автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Проекционные методы оценивания параметров нестационарных объектов управления

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ _РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ__

ТГБ м

На правах рукописи

■* "! " •• -Л л-.' ' > >: / .' :

ЛИБЕРОЛЬ БОРИС ДАВИДОВИЧ

УДК 681.5.015

ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

05.13.01 — Управление в технических системах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Харьков — 1993

Работа выполнена в Харьковском государственном техни ческом университете радиоэлектроники.

Научный руководитель:

— доктор технических наук, профессор О. Г. Руденко.

Официальные оппоненты:

— доктор физ.-ыат. наук С. В. Яковлев;

— кандидат технических наук Л. М. Любчик.

Ведущая организация — НИИРИ.

Защита диссертации состоится . 3 ( " ЗМ^сср-З^_

1994 г. в | и часов на заседании специализированного совет. К. 068.037.01 в Харьковском государственном техническом уни верситете радиоэлектроники (31072о, Харьков-726, пр. Ленина, 14)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Харьков ского государственного технического университета радиоэлек троники.

Автореферат разослан ,Ь0 " _ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук,

профессор Э. А. Дедиков

ОБШЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Быстрый прогресс вычислительной техники, постодашоэ-повытште производительности раэличшх процессоров и микропроцессоров открывают новые возможности для управления слоаюшми промышленными и техническими объектами и техио.чогичоскими процессам и реальном масштабе времени. При этом возникает необходимость разработки алгоритмов для систем управления такими объектами и процессами, полнее. использующих возрастающие возможности вычислительной техники. Речь идет, прежде всего, об адаптивных системах управления, ийггольоуюодх поступающую информации об измерениях различных параметров системы для выработки управляющих воздействий. При создашм таких систем вакно&пгим отапом являетол разработка достатсшо точной математической модели управляемого объекта на основе априорной информации. Определенно структуры такой модели является, конечно, наиболее трудоемкой и принципиальной частью робота по созданию системы управления в целом. Обычно, после разбиения (декомпозиции) системы на достаточно автономные подсистемы составляются уже более простил мололи ¡этих подсиотем. При втом. часто модель такой подсистемы уже имеет четкое параметрическое описание п том смысле,• что определены входные п выходные величины, измеряемые в ходо работа, и требуется иа основании в тих измерений построить оценки изменяшихся . значений каких-то внутренних параметров объекта! процесс получения таких значений принято называть идентификацией, хотя, в сущности,ото есть чистая задача оценки параметров в конкретной ситуации. Полученные в ходе решения г<тоП задачи значения параметров используются для упрзплеиия работой объекта или процесса. Ясно, что реальным объектам присуши такие особенности, как зашумленность измерений и нестационорность самих характеристик объекта.

Несмотря на большое разнообразие гювникпшнх задач , многие из них после некоторых преобразований сводятся к одной из наиболее часто встречающихся ситуаций - оценка параметров линейного объекта, бходнюэ и выходные параметры которого связаны лзнмАным урпвпашем, содержащим параметры самого объекта; вследствие 1 ;остадоонарпости значения' отих параметров со временем изменяются, что создает некоторые особенности в анализе- работы применяемых для отслеживания значений втих параметров

алгоритмов, Одна из таких особенностей - важность анализа неасимптотическиг свойств оценок, так как вследствие нэстационарности, или, как ето Судет называться далее, дройфа параметров многие соображения, верные в асимптотике, становятся фактически неприменимыми,

Поетому предметом данной работы является изучение свойств алгоритмов идентификации, или оценки параметров, объекта , описываемого линейным уравнением с нестационарными параметрами.

Целью работы является разработка алгоритмов оценивания параметров нестационарных объектов, имеющих улучшенные динамические характеристики при отсутствии априорной информации о характере дрейфа и наличии помех измерений.

4 Общая методика исследований заключается в применении методов теории вероятностей, линейной алгебры, теории матриц и матричного анализа для получения теоретических результатов, дающих возможность решить поставленную задачу, а также моделировании работы алгоритмов на ЭВМ и экспериментальной проверке теоретических положений.

Научная новизна полученных в работе результатов заключается в следующемI

1. С единых позиций получены формулы итерации оценок параметров для адаптивных итерационных алгоритмов, использующих псевдообратные матрицы, включая алгоритмы с различным соотношением размерности задачи и глубины памяти (числа учитываемых при итерации измерений), таких, как М11К со скользящим окном и многошаговые проекционные алгоритмы.

0. Получены аналитические зависимости лля важнейших характеристик работы этих алгоритмов (скорости сходимости, смещения оценок, среднеквадратичной ошибки) в компактном виде, что позволило проанализировать их свойства в условиях . нестационарности.

3. На основании получешшх формул определены оптимальные оптимальные параметры алгоритмов в различных ситуациях.

4. Получены новые.алгоритмы, специально предназначенные для работы в условиях нестационарности, и показана их эффективность.

Б. Выработаны рекомендации по практическому использовании алгоритмов в системах управления.

Практическая ценность работы. В результате проведению исследований, во-первых,, получены оптимальные параметры уже

известных алгоритмов, во-вгорцх, получен новый перспективный для применения в условиях ностационарности алгоритм, имеющий определенные преимущества.

Внодротае результатов работы. Разработанные метода и алгоритмы вошли в состав математического обеспечения САПР "Сода" в НПО "Карбонат" /библиотека программ построения моделей технологических процессов ПКС/. Суммарный вкономический оф$ект о учетом долевого участия составляет 25 тыс. руб. (в ценах 1985 г.).

Апробация работа. Основные результаты и 'Положения проведешшх исследований докладывались и обсуждались на шести всесоюзных и международны?, научно-технйчоских конференциях и семинорах в период с 1985 по 1993 гг.

Публикации. По теме поучим: исслодоввшгй опубликовано 17 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, двух прилокегый, содеряит 17 рисунков, включает библиографии из 5в использованных источников. Общий объем диссертации 153 страниц.

СОДЕПСЛШЕ ГАБОТИ

В нерпой главе проведен анализ существующий методов оценивания паромотроп не стационарных, линейных объектов и ставится задача исследования. Изучаются свойства алгоритмов оцо:пэ! параметров объекта , описываемого линейным уравнением

у = с*тх (1)

п п п п

гдо - наблюдаешь выгодной сигнал ? Хп - вектор входных сигналов размерности Н»1: с* - вектор оцениваемых нестационарных параметров той же рммерности; ~ случайная помеха измерения выходного сигнала; п - номер временного пага (ппрамотр дискретного времени задачи).

Предполагается, что. коэффициенты с* изменяются достаточно медленно (дрейф параметров), однако закон их изменения неизвестен. Поэтому для их оценки используются алгоритмы с. конечной глубиной памяти.

Многие из имеющихся алгоритмов оценивания параметров иосташюнарних объектов, в том число широко применяющиеся на

практика модификации МШ со скользящим окном, можно описать единым способом . Такие алгоритмы часто называются (достаточно условно) проекционными}при анализе работы в условиях яестационарнооти используются-многие свойства таких алгоритмов в стационарном случав, поэтому в главе рассматривается общий подход к построению таких алгоритмов и некоторые их свойства, полезные в дальнейшем.

Пусть на п-м шаге для объекта, опзюываемого уравнением (1), имеется оценка сд_1 и мы хотим произвести пересчет этой оценки с учетом информации о в последних измерениях ( s - "память" алгоритма;. Сделаем шаг поиска по с. cn=cn_j+ йсп минимальной длины так* чтобы после этого шага выполнялись (с минимальной ошибкой) в последних соотношений (1), то есть

' I.W-XJeACn'2 * и1л' 8dCn«2 -

Т

Введены s-мерный вектор Yn|s = (уп , Уп_,. •<» > ) и.

матрица Ха|а размерности N « в Xn(£)= (acrll*n_11 ... Известно, что решение такой задачи в общем виде дается с томощью псевдообратной к матрице Х^,„ матрицы Х^* s

• ill 3 u| 3

Для общности в эту формулу вводитоя множитель 7п , Корректирующий длину шага с тем, чтобы уменьшить влияние помах, и ' для итерации вектора Сп получается формула

' = - Vn|S>°»-1 + VnUYn|B-

.Здесь Р - матрица проекций на линейную оболочку з векторов -ИI в

столбцов матрицы Хп|в , равная произведению матриц сХыз '

Эта формула при различных значениях параметра'Г (длина шага), памяти алгоритма в и размерностью задачи N дает разнообразные варианты известных алгоритмов. При 7п= 1 и переменном значении в=п (учет всех накопленных измерений) при п > N получаем формулы МНК, при постоянном в > N - формулы МНК со "скользящим окном" и при в < М - формулы рекуррентных проекционных алгоритмов. При введении параметра коррекции длины шага 7^1 для алгоритмов типа

1Л0С получаем варианты указанных алгоритмов со '"взвешенными" оценками 1 оцет-.а предыдущего иаго учитывается о весом 1-*у), а для проекционных алгоритмов - вариант итерационного процесса, сходящегося пря наличии помех в область, уменыааюауюоя о уменьшением 7п или асимптотически сходящегося, ослп 7П удовлетворяет условиям Дворецкого.

При анализе свойств алгоритмов предполагается, что выполняются определенные предположения о статистических свойствах сигналов и помех! 1) векторы <7.^- - независимые гауссовы случайные векторы с нул&ьими средними и скалярной матрицей копариацин (дисперсия компоненты аг] ;2) £ - независимые

Л П 4

случайные величины с нулоьым средним и одинаковой дисперсией о^, некорролирукшие о векторами 3. Сравнение свойств различных алгоритмов при виполнэшет етях стандартных предположвгай дает позмозшость качественно оценить характеристики их работы и выбрать оптимальный вариант, привязка же к копиретннм условиям может потребовать дополнительного анализа.

Далее б главе» изучаются свойства проекционных алгоритмов в стационарном случае при отсутствии помех. Роботу алгоритма

характеризуют величины средней ошибки оцешгоащш М10 } ' и

р

среднеквадратичной сшибки [6п| ; как функции числа шагов п.

С использованном изученных в работах [1-41 свойств случайных проекционных и псевдообрятных матриц выводится рекуррентное

р

соотношение, которому удовлетворяет величина а • = И(|0П| >. Показано, что скорость сходимости последовательности СХп определяется максимальным по модулю корном е

ЕПЕиС

характеристического уравнения, ::ооф£,:шшнти которого равны соответствуют™ кор<ВДиииентам стого соотношения, ■ смеющем при постоянном параметре у вид

е - ь » *}.<1-Т> Рко - О, рк- •ПРЁ-пг-ТШГ5Т]Е). (Л

При анализе уравнения . сначала доказывается, что оно имеет

я р

действительные корни на-интервалах (0,(1-7) ) и (0~7) И ) .Затем доказыраотся, что для контура области, содержащейся внутри окружности радиусом, рэштым наименьшему 'из положительных 'действительных корнай уравнения, выполнены условия теоремы Ругап для многочленов

к

а-к

f, (2) » е3- е®~1, ig(z) = (27-т2)! (1-7)гк-гРке'

из чего после ьлементарного подсчета количества корней следует, что вое остальные. корни уравнения не превосходят по модулю наименьший из положитвдыша действительный корней уравнения и пэетому скорость сходимости определяет максимальный положительный корень 6 , не превосходящий 1, Затем доказывается, что £„„,,

С)ШС ГОдд

монотонно уменьшается от 1 до 1 - 1/ш при увеличении параметра коррекции шага у от О до 1.

'В главе 8 проводится исследование свойсав проекционных алгоритмов в условиях яестационарности, при етом предполагается, что на участке в=0(М) зависимость С*(п) можно очитать линейной; в етом олучае вектор выходных значений Y^ е моашо представить в ' виде

У . = X * о*- DX ® а , nie nie n nie

где

D =

"0 0 ... О'

0 10 О • • «

СО.,, 8-1.

- матрица размерности в » в, описыващая линейный дрейф. Смещение оценок алгоритма МНК со скользящим окном за счет дрейфа параметров определяется в ваших условиях соотношением

ы{еп> = - м ((хп11х^1()-,хп|1вХйуь )а.

Использование симметрии зависимости смещения от векторов Хп позволяет получить простую формулу для смещения оценок 'рассматриваемой модификации МНК при дрейфе параметров!

М 161 = -

Ь - 1

а.

Таким образом, смещение оценок МНК со скользящим окном с ростом ширины окна Ъ растет линейно.

Далее показано, что для данного алгоритма величин!

р

среднеквадратичной ошибки оценивания М1|6п| } определяет« 'соотношением

мг|А _ (ЧЬИ )2, Ь+1,т (N+2)0-8) .»Ья!2 + Ш1 М1«9а» 1 ~ I -Т^ + Т5~(Ь + ^.¿^ )02. '

Затем проводится исследование свойств проекционных алгоритмов, причем применяемый метод расчета дает более компактные и удобные для обозрения и исследования формулы, чем в работах 13,6]. Для смещения оценок, получена нвасимптогичосхая формула

я йГа<1~ §)(в0+(И-о)а)-[в-в(1- ^ )]а,

из которой следует выракение для асимптотического смещения [81

«00 - - (я - ей.'- )]а . •

что моапо интерпретировать как запаздывание на Н - а(1 - ^¿¡У) шагов. "

Вычисление среднеквадратичной ошибки оценпвашя проводятся о использованием той же мо то дики. Рекуррентное соотношению для • ап= М{|9п8г}, выполняющееся с о+1-го шага, имеет вид'

апИ= (1 " йК " 2[1 " йЬепа> -

-(1 - 1)М[ат(1 + Х^^^^г + О^,,)*) ~

"г(1 " 3М(а'Г(1 + Хп|ВС1ХЫЭ»1,п,0-1а) +

+ МК(1 * + °гс -

Для линейно зависящего от. в члена используется вштсашюо вшиэ нэаеимптотическоо вираксшю,' вычисление остальных членов соотношения дает формулу

"Г шп~1 ' й 0<Н,в>|а1г + е" а0 ; ш-- N - 6 +.1;

Оо = е'в(1 - (Н - 8)|в|г]} 6 = 1-1»

ЩИ,в) = 2(11-8 )2 + н + 2в - 4 + (1 - §На-г)г +

, В(2аг - 7в + 8) . в£(аг-1 ) + Ш- + *

Зависимость ап от п в соответствии о этой формулой иыеот вид

ап= Ю(Н,в)|а|г+ (л >1) еп-в(1 - |)[в®в + (Н - е)|в|г).

Среднеквадратичная ошибка сходится к области Б(N,8) км: пеп , то еоть несколько медленнее геометрической прогрессии. Портящий сходимость член пеп имеет максимум при

п Гпё ~ 1п(1 - 1 /ш)

и при го >> 1 втот максимум равен § , После периода настройки

в

порядка нескольких т алгоритм выходит на асимптотическое значение среднеквадратичной ошибки оценивания.

Основным недостатком применяемых для оценки параметров нестационарных объектов алгоритмов является наличие смещения оценок, еквивалентного запаздыванию на число шагов порядка N. Предлагается новый алгоритм оценки нестационарных параметров на основе прямых оценок вектора дрейфа, идея которого заключается t следующем. Если выбрать глубину памяти алгоритма в > N. то пс 8тим измерениям мокно исключить вектор С, умнозкая обе части (2 на любой из в-мерних векторов, принадлежащий ядру матрицы Хп(в то есть вектор У, удовлетворяющий условию

хп|8у =.0 (ИЛИ Т^гГ 0) .

Это позволяет получить соотношение, в которое входит тольк вектор а»

*Ык= "п|к«п + Св|к.» *Ык= >Т5Гп|3'"п|к = -

Теперь ыокно пострэ»п_ ькг.^. а, для чего, как видно,

из 8тих на каэг"» ссгч сяещтз вычислить пересчитанные'

значения' гзодов » |к к эагрда *&»■ хек зесислиость выходе о*

входа'-дается линейны» ураен:-юом с ^ектс-рсц параметров 8, для его оценки могс'о применять известные алгоркзма.

Н4о<Зй.ог;'аый для построения оц.лэ!•- вектор V, припадложацой ядру матриш X, в или несколько таклг гг-•-»■•;роп (для Солее выстрой

Гд | О .

сходимости ацэнхи а) могло получить, строя матрицу ЫНК по9вдооврат!»ук матрицу 5 матрино ттроекцни Р0 на ядро матрицы Хп!о давтел формулой

Ро * 1 ~ ХЫзХп1в *

в качестве векторр. 7 мокне еэдгь любу» строку б той матрицы.

Имея достаточно героине оценки вектора а, можно строить оцещш вектора с. Анализ показывает более высокую скорость сходимости по смещению и среднеквадратичной ошибке. Это яэдтверадпют результаты моделирования, представленные в главе

В главе 3 исследуется влияние помех на свойства оценок. При наличии помех измерений выходной величины в стационарном случае при постоянном (или постоянном в асимптотике) параметре коррекции шага 7 оценки остаютоя несмещенными, по среднеквадратичная ошибка с ростом числа шагов стремится к постоянному значению. При наличии помех измерений входных сигналов или, в Солее общем случае, при наличии корреляции входных сигналов и помех возникает смещение оценок; Наличие помех измерений выходной величины приводит к тому, что (без учета нестационариости) рекуррентное выражение для величины С*п = М(.|0п}г) принимает вид

а„ = а„-Г(3? " Т2) 2 PA.it Т2 Р(8,М.Т) . где р. - те асе, что и в (3),

' — Л

3- 1

Р(в.К.7)= Т0- (2Т - уг> >](1-7)гк""2 V*

9 - 1

= а± ♦ 2(1 - 7)ЬГ - 4

(N-5+1-1) О*

VE1 <1 - 7>4-.,lt,) d±

Обозначая

0 - D0<e,H.T> = »

получаем,, что для' последовательности un= an~ D выполняется рекуррентное соотношений ( 2- ) , так что ar~ o)n+ D сходится к величине D со скорость::., определяемой характеристическим уравнением . Зависимость Б от параметров s. M, 7 в явном виде исследовать аналитически трудно, и были проседотг расчеты

на ОВМ для конкретных значений параметров в и В. Результаты расчетов показали, что вплоть до областей «Ю,3 DQ многошаговые алгоритмы эффективней однслагового и том смысле, что ггри той но величине. асимптотической срадиогоодратичной ошибки скорость бходимооти их к стой воли*г:жя шаа, чем у одношаговдх.

В тех ке условиях среднеквадратичная ошибка оценивания МНК о окном дается Формулой

К

а = ——--i •

n (L-N-1) о

Далее в главе исслодустся влияние помах измерений входных сигналов, когда входной вектор ïn измеряется с аддитивной помехой еп , то есть вместо Хп наблэдаетсл вектор

1соторый и используется для построения оценок в соответствии о формулой (8). Если компоненты помехи измерений входов еп независимы, а их статистические свойства аналогичны свойствам помехи на выходе, то оценки становятся смещенными, а величина асимптотического смещения дается формулой

lim М{9 } = - Я.0 , А = -5——* . п-оо " °е

Таким образом, наличие помех измерений входных векторов приводит к смещению оценок, зависяисму от статистических свойств полезных сигналов и псмех.

Среднеквадратичная ошибка, определяемая помехами измерения

входов, стремптоя к предельному значении

ol. = lim М{|0 |г) = UK + ff 1 : I !(1 - А.) > |о* |г.

гг^а?

•Докаэазагтоя , что ас»вгттог;"!всков смецеппе оценок параметров о-Зъекта не зависит ст г.':Пор» последовательности длин пагоз у , которую моаво Бис,грэт~ двЗой, удовлетворяющей лишь условиям сходаыооти в отсутсюде псм-js. Оказывается, при сирште cicio Ь > М, т.о есть при работе алгс~!:тно 'ДНК со скользящим окном, смещение опенок дается теми кэ форм.глаьп!.

Далее рассматривается общий случай наличия корреляция вектегов входных сигналов п помог па выходе. С применением теореш о нормальной корреляте! иолучены смещение оценок алгеритмаз ц Еыракещад для асимптотической. среднеквадратичной оотийги сцежзания для цроекаяонпкк алгоритмов а алгоритма МЯК окном.

В четвертой главе проведено чодэл«>рсваш!е работы алгоритмов на ЭВМ па модельных к реальных да::гпл. Проведан сравнительный анализ ргбоги алгоритмов с нестационарны л объектами, на основе выведенных ранее аполитических зависимостей получены оптимальные параметры алгоритмов к<ж функции- размерности Задачи. Так, для алгоритма f.GIK с окном среднеквадратичная ошибка оцешгеания минимальна при ширине окна порядка 4/3*1 (Н - размерности задачи), для проэкциешшх алгоритмов - при глубине памяти порядка Q,6N, причем проекционные алгоритмы дают оценки с лучшими свойствами.

Приводятся результаты моделирования работы различных алгоритмов, в том числе на реальных данных технологического процесса производства кальцинированной соды. Результата моделирования находятся в согласи! с теоретическими выводами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. С единых методологических позиций выведены формулы итерации оценок, .осуществляемых с помощью различных проекционных алгоритмов (в том числе и МНК), в которых используются свойства псевдообратных матриц .

2. Заново е использованием аппарата теории функций комплексной переменйой проведено исследование характеристического уравнения, корни которого определяют скорость сходимости

среднеквадратичной ошибки проекционных алгоритмов в отсутствие помех и скорость сходимости к области. определяемой помехами, пр; наличие покое. Доказана такзда монотонная зависимость эадашиг< скорость сходимости максимального по модулю корм характеристического уравнения от параметра длины швга.

3. Применен новый метод расчета аналитических зависимости для характеристик роботы алгоритмов, давший возможность получит! оти зависимости в компактном виде, позволяющем проанализировав пх свойства при работе в различных условиях. Особый интеро продеташшпт Формулы, описывыадао зависимость смошоиия оценок среднеквадратичной .-¡¡глбг-и оценивания от глубины памяти, ил ширшш окла, алгоритмоп; это дало возможность проанализироват рти формулы на наличие минимума,

4. Нп основа проведенного анализа нолучешшх формул найдены оптималышэ параметры алгоритмов при работе в нестационарна условиях.

Б. Проведено исследование влияния ошибок в измерониях входных переменных на своГита сценок. Показано,что ©то привод!

к смешению оценок, и по.т/чона оценка такого смяцэигя. Изучс также более обдай вопрос о ьлиятши корреляции сигналов и помох, которой сводится,»! случай кямерения ВЯ0Д1ШХ векторов с помехам* на свойстпи оценок. Покпзыю, что наличие указанной коррелшн присолит к . смоцэш» о»ги;;ск -кэучванмх. алгоритмов , получо! формулы для смошошт оцоиск при наличии такой корръжцт.

6. ГТродлсяои нота"- алгоритм оценки исстеишонариих параметров, осиокмпшй т щиплой оценке скорости дрейфа. Эт< алгоритм превосходит известнно но саоим характерно ппсам и является вссьмп перспективным, сформулирован также ряд ноы задач по дальиойнюму исследованию его свойств.

7. Проведено моделирование работа алгоритмов на ЭВМ.

3. Ььфлбзтшш рекомендации но практическому иопользеван алгоритмов в системах управления,

Осномшо положения диссертации опубликованы и следок«: работах!

1. йценко Л,Л., Либероль Б.Д., Рудсшсо О.Г. Многошаговые

ядго.|штмм идентификации линсЯ>шл. объектов //Докл • -АН .УССР. Сор.Л.-1885.г» 7.- С..ВЯШ.

2. Ищенко Л.Л.. Либероль Б.Д..Руденко О,Г. Адапшькоо оценивание параметров пестационарша объектов // Докл. лН УССР. Сер. А.7 1085.- $ 1Я,- - С.70-73.

3.' i'neimo Л. А., Либвроль Б,Л. «Ру.г'.анко О.Г. Пойпдопроокцйошшэ алгоритм« параметрической цдаати^ясаняа // Тезиса докладов 17 Всесоюзного симпозиума "Мвто/.и вдентгфтвиэт гз задачах измерительной техники и метрологии".- Новосибирск.-1985.-C.D7-E8.

4. Кщенко л.Л., Либероль Б.Д..Рудеггко О.Г. О свойствах одного' класса многошаговых адаптивных алгоритмов идентификации // Кибернетика.-1386.-JS 1.-С.Э2-Э6.

5. Бсбух А.Э., Либероль Б.Д., Роговэнко В.В., Руденко О.Г. Псевдопроекциопнна алгоритмы оцениваикл параметров регрессио1ШЫХ моделей хкмико-тохнологическхх процессов // Статистические метода в основной химии. - Харьков, ШОХ194, 1986.- Т. 63.-С.39-60.

6. Ищенко Л.А., Либероль Б.Д., Руденко О.Г. О свойствах одпсго масса многошаговых алгоритмов идентификация // Автоиетряя.-1S87.- й 1 С.8-12.

7. Ищенко Л.А., Либвроль Б.Д., Руденко О.Г. Исследозанив вопросоэ сходимости алгоритмов идептификацад о память» // Автоматика.-1037,-й 3.-С.68-71.

8. Либероль Б.Д., Минухин C.B., Гуденко О.Г. оценка скорости сходимости и регуляризация многошаговых адаптивгих алгоритмов идентификации // Дап. в УкрШИНТИ, 1987, Л37-31 ~Ук 87.-16 о.

9. Либероль Б.Д., Руденко О.Г. Влияние корреляции сигналов и помех на свойства алгоритмов идентификации // Тезисы докладов V Всесоюзного симпозиума "Методы идентификации в задачах измерительной техники и метрологии".- Новосибирск.-1989.-с.51-52.

' 10. Либероль Б.Д., Руденко О.Г. Проекционные алгоритм! идентификации нелинейного объекта // Тезисы докладов V Всесоюзного симпозиума "Методы идентификации в задачах измерительной, техники и метрология".- Новосибирск.-1989.-с.е-7.

11. Либероль Б.Д., Руденко О.Г. О свойствах проекционного алгоритма оценивания коэффициентов квадратичной формы // Докл. АН УССР.Сер.А.-1989.-й 5.-С.67-уО.

13. Либероль Б.Д., Руденко О.Г. Свойства проекционных алгоритмов

идентификации при наличии корреляции сигналов и помех // ДоКЛ. АН УССР.Сор.А-.-1Э8Э.-£ 6,- С.65-67.

13. Либероль В.Д., Руденко О.Г. О смещении оценок дрейфующих параметров, полученных с помощью проокционных алгоритмов // Тезисы докладов IV Всесоюзной ноучко-тех;шчоской конференций "Применение многомерного статистического анализа в ©кономике и оценке качества продукции".- Тарту. -1989,- с.44-45.

14, Либероль Б.Д., Рудэпко О.Г. Проекционные процедуры выделения тренда // В кн. "Методы к мнкроолектронные средства цифрового .преобразования я обработки сигналов. (Тезисы докладов конференции)." Рига, 1089. - с. 123-124.

16. Либероль Б.Д., Рудо1гко О.Г. О свойствах проекционных

алгоритмов оценивания парвмотров нестационарных объектов // Докл. Ali УССР.Сор.Л.-199СК-.Э 4.-С.71- V4.

16, Либероль Б.Д., Руденко Q.V. Двухступенчатый алгоритм оценивания параматроп нестационарного объекта // Докл. АН УССР.Сор.А.-1990.-й 7.-С.74-76.

17. Либербль Б.Д., Рудонко О.Г. Оценивание нестационарных параметров линейной рагроссиоююй модели // Мотоды представления и обработки случайных сигналоь и полей.

III Мездународнэп научно-гокническая конференция. Тозпсы докладов. Харьков: 1993.- С.ИЗ.

Подписано к печати 21,12.93г. Объем! печ.л. Уч. -изд.л. 0,75

. Формат бамаги 60 х 84 Тира* 100 экз. Зек. 2/1414

Типография ХВУ, Сумская, 77/79