автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Разработка и исследование алгоритмов дискретной обработки с использованием отсчетов сигнала и его производной в радиотехнических системах

На правах рукописи

Бузыканов Сергей Николаевич

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ДИСКРЕТНОЙ ОБРАБОТКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОТСЧЕТОВ СИГНАЛА И ЕГО ПРОИЗВОДНОЙ В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Специальность: 05.12.04 -"Радиотехника, в том числе системы и устройства радионавигации, радиолокации и телевидения"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Рязань 2003

Работа выполнена в Рязанской государственной радиотехнической академии

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

С.Н. Кириллов

Официальные оппоненты - доктор технических наук, доцент

Бердышев Валерий Петрович - кандидат технических наук, доцент Андреев Владимир Григорьевич

Ведущая организация - ОАО Корпорация "ФАЗОТРОН - НИИР" -

Научно-исследовательский институт "РАССВЕТ"

Защита состоится " 2003 г. в /3 часов на заседании дис-

сертационного совета Д 212.211.04 в Рязанской государственной радиотехнической академии по адресу 390005, г. Рязань, ул. Гагарина, д. 59/1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РГРТА. Автореферат разослан "

- 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук

В.И. Жулёв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОМ РАБОТЫ

Актуальность темы. Качество и эффективность функционирования различных цифровых радиотехнических устройств (РТУ) в значительной степени определяется алгоритмами, применяемыми при дискретной обработке и передаче сигналов. Весомый вклад в этой области внесли как отечественные ученые - Котельников В.А., Гоноровский И.С., Тихонов В.И., Левин Б.Р., Трахтман A.M., Вайнншнейн J1.A. и др., так и зарубежные -Шеннон К., Дженкинс Г.. Ватте Д., Марпл-мл С.Л., Рабинер Л.. Голд Б., Шафер Р.В., Ван Трис Г. и др. Широкое распространение в этом случае получили алгоритмы дискретной спектральной обработки сигналов и случайных процессов (СП), используемые в системах передачи информации, а также радиолокационных системах. Основными задачами при этом являются повышение эффективности оценок спектральной плотности мощности (СПМ) случайных процессов, снижение ошибки вычислений при применении дискретного преобразования Фурье (ДПФ) и обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ), а также разработка помехоустойчивых дискретных систем обработки.

Основой всех современных систем дискретной обработки сигналов является теорема В.А. Котельникова, устанавливающая возможность точного восстановления мгновенных значений сигнала с ограниченным по частоте спектром исходя из отсчетных значений, взятых через равные промежутки времени. Однако, при практической реализации данной теоремы и ее различных модификаций перед разработчиком РТУ встают проблемы связанные с тем, что спектр ограниченного во времени сигнала бесконечен в частотной области; идеальный низкочастотный фильтр, требуемый для точного восстановления сигнала, физически нереализуем; число выборок сигнала ограничено. В результате при практической реализации теоремы отсчетов В.А. Котельникова возникают ошибки наложения, вызванные нефииитностью спектра сигнала; усечения, обусловленные конечным числом отсчетов и округления, связанные с неточностью представления отсчетных значений в цифровом виде. Эти ошибки наиболее заметно проявляются при обработке сигналов в пространстве L2, в котором вводится ограничение только на энергию сигнала, что часто приводит к физически нереализ>емым характеристикам системы.

Данное обстоятельство показывает необходимость перехода к дискретным алгоритмам обработки сигналов в пространстве, более полно учитывающем характеристики реальных сигналов и систем. Примером такого пространства является пространство Соболева, накладывающее, кроме ограничения на энергию сигнала, дополнительное ограничение на энергию производной. В связи с этим для повышения качества работы цифровых РТУ необходимо решить задачу разработки алгоритмов дискретной спектральной

обработки сигналов и СП в пространстве Соболева W-,'. - -----

-w. ¡.лцй!5ПЛ.Г!ЬНАЯ ! БИБЛИОТЕКА j 1 С.Петербург „ >. А

09 tOOj ttKrj) 7J/1

Наряду с ошибками дискретной обработки, на форму восстановленного сигнала оказывают значительное влияние различные шумы, действующие в каналах передачи и обработки. Снижение этих шумов возможно за счет использования кроме информации об отсчетах сигнала дополнительной информации в виде значений его производной в точках отсчета. Наиболее распространенным критерием при синтезе фильтров в системах передачи информации является критерий минимума среднеквадратической ошибки (СКО) восстановления сигнала. Однако, использование отсчетов сигнала и его производной позволяет при условии идеального восстановления сигнала синтезировать коэффициент передачи фильтра оптимальный по критерию минимума дисперсии шума на выходе. Это условие при отсутствии или ограниченной априорной информации о спектральных характеристиках шума не приводит к дополнительному искажению сигнала на выходе. Для оценки влияния ошибки округления на форму восстановленного сигнала необходимо исследовать шумы квантования при цифровой обработке в пространстве Соболева.

Таким образом, актуальной является задача разработки и исследования свойств алгоритмов дискретной обработки с использованием отсчетов сигнала и его производной с целью повышения качества функционирования РТУ.

Цель и задачи диссертационной работы. Основной цепью работы является разработка и исследование алгоритмов дискретной обработки с использованием отсчетов сигнала и его изменения, обеспечивающих повышение эффективности РТУ.

В связи с этим, поставленная цель работы включает решение задач:

1. Разработки и исследования алгоритмов дискретной спектральной обработки сигналов в модифицированном пространстве Соболева

2. Разработки и исследования алгоритмов дискретного спектрального анализа СП в модифицированном пространстве Соболева

3. Синтеза коэффициентов передачи двухканальной дискретной системы обработки с использованием отсчетов сигнала и его изменения оптимальных по критерию минимума дисперсии аддитивного шума на выходе при условии идеального восстановления сигнала.

4. Синтеза оптимальных по критерию минимума СКО коэффициентов передачи двухканальной дискретной системы обработки и передачи с использованием отсчетов сигнала и его изменения.

5. Анализа практической реализации разработанных алгоритмов дискретной обработки сигналов на современной элементной базе.

Научная новизна диссертационной работы. В рамках данной диссертационной работы получены следующие новые научные результаты:

1. Разработан алгоритм получения дискретного спектра сигнала в модифицированном пространстве Соболева АУг1, позволяющий снизить ошибки наложения, а также уменьшить влияние аддитивных шумов и шумов квантования при цифровой обработке сигналов.

2. Получен аналог дискретной теоремы Винера-Хинчина в модифицированном пространстве Соболева W21 с использованием отсчетов автокорреляционной функции (АКФ) СП и отсчетов взаимной корреляционной функции (ВКФ) СП и его производной.

3. Предложен алгоритм определения сглаженных оценок СПМ и синтезированы оптимальные сглаживающие окна в модифицированном пространстве Соболева позволяющие получить более эффективные оценки СПМ СП.

4. Исследован алгоритм двухканальной дискретной передачи с использованием отсчетов сигнала и его производной, удовлетворяющий условию идеального восстановления сигнала при минимуме дисперсии шума на выходе системы.

5. Проанализирован алгоритм двухканальной дискретной передачи с использованием отсчетов сигнала и его производной и синтезированы коэффициента передачи интерполирующих фильтров, обеспечивающие минимум СКО сигнала на выходе системы.

Практическая значимость диссертационной работы. Представленные в работе алгоритмы обработки с использованием отсчетов сигнала и его изменения могут быть использованы в помехоустойчивых системах передачи и обработки информации. Реализация результатов исследований позволит повысить технические характеристики устройств передачи и обработки сигналов, что обеспечит улучшение показателей качества РТУ. Реализация результатов работы позволит снизить чувствительность параметров РТУ к влиянию помех и искажений.

Результаты диссертационной работы нашли применение в практических разработках для ООО ОКБ «Автоматизированные системы и приборы» и локомотивного депо Рыбное, что подтверждено соответствующими актами.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритмы определения дискретного спектра сигнала и оценки СПМ стационарного случайного процесса в модифицированном пространстве Соболева позволяющие снизить ошибку наложения и влияние шумов квантования по сравнению с алгоритмами в пространстве

2. Алгоритм двухканальной дискретной передачи и обработки с использованием отсчетов сигнала и его изменения,

удовлетворяющий условию идеального восстановления сигнала при минимуме дисперсии шума на выходе системы.

3. Коэффициенты передачи интерполирующих фильтров двухканальной дискретной системы с использованием отсчетов сшнала и его изменения, минимизирующие среднеквадратическую ошибку восстановления сигнала на выходе.

Методы проведения исследований. В работе использовались методы статистической радиотехники и математической статистики, вариационного, матричного исчисления и вычислительной математики. Данные теоретические методы сочетались с экспериментальными исследованиями на основе имитационного моделирования.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на МНТК студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика" (г.Москва, 1999), МНТК "Гагаринские чтения" (г. Москва, 1999), НТК студентов и аспирантов РГРТА {г. Рязань, 2000), МНТК "Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций" (г.Рязань, 2000, 2001, 2002), международной конференции и выставке "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (г. Москва, 2000, 2003), ВНТК студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" (г. Рязань, 2001,2002, 2003).

Публикации. По теме диссертации опубликована 21 работа. Из них 2 статьи в центральной печати, 5 статей в межвузовских сборниках трудов, 11 тезисов докладов на конференциях и 3 отчета по НИР.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 125 наименований и 3 приложений. Диссертация содержит 169 е., в том числе 145 с. основного текста, 1 таблицу и 41 рисунок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, определены цель и решаемые в работе задачи. Изложены новые научные результаты, полученные в работе, показаны ее практическая ценность и апробация. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассмотрены алгоритмы дискретной спектральной обработки сигналов и СП в модифицированном пространстве Соболева

Реализация алгоритмов цифровой обработки требует представления исходного детерминированного сигнала в дискретном виде. Эту задачу традиционно решают на основе теоремы В.А. Котельникова, которая определяет частоту дискретизации Рд как удвоенную максимальную частоту спектра сигнала Р,шч. В случае отсутствия априорной информации о Ртах завышение Рд>2Р'1ШЧ приводит к увеличению времени обработки сигнала, а заниженное значение Рд<2Р1пач вызывает появление искажений сигнала за счет

наложения "зеркальных" спектров в частотной области. Для снижения влияния эффекта наложения спектров предложено осуществлять спектральную обработку детерминированных сигналов не в пространстве , а в пространстве Соболева W2I. Для определения пространства, в котором осуществляется обработка сигналов, необходимо задать скалярное произведение двух функций. В модифицированном пространстве Соболева АЛ^1 скалярное произведение функций /(?) и g(t) имеет вид

где а - весовой коэффициент, 0 < а < 1. Основываясь на определении пространства ХУг1 получено выражение для вычисления спектра сигнала

ЯМ = 1 ][(1 - а)/(0 - (2)

2т\\ - а) + ан> ) _3х т

и доказано, что в аналоговом виде спектр сигнала в пространстве W2I совпадает со спектром в пространстве Показано, что при дискретной обработке сигналов выражение (2) принимает вид

$г(*) = 1

N

(1-а)т-]а~кГ(п)

2я

где /(и)- отсчеты сигнала, /(«)- отсчеты приращения, т.е. дискретные спектры в пространствах W21 и различаются. При этом, наличие весового, частотно-зависимого коэффициента перед знаком суммы в выражении (3) приводит к нарушению периодичности структуры спектра в пространстве

что позволяет существенно снизить ошибку наложения. Получено выражение для определения оптимального по критерию минимума СКО коэффициента а в выражении (3).

Результаты исследований для сигнала с существенными высокочастотными составляющими показали, что при использовании выражения (3) для Ед=0.6Рк выигрыш, по сравнению с алгоритмом вычисления спектра сигнала в пространстве Ь2, составляет по критерию СКО £■(,-230%, а по критерию максимальной ошибки Д0- 70%. В случае использования вместо производной первой разности сигнала выигрыш снижается и составляет по гг0-25%, а по Д0-13%. Для фиксированного значения СКО е0=0.2 возможно снижение частоты дискретизации Рд по сравнению с алгоритмом вычисления спектра сигнала в пространстве Ь2 доя рассмотренных алгоритмов соответственно на 37% и 7%; а для значения максимальной ошибки Ао=0.15 уменьшение Рд составит соответственно 30% и 18%.

Разработаны алгоритмы спектрально-корреляционного анализа СП в модифицированном пространстве Соболева Показано, что выражение

для оценки СПМ стационарного СП в модифицированном пространстве Соболева W2'

00

G„(w) = 2С2 J[(l - af В(т) - 2 jaw{I - а)В(т) - aV5(r)]exp(-./wr>ir (4)

-¡о

при аналоговой обработке сводится к теореме Винера-Хинчина в пространстве Ъг, где В(т), В(т), В{т)- корреляционная функция сигнала, ее первая и вторая производная соответственно. При дискретной обработке СП выражение (4) преобразуется к виду

Gr(*) = 2C/g (l-a)2B(n)-2ja^k(l-a)m-a2{~kj В(п) ехр(~ (5)

и отличается от соответствующего выражения для дискретной формы представления СПМ в пространстве Ц. Доказано, что выражение (5) является робастным к изменению верхней частоты СПМ случайного процесса. Для СП с существенными высокочастотными составляющими показано, что при уменьшении частоты дискретизации до 0.5Fk СКО оценки СПМ в пространстве W2l увеличивается на 1%, а в пространстве Ьг на 32%.

Как доказано, оценка СПМ (5) является несостоятельной и требует дополнительного сглаживания. Предложен алгоритм получения сглаженных оценок СПМ

Uw{W) = 2C2 |[(1 - а)@0(т)В(т) -2jwa(l - а)©,(г)5(г) -

—оо

-a2w2e2(r)£(r)]exp(-Jwr)Jr, (6)

где ©0(т), ©,(т), ©2(1) -корреляционные окна. Из условия минимизации СКО оценки СПМ Gw(w) получены оптимальные сглаживающие окна.

goacМ = АУ + ву+с0-, (7) g^(w) = лу+ Вх \ + С,; (8)

Дн> +1

= (9)

F2W + GJ w + /2w +1

Как показали исследования, применение алгоритмов сглаживания в

модифицированном пространстве Соболева W2' позволяет получать более

эффективные оценки СПМ стационарного СП, чем в пространстве L2. СКО,

рассчитанная при использовании формулы (6), в случае оптимального выбора

коэффициента а и нормированной ширины окон, уменьшилась, по сравнению

с ошибкой в пространстве L2, более чем на 10%. Это объясняется более

гибким использованием в пространстве W21 спектральных окон g0(w), g,(w),

g2(w) в разных диапазонах спектрального анализа по сравнению с

оптимальным спектральным окном в пространстве L2.

В качестве базисных функций обобщенных дискретных представлений сигналов часто используются так называемые классические ортогональные в пространстве Ъг многочлены, в частности многочлены Чебышбва, Лежандра,

Чебышёва-Эрмита, Чебышёва-Лагерра и др. Рассмотрена задача определения ортогональных в пространстве Соболева \У2' полиномов, позволяющих снизить ошибку восстановления при заданном коэффициенте сжатия сигнала. Условие ортогональности базисных функций в пространстве МУ21 имеет

вид:

(1 -а)]ь(1)Рп0)Рят + а)к0Л = 0, п*т. (10)

Аналогично с пространством Ь2, принято Р0(1) = 1, Рп{I) = фà + ^СтРт(I) и

т=С

получены выражения для обобщенных полиномов Лежандра (Ь(1)=1), ортогональных в модифицированном пространстве Соболева

Ро(0=1, Р1«=1, р2(0=з^-1, РзОН10а+5)^-(3+12а>, Р4(1)=(7+98а)14-(2+40а)(312-1)-(7+98а)/5 (11)

и т.д.

Как показали исследования, при одинаковом числе спектральных отсчетов предложенный алгоритм обобщенного спектрального анализа в случае оптимального значения коэффициента а позволяет снизить ошибку

восстановления сигнала по сравнению с аналогичным алгоритмом в пространстве Выигрыш по критерию СКО, при одинаковом числе базисных функций, составил, в зависимости от частоты дискретизации сигнала, до 10-100%, а по критерию максимальной ошибки 80-280%.

Во второй главе рассмотрены вопросы синтеза оптимальных по критерию минимума СКО коэффициентов передачи двухканальной системы обработки с использованием отсчетов сигнала и его изменения.

Основными требованиями к системам передачи информации является обеспечение высокой помехоустойчивости при низких ошибках обработай, искажающих передаваемый сигнал.

Получено при условии Fm¡tt -> оо выражение для обобщенной теоремы В.А. Котельникова в модифицированном пространстве Соболева ЭД^1

1 а1п

ехр(-^—(12)

а

где Аtд- интервал дискретизации, коэффициент а выбирается исходя из

требований к величине ошибок системы интерполяции. При ограничении верхней частоты спектра сигнала и частоте дискретизации близкой к

частоте Котельникова, необходимо вместо выражения (12) использовать выражение

/ , Г*' (13)

где Р =1/А1д. Доказано, что применение алгоритма (12) при частоте дискретизации ^ = ЪРк, где ^ выбиралась по уровню 0.99 энергии сигнала, позволяет снизить ошибку восстановления сигнала по критерию нормированной СКО и максимальной ошибки соответственно в 5.3 и 1.8 раза по сравнению с алгоритмом в пространстве Ьг и в 3.5 и 1.5 раза по сравнению с алгоритмом Хургина-Яковлева.

Рассмотрена возможность применения двухканальной системы обработки с использованием отсчетов сигнала и его производной для ослабления действия аддитивных нормальных шумов, действующих в линии передачи. Синтезированы оптимальные по критерию минимума дисперсии шумов на выходе системы коэффициенты передачи фильтров в каналах сигнала и производной при условии идеального восстановления сигнала, позволяющем избежать искажений в случае отсутствия шума. Коэффициенты передачи этих фильтров, в случае некоррелированных шумов в каналах сигнала и производной, определяются выражениями

ад = ^ ВД = <15>

и'■чг1(м>) + 02(м') ■и>2С1(М>) + 02(\У)

где СПМ шумов в каналах обработки. Сравнение

предложенной двухканальной системы с двухканальными системами со статистическим усреднением шумов в каналах и с одноканальной системой, использующей фильтр Винера показало, что СКО в системах с использованием фильтра Винера быстро возрастает при отклонении формы СПМ сигнала от его априорно заданной характеристики. В то же время, характеристики двухканальных систем не зависят от формы СПМ сигнала, а предложенная система обеспечивает выигрыш по СКО на выходе за счет использования амплитудно-фазовых соотношений между каналами отсчетов сигнала и его производной. Другой сравнительной характеристикой была устойчивость системы передачи к изменению формы СПМ шума. Показано, что предложенная дискретная двухканальная система обработки обеспечивает значительное снижение шумовых составляющих обрабатываемого сигнала вне зависимости от формы СПМ шума. Отличительной особенностью синтезированных фильтров является то, что форма их коэффициентов передачи определяется только отношением СПМ шумов в каналах передачи, т. е. такая система передачи информации обладает робастными свойствами по отношению к априорной информации о СПМ сигнала.

При реализации алгоритма обработки сигнала в реальном масштабе времени (о 0) на основе выражения (12) возможно, с учетом того, что при / > 0 имеем = 1, построение одноканальной системы передачи.

Показано, что такая одноканальная система аналогична введению амплитудно-фазовых предыскажений, что позволяет значительно ослабить действие шума передачи.

В интересах практической реализации рассмотренных выше двухканальных систем передачи предложен переход от производной сигнала к его приращению

= (16)

где х - время задержки, R^ -

\\m\2dt / \mt)fdt

т т

постоянный

множитель, обеспечивающий равенство передаваемых мощностей f(t) и 5f{t) в обоих каналах. Показано, что близость величины приращения функции <5f(t) и ее дифференциала df (t) обеспечивается выбором значения т из условия г < l/(4FmJ, где Fmm - максимальная частота спектра сигнала, при этом \m£jf(t) = df(t). Синтезированы оптимальные по критерию минимума

г-й>

дисперсии шума на выходе коэффициенты передачи при условии идеального восстановления сигнала

К /w\ ____/jji

' G2(w)-2G,(w)/?02cos(wr)+2G!(w)J?02'

^.(мф-ехрСлУт)] в2№-со^и1 г)+2<3,(уу)ЯЦ ' Доказано, что предложенная двухканальная дискретная система обработки сигналов с использованием первой разности обеспечивает выигрыш до 50% по дисперсии шума по сравнению с известными двухканальными системами и до 10% по сравнению с одноканальными системами, использующими фильтр Винера на выходе. Предложенная система проигрывает по своим характеристикам системе с использованием производной. Однако, в рассматриваемой системе устранен недостаток, присущий системам с использованием производной- существенная разница по мощности в каналах сигнала и его производной. Дополнительно рассмотрена возможность использования одноканальной системы с использованием приращения и показана целесообразность ее использования.

Одним из основных критериев при синтезе оптимальных фильтров в системах передачи при наличии аддитивных нормальных шумов является критерий минимума СКО восстановления сигнала. Рассмотрена возможность использования на выходе предложенной двухканальной системы фильтра Винера. Показано, что при использовании отсчетов сигнала и его производной коэффициенты передачи интерполирующих фильтров имеют вид

о/*)+|вдГ ад+&ИЧО)

к.Ы) = КАм>)КЛы) = К2(м>)-—^-,-, (20)

где К^ю) и К2{м>) определяются выражениями (14) и (15), а при использовании вместо отсчетов производной отсчетов приращения

**(«) = кМКоф(т) = кЛт)-,-,-¡5-, (21).

КпШ = К^тЖ^т) = Ка2(т) (22)

где Ка1(м>) и Ка2{н>) определяются (17) и (18), СД/и) - априорно заданная

СПМ сигнала. Проведенный анализ показал, что применение предложенной двухканальной системы передачи с использованием производной позволяет существенно снизить СКО восстановления сигнала. Система с использованием приращения проигрывает по своим характеристикам системе с использованием производной, но значительно выигрывает у существующих систем, использующих фильтр Винера. Так, например, при отношении шум-сигнал равном 0.5 и одинаковой мощности в каналах сигнала и приращения снижение СКО составляет 35%.

Проведен синтез оптимальных по критерию минимума СКО коэффициентов передачи интерполирующих фильтров для случаев коррелированных, некоррелированных и идентичных шумов. При идентичных шумах вп1(м>) = Св3(и>) = С„(мО, когда коэффициенты передачи описываются выражениями

К>м = в, (МО - (но+с»' (23)

О,(к)-+

= „ , , „, • (24>

осуществлено сравнение синтезированной системы с существующей системой на основе фильтра Винера. Показано, что в случае идентичных шумов применение двухканальной системы передачи с выровненными мощностями в каналах передачи позволяет снизить СКО восстановления более чем в три раза по сравнению с известными оптимальными одноканальными системами.

В третьей главе рассмотрены практические аспекты применения дискретных алгоритмов обработки с использованием отсчетов сигнала и его изменения.

Исследованы ошибки усечения при практической реализации обобщенной теоремы Котельникова в модифицированном пространстве Соболева Для снижения динамического диапазона сигнала в канале

производной предложено использовать приращение сигнала в виде = Д¡д/„, тогда выражение (12) преобразуется к виду

itsO

1 -а

t-nbtf

+

■ ■ ( II-а

+

л=0

(~пЛ1лЛ

У , a At„

(25)

Проведенные исследования показали, что применение алгоритма (25) позволяет снизить ошибку усечения сигнала по критерию СКО ев в 3 раза по сравнению с алгоритмом на основе теоремы Котельникова в пространстве L2 и в 2 раза по сравнению с алгоритмом Хургина-Яковлева при ¥д = 2 Fk, что позволяет сделать вывод о целесообразности применения алгоритма (25) в системах интерполяции дискретного сигнала. Следует отметить, что алгоритм (25) проигрывает по своим показателям алгоритму (12), однако, при применении алгоритма (25) осуществляется выравнивание динамического диапазона сигнала и приращения.

Исследованы ошибки округления, связанные с влиянием шумов квантования цифровых систем обработки на точность восстановления сигнала и оценки СПМ стационарного СП при обработке в модифицированном пространстве Соболева W21. Показано, что алгоритм восстановления аналогового сигнала в модифицированном пространстве Соболева W2' при 8 уровнях квантования позволяет снизить СКО в 3 раза по сравнению с обработкой в пространстве L2. При одной и той же СКО алгоритм восстановления в пространстве W2' требует в два раза меньшую разрядность представления, чем алгоритм в пространстве Li. Доказано, что обработка стационарных СП в модифицированном пространстве Соболева W2' позволяет снизить мощность шумов квантования на выходе цифровой системы обработки при одном числе уровней квантования, по сравнению с пространством L2. Так, при восьми уровнях квантования ошибка по критерию СКО в пространстве W2' снижается на 50%, а по критерию максимальной ошибки - более чем в два раза.

Рассмотрены вопросы аппаратно-программной реализации устройства определения спектра звукового сигнала на микропроцессорах фирмы Analog Devices и микроконтроллерах компании Atmel. Показана высокая эффективность применения алгоритмов спектральной обработки сигналов в модифицированном пространстве Соболева w21, синтезированных в гл.1 для определения спектра звукового сигнала. Доказана возможность сокращения в два раза времени вычисления спектра по сравнению с известными алгоритмами в пространстве L2.

В заключении приведены основные научные и практические

результаты диссертационной работы:

1. Разработаны алгоритмы дискретной спектральной обработки детерминированных сигналов в модифицированном пространстве Соболева

позволяющие при РД<РК снизить СКО более чем в два раза, а максимальную ошибку на 13-70% , по сравнению с алгоритмами в пространстве Ь2. Доказана меньшая чувствительность предложенного алгоритма к изменению верхней частоты спектра сигнала и возможность снижения вычислительных затрат в цифровых устройствах обработки за счет распараллеливания операций по сравнению с алгоритмами в пространстве Ь2.

2. Определены алгоритмы дискретной оценки СПМ СП в модифицированном пространстве Соболева и синтезированы весовые функции сглаживания оценок СПМ в пространстве обеспечивающие более эффективные, по сравнению с пространством ,оценки СПМ. Доказана меньшая чувствительность предложенных алгоритмов к изменению частоты дискретизации СП по сравнению с алгоритмами в пространстве

3. Исследован алгоритм обобщенного спектрального представления сигналов на основе полиномов Лежандра в модифицированном пространстве Соболева Щ1, обеспечивающий меньшую ошибку восстановления сигнала, по сравнению с аналогичным алгоритмом в пространстве Ь2, по критерию СКО, при одинаковом числе базисных функций, в зависимости от частоты дискретизации сигнала, до 10-100%, а по критерию максимальной ошибки до 80-280%.

4. Сформулирована обобщенная теорема В.А. Котельникова в модифицированном пространстве Соболева W21. Показано, что применение обобщенной теоремы Котельникова позволит снизить ошибку усечения сигнала по критерию нормированной СКО и максимальной ошибки соответственно в 5.3 и 1.8 раза по сравнению с алгоритмом на основе теоремы Котельникова в пространстве и в 3.5 и 1.5 раза по сравнению с алгоритмом Хургина-Яковлева.

5. Определены коэффициенты передачи интерполирующих фильтров, обеспечивающие минимум дисперсии шума на выходе дискретной двухканальной системы передачи, использующей отсчеты сигнала и его приращения и обеспечивающей уменьшение дисперсии агш до 50% по сравнению с известными двухканальными системами и до 10% по сравнению с одноканальными системами, использующими фильтр Винера на выходе. При этом предложенные алгоритмы являются робастными к изменению формы СПМ шума, по сравнению с алгоритмом на основе фильтра Винера.

6. Осуществлен синтез оптимальных по критерию минимума СКО интерполирующих фильтров для двухканальных систем передачи информации при использовании отсчетов сигнала и его изменения.

Рассмотрена задача определения оптимальных по критерию минимума СКО фильтров при условии идеального восстановления сигнала на выходе сумматора каналов сигнала и его изменения. Показано, что применение дискретных двухканальных систем передачи отсчетов сигнала и его производной обеспечивает выигрыш по критерию минимума СКО на 35% при условии идеального восстановления сигнала на выходе суммагора и более, чем в три раза без идеального восстановлена по сравнению с одноканальными оптимальными системами.

7. Рассмотрена практическая реализация модифицированной теоремы В.А. Котельникова в пространстве снижающая ошибку усечения сигнала по критерию СКО в 3 раза по сравнению с алгоритмом та основе теоремы В.А. Котельникова и в 2 раза по сравнению с алгоритмом Хургина-Я ковлева.

8. Проанализировано влияние аддитивных нормальных шумов в канала\ передачи на алгоритмы спектральной обработки сигналов в модифицированном пространстве Соболева. Доказано, что алгоритм восстановления сигнала в пространстве Соболева позволяет существенно ослабить влияние шумов в каналах передачи.

9. Исследовано влияние шумов квантования цифровых систем обработки в модифицированном пространстве Соболева \У2'. Показано, что алгоритм восстановления аналогового сигнала в модифицированном пространстве Соболева \¥2' позволяет при 8 уровнях квантования снизшь СКО в 3 раза или при СКО г1 = 0.01 уменьшить в два раза разрядность представления по сравнению с обработкой в пространстве Ь>.

Ю.Проведен анализ влияния шумов квантования на точность оценки СПМ при обработке СП в модифицированном пространстве Соболева. Доказано, что обработка стационарных СП в модифицированном пространстве Соболева позволяет снизить мощность шумов квантвания на выходе цифровой системы обработки при одном числе уровней квантования, по сравнению с пространством Так, при восьми уровнях квантовани:< ошибка по критерию СКО в пространстве \У2' снижается на 50%. а по критерию максимальной ошибки - более чем в два раза.

11.Проанализированы вопросы аппаратно-программной рсалюашш устройства определения спектра сигнала на основе обрабогки зв>ьоеы\ сигналов в модифицированном пространстве Соболева \У2'. Разработано программное обеспечение устройства определения спектра сигнала. Для выбранного типа микроконтроллера проведена оценка времени, необходимого для вычисления спектра сигнала. Использование алгоритма спектральной обработки сигналов в модифицированном пространстве Соболева \У2' позволило снизить требования к бысфодейстн;^. микроконтроллеров, по сравнению с аналогичными алгоритмами ч пространстве Ь2, и применить для спектральной обработки шуковых сигналов экономически выгодные МК /\T90S2333.

В приложениях приведены список аббревиатур и условных

обозначений, исходный текст (ассемблер микроконтроллера AT90S2333)

программы нахождения спектра звукового сигнала в пространстве W21, а

также документы, подтверждающие внедрение результатов работы.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Макаров Д.А., Бузыканов С.Н. Синтез робастных устройств обработки сигналов по критерию максимума отношения сигнал/шум // Пятая МНТК студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика" : Тезисы докладов. - М.: МЭИ, 1999,т. 1. - С. 147-148.

2. Макаров Д.А., Бузыканов С.Н. Синтез робастного фильтра на основе модифицированной процедуры Тихонова // Международная молодежная научно-техническая конференция "XXV Гагаринские чтения": Тез. докл. -М.: РГТУ-МАТИ, 1999. т.1 С.474-475.

3. Бортовая система речевого управления и информационного обеспечения пилота: Отчет о НИР. / РГРТА; Научн. рук. Кириллов С.Н.- Тема № 8-99Г; № ГР 01990010304,-Рязань, 1999. -9 е.- Список лит. с. 7-9 (29 назв.). - Отв. исп.: Мамушев Д.Ю. - Соисп.: Бузыканов С.Н.

4. Кириллов С.Н., Макаров Д.А., Бузыканов С.Н. Регуляризация решений задачи синтеза фильтра, робастного к искажению спектра сигнала// Радиоэлектронные системы и устройства: Межвуз. сб. науч. тр./ Рязань.: РГРТА, 1999. С.12-14.

5. Кириллов С.Н, Бузыканов С.Н. Оценки спектра дискретного сигнала в пространстве Соболева. // 36-я НТК студентов и аспирантов РГРТА. Тезисы докладов. Рязань.: РГРТА, 2000 С. 19.

6. Кириллов С.Н., Дмитриев В.Т., Бузыканов С.Н. Алгоритмы обработки речевых сигналов с использованием информации о производной. //Международная НТК "Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций" Материалы конференции. Рязань: РГРТА, 2000г. С.88-90.

7. Кириллов С.Н., Бузыканов С.Н. Алгоритмы цифровой обработки сигналов в модифицированном пространстве Соболева //3-я международная конференция и выставка "Цифровая обработка сигналов и ее применение" Тез. докладов. Москва, 2000г. т.З С.167-169.

8. Дмитриев В.Т., Бузыканов С.Н. Использование производной в алгоритмах кодирования речевых сигналов //6-я всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" Тез. докладов. Рязань, 2001г. С.154-155.

9. Кириллов С.Н., Бузыканов С.Н. Алгоритм распознавания телеметрических сигналов в модифицированном пространстве Соболева. //Международная

НТК "Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций" Материалы конференции. Рязань: РГРТА, 2001г. С.102-103.

Ю.Кириллов С.Н., Бузыканов С.Н. Алгоритм оконной обработки при спектральном анализе сигналов в модифицированном пространстве Соболева//Вестник РГРТА. вып. 8.2001. С. 117-118.

11. Инструментальные средства интерактивного естественно-языкового взаимодействия для лиц со специальными нуждами и ограниченными возможностями здоровья в системе открытого образования: Отчет о НИР. / РГРТА; Научн. рук. Кириллов С.Н.- Тема №33-01Г; № ГР 01200109236,-Рязань, 2001. -98с.- Список лит. с. 88-98 (114 назв.). - Отв. исп.: Дмитриев В.Т. - Соисп.: Бузыканов С.Н.

12.Лоцманов А.А., Бузыканов С.Н. Алгоритм фильтрации сигналов при сигналоподобной помехе //7-я всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" Тез. докладов. Рязань, 2002г. С.62-63.

13. Инструментальные средства интерактивного естественно-языкового взаимодействия для лиц со специальными нуждами и ограниченными возможностями здоровья в системе открытого образования: Отчет о НИР. / РГРТА. Научн. рук. Кириллов С.Н. Тема №>33-01Г; Код 1.2.2.2.(178).564, №ГР01200109236. Рязань, 2002. 62 с. Список лит. с.59 (7 назв.). Отв. исп. Дмитриев В.Т. Соисп.: Бузыканов С.Н.

14.Кириллов С.Н., Бузыканов С.Н. Двухканальная система передачи и обработки сигналов в пространстве Соболева // Вестник РГРТА. вып. N.10 2002. С. 6-8.

15.Кириллов С.Н., Бузыканов С.Н. Оценка спектральной плотности мощности сигналов в модифицированном пространстве Соболева// Радиоэлектроника, 2002.- Т.45.-№12- С.46-51. (Известия высших учебных заведений)

16.Бахурин СЛ., Бузыканов С.Н., Кириллов С.Н. Алгоритм снижения динамического диапазона ошибки интерполяции при восстановлении сигналов по дискретным выборкам в системах многоканальной связи. //Международная НТК "Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций" Материалы конференции. Рязань: РГРТА, 2002г. С.24.

17.Кириллов С.Н., Бузыканов С.Н. Алгоритм дискретного спектрального анализа сигналов в модифицированном пространстве Соболева. // Автометрия. 2003. №1. С.88-94.

18.Кириллов С.Н., Бузыканов С.Н. Алгоритмы восстановления аналогового сигнала с дополнительным использованием отсчетов производной //5-я международная конференция и выставка "Цифровая обработка сигналов и ее применение" Тез. докладов. Москва, 2003г. т.1 С.26-27.

19.Бузыканов С.Н. Представление сигналов на основе обобщенных

полиномов Лежандра // Вестник РГРТА. вып. N.11 2003. С. 109-111.

20.Б\зыканов С.Н. Анализ шумов квантования при обработке сигналов в модифицированном пространстве Соболева//8-я всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" Тез. докладов. Рязань, 2003г. С.55-56.

21.Кириллов СП., Бузы капов С.Н. Помехоустойчивые системы обработки сигналов в модифицированном пространстве Соболева// Методы и устройства обработки сигналов в радиотехнических системах: Межвуз. сб. науч. тр./ Рязань.: РГРТА, 2003. С.42 -44.

Соискатель

/ С.Н. Бузыканов /

Бузыканов Сергей Николаевич

Разработка и исследование алгоритмов дискретной обработки с использованием отсчетов сигнала и его производной в радиотехнических системах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать/6»^.<У . Формат бумаги 60x80 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л.1.0. Уч.-изд. л. 1.0. Тираж 100 экз. Заказ

Рязанская государственная радиотехническая академия. 390005, г. Рязань, ул. Гагарина, 59/1. Редакционно-издательский центр РГРТА.

Sjlf i

I

ВВЕДЕНИЕ.

1 АЛГОРИТМЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В МОДИФИЦИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА.

1.1 Вводные замечания.

1.2 Обработка детерминированных сигналов в модифицированном пространстве Соболева W21.

1.2.1 Введение понятия модифицированного пространства Соболева.

1.2.2 Разложение сигналов в модифицированном пространстве Соболева по тригонометрическому базису.

1.2.3 Дискретная обработка сигналов в модифицированном пространстве Соболева в спектральной области.

1.3 Обработка эргодических случайных процессов в модифицированном пространстве Соболева W21.

1.3.1 Представление спектральной плотности мощности стационарных случайных процессов в модифицированном пространстве Соболева.

1.3.2 Алгоритмы получения сглаженных оценок спектральной плотности мощности сигналов в модифицированном пространстве Соболева.

1.4 Обобщенные представления сигналов в модифицированном пространстве Соболева W2*.

1.5 Выводы.

2 АЛГОРИТМЫ ДИСКРЕТНОЙ ОБРАБОТКИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ОТСЧЕТОВ СИГНАЛА И ЕГО ИЗМЕНЕНИЯ В СИСТЕМАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ.

2.1 Вводные замечания.

2.2 Обобщение теоремы Котельникова на модифицированное пространство Соболева W21.

2.3 Алгоритмы дискретной обработки с использованием отсчетов сигнала и его производной в системах передачи информации.

2.3.1 Двухканальная система передачи при использовании отсчетов сигнала и его производной.

2.3.2 Одноканальная система передачи при использовании отсчетов сигнала и его производной.

2.4 Алгоритмы дискретной обработки при использовании отсчетов сигнала и его приращения в системах передачи информации.

2.4.1 Двухканальная система передачи при использовании отсчетов сигнала и его приращения.

2.4.2 Одноканальная система передачи при использовании отсчетов сигнала и его приращения.

2.5 двухканальные системы передачи при оптимальной фильтрации отсчетов сигнала и его производной.

2.5.1 Оптимальный коэффициент передачи при идеальном восстановлении сигнала на выходе двухканальной системы передачи.

2.5.2 Оптимальные по критерию минимума СКО коэффициенты передачи двухканальной системы.

2.6 Выводы.

3. ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РЕАЛИЗАЦИИ АЛГОРИТМОВ ОБРАБОТКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОТСЧЕТОВ СИГНАЛА И ЕГО ИЗМЕНЕНИЯ.

3.1 Вводные замечания.

3.2 Практическая реализация интерполирующих фильтров на основе обобщенной теоремы В.А. Котельникова в модифицированном пространстве Соболева W21.

3.3 Влияние аддитивных шумов на результаты спектральной обработки сигналов в модифицированном пространстве соболева w

3.4 Влияние шумов квантования при обработке сигналов в модифицированном пространстве Соболева W21.

3.5 Влияние шумов квантования на оценку спектральной плотности мощности при обработке стационарных случайных процессов в модифицированном пространстве Соболева w21.

3.6 Реализация устройства определения спектра сигнала в модифицированном пространстве соболева w2*.

3.6.1 Выбор элементной базы для программно-аппаратной реализации устройства определения спектра сигнала в модифицированном пространстве Соболева.

3.6.2 Разработка программного обеспечения устройства определения спектра звукового сигнала в модифицированном пространстве Соболева!

3.7 Выводы.

Актуальность темы. Качество и эффективность функционирования различных цифровых радиотехнических устройств (РТУ) в значительной степени определяется алгоритмами, применяемыми при дискретной обработке и передаче сигналов. Весомый вклад в этой области внесли как отечественные ученые - Котельников В.А., Гоноровский И.С., Тихонов В.И., Левин Б.Р., Трахтман А.М., Вайнншнейн Л.А. и др. [1.8], так и зарубежные - Шеннон К., Дженкинс Г., Ватте Д., Марпл-мл С.Л., Рабинер Л., Голд Б., Шафер Р.В., ВанТрисГ. и др. [9.20]. Широкое распространение в этом случае получили алгоритмы дискретной спектральной обработки сигналов и случайных процессов (СП), используемые в системах передачи информации, а также радиолокационных системах. Основными задачами при этом являются повышение эффективности оценок спектральной плотности мощности (СПМ) случайных процессов, снижение ошибки вычислений при применении дискретного преобразования Фурье (ДПФ) и обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ), а также разработка помехоустойчивых дискретных систем обработки.

Основой всех современных систем дискретной обработки сигналов является теорема В.А. Котельникова, устанавливающая возможность точного восстановления мгновенных значений сигнала с ограниченным по частоте спектром исходя из отсчетных значений, взятых через равные промежутки времени [1]. Однако, при практической реализации данной теоремы и ее различных модификаций [21] перед разработчиком РТУ встают проблемы связанные с тем [22.25], что спектр ограниченного во времени сигнала бесконечен в частотной области; идеальный низкочастотный фильтр, требуемый для точного восстановления сигнала, физически нереализуем; число выборок сигнала ограничено. В результате при практической реализации теоремы отсчетов В.А. Котельникова возникают ошибки наложения, вызванные нефинитностью спектра сигнала; усечения, обусловленные конечным числом отсчетов и округления, связанные с неточностью представления отсчетных значений в цифровом виде. Эти ошибки наиболее заметно проявляются при обработке сигналов в пространстве L2, в котором вводится ограничение только на энергию сигнала, что часто приводит к физически нереализуемым характеристикам системы.

Данное обстоятельство показывает необходимость перехода к дискретным алгоритмам обработки сигналов в пространстве, более полно учитывающем характеристики реальных сигналов и систем. Примером такого пространства является пространство Соболева [8], накладывающее, кроме ограничения на энергию сигнала, дополнительное ограничение на энергию производной. В связи с этим для повышения качества работы цифровых РТУ необходимо решить задачу разработки алгоритмов дискретной спектральной обработки сигналов и СП в пространстве Соболева W2!.

Наряду с ошибками дискретной обработки, на форму восстановленного сигнала оказывают значительное влияние различные шумы, действующие в каналах передачи и обработки. Снижение этих шумов возможно за счет использования кроме информации об отсчетах сигнала дополнительной информации в виде значений его производной в точках отсчета. При этом наиболее распространенным критерием при синтезе фильтров в системах передачи информации является критерий минимума среднеквадратической ошибки (СКО) восстановления сигнала. Однако, использование отсчетов сигнала и его производной позволяет при условии идеального восстановления сигнала синтезировать коэффициент передачи фильтра оптимальный по критерию минимума дисперсии шума на выходе. Это условие при отсутствии или ограниченной априорной информации о спектральных характеристиках шума не приводит к дополнительному искажению сигнала на выходе. Для оценки влияния ошибки округления на форму восстановленного сигнала необходимо исследовать шумы квантования при цифровой Обработке в пространстве Соболева W21.

Таким образом, актуальной является задача разработки и исследования свойств алгоритмов дискретной обработки с использованием отсчетов сигнала и его производной с целью повышения качества функционирования РТУ.

Цель работы. Основной целью работы является разработка и исследование алгоритмов дискретной обработки с использованием отсчетов сигнала и его изменения, обеспечивающих повышение эффективности РТУ.

В связи с этим, поставленная цель работы включает решение задач:

- разработки и исследования алгоритмов дискретной спектральной обработки сигналов в модифицированном пространстве Соболева W21;

- разработки и исследования алгоритмов дискретного спектрального анализа СП в модифицированном пространстве Соболева W21;

- синтеза коэффициентов передачи двухканальной дискретной системы обработки с использованием отсчетов сигнала и его изменения оптимальных по критерию минимума дисперсии аддитивного шума на выходе при условии идеального восстановления сигнала;

- синтеза оптимальных по критерию минимума СКО коэффициентов передачи двухканальной дискретной системы обработки и передачи с использованием отсчетов сигнала и его изменения;

- анализа практической реализации разработанных алгоритмов дискретной обработки сигналов на современной элементной базе.

Методы исследования. В работе использовались методы статистической радиотехники и математической статистики, вариационного, матричного исчисления и вычислительной математики. Данные теоретические методы сочетались с экспериментальными исследованиями на основе имитационного моделирования.

Научная новизна. В рамках данной диссертационной работы получены следующие новые научные результаты:

1. Разработан алгоритм получения дискретного спектра сигнала в модифицированном пространстве Соболева W21, позволяющий снизить ошибки наложения, а также уменьшить влияние аддитивных шумов и шумов квантования при цифровой обработке сигналов.

2. Получен аналог дискретной теоремы Винера-Хинчина в модифицированном пространстве Соболева W21 с использованием отсчетов автокорреляционной функции (АКФ) СП и отсчетов взаимной корреляционной функции (ВКФ) СП и его производной.

3. Предложен алгоритм определения сглаженных оценок СПМ и синтезированы оптимальные сглаживающие окна в модифицированном пространстве Соболева W21, позволяющие получить более эффективные оценки СПМ СП.

4. Исследован алгоритм двухканальной дискретной передачи с использованием отсчетов сигнала и его производной, удовлетворяющий условию идеального восстановления сигнала при минимуме дисперсии шума на выходе системы.

5. Проанализирован алгоритм двухканальной дискретной передачи с использованием отсчетов сигнала и его производной и синтезированы коэффициенты передачи интерполирующих фильтров, обеспечивающие минимум СКО сигнала на выходе системы.

Практическая ценность работы. Представленные в работе алгоритмы обработки с использованием отсчетов сигнала и его изменения могут быть использованы в помехоустойчивых системах передачи и обработки информации. Реализация результатов исследований позволит повысить технические характеристики устройств передачи и обработки сигналов, что обеспечит улучшение показателей качества РТУ. Реализация результатов работы позволит снизить чувствительность параметров РТУ к влиянию помех и искажений.

Результаты диссертационной работы нашли применение в практических разработках для ООО ОКБ «Автоматизированные системы и приборы» и локомотивного депо Рыбное, что подтверждено соответствующими актами.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритмы определения дискретного спектра сигнала и оценки СПМ стационарного случайного процесса в модифицированном пространстве Соболева W21, позволяющие снизить ошибку наложения и влияние шумов квантования по сравнению с алгоритмами в пространстве L2.

2. Алгоритм двухканальной дискретной передачи и обработки с использованием отсчетов сигнала и его изменения, удовлетворяющий условию идеального восстановления сигнала при минимуме дисперсии шума на выходе системы.

3. Коэффициенты передачи интерполирующих фильтров двухканальной дискретной системы с использованием отсчетов сигнала и его изменения, минимизирующие среднеквадратическую ошибку восстановления сигнала на выходе.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. Пятая МНТК студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика", г. Москва, 1999.

2. Международная молодежная НТК "XXV Гагаринские чтения", г. Москва, 1999.

3. 36-я НТК студентов и аспирантов РГРТА. г. Рязань, 2000.

4. МНТК "Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций", г. Рязань, 2000.

5. 3-я международная конференция и выставка "Цифровая обработка сигналов и ее применение", г. Москва, 2000.

6.6-я ВНТК студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании", г. Рязань, 2001.

7. МНТК "Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций", г. Рязань, 2001.

8.7-я ВНТК студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании", г. Рязань, 2002.

9. МНТК "Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций", г. Рязань, 2002. 10.5-я международная конференция и выставка "Цифровая обработка сигналов и ее применение", г Москва, 2003. 11.8-я ВНТК студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании", г. Рязань, 2003.

Публикации. По теме диссертации опубликована 21 работа. Из них 2 статьи в центральной печати, 5 статей в научно-технических журналах и межвузовских сборниках трудов, 11 тезисов докладов на конференциях и 3 отчета по НИР.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 124 наименований и 3 приложений. Диссертация содержит 169 е., в том числе 145 с. основного текста, 1 таблицу и 41 рисунок.

Основные результаты диссертации можно сформулировать в следующем виде:

1. Разработаны алгоритмы дискретной спектральной обработки детерминированных сигналов в модифицированном пространстве Соболева W2!, позволяющие при Fjj<Fk снизить СКО более чем в два раза, а максимальную ошибку на 13-70% , по сравнению с алгоритмами в пространстве L2. Доказана меньшая чувствительность предложенного алгоритма к изменению верхней частоты спектра сигнала и возможность снижения вычислительных затрат в цифровых устройствах обработки за счет распараллеливания операций по сравнению с алгоритмами в пространстве L2.

2. Определены алгоритмы дискретной оценки СПМ СП в модифицированном пространстве Соболева W21 и синтезированы весовые функции сглаживания оценок СПМ (1.67), (1.68) в пространстве W2\ обеспечивающие более эффективные, по сравнению с пространством L2 ,оценки СПМ. Доказана меньшая чувствительность предложенных алгоритмов к изменению частоты дискретизации СП по сравнению с алгоритмами в пространстве L2.

3. Исследован алгоритм обобщенного спектрального представления сигналов на основе полиномов Лежандра в модифицированном пространстве Соболева W2!, обеспечивающий меньшую ошибку восстановления сигнала по сравнению с аналогичным алгоритмом в пространстве L2 по критерию СКО, при одинаковом числе базисных функций, в зависимости от частоты дискретизации сигнала, до 10-100%, а по критерию максимальной ошибки до 80-280%.

4. Сформулирована обобщенная теорема В.А. Котельникова в модифицированном пространстве Соболева W21. Показано, что применение обобщенной теоремы Котельникова позволит снизить ошибку усечения сигнала по критерию нормированной СКО и максимальной ошибки соответственно в 5.3 и 1.8 раза по сравнению с алгоритмом на основе теоремы Котельникова в пространстве L2 и в 3.5 и 1.5 раза по сравнению с алгоритмом Хургина-Яковлева.

5. Определены коэффициенты передачи интерполирующих фильтров, обеспечивающие минимум дисперсии шума на выходе дискретной двухканальной системы передачи, использующей отсчеты сигнала и его приращения и обеспечивающей уменьшение дисперсии сг* до 50% по сравнению с известными двухканальными системами и до 10% по сравнению с одноканальными системами, использующими фильтр Винера на выходе. При этом предложенные алгоритмы являются робасгными к изменению формы СПМ шума, по сравнению с алгоритмом на основе фильтра Винера.

6. Осуществлен синтез оптимальных по критерию минимума СКО интерполирующих фильтров для двухканальных систем передачи информации при использовании отсчетов сигнала и его изменения. Рассмотрена задача определения оптимальных по критерию минимума СКО фильтров при условии идеального восстановления сигнала на выходе сумматора каналов сигнала и его изменения. Показано, что применение дискретных двухканальных систем передачи отсчетов сигнала и его производной обеспечивает выигрыш по критерию минимума СКО на 35% при условии идеального восстановления сигнала на выходе сумматора и более, чем в три раза без идеального восстановления по сравнению с одноканальными оптимальными системами.

7. Рассмотрена практическая реализация модифицированной теоремы В.А. Котельникова в пространстве W21 снижающая ошибку восстановления сигнала по критерию СКО ев в 3 раза по сравнению с алгоритмом на основе теоремы В.А. Котельникова и в 2 раза по сравнению с алгоритмом Хургина-Яковлева.

8. Проанализировано влияние аддитивных нормальных шумов в каналах передачи на алгоритмы спектральной обработки сигналов в модифицированном пространстве Соболева. Доказано, что алгоритм восстановления сигнала в пространстве Соболева W21 позволяет существенно ослабить влияние шумов в каналах передачи.

9. Исследовано влияние шумов квантования цифровых систем обработки в модифицированном пространстве Соболева Wi. Показано, что алгоритм восстановления аналогового сигнала в модифицированном пространстве Соболева W21 позволяет при 8 уровнях квантования снизить СКО в 3 раза или при СКО si = 0.01 уменьшить в два раза разрядность представления по сравнению с обработкой в пространстве L2.

10.Проведен анализ влияния шумов квантования на точность оценки СПМ при обработке СП в модифицированном пространстве Соболева. Доказано, что обработка стационарных СП в модифицированном пространстве Соболева позволяет снизить мощность шумов квантования на выходе цифровой системы обработки при одном числе уровней квантования, по сравнению с пространством L2. Так, при восьми уровнях квантования ошибка по критерию СКО в пространстве W2] снижается на 50%, а по критерию максимальной ошибки - более чем в два раза. 11 .Проанализированы вопросы аппаратно-программной реализации устройства определения спектра сигнала на основе обработки звуковых сигналов в модифицированном пространстве Соболева W2\ Разработано программное обеспечение устройства определения спектра сигнала. Для выбранного типа микроконтроллера проведена оценка времени, необходимого для вычисления спектра сигнала. Использование алгоритма спектральной обработки сигналов в модифицированном пространстве Соболева W2' позволило снизить требования к быстродействию микроконтроллеров, по сравнению с аналогичными алгоритмами в пространстве L2, и применить для спектральной обработки звуковых сигналов экономически выгодные МК AT90S2333.

Представленные в работе алгоритмы обработки с использованием отсчетов сигнала и его изменения обеспечивают повышение качества функционирования различных РТУ и могут быть использованы в помехоустойчивых системах передачи и обработки информации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе работы над диссертацией были разработаны и исследованы алгоритмы спектральной обработки сигналов и СП в модифицированном пространстве Соболева W21, а также дискретные двухканальные системы передачи и обработки с использованием отсчетов сигнала и его изменения.

В первой главе работы разработаны алгоритмы спектральной обработки сигналов и СП, позволяющие существенно снизить ошибки наложения, возникающие при дискретной обработке и проведен анализ полученных решений.

Во второй главе работы рассмотрены вопросы определения коэффициентов передачи двухканальных систем при использовании отсчетов сигнала и его производной.

В третьей главе работы исследовано влияние аддитивных шумов и шумов квантования на алгоритмы дискретной обработки при использовании отсчетов сигнала и его приращения, а также проведен анализ практической реализации устройства нахождения спектра звуковых сигналов на микроконтроллере AT90S2333.

1. Котельников В.А. О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи. //Радиотехника. 1995. №4-5. С.42-55.

2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. 512с.

3. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Советское радио, 1966. 680с.

4. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Т. 1,2. М.: Сов. радио, 1974.

5. Трахтман A.M. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов. М.: Советское радио, 1972. 352с.

6. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981. 416 с.

7. Вайнштейн Л.А. Зубаков В.Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех. М.: Сов. радио, 1960. 445с.

8. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 334 с.

9. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: Издательство иностранной литературы, 1963. 832 с.

10. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральные анализ и его приложения. T.l М.: Мир, 1971. 317с.

11. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральные анализ и его приложения. Т.2 М.: Мир, 1972. 287с.

12. Марпл-мл С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 584с.

13. Рабинер JI., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с.

14. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь, 1980. 248 с.

15. Рабинер Л.Р., Шафер Р.В. Цифровая обработка речевых сигналов. М.: Радио и связь, 1981. 495 с.

16. Каппелини В., и др. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. 360 с.

17. Голд Б. , Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М. : Сов. радио, 1973. 368 с.

18. Ван Трис Г. Теория обнаружения оценок и модуляции. Tl. М.: Сов. радио, 1972. 744 с.

19. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Т. 1,2. М.: Советское радио, 1962.

20. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. М.: Издательство иностранной литературы, 1960. 468 с.

21. Хургин Я.И. , Яковлев В.П. Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. 220с.

22. Грибанов Ю.И., Мальков В.Л. Погрешности и параметры цифрового спектрально-корреляционного анализа. М.: Радио и связь, 1984. 160с.

23. Грибанов Ю.И., Мальков В.Л. Спектральный анализ случайных процессов. М.: Энергия, 1974. 240с.

24. Грибанов Ю.И., Мальков В.Л. Выборочные оценки спектральных характеристик стационарных случайных процессов. М.: Энергия, 1978. 150с.

25. Омельченко В.А. Основы спектральной теории распознавания сигналов. Харьков: Вища школа, 1983. 156 с.

26. Кириллов С.Н., Шустиков О.Е. Об эффективности статических и динамических признаков при распознавании речевых сигналов. // Автоматика и телемеханика, 2001. №3. С.151-157.

27. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1989. 440 с.

28. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965. 800с.

29. Кириллов С.Н., Соколов М.Ю., СтукаловД.Н. Оптимальная весовая обработка при спектральном анализе сигналов. // Радиотехника. 1996. С.36-38.

30. Френке JI. Теория сигналов. М.: Сов. радио, 1974. 344 с.

31. Трахтман A.M., ТрахтманВ.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975. 208 с.

32. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: ГИФМД, 1958. 507 с.

33. Кириллов С.Н., Лавров A.M., Шелудяков А.С. Комбинированный критерий выбора оптимального базиса обобщенных рядов Фурье.// Рязань: Вестник РГРТА, 1997. Вып.2 С.19-23.

34. Колмогоров А.Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544с.

35. Кириллов С.Н., Бузыканов С.Н. Алгоритм дискретного спектрального анализа сигналов в модифицированном пространстве Соболева. // Автометрия. 2003. №1. С.88-94.

36. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1964. 772с.

37. Кириллов С.Н., Бузыканов С.Н. Оценка спектральной плотности мощности сигналов в модифицированном пространстве Соболева// Известия ВУЗов Радиоэлектроника. 2002. Т.45. №12. С.46-51.

38. Кириллов С.Н., Бузыкаиов С.Н. Алгоритм оконной обработки при спектральном анализе сигналов в модифицированном пространстве Соболева//Вестник РГРТА. 2001. Вып. 8. С. 117-118.

39. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

40. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976. 328с.

41. Бузыканов С.Н. Представление сигналов на основе обобщенных полиномов Лежандра // Вестник РГРТА. 2003. Вып. №11. С. 109-111.

42. Гуткин Л.С. Теория оптимальных методов радиоприема при флуктуационных помехах. М.: Советское радио, 1972. 448 с.

43. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы. М.: Советское радио, 1971.568 с.

44. Маригодов В.К. Помехоустойчивая обработка информации. М.: Наука, 1983. 200 с.

45. Джерри А. Дж. Теорема отсчетов Шеннона , ее различные обобщения и приложения. Обзор. // ТИИЭР, 1977. Т.65, №11. С.53-89.

46. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М: Наука, 1991. 384 с.

47. Мановцев А.П. Введение в цифровую радиотелеметрию. М.: Энергия, 1967. 244 с.

48. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1971. 408 с.

49. Назаров М.В., Прохоров Ю.Н. Методы цифровой обработки и передачи речевых сигналов. М.: Радио и связь, 1985. 176 с.

50. Василенко Г.И., Тараторин A.M. Восстановление изображений. М.: Радио и связь, 1986. 304 с.

51. ХэррисФ.Дж. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье // ТИИЭР, 1978. Т.66, №1. С.60-96.

52. Weiss Sampling theorems associated with Stmm-Liouville system. // Bull. Math. Soc., vol.63, p.242, 1957.

53. H.P. Kramer A generalized sampling theorem. // J. Math. Phys., vol.38, pp. 6872,1959.

54. D.I. Jagerman and L. Fogel Some general aspects of the sampling theorem. // IRE Trans. Inform. Theory, vol.IT-2, pp.139-146, Dec. 1956.

55. Кириллов C.H., Дмитриев В.Т. Реализационные возможности и помехоустойчивость процедуры восстановления сигналов на основе алгоритма Хургина-Яковлева. // Радиотехника. 2003. №1. С.73-75.

56. Гусятинский И.А., Немировский А.С., Соколов А.В., Троицкий В.Н. Дальняя тропосферная радиосвязь. М.: Связь, 1968. 248 с.

57. Немировский А.С. Борьба с замираниями при передаче аналоговых сигналов. М.: Радио и связь, 1984. 208 с.

58. Шеннон К.Э. Связь при наличии шума // ТИИЭР, 1984. Т.72, №9. С.94-105.

59. Дьяконов В.Н., Раскоснов М.А. Синтез нелинейных цифровых фильтров Винера для одного класса сигналов и помех // Радиоэлектроника. 1985. Т.28. №8. С.63-69.

60. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Госэнергоиздат, 1956. 152 с.

61. Победоносцев В.А. Теорема о неравноотстоящих отсчетах // Зарубежная радиоэлектроника. 1996 №8 С.

62. Осипов JI.A. Коррекция дискретного спектра для восстановления образующего его сигнала//Радиотехника. 1999. №12. С.39-43.

63. Кириллов С.Н., Бузыканов С.Н Алгоритмы цифровой обработки сигналов в модифицированном пространстве Соболева. //3-я международная конференция и выставка "Цифровая обработка сигналов и ее применение" Тез. докладов. Москва, 2000г. С.167-169.

64. Прудников А.П. и др. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. 800 с.

65. Солодовников А.И., Спиваковский A.M. Основы теории и методы спектральной обработки информации. JL: 1986. 272 с.

66. Макаров Д.А., Бузыканов С.Н. Синтез робастного фильтра на основе модифицированной процедуры Тихонова // Международная молодежная научно-техническая конференция "XXV Гагаринские чтения": Тез. докл. -М.: РГТУ-МАТИ, 1999. т.1 С.474-475.

67. Величкин А.И. Передача аналоговых сообщений по цифровым каналам связи. М.: Радио и связь, 1983. 240 с.

68. Маригодов В.К., Бабуров Э.Ф. Синтез оптимальных радиосистем с адаптивным предыскажением и корректированием сигналов. М.: Радио и связь, 1985. 248 с.

69. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966. 664 с.

70. Витязев В.В. Цифровая обработка сигналов: ретроспектива и современное состояние // Электросвязь. 1997. :№6 С.

71. Заездный А.М. Основы расчетов по статистической радиотехнике. М.: Связь, 1969. 448с.

72. Крошье Р., Рабинер JI. Интерполяция и децимация цифровых сигналов: методический обзор // ТИИЭР. 1981. Т69. №3. С.

73. Акимов П.С., и др. Сигналы и их обработка в информационных системах. М.: Радио и связь, 1994. 256 с.

74. Борисов Ю.П., Пенин П.И. Основы многоканальной передачи информации. М.: Связь, 1967. 436 с.

75. Теоретические основы радиолокации, /под. ред. Ширмана Я.Д. М.: Советское радио, 1970. 560 с.

76. Кириллов С.Н., Бузыканов С.Н. Двухканальная система передачи и обработки сигналов в пространстве Соболева // Вестник РГРТА. вып. N.10 2002. С. 6-8.

77. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление. М.УРСС, 2002. 168 с.

78. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. М.: Мир, 1969. 396 с.

79. Макаров С.Б., Цикин И.А. Передача дискретных сообщений по {радиоканалам с ограниченной полосой пропускания. М.:Радио и связь, ! 1988. 304 с.

80. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978. 832 с.

81. Прокис Д.Д. Цифровая связь. -М.: Радио и связь, 2000. -797с.

82. ВитязевВ.В. Цифровая частотная селекция сигналов. М.: Радио и связь, 1993. 240 с.

83. Цифровые процессоры обработки сигналов/Под ред. А.Г. Остапенко. М.: Радио и связь, 1994. 262 с.

84. КорнеевВ.В., Киселев А.В. Современные микропроцессоры М.: Нолидж, 1998. 240 с.

85. Лосев В.В. Микропроцессорные системы обработки информации. Алгоритмы цифровой обработки. Минск: Вышэйшая школа, 1990. 132 с.

86. Кириллов С.Н., Макаров Д.А., Бузыканов С.Н. Регуляризация решений задачи синтеза фильтра, робастного к искажению спектра сигнала// Радиоэлектронные системы и устройства: Межвуз. сб. науч. тр./ Рязань.: РГРТА, 1999. С.12 -14.

87. Брюханов Ю.А., Кренев А.Н. Спектральная теория сигналов. Ярославль: ЯГУ, 1990. 103 с.

88. Обработка сигналов в радиотехнических системах: Учеб. пособие/Под ред. А.П. Лукошкина. Л.: ЛГУ, 1987. 400 с.

89. Залманзон Л.А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989. 496 с.

90. Даугавет И.К., Ланнэ А.А. Потенциальные оценки точности алгоритмов цифровой обработки сигналов в условиях внешних помех // Радиоэлектроника. 1991. №12. С.4-12.

91. Кириллов С.Н., Бузыканов С.Н. Оценки спектра дискретного сигнала в пространстве Соболева. // 36-я НТК студентов и аспирантов РГРТА. Тезисы докладов. Рязань.: РГРТА, 2000 С. 19.

92. ЮО.Куньсянь Л., Франц Дж.А., Саймар Р. Цифровые процессоры обработки сигналов // ТИИЭР. 1987. Т.75. №9 С.8-28.

93. Петров Е.П., Частиков А.Б. Анализ возможностей программной реализации цифровых фильтров с помощью цифровых процессоров сигналов//Изв. вузов Радиоэлектроника. 1999, № 4. с.63-68.

94. ЮЗ.Мановцев А.П. Основы теории радиотелеметрии. М.: Энергия, 1973. 592 с.

95. Ю4.Хинчин А.Я. Теория корреляции стационарных стохастических процессов. // Усп. мат. наук, 1938. Вып.5. С.42-51.

96. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз., 1962. 884 с.

97. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копчёнова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. 264 с.

98. Ю7.Лоэв М. Теория вероятностей. М.: Иностр. лит. 1962. 917 с.

99. Куликов Е.И. Методы измерения случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986. 272 с.

100. Ю9.0мельченко В.А. Распознавание сигналов по спектру в условиях априорной неопределенности. Харьков: ХПИ, 1979. 98 с.

101. Ю.Борисов Ю.П. Математическое моделирование радиосистем: Учеб. пособие для вузов. М.: Сов. радио, 1976. 296 с.

102. Ш.Паршин B.C. Оценка влияния импульсных помех на распознавание стационарных сигналов в спектральной области.// Известия ВУЗов Радиоэлектроника. 1999. Т.42. №3. С.21-27.

103. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М. Советское радио. 1971. 328с.

104. Методы выбора микропроцессора для использования в микропроцессорных системах / Аксенов А.И., ПуртовС.Т., ТерехинВ.И. и др. // Обзоры по электронной технике. М.: Издательство ЦНИИ "Электроника", 1985. Серия 3. Микроэлектроника. Вып.2(1102). 30 с.

105. Прохоренко А. ПЛИС как DSP // Chip News. 1998. №1. С. 19-21.

106. Стешенко В.Б. Проектирование аппаратуры цифровой обработки сигналов на ПЛИС с использованием языка описания аппаратуры VHDL // Цифровая обработка сигналов. 2001. №1. С.59-63.

107. Пб.Стешенко В.Б. Программируемые логические интегральные схемы: обзор архитектур и особенности применения в аппаратуре ЦОС // Цифровая обработка сигналов. 2000. №2. С.39-48.

108. Акчурин Э.А. Формирование сигналов фазовой модуляции с ограниченным спектром с помощью цифровых процессоров//Элекгросвязь. 1999. № 1. С. 12-14.

109. Методические указания по оценке технического уровня и качества промышленной продукции: РД 50-149-79. Введ. 14.05.80. М.: 1979. 75 с.

110. Analog Devices: новые разработки DSP. // Цифровая обработка сигналов, 2001. №3. С.49-56.

111. ATMEL Products. Microcontroller. // CD Atmel corp. May 2000.

112. Дорохин C.A. Программные средства многопроцессорных систем цифровой обработки сигналов // Цифровая обработка сигналов. 2000. №1. С.39-43.

113. БлейхутР. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1989. 448 с.

114. Организация параллельных вычислений в алгоритмах БПФ на процессоре NM6403 // Цифровая обработка сигналов. 2001. №1. С.53-58.

115. Алексеев В.Г. О вычислении спектров стационарных случайных процессов по выборкам большого объёма. // Проблемы передачи информации, 1980. T.XVI. Вып. 1. С.38-40.

116. Алексеев В.Г. Выбор спектрального окна при построении оценки спектральной плотности случайного процесса. // Радиотехника, 1999. №9. С.38-40.