автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Рекуррентный алгоритм моделирования многомерных по входу линейных динамических систем с помехами во входных и выходных сигналах

На правах рукописи

Иванов Дмитрий Владимирович

РЕКУРРЕНТНЫЙ АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ПО ВХОДУ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОМЕХАМИ ВО ВХОДНЫХ И ВЫХОДНЫХ СИГНАЛАХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТОЛЬЯТТИ 2011

1 6 ИЮН 2011

4850540

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Самарский государственный университет путей сообщения» . на кафедре «Мехатроника в автоматизированных производствах».

Научный доктор технических наук, профессор

руководитель: Кацюба Олег Алексеевич

Официальные доктор физико-математических наук, профессор оппоненты: Соколов Андрей Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент Цыганова Юлия Владимировна

Ведущая организация: ГОУ ВПО "Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева" (национальный исследовательский университет)

Защита диссертации состоится июня 2011 г. в часов на заседании диссертационного совета Д212.264.03, созданном при ГОУ ВПО «Тольяттинский государственный университет», по адресу: 445667, г. Тольятти, Корпус управления научных исследований, ул. Белорусская, 146.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Самарский государственный университет путей сообщения»

Автореферат разослан << » ¡ЛССиР 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.264.03, к.п.н., доц. Пивнева С.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Первичными в процессе познания всегда являются результаты наблюдений. Создание абстрактной модели обычно связано со «сжатием» информации, содержащейся в результатах наблюдений. Это объясняется тем, что каждый отдельный результат наблюдений является случайным, поэтому построение адекватной модели реального объекта может быть осуществлено только на основе многократных наблюдений. Случайность каждого результата наблюдений объясняется, с одной стороны, принципиальной невозможностью учесть все многообразие факторов, действующих на данный конкретный объект, каким бы простым он ни казался на первый взгляд, и сложными взаимосвязями этих факторов, а с другой стороны — несовершенством естественных или искусственных средств наблюдения.

Задача моделирования формулируется следующим образом: по результатам наблюдений над входными и выходными переменными системы должна быть построена оптимальная в некотором смысле модель, т. е. формализованное представление этой системы.

Построению моделей по результатам наблюдений посвящено необозримое число работ. Большое внимание в этих работах уделяется моделированию линейных динамических объектов, описывающихся разностными уравнениями с неизвестными коэффициентами. Среди разнообразных алгоритмов моделирования, предназначенных для оценивания коэффициентов уравнений по наблюдаемым данным, чаще всего используются рекуррентные алгоритмы, позволяющие осуществить оценивание параметров системы в режиме нормальной работы объекта.

Проблема моделирования динамических систем с помехами во входных и выходных сигналах, несомненно, является более сложной, чем когда зашумленньш является только выходной сигнал. В настоящее время наблюдается активное развитие состоятельных методов моделирования систем с помехами во входных и выходных, при неизвестном распределении помех.

Целью диссертационной работы является разработка новых математических методов построения стохастических параметрических моделей по результатам натурного эксперимента в

условиях априорной неопределенности (отсутствии информации о законе распределения помех) на основе метода стохастической аппроксимации, а также создание и тестирование программного обеспечения для рекуррентного алгоритма оценивания параметров моделей многомерных по входу линейных динамических систем, при наличии помех во входных и выходных сигналах.

В соответствии с поставленной целью работы основными задачами исследований являются:

1. Обзор существующих методов состоятельного параметрического оценивания линейных моделей динамических объектов с помехами во входных и выходных сигналах, анализ их достоинств и недостатков;

2. Доказательство сильной состоятельности оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) со стационарными белошумными помехами во входных и выходных сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм;

3. Доказательство сильной состоятельности оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) с нестационарными автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм;

4. Разработка, обоснование и тестирование численных методов: оптимального выбора значений стягивающего множителя, исследования способов ускорения сходимости;

5. Создание на основе предложенных алгоритмов прикладного программного обеспечения.

Методы исследования. В работе использованы:

• теория вероятностей, в том числе теория оценивания;

• математическая статистика;

• теория оптимизации;

• теория матриц,

• линейная алгебра;

• прикладное программирование.

Достоверность и обоснованность научных положений подтверждается соответствием результатов теоретических исследований, экспериментальным тестам.

Научная новизна. Все основные научные результаты диссертации являются новыми:

1. Доказана сильная состоятельность оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) со стационарными белошумными помехами во входных и выходных сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм;

2. Доказана сильная состоятельность оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) с нестационарными автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм;

3. Разработаны, обоснованы и тестированы численные методы: оптимальный выбор значений стягивающего множителя, способы ускорения сходимости;

4. На основе разработанных алгоритмов получения состоятельных оценок, создано программное обеспечение для нахождения оценок многомерных по входу линейных динамических систем.

Практическая значимость. Практическая ценность заключается в том, что расширен круг задач, при решении которых обосновано применение рекуррентных алгоритмов оценивания. Полученные в диссертации условия состоятельности могут быть использованы при проектировании инженерных приложений. Создано программное обеспечение, реализующее разработанные алгоритмы параметрической идентификации линейных динамических объектов, позволяющее получать сильно состоятельные оценки параметров. Созданное программное обеспечение может послужить основой создания новых высокоэффективных автоматических систем управления технологическими процессами (АСУТП), а также построение моделей в химии, эконометрике, машиностроении, экологии, геофизических исследованиях.

Реализация н внедрение результатов. Результаты разработки и исследования алгоритмов оценивания параметров моделей линейных динамических объектов, описываемых с помощью линейных разностных уравнений, внедрены в учебный процесс Самарской государственной академии путей сообщения на кафедре «Мехатроника в автоматизированных производствах». Использование полученных результатов способствует повышению эффективности учебного процесса.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство сильной состоятельности оценок, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма моделирования многомерной по входу линейной динамической системы (и ее частных случаев) с помехами во входных и выходных сигналах, на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм.

2. Доказательство сильной состоятельности оценок, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма моделирования многомерной по входу линейной динамической системы (и ее частных случаев) с нестационарными автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах, на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм.

3. Численные методы: оптимальный выбор значений стягивающего множителя и исследование способов ускорения сходимости предложенных алгоритмов.

4. Прикладное ПО на основе предложенных алгоритмов.

Апробация работы. Результаты основных положений

диссертации доложены, обсуждены и утверждены на: 1) 15-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, январь, 2008 г.); 2) Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-21)» (г. Саратов, май, 2008 г.); 3) 16-й Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (г. Новороссийск, июнь, 2008 г.); 4) 8-й Международной научно-практической конференции

«Информационно-вычислительные технологии и их приложения» (г. Пенза, июнь, 2008 г. ); 5) 3-й Научно-практической конференции с международным участием «Математичне та [мпашшне моделювання систем. МОДС '2008» (Украина, г. Киев, июнь, 2008г. ); 6) 7-й

Российской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (г. Томск, сентябрь, 2008 г.); 7) 11-й международной конференции «Моделирование, идентификация, синтез систем управления» (Украина, г. Алушта, сентябрь, 2009 г.); 8) 9-й Международной конференции по математическому моделированию (Украина, г. Феодосия, сентябрь, 2008 г.); 9) 9-й Международной научно-практической конференции «Информационно-вычислительные технологии и их приложения» (г. Пенза, ноябрь, 2008 г. ); 10) 5-м Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, ноябрь, 2008 г. ); 11) 16-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, январь, 2009 г.); 12) Международной Сибирской конференции «Siberian Conference on Control and Communications» (г. Томск, март, 2009 г.); 13) 6-й Международной конференции «Математическое моделирование в образовании науке и производстве» (Приднестровье, г. Тирасполь, июнь, 2009 г. ); 14) Международной конференции «Информационные технологии и информационная безопасность в науке, технике и образовании "Инфотех-2009"» (Украина, г.Севастополь, сентябрь, 2009 г.); 15) 12-й международной конференции «Моделирование, идентификация, синтез систем управления» (Украина, г. Алушта, сентябрь, 2009 г.); 16) 6-м Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, ноябрь, 2009 г.); 17) 13-й Международной конференции имени академика М. Кравчука (г. Киев, март, 2010); 18) Международной конференции «Automation,Conrol and Information Technology» (г. Новосибирск, июнь, 2010); 19) II Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование, численные методы и информационные системы» (г. Самара, 14-15 октября, 2010).

Результаты диссертации были использованы в работе «Рекуррентная параметрическая идентификация многомерных линейных динамических систем при наличии помех во входных и выходных сигналах», которая победила в областном конкурсе «Молодой ученый 2010» в номинации «аспирант».

Публикации. Самостоятельно и в соавторстве по материалам диссертации опубликовано 27 печатных работ (в том числе 6 работ в

изданиях, рекомендованных ВАК), получено 2 свидетельства об официальной регистрации программ для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, выводов по главам, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложения. Объем работы: 153 страницы основного машинописного текста, 51 рисунок, 12 таблиц. Библиографический список использованной литературы содержит 112 источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, определены научная новизна и практическая значимость, приведены сведения о публикациях.

В первой главе дан обзор существующих методов моделирования линейных динамических систем с помехами во входных и выходных сигналах. Рассмотрены их достоинства и недостатки. Существующие методы моделирования имеют либо низкую точность получаемых оценок (методы инструментальных переменных), либо требуют информацию о законах распределения и структуре помех и сигналов, методы (метод максимального правдоподобия, метод на основе двумерных ARMA-процессов, методы, использующие высшие статистики).

Проведенный анализ методов показывает, что на сегодняшний день отсутствуют методы, которые совмещали бы высокую точность с малой априорной информацией о помехах и сигналах. Кроме того, отсутствуют работы, в которых бы рассматривались рекуррентные алгоритмы для нестационарных автокоррелированных помех.

На основании анализа методов можно сделать следующие выводы:

1. Возникает задача разработки методов моделирования, которые бы совмещали высокую точность оценивания и малую априорную информацию об объекте при различных параметрах систем, входных сигналов, помех.

2. Подавляющее большинство методов предполагает стационарность и белошумность помех, что далеко не всегда

выполняется для реальных объектов. Поэтому необходимо обобщение на случай нестационарных автокоррелированных помех наблюдений.

Во второй главе описывается рекуррентный алгоритм на основе стохастической аппроксимации, применяемый для нахождения оценок параметров многомерной по входу стохастической модели при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах. На основе метода непрерывных моделей доказывается сильная состоятельность получаемых оценок.

Рассматривается многомерная стационарная устойчивая линейная динамическая система с дискретным временем (/ =.. .,-1,0,1...), описываемая следующим уравнением:

где г,-, >', -ненаблюдаемая и наблюдаемая выходные переменные; х\Г), И'Р-ненаблюдаемая и наблюдаемая переменные в у'-м входном сигнале;

с, (г) - помеха наблюдения в выходном сигнале;

- помехи наблюдения соответственно ву-м входном сигнале.

Предположим, что выполняются следующие условия:

1°. Множество В, которому априорно принадлежат истинные значения параметров устойчивой линейной системы, является компактным.

2°. Помехи {#](0}> {^(.0) статистически независимые последовательности. ¡^О)!, {|(Л(0Ь - стационарные в совокупности в узком смысле последовательности независимых случайных векторов с Е{сх{1)) = 0, Е{^\{)} = 0,

0)

и для некоторых

постоянных н лМ): (г)| < оператор математического ожидания.

3°. [хР,...,^} статистически не зависят от {£,(/)}, (г)} 7 = 4°. Последовательности {.т,^} -стационарные в совокупности в узком смысле с дробно-рациональной плотностью случайные сигналы с £{(дгР)2} > 0. Для некоторого ж^ > 0: < п.н.

5°. Априорно известно отношение дисперсий помех /Л =(СТ(Л)г)а] .

6°. Выполняется условие несократимости полиномов В(д~1) и

т=1 т=О

Требуется рекуррентно определять оценки неизвестных коэффициентов модели динамической системы описываемой уравнением (1) по наблюдаемым последовательностям у^п'УК

Сильно состоятельные оценки могут быть получены при следующем критерии:

Нт Е

У—> со

тт -

ъ ~

еВ

( 6 т Л

У1 - -

а

V У

а(Ь, а)

(2)

Откуда, рекуррентные оценки могут быть получены с помощью стохастически градиентного алгоритма (3) минимизации (2):

/■ т \2

¿(¿ + 1). . ¿(0

¿м "а®

Ум

Щ

<Рм

аЩОЛ О,)

(3)

где (р=|(ГГ (0)г | (К, (0/ | • • ■ | (К,(0)г| - вектор (г + г, +... + + <*) * 1, Уг(}) = \У1-и-У1-г\Т- вектор гх 1,

К.(0 =

вектор + 1)х 1,

Ъ =|б(1),...,6(г)|Г -вектор гх 1,

\ | .....

■ вектор (г, +... + гл + 1,

а(Ъ,а)-\ + Ь Ь + у

(О

№

<'>+...+/''И)7,

а1 последовательность для которой выполняются условия:

СО 00

7°.^ а, =х, а, >ам и <оо при />1. 1=0 /=0 Теорема 1. Пусть динамическая система описывается уравнениями (1) и выполняются условия 1°-7°, тогда оценки,

Ь{1)

определяемые алгоритмом (3) либо

Щ

пл., либо

-»00.

Ц 0_

щ

Доказательство состоятельности оценок, получаемых с помощью алгоритма (3) осуществлено на основе метода непрерывных детерминированных моделей. Применение метода непрерывных моделей разбивается на 2 этапа:

1. Построение непрерывной модели;

2. Исследование непрерывной модели на наличие стационарных точек.

Для применения метода непрерывных моделей необходимо показать, что процесс описываемый уравнениями (1) марковский. В данном случае асимптотическая непрерывная детерминированная модель имеет вид:

(ъ ' (ъ Л

__ __

У") а

(4)

'Ъ Л

а V у

= <т,2 +

Лг

а0

Я (0)

цу '

К

а>(Ъ, а)

л

,<о, =11т£[(г,(0 ! ;...! х,. (оЖ(0 ! *„(/) | - I хи(/))]>о.

Пусть функция Ляпунова равна

га

= У

Доказано, что модель (4) сходится к стационарным точкам:

'ь

так как J

В. =

е= Я •V

= 0, ё

регулярный пучок квадратичных форм можно

ъ ь ъ.

-- е ^г+^+.-.+г^+с! • — =

а а ао

показать, что В, =

состоит из одной единственной точки

т.е. множество В,

,°0

В третьей главе дается обобщение рекуррентного алгоритма на случай нестационарных автокоррелированных помех. Доказывается сильная состоятельность оценок.

Пусть динамическая система описывается уравнениями (1) и выполняются условия 1°, 3°, 4°, 6°, 7°, кроме того на помехи наложены следующие ограничения:

8°. Помехи ЙСОЬ {£(Л(0} статистически не зависят между собой сЕ{£(г)/Г, } = 0, Е{еи}(1)/= 0, Е{^{1)!Г1 }<РГ<оо, Е{(£(Л0))2 /Г/Л} = 1Г(Л <°о, где Е/Л,Е, -сг-алгебры,

индуцированные семействами случайных величин е^-} и

{<^,(7),/ е 7;}, 7] = < е Ъс\ Zc - множество целых чисел , Щ(Л,Щ - случайные величины Ф', > С

] = , где Е - оператор математического ожидания.

9° Пусть выполняются следующие условия:

N

X 6 (»+т) ~^ <00 п-н-'

—-»/¡^ (от) < оо п.н.

Л->00 £2

Введем следующие обозначения:

=|б (/),...,£ (/-г) | | ... |

- вектор (г + г, +... + гл + с! +1) х 1, матрица

лг'УЕ Нг

г,Г, ~Г,Г,

\—г</ Л'—>СО

1=1

----_ _

91,2

К. ! н?1

п.н.,

положительно определенная,

где \г =|Ай(1),...,А, (г) | 0 +...+г +Л,|7'-вектор (г + + ^ + Л)х1,

Н£ =

! °(г+1Мп+1) ] ■ • ¡_°(г+1Мг,+1)

я(1> | . 1 . • °М><М)

: 1 . II : 1 • 1 1

0ЫМ'+1) 1 ! <2

-матрица

(г + /•[+... + га + (1) х (г + /•,+... + гй + (I), Я,- = : : -матрица г у. г,

Н(Р =

Ь(0) . ■ ^(г-1)

/£>(0) . -

-матрица г.. +1 х г.• +1.

10°. ]Га/£(Л(0<°°. п.н.

;=1 1=1

Теорема 2. Пусть динамическая система описывается уравнениями (1) и выполняются предположения 1°, 3°, 4°, 6°, 7° и 8° -10°, тогда оценки, определяемые алгоритмом (3), где

со{Ъ,а) = Йй (0) + ЪТН(1 Ь + (а(|))Г+... + (а">)Т-)Ъ

либо

Ь (0|

щ

п.н., либо

Ъ (О

г СО"

->оо.

Доказательство: основная трудность доказательства связана с немарковостью процесса, описываемого уравнениями (1), при ограничениях на помеху 8°-10°. Показано, что выполняется следующее условие:

НтШпБир

Г->0

Ъ{ О

Ж

А№и)(})

= о,

(5)

где для Т > О, к{п,Т) = тах| /г.^а,<Г I,

(г - \ Ъ{ О

Ж.

\\

.V ул«)^««-,

=& (о - £ ¿(га) (05, о- -«) ■- 1а ™ -

т=\ у=1 т=0

и тогда метод непрерывных моделей может быть применен.

Далее доказательство проводится аналогично случаю с белошумными стационарными помехами.

В четвертой главе представлены численные методики определения состоятельных оценок параметров на основании предложенных алгоритмов. Точность получаемых оценок на конечной выборке, а также асимптотическая скорость сходимости зависит от выбора стягивающего множителя а,. Выбор скалярного коэффициента может быть осуществлен для сильно выпуклых функций. Однако предложенные алгоритмы минимизируют невыпуклую функцию, поэтому выбор стягивающего множителя затруднителен. В работе показано, что целесообразно перейти от

задачи безусловной минимизации функции ./

к задаче условной

минимизации, представляя функцию3

в виде квадратичной

функции и ограничения в виде равенства. Для решения задачи условной оптимизации используется метод проекции градиента. Для увеличения скорости сходимости предложено использовать

стохастическую аппроксимацию с усреднением. Численные эксперименты подтвердили эффективность предложенного подхода.

Также рассматривается применение алгоритмов при неизвестном отношении дисперсий помех во входных и выходном сигнале.

В пятой главе приводятся результаты тестирования алгоритмов для различных моделей, на основе созданного программного обеспечения. В качестве средства описания алгоритма ее тестирования и отображения результатов расчетов, использовался входной язык, средства программирования, средства графической визуализации математической системы Matlab версии 6.5.

В главе проводится сравнение разработанных модификаций алгоритма (3) с рекуррентным методом наименьших квадратов (RLS), рекуррентным методом расширенных инструментальных переменных (REIV), рекуррентным методом расширенных компенсирующих наименьших квадратов (RECLS). На рисунке 1 представлены графики погрешности оценок параметров, определяемые по формуле:

м t и Л 1—1 7 fu Л 1 —

(т) ао \ V / ао V V

Рис. 1. Графики относительных погрешностей определения параметров на г'-м шаге при сг, = 0.7, а и>/ах = 0.2 , уи) «0.016

Результаты тестирования показали, что наилучшие результаты дает модификация алгоритма (3) на основе метода проекции градиента с усреднением (МПГ с усреднением).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В рамках проведенных исследований получены следующие основные результаты:

1. Дан обзор существующих рекуррентных алгоритмов оценивания параметров моделей линейных динамических систем с помехами во входных и выходных сигналах. Приведены их достоинства и недостатки.

2. Доказана сильная состоятельность оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) со стационарными белошумными помехами во входных и выходных сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм.

3. Доказана сильная состоятельность оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) с нестационарными автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм.

4. Для предложенных алгоритмов: выбрано оптимальное значение стягивающего множителя, рассмотрены способы ускорения сходимости.

5. На основании предложенных методов создано программное обеспечение, численные тесты показали эффективность предложенных методов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Иванов Д.В. Идентификация параметров многомерных по входу линейных динамических систем с помехами во входных и выходном сигнале методом стохастической аппроксимации / О. А. Кацюба, Д. В.

Иванов//Системы управления и информационные технологии. 2009. № 4(38). С. 15-19.

2. Иванов Д.В. Рекуррентная идентификация линейных динамических систем с автокоррелированной помехой в выходном сигнале / Д.В. Иванов, Е.В. Козлов II Вестник Самарского университета управления. 2010. №2 (13). С.93-99.

3. Иванов Д.В. Рекуррентная параметрическая идентификация многомерных линейных динамических систем на основе метода нелинейных наименьших квадратов / Д.В. Иванов, O.A. Кацюба II Вестник Самарского государственного технического университета, серия "Технические науки". Самара, СамГТУ. 2010. №4(27). С.78-86.

4. Иванов Д.В. Численный алгоритм оценивания параметров многосвязных динамических систем при наличии помех во входных и выходных сигналах / Е.В. Козлов, Д.В. Иванов И Вестник транспорта Поволжья. Самара, СамГУПС, 2010. № 3(23). С.10-17.

5. Иванов Д.В. Рекуррентное оценивание параметров нелинейных динамических объектов класса Гаммерштейна с помехой на выходе / A.B. Авсиевич, Д.В. Иванов II Информационные системы и технологии. Орел, ОрелГТУ. 2010. № 5(61). С.43-50.

6. Иванов Д.В. Сильно состоятельное оценивание параметров линейной динамической системы с автокоррелированной помехой в выходном сигнале / Д.В. Иванов И Вестник транспорта Поволжья. Самара, СамГУПС, 2011. № 1(25). С. 87-92.

Публикации в других изданиях

1. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2009610299. Программа рекуррентного оценивания параметров авторегрессии при наличии помех наблюдения в выходном сигнале. / Д.В. Иванов', заявитель и правообладатель - Самарский государственный университет путей сообщения; заявл. 11.11.2008; зарег. 11.01.2009 г.

2. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2009610300. Программа рекуррентного оценивания параметров многомерных линейных динамических систем с помехами во входных и выходных сигналах. / Д.В. Иванов; заявитель и правообладатель -Самарский государственный университет путей сообщения; заявл. 11.11.2008; зарег. 11.01.2009г.

3. Иванов Д.В. О состоятельности оценок параметров многомерных по входу линейных динамических систем при наличии помех во входных и выходных сигналах методом стохастической аппроксимации / O.A. Кацюба, Д. В. Иванов // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 2(31). - Херсон : ХНТУ, 2008. С.221-224.

4. Иванов Д.В. Рекуррентный алгоритм параметрической идентификации многомерных по входу и выходу линейных динамических систем при наличии помех во входных и выходных сигналах / O.A. Кацюба, Д. В. Иванов //Математика. Компьютер. Образование. Тезисы. Вып. 15. / под ред. Г.Ю. Ризниченко. М.-Ижевск : РХД, 2008. С.80.

5. Иванов Д.В. Рекуррентный алгоритм идентификации линейных динамических систем с ошибками по входу и выходу / O.A. Кацюба, Д. В. Иванов // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-21: сб. трудов XXI Международ, науч.конф. в 10 т. Т.2. Секции 2,6 / под общ. ред. B.C. Балакирева. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2008. С. 152-154.

6. Иванов Д.В. Рекуррентное оценивание параметров разностных линейных стохастических уравнений методом стохастической аппроксимации / O.A. Кацюба, Д. В. Иванов // XVI Международная конференция "Математика. Экономика. Образование ". V международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тезисы докладов . Ростов н/Д : Из-во "ЦВВР", 2008. С. 127.

7. Иванов Д.В. Рекуррентный сходящийся алгоритм оценки параметров многомерной по входу линейной динамической системы с помехой наблюдения в выходном сигнале / O.A. Кацюба, Д. В. Иванов // Информационно-вычислительные технологии и их приложения: сборник статей VIII Международной научно-технической конференции. - Пенза: РИО ПГСХА, 2008. С. 192-196.

8. Иванов Д.В. Рекуррентная параметрическая идентификация линейных динамических систем в условиях априорной неопределенности / O.A. Кацюба, Д. В. Иванов //Моделирование, идентификация, синтез систем управления. // Сборник тезисов одиннадцатой Международной научно-технической конференции. 14-21 сентября 2008. Донецк: Изд. Института прикладной математики и механики HAH Украины, 2008. С.25-26.

9. Иванов Д.В. Рекуррентное оценивание параметров авторегрессии при наличии помехи в выходном сигнале / O.A. Кацюба, Д. В. Иванов // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: Тезисы докладов Седьмой Российской конференции с международным участием. - Томск: Изд-во НТЛ, 2008. С.97

10. Иванов Д.В. Рекуррентное оценивание параметров многомерных по входу линейных динамических систем при наличии помех наблюдения в выходном сигнале / O.A. Кацюба, Д. В. Иванов // Третя наукова-практична

конференщя з международною участю "Математичне та ¡мпацнине моделювання систол». МОДС '2008". Тези доповщей. - Кшв. - 2008. 23-27 червня 2008 р. С.232-234.

11. Иванов Д.В. Оценивание параметров авторегрсссии при наличии помех в выходном сигнале методом стохастической аппроксимации / O.A. Кацюба, Д. В. Иванов// Информационно-вычислительные технологии и их приложения : сборник статей IX Международной научно-технической конференции. - Пенза : РИО ПГСХА, 2008. С. 115-117.

12. Иванов Д.В. Идентификация параметров многомерных по входу линейных динамических систем с помехами во входных и выходном сигналах методом стохастической аппроксимации / O.A. Кацюба, Д. В. Иванов // Физико-математическое моделирование систем: материалы V Междунар. Семинара. Воронеж : ГОУВПО "Воронежский государственный технический университет", 2008 4.2. С.96-100.

13. Иванов Д.В. Программа для рекуррентной идентификации динамических систем при наличии помех во входных и выходных сигналах. /Д.В. Иванов //Математика. Компьютер. Образование. Тезисы. Вып. 16, Часть 1. Под ред. Г.Ю. Ризниченко. М.-Ижевск: РХД, 2009. С. 115.

14. Ivanov D. V. Recurrent identification of autoregression in the presence of observation noises in output signal / D. V. Ivanov, O.A. Katsyuba // International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON- 2009). Proceedings. - Tomsk: Tomsk IEEE Chapter & Student Branch. Russia, Tomsk, March 27-28, 2009. P. 79-82.

15. Иванов Д.В. Методы рекуррентной параметрической идентификации динамических систем с ошибками в переменных / Д.В. Иванов 1/ Математическое моделирование в образовании науке и производстве, тезисы VI Международной конференции г. Тирасполь -Издательство Приднестровского Университета Тирасполь, 2009. С.38.

16. Иванов Д.В. Алгоритм рекуррентного оценивания параметров линейных динамических систем с ошибками в переменных / O.A. Кацюба, Д.В. Иванов // Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии и информационная безопасность в науке технике и образовании "ИНФОТЕХ-2009"», 7-12 сент. 2009 г. [Текст]:[материалы] / редкол.: A.B. Скатков [и др.] — Севастополь: Изд-во СЕВНТУ, 2009. 468 с.

17. Иванов Д.В. Рекуррентная идентификация линейных динамических систем с ошибками в переменных / Д.В. Иванов // Моделирование, идентификация и синтез систем управления //Сборник тезисов двенадцатой Международной научно-технической конференции. 16-23 сентября 2009. Донецк: Изд. Института прикладной математики и механики HAH Украины, 2009. С.40-41.

18. Иванов Д.В. Численная реализация алгоритма идентификации .параметров линейных динамических систем с ошибками в переменных методом стохастической аппроксимации// Физико-математическое моделирование систем: материалы VI Междунар. Семинара. Воронеж: ГОУВПО "Воронежский государственный технический университет", 2010 Ч.З. С.135-140.

19. Иванов Д.В. Рекуррентная идентификация линейных динамических систем с автокоррелированными ошибками в переменных / Д.В. Иванов И Тринаддята м1жнародна наукова конференщя iMeni академжа М. Кравчука, 13-15 трав., 2010 р., Кшв: Матер1али конф. Т. 3. — Khïb: НТУУ «КП1», 2010. С. 53.

20. Ivanov D.V. Recursive identification dynamic systems with errors-in-variables using nonlinear least-square/ D. V. Ivanov, O.A. Katsyuba // Proceedings of the IAS TED International Conferences on Automation,Conrol and Information Technology, Novosibirsk, Russia, June 15-18, 2010. C. 267-271.

21. Иванов Д.В. Рекуррентная идентификация линейных динамических систем с автокоррелированны ми помехами во входных и выходных сигналах / Д.В. Иванов II Математическое моделирование, численные методы и информационные системы: сб. статей II Всероссийской научно практической конференции с международным участием. Самара, 14—15 октября 2010 г. / под ред. д.т.н., д.э.н., профессора Семёнычева В.К. Самара: Изд-во "Самарский муниципальный институт ут гравления", 2010. С. 113-117.

Иванов Дмитрий Владимирович

Рекуррентный алгоритм моделирования многомерных по входу линейных динамических систем с помехами во входных и выходном сигналах

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Подписано в печать 16.05.2011. Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 127. Отпечатано в Самарском государственном университете путей сообщения. 443022, Самара, Заводское шоссе, 18. Тел.(846)999-01-56.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР МЕТОДОВ РЕКУРРЕНТНЫХ АЛГОРИТМОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОМЕХАМИ ВО ВХОДНЫХ И ВЫХОДНЫХ СИГНАЛАХ.

1.1. Постановка задачи моделирования динамических систем с помехами во входных и выходных и выходных сигналах.

1.2. Классификация методов моделирования динамических систем с помехами во входных и выходных сигналах.

1.3. Методы инструментальных переменных.

1.3.1. Выбор инструментальных переменных.

1.4. Компенсирующие смещение методы наименьших квадратов.

1.4.1. Компенсирующий смещение МНК.

1.4.2. Устраняющий смещение МНК.

1.4.3.; Компенсирующий смещение МНК с предфильтрацией.

1.4.4. Расширенный компенсирующий МНК.

1.5. Схема Фриша.,.

1.6. Комбинированные методы. .6.1. Компенсирующие смещение инструментальные переменные.

1.6.2. Инструментальные переменные комбинированные с методом Стейглица-Мак-Брайда.

1.7. Обобщенные наименьшие квадраты.

1.8. Нелинейный метод наименьших квадратов.

1.9. Представление динамической системы двумерным ARMA-процессом.

1.10. Методы ошибки предсказания и максимального правдоподобия.

1.11. Частотные методы.

1.12. Методы на основе высших статистик.

1.12.1. Методы, основанные на минимизации критериев, использующих кумулянты.

1.12.2. Инструментальные переменные, использующие кумулянты третьего порядка.

1.12.3. Инструментальные переменные, использующие кумулянты четвертого порядка.

1.12.4. Методы наименьших квадратов использующие кумулянты.

1.13 Оценивание параметров моделей динамических систем при почти произвольных помехах.

Выводы по главе 1 .•.

2. РЕКУРРЕНТНЫЙ АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ СО СТАЦИОНАРНЫМИ БЕЛОШУМНЫМИ ПОМЕХАМИ НАБЛЮДЕНИЙ.

2.1. Рекуррентный алгоритм моделирования авторегрессии.

2.2. Рекуррентный алгоритм моделирования линейных динамических систем при наличии помехи в выходном сигнале.

2.3. Рекуррентный алгоритм моделирования линейных динамических систем при наличии помех во входных и выходном сигнал.

2.4. Оценивание параметров динамической системы при неизвестном отношении дисперсий помех.

Выводы по главе 2.

3. РЕКУРРЕНТНЫЙ АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НЕСТАЦИОНАРНЫМИ АВТОКОРРЕЛИРОВАННЫМИ ПОМЕХАМИ НАБЛЮДЕНИЙ.

3.1. Рекуррентный алгоритм моделирования авторегрессии при наличии автокоррелированной помехи в выходном сигнале.

3.2. Рекуррентный алгоритм моделирования линейных динамических систем при наличии автокоррелированной помехи в выходном сигнале.

3.3. Рекуррентный алгоритм моделирования линейных динамических систем при наличии автокоррелированных помех во входных и выходном сигнале.'.

Выводы по главе

4. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕКУРРЕНТНЫХ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ

4.1. Использование метода проекции для оценивания параметров.

4.2. Выбор стягивающего множителя.

4.2.1. Оценка минимального собственного числа.

4.2.2. Оценка дисперсии обобщенной ошибки.

4.3. Использование стохастической аппроксимации с усреднением.

4.5. Использование методов переменной метрики.•.

4.4. Оценивание дисперсий шумов.

Выводы по главе 4.

5. ТЕСТИРОВАНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ АЛГОРИТМОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ

5.1. Тестирование алгоритма моделирования авторегрессии с помехой в выходном сигнале.

5.1.1. Исследование сходимости алгоритмов при различном отношении "помеха-сигнал".

5.1.2. Исследование сходимости алгоритмов при различных начальных условиях.

5.2. Тестирование алгоритма моделирования многомерной по входу линейной динамической системы с помехой в выходном сигнале.

5.2.1. Исследование сходимости алгоритмов при различном отношении ''помеха-сигнал".

5.2.2. Исследование сходимости алгоритмов при различных начальных условиях.

5.3. Тестирование алгоритма моделирования многомерной по входу линейной динамической системы с помехами в входных и выходном сигналах.

5.3.1. Исследование сходимости алгоритмов при различном отношении "помеха-сигнал".

5.3.2. Исследование сходимости алгоритмов при различных начальных условиях.

5.4. Сравнение с другими методами.

5.5. Тестирование алгоритма моделирования авторегрессии с автокоррелированной помехой в выходном сигнале.

5.6. Тестирование алгоритма моделирования многомерной по входу линейной динамической системы с автокоррелированной помехой в выходном сигналах.

5.7. Тестирование алгоритма моделирования многомерной по входу линейной динамической системы с автокоррелированными помехами в входных и выходном сигналах.

Выводы по главе 5.

Актуальность работы. Первичными в процессе познания всегда являются результаты наблюдений. Создание абстрактной модели обычно связано со «сжатием» информации, содержащейся в результатах наблюдений. Это объясняется тем, что каждый отдельный результат наблюдений является случайным, поэтому построение адекватной модели реального объекта может быть осуществлено только на основе многократных наблюдений. Случайность каждого результата наблюдений объясняется, с одной стороны, принципиальной невозможностью учесть все многообразие факторов, действующих на данный конкретный объект, каким бы простым он ни казался на первый взгляд, и сложными взаимосвязями этих факторов, а с другой стороны, несовершенством естественных или искусственных средств наблюдения [50].

Задача моделирования формулируется следующим образом: по результатам наблюдений над входными и выходными переменными системы должна быть построена оптимальная в некотором смысле модель, т. е. формализованное представление этой системы.

Построению моделей по результатам наблюдений посвящено необозримое число работ. Большое внимание в этих работах уделяется моделированию линейных динамических объектов, описывающихся разностными уравнениями с неизвестными коэффициентами. Среди разнообразных алгоритмов моделирования, предназначенных для оценивания коэффициентов уравнений по наблюдаемым данным, чаще всего используются рекуррентные алгоритмы, позволяющие осуществить оценивание параметров системы в режиме нормальной работы объекта [46].

Проблема моделирования динамических систем с помехами во входных и выходных сигналах, несомненно, является более сложной, чем когда зашумленным является только выходной сигнал. В настоящее время наблюдается активное развитие состоятельных методов моделирования систем с помехами во входных и выходных сигналах, при неизвестном распределении помех.

Целью диссертационной работы является разработка новых математических методов построения стохастических параметрических моделей по результатам натурного эксперимента в условиях априорной неопределенности (отсутствии информации о законе распределения помех) на основе метода стохастической аппроксимации, а также создание и тестирование программного обеспечения для рекуррентного алгоритма оценивания параметров моделей многомерных по входу линейных динамических систем, при наличии помех во входных и выходных сигналах.

В соответствии с поставленной целью работы основными задачами исследований являются:

1. Обзор существующих методов состоятельного параметрического оценивания линейных моделей динамических объектов с помехами во входных и выходных сигналах, анализ их достоинств и недостатков;

2. Доказательство сильной состоятельности оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) со стационарными белошумными помехами во входных и выходных сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм;

3. Доказательство сильной состоятельности оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) с нестационарными автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм;

4. Разработка, обоснование и тестирование численных методов: оптимального выбора значений стягивающего множителя, исследования способов ускорения сходимости;

5. Создание на основе предложенных алгоритмов прикладного программного обеспечения.

Методы исследования. В работе использованы: теория вероятностей, в том числе теория оценивания, математическая статистика, теория оптимизации, теория матриц, линейная алгебра, прикладное программирование.

Достоверность и обоснованность научных положений подтверждается соответствием результатов теоретических исследований, экспериментальным тестам.

Научная новизна. Все основные научные результаты диссертации являются новыми:

1. Доказана сильная состоятельность оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) со стационарными белошумными помехами во входных и выходных сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм;

2. Доказана сильная состоятельность оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) с нестационарными автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм;

3. Разработаны, обоснованы и тестированы численные методы: оптимальный выбор значений стягивающего множителя, способы ускорения сходимости;

4. На основе разработанных алгоритмов получения состоятельных оценок,, создано программное обеспечение для нахождения оценок многомерных по входу линейных динамических систем.

Реализация и внедрение результатов. Результаты разработки и исследования алгоритмов параметрической идентификации линейных динамических объектов, описываемых с помощью линейных разностных уравнений, внедрены в учебный процесс Самарской государственной академии путей сообщения на кафедре «Мехатроника в автоматизированных производствах». Использование полученных результатов способствует повышению эффективности учебного процесса.

Практическая значимость. Практическая ценность заключается в том, что расширен круг задач, при решении которых обосновано применение рекуррентных алгоритмов оценивания. Полученные в диссертации условия состоятельности могут быть использованы при проектировании инженерных приложений. Создано программное обеспечение, реализующее разработанные алгоритмы параметрической идентификации линейных динамических объектов, позволяющее получать сильно состоятельные оценки параметров. Созданное программное обеспечение может послужить основой создания новых высокоэффективных автоматических систем управления технологическими процессами (АСУТП), а также построение моделей в химии, эконометрике, машиностроении, экологии, геофизических исследованиях.

Основные результаты и научные положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство сильной состоятельности оценок, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма моделирования многомерной по входу линейной динамической системы (и ее частных случаев) с помехами во входных и выходных сигналах, на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм.

2. Доказательство сильной состоятельности оценок, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма моделирования многомерной по входу линейной динамической системы (и ее частных случаев) с нестационарными автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах, на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм.

3. Численные методы: оптимальный выбор значений стягивающего множителя и .исследование способов ускорения сходимости предложенных алгоритмов.

4. Прикладное ПО на основе предложенных алгоритмов.

Апробация работы. Результаты основных положений диссертации доложены, обсуждены и утверждены на: 1) 15-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, январь, 2008 г.); 2) Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-21)» (г. Саратов, май, 2008 г.); 3) 16-й Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (г. Новороссийск, июнь, 2008 г.); 4) 8-й Международной научно-практической конференции «Информационно-вычислительные технологии и их приложения» (г. Пенза, июнь, 2008 г. ) 5) 3-й Научно-практической конференции с международным участием «Математичне та ■ ¡м!тацийне моделювання систем. МОДС '2008» (Украина, г. Киев, июнь, 2008г. ). 6) 7-й Российской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (г.Томск, сентябрь, 2008 г.) 7) 11-й международной конференции «Моделирование, идентификация, синтез систем управления» (Украина, г. Алушта, сентябрь, 2009 г.) 8) 9-й Международной конференции по математическому моделированию (Украина, г. Феодосия, сентябрь, 2008 г.) 9) 9-й Международной научно-практической конференции «Информационно-вычислительные технологии и их приложения» (г. Пенза, ноябрь, 2008 г. ) 10) 5-м Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, ноябрь, 2008 г. ). 11) 16-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, январь, 2009 г.); 12) Международной Сибирской конференции «Siberian Conference on Control and Communications» (г. Томск, март, 2009 г.); 13) 6-й Международной конференции «Математическое моделирование в образовании науке и производстве» (Приднестровье, г.Тирасполь, июнь, 2009 г. ) 14) Международной конференции «Информационные технологии и информационная безопасность в науке, технике и образовании "Инфотех-2009"» (Украина, г.Севастополь, сентябрь, 2009 г.) 15) 12-й международной конференции «Моделирование, идентификация, синтез систем управления» (Украина, г. Алушта, сентябрь, 2009 г.) 16) 6-м Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, ноябрь, 2009 г.). 17) 13-й Международной конференции имени академика М. Кравчука (г. Киев, март, 2010). 18) Международной конференции "Automation,Conrol and Information Technology" (г. Новосибирск, июнь, 2010). 19) II Всероссийской конференции с международным участием "Математическое моделирование, численные методы и информационные системы" (г. Самара, 14-15 октября, 2010).

Публикации по работе. Самостоятельно и в соавторстве по материалам диссертации опубликовано 27 печатных работ (в том числе 6 работ в изданиях, рекомендованных ВАК), получено 2 свидетельства об официальной регистрации программ для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, выводов по главам, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложения. Объем работы: 153 страницы основного машинописного текста, 51 рисунок, 12 таблиц. Библиографический список использованной литературы содержит 112 источников.

Выводы по главе 5

1. Исследованы различные модификации рекуррентных алгоритмов оценивания параметров моделей линейных динамических систем на основе дробного нелинейного метода наименьших квадратов. Наибольшую эффективность показал метод проекции градиента с усреднением.

2. Проведена сравнительная характеристика разработанных алгоритмов с методом наименьших квадратов, методом инструментальных переменных и компенсирующим смещение методом наименьших квадратов. Численные эксперименты показали, что разработанные алгоритмы имеют большую точность, по сравнению с известными методами.

3. Протестированы рекуррентные алгоритмы оценивания параметров моделей динамических систем для случая нестационарных автокоррелированных помех, тесты подтвердили, что при наличии оценок нескольких значений функций автоковариаций помех, могут быть получены оценки с высокой точностью.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках проведенных исследований получены следующие основные результаты:

1. Дан обзор существующих рекуррентных алгоритмов оценивания параметров моделей линейных динамических систем с помехами во входных и выходных сигналах. Приведены их достоинства и недостатки.

2. Доказана сильная состоятельность оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) со стационарными белошумными помехами во входных и выходных сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм.

3. Доказана сильная состоятельность оценок параметров многомерной по входу модели линейной динамической системы (и ее частных случаев) с нестационарными автокоррелированными помехами во входных и выходных-сигналах, получаемых с помощью рекуррентного алгоритма оценивания на основе минимизации отношения двух положительно-определенных квадратичных форм.

4. Для предложенных алгоритмов: выбрано оптимальное значение стягивающего множителя, рассмотрены способы ускорения сходимости.

5. На основании предложенных методов создано программное обеспечение, численные тесты показали эффективность предложенных методов.

1. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.:Наука, 1989. - 376с.

2. Бейко И. В., Бублик Б. //., Зинько П. Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации.— К.: Вища школа. Головное изд-во, 1983.— 512 с.

3. Волныкин А.Н., Кацюба O.A. Идентификация многомерных по входу стационарных линейных динамических систем. // Известия Самарского научного центра Российской академии наук 2006-№4 -с.1026-1033.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.:Наука, 1996. - 575 с.

5. Граничин О.Н., Поляк Б.Т. Рандомизированные алгоритмыоптимизации и оценивания при почти произвольных помехах. -М.:Наука, 2003 -291 с.

6. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: Пер. с англ. -М.: Мир, 1985.- 509с. ил.

7. Голуб Дж\, Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. — М.: Мир, 1999. — 548 с, ил. — ISBN 5-03-002406-9

8. Деревицкий Д.П., Фрадков A.JI. Прикладная теория дискретных адаптивных систем управления. М.: Наука, 1991. -215 с.

9. Жданов А.И. Рекуррентное оценивание минимальных собственных значений матриц // Автоматика и телемеханика. 1987. - №4. - с.26-36.

10. Иванов Д В. Программа для рекуррентной идентификации динамических систем при наличии помех во входных и выходных сигналах. // Математика. Компьютер. Образование. Тезисы. Вып. 16, Часть 1. Под ред. Г.Ю. Ризниченко. М.-Ижевск: РХД, 2009. С.115.

11. Иванов Д.В., Козлов Е.В. Рекуррентная идентификация линейных динамических систем с автокоррелированной помехой в выходном сигнале./ // Вестник самарского университета управления. 2010. №2 (13) с.93-99.

12. Икрамов X. Д. Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.— 240 е.—ISBN 5-02-014462-2.

13. Карабутов H.H. Адаптивная идентификация систем: Информационный синтез. М.: КомКнига, 2006. - 384 е.- ISBN 5-48400504-3.

14. Кацюба O.A. Теория идентификации стохастических динамических систем в условиях неопределенности: монография / O.A. Кацюба. Самара: СамГУПС, 2008. - 119с. - ISBN 978-5-98941-079-8.

15. Кацюба O.A., Жданов А.И. Особенности применения МНК для оценивания линейных разностных операторов в задачах идентификации объектов управления // Автоматика и телемеханика -1979 №8 -с. 86-96.

16. Кагроба O.A., Жданов А.И. Идентификация методом наименьших квадратов уравнений авторегрессии с аддитивными ошибками измерений. //Автоматика и телемеханика 1982. - №2 — с.29-32.

17. Кацюба O.A., Жданов А.И. Рекуррентное оценивание параметров стохастических линейных динамических систем с ошибками по входу и выходу // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1986. - №3. -с.191-194.

18. Козлов Е.В., Иванов Д.В. Численный алгоритм оценивания параметров многосвязных динамических систем при наличии помех во входных и выходных сигналах //Вестник траспорта Поволжья, Самара, СамГУПС, 2010. №3.

19. Лыонг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. Пер. с англ./ Под ред. ЯЗ. Цыпкина, М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1991. - 432 с. - ISBN 5-02-014511 -4.

20. Назын A.B., Питерская Е.В. Метод стохастической аппроксимации с усреднением в задаче оценивания размеров микрочастиц на цифровом изображении // А и Т.2002 №11 с. 175-182.

21. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и реккурентное оценивание. М.:Наука, 1972. -304с.

22. Пантелеев A.B., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. Учебное пособие./ М.:Высш. шк., 2002.-544 с.

23. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы: Пер. с англ.— М.: Мир, 1983. 384 с.

24. Поляк Б. Т. Сходимость и скорость сходимости итеративных стохастических алгоритмов. II Линейный случай // А и Т. 1977, №4 с. 101-107.

25. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 384 с.

26. Поляк Б. Т. Новый метод стохастической аппроксимации // А и Т. 1990, №7 с.98-107.

27. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: В 2-х кн. Кн. 1. Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 350 е., ил.

28. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: В 2-х кн. Кн. 2. Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 320 е., ил.

29. Самарский государственный университет путей сообщения» (СамГУПС) (RU). Автор: Иванов Дмитрий Владимирович (RU). Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11 января 2009 г.

30. Цыпкин ЯЗ. Основы информационной теории идентификации. -М.: Наука, 1995. -336с.

31. Ушке. Математическая статистика. М.:Наука,1967. - 632 с.

32. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 448 с.

33. Хеннан Э. Многомерные временные ряды. М.: Мир, 1974. -576с.

34. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Пер. с англ. М.: Мир, 1975. - 683 с.

35. Aguero J. С., Goodwin G. С., Salgado М. Е. On the" optimal estimation of errors in variables models for robust control. In 16th IF AC World Congress, Prague, Czech Republic, July 4-8 2005.

36. Anderson, J.M.M and Giannakis G.B. Noisy input/output system identification using cumulants and the Steiglitz-McBride algorithm. IEEE Transactions on Signal Processing Vol.-44(4), P. 1021-1024, 1996.

37. Beghelli S., Castaldi P., Guidorzi R., Soverini U. A robust criterion for model selection in identification from noisy data. In Proc. 9th International Conference on Systems Engineering, P. 480-484, Las Vegas, Nevada, USA, 1993.

38. Beghelli S., Castaldi P., Soverini U. A frequential approach for en'ors-in-variables models. In: Proc. European Control Conference, ECC '97. Brussels, Belgium, 1997.

39. Chen H., Sarkar Т.К., Dianat S.A. and Brule J.D. Adaptive spectral estimation by the conjugate gradient method. IEEE Trans. On Acoustics, Speech, and Signal Proc., 34(2): P. 272-284, 1986.

40. Chen, H. F. Stochastic Approximation and Its Applications, Kluwer, Dordrecht, 2005.

41. Chen H.F. Strongly consistent coefficient estimate for errors-in-variables models. Automatica Vol-41, 2005, p. 1025-1033.

42. Chen H.F. Recursive identification of EIV ARMA processes. Proc. 17th IF AC World Congress, Seoul, Korea, July 6-1 1, 2008.

43. Chen H.F. A unified approach to recursive system identification. Proceedings of the 15th IF AC Symposium on System Identification Saint-Malo, France, July 6-8, 2009.

44. Delopoulos A., Giannakis G.B. Consistent identification of stochastic linear systems with noisy input-output data. Automatica, Vol.-30(8), P. 12711294, August 1994.

45. Diversi R., Gnidorzi R., Soverini U. A new criterion in EIV identification and filtering applications. In Proc. 13th IFAC Symposium on System Identification, pages 1993-1998, Rotterdam, The Netherlands, August 27-29, 2003.

46. Diversi R., Guidorzi R., Soverini U. Frisch scheme-based algorithms for EIV identification. In Proc. 12th IEEE Mediterranean Conference on Control and Automation, Kusadasi, Turkey, June 2004.

47. Ekman M. Identification of linear systems with errors in variables using separable nonlinear least squares. In Proc of 16th IFAC World Congress on Automatic Control, Prague, Czech, 2005.

48. Ekman M. Modeling and control of bilinear systems: application to the activaited sludge process. PhD thesis 2005 Republic, July 2005.

49. Friedlander В. The overdetermined recursive instrumental variable method. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 4, P.353-356, 1984.

50. Gamier H., ¡Vang L. Identification of Continuous-time Models from Sampled Data. 2008, 413 p. 105 illus., ISBN: 978-1-84800-160-2.

51. Guidorzi R., Diversi R., Soverini U. Multivariable EIV Identification.Proceedings of the 10th Mediterranean Conference on Control and Automation MED2002 Lisbon, Portugal, July 9-12, 2002.

52. Golub G. H., Pereyra V. The differentiation of pseudo-inverse and non-linear least-square problems whose variables separate'. SIAM J. Numeric. Analys., 10(2), P. 413-432, 1973.

53. Hong M., Soderstrom T., Soverini U., Diversi R. Comparison of three Frisch methods for errors-invariables identification. Proc. 17th IF AC World Congress, Seoul, Korea, July 6-11, 2008.

54. Ikenoue M., Kanae S., Yand Z.-J., Wada K. Identification of noisy input-output system using bias-compensated least squares method. In Proc. 16th IFAC World Congress on Automatic Control, Prague, Czech Republic, July 2005.

55. Ikenoue M, Kanae S., Yand Z.-J., Wada K. Bias-Compensation Based Method for Errors-In-Variables Model Identification. 17th World Cpngress of the International Federation of Automatic Control (IFAC), Seoul, Korea, July, 2008.

56. Inouye Y., Tsuchiya H. Identification of linear systems using input-output cumulants. International Journal of Control, Vol.-53(6) P. 1431-1448, June 1991.

57. Inouye Y., Suga Y. Identification of linear systems with noisy input using input-output cumulants. International Journal of Control, Vol.-59(5), P. 1231-1253, May 1994.

58. Jia L. J., Ikenoue M, Jin C. Z., Wada K. On bias compensated least squares method for noisy input-output system identification. Proc. of 40th IEEE Conf. on Decision and Control P. 3332-3337, 2001.

59. Kang Z, Hu B., Kwon W.H. Systolic array recursive total least square parameter estimation. Proceeding of the 2and Asian Conrol Confernce, July 22-25, 1997, Seoul.

60. Katayama T Subspace Methods for System Identification. Springer, 2005.

61. Linden J. G., Vinsonneau B. Burnham K. J. Recursive Frisch scheme identification incorporating adaptivity.In Proc. DVD-ROM 21st IAR & ACD Workshop,Nancy, France, November 2006

62. Linden J. G. Vinsonneau B., Burnham K.J. Review and comparison of some identification methods in the errors-in-variables framework. In Int. Conf. of System Engineering 2006, P. 243-254, Coventry, UK, 2006.

63. Linden J. G., Vinsonneau B., Burnham K.J. Gradient-based approaches for recursive Frisch scheme identification. Proc. 17th IFAC World Congress, Seoul, Korea, July 6-11, 2008.f

64. Ljung L., Sóderstróm T. Theory and practice of recursive identification. Cambridge, MA: M.I.T. Press, 1983.

65. Levin M. J. Estimation of a system pulse transfer function in the presence of noise. IEEE Trans. On Automatic Control AC-9, P. 229-235, 1964.

66. Mahata K., Sóderstróm T. Identification of dynamic errors-in-variables model using prefiltered data. Proc. 15th IFAC World Congress, Barcelona, Spain, July 21-26, 2002.

67. Markovsky I., Kukush A., Van Huffel S. On errors-in-variables estimation with unknown noise variance ratio. 14th IFAC Symposium on System Identification, Newcastle, Australia, March, 29-31, 2006.

68. Markovs ky /., ¡Vi Hems J. C., Van Huffel S., De Moor B. Exact and Approximate Modeling of Linear Systems: A Behavioral Approach. SIAM,i1. Philadelphia, 2006.

69. Meyer N., Linden J. G., Vinsonneau B., Burnham K.J. A recursive Frisch scheme approach for errors-in-variables system identification. In Int. Conf. on System Engineering 2006, pages 281-286, Coventry, UK, 2006.

70. Pinleton R., Shoukens J. System Identification. A Frequency Domain Approach. Wiley-IEEE Press, 2001.

71. Sóderstróm T. Convergence properties for the generalized least-square identification algorithm. Automatica, 10, P. 617-626, 1974.

72. Sóderstróm T. Identification of stochastic linear systems, in presence of input noise. Automatica, Vol.-17 P.713-725, 1981.

73. Sóderstróm T. Errors-in-variables methods in system identification. 14th IFAC Symposium on System Identification, Newcastle, Australia, March, 29-31, 2006. Invited plenary paper.A

74. Soderstrom 71, Mahata K. On instrumental variable and total least squares approaches for identification of noisy systems. International Journal of Control, Vol.-75(6), P. 381-389, April 2002.

75. Soderstrom T., Soverini U., Mahata K. Perspectives on errors-in-variables estimation for dynamic systems. Signal Processing, Vol-82, № 8, P. 1139-1154, August 2002.

76. Soderstrom T., Stoica P. Instrumental Variable Methods for System Identification. Springer-Verlag, Berlin, 1983.

77. Stoica P., Cedervall M., Eriksson A. Combined instrumental variable and subspace fitting approach to parameter estimation of noisy input-output systems. IEEE Transactions on Signal Processing, Vol.43, P. 2386-2397, 1995.

78. Stoica P., Soderstrom T. Bias correction in least-squares identification. Int. J. Control Vol-35(3), P. 449-457,1982.

79. Ruhe A., Wedin P.A. Algorithm for separable nonlinear least-square problems. SIAM Rev. 22, P. 318-337, 1980.

80. Thil S. Contributions a 1'identification de modeles avec des erreurs en les variables. PhD thesis 2007.

81. Thil S., Gamier H., Gilson M., Third-order cumulants based methods for continuous-time errors-in-variables model identification. Automatica, Vol.-44(3) P. 647-658, March2008.

82. Thil S., Gilson M., Gamier H. On instrumental variable-based methods for errors-in-variables model identification. Proc. 17th IF AC World Congress, Seoul, Korea, July 6-11, 2008.

83. Tsypkin Ya. Z, Avedyan E.D., Gulinskiy O. V. On convergence of the recursive identification algorithms // IEEE Trans. Aut. Control. 1981. V-26. №5. P. 1009-1017.

84. Tugnait J.K. Stochastic system identification with noisy input using cumulant statistics. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.-37(4) P. 476-485, avril 1992.

85. Vajk /., Hetthessy J. On the Generalization of the KoopmanS-Levin Estimation Method. Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control, and the European Control Conference 2005 Seville, Spain, December 12-15, 2005.

86. Yang Z.-J., Sagara S., Wada K. Identification of continuous-time systems from sampled input-output data using bias eliminating techniques. Control Theory and Advanced Technology, Vol. 9, №.1, P. 53-75, March 1993.

87. Yang Z.-J., Sagara S., Wada K. Parameter identification on the Steiglitz-McBride Method from Noisy Input-Output Data. Trans. Of the Society of Instrument and Control Engineers. Vol. 28, №. 12, P.1492-1494, 1992.

88. Zheng W. X. Fast adaptive iir filtering with noisy input and output data. Proc. of 6th International Symposium on Signal Processing and Its Applications 1, P. 307-310,2001.

89. Zheng W. X. A bias correction method for identification of linear dynamic errors-in-variables models. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.-47(7), P. 1142-1147, July 2002.

90. Zhu Y. Multivariable system identification for process control. Elsevier Science & Technology Books, 2001.112. http://en.wikipedia.0rg/wiki/C0ntinu0usmappingthe0rem#CITERE FMannWald 1943(дата обращения: 20.04.2009).

91. МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО железнодорожного ТРАНСПОРТА •

92. ГОСУДАРСТВЕННОЕ СЬНАЗОН/ОГГЬНОе /"РЕН£ЕНИЕ бЫСИА! О П^ОФСССИСНАГЬНСГО ОБРАЗС!5АНИЯ

93. САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ1. СамГУПС)1. У ГВГРЖДАЮ ''„ Рек гор'»л

94. СамарчЖого пенного > шшерешекз1. ПС1НКООО!ПСННЧ1. А В Кош \ ном-' 11 о I1. АКТ

95. Декг.л ') 1Ф , 11% и.коН.Ф.'* 1 ! г 1. Л./7 »ч.зфс им-»и МЛ! I и . . Кашонл О Л1. РОГгЗ й1. Ей'ч vs ;*■: и;1. СВИДЕТЕЛЬСТВОо государе i пенно» peí не г рации программы для ЭВМ2009610299

96. Программа рекуррентного оценивания параметров авторегрессии при наличии помех наблюдения в выходном сигнале

97. Г1 p:\Hoot'."т; гель( -п< Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования •«Самарский государственный университет путей сообщения»1. СамГУПС) (К I')

98. Автор(ы ) Иванов Дмитрий Владимирович (RU)1. Заявка № 2008615219

99. Дата поступления 11 ноября 2008 г. ■■

100. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ11 января 2009 г.

101. Руководитель Федеральной илум.6ы по интел.1Сктуальной собственности, патентам и товарный знака.»1. Б П Симонов5!1. S Sí 2 ÍS25 S2i ES Sí•¿i1. SJ ui1. Ss SSw.

102. Вник w ss.rj & ;;; ц* Й SS 13 ES 51. S 2 « S S? 2 SÍ £: й éi^f-?vгз вз на ss se а"1. ES S3 Í21. СВИДЕТЕЛЬСТВОо lüCNjapcmcMiiOH peí истрацин upoi раммы .i.isi ЭВМ2009610300г

103. Программа рекурреш ного оценивания параметров многомерных линейных динамических систем с помехами зо входных -. и выходных сигналах

104. Правообладатель^)!) Государственное образовательное *•-учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный университет путей сообщения» (СамГУПС) (Ки)

105. Автор(ы) Иванов Дмитрий Владимирович (RU)1. Заявка >* 2008615220

106. Дата поступления 11 ноября 2008 г.

107. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ11 января 2009 г.

108. Руководитель Федеральной службы тю интеллектуальной г • с ' ■!. V/ >t(i" '".""с; и г. •"tfjput \> a.v1. Б П. Симонш1. O ¿S ¿5 ¿S ti» ti ¿í1. Л ¿Í í¿ «SfcSí