автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Об оценках надежности резервирования системы с программной стратегией подключения резервных элементов

Р Г 6 00

1 Ж 1993

Министерство науки, высшей школы л технической политики Российской Федерации

ТОМСКИЙ ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.В.КУЙБЫШЕВА

На правах рукописи

Пятков а Светлана Ивановна

УДК 519.873

ОБ 01ЕНКЛХ НАДЕЖНОСТИ РЕЗЕР8КР0ВЩЮН СИСТЕМЫ С ПРОГРАММНОЙ СТРАТЕГИЕЙ ПОДКЛЮЧЕНИЯ РЕЗЕРВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ '

Специальность 05.13.15- применение вычислительной техники. математического моделирования и математических методов в научных иссещоввниях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск 1993

Работа выполнена в Томском государственном университете им.В.В.Куйбышева.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты: доктор технических наук

Б.П.Зеленцов кандидат физико-математических наук В.В.Поддубяый

Вед-цая организация: Белорусский государственный университет (г.Минск).

Запита состоится 1'3 ~<лОу9/г{, 1933г. в/^'ЗО часов на заседаний специализированного/Совета Д 063.53.03 Томского государственного университета имени В.В.Куйбышева С 634050, г.Томск, пр. Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферлт разослан 1993г.

В.В.Конев

Ученый секретарь специализированного Совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Б.Е.Тривоженко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы Решение современных задач кибернетики )ебует разработки все более сложных систем передачи и переработки [формации. Это приводи? к тому . что работолособиость таких сис-¡м зависит от большого числа элементов. Одни).« из основных и наи->лее перспективных способов обеспечения надетого выполнения по-'авленной перед системой задачи является резервирование. Отказы в ■зервировакных системах становятся достаточно редкими событиями 1 фоне сравнительно часто возникающих отказов отдельных элементов; гария.резервирования, занимающаяся изучением вопросов эффективко-» использования резервных элементов СРЭ). является одной из • яовных разделов теории надежности.

Объектом исследования представляемой работы является техниче-аи система (ТС) с программным подключением РЗ в нагруженный рем (НР). Системы данного вида могут 'быть приняты в качестве мате-;тических моделей реальных ТС. которые по ряду причин вынуждены акционировать в автономном режиме. Суть задачи1 программного 'зервирования (ПР) состоит в следующем. Имеется группа основных .ботающих элементов (о.э. ) и ненагружешшй резерв, предназначен-й для подключения в НР в целях обеспечения надежного функииони-вания системы. Поскольку элементы, включаемые в работу , отказы1 ют. а запасные элементы сохраняют полную работоспособность , то лжна существовать оптимальная программа подключения резерва, за-сящая от конкретного.критерия качества С обеспечение наименьшей роятности отказа, если ' система функционирует на конечном терьале времени, максимальное среднее время работы, если время нкционирования системы не ограничено заранее и т;д.). Опг'имизи-емыми параметрами являются моменты подключения и число подключа-ых элементов. Наряду с оптимизационным задачами представляют герес задачи анализа надежности С вероятности безотказной работы в заданный момент времени) в системах с программным и динамиче-им подключением резерва. При этом точное вычисление функции на-шости системы обычно представляет собой достаточно громоздкую цачу для относительно сложных систем.. '

Основное содержащие рассматриваемой в данной работе задачи эграммного резервирования состоит в следующем. В момент "Ь0 = 0 -лшает функционировать некоторая техническая система,, состоя-д из 3 основных элементов, 10-з элементов в горячем (нагружен-

HO!.i) резерве и холодного Сненагруженного) резерва. Резервный элемент мсжет подключаться вместо любого отказавшего основного и 'выполнять его функции, но только в случае , если в момент отказа сн находится в нагруженном ремме. Отказавшие элементы не восстанавливается. В моменты -tL-iü происходит подключение в • чгружешмй режим групп резервных элементов по элементов в каждой. Предполагается , что: 1) переключение резервных элементов в нагруженный режим из холодного резерва выполняется абсолютно надежной) элементы,находящиеся в ненагруженном режиме,не отказывают и не теряют своих свойств при хранении. Длительности безотказной . работы всех элементов независимы з совокупности и распределены по закону F(to . t~iC ■ Задача состоит в определении вероятности безотказной работы такой системы, если время ее работы не ограничено заранее и число подключений достаточно велико.

Задач;! анализа надежности PC с программным и динамическим подключением резерва изучались в работах Гнеденко Б.В., Гениса Я.Г., Герцбаха И.Б.. Райкина А.Л,. Мааделя A.C., Ушакова И.А., Соловьева А.Д.. Пес -вым Г.Г. и Ушаковой Л.В. и др.

Коневым В.В. найдена функция распределения 1.ФР) времени безотказно!

работы системы для общей программной стратегии вида 32= 1'"'^^j

при этом предполагалось наличие одного о.э.. Но при большом числе подключений расчет надежности по этой формуле становится затруднительным, так как возрастает ее громоздкость. При этом количество требуемого машинного времени резко возрастает с ростом числа подключений. В то же время . увеличение эффективности программных стратегий происходит с увеличением порядка стратегий, т.е.числа моментов подключений РЭ.В связи с этим представляют теоретический и практический интерес математические методы, позволяющие анализировать вероятность безотказной работы резервированной технической системы при большом числе подключений.

Основной целью 'настоящей работы является разработка методов анализа надежности моделей резервированных систем (PC) с программной стратегией подключения элементов в нагруженный режим при достаточно общих условиях на распределение длительностей их безотказного функционирования и произвольном числе основных элементов.

Методика исследования. В работе использован аппарат теории вероятностей и теории случайных процессов, теории кассового обслуживания и теории надежности.

Научная новизна результатов, полученных в работе, состоит в следующем:

1. Показана монотонность интенсивности отказов Си.о.. ) РС с )ДЕ1им основным элементом и программным подключением резерва в рав-гоудалешше моменты контроля при соответствующих предположениях 1и зункцию распределения (ФР) длительностей безотказного функционировав элементов. Доказано, что вероятность безотказной работы'РС ;ВБР) при большом числе подключений ведет себя по геометрическому 1акону.

2. Получена рекуррентная формула для определения последова-ельности подключаемых элементов, обеспечивающей задшшув динамику адежности.

3. На основе метода замены меры найдена двусторонняя оценка ля ВБР РС с несколькими основными элементами и программна* подк-ючением одинаковых групп резервных элементов в нагруженный режим

равноудаленные моменты контроля.

. 4. Установлена асимптотическая экспоненциальность распределе-ия нормированного числа требований, обслуженных за'период заня-ости в ОСМО/о« . в которую требования поступают группами, и об-луживание длится, пока количество требований, находящихся в еисте-э. не менее заданного числа.

б. Показана асимптотическая экспоненш1алыгость распределения эрмировэнного соответствующим образом вреиетг безотказной работы 3 с несколькими основными элементами и заданной программной странней подключения резерва.

Практическая ценность получешад в работе результатов опреде-1ется актуальностью задач .динамического резервирования, ¡новные результаты работы могут быть использованы в научшх ис~ »дованиях по теории массового обслуживания и теории запасов. .

Публикации. Основные результаты проведешшх исследований |убликованы в 9. печатных работах.

Апробация работы. Основные положения диссертации доклчдтлэа юь и. обсуждались на следующих совещштях и конференциях:

Республиканская школа-семинар "Методы исследования информаии-но-вычислительных систем" Сг.Гродно, 1989г. 3;

Республикански!! семинар " Совершенствование методов исследо-ния потоков событий и систем массового обслуживания" (г.Киев. 89г.); . .

Республиканская школа-семинар "Математические методы исследо-

-е-

ешшл сетей связи и сетей ЭВМ" (г.Витебск, 1990г.);

Республиканская научно-техническая школа-семинар ."Анализ и синтез систем массового обслуживания и сотей ЭВМ" (г.Одесса,

Результаты, включенные в работу, докладывались на .лабораторных научных семинарах в Сибирском физико-техническом институте, материал .диссертации отражен б 4 отчетах по госбюджетной теме.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, •грех глав. заключения, списка литературы, содержащего 82 наименования, приложения. Содержание диссертации изложено на 120 страницах машинописного текста.

Во г ведении обосновывается актуальность темы, формулируется цель исследования, дается краткий обзор литературы по теме диссертации и формулируются основные полученные результаты.

Первая глава посвящена оцениванию надежности РС с программным подключением элементов по-одному в равноу;, ленные моменты контроля. В главе используются следующие предположения:

а) надежность системы рассматривается только в моменты подключения: L - Р \ t>tlw) ;

б) каждый элемент работает независимо от других с ФР времени безотказной работы Р C-t") , отработав pal интервалов длительностью д>о . отключается и в дальнейшем не используется.

Получение оценок для ^ стало возможные на основании следующих результатов:

Доима 1.1. Вероятность р„. ~ля любого определяется по формуле-. ' . -

1990г.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

'—1 •' t,¡

W«] i * á+O

t ■

где

со

. - 7-

Теорема 1.3. Если для ФР длительностей безотказной работы элементов выполняется условие:

г* <■>)

то 1) функция 1Е - 21 Р; является выпуклой по п., начиная с некоторого номера (для любых ); 2) распределение | является ВФИ (УФИ) распределением, где с. и р. - известные постоянные.

Для выпуклой функции справедлива обобщенная оценка Гаусса, а для монотонных систем установлена справедливость верхних и нижних оценок, полученных Барлоу Р.и Прошаном Ф. в терминах первого момента непрерывного распределения ЙД-Ь') . (Барлоу Р., Пропан Ф. Математическая теория надежности. -М.: Советское радио, 1969).

Теооема 1.4. Есл1 распределение иу°ет математическое ожидание ч и есть ВФИ-распределение, то

{ 1 ' ■

I о , и. ^ р н

(неравенство является строг™ ).

Теорема 1.5. Если ВФЙ-распределение имеет среднее^ , то

, А УЪ <г * А , £ ^ ^ 1 . ' >

1 -ий „-¿п-

где зависит от и. и удовлетворяет условию: 1-и-е 6

Теорема 1.6. Если Влуо есть УФИ-распределение, имеющее математическое ожидание рч'.то

. (. с-и ^ОетУ*- , к- ^ /и ■) .■

Пepвыe два момента распределения \ и можно най-

ти. воспользовавшись формулой производящей функции для числа требований , обслуженных за период занятости в СМО/<=>° типа < , \ , > (в терминах надежности - номера отказового

интервала):

?

. Г - •

о

Р р Р. .

Случай .рсоответствует ситуации, когда каждый элемент работает до отказа.

Теорема 1.7. Если Р для каждого , и дополни-

тельно к требованиям теоремы 1.3 выполняются условия:

П ¿>1. = ссд)>< р Р (эо ;

И-т» с»

п-м

3) ^-ЫЯ < о- ,

о ' ,

то имеют место утверждения теоремы 1.3.

Условия теоремы 1.7 будут выполнены, если длительность безотказной работы элементов будет иметь гамма-распределение или геометрическое С Д »4 ).

Во втором параграфе доказан следующий предельный результат:

Утверждение 1.1. Интенсивность отказов РС с программной стратегией подключения элементов в нагруженный режим по-одному /к* р*. является постоянной величиной при числе подключений, стремяяемся к бесконечности: Я = ( р, - О/ .

Отсюда следует, что для больших а надежность удобно определять го формуле;

, >0.

В третьем параграфе получены рекуррентные формулы для минимальной последовательности подключаемых элементов. обеспечивающей заданную динамику надежности :

К.»^ ^ а к. V ** * , •

где заданная'функция. показывающая допустимое изменение надежности на а -м интервале по сравнению с предыдущим, и нижнюю долусплмую границу надежности в зависимости ст номера подключения, для первого и второго неравенства соответственно. Выполнение первого правил, обеспечивается последовательностью [I ^ 5 . определенной по формуле:

где через обозначена целая часть зс , - известная функция, зависящая от величин 10,.. , Р ь , 1=1,лн.

Минимальная последовательность подключаемых элементов в заданные моменты контроля , обеспечивающая выполнение второго правила находится по формуле:

Для данной системы резервирования доказано

Утверждение 1.2. Если .то интенсивность отказов РС

не возрастает по крайней мере . начиная с некоторого номера,если последовательность ^Х«.} обеспечивает выполнение неравенства -2; и ^«и-^/г • если Чк^.и^г • Во второй главе рассматривается более общая система надежности, относительно которой сделаны следующие предположения:

а) имеется несколько основных элементов 5 м :

б) программная стратегия задана последовательностями 1я,д>о) . [1^1 ,¡.»0 ■ ;

в) случайные величины -число элементов ь -го поколения, то есть неотказавших элементов после I интервалов длительностью д>о рабочего состояния - заданы на вероятностном4 пространстве

са.З.р) •

Время безотказной работы такой системы представлено в виде

Т = ¡л} { п. м : 21 < 4 _ ¿г т. 1 ) см с-1

где гл^^Л^ , = • Тогда Р у^ - вероятность

непересечения случайным процессом $>„, - © I подвижной

п. -14

границы $ ^ 6 - т-1 .' •

Второй парагрьу посвящен обоснованию применимости метода замены меры (Новиков А.А. О времени выхода сумм ограниченных случайна; величин из криволинеиной полосы. -Теория пероягностей и ее применения. 1981. М2, т.26. )к решению задачи определения нздеж-юсти РС с заданной программной стратегией подключения резерва.

Во третьем параграфе доказана п$рхняя и нижняя оценка для р ут: > и.} , существ етю опирающаяся на лемму Блэкуэллъ и Фридма-ю о распределении первого момента выхода мартингала с нулевым :редним-из единичной полосы. При этом введены следующие оградиче-ия на ФР времени безотказной работы элементов:

1. Для фиксированного момента t число подключений п. (а. следовательно. величина интервала л ФР времени безотказной рабо-ы Р , число подключаемых, элементов I в каждый из моментов конт-

<

роля должны удовлетворять соотношениям: . К* тал [Ьк^/В^ } , = ,

гдэ о z < \ , 6 - некоторая положительная постоянная, зависящая "Т параметров системы: I , Р ,-t ; to = тл ^L^m *. Pj. ^ Р 1} ,

2. При фиксированном интервале между подключениями д величины Р ,1 .а должны удовлетворять соотношениям: либо а) < & / I ;

либо б) гпч ^ тЛл. t1 " + , (пга(-( + £/1))]

Теорема 2.1. Для надежности имеют место опенки :

С, ехР(-с,С2Г. б^с^Ч + А)--,v V ехр С- С ч С у1 -v С-в ' <Н С )-

где lil = tb/r -i^ij/Cu , С , Ci Lh,5 - не зависят от А- и являются известными функциями от величин 1.5 . pH . У i -I / iß ; б"* -и.

Теоремы 2.2 и 2.3 содержат нижние границы для вероятности безотказной работы PC. доказательство которых' опирается на леммы Новикова A.A. и Ширяева А.Н.. соответственно, о первом моменте выход мартингала за отрицательный уровень.

Теорема 2.2. Для достаточно больших справедлива оценка снизу:

R-w С6елр i- С5 ¿1 lfL - Lpin. rv} = ,

где постоянные ^ s , С 6 не зависят от kl .

Теорема 2.3. Пусть дополнительно к введенньм предположещ|ш 1) распределение F ( ^ имеет возрастающув функция интенсвд-ости; 2) Р (й1) >о . Тогда

И- и- ■ о

£ ^ С^ exp ^¡г S1TJL - ? s- } £ & W . ■

где Л

В пункте 2.3.4. отмечена, об ласти предпочтительности нижних- оценок для надежности PC:

-и-

1) пусть ФР F - ВФИ - распределение. Тогда существует номерЫ такой. что. , и

2) если ФР времени безотказной работы элементов такова, что s.-¿ > ^ п. • 70 ß-v > и й- 6 > ßv > ес-™ ^ ^ ^

В третьей главе получены асимптотические результаты для ВЕР PC с программным подключением групп элементов в нагруженный резерв в моменты t-L - Í4 , l •> л , д >о и несколькими основными ' элементами. В момент. = о начинают работу 3.,, i 5 элементов,в последующие моменты tL происходит подключение одинаковых групп по X элементов в каждой.

В первом параграфе изложен метод рекуррентных событий (Двуре-ченский'А., Ососков Г.А. О предельных свойствах обобщенной системы массового обслуживания с бесконечным числом каналов. -Изв. АИ СССР. Техническая кибернетика, 1985, N4. примелетельио к ОСМО/ «>• , в которую требования поступают группами, а обочуживание длится, пока в системе имеется не менее 6 требований.' Исследования проводились при следующих предположениях:

а) время обслуживания требований первой группы подчиняется ФР , все последующие требования обслуживаются случайное время с

№ Р Ю ;

б) интервалы между моментами прихода требований Ti- t¿4<_t¿' галяются независимыми одинаково распределенньми случайными величи-гами с ФР &Ct) ;

i обозначениях: .

- А- 21 (Р Cftw-^-PCft rt-ti-)^ ^ * ^ -

5 -вероятность того, что требования из групп с номерами ;роме 5-1 требований . закончили обслуживание к моменту -fc^+Z í-llí . где^ -номер интервала, на котором закончился период (анятости.

Во втором параграфе доказана асимптотическая экспсненциаль-гость распределения нормированного числа требований "i . обслужешпа ia период занятости в ОСМОЛ=«= . ■ ,

Теорема 3.'. Пусть и Р Ul таковы, что

} 2. Р* > °

' 3. \ < • 4. W viscoso,

-п-

тогда

Ьа Р ^осО >± ) е""671 t>o.

В третьем Параграфе изучается поведение нормированного соответствующим образом времени безотказной работы РС с поступлением резервных элементов, одинаковши группами в нагруженный релш в равноудаленные моменты контроля,при этом число подключений до рассматриваемого момента t определяется как —} , д - величина интервала между последовательными моментами подключения.

Обозначим через А;.^ -событие, означающее отказ системы к моменту М^+о ^^ Р СА^М-).

Приведешше в параграфе результаты получены при условии выполнения следующих ограничений на ФР времени безотказной работы элементов и нормирующие последовательности и \ :

А: > о \ Ьлпг р ц. = О ;

В: Пип. ^/Д - -I \ ■ аЬ^ - О

IV-»Сх»

С: и*1' О .

к,-

Теорема 3.2. Пусть нормирующие последовательности .

) таковы, что выполняются условия 4, В. С. Тогда ^ —*

В четвертом параграфе приведены примеры выбора нормирующих последовательностей и для некоторых ФР. удовлетворяющие условиям теоремы 3.2 и 3.1.

1. Пусть 4 = , I- = 6-91) _ Предполо-

жим. что каждый элемент после включения его в нагруженный резерв может работать не б^лее ра 1 интервалов, затем отключается и в дальнейшем не используется. Зададим нормирующие последовательности в виде:

Тогда все условия теоремы 3.2 будут выполнены и

и- о«

Отметим,что для надежность системы ^определяется ло

формуле: .

Так как -ки— L"Zrl .то п.л -> t , что не противоречит выбранной нормирующей постоянной Я4 .т.к.

С Р tkA))" — е"1

2. В условиях примера 1 с Р U;")-C-^i ) для выпол-неш!Я утверждения теоремы можно взять следующие нормирующие последовательности:

it^=0 , 6«.= Я [à pj)

3. Для равномерной ФР г № ) , at в предположениях примера 1 и последовательностей О-*, и . имеющих вид:

CU.-0 , С АрчР\)-|/р/

будет справедлив аналогичный примеру 1 предельно результат. Если р. 4 . то dc-0 , и

lu*, р « e_t.

п. .

Замечание. Для р -«.фатегш, т.е. когда каждый элемент ..о-жет находиться в системе не более .р интервалов, и последовательностей (L^ и Этаких, что Cu„.-»o и всегда выполняется условие.- „ » I

^ „,101 = 0.

Приведем примеры ФР Р и G- для OCMÛ/■=>" , обеспечивавшие выполнение условий теоремы 3.1.

Для случая 3= <1 Дм и иэтервалом между поступлением требований с ФР G-VbV. G-C rruxxCcL,d.y> < А .где ci< и ol -времена обслуживания первого требования и последующих соответственно, все условия теоремы выложены и, следовательно:

ч --Ь

, Am. ,

Теорема 3.1 справедлива и в случае, когда i> \ , -а ФР

времени обслуживания подчиняется условию: ï m-^rn-j : P^cm.-tVPt^O^ ' при этом^^га^тМ , Ptra^-O^ \ .

-м-

■ ЭАКЛЮЧЦЯИЕ

В соответствий с поставленными целями в диссертации получены следующие результаты:

1. Доказаны монотонность интенсивности отказов резервированной. системы с одни.» основным элементом (при соответствующих предположениях относительно функции распределения времени безотказной работы элементов ) и справедливость оценок Барлоу Р. и Пронина Ф. для вероятности безотказной работы системы.

2. Найдена рекуррентная формула для определения минимальной гас,- довательности подключаемых элементов, обеспечивающей заданную динамику надежности.

3. Доказано, что' интенсивность отказов резервированной системы с одним основньм элементом и подключением .резервных элементов по-одоому является постоянной ве;личиной при числе подключений, стремядамся к бесконечности.

4. На основе метода замены меры найдена двусторонняя оценка вероятности безотказной работы резервированной системы с несколькими основными элементами и поступлением элеметов в нагруженный резерв группами.

6. Установлена асимптотическая экспоненциальность распределения нормированного числа требований, обслуженных за период занятости в ОСЫО/оо . при условии, что требования поступают группами и обслуживание продолжается, пока в системе имеется количество требований не менее заданного числа.

6. На основе метода рекуррентных событий доказана асимптотическая экспоненшальносиъ распределения нормированного соответствующим образом времени безотказной работы резервированной системы с вест лькими основными элементами и заданной программой подключения резерва. •

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Пяткова С.И. Об оценке надежности системы о программны* резервированием; -В кн.: Ме.оды исследования информационно-вычислительных систем. Тезисы докладов республиканской школы-семинара.

.-Минск, 198?. с.101-102.

2. Пяткова С.И. 0 надежности системы с произвольной программной стратегией подключения резервных элементов. -В кн.: Совер-

шенствоваяие методов исследования потоков собда-^ и систем массового обслуживания. Тезисы докладов республиканского семинара. -Томск. 1999, с. 131.

3. -Пяткова С.И. О надежности системы с.программным резервированием. -Надежность и контроль качества. 1990, N1, с.45-49.

4. Пяткова С.И. О надежности системы с программной стратегией подключения ненадежных элементов. -В кн.: Математические методы исследования-сетей связи и сетей ЭВМ. Тезисы докладов республиканской школы-семинара. -Минск, 1990, с.106-107.

5. Пяткова С.И. 0 двусторонней оценке надежности технических систем с программным резервированием.. -Надежность и контроль качества. 1991. N3. с.9-14.

6. Пяткова С.И. Двусторонняя оценка надежности системы с программным резервированием. -В кн.: Анализ и синтез систем массового обслуживания и сетей ЭВМ. Республиканская научно-техническая школа-семинар. Тезисы докладов. -Одесса, иЭО. с. 187-191.

7. Пяткова С.И. Нижняя граница вероятности безотказной работы технических систем с программным резервированием. -Радиотехника. 1991, М5. с.14-16.

,8. Пяткова С.И. Двусторонняя асимптотическая оценка надежности системы с программным резервированием. -Техника средств связи, сер, СС. 1939, выл 7. с. 109-113.

9. Пяткова.С.И. Асимптотическая экспонешиальность надеж-, ности систем с программным подключением резерва. -3 кн.:Микросис-тема-92.Материалы Всесоюзной научно-технической конференции. -Томск,1992,С.143-145.

ПОДПИСАНО К' ПЕЧАТИ о2 93 г.

■ бумага типографская :» 2 формат бохе^ лб

. ПЕЧЛ. 1 ЗАКАЗ М тИ?А7. \ОР ЗКЗ. ТОМСК,ул.НИКИША,*». Ш ТГУ