автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Строение и регуляризация рекуррентных адаптивных оценок коэффициентов линейных стохастических моделей

А ТР^ДОВЙЛР

ЯОРУССКИЙ ОРДЕНА ТРРДОВОГСГКРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И.ЛЕНИНА

Факультет, прикладной математики и информатики

На правах рукописи

ГАЛИНСКИЙ ВИКТОР АНТОНОВИЧ

СТРОЕНИЕ И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ РЕКУРРЕНТНЫХ АДАПТИВНЫХ ОЦЕНОК КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук,

Минск - 1992

Диссертация выполнена на кафедре математического моделирова ния и анализа данных факультета прикладной математики и информати ки Белорусского государственного университета им. В.И.Ленина.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ю-С.Харин .

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,-

профессор В.Н.Фомин ,

кандидат физико-математических наук доцент В.А.Морозов .

Ведущая организация: Институт математики АН Украины, г.КиеЕ

10 часов на заседании специализированного совета К 056.03.14 пру Белгосуниверситете им. В.И.Ленина (220080, г.Минск, Ленинский проспект, 4, Университетский городок).

С диссертацией- можно ознакомится в библиотеке Белгосунивер-ситета им. В.И.Ленина.

Защита диссертации состоится

года в

Автореферат разослан

Учёный секретарь специализированного совета • . профессор

В.М.Скрипник

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

. Актуальность темы- При решении широкого.класса прикладных за-;ач-в естественнонаучных исследованиях, технике, экономике приме-яются линейные стохастические модели (регрессии, авторегрессии, вторегрессии и скользящего среднего). При этом одной из централь-ых является задача идентификации линейных стохастических моделей, оторая в данной работе трактуется как задача оценивания коэффи-иэнтов этих моделей по статистическим данным.

Развитие вычислительной техники не только способствовало асширению области практических приложений линейных стохастиче-ких моделей, но и стимулировало разработку рекуррентных процедур дентификации. В настоящее время разработано множество рекуррент-ых алгоритмов оценивания коэффициентов линейных стохастических оделей и изучены их асимптотические свойства при увеличении числа аблюдений В частности, показано, что начальные значения пара-етров рекуррентных процедур не влияют на предельные значения оце-ок коэффициентов. Наряду с асимптотическими свойствами большой рактический интерес представляют свойства рекуррентных оценок для онечного числа наблюдений. Установлено, что свойства рекуррентных ценок коэффициентов в случае конечного числа наблюдений сущест-енно зависят от начальных значений параметров рекуррентных проце-ур. В частности, при "неудачном" выборе начальных значений пара-етров- рекуррентная оценка не является точкой экстремума критерия ачества идентификации. В книге Я.З.Цыпкина "Основы информационной теории идентификации" (М.: Наука, 1984) отмечается, что задача овышения точности рекуррентных оценок в случае конечного числа аблюдений тесно связана с регуляризацией решений некорректных об-атных задач. /

Для улучшения качества оценивания медленно меняющихся коэф-ициентов линейных стохастических моделей представляет интерес азработка адаптивных модификаций рекуррентных процедур, обеспечи-ающих экспоненциальное взвешивание наблюдений.

Таким образом, актуальной для практики является задача по-гроения и регуляризации рекуррентных адаптивных оценок коэффици-нтов линейных стохастических моделей.

В диссертационной работе эта задача решается в условиях от-утствия априорной информации об оцениваемых коэффициентах для змейства оценок коэффициентов линейных стохастических моделей,

удовлетворяющих системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) общего вида.

Это семейство включает широко используемые на практике, полученные с помощью метода наименьших квдратов оценки (МНК-оценки) коэффициентов множественной линейной регрессии, авторегрессии у другие.

На основе полученных результатов решается актуальная для регрессионного анализа задача рекуррентного адаптивного оценивание коэффициентов множественной линейной регрессии в условиях мульти-коллинеарности.

Цель работы - разработка, анализ, программная реализация процедур вычисления и регуляризации рекуррентных адаптивных оценок коэффициентов линейных стохастических моделей.

Поставленная цель определила следующие основные задачи:

1. Исследование точности итерационных процедур построение псевдообратной (в смысле Мура-Пенроуза) матрицы и нормального псевдорешения СЛАУ;

2. Построение и анализ рекуррентной адаптивной процедуры вычисления семейства оценок коэффициентов линейных стохастических моделей;

3. Регуляризация рекуррентных адаптивных оценок коэффициентоЕ линейных стохастических моделей в условиях отсутствия априорноР информации об оцени&аемых коэффициентах;

4.Построение и программная реализация вычислительной процедуры нахождения регуляризованной МНК-оценки коэффициентов множественной линейной регрессии в условиях мультиколлинеарности.^

Методы исследования. Теоретические исследования проводились на основе аппарата теории вероятностей и математической статистики, линейной алгебры, теории матриц, теории идентификации. Экспериментальные исследования выполнены с использованием статистического моделирования на ЭВМ.

Новые научные результаты.

1. Для точно заданной матрицы и правой части СЛАУ получен! новые оценки скорости сходимости итерационных процедур построена псевдообратной ( в смысле Мура-Пенроуза ) матрицы и нормальной 'псевдорешения СЛАУ, а также их аналогов для неотрицательно определённой матрицы.

2. В случае, когда элементы матрицы и вектора правой часл 'СЛАУ заданы с погрешностями, для итерационных процедур построена

"юевдообратной матрицы и псевдорешения СЛАУ,а также их аналогов для неотрицательно определённой матрицы получены новые априорные эценки уклонения приближённого решения от точного. На основе Полуниных оценок предложены способы априорного выбора параметров регуляризации.

3. Построена рекуррентная адаптивная процедура вычисления об-аирного семейства оценок коэффициентов линейных стохастических моделей, не использующая операцию обращения матрицы.

4. Предложен новый способ регуляризации оценок коэффициентов линейных стохастических моделей, полученных с помощью рекуррент--юго адаптивного метода наименьших квадратов и рекуррентной адаптивной процедуры, не использующий априорной информации об оцениваемых коэффициентах.

5. Построена новая двухэтапная вычислительная процедура нахождения регуляризованной МНК-оценки коэффициентов множественной линейной регрессии.

Практическая ценность работы заключается в том, что её результаты могут быть использованы при ресании задач статистического 1нализа экспериментальных данных в г,— шых исследованиях, технике, экономике; при создании программного хЬспечения идентификации ди-шмических систем.

Реализация результатов. Теоретические и практические результаты использованы и внедрены:

'- в Белгосуниверситете при выполнении НИР "Разработка мето-аов, алгоритмов и программного обеспечения устойчивого (робастно-^о) анализа данных для автоматизации научных исследовании, математического моделирования на ЭВМ сложных систем в условиях априорной «определенности" (ном.гос.per- 01890080692) в рамках Pecпубликан-:ких научно-технических прргамм "Информатика" (задание 04-05.01) и 'Здравоохранение" (задание 69.02р.01.02.02) и разработке пакета 1рикладных программ.(ППП) "СТАТИСТИК";

- в Белорусском НИИ защиты растений при создании системы Фи-госанитарной диагностики, а также ещё в 11 организациях, внедрив-пих ППП "СТАТИСТИК".

Апробация работа. Результаты диссертационной работы докладывались на республиканской школе-семинаре "Статистический анализ 1анных на ЭВМ" (Ужгород, 1989 г.), на республиканской школе-семи-iape "Методы представления и обработай случайных сигналов и потей", (Харьков, 1990 г.), на Всесоюзной научно-технической конфе-

b

ренции "Применение статистических методов в производстве и упраЕ лении" (Пермь, 1990 г.), на республиканской научной конференщ "Математическое и программное обеспечение анализа данных" (Мина 1990 г.), в Белгосуниверситете имени В.И.Ленина на постоянно де£ ствующем городском нучном семинаре "Математическое и программа обеспечение анализа данных" (1991 г.), на семинарах кафедры мате матического моделирования и анализа данных, на конференциях моле дых учёных (1988 г., 1990 г.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 9 рг

бот.

Основные результаты работы, выносимые на защиту:

1. Двухэтапная процедура вычисления и регуляризации реку! рентных адаптивных оценок коэффициентов линейных стохастическ! моделей;

2. Способ регуляризации рекуррентных адаптивных оценок коз? фициентов линейных стохастических моделей;

3.. Новая рекуррентная адаптивная процедура вычисления ceMei ства оценок коэффициентов линейных стохастических моделей;

4. Оценки точности итерационных процедур построения псевдоо( ратной (в смысле Мура-Пенроуза) матрицы и нормального псевдореш« ния СЛАУ;

5. Двухэтапная процедура вычисления регуляризованной МНР оценки коффициентов множественной линейной регрессии в услоси мультиколлинеарности и её программная реализация.

Достоверность приводимых в диссертации результатов обеспеч! вается корректным применением математических методов и потвержд; ется результатами вычислительных экспериментов.

Структура работы и объём работы. Работа состоит из введени трёх глав, заключения, приложения, списка литературы, включающе 84 наименования, содержит два рисунка и две таблицы. Общий объ работы составляет 117 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показывается актуальность тег.ч , формулируете

цель работы. Приводится обзор литературы. Кратко излагается осно ное содержание диссертации.

В первой главе рассматриваются задачи нахождения с помош

герационных процедур псевдообратной матрицы л* для вещественной - матрицы А и псевдорешения ** СЛАУ

А х — у •

В случае, когда вместо. точных значений матрицы а и правой 1сти у известны их приближённые значения л и у, предполагается граниченность погрешностей по норме:

П1. || X - А || < м , р > О;

П2. II у - V II 5 Г) , V > О. десь и далее используются спектральная норма для матриц и евкли-зва норма для векторов.

Изучаются также аналоги рассматриваемых итерационных проце-/р для случая неотрицательно определённой матрицы.

В §1.1 рассматриваются итерационные процедуры построения ;евдообратной матрицы: ■

А = (АТА + а1 )_1/1Т + сх(АГА + а! ,

к 4 п 4 л к--1 '

В = Лт(ллт + аГ + аВ (ААТ + а!

к 4 тп' к-1ч '

=1,г, ...,; А -В =0

' ' * ' О о п Хт '

ае т - знак транспонирования, единичная (пхп) - матрица , « -эложительное число, 0пХт - нулевая - матрица.

Обозначим:

П00(('|) - максимальное сингулярное число матрицы а,

ыП(А) ~ минимальное положительное сингулярное число матрицы л.

Теорема 1.1.1. Для любого « > о последовательности матриц с сходятся к псевдообратной »матрице л*, так что

1

\ II = II II - Г

2

у + а

тип

не & ■ ~ <* . (л).

тип тиг»4 /

Аналогично последовательностям матриц вк для приближённо данной матрицы л строятся последовательности матриц лк, вк .

Теорема 1.1.2. Пусть матрица л удовлетворяет предположению П1.

згда для любого конечного числа итераций М а > о справедлива

*енка уклонений:

(г<у +ц)и(к+1)ко>

4 тау ' 4 ' ГГ

^к ~А II = II \ ~А И 5

+ - +

г_л-

7 . I 2 тт О . + а

= а (А). к тах4 '

На основе теоремы 1.1.2 предлагаются два способа априорногс выбора параметров регуляризации. .

Следствие 1.1.1- Если в условиях теоремы 1.1.2 выбрать числс

итераций * = *(н) так, чтобы при м - о

. 2 л М -» (о, к ц - О,

то имеют место сходимости

II = II зк || - о

Следствие 1.1.2. Если в условиях теоремы 1-1.2 для конечно] числа итераций л выбрать параметр регуляризации « = «(м) так, чтс бы при м - о

а О, а (л О,

то имеют место сходимости

II ~А* II - II вк II - 0 •

В §1.2 исследуется точность итерационной процедуры обращени положительно определенной (пхп) -матрицы л: >,

/1,= ( А + Ы + а(Д + а! )_1ДЬ ,

к 4 п' 4 п' к-1 '

М = 1, 2, ... ; Д =0

В-§1.3 для точных и искажённых данных л, у изучаются итерац: онные процедуры нахождения псевдорешения СЛАУ с произвольной и т отрицательно определенной матрицей.

Для вычисления псевдорешения СЛАУ с произвольной матрицей и пользуется итерационная процедура:

х, = (ДТД + а! )~1ДТУ + а(АГА + а! ,

к 4 п7 4 г/ к-1 '

^ - 1, г, а - положительное число, *0 = 0ПХ1 -

В теореме 1-3-1 на основе теоремы 1-1.1 получена оценка ск

рости сходимости последовательности к псевдорешению * .

Аналогично последовательности *к, для СЛАУ с приближённо заданными матрицей * и правой частью у определяется последовательность

Теорема 1.3.3. Пусть выполнены предположения П1 и 112. Тогда

для любого конечного:числа итераций ь и « > ° справедлива оценка уклонения =

, (к+1)Ьи(г<у

4 ' 4 max ' max

-------+

*„ - ** М II у II

kfj

Sa

а -f а

mi п

где а = а (Л) , о- . = о- . (Л) .

~ max max4 ' mm mvnN '

На основе теоремы 1-3.3 предложены два способа регуляризации приближённого псевдорешения

Следствие 1.3.1. Если в условиях теоремы 1.3.3 выбрать число итераций * = Км,т?) так, чтобы при м, v ■* о

к -> со, kZf-i -» О, kri -» О ,

то имеет место сходимость

II - ** II - О.

Следствие 1-3.2. Если в условиях теоремы 1-3.3 для конечного числа итераций к параметр регуляризации а=«(м,>?) выбрать так, чтобы при А', 77 - о

-2

а Ц

- 1

а Г)

то имеет место сходимость

Аналогичные результаты получены для итерационной процедуры построения псевдорешения СЛАУ с неотрицательно определённей (пхп) - матрицей л :

х, = (А + а1 ) у + сх( А + а! ) х,

н - 1, а, ...; с. - положительное число, = 01О<1

Во второй главе рассматривается задача построения и регуля -

у

ризации рекуррентных адаптивных алгоритмов вычисления оценок коэффициентов линейных стохастических моделей.

В §2.1 приводится постановка задачи. Рассматривается семейство оценок коэффициентов линейных стохастических моделей, удовлетворяющих СЛАУ вида

т А т 2 У а =0 X

гдь- 2, о - о*к) - матрицы, у - О*р) - матрица,а - р - вектор-столбец оценок коэффициентов, х - т. - вектор-столбец; а, у, х известным образом определяются по экспериментальным данным.

Для построения адаптивной оценки коэффициентов линейной стохастической модели используется экспоненциальное взвешивание данных ( £ = г, ш ):

X.Z 1 f ЬУ 1 Г XG 1 Г xx

l-l t - 1 l-i t-i

— - - • yt = ---- > <V ---- » xi = ----

т т T

у i J L yt X i

где о < х < i - параметр экспоненциального взвешивания данных (адаптации); - ((' - i)xM) - матрица, zt - ' - ая строка матрицы г*. Аналогично определяются матрицы yt , Gt и вектор х Задача заключается в построении вычислительной процедуры нахождения регуляризованных рекуррентных адаптивных оценок коэффициентов линейных стохастических моделей.

В качестве примеров рассмотрены адаптивная МНК-оценка и устойчивая (робастная) оценка коэффициентов множественной линейно! регрессии, адаптивная.МНК-оценка коэффициентов авторегрессии.

В §2-2 рассматривается частный случай, когда оценки коэффициентов линейных стохастических моделей удовлетворяют нормально! СЛАУ (ь = р, z = у = g). Получена зависимость оценки рекуррентноп адаптивного метода наименьших квадратов от выбранных специальны;

образом начальных значений параметров.

> л

Теорема 2.2.'1. Для * = 1 , л адаптивная оценка определяемая рекуррентными соотношениями

а = а + Р s (\z + sTP s¡ )"*(х - ит а , ), t t-i t-i i\ t t-i i' 4 t i i-i-"

P = X~2(P - P г (X2 + sTP s)_12T P ), t v l-l l-i 1Л t l-l l' t l-l' '

с начальными условиями

а = О , Р = X <* 7

О рХ1 ' О F

а >0

является решением СЛАУ

(гг+Х о/)а=2Х.

4 I I р' I II

В §2.3 построена рекуррентная адаптивная процедура вычисления определённого в §2.1 семейства оценок коэффициентов линейных стохастических моделей и получена зависимость оценок коэффициентов от выбранных специальным образом начальных значений параметров рекуррентной процедуры.

Теорема 2.3-1. Для t = 1 , m адаптивная оценка at, определимая рекуррентными соотношениями

Л -s 2 Т ~

а = а + Р (X С S g х - w у О- } + í i-i Л v i-Í°I t i^i i-i-'

+ XZv (zTL - wT a ) +y x - 2Тг vT (г )), i 1-1 i i-i' 1 = 1 t i i- i i-i'"

P = \ *(P - P S ГФТ P i +х4л)~1$т P ), i 4 i-t l-i Л t t-it i' i t-i/>

S = X2S + V sT , i t-i 'i i '

L

\2L l i-i

где

i-i i-i t' i ^ i : ^t ^• t

T

2 2 l l

с начальными условиями

а = 0 , Р - Х4а~17 с = 0 О, , а > О ,

О "рХ1' О р' О рХк ' о "кх» ' '

является решением СЛАУ

(УТг гТ У + X"" 1_1> о./ )а = Ут2 СТ X .

4 I I I I р' I 1111

В §2.4 рассматриваются вопросы регуляризации рекуррентных адаптивных оценок, построенных в §2.3 .

Вычислительную устойчивость рекуррентной процедуры из §2.3 предлагается повысить за счет специального выбора параметра регуляризации а. Для уменьшения смещения оценки «т используется итерационная процедура построения псевдорешения СЛАУ из §1.3, которая в обозначениях §2.3 имеет вид

~<1> л _ ^<¡.-11 а = а + а Р а ,

X

„ 4<т-1> <0> „

ГЛв « = X а , а -а . г. - 1 , .....

1 7 т * 7

Таким образом, построена двухэтапная процедура вычисления семейства оценок коэффициентов линейных стохастических моделей.

Этап 1. Вычисление регуляризованной оценки коэффициентов линейной стохастической модели с помощью рекуррентной адаптивной процедуры из §2-3 .

Этап 2. Уточнение вычисленной на этапе 1 оценки с помощью

итерационной процедуры построения псевдорешения СЛАУ.

Связь оценки с псевдорешением а* СЛАУ из §2.2 устанавливают теорема 2.4.1, которая является аналогом теоремы 1-3.1, и теорема 2-4-2 -

Теорема 2-4-2. Для любого конечного числа итераций ¿и а > о справедливо неравенство

II II Й II « II •

Предлагается выбирать значения параметра регуляризации а для рекуррентной адаптивной процедуры и числа итераций * для итерационной процедуры на основе следствия 2-4-1 .

В третьей главе двухэтапная процедура, построенная в главе 2,

применяется для нахождения регуляризованной МНК-оценки коэффициентов множественной линейной регрессии в условиях мультиколлинеар-ности■

Рассматривается модель множественной линейной регрессии

X = X а + £ ,

где N - число наблюдений, х - ы - вектор значений зависимой переменной, 2 - (л/хр) - матрица значений я независимых переменных, а - подлежащий оцениванию р - вектор коэффициентов множественной линейной регрессии, с-ы- вектор случайных ошибок наблюдений,

г<£> - о, С01)<£. £>= 02 I , ' ' С N

В §3.1 рассматривается'явление мультиколлинеарности в регрессионном анализе и дан обзор основных методов, идентификации модели множественной линейной регрессии в условиях мультиколлинеарности.

В §3.2 исследуется регуляризованная МНК-оценка коэффициентов множественной линейной регрессии, построенная с помощью двухэтап-ной процедуры:

Этап 1- Вычисление регуляризованной' адаптивной МНК-оценки с помощью рекуррентного адаптивного метода наименьших квадратов:

а = а + Р г (\2 + гТ Р г- ) 1 (х - яТ S ),

t t-i i-i i t-i i' 4 t t i-i''

P = \'*(P - P s(\2 + P гг ) ~ 4srT P ), i v l-i i-i Л i i-i i' i t-i''

t = 1, N , a. = 0 , P = X2«"1/ , а >0 .

' 'о "pXl' О p '

Этап 2. Уточнение вычисленной на этапе 1 оценки с помощью

итерационной процедуры (t = 1, г, ... ):

~ < ¿> " Л < 1-1)

et = а а Р а.

N N INN '

. 2(N-1> "(О! ~

где = X а , а = aN ■

В этом параграфе допускается, что rann z - г, i < г < в качестве МНК-оценки коэффициентов используется оценка:

а" = 2* X .

Для изучения свойств оценки а^,1' удобно, используя итерационную процедуру из §1-1, представить её в виде

S'1' = р'°Х .

N N

Установлены следующие основные свойства регуляризованной МНК-оценки ' •

Теорема 3.2.2. Для любого конечного числа итераций ¿и а > °

почти наверное (п.н,) справедливо неравенство

II II ^ II II • Теорема 3.2.3. Для любого конечного числа итераций * и а > о регуляризованная МНК-оценка является смещённой. Её математическое ожидание и ковариационная матрица определяются по формулам:

€< а > = Р 2. а .

Ы N

сои< а , а >= о Р (Р ).

N N . С N 4 N у

Теорема 3.2.4. Для любого конечного числа итераций ¿и « > о в асимптотике °"т1г,(2) -» 0 справедливо неравенство

где ')) - след матрицы вариаций оценки а„1>.

Значения параметра регуляризации « и числа итераций * предлагается выбирать на основе теоремы 3.2.5 .

В §3.3 рассмотрены особенности компьютерной реализации двух-

этапной процедуры вычисления регуляризованной МНК-оценки коэффициентов множественной линейной регрессии.

Приведём основной результат этого параграфа. Для двухэтапной процедуры предложен эффективный способ контроля погрешности вычислений, который использует следующее свойство монотонности оценки

< ь > N

Теорема 3-3.1- Для любого конечного числа итераций ¿и « > <

п-н- справедливо неравенство

- < к-1> .

»м II - II в - %

М = 1 .

В §3.4 приводятся результаты вычислительных экспериментов^ которые показывают преимущество регуляризованной оценки <=^1> перед МНК-оценкой <** в условиях мультиколлинерности. В случае хорош« обусловленной матрицы 2 эти оценки практически совпадают.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации-

Приложение содержит документы о внедрении результатов диссе! тационной работы-

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1. Для вычисления оценок коэффициентов линейных стохастических моделей из обширного семейства, определяемого СЛАУ общего вида, построена новая двухэтапная процедура:

Этап 1. Вычисление регуляризованной оценки коэффициентов с

помощью рекуррентной адаптивной процедуры;

Этап 2. Уточнение полученной на этапе 1 оценки с помощью

итерационной процедуры построения нормального псевдорешения СЛАУ-

В частном случае, когда оценки коэффициентов удовлетворяю: нормальной СЛАУ, на этапе 1 используется рекуррентный адаптивны! метод наименьших квадратов.

2. Предложен не использующий априорной информации способ регуляризации ¿ценок коэффициентов линейных стохастических моделей основанный на специальном выборе параметра регуляризации для рекуррентной процедуры и числа итераций для итерационной процедуры.

3. Исследованы свойства итерационных процедур построения псевдообратной ( в смысле Мура-Пенроуза ) матрицы и нормального

тсевдорешения СЛАУ, а также их аналогов для неотрицательно определённой матрицы.

Для точно заданной матрицы и правой части СЛАУ получены новые эценки скорости сходимости итерационных процедур.

В случае, когда элементы матрицы и вектора правой части СЛАУ заданы ^ погрешностями, получены новые априорные оценки уклонения триближённого решений от точного. На основе полученных оценок 7редложены способы априорного выбора параметров регуляризации.

4. Построена рекуррентная адаптивная процедура вычисления :емейства оценок коэффициентов линейных стохастических моделей, не гспользующая операцию обращения матрицы.

5. С помощью двухэтапной процедуры построена новая регуляри-юванная МНК-оценка коэффициентов множественной линейной регрессии I исследованы её свойства. Предложен эффективный способ контроля югрешности, обусловленной особенностями машинной арифметики, при (ычислении регулярйзованной МНК-оценки на ЭВМ.

6. Результаты диссертационной работы использовались при выпо-нении Республиканских научно-технических программ "Информатика" и Здравохранение", реализованы в пакете прикладных программ "СТА-'ИСТИК" для ПЭВМ типа 1вм рс и внедрены в 12 организациях.

Основные положения диссертации отражены в следующих публика-

лях.

1. Галинский В.А. Об одном итерационном методе нахождения севдорешения системы линейных уравнений " Материалы республиканкой научно-практической конференции "Актуальные проблемы информа-ики: математическое, программное и информационное обеспечение". -инск: Изд-ео БГУ, 1988. - С. 173.

2. Галинский В.А. Об одном методе регуляризации рекуррентных даптивных МНК-оценок коэффициентов линейных стохастических моде-ей // Материалы республиканской научно-практической конференции Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и нформационное обеспечение". - Минск: Изд-во ИМ АН БССР, 1990. -. 65-66.

3.- Галинский В.А. Об одном алгоритме вычисления регуляризо-анных МНК-оценок коэффициентов множественной линейной регрессии ' Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции с ме-дународным участием стран "Применение статистических методов в роизводетве и управлении". - Пермь: Изд-во Перм-го ун-та, 1990.-

т.2. -с.295- 296.

4. Галинский Б.А. Об одном классе регуляризирующих рекуррентных алгоритмов идентификации линейных стохастических моделей " Тезисы докладов Республиканской научной конференции "Математическое и программное обеспечение анализа данных". - Минск: Изд-во БГУ, 1990. - С. 66.

5. Галинский В.А.,'Степанова М.Д., Крылова Е-А- и др. Пакет прикладных программ СТАТИСТИК // Тезисы докладов Республиканской научной конференции "Математическое и программное обеспечение анализа данных". - Минск:' Изд-во БГУ, 1990. - С. 139.

6.Галинский В.А. Об одном подходе к вычислению псевдообратной матрицы Проблемы компьютерного анализа данных и моделирования. - Минск: Изд-во БГУ, 1991. С. 32-37.

7. Галинский В.А. О регуляризации рекуррентных адаптивных оценок параметров линейных стохастических моделей Вероятностные модели и обработка случайных сигналов и полей. - Киев: Вища школа, 1991. - С. 51-55.

8. Галинский В.А. Об одном регуляризирующем алгоритме решения систем линейных уравнений и его применении в задачах идентификации " Актуальные проблемы социально-гуманитарных и естественных наук. - Минск: Вышэйшая школа, 1991- С. 91-92.

9. Галинский В.А. Двухэтапная процедура вычисления регуляри-зованной МНК-оценки коэффициентов линейной регрессии " Вопросы экономики и организации информационных технологий. В 2-х частях. 4.2. - Гомель: Изд-во Гом-го ЦНТИ, 1991. - С. 13-16.

Подписано'к печати 23.01.92 г. Формат 60*24/16 Объём 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ Бесплатно.

Отпечатано на ротапринте БГУ им. В.И.Ленина 220080, г.Минск, ул- Бобруйская, 7