автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и исследование методов и алгоритмов построения математических моделей с использованием рекуррентных диаграмм

На правах рукописи

ци^4 ' ■ ■

Киселев Владислав Борисович

Разработка и исследование методов и алгоритмов построения математических моделей с использованием рекуррентных диаграмм

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2009

о '. ГРН 2900

003477776

Работа выполнена на кафедре Проектирования компьютерных систем Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент

Крылов Б. А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

кандидат технических науьс, доцент

Копытенж} Ю. А. Павловская Т. А.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный Университет

Защита диссертации состоится «//» Ю 2009 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 212.227.06 Санкт-Петербургского государственного Университета информационных технологий, механики и оптики по адресу. 197101, г. Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ ИТМО.

Автореферат разослан « /Г» Оз 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

Тарлыкрв В. А.

1. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Моделирование использовалось человечеством еще до формального становления пауки в ее современной форме. Развитие математического аппарата позволило ученым приступить к более глубокому изучению явлений природы, труднодоступных для непосредственного наблюдения и (или) эксперимента. Благодаря развитию инструментальных вычислительных средств, получили широкое распространение численные математические методы.

Математическое моделирование по временным рядам (полупегошм в процессе эксперимента дискретным последовательностям данных) — активно развивающееся направление моделирования. При изучении сложных природных явлений временной ряд, зачастую, единственная имеющаяся у исследователя информация, и поэтому наиболее полное раскрытие сведений об исследуемой системе, содержащихся в данных наблюдений — одно из оснований успешного построения модели.

Исследование временных рядов также играет важную роль и при работе с уже построенными математическими моделями. Как правило, это задачи касгройки коэффициентов уравнений, верификация уравнений, изучение свойств самой модели (что особенно актуально при моделировании динамических систем с хаотическим поведением).

Корректность построения математической модели зависит от того, насколько полно были проанализированы исходные данные, выявлены и оценены свойства изучаемой системы. Корректность конкретизации модели зависит от того, насколько полно была проанализирована сама модель. В случае выявления недостаточной адекватности модели процесс повторяется заново с одного из этапов, что выливается в дополнительные временные, материальные и даже моральные затраты. При динамическом моделировании основным критерием адекватности математической модели является адекватность прогноза поведения исходной реальной системы.

Таким образом, средства анализа временных рядов являются одним из важнейших инструментов исследователя при моделировании по временным рядам. Оценивающий априорные дашвде исследователь, как правило, решает следующие основные задачи: определение характера процессов (стохастичность, хаотичность, периодичность, квазипериодичность и т.д.), выявление особенностей эволюции (смена режима, изменения уровня шума, изменения трендов и т.д.), сравнение процессов (выявление подобия, отклонений от эталона, синхронизации и т.д.).

В последние десятилетия набор традиционных (линейных) методов исследования временных рядов был существенно расширен нелинейными методами, полученными из теории нелинейной динамики и хаоса; многие исследования были посвящены оценке нелинейных характеристик и свойств естественных и искусственных систем. Однако, большинство методов нелинейного анализа требуют либо достаточно длинных, либо стационарных рядов данных, которые далеко не всегда возможно получить на практике при исследовании реальных систем. Более того, Манука (Маписа) и Савит (8а\гй) показали, что данные методы дают удовлетворительные результаты как правило для идеализированных моделей реальных систем.

Лишенным указанных недостатков и одним из наиболее интересных современных методов являются рекуррентные диаграммы, получившие в последнее десятилетие широкое теоретическое развитие и практическое признание. Метод основан на фундаментальном свойстве динамических систем, отмеченном еще в конце 19-го века французским математиком Пуанкаре и сформулированном в виде теоремы рекуррентности: если система сводит свою динамику к ограниченному подмножеству фазового пространства, то система почти наверняка, т.е. с вероятностью, практически равной 1, сколь угодно близко возвращается к какому-либо изначально заданному режиму.

Рекуррентные диаграммы — не требовательный к качеству входных данных комплексный метод анализа временных рядов, совмещающий в себе визуальные возможности (диаграммы) и мощный численный аппарат (меры). Такие возможности

привели к тому, что количество публикаций по применению данного метода при изучении различных систем в зарубежной печати составляет сотни работ (к сожалению, в отечественной практике он недостаточно хорошо известен). Тем не менее, метод сам по себе представляет поле для исследований, в том числе изучения возможностей и особенностей применения в практике построения математических моделей. Отсутствует достаточно гибкий инструментарий для использования при построении проблемно-ориентированных программ (в частности, ориентированных на регулярное прикладное использование).

Таким образом, разработка и исследование методов и алгоритмов применения рекуррентных диаграмм на этапах математического моделирования, а также разработка гибкого инструментария, реализующего возможности метода, являются актуальными.

Цель диссертационной работы — разработка и исследование методов и алгоритмов анализа временных рядов с использованием рекуррентных диаграмм, на этапах математического моделирования; разработка и реализация программного инструментария для использования в рамках проблемно-ориентированных комгСтсксов программ. Основные задача диссертационной работы состоят в следующем:

• Анализ применения рекуррентных диаграмм к анализу временных рядов в процессе математического моделирования;

• Разработка и исследование методов и алгоритмов преодоления выявленных проблем;

• Разработка гибкого комплекса программ для рекуррентного анализа временных рядов. Научная новизна. В работе получены следующие научные результаты, выносимые

на защиту:

• Предложены диаграммы рекуррентных невязок;

• Разработан метод поиска и обоснованы рекомендации к выбору оптимального размера окна для вычисления мер количественного рекуррентного анализа при перемещении его по диаграмме согласно определенным правилам. Предложен алгоритм поиска оптимального размера окна;

• Предложены метод и алгоритм исследования асимметрии временных рядов на основе количественной оценки диаграмм рекуррентных невязок. Введен индекс рекуррентной асимметрии ЛДш;

• Предложен метод рекуррентной фильтрации с использованием эталонной рекуррентной диаграммы условно идеальной системы;

• Предложен метод выделения характерной рекуррентной картины набора временных рядов (диаграммы с накоплением);

■ Предложен метод количественной оценки баланса стохастической и детерминистской составляющих временного ряда новой мерой диагональных структур диаграммы;

• Разработала легко расширяемая, адаптивная библиотека подпрограмм, реализующая современные методы теории рекуррентного анализа для использования в процессе построения математических моделей.

Методы исследования. В работе использованы методы рекуррентного анализа, нелинейной динамики, К/Б-анализа, теории вероятности.

Практическое значение работы. Разработана легко расширяемая, адаптивная библиотека подпрограмм, реализующая современные методы теории рекуррентного анализа для использования в процессе построения математических моделей.

Полученные результаты используются в научных исследованиях динамических систем на кафедре Физики Земли СПбГУ; в исследованиях, проводимых в лаборатории электроэнцефалографии Биолого-Почвенного факультета СПбГУ

Методом рекуррентной асимметрии (в результате анализа индекса были

описаны зоны асимметрии временных рядов солнечных пятен по полушариям Солнца с предполагаемой цикличностью -33 года, в том числе аномальная зона в первой трети XX в.

В результате исследований асимметрии временных рядов температурных аномалий поверхности мирового океана методом рекуррентной асимметрии было обнаружено повторение аномальной зоны солнечной цикличности с задержкой в 23 года 8 месяцев.

Научно-исследовательские работы. Часть результатов диссертации была получена входе выполнения работ по гранту конкурса персональных грантов для студентов и аспирантов вузов и академических институтов Санкт-Петербурга.

Апробация результатов работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на международном конгрессе «Nonlinear Dynamical Analysis — 2007» (Санкт-Петербург, 2007), III, IV, V, VI Всероссийских межвузовских конференциях молодых ученых СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2006, 2007, 2008, 2009), 6-й международной конференции «Problems of Geocosmos» (Санкт-Петербург, 2006), международной научной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (Екатеринбург, 2007), Международной научно-технической конференции «Интеллектуальные системы (IEEE AIS'05, Таганрог, 2005), XXXVI международной летней школе-конференции «Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ (из них 2 в журнале ВАК).

Структура диссертации. Диссертация содержит введение, 5 глав, заключение, список литературы, приложение. Рукопись содержит 160 страниц текста, 57 рисунков, 9 таблиц.

2. Содержание работы

Во введении описывается предмет исследования, ставятся цель и задачи исследования и разработки, обосновывается актуальность темы диссертационной работы. Дается оценка новизны полученных результатов, формулируются положения, выносимые на защиту.

Первая глава содержит обзор процесса построения математических моделей динамических систем по временным рядам наблюдений.

В литературе приводятся различные обобщенные схемы процесса математического моделирования, которые в целом сводятся к следующей последовательности действий:

1. Получение и анализ временных рядов наблюдений, постановка задачи;

2. Формулирование аналитической модели на языке отрасли науки;

3. Выбор структуры модели: тип уравнений, вид функций, установление связи

переменных с наблюдаемыми величинами;

4. Настройка модели: расчет или подбор параметров;

5. Верификация модели (проверка ее адекватности или эффективности);

6. Использование.

На первом этапе исследователь сталкивается с полученными результатами наблюдений в виде временных рядов [u,}f=(ы, их...,и„] , где и,=и(/,), t =iAt, N —• длина ряда (количество наблюдений), At — интервал выборки. Векторная форма записи подразумевает потенциальную многомерность ряда, хотя зачастую исследователь имеет дело с одномерным рядом так как при исследовании сложных систем зачастую нет

информации обо всех переменных состояния, либо не все из них возможно измерить.

Второй этап подразумевает формулирование словесного описания модели с учетом полученных при исследовании временных рядов данных и некоторой априорной информации об исследуемой системе, известной заранее.

На третьем этапе осуществляется математическая формализация модели. Для конечномерных детерминированных моделей это, например, разностные уравнения (отображения) вида 2„+1 = F(3c„, с) или обыкновенные дифференциальные уравнения вида

F(x, с), где х — d-мерный вектор состояния, F —вектор-функция, с — р -мерный вектор параметров, п — дискретное время (во втором случае речь идет о непрерывном времени). Таким образом, на данном этапе осуществляется выбор типа и числа уравпепий, задается вид входящих в уравнения функций (компонент F) и динамических переменных (компонент х). В качестве переменных могут использоваться непосредственно наблюдаемые величины х = и, но в общем случае также следует определить связь между ними; u=h{x), где А () —измерительная функция.

На четвертом этапе осуществляется настройка модели путем выбора значений вектора

параметров с. В общем случае эта операция описывается поиском экстремального значения некоторой целевой функции, на практике может осуществляться как ручной подгонкой, так и вычислением исходя из требования соответствия решения модельного уравнения имеющемуся наблюдению.

Верификация модели — пятый этап — проводится в зависимости от конечных целей моделирования: прогнозирование поведения системы (основной критерий — эффективность) или получения адекватной модели для изучения (основной критерий — адекватность). Признание модели удовлетворительной позволяет перейти к ее непосредственному использованию. В противном случае модель приходится дорабатывать, начиная с любого из перечисленных этапов. Более того, в зависимости от получаемых промежуточных результатов, доработка может потребоваться и на более ранних этапах построения математической модели.

Исходная точка процесса построения математической, модели может начинаться с любого из этапов с первого по четвертый, с увеличением сложности процесса в целом от достаточно определенного на четвертом этапе (задача о «прозрачном ящике») до состояния практически полной неизвестности на первом этапе (задала о «черном ящике»).

Очевидно, что средства анализа временных рядов занимают важное место на этапах эмпирического построения математической модели и играют непосредственную роль в получеши качественных результатов. Развитие теории нелинейной динамики п хаоса укрепило понимание преимущественно нелинейной сущности природных явлений, и потому моделирование в последние годы осуществляется в основном с использованием нелинейных разностных и дифференциальных уравнений различной размерности. Однако, большинство методов нелинейного анализа требуют либо достаточно длинных, либо стационарных рядов данпых, которые далеко не всегда возможно получить при исследовании реальных систем. Более того, было показано, что данные методы дают удовлетворительные результаты как правило для идеализированных моделей реальных систем, что делает их малопригодными для исследований исходных временных рядов.

По полученному в результате наблюдений временпому ряду ( и, ] f можно судить о свойствах и поведении системы уже просто построив графическое изображение траектории в соответствующем фазовом пространстве (периодические или хаотические системы имеют портреты характерного вида). Однако, при размерностях более 3, такой анализ весьма затруднен по очевидным причинам, так как становится необходимым делать проекции в двух и трехмерные подпространства.

Связь результатов наблюдений с переменными состояния и модельными уравнениями в общем случае осложнена шумами. Так, для одномерного отображения = F(*„+§„, с) и ил=х1,+?», где 5„ — динамический шум (т.е. влияющий на динамику системы), a Ç, — измерительный шум (т.е. влияющий на результаты измерений). Таким образом, точное решение ставящейся в процессе отладки модели задачи о нахождении вектора параметров с возможно лишь в идеальном случае , что в реальных исследованиях является

практически нереализуемым сценарием.

Рекуррентное поведение, такое, как периодичность или иррегулярная цикличность, свойственно как для природных систем, так и для сложных систем, созданных человеком. Рекуррентность (повторяемость) состояний в смысле прохождения позднего участка траектории в фазовом пространстве достаточно близко к предыдущему, является фундаментальным свойством диссипативных динамических систем. Рекуррентные диаграммы, предложенные в 1987-м году Экманом (Eckmann), Кампхорстом (Kamphorst) и Рюэлем (Ruelle) основаны на этом фундаментальном свойстве, и позволяют отобразить фазовую траекторию любой размерности на двумерную двоичную квадратную матрицу, размер которой определяется длиной временного ряда, через ее рекуррентности. Помимо мощных визуальных возможностей, существует метод количественного анализа структур, формируемых на изображении рекуррентной диа1раммы. Современные исследования показали, что рекуррентпая диаграмма содержит всю необходимую информацию о динамике системы. Работы таких ученых, как Джо Збилут (Joe Zbilut), Норберт Марван (Norbert

Maman), Марко Тиль (Marco Thiel), Кармен Ромапо (Carmen Romano) и других, существенно обогатили возможности данного метода за последнее десятилетне. В 2005-м и 2007-м годах были проведены две международные конференции по рекуррентному анализу. Несмотря на достаточно высокий интерес к этому метод)' со стороны зарубежных ученых (количество публикаций по его применению в научной деятельности составляет сотни работ), его применение довольно редко встречается в отечественной научной и технической практике (можно отметить работы Н. В. Золотовой и Д. И. Понявина). Отсутствует инструментарий, который объединял бы в себе все последние достижения в области рекуррентного анализа и при этом был бы ориентировал па создание на его основе комплексов программ. Зачастую исследователь вынужден делать произвольный выбор управляющих параметров колкчсствешюго анализа ввиду отсутствия оснований и критериев для их выбора. В ряде случаев исследователи допускают привлечение сторонних, не основанных на теории о рекуррентности, методов с целью попыток «реконструкции» частей диаграмм, что вносит в анализ информацию, не полученную непосредственно го исследуемых данных. Также следует отметить, что сам по себе рекуррептпый анализ представляет собой богатое поле для исследований, как самого метода, так и аспектов его применения.

Вторая глава посвящена изложению теоретических основ рекуррентных диаграмм и аспектов их применения для изучения временных рядов динамических систем. Даны примеры как качественного, так и количественного анализа временных рядов с использованием рекуррентных диаграмм.

Рекуррентные диаграммы (recurrencc plot, в дальнейшем RP) позволяют изучать многомерные процессы через отображение рекуррентпостей траектории на двухмерную двоичную матрицу размером NXN, в которой 1 (черная точка) соответствует повторению состояния при некотором времени i в некоторое другое время j, а обе оси координат являются осями времени:

R,~0(e-|¡í-fj), îelFT, i,j—l...N, где N ■—длина ряда состояний x¡, с,—размер окрестности, ||-|| —норма (как правило, используются ¿2 или ¿„). По определению Ri=J = 1 — главная диагональ RP, «лиши идентичности» (в дальнейшем LOI), проходящая ю угла с координатами (0;0) в под углом 7т/4 к осям координат (рис. 1).

е

Внешний вид ИР позволяет достаточно однозначно судить о характере протекающих в системе процессов, наличии и влиянии шума, о наличии ламинарных состояний, совершении экстремальных событий, дрейфе. При визуальном анализе КР выделяют

g

топологию (крупномасштабные структуры) и текстуру (мелкомасштабные структуры). Последние делят на точки, диагональные линии (параллельные LOI)

и R/ti,y_/i = l (перпендикулярные LOI), свидетельствующие о близком прохождении двух участков траектории в одном или противоположном направлениях соответственно, горизонтальные (вертикальные) линии R,4 , = 1, соответствующие промежутку времени, в который состояние системы изменяется незначительно. Также выделяют горизонтальные (вертикальные) линии R,+iii/=0 . соответствующие промежутку времени, за которое система вновь посещает £-окрестность некоторого состояния. Здесь k = l ...1, где /—длиналипии.

Количественный анализ рекуррентных диаграмм основан на подсчете перечисленных элементов RP в некоторых соотношениях. При анализе линий используются частотные и кумулятивные распределения длин линий. В настоящее время стандартный набор составляют меры RR (показатель рекуррентности), DET (детерминизм; не имеет сипы реального детерминизма системы), L (средняя длина диагональных линий), Lmax или DIV (максимальная длина диагональной линии или ее инверсия), ENTR (соотносится с энтропией Шеннона длин диагональных линий, отражает комплексность детерминистской структуры системы), RATIO (отношение между DET и RR), TREND (отражает нестационарность изучаемой системы, в особенности дрейф), LAM (уровень ламинарности), TT (средняя длина горизонтальных или вертикальных линий).

Из рекуррентных диаграмм также могут быть вычислены динамические инварианты: энтропия Реньи второго порядка К2 и кореляциониая размерность v как функция от е.

Вычисление мер количественного анализа в окне, смещаемом вдоль главной диагонали RP, дает нам представление об эволюции этих мер во времени.

Если объединить в одном фазовом пространстве две траектории jf1 и {Jy}f', то сравнение попадания всех точек второй траектории в е -окрестность всех точек первой траектории, даст нам кросс-рекуррентную диаграмму (cross recurrence plot, далее CRP):

CR,.y = 0(e-||x,-yy||), ÎJelfT, i=\...N 1, j=Ï...Ny, где попадание точки Уt в е -окрестность точки х, отмечается на диаграмме черной точкой в позиции (/, _/). Чтобы такая диаграмма имела смысл, переменные состояния обоих траекторий должны совпадать (так как находятся в одном фазовом пространстве) и быть взятыми от одной системы (это требование распространяется и на исходные временные ряды в случае реконструкции фазового пространства). Так как C'R,=;=(0,1j > то главная диагональ как правило размывается.

Диагональные структуры CRP отражают подобную эволюцию двух извучаемых траекторий в течении некоторого времени. По смешению и наклону диагопалей относительно главной диагонали можно судить о фазовом сдвиге и соотношении частот исследуемых сигналов. Эти эффекты лежат в основе методики синхронизации двух временных рядов. Следует отметить, что CRP не является рекуррентной диаграммой в буквальном смысле слова.

Меры количественного рекуррентного анализа также применимы и к анализу CRP. Однако, если исследуются два ярко выраженных колебательных (т.е. детерминистских) процесса разной частоты, то угол наклона диагоналей к осям координат будет отличен от 7г/4 , что приведет к уменьшению значения меры DET соответственно увеличепию разницы частот сигналов, т.е. к очевидно противоречивому результату.

Совместные рекуррентные диаграммы (joint recurrence plot, JRP) предназначены для совместного изучения двух процессов ¡3cf']i'' и [yf}\ путем объединения RP каждого из исследуемых процессов:

Данное выражение может бьггь обобщено для большего количества систем; более того, выражение для RP является его частным случаем. Когда точке траектории (2) в некоторое время I соседствует другая точка этой же траектории во время J, и одновременно с этим точке траектории {>') в некоторое время / соседствует другая ее точка во время j, на диаграмме появляется рекуррентная точка в соответствующей позиции: JR,.j= 1 .

Размерности dx и d, могут не совпадать. Переменные состояния обоих систем могут имеп. различную физическую природу и пе должны быть синхронизированы между собой. JRP инвариантны относительно перестановки координат.

Третья глава содержит изложение прелагаемых автором методов исследований с использованием рекуррентных диаграмм и их производных.

Диаграмма невязок. Совместные диаграммы отображают только те рекуррентные точки, что порождаются всеми радами, участвующими в построении. Таким образом выявляется общее в структуре рекуррентностей исследуемых рядов. В задачах, например, поиска синхронизации или настройки моделей находит применение определение несоответствия одного ряда другому. Несоответствие рекуррентного поведения одного процесса рекуррентному поведению другого процесса математически может быть записано следующим образом: RR,,y=(l-®(£")-||jci-jcy!|))-0(£,J"-|i?,-Jy||), i,j= I...N. Данная матрица именуется диаграммой рекуррентных невязок (recurrence residuals plot). Ииыми словами, матрица RR отображает несоответствие рекуррентных структур траектории {у} рекуррентным структурам траектории ¡3}. LOI на диаграмме невязок всегда представляет собой белую линию, т.к. (1 -RliyJ-R!^— О по определению (си. рис. 2).

Для количественной оценки уровня несоответствия используется стандартная мера

1 V-

плотности рекуррентных точек RR=—j ¿^ RR, . Проведен анализ реакции диаграмм

N j . у=1

невязок на наличие шумов, рассогласований сигналов по фазе и по частоте.

Оконный анализ. Вычисление мер количественного рекуррентного анализа в окне, сдвигаемом вдоль главной диагонали рекуррентной диаграммы, позволяет проследить эволюцию значений данных мер во времени, что может быть использовано, например, для локализации фазовых переходов системы. Квадратное окно W,"j"'=R>v+,, где N — размер RP, W—размерокна, v/-Q,...,N ~W-\ —положение окна в пределах диаграммы, описывает интервал исследуемого временного ряда (3?)*.

Практически все меры количественного рекуррентного анализа основаны на распределениях дайн диагональных линий. Более обще — все меры зависят от плотности рекуррентных точек. Приминительно к вычислению мер в окне это означает, что некоторая мера может быть рассмотрена как функция от размера окна: М = М (W). При изучении различных типов систем важно понимать, насколько значения мер, вычисленных в окне, зависят от размеров этого окна (см. рис. 3). Одним из показателей такой зависимости могут выступать графики стандартного отклонения меры как функции от размера окна:

а) 6) в)

Рисунок 2. Рекуррентная диаграмма синусоиды (а), рекуррентная диагралта синусоиды с уровнем аддитивного гауссовского шума 50% (б), диаграмма невязок между обоими синусоидами (в)

0.0% шума

25.0% шума

О 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

О 200 400 600 800 1000 1200 1400 1603

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Рисунок 3. Графики эволюции меры Ш диаграмм синусоиды и синусоиды с шумом при разных значениях №

<7 (Г

Г > гДе Д®1 окна размером

\1 1212

- значения меры,

вычисленной в окнах этого размера, п=п(1¥) —количество вычислений.

Длины всех модельных рядов составляли N=5000 точек, длины реальных рядов наблюдений различны. Размер окна изменялся в диапазоне от 100 до 2000 (для реальных рядов небольшой длины — не более 'Л длины ряда) с Л ^=10 и .5=2 . Отдельные участки рассматривались более подробно — с Л №'=1 и $=1. Рад синусоиды исследовался также при наличии аддитивного измерительного нормально распределенного шума С, стандартное отклонение которого задавалось в процентах от стандартного отклонения временного ряда. Одномерные ряды ие реконструировались; е=0.1 ; !Н!=Х„.

Были проведепы исследования поведения мер по рекуррентным диаграммам, построенным по временным рядам различных модельных систем (белый шум, синусоиды, системы Лоренца и Ресслера). Исследовалось в основном поведение мер Ш1, Ь и ТТ, как «чистых», т.е. зависящих только от плотности точек и распределений диагональных и горизонтальных линии.

Анализ построенных графиков позволил обосновать следующие положения:

• При изучении систем с ярко выраженной несущей частотой целесообразно выбирать размер окна, пропорциональный периоду колебаний;

• Стохастические системы практически инвариантны размеру окна;

• Системы с хаотическим поведением могут обнаруживать чувствительность к размеру окна в условиях низкой частоты колебаний;

• Увеличение размера окна позволяет сгладить влияние коротюшсриодных колебаний на

эволюцию меры. В то же время, слишком большой размер окна может скрыть фазовые переходи, совершающиеся с меньшей относительно пего периодичностью; • По возможности целесообразно использовать несколько проходов с разным размером окна для последующей коррекции результатов.

Рекуррентная асюлметрия. Для сложных и пространственно объемных динамических

систем, таких как Солнце, атмосфера Земли, организм человека, возможна регистрация

переменных, которые характеризуют динамику системы как в целом, так и на отдельных

пространственно разнесенных участках. Для оценки асимметрии в динамике половин

„р ,,г1.^_нны(т(1))-П1?{ти)) д, -

сложной системы предложен индекс ^ ' ГДе

— значения меры подсчитанные по диаграммам рекуррентных невязок временных рядов «северной» и «южной» частей сложной системы к временному ряду системы в целом. Индекс позволяет оценить уровень преобладания несоответствий динамики одной из половин сложной системы динамике всей системы в целом.

Метод выделения характерной рекуррентной картины. Пусть 5 Хк=[х1

набор из К синхронизированных временных рядов с измерительной функцией .

Тогда вероятность обнаружить рекуррентную точку с координатами (/,_/) определяется как

Р^^^'^Л^ ^/К. Ограничивая минимальную вероятность, формируем двоичную

матрицу вК, у = 0(— I), ¡£¡0,1], где I — пороговый коэффициент; позволяющий сформировать рекуррешную точку только тогда, когда более (100-1)% из К временных рядов обнаруживают рекуррентную точку в (',/)• Очевидно, что статистическая достоверность информации, представляемой диаграммой, как и вычисленных по ней количественных показателей растет при К-* °о.

Метод позволит выявить наиболее характерный паттерн поведения системы в рамках некоторого этапа ее эволюции или режима работы.

Рекуррентная фильтрация. Пусть — эталонный временной ряд (например, решение математической модели Р) некоторой системы с размерностью с1Хг а (2} — наблюдаемая этой системы с размерностью ¿и, причем оба ряда синхронизированы в некотором подходящем по контексту задачи смысле. Тогда рекуррентная диаграмма К'*({3с'']) является топологическим фильтром по отношению к ы^"}):

ЛК*', и получаемая диаграмма Ш будет включать в себя по определению только те рекуррентные точки траектории (й), которые соответствуют рекуррентным точкам траектории (5]. Совместная весовая диаграмма может играть роль диаграммы условно идеального временного ряда. Подход позволит провести выявление отклонений от наиболее характерного поведения в конкретных случаях.

Метод количественной оценки баланса стохастической и детерминистской составляющих временного ряда. Новая мера структур диаграмм. Детерминированные процессы порождают большое количество диагоналей на ИР, в то время как процессы с преобладанием стохастической составляющей порождают большое количество отдельно стоящих рекуррентных точек. Противоположностями в дадпом случае можно считать рекурреипше диаграммы, например, синусоиды и белого шума.

Обозначим Рг(/)=[/,;|'=1...Лг,) ( N, — абсолютное количество диагональных линий длиной I) — частотное распределение длин диагональных линий рекуррентной диаграммы. Влияние стохастической составляющей процесса на детерминистскую будет определяться

1!:>гс)

соотношением СЬЕАМ=—^-, где порог <„„■„ отсекает диагонали, порождаемые

тангенциальным движением фазовой траектории, а также порожденные шумовой составляющей процесса. Иными словами, отношение количества точек, формируемых шумовой составляющей к количеству точек, формируемых детерминистской составляющей,

выступает мерой «чистоты» траектории исследуемого процесса. По определению, CLEAN-*0 в случае преобладания детерминистской составляющей и CLEANт при преобладании шумовой составляющей.

Четвертая глава посвящена алгоритмическому и программному обеспечению, разработанному автором. Приводится краткое описание комплекса программ, реализующего методы рекуррентного анализа

1. Основные алгоритмы.

• построения диаграмм;

• определения подходящего размера окна;

• вычисления индекса рекуррентной асимметрии.

2. Состав библиотеки анализа. Разработана библиотека подпрограмм," содержащая следующий набор функций, объединенных по отношению к обрабатываемым данным:

• работа с временными рядами: ввод-вывод, манипулирование переменными состояния (столбцами) и строками (извлечение участков, прореживание), базовые возможности обработки и анализа;

• построение диаграмм и работа с ними: регистрация видов диаграмм, вызов функций построения, извлечение участков, объединение двух и более диаграмм одного размера с использованием операторов and, or, xor.

• базовая поддержка визуализации: регистрация конвертаторов диаграмм в форматы изображений, вызов функций конвертации, функция конвертации в Windows Bitmap (поддерживается многопоточностъ);

• количественный анализ диаграмм: регистрация мер (стандартные меры, а также необходимые для их вычисления регистрируются при инициализации библиотеки), создание и управление вектором мер (добавление среза мер в вектор QVJ,, получение значений среза мер, конвертация публичных мер вектора во временной ряд). При оконном вычислении мер поддерживаются многопоточные вычисления;

• работа с распределениями: создание и управление объектами распределений;

• управление ходом вычислений: установка начала и окончания процесса вычисления, установка семафора прерывания вычисления, сигнализация о ходе вычисления, поддержка параллельных вычислений;

• обработка ошибок: регистрация и перехват исключительных ситуаций.

3. Программа с графическим интерфейсом. Для удобного использования средств библиотеки был разработан прикладной инструмент — программа с графическим интерфейсом под архитектуру Win32. Программа реализует все возможности библиотеки рекуррентного анализа, в том числе базовые возможности автоматизации экспериментов.

Пятая глава содержит результаты применения предложенных автором методов. Моделирование солнечных, геофизических и климатических процессов невозможно без тщательного их изучения. Такие вопросы, как солнечно-земные связи, цикличности поведения Солнца и Земли и смежные до сих пор остаются открытыми. В данной главе представлены результаты применения методов рекуррентных диаграмм к исследованию временных рядов солнечпых и земных процессов.

1. Геомагнитные пульсации типа Pel. Проведен анализ рекуррентных структур геомагнитных пульсаций Pel. Предварительно исходный временной ряд был подвергнут предобработке: методом «Гусеница» выполнена фильтрация и выделение огибающей ряда.

Обнаружено, что рекуррентные диаграммы более (фильтрованный ряд) или менее (исходный ряд) четко выделяют структуру огибающей. Рекуррентная диаграмма для самой огибающей демонстрирует устойчивость рисунка при изменении пространства вложения от 1 до 3 и выше, что говорит о том, что размерность фазового пространства для процессов, ответственных за модуляцию Pel, не мене 3. Показательно также разрушение и вырождение тех структур диаграмм, чье появление обусловлено влиянием несущей частоты, при

увеличении размерности пространства вложения, как для оригинального, таге и для фильтрованного ряда. Фактически, при тЫ топология диаграмм фштьтронаштото ряда повторяет тополоппо рекуррентных диаграмм огибающей. Проведена оценка соответствия при помощи диаграмм рекуррентных невязок

1Доведено сопоставление с рекуррентными диаграммами множества Мандельброта я обобщенного броуновского движения. Обнаружено схожее изменение структуры диаграмм в зависимости от параметров вложения. Таким образом, пульсации Pel представляют собой квазисинуеоидальпый сигнал, модулированный хаотическим фрактальным процессом.

2. Солнечная активность. Построены рекуррентные диаграммы и проведен их анализ по времен тли рядам среднемесячных данных уровня солнечных штеп всего Солнца, его северного и южного полушарий по версии Royal Greenwich Observatory — USAP/NOAA Sunspot Data. Исследовался временной диапазон с 0]. 1X80 г по J2.200B г.

Проведено определение наиболее подходящего размера окна. Поиск проводился по всем трем временным рядам (общий, северное и южное полушария). Принято значение W =215 (эпоха в 22 годэ 13 месяцев), так как оно соспветсп^ег оценке паяного солнечного цикла и для ряда всего Содпца дает минимум №).

Анализ асимметрии выполнен методом индекса рекуррентной асимметрии Были построены диаграммы рекуррентных невязок «все Со;шие» — «северное полушарие» и «все Солнце» — «южное полушарие», построены графики изменения меры RR во времени. Каждая точка графика соответствует значению меры RR дня опоки шириной 22 года 11 месяцев, что следует иметь в виду, анализируя графики (в дальнейшем будет указываться только начальное время эпохи). Большее значит с соответствует большему несоответствию

Рисунок 4. Индекс северного и южного полушарий: Солнца (а), температурных

аномалий поверхности суши и океана (6), температурных аномалий только суиш (в), температурных аномалий только океана (а)

рекуррентностей ряда солнечных пятен северного или южного полушария рекуррентности ряда солнечных пятен по всему Солнцу. Поиск точек смены ведущего полушария был проведен по площадному графику RRNA (рис. 4, а):

1. Можно выделить три точки, разделяющие четыре основные зоны с характерным поведением: 1899.04,1933.03, 1966.05;

2. Зоны I, III и IV характеризуются непрерывным преобладанием одного из полушарий по всей ширине. К сожалению, объем данных позволяет оценить ширину только зоны III, она составляет 33 года 2 месяца. Начало зоны 1 лежит до начала имеющегося диапазона данных, а окончание зоны IV еще не наступило.

3. Зона II, очевидно, является аномальной. Ее ширина составляет 33 года 11 месяцев, что примерно равно ширине зоны III, однако на всем ее протяжении смена «ведущего» полушария происходит быстро (относительно временной ширины других, зон), всего выделено 8 крупных подзон и 2 малых подзоны (шириной всего 1 и 6 месяцев);

4. Если считать «нормальной» такую смену «ведущего)! полушария, как при переходе от зоны III к зоне IV (наличие данного перехода отмечалось в литературе), то зону II можно, в некотором смысле, считать затянувшимся, аномальным переходом от зоны I к зоне III.

3. Геомагнитная активность: ЛА-индекс. Построена рекуррентная диаграмма среднемесячных значений аа-индекса за период с 01.1880 г. по 12.2008 г., на основе анализа которой показана схожесть структур диаграмм солнечной активности и аа-индекса. Построена совместная диаграмма с рядом среднемесячного уровня солнечных пятен, по диаграмме получена эволюция меры RR с окном 275 точек. Показан постепенный спад модуляции аа-индекса солнечной активностью в первой половине XX века.

4. Климатические данные: температурные аномалии. Построены рекуррентные диаграммы и проведен их анализ по временным рядам среднемесячных значений температурных аномалий Земли. Использовались данные из National Climatic Data Center (National Oceanic and Atmospheric Administration), США. Временные ряды получены обработкой данных тысяч обсерваторий по всему земному шару, и представлены в трех видах: суша и океан, только суша, только океан. Каждый вид дан как в целом по планете, так и раздельно по полушариям. Исследовался временной период с 01.1880 г. по 12.2008 г. Для вычисления мер в окне использовано значение W=275 . Сохранение размеров окна позволит в дальшейшем сопоставить результаты оконных вычислений с результатами, полученными для солнечной активности. '

С целью выявления асимметрии построены диаграммы рекуррентных невязок. По каждому виду данных (суша и океан, только суша, только океан) построены диаграммы вида «вся планета — северное полушарие», «вся планета — южное полушарие»; проведено вычисление индекса рекуррентной асимметрии К-^кл ■

Анализ графиков RR^ показал следующее:

1. По данным поверхности суши и океана (рис. 4, б) практически на всем диапазоне динамика южного полушария существегаю расходится с динамикой по всей планете. Исключение составляет лишь небольшой участок с границами 1960.05 — 1966.04, шириной 5 лет II месяцев. Учитывая поведение меры, данный участок можно считать аномальным. Справа он ограничен эпохой, на месяц отстающей от эпохи точки перехода между зонами III и IV графика асимметрии солнечной активности;

2. По данным поверхности суши (рис. 4, в) что также практически на всем диапазоне динамика южного полушария существенно не соответствует динамике данных по поверхности суши всей Земли в целом. Исключениями являются два малых участка, которые разделены длительной зоной «самостоятельности» южного полушария, с оценкой продолжительности 62 года 4 месяца. К сожалению, малый объем данных не позволяет делать сколь-либо достоверные предположения о наличии в данном случае цикличности;

3. Наибольший интерес представляет ряд поверхности мирового океана (рис. 4, г), прежде всего, наличием зон нестабильности. Всего выделено четыре основные зоны, из них зона II как аномальная. Ее ширина составляет 33 года 11 месяцев, что в точности совпадает с шириной зоны II на графике асимметрии солнечной активности (рис. 4, а). В целом, в рамках

данной зоны уровень несоответствия рекуррентностей полушарий рекурреягностям в целом достаточно низок — как для данных температурных аномалий поверхности океана, так и для данных солпечной активности. Следующая зона III продолжается ровно 11 лет, до 1967.12, точка ее окончания сдвинута на 1 год и 7 месяцев относительно точки окончания зоны III на графике асимметрии солнечной активности. Начало зоны II сдвинуто относительно начала зоны II на графике рис. 4, а, на 23 года 8 месяцев, что составляет полный солнечный цикл.

В заключении приведены основные результаты работы.

3. Основные результаты работы

• Предложены диаграммы рекуррентных невязок. Показаны возможности диаграмм для изучения различий в динамике двух временных рядов;

• Разработан метод поиска и обоснованы рекомендации к выбору оптимального размера окна для вычисления мер количественного рекуррентного анализа при перемещении его по диаграмме согласно определенным правилам. Предложен алгоритм поиска оптимального размера окна;

• Предложены метод и алгоритм исследования асимметрии временных рядов на основе количественной оценки диаграмм рекуррентных невязок. Введен индекс рекуррентной асимметрии Лйи;

• Предложен метод рекуррентной фильтрации с использованием эталонной рекуррентной диаграммы условно идеальной системы;

• Предложен метод выделения характерной рекуррентагой картины набора временных рядов (диаграммы с накоплением). Такая диаграмма может быть использована как в целях фильтрации последующих измерений, так и для получения диаграммы рекуррентных невязок;

• Предложен метод количественной оценки баланса стохастической и детерминистской составляющих временного ряда новой мерой диагональных структур диаграммы;

• Разработана легко расширяемая, адаптивная библиотека подпрограмм, реализующая современные методы теории рехуррентного анализа для использования в процессе построения математических моделей.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Киселев В. Б. Некоторые методы нелинейного анализа // Научно-технический вестник СПбГУИТМО. — 2004. — №20. — С. 172-180

2. Крылов Б. А., Киселев В. Б. Метод нелшейного анализа видеоизображений // Труды международной научно-технической конференции «Иягеллектуальпые системы (IEEE AIS'05)», научное издание. — М.: Изд. физ.-мат. лит. — 2005

3. Киселев В. Б. Рекуррентный анализ — теория и практика // Научно-технический вестник СПбГУИТМО. — 2006. — №29. — С. 118-127

4. Киселев Б. В., Киселев В. Б. Различия в динамике солнечной и геомагнитной активности // Ученые записки Санкт-Петербургского государственного университета. Вопросы геофизики. — 2006. — №39 (439). — С. 130-139

5. Киселев Б. В., Киселев В. Б. Рекуррентная структура пульсаций Рс-1 // Ученые записки Санкт-Петербургского государственного университета. Вопросы геофизики. — 2006. — №39 (439). — С. 140-145

6. Киселев В. Б. Определение стабильности траектории процесса в фазовом пространстве при помощи рекуррентного анализа II Научно-технический вестник СПбГУИТМО,—2007. —№40— С. 121-130

7. Киселев В. Б., Крылов Б. А.. Исследование динамики процессов методом вычисления мер количественного рекуррентного анализа в окне, смещаемом вдоль главной диагонали рекуррентной диаграммы // Научно-технический вестник СПбГУИТМО. -2008,—№56.— С. 62-72

Тиражирование и брошюровка выполнены в учреждении «Университетские телекоммуникации» 197101, Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14 Тел. (812) 233 4669 объем 1 пл. Тираж 100 экз.

Использованные обозначения.

Введение.

Глава 1. Задачи и проблемы построения математических моделей по временным рядам.

1.1 .Этапы построения математических моделей.

1.1.1 .Получение и анализ временных рядов наблюдений (этап 1).

1.1.2.Выбор структуры модели, установление связи переменных с наблюдаемыми величинами (этап 3).

1.1.3 .Настройка модели (этап 4).

1.1.4.Проверка модели (этап 5) и ее использование (этап 6).

1.2.Некоторые проблемы исследования временных рядов.

1.3.Построение математических моделей на разных уровнях известности объекта.

1.3.1.Задача о «прозрачном ящике» (полная определенность).

1.3.2.Задача о «сером ящике» (частичная определенность).

1.3.3.3адачао «черном ящике» (полная неопределенность)1.

1 АПовторение состояний (рекуррентное поведение) как фундаментальное свойство динамических систем.

1.5.Применение рекуррентного анализа к исследованию временных рядов и построению математических моделей: краткий обзор публикаций.

1.6.Существующие программные средства, реализующие возможности рекуррентного анализа.

Постановка задачи.

Глава 2. Рекуррентные диаграммы и рекуррентный анализ.

2.1.Рекуррентные диаграммы.

2.1.1 .Определение.

2.1.2.Структуры рекуррентных диаграмм.

2.1.2.1.Топологи я.

2.1.2.2.Текстур а.

2.1.3.Полнота рекуррентной диаграммы.

2.1.4.Диаграммы расстояний.

2.2.Количественные меры сложности.

2.2.1.Обзор.

2.2.2.Плотность рекуррентных точек.

2.2.3.Диагональные линии.

2.2.4.Ортогональные линии.

2.3.Кросс-рекурентные диаграммы.

2.3.1.Определение и построение.

2.3.2.Количественный анализ кросс-рекуррентных диаграмм.

2.3.3.Синхронизация временных рядов с использованием кросс-рекуррентных диаграмм: влияние различий сигналов на структуры диаграмм.

2.4.Совместные диаграммы.

Выводы.

Глава 3. Новые методы рекуррентного анализа.

ЗЛ.Метод исследования различий двух временных рядов.

3.1.1.Обзор ситуации.

3.1.2.Диаграмма невязок.

3.1.3.Выделение шумовой составляющей.

3.1.4.Фазовое рассогласование.

3.1.5 .Частотное рассогласование.

3.2.Вычисление мер в окне.

3.2.1.Обзор ситуации.

3.2.2. Эксперимент.

3.2.3.Анализ и обсуждение результатов.

3.2.3.1.Обозначения на графиках.

3.2.3.2.Гауссовский шум.

3.2.3.3.Синусоид а.

3.2.3.4.Система Ресслера.

3.2.3.5.Система Лоренца.

3.2.4.Критерии выбора размера окна.

3.3.Метод оценки рекуррентной асимметрии.

3.3.1.Обзор ситуации.

3.3.2.Индекс рекуррентной асимметрии.

3.4.Рекуррентная фильтрация.

3.5.Метод выделения характерной рекуррентной картины.

3.6.Метод количественной оценки баланса стохастической и детерминистской составляющих временного ряда.

Выводы.

Глава 4. Алгоритмическое и программное обеспечение.

4.1.Общие сведения о комплексе программ «1М Recurrence Analyst».

4.2.Алгоритм ы.

4.2.1.Построение диаграмм.

4.2.2.Определение подходящего размера окна.

4.2.3.Вычисление индекса рекуррентной асимметрии RRNA и выделение зон асимметрии.

4.3.Структура и API пакета подпрограмм.

4.3.1.Общие сведения.

4.3.2.Иерархия интерфейсов.

4.3.3.Основные типы данных.

4.3.3.1.Универсальный тип с плавающей точкой.

4.3.3.2.Базовый объект данных (ICustomData).

4.3.3.3 .Временной ряд (ITimeSeries).

4.3.3.4.Диаграмма (IDataGrid, IDistancePlot, IBinaryPlot).

4.3.3.5.Хэш-массив и распределение (ICustomHash, IDistribution).

4.3.3.6.Базовый объект элемента хэш-массива (ICustomHashltem).

4.3.3.7.Срез мер количественного анализа (IRQAData).

4.3.3.8.Результат вычисления меры (IRQMData).

4.3.3.9.Тип диаграммы (IRPInfo).

4.3.3. Ю.Тип нормы (INormlnfo).

4.3.3.11.Тип меры (IRQMInfo).

4.3.3.12 .Тип конвертера (IConverterlnfo).

4.3.4.Краткий перечень подпрограмм по группам.

4.3.4.1 .Работа с временными рядами.

4.3.4.2.Построение диаграмм и работа с ними.

4.3.4.3.Базовая поддержка визуализации.

4.3.4.4.Количественный анализ диаграмм.

4.3.4.5.Работа с распределениями.

4.3.4.6.Управление ходом вычислений и поддержка многопоточности.

4.3.4.7.Генератор ы.

4.3.5.Реализация параллельных вычислений.

Выводы.

Глава 5. Применение к исследованиям реальных данных.

5.1.Геомагнитные пульсации типа Pel.

5.1.1 .Обзор ситуации.

5.1.2.Рекуррентные структуры пульсаций Pel.

5.2.Солнечная активность.

5.2.1 .Обзор ситуации.

5.2.2.Динамика солнечной активности.

5.2.2.1 .Визуальная оценка диаграмм.

5.2.2.2.Количественная оценка диаграмм.

5.2.3.Различия в динамике между северным и южным полушариями: рекуррентная асимметрия RRna.

5.2.3.1 .Индексы асимметрии полушарий.

5.2.3.2.Описание эксперимента.

5.2.3.3.Анализ индекса RRna.

5.3.Геомагнитная активность.

5.3.1.Обзор ситуации.

5.3.2.Динамика аа-индекса.

5.3.3.Связь аа-индекса и солнечной активности.

5.4.Климатические данные: средняя температура поверхности температурные аномалии).!Л2У

5.4.1.Обзор ситуации.

5.4.2.Рекуррентный портрет климатических рядов.

5.4.3.Различия в динамике между северным и южным полушариями.

5.4.3.1.Обзор ситуации.

5.4.3.2.Применение индекса RRna.

Выводы.

Актуальностьпроблемы. Моделирование использовалось человечеством еще до формального станов л ениянауки в ее современной форме. Развитие математического аппарата позволило ученым приступить к более глубокому изучению* явлений природы, труднодоступных для непосредственного наблюдения- и (или) эксперимента. Благодаря развитию инструментальных вычислительных средств, получили широкое распространение численные математические методы.

Математическое моделирование по временным рядам (полученным в процессе эксперимента дискретным последовательностям данных) — активно развивающееся направление моделирования. При изучении сложных природных явлений временной ряд, зачастую, единственная имеющаяся у исследователя информация, и поэтому наиболее полное раскрытие сведений об исследуемой системе, содержащихся в данных наблюдений — одно из оснований успешного построения модели.

Исследование временных рядов также играет важную роль и при работе с уже построенными математическими моделями. Как правило, это задачи настройки коэффициентов уравнений, верификация уравнений; изучение свойств самой модели (что особенно актуально при моделировании динамических систем с хаотическим поведением).

Корректность построения математической модели зависит от того, насколько полно были проанализированы исходные данные, выявлены и оценены свойства изучаемой^ системы. Корректность конкретизации модели зависит от того, насколько полно была проанализирована сама модель. В случае выявления недостаточной адекватности модели процесс повторяется заново с одного из этапов, что выливается в дополнительные временные, материальные и даже моральные затраты. При динамическом моделировании основным критерием адекватности математической модели является адекватность прогноза поведения исходной реальной системы.

Таким образом, средства анализа временных рядов являются одним из важнейших инструментов- исследователя при моделировании по временным рядам. Оценивающий априорные данные исследователь, как правило, решает следующие основные задачи: определение характера процессов (стохастичность, хаотичность, периодичность, квазипериодичность и т.д.), выявление особенностей эволюции (смена режима, изменения- уровня- шума, изменения трендов и т.д.), сравнение процессов (выявление подобия, отклонений от эталона, синхронизации и т.д.).

В последние десятилетия набор' традиционных (линейных) методов исследования временных рядов был существенно расширен* нелинейными-методами; полученными из теории* нелинейной динамики* и хаоса;* многие исследования были посвящены оценке нелинейных характеристик и свойств естественных и искусственных систем. Однако, большинство; методов" нелинейного анализа, требуют либо достаточно длинных, либо- стационарных рядов? данных, которые далеко не всегда возможно получить, на практикепри исследовании реальных систем. Более того, Манука (Manuca) и Савит (Savit) показали [1], что данные методы дают удовлетворительные результаты как правило для идеализированных моделей реальных систем.

Лишенным указанных недостатков и одним из наиболее интересных современных методов являются рекуррентные диаграммы [2, 3], получившие в, последнее десятилетие широкое теоретическое развитие и практическое признание. Метод основан на фундаментальном свойстве динамических систем, отмеченном еще в конце 19-го века французским математиком Пуанкаре и сформулированном в виде теоремы рекуррентности [4]: если система сводит свою динамику к ограниченному подмножеству фазового пространства, то система почти наверняка, т.е. с вероятностью, практически равной 1, сколь угодно близко возвращается к какому-либо изначально заданному режиму:

Рекуррентные диаграммы — не требовательный к качеству входных данных комплексный метод анализа временных рядов, совмещающий в себе визуальные возможности (диаграммы) и мощный численный аппарат (меры).

Такие возможности привели к тому, что количество публикаций по применению данного метода при изучении различных систем в зарубежной печати составляет сотни работ (к сожалению, в отечественной практике он недостаточно хорошо известен). Тем не менее, метод сам по себе представляет поле для исследований, в том числе изучения возможностей и особенностей применения в практике построения математических моделей. Также, фактически отсутствует достаточно гибкий инструментарий для использования при построении проблемно-ориентированных программ (в частности, ориентированных на регулярное прикладное использование).

Таким образом, разработка и* исследование методов и алгоритмов применения рекуррентных диаграмм на этапах математического моделирования, а также разработка гибкого инструментария, реализующего возможности метода, являются актуальными.

Цель диссертационной работы — разработка и исследование методов и алгоритмов анализа временных рядов с использованием рекуррентных диаграмм на этапах математического моделирования; разработка и реализация программного инструментария для использования в рамках проблемно-ориентированных комплексов программ.

Основные задачи диссертационной работы состоят в следующем:

• Анализ применения рекуррентных диаграмм к анализу временных рядов в процессе математического моделирования;

• Разработка и исследование методов и алгоритмов преодоления выявленных проблем;

• Разработка гибкого комплекса программ для рекуррентного анализа временных рядов.

Научная новизна. В работе получены следующие научные результаты, выносимые на защиту:

• Предложены диаграммы рекуррентных невязок;

• Разработан метод поиска и обоснованы рекомендации к выбору оптимального размера окна для вычисления мер количественного рекуррентного анализа при перемещении его по диаграмме согласно определенным правилам. Предложен алгоритм поиска оптимального размера окна;

• Предложены метод и алгоритм исследования асимметрии временных рядов на основе количественной оценки диаграмм рекуррентных невязок. Введен индекс рекуррентной асимметрии RRna',

• Предложен метод рекуррентной» фильтрации с использованием эталонной рекуррентной диаграммы условно идеальной системы;

• Предложен метод выделения характерной рекуррентной картины набора временных рядов (диаграммы с накоплением);

• Предложен метод количественной оценки баланса стохастической и. детерминистской составляющих временного ряда новой- мерой диагональных структур диаграммы.

Методы исследования. В. работе использованы методы рекуррентного анализа, нелинейной динамики, R/S-анализа, теории1 вероятности.

Практическое значение работы. Разработана легко расширяемая, адаптивная библиотека подпрограмм, реализующая1 современные методы теории рекуррентного анализа для использования в процессе построения математических моделей.

Полученные результаты используются в научных исследованиях динамических систем на кафедре Физики Земли СПбГУ; в исследованиях, проводимых в лаборатории электроэнцефалографии Биолого-Почвенного факультета СПбГУ.

Методом рекуррентной асимметрии (в результате анализа индекса RRna ) были описаны зоны асимметрии временных рядов солнечных пятен по полушариям Солнца, с предполагаемой цикличностью —33 года, в том числе аномальная зона в первой трети XX в.

В результате исследований асимметрии временных рядов температурных аномалий поверхности мирового океана методом рекуррентной асимметрии было обнаружено повторение аномальной зоны солнечной цикличности с задержкой в 23 года 8 месяцев.

Научно-исследовательские работы. Часть результатов диссертации была получена в ходе выполнения работ по гранту конкурса персональных грантов для студентов и аспирантов вузов и академических институтов Санкт-Петербурга.

Апробация результатов работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на' международном конгрессе «Nonlinear Dynamical Analysis — 2007» (Санкт-Петербург, 2007), ПГ, IV; V, VI Всероссийских межвузовских конференциях молодых ученых СПбГУ ИТМО' (Санкт-Петербург, 2006, 2007, 2008, 2009), 6-й международной'конференции «Problems of Geocosmos» (Санкт-Петербург, 2006), международной научной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (Екатеринбург, 2007), Международной научно-технической» конференции «Интеллектуальные системы (IEEE AIS'05, Таганрог, 2005), XXXVI международной летней школе-конференции «Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ (из них 1 в журнале ВАК).

Структура диссертации. Диссертация содержит введение, 5 глав, заключение, список литературы, приложение. Рукопись содержит 57 рисунков, 9 таблиц.

Выводы

Проведен анализ рекуррентных структур геомагнитных пульсаций Pel. Предварительно исходный временной ряд был подвергнут предобработке: методом «Гусеница» выполнена фильтрация и выделение* огибающей ряда. Обнаружено, что рекуррентные диаграммы Pel более (фильтрованный ряд) или менее (исходный ряд) четко выделяют структуру огибающей. Рекуррентная диаграмма для самой огибающей демонстрирует устойчивость рисунка при изменении пространства вложения от 1 до 3 и выше, что говорит о том, что размерность фазового пространства для процессов, ответственных за модуляцию Pel, не мене 3.

Проведена апробация- метода анализа» асимметрии при помощи индекса рекуррентной асимметрии По результатам анализа площадного графика индекса были описаны зоны цикличности полярной асимметрии Солнца, в том числе аномальная зона с 1889.04 по4933.03 (указаны начальные границы эпох в 22 года 11месяцев).

Построена рекуррентная* диаграмма среднемесячных значений аа-индекса за период с 01.1880 г. по 12.2008 г., на основе анализа которой показана схожесть структур диаграмм солнечной активности и аа-индекса. Построена совместная диаграммам рядом среднемесячного уровня солнечных пятен, по диаграмме получена эволюция меры RR с окном 275 точек. Показан постепенный» спад модуляции аа-индекса солнечной активностью5 в первой половине XX века.

Построены рекуррентные диаграммы временных рядов температурных аномалий поверхности Земли: суши и океана, только суши, только океана по планете в целом и отдельно по полушариям за период с 01.1880 по 12.2008. При помощи метода оценки баланса стохастической и детерминистской составляющих временного ряда (количественная мера CLEAN) дано описание большего влияния температурных аномалий поверхности океана в южном полушарии, чем в северном, на индекс температурных аномалий по всей поверхности в целом. Индекс рекуррентной асимметрии RRNA был применен для изучения полярной асимметрии этих рядов. Анализ графиков для мирового океана показал наличие аномальной зоны асимметрии (период с 1923.01 по 1956.12), схожей по поведению и ширине (33 года И месяцев) с аномальной зоной асимметрии солнечной активности (период с 1899.04 по 1933.03).

Заключение

В диссертации представлены методы и алгоритмы, основанные на теории рекуррентного анализа, которые могут быть использованы при анализе временных рядов на этапах построения математических моделей систем.

Предложены диаграммы рекуррентных невязок (recurrence residuals plot, RRP), отображающие различие рекуррентной1 картины сравниваемых временных рядов. Показано влияние рассинхронизации рядов на топологию и текстуру RRP.

Проведено исследование влияния размера окна на результат вычисления мер в смещаемом- по диаграмме по определенным, правилам окне. Показаны результаты для стохастической, периодической и, двух хаотических систем. Разработан, метод поиска и обоснованы рекомендации к выбору оптимального размера окна;для,вычисления мер'количественного рекуррентного анализа'при перемещении его по* диаграмме согласно определенным правилам. Описан* алгоритм выбора подходящего окна.

Разработан метод исследования асимметрии временных рядов на основе количественной оценки диаграмм рекуррентных невязок. Предложен индекс рекуррентной' асимметрии RR'm, основанный на количественном анализе диаграмм невязок временных рядов полушарий к общему временному ряду.

Предложены диаграммы с накоплением (storage plots, SR), позволяющие выделить общий рекуррентный, паттерн в наборе измерений одной системы. Диаграммы с накоплением могут быть использованы в качестве эталона при построении диаграмм рекуррентных невязок.

Предложен метод рекуррентной фильтрации с использованием эталонной рекуррентной диаграммы условно идеальной системы, что позволяет преобразовать диаграмму к требуемой топологии.

Предложен метод численной оценки баланса между стохастической и детерминистской составляющими исследуемого временного ряда. Введена новая количественная мера * CLEAN.

Разработан легко расширяемый, адаптивный комплекс программ, позволяющий использовать методы рекуррентных диаграмм для исследования временных рядов на этапах математического моделирования.

С целью апробации предложенных решений проведены исследования реальных временных рядов с использованием представленных в диссертации методов и подходов.

Проведен анализ рекуррентных структур геомагнитных пульсаций Pels Обнаружено, что рекуррентные диаграммы Pel более (фильтрованный ряд) или менее (исходный ряд) четко выделяют структуру огибающей. Рекуррентная диаграмма для самой огибающей демонстрирует устойчивость рисунка при изменении пространства вложения от 1 до 3 и выше, что говорит о том, что размерность фазового пространства для процессов, ответственных за' модуляцию Pel*, не мене 3.

Проведена апробация1 индекса рекуррентной асимметрии RRna. Были описаны зоны цикличности полярной асимметрии Солнца, в том числе аномальная зона с 1889.04 по 1933.03 (указаны начальные границы эпох в 22 года 11 месяцев).

Построена рекуррентная диаграмма среднемесячных значений аа-индекса за период с 01.1880 г. по 12.2008 г., на основе анализа которой показана схожесть структур диаграмм солнечной активности и аа-индекса. Построена совместная диаграмма с рядом среднемесячного уровня солнечных пятен, по диаграмме получена эволюция меры RR с окном 275 точек. Показан постепенный спад модуляции аа-индекса солнечной активностью в первой половине XX века.

Построены рекуррентные диаграммы временных рядов температурных аномалий поверхности Земли: суши и океана, только суши, только океана по планете в целом и отдельно по полушариям за период с 01.1880 по 12.2008. При помощи диаграмм и меры CLEAN описано большее влияние температурных аномалий поверхности океана в южном полушарии, чем в северном, на индекс температурных аномалий по всей поверхности в целом. Индекс рекуррентной асимметрии RRNA был применен для изучения полярной асимметрии этих рядов. Анализ результатов для мирового океана показал наличие аномальной зоны асимметрии (период с 1923.01 по 1956.12), схожей по поведению и ширине (33 года 11 месяцев) с аномальной зоной асимметрии солнечной активности (период с 1899.04 по 1933.03).

Проведенные исследования с использованием предложенных в работе методов и алгоритмов показали их адекватность в задачах исследования временных рядов на этапах математического моделирования.

1. R. Manuca, R. Savit. Stationarity and nonstationarity in time series analysis 11 Physica D. — 1996. — №99(2—3). — C. 134—161

2. J.-P. Eckmann, S. O. Kamphorst, D. Ruelle. Recurrence Plots of Dynamical Systems // Europhysics Letters. — 1987. — №5. — C. 973-977

3. N. Marwan, M. C. Romano, M. Thiel, J. Kurths. Recurrence plots for the analysis of complex systems // Physics Reports. — 2007. — №438. — C. 237329

4. H. Poincare. Sur le probleme des trois corps et les equations de la dynamique // Acta Math. — 1890. — №13. — C. 1—270

5. JI. И. Гудзенко. Статистический метод определения характеристик нерегулируемой автоколебательной системы // Известия вузов. Радиофизика. — 1962. — №5 (3). — С. 572-586

6. JI. И. Гудзенко, В. В. Евстегнеев, И. С. Лакоба и др. Кинетика простых моделей теории колебаний (Труды ФИАН). — М.: Наука, 1976. — 208 с.

7. JI. Льюнг. Идентификация систем. Теория для пользователя. — М.: Наука, 1991. —432 с.

8. G. Gouesbet, S. Meunier-Guttin-Cluzel; О. Menard (eds). Chaos and Its Reconstructions. — New York: Nova Science Publishers, 2003. — 320 c.

9. J. P. Crutchfield, B. S. McNamara. Equations of motion from a data series // Complex Systems. — 1987. — №1. — C. 417-^152

10. J. Cremers, A. Hubler. Construction of differential equations from experimental data // Z. Naturforschung A. — 1987. — №42'. — C. 797-802

11. J. D. Farmer, J. J. Sidorowich. Predicting chaotic time series // Physical Review Letters. — 1987. — №. — C. 845-848

12. M. Casdagli. Nonlinear prediction of chaotic time series // Physica D. — 1989. — №35. —C. 335-356

13. H. D. I. Abarbanel, R. Brown, J. B. Kadtke. Prediction and system identificationin chaotic nonlinear systems: time series with broadband spectra // Physical Letters A. — 1989. — №138. — C. 401-408

14. J. L. Breeden, A. Hubler. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables // Physical Review A. — 1990. — №42. —1. C. 5817-5826

15. H. Schuster. Information content of chaotic signals // Physica Scripta. — 1989.40. —C. 367-372

16. G. Gouesbet. Reconstruction of the vector fields of continuous dynamicalsystems from scalar time series // Physical Review A. — 1991. — №43. —C. 5321-5331

17. G. Gouesbet, C. Letellier. Global vector-field reconstruction by using a multivariate polynomial L2 approximation on nets // Physical Review E. — 1994. — №49 (6). —■ C. 4955-4972

18. Ю. А. Кравцов (ред.). Пределы предсказуемости. — М.: ЦентрКом, 1997.256 с.

19. Б. В. Киселев, А. Е. Козловский. Фазовый портрет солнечного цикла (приближение дифференциальным уравнением) // Магнитосферные исследования. — 1989. — №13. — С. 92-95

20. Б. В. Киселев, А. Е. Козловский. Фазовый портрет геомагнитных пульсаций Pel // Магнитосферные исследования. — 1989. — №12. — С. 109-114

21. Б. В. Киселев, А. Е. Козловский. Квазигармонический характер геомагнитных пульсаций // Геомагнитизм и аэрономия. — 1989. — № 29 (5). —С. 748

22. В. V. Kiselev, А. Е. Kozlovskiy, V. A. Pilipenko. Non-linear distortion of the ULF waveform // Planetary and Space Science. — 1991. — №39 (8). —1. C.1119-1121

23. Б. В. Киселев, Д. М. Волобуев. Реконструкция аттракторов в трехмерном фазовом пространстве и моделирование геомагнитных пульсаций // Вопросы геофизики. — 1998. — №35. — С. 338—348

24. Б. П. Безручко, Д. А. Смирнов. Современные проблемы моделирования по временным рядам // Известия Саратовского госуниверситета. Серия "физика". — 2006. — №6 (1). — С. 3-27

25. Н. Kantz, Т. Schreiber. Nonlinear time series analysis. — Cambridge University Press, 2004. —369 c.

26. G. Gouesbet, S. Meunier-Guttin-Cluzel, O. Menard. Global reconstructions of equations of motion from data- series, and validation techniques, a review // Chaos and Its Reconstructions. — 2003. — C. 1-160

27. О. Л. Аносов, О. Я. Бутковский, Ю. А. Кравцов. Восстановление динамических систем по хаотическим.временным рядам (краткий обзор) // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. — 2000. — №8 (1). —1. C.29-51

28. В.P. Bezruchko, Ye. P. Seleznev, V.I. Ponomarenko, M.D. Prokhorov,

29. D.A.Smirnov, T.V. Dikanev, I.V. Sysoev, A.S. Karavaev. Special approaches to global reconstruction of equations from time series // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. — 2002. — №10 (3). — С. 137-158

30. С. R. Shalizi. Methods and Techniques of Complex Systems Science: An Overview // Complex Systems Science in Biomedicine. — 2006. — №2. — C. 33-114

31. J. G. Andrews, R. R. McLone. Mathematical Modelling. — Butterworth & Co, 1976. —260 c.

32. D. R. Shier, К. T. Wallenius. Applied mathematical modeling. — CRC Press, 2000. —443 c.

33. W. J. Meyer. Concepts of Mathematical Modeling. — Courier Dover Publications, 2004. — 440 c.

34. C. L. Dym. Principles of mathematical modeling. — Academic Press, 2004. — 303 c.

35. В: С. Михалкин. Основные концепции математического моделирования физических объектов и систем. — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 1999. — 140 с.

36. Б. П. Безручко, Д. А. Смирнов. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. — Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2005. — 320 с.

37. L. Jaeger, Н. Kantz. Unbiased reconstruction of the dynamics underlying a noisy chaotic time series // Chaos. — 1996. — №6. — C. 440-450

38. О. Я. Бутковский, Ю1 А. Кравцов, M-. Ю. Логунов. Анализ погрешностивосстановления параметров нелинейного отображения по зашумленнымхаотическим временным рядам // Известия ВУЗов. Радиофизика. — 2002. — №45 (1). — С. 55-66

39. W. Horbelt, J. Timmer. Asymptotic scaling laws for precision of parameter estimates in dynamical systems // Physical Letters A. — 2003. — №310: — C.269-280

40. V. F. Pisarenko, D. Sornette. On statistical methods of parameter estimation for deterministically chaotic time series // Physical Review E. — 2004. — №69. — C. 036122.1-036122.12

41. Д. А. Смирнов, В. С. Власкин, В. И. Пономаренко. Метод оценки параметров одномерных отображений по хаотическим временным рядам // Письма в ЖТФ. — 2005. — №31 (3). — С. 18-26

42. D. A. Smirnov, V. S. Vlaskin, V. I. Ponomarenlco. Estimation of parameters in one-dimensional maps from noisy chaotic time series // Physics Letters A. — 2005. — №336. — C. 448^458

43. Б. П. Безручко, Д. А. Смирнов, И. В. Сысоев. Реконструкция при наличии скрытых переменных (модифицированный алгоритм Бока) // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. — 2004. — №12 (6). — С. 93104

44. И. А. Ибрагимов, Р. 3. Хасьминский. Асимптотическая теория оценивания. — М.: Наука, 1979. — 528 с.

45. H. G. Воск. Numerical treatment of inverse problems in chemical reactionkinetics // Modelling of Chemical Reaction Systems. — 1981. — №18.1. C. 102-125

46. E. Baake, M. Baake, H. J. Воск, К. M. Briggs. Fitting ordinary differentialequations to chaotic data // Physical Review A. — 1992. — №45. — C. 5524-5529

47. W. J. Meyer. Concepts of Mathematical Modeling. — Courier Dover Publications, 2004. — 440 c.

48. A. Sitz, U. Schwartz, J. Kurths, H. U. Voss. Estimation of parameters and unobserved components for nonlinear systems from noisy time series // Physical Review E. — 2002. — №66 (2). — С. 016210.1-016210.9

49. R. Meyer, N. Christensen. Fast Bayesian reconstruction of chaotic dynamical systems via extended Kalman filtering // Physical Review E. — 2001. — №65 (1). —C. 016206.1-016206.8

50. M. Quach, N. Brunei, F. d'Alche-Buc. Estimating parameters and hidden variables in non-linear state-space models based on ODEs for biological networks inference // Bioinformatics. — 2007. — №23 (23). — C. 3209-3216

51. В. H. Вапник. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. — М.: Наука, 1979. —448 с.

52. Н. Akaike. A new look at the statistical identification model // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1974. — №19. — C. 716-723

53. G. Schwartz. Estimating the Dimension of a Model // The Annals of Statistics.1978. — №6 (2). — C. 461-464

54. J. Rissanen. Stochastic complexity in statistical inquiry. — Singapore: World Scientific, 1989

55. K. Judd, A.I. Mees. On selecting models for nonlinear time series // Physica D.1995. — №82. — C. 426-444

56. L. A. Aguirre, U.S. Freitas, C. Letellier, J. Maquet. Structure-selection techniques applied to continuous-time nonlinear models // Physica D. — 2001.158. —C. 1-18

57. H. U. Voss. Analysing nonlinear dynamical systems with nonparametric regression //Nonlinear dynamics and statistics. — 2001. — C. 413-434

58. L. Cimponeriu, M. Rosenblum, A. Pikovsky. Estimation of delay in coupling from time series // Physical Review E. — 2004. — №70 (4). — C. 046213.1046213.12

59. B. P. Bezruchko, Т. V. Dikanev, D. A. Smirnov. Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series // Physical Review E. — 2001. — №64 (3). — C. 036210.1-036210.7

60. Б. П. Безручко, Т. В. Диканев, Д. А. Смирнов. Глобальная реконструкциямодельных уравнений по реализации переходного процесса // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. — 2001. — №9 (3). — С. 3-12

61. Н. Б. Янсон, А. Н. Павлов, Т. Капитаниак, В. С. Анищенко. Глобальная реконструкция по нестационарным данным // Письма в ЖТФ. — 1999. — №25 (10). — С. 74-81

62. Н. U. Voss, J. Kurths. Reconstruction of non-linear time delay models fromdata by the use of optimal transformations // Physics Letters A. — 1997. — №234. — C. 336-344

63. B. P. Bezruchko, A. S. Karavaev, V. I. Ponomarenko, M. D. Prokhorov. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Physical Review E. — 2001. — №64 (5). — C. 056216.1-056216.6

64. В. И. Пономаренко, M. Д. Прохоров. Реконструкция уравнений систем с двумя временами запаздывания по временным рядам // Письма в ЖТФ. — 2004. — №30 (22). — С. 23-30

65. В. И. Пономаренко, М. Д. Прохоров, А. С. Караваев, Б. П. Безручко. Определение параметров систем с запаздывающей обратной связью по хаотическим временным реализациям // ЖЭТФ. — 2005. — №127 (3). — С. 515-527

66. Б. П. Безручко, Д. А. Смирнов. Метод восстановления уравнений с гармоническим внешним воздействием по временному ряду // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. — 2001. — №9 (2). — С. 27-38

67. В. Bezruchko, D. Smirnov, Т. Dikanev, I. Sysoev. Construction of dynamical model equations for nonautonomous systems from time series (peculiarities and special techniques) // Chaos and Its Reconstructions. — 2003. — C. 215-243

68. R Takens. Detecting Strange Attractors in Turbulence // Lecture Notes in Mathematics. — 1981. — №898. — C. 366—381

69. E. N. Lorenz. Deterministic Nonperiodic Flow // Journal of the Atmospheric Sciences. — 1963. — №20. — C. 130—141

70. Kennel M. В., Brown R., Abarbanel H. D. I. Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction // Physical Review A. — 1992. — №45 (6). — C. 3403—3411

71. Cao L. Practical method for determining the minimum embedding dimension of a scalar time series // Physica D. — 1997. — №110(1-2). — C. 43-50^

72. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D. — 1983. — №9(1-2). — C. 189—208

73. D. S. Broomhead, G. P. King. Extracting qualitative dynamics from experimental data // Physica D. — 1986. — №20. — C. 217-236

74. П. С. Ланда, M. Г. Розенблюм. Сравнение методов конструирования фазового пространства и определения размерности аттрактора по экспериментальным данным // ЖТФ. — 1989. — №59 (11). — С. 1-8

75. J. F. Gibson, J. D. Farmer, M. Casdagli, S. Eubank. An analytic approach to practical state space reconstruction // Physica D. — 1992. — №57. — C. 1-30

76. Fraser A. M., Swinney H. L. Independent coordinates for strange attractors from mutual information // Physical Review A. — 1986. — №33(2). — C. 1134 —1140

77. W. Liebert, H. G. Schuster. Proper choice the of time delay for the analysis of chaotic time series // Physics Letters A. — 1989. — №142. — C. 107-111

78. J.-P. Eckmann, D.' Ruelle. Ergodic theory of chaos and strange attractors I I Reviews of Modern Physics. — 1985. — №57 (3). — C. 617-656

79. M. Small, K. Judd, A. Mees. Modelling continuous processes from data // Physical Review E. — 2002. — №65 (4). —C. 046704.1-046704.11

80. J. H. Argyris, G. Faust, M. Haase. An Exploration of Chaos. — Amsterdam: North Holland, 1994

81. M. Casdagli. Recurrence plots revisited // Physica D. — 1997. — №108. — C. 12-44

82. E. Ott. Chaos in'Dynamical Systems. — Cambridge University Press, 1993. — 478 c.

83. A. Katok, B. Hasselblatt, L. Mendoza. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. — Cambridge University Press, 1997. — 822 c.

84. M. Thiel. Recurrences: Exploiting Naturally Occuring Analogues. — 2004. — Universitat Potsdam

85. H. M. van den Dool. Searching for analogues, how long must we wait? // Tellus A. — 1994. — №46(3). — C. 314—324

86. J. P. Zbilut, C. L. Webber Jr. Embeddings and delays as derived from ! quantification of recurrence plots // Physics Letters A . — 1992. — №171(3-4).1. C. 199—203

87. Recurrence Quantification Analysis. URL: http://homepages.luc.edu/~cwebber

88. N. Marwan. Encounters With Neighbours: Current Developments Of Concepts Based On Recurrence Plots And Their Applications. — 2003. — Universitat Potsdam

89. M. Carmen Romano Blasco. Synchronization Analysis by Means of Recurrences in Phase Space. — 2004. — Universitat Potsdam

90. M. Thiel, M. C. Romano, P. L. Read, J. Kurths. Estimation of dynamical invariants without embedding by recurrence plots // Chaos. — 2005. — №14(2).1. C. 234—243

91. M. Thiel, M. C. Romano, J. Kurths. How much information is contained in a recurrence plot? // Physics Letters A. — 2004. — №330 (5). — C. 343-349

92. N. Marwan, S. Schinkel, J7. Kurths. Significance for a recurrence based transition analysis I I Proceedings of the International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA2008). — 2008. — C. 412-415

93. J. S. Iwanski, E. Bradley. Recurrence plots of experimental data: To embed or not to embed? // Chaos. — 1998. — №8 (4). — C. 861-871

94. N. Marwan; M. Thiel, N. R. Nowaczyk. Cross Recurrence Plot Based Synchronization of Time Series // Nonlinear Processes in Geophysics. — 2002. —- №9 (3/4). — C. 325-331

95. J. B. Gao, H. Q. Cai. On the structures and1 quantification of recurrence plots // Physics Letters A. — 2000. — №270J(l-2). — G. 75-87

96. L. L. Trulla, A. Giuliani, JlP. Zbilut, C.L. Webber Jr. Recurrence quantification analysis of the logistic equation with transients // Physics Letters A. — 1996. — №223. — C. 255—260

97. N. Thomasson, T. J. Hoeppner, C. L. Webber Jr., J'.1 P.1 Zbilut. Recurrence quantification in epileptic EEGs // Physics Letters A. — 2001-. — №279. — C. 94—101

98. N. Marwan, N. Wessel, J. Kurths. Recurrence Plot Based Measures of ' Complexity and' its Application to Heart Rate Variability Data // Physical Review E. — 2002. — №66 (2): — C. 026702

99. N. Marwan, A. Meinke. Extended Recurrence Plot'Analysis and its Application to ERP Data // International Journal of Bifurcation and Chaos "Cognition and Complex Brain Dynamics". — 2004. — №14 (2). — C. 761—771

100. J. P. Zbilut, J.-M. Zaldivar-Comenges, F. Strozzi. Recurrence quantification based Liapunov exponents for monitoring divergence in experimental data // Physics Letters A. — 2002. — №297(3-4)

101. A. Fabretti', М. Ausloos. Recurrence plot and recurrence quantificationanalysis techniques for detecting a criticalregime. Examples from financial'market indices // International Journal of Modern Physics C. — 2005. — №16 (5). — C.671-706

102. H. Lange, B. Thies, M. Hauhs, A. Kastner-Maresch. Recurrence quantification of transient behavior in simulated evolving forests // Third German Workshop on Artificial Life. — 1998.

103. F. Palmieri, U. Fiore. A nonlinear, recurrence-based'approach to traffic classification // The International Journal of Computer and-Telecommunications Networking. — 2009. — №53 (6). — C. 761-773

104. J. M1. Choi, ВI H: Bae, S. Y. Kim. Divergence in perpendicular recurrence plot; quantification of dynamical divergence from chaotic time series // Physics Letters A. — 1999. — №263 (4-6). — C. 299-306

105. C. L. Webber Jr., J. P. Zbilut. Dynamical assessment of physiological systems and states using recurrence plot strategies // Journal of Applied Physiology. — 1994. — №76 (2). — C. 965-973

106. P. Faure, H. Korn. A new method to estimate the Kolmogorov entropy from recurrence plots: its application to neuronal signals // Physica D. — 1998. — №122 (1-4). — C. 265-279

107. В. Б. Киселев. Некоторые методы нелинейного анализа // Научно-технический вестник СПбГУИТМО. — 2004. — №20. — С. 172-180

108. Б. А. Крылов, В. Б. Киселев'. Метод нелинейного анализа-видеоизображений // руды международной научно-технической конференции «Интеллектуальные системы (IEEE AIS'05)». — 2005.

109. В. Б. Киселев. Рекуррентный анализ — теория и практика // Научно-технический вестник СПбГУИТМО. — 2006. — №29. — С. 118-127

110. В. Б. Киселев. Определение стабильности траектории процесса в фазовом пространстве при помощи рекуррентного анализа // Научно-технический вестник СПбГУИТМО. — 2007. — №40. — С. 121-130

111. H. W. Newton, A. S. Milsom. Note on-the observed differences inspottedness of the sun's northern and southern hemispheres // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 1955. —№115. — C. 398-404

112. E. Conte, G. Pierri, A. Federici, L. Mendolicchio, J. P. Zbilut. A model of biological neuron with terminal'chaos and quantum-like features // Chaos, Solitons & Fractals. — 2006. — №30 (4). — C. 774-780

113. V. Varadan, H. Leung, E. Bosse. Dynamical model reconstruction and accurate prediction of power-pool time series // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. — 2006. — №55 (1). — C. 327-336

114. S. P. Chandrasekaran. A nonlinear dynamic modelling for speech recognition using recurrence plot — a dynamic bayesian approach // IEEE International Conference on Signal Processing and Communication. — 2007. — C. 516-519

115. M. Aboofazeli, Z. Moussavi. Swallowing sound detection,using hidden markov modeling of recurrence plot features // Chaos, Solitons & Fractals. — 2009. — №39(2). —C. 778-783

116. R. Proulx, P. Cote, L. Parrott. Use of recurrence analysis to measure the dynamical stability of a multi-species community model // European Physical Journal — Special Topics. — 2008. —№164 (1). — C. 117-126

117. A. Syta, G. Litak. Stochastic description of the deterministic Ricker's population model // Chaos, Solitons & Fractals. — 2008. — №37 (1). — C. 262-268

118. D. I. Ponyavin, N. V. Zolotova. Cross Recurrence Plots Analysis of the North-South Sunspot Activities // Multi-Wavelength Investigations of Solar Activity, Proceedings of the International Astronomical Union. — 2004. — C. 141-142

119. D. I. Ponyavin. Solar Cycle Signal in Geomagnetic Activity and Climate // Solar Physics. — 2005. — №224 (1-2). — C. 465-471

120. N. V. Zolotova, D: I. Ponyavin. Synchronization in Sunspot Indices in the Two Hemispheres // Solar Physics. — 2007. — №243 (2). — C. 193-203

121. H. В. Золотова, Д. И. Понявин. Нелинейный анализ климатических временных рядов и солнечной активности посредством рекуррентных и кросс-рекуррентных графиков // Вопросы геофизики. — 2005. — №38 (438). —С. 203-231

122. N. V. Zolotova, D. I. Ponyavin. Phase asynchrony of the north-south sunspot activity // Astronomy and Astrophysics. — 2006. — №449. — C. L1-L4

123. N. V. Zolotova, D. I. Ponyavin. Was the unusual solar cycle at the end of the XVIII century a result of phase asynchronisation? // Astronomy and Astrophysics. — 2007. — №470. — C. L17-L20

124. H. В. Золотова, Д. И. Понявин. Рекуррентный и кросс-рекуррентный анализ естественных временных рядов. — СПб.:Изд-во СПбГУ, 2005. — 33 с.

125. N. V. Zolotova, D. I. Ponyavin. Recognition of Unstable Lag Synchronisation // Proceedings of the 6th International Conference "Problems of Geocosmos". — 2006. —C. 300-303

126. N. V. Zolotova, D. I. Ponyavin. Detecting latent synchronisation // Technical Physics Letters. — 2006. — №32. — C. 954-957

127. Б. В. Киселев, В. Б. Киселев. Различия в динамике солнечной и геомагнитной активности // Вопросы геофизики. — 2006. — №39. — С.130-139

128. Б. В. Киселев, В. Б. Киселев. Рекуррентная структура пульсаций Рс-1 // Вопросы геофизики. — 2006. — №39. — С. 140-145

129. G.M. Mindlin, R. Gilmore. Topological analysis and synthesis of chaotic time series // Physica D. — 1992. — №58 (1-4). — C. 229-242

130. M. Koebbe, G. Mayer-Kress. Use of recurrence plots in the analysis of time-series data // Proceedings ofSFI Studies in the Science of Complexity, vol. XXL — 1992. —C. 361-378

131. M. Thiel, M.C. Romano, J. Kurths, R. Meucci, E. Allaria, F.T. Arecchi. Influence of observational noise on the recurrence quantification analysis // Physica D. — 2002. — №171 (3). — C. 138-152

132. J.P. Zbilut, J.-M. Zaldivar-Comenges, F. Strozzi. Recurrence quantification based Liapunov exponents for monitoring divergence inexperimental data // Physics Letters A. — 2002. — №297 (3-4). — C. 173-181

133. C. Bandt, G. Keller, B. Pompe. Entropy of interval maps via permutations // Nonlinearity. — 1595-1602. — №15. — C. 1595-1602

134. J. P. Zbilut, A. Giuliani, C. L. Webber Jr. Detecting deterministic signals in exceptionally noisy environments using cross-recurrence quantification // Physics Letters A. — 1998. — №246 (1-2). — C. 122-128

135. N. Marwan, J. Kurths. Nonlinear analysis of bivariate data with cross recurrence plots // Physics Letters A. — 2003. — №302. — C. 299-307

136. K. Shockley, M. Butwill, J. P. Zbilut, C. L. Webber Jr. Cross recurrence quantification of coupled oscillators // Physics Letters A. — 2002. — №305. — C.59-69

137. N. Marwan, J. Kurths. Line structures in recurrence plots // Physics Letters A. — 2005. — №336 (4-5). — C. 349-357

138. Y.-T. Ching. Detecting line segments in an image,— a new implementation of Hough transform // Pattern Recognition Letters. — 2001. — №22. — C. 421429

139. M. Rustici, C. Caravati, E. Petretto, M. Branca, N. Marchettini. Transition Scenarios during the Evolution of the Belousov-Zhabotinsky Reaction,in an Unstirred Batch Reactor // Journal of Physical Chemistry A. — 1999: — №103 (33). — C. 6564-6570

140. G. Zimatore, S. Hatzopoulos, A. Giuliani, A. Martini, A. Colosimo. Comparison of transient otoacoustic emission responses from neonatal and adult ears // ournal of Applied Physiology. — 2002. — №92 (6). — C. 2521-2528

141. B. Efron. Bootstrap Methods: Another Look at the Jackknife // The Annals of Statistics. — 1979. — №7 (1). — C. 1-26

142. B. Efron. Nonparametric estimates of standard error: The jackknife, the bootstrap and other methods // Biometrika. — 1981. — №68>'(3). — C. 589-599

143. B. Efron, R. J. Tibshirani. AnTntroduction to the Bootstrap. — CRC Press, 1993. —436 c.

144. Free Pascal Compiler. URL: http://freepascal.org/

145. А. В. Гульельми, В. А. Троицкая. Геомагнитные пульсации и диагностика магнитосферы. —М:: Наука, 1973. — 208 с.

146. А. В'. Гульельми. МГД-волны в околоземной плазме. —М.: Наука, 1979. — 140 с.

147. JI. JI. Ваньян, JI. А. Абрамов, JI. С. Альперович, М. Н. Бердичевский, М. Б. Гохберг, А. С. Дебабов, Н. А. Мерщикова, И. JI. Осипова, Ю. Г. Турбин, В. А. Юдович. Геомагнитные пульсации. —М.: Наука, 1973. — 93 с.

148. Д. Л. Данилов, А. А. Жиглявский (ред.). Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница». — СПбГУ, 1997. — 308 с.

149. Н. Е. Hurst. Long-term storage capacity of reservoirs // Transactions of the American Societyof Civil Engineers. — 1951. — №. — C. 770-808

150. В. B': Mandelbrot. Gaussian self-affinity and fractals: globality, the earth, 1/f noise and R/S. — Springer, 2002. — 654 c.

151. Royal Greenwich Observatory USAF/NOAA Sunspot Data. URL: http://solarscience.msfc.nasa.gov/greenwch.shtml

152. J1. Kurths, U. Schwarz, C. P. Sonett, U. Parlitz. Testing nonlinearity in radiocarbon data // Nonlinear Processes in Geophysics. — 1994. — №1 (1). — C. 72-75

153. В. Bell. A long term North-South asymmetry in the location of solar sourcer of great geomagnetic storms // Smithsonian Contribution to Astrophysics. — 1962.5. —C. 187-194'

154. J. G. Wolbach. On the unequal spottedness of the two solar hemispheres // Smithsonian Contribution to Astrophysics. — 1962. — №5. — C. 195-202

155. O. R. White, D. E. Trotter. Note on the Distribution of Sunspots Between the North and1 South Solar Hemispheres and'its Variation'with the Solar Cycle // Astrophysical Journal Supplement. — 1977. —№33. — C. 391

156. H. В1 Золотова. Синхронизация пятнообразования северного и южного полушарий Солнца. — 2007. — Санкт-Петербургский государственный Университет

157. J. L. Ballester, R. Oliver, М. Carbonell. The periodic behaviour of the North-South asymmetry of the sunspot areas revisited'// Astronomy and Astrophysics.2005. — №31. — C. L5-L8

158. R. Knaack, J. O. Stenflo, S. V. Berdyugina. Periodic oscillations in the north-south asymmetry of the solar magnetic field //Astronomy and Astrophysics. — 2007. — №418. — C. L17-L20

159. R. Oliver, J. L. Ballester. Rescaled range analysis of the asymmetry of solar activity // Solar Physics. — 1996. — №169: — C. 216-224

160. International Service for Geomagnetic Indices. URL: http://isgi.cetp.ipsl.fr/

161. Global Surface Temperature Anomalies. URL: http://www.ncdc.noaa.gov/oa/climate/research/anomalies/index.php

162. M. И. Будыко, Т. Г. Берлянд, Н. А. Ефимова и др. Тепловой баланс Земли.

163. JL: Гидрометеоиздат, 1978.

164. В. Н. Степанов. Океаносфера. — М.: «Мысль», 1983. — 270 с.1 <