени пребывания заявки в многоканальной системе массового обслуживания / Н.В. Маркова // Дальневосточный математический журнал. - 2004. - Т. 5, № 1. -С. 66-71.

14. Tsitsiashvili, G.Sh. Cooperative EfFects in Renewal Systems with Common Reserve and Competition of Repair Places / G.Sh. Tsitsiashvili, N.V. Markova // Proceeding of International Conference SMRSSL'05. BenGurion University. Israel, 2005. - P. 366-369.

15. Tsitsiashvili, G.Sh. Cooperative Effects in Renewal Systems with Common Reserve and Competition of Repair Places / G.Sh. Tsitsiashvili, N.V. Markova // Communication in Dependability and Quality Management: An International Journal. -2005. - V. 8, № 3. - P. 71-75.

16. Цициашвили, Г.Ш. Асимптотический анализ сети с ненадежными ребрами / Г.Ш. Цициашвили, Н.В. Маркова // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2006. - Т. 13, № 5. - С. 889-890.

17. Воробьев, О.Ю. Кооперативные эффекты в объединенной системе резервирования с восстановлением и конкуренцией между ремонтными местами / О.Ю. Воробьев, Н.В. Маркова, Г.Ш. Цициашвили // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. - 2006. - № 4/1. - С. 171-173.

Наталья Владимировна МАРКОВА

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ МОДЕЛЕЙ РЕЗЕРВИРОВАНИЯ. И МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Автореферат

Лицензия № 020096 от 22.09.97 Формат 60 х 84/16. Усл. п. л. 1. Печать офсетная. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ № 12/2007

Отпечатано в печатном цехе ГОУ ВПО "Дальневосточная государственная социально-гуманитарная

академия"

679015, г. Биробиджан, ул. Широкая, 70-а, тел.: (42622) 6-42-82, 6-01-07

Введение

1. Коммутационные эффекты в модели дублирования с восстановлением

1.1. Эффекты взаимодействия подсистем в объединенной системе дублирования с восстановлением.

1.1.1. Случай постоянного р.

1.1.2. Случай зависящего от п

1.2. Вычислительный эксперимент

1.3. Объединенные системы резервирования с восстановлением и конкуренцией между ремонтными местами.

2. Асимптотические характеристики потоков в системах массового обслуживания

2.1. Одноканальная система массового обслуживания

2.2. Многоканальные системы массового обслуживания

2.3. Открытые сети массового обслуживания

2.4. Времена ожидания и пребывания заявки в многоканальной системе массового обслуживания.

2.5. Время жизни логической системы с ненадежными элементами

3. Асимптотические инварианты в моделях массового обслуживания

3.1. Система массового обслуживания М\0\\\оо.

3.2. Система массового обслуживания (3|С|1|оо.

Асимптотические методы играют важную роль при исследовании многих математических моделей, в том числе таких, которыми описывается функционирование различных типов систем массового обслуживания. Обычно об асимптотических методах говорят в том случае, когда непосредственные вычисления затруднительны из-за необходимости производить вычисления большого объема, или если в явном виде такие вычисление современными математическими средствами невозможно, но некоторым способом удается получить удовлетворительное для практики приближенное решение.

Одним из основных моментов при анализе сложной системы является нахождение явных зависимостей между ее входными и выходными характеристиками. Под явными зависимостями будем понимать либо независимость выходных характеристик от входных - своего рода инвариантность, - либо их скачкообразную зависимость, - аналог фазового перехода в физических системах. Обнаружение таких зависимостей даже для упрощенной модели системы позволяет рассчитывать на их сохранение при более детальном описании системы. В результате возникают содержательные гипотезы о поведении сложной системы, которые можно в дальнейшем проверять уже в ходе вычислительного эксперимента. Без формулировки таких гипотез и аналитическое исследование, и вычислительный эксперимент могут стать весьма громоздкими и затратными процедурами.

Одним из основных приемов упрощения модели системы является использование асимптотических методов. Развитие асимптотических методов с целью нахождения явных зависимостей между входными и выходными характеристиками системы предполагает прежде всего удобный выбор этих характеристик. Настоящая диссертация посвящена выбору таких характеристик для сетевых моделей массового обслуживания и надежности. Актуальность такой задачи связана с интенсивным развитием телекоммуникационных и компьютерных сетей, а также других технических систем. Компьютерные сети и компоненты связи подвергаются постоянной модернизации. Быстро меняющаяся среда требует умения своевременно реагировать на происходящие изменения. Естественно появляется необходимость посмотреть на примере математических моделей, как ведут себя системы при различных значениях параметров.

В работе исследуются два типа асимптотик, характерных для сложных стохастических систем. Первый из них связан с эффектом объединения автономно работающих систем. Наличие сильного взаимодействия или отсутствие такового являются двумя крайними случаями взаимодействия между отдельными элементами сложных стохастичесих систем. Изучение возникающих при объединении эффектов взаимодействия между объединяемыми подсистемами в различных сетевых моделях теории надежности и теории массового обслуживания представляет большой практический интерес, т.к. в этом случае появляется иной режим работы. Объединенная система приобретает новые свойства, знание которых позволяет в дальнейшем конструировать системы, обладающие заданными характеристиками.

Коммутационные эффекты в различных моделях массового обслуживания, резервирования и страхования исследовал Г.Ш. Цициашвили в работах [21], [22], [24], [96], где обнаруживается факт наличия достаточно сильного взаимодействия между объединяемыми подсистемами и дается его количественная оценка для перечисленных моделей. В частности, в [22] для модели резервирования с восстановлением получена скорость сходимости к единице вероятности функционирования всех рабочих мест объединенной системы в случае, когда коэффициент загрузки системы р < 1. В [24] исследовано влияние нескольких способов коммутации одноканальных СМО типа М\М\1\оо на показатели эффективности сконструированных систем.

В настоящей работе исследовано поведение вероятности наличия элементов на всех рабочих местах объединенной системы дублирования с восстановлением для различных значений критического параметра р данной модели в окрестности единицы. Построена определенная зависимость р от числа объединяемых подсистем, что позволило обнаружить эффект взаимодействия подсистем в рассматриваемой модели. Полученные результаты тесно связаны с исследованием надежности сложных восстанавливаемых систем, широко используемых в телекоммуникационных и компьютерных сетях, а также в других технических системах.

Стоит отметить, что без предварительного асимптотического анализа предпринятые ранее попытки численного расчета рассматриваемой вероятности не давали результатов. Выполненный нами анализ позволил провести вычислительный эксперимент, результаты которого подтверждают и уточняют характер обнаруженного переходного режима работы объединенной системы.

Если ввести некоторые условия в рассматриваемую модель, появляется вопрос: как изменятся ее свойства? Мы добавили в модель резервирования с восстановлением новое свойство - конкуренцию между ремонтными местами и так же исследовали поведение вероятности наличия элементов на всех рабочих местах данной системы.

В последнее время особый интерес у специалистов в области теории массового обслуживания вызывают исследования асимптотического поведения хвостов распределения случайных величин Р(х) = 1 — ^(ж), характеризующих различные математические модели массового обслуживания (см., например, [46], [47], [54], [55], [57], [58]).

Второй тип асимптотик, исследуемый в настоящей работе связан с поведением тяжелых хвостов распределения случайных величин. Тяжелые хвосты распределения обнаружены в последние годы во многих моделях массового обслуживания, теории надежности и страхования. Например, оказалось, что хвосты распределений времен обслуживания и ущербов страховых компаний являются тяжелыми [24], [64]. Этой тематике посвящено достаточно большое число работ, среди которых работы С. Асмуссена, К. Клюппельберг [52], Ф. Бачелли, С. Шлегеля, В. Шмидта [56], А. Балтру-нас, Д. Дэйли, К. Клюппельберг [57], Д. Коршунова, С. Асмуссена, С. Фос-са [83], А. Шеллера-Вольфа и К. Сигмана [91], А. Шеллера-Вольфа [92], В. Витта [97]. Однако модели, для которых проводятся эти исследования, в основном ограничиваются классической моделью риска и одноканальными системами массового обслуживания (СМО) М|(?|1|оо, £|(3|1|оо в стационарном режиме.

Первые результаты асимптотического анализа стационарных распределений с тяжелыми хвостами в сетях массового обслуживания представлены в работе С. Фосса, Ф. Бачелли, К. Клюппельберг [70].

В современных же системах передачи данных (включая Интернет) потоки являются нестационарными и, более того, имеют зависимые интервалы между приходом заявок [64]. Поэтому существует потребность в изучении систем массового обслуживания с такими потоками. Причем основной акцент делается на выборе таких нестационарных характеристик потоков, чьи асимптотические свойства можно было бы получать для сетей со структурой достаточно общего вида.

Известно (см. [15]), что распределение времени ожидания в стационарном состоянии для систем М|(7|1|оо и М|(?|т|оо можно получить при решении интегро-дифференциального уравнения Такача, а для систем Сг|Сг|1|оо и £|(3|т|оо - интегрального уравнения Линдли. Однако решение этих уравнений связано с большими трудностями, особенно для случая многоканальных систем.

Асимптотическому исследованию распределения времени ожидания заявки посвящены работы [10], [46], [47], [70], [77], [97]. Несколько работ посвящено рассмотрению многоканальных СМО в стационарном режиме. Один результат содержится в работе Ф. Бачелли и С. Фосса [55], где получена грубая асимптотика для частного случая двухканальиой системы. В [10] рассмотрена существенно более простая модель многоканальной системы, когда все законы распределения показательные. В. Витту [97] удалось провести асимптотический анализ распределения времени ожидания заявки лишь в модели М|С|га|оо путем построения нижней оценки хвоста соответствующего распределения. В связи с этм вопрос об асимптотическом анализе распределения времени ожидания заявки в многоканальных СМО остается открытым. По мнению Д. Дейли этот вопрос представляет значительный теоретический и практический интерес, в частности, в связи с задачами теории расписаний в многоканальных системах.

Мы рассмотрели случай произвольного числа каналов т, но при нестационарном режиме. Благодаря этому получена асимптотика хвоста распределения времени ожидания с точностью до постоянного множителя. Наряду с этим получена асимптотика для времени освобождения к приборов от ранее пришедших заявок.

В работе А. Балтрунас, Д. Дэйли и К. Клюппельберг [57] приводится асимптотика хвоста распределения периода занятости в стационарном режиме для одноканальных систем С/|(7/|1, причем используется очень сложная техника получения результатов. Анализ стационарных распределений времени пребывания заявки в многоканальных системах массового обслуживания проводился А. Шеллером-Вольфом и К. Сигманом [91], [92]. Задача решалась авторами в терминах конечных моментов.

В нашей работе исследуются инвариантные характеристики, определяемые субэкспоненциальными распределениями, в одноканальных СМО типа М|(7|1|оо, Ст|С?|1|оо. Функция распределения времени обслуживания £ не всегда достаточно точно известна. Мы получили теоремы, позволяющие строить предельные характеристики для С, не зависящие от неизвестных медленно меняющихся множителей. Полученные результаты являются оригинальными. Они основаны на классификации субэкспоненциальных распределений, предложенной К. Голди и К. Клюппельберг в [74].

В настоящее время изобретают все более дробные классы распределений. Мы не формируем новых классов, а применяем уже известные классы к различным моделям. Полученные результаты можно использовать для модели риска с пуассоновским входным потоком.

В связи с приложениями теории риска в последние годы возрос интерес к логико-вероятностным моделям ( см. [14], [17]), но асимптотические исследования в этой области практически не проводились. Мы провели асимптотический анализ логической системы с ненадежными элементами.

Асимптотические оценки широко применяются в математической теории риска, где одной из основных задач является нахождение вероятности разорения страховой компании. Большое число работ посвящено изучению вероятности разорения в классической модели риска. Свойства классического процесса риска хорошо изучены, см., например, [75]. Для рассмотрения более реалистичных моделей возникает необходимость учета новых факторов (инфляция, перестрахование и др.) и как следствие неизбежного расширения спектра применяемых методов. Реальный расчет вероятности разорения труден, более того, получение ее явного вида для многих моделей оказывается невозможным, поэтому значительный интерес представляет нахождение различных апроксимаций, построение двусторонних оценок и применение численных процедур (см. [11], [50], [78]). В основном алгоритмы вычисления вероятности разорения предложены для классической модели риска.

Одним из значимых направлений теории коллективного риска является теория вероятности разорения в случае, когда распределение размеров выплат имеет тяжелый хвост. В [11] В.В. Калашников и Д. Констаптинидис получили двусторонние оценки вероятности разорение для модели Спарре Андерсена в случае выплат с тяжелыми хвостами.

Страховой рынок России в последнее десятилетие, в отличие от своих западных аналогов, характеризуется большей нестабильностью, влиянием дополнительных факторов риска, общей политической и экономической обстановкой в стране. Возникла объективная необходимость наряду с долгосрочными прогнозами проводить оценку ситуации и на небольших отрезках времени с учетом дополнительных рисков. Однако работы по изучению вероятности разорения на конечных промежутках времени страхования редки, отметим среди них [80], где предложена рекурсивная оценка вероятности разорения х) на конечном промежутке времени длины £ при начальном капитале х.

В данной работе получены асимптотические и численные оценки вероятности разорения на конечном отрезке времени в модели риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты.

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы используя асимптотические методы выделить явные зависимости между входными и выходными характеристиками в моделях резервирования, массового обслуживания и страхования.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Исследовать поведение вероятности наличия элементов на всех рабочих местах объединенной системы дублирования с восстановлением и системы резервирования с восстановлением и конкуренцией между ремонтными местами.

2. Провести асимптотическое исследование нестационарных характеристик потоков в системах массового обслуживания.

3. Провести асимптотическое и численное исследование модели риска с дискретным временем.

В первой главе исследуется явление типа фазового перехода для объединения систем дублирования с восстановлением. Приводятся данные численного эксперимента, подтверждающие и уточняющие характер этого явления. Рассматривается также система резервирования с восстановлением и конкуренцией между ремонтными местами и показывается, как меняются ее свойства в связи с введением конкуренции.

Во второй главе строится асимптотика хвостов распределения интервалов между выходом заявок из СМО. Эта асимптотика исследуется в случае, когда СМО определяется субэкспоненциальными распределениями интервалов между приходом заявок и времен их обслуживания. Выявлено, что она в основном определяется более тяжелым из хвостов перечисленных выше распределений. Исследовано влияние структуры СМО на вид рассматриваемых асимптотических оценок.

Изучено асимптотическое поведение хвоста распределения свободного периода в открытой сети массового обслуживания (СеМО). Установлено, что независимо от вида сети она эквивалентна хвосту распределения интервала между приходом заявок в сеть.

Исследуется асимптотика хвоста распределения времени пребывания заявки в многоканальной СМО. Показано, как распределение времени ожидания и времени пребывания заявки в системе зависит от числа обслуживающих приборов и номера заявки.

Рассматривается модель логической системы с ненадежными элементами. Строится асимптотика распределения времени жизни этой системы. Вычисление асимптотики существенно проще, чем непосредственное вычисление вероятностных характеристик модели и основано как на знании структуры логической системы, так и на вероятностных свойствах ее элементов.

В третьей главе строятся и исследуются инвариантные характеристики хвостов стационарного распределения времени ожидания в системах массового обслуживания М|С?|1|оо и (?|С?|1|оо, определяемых субэкспоненциальными распределениями. Хвосты этих распределений задаются с точностью до медленно меняющихся множителей. Получены стационарные характеристики, инвариантные относительно этих множителей.

В приложении рассматривается модель риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты. Получены асимптотические и численные оценки вероятности разорения на конечном отрезке времени в рассматриваемой модели. Предложен алгоритм численного интегрирования медленно меняющейся функции.

Результаты диссертационной работы докладывались на Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2001, 2003, 2005, 2006 гг.), на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2001-2003 гг.), на семинарах ИПМ ДВО РАН (Владивосток, 2002, 2004 гг.), на Международной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" (Хабаровск, 2003 г.), на заседаниях кафедры математики БГПИ (Биробиджан, 2001-2004 гг.), на двух семинарах лаборатории приближенных методов и функционального анализа ВЦ ДВО РАН (Хабаровск, 2004 г.). Работа вошла составной частью в поддержанный РФФИ проект 03-01-00512: "Разработка методов стохастического управления параметрами систем массового обслуживания и асимптотического исследования их потоков".

По теме диссертации опубликовано 17 работ [29]-[45].

Заключение

В диссертационной работе используя асимптотические методы были выделены наиболее явные зависимости между входными и выходными характеристики в моделях резервирования, массового обслуживания и страхования.

Сформулируем основные результаты диссертации.

1. Исследованы коммутационные эффекты в модели дублирования с восстановлением и модели резервирования с восстановлением и конкуренцией между ремонтными местами.

2. Получены асимптотичекие формулы для хвостов распределения интервалов между выходом заявок из многоканальных систем массового обслуживания, хвостов распределения времени пребывания и времени ожидания заявки в этих системах в нестационарном режиме и хвоста распределения свободного периода в открытой сети массового обслуживания.

3. Получены инвариантные характеристики хвостов стационарного распределения времени ожидания в системах массового обслуживания М|£|1|оо и <ЭД1|оо, определяемых субэкспоненциальными распределениями.

4. Проведено асимптотическое и численное исследование вероятности разорения на конечном отрезке времени в модели риска с дискретным временем.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору Г.Ш. Цициашвили за постановку задач и внимание к работе.

1. Боровков, A.A. Асимптотические методы в теории массового обслуживания: учеб. пособие для вузов / A.A. Боровков. М.: Наука, 1980. - 384 с.

2. Боровков, A.A. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания: учеб. для вузов / A.A. Боровков. М.: Наука, 1971. - 368 с.

3. Боровков, A.A. Курс теории вероятностей: учеб. для вузов / A.A. Боровков. М.: Наука, 1972. - 287 с.

4. Боровков, A.A. Теория вероятностей: учеб. пособие для вузов / A.A. Боровков. М.: Наука, 1986. - 431 с.

5. Бенинг, В.Е. Асимптотическое поведение обобщенных процессов риска / В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1998. - Т. 5, вып. 1. - С. 116-133.

6. Бенинг, В.Е. Непараметрическое оценивание вероятности разорения для обобщенных процессов риска / В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев // Теория вероятностей и ее применения. 2002. - Т. 47, вып. 1. - С. 3-20.

7. Бенинг, В.Е. Статистическое оценивание вероятности разорения для обобщенных процессов риска / В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев // Теория вероятностей и ее применения. 1999. - Т. 44, вып. 1. - С. 161-164.

8. Виноградов, О.П. Вероятность разорения страховой компании в случае, когда интервалы между моментами выплат имеют неодинаковые показательные распределения / О.П. Виноградов // Теория вероятностей и ее применения. 1998. - Т. 43, вып. 2. - С. 352-357.

9. Даниелян, И.Е. Правильное изменение хвоста распределения стационарного времени ожидания в модели M\G\l\oo при дисциплине LIFO / И.Е. Даниелян, Е.И. Улитина // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - Т. 9, № 3. - С. 605-606.

10. Ивченко, Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания: учеб. пособие для вузов / Г.И. Ивченко, В.А. Каштанов, И.Н. Коваленко. М.: Высшая школа, 1982. - 256 с.

11. И. Калашников, В.В. Вероятность разорения / В.В. Калашников, Д. Кон-стантинидис // Фундамент, и прикл. мат. 1996. - Т. 2, вып. 4. - С. 1055-1100.

12. Коршунов, Д.А. Асимптотический анализ случайных блужданий с зависимыми приращениями в случае тяжелых хвостов / Д.А. Коршунов, С. Шлегель, Ф. Шмидт // Сибирский математический журнал. 2003. - Т. 44, № 5. - С. 1067-1081.

13. Рогозин, Б.А. О постоянной в онределнии субэкспоненциальных распределений / Б.А. Рогозин // Теория вероятностей и ее применения. -1999. Т. 44, вып. 2. - С. 455-458.

14. Рябинин, И.А. Логико-вероятностное исчисление как аппарат исследования надежности и безопасности структурно-сложных систем / И.А. Рябинин // Автоматика и телемеханика. 2003. - №7. - С. 178-186.

15. Саати, T.J1. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения: монография. М.: Сов. радио, 1971. - 520 с.

16. Симонян, А.Р. Представление на языке медленно меняющихся фикций в модели M\G\1\оо в условиях критической загрузки / А.Р. Симонян, Е.И. Улитина // Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2003. Т. 10, вып. 3. - С. 745-746.

17. Соложенцев, Е.Д. Особенности логико-вероятностной теории риска с группами несовместных событий / Е.Д. Соложенцев // Автоматика и телемеханика. 2003. - №7. - С. 187-203.

18. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2-х т. / В. Феллер. М.: Мир, 1984. - Т. 2. - 738 с.

19. Фосс, С.Г. Об оптимальности дисциплины FCFS в многоканальных системах и сетях обслуживания / С.Г. Фосс, Н.И. Чернова // Сибирский математический журнал. 2001. - Т. 42, № 2. - С. 434-450.

20. Цициашвили, Г.Ш. Исследование нестационарных коммутационных эффектов в простейших вероятностных моделях / Г.Ш. Цициашвили.- Владивосток: ИПМ ДВО АН СССР, препринт, 1991. 12 с.

21. Цициашвили, Г.Ш. Коллективное страхование больших рисков / Г.Ш. Цициашвили // Докл. РАН. 1999. - Т. 368, № 6. - С. 749-750.

22. Цициашвили, Г.Ш. Коммутационные свойства систем резервирования с восстановлением / Г.Ш. Цициашвили // Теория вероятностей и ее применения. 1991. - Т. 36, вып. 4. - С. 817.

23. Цициашвили, Г.Ш. Кооперативные эффекты в математической модели риска / Г.Ш. Цициашвили // Дальневост. матем. сб. 1998. - Вып. 6. С. 92-96.

24. Цициашвили, Г.Ш. Кооперативные и декомпозиционные эффекты в многоэлементных стохастических системах: монография / Г.Ш. Цициашвили, В.М. Беспалов, М.А. Осипова. Владивосток: Дальнаука, 2003. - 235 с.

25. Цициашвили, Г.Ш. Многокритериальные коммутационные эффекты в простейших моделях массового обслуживания / Г.Ш. Цициашвили. -Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, препринт, 1993. 12 с.

26. Цициашвили, Г.Ш. Страхование индивидуального и группового риска на основе коммутационных эффектов. / Г.Ш. Цициашвили. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, препринт, 1992. - 10 с.

27. Цициашвили, Г.Ш., Скварник Е.С. Численное решение задачи о средних значениях в классической модели риска / Г.Ш. Цициашвили, Е.С. Скварник. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, препринт, 2001. - 6 с.

28. Эмбрехтс, П. Некоторые прикладные аспекты страховой математики / П. Эмбрехтс, К. Клюппельберг // Теория вероятностей и ее применения. 1993. - Т. 38, вып. 2. - С. 347-416.

29. Цициашвили, Г.Ш. Переходные явления в объединенной системе резервирования с восстановлением / Г.Ш. Цициашвили, Н.В. Маркова // Дальневосточный математический журнал. 2001. - Т. 2, № 2. - С. 106-114.

30. Цициашвили, Г.Ш. Асимптотические инварианты в одноканалыюй системе массового обслуживания G|G|l|oo / Г.Ш. Цициашвили, Н.В. Маркова // Дальневосточный математический журнал. 2002. -Т. 3, № 1. - С. 52-57.

31. Цициашвили, Г.Ш. Асимптотическое исследование нестационарных характеристик одноканальной системы обслуживания / Г.Ш. Цициашвили, A.B. Талалаева, Н.В. Маркова // Труды ДВГТУ. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2002. - Вып. 132. - С. 219-221.

32. Цициашвили, Г.Ш. Асимптотические характеристики выходных потоков в сетях массового обслуживания / Г.Ш. Цициашвили, Н.В. Маркова

33. Дальневосточный математический журнал. 2003. - Т. 4, № 1. - С. 36-43.

34. Маркова, Н.В. Асимптотические характеристики выходных потоков / Н.В. Маркова, Г.Ш. Цициашвили // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. -Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2003. С. 84-85.

35. Цициашвили, Г.Ш. Асимптотические характеристики выходных потоков / Г.Ш. Цициашвили, Н.В. Маркова // Современные математические методы анализа и оптимизации телекоммуникационных сетей: материалы междунар. науч. конф. Минск: ВГУ, 2003. - С. 261-267.

36. Маркова, Н.В. Асимптотический анализ времени пребывания заявки в многоканальной системе массового обслуживания / Н.В. Маркова // Дальневосточный математический журнал. 2004. - Т. 5, № 1. - С. 66-71.

37. Цициашвили, Г.Ш. Асимптотический анализ сети с ненадежными ребрами / Г.Ш. Цициашвили, Н.В. Маркова // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. - Т. 13, JVQ 5. - С. 889-890.

38. Tsitsiashvili, G.Sh. Phase Transition in Unity of Renewal Systems with Common Reserve / G.Sh. Tsitsiashvili, N.V. Markova // CSIT-2001. Ufa, 2001. V. 2. - P. 85-89.

39. Tsitsiashvili, G.Sh. Cooperative Effects in Renewal Systems with Common Reserve and Competition of Repair Places / G.Sh. Tsitsiashvili, N.V. Markova // Proceeding of International Conference SMRSSL'05. BenGurion University. Israel, 2005. P. 366-369.

40. Abate, J. Asymptotics for М/G/1 low-priority waiting-time time probabilities / J. Abate, W. Whitt // Queueing Systems. 1997. - V. 25. -P. 173-323.

41. Abate, J. Waiting-time tail probabilities in queues with long-tail servicetime distribution / J. Abate, G.L. Choudhury, W. Whitt // Queueing Systems. 1994. - V. 16. - P. 311-338.

42. Anastasi, G. MAC Protocols for Wideband Wireless Local Access: Evolution Toward Wireless ATM / G. Anastasi, L. Lenzini, E. Mingozzi, A. Hettich, A. Kramling // IEEE Personal Coinmunicatuions. 1998. - V. 5, № 5. - P. 53-64.

43. Asmussen, S. A local Limit Theorem for Random Walk Maxima with Heavy Tails / S. Asmussen, V. Kalashnikov, D. Konstantinides, C. Kliippelberg, G. Tsitsiashvili // Statistics & Probability Letters. 2002. - V. 56. - P. 399404.

44. Asmussen, S. Ruin Probability / S. Asmussen. Singapore: World Scientific, 1997. - 388 p.

45. Asmussen, S. Sampling at subexponential times with queueing applications / S.Asmussen, C. Kliippelberg, K. Sigman // Stoch. Proc. Appls. 1999. -V. 79. - P. 265-286.

46. Asmussen, S. Stationary M/G/l excursions in the presence of heavy tails / S. Asmussen, C. Kliippelberg // J. Appl. Probab. 1997. № 34. - P. 208-212.

47. Asmussen, S. Subexponential asymptotics for stochastic processes: extremal behavior, stationary distributions and first passage probabilities / S. Asmussen // The Annals of Applied Probability. 1998. - V. 8, № 2. -P. 354-374.

48. Asmussen, S. Tail Asymptotics for M/G/l Type Queueing Processes with Subexponential Increments / S. Asmussen, J.R. Moller // Queueing Systems. 1999. - V. 33. - P. 153-176.

49. Baccelli, F. Moments and Tails in Monotone-Separable Stochastic Networks / F. Baccelli, S. Foss // Ann. Appl. Probab. 2004. - V. 14. - P. 612-650.

50. Baccelli, F. Asymptotics of Stochastic Networks with Subexponential Service Times / F. Baccelli, S. Schlegel, V. Schmidt // Queueing Systems.- 1999. V. 33. - P. 205-232.

51. Baltriinas, A. Tail behaviour of the busy period of a GI/GI/1 queue with subexponential service times / A. Baltriinas, D.J. Daley, C. Kluppelberg // Stoch. Proc. Appl. 2004. - V. 111. - P. 237-258.

52. Boxma, O.J. Waiting time asymptotics in the single server queue with service in random order / O.J. Boxma, S.G. Foss, J.-M. Lasgouttes, R. Nunez Queija // Queueing Systems. 2004. - V. 46. - P. 35-73.

53. Cai, J. On max-sum equivalence and convolution closure of heavy-tailed distributions and their applications / J. Cai, Q. Tang //J. Appl. Probab.- 2004. V. 41. - P. 117-130.

54. Cardoso, R.M.R. Recursive calculation of finite time ruin probabilities under interest force / R.M.R. Cardoso, H.R. Waters // Insurance: Math. Econ. 2003. - V. 33, № 3. - P. 659-676.

55. Cline, D.B.H. Convolutions of distributions with exponential and subexponential tails / D.B.H. Cline // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. -1987. V. 43. - P. 347-365.

56. Cline, D.B.H. Convolution tails, product tails and domains of attraction / D.B.H. Cline // Probab. Theory Relat. Fields. 1986. - V. 72, № 4. - P. 529-557.

57. Croux, R. Nonparametric estimators for the probability of ruin / R. Croux, N. Veraverbeke // Insurance: Math. Econ. 1990. - V. 9, № 2/3. - P. 127130.

58. D'Apisce, C. Approximation of network traffic by pseudostable Levy motion / C. DApisce, Y.S. Khokhlov, R. Manzo, O.I. Sidorova // Transaction of the XXIV International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. Urmala, 2004. - P. 178-184.

59. Daley, D. J. The busy period of the M/GI/oo queue / D.J. Daley // Queueing Systems. 2001. - V. 38, № 2. - P. 195-204.

60. David, H.A. Order Statistics / H.A. David. New York: John Wiley and Sons, 1970. - 272 p.

61. Embrechts, P. Estimates for the Probability of Ruin with Special Emphasis on the Possibility of Large Claims / P. Embrechts, N. Veraverbeke // Insurance: Math. Econ. 1982. - V. 1. - P. 55-72.

62. Embrechts, P. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance / P. Embrechts, C. Kliippelberg, T. Mikosch. Berlin: Springer, 1997. - 643 p.

63. Embrechts, P. On closure and factorization properties of subexponential and related distributions / P. Embrechts, C.M. Goldie // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1980. - V. 29, № 2. - P. 243-256.

64. Foss, S. Asymptotics for Distributions of Stationary Characteristics in Queuing Networks with Heavy Tails / S. Foss, F. Baccelli, D. Korshunov

65. Abstracts of Workshop "Modern Problems in Applied Probability". -Novosibirsk, 2000. P. 9-10.

66. Foss, S. Asymptotics for the maximum of a modulated random walk with heavy-tailed increments / S. Foss, S. Zachary // Anal. Meth. Appl. Probab. Ainer. Math. Soc. Trans. Ser. 2. 2002. - V. 207. - P. 37-52.

67. Foss, S. Sapozhnikov A. On the Existence of Moments for the Busy Period in a Single-Server Queue / S. Foss, A. Sapozhnikov // Mathematics of Operations Research. 2004. - V. 29, № 3. - P. 592-601.

68. Foss, S. Sampling at a random time with a heavy-tailed distribution / S. Foss, D. Korshunov // Markov Processes and Related Fields. 2000. - V. 6.- P. 543-568.

69. Goldie, C.M. Subexponential Distributions / C.M. Goldie, C. Kliippelberg.- Mainz: Johannes Guttenberg Universität Mainz, preprint, 1996. V. 96-1. -20 p.

70. Grandell, J. Aspects of Risk Theory / J. Grandell. Berlin-New York: Springer, 1990. - 190 p.

71. Greiner, M. Telecommunication Traffic, Queuing Models and Subexponential Distributions / M. Greiner, M.R. Jobrnann, C. Kliippelberg // Queueing Systems. 1999. - V. 33. - P. 125-152.

72. Kalashnikov, V. Tails of waiting times and their bounds / V. Kalashnikov, G. Tsitsiashvili // Queueing Systems. 1999. - V. 32. - P. 257-283.

73. Kalashnikov, V.V. Two-Sides Bounds of Ruin Probabilities / V.V. Kalashnikov // Scand. Actuarial J. 1996. - V. 1. - P. 1-18.

74. Kiefer, J. On the theory of queues with many servers / J. Kiefer, J. Wolfowitz // Trans. Amer. Math. Soc. 1955. - V. 78. - P. 147-161.

75. Kling, B.M. A recursive evalution of the finite time ruin probability based on an equatuin of Seal / B.M. Kling, M.J. Goovaerts // Insurance: Math. Econ. 1991. - V. 10. - P. 93-97.

76. Kluppelberg, C. On Subexponential Distributions and Integrated Tails /

77. C. Kluppelberg // J. Appl. Probab. 1988. - V. 25. - P. 132-141.

78. Konstantinides, D. Estimates for the ruin probability in the classical risk model with constant interest force in the presence of heavy tails / D. Konstantinides, Q. Tang, G. Tsitsiashvili // Insurance: Math. Econ. 2002. - V. 31. - P. 447-460.

79. Korshunov, D. Asymptotics for sums of random variables with local subexponential behaviour / D. Korshunov, S. Asmussen, S. Foss //J. Theor. Probab. 2003. - V. 16, № 2. - P. 489-518.

80. Muller, A. Comparison Methods for Stochastic Models and Risk / A. Muller,

81. D. Stoyan. New York: John Wiley and Sons, 2002. - 350 p.

82. Nyrhinen, H. Finite and infinite time ruin probabilities in a stochastic economic environment / H. Nyrhinen // Stoch. Proc. Appl. 2001. - V. 92, № 2. - P. 265-285.

83. Pakes, A.G. On the tails of waiting-time distribution / A.G. Pakes //J. Appl. Probab. 1975. - V. 12. - P. 555-564.

84. Pitman, E. J. G. Subexponential Distribution Functions / E. J. G. Pitman // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1980. - V. 29. - P. 337-347.

85. Rocchi, P. Boltzinann-like Entropy in Reliability Theory / P. Rocchi //Entropy. 2002. - V. 4. - P. 142-150.

86. Rolski, T. Stochastic Processes for Insurance and Finance / T. Rolski, H. Schmidli, V. Schmidt, J. Teugels. New York: John Wiley and Sons, 1999. - 654 p.

87. Scheller-Wolf, A. Delay moments for FIFO GI/GI/c queues / A. SchellerWolf, K. Sigman // Queueing Systems. 1997. - V. 25. - P. 77-95.

88. Scheller-Wolf, A. Further delay moment results for FIFO multiserver queues / A. Scheller-Wolf // Queueing Systems. 2000. - V. 34. - P. 387400.

89. Scheller-Wolf, A. New bounds for expected in FIFO GI/GI/c queues / A. Scheller-Wolf, K. Sigman // Queueing Systems. 1998. - V. 26. - P. 169186.

90. Sigman, K. A Primer on Heavy-Tailed Distributions / K. Sigman // Queueing Systems. 1999. - V. 33. - P. 261-275.

91. Tang, Q. Precise estimates for the ruin probability in finite horizon in a discrete-time model with heavy-tailed insurance and financial risks / Q. Tang, G.Sh. Tsitsiashvili // Stoch. Proc. Appl. 2003. - V. 108, is. 2, № 1. - P. 299-325.

92. Tsitsiashvili, G.Sh. Quantitative Evalution of Decomposition Effects in Complex Systems / G.Sh. Tsitsiashvili // Advances in Modelling and Analysis. 1995. - V. 47, № 1. - P. 27-30.

93. Whitt, W. The impact of a heavy-tailed service-time distribution upon the M/GI/s waiting-time distribution / W. Whitt // Queuing Systems. 2000. - V. 36. - P. 71-87.

94. Yang, Y. Asymptotic annalysis of queue with a time-dependent arrival rate / Y. Yang, C. Knessl // Queueing Systems. 1997. - V. 26. - P. 23-68.