автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Синтез, исследование и применение рекуррентных алгоритмов оценивания параметров математических моделей объектов в автоматизированных системах управления

На правах рукописи

□ОЗОВЭ228

Карелин Алексей Евгеньевич

СИНТЕЗ, ИССЛЕДОВАНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ В АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05 13 06 - «Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (в промышленности)»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск-2007

003069228

Работа выполнена в Томском государственном университете систем управления и радиоэаектроники (ТУСУР)

Научный руководитель доктор технических наук,

профессор Светлаков Анатолий Антонович

Официальные оппоненты доктор технических наук,

профессор Замятин Николай Владимирович

кандидат физико-математических наук, Цой Сергей Александрович

Ведущая организация Омский государственный технический

университет

Защита состоится «¿3 » мая 2007 г в 3 часов на заседании

диссертационного совета №Д212 268 02 в Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники по адресу г Томск, ул Белинского, 53, НИИАЭМ при ТУСУРе

Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах с подписью составителя и заверенные печатью организации, просим отправлять по адресу диссертационного совета

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТУСУРа по адресу г Томск, ул Вершинина, 74

Автореферат разослан «23» _2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

~~ А Я Клименко

Актуальность работы. Современный уровень развития техники характеризуется неуклонным повышением разнообразия и сложности управляемых объектов в проектируемых системах управления. Типичной становится ситуация, когда отсутствует точное математическое описание объекта или с течением времени неизвестным образом происходит изменение его параметров в широких пределах, Без знания закономерностей, которым подчиняются управляемые объекты и процессы, невозможно эффективно ими управлять Поэтому научное направление, называемое в современной теории автоматического управления, идентификацией объектов (процессов) занимает важное место в теории управления

В наиболее общем случае задача идентификации объекта включает в себя задачу определения структуры объекта идентификации и задачу идентификации параметров объекта по результатам измерений его входных и выходных переменных Первая из этих задач возникает в случае, когда структура объекта является неизвестной и требует определения Со второй из названных задач приходится иметь дело тогда, когда структура объекта предполагается известной и, соответственно, требуется идентифицировать только его параметры

Несмотря на то, что уже предложено значительное количество алгоритмов идентификации, базирующихся на самых разнообразных идеях и подходах, задача разработки новых и совершенствования уже имеющихся актуальна и сегодня Это обусловлено разнообразием как существующих, так и вновь создаваемых объектов управления, для которых применение имеющихся алгоритмов идентификации не дает требуемых результатов Существующие алгоритмы идентификации не всегда могут обеспечить достаточно высокую скоростью сходимости, необходимую помехоустойчивость и по малому числу измерений подстраивать имеющуюся модель управляемого объекта Кроме того, совершенствование средств вычислительной техники и расширение их возможностей позволяют реализовывать все боле сложные алгоритмы идентификации, практическое применение которых ранее было невозможно или ограничено.

Целью настоящей работы является создание рекуррентных алгоритмов оценивания параметров математических моделей технологических объектов, реализуемых в реальном масштабе времени, и их применение при разработке адаптивных систем управления

Научная новизна работы. 1) Предложены модификации оптимального одноточечного рекуррентного алгоритма оценивания параметров математических моделей линейных объектов, основанные на усреднении результатов измерений, что позволяет повысить их помехоустойчивость 2) Предложены модификации оптимального одноточечного рекуррентного алгоритма оценивания параметров математических моделей линейных объектов, основанные на ортогонализации и использования разностей

измерений для уточнения параметров моделей, что позволяет увеличить скорость сходимости вычисляемых оценок параметров

3) Разработан алгоритм функционирования адаптивного регулятора, основанный на рекуррентном многоточечном алгоритме оценивания параметров математических моделей с применением псевдообратных матриц и их регуляризации с целью повышения помехоустойчивости

4) Разработан алгоритм функционирования адаптивного регулятора, основанный на рекуррентном многоточечном алгоритме оценивания параметров математических моделей с ортогонализацией измерений переменных действующих на входе и выходе объекта управления, что обеспечивает сокращение количества арифметических операций за счет существенного упрощения процедуры псевдообращения получаемой матрицы измерений и, как следствие приводит к существенному повышению быстродействия алгоритма оценивания

Практическая ценность работы:

Разработанные алгоритмы используются в ЗАО «ЭлеСи» при проведении экспериментальных исследований систем управления и опытно-конструкторских работ, а также натурных испытаний разрабатываемых систем управления Кроме того, данные алгоритмы могут использоваться в системах контроля теплового состояния доменных печей для решения задач сжатия массивов измерений контролируемых переменных и подстройки параметров их математических моделей

Результаты работы используются в учебном процессе кафедры информационно-измерительной техники в качестве лабораторных работ «Исследование проекционных рекуррентных алгоритмов оценивания параметров моделей линейных статических объектов» и «Исследование многошаговых рекуррентных алгоритмов оценивания параметров линейных моделей, основанных на применении псевдообратных матриц» по курсу «Адаптивные системы управления и автоматизации»

Внедрение работы. Представленные в диссертационной работе алгоритмы были разработаны в рамках выполнения следующих хоздоговоров, в которых автор принимал участие в качестве исполнителя и ответственного исполнителя

1 «Разработка автоматизированной системы контроля теплового состояния ДП-4 КМК (АСКТС)» 2000-2001 г

2 Хоздоговор №58/05 от «15» июля 2005 г «Разработка алгоритмов цифрового дифференцирования сигналов и цифрового адаптивного авторегулирования процессов» заключенных между ЗАО «ЭлеСи» и Томским государственным университетом систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Внедрение и использование результатов диссертационной работы подтверждаются двумя актами, представленными в приложении

Апробация работы Основные результаты работы отражены в 12 публикациях 1 статье в журнале, рекомендованном ВАК, 2 статей в сборниках статей, 1 зарегистрированной разработке на правах публикации в информационно-библиотечном фонде РФ, 8 публикациях в сборниках трудов международных, всероссийских и региональных конференций

Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Четвертой региональной научно-технической конференции студентов и молодых специалистов «Радиотехнические и информационные системы и устройства» - Томск ТУСУР, 2000, Региональной научно-технической конференции студентов и молодых ученых «Радиотехнические устройства, информационные технологии и системы управления». - Томск1 ТУСУР, 2001; Всероссийской научно-практической конференции «Системы автоматизации, в науке и производстве» — Новокузнецк- СибГИУ, 2001, Межрегиональной научно-технической конференции «Научная сессия ТУСУР» - Томск ТУСУР, 2002, Региональной научно-технической конференции «Научная сессия ТУСУР - 2003» - Томск ТУСУР, 2003, Всероссийской научно-практической конференции «Достижения науки и техники - развитию сибирских регионов» - Красноярск ИПЦ КГТУ, 2003, Научно-практической конференции «Средства и системы автоматизации» - Томск, 2004, XI международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии СТТ'2005» -Томск ТПУ, 2005

Основные положения, выносимые на защиту.

1) Разработанные одноточечные рекуррентные алгоритмы оценивания параметров математических моделей линейных объектов с усреднением результатов измерений,

2) Разработанные одноточечные рекуррентные алгоритмы оценивания параметров математических моделей линейных объектов, основанные на ортогонализации и использовании разностей измерений для уточнения параметров моделей и обеспечивающие повышение скорости сходимости вычисляемых оценок параметров

3) Алгоритм функционирования адаптивного регулятора, использующий в качестве алгоритма идентификации рекуррентный многоточечный атгоритм с применением псевдообратных матриц и его экономичную модификацию, основанную на применении процедуры ортогонализации Грама-Шмидта, а также результаты его моделирования

4) Результаты применения разработанных одноточечных рекуррентных алгоритмов при оценивании параметров математических моделей контролируемых переменных доменного процесса

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений Основное содержание изложено на 177 страницах. Содержит 107 рисунков, 14 таблиц и 3 приложения

Во введении обосновывается необходимость разработки рекуррентных алгоритмов оценивания параметров математических моделей. Определены цель и задачи работы, обсуждены ее актуальность, научная и практическая значимость, отражена новизна полученных результатов и сформулированы основные положения, выносимые автором на защиту

В первой главе производится постановка задачи параметрической идентификации линейных статических объектов описываемых следующим уравнением

л

(1)

/=1

где у - значение выхода объекта в момент времени /, х,— значение ) -го входа х1 в этот же момент времени, у = 1,и, а — неизвестные параметры

объекта, п — число входов объекта — некоторое ограниченное натуральное число, I - равноотстоящие дискретные моменты времени

Анализируются некоторые наиболее известные алгоритмы,

предназначенные для решения поставленной задачи

1) метод наименьших квадратов (МНК),

2) рекуррентный МНК,

3) оптимальный одноточечный рекуррентный алгоритм, имеющий вид

+ *" / = 1'2Д (2)

где я,_1 - вектор оценок параметров объекта, вычисленный на предшествующем (¿-1)-м такте оценивания, а, - новый вектор оценок, вычисляемых на текущем /-м такте управления, х, — п-мерный вектор измеренных значений входных воздействий в момент времени а у,— измеренное значение выхода объекта в это же момент времени,

4) многоточечный рекуррентный алгоритм оценивания параметров линейных моделей, основанный на применении псевдообратных матриц имеющий вид

а^а^х/угхХл (3)

4 г

где X, -(1хп) - матрица, псевдообратная к матрице X,, X, ,у, — соответственно (/хл)-матрица и /-мерный вектор измерений входах и выхода объекта, /глубина памяти алгоритма - некоторое натуральное число, такое, что 1 <1<М\

М— конечное натуральное число, которое может быть как больше, так и

+

меньше числа п Вычисление матрицы Х1 осуществляется по следующему алгоритму

Л =(*>,)' (4)

ъ

+ _

Р„ = ' = 2,/,

<7,, =*„-ДЛ-«,> ' = 2,/,

1 {я„У (Ч„У [(?„,Ч„)+ У]'*, если \\д„||*0,

X

1-1

II

1 I

*М,(А,)Т [1 + (Д,.Д,)1, если |у=о,

+ -I + ( I

В„=Хы,-Ьврк, Х,= в„\ь1

(5)

где Т- символ операции транспонирования векторов и матриц, (,) - символ операции скалярного умножения векторов-строк и векторов-столбцов, || -евклидова норма вектора-строки д„, у- параметр регуляризации - достаточно малое положительное число, выбираемое с учетом целого ряда факторов и прежде всего таких, как наличие и уровень ошибок в измерениях переменных объекта, нестационарности его параметров а и т п ,

5) алгоритмы стохастической аппроксимации

Вторая глава посвящена синтезу и исследованию одноточечных рекуррентных алгоритмов оценивания параметров математических моделей, в основу которых положен оптимальный одноточечный алгоритм Приводятся некоторые результаты их исследований на скорость сходимости и помехоустойчивость Полученные модификации обладают более высокой скоростью сходимости и лучшей помехоустойчивостью, сохраняя при этом основные свойства оптимального одноточечного алгоритма

Недостатком алгоритма (2) является низкая скорость сходимос ги оценок параметров объекта в случае, когда значения измеряемых величин, действующих на вход объекта, в соседние моменты времени мало отличаются друг от друга, что существенно увеличивает период получения достаточно точных оценок параметров и, соответственно, снижает эффективность управления объектом Синтезированные алгоритмы призваны устранить названный недостаток

Предлагаемые алгоритмы базируются на идеях, заключающихся в том, чтобы. 1) наряду с результатами измерений входных воздействий и реакции объекта на эти воздействия при определении оценок параметров объекта, использовать их усредненные значения, 2) при вычислениях оценок использовать не непосредственно результаты измерений х1 и уп а их изменения Аде, и Ду,, удовлетворяющие равенствам

Применение выше названных идей позволило синтезировать шесть алгоритмов, обладающих различными характеристиками

7-1 >

б) Ау, =у,~у,-г

(6)

Первая модификация алгоритма (2) сводится к выполнению следующих действий

1) вычисление промежуточного вектора оценок я,1 в соответствии с алгоритмом (2), используя при этом измеренные вектор дг( и скаляр уп полученные в момент времени I,

2) вычисление промежуточных оценок я,2 по имеющимся усредненным значениям и у1Ч, полученным на основе поступивших в моменты ¿=1,2, ,М измерений входа л: и выхода у объекта, с использованием при этом алгоритма (2),

3) усреднение значений входных воздействий и значений выхода с учетом измерений, поступивших на момент времени I, в соответствии со следующей формулой

г. . 1

Ь,=—Ь„+-с„ (7)

где и Ь, — средние значения измеряемой величины в моменты времени

I—\ и I, соответственно, с,— значение измеряемой величины в момент времени I,

4) Вычисление вектора оценок а, согласно алгоритму (2) по новым усредненным значениям х, и у, входных воздействий х объекта и его реакции у

Вторая модификаг(ия алгоритма (2) реализуется следующими операциями

1) при поступлении измерений х1 и у, в момент времени ( осуществляется вычисление компонент промежуточного вектора оценок а] в соответствии с алгоритмом (2),

2) вычисляются средние значения входных воздействий л:, и выхода объекта у, с учетом измерений х, и у1 в соответствии с формулой (7),

3) используя промежуточный вектор оценок а' и новые усредненные значения входных и выходной величин, вычисляется вектор оценок я, в соответствии с алгоритмом (2)

Третья и четвертая модификации алгоритма (2) по своей вычислительной схеме полностью соответствуют первой и второй модификациям с той лишь разницей, что при уточнении оценок я, параметров а используются не непосредственно результаты измерений х,и у,, а их изменения Дх, и Ду,, удовлетворяющие равенствам (6)

Пятая модификация алгоритма (2) состоит из следующих этапов

1) вычисление Ддс, и Ду,, удовлетворяющих равенствам у Ах, = х, - , б) Ау, =у, - , (8)

где - вектор средних значений входных воздействий и средние значение выхода объекта полученные в момент времени (/—1),

2) получение вектора промежуточных оценок а,1 по (2) с использованием вычисленных приращений (8),

3) Вычисление средних значения входных воздействий х, и выхода объекта yt с учетом измерений х1 и у, в соответствии с формулой (7), 4) вычисление приращений ДЗс/ и Ар/, удовлетворяющих равенствам

а) Л*/ —х,— ; б) Ayl = у,- ун (9)

5) Получение нового вектора оценок а, по (2) с использованием вычисленных приращений (9)

Шестая модификация алгоритма (2) включает в себя следующие этапы

1) после поступления новых измерений переменных, действующих на входах и выходе объекта в момент времени t производится вычисление приращений Дх(, Ду, по равенствам (6),

2) вычисление средних значений Ах, и Ду( в соответствии с формулой (7),

3) уточнение имеющихся оценок параметров объекта а(_, по алгоритму (2) с использованием средних значений АЗЕ, и Ау,

Седьмая модификация алгоритма (2) использует тот факт, что оптимальный одноточечный алгоритм имеет максимальную скорость сходимости в случае, когда вектора входных воздействий в соседние моменты времени ортогональны При вычислении оценок параметров объекта в соответствии с данной модификацией сначала производится уточнение оценок по формуле (2) с использованием вектора х, и значения yt, а затем,

используются вектор х[ и значение^, удовлетворяющие равенствам

а) = дс,*,_„ б) (10)

где лг,_,, y:_t результаты измерений входных воздействий и реакции объекта на предыдущем такте управления Полученный таким образом вектор xt' является ортогональным вектору дсм, что, как вытекает из сделанного выше замечания, обеспечивает увеличение скорости сходимости алгоритма (2)

Результаты выполненных экспериментов по исследованию рассмотренных выше модификаций оптимального одноточечного алгоритма на скорость сходимости, помехоустойчивость позволяют сделать следующие выводы:

1) В случае, когда входные и выходная переменные измеряются без ошибок, все синтезированные алгоритмы сходятся монотонно по евклидовой норме, обеспечивая наперед заданную точность вычисляемых оценок

2) Исследуемые алгоритмы сходятся, независимо от значений начальных оценок а0 параметров объекта Чем ближе начальные оценки а0 к истинным параметрам объекта а, тем выше скорость сходимости рассматриваемых алгоритмов Под скоростью сходимости здесь понимается количество

итераций, понадобившееся алгоритмам для обеспечения заданной точности оценок парамет ров объекта

3) В случае, когда направления векторов входных воздействий х, и х,А в соседних измерениях мало отличаются, друг от друга синтезированные алгоритмы обеспечивают более высокую скорость сходимости Самой высокой скоростью сходимости обладает алгоритм с ортогонализацией измерений входных и выходных переменных

4) В случае, когда какая-либо из входных переменных объекта не изменяется в соседних тактах оценивания, модификации 3,4,5,6 не уточняют оценку соответствующего ей параметра объекта

5) При наличии ошибок измерения входных и (или) выходной переменных монотонность сходимости по евклидовой норме оценок, получаемых с помощью исследуемых алгоритмов, по мере приближения к оцениваемым параметрам нарушается При этом монотонность и скорость сходимости всех алгоритмов существенно зависит от величины ошибок измерений входных и выходной переменных

6) Для эффективного применения алгоритмов 1-5 и алгоритма с ортогонализацией измерений, в условиях, когда имеются ошибки измерений входных и выходной переменных, требуются дополнительные меры по повышению их помехоустойчивости Модификация 6 обладает достаточной помехоустойчивостью при ошибках измерения до 5% включительно, без каких либо дополнительных затрат

7) Введение параметра регуляризации у в качестве слагаемого в знаменатель выражения (2) позволяет существенно повысить помехоустойчивость модификаций 1-5 и алгоритма с ортогонализацией измерений входных и выходной переменных, но возникает задача автоматическог о выбора его оптимального значения

8) Всем исследуемым модификациям оптимального одноточечного алгоритма присущи следующие основные недостатки

- большее количество арифметических операций, производимых на одном такте для уточнения оценок параметров объекта и, как следствие, увеличение затрат времени на реализацию одного такта оценивания,

- необходимость использования дополнительной памяти для хранения промежуточных значений оценок параметров объекта, средних значений входных и выходной переменных объекта

В третьей главе приводятся результаты синтеза и моделирования адаптивного регулятора предназначенного для управления объектами, описываемыми передаточными функциями первого и второго порядков В качестве алгоритма оценивания параметров линейных моделей в данном регуляторе используется многоточечный рекуррентный алгоритм (3), основанный на применении псевдообратных матриц Рассматривается экономичная модификация многоточечного рекуррентного алгоритма с

ортогонализациеи результатов измерений входной и выходной переменных объекта управления Проводится анализ результатов моделирования

Постановка задачи рекуррентной адаптивной подстройки оценок параметров математических моделей линейных динамических объектов Пусть имеется линейный динамический объект, количественные связи между значениями входа и и скалярного выхода у которого описываются линейным разностным уравнением вида

у,=+ Е .

сю

где I - дискретные моменты времени, и соответственно значение входа

А

у и выхода и в моменты времени / = 1,2,3, , а = {а1,а2, ,ссП+т)Т- (я + /и) - мерный вектор неизвестных параметров, пит- некоторые ограниченные натуральные числа И пусть в каждый момент времени / имеются измерения вида

с

а) И/ =

и,

7-1

и б) у, =

У, У,-„

(12)

Здесь следует отметить, что измерения у,, в общем случае, могут содержать

ошиоки те у, ■

( У, 1 (* 4 Г * ^

Ум = У,-1 +

I 4 А

или что тоже самое у, = + е1, где

X 4.

у, - вектор истинных значение выхода объекта, е, - вектор ошибок измерения значений выхода объекта Используя измерения (12), составим систему линейных алгебраических уравнений

а 4.

К«,=у„

(13)

где а, =(ап,а12, ,ат, ,а,„+„,)7- (п + т)-мерный вектор оценок неизвестного (и + т)-мерного вектора (ог,,ог2, ,аи+т) параметров разностного уравнения I

(11), и у1 - соответственно (1х(п + т)) - матрица и /-мерный вектор, формируемые в соответствии с равенствами

а )У,=

У,.\ У,-г У,-П им и:-г и1-, У,-2 ^-з V,-,,-, -2 «,-з

УУ,.м И,-/ «,-/-1

1

б) У =

(14)

Здесь I - глубина памяти алгоритма - некоторое натуральное число такое, что 1 <1<М, М - конечное натуральное число, которое может быть как больше,

так и меньше размерности вектора а,, те числа (и + т) Задача рекуррентной

I

подстройки вектора уже имеющихся оценок а,-\ при каждом I заключается в

х

том, чтобы заменить его таким новым вектором а,, который был бы ближе к

I

истинным значениям оцениваемого вектора параметров а При этом в качестве количественной меры близости между векторами будем использовать евклидову норму их разности, определяемую равенством

I

|и I я,-а

I I 1 1 (п+ш м

=<а ,-<*,« ,-а)г = £(а„-а,)2 V'*1 )

Для решения сформулированной выше задачи использовался многоточечный рекуррентный алгоритм (3)

Формирование управляющих воздействий и, в момент времени ( осуществлялось в соответствии со следующим равенством

Я /1+1»

=(Уш - £ апУп- Е )Ч„+1. (16)

(=1 /=л+2

где - измеренные значения выхода у объекта управления в моменты

/ +1 —/ = 1, п, ушд - заданное значение выхода объекта

Все эксперименты по исследованию возможностей адаптивного регулятора, построенного по выше приведенному алгоритму, проводились с применением специализированной системы инженерных расчетов МАТЬАВ и ее мощного расширения БнпиЬпк, предназначенного для имитационного моделирования

Построенная в среде ЗнтшЬпк модель адаптивного регулятора позволяла вести исследования системы управления в следующих двух режимах

1) Режим идентификации В этом режиме функционирования системы управления осуществляется только оценивание параметров объекта управления на основе результатов измерения переменных на его входе и и выходец При этом управляющие воздействия и, формируются по известным параметрам объекта управления, полученным каким либо образом ранее Иначе говоря, в реальных условиях формирование управляющих воздействий и, осуществляется либо вручную, либо с помощью какого-либо устройства управления

2) Режим идентификации и управления В данном случае одновременно с подстройкой параметров модели осуществляется и формирование управляющих воздействий на объект, вычисляемых в соответствии с выражением (16) При этом в начале каждого такта управления осуществляется подстройка имеющихся оценок я,.,, а затем полученные новые оценки я, параметров а используются для вычисления управляющих воздействий г/,

При проведении исследований рассматриваемой системы управления в качестве объектов управления использовались динамические объекты, описываемые передаточными функциями первого и второго порядка и имеющими соответственно вид

0.125 .. 3,102р + 141,2

а)Щр) = -

и б)Ж(р) = -

р + 0,25 0,6847р2 +1,809/7 +1

Переходные характеристики данных объектов представлены на рисунке 1

(17)

а) б)

Рисунок 1 — Переходные характеристики объектов управления На рисунках 2 и 3 представлены результаты экспериментов, полученные при отсутствии ограничений на формируемые по соотношению (16) управляющие воздействия Модель регулятора функционирует в режиме «идентификация и управление», глубина памяти / алгоритма оценивания (3) равна числу оцениваемых параметров объекта управления

Рисунок 2 - Управляющие воздействия ы, и реакции у, (объект первого порядка, у1ад = 2, Д? = 0,1 с)

О 01 02 03 04 05 06 07 06 09 1

О 01 02 03 ал 05 06 07 09 09 1

1С 1 с

Рисунок 3 - Управляющие воздействия и, и реакции у, (объект второго порядка, у1ад = 100, Д/ = 0,01с)

Из рисунков 2 и 3 видно, что при отсутствии ограничений на управляющие воздействия используемый алгоритм функционирования регулятора обеспечивает перевод объекта управления в заданный режим функционирования, в котором значение его выхода оказывается равным заданному значению, и сохраняет данное значения на последующих тактах управления

Вполне очевидно, что в любой реальной системе управления формирование управляющих воздействий осуществляется с учетом того, что формируемые управляющие воздействия должны быть ограничены как по диапазону их изменения, так и по скорости их изменения Названные ограничения на управляющие воздействия вызваны особенностями объекта управления, конструкцией управляющего устройства и физическими процессами, протекающими в них На рисунках 4-5 приведены результаты экспериментов, полученные при наложении ограничений на управляющие воздействия, формируемые по соотношению (16) На всех графиках по оси абсцисс отложено время /, по оси ординат - номер эксперимента, а значения выхода объекта у в моменты времени I, полученные при соответствующих ограничениях на управляющие воздействия, отложены на оси аппликат

Рисунок 4 - Результаты экспериментов при ограничениях управляющих воздействий по диапазону их изменения (объект первого порядка)

Рисунок 5 - Результаты экспериментов при ограничениях управляющих воздействий по диапазону их изменения (объект второго порядка)

Вид формируемых по выражению (16) управляющих воздействий при наличии ограничений по диапазону их допустимых значений представлен па рисунке 6,

Врвия моделирования ( с

Рисунок 6 — Управляющие воздействия и, (объект второго порядка)

Наряду со скоростью сходимости и помехоустойчивостью важнейшим свойством рекуррентных алгоритмов оценивания параметров линейных и нелинейных моделей объектов управления является их экономичность, характеризующаяся количеством арифметических операций выполняемых над вещественными числами, на одной итерации алгоритма оценивания Сократить количество арифметических операций в алгоритме (3) можно путем применения ортогонализации Грама-Шмидта векторов измеренных значений

В результате применения данной процедуры к строкам матрицы X, и объединения ее с алгоритмом (3) получаем модифицированный многоточечный алгоритм, имеющий следующий вид

ь\

6, =

1=1

л - £ (^<-1 )0'-11 /(К1+

а, =в1-, + йг[е,-(|г|,«,_,)], г = 1,2 ,

(18)

(19)

(20) (21)

где верхний преде! суммирования Ь определяется соотношением [/-1, / = 1,2, ,/-1,

1 =

Здесь

/-1, 1 = 1,1 +1,

- евклидова норма вектора V,, вычисляемая в соответствии с

равенством V, =

, у - параметр регуляризации.

Общий объем вычислений, выполняемых на одном такте оценивания в данном случае характеризуется следующими соотношениями

ЛГе=(2/ + 1)/»,Л,=(3/» + 1)/,ЛГа=1 (22)

Количество арифметических операций выполняемых в соответствии с алгоритмом (3) на одном такте уточнения оценок а,, характеризуется

следующими соотношениями

ЛГг=0,5 (Зл-1) (/ + 1), Ny = 0,5и (3/4-5)/, ЛГ„=/

(23)

Сопоставляя соотношения с (22) и (23), можно видеть, что применение ортонормирования измерений существенно сокращает объем вычислений необходимых для реализации одного такта подстройки параметров идентифицируемой модели в соответствии со сравниваемыми алгоритмами

На рисунке 7 представлен процесс подстройки оценок параметров модели (11) с помощью рассмотренного алгоритма с ортогонализацией измерений при наличии ошибок измерения значений выхода объекта

Рисунок 7 — Процесс подстройки оценок параметров модели (11), значения с выхода объекта измеряются с ошибкой 5% (объект первого порядка, уф 0)

На основании представленных здесь и изложенных в диссертации результатов экспериментальных исследований возможностей адаптивного регулятора, построенного на многоточечных алгоритмах оценивания (3) и (18)-(21) можно сделать следующие выводы

1) Используемые алгоритмы оценивания позволяет подстраивать параметры разностных уравнений, описывающих связи между выходными переменными управляемых объектов и управляющими воздействиями, как вне контура управления, так и при включении его в данный контур При этом их скорость сходимости и помехоустойчивость, как в том, так и в другом случаях существенно зависят от их глубины памяти и значения параметра регуляризации

2) Наличие ограничений на управляющие воздействия по интервалу их изменения приводит к уменьшению перерегулирования, а по скорости изменения - к увеличению времени регулирования

3) Использованный алгоритм формирования управляющих воздействий обеспечивает перевод управляемого объекта в такой режим его дальнейшего функционирования, в котором значение его выхода оказывается равным заданному значению, и сохранение данного значения на последующих тактах управления Отмеченное свойство алгоритма имеет место не только при достаточно точных оценках параметров разностных уравнений, но и в тех случаях, когда данные оценки заметно отличаются от истинных значений оцениваемых параметров Данное обстоятельство избавляет от необходимости проведения предварительной достаточно точной идентификации данных параметров и позволяет начинать управление объектом с их приближенными оценками, которые будут подстраиваться в процессе функционирования системы управления

4) Требует решения задача выбора значения параметра регуляризации в случае, когда присутствуют ошибки измерения значений выхода объекта

5) Полученный алгоритм функционирования адаптивного регулятора вполне пригоден для практической реализации.

Четвертая глава посвящена вопросам применения синтезированных алгоритмов для оценивания параметров математических моделей процессов выплавки чугуна, а также результаты решения задачи сжатия массивов измерений контролируемых переменных доменного процесса Приводятся сведения об использовании результатов диссертационной работы в учебном процессе кафедры информационно-измерительной техники Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники

В заключении содержится краткая сводка основных результатов работы и выводы Отмечены следующие наиболее важные результаты диссертационной работы, представляющие, научную новизну

1) Синтезированы модификации оптимального одноточечного рекуррентного алгоритма оценивания параметров математических моделей линейных объектов, с применением усреднения результатов измерений, основанные на ортогонализации и использования разностей измерений для уточнения параметров моделей Предложенные модификации обладают более высокой скоростью сходимости и лучшей помехоустойчивостью, сохраняя при этом основные свойства оптимального одноточечного алгоритма

2) Разработан алгоритм функционирования адаптивного регулятора основанный на рекуррентном многоточечном алгоритме оценивания параметров математических моделей с применением псевдообратных матриц и его экономичной модификации, основанной на применении процедуры ортогонализации Грама-Шмидта Получены результаты его моделирования при управлении динамическими объектами, описываемыми передаточными функциями первого и второго порядка

3) Результаты диссертационной работы использованы для решения задачи идентификации параметров математических моделей контролируемых переменных доменного процесса

4) Создан и внедрен пакет прикладных программ для исследования рекуррентных алгоритмов оценивания параметров математических моделей объектов

В приложении приведены документы, подтверждающие результаты внедрения предложенных алгоритмов и результаты некоторых экспериментов

Основное содержание диссертации представлено в следующих публикациях:

1 Карелин, А.Е. Синтез и исследование простейших рекуррентных алгоритмов подстройки линейных статических моделей [Текст] / А Е Карелин // «Радиотехнические и информационные системы и устройства» тезисы докладов региональной научно-технической конференции студентов и молодых ученых В двух частях - Томск, Россия1 ТУСУР, 2000 -41 С 118-119

2 Карелин, А.Е. Синтез и исследование рекуррентных алгоритмов идентификации параметров объектов с использованием разностей [Текст] / А Е Карелин // «Радиотехнические устройства, информационные технологии и системы управления» тезисы докладов региональной научно-технической конференции студентов и молодых ученых В двух частях - Томск, Россия ТУСУР, 2001 -4 1 С 172-174

3. Дмитриев, В.М. Анализ переменных доменного процесса выплавки чугуна и синтез алгоритмов обработки измерений [Текст] / В M Дмитриев, А Е Карелин, А А Лазичев, А А Светлаков // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Системы автоматизации, в науке и производстве» /Под ред докт техн наук, проф С M Кулакова, проф J1П Мышляева -Новокузнецк СибГИУ, 2001 С 99-100

4 Карелин, А.Е. Рекуррентное оценивание параметров математических моделей объектов с применением ортогонализации измерений их переменных [Текст] /АЕ Карелин II Материалы докладов межрегиональной научно-технической конференции «Научная сессия ТУСУР» -Томск-ТУСУР, 2002 Ч 2 С 213-215

5 Карелин, А.Е. Рекуррентные алгоритмы оценивания параметров математических моделей управляемых объектов / А Е Карелин // Материалы региональной научно-технической конференции «Научная сессия ТУСУР -2003» Томск ТУСУР, 2003 Ч 3 С 71-72

6 Карелин, А.Е. Рекуррентное оценивание параметров гармонических колебаний [Текст] / А Е Карелин, В JI Савчук, А А Светлаков // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Достижения науки и техники - развитию сибирских регионов» В 3 ч Ч 3 Красноярск ИПЦ КГТУ, 2003 С 177-178

7 Карелин, А.Е. Синтез и некоторые результаты исследований проекционных рекуррентных алгоритмов оценивания параметров линейных моделей статических объектов [Текст] / А Е Карелин, А А Светлаков // Докл Томе гос ун-та систем управления и радиоэлектроники Т 9 Автоматизированные системы обработки информации, управления и

проектирования Сб науч тр - Томск Том гос ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2004 -С 152-164

В Карелин А Е., Светлаков А А Рекуррентный алгоритм оценивания параметров математических моделей объектов с применением ортогонапизации измерений их переменных - M ВНТИЦ, 2004. - №50200400243.

9 Антропов, А.Т, Моделирование регуляторов температуры электролита в гальванических ваннах [Текст] / А Т. Антропов, А Е Карелин, А А Светлаков // Докл Томе гос ун-та систем управления и радиоэлектроники Т 10 - Томск Том гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2004 - С 5-12

10 Карелин, А.Е. Об одном методе адаптивного управления SISO-объектами [Текст] / А Е Карелин, ТА Подкина, А А Светлаков, А.Т. Яровой // Материалы научно-практической конференции «Средства и системы автоматизации» 21-22 октября Томск, 2004 -С 44-46

11 Карелин, А.Е. Некоторые результаты численного моделирования цифрового адаптивного регулятора с подстраиваемой моделью в контуре управления [Текст] / А Е Карелин, А Т Яровой // Труды XI международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии СТТ'2005» 29 марта - 2 апреля 2005 -Томск Изд-во Томского политехи университета, 2005 — Т 2 — С 268-269

12 Карелин, А.Е. Использование ортогонализации Грамма-Шмидта для повышения экономичности многоточечных алгоритмов рекуррентного оценивания параметров моделей объектов управления [Текст] / А Е Карелин, А А Светлаков // Известия Томского политехнического университета - Томск Изд ТПУ, 2006 -т 309,-№8 -С 15-19

\0

Тираж 100 Заказ 490 Томский I осударственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г Томск, пр Ленина, 40

Введение.

Глава 1 Проблема построения математических моделей объектов и задача их идентификации.

1.1 Ведение.

1.2 Постановка задачи параметрической идентификации.

1.3 Алгоритмы параметрической идентификации.

1.3.1 Метод наименьших квадратов (МНК).

1.3.2 Рекуррентные одноточечные алгоритмы.

1.3.3 Многоточечный рекуррентный алгоритм оценивания параметров линейных моделей, основанный на применении псевдообратных матриц.

1.4 Алгоритмы стохастической аппроксимации.

2.2 Алгоритмы с усреднением результатов измерения входных воздействий и значений выхода.35

2.2.1 Первая модификация алгоритма (1.14).35

2.2.2 Вторая модификация алгоритма (1.14).37

2.3 Алгоритмы с использованием разностей и усреднением измерений входных воздействий и значений выхода.38

2.3.1 Третья модификация алгоритма (1.14).39

2.3.2 Четвертая модификация алгоритма (1.14).40

2.3.3 Пятая модификация алгоритма (1.14).40

2.3.4 Шестая модификация алгоритма (1.14).41

2.4 Алгоритм с применением ортогонализации измерений входных воздействий и значений выхода.42

2.5 Методика проведения экспериментов.43

2.5.1 Формирование входных воздействий.44

2.5.2 Формирование ошибок измерения входных и выходной переменных .45

2.5.2.1 Генерация ошибок измерения с равномерным законом распределения .46

2.5.2.2 Генерация ошибок измерения распределенных по нормальному закону распределения.48

2.6 Некоторые результаты экспериментальных исследований синтезированных алгоритмов.49

2.6.1 Результаты исследования алгоритмов при отсутствии ошибок измерений.50

2.6.2 Результаты исследований алгоритмов на помехоустойчивость.62

2.5.3 Применение регуляризации как способа повышения помехоустойчивости рассматриваемых алгоритмов.68

2.6 Выводы.71

Глава 3 Моделирование адаптивного регулятора, использующего в качестве алгоритма идентификации рекуррентный многоточечный алгоритм.73

3.1 Введение.73

3.2 Общая структурная схема адаптивной системы управления с подстраиваемой моделью.74

3.3 Постановка задачи рекуррентной адаптивной подстройки оценок параметров математических моделей линейных динамических объектов.76

3.4 Описание модели адаптивного регулятора и методики проведения экспериментов.81

3.5 Некоторые результаты исследований адаптивного регулятора основанного на алгоритме (1.18) и их анализ.88

3.6 Некоторые результаты исследований адаптивного регулятора, использующего в качестве алгоритма идентификации рекуррентный многоточечный алгоритм с ортогонализацией измерений и их анализ.105

3.7 Заключение.117

Глава 4 Результаты применение исследованных алгоритмов при решении практических задач.119

4.1 Введение.119

4.2 Доменная печь как объект контроля и управления.119

4.3 Автоматический контроль основных параметров доменного процесса.124

4.4 Задача сжатия данных и ее решение.128

4.5 Некоторые результаты применения рекуррентных одноточечных алгоритмов для оценивания параметров математических моделей контролируемых переменных доменного процесса.137

4.5.1 Постановка задачи рекуррентной подстройки параметров математических моделей доменного процесса.138

4.5.2 Некоторые результаты подстройки параметров тригонометрических полиномов описывающих поведение контролируемых переменных доменного процесса.140

4.5.3 Некоторые результаты подстройки параметров алгебраических полиномов описывающих поведение контролируемых переменных доменного процесса.147

4.6 Применение результатов исследований в учебном процессе.150

4.7 Заключение.157

Заключение.158

Список использованных источников.159

Приложения.167

Приложение 1 Проверка законов распределения случайных величин используемых для моделирования ошибок измерения.168

Приложение 2 Некоторые результаты исследования одноточечных алгоритмов при отсутствии ошибок измерений входных и выходной переменных.175

Приложение ЗСпециальные металлургические термины.177

Введение

Актуальность работы. Современный уровень развития техники характеризуется неуклонным повышением разнообразия и сложности управляемых объектов в проектируемых системах управления. Типичной становится ситуация, когда отсутствует точное математическое описание объекта или с течением времени неизвестным образом происходит изменение его параметров в широких пределах. Без знания закономерностей, которым подчиняются управляемые объекты и процессы, невозможно эффективно ими управлять. Поэтому научное направление, называемое в современной теории автоматического управления, идентификацией объектов (процессов) занимает важное место в теории управления.

В наиболее общем случае задача идентификации объекта включает в себя задачу определения структуры объекта идентификации и задачу идентификации параметров объекта по результатам измерений его входных и выходных переменных. Первая из этих задач возникает в случае, когда структура объекта является неизвестной и требует определения. Со второй из названных задач приходится иметь дело тогда, когда структура объекта предполагается известной и, соответственно, требуется идентифицировать только его параметры.

Несмотря на то, что уже предложено значительное число алгоритмов идентификации, базирующихся на самых разнообразных идеях и подходах, задача разработки новых и совершенствования уже имеющихся актуальна и сегодня. Это обусловлено разнообразием как существующих, так и вновь создаваемых объектов управления, для которых применение имеющихся алгоритмов идентификации не дает требуемых результатов. Существующие алгоритмы идентификации не всегда могут обеспечить достаточно высокую скоростью сходимости, необходимую помехоустойчивость и по малому числу измерений подстраивать имеющуюся модель управляемого объекта. Кроме того, совершенствование средств вычислительной техники и расширение их возможностей позволяют реализовывать все боле сложные алгоритмы идентификации, практическое применение которых ранее было невозможно или ограничено.

Целью настоящей работы является создание рекуррентных алгоритмов оценивания параметров математических моделей технологических объектов, реализуемых в реальном масштабе времени, и их применение при разработке адаптивных систем управления.

Теоретические основы выполнения работы. В работе использованы общие методы теории автоматического управления, современная теория идентификации и моделирования, теория вероятностей и математическая статистика, методы линейной алгебры. При проведении исследований предложенных алгоритмов оценивания использовалась система инженерных расчетов МАТЬАВ 6.5 и ее расширение 8ишНпк, предназначенное для имитационного моделирования моделей, состоящих из графических блоков с заданными параметрами, а также пакет прикладных программ, разработанный автором.

Научная новизна работы. 1) Предложены модификации оптимального одноточечного рекуррентного алгоритма оценивания параметров математических моделей линейных объектов, основанные на усреднении результатов измерений, что позволяет повысить их помехоустойчивость.

2) Предложены модификации оптимального одноточечного рекуррентного алгоритма оценивания параметров математических моделей линейных объектов, основанные на ортогонализации и использования разностей измерений для уточнения параметров моделей, что позволяет увеличить скорость сходимости вычисляемых оценок параметров.

3) Разработан алгоритм функционирования адаптивного регулятора, основанный на рекуррентном многоточечном алгоритме оценивания параметров математических моделей с применением псевдообратных матриц и их регуляризации с целью повышения помехоустойчивости.

4) Разработан алгоритм функционирования адаптивного регулятора, основанный на рекуррентном многоточечном алгоритме оценивания параметров математических моделей с ортогонализацией измерений переменных действующих на входе и выходе объекта управления, что обеспечивает сокращение количества арифметических операций за счет существенного упрощения процедуры псевдообращения получаемой матрицы измерений и, как следствие приводит к существенному повышению быстродействия алгоритма оценивания.

Практическая ценность. Разработанные алгоритмы используются в ЗАО «ЭлеСи» при проведении экспериментальных исследований систем управления и опытно-конструкторских работ, а также натурных испытаний разрабатываемых систем управления. Кроме того, данные алгоритмы могут использоваться в системах контроля теплового состояния доменных печей для решения задач сжатия массивов измерений контролируемых переменных и подстройки параметров их математических моделей.

Результаты работы используются в учебном процессе кафедры информационно-измерительной техники в качестве лабораторных работ «Исследование проекционных рекуррентных алгоритмов оценивания параметров моделей линейных статических объектов» и «Исследование многошаговых рекуррентных алгоритмов оценивания параметров линейных моделей, основанных на применении псевдообратных матриц» по курсу «Адаптивные системы управления и автоматизации».

Основные положения, выносимые на защиту.

1) Разработанные одноточечные рекуррентные алгоритмы оценивания параметров математических моделей линейных объектов с усреднением результатов измерений;

2) Разработанные одноточечные рекуррентные алгоритмы оценивания параметров математических моделей линейных объектов, основанные на ортогонализации и использовании разностей измерений для уточнения параметров моделей и обеспечивающие повышение скорости сходимости вычисляемых оценок параметров.

3) Алгоритм функционирования адаптивного регулятора, использующий в качестве алгоритма идентификации рекуррентный многоточечный алгоритм с применением псевдообратных матриц и его экономичную модификацию, основанную на применении процедуры ортогонализации Грама-Шмидта, а также результаты его моделирования.

4) Результаты применения разработанных одноточечных рекуррентных алгоритмов при оценивании параметров математических моделей контролируемых переменных доменного процесса.

Апробация работы. Основные результаты работы отражены в 12 публикациях: 1 статье в журнале, рекомендованном ВАК; 2 статей в сборниках статей, 1 зарегистрированной разработке на правах публикации в информационно-библиотечном фонде РФ, 8 публикациях в сборниках трудов международных, всероссийских и региональных конференций.

Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Четвертой региональной научно-технической конференции студентов и молодых специалистов «Радиотехнические и информационные системы и устройства». - Томск: ТУСУР, 2000; Региональной научно-технической конференции студентов и молодых ученых. «Радиотехнические устройства, информационные технологии и системы управления». - Томск: ТУСУР, 2001; Всероссийской научно-практической конференции «Системы автоматизации, в науке и производстве». - Новокузнецк: СибГИУ, 2001; Межрегиональной научно-технической конференции «Научная сессия ТУСУР». - Томск: ТУСУР, 2002; Региональной научно-технической конференции «Научная сессия ТУСУР -2003». - Томск: ТУСУР, 2003; Всероссийской научно-практической конференции «Достижения науки и техники - развитию сибирских регионов». - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003; Научно-практической конференции «Средства и системы автоматизации». - Томск, 2004; XI международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии СТТ'2005». - Томск: ТПУ, 2005.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений. Основное содержание изложено на 177 страницах. Содержит 107 рисунков, 14 таблиц и 3 приложения. В диссертационной работе принята двухзначная нумерация формул, таблиц и рисунков отдельно в каждой главе: первая цифра указывает номер главы, вторая - порядковый номер в главе.

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему:

1) Синтезированы модификации оптимального одноточечного рекуррентного алгоритма оценивания параметров математических моделей линейных объектов, с применением усреднения результатов измерений, основанные на ортогонализации и использования разностей измерений для уточнения параметров моделей. Предложенные модификации обладают более высокой скоростью сходимости и лучшей помехоустойчивостью, сохраняя при этом основные свойства оптимального одноточечного алгоритма.

2) Разработан алгоритм функционирования адаптивного регулятора основанный на рекуррентном многоточечном алгоритме оценивания параметров математических моделей с применением псевдообратных матриц и его экономичной модификации, основанной на применении процедуры ортогонализации Грамма-Шмидта. Получены результаты его моделирования при управлении динамическими объектами, описываемыми передаточными функциями первого и второго порядка.

3) Результаты диссертационной работы использованы для решения задачи идентификации параметров математических моделей контролируемых переменных доменного процесса.

4) Создан и внедрен пакет прикладных программ для исследования рекуррентных алгоритмов оценивания параметров математических моделей объектов.

Заключение

Диссертационная работа посвящена актуальной в настоящее время теме - созданию рекуррентных алгоритмов оценивания параметров математических моделей технологических объектов, реализуемых в реальном масштабе времени, и их применению при разработке адаптивных систем управления.

1. Эйкхофф, П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния Текст. / П. Эйкхофф; пер. с англ.; под ред. Н.С. Райбмана. М.: Мир, 1975. - 683 с.

2. Цыпкин, Я.З. Основы информационной теории идентификации Текст. / Я.З. Цыпкин. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 320 с.

3. Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя Текст. / Л. Льюнг; пер. с англ.; под ред. Я.З. Цыпкина. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.-432 с.

4. Райбман, Н.С. Построение моделей процессов производства Текст. / Н.С. Райбман, В.М. Чадеев. М.: Изд-во «Энергия», 1975. - 376 с.

5. Эйкхофф, П. Современные методы идентификации систем Текст. / П. Эйкхофф, А. Ванчек, Е. Саваргин, Т. Соэда, Т. Накамизо, X. Акаике, Н. Райбман, В. Петерка; пер. с англ.; под ред. П. Эйкхоффа. М.: Мир, 1983.-400 е., ил.

6. Райбман, Н.С. Адаптивные модели в системах управления Текст. / Н.С. Райбман, В.М. Чадеев. М.: Изд-во "Советское радио", 1966. -160 с.

7. Райбман Н.С. Идентификация объектов управления Текст. / Н.С. Райбман.-М.:, 1967. 160 с.

8. Цыпкин, Я.З. Информационная теория идентификации Текст. / Я.З. Цыпкин. М.: Наука: Физматлит, 1995. - 336 с.

9. Сейдж, Э.П. Идентификация систем управления Текст. / Эндрю П. Сейдж, Джеймс JI. Мелса. М.:Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1974. - 248 е., ил.

10. Сейдж, Э. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении Текст. / Э. Сейдж, Дж. Меле; Пер. с англ. под ред. проф. Б.Р. Левина. М.: «Связь», 1976. - 496 е., ил.

11. Растригин, JI.A. Введение в идентификацию объектов управления Текст. / J1.A. Растригин, Н.Е. Маджаров. М.: «Энергия», 1977. -215 с.

12. Салыга, В.И. Автоматизированные системы управления технологическими процессами Текст.: Идентификация и оптимальное управление / В. И. Салыги. X., "Вища школа", Изд-во при Харьк. Ун-те, 1976.

13. Кондрашин, A.B. Исследование и идентификация управляемых технических систем Текст. / A.B. Кондрашин, В.И. Хорьков. М.: ИспоСервис, 2000. - 220 с.

14. Рубан, А.И. Адаптивное управление с идентификацией Текст. / А.И. Рубан. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1983. - 136 с.

15. Лившиц, К.И. Идентификация Текст.: учебное пособие / К.И. Лившиц. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1981. - 132 с.

16. Моисеенко, С.А. Методы параметрической идентификации систем Текст. / С.А. Моисеенко, В.С.Ляпина; Саратовский государственный технический университет. Саратов: Изд-во Саратовского ГТУ, 2003. - 86 с.

17. Мышляев, Л.П. Алгоритмы идентификации нестационарных объектов Текст.: учебное пособие / Л.П. Мышляев и др. Новокузнецк: СибГИУ, 2000. - 130 с.

18. Бусленко, Н.П. Моделирование сложных систем Текст. / Н.П. Бусленко. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", 1978.-400 е., ил.

19. Советов, Б.Я. Моделирование систем Текст.: учебник для вузов по спец «Автоматизированные системы управления» / Б .Я. Советов, С.А. Яковлев. М.: Высш. шк., 1985. - 271 е., ил.

20. Советов, Б.Я. Моделирование систем Текст.: учеб. для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 е., ил.

21. Чаки, Ф. Современная теория управления. Нелинейные, оптимальные и адаптивные системы Текст. / Ф. Чаки; Пер. с англ. Под ред. Н.С. Райбмана. М.: Мир, 1975. - 422 с.

22. Фельдбаум, A.A. Методы Теории автоматического управления Текст. / A.A. Фельдбаум, А.Г. Бутовский. М.: Наука, 1972. - 607 с.

23. Алберт, А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание Текст. / А. Алберт. М.: Наука, 1977. - 224 с.

24. Невельсон, М.Б. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание Текст. / М.Б. Невельсон, Р.З. Хасьминский. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", 1972. - 304 е., ил.

25. Светла ков, A.A. Обобщенные обратные матрицы: некоторые вопросы теории и применения в задачах автоматизации и управления процессами Текст. / A.A. Светлаков. Томск: Изд-во HTJI, 2003. - 338 с.

26. Зоркальцев, В.И. Метод наименьших квадратов: геометрические свойства, альтернативные подходы, приложения Текст. / В.И. Зоркальцев. -Новосибирск: ВО «Наука». Сиб. изд. фирма, 1995. 220 с.

27. Растригин, JI.A. Современные принципы управления сложными объектами Текст. / JI.A. Растригин М.: Сов.Радио., 1980. - 232 с.

28. Гроп, Д. Методы идентификации систем Текст. / Д.Гроп; Пер. с англ. М.: Мир, 1979. - 302 с.

29. Неймарк, Ю.И. Рекуррентная форма метода наименьших квадратов по определяемым параметрам Текст. / Ю.И. Неймарк, Л.Г. Теклина//Докл. РАН, т. 349, №5, 1996. С. 608-609.

30. Неймарк, Ю.И. Расширенная рекуррентная форма метода наименьших квадратов в применении к задачам распознавания Текст. / Ю.И. Неймарк, Л.Г. Теклина // Сб. Динамика систем. Нижний Новгород. Изд. Нижегородского университета, 1995. С.29-45.

31. Neimark, Yu.I. Recurrent procedures of the least-squares method under restrictions on parameters in coding and recognition problems Текст. / Neimark Yu.I., Teklina L.G. // Pattern recognition and image analysis, v.11, no.l, 2001. Pp.228-230.

32. Светланов, A.A. Некоторые проблемы практической реализации и возможности интеллектуализации многоточечного рекуррентного алгоритма подстройки моделей объектов / A.A. Светлаков // Вычислительные технологии. 2003. Т8, Специальный выпуск. С. 58-73.

33. Панков, А.Р. Методы параметрической идентификации многомерных линейных моделей в условиях априорной неопределенности Текст. / А.Р. Панков, К.В. Семенихин // Автоматика и телемеханика, 2000, №5, С. 76-92.

34. Карелин, А.Е. Рекуррентные алгоритмы оценивания параметров математических моделей управляемых объектов Текст. / А.Е. Карелин // Материалы региональной научно-технической конференции «Научная сессия ТУСУР 2003». Томск: ТУСУР, 2003. Ч. 3. С. 71-72.

35. Карелин А.Е., A.A. Светлаков Рекуррентный алгоритм оценивания параметров математических моделей объектов с применением ортогонализации измерений их переменных. М.:ВНТИЦ, 2004. -№50200400243.

36. Львовский, E.H. Статистические методы построения эмпирических формул Текст.: учеб. пособие / E.H. Львовский. М.: Высш. Школа, 1982.-224 е., ил.

37. Розанов, Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика Текст.: учебник для вузов / Ю.А. Розанов. 2-е изд., доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 320 с.

38. Горский, JI.K. Статистические алгоритмы исследования надежности Текст. / J1.K. Горский. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 400 с.

39. Ермаков, С.М. Статистическое моделирование Текст. / С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов. 2-е изд., дополн. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 296 с.

40. Олссон, Г. Цифровые системы автоматизации и управления Текст. / Г.Олссон, Дж. Пиани; пер. с англ. СПб.: Невский Диалект, 2001. -557 с.

41. Куо, Б. Теория и проектирование цифровых систем управления Текст. / Б. Куо; пер. с англ. М.: Машиностроение, - 1986. - 448 е., ил.

42. Гостев, В.И. Системы управления с цифровыми регуляторами Текст.: справочник / В.И. Гостев. К.: Тэхника, 1990. - 280 с.

43. Солодовников, В.В. Микропроцессорные автоматические системы регулирования. Основы теории и элементы Текст.: учеб. пособие / В.В. Солодовников, В.Г. Коньков, В.А. Суханов, О.В. Шевяков; Под ред. В.В. Солодовникова. М.: Высш. шк., 1991. - 255 с.

44. Александров, А.Г. Оптимальные и адаптивные системы Текст.: учеб. пособие для вузов по спец. «Автоматика и упр. в техн. системах» / А.Г. Александров. М.: Высш. шк., 1989. - 263 е.: ил.

45. Фомин, В.Н. Адаптивное управление динамическими объектами Текст. / В.Н. Фомин, АЛ. Фрадков, В.А. Якубович. М.: Наука, 1981.

46. Карелин, А.Е. Об одном методе адаптивного управления SISO-объектами Текст. / А.Е. Карелин, Т.А. Подкина, A.A. Светлаков, А.Т. Яровой // Материалы научно-практической конференции "Средства и системы автоматизации" 21-22 октября Томск, 2004. С. 44-46.

47. Дьяконов, В.П. MATLAB 6.0/6.1/6.5+SP1 Simulink 4/5. Обработка сигналов и изображений Текст. / В.П. Дьяконов. М.: COJIOH-Пресс, 2005.-592 с.

48. Образовательный математический сайт Exponenta.ru Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.exponenta.ru., свободный. - Загл. с экрана.

49. Дьяконов, В. MATLAB: Анализ, идентификация и моделирование систем: Специальный справочник Текст. / В. Дьяконов, В. Круглов. СПб.: Питер, 2002. - 448 е.: ил.

50. Дэбни, Дж. Б. Simulink® 4. Секреты мастерства Текст. / Дж. Б. Дэбни, Т. JL Харман; пер с англ. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. -403с.: ил.

51. Ильин, В.А. Линейная алгебра Текст. / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. М.: Наука, 1974. - 296с.

52. Воеводин, В.В. Линейная алгебра Текст. / В.В. Воеводин. М.: Наука, 1980.-400с.

53. Карелин, А.Е. Использование ортогонализации Грамма-Шмидта для повышения экономичности многоточечных алгоритмов рекуррентного оценивания параметров моделей объектов управления Текст. / А.Е. Карелин,

54. A.A. Светлаков // Известия Томского политехнического университета. -Томск: Изд. ТПУ, 2006 т. 309, - № 8. - С. 15-19.

55. Каганов, В.Ю. Автоматизация управления металлургическими процессами Текст. / В.Ю. Каганов, О.М. Блинов, A.M. Беленький. М.: Металлургия, 1974. -416 с.

56. Медведев, Р.Б. АСУТП в металлургии Текст. / Р.Б. Медведев и др. М.: Металлургия, 1987. - 256 с.

57. Клемперт, В.М. Контроль и управление газораспределением доменной печи Текст. / В.М. Клемперт и др. М.: Металлургия, 1993. -142 с.

58. Цимбал, В. П. Математическое моделирование металлургических процессов Текст. / В.П. Цимбал. М.: Металлургия. -1986.-204 с.

59. Закс, Л. Статистическое оценивание Текст. / Лотар Закс; пер. с нем. В.Н.Варыгина; под ред. Ю.П.Адлера, В.Г.Горского. М.: Статистика, 1976.-598 с.