автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка энтропийной модели инвестиционного портфеля

На правах рукописи

Попков Алексей Юрьевич

Разработка энтропийной модели инвестиционного портфеля

Специальность 05 13 01 Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

и03070Э41

Москва 2007

003070941

Работа выполнена в Институте системного анализа Российской академии наук

Научный руководитель кандидат физико-математических наук

Швецов Владимир Иванович

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Поляк Борис Теодорович,

кандидат физико-математических наук, доцент Дубовский Сергей Васильевич

Ведущая организация Институт программных систем РАН

Защита состоится «.

Ж, ММ ,007 г Л

часов на заседании диссер-

тационного совета Д-002 086 02 при Институте системного анализа Российской академии наук, расположенном по адресу 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 9

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института системного анализа Российской академии наук

Автореферат разослан « ЛНЛ&и^ 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д-002 086 02

доктор технических наук, профессор

Пропой

Общая характеристика работы

Актуальность работы

В связи с постоянным развитием финансового рынка, существенно возрастает роль различных методов, позволяющих оптимизировать инвестиции в финансовые инструменты (активы) Основными характеристиками финансовых инструментов являются их доходность и риск, связанный с вложением денег в этот инструмент Поэтому задача инвестора при вложении денег в конкретный актив в большинстве случаев сводится к анализу именно этих характеристик с целью реализации главной цели инвестирования — получение максимально возможного дохода, при этом как можно меньше рискуя Для достижения этой цели используется аппарат математического моделирования Однако всегда возникает вопрос о том, насколько построенная модель адекватно учитывает различные факторы, влияющие на изменение основных характеристик финансовых инструментов Эти факторы определяют поведение инвестора в различных ситуациях, возникающих на финансовом рынке

Таким образом, весьма актуальной является разработка методов моделирования инвестиционного портфеля в условиях неопределенности и риска, учитывающих поведение инвестора на финансовом рынке

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является разработка модели инвестиционного портфеля, учитывающей поведение инвестора на финансовом рынке

Для достижения этой цели в работе решены следующие задачи

1 Выполнен анализ существующих моделей и методов, применяемых

для оптимизации портфельных инвестиций

2 Предложен поведенческий подход к моделированию, позволяющий учитывать поведение инвестора в различных ситуациях, возникающих при формировании портфеля

3 Разработана энтропийная модель инвестиционного портфеля

4 Проведен анализ свойств модели при выборе инвестором различных стратегий извлечения дохода

5 Разработаны вычислительные алгоритмы для реализации модели, основанные на теории мультипликативных алгоритмов

6 Разработано прикладное программное обеспечение, позволяющее производить моделирование инвестиционного портфеля

7 Проведено тестирование модели и вычислительных алгоритмов на модельных примерах

8 Проведено моделирование инвестиционного портфеля на реальных данных

Методы исследования

В диссертационной работе использованы методы теории макросистем, теории оптимизации, теории вероятностей, статистической физики

Результаты, выносимые на защиту

1 Энтропийная модель инвестиционного портфеля, учитывающая поведение инвестора на финансовом рынке

2 Вычислительные алгоритмы с адаптивным шагом и их экспериментальное исследование на модельных данных

3 Прикладное программное обеспечение для моделирования инвестиционного портфеля

4 Моделирование инвестиционного портфеля на основе реальных данных

Научная новизна работы

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем

1 Разработана энтропийная модель инвестиционного портфеля, учитывающая поведение инвестора при вложении денег в финансовые активы Определены основные стратегии извлечения дохода, а именно

• «ни больше, ни меньше» — цель инвестора состоит в обеспечении некоторого уровня дохода на всех этапах временного профиля,

• «гарантированный минимум» — цель инвестора состоит в обеспечении дохода не меньше некоторого уровня на всех этапах временного профиля,

• «смешанное поведение» — цель инвестора состоит в обеспечении некоторого уровня дохода на одних этапах и не меньше некоторого уровня — на других

Получены условия оптимальности разработанной модели при использовании различных стратегий извлечения дохода

2 Предложена модификация мультипликативных алгоритмов, реализованная в адаптации параметра шага алгоритма к характеру итерационного процесса Метод использует квадратичную аппроксимацию невязки для вычисления оптимального значения шага Это позволяет не производить дополнительных вычислений для оптимизации шага на каждой итерации вычислительного процесса

Практическая ценность работы

Разработан прототип программного обеспечения для моделирования инвестиционного портфеля Программное обеспечение создано с помощью средства быстрой разработки приложений Borland С+-f-Builder™

С помощью разработанного программного обеспечения было проведено экспериментальное исследование модели на тестовом примере и реальных данных

Разработанная модель инвес тиционного портфеля и вычислительные методы, реализованные в прикладном программном обеспечении, могут быть использованы в качестве одного из инструментов инвестора при формирования инвестиционного портфеля

Реализация результатов работы

Разработанная модель инвестиционного портфеля и вычислительные алгоритмы использовались в следующих проектах

1 Программа фундаментальных исследований отделения информационных технологий и вычислительных систем РАН (ОИТВС РАН) «Фундаментальные основы информационных технологий и систем», проект №21

2 Проект Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) № 02-01-00198

Апробация работы

Основные положения работы докладывались и обсуждались на VII Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва 2002) и семинаре ИСА РАН «Системный анализ и информационные технологии»

Публикации

Основные результаты, полученные по теме диссертационной работы, опубликованы в 4 печатных работах в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК

Личный вклад соискателя

Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно Личный вклад соискателя в совместно опубликованных работах составляет 40% общего объема

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения четырех глав, заключения и списка литературы Работа изложена на 115 страницах машинописного текста, содержит 7 таблиц, 12 рисунков, библиография включает 51 наименование

Содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, ее научная новизна, раскрывается цель диссертационной работы и практи-

ческая значимость

В первой главе даются понятия основных объектов финансового рынка, проводится исследование существующих моделей и методов формирования инвестиционного портфеля, формулируются их основные недостатки, делаются выводы и формулируются задачи исследования

Задача формирования инвестиционного портфеля состоит в выборе нескольких доступных на рынке финансовых инструментов и вложении в них требуемого объема денег (инвестиций) с целью получения дохода Некоторые виды финансовых инструментов позволяют получать доход от обладания ими, например, обладая некоторым количеством акций, можно рассчитывать на определенный доход от владения ими, так как компания, выпускающая акции, выплачивает по ним дивиденды Однако, инвестиционная привлекательность подобных финансовых инструментов обусловлена не столько объемом дохода, который можно получить в результате владения ими, а возможностью «играть» на постоянном колебании цен инструментов на финансовом рынке, обеспечивая таким образом определенный доход

Очевидно, что процесс продажи и покупки акций (или иных финансовых инструментов) сопряжен с определенным риском, который связан как с естественными факторами неопределенности (систематический риск), присущими финансовому рынку, так и с множеством факторов, связанных с конкретным финансовым инструментом (несистематический риск)

Естественная задача инвестора состоит в снижении общего риска, связанного с инвестированием Систематический риск связан прежде всего с естественным колебанием цен инструментов в процессе их покупки и

продажи, поэтому контролировать этот вид риска инвестор практически не имеет возможности Несистематический риск связан в большей степени с конкретным финансовым инструментом, и этот вид риска инвестор имеет возможность редуцировать

Редуцировать несистематический риск, очевидно, можно, отказавшись от наиболее рискованных активов, однако, в то же время, как правило, наиболее рискованные активы дают большой доход Поэтому необходимо каким-либо образом иметь возможность оценивать риск от вложения денег в конкретный финансовый инструмент с тем, чтобы оценивать и, по возможности, влиять на риск всего портфеля

Предположение о наличии неопределенности на финансовом рынке дает эффективный способ описания эволюции цен финансовых инструментов и их основных характеристик Этот способ состоит в следующем Рассмотрим, например, акции п различных компаний Цена акций в начальный момент времени равна соответственно С1 (0), с2(0) , сЦО) Купив некоторое количество акций каждого типа и полностью израсходовав свой бюджет, инвестор станет владельцем пакета акций, стоимость которого в начальный момент времени будет равна

«о (-г) = адСО) + г2с2( 0) + + гпСп( 0),

где через г3,] — 1 ,п обозначено количество акций ^-го типа Числа (г!,^, образуют инвестиционный портфель

Цена акций в будущем будет как-то эволюционировать и заранее неизвестно каким образом Поэтому, следуя одной из возможных гипотез, можно говорить о том, что цена акции есть случайная величина Следовательно, и стоимость портфеля в следующий момент времени

81(2) = ггс^г) + 22с2(1) + + г„с„(1), 7

также является случайной величиной

Используя предположение о том, что стоимость портфеля является случайной величиной, можно определить ожидаемый доход этого портфеля, вычислив его математическое ожидание Для оценки риска портфеля также можно воспользоваться методами теории вероятностей и определить риск как дисперсию портфеля Выбор дисперсии в качестве характеристики риска является одним из наиболее распространенных способов его оценки

Теперь, имея формальное описание необходимых объектов финансового рынка и их характеристик, можно сформулировать различные задачи оптимизации инвестиций Например, можно потребовать обеспечение необходимого уровня дохода М при минимальном риске

□йх(г) =Ф» тт,

Еяг(г) = М, (1)

> 0, 3 = М*,

где Е — оператор математического ожидания, О — оператор дисперсии Представленный способ описания цен и характеристик финансовых инструментов был предложен Г Марковитцем Им же была сформулирована задача (1), а проведенный анализ, оперирующий средними и дисперсиями он назвал средне-дисперсионным анализом

Однако, решение задачи (1) не является однозначным в том смысле, что если отложить по оси абсцисс доход портфеля, а по оси ординат — его риск, то полученные портфели образуют на плоскости некоторую область Граница этой области называется эффективной границей, а расположенные на ней портфели — эффективными портфелями На рис 1 изображен типичный вид этой области

э___1_а_I__1_.—I_I_J

5 А 7 а е ю II 12 >5

риск(V) Рис. 1.

Таким образом, видно, что эффективных портфелей много, и при увеличении дохода увеличивается и риск, а при уменьшении риска снижается доход. Поэтому, задача инвестора состоит в том, чтобы принять решение о том, какой портфель ему подходит лучше всего. В этом смысле, решение задачи Марковитца имеет рекомендательный характер, то есть служит иллюстрацией большого количества возможных вариантов развития ситуации, а решение о принятии того или иного из них целиком лежит ка инвесторе.

Впоследствии Д. Тобиным был предложен способ определения единственного портфеля из множества эффективных портфелей. Этот способ базируется на предположении о наличии на рынке безрискового актива с фиксированной доходностью. Тобиным было установлено, что оптимальный портфель находится в точке касания эффективной границы с прямой, проведенной из точки на оси ординат, соответствующей доходу

I I

безрискового актива

Автором проведено исследование и других существующих моделей и методов, таких как теории САРМ и APT, разработанные В Шарпом и С Россом, методики VaR и моделей, основанных на использовании энтропии Шеннона в задаче вида (1) для получения возможно более адекватного решения Исследование показало, что все рассмотренные модели и методы приводят так или иначе к формулировке и решению оптимизационных задач, в которых поведение инвестора не учитывается

Автором предлагается новый подход к решению задачи формирования инвестиционного портфеля, который базируется на предположении о случайном поведении инвестора на финансовом рынке

В заключении главы сформулированы цели и задачи диссертационной работы

Во второй главе рассматриваются основные положения теории мак-росистемного моделирования, приводится описание энтропийных моделей инвестиционного портфеля, проводится их классификация и анализ при использовании различных стратегий извлечения дохода

При рассмотрении сложных систем часто приходится сталкиваться с системами, состоящими из большого количества элементов со стохастическим типом поведения, при этом поведение системы как целого является детерминированным Таким образом, можно говорить, что в таких системах происходит преобразование стохастического поведения в детерминированное Такие системы называются макросистемами

Элементы макросистемы могут находится в различных состояниях Все состояния системы составляют множество состояний S Множество S устроено таким образом, что в нем можно выделить непересекающиеся

подмножества (] — 1,п) «близких» состояний с емкостью В работе будут использоваться модели, в которых в каждом состоянии может находится только один элемент (Ферми-состояния) или среднее количество элементов в подмножествах существенно меньше их емкости (Больцман-состояния)

Элементы макросистемы случайно и независимо друг от друга могут попадать в любое состояние из подмножеств Элемент может

попасть в подмножество с априорной вероятностью а^ или не попасть в него, соответственно, с априорной вероятностью (1 — Таким образом, априорные вероятности аь ап являются характеристиками подмножеств , , 5П

Под макросостоянием системы понимают размещение определенного количества элементов системы по состояниям Макросостояние характеризуется набором Л^, ,Ып чисел заполнения элементами состояний

Случайное поведение элементов макросистемы порождает множество N возможных макросостояний, характеризуемых вектором N = {1*1, ,АГ„}

Основной задачей, возникающей при использовании макросистемных моделей является поиск стационарных макросостояний, при которых система находится в равновесии Для этого используется принцип максимизации энтропии, который приводит к формулировке и решению следующей задачи

НШ) шах, V е ЛГ,

где N — множество возможных макросостояний, Т> — множество допустимых макросостояний, определяемых различными ограничениями, зависящими от конкретной прикладной задачи, функция #(И) — обоб-

ценная информационная энтропия Ферми-Дирака, определяемая

Нр(Ю = - £ м, ы ^ + (с, - лд ща} - лд, (2)

где

или обобщенная информационная энтропия Больцмана, определяемая

= (3)

.7=1

Систему, которая описывает инвестиционный портфель, можно представить в виде макросистемы Предполагается, что активы, составляющие портфель, имеют порционную структуру Другими словами, актив представляет собой абстрактное «хранилице», разделенное на ячейки (порции-состояния) В следствие стохастического распределительного механизма элементов по состояниям, каждая ячейка может быть либо оккупирована элементом системы, то есть денежной порцией, либо нет Механизм заполнения определяется типом используемых состояний, а вероятность попадания денежной порции в какой-либо актив определяется априорной вероятностью, которая является характеристикой актива

Таким образом, инструменты, из которых составлен портфель, представляют собой множество «близких» состояний Поэтому в предположении о случайном и независимом распределении бюджета по активам портфель будет определяться стационарным макросостоянием макросистемы

Предположим, что инвестор хочет инвестировать капитал объемом В в п различных активов Изменение цены актива происходит в дискретные моменты времени г — 0, , Т Поэтому цену актива ] в момент времени г будем обозначать сц, где г — О, Т, ] = Т^п

Очевидно, что цена актива со^ в момент времени г = 0 известна точно, тогда как цены на последующих интервалах — прогнозируемые Поэтому в моменты времени г > 0 можно говорить о средней ожидаемой цене Сц

Инвестор распределяет свой бюджет среди всех активов, формируя таким образом инвестиционный портфель х = {яь ,хп}, компоненты которого представляют собой стоимость пакета акций J-vo типа {у = 1 , п) Временной профиль, которым определяется уровень дохода за период г, задается вектором I — {1\, , 1т)

В зависимости от целей инвестора, будем различать три возможных стратегии извлечения дохода

• «ни больше, ни меньше»

п

^ ] XуТ%з ~ Д > 2 — 1,5

• «гарантированный минимум»

п

^ ^ ^ А) 2 = 1} Й

3=1

• «смешанное поведение»

п

J=l п

где гц = ^ — коэффициент доходности актива ] в момент времени г, сч — средняя ожидаемая цена ^-го актива за период времени г, со3 — цена ^-го актива в начальный момент времени Коэффициенты доходности образуют матрицу доходности Д

В данной модели основной характеристикой поведения являются априорные вероятности а„ входящие в энтропию, определяемую (2) или (3) Согласно априорным вероятностям бюджет распределяется по активам Очевидно, что одним из факторов, характеризующих поведение, является риск, который связан с неопределенностью дохода при вложении денег в тот или иной инструмент Поэтому можно говорить о том, что априорные вероятности, являясь характеристикой поведения, являются также основной характеристикой риска, связанного с вложением денег в данные инструменты Автором предложена формальная процедура вычисления априорных вероятностей, основанная на дисперсионной мере риска

Таким образом, для определения портфеля х необходимо решить задачу максимизации энтропии Ферми-Дирака или Больцмана при условиях, которые определяются одной из возможных стратегий извлечения дохода

В третьей главе рассматриваются элементы теории мультипликативных алгоритмов, на основе которых построены вычислительные методы реализации модели, описывается применение классических схем построения алгоритмов, предлагается метод модификации классических схем, реализуется семейство вычислительных алгоритмов, основанных на модифицированных схемах

Использование макросистемных моделей приводит к задачам математического программирования или задачам на условный экстремум Модели макросистем обладают определенной спецификой, связанной с целевыми функциями соответствующих задач математического программирования Для их эффективного решения используются так называемые

мультипликативные алгоритмы

Задача определения реализуемого портфеля сводится к поиску положительного решения систем нелинейных уравнений и неравенств, возникающих из условия оптимальности соответствующих задач математического программирования или задач на условный экстремум Условия оптимальности для Ферми-модели имеют вид

• стратегия «ни больше, ни меньше»

п

к = 1, в

1~1

• стратегия «гарантированный минимум»

п

(5)

а3 + 20 П К'1

/

\

П

К

• стратегия «смешанное поведение»

л(*) = Е-

з=1 а3 + г0 р] г7' »=1

Ва/кз

-1=0,

/*(*) = £

а,

-1 = 0, к = !,?,

7=1 а, + % п

г=1

— 1 < 0, /с = ?+!, в, (6)

7=1 а^ + 20 П г 1=1

/ \

Ва}гк]

-1

7=1 а^ + 20 П г*1"

г~1 /

= 0, к — д+1,з,

К>0

Условия оптимальности для Больцман-модели имеют аналогичный вид

Для решения систем уравнений вида (4) используется мультипликативный алгоритм нулевого порядка с параллельной организацией итерационного процесса в виде

г = 0,5,

(7)

где р — номер текущей итерации

Для решения смешанных систем равенств и неравенств вида (5)-(6), алгоритм (7) дополняется алгоритмом следующего вида

<+1 = <(1+7 Мхр)), г = 1,!

(8)

Данные алгоритмы построены на основе схем с постоянным параметром шага 7 Автором предлагается метод модификации этих схем,

16

который позволяет создавать мультипликативные схемы с адаптивным параметром шага

Этот метод основан на минимизации невязки на каждом шаге итерационного процесса Рассмотрим невязку для метода (7) на (р + 1)-м шаге итерационного процесса

Находясь на р-й итерации итерационного процесса и использовав выражение для хр+1, определяемое классической мультипликативной схемой (7), можно представить г>р+1 как функцию, которая зависит от скалярного параметра 7

Используем для этой функции квадратичную аппроксимацию по формуле Тейлора в окрестности 0 < 7Р < 7(е), где 7Р равно значению параметра 7 на р-й итерации

Минимизируя и(7) на интервале 0 < 7 < 7(е) можно вычислить оптимальное значение параметра 7, при котором значение V на данной итерации будет минимальным

Модифицированный алгоритм вида (7) состоит из следующих этапов Шаг 1 Инициализация Выбрать некоторое начальное значение г° > О начальное значение параметра 70 > 0, требуемую точность е > 0 и предельное количество итераций Ртах > О

Шаг 2 Итерационный шаг Вычислить значение г для следующей итерации по формуле

«(7) « + */(7р)(7 - 1Р) + 5У'ЬПЬ ~ 7Р)2

1

Шаг 2-1 Вычисление оптимального шага Вычислить значение 7Р+1 согласно правилу

Шаг 3 Контроль вычислительного процесса Увеличить номер текущей итерации р на единицу и вычислить значение

• Если ь > е,р < Ртах, то перейти к шагу 2

• Если у < е,р < Ртах, то перейти к шагу 4

• Если у > е,р > ртах> то следует попытаться выбрать другие начальные значения 7 и ртах и произвести вычисления с этими данными

Шаг 4 Вычисление инвестиционного портфеля На основе полученных множителей Лагранжа г, вычислить инвестиционный портфель х* Модифицированный алгоритм вида (8) состоит из следующих этапов Шаг 1 Инициализация Выбрать некоторое начальное значение > О и Л° > 0, значение параметра 70 >0, а0 > 0, требуемую точность е > 0 и предельное количество итераций ртах > О

Шаг 2 Вычисление оптимального параметра 7 Вычислить значение 7Р+1 согласно правилу

7Р — если у' > 0, и" > 0,

7р,если у' < 0 или у" < 0,

7р-^,если V7 > 0,г>" > 0,

<

7Р, если и' < 0 или у" < 0,

ГЛР - ^(Т") тт 7," -

где V--^ и V —

Шаг 5 Итерационный шаг по направлению у Увеличить номер текущей итерации р на единицу и вычислить значение гь и \к для следующей итерации по формуле

= 4/Г1 С*",*"), * =

Шаг 4 Вычисление оптшюлъного параметра а Вычислить значение аР+1 согласно правилу

аР+1 =

аР - если г»' > 0, г/' > О, ар, если г/ < 0 или и" < О,

Шаг 5 Итерационный шаг по направлению а Увеличить номер текущей итерации р на единицу и вычислить значение -г* и Хк для следующей итерации по формуле

4+1 = * =

Шаг 6 Контроль вычислительного процесса Увеличить номер текущей итерации р на единицу и вычислить значение

я

г=0

г=0

= £ (хм*,*))2,

Ух

«=9+1 V = тах {г;г,1>л}

• Если v > е,р < ртаХ) то перейти к шагу 2

• Если v < е,р < Ртах, то перейти к шагу 7

• Если v > е,р > ртах, то следует попытаться выбрать другие начальные значения z, Л, 7, а и ртах и произвести вычисления с этими данными

Шаг 7 Вычисление инвестиционного портфеля На основе полученных множителей Лагранжа гг и Аг вычислить инвестиционный портфель х*

Автором разработаны модифицированные мультипликативные схемы адаптированные для решения задач, возникающих в предлагаемой модели, проведен анализ вычислительных алгоритмов для различных стратегий извлечения дохода

В четвертой главе представляется разработанный прототип прикладного программного обеспечения для моделирования инвестиционного портфеля предлагаемыми в диссертационной работе методами Программное обеспечение создано с использованием среды быстрой разработки приложений Borland C++Builder™

Основные особенности программного обеспечения состоят в обеспечении ввода и сохранения необходимых для моделирования данных с помощью дружественного интерфейса пользователя, проведение расчетов с возможностью сохранения состояния вычислительного процесса, возможность моделирования нескольких инвестиционных портфелей (см рис 2)

Во второй части главы проводится экспериментальное исследование модели на тестовом примере и производится моделирование инвестици-

--V

+ Дгйаигъ Ыд* шь '-^'•'"с" ' • Открыть □ в»™

КММОД

Г*>ч»м

МТС 1(093

РАОСЗС

ЧЧ ЫммМ 1 Ыа>чие| Дсбвия». ]

МГТС | чртгоовг 2 апрель 20К г. 3 ний200Б' ПИИО - ¡£3 ^ 1

ВфггцТкЛжин

С ;■**- 4 к - ■ '-V '¡^ -

Рис. 2.

овного портфеля па реальных данных с использованием разработанного Программного обеспечения.

В качестве модельного примера рассматривается портфель из пяти инструментов, временной профиль дохода состоит из трех временных периодов. Вес расчеты проводились с точностью г = 0.0001 по двойственным переменным.

Для тестирования модели автором была разработана определенная методика тестирования, которая состоит в следующем. Рассмотрим несколько абстрактных параметров модели:

• Тип модели — Ферми- или Больцман-модель.

• Тип алгоритма — с постоянным или адаптивным шагом

• Шаг постоянные или начальные значения параметров шага

• Начальные условия по двойственным переменным

Рассматривались различные наборы значений этих параметров и проводились расчеты

Исследование показало, что использование алгоритма с постоянным шагом, как правило, позволяет решать задачу быстрее, то есть итерационный процесс сходится быстрее, чем при использовании алгоритмов с адаптивным шагом, однако, во многих случаях «удачный» выбор шага сделать не так просто и итерационный процесс при «неудачном» значении шага сходится очень медленно или не сходится вообще Алгоритм с адаптивным шагом решает эту проблему, подбирая оптимальный дтя решения шаг Кроме этого, тестирование показало, что сходимость алгоритма с адаптивным шагом также сохраняется как в малой, так и в достаточно большой окрестности

Для моделирования портфеля на основе реальных данных были использованы ретроспективные данные о торгах на фондовой бирже «РТС» По этим данным были вычислены основные характеристики активов — средняя доходность и дисперсия На основе дисперсий инструментов были вычислены априорные вероятности активов С помощью прогнозов цен акций, построенных ведущими отечественными и западными компаниями, были вычислены элементы матрицы ожидаемых доходностей для трех временных периодов После этого были проведены расчеты по Ферми- и Больцман-моделям для трех стратегий извлечения дохода, которые продемонстрировали работоспособность предлагаемых моделей как инструментов инвестора на финансовом рынке

В заключении приведены основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе

Основные результаты работы

1 Разработана энтропийная модель инвестиционного портфеля, построенная с использованием методов макросистемного моделирования и проведен анализ свойств модели для разных стратегий извлечения дохода

2 Разработаны модифицированные мультипликативные схемы с адаптивным параметром шага, на основе которых разработаны алгоритмы для численной реализации модели

3 Модель и алгоритмы реализованы в прикладном программном обеспечении, которое может быть использовано в качестве инструмента инвестора

4 Проведено экспериментальное исследование модели на тестовых и реальных данных Исследование показало преимущество разработанного алгоритма с адаптивным итерационным параметром перед алгоритмом, построенным по классической мультипликативной схеме

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1 Бобылев Н А , Попков А Ю О вынужденных колебаниях в системах с оператором Агдтт. // Автоматика и телемеханика, 2002, №11

2 Л ван Виссен, Попков А Ю , Попков Е Ю , Попков Ю С Модель рынка труда с энтропийным оператором (конкуренция когорт) // Экономика и математические методы, 2004, №2, Т40

Попков А Ю Градиентные методы для нестационарных задач безусловной оптимизации // Автоматика и телемеханика, 2005, №6

Попков А Ю Энтропийная модель инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика, 2006, №9

Подписано в печать 25 04 2007 г Исполнено 25 04 2007 г Печать трафаретная

Заказ № 466 Тираж 70 экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш, 36 (495) 975-78-56 а1иогеГега1 ги

Введение

Глава 1. Математические модели формирования инвестиционных портфелей.

1.1. Основные понятия инвестиционной деятельности

1.2. Современные модели и методы.

1.3. Постановка задачи.

Глава 2. Разработка энтропийных моделей формирования инвестиционного портфеля

2.1. Финансовый рынок в условиях неопределенности

2.2. Элементы макросистемного моделирования

2.3. Энтропийная модель инвестиционного портфеля

2.4. Условия оптимальности в моделях инвестиционного портфеля

2.4.1. Стратегия «ни больше, ни меньше»

2.4.2. Стратегия «гарантированный минимум»

2.4.3. Стратегия «смешанное поведение»

Глава 3. Разработка модифицированных мультипликативных алгоритмов для численной реализации моделей.

3.1. Модификация мультипликативных алгоритмов

3.2. Вычислительные алгоритмы реализации энтропийных моделей инвестиционного портфеля

3.2.1. Стратегия «ни больше, ни меньше»

3.2.2. Стратегия «гарантированный минимум»

3.2.3. Стратегия «смешанное поведение»

Глава 4. Экспериментальное исследование энтропийной модели инвестиционного портфеля.

4.1. Программное обеспечение для расчета инвестиционного портфеля

4.2. Экспериментальное исследование модели на тестовых данных

4.3. Моделирование инвестиционного портфеля на основе реальных данных

Актуальность работы

В связи с постоянным развитием финансового рынка, существенно возрастает роль различных методов, позволяющих оптимизировать инвестиции в финансовые инструменты (активы). Основными характеристиками финансовых инструментов являются их доходность и риск, связанный с вложением денег в этот инструмент. Поэтому задача инвестора при вложении денег в конкретный актив в большинстве случаев сводится к анализу именно этих характеристик с целью реализации главной цели инвестирования — получение максимально возможного дохода, при этом как можно меньше рискуя. Для достижения этой цели используется аппарат математического моделирования. Однако всегда возникает вопрос о том, насколько построенная модель адекватно учитывает различные факторы, влияющие на изменение основных характеристик финансовых инструментов. Эти факторы определяют поведение инвестора в различных ситуациях, возникающих на финансовом рынке.

Таким образом, весьма актуальной является разработка методов моделирования инвестиционного портфеля в условиях неопределенности и риска, учитывающих поведение инвестора на финансовом рынке.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является разработка модели инвестиционного портфеля, учитывающей поведение инвестора на финансовом рынке.

Для достижения этой цели в работе решены следующие задачи:

1. Выполнен анализ существующих моделей и методов, применяемых для оптимизации портфельных инвестиций.

2. Предложен поведенческий подход к моделированию, позволяющий учитывать поведение инвестора в различных ситуациях, возникающих при формировании портфеля.

3. Разработана энтропийная модель инвестиционного портфеля.

4. Проведен анализ свойств модели при выборе инвестором различных стратегий извлечения дохода.

5. Разработаны вычислительные алгоритмы для реализации модели, основанные на теории мультипликативных алгоритмов.

6. Разработано прикладное программное обеспечение, позволяющее производить моделирование инвестиционного портфеля.

7. Проведено тестирование модели и вычислительных алгоритмов на модельных примерах.

8. Проведено моделирование инвестиционного портфеля на реальных данных.

Методы исследования

В диссертационной работе использованы методы теории макросистем, теории оптимизации, теории вероятностей, статистической физики.

Результаты, выносимые на защиту

1. Энтропийная модель инвестиционного портфеля, учитывающая поведение инвестора на финансовом рынке.

2. Вычислительные алгоритмы с адаптивным шагом и их экспериментальное исследование на модельных данных.

3. Прикладное программное обеспечение для моделирования инвестиционного портфеля.

4. Моделирование инвестиционного портфеля на основе реальных данных.

Научная новизна работы

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Разработана энтропийная модель инвестиционного портфеля, учитывающая поведение инвестора при вложении денег в финансовые активы. Определены основные стратегии извлечения дохода, а именно:

• «ни больше, ни меньше» — цель инвестора состоит в обеспечении некоторого уровня дохода на всех этапах временного профиля;

• «гарантированный минимум» — цель инвестора состоит в обеспечении дохода не меньше некоторого уровня на всех этапах временного профиля;

• «смешанное поведение» — цель инвестора состоит в обеспечении некоторого уровня дохода на одних этапах и не меньше некоторого уровня - на других.

Получены условия оптимальности разработанной модели при использовании различных стратегий извлечения дохода.

2. Предложена модификация мультипликативных алгоритмов, реализованная в адаптации параметра шага алгоритма к характеру итерационного процесса. Метод использует квадратичную аппроксимацию невязки для вычисления оптимального значения шага. Это позволяет не производить дополнительных вычислений для оптимизации шага на каждой итерации вычислительного процесса.

Практическая ценность работы

Разработан прототип программного обеспечения для моделирования инвестиционного портфеля. Программное обеспечение создано с помощью средства быстрой разработки приложений Borland C-f+Builder™.

С помощью разработанного программного обеспечения было проведено экспериментальное исследование модели на тестовом примере и реальных данных.

Разработанная модель инвестиционного портфеля и вычислительные методы, реализованные в прикладном программном обеспечении, могут быть использованы в качестве одного из инструментов инвестора при формирования инвестиционного портфеля.

Реализация результатов работы

Разработанная модель инвестиционного портфеля и вычислительные алгоритмы использовались в следующих проектах:

1. Программа фундаментальных исследований отделения информационных технологий и вычислительных систем РАН (ОИТВС РАН) «Фундаментальные основы информационных технологий и систем», проект № 2.1.

2. Проект Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) № 02-01-00198.

Апробация работы

Основные положения работы докладывались и обсуждались на VII Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва 2002) и семинаре ИСА РАН «Системный анализ и информационные технологии».

Публикации

Основные результаты, полученные по теме диссертационной работы, опубликованы в 4 печатных работах в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК.

Личный вклад соискателя

Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. Личный вклад соискателя в совместно опубликованных работах составляет 40% общего объема.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 115 страницах машинописного текста, содержит 7 таблиц, 12 рисунков, библиография включает 51 наименование.

Основные результаты состоят в следующем:

1. Разработана энтропийная модель инвестиционного портфеля, построенная с использованием методов макросистемного моделирования и проведен анализ свойств модели для разных стратегий извлечения дохода.

2. Разработаны модифицированные мультипликативные схемы с адаптивным итерационным параметром, на основе которых разработаны алгоритмы для численной реализации модели.

3. Модель и алгоритмы реализованы в прикладном программном обеспечении, которое может быть использовано в качестве инструмента инвестора.

4. Проведено экспериментальное исследование модели на тестовых и реальных данных. Исследование показало преимущество разработанного алгоритма с адаптивным итерационным параметром перед алгоритмом, построенным по классической мультипликативной схеме.

Заключение

В ходе диссертационной работы был выполнен анализ существующих моделей и методов оптимизации портфельных инвестиций. Анализ показал, что существующие модели и методы не учитывают поведенческие аспекты инвестирования.

Для учета влияния поведения инвестора на оптимизацию портфельных инвестиций был предложен поведенческих подход к моделированию, учитывающий поведение инвестора в условиях неопределенности и риска. Этот подход реализован в разработанной энтропийной модели инвестиционного портфеля, учитывающей поведение инвестора в различных биржевых ситуациях.

Для численной реализации модели разработаны модифицированные мультипликативные алгоритмы. Модификация состоит в разработке алгоритмов с переменным шагом, который адаптируется к характеру вычислительного процесса.

Разработан прототип прикладного программного обеспечения; позволяющего производить моделирование инвестиционного портфеля предлагаемыми в диссертационной работе методами. С помощью него было проведено экспериментальное исследование модели.

1. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бэйли В.Дж. Инвестиции. М.: Ип-фра-М, 1997.

2. Килячков А.А., Чалдаева Л.А. Рынок ценных бумаг и биржевое дело: Учебное пособие. М.: Юристъ, 2000.

3. Кидуэлл Д.С., Петерсон Р.Л., Блэкуэлл Д.У. Финансовые институты, рынки и деньги. СПб: Издательство «Питер», 2000.

4. Loosiynian A.M. Stock Index Futures (Buying and Selling the Market Averages). Reading, MA: Addison-Wesley, 1985.

5. Modigliani F., Miller M. The cost of capital, corporation finance, and the theory of investment // American Economic Review. 1958. V. 48 (June). P. 261-297.

6. Miller M., Modigliani F. Dividend policy, growth, and the valuation of shares // Journal of Business. 1961. V. 34 (October). P. 411-433.

7. Markowitz H. Portfolio selection. Journal of Finance. 1952. V.7. P.77-91.

8. Markowitz H. Portfolio selection. Efficient Diversification of Investments. New York: Wiley. 1959.

9. Markowitz H. Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. Cambrige, MA: Blackwell. 1990.

10. Markowitz H. Foundations of portfolio theory. Nobel Lecture // Economic sciences, 1981-1990 / ed. by K.-G. Maler. Singapore. 1992.

11. Kariya T. Quantitative Methods for Portfolio Analysis. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. 1993.

12. Tobin D, Liquidity preference as behavior toward risk // Review of Economic Studies. 1958. V.25. P.65-86.

13. Sharpe W.F. Capital asset pricing: A theory of market equilibrium under conditions of risk // Journal of Finance. 1964. V. 19 (September). P. 425-442.

14. Ross S.A. The arbitrage theory of capital asset pricing // Journal of Economic Theory. 1976. V. 13. P. 341-360.

15. Ширяев Л.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.1 Факты. Модели, Т.2 Теория. М.: ФАЗИС, 1998.

16. Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов: Теория и практика. М.: Дело, 2004.

17. Щукин Д.Ф. О методике оценки риска VAR // Рынок ценных бумаг. №16. 1999.

18. Jordan J. V., Mackay R.J. Assessing Value at Risk for equity portfolios: implementing alternative techniques. Handbook of firm-wide Risk Management, Rod Beckstrom, Alice Campbell and Frank Fabozzi, editors, forthcoming. 1996.

19. J.P.Morgan/Reuters RiskMetrics Technical Document. RiskMetrics Group, 1996.

20. Панков A.P., Платонов E.H., Семенихин К.В. Минимаксная оптимизация инвестиционного портфеля по квантилыюму критерию // Автоматика и телемеханика. 2003. №7.

21. Кан Ю. С. Оптимизация портфеля ценных бумаг по квантильному критерию. В кн.: Финансовая математика / Под ред. Ю.М.Осилова и др. - М.: ТЕИС, 2001, с. 83-105.

22. Величко А.С., Нурминский Е.Л. Прямо-двойственная декомпозиция задачи о репликации портфеля рыночных активов //' Автоматика и телемеханика. 2003. №12.

23. Shannon С.Е. A mathematical theory of communication. Bell System Tech J 27, 1948.

24. Shannon C.E., Weaver W. The Mathematical Theory of Communication. University of Illinois Press, Urbana Chicago, 1949.

25. Cozzolino J.M., Zahner M.J. The maximum entropy distribution of the future market price stock // Operations Research. Vol. 21. 1973. p. 1200-1211.

26. Yamada M., Rajasekera J.R. Portfolio re-balancing with the entropy criteria // Report No. 310, QUICK Research Institute Corp., Tokyo. 1993.

27. Kapur J.N., Kesavan H.K. Entropy Optimization Principles with Applications. Academic Press, Boston, 1992.

28. Jaynes E. T. Information theory and statistical Mechanics. Physical Review 106, 1957. Elton Gruber 1991.

29. Kapur J.N. Maximum entropy models in science and engineering. New Delhi: Wiley Eastern Limited. 1989.

30. Elton E.D., Gruber M.J. Modern portfolio theory and investment analysis, 4th Edition. New York: John Wiley. 1991.

31. Fang S.-C., Rajasekera J.R., Tsao H.-S. Entropy optimization and mathematical programming. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. 1997.

32. Имелъбаев Ш.С., Шмульян Б.Л. Моделирование стохастических коммуникационных систем. Доп. к переводу. — В кн.: А. Дж. Вильсон. Энтропийные методы моделирования сложных систем. — М.: Наука, 1978.

33. Дубов Ю.А., Жусубалиев М.Б. Нормативно-поведенческая модель управления развитием городской транспортной сети. — Динамика неоднородных систем. Материалы семинара. — М.: ВНИИСИ, 1985.

34. Вильсон А. Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем. М.: Наука, 1978.

35. Боровков А.А. Теория вероятностей. М. Наука, 1986.

36. Ширяев А.Н. Вероятность. М.:Наука, 1989.

37. Попков Ю.С. Теория макросистем (равновесные модели). М.: Эди-ториал УРСС, 1999.

38. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964.

39. Прохоров Ю.В. Теория вероятностей. М.: Наука, 1967.

40. Фихтенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М,: Наука, 1969.

41. Феллер У. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1964.

42. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

43. Дубов Ю.А., Имелъбаев Ш.С., Попков Ю.С. Мультипликативные схемы итерационных алгоритмов оптимизации. Доклады АН СССР. Т.28, №2, с.524-526.

44. Popkov Yu. S. Multiplicative algorithms for finding nonegative solution of convex programming problems // Control and Cybernetics, Vol. 24. №2. 1995.