автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Проекционно-связные методы решения линейных интегральных уравнений и приложение в задачах, моделирующих процессы колебаний

РГ6 од

• п «рг ^АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ АРМЕНИЯ

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ ИНФОРМАТИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ

Нз правах рукописи

Андраникян Арминэ Робертовна

ПРОЕКЦИОННО-СВЯЗНЬЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ПРИЛОЖЕНИЕ В ЗАДАЧАХ, МОДЕЛИРУЩИХ ПРОЦЕССЫ КОЛЕБАНИЙ

05.13.16"- Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ :

диссертации на соискрк"э ученой степени кандидата физико-^згешатических наук

Еревпн -

1993

Работа выполнена в ИПИиА АН РА

Научный руководитель - кандидат физико-математических

наук, с.н.с. БАБАДЖАНЯН A.A.

Официальные оппоненты - член корр. АН Армении,

доктор физико-математических наук, профессор НЕРСЕСЯН А.Б.

- кандидат технических наук, с.н.с. АЛАВЙдаН С.Б. .

Ведущая организация - Ереванский Государственный университе*]

Защита диссертации состоится **_" _ 1993г. в

"_" часов на заседании специализированного совета К 005.21.01

по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в институте проблем информатики и автоматизации АН Армении по адресу: 375044, г.Ереван, ул. П.Севака I.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ИПИиА АН РА и ЕЛУ.

Автореферат разослан и_" __;__ 1993г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических

наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Решение интегральных уравнений численными методами является одним из важных прикладных разделов современной математики, которое позволяет получить эффективные математические модели задач из многих областей естественных наук.

Интегральные уравнения нашли широкие применения в области физики (теория потенциала, теория упругости, теплопроводность и т.д.), в механике (колебания конструкций), в аэродинамике (собственные колебания крыльев самолета), в газовой динамике, в электротехнике и т.д.

Среди прямых методов решения интегральных уравнений широкую область применения имеют проекционные методы (метод Галеркина и его разновидности). Однако нахождение приближенного решения практических задач как в проекционных методах, так и других прямых методах связано с решением систем уравнений большой размерности, что представляет существенные трудности при их реализации на ЭШ с повышенной точностью.

Существующие итеративные методы, основанные на принципе сжимающих отображений (метод последовательных приближений и его разновидности, комбинированные методы, к которым относятся проекцион-но-итеративные методы), легче реализуются на современных вычислительных машинах, однако их недостатки также известны (как, например, ограниченная область применения методов и медленная сходимость в ряде случаев).

Наличие итеративных методов не исключает возможности разработки новых, более эффективных методов, ускоряющих сходимость итеративных методов, расширяющих область применения и -сокращающих количество вычислений. Такими являются внутренние и внешние проек-ционно-связные методы для решения операторных уравнений^ (не связанные с принципом сжимающих отображений), которые имеют более широкую область сходимости, чем существующие итеративные методы, и в отличие от прямых методов связаны с решением систем произвольной

* Бабаджанян A.A. Проекционно-связные методы решения систем уравнений. ДАН СССР, 1986, т.291,•№5, с.1037-1040.

размерности. Поэтому применение проекционно-связных методов для решения интегральных уравнений является актуальной проблемой в теоретическом и прикладном аспектах.

Цель работы состоит в разработке и реализации эффективных проекционно-связных методов решения линейных интегральных уравнений и приложений в задачах, моделирующих процессы колебаний, а именно:

- разработать разновидность проекционно-связных (внутренних и внешних) методов для решения линейных интегральных уравнений второго рода;

- предложить внешний проекционно-связный метод для нахождения нормальных решений линейных операторных уравнений второго рода;

- разработать алгоритм проекционной схемы предлагаемых методов;

- применить одномерные проекционно-связные методы решения интегральных уравнений с вырожденными ядрами;

- разработать алгоритм дискретной схемы проекционно-связных методов и численно реализовать на ЭШ;

- исследовать эффективность (область и быстрота сходимости) проекционно-связных методов и провести сравнительный анализ с известными итеративными методами;

- апробировать предлагаемые методы в задачах, возникающих при исследовании процессов колебаний.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

- предложены алгоритмы проекционной и дискретной схем внутренних и внешних проекционно-связных методов для'решения линейных интегральных уравнений второго рода;

- дается развитие внешнего проекционно-связного метода для нахождения нормальных решений линейных операторных уравнений второго рода;

- разработан алгоритм проекционной схемы предлагаемых методов

- применены одномерные проекционно-связные методы для решения интегральных уравнений с вырожденными ядрами и-получено достаточное условие сходимости.одномерного внутреннего проекционно-связноп метода в частном случае вырожденного ядра;

- разработан алгоритм дискретной.схемы проекционно-связных

методов, описан- способ построения базисных функций, при которых численная реализация методов имеет существенные преимущества (экономия памяти ЭВМ и машинного времени);

- показана эффективность проекционно-связных методов (широка* область применения и быстрая сходимость) приведенными численными примерами и результатами экспериментальных сравнений с известными итеративными методами;

- дано приложение проекционно-связных методов в задаче о вынужденных поперечных колебаниях струны,, сводящейся к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода с разделяющим симметричным ядром и проводится сравнительный анализ с итеративными методами.

Методика исследования. При обосновании полученных в диссертации результатов используются результаты из теории интегральных уравнений и математической физики, а также общая теория приближенных методов решения операторных уравнений.

Практическая ценность. Разработанные в работе алгоритмы и программы проекционно-связных методов могут найти применение при решении прикладных задач в механике (задачи о вынужденных поперечных колебаниях струны, продольных колебаний стержней,.поперечных колебаний мембраны, колебаний вращающегося вала), в физике (теори» потенциала, теория'упругости), в электротехнике (электрические колебания в проводах), в аэродинамике, в газовой динамике и т.д. Алгоритмы проекционно-связных методов можно построить с организацией параллельных вычислений на многопроцессорных ЭВМ.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Ш Всесоюзном совещании "Теория и практика использования методов агрегирования в планировании и управлении" (Казань, 1986г.), на Всесоюзной школе "Современные проблемы численного анализа"- (Дилижан, 1988г.), на У Всесоюзном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Одесса, 1991г.), на научных семинарах ЕрПУ, института математики 'АН Армении и ИПИиА* АН Армении. Основное содержание диссертации опубликовано в работах [1-5].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (73 названий). Работа изложена на 97 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, представляется научная новизна работы и кратко излагается содержание работы по главам.

В первой главе приводится приложение линейных интегральных уравнений второго рода в задаче о вынужденных поперечных колебаниях струны, дается краткий обзор приближенных методов их решения, предложены алгоритмы проекционной и дискретной схем внутренних и внешних проекционно-связных (ПС) методов решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода и предложен внешний ПС метод для нахождения нормальных решений линейных операторных уравнений второго рода.

Рассматривается интегральное уравнение Фредгольма второго рода

и(х)= л \ К Ы> и(5)с/в +Ё(х) (I)

о

с вполне непрерывным оператором Ки = \ К.(х, $• Предполагается оператор ) непрерывно обратимым.

Характерным объектам приложения (I) является задача о вынужденных поперечных колебаниях струны, которая приводит к решению (I) с разделяющим симметричным ядром

и, , Г1

К изучению уравнений рассматриваемого класса приводит рассмотрение продольных колебаний стержней, поперечных колебаний мембраны, электрических колебаний в проводах, колебаний вращающегося вала и других процессов.

В обзоре дается краткая характеристика прямых и итерационных методов решения (I) и показывается связь ПС методов с проекционными методами, нестационарными проекционно-итеративкыми методами и методами многопараметрического итеративного агрегирования.

Приближенные решения уравнения (I) внутреннего (внешнего) ПС метода определяются из итеративного процесса

^М'ХКРкЦс^М + К*), С-0,1,... (2)

(для внешнего процесса

<<00»*РкКак„{к) + &к) (3)

где, начиная с заданного проектора Рв , на каждом шаге £+1 проектор Рк удовлетворяет условию {& ): Ри ик(к) -=-икЫ) (соответственно условию (.&'): РкКикЫ)-Кик(х)), 1,2,... При этом предпола-ется равномерная ограниченность и существование непрерыв-

ных обратных ( Е-ХКРк )_1(( Е Г1) для 0,1,....

Теорема Iх. При сделанных выше предположениях последовательность решений уравнений (2) (соответственно (3)) сходится к решению (I).

Итеративный процесс (2) можно представить в двухуровневом

виде

Рк = Р* + Рк§(х) {4)

Ы) = ик„1х)+Цх), (к - О) /,...) (2)

что позволяет (2) сначала решить на подпространстве Л(^), а затем скорректировать решение на всем пространстве. Аналогичным образом внешний процесс можно представить в двухуровневом виде.

Если существуют непрерывные обратные операторы {В-АР^К (/с =0,1,...) на подпространстве И (Рк) то существуют непрерывные операторы, обратные к операторам ( £-МРК ), (.£-АР^К), (Е-ЛР^КР^) на всем пространстве и имеет место

{Е-ЪРМГ4 *£<-(£К.)'1 Рк-Рк

для к= 0,1,...

* Представление конечномерного проектора в функциональном виде и в виде разложения взаимно полуобратных операторов приводит к проекционным и дискретным схемам ПС методов.

Проекционная схема-ПС методов исходит из представления конечномерного проектора Рк в виде

Рк иЫ) = Е, ¿1 <4* «)

где I¿¿"¡¡^ - базис подпространства /? (/*), линейно неза-

висимые

функционала (ЖШ*(г*)Гк 4 0),

а при каждом фиксированном

1

х Теорема для линейного операторного уравнения второго рода в банаховом пространстве дана в

» ■ - £ _

« « 1,пк </.. (j = I, л* ) определяются из системы уравнений

Для того, чтобы линейный конечномерный оператор Рк был проектором, который представляется в виде (5), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

с помбщью которого получается алгоритм проекционной схемы ПС методов.

Алгоритм проекционной схемы внутреннего (внешнего) ПС метода содержит следующие шаги: й

шаг I. По найденному приближению ик (я) выбирается базис (^¿(х)};^ с условием им(х)есо{£ск(х)] ( к(*.)£ со[г*(х)] ) (для 0, начиная

с произвольного /) к _

шаг 2; Выбираются'линейные функционалы/. ¿= I, Пк так, что матрица (/ ( г^к ))^ будет невырожденной

шаг 3. Приближенное решение /^представляется в виде

(соответственно

/1/С

(*) = Д ** е*(>д+ ёЫ) )

шаг 4. Коэффициенты^* с= Iопределяются из системы уравнений (предполагается, что система имеет единственное решение)

где «*-(«/,..., «4 )Т

Представление конечномерного проектора в виде разложения вза- . кино полуобратных линейных операторов

Р = Т " т

'к 'к 'к >

где Тк В , а оператор Тк~ : £Пк~* является полуобрат-

нш к Тк ( Тк Т^'Т^ = Тк ), приводит (4),(2) к дискретной схеме внутреннего ПС метода

тк икн{х)ш хтк КТН'Т„ ик„(х)+ 7КЦх) (6)

М- Ш~ТК иК+, (х)+£(х) ( к. - 0,1,...) (7)

с условием Т~ТК ик1х) = и1((х) для к- 1,2,...

Аналогичным образом внешний процесс можно записать в двухуровневом виде

Тк КикН (х)= Д-КкТ~ТкКа^(х) + ТкКё(к) <8)

с условием Т~ Тк КикЫ)-КакЫ) к= 1,2,...

В отличие от (4) уравнение (б) ((8)) решается в подпространстве ЦЛк (изоморфном ВЛк), а затем находится приближение на всем И .

Теорема 4. Одномерный внутренний (внешний) ПС метод с 1+1-ого шага итераций сводится к методу последовательных приближений тоща и только тогда, когда / ( им - ик )=0 ( / ( Как+1 -Как )=0) для к ?><.' •

Показывается, что одномерный внутренний (внешний) ПС метод со второго шага итераций сводится к методу последовательных приближений при проектировании на одномерные подпространства вдоль ядра собственного функционала сопряженного оператора К* , соответствующего простому собственному значению оператора К . .

В §4 предлагается внешний ПС метод для нахождения нормального решения операторного уравнения второго рода в гильбертовом пространстве И

х - <4 х + А (10)

где вполне непрерывный оператор А : Н -+ Н имеет собственное значение, равное единице. Пусть (10) совместна и Е-А дополняемый оператор, т.е. И (£"-Л) ортогональное дополнение пространства N (Е-А). Тогда, на подпространстве /?(£-/4) оператор Е-А непрерывно обратим и для решения (10) на & (£-А) применяется внешний ПС метод

Х"'. ^Лх**"*/, АГ- 0,1,... (II)

где, начиная с заданного проектора Р0 , на каждом шаге к+1 проектор Рк удовлетворяет условию ( В' )'• Рк Ахк~Аи* ( £=1,2,...),

при условии существования непрерывных обратных (Е-Р^А на подпространстве Л(£-А) (об. (Е-Рк^У1/п(е-А)) ( к= 0,1,...).

Пусть (I (Рх ) Тогда для существования непрерывного об-

ратного необходимо и достаточно, чтобы существовал

непрерывный обратный (В-РкА на всем И .

Теорема б. Итерационный процесс (II), где проекторудовлетворяет условиям (&') и (С): Ц (£-Л) ( к=0,1,...), сходится к нормальному решению (10) при условии существования непрерывных обратных обратных (А)~1 для к= 0,1,...

При проектировании на одномерные подпространства условие (С ) для к= 1,2,... автоматически выполняется, т.к./4х*6Л(£-А).

В случае, когда система (10) несовместима, то можно получить обобщенное нормальное решение (10), применив внешний ПС метод (с условием (С) на проекторы) к уравнению

х » +

где Р- ортогональный проектор на /¿(£-А).

Во второй главе излагается проекционная схема ПС методов, в частности, рассматриваются одномерные ПС методы решения интегральных уравнений с вырожденными ядрами и показана эффективность ПС методов приведенными численными примерами и результатами экспериментальных сравнений с известными итеративными методами.

Показывается, что ПС методы позволяют сводить решение (I) к итеративному решению интегральных уравнений с вырожденными ядрами.

При фиксированном направлении проектирования метод многопараметрического итеративного агрегирования (I вариант)^ вкладывается в проекционную схему внутреннего- ПС метода.

Алгоритм одномерного внутреннего (внешнего) ПС метода решения (I) состоит в том, что исходя из начального приближения, последующие приближения определяются следующим образом

имМ^Лх* Ки„и)+(Ы), < 0.1,...) (12)

где к та

* " Л«*)-* Г(*ик) (13)

(для внешнего ПС метода 2

& Красносельский М.А., Лифииц £.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы. - М.: Наука, 1985. - 256с.

"Л1" ГШ) .

[ условий

Теорема 7. При выполнении условий < * ,4

чде 4 4 4 4

¿. - 5 Ц) Щ Ш) Л • /У

во о о

>дномерный внутренний ПС метод с фиксированным направлением премирования сходится к решению (I), где К

В § 3 рассматриваются ПС методы при ортогональном проекти-ювании на каждом шаге итераций.

В конце главы приведены численные примеры, в которых метод оследовательных приближений и метод осреднения функциональных оправок Ю.Д.Соколова не сходятся, однако внутренние и внешние :с методы сходятся, а также примеры, в которых в области сходности итеративных методов подтверждается более быстрая сходимость С методов.

Пример I, показывающий эффективность проекционной схемы внут-еннего ПС метода результатами сравнений с итеративными методами, ассматривается интегральное уравнение с разделяющим симметричным дром, возникающее в прикладных задачах, описывающих процессы ко-ебаний

и(х)~2х+\ К(х, 5) иГЗ)^, <14)

О

це

, Г -¿V , I

Уравнение (14) имеет единственное решение '

К уравнению (14) нельзя применить метод последовательных эиближений.

* Применив к (14) одномерный внутренний ПС метод (12), (13) с нссированным направлением проектирования /(а)= \иО)Л , получим, го приближения по ПС методу дают лучший результат, чем приближения зтода осреднения функциональных поправок Ю.Д.Соколова в одномер-)м случае, причем для получения последних нужно проделать больше гаислений.

Отклонение полученных приближений от точного решения видно

из таблицы I.

Таблица I

X ПС метод игЫ) ад ЧлЫ) метод Соколова й3(Х)

0 0 0 0 0 0 0

0,25 0,13851 0,12500 0,14119 0,13825 0,14338 0,13714

0,5 0,31237 0,35714 0,30948- 0,31269 0,30085 0,31550

0,75 0,56597 0,69643 0,55588 0,56709 0,53045 0,59812

I 0,96403 1,14282 0,95161 0,96538 0,91701 0.9768С

В таблице 2 даны значения полученных приближений внутреннего ПС метода при д =2с переменным направлением проектирования и метода Соколова при ортогональном проектировании на двумерное подпространство, из которого, видно, что второе приближение ПС методг дает лучший результат, чем второе приближение метода Соколова.

Таблица 2

X ПС метод иг(к) метод Соколова. ¿¡¿ДО и*(х)-игЬс) «<.(*)-»¿к)

'0 0 0 0 0 0

0,25 0,13447 0,13859 0,13885 -0,00008 -0,00034

0,5 .0,30303 ...0,31267 0,31323.. -0,00030 .-0,00086

0,75 0,56250 . 0,56601 0,56620 -0,00004 -0,00023

I 0,96970 0,96388 0,96356 0,00015 0,00047

Сравнивая таблицы I и 2 убеждаемся, что с увеличением разме ности подпостранства проектирования повыыается точность яриближе них решений, причем второе приближение внутреннего ПС метода при

(и(Х<)

Г и/у.) = • •

и(кл)\ Л/

г=2 дает более хорошую точность, чем третье приближение одномер-ого ПС метода.

В некоторых примерах ПС методы являются точными. Внутренний внешний) ПС метод является точным на к+1-ом шаге в том и только том случае, когда (соответственно К #.((>)).

В третьей главе предлагается алгоритм дискретной, схемы ПС ме-одов, численно реализованный на ЭВМ и проводится сравнительный нализ с итеративными методами.

Описывается способ построения конечномерных проекторов, удов-етворяющих условию (.&) ((в')). Вводится на [0,1] сетку 0=ХС<... : =1 и определяются операторы

/«м\ /м

=11х.е*/х) • ( к = о-1» — )

це на каждом шаге к+1 базисные функции в*(х) ( I =1, и ) надо выбрать ' ак, чтобы выполнялись условия:

1) = ^ и

2) ик(*)£&!е?(х)] (соответствующим образом Ки^х) &со^г*(х)] )

цля к=0 условие 2) может не выполняться).

Для внутреннего ПС метода примером базисных функций, удовлет-оряющих отмеченным условиям могут быть функции, имеющие вид

, если х Яг]

«/?*) = < ^^ (для ¿=1 Х€ГХ0Л])

[_ 0 для остальных значений

:=1,Л л=0,1,... Аналогичным образом можно построить базисные ункции для внешнего ПС метода.

Алгоритм дискретной схемы внутреннего ПС методе содержит сле-угющие шаги:

шаг I. Выбираются узлы интерполяции Ху,...,Хд=1 на [0,1] шаг 2. Приближенное решение представляется в виде

М = Д 1П7\ 'К1Х,5Х1№ + Ш (15)

зчингя с произвольного а0(х.)

I"- ^ 3. лэффициенты ^■=и)сн(>0 1-1,а определяются из системы равне;-:-"' (прч.гтолагается, что система имеет единственное решение)

«*= А/4К«*+ /> (1б)

где .....<*„')

/ л К > Л * < г1

В некоторых физических задачах (например, рассмотрение обтекание^ крылового профиля), сводящих к уравнению (I), дискретная схема, внутреннего ПС метода обладает определенным преимуществом, т.к. коэффициенты Ы* ¿=1,0, имеют прямой физический смысл и вместо приближенных решений достаточно знать узловые значения этих решений.

Предлагается проекционно-дискретная схема ПС методов, который представляв? проекционная схема ПС методов с базисными функциями (/^'УО/Д -выбранные базисные функции дискретной схемы ПС методов).

Показывается, что метод многопаракетрического итеративного агрегирования, который рассматривается в полуупорядоченном пространстве М[0,1], вкладывается в проекционно-дискретную схему внутреннего ПС метода.

В §3 рассматривается численная реализация алгоритма дискрет ной схемы ПС методов на ЭВМ.

Существенные преимущества дискретной схемы ПС методов состо. в следующем:

1) ПС методы на каждом шаге итераций связаны с решением сис темы линейных алгебраических уравнений произвольной размерности (в отличие от прямых методов, например проекционных методов), чт приводит к экономии памяти ЭШи машинного времени.

2) На каждем шаге интегралы вычисляются на -интервалах [х^/, (¿=1,А), что сокращает количество вычислений.

3) В случае неравномерной сетки на каждом шаге £+1 узлы ин терполяции на [0,1] можно выбрать так, чтобы в (16) подинтеграль ные функции на каждом интервале [х^ £=1»Л были достаточно гладкими, в силу чего погрешность квадратурных формул будет малой.

4) Алгоритмы ПС методов имеют параллельную структуру и могут Сыть реализованы на современных многопроцессорных вычислител

плс машинах.

Программы реализованы на языке РОКЩА' 'V на ЁСЮ4о.

В конце главы приведены численные примеры, результаты вычис-гений дискретной схемы внутренних и внешних ПС методов даны в шде таблиц, которые показывают эффективность ПС методов.

Пример 2, показывающий эффективность дискретной схемы внеш-1его ПС метода. Интегральное уравнение

иШ' 777^4 + -I & (I?) •

5(</х+1) с

[меет единственное решение ил(х) = с* •

Вычисления показывают, что внутренний ПС метод при д=2 схо-(ится к решению (17) значительно быстрее, чем метод последователь-;ых приближений.

Применив к (17) дискретную схему внутреннего ПС метода (15), 16) при ' л=3,4, ¿4,60=1 (интегралы вычисляются методом Симпсона : шагом ^ =0,01), при относительной погрешности £ =10"^ процесс юшения заканчивается на 5-ом шаге итераций, причем пятое прибли-:ение, заданное таблично, отличается от точного решения в 7-ом 1наке. В таблицах 3 и 4 даны значения полученных приближений в ;анных точках соответствено для л= 3 и /1= 4.

Таблица 3

X Г

0 I 1,087967 ' 1,002861 1,000096 1,000001

0,25 | Г,204025 1,399353 1,287813 1,284152 1,284028 '

0,5 1,648721 1,778453 1,652998 1,648865 1,648727

0,75 2,117000 2,259294 2,121702 2,117157 2,117005

I 2,718282 | 2,372323 2,723382 2,718103 2,718286

Таблица 4

X игЫ)

0 1,064923' 1,001620 1,000040 ■ 0,999999

0,25 1,369681 1,286189 1,284078 1,284023

0,5 1,745331 1,651172 1,648780 1,648716

0,75 2,223184 2,119701 2,117063 2,116996

I " 2,833432 2,721220 ' 2,718353 2,718278

В таблице 5 даны значения полученных приближений дискретной схемы внешнего ПС метода при л =2 и для начального приближения ис (х ) =1, который при £=Ю~° заканчивается на 4-ом шаге итераций. '

Таблица 5

X ад

0 1,021785 1,000217 0,599997

0,25 1,293935 1,284119; 1,284018

0,5 1,663167 1,648857 1,648716

0,75 2,125713 2,117077 2,116991

I 2,721291" 2,718305 2,718274

Заметим, что хотя на каждом шаге итераций для получения пр> "лижения внешнего. ПС метода "нужно проделать бсльше вычислений. чг для внутреннего ПС метода (для тоге жа п )., од.-:а:-:с, приближения внешнего ПС метода при Л =2 дают лучший результат, че;/ ггрибляне; внутреннего ПС метода при а=4.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

- применены внутренние и внешние проекционно-связные методы, для решения линейных интегральных уравнений второго рода, предложены алгоритмы проекционной и дискретной схем предлагаемых методов;

- - предложен внешний проекционно-свяэный метод для нахождения нормальных решений линейных операторных уравнений второго рсда; получены условия для проекторов, при которых метод сходится к нормальному решению исходного уравнения;

- предложена проекционная схема проекционнс-связных методов; показано, что-предлагаемые методы сводят решение уравнения Фред-гольма второго рода к итеративному решению интегральных уравнений с вырожденными ядрами;

- применены одномерные проекционно-связные методы решения интегральных уравнений с вырожденными ядрами и полууено достаточное . условие сходимости одномерного внутреннего проекционно-связ--юго метода в частном случае вырожденного ядра; .

- разработан алгоритм дискретной схемы проекционно-связных «етодов, описан способ построения базисных функций, при которых шсленная' реализация методов имеет существенные преимущества (эко-гомия памяти ЭШ и машинного времени);

- показана широкая область применения проекционно-связных гетодов приведенными численными примерами, возникающие в прик-гадных задачах, и з области сходимости итеративных методов экспериментально подтверждена более быстрая сходимость предлагаемых :етодов;

- дано приложение проекционно-связных методов -в задаче о вы-уященных поперечных колебаниях струны, сводящегося к решению ин-егрального уравнения Фредгольма второго рода с разделяющим си-метричным ядром и приведены результаты экспериментальных'сравнена с известными итеративными методами.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Андраникян А.Р. Одномерные проекционно-связные методы решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода с вырожденными ядрами. - 5 кн.: Труды Щ АН Армении. Мат. вопр. кибернетики и вычислительной техники, 1991, т.17, с.96-101.

2. Андраникян Д.Р. Приложение проекционно-связных методов решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. - Тезисы докладов У Всесоюзного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики". - Одесса: ВЦ АН СССР, ОПУ, ВВИА, 1991, ч.Н, с.5-6.

3. Бабаджанян A.A., Андраникян А.Р. Дискретная схема проекционно-связных методов для решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. - В кн.: Теория и практика использования методов агрегирования в планировании и управлении. Материалы Ш Всесоюзного совещания. - Ереван: Изд-во АН Армении, 1993 (в печати).

4. Бабаджанян A.A., Андраникян А.Р. Проекционно-связные методы для решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Препринт №90-17. - Ереван, ЗЦ Art Армении, I9S0. - Збс.

5. -Бабаджанян A.A., Андраникян А.Р. Проекционно-связные методы для решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. - В кн.: Труды ВЦ АН Арм.ССР и ¿ГУ. Мат. вопр. кибернетики и вь;-числ. техники, 1988, т.15, с.218-227.