автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.09, диссертация на тему:Разработка аналитических методов синтеза оптимальных траекторий для автономного космического наведения

На правах рукописи

АЗИМОВ Дильмурат Мухамаджанорич

РАЗРАБОТКА АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДЛЯ АВТОНОМНОГО КОСМИЧЕСКОГО НАВЕЛЕНИЯ

Специальность 05.07.09 Динамика, баллистика, управление движением летательных аппаратов

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Ои^1-"-'

Москва - 2007

003061342

Работа выполнена на кафедре «Системный анализ и управление» Московского авиационного института (государственного технического университета, МАИ)

Официальные оппоненты

.Доктор физико-математических наук, профессор Мухарлямов Роберт Гарабшевич, Российский университет дружбы народов (РУДН), г Москва

Доктор технических наук, профессор Почукаев Владимир Николаевич, ФГУП «Центральный научно-исследовательский институт машиностроения», г Королев Московской области

Доктор технических наук Улыбышев Юрий Петрович,

ОАО «Ракетно-космическая корпорация «Энергия» им С П Королева»,

г Королев Московской области

Ведущая организация - ФГУП "Науч'но-Производственйое Объединение'им С А Лаг вочкина"

Защита состоится 200 г. в часов на заседании диссертационного

Совета Д 212 125 12 в Московском Авиационном Институте (государственном техническом университете) по адресу 126993, г Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д 4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МАИ. Автореферат разослан 2007 г

Ваш отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью, просьба направлять по адресу. 12S993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д 4

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

^арнопых В В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Работа посвящена повышению эффективности осуществления маневров, которая существенно зависит от характерисшк бортовой системы наведения, обеспечивающей функционирование космических аппаратов (КА) Наведение обеспечивается в реальном масштабе времени, в частности, автономным образом на активных участках (АУ) траекторий маневров выхода на промежуточна орбиту, перехода на межпланетную траекторию, входа в орбиту паркования и посадки на требуемой местности на повехности небесного тела и др

Проблема автономного наведения может быть описана следующим образом Пусть в некоторый момент времени it задано текущее состояние КА, которое характеризуется некоторыми огкпопениями параметров КА от их номинальных значений Требуется найти такие управ тяющие воздействия, которые приводят КА из этого состояния в назначенное состояние в момент времени h, и чтобы все или часть параметров КА имели бы отклонения от номинальных значений в заданных пределах

Решение этой проблемы включает рассмотрение следующих частных подпроблем 1) определение требуемой траектории движения, 2) построение законов изменения управляющих параметров, т е алгоритмов управления, которые обеспечивают полет по требуемой траектории Эти подпроблемы могут быть решены построением необходимых активных участков (АУ) и синтезом требуемой номинальной траектории маневра

Решение проблемы автономного наведения обеспечивается бортовой системой наведения, которая является частью системы управления полетом и основным элементом которой является бортовой компьютер Разработка, обоснование и внедрение методов синтеза оптимальных номинальных траекторий для бортовых систем наведения КА и представляет собой основную цель данной работы

Рассмотрим важнейшие особенности бортовых систем наведения КА, такие как

- энергетические затраты на осуществления маневра, -способность функционирования в длительных интервалах времени,

- обеспечение непрерывного изменения параметров КА,

- простота и точность закона наведения

Энергетические затраты в процессе наведения зависят от числа и длительности АУ траектории Поэтому, выбор приемлемого алгоритма управления на АУ является очень ваокным и актуальным требованиями при разработке системы автономного наведения Новейшие двигательные системы характеризуются, в частности, управляемостью и большой величиной удельного импульса, надежностью, длительностью функционирования и эффективностью использования рабочего тела Уже осуществленные проекты, такие как "Плазма "Deep Space 1 (DS1)"wih планируемые проекты "Марс-Фобос-Грунт "Пламя"!! VASIMR (Variable Specific Impulse Magnetoplasma Rocket) успешно демонстрировали эффективность новейших электрических и магнетоплазменных двигателей Такие двигатели могут производить управляемый удельный импульс, достигающий до 100000 секунд, что превышает удельный импульс химических двигателей в среднем до 200 раз Развитие таких систем обусловило необходимость пересмотра известных законов наведения, построенных для коротких АУ движения и создание новых законов наведения для активных участков с протяженностью до нескольких месяцев, а также разработки адекватных

методов синтеза траекторий КА

Обеспечение непрерывного изменения параметров КА гесно связано с вопросом сходимости итерации в реальном масштабе времени Чисзенные методы позволяют учес!ь эффекты неосновных tравитир}ющих тел и дают возможность быстро решать комплексные задачи полета, моделирование которых в рамках задачи оптимизации практически невозможно Однако, при численном интегрировании возникают проблемы сходимости и непрерывности параметров, так как значения параметров в конце некоторого участка тя1 и и в начале следующего участка траектории могут быть не равны между собой из-за неизвестности соответствующих множителей Лагранжа в начальной точке второго участка Приравнивание значений параметров в этой точке потребует неизвестное число итераций, что, в общем, может занимать память и время бортового компьютера Проинтегрированные таким образом траектории не всегда могут обеспечить непрерывное автономное наведение Следоватечьно, развитие алгоритмов, не требующих решения проблем сходимости параметров имеет важное значение для успешнего решения задачи наведения

Простота и точность закона наведения являются важнейшими требованиями для бортовых систем наведения, так как известные законы наведения, развитые для различных маневров основаны на существенных упрощениях в моделировании движения КА К атим упрощениям относятся, в частности, замена вектора гравитационного ускорения и/или реактивного ускорения постоянным вектором, импульсное изменение скорости без изменения положения КА и другие Например бортовой компьюгер спускаемых аппаратов миссий "Аро11о"в 1969-1972 годах использовал среднее ¡начение гравитационного ускорения при автономном наведении (Average G guidance), или текущие расчеты по проекту "Научная Лаборатория по Марсу агенства NASA"("NASA Mars Science Laboratory") предполагают постоянное и линейное изменение реактивного ускорения при посадке на повехность Марса Однако, внедрение новых двигательных систем и комплексные цели полетов привели к развитию новых и более точных законов наведения Повышение точности этих законов может быть достигную путем снятия выщеупомянутых упрощений в моделировании движения КА и установления явных зависимостей между указанными параметрами

Резюмируя вышесказанное, отметим, что система и алгоритм автономного наведения КА должны удовлетворять, в частности, следующим требованиям

- должно быть обеспечено необходимое соответствие между алгоритмом наведения и характеристиками двигателя,

- алгоритм должен быть простым и надежным с точки зрения его реализации,

- должна быть достигнута необходимая точность и приемлемые энергетические затраты,

- способность обеспечения решения задачи наведения на любом участке траектории с любыми значениями параметров КА, включая те, которые сильно отклонены от номинальных значений

Преимущества аналитический решений Вышеприведенные требования для разработки систем автономного наведения указывают на важность наличия номинальных (или опорных) траекторных решений, которые выражаются аналитически Преимущество наличия таких решений по сравнению с численно построенными решениями состоит в том, что аналитические решения не связаны с вопросами сходимости, позволяют заранее опре-

де шть ндчапьныр значения множите тей Ла1рянжа, обеспечивают непрерывность параметров траектории при изменении режима тяги и содержат важные функциональные •зависимости между параметрами КА и траектории В совокупности, эти качества аналитических решений вместе с концепцией наведения на основе номинальной траектории позволяют анализировать поведение параметров К А, построить законы наведения, а также качественно оценить точность алгоритма управления

Здесь отметим, что существуют два типа систем наведения Первый тип этих систем строится на принципах программного управления и функционирует по методу "жестких" траекторий Эти системы обеспечивают движение КА по заранее рассчитанной номинальной траектории Недостатками этого типа систем управления являются трудность оперативного перехода на новую траекторию при изменении условий или целей наведения и значительные динамические ошибки управления При наличии аналитических решений эти вопросы исключаются путем правильного выбора констант движения и решением уравнений непрерывности в точках изменения режима тяги

Второй тип систем управления строится на принципах терминального управления и реализует наведение по методу "ги<жш;"траекторий Система управления в соответствии с целью наведения и на основе текущих параметров КА сама формирует программу изменения тяги в реальном масштабе времени Эта программа может быть сформирована при помощи явных зависимостей, которые составляют основу аналитических решений

Как видно, закон наведения в обеих системах может быть построен на основе соответствующих аналитических решений вариационной проблемы оптимизации

Существуют также другие подходы к наведению, такие как наведение по достижению заданной скорости, наведение по заданной цели, наведение по заданным эксцентриситету и большой полуоси орбиты, наведение на основе комбинации навигациоиных измерений и другие Преимущества при выборе наведения по номинальной траектории заключается в осуществлении наведения как решение проблемы оптимизации, которое обеспечивает приемлемую точность, простоту бортовых алгоритмов и явную связь между параметрами проблемы

Начиная с 50-х годов, вопросам аналитического решения проблемы оптимизации посвящены работы многих известных ученых и инженеров -специалистов Однако, несмотря на многочисленные исследования, к настоящему времени не существует общей теории или метода аналитического построения АУ и синтеза оптимальных траекторий для бортовых систем наведения, оценки их оптимальности, критерия их применимости в планировании маневров

Таким образом, актуальность данной работы обусловлена тем, что планируемые и будущие полеты КА с новейшими двигателями должны быть оснащены бортовыми системами с простыми и надежными алгоритмами управления с требуемой точностью, и с другой стороны, к настоящему времени пока не существует общего метода аналитического синтеза оптимальных траекторий или теории построения законов наведения для реализации на АУ в реальном масштабе времени

Цель работы. Получение новых аналитических решений для АУ произвольной тяги и синтез номинальных оптимальных траекторий, а также анализ и доведение траекторных решений до практическою использования в бортовой системе автономного иаведения Обьект исследования. АУ с постоянной или переменной тягой, а также оптимальные

и экстремальные траектории межорбигатьных пере ютов

Предмет исследования. Вариационная проблема оптимизации траекторий центра масс КА, управление движением на АУ, анататические решения дчя АУ, а также условия для изменения режима тяги

Методы исследования.

• Управляемое движение КА описано уравнениями, составленными иа основе метода математического моделирования,

• Необходимые и достаточные условия оптимальности траекторий получены на основе методов вариационного исчисления и оптимального управления,

• Решения дифференциальных уравнений вариационной проблемы получены при помощи методов интегрирования аналитической механики, таких как методы понижения порядка канонической системы, Пуассона, Гамильтона-Якоби,

• Экстремальные траектории перелетов получены на основе предложенной в работе методологии аналитического синтеза оптимальных и экстремальных траекторий,

• Решения для участков промежуточной тяги получены на основе предлагаемой в данной работе методики применения метода Якоби,

• Решения различных задач перелетов получены на основе ра?работанной методики применения аналитических решений для АУ

Научная новизна работы заключается в следующем

• новые классы аналитических решений вариационной проблемы оптимизации траекторий КА для АУ оптимальных и экстремальных траекторий в центральных гравитационных полях,

• новая методология аналитического синтеза оптимальных и экстремальных траекторий с наличием АУ для космической навигации и наведения,

• алгоритмы законов наведения на АУ с произвольными мощностью и удельным импульсом для внедрения в бортовых системах управления,

• новая методика применения аналитических решений для АУ в планировании маневров,

• метод определения числа и последовательности АУ для межорбительных перелетов,

• вариационная проблема оптимизации траекторий КА сведена к решению уравнений непрерывности параметров задачи в точках переключения тяги

Практическая значимость работы. Предложенные в работе методология, методы и алгоритмы прикладных програм по построению АУ и синтезу оптимальных траекторий составляют методическую основу для решения проблем автономного наведения для бортовых систем управления Разработанная методология аналитического синтеза оптимальных траекторий позволяет быстро анализировать поведение параметров, повышать точность и надежность расчетов, оценивать отклонения фактических параметров траектории от номинальных и строить требуемые законы наведения Предлагается обобщение

вариационной проблемы оптимизации траекторий КЛ с постоянным удельным импульсом в постановке Лоудена на с чу чай движения с переменным удельным импульсом и максимальной мощностью Почучена формула определения числа АУ па оптимальной траектории Разработанная методика применения аначитнческих решений для А^ позволяет определить координаты точек изменения режима тяги

Совокупность результатов, полученных в работе можег быть кчассифицироваиа как новое перспективное направление в причожениях методов теоретической механики в динамике почета, охватывающее анализ любых АУ и решающее проблему синтеза оптимальных и экстремальных траекторий в целях построения и реализации законов наведения

Данное направление основано на преимуществах наличия аналитических решений для АУ, которые носят взаимодопочняющий характер по отношению к численным решениям проблемы оптимизации С другой стороны, данное направление является соединительным гсеном между вариационной проблемой оптимизации траекторий и проблемой автономною наведения

Достоверность результатов Методы, подходы и уравнения, используемые в работе базируются на широко известных и проверенных методах и подходах вариационного исчисления и оптимального управления (первый и второй дифференциалы функционала вариационной задачи), теории дифференциальных уравнений (теорема существования и единственности решений дифференциальных уравнений), теоретической и аналитической механики (методы понижения порядка канонической системы, Пуассона, Гамильтона-Якоби) Достоверность граекторных решений подтверждается подстановкой этих решений и соответствующих первых интегралов в уравнения проблемы и получением тождественных отношений, а также существующим опытом решения систем нелинейных алгебраических уравнений

Точность математического моделирования управляемого движения КА устанавливалась на основе известной практики моделирования движения управляемых механических систем и ограничений, наложенных на параметры двигательной системы КА

Численные результаты, полученные в проблемах перелетов с использованием различных участков тяги, сравнивались с известными результатами задач численной оптимизации траекторий различных маневров Сравнения подтвердили идентичность или близость результатов аналитического и численного интегрирования канонических уравнений задачи

На защиту выносятся

1 Новое решение вариационной проблемы об определении оптимальных траекторий центра масс КА в центральных гравитационных полях,

2 Вывод, о том, что в контексте рассмотренной в работе вариационной проблемы, оптимальными являются АУ только с максимальной мощностью и постоянным удельным импульсом, а участки с переменной мощностью и переменным удельным импульсом не являются экстремалями проблемы (Теорема 2 2),

3 Новая методология аналитического синтеза оптимальных и экстремальных траекторий,

4 Новые классы аналитических решений для тоских и пространственных участков движения с максимальной мощностью и переменным удельным импульсом, с переменной мощностью и постоянным удельным импульсом, и с постоянной мощностью и постоянным удечьным импульсом Основные свойства этих решений (теоремы 3 1,4 14 5, 5 1,6 1-6 3),

5 Новая методика применения аналитических решений для АУ при планировании межорбитальных перелетов КА,

6 Вывод, о том, что синтез оптимальных и экстремальных траекторий КА производится на основе только частных решений проблемы оптимизации для АУ, а общее решение этой системы имеет только теоретическое значение,

7 Новая функциональная зависимость, установленная между числом АУ и числом констант движения на этих участках (Теоремы 7 1-7 3),

8 Вывод, что синтез оптимальных траекторий КА зависит от разрешимости уравнений непрерывности параметров КА в точках переключения режима тяги,

9 Новые решения синтеза траекторий следующих маневров

• перелет между элчиптическими орбитами при помощи участка малой тяги с постоянным удельным импульсом,

• перелет между эллиптическими орбитами при помощи участка малой тяги с переменным удельным импульсом,

• перелет с заданного положения на эллиптическую орбиту паркования при помощи участка малой тяги с переменным удельным импульсом,

• поворот плоскости эллиптической орбиты при помощи сферического участка промежуточной тяги с постоянным удельным импульсом,

• перелет между круговыми орбитами при помощи двух участков максимальной тяги с постоянным удельным импульсом,

Реализация и внедрение результатов работы. Полученные теоретические и практические результаты, разработанные методы и методология использовались и применялись при проведении ряда проектно-баллистических анализов, в научно-исследовательских и инженерно-конструкторских работах, а также в учебно-методических работах, в частности

• В лаборатории "Баллистики ракет- научно - производственного объединения "Коинот-Узбекского Государственного Агенства "Узбеккосмос" При проведении проектно -баллистических анализов по проекту "Оптимизация траекторий космических аппаратов и ракет"рассматривались задача о максимизации дальности полета ракеты и проблема использования участков промежуточной тяги в оптимальных перелетах между эллиптическими орбитами Использование полученных в работе результатов при решении этих проблем позволило оценить поведение параметров траекторий (таких как вектор состояния, секундный расход массы, угол запуска, вектор тяги) и существенно сэкономить количество человеко-часов, отведенных для анализа указанных параметров,

• В научно - исследовательских работах (НИР) кафедры теоретической и пришадной механики Национального Университета Узбекистана по определению аналитических решений для АУ и их применению в проблемах динамики полета Тема НИР кафедры "Вопросы управления, оптимизации и интегрирования уравнений в механике" Номер регистрации 01860082586 Полученные в работе результаты использовались для проверки значений параметров траекюрии и постоянных интегрирования, а также достоверности результатов дипломных работ студентов старших курсов,

• В Отделении Механики Полета (Flight Mechanics Division) Кос мического Центра имени Линдона Джонсона (Johnson Space Center) Национальной Администрации по Аэронавтике и Астронавтике США (NASA) при проведении инженерно - конструкторских работ в проекте по возвращению образцов грунта Марса на заданную слабо - эллиптическую орбиту паркования при помощи малой тяги с переменным удельным импульсом Указанные работы проводились в рамках контракта по исследованию АУ, заключенном между Техасским университетом и Космическим Центром имени Линдона Джонсона (JSC), NASA Номер контракта NAG9-1225 В частности, была поставлена проблема построения траектории возвращения грунта, начиная со входа в сферу влияния Земли и перевода КА на орбиту паркования с учетом пролета через радиационный пояс и возможной минимизации получаемой дозы радиации в случае пилотируемого полета Для решения этой проблемы использовались полученные в данной работе аналитические решения для участков малой тяги Эти решения позволили оценить поведения основных параметров траектории и КА, таких как удельный импульс, величина и направление тяги, общее время полета, орбитальные параметры и их зависимость от параметров КА На основе этих оценок выработаны рекомендации по управлению удельным импульсом и направлением тяги Кроме того, применение результатов работы позволило проанализировать различные варианты выбора орбиты паркования и длительность прохождения через радиационный пояс на основе параметров траектории Это позволило оценить различные уровни дозы радиации, получаемой экипажем КА при полетах по различным траекториям через радиационный пояс В целом, использование результатов работы в данной проблеме позволило качественно оценить параметры КА и траектории, уровень дозы радиации, и на основе этих оценок анализировать возможные размеры орбиты паркования Использование результатов данной работы также продемонстрировало эффективность разработанной в работе методологии синтеза оптимальных траекторий в смысле экономии машинного времени, обычно отводимый для десятки и сотен тысяч итераций по построению желанных траекторий

• В Отделении аэрокосмической техники и инженерной механики (Dept of Aerospace Engineering and Engineering Mechanics) Университета Техаса г Остин ( University of Texas at Austin) в проекте "Наведение, Навигация и Управление"(Сшс1апсе, Navigation and Control) в рамках контракта, заключенного между упомянутым отделением и Космическим Центром имени Линдона Джонсона (JSC), NASA Номер контракта NAG9-1225 Целью исследований было улучшение точности известных решений наведения КА при помощи АУ, в которых гравитационное ускорение является линейной функцией радиус вектора, что значительно повышает точность математической мо-

дели полета ( например, Ричард Бэттин (Richard Battm), директор секции наведения и навигации по программе "Apollo предлагал использовать импульсы [¡место АУ и постоянное гравитационное ускорение) Рассматривалась проблема перелета между заданными ко-центрическими круговыми орбитами при помощи двух АУ В анализах проблемы применялись новые аналитические решения, почученные в работе дтя участков максимальной тяги с ненулевой длительностью Было достигнуто минимальное значение критерия оптимизации (безразмерной характеристической скорости), которое отличается от известного Гомановского импульсного перелета только на 10~3 процентов Результаты решения проблемы предложены для использования в решении различных задач наведения при перелете между заданными орбитами Кроме того, эти результаты даны по требованиям контракта в отчетных документах по контракту и опубликованы в журналах "Journal of Spacecrafts and Rockets"and "Автоматика и Телемеханика",

В Лаборатории Современных Двигательных Систем (Advanced Propulsion Systems) Космического Центра имени Линдона Джонсона (JSC), NASA при проведении про-ектно - баллистических анализов Рассматривалась задача определения оптимальных траекторий грузового КА, оснащенного электро - магнегоплазменным двигателем ' (VASIMR) и созданного для полетов на Марс и другие планеты, краткосорочное нахождение на околопланетных орбитах и возвращения с этих орбит на околоземную орбиту Поведения параметров сравнивались с численно интегрированными траекториями При этом, полученные в данной работе результаты использовались как первое приближение для получения желаемых параметров КА, орбит паркования вокруг Марса и Земли Кроме того, использование результатов работы продемонстрировало надежность и правильность получения начальных значений множителей Лагранжа Эти сравнения позволили выработать рекомендации rio изменению удельного импульса, оценки начальной массы КА и направления тяги с целью улучшения критерия качества и численных траекторий в целом

В учебно - методических работах с группами студентов старших курсов кафедры теоретической и прикладной механики Национального Университета Узбекистана и Отделения аэрокосмической техники и инженерной механики (Dept of Aerospace Engineering and Engineering Mechanics) Университета Техаса г Остин (University of Texas at Austin) при анализировании аналитических решений для АУ с целью построения опорных траекторий для проблемы наведения В частности, аналитические решения использовались для построения орбит перелета между заданными эллиптическими орбитами на основе разработанной методологии синтеза опорных траекторий и сравнивались с соответствующими импульсными перелетами Эти сравнения продемонстрировали простоту использования аналитических решений, достоверность и правильность упомянутой выше методологии, а также практическую важность наличия постоянных интегрирования Эти работы проведены в рамках курса "Избранные проблемы оптимизации траекториЙ"("Тор1С8 in trajectory optimization"), прочитанном автором работы для студентов старших курсов Университета Техаса в весеннем семестре 2005 года,

В научно-исследовательских работах по проекту "COPERNICUS"b рамках текущего

контракта между Техасским универсигеюм и Космическим Центром имени Линдона Джонсона (JSC), NASA по построению шбридной системы программного обеспечения по оптимизации траекторий с конечной гягой Целью использования результатов работы в данном проекте было тестирование правильности аналитических решений Д1Я участков с посюянным удельным импульсом, а также определение начальных шачений множителей Ла1ранжа для численного итерирования уравнений проблемы оптимизации перелета между заданными эллиптическими орбитами Результаты сравнивались с соответствующим численным интегрированием АУ в рамках проблемы параметрической оптимизации Использование результатов работы продемонстрировало эффективность упомянутой методологии в смысле экономии машинного времени, позволило определить начальные значения множителей Лагранжа и рассчитать траекторию, близкую к реальной траектории, нолученной при помощи численной оптимизации Продемонстрированы полезность и важность аналитического определения начальных значений множителей Лагранжа Материалы работы были приняты в проект для последующего анализа и интегрирования в системы программного обеспечения данного проекта

Внедрение результатов работы подтверждается соответствующими актами о внедрении, которые содержатся в деле диссертации

Аппробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конгрессах, конференциях, симпозиумах и семинарах

• Всемирный Конгресс ио Астродинамике Houston, Texas USA 2002 г

• Международный Симпозиум по динамике космического полета Pasadena, California USA 2001 г

• Конференции по механике космического полета Cleai water, Florida USA 2000 г и San-Antomo, Texas USA 2002 г

• Международный Симпозиум по аэрокосмической технике Ankara Turkey 1996 г

• Международная конференция по предотвращению астероидной опасности Институт теоретической аС1рономии Санкт-Пегербург Россия 1998 г

• Ежегодные научно-практичекие конференции агенства Узбеккосмос Ташкент Узбекистан 1995-1997 гг (Всего 3)

• Научные семинары по управлению и динамике полета Center for Space Research The University of Texas at Austin Austin, Texas USA Февраль-Май (всего 6), 1999 г Руководители Проф В Tapley и проф R Bishop

• Научный семинар по двигательным системам и оптимизации траекторий Division of Advanced Propulsion Johnson Space Center NASA Houston Texas USA 2001 г Руководители Др Chang-Diaz и проф R Bishop

• Научные семинары по навигации, управлению и динамике Department of Aerospace Engineering and Engineering Mechanics University of Texas at Austin Austin, Texas USA 2001-2004 гг Руководитель Проф D Hull (всего 4)

• Научный ссмпнар по оптимизации межпланетных траекторий Texas Л and М Uimersity College Station, Texas USA 2001 г Руководитезь Проф S Vadah

• Научный семинар по гамильтоновым динамическим системам Department of Mathematics The University of Texas at Austin Austin, Texas USA 2002 г Pj ководитель Проф P Llave

• Научный семинар группы по изучению задачи возвращения образцов с поверхности Марса при помощи двигателей малой тяги Lunar Research Institute Johnson Space Center NASA Houston, Texas USA 2001 г

• Научный семинар Института механики и сейсмостойкости сооружений 2002 г Ташкент Узбекистан Руководитель Академик АН РУз О В Лебедев

• Научный семинар кафедры теоретической и прикладной механики Национальный Университет Узбекистана Ташкент Узбекистан 2002 i Руководитель Проф А Б Бегматов

• Научный семинар Institute for Computational Mathematics and Engineering Sciences The University of Texas at Austin Austin, Texas USA 2003 г Руководитель Проф L Demkovitz

• Симпозиум по астродинамике, посвященный юбилею проф John Junkins Texas A and М University College Station, Texas USA 2003 г

• Научный семинар кафедры оптимального управления Национальный Университет Узбекистана Ташкент Узбекистан 2003 г Руководитель Академик АН РУз Н Ю Сатимов

• Научный семинар кафедры теоретической механики Российский Университет Дружбы Народов Москва Россия 2003 г Руководитель Проф РГ Мухарлямов

• Всероссийские конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии Российский Университет Дружбы Народов Москва, Россия 18-22 апреля, 2005 г, 17-21 апреля, 2006 г

• Международные конференции "New Trends m Astrodynamics and Applications II" Princeton University Princeton, New Jersey USA June 3-5, 2005 r, August 16-18, 2006 г

• Международные конференции "Системный анализ, управление и навигация" Секция "Баллистики и динамики полета" Крым, Евпатория Украина 3-10 июля, 2005 г, 2-9 июля, 2006 г

• Научные семинары кафедры системного анализа и управления Московский Авиационный Институт Москва, Россия 2005, 2006 гг Руководитель Проф В В Малышев

Кроме того, результаты работы обсуждены в Московском Государственном Университете (И С Григорьев) (2003 и 2004 гг), в Институте Проблем Управления РАН (В И Ма-гюхин) (2003 и 2004 гг), в Российской Ракетно-Космической Корпорации "Энергия"(Ю И

N 1ыбышев)(2003 i )

Публикации Диссертация представляет собой развернутое изложение материалов исследований и соответствующих результатов, включенных в печатные работы автора |1-32| 13 из э1их работ опубликованы в следующих и даниях, рецензируемых ВАК Минобрнауки России Сборники трудов Ташкентского госуниверситста им В И Ленина (1988, 1990), Прикладная Математика и Механика (1996, 2000), Автоматика и Телемеханика (2005, 2007), AIAA Journals (2000, 2001 (2), 2002, 2003), Advances m the Astronautical Sciences (2002, 2003) Применение полученных результатов при планировании маневров отражено в работах [33-36] (список публикаций приведен в конце автореферата) Результаты работы опубликовны в реферируемых журналах и сборниках Ташкентского Государственного Университета, Академии Наук Узбекистана, Российской Академии Наук, American Institute of Aeronautics and Astronautics, American Astronautical Society, New York Academy Основная часть работ, связанных с публикациями статьей в сооавторсгве, включая постановку проблем, развитие научных идей, проведение научно-исследовательских работ и численных расчетов, получение и анализ результатов и набор текстов статьей принадлежат автору

Соавтору работы [4] Мирмахмудову Е принадлежат обеспечение данных по орбитам астероидов в ходе исследований и обсуждения результатов работы Соавторам работы [5) Мирмахмудову Е и Самусенко ТИ принадлежат тестирование программ и обеспечение данных наблюдений планет и обсуждение результатов работы Соавтору работ [23-32] РХ Бишопу (RH Bibhop) принадлежат выдвижение научных идей и обсуждение их роли в оптимизации траекторий, анализ и интерпретирование результатов с точки зрения современных требований планирования полетов, редакционные корректировки с целью улучшения текстов статьей

Структура и обьём работы. Диссертация состоит из введения (глава 1), состоящего из 5 параграфов, 7 глав (главы 2-8), разбитых на 50 параграфов, заключения (глава 9), приложения (глава 10) и списка литературы Диссертация содержит 332 страниц текста, 64 рисунков, 13 таблиц

Содержание работы

1. Общая характеристика и постановка проблемы.

Первая глава содержит введение, в котором описывается актуальность темы работы, обосновывается необходимость рассмотрения участков малой тяги наряду с участками нулевой и большой (промежуточной и максимальной) тяг Анализируется современное состояние вариационной проблемы определения оптимальных траекторий, включая исследования активных участков, а также даются общая стратегия, принятая в работе, и соответствующие основные подпроблемы

Основная проблема, которая исследуется в работе состоит в получении новых аналитических решений для оптимизации траекторий центра масс КА для АУ с произвольной тяюй, в синтезе оптимальных и экстремальных траекторий межорбитальных перелетов, а

также и создании соответствующих атгори1мов изменения управляющих параметров длл бортовых систем наведения В связи с им возникают стелуюшпе основные подпроб гсмы

Основные подпроблемы

• Вывод новых аналитических решений для АУ,

• Разработка методики применения аналитических решений для АУ при синтезе траекторий маневров

• Разработка методологии аналитического синтеза оптимальных траекторий, включая определение структуры траекторий, те определение числа активных и пассивных участков, а также координат точек изменения режима тяги,

• Синтез номинальных траекторий межорбитальных перелетов КА, а также построение законов изменения управляющих параметров и соответствующих алгоритмов для реализации этих законов в реальном масштабе времени и для предварите тьной оценки кинематических и динамических параметров КА в планировании маневров,

• Разработка и тестирование системы про[раммного обеспечения по опредетению АУ, оптимизации и синтезу номинальных траекторий маневров дня наземных и бортовых систем наведения

Во второй главе рассматривается вариационная проблема, постановка которой отличается от известной в динамике полета постановки Лоудека уравнениями связей В рамках этой же постановки проблемы, рассматриваются связи, которые характеризуют системы ограниченной мощности (электрические, плазменные и др ) и химические системы Наличие таких связей позволяет рассматривать участки малой тяги наряду с участками нулевой и большой тяг, тем самым расширить круг участков тяги, известный в рамках традиционной вариационной задачи Формулируется и доказывается теорема об использовании аналитических решений для определения наличия сопряженных точек на соотвествующих участках тяги (Теорема 2 1) Определены типы участков, которые могут быть оптимальными в зависимости от значений дополнительных управляющих переменных (Теорема 2 2) Классифицированы возможные участки тяги, производимые двигателями малой и большой тяг Дана методология аналитического определения экстремальных траекторий, основанная на исследовании необходимых условий оптимальности, уравнений непрерывности в точках разрыва управлений и определении структуры траектории Эта методология служит инструментом выделения экстремальных траекторий, которые представляют собой опорные траектории, используемые в проблеме наведения

Ниже дается постановка проблемы диссертационной работы

Рассмотрим центр масс космического аппарата (КА), движущегося в центральном ньютоновском поле как точку переменной массы Пусть движение этой точки изучается относительно инерциальной системы координат OXYZ, центр которой совпадает с центром притяжения Движение точки в любой момент времени определяется радиус вектором г(х1,х2,Жз), вектором скорости \{ха,х$,Хъ), а также массой т, которую обозначим через х7 Вектор функция состояния х = (хь^г, ,17), х(г) € К'7) рассматривается абсолютно дифференцируемым на интервале [¿о,' Де ¿о и - начальное и конечное времена движения рассматриваемой точки Будем предполагать, что х„ (г = 1, , 7) непрерывны, но их производные, в общем случае, могут иметь разрывы

Пусть движение рассматриваемой точки описывается следующими дифференциальными уравнениями первого порядка

и 2Р

V = —-г +7-е,

г3 1,рдт

(1)

2 Р

т =

где е(е11е2,е3) - единичный вектор тяги, 1зр - удельный импульс, Р - мощность, которая определяется формулой Р = ¿/31%рд2, /3 - секундный расход массы, д - ускорение свободного падения, которое считается постоянным Вектор функция и = (Р, 1,р, е) называется вектором управления (или просто управлением) Компоненты и определены на том же интервале времени [¿£>,¿1] и предполагаются кусочно непрерывными функциями Обозначая компоненты и последовательно через щ, (г = 1, ,5), отметим, что правые части уравнений системы (1) обладают непрерывными частными производными достаточно высокого порядка но отношению ко всем составляющим вектор функций х и и

Также предположим, что компоненты управления и удовлетворяет связям вида

= е\ + е] + е\ - 1 = О,

ф2 = Р(РтаХ - Р) - I2 = 0, (2)

Фз = (1вр,тах — 1зр){1ар ~ Ьр,тт) ~ ??2 — О,

1де 7 и 7; являются дополнительными управлениями Тогда управляющяя функция пред-(гавляется как и = [Р 1ар е\ е2 ез 7 '?]Т > иО 6 Кроме юго, вектор функции Ф = (ФьФг. ,Ф„)> * € Я1(,1), Г = (РЬГ2, ,Р,а), ? 6 и Ф = (ФьФ2,Ф3), Ф 6 являются непрерывными и обладают непрерывными частными производными достаточно высокого порядка по всем арг> ментам

Пусть начальное время ¿0 фиксировано и при ¿о начальное состояние удовлетворяет 91 уравнениям связей, те

¿ = ¿0, Ф|(яо1,Яог, , х07) = 0, ¡ = 1, ,9ь 91 < 7 (3)

В конечное время £1 компоненты вектора состояния удовлетворяют 92 уравнениям связей

Рт(хц,Х12, ,art7.il) = о, т = 1, ,92, (?2 < 7 + X (4)

Здесь предполагается, что q^ и <й компонентов начального и конечнего векторов состояния могут быть выражены соответственно через 7-91 и 7 - 92 компонент, которые подлежат определению вместе с конечным временем <1 Определяем функционал С в виде

С — Л^Х1т+1,Х1т^2, ,£1,7,21) (5)

Здесь скалярная футгкция 3 предполагается непрерывной ■■ обладающей непрерывными частными производными достаточно высокого порядка по всем аргументам

Тогда нашей проб1емой является следующее Среди кусочно-непрерывных управлений Р,/ар,е и непрерывных вектор функций г, V, а также скалярной функции т, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (1) и уравнениям связей (2), необходимо найти

такие, которые перевели бы рассматриваемую точку переменной массы из начального состояния, заданного равенствами (3) в конечное состояние, заданного равенствами (4), минимизируя при этом функционал (5)

Сформулированная выше вариационная проблема дана в постановке, являющейся альтернативной постановке Лоудена (см разделы 2 9,2 10), который в основном рассматривал движение КА с химическими двигателями большой тяги Данная постановка проб темы отличается от постановки Лоудена уравнениями связей, которые характеризуют системы с малой и большой тягами, и заданием граничных условий Тем самым вариационная проб тема обобщается на случай участков малой тяги

Эта проблема является основной проблемой диссертационной работы и все резутьтаты работы получены в контексте этой проблемы

Предполагается, что уравнения (1) удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решений В контексте поставленной выше проблемы, в диссертационной работе рассматриваются слабые вариации векторов состояния и управления, и соотвест-венно, слабые экстремальные траектории

Метод решения проблемы В данной работе Лагранжев формализм решения вариационной проблемы (1-5) развивается на основе методологии синтеза оптимальных и экстремальных траекторий, в контексте которой лежит привлечение методов аналитической механики (см раздет 2 1)

Ниже будем пользоваться следующими определениями (см раздел 2 11) Определение участка малой тяги Участком малой тяги называется отрезок траектории, на котором при наличии ограничений Р < Ртах, I,p¡mtn < I,p < I,Plmai, отношение тяги Т к весу W и удельный импульс имеют значения ^ < 1 и > 1000

Определение участка большой тяги Участком большой тяги называется отрезок траектории, на котором при наличии ограничений Р < Ртах, /,р тт < hP < I,p,maxi отношение тяги Т к весу W и удельный импульс имеют значения ^ > 1 и /,р < 1000

Нетрудно видеть, что упомянутые ограничения на мощность и удельный импульс, в принципе включают в себя ограничения вида 0 < 0 < ¡3max, Iap = const, которые, как известно, характеризуют химические двигатели

Изложение основных результатов.

На основе анализа необходимых условий оптимальности, включая условие Вейершграсса можно показать, что

1) на АУ вектор тяги направлен по базис вектору Л,

2) Если принять х = ^ер9 - М, то необходимо, чтобы

• X < 0 на участках нулевой мощности, где Р — 0

• X = 0 на АУ, где 0 < Р < Ртах и I¡T = I¡Pm¡xx или 1,р = /,Ртш

• X > 0 на активных участках, где F = Ртах и 1,Ртт < 1,р < 1,Ртах

• X > 0 на АУ, где Р = Ртах и I,p = 1яРтах или 1,„ = 1,Ртт

Здесь х называется функцией переключения

Рассмотрение этих участков приводит к следующей классификации АУ (раздел 2 12) [22]

• Участки путовой тяги (мощности) Т = О (Р = 0)

• Активные участки

Т,

mm —

mm

'•Vmiu.3

- Участки промежуточной тяги

* Hnvuatt Р — Р а Т rnnet Т с' Г <

sPtnax

hp < ItPmax

- Участки максимальной тяги Р = Рт„ и Isv =

max

SP ~ 'spmm

Tr

Все АУ, описанные выше, могут представлять собой участки малой тяги или участки большой тяги в зависимости от значений отношения тяги к весу и удельного импульса При Р — Ртах и с = Ispg = const, минимизация интеграла f af(t)dt эквивалентна минимизации /at(t)dt Следовательно, участки малой и большой тяг могут быть рассмотрены в рамках одной вариационной проблемы

Можно показать, что движение на каждом из указанных выше участков описывается следующей канонической системой [1]

вектор функция í представляет правые части уравнений состояния

Понятие о сопряженных точках имеет важное значение при определении оптимальности и экстремальности отдельных участков тяги или траекторий в целом Из анализа положительной определенности второго дифференциала расширенного функционала задачи следует, что при выполнении Нии > 0 условие 6х ф 0 (или ¿А ф 0) позволяет определить наличие сопряженных точек на экстремалях при помощи соответствующих аналитических решений, если таковые существуют

Теорема 2.1 Если х = х(с!,с2, ,ст,г) и А = А(сг,с2, ,с,п,{), (т < 2п), п = 7, где с,, 0 = 1, ,т) - постоянные интегрирования, представляют аналитические

х = Hi,

Л = -tfj,

(6)

где

Н = \Т{ + (1ТФ,

решения для экстремали в проблеме (1)- (5) , то наличие сопряженных точек на этой экстремали может быть определено следующими равенствами

т

/ IV

йх = N

ЛА = Ь

дх дс ЭА

дс

(7)

где N и Ь - матрицы некоторых постоянных (раздел 2 7)

Показано, что достаточные условия оптимальности могут быть выполнены только для определенного класса экстремалей, упомянутого выше (раздел 2 8) В работе основное внимание уделено только экстремалям поставленной выше вариационной проблемы Отметим, что отсутствие сопряженных точек па определенном интервале времени может быть проверено на основе теоремы 2 1 для каждого участка тяги

На основании вышеизложенного, можно анализировать экстремали проблемы, построенные или синтезированные на основе соединения различных участков тяги при наличии соответствующих аналитических решений Это в частности, указывает на важность наличия аналитических решений при синтезе экстремалей

На основе усиленного условия Лежандра-Клебща можно определить типы участков, которые могут быть оптимальными (раздел 2 13) Ими являются те участки, для которых

Р — Р-пах, ^зр ~ /вр.тт ИЛИ 1ар ~ /$ртах

Теорема 2 2 В вариационной проблеме (1)- (5) с ограничениями на мощность и

удельный импульс, оптимальными активными участками являются те, на которых Р ™ Ртах М 1зр — 1зр,тгп или 13р ~ ¡зр,тах

Методология аналитического синтеза оптимальных траекторий

• В контексте сформулированной выше вариационной проблемы составляются сопряженные уравнения и условия локальной максимальности

• Из уравнений движения и сопряженных уравнений исключаются управления, используя условия локальной максимальности и применяя условия Вейерштрасса независимо от функционала проблемы Вариационная проблема сводится к интегрированию канонической системы уравнений для каждого допустимого участка тяги Эти процедуры позволяют также определить возможность наличия различных участков тяги на оптимальной траектории и обеспечивают возможность определения семейства допустимых траекторий

• Различные методы интегрирования аналитической механики, применяемые к гамиль-тоновым системам используются для построения первых интегралов, инвариантных соотношений и аналитических решений для экстремалей проблемы

• Тестирование полученных аналитических решений для каждого участка тяги на выполнение необходимого условия Лежандра-Клебща

• Положительная полуопределенность второго дифференциала расширенного функционала приводит к вспомогательной задаче аналитической оптимизации, которая связана с построением и решением вспомогательных дифференциальных уравнений задачи и в частности, матричного уравнения Риккати

• Аналитические решения вспомогательной задачи испо шзуклся для выявтения возможных сопряженных точек на экстремалях Это в свою очередь позволяет определить конечность решения уравнения Рнккати

• Анализируется число постоянных интегрирования в решениях, которые описывают изменение радиус вектора, вектора скорости, массы Опредетяются возможные типы активных участков, которые могут быть использованы при построении траекторий

• Определяется общее число различных активных участков тяги в зависимости от числа постоянных интегрирования Следовательно, определяется последовательность участков тяги на траектории

• Составляются условия непрерывности радиус вектора, вектора скорости, базис вектора и его производной, условие равенства нулю функции переключения для каждой точки переключения и условия трансверсальности Эти условия в совокупности представляют систему с равным чиглом уравнений и неизвестных

• Если система уравнений непрерывности разрешима, то она позволяет определить координаты точек переключения, значения постоянных интегрирования и неизвестные параметры, например, значения угла тяги в точках переключения

• Упомянутые выше аналитические решения с найденными значениями постоянных интегрирования и параметров задачи описывают экстремальную траекторию маневра, а также все возможные функциональные зависимости между параметрами проблемы и их поведения в течении маневра

• В конечном итоге, построенная таким образом траектория представляет опорную или номинальную траекторию, которая можег быть применена при решении проблемы наведения и при планировании маневров в целом

Выполнение условия Лежандра-Клебща позволяет выделить АУ, которые претендуют на оптимальность, но в то же время сильно сужает область допустимых значений параметров проблемы С другой стороны, рассматриваемая в этой работе проблема является модельной проблемой динамики полета, так как в проблеме не рассматриваются гравитационные эффекты неосновных небесных тел, атмосферные силы, солнечное давление и другие В этом смысле, все экстремальные и оптимальные траектории, следуемые из этой проблемы являются приближением к истинной траектории, и в дальнейшем могут служить опорными траекториями для проблемы наведения Тот факт, что тестирование достаточных условий, в частности, усиленного условия Лежандра-Клебща сильно сужает область допустимых значений параметров и то, что проблема является модельной наводит на мысль, что выделение оптимальных траекторий среди экстремалей проблемы не представляет практического интереса и представляется нецелесообразным при нахождении опорных траекторий Поэтому в дальнейшем, главное внимание будет уделено нахождению экстремальных траекторий, т е тех решений, которые удовлетворяют всем необходимым условиям оптимальности, условиям трансверсальности, а также начальным и конечным условиям проблемы (разделы 2 14, 2 15) *

В третьей главе работы рассматриваются траектории с малой тягой Даны уравнения движения и соответствующие первые интегралы Получены классы круговых и спиральных траекторий (Теорема 3 1) Эти участки могут найги применение в задачах ухода

и захвата на орбите паркования Исстед^кися вопросы наличия сопряженных точек на спирпальных участках

Участки с максимальной мощностью и переменным удельным импульсом

Такие участки, как известно, представляют участки малой тяги ([лава 3, раздел 3 1) Каноническая система (6) уравнений движения на этих участках допускает следующие интегралы [11,22]

Я = -4Аг + ЛгУ-^А2 = С, С=4, т Ь тпл

с\Ь 5 6

Ау-2ГЛг----+ 3 СТ = СЬ А = А0, А 7го2 = Ь, (8)

т т0

где С,С\,Ь, Ао - постоянные

Теорема 3 1 Пусть канонические уравнения для экстремалей вариационной проблемы (1)- (5) даны системой (6) Тогда если функционал задачи явно не зависит от полярного уела, то в случае движения с максимальной мощностью Р — Ртах и переменным удельным импульсом /,р тш < 1зр < /»р,то1 система (6) допускает по крайней мере два семейства экстремалей семейство круговых и спиральных траекторий, которые описываются в элементарных функциях (разделы 3 1,3 2)

В частности, основные форм}лы семейства спиральных траекторий, упомянутые в теореме 3 1 выражаются в следующей форме (раздел 3 3) [13, 22, 24, 32, ЗЗ-ЗС]

г=^ь «1 = ^2, 1>2=<гк3,

где

* i г, 6ks /1 ~ 3s2 „ 3 — s2 11 -Зб2

d = const, F\ = s', F2 =

(3 - 5s2) V si ' 3 (3-5s2)V~¡í

Кроме того имеем

i - i. PX2t m то 262 '

t

3zk(l - 5s2) Ci

3-5 s2

в = + (g)

4 tan^o 4 tan<p ( '

26 m0 I,p, hp = -r—> — = *t , s = sinc¿>, k = cosíp g\m m¡ Isp¡0

Множители Лагранжа имеют следующие решения

Ai = Asinv, A2 = Acos<р, А4 - --i/-(l - 3s2)A, А5 = 0, А7 = Д;

г V г тг

где vi HV2- радиальная и трансверсальная составляющие вектора скорости, ¡р - угол между вектором тяги и перпендикуляром к радиус вектору точки (центра масс космического аппарата) (см (1)) Можно также показать, что эти участки не содержат сопряженных точек

Рис 1 Координатная система, введенная Лоуденом

Краткое изложение результатов по уменьшению радиационной дозы при прохождении через радиационный пояс Земли

В работе показано, что соогвествующие АУ с переменным удельным импульсом позволяют построить траекторию перелета с границ сферы дрйствия Земли ( например, при возвращении с экспедиции на Марс) на околоземную орбиту паркования При этом, КА проходит через радиационный пояс Земли С этой точки зрения, в случае пилотируемых полетов представляется весьма актуальным проведение анализа по определению оптимальной траектории с целью уменьшения дозы радиации В работе предлагается стратегия минимизации расходуемого тоитива и уменьшения общей аккумуляции дозы облучения при прохождении через радиационный пояс Земли Как известно, на высотах от 1000 км до 14000 км радиационное облучение является самым значительным по сравнению с другими высотами Кроме того, между высотами 800 км и 1000 км, вероятность соударения с телами различного происхождения (космическим мусором) наиболее высока В работе доказывается, что для минимизации радиационного облучения и уменьшения вероятности соударения с телами различного происхождения представляется возможным разделение траектории перелета на две части Первая часть включает траекторию снижения с границы сферы действия Земли до определенной высоты ниже 800 км, а вторая часть включает траекторию перелета с этой высоты на заданную слабоэллиптическую орбиту паркования с высотой 300 км Показано, что доза радиационного облучения аккумулированная на заданной высоте явным образом зависит от мгновенного изменения дозы D(t) на данной высоте, площади A(t), образованной кривой изменения дозы и осью высоты Эта зависимость дана в виде

г il

A(t) = / (air(ip(t))2 + a2r(y?) + a3)dt

JtQ

1де ai,a2>a3 - некоторые постоянные Кривая мгновенного изменения дозы определяется как , ,

где х - расстояние от поверхности земли до КА, S(x) - площадь, образованная кривой изменения дозы и осью высоты Показано, что эта площадь, обозначенная ниже 5е, может быть определена при помощи равенства

Se — Si + S2 + S3,

где S1 и S2 представляют собой площади, которые соответствуют линейным зависимостям кривой дозы от высоты, a S3 соответствует полу-параболической части указанной кривой

Получена формула определения дозы облучения в зависимое!и от времени прохождения через радиационный пояс Земли Получена также форму па для общей дозы, которой может быть обтучен КА в зависимости от высоты Известно что кратчайшие прохождения КА через зону радиации приводят к резкому уменьшению радиационной аккумуляции Но подобные перететы требуют значительного расхода топлива Показано, что общее количество топлива может быть уменьшено при помощи увеличения времени на движение по траектории перелета на орбиту паркования Также доказывается, что более долгие перелеты являются соответственно более экономичными с энергетической точки зрения

В четвертой главе работы исследуются каноническая система уравнений, первые интегралы и инвариантные соотношения для участков промежуточной тяги (ПТ) Получены новые аналитические решения для 11 классов сферических и спиральных траекторий движения с ПТ (Теоремы 4 1-4 5) Дано аналитическое решение задачи перелета на заданную эллиптическую орбиту при помоши первого класса экстремалей (спиралей Лоудена) в случае нефиксированного времени Полученные аналитические решения проблемы сравниваются с результатами независимого численного интегрирования канонических уравнений этой проблемы Сравнения показали, что аналитические решения для АУ одинаковы с результатами численного интегрирования Также показано, что полученные экстремали для маневров с нефиксированным временем могут также быть использованы и для задач ухода с эллиптической орбиты и для задач перелета между эллиптическими орбитами Дана методика применения метода Гамильтона-Якоби для получения решений для учатков ПТ в квадратурах (Лемма 4 1, Теорема 4 6) В конце главы, участки ПТ классифицируются в зависимости от формы функционала и задания времени

Участки с переменной мощностью и постоянным удельным импульсом

Можно показать, что для этих участков (промежуточной тяги) имеют место следующие интегралы (глава 4, раздел 4 1)

-^Аг + Arv = С, v х А + г х Аг = К(С3,С4, С5),

Av - 2гАг + сА In — + 3Ct = Си Х7т = С2 (10)

т

где ,СиС2,К(Сз,С^Съ) - постоянные интегрирования, и инвариантные соотношения

ААГ = 0, ^(ЛАГ) = 0, ^(ААР)=0, ¿(ААг) = 0, (11)

При помощи (10) и (11) могут быть получены аналитические решения для сферических участков ПТ (раздел 4 2) [1, 25)

Теорема 4.1 Пусть (10)-первые интегралы вариационной проблемы (1)-(5) Тогда, если конечное время фиксировано (С ф 0), то в случае движения с переменной мощностью (Р < Ртах) и постоянным удельным импульсом (/Jp = const), существует по крайней мере одно семейство экстремалей проблемы, представляющее трёхмерные сферические траектории, которые описываются в элементарных функциях, а время выражается в квадратурах (раздел 4 2) [1, 25]

Существуют также и другие классы решений данной проблемы

Теорема 4 2 Пусть (10) - первые интегралы, я (11) - инвариантные соотношения в вариационной проблеме (1)- (о) Тогда если конечное время фиксировано (С 0), а функционал задачи явно зависит от полярного угла, то в случае движения с переменной мощностью {Р < Ртах) и постоянным удельным импульсом (I,p = const), существуют по крайней мере шесть классов плоскит jki гпремальных траекторий, которые выраиса-ются в элементарных функциях, исключая время и полярный угол, определяющихся в квадратурах (раздел 4 3)

В частности, формуты определения величины радиус вектора па указанных траекториях имеют вид (9, 10]

», = F,+ (£)*, г = 1,2,3, + J =4,5,б, (12)

г. Г]

где Fi,Fj,F,W являются функциями угла тяги (р При некоторых значениях этого угла указанные классы траекторий могут лметь сопряженные точки

Теорема 4 4 Пусть в вариационной проблеме (1)- (5) каноническая система (6) допускает первые интегралы (10) Тогда, если конечное время не фиксировано (С = 0), а полярный угол фиксирован, то в случае движения с псрел1ениой мощностью (Р < Рта1) и постоянным удельным шлпукьеом (l,p = conbt), существуют по крайней мере два класса плоских спиральных экстремалей, один из которых представляет альтернативный класс тиралей Лоудена (раздел 4 5) [4, 8]

Ачьтернативность решений объясняется тем, что (формула для величины радиус век-гора совпадает с анатогичной формулой Лоудена при Л = 1 и является одинаковой для всех классов Эти классы могут быть описаны следующим образом Первый класс решений совпадает с решением Лоудена Второй класс решений выражается формулами [30]

r = vr=n\V2{s), v0 = nW3{s), (13)

п*

где Wj, Щ, \V3 - известные функции угла тяги, ip Анализ решений показывает, что существует небольшое различие между указанными выше классами, хотя расход массы является более эффективным в случае первого класса экстремалей Несмотря на это различие, оба класса экстремалей могут быть использованы при решении проблем наведения как опорные траектории Дано аналитическое решение проблемы перелета на заданную эллиптическую орбиту при помоши первого класса экстремалей (спиралей Лоудена) в случае нефиксированного времени (раздел 4 5) Показано, что аналитические решения этой проблемы полиостью совпадают с результатами независимого численного интегрирования канонических уравнений задачи Это означает, что аналитические решения для АУ могут представлять опорные траекгорные решения на небольших интервалах времени В частности, аналитические решения для АУ обеспечивают точные значения для начальных значений множителей Лагранжа, которые могут быть использованы в проблемах численной оптимизации траекторий различных маневров и тем самым позволяют сократить многочисленные итерации и время выработки команд управления в процессе выполнения алгоритма автономного наведения

Показано, что первый класс экстремалей (аналогично, и второй класс экстремалей) может служить опорной траекторией не только в проблеме перелета, по и в проблемах ухода с заданной орбиты и в проблемах межорбитальных перелетов

Показано, что существуют также по крайней мере два класса плоских спиральных экстремалей, которые выражаются в элементарных функциях и квадратурах (раздел 4 6) [10, 20]

В пятой главе работы выводится новый класс решений с четырьмя новыми постоянными интегрирования для участков максимальной тяги (МТ) в случае ньютоновского поля (Теорема 5 1)

Участки с максимальной мощностью и постоянным удельным импульсом

В работе получен новый класс аналитических решений для этих АУ, которые могут также представлять собой участки минимальной тяги (глава 5) [30]

Теорема 5.1 В случае движения с постоянной мощностью (Р = const) и постоянным удельным импульсом (1яр = const) каноническая система (6) вариационной проблемы (1)- (5) допускает по крайней мере одно семейство экстремалей, которое выражается в квадратурах (раздел 5 1)

Соотвествующие решения системы (6) приводятся к виду

Г

г = те Й™«», = 4\/аФ2Ф5> и2 = v/tJ-^v^s, с- СГ

+ А = Аое/^Г $ = (14)

3\/б с3 J Ф4 dt 2 fi Фб

где Ф, = Ф,(<р) В случае, когда с ф const и /3 = const, можно показать что

с = IspSo = W(yy),/6a(y) cos ¥,(2ф2 _ ф]) (15)

Можно доказать, что данные АУ не содержат сопряженных точек

В шестой главе работы дано исследование участков МТ при помощи аппроксимации (линеаризации) ньютоновского поля Доказывается теорема о допустимости такой аппроксимации и об оценке ошибок (Теорема 6 1) Выводятся новые первые интегралы проблемы и получены новые аналитические решения для участков МТ (Лемма 6 1, Теорема 6 2) Показано, что они могут найти применение в решении задач оптимальных по расходу топлива перелетов между круговыми орбитами, круговой и гиперболическими орбитами в ньютоновском поле

Активные участки в линейном центральном поле

Исследование АУ может быть проведено также при помощи линеаризации ньютоновского поля (глава 6, разделы 6 1-6 3) [8]

Теорема 6.2 Пусть в контексте вариационной задачи (1)- (5) произведена линейная аппроксимация центрального ньютоновского поля в окрестности некоторой опорной орбиты Тогда, если конечное время не фиксировано и минимизируется расход массы, то для участков максимальной тяги годографом базис вектора является прямая линия, направление тяги инерциально фиксировано, и аналитические решения выражаются через интегральный синус и интегральный косинус

В частности, если конечное время не фиксировано (С = 0), то имеем

г = аСг—---, в = <р + фа - 1Н = г [ксоЬ(кЬ + а) + <рЬаъф\,

7Г

то = то — /Й.

А1 = а я+ а) зт уз, Аг = азш(Ы + а) соз у?,

1ап (р =

1апо^ап<ро Х0 1

1ап(£г + ог) + ак аС^к + аСфЬ&ъ^Ь + о)'

+

ев

Я = ^гвтао - соэао, Х=— А — А7)

т

и <Аъ ^о. ч, а, Са, то, -новые постоянные интегрирования, функции интегрально-

го синуса и косинуса Как было замечено ВаМш, предположение о мгновенном изменении скорости не является адекватным к реальным полетным условиям при решении проблем наведения Выражение для угла -р может быть рассмотрено для представления приближенного закона наведения (регулирование направления тяги) в реальном гравитационном поле Этот подход к определению закона наведения является развитием идеи применения линейно-тангенциального закона, который имеет место в случае движения в постоянном гравитационном поле Можно показать, что найденные участки МТ не содержат сопряженных точек

Также можно показать, что существуют аналитические решения для пространственных участков ПТ в линейном центральном поле (Теорема 6 3, разделы 6 4 и 6 5) [7, 14] Траекториями КА являются гладкие, пространственные и уходящие на бесконечно большое расстояние от центра притяжения кривые

В седьмой главе работы дано определение числа активных участков на траектории перелета между произвольными орбитами Выведена формула определения числа активных участков в зависимости от числа постоянных интегрирования, содержащиеся в решениях для активных участков (Теоремы 7 1-7 3) Исходя из практики планирования маневров, показывается, что возможность применения общего решения канонической системы для активных участков с полным числом постоянных интегрирования ограничена и поэтому, такое решение имеет только теоретическое значение

Методика применения аналитических решений для активных участков

Известно, что построение экстремалей, или в общем случае, синтез различных участков тяги тесно связан с вопросом определения числа активных участков на траектории перелета между произвольными орбитами, что имеет особо важное место в траекторных исследованиях (глава 7) Рассмотрим задачу перелета между заданными орбитами, находящимися в одной плоскости и проходящими через центр притяжения (раздел 7 1) При этом предполагаем, что известны полные решения для активных участков, те имеются

все 10 постоянных интегрирования Пусть в резу 1ьгате решения канонической системы уравнений получены аналитические решения для АУ тяги

х = х((лСь ,С10), Л = Л(<£, С\, , Сю),

где х = х(у,г,т), Л = Л(А,АГ,А7), • независимая переменная, С,, (г = 1, ,10) -постоянные интегрирования Кроме того, решения для базис вектора и его производной для участков НТ в плоском случае имееют вид

А = А(/,е,А,В,С,£>), Аг = Аг(/, е, А, В, С, Г>),

где / - истинная аномалия, А, В, С, О - постоянные интегрирования

Пусть требуется определить траекторию маневра перелета между двумя произвольными эллиптическими орбитами с параметрами Р1,Рьш1 и Рг.е^и^ соответственно Начальное и конечное положения точки на орбите и время перелета не фиксированы Начальная масса предполагается заданной и минимизируемым функционалом проблемы принимается разница начальной и конечной масс При определении структуры траектории важное значение имеет число точек переключения, которое определяет число участков в этой структуре |2] Рассмотрим случай траекторий с одним, двумя и тремя АУ, которые описываются одинаковыми аналитическими решениями

Случай с одним активным участком

Простейшей структурой траектории маневра перелета является УНТ1 - АУТ - УНТ2, содержащая две точки перключения Здесь УНТ1 и УНТ2 обозначают участки нулевой тяг и, те движение на граничных орбитах, а АУТ означает активный участок В точках перключения должны выполняться условия непрерывности векторов г, V, А, Аг, которые являются следствием угловых условий Вейерштрасса-Эрдмана, а также условие равенства нулю функции переключения, которое следует из анализа условия Вейерштрасса Также должны выполняться условия трансверсальности в начальный и конечный моменты времени [12] Вышеупомянутые условия для первой точки переключения даются следующим образом

КРьеь/О = г(1риСи , Сю), ^(рьСьЛ) ~ У^иСи ,Сю),

^(рь^ь/О = У2(<Р1, Сь ,Сю),, (16)

0(Л) = %>ь Си ,С,о)

Те же самые условия имеют место и во второй точке переключения Кроме того, имеем условия для функции переключения

XI (С1VI > С|, ,Сю,т0, Л51) = 0, , С10, тщ, А,2) = 0, (17)

Условия непрерывности базис вектора и его производной для первой точки переключения имеют вид (см раздел 7 2)

А.ЛЛ.еьЛьВьСьА) = \(<РиСи ,С10) г = 1, ,4 (18)

•\najioi ичные ус говня выполняются и во второй точке переключения Уравнения (16-18) обеспечивают непрерывный переход < одного у частка на другой, что является главным аспектом синтеза различных участков тяги Эти уравнения в общем случае позволяют найти неизвестные переменные (p¡¡, fk, (к — 1,2) и неизвестные константы С,, (г = 1, ,10), Лк, Вк,Ск, Дь, (fc = 1,2), Л51 Легко видеть, что первое уравнение (17), уравнения (18) позвочяют определи ib постоянные Asi, Ак, Вк,Ск, Dk, (к — 1,2) ТЫда 8 уравнений типа (16), полученных как условия непрерывности г, «1, v¡, в в двух точках переключения, а также второе уравнение (17), выражающее равенство нулю функции переключения во второй точке переключения, служат для нахождения 14 неизвестных переменных ip¡¡, (к = 1, 2) и неизвестных констант С,, (г = 1, , 10) Предполагая, что в общем случае направление тяги уз и положение точки, те истинная аномалия / на граничных орбитах, являются неопределенными, приходим к следующему выводу чтобы определить упомянутые неизвестные единственным образом, необходимо иметь в аналитических решениях для величины радиус вектора, составляющих скорости и полярного угла 5 постоянных интегрирования вместо 10 В этом случае 9-ю неизвестными будут <pi,<í>2>/ъ/г и С-,, 0 = 1, ,5) Заметим, что наличие 10 постоянных позволяло бы найти семейства траекторий маневра, получаемые изменением значений дополнительных постоянных С6, ,Сю

Из выгаеиз пожени ого заключаем, что в случае одного АУ на траектории г двумя точками переключения, задача построения (синтеза) траектории маневра сводится к нахождению 9 неизвестных из 9 алгебраических уравнений Как было упомянуто выше, эти уравнения явчяются следствием условий непрерывности в угловых точках и поэтому, в дальнейшем их будем называть уравнениями непрерывности

Случай с двумя активными участками

Аналогичным образом, в случае траектории с двумя АУ, число уравнений непрерывности может быть понижено до 19, в то время как число неизвестных равно 31 (раздел 7 3) — .4), Р21е2^2,Ск, Kk, (к = 1, ,10) Значит необходимо, чтобы эти решения содержали в сумме 8 постоянных интегрирования В частном случае, эти решения могут быть одинаковыми

Случай с тремя активными участками

Можно также показать, что в случае траектории с тремя АУ, число составленных уравнений равно 29 , в то время как число неизвестных равно 48 (раздел 7 4)

<р}, f} 0 = 1, ,6), р2,е2,ш2, Рз,е3,из, Ск,Кк,Вк (к = 1, ,10)

Следовательно, общее число постоянных должно быть уменьшено с 30 (так как предполагается, что решения для каждого АУ содержат, в общем случае, по 10 постоянных интегрирования) до 11, те необходимо, чтобы решения для АУ содержали в сумме 11 постоянных Эю приводит к следующему важному результату при условиях данной проблемы, только частные решения канонической системы уравнений для АУ позволяют построить траекторию маневра.

Следовательно, в случае трех АУ необходимо разрешить 29 уравнений с 29 неизвестными, 11 из которых являются постоянными интегрирования

Таким образом, из вышеизложенного, а также из практики выполнения маневров следует, что возможность применения общего решения для АУ с полным числом постоянных интегрирования ограничена и поэтому такое решение имеет только теоретическое

значение

Случай п активных участков

Анализируя число уравнений в каждом случае наличия активных участков тяги (АУТ), в частности, можно показать, что если имеются п АУТ одного типа, то обшее число уравнений равно 10п + (п — 1) = 11п — 1 (раздел 7 5) Таким же образом, анализируя число неизвестных в этих уравнениях непрерывности, можно закчючить, что общее число неизвестных N = 7п + пт — 3, где п - число АУТ, тп - число постоянных в решении для соответствующего АУТ При этом отметим, что эта формула действительна для случая, когда все АУТ на траектории описываются одинаковыми аналитическими решениями

Таким образом, на основе предтоженной выше методики применения аналитических решений для АУ при построении траекторий маневров заключаем, что решение рассматриваемой вариационной проблемы может быть сведено к решению определенного числа алгебраических уравнений непрерывности

Теорема 7.1 Число АУ одного типа на экстремальной траектории перелета между двумя произвольными компланарными эллиптическими орбитами равно

(19)

т — 3'

где т - общее число постоянных интегрирования в аналитических решениях для величины радиус вектора, полярного угла и составляющих вектора скорости (раздел 7 5) Для случая двух различных типов АУТ имеет место теорема

Теорема 7.2 Число АУ двух разных типов на экстремальной траектории перелета между двумя произвольными компланарными эллиптическими орбитами равно

иК-п^-г (20)

3 -тг к '

где т,\ итг - общие числа постоянных интегрирования в аналитических решениях для величины радиус вектора, полярного угла и составляющих вектора скорости для двух классов решений, 91,92 - числа первого и второго типов АУТ на траектории, причем ?1 + 92 = п

В общем случае траектории перелета с различными АУТ, можно показать, что общее число неизвестных определяется по формуле

е

N — д3т} + 7п - 3т,

3=1

где 0 = 1, ,е) - число АУТ с т., постоянными интегрирования, причем 91+92+ +де = п, е- число типов АУТ, используемых при построении траектории Тогда условие равенства числа уравнений и числа неизвестных приводится к функциональной зависимости между числом АУ и числом постоянных интегрирования в решениях для АУ

Теорема 7.3 Общее число АУ на экстремальной траектории перелета между двумя произвольными компланарными эллиптическими орбитами равно

1 е

п = 2), (21)

д ;=1

где (¡j, (} = 1, , е) - число АУТ с т3 постоянными интегрирования, причем fh+q2+ + </е = п, е- число типов АУТ, исполъзуелшх при построении траектории

Если вышеупомянутые уравнения непрерывности разрешимы, то соотвесгвующее решение этих уравнений позволяет, в частности, определить последовательность активных и пассивных участков, т е структуру траектории, а также построить искомую траекторию маневра

В восьмой главе работы предложенная методика применения аналитических решений для АУ при решении проблем динамики полета проиллюстрирована на примерах решения различных задач перелета Эта методика позволяет найти координаты точек переключения и значения постоянных интегрирования, включая начальные значения множителей Лагранжа Решение этих проблем сводится к решению только определенного числа уравнений (разделы 8 1-8 5) Ниже дано краткое изложение частных проблем, рассмотренных в разделах 8 1, 8 2, 8 4, 8 5

В разделе 8 1 рассматривается задача перелета между эллиптическими орбитами при помощи участка малой тяги с постоянным удельным импульсом Аналитические решения задачи сравнены с результатами независимого численного интегрирования канонических уравнений этой задачи Анализ показал, что составляющие радиус вектора, вектора скорости, базис вектора и его производной одинаковы в аналитических и численных решениях (раздел 8 1) (см 7) Рассматривается задача перелета между заданными эллиптическими орбитами (раздел 8 2) [22] Далее рассмотривается задача перелета с предположением, что маневр начинается в момент, когда космический аппарат входит в сферу действия Земли (г„ — 9 24820 х 10s км) и кончается, когда аппарат переводится на конечную орбиту паркования (раздел 8 3) [24, 35, 36] Доказано, что если конечная орбита становится более эллиптичной, то маневр становится более эффективным (Рис 2) [34] Значения перигея, апогея и начальное расстояние определяют форму спирали Увеличение эксцентриситета в 45 раз приводит к снижению числа оборотов от 315 до 4 5 Показано, что существует почти линейная зависимость между временем полета и удельным импульсом, который становится почти постоянным при увеличении времени (см также рисунки 4, 6) Решается также задача о повороте плоскости эллиптической орбиты (раздел 8 4) [5, 25, 29] Доказано, что маневр при помощи сферического участка ПТ может быть более эффективен или является сравнимым по отношению к одно-, двух- и трехимпульсным маневрам (Рис 8)

Рассматривается задача перелета между двумя компланарными круговыми орбитами (раздел 8 5) [21] Предполагается, что на участках МТ гравитационное ускорение представляется в виде линейной функции радиус-вектора Траектория состоит из двух участков МТ и трех участков НТ, причем два участка НТ расположены на граничных орбитах (Рис 9) [21]

Результаты задач, решенных при помощи экстремальных активных участков были сравнены с известными результатами аналогичных задач, решенных при помощи прямых и непрямых методов численной оптимизации, которые были опубликованы в работах Константинова М (МАИ) и Федотова Г (МАИ), Вадали С (Vadah, University of Texas A and M ), Доуиа T (Dawn, NASA/EG5), и Уиффена Г (Whiffen) и Симса Г (Sims, JPL) Были проведены сравнения результатов следующих задач - оценка параметров перелета Земля-Меркурий,

- выявлены различия численных результатах, хотя многие качественные характеристи-

ки перелета совпадали Показано, что указанные различия сущоств\ют, в основном и?-» неучета мощности как функции расстояния от КА до Со шца,

- оптимизация траекторий ухода с гравитационного поля Земли и перепета Земля-Марс Показано, что хотя существует некоторое различие в поведениях параметров, но аналитические решения для экстремальных участков малой тяги даю г результаты, которые достаточно близки к аналогичным результатам численной оптимизации (см таблицу),

- оптимизация траектории перелета Земля-Марс Сравнения показали, что результаты аналитических решений близки к результатам численной оптимизации

Таково краткое содержание результатов, полученных в диссертации На основе вышеизложенной методики применения аналитических решений для АУ при синтезе траекторий маневров и установленных выше функциональных зависимостей для определения числа АУ заключаем, что по существу, синтез оптимальных траекторий центра масс КА сводится к решению уравнений непрерывности в точках переключения режима тяги

Основной результат диссертационной работы в целом, решение вариационной проблемы оптимизации траекторий центра масс КА может обеспечить требуемые законы наведения для использования в наземных и бортовых системах управления полетом

Совокупность полученных в работе результатов представляет новое перспективное и практически важное направление в приложениях методов теоретической механики в динамике полета, основанное на преимуществах наличия аналитических решений для активных участков и сводящее решение вариационной проблемы к законченной форме, обеспечивая тем самым широкие возможности для решения проблем космической навигации и наведения.

Таблица 1 Сравнение результатов

Параметры УайаЬ Б И апс! еЬ: Азимов Д М

Продолжительность полета 114 д 110 д

Начальный удельный импульс 1000 с 2192 15 с

Конечный удельный импульс 1750 с 4917 07 с

Начальная масса КА 225000 К1 224998 2 кг

Конечная масса КА 127331 кг 126607 кг

Потребная масса горючего 97669 кг 98391 кг

Число оборотов 0 33 0 847

Рис, 3; Пример траектории перелета на орбиту пар- рИ(, , Зависимость кования' от мощности

начального удельного импульса

Рис. 6: Зависимость функционала ел1 эксцентрисит&> Рис. 3: Временное изменение удельного импульса перигея н апогея конечной орбиты

Рис. -5: Временное изменение угла гиги

Рис. 7: Перелет менаду эллиптическими орбитами При помощи участка тягн с постоянным удельным импульсом.

УУвСЛМПТ, !

/ !

Утоп покфотв, (грвдусош)

Рис 8 Зависимость между Avjt/vo и углом ад, при разчячных параметрах

Отношение радиуом орбит

Рис 9 Зависимость между ДУмг и отнощением граничных орбит

Список публикаций по теме диссертационной работы.

1 Азимов Д M К вопросу об оптимальности участков промежуточной тяги // Алгоритмы и численные решения задач вычислительной и прикладной математики - Ташкент Сборник трудов Ташкентского гос ун-та им В И Ленина, 1988, -с 6-9

2 Азимов Д M К вопросу об определении точек переключения на оптимальной траектории //Управляемые динамические системы - Ташкент Сборник грудов Ташкентского гос ун-та им В И Ленина, 1990, -с 18-20

3 Азимов Д M Аналитические решения для участков промежуточной тяги траекторий ракеты в ньютоновском поле // Прикладная математика и механика -М Наука, 1996, N 63, -с 74-80

4 Азимов Д M , Мирмахмудов Е К анализу возможностей изменения орбит астероида // Труды Международной конференции "Астероидная опастность-96" Институт теоретической астрономии Российской Академии Наук Международный институт проблем астероидной опасткости Санкт-Петербург, Россия 14-19 июля, 1996 - Санкт-Петербург, 1996, с 5-8

5 Азимов Д M , Мирмахмудов Е , Самусенко Т И Об одном программном обеспече-

нии для прямой и обратной задач определения элементов орбит из наблюдений // Всероссийская конференция с международным участием "Проблемы небесной механики" Институт теоретической астрономии Российской Академии Наук Международный институт проблем астероидной опастности Санкт-Петербург, Россия 3-6 июня, 1997 - Санкт-Петербург, 1997, с 31-32

6 Азимов Д М Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби для участков промежуточной тяги методами аналитической механики // Проблемы механики - Ташкент АН Республики Узбекистан, 1998, Вып 1, -с 3-7

7 Азимов Д М Участки промежуточной тяги для точки, движущейся в линейном центральном поле // Проблемы механики - Ташкент АН Республики Узбекистан, 1998, Вып 6, -с 3-8

8 Азимов Д М Об одном классе участков максимальной тяги в центральных полях // Проблемы механики - Ташкент АН Республики Узбекистан, 1999, Вып 2, -с 3-9

9 Азимов Д М Шесть классов траекторий движения с промежуточной тягой в ньютоновском поле // Доклады Академии Наук Республики Узбекистан - Ташкент АН Республики Узбекистан, 1999, Вып 2, -с 13-16

10 Азимов Д М Участки промежуточной тяги в вариационной задаче Майера // Прикладная математика и механика -М Наука, 2000, Т 64, Вып 1, -с 92-101

11 Азимов Д М Об оптимальных траекториях космического аппарата в ньютоновском поле // Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии Российский Университет Дружбы Народов Москва, Россия, 18-22 апреля, 2005 Тезисы докладов - Москва, 2005, с 25

12 Азимов Д М Методика определения числа активных участков экстремальных траекторий в ньютоновском поле // Международная конференция "Системный анализ, управление и навигация" Секция "Баллистики и динамики полета Крым, Евпатория, Украина 3-10 июля, 2005 Тезисы докладов - Евпатория, 2005, с 52

13 Азимов Д М Активные участки экстремальных траекторий в линейном центральном поле // Автоматика и Телемеханика -М Российская Академия Наук, 2005, Т66, Вып 10, -с 1533-1551

14 Азимов Д М Обзор работ по исследованию активных участков в гравитационных полях // Автоматика и Телемеханика -М Российская Академия Наук, 2005, Т 66, Вып 11, -с 1715-1732

15 Азимов Д М Применение аналитических решений для активных участков при решении задач межорбитальных перелетов // Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии Российский Университет Дружбы Народов Москва, Россия, 17-21 апреля, 2006 Тезисы докладов - Москва, 2006, с 83

16 Азимов Д М Аналитический синтез оптимальных траектория для задач автономного наведения // Международная конференция "Системный анализ, управление и навигация" Секция "Баллистики и динамики полета Крым, Евпатория Украина 2-9 июля, 2006 Тезисы докладов - Евпатория, 2006, с 55

17 Азимов Д М Два класса экстремальных траекторий движения точки с переменным удельным импульсом // Автоматика и Телемеханика -М Российская Академия Наук, -2007, Т68, Вып 6

18 Azimov D М Analytical solutions for intermediate thrust arcs of rocket trajectories m

a newtoman field // Journal of Applied Mathematics and Mechanics - 1996, Vol CO, No 3, -p 421-427

19 Azimov D M Intermediate thrust arcs in Mayer's variational problem // Journal of Applied Mathematics and Mechanics - 2000, Vol 64, No 1, -p 87-95

20 Azimov D M New Classes for intermediate thrust arcs of flight trajectories in a Newtoman field // AIAA Journal of Guidance, Control and Dynamics -2000, -Vol 23, N 1, -p 142-145

21 Azimov D M , Bishop R H Extremal rocket motion with maximum thrust m a linear central field // AIAA Journal of Spacecraft and Rockets - 2001, -Vol 38, N 5, -p 765-776

22 Azimov D M , Bishop R H Analytical trajectories for extremal motion with low - thrust exhaust - modulated propulsion // AIAA Journal of Spacecraft and Rockets - 2001, -Vol 381, N61,-p 897-903

23 Azimov D M , Bishop R H New analytic solutions to the fuel-optimal orbital transfer problem using low-thrust exhaust modulated propulsion // AAS-AIAA Space Flight Mechanics Meeting Clearwater, Florida USA 23-26 January, 2000, Paper AAS 00-131, 19 p

24 Azimov D M , Bishop R H Planetary capture using low-thrust propulsion // 16th International Symposium on Space Flight Dynamics AIAA/AAS Pasadena, California USA 3-5 December, 2001, 31 p

25 Azimov D M , Bishop R H Turning elliptical orbital planes via intermediate thrust spherical arcs // AIAA Journal of Guidance, Control and Dynamics -2002, Vol 25, N 2, -pp 358-367

26 Azimov D M , Bishop R H Analytic solution to the problem of turning of an elliptic orbital plane via spherical intermediate thrust arc // AAS-AIAA Space Flight Mechanics Meeting Clearwater, Florida USA 23-26 January, 2000, Paper AAS 00-208, 26 p

27 Azimov D M , Bishop R H Transfer between circular and hyperbolic orbits using analytical maximum thrust arcs // AIAA Journal of Spacecraft and Rockets -2003, -Vol 40, N 3, -p 433-436

28 Azimov D M , Bishop R H Transfer between circular and hyperbolic orbits using analytical majcimum thrust arcs // Advances in the Astronautical Sciences -2002, Vol 112, Part II, -p 671-689

29 Azimov D M , Bishop R H New classes of optimal analytical space trajectories// 53rd International Astronautical Congress The World Space Congress - 2002 Houston, Texas USA October 10-19 2002, Paper IAC-02-A 6 01,10 p

30 Azimov D M , Bishop R H Planetary capture using constant specific impulse and variable power propulsion // Advances m the Astronautical Sciences AAS USA - 2003, -V 115

31 Azimov D M , Bishop R H Planetary capture using constant specific impulse and variable power propulsion Texas A and M University // AAS John L Junkins Astrodynamics Symposium College Station, Texas USA 23-24 May, 2003, Paper AAS 02-155, 18 p

32 Azimov D M , Bishop R H Optimal trajectories for space guidance // Annals of New York Academy of Sciences - 2005, N 1065, -p 1-21

33 Azimov D M , Bishop R H Earth-Mars Minimum Fuel Trajectories via Circular and Spiral Low Thrust Arcs // NASA JSC/Texas A and M/UT Meeting Texas A and M University, College Station, Texas USA 1 December, 2000, -26 p

34 Azimov D M , Bishop R H , Fowler W T VASIMR-Class Analytic Guidance Preliminary investigations on optimal trajectories // NASA JSC/UT Meeting Advanced Space Propulsion

Laboratory NASA Lyndon Johnson Space Center Houston USA 18 January, 2001, 17 p

35 Dawn T , DeRidder M , Braclen E , Vadah S , Condon G , Cram T, Azimov D M , Bishop RH Mars sample retum The SEP Earth leturn NASA JSC Houston USA 13 July, 2001, 43 p

36 Bishop R H , Ocampo C , Condon G , Azimov D M , Bishop R H , Cram T., Dawn T., Braden E , Vadah S Low thrust trajectory work at JSC // Mars Program Systems Engineering Team NASA JSC Houston USA 5 December, 2001, 48 p

Зак 3685/5067 Тираж 80 экз Типография Издательства МАИ «МАИ», Волоколамское ш , д 4, Москва, А-80, ГСП-3 J 25993

1 ВВЕДЕНИЕ

1.1 Исследование вариационной задачи.

1.2 Исследования траекторий движения с малой тягой.

1.3 Исследования траекторий движения с большой тягой

1.4 Общая стратегия и основные задачи

1.5 Краткое описание глав.

2 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ АКТИВНЫХ УЧАСТКОВ

2.1 Вариационная задача.

2.2 Соседние дуги.

2.3 Первый дифференциал расширенного функционала.

2.4 Второй дифференциал расширенного функционала.

2.5 Вспомогательная задача оптимизации

2.6 О положительной определенности второго дифференциала расширенного функционала.

2.7 О сопряженных точках.

2.8 Экстремали с угловыми точками

2.8.1 Постановка задачи с угловыми точками.

2.8.2 Первый дифференциал расширенного функционала.

2.8.3 Второй дифференциал расширенного функционала.

2.8.4 Выполнимость необходимых и достаточных условий оптимальности

2.9 Вариационная задача в постановке Лоудена.

2.10 Вариационная задача в альтернативной постановке.

2.11 Условия стационарности и допустимые участки.

2.12 Классификация возможных участков тяги.

2.13 О выполнимости условия Лежандра-Клебща.

2.14 Каноническая система уравнений.

2.15 Методология аналитического определения оптимальных и экстремальных траекторий.

3 ДВИЖЕНИЕ С МАКСИМАЛЬНОЙ МОЩНОСТЬЮ И ПЕРЕМЕННЫМ УДЕЛЬНЫМ ИМПУЛЬСОМ

3.1 Канонические уравнения и первые интегралы.

3.2 Круговые участки малой тяги.

3.3 Спиральные участки малой тяги.

3.4 Уменьшение радиационной дозы при прохождении через радиационный пояс Земли.

4 ДВИЖЕНИЕ С ПЕРЕМЕННОЙ МОЩНОСТЬЮ И ПОСТОЯННЫМ УДЕЛЬНЫМ ИМПУЛЬСОМ

4.1 Первые интегралы и инвариантные соотношения.

4.2 Сферические участки промежуточной тяги

4.3 Случай, когда время полета фиксировано, а функционал задачи явно зависит от полярного угла.

4.4 О спиралях Лоудена.

4.5 Два класса экстремалей для маневров с нефиксированным временем

4.5.1 Первый класс экстремалей.

4.5.2 Второй класс экстремалей.

4.5.3 Пример задачи перелета на заданную эллиптическую орбиту при помощи экстремалей первого класса

4.6 Уравнение Гамильтона-Якоби для участков промежуточной тяги.

4.7 О неиптегрируемости уравнения Гамильтона- Якоби методом разделения переменных.

4.8 Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби и квадратуры для участков промежуточной тяги.

4.9 Классификация участков промежуточной тяги.

5 ДВИЖЕНИЕ С МАКСИМАЛЬНОЙ МОЩНОСТЬЮ И ПОСТОЯННЫМ УДЕЛЬНЫМ ИМПУЛЬСОМ

5.1 Система уравнений для активных участков.

5.2 Аналитические решения для участков максимальной тяги.

6 АКТИВНЫЕ УЧАСТКИ В ЛИНЕЙНОМ ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

6.1 Аппроксимация ньютоновского поля линейным центральным.

6.2 Канонические уравнения и первые интегралы.

6.3 Аналитические решения для участков максимальной тяги.

6.4 Первые интегралы для участков промежуточной тяги.

6.5 Участки промежуточной тяги в линейном центральном поле.

7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА АКТИВНЫХ УЧАСТКОВ

7.1 Методика применения аналитических решений для активных участков

7.1.1 Основные уравнения непрерывности переменных.

7.1.2 Случай траектории с одним активным участком.

7.1.3 Случай траектории с двумя активными участками.

7.1.4 Случай траектории с тремя активными участками.

7.1.5 Случай траектории с п активными участками.

7.2 О числе активных участков на траектории.

7.2.1 Число уравнений в точках переключения

7.2.2 Число неизвестных в уравнениях непрерывности.

7.2.3 Число активных участков

8 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ПЕРЕЛЕТОВ В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ

8.1 Перелет между эллиптическими орбитами при помощи участка малой тяги с постоянным удельным импульсом.

8.2 Перелет с заданного положения на эллиптическую орбиту при помощи участка малой тяги с переменным удельным импульсом.

8.3 Перелет между эллиптическими орбитами при помощи участка малой тяги с переменным удельным импульсом.

8.4 Поворот плоскости эллиптической орбиты при помощи участка промежуточной тяги с постоянным удельным импульсом.

8.5 Перелет между круговыми орбитами при помощи двух участков максимальной тяги с постоянным удельным импульсом.

8.6 Сравнение результатов расчетов по аналитическим решениям с известными результатами численной оптимизации.

1.1 Исследование вариационной проблемы

Диссертационная работа посвящена развитию аналитических и приближенно - аналитических методов решения вариационной проблемы об определении оптимальных траекторий ракеты в гравитационных полях и применению полученных результатов для решения практических проблем динамики полета. Исследования этой проблемы были начаты Р.Годдардом, Г.Обертом, Г.Гамелем, В.Гоманом, А.А. Космодемьянским, А.Ю. Ишлин-ским и другими учеными. Теоретически и практически важное значение имеют работы, посвященные анализу оптимальных движений ракеты в центральном ньютоновском поле

1], й, [3].

Актуальность исследования аналитических решений вариационной проблемы может быть объяснена следующим образом. Эффективность осуществления маневров существенно зависит от характеристик бортовой системы наведения, обеспечивающей функционирование космических аппаратов (КА). Наведение обеспечивается в реальном масштабе времени, в частности, автономным образом на активных участках траекторий маневров выхода на промежуточную орбиту, перехода на межпланетную траекторию, входа в орбиту паркования и посадки на требуемой местности на повехности небесного тела.

Проблема автономного наведения может быть описана следующим образом: Пусть в некоторый момент времени t\ задано текущее состояние КА, которое характеризуется некоторыми отклонениями параметров КА от их номинальных значений. Требуется найти такие управляющие воздействия, которые приводят КА из этого состояния в назначенное состояние в момент времени i2) и чтобы все или часть параметров К А имели бы отклонения от номинальных значений в заданных пределах.

Решение этой проблемы включает рассмотрение следующих частных подпроблем: 1) определение требуемой траектории движения; 2) построение законов изменения управляющих параметров, т.е. алгоритмов управления, которые обеспечивают полет по требуемой траектории. Эти подпроблемы могут быть решены построением необходимых активных участков (АУ) и синтезом требуемой номинальной траектории маневра.

Решение проблемы автономного наведения обеспечивается бортовой системой наведения, которая является частью системы управления полетом и основным элементом которой является бортовой компьютер. Разработка, обоснование и внедрение методов синтеза оптимальных номинальных траекторий для бортовых систем наведения КА и представляет собой основную цель данной работы.

Рассмотрим важнейшие особенности бортовых систем наведения КА, такие как

- энергетические затраты на осуществления маневра, -способность функционирования в длительных интервалах времени,

- обеспечение непрерывного изменения параметров КА,

- простота и точность закона наведения.

Энергетические затраты в процессе наведения зависят от числа и длительности активных участков траектории. Поэтому, выбор приемлемого алгоритма управления на актив-пом участке, его простота и обьем являются очень важными и актуальными требованиями при разработке системы автономного наведения.

Новейшие двигательные системы характеризуются, в частности, управляемостью и величиной удельного импульса, принципом работы и эффективностью использования топлива. Например, полет КА Deep Space 1 (DS1) уже успешно демонстрировал современный электрический двигатель, который обеспечивает удельный импульс, в 10 раз превышающий удельный импульс химического двигателя. Кроме того, новейшие магнетонлазмеиные двигатели тина VASIMR (Variable Specific Impulse Magnetoplasma Rocket), находящиеся в экспериментальных исследованиях и предназначенные для полетов на Марс и другие планеты, производят управляемый удельный импульс, который может достичь 100000 секунд, что превышает удельный импульс химических двигателей в среднем до 200 раз. Предложено также много других проектов с использованием двигателей малой и большой тяг, такие как полеты к астероидам Главного Пояса, проекты Фобос-Грунт, MUSEC-C, Пламя, JIMO (Jupiter Isy Moon Orbiter), ETS-V1 (Engineering Test Satellite), Dawn, ESA Earthguard 1, Pluto Orbiter Probe. Протяженность активных участков с такими двигателями может составлять от нескольких минут до нескольких месяцев. Развитие таких систем обусловило необходимость пересмотра известных законов наведения, построенных для коротких активных участков движения и создание новых законов для участков с протяоюенностъю до нескольких месяцев, а также разработки адекватных методов синтеза траекторий КА. Необходимо отметить законы наведения, развитые для двигательных систем с постоянным удельным импульсом (работы Лоудена) неприменимы в системах с переменным удельным импульсом.

Обеспечение непрерывного изменения параметров КА тесно связано с вопросом сходимости итерации в реальном масштабе времени. Характерной особенностью численных методов является то, что они позволяют учесть эффекты неосновных гравитирующих тел и дают возможность быстро решать комплексные задачи полета, моделирование которых в рамках проблемы оптимизации представляет различные трудности. В то же время, при численном интегрировании возникают проблемы сходимости и непрерывности параметров при переходе от одного режима тяги к другому, что в частности, связано с трудностью нахождення начальных значений множителей Лагранжа. Например, значения параметров в конце некоторого участка тяги и в начале следующего участка могут быть не равны между собой из-за неизвестности соответствующих множителей Лагранжа в начальной точке второго участка. Приравнепие значений параметров в этой точке потребует неизвестное число итераций, что в общем, может занимать память и время бортового компьютера. Эти проблемы наводят на мысль, что проинтегрированные таким образом траектории могут не всегда обеспечить приемлемую точность и непрерывное автономное наведение. Следовательно, для успешнего решения задачи наведения необходимо иметь надежный и простой алгоритм, не требующий решения проблем сходимости параметров в момент изменения режима работы двигателя.

Простота и точность закона наведения являются важнейшими требованиями для бортовых систем наведения, так как известные законы наведения, развитые для различных маневров основаны на существенных упрощениях в моделировании движения КА. К этим упрощениям относятся, в частности, замена вектора гравитационного ускорения и/или реактивного ускорения постоянным вектором, импульсное изменение скорости не изменяя положение КА и другие. Например, бортовой компьютер спускаемых аппаратов миссий "Аро11о"в 1969-1972 годах использовал среднее значение гравитационного ускорения при автономном наведении (Average G guidance) по мягкой посадке на поверхности Луны, или текущие проектно-баллистические расчеты по проекту "Научная Лаборатория по Марсу агеиства NASA"("NASA Mars Science Laboratory") предполагают постоянное и линейное изменение реактивного ускорения спускаемого аппарата для наведения при посадке на повехность Марса. Однако, развитие и внедрение новых двигательных систем и комплексные цели полетов привели к пересмотру и развитию существующих алгоритмов и программных обеспечений бортовых компьютеров КА. Это в свою очередь налагает соответствующие требования на точность бортовых законов наведения. Повышение точности этих законов может быть достигнуто путём снятия вышеупомянутых упрощений в моделировании движения КА и установлением явных зависимостей между указанными параметрами.

В дополнении к вышеупомянутым особенностям бортовых систем наведения, следует отметить, что существующие численно интегрированные траектории для КА (например, оборудованных двигателем VASIMR) не позволяют построить надежные законы наведения из-за возможного существования следующих проблем:

- при интегрировании уравнений движения с текущими (начальными) условиями могут возникать проблемы со сходимостью элементов вектора состояния (радиус вектор, вектор скорости или другие параметры КА);

- неизвестность начальных значений множителей Лаграпжа в каждой точке переключения режима тяги требует неизвестное количество итераций и сходимость итераций не всегда гарантирована из-за произвольности начальных условий для этих итераций;

- последовательность участков тяги при автономном наведении заранее неизвестна и автономный выбор может быть не самым лучшим;

- известные траекторные решения для ряда маневров и соответствующие алгоритмы бортовых систем управления не гарантируют высокую точность достижения требуемых значений параметров в пределах ограничений, наложенных на параметры КА в требуемые моменты времени.

Резюмируя вышесказанное, отметим, что система и алгоритм автономного наведения КА должны удовлетворять, в частности, следующим требованиям:

- должно быть обеспечено необходимое соответствие между алгоритмом наведения и характеристиками двигателя,

- алгоритм должен быть простым и надежным с точки зрения его реализации,

- должна быть достигнута необходимая точность и приемлемые энергетические затраты,

- способность обеспечения решения задачи наведения на любом участке траектории с любыми значениями параметров КА, включая тех, которые сильно отклонены от номинальных значений.

Преимущества аналитический решений. Вышеприведенные требования для разработки систем автономного наведения указывают на важность наличия номинальных (или опорных) траекторных решений, которые выражаются аналитически. Преимущество наличия таких решений по сравнению с численно построенными решениями состоит в том, что аналитические решения не связаны с вопросами сходимости, позволяют заранее определить начальные значения множителей Лагранжа, обеспечивают непрерывность параметров траектории при изменении режима тяги и содержат важные функциональные зависимости между параметрами КА и траектории. В совокупности, эти качества аналитических решений вместе с концепцией наведения на основе номинальной траектории позволяют анализировать поведение параметров КА, построить законы наведения, а также качественно оценить точность алгоритма управления.

Здесь отметим, что существуют два типа систем наведения. Первый тип этих систем строится на принципах программного управления и функционирует по методу " жестких" траекторий. Эти системы обеспечивают движение КА по заранее рассчитанной номинальной траектории. Недостатками этого типа систем управления являются трудность оперативного перехода на новую траекторию при изменении условий или целей наведения и значительные динамические ошибки управления. При наличии аналитических решений эти вопросы исключаются путём правильного выбора констант движения и решением уравнений непрерывности в точках изменения режима тяги.

Второй тип систем управления строится на принципах терминального управления и реализует наведение по методу "гибких"траекторий. Система управления в соответствии с целью наведения и на основе текущих параметров КА сама формирует программу изменения тяги в реальном масштабе времени. Эта программа может быть формирована при помощи явных зависимостей, которые составляют основу аналитических решений.

Как видно, закон наведения в обеих системах может быть построен на основе соответствующих аналитических решений вариационной задачи оптимизации.

Существуют также другие подходы к наведению, такие как наведение по достижению заданной скорости, наведение по заданной дели, наведение по заданным эксцентриситету и большой полуоси орбиты, наведение на основе комбинации навигационных измерений и другие. Преимущество выбора наведения по номинальной траектории заключается в осуществлении наведения как решение проблемы оптимизации, которое обеспечивает приемлемую точность, простоту бортовых алгоритмов и явную связь параметров проблемы.

Начиная с 50-х годов, вопросам аналитического решения проблемы оптимизации посвящены работы Д.Е. Охоцимского, В.А. Энеева, В.А. Егорова, А.И. Лурье, В.К. Исаева, B.C. Новоселова, А.Г. Азизова, Н.А. Коршуновой, Д.Ф. Лоудена, Дж. Лейтмана, Т.Н. Эдельбаума, С. Пайнса, Г.Дж. Келли, Г.М. Роббинса и других. Однако, несмотря на многочисленные исследования, к настоящему времени не существует общей теории или метода для анализа активных участков траекторий, оценки их оптимальности, критерия их применимости для решения практических проблем. Остаются нерешенными вопросы об определении новых аналитических решений для активных участков, их классификации, анализе их оптимальности, оптимальном сопряжении различных участков, определении структуры траектории и другие. Исследование таких вопросов является важным составным элементом построения теории аналитической оптимизации и позволило бы свести вариационную проблему к законченной форме, открывая тем самым широкие возможности для решения проблемы наведения. Данная работа посвящена исследованию этих вопросов.

Здесь и в дальнейшем, где это необходимо, будем рассматривать космический аппарат (КА) как материальную точку переменной массы.

Как известно, основы общей теории оптимальных траекторий космических аппаратов были изложены в работах Охоцимского [1] и Лоудена [2]. Соответствующая вариационная проблема динамики полета об определении оптимальных траекторий ракеты, движущейся с постоянной скоростью истечения и ограниченным секундным расходом массы в ньютоновском поле известна как проблема в постановке Лоудена [3]. Было показано, что оптимальная траектория может содержать участки трех типов: участки нулевой тяги (НТ), промежуточной тяги (ПТ) и максимальной тяги (МТ). Траектория должна удовлетворять тем условиям, которые удобно представить при помощи функции переключения и базис вектора. Функция переключения характеризует переход от одного режима тяги к другому, а базис вектор определяет направление тяги. Эти результаты были получены в случае связи (т.е. ограничения или условия, которые должны быть выполнены), наложенной на секундный расход массы, которая имеет место при описании химических двигательных систем большой тяги с низким и постоянным удельным импульсом [4]. Отсюда следует, что участки ПТ и МТ, являются частями траекторий движения с большой тягой. Однако, существует другой тип траекторий, называемых участками малой тяги (МалТ), и такие участки не получаются при связях, упомянутых выше. Участки малой тяги образуются двигателями ограниченной тяги или ограниченной мощности. В случае двигателей ограниченной тяги скорость истечения является постоянной, а секундный расход массы имеет максимальное значение, которое ограничивает тягу, производимую двигателем. В случае двигателей ограниченной мощности (электрических или ионных) обычно используют ограничения на мощность. Такие двигатели производят малую тягу с переменной скоростью истечения. Было показано, что в случае таких связей оптимальная траектория может содержать участки нулевой мощности (НМ) и максимальной мощности (ММ) [3]. Современные космические аппараты конструируются с учетом требований на их способность совершать маневр с использованием двигателей малой и / или большой тяги. Однако, результаты, полученные для движения с ограниченным секундным расходом массы и постоянной скоростью истечения, не применимы в случае движения, при котором мощность и скорость истечения ограничены связами. Другими словами, результаты, полученные для движения с химическими двигателями, не применимы в случае движения с двигателями ограниченной мощности и наоборот. Однако, если требуется совершать маневры с использованием обоих типов двигателей, то для определения оптимальной траектории маневра необходимо исследовать такую вариационную проблему, которая позволяла бы учитывать любые типы двигателей, характеризуемые соответствующими связями. Такая постановка проблемы особенно важна в связи с тем, что в настоящее время планируются различные полеты на Марс, Юиитер, Меркурий, на различные астероиды и в коропу Солнца с использованием двигателей малой и большой тяги [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14].

Как известно, уход (захват) космического аппарата с Земли может быть реализован по параболической или гиперболической траектории с использованием химических двигателей большой тяги [4], [5], [14], [15]. Существующие численные решения для участков МалТ требуют несколько сот оборотов вокруг центра притяжения (Земля или Марс), которые могут привести к трудностям, связанным с навигацией и наведением, а также опасностью радиационного облучения в случае пилотируемых полетов [4]. Могут существовать также и комбинации участков малой и большой тяг, которые позволяют совершать маневр более эффективно [5], [10], [12]. Но такие комбинации не анализируются в случае задач, которые включают связи, справедливые только для двигателей малой или большой тяги. С этой точки зрения очень важно анализировать различные типы участков тяги в контексте постановки проблемы, которая получалась бы изменением уравнений связей в постановке Лоудена с целью учета характеристик двигателей малой и большой тяг. Во второй главе данной работы показано, что рассмотрение вариационной проблемы со связями на направляющие косинусы, удельный импульс и мощность позволяет получить траекторию с постоянной или переменной скоростью истечения с произвольным уровнем тяги или мощности. Это приводит к классификации участков тяги и мощности в зависимости от значений некоторых управляющих переменных. Ниже приводятся обзоры работ, посвященные исследованиям участков малой и большой тяг. Заметим, что аналитические решение для участков НТ в случае ньютоновского поля и соответствующего базиса были получены в работах [2], [16], [17].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрена вариационная задача динамики полета об определении оптимальных траекторий центра масс ракеты {космического аппарата) в центральных гравитационных полях. На основе анализа опубликованных ранее работ по исследованию численных, аналитических и приближенно-аналитических методов решения вариационной проблемы для активных участков определен круг наиболее важных вопросов, подлежащих дальнейшему исследованию в настоящей работе. Активными участками являются те отрезки траектории, на которых тяга (мощность) имеет ненулевое значение. Получены следующие основные результаты:

• Вариационная проблема об определении оптимальных траекторий центра масс КА, алтернативная известной проблеме Лоудена и в отличии от неё, позволяет построить активные участки не только с постоянным, но и переменным удельным импульсом и максимальной мощностью. Оптимальными могут быть активные участки только с максимальной мощностью и постоянным удельным импульсом. Участки движения с переменной мощностью и переменным удельным импульсом не являются экстремалями задачи. Число активных участков и структура оптимальной или экстремальной тректории зависят от числа констапт движения этих участков;

• Точность известного закона наведения Бэттина (Battiii) (активные участки заменяются импульсами, а гравитационное ускорение представляется постоянным вектором) может быть значительно улучшена при помощи использования участков максимальной тяги непулевой длительности вместо импульсов и представления гравитационного ускорение линейной функцией от радиуса вектора центра масс КА;

• Синтез траекторий может быть произведен при помощи только частных решений Га-мильтоповой системы уравнений вариационной проблемы оптимизации траекторий КА для активных участков, а общее решение этой системы имеет только теоретическое значение;

• При планировании маневра перелета с границы сферы действия Земли на заданную околоземную слабоэллиптическую орбиту паркования, в целях минимизации радиационного облучения и уменьшения вероятности соударения с телами различного происхождения рекомендуется разделение траектории на две части. А именно, на траекторию снижения до определенной высоты ниже 800 км и траекторию перелета с этой высоты на заданную орбиту. Прохождение КА через зону радиации за кратчайшее время приводит к резкому уменьшению радиационной аккумуляции и значительному израсходованию топлива. Более долгие перелеты являются соответственно более экономичными с энергетической точки зрения;

• Существует явная зависимость дозы радиационного облучения, аккумулированной на заданной высоте от мгновенного изменения дозы на данной высоте, площади, образованной осью высоты и кривым изменения дозы. Эта зависимость является основой стратегии минимизации израсходуемого топлива и уменьшения общей аккумуляции дозы облучения при прохождении через радиационный пояс Земли;

• Разработана методология аналитического определения экстремальных траекторий, включая определение числа активных участков и структуры траектории.

Разработана методика применения аналитических решений для активных участков при построении экстремальных траекторий для решения задач межорбитальных перелетов.

Показано, что по существу, решение вариационой проблемы маневра может быть сведено к решению только определенного числа алгебраических уравнений.

Даны детальные решения следующих задач:

Задача перелета между эллиптическими орбитами при помощи участка малой тяги с постоянным удельным импульсом;

Задача перелета между двумя эллиптическими орбитами при помощи участка малой тяги с переменным удельным импульсом;

Задача маневра перелета с заданного положения па эллиптическую орбиту ири помощи участка малой тяги с переменным удельным импульсом;

Задача поворота плоскости эллиптической орбиты при помощи сферического участка промежуточной тяги с постоянным удельным импульсом;

Задача перелета между круговыми орбитами при помощи двух участков максимальной тяги с постоянным удельным импульсом.

Вышеперечисленные межорбитальные маневры могут быть осуществлены следующим образом:

Перелет между эллиптическими орбитами и перелет с заданного положения на эллиптическую орбиту можно осуществить при помощи одного участка малой тяги с постоянным или переменным удельными импульсами и описаны полностью аналитически. Продолжительность движения на спиральных участках движения с переменным импульсом и постоянным реактивным ускорением и число оборотов вокруг небесного тела зависят только от поведения угла тяги;

Перелеты между заданными круговыми орбитами, а также между круговой и гиперболическими орбитами можно осуществить при помощи двух и одного участков максимальной тяги с постоянным удельным импульсом соответственно. Эти маневры описываются полностью аналитически и с энергетической точки зрения являются почти оптимальными, так как абсолютная разница между безразмерными характеристическими скоростями этих манвров и соответствующими импульсными перелетами составляет в среднем только 0.0001 и 0.0006 соответственно.

Поворот плоскости эллиптической орбиты можно осуществить при помощи одного сферического участка промежуточной тяги с постоянным удельным импульсом. Для некоторых значений угла поворота и размера орбиты, этот поворот является энергетически лучшим в среднем на 0.1 процента чем соответствующие одно-, двух- или трех-импульсные повороты.

Глава 10

1. Оходимский Д.Е., Енеев Т.М. Некоторые задачи запуска исскуственных спутников Земли // Успехи Физических Наук. -Москва: Наука. - 1957. Т.63, В.1а.

2. Lawden D.F. Optimal Trajectories for Space Navigation. -Butterworths. London. 1963. -pp. 55-99.

3. Melbourne W.G., Sauer C.G.Jr. Optimum thrust programs for power-limited propulsion systems //Acta Astronautica. -1962. V.VIII, N.4. -pp. 205-227.

4. Irving J.H. Space technology. New York: Wiley and Sons. -1959. Edited by Seifert. -pp. 3.05-10.16.

5. Энеев T.M., Ахметшин P.3., Егоров В.А., Ефимов Г.Б. Динамика систем с двигателями с малой тягой, -Москва: ИПМ -2002. -С. 53.

6. Akim E.L., Stepaniants V.A., Tuchin A.G. Accuracy of orbit determination for low thrust trajectory to the Mars //Advances in the Astronautical Sciences. AAS 98-387. -1998. -pp. 1-13.

7. Белецки В.В., Егоров В.А., Ершов М.Г. Анализ траекторий межпланетных полетов с двигателями постоянной мощности // Космические исследования. -М.:Наука. 1964. Т.З, В.4. -С. 507-522.

8. Ефимов Г.Б., Охоцимский Д.Е. Оптимальное ускорение космического аппарата в центральном поле // Космические исследования. -М.:Наука. 1965. Т.З, В.6. -С. 811825.

9. Konstantinov M.S., Fedotov G.G. Electric Propulsion Mission to Mercury / Second Europian Spacecraft Propulsion Conference Proceesdings. -1997. May 27-29. ESA SP-398. ESA. August. -1997.

10. Федотов Г. Г. Оптимизация перелетов между орбитами искусственных спутников двух планет при использовании комбинации большой и малой тяги // Космические исследования. -М.: Наука. 2002. Т.40, В.6. -С. 616-625.

11. Федотов Г.Г. Методические основы проектно-баллистического анализа межпланетных КА с ЭРД // Авторефер. докт. дисс. техн. наук. МАИ, Москва. 2002. -С. 43.

12. Усачев В.В. Оптимизация траекторий и миссий в корону Солнца. Авторефер. докт. дисс. техн. наук. МАИ, Москва. -2004. -С. 51.

13. Ахметшин Р.З. Экспедиции в главный астероидный пояс с малой тягой с гравитационным маневром у Марса. -Москва: ИПМ -2002. -С. 145.

14. Battin R.H. An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. -New York:AIAA Education Series. -1987. -pp. 550-566.

15. Tapley B.D. Regularization and the computation of optimal trajectories //Celestial Mechanics. 1970. V.2. -pp. 319-333.

16. Азизов А.Г., Коршунова Н. А. Применение метода Леви-Чивита при анализе оптимальных траекторий //Космические исследования. -Москва: Мир. 1979. Т.17, -Вып.З. -С. 378-386.

17. Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. Москва. ВЦ АН СССР. 1968.

18. Салмин В.В. Оптимизация космических перелетов с малой тягой. Москва. Машиностроение. 1987.

19. Гришин С.Д., Захаров Ю.А., Одолевский В.К. Проектирование космических аппаратов с двигателями малой тяги. Москва. Машиностроение. 1990.

20. Marec J. P. Optimal Space Trajectories. -Amsterdam: Elsevier Scientific Publishing Company. 1979. -pp. 7-101.

21. Chang Diaz, F.R., Hsu,M.M., Braden, E. Johnson, Yang T.F. Rapid Mars Transits With ExhaustModulated Plasma Propulsion / NASA Technical Paper. 1995. N.TN-3539.

22. Melbourne W.G. Interplanetary trajectories and payload capabilities of advanced propulsion vehicles / JPL Tehcnical Report. JPL. Pasadina. California. 1961. -C. 32-68.

23. Konstantinov M.S., Fedotov G.G. Estimation of an opportunity of Mercury mission with use of solar electric propulsion //Acta Astronautica, V. 51, N.ll, 2002, pp.807-818.

24. Malyshev V.V., Usachov V.E., Tychinski Y.D. Optimization of the Solar Probe Trajectory with Electric Thrusters and Gravitation Maneuvers / 50-th International Atsronautical Congress, Section A.6.02 / Amsterdam, Netherlands. October 4-8, -1999.

25. Malyshev V.V., Usachov V.E., Tychinski Y.D. The guidance strategy for the Russian solar probe within "Fire"mission / 48-th International Atsronautical Congress / Italy, Turin. -1997.

26. Malyshev V.V., Usachov V.E., Tychinski Y.D. Analisis and Optimization of Guidance of a Solar Probe with Allowance for Stochastic and Uncertain Disturbances // Journal of Computer and Systems Sciences International. V.38, N.4, 1999.

27. Рыжов Ю.А., Малышев В.В., Пичхадзе К.М., Усачов В.Е. Анализ и синтез космических миссий для прямых исследований короны Солнца // Известия РАН. Теория систем и управления, N.4, 2001, с. 131-152.

28. Akhrnetshin R.Z., Eneev G.B., Efiinov G.B. On the possibility of asteroid renezvous with sample return to the Earth Abstract. IAU Colloquium. -1996. -p.l.

29. Petukhov V., Konstantinov M.C. . Spacecraft Insertion into High Working Orbit Using Light-Class Launcher and Electric Propulsion. ISSFD-17, 2003. (http://issfd.kiaml.rssi.ru/abstracts/pl63pdf).

30. Coverstone-Carroll V., Williams S.N. Optimal low-thrust trajectories using differential inclusion concepts //The Journal of the Astronautical Sciences. -Springfield: AAS. -1994. V.42, N.4. October- December, -pp. 379-393.

31. Braden E.M., Cockrell B.F., Bordano A.J. Power -Limited Human Mission to Mars / Lyndon B. Jonson Space Center. Aerospace and Flight Mechanics Division. 1998. JSC: Houston. V.28436. September, -pp. 1-35.

32. Markopoulos N. Analytically exact non-Keplerian motion for orbital transfers / AIAA/AAS Astrodynarnics Conference. AIAA 94 - 3758 - CP. - 1994, August 1-3, Scottsdale, Arizona, -pp. 383-412.

33. Tapley B.D, Miner W.E., Power W.F. The Hamilton -Jacoby method applied to the low-thrust trajectory problem / Belgrad. 1968. Proceedings of Astrodynarnics Congress, -pp. 293-305.

34. Ивашкин В.В., Чернов А.В. Определение оптимальных траекторий космических полетов к сбилижающемуся с Землей астероиду с использованием малой тяги / Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша. -1997. Москва. Россия. Препринт ИПМ N.19.

35. Ивашкин В.В. и Чернов А.В. Оптимизация траекторий перелетов космического аппарата к сбилижающемуся с Землей астероиду при использовании малой тяги / Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша. -1996. Москва. Россия. Препринт ИПМ N.62.

36. Ivaslikin V.V., Zaytsev A.V., Chernov A.V. Optimal Flights to Near-Earth Asteroid // Acta Astronautica. 1999. V.44, N.5. -pp. 219-229.

37. Федотов Г. Г. Об использовании возможностей комбинации большой и малой тяги при полетах к Марсу // Космические Исследования, Т.39, В.6, 2001, с.613-621.

38. Константинов М.С., Федотов Г.Г., Ефимов Г.Б. Проектно-баллистический анализ КА с ЭРД для полетов к Меркурию. //Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. М., 2001 с.28.

39. Константинов М.С., Попов Г.А., Федотов Г.Г. Оценка использования солнечной электрореактивной установки для выведения спутника Юпитера //Космические Исследования, Т.40, В.2, 2002, с.201-208.

40. Eneev Т.М., Efimov G.B., Konstantinov M.S., Akhmetshin R.Z., Fedotov G.G., Petukhov V.G. Advanced interplanetary missions with solar-nuklear electric propulsion //Preprint Keldysh Institute of Applied Mathematics. N.35, 1996.

41. Eneev T.M., Konstantinov M.S., Akhmetshin R.Z.,Efimov G.B., Fedotov G.G., Petukhov V.G. Mercury-to-Pluto range missions with solar-nuclear electric propulsion //Preprint Keldysh Institute of Applied Mathematics. N.lll, 1996.

42. Seywald H. Trajectory optimization based on differential Inclusion //Journal of Guidance, Control arid Dynaics. -New York: AIAA. -1994. V.17, N.3. May-June. -pp. 480487.

43. Kluever C.A. Optimal low-thrust interplanetary trajectories by direct method techniques //The Journal of the Astronautical Sciences. -Springfield: AAS. 1997. V.45, N.3. July-September, -pp. 247-262.

44. Ocainpo С. COPERNICUS, A General Spacecraft Trajectory Design and Optimization System / The University of Texas at Austin. Dept. Aerospace Engineering and Engineering Mechanics. 2001. October 25.

45. Sheel W., Conway B.A. Optimization of very-low thrust many -revolution spacecraft trajectories //Journal of Guidance, Control and Dynamics. -New York: AIAA. 1994. V.17, N.6. -pp. 1275-1282.

46. Thorne J.D., Hall C.D. Minimum -Time Continuous thrust orbit transfers // The Journal of the Astronautical Sciences. -Springfield: AAS. 1997. V.45, N.4. -pp. 411-432.

47. Tang S., Conway B.A. Optimization of low-thrust interplanetary trajectories using collocation and nonlinear programming //Journal of Guidance, Control and Dynamics. -New York: AIAA. 1995. V.18, N.3. -pp. 599-604.

48. Vadali S.R., Nah R., Braden E., Jpohnson I.L.Jr. Fuel-optimal planar interplanetary trajectories using low-thrust exhaust-modulated propulsion / Paper AAS 99-132. AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting. 1999. Breckenridge, Colorado. February 7-10.

49. Crain Т., Bishop R.H., Fowler W., Kenneth R. Optimal interplanetary trajectory design via Hybrid Genetic Algorithm: Recursive quadratic program search //Advances in the Astronautical Sciences. AAS 99-133. -1999. -pp. 449-465.

50. Kelly H. G., Kopp R. E., Moyer H. G. Singular extremals / Topics in Optimization. Academic Press. Edited by Leitmann G., 1967. -pp. 63-102.

51. Роббинс X.M. Оптимальность активных участков промежуточной тяги траекторий ракеты //Ракетная техника и космонавтика. 1965. Т.З, -Вып.8. -С. 139-145.

52. Lawden D.F. Necessary conditions for optimal Rocket Trajectory //Quart S.Mech. Appl. Math. 1959. V.12. -pp. 476.

53. Лоуден Д.Ф. Межпланетные траектории ракет //Космические траектории. М:Мир. 1963. -С. 177-242.

54. H.J. Kelly. Method of Gradients. 6. Optimization Techniques. New York: Academic Press. - 1962. -pp. 206-252.

55. Venbeke de B.M.F., Geerts J. Optimization of multiple impulse orbital transfers by maximum principle 1964. Rept.OA-4. Русский перевод: де Вёбек Б.М.Ф., Гёртс Ж.Сб: Механика, N.1 (95). 1966. -С. 27-49.

56. Johnson C.D. Sinqular solutions in problem of optimal control. New-York-London. Edited by Leondes C.G. 1965. V.2. Advances in Control Systems. Theory in applications. -pp. 209-269.

57. Габасов P., Кириллова Ф. M. Особые оптимальные управления. М.:Наука. 1965. -С.256.

58. Габасов Р., Кириллова Ф. М. К теории необходимых условий оптимальности высокого порядка //Дифференциальные уравнения. -М: Наука. 1970. Т.VI, -Вып.4. -С. 665-676.

59. Зеликин М.И. N мерный вариант задачи Лоудена / 6 - Всесоюзный съезд по теор. и прикл. механике: Аннот . докл.1986. Ташкент. 24 -30 сент. -1986. -С. 63.

60. Завалищин С. Т. Дополнение к теории Лоудена //Прикладная математика и механика. -М: Наука. 1989. -Вып.5. -С. 731-738.

61. Goh B.S. The second variation for the singular Bolza problem //SIAM J. Control. 1966. V.4, N.2, -pp. 309-325.

62. Goh B.S. Necessary conditions for singular extremals involving multiple control variables //SIAM J. Control. 1966. V.4, N.4. -pp. 716-731.

63. Срочко В.А. Особые управления в оптимальных системах -Иркутск: Из-во Иркутского гос.ун-та. 1971. Автореф. канд. дисс.

64. Келли Г. Необходимое условие для особых экстремалей, основанное на второй вариации //Ракетная техника и космонавтика. -М: Наука. 1964. Т.8, -Вып.6. -С. 26-29.

65. Kelly H.J. A transformation approach to singular subarcs in optimal trajectory and control problems //SIAM J. Control. 1964. V.2, N.2. -pp. 234-240.

66. Кротов В.Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума.1. //Автоматика и телемеханика. -М: Наука. 1962. T.XXIII, -Вып. 12. -С. 1571-1583.

67. Кротов В.Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума.II. //Автоматика и телемеханика. -М: Наука. 1962. T.XXIV, -Вып.5. -С. 581-598.

68. Гурман В.И. К вопросу об оптимальности особых режимов движения ракет в центральном поле //Космические исследования. -М: Наука. 1965. T.IV, -Вып.4. -С. 499509.

69. Bell D. J., Jacobson D.H. Singular optimal control Problems -New York: Academic Press. -1975. -pp. 61-151.

70. Azizov A. G., Korshunova N. A. On an Analytical Solution of the Optimum Trajectory Problem in a Gravitation Field //Celestial Mechanics. 1986. V.38, N.4. -pp. 297-306.

71. Коршунова H.A. Вопросы интегрирования уравнений вариационной задачи в центральном поле / МГУ имени М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет. Москва. 1977. Авторефер. дис. канд. физ.-мат. наук. -С. 1-24.

72. Азимов Д.М. Участки промежуточной тяги в вариационной задаче Майера //ПММ.-М:Наука. -2000. Т.64, -Вып.1. -С. 92-101. English translation: D. М.

73. Aziinov. Intermediate Thrust Arcs in Mayer's Variational Problem. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. Pergamon, -2000, -Vol.64, No.l, pp. 87-95.

74. Коршунова H.A. Об оптимальных траекториях ракеты в центральном поле .

75. Азимов Д.М. К вопросу об оптимальности участков промежуточной тяги //Алгоритмы и численные решения задач вычислительной и прикладной математики -Ташкент: Ташк. гос. ун-т им. В. И. Ленина. 1988. -С. 6-9.

76. Азимов Д.М. Исследование оптимальных траекторий в центральном ньютоновском поле. Автореферат канд. дис. Университет Дружбы Народов им. П. Лумумбы. Москва. 1991. -С. 13.

77. Азизов А.Г., Коршунова Н.А. Вариационные задачи механики космического полета / Ташк. гос. ун-т. -1991. -С. 1-84.

78. Azimov D. M. A New Classes for Intermediate-Thrust Arcs of Flight Trajectories in a Newtonian Field //AIAA Journal of Guidance, Control and Dynamics. New-York: AIAA. - 2000. V.23, N.l. -pp. 142-145.

79. Летов A.M. Динамика полёта и управление. М.-.Наука. 1969. -С. 259.

80. Клих Ю. А., Макаров О.Ф., Плотников В. О. О включении особых участков в оптимальную траекторию //Матем. физ. Республ. межвед. сб. 1968. -Вып.4. -С. 42-49.

81. Burns Е., Rowland. A study on the optimal Rocket trajectory //AIAA Paper. 1971. N.20. -pp. 1-8.

82. Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов. М.:Наука. 1976. -С. 744.

83. Макаров О.Ф. О структуре оптимального по минимуму энергетических затрат режима управления двжением в гравитационнном поле //Проблемы механики управляемого движения. -Пермь: Пермск.гос.ун-т. 1989. -С. 87-89.

84. Lurie A.I. Thrust Programming in a Central Gravitational Field / Topics in Optimization. Academic Press. -1967. -pp. 103-146.

85. Коршунова H.A. Аналитическая теория оптимизации траекторий точки в гравитационных полях / Автореферат докт. дисс. физ.-мат. наук. МГУ им. М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет. Москва. 1992. -С. 1-24.

86. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.:Наука. -1979. -С. 370-407.

87. Milyutin А.А., Osmolovski N.P. Calculus of variations and optimal control. Translations in mathematical monographs. Providence, Rhode Island 1998. V.180. -pp. 7-148.

88. Новоселов B.C. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. -Ленинград: Из-во ЛГУ. 1972. -С.317.

89. Лейтман Дж. Вариационные задачи с ограничениями на управления Под ред. Лейт-мана Дж. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полёта. -М.: Мир. -1965. -С. 209-243.

90. Bryson E.Jr., Yu-Chi Но. Applied Optimal Control. Optimization, Estimation and Control. -Waltham, Massachussets: Ginn and Company, A Xerox Company. 1969. -pp. 177-211.

91. Krotov V.F. Global methods in optimal control theory -New York: Marcel Dekker, Inc. 270 Madison Avenue, New York. 1996. -pp. 133-179.

92. Bliss G.A. Calculus of variations. Chicago. Illinois: The Open Court Publishing Company. The Mathematical Association of America. 1925. -pp. 128-136.

93. Fletcher R., Powell MJ.D. A Rapidly Convergent Descent Method For Minimization //The Computer Journal. 1963. V.6, N.2. -pp. 163-168.

94. Григорьев К.Г. О маневрах космического аппарата при минимальных затратах массы и ограниченном времени // Космические исследования. -М: Наука. 1994. Т.32, В.2, -С. 45-60.

95. McCue G.A. Quazilinearization Determination of Optimum Finite-Thrust Orbital Transfers //AIAA Journal. -New-York : AIAA. 1967. V.5, N.4. -pp. 755-763.

96. Brown K.R., Harrold E.F., Johnson G.W. Rapid optimi- zation of multiple -burn rocket flights / NASA. 1969. N.CR-1430.

97. Bryson А.Е., Denham, W.F. A steepest ascent method for solving optimum programming problems //J.Apply.Mech. 1962. N.87. -pp. 247-257.

98. Григорьев К.Г., Федына А.В. Оптимальные перелеты космического аппарата с реактивным двигателем большой ограниченной тяги между компланарными круговыми орбитами // Космические исследования. -М: Наука. 1995. Т.ЗЗ, В.4. -С. 403-416.

99. Kornhauser A.L., Lion P.M., Hazelrigg G.A. An Analytic Solution for Constant-Thrust, Optimal Cost, Minimurn-Propellant Spacc Trajectories //AIAA Journal. New-YorkrAIAA. - 1971. N.7. -pp. 1234-1239.

100. Robbins H.M. An Analytical Study of the Impulsive Approximation //AIAA Journal. -New-York:AIAA. 1966. V.4, N.8. -pp. 1417-1423.

101. Andrus J.F., Burns I.F., Woo J.Z. Nonlinear optimal guidance algorithms / NASA. -1969. N.CR-86160.

102. Marchal C., Marec J.P., Winn C.B. Survey paper-synthesis of the analitical rezults on optimal transfers between keplerian orbits //ONERA tire a part. 1967. N.515.

103. Marchal C. Transferts optimax entre orbites elliptiques (duree indifferente). These de doctorat. AO 1609. Faculte des Sciences de Paris. 1967.

104. Новоселов B.C. Общая схема аналитических приближений экстремальных переходов между орбитами с малыми наклонениями и эксцентриситетами //Вестн.С.-Петербург.ун-та. 1997. Т.1, -Вып.1. -С. 82-86.

105. Новоселов B.C. Вариация функционала и упрощенное построение аналитических приближений в экстремальных задачах управления движением //Вестн.С.-Петербург.ун-та. 1995. Т.1, -Вып.З. -С. 92-100.

106. Азизов А.Г., Коршунова Н. А. К вопросу определения аналитических решений на участках максимальной тяги // Управляемые динамические системы и их приложения. -Ташкент: Ташк. гос.уп-т им. В. И.Ленина. 1987. -С. 10-13.

107. Исаев В.К. Принцип максимума Л.С.Понтрягина и оптимальное программирование тяги ракет //Автоматика и телемеханика. -М: Наука. 1961. Т.21, -Вып.8. -С. 9861001.

108. Jezewski D.E., Stoolz J.M. A closed -form solution for maximum- fuel, constant-thrust trajectories //AIAA Journal. 1970. V.8. N.7. -pp. 1229-1234.

109. Ежевски Д., Розендаль. Эффективный метод расчета оптимальных N импульсных траекторий полета в космическом пространстве //Ракетная техника и космонавтика. -М: Мир. - 1968. Т.6, -Вып.11. -С. 138-145.

110. Andrus J.F. Elliptic Integral Solutions to a Class of Space Flight Optimization Problems //AIAA Journal. New-York:AIAA. - 1976. V.14, N.8. -pp. 1026-1030.

111. Азимов Д.М. К вопросу об определении точек переключения на оптимальной траектории // Управляемые динамические системы. -Ташкент:Ташк. гос.ун-т им. В. И.Ленина. 1990. -С. 18-20.

112. Hull D.G. Optimal control theory for applications. New-York: Springer-Verlag New-York, Inc. 2003. -pp. 258-301.

113. Dmitruk A.V. Jacobi type conditions for the problem of Bolza with inequalities //- Math. Notes of the Acad. Sci. USSR. V.35, 1984.

114. Azimov D.M., Bishop H.R. New Classes of Optimal Analytical Space Trajectories / The World Space Congress 2002. Astrodynamics Symposium. IAC-02-A.6.01. 2002. -pp. 1-10.

115. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления М.:Наука. 1968. -С. 1326.

116. Miele A. An extension of the theory of the optimum burning program for the level flight of a rocket-powered aircraft //J.Aeronaut. Sci. 1957. N.24. -pp. 874-884.

117. Miele.A. General variational theory of the flight paths of rocket-powered aircraft, missiles and satellite carriers // Astronant Acta. 1958. N.4. -pp. 264-288.

118. Arutyunov A.V. Optimality conditions. Abnormal and degenerate problems. -Drdrecht. The Netherlands: Kluwer Academic Publishers 2000. -pp. 89-123.

119. Korn, G.A., Korn T.M. Mathematical handbook for scientists and engineers. McGraw-Hill book company, Inc. 1961. In russian: Корн Г., Kopn Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -1984. -С. 80, 237.

120. Larson С.A., Prussing J.E. Optimal orbital rendezvous using high and low thrust / AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting. Paper AAS 89-354. 1989. San Diego, CA. August 7-10. -pp. 513-532.

121. Space Flight Mechanics Meeting. Paper AAS 02-155. -20 p. San Antonio, Texas. 2002. January 27-30.

122. Коршунова H. А. Азизов А. Г. К вопросу определения оптимальных траекторий в ньютоновском поле //Проблемы механики управляемого движения. -Пермь: Пермск.гос. ун-т. 1984. -С. 5-10.

123. Коршунова Н.А. О некоторых частных решениях задачи об оптимальной траектории точки переменной массы //ДАН УзССР. 1975. -Вып.8. -С. 13-15.

124. Дубощин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М: Физматгиз. 1963.

125. Азимов Д.М. Об определении оптимальных траекторий в линейном центральном поле // -Ташкент: УзНИИНТИ. Деп. в УзНИИНТИ. 5.12.88, 887 Уз 88. - 1988. -С. 22.

126. Aziinov D.M., Bishop R.H. Planetary Capture Using Low-Thrust Propulsion / 16th International Symposium on SpaceFlight Dynamics. Pasadena, California. USA. 2001. December 3-6. -pp. 1-31.

127. Azimov D.M., Bishop R.H. Earth-Mars Minimum Fuel Trajectories via Circular and Spiral Low Thrust Arcs / Texas A and M University. -2000. NASA JSC/A and M/UT Meeting. College Station, Texas. USA. December 1. -pp. 1-26.

128. Bishop R.H., Azimov, D.M. Ocampo C., Condon G., Crain Т., etc. Low Thrust Trajectory Work at JSC. Lunar Institute. -2001. Presented to the Mars Program Systems Engineering Team. NASA Lyndon Johnson Space Center. Houston. USA. December 5. -pp. 1-48.

129. Азимов Д.М. Об оптимальных траекториях космического аппарата в ньютоновском поле / Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Российский Университет Дружбы Народов. Тезисы докладов. 18-22 апреля, 2005.

130. Азимов Д.М. Обзор работ по исследованию активных участков в гравитационных полях // Автоматика и Телемеханика. -Москва. Российская Академия Наук. 2005, N.11. С.14-34.

131. Pines S. Constants of the motion for optimum thrust trajectories in a Central gravitational field. Topics in optimization, edited by G. Leitmann. -New-York: Academic Press. -1967.

132. Азимов Д.М. Шесть классов траекторий движения с промежуточной тягой в ньютоновском поле //ДАН РУз. -Ташкент: АН РУз. -Вып.2. -1999. -С. 13-16.

133. Lawden D.F. Optimal powered arcs in an inverse square law field //J. Amer. Rocket Soc. 1961. V.31, N.4. -pp. 566-568.

134. Lawden D.F. Optimal intermediate -thrust arcs in a gravitational field //Astronaut. Acta.8. -1962. N.2. -pp. 106-123.

135. Копп P.E., Мойер Г. Необходимое условия оптимальности особых экстремалей //Ракетная техника и космонавтика. 1965. Т.З, Вып.8. -С. 81-94.

136. Азимов Д.М. Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби для участков промежуточной тяги методами аналитической механики // Проблемы механики. -Ташкент: АН РУз. -Вып.1. 1998. -С. 3-7.

137. Azimov D.M., Bishop R.II. Extremal Rocket Motion with Maximum Thrust in a Linear Central Field //Journal of Spacecraft and Rockets. -New-York : AIAA. 2001. V.38, N.5. -pp. 765-776.

138. Азимов Д.М. Участки промежуточной тяги для точки, движущейся в линейном центральном поле // Проблемы механики. -Ташкент: АН РУз. -Вып.6. -1998. -С. 3-8.

139. Азимов Д.М. Об одном классе участков максимальной тяги в центральных нолях //Проблемы механики. -Ташкент: АН РУз. -Вып.2-3. -1999. -С. 3-9.

140. Azirnov D.M., Bishop R.H. Transfer Between Circular and Hyperbolic Orbits Using Analytical Maximum Thrust Arcs // Journal of Spacecraft and Rockets. 2003. V.40, N.3. -pp. 433-436.

141. Азимов Д.М. Активные участки экстремальных траекторий в линейном центральном поле // Автоматика и Телемеханика. -Москва. Российская Академия Наук. 2005, N.10. С.3-23.

142. Azimov D.M., Bishop R.H. Optimal Trajectories for Space Guidance // Annals of New York Academy Sciences. New York, NY., -2005, N.1065, pp.1-21 .

143. Эрике К. Космический полет -М.: Наука. -Т.2., -Ч.З, 1966. -С. 571.

144. Dawn Т. Low-Thrust Piloted, 1-year Roundtrip Mars Mission in 2018. Technical report. NASA/JSC/EG5-Advanced Mission Design Branch. Human Exploration and Development of Space (HEDS). February 12, 2001.

145. Whiffen G.J., Sims, J.A. Application of the SDC Optimal Control Algorithm to Low-Thrust Escape and Capture Trajectory Optimization. AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting, San-Antonio, Texas. 27-30 January, 2002, 22 p.