автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка и исследование быстрых параметрически перестраиваемых ортогональных преобразований в базисах "wavelet"-функций

На правах рукописи

РГБ ОД

Кноте Кар стен

- э K;0,'j ш

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ БЫСТРЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ПЕРЕСТРАИВАЕМЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В БАЗИСАХ "WAVELET"-ФУНКЦИЙ

Специальность: 05.13.01 - Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2000

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете «ЛЭТИ».

Научный руководитель -кандидат технических наук, профессор Солодовников А.И.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Полонников Р.И., кандидат технических наук, доцент Баранов В.Е.

Ведущая организация - Северо-западный заочный политехнический институт.

Защита диссертации состоится «V?» 2000г. в часов

на заседании диссертационного совета К 063.36.03 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» по адресу: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан » МСс^ТС\ 2000г.

Ученый секретарь (/У [)

диссертационного совета Кутузов О.И.

влехоз / Г)

;

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Научно-технический прогресс неразрывно связан с созданием новых технических систем разного назначения и повышением надежности их функционирования. Для обеспечения надежного бесперебойного функционирования систем, особенно в условиях постоянно возрастающей сложности и комплексности, необходимо выполнять контроль и управление состоянием этих систем. Содержание этой задачи включает в себя диагностирование и классификацию текущего технического состояния системы и воздействия на ее параметры на основе полученных сведений, а также такие вопросы, как постоянное слежение за состоянием системы (мониторинг) и прогнозирование. Предметом настоящей работы является разработка математической основы для оценивания состояния технических систем, входящая в общую проблему управления состоянием подобных систем. В работе также рассмотрены методы выделения информативных признаков, характеризи-рующих конкретное состояние диагностируемой системы, на основе которых может быть произведена классификация состояния и идентификация выявленных дефектов.

Среди широко используемых методов выделения информативных признаков, как показано в работе, следует выделить основанные на применении ортогональных преобразований, особенно те из них, которые обладают быстрыми вычислительными алгоритмами. Ортогональные преобразования при соответствующем выборе базисной системы обеспечивают адекватность анализируемой информации при высокой степени декорреляции информативных компонентов.

В течение последних лет интенсивно развивается принципиально новый класс ортогональных преобразований, основанный на использовании вейв-лет-функций. Эти вейвлет-преобразования (В-П) отличаются высокой степенью локализованности базисных функций как во временной, так и в частотной областях, что позволяет применять их для обработки широкого класса процессов, в том числе и нестационарных. Однако построение новых систем базисных вейвлет-функций представляет собой достаточно сложную проблему.

Актуальность диссертационной работы обусловлена возможностью качественного улучшения результатов обработки информации при использовании предлагаемого вейвлет-преобразования в параметрической форме, позволяющей приспосабливать вейвлет-функции к характеристикам анализируемых процессов.

Целью работы является исследование и разработка математического аппарата, позволяющего синтезировать ортогональные системы базисных вейв-

лет-функций, приближенные к характеру анализируемых сигналов и обладающие возможностью параметрического перестраивания.

Для достижения сформулированной цели в работе были поставлены и решены следующие основные задачи исследования:

- анализ существующих методов синтеза приспособленных систем ортогональных базисных функций,

- разработка математических методов синтеза дискретных параметрически перестраиваемых ортогональных вейвлет-функций,

- разработка и исследование алгоритмов быстрых вейвлет-преобразо-ваний в параметрически перестраиваемой форме, оценка их вычислительной эффективности,

- экспериментальные исследования разработанного аппарата при анализе информации различной физической природы.

Методы исследования. При проведении исследований в работе использовались теория спектрального анализа, аппарат матричной алгебры, методы теории вейвлетов и кратномасштабного анализа, численные методы оптимизации.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработана факторизованная параметрическая модель ортогонального вейвлет-преобразования, которая позволяет построить базисные вейв-лет-функции, приспособленные к характеристикам обрабатываемой информации. Разработан быстрый рекурсивный алгоритм параметрического В-П, использующий структурные особенности факторизованных матриц для сокращения вычислений и получена оценка уменьшения вычислительных затрат.

2. Разработан алгоритм текущего параметрического вейвлет-анализа, позволяющего анализировать неограниченные во времени процессы без предварительного их разбиения на интервалы в задачах мониторинга.

3. Приведены основы ортогонального В-П с коэффициентом изменения масштаба базисных вейвлет-функций, равным трем. Разработана параметрическая модель троичного вейвлет-преобразования, а также быстрый вычислительный алгоритм.

4. Предложена методика выбора угловых параметров вейвлет-преобразования с целью приспособления базисных систем к решаемой задаче, основанная на методах цифровой оптимизации.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

1. Разработаны алгоритмы параметрического вейвлет-преобразования и текущего вейвлет-анализа, а также соответствующие программные модули.

2. Проведено подтверждение теоретических выводов обработкой экспериментальных вибрационных процессов при решении задачи технической диагностики состояния роторных машин.

Апробация результатов работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ в 19982000 гг., на Седьмой Международной (Балтийской) студенческой олимпиаде по автоматическому управлению, г. С.-Петербург, 1999 г., а также на XVI Международном межвузовском школе-семинаре «Методы и средства технической диагностики (МиСТД-99)», г. Ивано-Франковск, Украина, 1999 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ, в том числе 4 статьи и 2 тезиса докладов на научных конференциях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 77 наименований, и одного приложения. Основная часть работы изложена на 147 страницах машинописного текста. Работа содержит 32 рисунка и 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель и основные задачи исследования, кратко раскрыто их содержание.

В первой главе приведен краткий сопоставительный анализ наиболее известных в настоящее время ортогональных систем базисных функций. Особое внимание уделяется при этом возможности адаптации той или иной базисной системы к характеристикам изучаемого процесса, а также наличию быстрых алгоритмов, обеспечивающих эффективность и быстродействие вычислений.

В рамках теории цифровой обработки информации преобразование может быть представлено в виде матричного уравнения

У = АХ,

где: А - матрица оператора преобразования размера NxN, представляющая систему дискретных функций,

X = [х1,х2,...,хА^ - вектор исходной информации,

^ = 1У1'У2>---'Ум Г " преобразование (или спектр) вектора X по системе функций А.

В настоящее время известно значительное количество ортогональных базисов, которые по принципу их формирования можно условно разделить на две группы: фиксированные и нефиксированные базисы. К фиксированным базисам, например, относятся следующие: система комплексно-экспоненциальных функций, известная как базис Фурье, базисы Уолша и Хаара, полиномиальные базисы, косинусный базис и другие. К фиксирован-

ным базисам относятся также и возникшие в последнее время вейвлет-базисы (или всплесковые базисы).

В группу нефиксированных (или синтезируемых) базисов могут быть отнесены классы базисов, формируемых по процедурам Грама-Шмидта и Яко-би, функции Виленкина-Крестенсона, базисы, получаемые по методу Кару-нена-Лоэва, а также параметрически перестраиваемые базисы с алгоритмами быстрых преобразований (БП).

Для параметрически перестраиваемых ортогональных базисных систем разработан подход к синтезу на основе обобщенного параметрического матричного оператора А. Наличие быстрого алгоритма вычисления при этом обеспечивается факторизованной формой представления оператора:

А

где: в,'

1—

V 2 /

<Р,1>-><Р N

I-

^ 2 У

слабозаполненные матрицы, ненулевые элементы которых зависят от угловых параметров <р:], / = 1,и; J = \,NI2.

Использование этой обобщенной модели ортогональных преобразований позволяет строить новые базисные системы, приспособленные к анализируемому процессу и учитывающие априорную информацию. Однако существуют условия для использования данного подхода, которые ограничивают область их применения и состоят в неинвариантности преобразования к сдвигу входного процесса.

В последнее время большое число публикаций посвящается ортогональному вейвлет-преобразованию. Особешюстью данного класса ортогональных преобразований является то, что его базисные функции Ц/а Ь{1) формируются в результате масштабирования (параметр а) и сдвигов (параметр Ь) одной порождающей функции (//(/):

0.

Базисные вейвлет-функции отличаются тем, что они локализованы как во временной, так и в частотной областях. Это ведет к возможности частотно-временного анализа обрабатываемых сигналов, поскольку полученный вейв-лет-спектр содержит не только определенную информацию о частотных составляющих сигнала, но и указывает местоположение на временной оси.

Существуют алгоритмы, реализующие ортогональное вейвлет-преобразование в дискретной форме, разработанные на основе теории крат-номасштабного анализа (КМА). При этом определяется масштабирующая

г

\

а

функция <p(t), удовлетворяющая ряду требований, основным из которых является масштабирующее уравнение

cpit^^hvilt-k). к

Коэффициенты hk, однозначно определяющие масштабирующую функцию <p(t), принято называть вейвлет-коэффициентами. На основе выбранной масштабирующей функции определяется вейвлет-функция y/(t) уравнением

= t-k). teZ

Исходя из теории кратномасштабного анализа, дискретное ортогональное вейвлет-преобразование представляется в виде рекурсивного алгоритма: 5(/-l)' = ^j^k-7lSjk = у h_k+1MSjk , s0k =хк,

keZ kaZ

где: Sj - масштабирующие коэффицие1ггы на j-том шаге алгоритма, d,, - коэффициенты вейвлет-преобразования на j-том шаге, хк - дискретные значения анализируемого процесса.

Наибольший интерес на практике представляют вейвлет-функции с компактным носителем, т.е. обращающиеся в нуль вне определенного временного интервала. Это выражается ограниченным числом вейвлет-коэффициентов, не равных нулю. В этом случае количество ненулевых вейвлет-коэффициентов есть четное число, равное 2К, где К является порядком вейвлет-функции.

Ортогональное В-П является мощным инструментом для обработки информации, как стационарной, так и нестационарной. Специфические свойства вейвлет-функций и созданных на их основе базисных систем обеспечивают частотно-временный анализ с выделением информационных компонентов изучаемой информации во временной и в частотной областях. Однако создание новых, приспособленных к определенным характеристикам вейвлет-функций, хотя и возможно, но при использовании известных методов связано с большими математическими трудностями.

Таким образом, построение обобщенной параметрической модели ортогональных вейвлет-преобразований, составляющее содержание данной работы, позволит соединить преимущества вейвлет-преобразования с простотой создания новых базисных систем. Отсюда возникает возможность синтеза новых ортогональных вейвлет-функций, оптимальных для конкретных задач обработки информации.

Во второй главе рассматривается задача отыскания параметрической модели адаптируемого вейвлет-преобразования, которая позволит создавать новые ортогональные системы вейвлет-функций, приспособленные к конкретным требованиям при обработке информации.

Рекурсивный алгоритм дискретного В-П для вейвлет-функций с компактным носителем порядка К может быть представлен в матричной форме. При этом любой шаг алгоритма определяется уравнением:

яг 4,г-..<-.Г

- векторы масштабирующих коэффициентов,

- вектор коэффициентов вейвлет-преобразования,

где

Wi

V

Я- матричный оператор для выполнения данного шага алгоритма В-П порядка К с размерностью N х N, где N длина вектора .

Матричный оператор Я0 при этом имеет следующий вид:

я f =

К

К о

О

О

О

К ■■■ Кк-1

-К ha о "Л кг -К

О о

о

к

h

2A-I "2К-2

О -Кк■-!

/г3 А

Из уравнений рекурсивного алгоритма следует, что длина вектора в два раза больше, чем длина векторов и . Следовательно можно записать

•нг-5,.=нг-на

0

О 1_

Таким образом, ортогональное вейвлет-преобразование может быть представлена в следующем виде:

п-1

где: Ч =

■ Но =

т

KN J

N = 2", НГ =

1-о

нГ2"! 0

о ; i

Во всех шагах алгоритма используется один и тот же матричный оператор Н* разной размерности. В дальнейшем этот оператор именуется вейв-лет-оператором (В-О). Из приведенных соотношений следует, что задача параметризации В-П сводится к параметризации этого вейвлет-оператора.

Параметризация В-0 H<fv производится путем его факторизации в оп-ределешюе число слабозаполненных матриц, в которых ненулевые элементы образуют N12 спектральных ядер. Факторизованные матрицы обозначаются

О

символом Фд., они отличаются распределением спектральных ядер и значением угловых параметров.

Из структуры В-0 следует, как показано в работе, что все спектральные ядра, входящие в одну и ту же слабозаполненную матрицу, идентичны. Таким образом, каждая из матриц Фк зависит от одного углового параметра -Фк(<рк). Количество матриц Ф^, полученных в результате факторизации В-О //0*\ равно порядку К вейвлет-функций. Факторизованное представление В-0 имеет следующий вид:

где Р - матрица перестановки элементов оператора, имеющая структуру:

1 0 0 0 ••• О О" 0 0 10-00

Р =

0 0 0 0 ••• 1 0 о'Т'о"б""'"б"о О 0 0 1 ••• о о

0 О О О ••• 0 1

Структура матриц , т.е. расположение спектральных ядер в них, вытекает из структуры В-0 Н™. Для того, чтобы раскрыть эту структуру, введем вспомогательную матрицу где 1Ф _/', которая содержит одно спектральное ядро, расположенное на г -й и ] -й строке и на / -ом и у -ом столбце:

1 ... / ... 7 ... N

1 П

0

со %д> бш^

J

N

-втр созр

0

1

Таким образом, матрицы Фк (<рк) могут быть представлены следующим выражением:

Приведем пример факторизации В-0 Н" При этом необходимы три матрицы Ф^(<рк)'.

для случая N = 8 и К = 3.

н •• =

с3 0 0 0 0 0 0 " С2 0 0 0 0 0 0

0 с3 0 0 0 0 0 *3 0 С2 0 0 0 0 0

0 0 сз 0 0 0 0 0 0 С2 0 0 0 0 ^

0 0 0 ц 0 ^ 0 0 0 0 0 с, 0 0 0

0 0 0 с 0 0 0 0 0 0 - Ъ и 0 0

0 0 0 -л3 0 сз 0 0 - $ 0 0 0 0 С2 0 0

0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 сг 0

0 -53 0 0 0 0 0 ¿3 _ 0 0 0 0 0 0

С1 0 0 0 к 0 0 0 " 1 0 0 0 0 0 0 0

0 с, 0 0 : 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 С1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 с, : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 К 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 10 С1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 - .у, 0 ; о 0 с, 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 - 5 10 0 0 с, 0 ООО 0 0 0 1

со $срк И 5-,

Одним из необходимых условий для вейвлет-коэффициентов, следующим из теории КМА, является ^Г Ик = л/2 . Это условие ведет к ограничению

к

выбора угловых параметров <рк, что выражается уравнением:

л

к-1

Другими словами, один из параметров <рк следует выбирать в зависимости от остальных:

I-

л

Ы2

Итак, любое дискретное В-П, построенное на основе вейвлет-функции с локальным носителем порядка К и размерностью N = 2" может быть представлено разработанной моделью. Полученный параметрический матричный оператор В-П имеет К - 1 степеней свободы, т.е. имеет К - 1 параметров, которые могут быть изменены независимо друг от друга. Параметрическая модель вейвлет-оператора является универсальной для изучаемого класса ортогональных дискретных вейвлет-функций.

В третьей главе диссертационной работы оценивается вычислительная эффективность параметрической модели В-П, а также разрабатываются алгоритмы параметрического В-П и текущего вейвлет-анализа.

Для уменьшения вычислительных затрат при выполнении параметрического В-П предложен способ, основанный на структурных особенностях матриц Ф^. Предлагается следующее представление факторизованных матриц:

cos^J J

Таким образом, часть элементов спектральных ядер в приведенных матрицах Ф 1{д>к) равняется единице и не требует выполнения операции умножения при расчете преобразования. Факторизация В-0 Н^' с учетом использования приведенных матриц Фк(<рк) принимает следующий вид:

^с-П^Ы-р,

t=l

к

где C = ]~[cos(pt).

Если при использовании известных алгоритмов В-П количество операций умножения, которое требуется для выполнения одного шага преобразования, составляет л = 2NK, то с помощью приведенного факторизованного

представления В-0 удается уменьшить количество умножений до п факт = (К + . В зависимости от порядка вейвлет-функции К сокращение вычислительных затрат может достигать до 50%.

На основе приведенного факторизованного представления В-0 построен быстрый алгоритм ортогонального В-П. Сравнение времени выполнения ортогонального В-П с использованием известных алгоритмов и приведенного быстрого алгоритма, полученные в машинном эксперименте, подтверждают сокращение вычислительных затрат. При этом реальное улучшение быстродействия даже выше, чем ожидалось, что определено алгоритмическими особенностями реализации факторизованного В-П.

В диссертационной работе разработан рекурсивный алгоритм перехода от представления вейвлет-функции в известной модели В-П с помощью вейв-лет-коэффициентов к представлению в разработанной параметрической модели, т.е. процедура перехода от вейвлет-коэффициентов {й^}**"1 к угловым параметрам {(рк , а также предложен алгоритм обратного перехода. Таким образом, для расчета приспособленного В-П можно использовать существующие программные реализации известных алгоритмов вейвлет-преобразования, в которых используются в качестве параметров вейвлет-коэффициенты, если предварительно перевести выбранные угловые параметры в соответствующий набор вейвлет-коэффициентов.

В задачах мониторинга, являющихся актуальными на сегодняшний день как в технической, так и в медицинской областях, характерен анализ неограниченных во времени сигналов, обработка которых должна происходить в режиме реального времени. При использовании большинства ортогональных базисных систем для преобразования такого неограниченного потока информации требуется применение временных оконных функций, что вносит определенные погрешности и вычислительные трудности.

Под понятием "текущий вейвлет-анализ" понимается анализ неограниченного во времени цифрового сигнала с помощью ортогонального В-П. Расчет коэффициентов преобразования производится по мере поступления новых отсчетов изучаемого сигнала, что соответствует анализу "текущей" информации. Преимущество использования вейвлет-функций для текущего анализа сигналов состоит в том, что вейвлет-функции, исследуемые в данной работе, имеют локальный (ограниченный) носитель, т.е. они равны нулю вне некоторого временного интервала. Следовательно, не требуется искусственного формирования ограниченных временных интервалов и применения оконных функций. Кроме того, характер вейвлет-функций обеспечивает ортогональность полученных коэффициентов во всем диапазоне анализа.

Разработанной алгоритм текущего вейвлет-анапиза использует преимущества факторизованной параметрической модели В-П. Он исключает избыточность при выполнении расчетов и обеспечивает оперативность при расчете текущих коэффициентов В-П.

В четвертой главе рассматриваются вопросы обобщения параметрической модели В-П для случая изменения коэффициента изменения масштаба вейвлет-функций. Практически во всех случаях применения ортогонального В-П для решения прикладных задач используются вейвлет-функции с коэффициентом изменения масштаба а = 2. Причинами для этого являются безусловно хорошо известный математический аппарат КМА для а-2, а также сложности синтеза вейвлет-функций для случая а # 2. В данной главе рассматривается вопрос синтеза ортогональных дискретных вейвлет-функций на основе параметрического представления для случая, когда масштабный коэффициент равен трем. Такие вейвлет-функции назовем троичными.

Из математического аппарата троичного кратномасштабного анализа следует существование двух вейвлет-функций, соответствующих одной масштабирующей функции. Таким образом, троичное дискретное В-П может быть представлено следующим рекурсивным алгоритмом:

кег *ег кег

где: Зй4_2, - троичные вейвлет-коэффициенты,

3§1-2!и ^ёк-и " коэффициенты троичных вейвлет-функций.

Из приведенного рекурсивного алгоритма следует представление оператора троичного В-П 31Р в виде:

3Ч> = П3Я;№, где =

а также структура троичного вейвлет-опретора:

"а • 0

0 ! /

Нк =

11а

X X X % • ■■ Хк- 0 0

X V 0 0 X X X

У 0 •• 0

0 0 §ЗК-1 ••

3о2 £>1 0 0 &ЗГ-1 3 о-2 <ЬЗ

0 0 V ¿3 К-1 ьз 3<?2 V ¿>0

Для параметрической факторизации троичного В-0 требуется спектральное ядро размера 3x3 (троичное ядро), для которого выполняется условие ортогональности и нормировки. Из множества возможных троичных ядер для построения параметрической модели троичного В-П были выбраны два ядра - вещественное троичное спектральное ядро 3К и комплексное 3КС:

V =

Зи2а1 Сч ^ С-11

3 1

С^С^Су 4" 5*2^

т =

у с

и3 2 3 1 3 2 1

535'2 — 53С251 + С^^) — ■5,3С2С1 —

Как видно, троичное спектральное ядро зависит не от одного, а от трех угловых параметров.

Параметрическая модель троичного В-П аналогична полученной во второй главе модели для случая а = 2. Следовательно, факгоризованное представление троичного В-0 должно иметь следующий вид:

где: <рк =['Р1п,<Рк2>'Ркз]Т' вектор угловых параметров одного ядра, 'Р - матрица перестановки элементов,

3Ф'ь(<рк)- слабозаполненная факторизованная матрица, содержащая N13 одинаковых спектральных ядер V или 3УС.

Структура матриц 3Фк(<рк) раскрывается с помощью троичной матрицы зуЧ'.л.л^ которая содержит одно троичное спектральное ядро, находящееся на строках и столбцах с номерами г, у, и _/2. В найденной модели факторизо-

ванного троичного В-П матрицы 3 Фк{срк) имеют следующую структуру:

—

Для троичных вейвлет-коэффициентов Зй* существует условие ^ ъИк = , вытекающее из троичного КМА. Для выполнения этого условия

кег

при параметрическом представлении вейвлет-оператора К -го порядка следует выбирать угловые параметры (рК = {(Рк^Фк^ФкА в зависимости от остальных принятых параметров. Алгоритм определения параметров Фк = {Фк^РкпФкЛ приведен в диссертационной работе.

С помощью предложенной параметрической модели троичного В-П и выбранных моделей спектральных ядер возможно построение преобразований с использованием как вещественных, так и комплекснозначных вейвлет-функций. Ограничением данной модели является то, что рассматривается только случай вещественных масштабирующих функций.

Рассмотренный алгоритм конструирования параметрической модели троичного В-П позволяет сделать вывод о возможности синтеза параметрических моделей В-П с другими масштабными коэффициентами. Основная задача при этом заключается в нахождении соответствующих параметрических спектральных ядер необходимой размерности.

В пятой главе рассматриваются вопросы применения полученных в работе теоретических результатов по разработке параметрической модели ортогонального вейвлет-преобразования. Для иллюстрации эффективности применения разработанных базисных вейвлет-систем рассматриваются две прикладные задачи.

При использовании параметрической модели вейвлет-преобразования представляется невозможным непосредственное определение угловых параметров по детерминированному алгоритму исходя из эталонной информации (например, эталонного сигнала, набора эталонных векторов или т.п.). Причина лежит в рекурсивном характере алгоритма В-П и в сложности взаимосвязи между вейвлет-коэффициентами и полученными коэффициентами В-П. Приспособление системы базисных вейвлет-функций возможно только путем применения методов численной оптимизации. Критерий оптимизации выбирается в виде целевой функции 2, которая выражает степень приспособленности базисной системе к решаемой задаче.

Задача выбора угловых параметров может быть представлена в виде: 9 cm- Z(X „,?„„„) = maxZ(X,„,<p),

с

где: Х,а - этатонная информация, относительно которой производится оптимизация,

(р = ,..., (рк ]г - вектор угловых параметров.

Кроме самих угловых параметров <pt, другим параметром приспособления является порядок К вейвлет-функций. При увеличении порядка К увеличиваются степени свободы вейвлет-функции и, следовательно, возможности приспособления базисной системы, однако одновременно возрастают при этом вычислительные затраты. Таким образом, требуется найти угловые параметры с наименьшим порядком К, оптимальные для данного порядка и обеспечивающие решение поставленной задачи.

Первый пример посвящен выделению информативных признаков при анатизе вибрационного процесса, содержащего кроме полигармонических составляющих, связанных с нормальным вращением роторных частей машины, также и быстро затухающие ударные импульсы. Природа этих импульсных компонентов вызвана дефектами роторной машины. При анализе указанного процесса локализованность вейвлет-функций способствует обнаружению кратковременных импульсных компонентов в высокочастотной части вейвлет-спектра. Полученные коэффициенты В-П могут непосредственно служить информативными признаками, путем классификации которых может решаться задача диагностирования состояния роторной машины.

На рис. 1 изображены спектры изучаемого процесса в вейвлет-базисах восьмого порядка. Проведенные эксперименты по выбору порядка К показали, что наиболее оптимальным значением с точки зрения отношения качества выделения ИП и вычислительных затрат является К = 8.

На рис. 1,а изображен вейвлет-спектр для случая использования стандартной вейвлет-функции восьмого порядка («Симмлет»), Можно видеть, что в высокочастотной части спектра выделяются отображения трех дефектных воздействий, обозначенные стрелками. Задача оптимизации заключается в увеличении степени различимости этих дефектных составляющих на фоне полигармонического процесса.

На рис. 1,6 приведено изображение спектра анализируемого процесса в базисной системе оптимизированных вейвлет-функций. Очень хорошо видно, что при использовании оптимального В-П подавляется влияние гармонических составляющих анализируемого процесса в высокочастотных коэффициентах В-П, а одновременно усиливается реакция на импульсные компоненты.

Второй пример, приведенный в диссертационной работе, иллюстрирует влияние выбора порядка К вейвлет-функции на степень приспособления базисной системы. Для этого рассматривается среднеквадратическая точность

восстановления звукового сигнала по усеченному вейвлет-спектру. Сигнал записан с частотой дискретизации /д =8,192 кГц .

На рис. 2 изображен пример спектра звукового сигнала в известной системе вейвлет-функций («Симмлет») пятого порядка. Как видно, основная часть информации отображена в низкочастотной четверти спектра, что обосновывает восстановление сигнала именно по этой части спектра. В этом случае достигается четырехкратное сжатие сигнала.

а)

б)

' 5 О -5 -10

р

г

32 64

128

256

Рис. 1 Вейвлет-спектр вибрационного процесса в известном (а) и оптимизированном (б) базисах

1 ] 1 1 1 1 1 1 1

• ' :......... 1 1 1 1 1 ■ '

32 64

Рис. 2 Вейвлет-спектр звукового сигнала

В табл. 1 приведены погрешности восстановления сигнала по усеченному спектру при использовании различных вейвлет-функций разных порядков, в том числе и для оптимальных В-П. Таблица содержит номера порядка К, названия вейвлет-функций, значения угловых параметров и погрешности вое-

становления е2, а также относительное значение погрешности. Как видно, с ростом порядка вейвлет-функции уменьшается погрешность восстановления (для оптимизированных В-П). Оптимизация угловых параметров обеспечивает улучшение качества восстановления сигнала относительно известных вейвлет-функций, которое достигает в рассмотренном примере 53 % (К = 7).

Таблица 1

Погрешности восстановления исходного сигнала при использовании различных вейвлет-функций.__

Порядок К Название вейвлет-функции УГЛОВЫЕ ПАРАМЕТРЫ Погр-сть восстан-я 1 _ . Относ-ая погр-сть, %

<Р1 <Ръ <Рв 91

2 Добеши-4 -0,2618 20,3 30,7

оптим. для К = 2 -1,0943 \ 17,0 ! 25,8

3 Добеши-6 -0,4998 0,1055 ! 1 | 1 I 25,1 ! 38,0

|' оптим. для К = 3 -0,2202 0,1416 | 14,9 22,6

4 Симмлет-4 -1,4283 -0,8986 -0,4021 ! 18,5 28,0

оптим. для К = 4 -1,1206 -1,2033 -0,9802 11.0 16,6

5 Симмлет-5 1,3305 -0,6920 -1,2975 0,6206! 12,5 18,9

оптим. для К = 5 0,8966 -1,0968 -1.0377 0,9343 9,04 13,7

7 Добеши-14 -0,9968 0,6436 -0,3471 0,1412 -0,0370 0,0045 12,2 18,5

оптим. для К = 1 1,1077 0,5386 0,4620 -0,8074 -0,8688 0,8195 5,73 8,7

Анализ практических результатов, полученных в приведенных примерах, позволяет сделать вывод о гибкости разработанной параметрической модели В-П. Она выражается в высокой степени приспособления базисной системы к анализируемой информации, достигнутого в обоих примерах. Гибкость оператора преобразования обеспечивает универсальность данного метода и широкие возможности использования его в задачах обработки информации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана факторизованная параметрическая модель ортогонального вейвлет-преобразования, которая позволяет построить ортогональные вейвлет-функции, приспособленные к характеристикам обрабатываемой информации.

2. Разработан рекурсивный быстрый алгоритм параметрического В-П, использующий структурные особенности факторизованных матриц для сокращения вычислительных затрат и получена оценка их уменьшения.

3. Разработан алгоритм текущего вейвлет-анализа, позволяющего анализировать неограниченные во времени процессы без предварительного их разбиения на интервалы.

4. Получены основы ортогонального В-П с коэффициентом изменения масштаба базисных вейвлет-функций, равным трем. Разработана параметрическая модель троичного В-П, а также быстрый вычислительный алгоритм.

5. Предложена методика выбора угловых параметров В-П с целью приспособления базисных систем к решаемой задаче, основанная на методах цифровой оптимизации.

6. Результаты исследований подтверждены экспериментально и показали высокую эффективность и гибкость разработанных методов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ

1. Адаптивный метод формирования диагностических признаков в информационно-измерительных системах // Оборонная Техника: Ежемесячный научно-техн. сб. № 6-7. / A.A. Алексеев, А.И. Солодовников, A.M. Спиваков-ский, К. Кноте. 1998. С. 66 - 69.

2. Адаптивный спектральный анализ сигналов на основе перестраиваемых ортогональных базисов // Системы обработки информации и управления: Известия СПбГЭТУ. Вып. 490. / A.A. Алексеев, А.И. Солодовников, A.M. Спиваковский, К. Кноте. 1996. С. 60 - 65.

3. Оперативная обработка экспериментальной информации (Использование адаптивных быстрых алгоритмов спектральных преобразований) // Инновации (Новые технологии, маркетинг, инвестиции, внедрение) № 1. / A.A. Алексеев, А.И. Солодовников, A.M. Спиваковский, К. Кноте. 1996. С. 4 - 5.

4. Солодовников А.И., Кноте К. Метод адаптивного получения информативных признаков в задаче классификации биосигналов // Управление, информатика и вычислительная техника: Известия СПбГЭТУ. Вып. 1. - С-Пб.: Издательско-полигр. центр СПбГЭТУ, 1998. С. 26 - 29.

5. Knothe К. Adaptable orthogonal wavelet transformations // Preprints of the 7 th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). -S.-Pb.: 1999. Pp. 51-55.

6. Кноте К., Солодовников А.И. Адаптируемые ортогональные wavelet-преобразования диагностических сигналов // Докл. XVI Междунар. межвуз. школа - семинар «Методы и средства технической диагностики» (МиСТД-99). - Ивано-Франковск, 1999.

ВВЕДЕНИЕ.з

Глава 1. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ЦИФРОВОЙ

ОБРАБОТКЕ ИНФОРМАЦИИ.

1.1. Предварительные замечания.

1.2. Ортогональные преобразования - основные положения.

1.3. Перестраиваемые ортогональные преобразования с быстрыми алгоритмами.

1.4. Основы теории вейвлет-функций.

1.4.1. Непрерывное вейвлет-преобразование.

1.4.2. Дискретное вейвлет-преобразование и кратномасштабн ый анализ.

1.4.3. Алгоритм вейвлет-преобразования.

1.5. Выводы и формулирование задач исследования.

Глава 2. СИНТЕЗ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АДАПТИВНОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

2.1. Предварительные замечания.

2.2. Матричная форма представления вейвлет-преобразования

2.3. Параметризация вейвлет-оператора.

Научно-технический прогресс неразрывно связан с созданием новых технических систем разного назначения и повышением надежности их функционирования. Для обеспечения надежного бесперебойного функционирования систем, особенно в условиях постоянно возрастающей сложности и комплексности, необходимо выполнять контроль и управление состоянием этих систем. Содержание этой задачи включает в себя диагностирование и классификацию текущего технического состояния системы и воздействия на ее параметры на основе полученных сведений, а также такие вопросы, как постоянное слежение за состоянием системы (мониторинг) и прогнозирование. Предметом настоящей работы является разработка математической основы для оценивания состояния технических систем, входящая в общую проблему управления состоянием подобных систем. В работе также рассмотрены методы выделения информативных признаков, характеризирующих конкретное состояние диагностируемой системы, на основе которых может быть произведена классификация состояния и идентификация выявленных дефектов.

Теоретические вопросы выделения информативных признаков (ИП), а также примеры решения конкретных прикладных задач широко представлены во многих работах как российских [1-5], так и зарубежных [6-9] авторов. В этих работах предложено применение разных методов обработки информации в зависимости от характера изучаемых данных и сигналов и их информативных компонентов. Примерами таких методов являются ортогональные и не ортогональные преобразования, фильтрация и статистические методы [10-13].

В рамках настоящей работы выбираем из общего числа явлений, которые могут быть отнесены к категории носителей информации, физические сигналы, представляющие собой изменение значения некоторой физической величины в зависимости от времени или пространства. В дальнейшем термин информация для кратности будем связывать с физическими сигналами, понимая их содержание в указанном смысле.

Для методов обработки информации можно выделить три основных признака, определяющих качество, целесообразность и возможности практического применения данных методов, в частности в задачах диагностики: адекватность, разделимость информативных признаков (ИП) и трудоемкость практической реализации.

Если адекватность выражает степень соответствия информативного содержания обработанной информации исходной, то разделимость ИП определяе т, на сколько хорошо (с учетом выбранного критерия) данный метод выделяет информативные для решаемой задачи признаки из общего количества информативных и неинформативных (шумы) компонентов исходной информации. Третий признак - трудоемкость реализации метода определяет практическую применимость данного метода. Поскольку в настоящее время подавляющее большинство всех задач обработки информации реализуются в цифровом представлении информации, то важна возможность построения быстрых вычислительных алгоритмов, позволяющих произвести обработку информации в реальном масштабе времени, что для ряда задач является неотъемлемым условием (например, мониторинг технического оборудования в рабочих режимах).

Среди методов, широко используемых сегодня при решении задач обработки информации, следует выделить методы, основанные на применении ортогональных преобразований, которые позволяют при соответствующем выборе базисной системы обеспечивать адекватность анализируемой информации при достижении высокой степени декорреляции получаемых в результате информативных компонентов. Кроме того, для ряда ортонормированных базисных систем, как, например, для базисных систем Фурье, Уолша и Хаара, известны факторизованные представления, которые являются основой для быстрых алгоритмов вычисления преобразования.

Приведенные особенности ортонормированных преобразований являются фактором широчайшего использования их не только в задачах диагностики, но и в других задачах обработки информации, как например, при обработке биологических сигналов (ЭКГ, ЭЭГ) для определения состояния здоровья человека, при обработке звуковых сигналов и изображений, в задачах классификации при первичной обработке классифицируемой информации и т.д.

Известна обобщенная модель ортогональных преобразований в параметрической форме со структурой, непосредственно позволяющей производить вычисления по быстрому алгоритму [14]. Благодаря указанным особенностям создается возможность параметрического приспособления базисных систем к виду анализируемой информации при одновременном обеспечении высокой скорости ее обработки. Таким образом можно достигать более высоких показателей сжатия информации и выделения информативных признаков, чем это возможно при использовании обычных неперестраиваемых ортогональных преобразований [15-18]. Кроме названных преимуществ перестраиваемых базисных систем, однако, существуют и недостатки, заключающиеся в общем случае в необходимости первичной обработки анализируемых сигналов для выделения их характеристик.

Другим классом ортогональных преобразований, сильно развивающимся в течении последних лет, является так называемое "\¥ауе1еГ'-преобразование [1928]. В немногочисленных российских публикациях по этой теме [29-32] встречаются как название "вейвлет-преобразование", так и "всплесковое преобразование" для обозначения данного класса ортогональных преобразований.

Разложение анализируемых сигналов по всплескообразным базисным вейвлет-функциям, являющимся результатом масштабирования и сдвига одной порождающей функции, дает более подробные сведения об изучаемом процессе, чем, например, стандартный анализ Фурье. Вейвлет-функции хорошо локализованы как во временной, так и в частотной области, что придает полученному вейвлет-спектру характер частотно-временной оценки анализируемого сигнала. Коэффициенты преобразования содержат информацию о присутствии в сигнале в определенный временной интервал частотных компонентов, соответствующих определенной частотной полосе. Кроме того, существующие расчетные алгоритмы для дискретного вейвлет-преобразования являются достаточно эффективными и быстрыми, хотя и не безызбыточными.

Особенности вейвлет-преобразований (В-П) делают их очень привлекательными в самых различных приложениях: при анализе свойств сейсмических и акустических сигналов [33, 34], при обработке речевых сигналов [35] и изображений [36, 37], для сжатия больших объемов информации [36, 38, 39] и т.д.

Основная идея диссертационной работы состоит в объединении преимуществ ортогональных В-П и перестраиваемых систем ортогональных базисных функций в обобщенную модель перестраиваемых ортогональных вейвлет-преобразований. Успешное применение ортогональных В-П в последнее время во все большем числе областей науки и техники [39-41], а также многочисленные разработки, связанные с расширением возможностей и изменением свойств В-П [42-47], подтверждают актуальность выбранного направления исследования.

Целью диссертационной работы является исследование и разработка математического аппарата, позволяющего синтезировать ортогональные системы базисных вейвлет-функций, приближенные к характеру анализируемых сигналов и обладающие возможностью параметрического перестраивания. Исходя из поставленной цели, в работе сформулированы следующие основные задачи исследования:

- анализ существующих методов синтеза приспособленных систем ортогональных базисных функций,

- разработка математических методов синтеза дискретных параметрически перестраиваемых ортогональных вейвлет-функций,

- разработка и исследование алгоритмов быстрых вейвлет-преобразо-ваний в параметрически перестраиваемой форме, оценка их вычислительной эффективности,

- экспериментальные исследования разработанного аппарата при анализе информации различной физической природы.

В первой главе настоящей работы приведен краткий обзор и дан сопоставительный анализ известных ортогональных систем базисных функций При этом обращается особенное внимание на возможности приспособления базисных систем к характеру изучаемого процесса, а также на наличие быстрых вычислительных алгоритмов. Приводятся теоретические основы ортогональных вейвлет-преобразований, которые являются по своему характеру близкими к характеру многих физических процессов. Поэтому предлагается именно этот вид ортогональных преобразований в качестве основы для создания нового класса параметрический перестраиваемых ортогональных преобразований. Исходя из результата сопоставления и анализа известных ортогональных преобразований сформулированы задачи исследования.

Вторая глава посвящена разработке параметрической модели ортогонального вейвлет-преобразования. Введена матричная форма представления В-П и выделен обобщенный вейвлет-оператор, составляющий основу матричного В-П. Выполнена факторизация вейвлет-оператора. Для представления факторизован-ных матриц использованы спектральные ядра, которые позволяют параметрически перестраивать матричные операторы, но при этом обеспечивают как ортогональность, так и наличие быстрых вычислительных алгоритмов. Приведены необходимые условия для выбора параметров параметрической модели вейв-лет-преобразования.

В третьей главе рассмотрены вопросы реализации алгоритмов перестраиваемого В-П. Произведен анализ вычислительной эффективности алгоритмов на основе разработанной факторизованной модели В-П и сделан вывод о целесообразности ее использования. Разработан алгоритм текущего вейвлет-анализа, имеющего значение для анализа неограниченных по времени сигналов. Преимущество данного алгоритма состоит в том, что отсутствует необходимость применения временных оконных функций, которое связано с дополнительными вычислительными затратами и искажением изучаемых процессов.

Четвертая глава посвящена обобщению разработанной параметрической модели ортогонального вейвлет-преобразования для случая коэффициентов изменения масштаба вейвлет-функций, не равных двум. Исследовано построение параметрической модели для масштабного коэффициента три и рассмотрены ее особенности. Приведены примеры как вещественных, так и комплексных систем базисных функций.

В пятой главе представлены результаты применения разработанных параметрически перестраиваемых преобразований в задачах диагностирования состояния роторных машин. Рассмотрены задача приспособления системы базисных вейвлет-функций к анализируемым сигналам и вопрос выбора критерия приспособления и алгоритм оптимизации выбранного критерия.

Теоретические результаты, полученные в настоящей работе, состоят в разработке нового класса параметрически перестраиваемых ортогональных преобразований на основе известного вейвлет-преобразования. Применение разработанных преобразований позволяет объединить преимущества В-П, состоящие в частотно-временной локализованное™ базисных функций, с возможностью приспособления формы базисных функций к характеру изучаемого процесса. Кроме того, использование параметрической модели обеспечивает уменьшение выполняемых вычислительных операций, что ведет к увеличению быстродействия алгоритмов.

5.5. Основные результаты и выводы

В настоящей главе рассмотрены прикладные вопросы использования разработанного аппарата параметрически перестраиваемых вейвлет-функций в задачах выделения информативных признаков в вибрационных процессах и при сжатии звукового сигнала.

В задаче выделения информативных признаков путем оптимизации базисной системы удалось достичь высокой степени разделимости между информативными составляющими, характерными для определенного состояния изучаемого объекта, и фоновыми компонентами процесса. При этом достаточно определить коэффициенты преобразования первого уровня, что, помимо существования быстрого алгоритма расчета, обеспечивает дополнительное сокращение вычислительных затрат. Надежное выделение информативных признаков позволяет достоверно распознавать состояние объекта на основе простых решающих правил.

Существенное уменьшение в два раза погрешности восстановления звукового сигнала по усеченному вейвлет-спектру путем оптимизации базисной системы показывает целесообразность применения параметрического В-П и его эффективность при сжатии информации.

Анализ практических результатов, полученных в приведенных примерах, позволяет сделать вывод о гибкости разработанной параметрической модели вейвлет-преобразования. Она выражается в высокой степени приспособления базисной системы к анализируемой информации, достигнутого в обоих примерах. Гибкость оператора преобразования обеспечивает универсальность данного метода и широкие возможности использования его в задачах обработки информации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты, полученные в работе, состоят в следующем.

1.) Разработана факторизованная параметрическая модель ортогонального вейвлет-преобразования, которая позволяет построить ортогональные вейвлет-функции, приспособленные к характеристикам обрабатываемой информации.

2.) Разработан рекурсивный быстрый алгоритм параметрического В-П, использующий структурные особенности факторизованных матриц для сокращения вычислений и получена оценка уменьшения вычислительных затрат.

3.) Разработан алгоритм текущего вейвлет-анализа, позволяющего анализировать неограниченные во времени процессы без предварительного их разбиения на интервалы.

4.) Приведены основы ортогонального В-П с коэффициентом изменения масштаба базисных вейвлет-функций, равным трем. Разработана параметрическая модель троичного вейвлет-преобразования, а также быстрый вычислительный алгоритм.

5.) Предложена методика выбора угловых параметров В-П с целью приспособления базисных систем к решаемой задаче, основанная на методах цифровой оптимизации.

6.) Результаты исследований подтверждены экспериментально и показали высокую эффективность и гибкость разработанных методов.

Применение разработанной в диссертационной работе параметрической модели ортогонального В-П позволяет повышать достоверность диагностирования в задаче управления состоянием технических систем и, таким образом, улучшать качество и надежность самого процесса управления.

Вследствие универсального характера разработанной модели как метод обработки информации, использование ее не ограничивается приведенными прикладными примерами и может быть распространено на области и задачи, в которых уже применяются непараметрические ортогональные вейвлет-преобразования, а также на другие области обработки сигналов, в том числе и нестационарных. Преимущество разработанной модели состоит в возможности параметрического приспособления базисной системы к обрабатываемой информации с одновременным повышением вычислительной эффективности. Получены алгоритмы, позволяющие использовать для выполнения приспособленного вейвлет-преобразования уже имеющиеся программные реализации ортогонального В-П.

Полученные в диссертационной работе результаты могут найти развитие в распространении параметрической модели на аппарат вейвлет-пакетов (wavelet packets, [75]) и изучении характеристик троичных вейвлет-функций. Другое направление развития может заключаться в разработке метода адаптивного В-П, в котором на каждом шаге рекурсивного алгоритма используются другие вейв-лет-функции, приспособленные к обрабатываемой информации на данном конкретном шаге.

Основные положения и результаты диссертационной работы опубликованы в [15-18,76,77] и доложены на Седьмой Международной (Балтийской) студенческой олимпиаде по автоматическому управлению (г. С.-Петербург, 1999 г.), на XVI Международном межвузовском школе-семинаре «Методы и средства технической диагностики (МиСТД-99)» (г. Ивано-Франковск, Украина, 1999 г.) и на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава СПГЭТУ (г. С.-Петербург, 1998-2000 гг.).

1. Алексеев М.А. Спектральные методы формирования диагностических признаков для объектов с ритмическими случайными процессами: Автореф. дис. канд. техн. наук (05.13.01) / ЛЭТИ. - Л., 1982. 16 с.

2. Генкин В.Л., Ерош И.Л., Москалев Э.С. Системы распознавания автоматизированных производств. Л.: Машиностроение, 1988. 246 с.

3. Генкин М.Д., Соколова А.Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. М : Машиностроение, 1987. 288 с.

4. Методы, критерии и алгоритмы, используемые при преобразовании, выделении и выборе признаков в анализе данных // Сборник статьей. Институт математики и кибернетики АН Литовской ССР, 1988. 149 с.

5. Омельченко В.А. Основы спектральной теории распознавания сигналов. Харьков: Высшая школа, 1983.

6. Ватанабэ С. и др. Оценка и отбор параметров в задачах распознавания // Автоматический анализ сложных изображений. М.: Мир, 1969. С. 276 - 295.

7. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир, 1976. 411 с.

8. Тьюки Дж. Анализ результатов наблюдений. М.: Мир, 1981. 693 с.

9. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. -М.: Наука, 1979. 368 с.

10. Ахмед Н.Д., Pao K.P. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь, 1980. 248 с.

11. Бендаг Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1974. 464 с.

12. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1971. 316 с.

13. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. М.: Сов.радио, 1980. 224 с.

14. Солодовников А.И., Спиваковский A.M. Основы теории и методы спектральной обработки информации: Учеб. пособие. JT.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 272 с.

15. Адаптивный метод формирования диагностических признаков в информационно-измерительных системах // Оборонная Техника: Ежемесячный науч-но-техн. сб. № 6-7. / А.А. Алексеев, А.И. Солодовников, A.M. Спиваковский, К. Кноте. 1998. С. 66 69.

16. Адаптивный спектральный анализ сигналов на основе перестраиваемых ортогональных базисов // Системы обработки информации и управления: Известия СПбГЭТУ. Вып. 490. / А.А. Алексеев, А.И. Солодовников, A.M. Спиваковский, К. Кноте. 1996. С. 60 65.

17. Coifman R.R., Meyer Y., Wiekerhauser M.V. Wavelet Analysis and Signal Processing // Wavelets and Their Applications / Ruskai et al. (ed.). Boston: Jones and Bartlett, 1992. Pp. 153 - 178.

18. Daubechies I. Orthonormal basis of compactly supported wavelets // Comm. Pure Appl. Math., Vol. 46, 1988. Pp. 909 996.

19. Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets, CBMS-NSF Regional Conf. Series in Appl. Math., Vol. 61. SIAN, Philadelphia, 1992. 357 p.

20. Jawerth В., Sweldens W. An Overview of Wavelet Based Multiresohition Analysis // SI AM Rev., Vol. 36, Nr. 3, 1994. Pp. 377 412.

21. Strang G. Wavelets and dilation equations: A brief introduction // SIAM Rev., Vol. 31, Nr. 4, 1989. Pp. 614 627.

22. Sweldens W. Construction and Application of Wavelets in Numerical Analysis // PhD thesis, Department of Computer Science, Katholieke Umversiteit Leuven, Belgium. 1994.

23. Sweldens W. Wavelet Sampling Techniques // Proceedings of the Joint Statistical Meetings, San Francisco, August 1993.

24. Wickerhauser M.V. Computation with Adapted Time-Frequency Atoms // Proceedings of the International Conference: Wavelets and Applications, Toulouse, 8-13 June 1992.

25. Wornell G.W. Wavelet-Based Representations for the 1/f Family of Fractal Processes // Proceedings of the IEEE, Vol. 81, NO. 10, 1993. Pp. 1428 1450.

26. Vetterli M. Wavelet and filter banks for diskrete-time signal processing // Wavelets and Their Applications / Ruskai et al. (ed ). Boston: Jones and Bartlett, 1992. Pp. 17-52.

27. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: ВУС, 1999. 208 с.

28. Кравченко В.Ф., Рвачев В.A "Wavelet"-системы и их применение в обработке сигналов // Зарубежная радиоэлектроника, № 4. 1996. С. 3 20.

29. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. 132 с.

30. Петухов А.П. Периодические дискретные всплески // Алгебра и анализ. №. 3. -М.„ 1996. С. 151 183.

31. Cohen J.С., Chen. Т. Fundamentals of the Discrete Wavelet Transform for Seismic Data Processing. № 130P, Center for Wave Phenomena, Colorado School of Mines, 1994. 48 p.

32. Davis A., Marshak A., Wiscombe W. Wavelet-Based Multifractal Analysis of Non-Stationary and/or Intermittent Geophysical Signals // Wavelets in Geophysics / P. Kumar et al. (ed.). Academic Press, 1994. Pp. 249 298.

33. Wickerhauser M.V. Acoustic signal compression with wavelet packets / Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications / Chui C. (ed.). Boston: Academic Press, 1992. Pp. 679 -700.

34. DeVore R.A., Jawerth B., Lucier B.J Image compression through wavelet transform coding// IEEE Trans. Inform. Theory, 38(2), 1992. Pp. 719 746.

35. The application of multiwavelet filter banks to image processing // IEEE Trans. Sig. Proc. / V. Strela, P. Heller, G. Strang, G. Topiwala, C. Heil. 1996.

36. Bradley J.N., Bnslawn C.M., Hopper T. The FBI Wavelet/Scalar Quantization Standard for gray-scale fingerprint image compression // Proc. SPIE, vol. 1961. 1993. Pp. 293 304.

37. The FBI compression standard for digitized fingerprint images // Proc. SPIE, vol. 2847 / Bnslawn C. M., Bradley J.N., Onyshczak R.J., Hopper T. Denver, 1996.

38. Beylkm G. On wavelet-based algorithms for solving differential equations // Wavelets: Mathematics and Applications / J. Benedetto et al. (ed.). Boca Raton. CRC Press, 1993. Pp. 449 - 466.

39. Wavelet-packet-based multiple Access Communication / R. Learned, H. Krim, B. Claus, A.S. Willsky, W.C. Karl. LIDS Technical Report LIDS-P-2253, 1994.

40. Daubechies I., Sweldens W. Factoring Wavelet Transfonns into Lifting Steps // Technical report, Bell Laboratories, Lucent Technologies, 1996.

41. Guskov I., Sweldens W., Schroeder P. Multiresolution signal processing for meshes. Tech. Rep. 99-01, Princeton University, 1999. 12 p.

42. Strela V. Multiwavelets: Theory and Applications. PhD Thesis, MIT, 1996.

43. Sweldens W., Schroeder P. Building your own wavelets at home // Wavelets in Computer Graphics, ACM SIGGRAPH Course notes. 1995. Pp. 15 - 87.

44. Sweldens W. The lifting scheme: A custom-designconstruction of biorthogonal wavelets // Appl. Comput. Harmon. Anal., Vol. 3, N. 2, 1996. Pp. 186-200.

45. Wavelet transforms that map integers to integers // Tech. Report / A. Calder-bank, I. Daubechies, W Sweldens, B. Yeo. Department of Mathematics, Princeton University, 1996.

46. Свириденко В.А. Анализ систем со сжатием данных. М.: Связь, 1977. 184 с.

47. Логинов В.П. Функции Уолша и области их применения // Зарубежная радиоэлектроника, № 4. 1973. С. 73 99.

48. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionen-Systeme // Math. Annalen, 69, 1910. Pp. 331 371.

49. Крот A.M. Дискретные модели динамических систем на основе полиномиальной алгебры. Мн.: Навука i тэхнжа, 1990. 312 с.

50. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. Радио, 1975. 208 с.

51. Ватанабэ С. Разложение Корунена-Лоэва и факторный анализ // Автоматический анализ сложных изображений. М.: Мир, 1969. С. 254 - 275.

52. Пойда В.Н. Спектральный анализ в дискретных ортогональных базисах. -Мн.: Наука и техника, 1978. 136 с.

53. Дорогов А.Ю., Солодовников А.И. Перестраиваемые ортогональные базисы для адаптивных спектральных преобразований // Методы и средства цифровой обработки пространственно-временных сигналов: Межвуз. сб. Свердловск: Изд-во УПИ, 1988. С. 59 - 63.

54. Лабунец В.Г. Единый подход к алгоритмам быстрых преобразований // Применение ортогональных методов при обработке сигналов и анализе систем: Межвуз. сб. Свердловск: Изд-во УПИ, 1980. С. 4 - 14.

55. Солодовников А.И., Канатов И.И., Спиваковский A.M. Синтез обобщенного спектрального ядра произвольной размерности // Применение ортогональных методов при обработке сигналов и анализе систем: Межвуз. сб. Свердловск: Изд-во УПИ, 1980. С. 15 - 22.

56. Солодовников А.И., Канатов И.И., Спиваковский A.M. Синтез ортогональных базисов на основе обобщенного спектрального ядра. // Вопросы теории систем автоматического управления: Межвуз. сб. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976. Вып. 2. С. 99-112.

57. Солодовников А.И. Синтез полных систем ортонормированных функций, имеющих алгоритм быстрого преобразования. // Вопросы теории систем автоматического управления: Межвуз. сб. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. Вып. 4. С. 94-105.

58. Good I.J. The interaction algorithm and practical Fourier analysis // J. Roy. Statist. Soc. London, 1958. Ser. В. Vol. 20. Pp. 361 372.

59. Пашинский H.B. Исследование и разработка методов и алгоритмов формирования информативных признаков для классификации текстурных изображений: Автореф. дис. канд. техн. наук (05.13.01) / ЛЭТИ. Л.:, 1989. 16 с.

60. Эндрюс Г. Применение вычислительных машин для обработки изображений. М.: Энергия, 1977. 160 с.

61. Stromberg J.О. A modified Franklin system and higher order spline systems on r" as unconditional bases for Hardy spaces // Conf. in honor of A. Zygmund, Vol. II, W. Beckner et al., ed., Wadsworth math. Senes, 1982. Pp. 475 493.

62. Lemarie P.G. Une nouvelle base d'ondelettes de L2(r") II J. De Math. Pures et Appl., V. 67, 1988. Pp. 227 236.

63. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelets of orthonormal bases of L2(r) II Trans. Amer. Math. Soc., Vol. 315, 1989. Pp. 69 88.

64. Meyer Y. Ondelettes et operateurs. Pans: Hermann. 1990.

65. Бейко И.В., Бублик Б.H., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. Киев: Вища школа, 1983.

66. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 552 с.

67. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. М.: Наука, 1966. 248 с,

68. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.

69. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

70. Айвазян С.А., Бежаева З.И., Староверов О.В. Классификация многомерных наблюдений. М.: Статистика, 1974. 239 с.

71. Горелик A.J1., Скрипкин В.А. Методы распознавания. М.: Высшая школа, 1984. 207 с.74. "WaveLab" library of Matlab routines for wavelet analysis. Version 0.700. 1995. ftp://playtmr.stmiford.edu/'pub/wavelab.

72. Coifman R.R., Meyer Y., Wickerhauser M.V. Size properties of wavelet packets // Wavelets and Their Applications / Ruskai et al. (ed.). Boston: Jones and Bartlett, 1992. Pp. 453 -470.

73. Knothe K. Adaptable orthogonal wavelet transformations // Preprints of the 7 th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). S.-Pb.: 1999. Pp. 51 - 55.

74. Кноте К., Солодовников А.И. Адаптируемые ортогональные wavelet-преобразования диагностических сигналов // Докл. XVI Междунар. межвуз. школа семинар «Методы и средства технической диагностики» (МиСТД-99). -Ивано-Франковск, 1999.149

75. Программа расчета углового параметра (рх для оператора вейвлет преобразования.function phil = getphil(phi);pi = length(phi);sp = 0; for i=l:pl,sp = sp + phi (i) ;endphil = pi/4-sp;

76. Программа выполнения вейвлет-преобразования по факторизованному алгоритму на основе параметрической формы В-О.function d = FaktWT(х,phi,J)

77. Программа выполнения обратного вейвлет-преобразования по факторизован-ному алгоритму на основе параметрической формы В-О.function х = invFaktWT(d,phi,J)

78. Программа расчета вейвлет-коэффициентов на основе угловых параметров.function h = hfromphi(phi)

79. K = length(phi) + 1; phil = getphil (phi) ;h = zeros(1,2*K); h(1) = cos(phi 1) ; h(2) = sin(phil);for k=2:K,s = sin(phi(k-1)); c = cos(phi(k-1)); for i=l:k,1 = 2*k-i+l; a = h(i);h(i) = c*h(i) + (-1)Ai*s*h(1); h(l) = (-1)"(i + 1)*s*a + c*h(1) ;endend153

80. Программа выполнения вещественного троичного вейвлет-преобразования.function d = FaktWT3(х,р,J)

81. Программа выполнения комплексного троичного вейвлет-преобразования.function d = FaktWT3C(x,p,J)

82. Программа выполнения обратного вещественного троичного вей влет-преобразования.function X = invFaktWT3(d,p,J)

83. Программа выполнения обратного комплексного троичного вей влет-преобразования.function x = invFaktWT3C(d,p,J)