автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Синтез хорошо-локализованных конечномерных базисов Вейля-Гейзенберга и их применение для построения высокоэффективных алгоритмов обработки сигналов

На правах рукописи

ПЕТРОВ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИЧ

СИНТЕЗ ХОРОШО-ЛОКАЛИЗОВАННЫХ КОНЕЧНОМЕРНЫХ БАЗИСОВ ВЕЙЛЯ-ГЕЙЗЕНБЕРГА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ВЫСОКОЭФФЕКТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

034606122

Москва-2010

004606122

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Боголюбов Александр Николаевич

Официальные оппоненты:

Зашита состоится 25 июня 2010 г. в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 501.002.09 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, дом 1, стр. 4, НИВЦ МГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ.

Автореферат разослан «24 » мая 2010г.

Ученый секретарь

доктор физико-математических наук, профессор Ильинский Анатолий Серафимович, МГУ, факультет ВМиК

заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор

Кравченко Виктор Филиппович, ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН

Ведущая организация:

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

диссертационного совета

В.В. Суворов

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

Значительный технологический прогресс, достигнутый в разработке новых алгоритмов передачи информации и их активном применении на практике, делает особенно актуальными исследования новых методов синтеза сигналов все более сложной структуры, обладающих оптимальными временно-частотными характеристиками.

Преобразование Фурье, завоевавшее широкое распространение в теории обработки сигналов в линейных инвариантных во времени системах, становится трудно применимым инструментом, когда необходимо исследовать кратковременные, переходные процессы. Для таких более сложных явлений возникает необходимость получать информацию о спектре, локализованную во времени. Синтез универсального базиса, являющегося аналогом базиса Фурье, который позволил бы упростить обработку большинства типов сигналов, представляет собой крайне сложную задачу. Одним из наиболее важных примеров таких базисов являются базисы Вейля-Гейзенберга, получаемые сдвигами по времени и частоте одной функции (окна) или семейства функций.

В настоящее время в системах связи 3G, 4G и цифрового телевидения используется пакетная передача данных, а наиболее распространенной технологией является мультиплексирование (уплотнение) с ортогональным частотным разделением (OFDM - Orthogonal Frequency Division Multiplexing). OFDM сигнал, передаваемый в канал, представляется собой последовательность информационных пакетов, сформированных в виде линейной комбинации функций классического базиса Вейля-Гейзенберга.

В связи с ростом количества абонентов современные системы беспроводной связи должны обеспечивать прием информации в сложной помеховой обстановке. При этом высокое качество работы цифровых систем связи должно обеспечиваться при высоких скоростях передачи информации и высоких скоростях движения абонентов. При построении таких систем часто возникает ситуация, когда реальный радиоканал (среда распространения) обладает частотно-временным рассеянием. В процессе распространения сигнала в такой середе возникает интерференция между соседними OFDM пакетами (межсимвольная интерференция, МСИ) и между поднесущими каналами в рамках каждого OFDM пакета (межканальная интерференция, МКИ), то есть разрушается структура сигнала и на приемной стороне возникают помехи вплоть до полного нарушения связи. Во многом это объясняется тем, что прямоугольная форма формирующего импульса, характерная для классических OFDM систем, не является оптимальной

с точки зрения локализации в частотной области и, соответственно, устойчивости к МКИ. Таким образом, борьба с частотно-временным рассеянием и снижение МКИ представляют серьезную проблему в мобильных широкополосных сетях различного назначения, например, WiMAX, LTE, DVB-T/H и др.

Кроме высоких локализационных характеристик базиса, позволяющих значительно снизить подверженность МКИ, в реальных приложениях на передний план выходит проблема практической реализуемости методов синтеза таких базисов и обработки сигналов на основе существующей аппаратной платформы. Например, в задачах спектрально-временного анализа различных процессов требуется возможность быстрого и гибкого изменения разрешающей способности, которая достигается настройкой параметров базиса Вейля-Гейзенберга, т.е. изменением его формирующей функции. Кроме того, в современных системах цифрового телевидения количество базисных функций может достигать нескольких десятков тысяч, причем прием цифрового видео сигнала должен осуществляется компактным абонентским устройством. Соответственно, особую актуальность приобретают решаемые в работе задачи разработки вычислительно эффективных алгоритмов, как синтеза самого базиса, так и «быстрых» алгоритмов разложения и восстановления сигнала в этих базисах.

В настоящий момент системы цифрового телевидения и беспроводной связи поколений 3G, 4G получают широкое распространение в России и мире. Поэтому разработка научно обоснованных решений по развитию математических методов и алгоритмов обработки сигналов, позволяющих повысить эффективность систем беспроводной связи, является актуальной задачей, имеющей важное научное и практическое значение.

Цель работы

Основной целью данной диссертационной работы является исследование математических методов синтеза хорошо-локализованных ортогональных базисов Вейля-Гейзенберга с обоснованно выбранными параметрами и их применение для эффективной обработки сигналов. В работе были поставлены следующие задачи:

• Разработка математических методов синтеза конечномерных, дискретных обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга с заданными параметрами, обладающих хорошей локализацией одновременно и в частотной и во временной области.

• Теоретическое обоснование выбора вида формирующей функции и оптимальных параметров базисов Вейля-Гейзенберга.

• Разработка вычислительно эффективного алгоритма синтеза таких базисов.

• Разработка практически реализуемых, эффективных алгоритмов обработки сигнала на основе таких базисов.

Научная новизна работы

В диссертационной работе впервые обоснован выбор вида симметрии формирующей функции и фазового параметра обобщенного базиса Вейля-Гейзенберга, обеспечивающие высокую степень его частотно-временной локализации. Исследована зависимость локализации базиса от выбора его параметров. Разработан вычислительно эффективный алгоритм синтеза базиса. Обоснованы преимущества технологии передачи информации с ортогональным частотно временным уплотнением на основе оптимальных обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга (WH-OFTDM - Weyl-Heisenberg Orthogonal Frequency Time Division Multiplexing) над классической OFDM схемой. Для OFTDM сигналов доказаны условия (критерии ортогональности), являющиеся аналогами теоремы Найквиста, гарантирующими отсутствие МКИ и МСИ. Построены эффективные алгоритмы обработки сигналов на основе синтезированных базисов.

Практическая ценность

Полученные в работе результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии новой технологии передачи информации с частотно-временным мультиплексированием (WH-OFTDM), с возможностью последующего применения в современных устройствах связи 4G (WiMAX, WiMAX2, LTE и т.д.) и системах цифрового телевидения (DVB-H/T).

Основными преимуществами информационной технологии WH-OFTDM, следующими из полученных в работе теоретических результатов и результатов моделирования, являются:

• В каналах с частотно-временным рассеянием за счет организации дополнительного внутрисимвольного временного уплотнения удается существенно повысить, как спектральную, так и энергетическую эффективность системы.

• Понижается уровень внеполосного излучения, и тем самым ослабляются требования к выходному фильтру передатчика и защитному интервалу на границах частотного диапазона.

• Повышается устойчивость системы к межканальной и межсимвольной интерференции, появляется возможность адаптировать ее к параметрам частотно-временного рассеяния среды.

Разработанные в диссертации эффективные алгоритмы позволяют применить на практике ортогональные базисы Вейля-Гейзенберга, обладающие высокой степенью локализации.

Синтезированные алгоритмы могут также применяться для эффективного спектрально-временного анализа различных процессов, наблюдаемых, в частности, на выходе устройств регистрации (датчиков биомедицинских

приборов, сейсмодатчиков, радио и гидролокаторов) и для идентификации и классификации объектов (процессов) по частотно-временным признакам.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Разработан вычислительно эффективный алгоритм, позволяющий синтезировать ортогональные конечномерные обобщенные базисы Вейля-Гейзенберга с хорошей частотно-временной локализацией.

2. Теоретически обоснован выбор вида и типа симметрии формирующей функции WH-базиса.

3. Теоретически обоснован выбор фазового параметра WH-базиса.

4. Разработаны вычислительно эффективные алгоритмы обработки сигналов на основе обобщенных WH-базисов.

5. Доказаны условия ортогональности WH-базисов и критерии отсутствия межканальной и межсимвольной интерференции.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности

В соответствием с областью исследования специальности 05.13.18 -«Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки)» область диссертационного исследования включает разработку новых математических методов моделирования свойств хорошо-локализованных сигнальных базисов, разработку, обоснование и реализацию эффективных численных методов синтеза базисов и обработки сигналов.

Апробация работы

Содержание различных разделов диссертации докладывалось на международных и всероссийских форумах, конгрессах и конференциях. В частности, на международных форумах информатизации (МФИ), международных конгрессах (CTN) (Москва 2008, 2009); на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (Москва, 2009), где доклад был признан имеющим наибольший инновационный потенциал; на международной конференции «Современные достижения бионаноскопии» (Москва, 2009); на 4-ой отраслевой научной конференции-форуме «Технологии информационного общества» (Москва, 2010); на всероссийском научно-техническом семинаре «Системы синхронизации формирования и обработки сигналов для связи и вещания» (Воронеж, 2009); на международной конференции International Conference on Ultra Modern Telecommunications (Санкт-Петербург, 2009); на Первой Международной научно-технической конференции «Компьютерные науки и технологии» (Белгород, 2009); на 5-ом и 6-ом семинарах программы Финляндско-Российиского межуниверситетского сотрудничества в

области телекоммуникаций (FRUCT) (Санкт-Петербург, 2008; Хельсинки, Финляндия, 2009); на научных семинарах НИВЦ МГУ (Москва, 2009, 2010); на научных семинарах кафедры математики физического факультета МГУ (Москва, 2008,2009).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 6 статьях, 5 из которых входят в список изданий, рекомендованных ВАК, а также в 9 тезисах докладов на международных и всероссийских конференциях и семинарах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Общий объем диссертации 144 страниц. Диссертация содержит 1 таблицу, 27 рисунков и список литературы из 139 названий.

Содержание диссертации

Во ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель диссертации и основные положения, выносимые на защиту. Описана структура диссертации, указаны научная новизна и практическая ценность полученных результатов.

В ГЛАВЕ 1 проводится анализ предметной области исследования. Рассмотрены известные подходы и проблемы частотно-временного описания функций и сигналов.

Оконное преобразование Фурье и вейвлет преобразование являются мощными инструментам, дающими сходное частотно-временное описание сигналов и получившими широкое практическое распространение.

Базис, лежащий в основе дискретного оконного преобразования Фурье называется классическим базисом Вейля-Гейзенберга, т.к. формируется при помощи группы преобразований Вейля-Гейзенберга, т.е. дискретных сдвигов функции g(t) по времени и частоте:

ßdto И = К, (0 = g(t-lT)exp(2xjkFt)}. (1)

В главе приводятся причины актуальности исследования именно базисов Вейля-Гейзенберга. В настоящее время этот базис широко используется в популярной технологии передачи информации с ортогональным частотным разделением (OFDM - Orthogonal Frequency Division Multiplexing). В связи с этим рассматриваются основные положения этой технологии, в классическом варианте которой в качестве формирующей базис функции g (г) использует прямоугольный

импульс. Базис (1) является ортогональным, а плотность его упаковки на частотно-временной плоскости равна /л = \/TF = 1.

Основной проблемой OFDM технологии, следующей из низкой локализации базисных функций (1) в частотной области, является высокая чувствительность к межканальной интерференции (МЕСИ). Следовательно, для достижения высокого уровня устойчивости сигнала к сложным условиям в реальных беспроводных каналах особенно важной становится решаемая в диссертации задача построения формирующей функции, обладающей хорошей частотно-временной локализацией.

Хорошо известно, что одновременная локализация энергии в частотной и временной области ограничивается принципом неопределенности Гейзенберга, а идеально локализованной является функция Гаусса. Однако базис Вейля-Гейзенберга, построенный на ее основе (базис Габора) не является ортогональным. Кроме этого, возможность построения хорошо-локализованных классических базисов Вейля-Гейзенберга ограничивается действием теоремы Бальян-JIoy. Из этой теоремы непосредственно следует, что невозможно синтезировать классический базис Вейля-Гейзенберга с дифференцируемой оконной функцией обладающей компактным носителем, сохранив при этом высокую плотность частотно-временной сетки, т.е сохранив спектральную эффективность.

Ограничение, вносимое теоремой Бальян-Лоу, преодолевается благодаря введению обобщенного базиса Вейля-Гейзенберга (WH-базиса).

В работе показано, что полагая М (количество сдвигов в частотной области) четным, на конечном временном интервале [0,ЛТ] обобщенный конечномерный базис Вейля-Гейзенберга и сформированный на его основе дискретный сигнал i[n] принимают вид:

М-1 ( A-I Л-1

к=0 \ hO

(2)

< М = *[(«" ~ «А)} О)

<,И = -/я[(» + М/2-/М)т^]ехр^Л(«-а/2)], (4)

ВЫ = Ш»]УМ}> '

где ={0,...,^-!}, N = МЬ > М {Ь - любое натуральное число). Система базисных функций В [7^] является ортогональной в смысле вещественного

N-1

скалярного произведения (/,&)„ = Ие]Г/[и]£*|и].

В завершении главы рассмотрен метод формирования и обработки сигналов с использованием WH-базисов, называемый WH-OFTDM технологией (Orthogonal Frequency-Time Division Multiplexing - мультиплексирование с ортогональным частотно-временным разделением).

По результатам анализа предметной области исследований определен круг решаемых в работе задач, определяющих актуальность поставленной проблемы: разработка методов синтез хорошо-локализованных базисов и алгоритмов обработка сигналов на их основе.

В ГЛАВЕ 2 решается задача синтеза хорошо-локализованного обобщенного базиса Вейля-Гейзенберга (5), а также проблемы выбора симметрии формирующей функции и оптимального значения ее фазового параметра а.

Из анализа, проведенного в Главе 1, следует, что наилучшей частотно-временной локализацией обладает функция Гаусса. Однако, эта функция непрерывная и определена на всей действительной оси, поэтому, в первую очередь, решается задача поиска функции из пространства /2Я(JN) (дискретных N -периодических функций с действительным скалярным произведением), аппроксимирующей Гауссиан.

В главе решена общая Задача 1

¿гн-- £ кн-^И2 - ,

„=-N1 1 î №/rMv)

приближения произвольной дискретной комплексной функции g[n\, обладающей определенным свойством симметрии, функцией из пространства l\ (JN),

где симметрию можно определить двумя способами:

Определение 1. Функция является сопряженной N-1 симметричной, если

Определение 2. Функция является сопряженной N-симметричной, если g[n] = g*[(-n)N],neJN.

С использованием принципа неопределенных множителей Лагранжа, найден явный вид аппроксимирующих функций и доказано, что в случае симметрии исходной функции g[n], для аппроксимирующей функции свойство симметрии также сохраняется.

На рис. 1 представлены графики исходной дискретной функции Гаусса и полученной аппроксимаций для случая N=10.

. Рис. 1. N-

периодшеская аппроксимация функции Гаусса

Базис Вейля-Гейзенберга, построенный на основе наилучшей N -периодической аппроксимации базиса Габора, хотя и обладает наилучшей частотно-временной локализацией, но не является ортогональным. Поэтому в диссертации разрабатывается процедура ортогонализации этого базиса, которая сохраняет исходную структуру группы сдвигов (по времени и частоте) и наилучшую локализацию в классе ортогональных базисов такого вида.

Для этого конечномерный обобщенный базис Вейля-Гейзенберга представляется в виде блочной прямоугольной матрицы и = [ик ,и,] размерности

у которой блоки ик,и, - квадратные (ТУх//) матрицы, составленные для всех к = 0,...,М и 1 = 0,...Ь-1 из столбцов базисных функций ц/^ и ц/'к], соответственно.

В диссертации доказано, что среднеквадратическая норма разности (норма

Фробениуса ¡А|£ =?г(АА*)) между матрицами любых двух базисов Вейля-

Гейзенберга (не обязательно ортогональных) сводится к норме разности формирующих функций:

|и,-и,£ = 2ЛГ|д[й]-Й [»]Г (6)

л=0

Однако, для получения оптимального ортогонального базиса Вейля-Гейзенберга не достаточно минимизировать норму разности (6) между матрицами базиса Габора в и искомой матрицей и. Основную задачу на экстремум необходимо решать на специальном множестве комплексных ортогональных матриц:

Задача 2. На подмножестве 21 = {и е МЫ1Ы (С): Яе(и'и) = 12?<}

комплексных прямоугольных матриц размера [Их2Щ, для которых справедливо

выражение Ке(и*и) = 1ш найти оптимальную матрицу и„„т, которая доставляет минимум в задаче на экстремум

иопт: тт||С-и£^, С7>

где С е Л/у^д, (С) - матрица базиса Габора.

В главе кратко рассматривается алгебраический подход к синтезу матрицы хорошо локализованного ортогонального базиса Вейля-Гейзенберга, предложенный В.П. Волчковым, в основе которого лежит сингулярное разложения.

В диссертации доказывается, что рассмотренный алгоритм сохраняет структуру сдвигов матрицы базиса Вейля-Гейзенберга. При этом оптимальная формирующая функция задается первым столбцом матрицы иопт:

*[»] = и«т(я.1). (8)

Локализацию базиса Вейля-Гейзенберга можно дополнительно улучшить за счет оптимального выбора значения фазового параметра а (см. (3), (4)). Значение минимума задачи (7) зависит от а и имеет вид:

2 2 2Ы р(а) = ™П1СИ - и1 = 11Св («) - УД = 2>, И -1)2. (9)

Для этого решается дополнительная экстремальная Задача 3:

пш(||сДа)-уД). (Ю)

Теоретическое решение этой задачи в общем случае крайне затруднительно, поэтому вводится новая мажорирующая норма

|Св(аг)Св(а)-1|^ >|Св(аг)-Уопт|2. Этот факт позволяет перейти от решения

задачи (10) к задаче

^,:тш(||свС1-1[). ^ (11)

В практическом плане наиболее важными являются случаи, когда формирующая функция g[n] \УН-базиса является N - или сопряженной (N-1)-симметричной. Для этих случаев получено точное решение задачи (11):

Теорема 1. Пусть дискретная формирующая функция n&JN,

базиса (5), удовлетворяет свойству сопряженной (М-1)-симметрии. Тогда наилучшая локализация базиса В[/„] по критерию:

|ад-и|Г£->янп(ппп) (12)

достигается при значениях аопт = М/2+ дМ/2, д е Ъ.

Рис. 2.

Оптимальный базис Бейля-Гейзенберга

80 100 120 140 160 180 200 Отсчеты п

В результате выполненного в завершении главы компьютерного моделирования удается установить ряд важных свойств синтезированного WH-базиса:

• Полученная формирующая функция является хорошо локализованной и близка к функции Гаусса (рис.2).

• При отклонении фазового параметра от оптимального значения локализация ухудшается и теряется свойство симметрии.

• Найденные оптимальные значение фазового параметра приводят к минимизации не только мажорирующей нормы (11), но и исходной нормы (9).

Основным недостатком разработанного алгебраического метода синтеза базиса является то, что он требует большого числа вычислений, порядка 0(jV3).

Это значительно затрудняет его использование на практике, когда размерность базиса может достигать нескольких десятков тысяч. Уменьшить объем вычислений можно, за счет того, что в результате работы алгоритма синтезируется не матрица WH-базиса, а сразу оптимальная формирующая функций.

В ГЛАВЕ 3 с целью разработки вычислительно эффективного метода синтеза базиса Вейля-Гейзенберга доказаны критерии ортогональности, сформулированные в виде специальных условий на формирующую функцию.

Сначала условия ортогональности базиса представляются в более компактном виде:

Лемма 1. Необходимыми и достаточными условиями ортогональности

базиса В[7Л,] являются равенства:

(13)

(14)

Затем рассматривается случай, когда g[n] обладает каким-либо из двух рассмотренньк вьпне свойств симметрии, для которых доказаны следующие необходимые и достаточные условия ортогональности:

Теорема 2. Если формирующая функция обобщенного базиса Вейля-Гейзенберга является действительной и обладает свойством сопряженной N -симметрии, а фазовый параметр выбран оптимально (а = М/2), то необходимым и достаточным условием его ортогональности является равенство:

£*[иК(и-'ЛГ)„]ехр ±7

. 2ятп4

(15)

п=о - ч м!2; /г

Кроме того, вне зависимости от типа симметрии действительного формирующего импульса ,£»[«] доказаны дополнительные критерии

ортогональности базиса В в частотной и временной области:

Теорема 3. Необходимым и достаточным условием ортогональности базиса £>[УМ] во временной области является равенство

(16)

а в частотной области равенство

^С[{р + к1)ы]0*[{р + кЬ-21т\у\8т,, Чре^, (17)

*=о -ь п

Теоремы 2 и 3 играют важную теоретическую роль, т.к. гарантируют отсутствие МКИ и МСИ на входе приемника при распространении сигнала по идеальному каналу, вносящему только белый шум. То есть Теорема 2 фактически является аналогом критерия Найквиста, а Теорема 3 - теоремы Найквиста, которые сформулированы в работе для более сложных ОРТОМ сигналов.

Последним шагом, необходимым для формулировки «быстрого» алгоритма формирования базиса является введение преобразования Винера дискретной функции структура которого хорошо отвечает структуре \УН-базиса:

(18)

Используя критерий (16) и вид преобразования Винера (18), в работе показано, что необходимым и достаточным условием ортонормированности

обобщенного базиса Вейля-Гейзенберга является равенство

№/214+Кч4=УМ- <19>

Этот критерий используется для формирования эффективной процедуры ортогонализации, в основе которой лежит быстрое преобразование Фурье (БПФ). За счет этого удается значительно снизить объем вычислений и построить базисы большой размерности, где N достигает нескольких десятков тысяч.

В ГЛАВЕ 4 решается наиболее актуальная проблема реального практического применения \УН-базисов, а именно, построение вычислительно эффективного алгоритма обработки сигналов на их основе.

В общем случае, процедура построения сигнала я = [5[0],...,^[Лг-1]]Г (2) на основе \¥Н-базиса (5) представляет собой произведение вектора действительных информационных символов с = на

блочную матрицу этого базиса и:

в = ис. (20)

Однако объем вычислений, необходимый для проведения этих операций, составляет порядка что затрудняет возможность практического

использования ЭДН-базисов в реальных устройствах, где используется тысячи поднесущих М.

Для получения более вычислительно эффективного алгоритма в главе вводится аналог г-преобразования для последовательной из пространства /2" (./„)•'

ОД = Х *[«]*-',*[/»] б/2Я (Л). (21)

В г-представлении проанализированы несколько схем, широко распространенных в параллельной цифровой обработке сигналов: прореживающий и интерполирующий фильтры, ДПФ банк фильтров. В главе показано, что эффективность этих систем можно значительно увеличить, если воспользоваться полифазным разложением. Для этого последовательность (импульсная характеристика фильтра) раскладывается на М подпоследовательностей gp[и],р = 0,1,...,Л/-1

Причем исходную последовательность можно выразить следующим образом:

р=0

где рр\п\ = ¿\{пМ + = являются полифазньми компонентами,

так как для г-образов справедливо:

О (ф 1У<7>,Рр{г)=1±РМ*-'- (22)

р=о /=о

Для того, чтобы применить полифазное разложение к ОПТ)М сигналу (2) применяется замена переменных

_ Я ___ / / __ я #

а2к'ам ~ С2К1' "2*\2/ ~ С2*у> "2Г+1.2/+1 — С2»'+и> "2*'+и; _ С2*Ч1,/ >

-П -П

(Ри\2М ~ и> ^24',2/ ~~ 2 ' Ри'+иМ ~ 2 ' 'РгкЧЛ.И ~ позволяющая представить сигнал 5 [и] следующим образом:

М-1 2£-1

где

*=о /'=0 семейство

(23) функций является

альтернативной формой записи базиса Вейля-Гейзенберга (5).

В главе использовано полифазное разложение (22) для получения г-представления сигнала (23):

(-М) = (Х(0)Г ^ (24)

*=о

р=0

где Х^^^2),...,^^2)]', - г-представление

последовательности х°[/'] = а4(, ехр( /-^-(/'+1)1; 2 = ] . При этом

показано, что для матрицы И существует эффективная факторизация:

где \уфa=diag

1 ИГ 2 ' ш ^ 2 >

1>пм ....." и

[ = - матрица ДПФ

= состоит из полифазных

компонент (22).

Таким образом, построенный алгоритм обработки ОБТОМ-сигналов основывается на двух основных элементах: ДПФ и полифазном разложении.

Причем использование разреженных матриц размерности, меньшей чем (2Лгх2Лг), совместно с БПФ приводит к значительному сокращению вычислительных затрат, которые составляют порядка

О (N/21о§2 М/2) + О (2Ы 1о§2 21) операций.

В завершении главы приведены схемы обработки ОЕГОМ сигналов, основанные на разработанных алгоритмах.

Проведенное в главе исследование демонстрирует путь к эффективному применению на практике хорошо локализованных базисов Вейля-Гейзенберга, обладающие высокой степенью локализации.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы основные научные и практические результаты работы.

В результате работы были получены следующие выводы:

1. На основе исследования существующих методов частотно-временного анализа и подходов к цифровой обработке и передаче сигналов сделан вывод о том, что одним из наиболее актуальных и перспективных с практической точки зрения направлений является использование хорошо локализованных ортогональных обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга.

2. Основной ценность полученных результатов является то, что разработанные методы и алгоритмы представляют собой полный математический «инструментарий», необходимый для эффективного использования обобщенных хорошо-локализованных \УН-базисов, начиная от синтеза самого базиса и заканчивая его применением для обработки функций и сигналов.

3. Построено N -периодическое приближение комплексных дискретных симметричных функций. Это позволяет теоретически обосновать выбор вида и типа симметрии формирующей функции обобщенного базиса Вейля-Гейзенберга.

4. Показано, что качество локализации обобщенного ШГбазиса можно дополнительно улучшить за счет оптимального выбора фазового параметра. Теоретически обоснованы значения фазового параметра для двух классов симметрии формирующей функции.

5. Доказаны необходимые и достаточные условия ортогональности обобщенных WH-бaзиcoв, которые также являются критериями отсутствия межканальной и межсимвольной интерференции. Проведена аналогия между этими условиями и классическими вариантами теоремы и критерия Найквиста.

6. Доказаны дополнительные критерии ортогональности в виде удобных для дальнейшего использования условий на базис Винера. Разработан вычислительно эффективный алтари™ синтеза ортогональных WH-базисов высокой степени частотно-временной локализации, основанный на преобразования Винера и дискретном преобразовании Фурье.

7. С использованием полифазного разложения разработаны вычислительно эффективные алгоритмы обработки дискретных функций на основе обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: Публикации в изданиях из Перечня ВАК:

1. Петров Д.А. Алгоритмы формирования ортогональных хорошо локализованных базисов // Математическое моделирование. 2010. Том 22, № 3.314-320.

2. Петров Д.А. Критерии ортогональности хорошо локализованных базисов // Вычислительные методы и программирование. 2009. Том 10. Раздел 1. 314320.

3. Волчков В.П., Петров Д.А. Условия ортогональности обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга для OFTDM сигналов // Научные ведомости БелГУ, Сер. История. Политология. Экономика. Информатика. 2009. № 15(70). Вып. 12/1. 190-199.

4. Мельник C.B., Петров Д.А. Потенциальные возможности для широкополосных радиотехнологий // Вестник связи. 2009. № 10.21-26.

5. Волчков В.П., Петров Д.А. Оптимизация ортогонального базиса Вейля-Гейзенберга для цифровых систем связи, использующих принцип OFDM/OQAM передачи // Научные ведомости БелГУ, Сер. История. Политология. Экономика. Информатика. 2009. № 1(56). Вып. 9/1.104-115.

Публикации в других научных изданиях:

6. Боголюбов А.Н., Петров Д.А. Применение полифазного разложения для эффективной вычислительной реализации алгоритма формирования сигнала на основе конечномерного обобщенного базиса Вейля-Гейзенберга // Электронный журнал Радиоэлектроники РАН. Март 2010. Раздел «Математические методы в задачах радиоэлектроники».

7. Петров Д.А. Оптимизация обобщенного ортогонального базиса Вейля-Гейзенберга с учетом вида симметрии формирующего импульса // Сборник тезисов XVI Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009», секция «Физика». М.: Физический факультет

МГУ, 2009. 9-10.

8. Боголюбов А.Н., Петров Д.А. Математические методы синтеза хорошо-локализованных базисов для борьбы с межканальной интерференцией // Тезисы 4-ой отраслевой научной конференции-форума «Технологии информационного общества». М.: Инсвязьиздат, 2010. 39.

9. Volchkov V.P., Petrov D.A. Orthogonal Well-Localized Weyl-Heisenberg Basis Construction and Optimization for Multicarrier Digital Communication Systems // International Conference on Ultra Modern Telecommunications (ICUMT 2009). St. Petersburg: Oct. 12-14, 2009. -ISBN: 978-1-4244-3941-6. -IEEE Catalog Number: CFP0963G-CDR fhttp://ieeexplore. ieee.org).

10. Петров ДА. Оптимизация обобщенного ортогонального базиса Вейля-Гейзенберга с учетом вида симметрии формирующего импульса // Сборник тезисов третьей международной конференции «Современные достижения бионаноскопии». М.: Издательство Московского Университета, 2009. 73-74.

11. Волчков В.П., Петров Д.А. «Обобщенная теорема Найквиста для OFTDM сигналов» // Материалы Всероссийского научно-технического семинара «Системы синхронизации формирования и обработки сигналов для связи и вещания». Воронеж: Издательство ВГТУ, 2009.28-32.

12. Волчков В.П., Петров Д.А., Основные преимущества OFTDM технологии формирования и обработки широкополосных сигналов // Труды конференции Международный форум информатизации (МФИ-2009). Международный конгресс (CTN-2009). Телекоммуникационные и вычислительные системы. М.: Инсвязьиздат, 2009.222-224.

13. Волчков В.П., Петров Д.А. Условия ортогональности базисов Вейля-Гейзенберга // Сборник трудов Первой Международной научно-технической конференции «Компьютерные науки и технологии». Белгород; ООО «ГиК», 2009. 10-13.

14. Petrov D.A. Efficient Algorithm of Well-Localized Bases Construction for OFTDM Systems // Proceedings of 6th seminar of Finnish-Russian University Cooperation in Telecommunications (FRUCT) Program. Helsinki, Finland: SUAI university publisher house, 2009.106-112.

15. Волчков В.П., Петров Д.А. Синтез и оптимизация сигнальных базисов с наилучшей частотно-временной локализацией для OQAM/OFDM систем // Труды конференции Международный форум информатизации (МФИ-2008). Международный конгресс (CTN-2008). Телекоммуникационные и вычислительные системы. М.: Инсвязьиздат, 2008.238-239.

Подписано в печать 20.05.2010. Тираж 100 экз. Заказ № 74.

Отпечатано в ООП физического факультета МГУ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Анализ состояния проблемы и постановка задачи исследования.

1.1 Методы частотно-временного анализа.

1.2 Технология ортогонального частотного мультиплексирования (OFDM).

1.3 Ограничения возможности локализации.

1.4 Обобщенный ортогональный WH-базис и математическая модель OFTDM сигнала.

Выводы.

ГЛАВА 2. Синтез ортогональных хорошо-локализованных конечномерных базисов Вейля-Гейзенберга и оптимизация фазового параметра.

2.1 Аппроксимация симметричной комплексной функции N -периодической.

2.2 Алгебраический алгоритм синтеза ортогонального базиса.

2.3 Дополнительная оптимизация базиса Вейля-Гейзенберга.

2.4 Результаты моделирования.

Выводы.

ГЛАВА 3. Критерии ортогональности и вычислительно эффективный алгоритм синтеза базиса Вейля-Гейзенберга.

3.1 Доказательство критериев ортогональности.

3.2 Критерий и теорема Найквиста.

3.3 Базис и преобразование Винера.

3.4 «Быстрый» алгоритм синтеза базиса.

3.5 Результаты моделирования.

Выводы.

ГЛАВА 4. Построение вычислительно эффективных алгоритмов обработки сигналов с применением обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга.

4.1 Полифазное разложение и Z-преобразование.

4.2 Примеры применения полифазного разложения.

4.3 Обработка OFTDM сигнала на основе обобщенного базис Вейля-Гейзенберга.

4.4 Эффективная реализация алгоритма обработки сигнала на основе полифазного разложения и БПФ.

4.5 Численный алгоритм обработки сигнала.

4.6 Результаты моделирования.

Выводы.

Значительный технологический прогресс, достигнутый в развитии высокоскоростных систем передачи информации и их активном применении на практике, делает особенно актуальными исследования новых методов синтеза сигналов сложной структуры, обладающих оптимальными временно-частотными характеристиками.

Частотно-временной анализ начал свое развитие еще с начала 19-ого века. Во второй половине 20-ого и начале текущего века его методы и теория получили свое развитие в многочисленных трудах отечественных (Желудев В.А., Кравченко В.Ф., Левин Б.Р., Малоземов В.Н., Маршанский С.М, Новиков И.Я., Петухов А.П., Тихонов В.И., Хинчин А.Я., и др.) и зарубежных ученых (Винер Н., Габор Д., Гроссман А., Даффин Р.Ж., Добеши И., Козек В., Мала С., Майер И., Проакис Дж., Стромер Т., Сиоан П., Сейдж Э., Шафер A.C. и др.).

Преобразование Фурье, завоевавшее популярность и широкое распространение в теории обработки сигналов в линейных инвариантных во времени системах, становится трудно применимым инструментом, когда необходимо исследовать кратковременные, переходные процессы. Для таких более сложных явлений возникает необходимость получать информацию о спектре, локализованную во времени. Синтез универсального базиса, являющегося аналогом базиса Фурье, который позволил бы упростить обработку большинства типов сигналов, представляет собой крайне сложную задачу. Наиболее важными примерами таких базисов являются базисы Вейля-Гейзенберга и базисы вейвлетов. Выделим основные причины, обосновывающие актуальность исследования именно базисов Вейля-Гейзенберга:

• Сдвинутые по времени и частоте версии сигнала-прототипа (формирующей функции) используются в многочисленных существующих на данный момент приложениях, таких как цифровые телекоммуникации, кодирование, распознавание речи, спектральный анализ и т.д. Соответственно, в первую очередь, стоит задача улучшения характеристик существующих устройств без полного изменения подхода за счет выбора оптимальных параметров как формирующей функции, так и базиса в целом.

• Возникающие на практике нестационарные среды, например, беспроводные радиоканалы обладают двумя характерными классами эффектов: доплеровский сдвиг и временные задержки, которые являются базовыми компонентами группы Вейля-Гейзенберга.

• Хорошо известно, что требования симметрии и ортонормированности не могут быть выполнены одновременно для вейвлетов с компактным носителем.

• Алгоритмы, основанные на базисах Вейля-Гейзенберга не уступают вейвлет-пакетам по вычислительным затратам.

В настоящее время в системах связи 3G, 4G и цифрового телевидения используется пакетная передача данных, а наиболее распространенной технологией является мультиплексирование (уплотнение) с ортогональным частотным разделением (OFDM -Orthogonal Frequency Division Muitiplexing). OFDM сигнал, передаваемый в канал, представляется собой последовательность информационных пакетов, сформированных в виде линейной комбинации функций классического базиса Вейля-Гейзенберга.

В связи с ростом количества абонентов современные системы беспроводной связи должны обеспечивать прием информации в сложной помеховой обстановке. При этом высокое качество работы цифровых систем связи должно обеспечиваться при высоких скоростях передачи информации и высоких скоростях движения абонентов. При построении таких систем часто возникает ситуация, когда реальный радиоканал (среда распространения) обладает частотно-временным рассеянием. В процессе распространения сигнала в такой середе возникает интерференция между соседними OFDM пакетами (межсимвольная интерференция, МКИ) и между поднесущими каналами в рамках каждого OFDM пакета (межканальная интерференция, МКИ), то есть разрушается структура сигнала и на приемной стороне возникают помехи вплоть до полного нарушения связи. Во многом это объясняется тем, что прямоугольная форма формирующего импульса, характерная для классических OFDM систем, не является оптимальной с точки зрения локализации в частотной области и, соответственно, устойчивости к МКИ.

Таким образом, борьба с частотно-временным рассеянием и снижение МКИ представляют серьезную проблему в мобильных широкополосных сетях различного назначения, например, WiMAX, LTE, DVB-T/H и др, и во многих случая пока не находит удовлетворительного решения.

Кроме высоких локализационных характеристик базиса, позволяющих значительно снизить подверженность МКИ, в реальных приложения на передний план выходит проблема практической реализуемости методов синтеза таких базисов и обработки сигналов на основе существующей аппаратной платформы. Например, в задачах спектрально-временного анализа различных процессов требуется возможность быстрого и гибкого изменения разрешающей способности, которая достигается настройкой параметров базиса Вейля-Гейзенберга, т.е. изменением его формирующей функции.

Кроме того, в современных системах цифрового телевидения количество базисных функций может достигать нескольких десятков тысяч, причем прием цифрового видео сигнала должен осуществляется компактным абонентским устройством. Соответственно, особую актуальность приобретают решаемые в работе задачи разработки вычислительно эффективных алгоритмов, как синтеза самого базиса, так и «быстрых» алгоритмов обработки сигналов на основе этих базисов.

В настоящий момент системы цифрового телевидения и беспроводной связи поколений 3G, 4G получают широкое распространение в России и мире. Поэтому разработка научно обоснованных решений по развитию математических методов и алгоритмов обработки сигналов, позволяющих повысить эффективность систем беспроводной связи, является актуальной задачей и может рассматриваться как решение актуальной научно-технической проблемы, имеющей важное научное и практическое значение.

Цель работы

Целью данной диссертационной работы является исследование математических методов синтеза хорошо-локализованных ортогональных базисов Вейля-Гейзенберга с обоснованно выбранными параметрами и их применение для эффективной обработки сигналов. В работе были поставлены следующие задачи:

• Разработка математических методов синтеза конечномерных, дискретных обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга с заданными параметрами, обладающих хорошей локализацией одновременно и в частотной и во временной области.

• Теоретическое обоснование выбора вида формирующей функции и оптимальных параметров базисов Вейля-Гейзенберга.

• Разработка вычислительно эффективного алгоритма синтеза таких базисов.

• Разработка практически реализуемых, эффективных алгоритмов обработки сигнала на основе таких базисов.

Научная новизна работы

В диссертационной работе впервые обоснован выбор вида симметрии формирующей функции и фазового параметра обобщенного базиса Вейля-Гейзенберга, обеспечивающие высокую степень его частотно-временной локализации. Исследована зависимость локализации базиса от выбора его параметров. Разработан вычислительно эффективный алгоритм синтеза базиса. Обоснованы преимущества технологии передачи информации с ортогональным частотно временным уплотнением на основе оптимальных обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга (WH-OFTDM - Weyl-Heisenberg Orthogonal Frequency Time Division Multiplexing) над классической OFDM схемой. Для OFTDM сигналов доказаны условия (критерии ортогональности), являющиеся аналогами теоремы Найквиста, гарантирующими отсутствие МКИ и МСИ. Построены эффективные алгоритмы обработки сигналов на основе синтезированных базисов.

Практическая ценность

Полученные в работе результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии новой технологии передачи информации с частотно-временным мультиплексированием (WH-OFTDM), с возможностью последующего применения в современных устройствах связи 4G (WiMAX, WÏMAX2, LTE и т.д.) и системах цифрового телевидения (DVB-H/T).

Основными преимуществами информационной технологии WH-OFTDM, следующими из полученных в работе теоретических результатов и результатов моделирования, являются:

• В каналах с частотно-временным рассеянием за счет организации дополнительного внутрисимвольного временного уплотнения удается существенно повысить, как спектральную, так и энергетическую эффективность системы.

• Понижается уровень внеполосного излучения, и тем самым ослабляются требования к выходному фильтру передатчика и защитному интервалу на границах частотного диапазона.

• Повышается устойчивость системы к межканальной и межсимволыюй интерференции, появляется возможность адаптировать ее к параметрам частотно-временного рассеяния среды.

Разработанные в работе эффективные алгоритмы позволяют применить на практике, в реальных системах хорошо локализованные базисы Вейля-Гейзенберга, обладающие высокой степенью локализации.

Построенные алгоритмы могут также применяться для эффективного спектрально-временного анализа различных процессов, наблюдаемых, в частности, на выходе устройств регистрации (датчиков биомедицинских приборов, сейсмодатчиков, радио и гидролокаторов) и для идентификации и классификации объектов (процессов) по частотно-временным признакам.

Апробация работы

Содержание различных разделов диссертации докладывалось на международных и всероссийских форумах, конгрессах и конференциях:

• Международные форумы информатизации (МФИ), международные конгрессы (CTN). Москва. 2008, 2009.

• Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых

Ломоносов-2009». Москва. 2009. Доклад был признан имеющим наибольший инновационный потенциал.

• Международная конференция «Современные достижения бионаноскопии». Москва. 2009.

• 4-ая отраслевая научная конференция-форум «Технологии информационного общества». Москва. 2010.

• Всероссийский научно-технический семинар «Системы синхронизации формирования и обработки сигналов для связи и вещания». Воронеж. 2009.

• International Conference on Ultra Modern Telecommunications. Санкт-Петербург. 2009.

• Первая Международная научно-техническая конференция «Компьютерные науки и технологии». Белгород. 2009.

• 5-ый семинары программы Финляндско-Российиского межуниверситетского сотрудничества в области телекоммуникаций (FRUCT). Санкт-Петербург. 2008.

• 6-ой семинар программы Финляндско-Российиского межуниверситетского сотрудничества в области телекоммуникаций (FRUCT). Хельсинки, Финляндия. 2009.

Кроме того, диссертационная работа обсуждалась и получила положительную оценку на научных семинарах «Математические методы в естественных науках» кафедры математики физического факультета МГУ (рук. проф. А.Н. Боголюбов), на семинаре «Обратные задачи математической физики» НИВЦ МГУ (рук. проф. А.Г. Ягола, проф. А.Б. Бакушинский и проф. А.В. Тихонравов), на Научно-методологическом семинаре НИВЦ МГУ (рук. проф. А.В. Тихонравов).

Публикации по работе

Результаты диссертации опубликованы в б статьях, 5 из которых входят в список изданий, рекомендованных ВАК, а также в 9 тезисах докладов на международных и всероссийских конференциях и семинарах.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Разработан вычислительно эффективный алгоритм, позволяющий синтезировать ортогональные конечномерные обобщенные базисы Вейля-Гейзенберга с хорошей частотно-временной локализацией.

2. Теоретически обоснован выбор вида и типа симметрии формирующей функции WH-базиса.

3. Теоретически обоснован выбор фазового параметра WH-базиса.

4. Разработаны вычислительно эффективные алгоритмы обработки сигналов на основе обобщенных WH-базисов.

5. Доказаны условия ортогональности WH-базисов и критерии отсутствия межканальной и межсимвольной интерференции.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения с текстами программ.

131 Выводы

Изложенный в главе материал позволяет сделать следующие выводы: Рассмотрение систем в Z-представлении и применение полифазного разложения позволяет снизить объем выполняемых операций и повысить эффективность использования отдельных компонентов.

Стандартная процедура синтеза сигнала (или его разложения по базисным функциям), выполняемая с помощью банка фильтров длиной N или в виде произведения вектора информационных символов (сигнала) и матрицы базиса требует достаточно большого числа вычислений, что не применимо на практике. В главе разработаны «быстрые» алгоритмы обработки сигналов на основе обобщенных базисах Вейля-Гейзенберга. Благодаря использованию идеи о полифазном разложении удается факторизовать матрицу преобразования и представить ее виде комбинации сильно разреженным матриц. По вычислительной эффективности полученные алгоритмы модуляции и демодуляции приближаются к классическим OFDM системам.

Кроме самих алгоритмов, предложены реализующие их схемы, а также разработаны программы в среде MATLAB.

Результаты моделирования демонстрируют большую устойчивость OFTDM сигнала к Доплеровскому сдвигу по сравнению с классическим OFBM сигналом

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении сформулируем основные выводы, полученные в диссертационной работе:

1. На основе исследования существующих методов частотно-временного анализа и подходов к цифровой обработке и передаче сигналов сделан вывод о том, что одним из наиболее актуальных и перспективных с практической точки зрения направлений является использование хорошо локализованных ортогональных обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга.

2. Основной ценность полученных результатов является то, что разработанные алгоритмы и программы представляют собой полный математический и вычислительный аппарат, необходимый для эффективного использования обобщенных хорошо-локализованных \¥Н-базисов, начиная от синтеза самого базиса и заканчивая его применением для обработки функций и сигналов.

3. Построено ТУ-периодическое приближение комплексных дискретных симметричных функций. Теоретически обоснован выбор типа симметрии и вида формирующей функции обобщенного базиса Вейля-Гейзенберга.

4. Показано, что качество локализации обобщенного \УН-базиса можно дополнительно улучшить за счет оптимального выбора фазового параметра. Теоретически обоснованы значения фазового параметра для двух классов симметрии формирующей функции.

5. Доказаны необходимые и достаточные условия ортогональности обобщенных \¥Н-базисов, которые также являются критериями отсутствия межканальной и межсимвольной интерференции. Проведена аналогия между этими условиями и классическими вариантами теоремы и критерия Найквиста.

6. Доказан критерий ортогональности базиса Вейля-Гейзенберга в виде условия на базис Винера. Разработан вычислительно эффективный алгоритм синтеза ортогональных \¥Н-базисов высокой степени частотно-временной локализации, основанный на преобразования Винера и дискретном преобразовании Фурье.

7. С использованием полифазного разложения разработаны вычислительно эффективные алгоритмы обработки дискретных функций на основе обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга.

8. Проведено математическое моделирование свойств формирующей функции базиса Вейля-Гейзенберга.

Практическая ценность проведенных исследований состоит в применении оптимальных обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга в качестве сигнальных базисов в системах с ортогональным частотно-временным уплотнением (ОРТОМ).

ОРТОМ-технологию можно использовать для борьбы с межканальной интерференцией в рамках существующих стандартов Wi-MAX и DVB. Однако в наиболее полном объеме её преимущества реализуются, если WH-базис применяется и для формирования сигнала, и для его обработки на приемной стороне.

Если стандарт мобильной связи или вещания уже принят и основан на использовании классической OFDM технологии (например, мобильная сеть Wi-MAX или DVB-T/H), то WH-базис может быть успешно использован для проектирования приемной части, устойчивой к действию МСИ и МКИ. В этом случае для расфильтровки и демодуляции OFDM сигнала предлагается использовать модифицированный вариант OFTDM технологии, при которой сигнал обрабатывается в сдвинутых по времени ортогональных окнах, формируемых с помощью WH-базиса.

Причем, такая обработка сигналов в неявном виде содержит L -кратное перенасыщение отсчетами (oversamping), т.е. может рассматриваться как дальнейшее развитие метода атомарных функций на случай, когда равномерным сдвигам по времени и частоте подвергается не одна, а несколько таких функций при обязательном сохранении их взаимной ортогональности.

Таким образом, технология OFTDM является очень перспективным направлением для разработки новых мобильных широкополосных систем, как специального, так и гражданского назначения, для которых достигаются следующие практически преимущества:

• За счет организации одновременно внутрисимвольного и временного уплотнения повышается, как спектральная, так и энергетическую эффективность системы.

• За счет более высокого качества локализации базисных функций понижается уровень внеполосного излучения, и тем самым становится возможным ослабить требования к выходному фильтру передатчика и защитному интервалу на границах частотного диапазона.

• Повышается устойчивость телекоммуникационных систем к межканальной и межсимвольной интерференции и становится возможным адаптировать ее к параметрам частотно-временного рассеяния среды.

Необходимо отметить и потенциальный экономический эффект от внедрения OFTDM-технологии для мобильных сетей связи. Стоимость одной базовой станции составляет около одного миллиона рублей. Станция включает б сегментов, каждый из которых в нормальных условиях может поддерживать до 250 абонентов. Разработанная технология позволяет увеличить помехоустойчивость системы в каналах с частотно-временным рассеянием, т.е. улучшить качество приема для мобильных абонентов. Это означает, что в равных условиях гарантированное качество приема может быть получено при меньшем отношении сигнал/шум, а в заданном районе облуживания абонентов потребуется установить меньшее число базовых станций. Таким образом, достигается экономия на необходимом количестве базовых станций, и с учетом их стоимости экономический эффект может составить несколько миллионов рублей.

При использовании классической OFDM технологии плохое качество приема в каналах с частотно-временным рассеянием приводит к необходимости использовать более низкие индексы модуляции, или более сложные виды кодирования. В результате падает скорость передачи данных, и как следствие, уменьшается число обслуживаемых абонентов на один сегмент. Вследствие большей помехоустойчивости, предлагаемая OFTDM технология при тех же сложных условиях приема позволит поддерживать в 1 2 раза большее число абонентов, а значит во столько же раз увеличится доходность мобильной сети при сохранении плотности базовых станций.

Повышение помехоустойчивости позволит улучшить качество предоставляемых услуг. Это является важным фактором повышения конкурентной способности, стимулирующим спрос на оборудование, основанное на предлагаемой OFTDM технологии.

Кроме того, значительного экономического эффекта можно ожидать и для систем цифрового телевидения. Результаты тестирования современных DVB-T приемников зарубежного производства показали их значительную чувствительность к помехам, создаваемым в районе действия источников сильного электромагнитного излучения (например, аэродромных PJIC). К 2015 году в России предполагается переход на стандарты цифрового вещания DVB-T, поэтому проблема надежного приема сигнала встает особенно остро. Предлагаемая OFTDM технология позволяет создать более помехоустойчивые приемники, а значит получить конкурентное преимущество по сравнению с существующими на рынке аналогами. Это будет серьезным стимулом для внедрения OFTDM технологии на российских фирмах, занимающихся производством такой аппаратуры.

Технологию OFTDM можно рассматривать лишь как один из примеров использования теоретических и практических результатов работы. На самом деле приложенческий характер ее значительно шире.

В частности, разработанные методы и алгоритмы могут быть применены для эффективного спектрально-временного анализа различных процессов. В этом случае удается получить гибкие многоуровневые алгоритмы анализа процессов, наблюдаемых на выходе различных устройств регистрации. В качестве таких устройств, например, могут выступать:

• датчики биомедицинских приборов

• приемники эхо сигналов в радиолокаторах (или гидролокаторах) различного назначения;

• сейсмографические датчики и т.д.

Особенность спектрально-временного \\ПН-анализа состоит в том, что базисные функции, по которым разлагается наблюдаемый процесс, ортогональны и обладают хорошим разрешением, как в частотной, так и во временной области. Более того, уровень разрешения в этих двух областях может гибко изменяться, позволяя исследователю более детально изучать свойства наблюдаемого процесса. Важным достоинством является также существование быстрых прямых и обратных алгоритмов спектрального \УН-анализа.

Хорошо локализованные \¥Н-базисы применимы и для идентификации и классификации объектов (процессов) по частотно-временным признакам. Преимущество использования таких базисов в этом случае состоит в том, что процесс (объект), подлежащий обнаружению или различению (на фоне других аналогичных), аппроксимируется многофакторной параметрической моделью в частотно-временной области. В качестве факторов выступают задействованные временные и частотные размерности базиса, а в качестве параметров - коэффициенты разложения процесса по соответствующему этим факторам ортогональному \УН-базису. При этом, характеристики частотно-временной локализации базисных функций могут гибко меняться и служат дополнительным параметром для адекватной настройки модели. Достоинства такой \¥Н-модели:

• хорошие аппроксимирующие свойства (широкий диапазон аппроксимации, обусловленный большим набором факторов и параметров);

• существование быстрого оптимального алгоритма идентификации, который фактически строится на быстром разложении процесса в ортогональном \\П-1-базисе.

1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. М.: «РХД», 2001.

2. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: МИР, 2005.

3. Grochening К., Foundations of time-frequency analysis. Boston, Brikhauser, 2001.

4. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторыми их приложений. М.: «Радиотехника», 2003.

5. Kravchenko V.F., Perez-Meana Н.М., Ponomaryov V.I. Adaptive Digital Processing of Multidimensional Signals with Applications. M.: Fizmatlit, 2009.

6. Прокис Дж. Цифровая связь, пер. с англ. / Под ред. Д.Д. Кловского. М.: Радио и связь, 2000.

7. Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях, под ред. Кравченко В.Ф., М.: Физматлит, 2009.

8. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Техносфера, 2006.

9. Лайонс Р., Цифровая обработка сигналов. М.: Бином-Пресс, 2006.

10. Папулис А., Теория систем и преобразований в оптике. М.: Мир, 1971.

11. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2006.

12. Daubechies I. The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis. IEEE T-IT, 1990, p. 961-1005.

13. Daubechies I. Time-frequency localization operators: a geometric phase space approach. IEEE Trans. Inform. Theory, 34/4, July 1988.

14. Grochenig K., Lyubarskii Y. Gabor Frames with Hcrmite Functions. Preprint submitted to Elsevier Science, May 2006.

15. Gabor D. Theory of communication. J. Inst. Elect. Eng., London, 1946, vol.93, no.3, pp.429457.

16. Feichtinger H.G., Strohmer T. Gabor analysis and algorithms: theory and applications. NY: Birkhauser Boston, 1998.

17. Фрейзер Ф. Введение в вэйвлеты в свете линейной алгебры. М.: Бином, 2007.

18. Чуй К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2007.

19. Демьянович Ю.К. Всплески & минимальные сплайны. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003.

20. Kozek W., Molisch A.F. Robust and efficient multicarrier communication by nonorthogonal Weyl-Heisenberg systems. IEEE J. Sel. Areas Comm., Oct, 1998, vol. 16, pp. 1579 1589.

21. Janssen A.J.E.M. Duality and biorthogonality for Weyl-Heisenberg frames, J. Fourier Analysis and Applications, 1995, vol. 1, no. 4, pp. 403 436.

22. Casszza P.G., Christensen O., Janssen A.J.E.M. Weyl-Heisenberg Frames, Translation Invariant Systems and the Walnut Representation. Journal of functional Analysis, 2001, vol. 180, № l,pp. 85-147.

23. Bolcskei H. A necessary and sufficient condition for dual Weyl-Heisenberg frames to be compactly supported. J. Fourier Anal. Appl, 1999, vol. 5, no. 5, pp. 409-419.

24. Волчков В. П. Сигнальные базисы с хорошей частотно-временной локализацией. Журнал «Электросвязь», 2007, №2, с. 21-25.

25. R. van Nee, Prasad R. OFDM for Wireless Multimedia Communications. Boston, MA: Artech House, 2000.

26. Bahai A.R.S., Saltzberg B.R. Multi-Carrier Digital Communications. Theory and Applications of OFDM. Kluwer Academic Publishers, 1999.

27. Fliege N.J. Orthogonal multiple carrier data transmission. European Transactions on Telecommunications, May 1992, vol. 3, pp. 225-253.

28. Reimers U. Digital video broadcasting. IEEE Commun. Mag., June 1998, pp. 104-110.

29. Bellanger M. Digital Processing of Signals: Theory and Practice. New York: Wiley, 1989.

30. Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра (перевод с англ.). М.: Радио и связь, 2000.

31. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение, 2-е издание (перевод с англ.). М.: Издательский дом "Вильяме", 2003.

32. Dawei L. at all. Impact of timing error on BER performance of TDD pre-equalized OFDM systems. Proc. PIMRC 2004, September 2004, pp. 714-718.

33. Speth M., Classen F., Meyr H., Frame synchronization of OFDM systems in frequency selective channels. Proc. VTC, May 1997, pp. 1807-1811.

34. Pollet Т., Moeneclaey M. Synchronizability of OFDM signals. Proc. GLOBECOM 1995, November 1995, pp. 2054-2058.

35. Weinstein S.B., Ebert P.M. Data transmission by frequency division multiplexing using the discrete Fourier transform. IEEE Trans. Commun. Tech., October 1971, vol COM-19, pp628.634.

36. ETSI, Radio Broadcasting Systems: Digital Audio Broadcasting to Mobile, Portable and Fixed Receivers. European Telecommunication Standard, ETS 300-401, Feb. 1995.

37. ETSI, Digital Video Broadcasting: Framing Structure, Channel Coding, and Modulation for Digital Terrestrial Television. European Telecommunication Standard, EN 300-744, Aug 1997.

38. Bingham J.A.C., Multicarrier modulation for data transmission: an idea whose time has come. IEEE Comm. Magazine, vol. 28, pp. 5-14, May 1990.

39. Moose P.H.A technique for orthogonal frequency division multiplexing frequency offset correction. IEEE Trans. Commun., October 1994, vol. 42, pp. 2908-2914.

40. Steendam H., Moeneclaey M. Sensitivity of orthogonal frequency division multiplexed systems to carrier and clock synchronization errors. Signal Processing, July 2000, vol. 80, pp. 1217-1229.

41. Van de Beek J.J., Sandell M., Borjesson P.O. ML estimation of time and frequency offset in OFDM systems. IEEE Trans. Signal Processing, July 1997, vol. 45, pp. 1800-1805.

42. Picinbono B. On Circularity. IEEE Trans. Signal Processing, December 1994, vol. 42, pp. 3473-3482.

43. Neeser F.D., Massey J.L. Proper complex random processes with applications to information theory. IEEE Trans. Inform. Theory, July 1993, vol. 39, pp. 1293-1302.

44. Peled A. Ruiz A. Frequency domain data transmission using reduced computational complexity algorithms. Proc. ICASSP, April 1980, pp 964-967.

45. Sari H., Karam G., Jeanclaude I. Transmission techniques for digital terrestrial TV broadcasting. IEEE Communications Magazine, Feb. 1995, pp. 100-109.

46. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989.

47. Haas R., Belfiore J.C. A time-frequency well-localized pulse for multiple carrier transmission. Wireless Personal Communications, 1997, vol. 5, pp. 1-18.

48. Muschallik C. Improving an OFDM reception using an adaptive Nyquist windowing. IEEE Transactions on Consumer Electronic, 1996, vol. 42, no. 3, pp. 259-269.

49. Chang R. W. Synthesis of band-limited orthogonal signals for multichannel data transmission, Bell Syst. Tech. J., Dec. 1966, vol. 45, pp. 1775-1796.

50. Zhao Y., Haggman S.G. Sensitivity to Doppler Shift and Carrier Frequency Errors in OFDM Systems. The consequences and Solutions. IEEE Vehicular 46th Vehicular Technology Conf., Atlanta, Apr. 1996, GA, pp. 1564-1568.

51. Armstrong J. Analysis of New and Existing Methods of Reducing Intercarrier Interference Due to Carrier Frequency Offset in OFDM. IEEE Trans. Comm., Mar. 1999, vol. 47, pp. 365-369.

52. Зюко А.Г., Фалько А.И., Панфилов И.П., Банкет B.JI., Иващенко И.В. Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информации (под ред. А. Г. Зюко). М.: Радио и связь, 1985.

53. Cimini L.J. Analysis and simulation of a digital mobile channel using orthogonal frequency division multiplexing. IEEE Trans. Comm., July 1985, vol. 33, pp. 665 675.

54. Chow J.S., Tu J.C., Cioffi J.M., A discrete multitone transceiver system for HDSL applications. IEEE J. Sel. Areas Comm., Aug. 1991, vol. 9, pp. 895-908.

55. Remvik P. K., Holte N., Vahlin A., Fading and Carrier Frequency Offset Robustness for Different Pulse Shaping Filters in OFDM, IEEE 45-th VTC 98, May 1998, vol. 2, pp. 777781.

56. Benvenuto N., Tommasin S., Tomba L. Equalization Methods in OFDM and FMT Systems for Broadband Wireless Communications. IEEE Trans, on Comm., Sept. 2002, vol. 50, no. 9, pp. 1413-1418.

57. Kozek W., Molisch A.F. Nonorthogonal pulscshapes for multicarrier communications in doubly dispersive channels // IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 1998, vol.16, №8, pp. 1579-1589.

58. Vahlin A., Holte N. "Optimal finite duration pulses for OFDM," IEEE Trans. Comm., vol. 4, pp. 10 14, Jan. 1996.

59. Remvik P. K., Holte N. Carrier frequency offset robustness for OFDM systems with different pulse shaping filters. Proc. IEEE GLODECCM-97, (Phoenix, AZ), 1997, pp. 11 15.

60. Schmidt T.M., Cox D.C. Robust frequency and timing synchronization for OFDM. IEEE Trans. Commun., vol. 45, December 1997.

61. Tan P., Beaulieu N. C. Reduced ICI in OFDM Systems Using the Better Than Raised-Cosine Pulse. IEEE Comm. Letters, Mar. 2004, vol. 8, no. 3, pp. 135-137.

62. Шредингер Э. К принципу неопределенности Гейзенберга. Избранные труды поквантовой механике. М.: Наука, 1976.

63. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: «Радио и связь», 1982.

64. Кравченко В.Ф., Лабунько О.С., Лерер A.M., Синявский Г.П. Вычислительные методы в современной радиофизике. М.: Физматлит, 2009.

65. Желудев В.А., Певный А.Б. Дискретные периодические фреймы. Вестник Сыктывкарского университета, 2006, Сер. 1, Вып. 6, с. 87-94.

66. Auscher P. Remarks on the local Fourier bases. Wavelets: Mathematics and Applications (J. J. Benedetto and M. W. Frazier, eds.), Boca Raton, FL: CRC Press, 1994.

67. Duffin R.J., Schaeffer A.C. A class of nonharmonic Fourier series. Trans. Arner. Math. Soc., 1952, 72:341 366.

68. Ron A., Shen Z. Frames and stable bases for shift-invariant subspaces of Z? . Canadian Journal of Mathematics, 1995, vol. 47, no. 5, pp. 1051-1094.

69. Heil C., Walnut D. Continuous and discrete wavelet transforms. SIAM Review, 1989, №31, pp. 628-666.

70. Bolcskei H., Grochenig K., Hlawatsch F., Feichtinger H.G. Oversampled Wilson expansions. IEEE Signal Processing Letters, April 1997, vol. 4, pp. 106 108.

71. Bolcskei H., Feichtinger H.G., Grochenig K., Hlawatsch F. Discrete-time Wilson expansions. Proc. IEEE-SP Int. Sym,pos. Time-Frequency Time-Scale Analysis, (Paris, France), June 1996, pp. 525 528.

72. Hleiss R., Duhamel P., Charbit M. Oversampled OFDM systems. Proc. of Int. Conf. on DSP, (Santorini, Greece), July 1997, pp. 329 332.

73. Hirosaki B. An orthogonally multiplexed QAM system using the discrete Fourier transform. IEEE Trans. Comm., July 1981, vol. 29, pp. 982 989.

74. Christensen О. Frames, Reisz Bases, and Diskrete Gabor/Wavelet Expantions. Bulletin of the American Math. Society, March 2001, vol. 38, №3, pp. 273-291.

75. Zou W.Y., Wu Y. COFDM: An overview. IEEE Trans. Broadc., March 1995, vol. 41, pp. 18.

76. Le Floch В., Alard M., Berrou C., Coded Orthogonal Frequency Division Multiplex.

77. Proceedings of the IEEE, June 1995, vol. 83, n° 6.

78. Du J., Signell S. Classical OFDM Systems and Pulse Shaping OFDM/OQAM Systems // Technical Report on the Wireless KTH Project, 2007.

79. Мельник C.B., Петров Д.А. Потенциальные возможности для широкополосных радиотехнологий. Вестник связи, -2009, №10, с. 21-26.

80. Тихонов В. И. Оптимальный прием сигналов. М.: Сов. радио, 1983.

81. Витерби А. Д., Омура Дж.К. Принципы цифровой связи и кодирования. М.: Радио и связь, 1982.

82. Vangelista L., Laurenti N. Efficient Implementations and Alternative Architectures for OFDM-OQAM Systems, IEEE Tans. On Comm. April 2001, vol. 49, n 4, pp. 664-675.

83. Bolcskei H., Hlawatsch F. Oversampled cosine modulated filter banks with perfect reconstruction. IEEE Trans. Circuits and Systems II, Special Issue on Multirate Systems, Filter Banks, Wavelets, and Applications, Aug. 1998, vol. 45, pp. 1057 1071.

84. Zibulski M., Zeevi Y.Y. Oversampling in the Gabor scheme. IEEE Trans. Signal Processing, Aug. 1993, vol. 41, pp. 2679 2687.

85. Cvetkovic Z., Vetterli M., Oversampled filter banks. IEEE Trans. Sing. Proc., 1998, vol. 46, №5, pp. 1245-1255.

86. Hirosaki В., Hasegawa S., Sabato A. Advanced groupband data modem using orthogonally multiplexed QAM technique. IEEE Trans, Comm., June 1986, vol. 34, pp. 587-592.

87. Sandberg S.S., Tzannes M.A. Overlapped discrete multitone modulation for high speed copper wire communications. IEEE J, Sel. Areas Comm., 1995, vol. 13, no. 9, pp. 15711585.

88. Bolcskei H. Efficient design of pulse shaping filters for OFDM systems. Proc. SPIE Wavelet Applications in Signal and Image Processing VII vol. 3813, (Denver (CO)), July 1999, pp. 625 636.

89. Bello P.A. Characterization of randomly time-variant linear channels. IEEE Trans. Comm. Syst., vol. 11, pp. 360 393, 1963.

90. Siohan P., Roche C. Analytical design for a family of cosine modulated filter banks. Proc. IEEE ISCAS-98, (Monterey, CA), May 1998.

91. Assalini A., Trivellato M., Pupolin S. Performance Analysis of OFDMOQAM Systems. Proc. WPMC'05 Aalborg, Denmark, Sept. 2005.

92. Siohan P., Siclet C., Lacaille N. Analysis and Design of OFDM/OQAM Systems Based on Filterbank Theory. IEEE Trans, on Signal Proc., May 2002, vol. 50, no. 5, pp. 1170-1183.

93. Кашин Б.С., Саакян Б.И. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999.

94. Siohan P., Roche С. Cosine-Modulated Filterbanks Based on Extended Gaussian Functions. IEEE Trans, on Signal Proc., Nov. 2000, vol. 48, no. 11, pp. 3052- 3061.

95. Koilpillai R.D., Vaidyanathan P.P. Cosine-modulated FIR filter banks satisfying perfect reconstruction. IEEE Trans. Signal Processing, April 1992, vol. 40, pp. 770-783.

96. Nguyen T.Q., Koilpillai R.D. The theory and design of arbitrary length cosine-modulated filter banks and wavelets, satisfying perfect reconstruction. IEEE Trans. Signal Processing, Mar. 1996, vol. 44, pp. 473^183.

97. ЮО.Кагр Т., Fliege N.J. MDFT filter banks with perfect reconstruction. Proc. IEEE Int. Symp. Circuits Syst., Apr. 1995, vol. 1, Seattle, WA, pp. 744-747.

98. Akansu A.N., Duhamel P., Lin X., de Courville M. Orthogonal transmultiplexers in communication: A review. IEEE Trans. Signal Processing, Apr. 1998, vol. 46, pp. 979-995.

99. Отнес Р., Эноксон JT. Прикладной анализ временных рядов, основные методы. М.: Мир, 1982.

100. Ю5.Вариченко JI. В., Лабунец В. Г., Раков М.А. Абстрактные алгебраические системы и цифровая обработка сигналов. Киев: Наук, думка, 1986.

101. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Изд. «Наука», 1968.

102. Ю7.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

103. Дьяконов В. П. MATLAB 7.*/R2006/2007. Самоучитель. М.: «ДМК-Пресс», 2008.

104. Ю9.Петров Д.А. Алгоритмы формирования ортогональных хорошо локализованных базисов. Математическое моделирование, 2010, №3, Том 22, с. 314-320.

105. Ю.Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

106. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

107. Тыртышников Е.Е. Матричный анализ и линейная алгебра. М.: Физматлит, 2007.

108. Боголюбов А.Н., Петров Д.А. Математические методы синтеза хорошо-локализованных базисов для борьбы с межканальной интерференцией . Тезисы 4-ой отраслевой научной конференции-форума «Технологии информационного общества», М, 2010, с .39.

109. Гридин В.Н., Михайлов В.Г. Эффективные алгоритмы расчета корневых чувствительностей для САПР аналоговой радиоэлектроники. Математическое моделирование, 2001, том. 13, №5, с. 119-127.

110. Пб.Волчков В.П., Петров Д.А. Условия ортогональности базисов Вейля-Гейзенберга. Сборник трудов Первой Международной научно-технической конференции «Компьютерные науки и технологии». -Белгород. -2009. — С. 10-13.

111. Волчков В.П., Петров Д.А. Условия ортогональности обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга для OFTDM сигналов. Научные ведомости БелГУ. Сер. История. Политология. Экономика. Информатика, 2009, №15(70), вып. 12/1, -с. 190-199.

112. Saltzberg В. R. Performance of an efficient parallel data transmission system. IEEE Trans. Comm. Technol, Dec. 1967, vol. 15, pp. 805 811.

113. Банкет В. Л., Дорофеев В. М. Цифровые методы в спутниковой связи. М.: Радио и связь, 1988.120.3юко А.Г., Кловский Д.Д., Коржик В.И., Назаров М.В. Теория электрической связи (под ред. Кловского Д.Д.). М.: Радио и связь, 1998.

114. Волчков В.П., Петров Д.А. Обобщенная теорема Найквиста для OFTDM сигналов. Материалы Всероссийского научно-технического семинара «Системы синхронизации формирования и обработки сигналов для связи и вещания», Воронеж, 2009, с. 28-32.

115. Петухов А. П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999.

116. Петухов А.П. Периодические дискретные всплески // Алгебра и анализ, 1996, Вып. 8, №3, с. 151-183.

117. Петров Д.А. Критерии ортогональности хорошо локализованных базисов. Вычислительные методы и программирование, 2009, том 10, раздел 1, с. 314-320.

118. Petrov D.A. Efficient Algorithm of Well-Localized Bases Construction for OFTDM System. Proceedings of 6th seminar of Finnish-Russian University Cooperation inи? ^

119. Telecommunications (FRUCT) Program, Helsinki, Finland, 2009., pp. 106-112.

120. Бахвалов H.C., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, Лаборатория знаний, 2007.

121. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972.

122. Лабунец В. Г. Алгебраическая теория сигналов и систем (цифровая обработка сигналов). Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1984.

123. Calvez L.C., Vilbe P. On the uncertainty principle in discrete signals. IEEE Trans. Circuits Syst. II, June 1992, vol. 39, pp. 394-395.

124. Doroslovacki M.I. Product of second moments in time and frequency for discrete-time signals and the uncertainty limit. Signal Process., May 1998, vol. 67, no. 1, pp. 59-76.

125. Денисенко A.H. Сигналы. Теоретическая радиотехника. Справочное пособие. М.: Горячая линия- Телеком, 2005.

126. Chevillat P.R., Ungerboeck G. Optimum FIR transmitter and receiver filters for data transmission over band-limited channels. IEEE Trans. Commun., Aug. 1982, vol. COMM-30,pp.1909-1915.

127. Siohan P., Lacaille N. Analysis of OFDM/OQAM systems based on the filterbank theory. IEEE Global Commun. Conf., Brazil, Dec. 1999.

128. Vaidyanathan P.P., Multirate Systems and Filter Banks. Englewood Clifs, NJ: Prentice-Hall, 1993.

129. Bolcskei H., Hlawatsch F. Discrete Zak transforms, polyphase transforms, and applications. IEEE Trans. Signal Processing, April 1997, vol. 45, pp. 851 866.

130. Bellanger М. Digital processing of signals. Theory and practice. John Wiley and Sons, 1989.

131. Трахтман A. M., Трахтман В. А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975.

132. Cariolaro G., Vagliani F.C. An OFDM scheme with half complexity. IEEE J. Select. Areas Commun., vol. 13, pp. 1586-1599, Dec. 1995.