автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Прогнозирование многосвязных стохастических процессов на основе параметрической идентификации линейной динамической системы

На правах рукописи

003448830

СПИРИН Сергей Анатольевич

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление

и обработка информации (приборостроение)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ПЕНЗА 2008

°«т2т

003448830

Работа выполнена в ГОУВПО «Самарский государственный университет путей сообщения» на кафедре «Мехатроника в автоматизированных производствах».

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Кацюба Олег Алексеевич.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Геращенко Сергей Иванович; доктор технических наук, профессор Дубинин Александр Ефимович.

Ведущая организация - Куйбышевская железная дорога, филиал ОАО «РЖД» (г. Самара).

Защита диссертации состоится 30 октября 2008 г., в 14 часов, на заседании диссертационного совета Д 212.186.04 ГОУВПО «Пензенский государственный университет» по адресу: 440026, г. Пенза, ул. Красная, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУВПО «Пензенский государственный университет», с авторефератом - на сайте университета: www.pnzgu.ru

Автореферат разослан 30 сентября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук,

профессор Смогунов В. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В связи с реформированием рынка энергоресурсов, созданием ФОРЭМ и выхода на этот рынок ОАО «Российские железные дороги» в качестве главного потребителя электроэнергии перед этой отраслью возник ряд новых задач. Одна из них -необходимость оперативного прогноза величин тягового энергопотребления и тонно-километровой работы как главных показателей работы участка железной дороги.

В рамках договора на электроснабжение железная дорога ежегодно с разбивкой по месяцам, неделям, дням заявляет параметры своего электропотребления, одним из которых является количество требуемой активной электроэнергии. За превышение заявленных значений электропотребления взимается штраф в размере 10-кратной стоимости перерасходованной электроэнергии. Если же фактическое потребление ниже договорного, то оплата производится по значению, обусловленному договором. За заявленное, но не использованное количество электроэнергии потребитель также платит.

Одновременно с этим повышение точности прогноза тонно-километровой работы позволяет планировать грузовую работу, корректировать графики движения поездов, сокращая время их простоя, тем самым сокращая издержки компании.

Прогноз тонно-километровой работы необходим для правильного расчета оборота вагонов, а также эксплуатационных расходов и доходов ОАО «РЖД», потому что дорога выполняет не одинаковое количество операций, связанных с перевозками грузов в разных сообщениях.

Общее электропотребление железной дороги складывается из расхода энергии на тягу и на снабжение нетяговых потребителей. К нетяговым потребителям относятся промышленные предприятия, сельскохозяйственные и коммунально-бытовые потребители, железнодорожные станции. Их доля в общем электропотреблений железной дороги составляет более 20 %. Ввиду многообразия они представляют собой уникальный класс с большим числом характерных особенностей.

Методы прогнозирования тягового энергопотребления и тонно-километровой работы, применяемые на железной дороге, сложились во времена плановой экономики. Они опираются на основные пока-

затели развития отрасли в соответствии с планом производства работ и услуг. В условиях рыночных отношений существующие методы, как правило, дают завышенные значения договорной величины расхода электроэнергии, что приводит к убыткам.

Использование математической модели процесса тягового энергопотребления и тонно-километровой работы позволяет быстро обработать и проанализировать текущее состояние процессов и осуществить их прогноз.

Модель тягового энергопотребления и тонно-километровой работы может быть охарактеризована как динамическая, многосвязная система, математическое описание которой может быть произведено в пространстве входных-выходных сигналов в операторной форме. Тогда можно выбрать эту модель в форме линейной динамической системы определённого порядка, описываемой линейным разностным уравнением.

Известно, что в случае параметрической идентификации многосвязных линейных динамических объектов при наличии помех во входных и выходных сигналах применяются следующие методы: метод наименьших квадратов (МНК), метод максимального правдоподобия (ММП) и метод инструментальных переменных (МИЛ). В условиях априорной неопределённости (отсутствии информации о законах распределения помех наблюдения) и при наличии помех как во входных, так и в выходных сигналах методы МНК и ММП не применимы. Применение в данной ситуации метода инструментальных переменных осложняется самой процедурой выбора «инструментов или инструментальных переменных».

Известные работы по прогнозированию не содержат готовых методик, позволяющих учесть многообразие структуры и основные закономерности изменения во времени расхода тягового энергопотребления.

Таким образом, возникает необходимость разработки научно обоснованных методик и алгоритмов, позволяющих повысить точность оперативного прогноза расхода электроэнергии на тягу поездов и выполненной при этом тонно-километровой работы.

Целью диссертационной работы является разработка алгоритма параметрической идентификации процессов в форме многосвязной по входу и выходу линейной динамической системы с помехами во входных и выходных сигналах для повышения точности прогноза

тягового энергопотребления и тонно-километровой работы с использованием статистических измерений параметров перевозочного процесса. Для реализации поставленной цели требовалось решить следующие задачи:

• выполнить анализ процессов тягового энергопотребления и тонно-километровой работы на участке железной дороги как объектов моделирования;

• произвести обзор существующих методов параметрической идентификации многосвязных линейных динамических объектов, выбор и обоснование их применения для данного класса;

• разработать алгоритм параметрической идентификации многосвязных линейных динамических объектов при наличии помех во входных и выходных сигналах на основе критерия модифицированного МНК и создать на его основе программное обеспечение;

• получить оценки точности прогнозирования тягового электропотребления и тонно-километровой работы с использованием программных комплексов Ж)Ы)-3 и КОРТЭС, а также классического и модифицированного МНК как методов, принадлежащих к одному классу,

• применить созданное программное обеспечение для решения задачи прогноза тонно-километровой работы и энергопотребления.

Методы исследования. В работе использованы методы системного анализа; элементы математической статистики, теории идентификации моделей, теории матриц, линейной алгебры; прикладное программирование и математическое моделирование.

Достоверность и обоснованность научных положений подтверждаются соответствием результатов теоретических и тестовых испытаний и расчетов, математического моделирования и экспериментальных исследований.

Научная новизна диссертационной работы заключается в решении проблемы повышения точности прогноза тягового энергопотребления и тонно-километровой работы на железнодорожном транспорте, а именно:

1) разработан критерий модифицированного МНК для определения параметров многосвязной по входу и выходу модели тягового энергопотребления и тонно-километровой работы при наличии помех во входных и выходных сигналах, который в отличие от класси-

ческого МНК позволяет получать состоятельные оценки параметров рассматриваемой модели;

2) разработаны методики определения параметров многосвязной модели тягового энергопотребления и тонно-километровой работы с применением предложенного критерия, которые сводятся к многократному решению систем линейных алгебраических уравнений;

3) реализованы алгоритм и методика прогнозирования, позволяющие повысить точность прогноза процессов тягового энергопотребления и тонно-километровой работы с использованием данных перевозочного процесса: массы поездов и времени их проследования по участку.

Практическая значимость.

Построена модель тягового энергопотребления и выполненной тонно-километровой работы на участке железной дороги с использованием разработанного программного обеспечения, реализующего предложенный алгоритм параметрической идентификации многосвязных по входу и выходу линейных динамических объектов на основе разработанного модифицированного метода наименьших квадратов. Модель применена к решению задачи прогноза тягового энергопотребления и выполненной тонно-километровой работы на участке железной дороги для сокращения издержек компании ОАО «РЖД».

Реализация и внедрение результатов.

1. Разработанное программное обеспечение использовано в деятельности «Энергосбыт» (ЦГЖ — центр планирования и контроля) Куйбышевской железной дороги в следующем виде:

• методик и рекомендаций для расчета моделей распределения энергопотребления и тонно-километровой работы, получаемых на основе анализа данных перевозочного процесса;

• программного обеспечения для идентификации моделей распределения энергопотребления и тонно-километровой работы во времени, реализующего разработанные в диссертационной работе алгоритмы параметрической идентификации.

На защиту выносятся:

1. Модифицированный критерий метода наименьших квадратов, который в отличие от классического МНК позволяет получать состоятельные оценки параметров многосвязной по входу и выходу

линейной динамической системы при наличии помех во входных и выходных сигналах.

2. Итерационные методики решения задачи оценивания параметров многосвязной по входу и выходу линейной динамической модели на основе минимизации отношения двух квадратичных форм.

3. Модель тягового энергопотребления и выполненной тонно-километровой работы на участке железной дороги, использующая в качестве входных переменных статистические измерения параметров перевозочного процесса.

4. Методика и алгоритм, позволяющие повысить точность прогноза процессов тягового энергопотребления и тонно-километровой работы за счет использования эксплуатационных данных перевозочного процесса.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на XIII Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (Новороссийск, 29 мая - 5 июня 2005 г.); V Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления SICPRO '06» (Москва, 30 января - 2 февраля 2006 г.); XIV Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (Новороссийск, 28 мая - 3 июня 2006 г.); VI Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления SICPRO '07» (Москва, 29 января - 1 февраля 2007 г.).

Публикации по работе. Самостоятельно и в соавторстве по материалам диссертации опубликовано 16 печатных работ, получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, выводов по главам, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложений. Объем работы: 188 страниц основного машинописного текста, 68 рисунков, 12 таблиц. Список использованной литературы содержит 123 источника.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проблемы, определена предметная область, сформулированы цель работы и задачи исследований, приведены сведения об использовании результатов работы, апробации и публикациях.

В первой главе раскрыта проблема организации контроля и учёта расходования электроэнергии и выполненной при этом тонно-километровой работы. Показана необходимость качественного прогнозирования потребляемой электроэнергии и выполненной при этом тонно-километровой работы для наиболее эффективного, с экономической точки зрения, составления графика движения поездов и покупки электроэнергии в условиях рынка.

Проведенный обзор применяемых методов для параметрической идентификации многосвязных линейных динамических объектов в условиях малой априорной информации об объекте исследования показал отсутствие возможности использования следующих основных методов параметрической идентификации: метода наименьших квадратов (МНК), так как он не применим к моделям, в которых присутствуют помехи во входных сигналах, метода максимального правдоподобия (ММП) из-за отсутствия информации о законах распределения помех наблюдения. Применение в данной ситуации метода инструментальных переменных осложняется самой процедурой выбора «инструментов или инструментальных переменных».

Так же обосновывается возможность осуществления прогноза тягового энергопотребления и тонно-километровой работы на участке железной дороги. При этом модель тягового энергопотребления и тонно-километровой работы представляет собой многосвязную линейную динамическую систему с аддитивными помехами измерений во входных и выходных переменных.

Во второй главе теоретически показано и доказано, что для получения состоятельных оценок параметров многосвязной линейной динамической модели с ненаблюдаемыми помехами во входных и выходных сигналах, которая описывается уравнением (1), применим критерий (2)

+... с(1г)г1_1. + о^х1 +...с^х^ (1)

о, Щ=Х1+Е2(0, где У{, 21 - наблюдаемые и ненаблюдаемые векторы выходных сигналов {21,еЯр2), а Х{,Ж, - соответственно наблюдаемые и ненаблюдаемые векторы входных сигналов е Яр )

Ш1П

V]

а..

N

Т

1=1

ад и^й

\2

у _ у

еВ

У

У"

(2)

= тшо) 1 (й.. ¡е.. * 1 о •)»

, ] \ J У 1 У

еЯ

где ¿(0)

- у строка матрицы у строка матрицы с,'",

у строка матрицы С^ ■ Множество В, которому априорно

принадлежат истинные значения параметров устойчивой линейной

(п) •

динамическои системы, является компактом; я . -у строка матрицы

у

^; Сту - дисперсия помехиу'-го выхода.

ь(0) !...! ¿С)

У* 1 I у*

ау =

а(0) ! "у» I

1 а(Г>

I _/•

Г/ =

•••! ^

| г

7(У) =

лл |... | у(У) II ■ ЧУ

Ж,

ж;

(1)

Ау =

£> =

! С

-I—.--

ГМ Т 1 1 1 1 1 •• \уТ

А ! о | ■ •! 0

0 ! А ! • ■! 0

1—;—(— • 1 0

0 Г Г 10 1-( » ■! А

Ацг =

^Н-1; Б =

1 < 1-и

: _ ' л :

°2 \ --— 0 ! о >

о ! А ! о

• 1 0

о ! 0 \в2

>»•1+1.

Я(Н,(0ЕГ(0/^-_1) = А >0; Е( Е2(0Е1(0/^^) = П2>0, Е - оператор математического ожидания, где {/<}} и (р'} - неубывающие последовательности ст- алгебры, ^.-а{н1(0),...Е1(0} и 3' = а{Е2(0),...Е2(0}.

т

Тогда оценка

,(0) 1

определяемая выражением (2), при

У I I У N —» оо существует и состоятельна.

В третьей главе разработаны алгоритмы, доказаны и протестированы численные методы определения оценок параметров многосвязных линейных разностных уравнений модифицированным методом наименьших квадратов из критерия (2).

Пусть существует ®(о), которое определяется через минимальное обобщённое собственное число матрицы 5 относительно матри-О | О

цы

I

I

АуЛу АуАцг АцгАу | АцгАцг

Тогда параметры линейного разностного уравнения, определяемые следующим алгоритмом, являются состоятельными.

1 шаг. Вычислим оценки параметров из системы линейных уравнений

АуАу - &Э |

А^Ацг

А^Ау

1

| А^Ацг-ЭО

а,

(3)

2 шаг. Вычисляем 0г+1: 1 = \р] +ЪРЪ] +а1Ъа]\Х:

ИГгО).

3 шаг. Переход к шагу 1.

а}Г

Жу

0) СО

(4)

В основе программного алгоритма задана тестовая модель в виде разностного уравнения со следующими исходными параметрами: г\= 2, г = 2 - порядок по входу и выходу; - вектор выходных значений; X, - вектор входных значений, где / = 1, 2, 3,... индекс нумерации дискретных моментов времени; - матрицы «истинных» параметров:

0,24 ^

:(0)_

2

-0,38 -0,35 - 0,433 -0,53

-0,55 0,644 0,344

;0):

-0,15 0,63 -0,34 -0,25 -0,474 0,556Л -0,374 0,656

Соответственно линейно разностное уравнение будет представлено выражением

2(1) 1+1 г(2)

=<7<°>

V2,

(2)

+ 0

(1)

2(1)

2(2) \ 1-и

(0)

X,

(2)

I У

ЛI

(5)

где Н1(/)и Н2(/) - аддитивные помехи входного и выходного сиг-

налов с дисперсией а2

а соответственно.

н2

Так как модифицированный МНК принадлежит к классу методов, не требующих знания законов распределения помех наблюдения, то результаты его работы должны сравниваться с результатами подобного ему метода, т. е. с методом, принадлежащим к тому же классу. Одним из таких методов является классический МНК. Сравнение с другими методами, которые требуют большее количество априорной информации, не имеет смысла.

Для цели исследования состоятельности оценок использован большой объем выборки N = 500. Результаты оценок параметров, полученные классическим и модифицированным МНК, приведены ниже (рис. 1).

Из анализа (см. рис. 1) отклонения оценок от истинных параметров и выхода рассчитанного сигнала от истинного (рис. 2, 3) вытекает, что при большом объеме выборки модифицированный МНК дает удовлетворительные результаты при любых значениях у. Оценки

стандартного МНК ухудшаются с увеличением дисперсии помех наблюдений Н|(/), Н2(0 и погрешности 8МНК становятся достаточно значимыми.

Рис. 1. График сравнения 51(у),51^у),52(7),5тЧу) отклонений векторов оценок параметров первого и второго выхода модели классическим

и модифицированным МНК при

где а" = сог^ -1

Рис. 2. График сравнения сигнала 2{ ] - первого выхода, рассчитанного по «истинным» параметрам, ] - первого выхода, рассчитанного по параметрам

МНК

модифицированного МНК и сигнала 2 , рассчитанного

по параметрам классического МНК

Рис. 3. График сравнения сигнала 2,- 2 ~ второго выхода, рассчитанного по «истинным» параметрам, 2 - второго выхода, рассчитанного по параметрам

мнк

модифицированного МНК и сигнала 2 1,2 , рассчитанного по параметрам классического МНК

Проведенные исследования показали, что в ходе тестирования на ЭВМ разработанного программного обеспечения для определения оценок параметров многосвязных линейных динамических систем при наличии помех на входе и выходе были получены результаты, которые полностью подтверждают теоретические исследования работы.

В четвертой главе рассмотрены вопросы практического применения разработанного ПО к решению задачи идентификации модели тягового энергопотребления и тонно-километровой работы и получению на ее основе прогноза.

В настоящее время наибольшее практическое применение к задаче прогноза тягового энергопотребления получили программные комплексы N0110-3 и КОРТЭС разработки Марского В. Е. (ВНИИЖТ). Прогнозирование тонно-километровой работы осуществляется по классическому МНК. Программный комплекс КОРТЭС обладает преимуществом над программой N01-10-3, поскольку позволяет производить расчёт тягового энергоснабжения с учётом рекуперации, имеет в своём составе модуль моделирования графика движения поез-

I 13

дов, кроме того, он имеет более гибкую структуру настройки выполнения и представления расчётов.

Пусть модель распределения энергопотребления и тонно-кило-метровой работы во времени описывается уравнением (1). Входными

данными модели являются вес поезда, х^- время хода локомотива, а выходными электропотребление на тягу поездов, тонно-километровая работа.

Требуется определить состоятельные оценки неизвестных коэффициентов матриц , С^. Параметрическая идентификация модели (6) решается методом, определённым в главе 2, численно реализованным в главе 3. Неизвестные параметры находятся на ЭВМ с использованием ПО МаШСАО 11.

Рассмотрим построение оперативного прогноза тягового энергопотребления и выполненной тонно-километровой работы на 1 сутки. Параметры определяются на отрезке г = 1...432, на участке г = = 433...480 строится прогноз. Затем полученный прогноз сравнивается с «истинными» значениями.

Для иллюстрации полученных практических результатов далее приведены результаты работы разработанного ПО (рис. 4).

Сравнение процентных отклонений показало следующее:

• прогноз тягового энергопотребления, построенный с использованием модифицированного МНК, существенно превосходит по точности аналогичный прогноз, построенный по оценкам классического МНК, а также программных комплексов КОРТЭС и ЖЖБ-З;

• прогноз тонно-километровой работы, построенный с использованием модифицированного МНК, существенно превосходит по точности аналогичный прогноз, построенный по оценкам классического МНК.

70%

60%

50%

40%

30%

20%

10%

0%

т

т

4 суток 2 суток 1 сутки Энергопотребление

4 суток 2 суток 1 сутки Тонно-километровая работа

Рис. 4. Гистограмма процентных отклонений реальных значений процессов энергопотребления и тонно-километровой работы с прогнозируемыми по оценкам классического МНК и модифицированного МНК, а также программных комплексов КОРТЭС и N0110-3

Погрешность

прогноза, построенного программным комплексом МОРЮ-З

1 ¡огрешносгь "

прогноза, построенного

Дйфидаоваин^

погрешность ■ ■

построенною; программным ■ комплексом КОРТЭС

Погрешность

-Л прсЩрза,"

-

| стзсеическим МНК

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Анализ процессов на участке железной дороги показал возможность построения модели тягового энергопотребления и тонно-километровой работы в виде многосвязной линейной динамической системы с привлечением в качестве входных переменных параметров перевозочного процесса: веса пропускаемых по участку поездов и времени их следования по участку. На базе этой модели осуществлён прогноз процессов тягового энергопотребления и выполненной тон-но-километровой работы на участке железной дороги.

2. Проведен анализ существующих методов параметрической идентификации многосвязных линейных динамических объектов, показавший неудовлетворительную способность последних к получению состоятельных оценок параметров уравнений, описывающих данные системы. Для решения поставленной задачи предложен критерий нахождения оценок параметров на базе модифицированного МНК.

3. На основании предложенного критерия разработан алгоритм получения состоятельных оценок, использующий стандартные процедуры решения линейных разностных уравнений и позволяющий определять состоятельные оценки параметров при априорном знании дисперсий помех во входных и выходных сигналах.

4. Сравнение прогноза, построенного с использованием программных комплексов №ЖО-3 и КОРТЭС, а также классического и модифицированного МНК показало:

- отклонение фактических значений тягового энергопотребления от прогнозных значений процесса, получаемых с использованием модифицированного МНК, составило 12-15 %, с использованием классического МНК - от 35-47 %, с использованием программного комплекса ЖЖБ-З - от 50-62 %, с использованием программного комплекса КОРТЭС - от 48-59 %;

- отклонение фактических значений тонно-километровой работы от прогнозных значений процесса, получаемых с использованием модифицированного МНК, составило 23-27 %, с использованием классического МНК - от 49-55 %.

5. Тестирование программного обеспечения (ПО), разработанного в соответствии с методом, показало выполнение условия состоятельности для получаемых оценок. ПО внедрено в ЦПК «Энергосбыт» Куйбышевской железной дороги - филиале ОАО «РЖД».

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Спирин, С. А. Определение параметров многомерной линейной стационарной динамической системы при наличии помех во входных и выходных сигналах / О. А. Кацюба, С. А. Спирин // Изв. Самар. науч. центра РАН. - 2006. - Т. 8. - № 4. - С. 1034-1041. -ISSN 1990-5378.

Публикации в других журналах и изданиях

1. Спирин, С. А. Параметрическая идентификация линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдений во входных и выходных сигналах/ О. А. Кацюба, С. А. Спирин, А. Н. Волныкин : материалы XII Междунар. конф. «Математика. Компьютер. Образование». - Пущино, 2005. - С. 121.

2. Спирин, С. А. Идентификация линейных систем с многими переменными на основе метода наименьших квадратов / О. А. Кацюба, С. А. Спирин, А. Н. Волныкин : сб. тр. XVIII Междунар. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях». - Казань, 2005. - Т. 2. - С. 110-112.

3. Спирин, С. А. Оценивание параметров многосвязанных линейных динамических систем с ошибками по выходу/ О. А. Кацюба, С. А. Спирин, А. Н. Волныкин : материалы докл. Х1П Междунар. конф. «Математика. Экономика. Образование». - Новороссийск, 2005.- С. 105.

4. Spinn, S. A. The numerical method estimating parameters of multivariate autoregress at presence of handicaps of supervision/ O. A. Ka-tsuba, S. A. Spirin, A. N. Volnuikin // The twelfth General Meeting of European Women in Mathematics. - Volgograd, 2005.

5. Спирин, С. А. Параметрическая идентификация многомерных линейных разностных уравнений при наличии помех во входных и выходных сигналах / О. А. Кацюба, С. А. Спирин, А. Н. Волныкин : материалы XIII Междунар. конф. «Математика. Компьютер. Образование». - Дубна, 2006. - С. 150.

6. Параметрическая идентификация линейных разностных уравнений со многими переменными при наличии помех наблюдений в выходных сигналах / С. А. Спирин, О. А. Кацюба, В. М. Тренъ-

кин, А. H. Волныкин : сб. науч. тр. XII Междунар. конф. «Математика. Компьютер. Образование». - Пущино, 2005. - Т. 2. С. 528-537.

7. Спирин, С. А. Параметрическая идентификация многомерных линейных разностных уравнений при наличии помех во входных и выходных сигналах / С. А. Спирин, О. А. Кацюба : тр. [диск] V Междунар. конф. «Идентификация систем и задачи управления SICPRO '0б».-М„ 2006. - С. 1125-1130.-ISBN 5-201-14984-7.

8. Спирин, С. А. Алгоритм численного метода оценивания параметров многомерных по входу и выходу линейных разностных уравнений при наличии помех во входных и выходных сигналах / С. А. Спирин, О. А. Кацюба : материалы докл. XIV Междунар. конф. «Математика. Экономика. Образование». - Новороссийск, 2006. -С. 141.

9. Спирин, С. А. Численный метод идентификации многомерных по входу и выходу линейных разностных уравнений I С. А. Спирин, О. А. Кацюба : сб. тр. XIX Междунар. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях». — Воронеж, 2006. — Т. 2. — С. 113-114.

10. Алгоритм построения оценок параметров линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах во входных и выходных сигналах / С. А. Спирин, А. Н. Волныкин, О. А. Кацюба, В. М. Тренькин : пленар. докл. и избр. тр. П1 Междунар. конф. по проблемам управления. - М.: ИЛУ РАН, 2006. - С. 237-240.

11. Спирин, С. А. Алгоритм решения задачи оценивания параметров многомерных по входу и выходу линейных разностных уравнений при наличии помех во входных и выходных сигналах / С. А. Спирин, О. А. Кацюба : тр. [диск] VI Междунар. конф. «Идентификация систем и задачи управления SICPRO '07». - М., 2007. - С. 1307-1380. -ISBN 5-201-14992-8.

12. Спирин, С. А. Численный метод оценивания параметров многомерных по входу и выходу линейных разностных уравнений / С. А. Спирин, О. А. Кацюба : материалы XIV Междунар. конф. «Математика. Компьютер. Образование». - Пущино, 2007. - С. 61.

13. Спирин, С. А. Оценивание параметров линейных разностных уравнений при наличии помех во входных и выходных сигналах / С. А. Спирин, О. А. Кацюба : сб. тр. XX Междунар. науч. конф. «Ма-

тематические методы в технике и технологиях». - Ярославль : ЯГ-ТУ, 2007.-Т. 2. - С. 98-101.

14. Спирин, С. А. Параметрическая идентификация многомерных линейных разностных уравнений при наличии помех во входных и выходных сигналах на примере прогноза тонно-километровой работы и электропотребления для ОАО «РЖД» / С. А. Спирин, О. А. Ка-цюба : сб. статей II Междунар. науч.-техн. конф. «Аналитические и числовые методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем». - Пенза, 2007. - С. 219-222.

15. Спирин, С. А. Алгоритм решения задачи идентификации многомерных по входу и выходу стационарных линейных динамических систем при наличии помех во входных и выходных сигналах / С. А. Спирин, О. А. Кацюба : сб. тр. III Всерос. науч. конф. «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATHLAB». - СПб.: СПбУ, 2007. - С. 684-698.

16. А. с. 2007610016. Идентификация линейной многомерной динамической системы при наличии помех во входных и выходных переменных/ С. А Спирин; заявитель и правообладатель Самар. гос. академия путей сообщения. - №2006613531; заявл. 16.10.06; зарег. 09.01.07.

Спирин Сергей Анатольевич

Прогнозирование многосвязных стохастических процессов на основе параметрической идентификации линейной динамической системы

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление

и обработка информации (приборостроение)

Редактор В. В. Чувашова Технический редактор Я А Вьялкова

Корректор С. Я. Сухова Компьютерная верстка М. Б. Жучковой

ИД№06494 от 26.12.01 Сдано в производство 11.09.2008 Формат 60x84'/16 Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,16. Заказ №511. Тираж 100.

Издательство Пензенского государственного университета 440026, Пенза, Красная, 40

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОПОТРЕБЛЕНИЯ И

ТОННО-КИЛОМЕТРОВ ОЙ РАБОТЫ НА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ

ТРАНСПОРТЕ.

1Л Анализ существующих методов прогнозирования.

1Л Л. Методы эвристического прогнозирования.

1Л.2. Математические методы временной экстраполяции.

1Л .3. Анализ методов оценки расхода электрической энергии тяговыми подстанциями.

Выводы по главе 1.

2. О СОСТОЯТЕЛЬНОСТИ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

2Л. Особенности задачи параметрической идентификации.

2.2. О состоятельности оценок параметров многосвязной авторегрессии при наличии помех в выходных сигналах.

2.3. О состоятельности оценок параметров многосвязных линейных разностных уравнений при наличии помех в выходных сигналах.

2.4. О состоятельности оценок параметров многосвязных линейных разностных уравнений при наличии помех во входных и выходных сигналах.

Выводы по главе 2.

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ НАЛИЧИИ

ПОМЕХ ВО ВХОДНЫХ И ВЫХОДНЫХ СИГНАЛАХ.

3.1. Алгоритм определения оценок параметров линейных разностных уравнений.

3.1.1. Алгоритм построения оценок параметров многосвязной авторегрессии при наличии помех в выходных сигналах.

3.1.2. Алгоритм оценивания параметров многосвязных линейных разностных уравнений при наличии помех в выходном сигнале.

3.1.3 Алгоритм оценивания параметров многосвязных линейных разностных уравнений при наличии помех во входном и выходном сигнале.

3.2. Тесты численных методов модифицированного МНК.

3.2.1. Тесты для временной модели в форме многосвязной авторегрессии.

3.2.2. Тесты для временной модели в форме многосвязных линейных разностных уравнений при наличии помех в выходных сигналах.

3.2.3. Тесты для временной модели в форме многосвязных линейных разностных уравнений при наличии помех во входных и выходных сигналах.

Выводы по главе 3.

4. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИКЛАДНОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ~ К ЗАДАЧЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТОННО-КИЛОМЕТРОВ ОЙ РАБОТЫ И ЭЛЕКТРОПОТРЕБЛЕНИЯ НА ТЯГУ ПОЕЗДОВ.

4.1. Условия и правила покупки электроэнергии на оптовом рынке электроэнергии и мощности.

4.2. Технология управления показателями энергоемкости перевозочного процесса в ходе реализации Энергетической стратегии ОАО «РЖД».

4.3. Методика анализа показателей поставки и распределения электроэнергии в ОАО «РЖД».

4.4. Процедура идентификации временной модели динамического объекта.

4.5. Процедура выбора доминантных переменных для многомерной динамической модели прогноза тонно-километровой работы и электропотребления на тягу поездов.

4.6. Применение прикладного программного обеспечения для идентификации параметров многосвязной динамической модели тонно-километровой работы и электропотребления на тягу поездов.

Выводы по главе 4.

Работа посвящена изложению раздела теории параметрической идентификации многосвязных линейных динамических систем и разработке на основе её программного продукта параметрического оценивания и прогнозирования многомерного динамического объекта во времени. В качестве объекта динамического моделирования выбраны тонно-километровая работа и энергопотребление тягой поездов, как наиболее важные показатели поездной работы. На стадии временного моделирования предлагается концепция временного прогноза, как способ раннего прогнозирования перевозочного процесса и электропотребления на тягу поездов.

Актуальность работы. Согласно Транспортной стратегии РФ стоимость транспортных услуг должна соответствовать полным экономическим издержкам. В технической политике требуется внедрение наиболее экономически эффективных, безопасных технологий и видов техники. Особую актуальность приобретают направления стратегий в области тарифно-ценового регулирования, как определяющего рентабельность и доходность предприятий транспорта [56].

Подавляющие объёмы железнодорожных перевозок в РФ осуществляются по железным дорогам, электрифицированных по системе постоянного и переменного тока. Доля работы, выполняемой железнодорожным транспортом на электротяге, составляет 83 — 84% от общего объёма перевозок. Согласно структуре расхода электроэнергии ОАО «РЖД» в 2003, 2004, 2005 годах на тягу поездов расходовалось свыше 40 млрд. кВтч в год, что составляет до 82% от общего объёма электропотребления компании. Затраты на приобретение энергоресурсов ОАО «РЖД» достигают 12% себестоимости перевозок, что в 2004 году составило свыше 72 млрд. руб.

В связи со значительными финансовыми затратами, расходуемыми на приобретение энергоресурсов, становится актуальной задача разработки системы управления энергетическими ресурсами. Первоочередным этапом создания данной системы является разработка систем и процедур планирования, приобретения и мониторинга потребления энергоресурсов.

Таким образом, решение вопросов: сокращения удельных и абсолютных затрат электроэнергии на тягу поездов по филиалам ОАО «РЖД» и сети в целом существенно зависит от методов прогнозирования.

На основание выше изложенного следует, что в условиях покупки электроэнергии на ОРЭМ несогласованность технологии прогнозирования по подразделениям ОАО «РЖД», отсутствие факторизации причин флуктуации фактического электропотребления относительно плановых показателей, низкая прогнозная состоятельность используемых оценок и моделей может приводить к существенным финансовым потерям компании при покупке электроэнергии.

Система тягового электроснабжения электрифицированного участка железной дороги является сложной системой, в которой процесс энергоснабжения протекает под воздействием большого числа факторов детерминированного и стохастического характера [63].

Как видно из рис. 1.1. электросетевые объекты принадлежности ОАО «РЖД» образуют сложную взаимосвязанную систему электропитания, решающую разноплановые функции: питание тяги поездов (контактная сеть); питание устройств обеспечения безопасности движения поездов - связь, централизованный перевод стрелочных переводов (СЦБ); питание железнодорожных потребителей: диспетчерские центры управлением движения поездов, вычислительные центры, депо, т.е. питание инфраструктуры, обеспечивающей информационное безопасное сопровождение движения поездов {линии продольного электроснабжения, питание железнодорожных узлов) [67].

Рис.].]. Топология электросетевых объектов эиергоснабжаюших организаций и ОАО «РЖД»

На сегодняшний день, применяемые на железной дороге методы прогнозирования электропотребления на тягу поездов и тонно-километровой работы, используемые в организационных структурах и информационно-технологических системах обладают недостаточной точностью и информативностью, а вследствие этого низкой точностью прогнозирования и соответственно большими отклонениями фактического от запланированного потребления электроэнергии на тягу поездов и выполненной тонно-километровой работы [66,67].

В условиях внедрения на сети дорог ЦИК центров планирования и контроля потребления электроэнергии, интегрирующих функций планирования управления, становится актуальной задача обеспечения ЦПК научно обоснованными технологиями и инструментарием прогнозирования электропотребления и тонно-километровой работы; методами и критериями управления электропотреблением в условиях технологических флуктуаций перевозочного процесса; в условиях ограничений, накладываемых нагрузочной способностью системы тягового электроснабжения и ограничений по финансовым затратам на покупку электроэнергии.

Одним из эффективных инструментов прогнозирования являются методы структурной и параметрической идентификации. При известной структуре модели объекта процедура параметрической идентификации основывается на обработке информации о входных и выходных данных об объекте, при этом, как правило, процесс получения информации сопровождается существенными помехами и сложностями установления из законов распределения, что требует разработки специальных методов и алгоритмов параметрической идентификации.

Известно, что в случае параметрической идентификации многосвязных линейных динамических объектов при наличии помех во входных и выходных сигналах применяются следующие методы: метод наименьших квадратов (МНК), метод максимального правдоподобия (ММП) и метод инструментальных переменных (МИЛ). В условиях априорной неопределённости (отсутствии информации о законах распределения помех наблюдения) и наличии помех, как во входных, так и в выходных сигналах методы МНК и ММП не применимы. Применение в данной ситуации метода инструментальных переменных осложняется самой процедурой выбора «инструментов или инструментальных переменпых»[52,66,67].

В связи с выше изложенным актуальной представляется разработка методов и алгоритмов параметрической идентификации многосвязных линейных динамических объектов в условиях априорной неопределённости, позволяющих получать состоятельные оценки, а также реализация разработанных методов и алгоритмов в виде прикладного программного обеспечения (ПО). Таким образом, диссертационная работа, направлена на разработку указанного ПО и применение разработанного ПО к решению задачи прогнозирования потребления поездами электроэнергии и выполненной при этом ими тонно-километровой работы.

Актуальность работы в плане теории - это модификация стандартного МНК для восстановления неизвестных параметров без существенного увеличения априорной информации при применении этого метода.

Актуальность в вопросах практики - разработка, доказательство и реализация численных методов программными средствами, получение программных приложений для систем, функционирующих в дискретном времени.

Целью диссертационной работы является разработка алгоритма параметрической идентификации процессов в форме многосвязной по входу и выходу линейной динамической системы с помехами во входных и выходных сигналах для повышения точности прогноза тягового энергопотребления и тонно-километровой работы с использованием статистических измерений параметров перевозочного процесса. Для реализации поставленной цели требовалось решить следующие задачи:

• Выполнить анализ процессов тягового энергопотребления и тонно-километровой работы на участке железной дороге как объектов моделирования;

• Произвести обзор существующих методов параметрической идентификации многосвязных линейных динамических объектов, выбор и обоснование применения для данного класса;

• Разработать алгоритм параметрической идентификации многосвязных линейных динамических объектов, при наличии помех во входных и выходных сигналах на основе критерия модифицированного МНК и создание на основе его программного обеспечения;

• Получить оценки точности прогнозирования тягового электропотребления и тонно-километровой работы с использованием программных комплексов NORD-3 и КОРТЭС, а также классического и модифицированного МНК, как методов принадлежащих к одному классу;

• Применить созданное программное обеспечение для решения задачи прогноза тонно-киломстровой работы и энергопотребления наперед заданное время.

Методы исследования. В работе использованы методы системного анализа; элементы математической статистики, теории идентификации моделей, теории матриц, линейной алгебры; прикладное программирование и математическое моделирование.

Достоверность и обоснованность научных положений подтверждается соответствием результатов теоретических и тестовых испытаний и расчетов, математического моделирования и экспериментальных исследований.

Научная новизна диссертационной работы заключается в решении проблемы повышения точности прогноза тягового энергопотребления и тонно-километровой работы на железнодорожном транспорте, а именно:

1. Разработан критерий модифицированного МНК для определения параметров многосвязной по входу и выходу модели тягового энергопотребления и тонно-километровой работы при наличие помех во входных и выходных сигналах, который в отличие от классического МНК позволяет получать состоятельные оценки параметров рассматриваемой модели.

2. Разработаны методики определения параметров многосвязной модели тягового энергопотребления и тонно-километровой работы, с применением предложенного критерия, которые сводятся к многократному решению систем линейных алгебраических уравнений.

3. Реализованы алгоритм и методика прогнозирования позволяющие повысить точность прогноза процессов тягового энергопотребления и тонно-километровой работы с использованием данных перевозочного процесса: массы поездов и времени их проследования по участку.

Практическая значимость.

Построена модель тягового энергопотребления и выполненной тонно-километровой работы на участке железной дороги с использованием разработанного программного обеспечения, реализующего предложенный алгоритм параметрической идентификации многосвязных по входу и выходу линейных динамических объектов на основе разработанного модифицированного метода наименьших квадратов. Модель применена к решению задачи прогноза тягового энергопотребления и выполненной тонно-километровой работы на участке железной дороги для сокращения издержек компании ОАО «РЖД».

Реализация и внедрение результатов.

1. Разработанное программное обеспечение использовано в деятельности «Энергосбыт» (ЦПК - центр планирования и контроля) Куйбышевской железной дороги в следующем виде:

• методик и рекомендаций для расчета моделей распределения энергопотребления и тонно-километровой работы, получаемых на основе анализа данных перевозочного процесса;

• программного обеспечения для идентификации моделей распределения энергопотребления и тонно-километровой работы во времени, реализующего разработанные в диссертационной работе алгоритмы параметрической идентификации.

На защиту выносятся: о Модифицированный критерий метода наименьших квадратов, который в отличие от классического МНК позволяет получать состоятельные оценки параметров многосвязной по входу и выходу линейной динамической системы при наличии помех во входных и выходных сигналах. о Итерационные методики решения задачи оценивания параметров многосвязной линейной динамической модели на основе минимизации отношения двух квадратичных форм. о Модель тягового энергопотребления и выполненной тонно-километровой работы на участке железной дороги, использующую как входные переменные статистические измерения параметров перевозочного процесса. о Методика и алгоритм позволяющие повысить точность прогноза процессов тягового энергопотребления и тонно-километровой работы за счет использования эксплуатационных данных перевозочного процесса.

Апробация работы. Результаты основных положений диссертации доложены, обсуждены и утверждены на:

1) Двенадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Пущипо, 17-22 января 2005 года. Тезисы Двенадцатой международной конференции, с,- 121.

2) XVIII Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях». Казань, 31 мая - 2 июня 2005 года. Сборник трудов конференции, том 2, е.-110-112.

3) XIII международная конференция «Математика. Экономика. Образование». Новороссийск, 29 мая - 5 июня 2005 года. Тезисы докладов конференции, е.-105.

4) The twelfth General Meeting of European Women in Mathematics. Volgograd, September 18-24, 2005.

5) Тринадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 23 - 28 января 2006 года. Тезисы Тринадцатой международной конференции, е.-150.

6) Двенадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Пущино, 17-22 января 2005 года. Сборник научных трудов, том 2, е.- 528-537.

7) V международная конференция «Идентификация систем и задачи управления SICPRO '06». Москва, 30 января - 2 февраля 2006 года. Компьютерный диск «Труды V международной конференции», ISBN 5201-14984-7, с.-1125-1130.

8) XIV международная конференция «Математика. Экономика. Образование». Новороссийск, 28 мая - 3 июня 2006 года. Тезисы докладов конференции, С.-141.

9) XIX Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях». Воронеж, 30 мая - 2 июня 2006 года. Сборник трудов конференции, том 2, е.-113-114.

10) Спирин С.А. Алгоритм построения оценок параметров линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах во входных и выходных сигналах/ Волныкин А.Н., Кацюба О.А., Спирин С.А., Тренъкин В.МЛ III международная конференция по проблемам управления. - М.: ИЛУ РАН, 2006. Пленарные доклады и избранные труды, С.-237-240.

11) Кацюба О.А., Спирин С.А. Определение параметров многомерной линейной стационарной динамической системы при наличии помех во входных и выходных сигналах//Известия Самарского Научного Центра Российской Академии Наук, том 8, номер 4, е.-1034-1041. Октябрь-декабрь 2006 года. ISSN 1990-5378.

12) Кацюба О.А., Спирин С.А. Алгоритм решения задачи оценивания параметров многомерных по входу и выходу линейных разностных уравнений, при наличии помех во входных и выходных сигналах//

Компьютерный диск «Труды VI международной конференции SICPRO '07». 2007. ISBN 5-201-14992-8, C.-1307-1380.

13) Спирин С.А. Численный метод оценивания параметров многомерных по входу и выходу линейных разностных уравнений/ Спирин СЛ., Кацюба О.А.// Четырнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Пущино, 2007. Тезисы Четырнадцатой международной конференции, С.-61.

14) Спирин С.А. Оценивание параметров линейных разностных уравнений при наличии помех во входных и выходных сигналах// Сборник трудов XX международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Статья - Ярославль: ЯГТУ, 2007, том 2, - С., 98-101.

15) Кацюба О. А., Спирин С.А. Параметрическая идентификация многомерных линейных разностных уравнений при наличии помех во входных и выходных сигналах на примере прогноза тонно-километровой работы и электропотребления для ОАО «РЖД»//П Международная научно-техническая конференция «Аналитические и числовые методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем». Пенза, 4-5 сентября 2007 год. Сборник статей, е.- 219 - 222.

16) Кацюба О.А., Спирин С.А. Алгоритм решения задачи идентификации многомерных по входу и выходу стационарных линейных динамических систем при наличии помех во входных и выходных сигналах// "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB "/ сборник трудов III всероссийской научной конференции. - СПб: СПбУ, 2007. с.684-698.

17) Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007610016. Идентификация линейной многомерной динамической системы при наличии помех во входных и выходных переменных/ С.А

Спирин; заявитель и правообладатель - Самарская государственная академия путей сообщения; заявл. 16.10.06.; зарег. 09.01.2007 г.

Публикации по работе. Самостоятельно и в соавторстве по материалам диссертации опубликовано 16 печатных работ, получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, выводов по главам, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложений. Объем работы: 158 страниц основного машинописного текста, 68 рисунков, 12 таблиц. Библиографический список использованной литературы содержит 123 источника.

Выводы по главе 4

1. В связи со значительными финансовыми затратами, расходуемыми на приобретение энергоресурсов, актуальной становится задача разработки системы управления энергетическими ресурсами. Первоочередным этапом создания такой системы является разработка процедур планирования и мониторинга потребления энергоресурсов. Таким образом становится актуальным решение научно-технических проблем повышения качества прогнозирования и управления тяговым электропотреблением.

2. Так как модель энергопотребления может быть охарактеризована как динамическая, многофакторная система описание которой может быть произведено в пространстве входных-выходных сигналов, то эта модель выбрана в форме многосвязной линейной динамической системы, описываемой линейным разностным уравнением.

3. Сложность применения модели электропотребления и выполненной тонно-километровой работы, наличие помех наблюдений при получении данных о значениях перевозочного процесса лишили возможности эффективного применения стандартных алгоритмов параметрической идентификации и обусловили необходимость применения созданного прикладного программного обеспечения.

4. Предлагаемый в данной работе метод может быть использован в составе программных средств прогнозирования электропотребления и тонно-километровой работы в ЦПК «Энергосбыт» или центрах управления поездной работы для оперативной оценки энергообеспеченности тяги поездов в виде методик и рекомендаций для расчета моделей распределения энергопотребления во времени. Использование разработанного программного обеспечения дает возможность анализировать результаты контроля энергопотребления и выполненной при этом тонно-километровой работы, прогнозировать энергопотребление наперед заданное время и корректировать графики движения поездов обеспечивая тем самым наилучшую пропускную способность в пределах данного участка пути.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках проведенных исследований получены следующие основные результаты:

1. Анализ процессов на участке железной дороги показал возможность построения модели тягового энергопотребления и выполненной тонно-километровой работы в виде многосвязной линейной динамической системы, с привлечением в качестве входных переменных параметров перевозочного процесса: веса пропускаемых по участку поездов и времени их следования по участку. На базе этой модели осуществлён оперативный прогноз тягового энергопотребления и выполненной тонно-километровой работы на участке железной дороги.

2. Проведен анализ существующих методов параметрической идентификации многосвязных линейных динамических объектов, показавший неудовлетворительную способность последних к получению состоятельных оценок параметров уравнений, описывающих данные системы. Для решения поставленной задачи предложен критерий нахождения оценок параметров, на базе модифицированного МНК.

3. Сравнение прогноза построенного с использованием классического и модифицированного МНК показало:

- отклонение фактических значений тягового энергопотребления от прогнозных значений процесса получаемых с использованием модифицированного МНК составило 12% - 15%, с использованием классического МНК от 35%-47%;

- отклонение фактических значений выполненной тонно-километровой работы от прогнозных значений процесса получаемых с использованием модифицированного МНК составило 23% - 27%, с использованием классического МНК от 49% - 55%;

4. На основании предложенного критерия разработан алгоритм получения состоятельных оценок, использующий стандартные процедуры решения линейных разностных уравнений и позволяющий определять состоятельные оценки параметров при априорном знании дисперсий помех во входных и выходных сигналах.

5. Тестирование программного обеспечения (ПО), разработанного в соответствии с методом, показало выполнение условия состоятельности для получаемых оценок. ПО внедрено в ЦПК « Энергосбыт» Куйбышевской железной дороги - филиале ОАО «РЖД».

1. Кацюба О.А. , Жданов А.И. О состоятельных оценках решений некорректных стохастических алгебраических уравнений при идентификации параметров линейных разностных операторов// Изв. Ан. СССР. Техническая кибернетика. 1981. - №5. - С. 165 - 172.

2. Кацюба О.А., Жданов А.И. Идентификация методом наименьших квадратов параметров уравнений авторегрессии с аддитивными ошибками измерений// Автоматика и телемеханика. 1982. - №2. — С. 29-38.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. С. 575.

4. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. - С. 367.

5. Бесков Б.А. и др. Проектирование систем энергоснабжения электрических железных дорог. — М.: Трансжелдориздат, 1963-С. 471

6. Бессонов А.А. и др. Методы и средства идентификации динамических объектов. — Л.: Энергоатомиздат, 1989. 279 с.

7. Бокс До/с., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление. М.: Мир, 1974. - С. 193.

8. Большое Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983.-С. 416.

9. Боровков А.А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука, 1997.-С. 772.

10. Бочев А.С., Чирков В.К. Влияние интенсивности движения поездов на потери электроэнергии в системе тягового электроснабжения// Вестник РГУПС. Ростов-на-Дону, 1999. -№ 1.-С. 68-74.

11. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1967.-С. 608.

12. Бунич А.Л. Идентификация дискретных линейных объектов с большим отношением сигнал/шум// Автоматика и телемеханика. -М.,2001. № 3. - С. 53-62.

13. Бунич А.Л. Пассивная и активная идентификация линейного дискретного объекта с ограниченной помехой// Автоматика и телемеханика. М., 2003. - № 11. - С. 60-73.

14. Вальд А. Последовательный анализ: Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1960.-С. 328.

15. Венцелъ Е.С., Овчаров JI.A. Теория вероятностей и ее приложения. Учеб. Пособие для ВУЗов. М.: Высшая школа, 2000. - С. 480.

16. Верещагин Ю. В. Гид для диспетчера// Гудок, № от 31.01.2007. С. 8.

17. Леман Э. Теория точечного оценивания: Пер. с англ. Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. — 448 с.

18. Гетманов В.Г., Жиров М.В., Шаховский А.В. Алгоритм идентификации для линейной дискретной динамической системы управления// Автоматика и телемеханика. М., 2001. - № 4. - С. 2734.

19. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. М.: УРСС, 2001.-318 с.

20. Гроп Д. Методы идентификации. М.: Мир, 1979. - 302 с.

21. Гуртовцев A.JI. Погрешности электронных счетчиков. Исследование и оценка// Новости электротехники. СПб.: ИПК «НП-Принт», 2007. -№ 1.

22. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979. - 240 с.

23. Дуб Д. Вероятностные процессы. -М.: Иностранная литература, 1956. -605 с.

24. Дубровский С.А. Прикладной многомерный статистический анализ. -М.: Финансы и статистика, 1982. 216 с.

25. Елисеева И.И., Семенова Е.В. Основные процедуры многомерного статистического анализа. JL: УЭФ, 1993. - 78 с.

26. Ермаков С.М., Михаилов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.-296 с.

27. Ершов А.А. Стабильные методы оценки параметров (обзор)// Автоматика и телемеханика. М., 1978. - № 8. - С. 66-100.

28. Закс JI. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976. — 598 с.

29. Илюшин В.Б., Чадеев В.М. Алгоритм идентификации динамических объектов с учетом априорной информации о параметрах// Автоматика и телемеханика. -М., 2006. -№7.-С. 133-143.

30. Каминкас В.А., Немура А.А. Статистические методы в идентификации динамических систем. Вильнюс: Минтис, 1975. - 197 с.

31. Кацюба О.А. Идентификация линейных динамических систем// Учебное пособие. — Самара: СамГАПС, 2004. 67 с.

32. Кацюба О.А., Жданов А.И. О состоятельных оценках решений некорректных стохастических алгебраических уравнений при идентификации параметров линейных разностных операторов// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. М., 1981. -№ 5. - С. 165-172.

33. Кацюба О.А., Жданов А.И. Идентификация методом наименьших квадратов параметров уравнений авторегрессии с аддитивными ошибками измерений// Автоматика и телемеханика. М., 1982. - № 2.-С. 82-94.

34. Каг}юба О.А., Жданов А.И. Рекуррентное оценивание параметров стахостических линейных динамических систем с ошибками по входу и выходу// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. М., 1986. -№ 3. - С. 191-194.

35. Кацюба О.А., Хакгшов Б.Б. Алгоритм нелинейного параметрического оценивания в многомерных задачах статистической обработки// Сиб. отделение АН СССР. Автометрия. Новосибирск, 1984. - № 2. - С. 11-17.

36. Кендалл М., Стюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966. -588 с.

37. Кендалл М., Стюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды . М.: Наука, 1976. - 736 с.

38. Кендалл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1979.-900 с.

39. Кыричков В.Н., Сильвестров А.Н. Построение адаптивных моделей динамических объектов по данным эксперимента. Киев: Вища школа, 1985. - 66 с.

40. Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 11. СПб.: БВХ-Петербург,2004. 560 с.

41. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Наука, 1978. — 598 с.

42. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.: Наука, 1998.- 144 с.

43. Корсун О.Н. Алгоритм идентификации динамических систем с функционалом в частотной области// Автоматика и телемеханика. — М., 2003. -№ 5. С. 111-121.

44. Котельников А.В. Энергетическая стратегия железных дорог// Железные дороги мира. 2005. № 2. - С. 16-24.

45. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. 573 с.

46. Лбов Г.С. Методы обработки разнотипных экспериментальных данных. Новосибирск: Наука, 1981. — 157 с.

47. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. -М.: Физматгиз, 1962. 352 с.

48. Ломов А.А. Сравнение методов оценивания параметров линейных динамических систем по измерениям коротких участков переходных процессов// Автоматика и телемеханика. М., 2005. - № 3. - С. 3947.

49. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. — М.: Наука, 1991.-432 с.

50. Марквардт К. Г. Электроснабжение электрифицированных железных дорог: Учебник для вузов ж.-д. транспорта. М.: Транспорт, 1982. -528 с.

51. Маркус М., МИНК X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. — М.: Наука, 1972. 232 с.

52. Мирошниченко Р.И. Режимы работы электрифицированных участков. М.: Транспорт, 1982. - 207 с.

53. Митрофанов А.Н. Моделирование процессов прогнозирования и управления электропотреблением тяги поездов. Самара: СамГАПС,2005.- 174 с.

54. Митрофанов А.Н. Прогнозирование и управление электропотреблением тяги поездов// дис. д.т.н. Самара: СамГАПС,2006.-500 с.

55. Мудрое В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений. М.: Сов. Радио, 1976.-304 с.

56. Музыкин С.Н., Радионова Ю.М. Моделирование динамических систем. Ярославль: Верхне-Волжское книжное изд-во, 1984. — 301 с.

57. Назин С.А., Поляк Б.Т. Параметрическое оценивание методов эллипсоидов в линейных многомерных системах с неопределенным описанием модели// Автоматика и телемеханика. — М., 2007. — № 6. — С. 67-80.

58. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. JL: Энергоатомиздат, 1991.-303 с.

59. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. М.,1973.-322 с.

60. Панков А.Р. Оптимизация алгоритмов оценивания параметров стохастических систем в условиях неопределенности// Автоматика и телемеханика. М., 1985. -№7.-С. 110-120.

61. Панков А.Р., Семеннхнн КВ. Методы параметрической идентификации линейных моделей в условиях априорной неопределенности// Автоматика и телемеханика. М., 2000. — № 5. — С. 76-92.

62. Пащенко. Ф.Ф., Чернышев К.Р. Методы и системы управления и идентификации на основе знаний// Автоматика и телемеханика. — М., 2000. -№ 2.-С. 3-28.

63. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Адаптивные алгоритмы оценивания (сходимость, оптимальность, стабильность)// Автоматика и телемеханика. -М., 1979. -№ 7. С. 71-85.

64. Прасол А.Н. Ставка на «альфу» беспроигрышна// Гудок, № от 31.08.2000.

65. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Наука, 2002. 400 с.

66. Райбман Н.С. Что такое идентификация. М.: Наука, 1970. - 119 с.

67. Раков В.А. Локомотивы отечественных железных дорог (1956-1975 гг.). М.: Транспорт, 1999. - 443 с.

68. Самарский А.А., Гулин А.В. Численный метод. М.: Наука, 1989. -427 с.

69. Сейдэ/с Э., Мелса Д. Идентификация систем управления. М.: Наука,1974. 247 с.

70. Семеншин КВ. Оптимальность линейных алгоритмов оценивания в задаче минимаксной идентификации// Автоматика и телемеханика. -М., 2004. -№ 3. С. 148-158.

71. Смоляк С.А., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания. М.: Статистика, 1980.-208 с.

72. Сысоев Л.П. Идентификация многомерных стохастических систем при алгебраических структурах ковариации// Автоматика и телемеханика. М., 1998. -№ 11.-С. 172-183.

73. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. М.: Финансы и статистика, 1995. - 384 с.

74. Уилкинсон Д. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. 564 с.

75. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. — М.: Наука, 1971. -312 с.

76. Ферестер Э., Реш{ Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. -М.: Финансы и статистика, 1988. 302 с.

77. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. -М.: Наука, 1984.-288 с.

78. Цыпкин ЯЗ. Оптимальные алгоритмы оценивания параметров в задачах идентификации// Автоматика и телемеханика. М., 1982. -№ 12.-С. 9-19.

79. Цыпкин Я.З. Оптимальность в задачах и алгоритмах оптимизации при наличии неопределенности// Автоматика и телемеханика. М., 1986. - № 1. - С. 75-80.

80. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. - 576 с.

81. Шметтерер JI. Введение в математическую статистику. — М.: Наука, 1976.-520 с.

82. Эйкхофф П., Ванечек А. и др. Современные методы идентификации систем. -М.: Мир, 1983. 400 с.

83. Elberg O.J. Control systems theory. N.Y.: Mc Graw - Hill, 1967. - 4621. P

84. Hodges J., Lehman E. Some problem in minimax estimation// Ann. Math. Statist. 1965.-Vol. 36, №2.- P. 182-197.

85. Huber P.J. Robust estimation of a location parameter// Ann. Math. Statist. 1964.-Vol. 35.- P. 73-101.

86. Katsuba O.A., Volnuikin A.N. The numerical method estimating parameters of multivariate autoregress at presence of handicaps of supervision// «The twelfth General Meeting of European Women, in Mathematics». -Volgograd, 2005. P. 39-41.

87. Rao C.R. Sufficient statistic and minimum variance estimates// Proc/ Camb. Phil. Soc. 1949. Vol. 45. - P. 213-218.101 .Stoica P., Soderstrom T. Bias correction in least Squares identification// int. J. Control. - 1982. - Vol. 35, № 3. - P. 452.

88. Unton F. Recursive estimator of the solutions of linear equation sequence// IEEE Trans. AuT. Control. 1984. - Vol. AC-29. № 2. - P. 177-179.

89. О.A. Katsuba, A.N. Volnuikin, S.A. Spirin. The numerical method estimating parameters of multivariate autoregress at presence of handicaps of supervision// The twelfth General Meeting of European Women in Mathematics. Volgograd, September 18-24, 2005.

90. Митюшкин, К.Г. Телеконтроль и телеуправление в энергосистемах Текст. / К.Г. Митюшкин М.: Энергоатомиздат, 1990. - 287 с.

91. Мызин, А.П. Методы и модели прогнозирования для развития электроэнергетических систем в условиях неопределённости и многокри-териальности Текст.: Дис. . докт. техн. наук / А.П. Мызин. Новосибирск, 1994. - 307 с.

92. Четыркин, Е.М. Статистические методы прогнозирования Текст. / Е.М. Четыркин. М.: Прогресс, 1970.