автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка алгоритмов решения нестационарных уравнений Максвелла на базе узлового и векторного методов конечных элементов

На правахрукописи

?

У

/ '

Гельбер Андрей Викторович

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ

НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА НА БАЗЕ

УЗЛОВОГО И ВЕКТОРНОГО МЕТОДОВ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск, 2004

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете.

Научный руководитель: д.т.н., профессор, Э.П. Шурина.

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор, В.П. Ильин,

д.ф.-м.н., профессор Ю.А. Дашевский.

Ведущая организация: Институт прикладной математики

РАН им. М.В. Келдыша, 125047, г. Москва, Миусская площадь, 4.

Защита состоится "30"июня 2004 г. в 15 часов на заседании специализированного совета Д 003.061.02 при Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, 6.

С текстом диссертационной работы можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИВМиМГ СО РАН (проспект Академика Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь специализированного Совета, д.ф.-м.н.

Ф

С Б. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современный уровень развития вычислительной техники предоставляет широкие возможности для математического моделирования различных физических процессов. Необходимость эффективного численного моделирования электромагнитных полей возникает в различных технических приложениях, таких, как разработка аппаратуры для дефектоскопии, электроразведки, геоэкологических методик, электрических машин.

Для контроля за техническим состоянием машин, механизмов и других объектов техники разработаны дефектоскопы. С их использованием можно получать быстрые и надежные результаты измерений толщины или обнаруживать скрытые внутренние дефекты без разрезания или разделения объектов контроля. Наиболее эффективными для исследования и контроля при бурении и эксплуатации нефтяных и газовых скважин являются электромагнитные методы. Для интерпретации данных электромагнитного зондирования требуется наличие эффективных средств математического моделирования электромагнитных полей.

В связи с этим актуальными являются разработка и исследование новых эффективных и устойчивых численных алгоритмов решения системы уравнений Максвелла и их практическая реализация. Одним из наиболее распространенных методов аппроксимации электромагнитных полей является метод конечных элементов (МКЭ). В 80-х годах XX века была предложена новая модификация МКЭ -векторный МКЭ [Меёе1ее, 1980; Меёе1ее, 1986]. Исследование этого метода является актуальной задачей вычислительной математики, так как ряд вопросов, связанных с его применением к различным классам задач и практической реализацией остается нерешенным. На сегодняшний день векторный МКЭ является одним из основных методов решения задач электромагнитизма, тем не менее он остается-практически неосвещенным в отечественной литературе.

Цель работы. Разработка и реализация алгоритмов на базе узлового и векторного МКЭ для моделирования нестационарных электромагнитных полей в осесимметричных и трехмерных областях. Моделирование электромагнитных полей, возникающих при дефектоскопии обсадных колонн нефтегазовых скважин.

Методы исследования. Методы вычислительной математики. Сравнительный анализ результатов моделирования и аналитического решения. Расчеты на последовательности сгущающихся сеток и анализ сходимости к экспериментальным данным и аналитическим решениям.

Защищаемые положения и научная новизна:

1. Разработан и реализован алгоритм моделирования нестационарных электромагнитных полей в осесимметричном случае в неоднородных областях; предложен способ учета скачка поля на границе раздела сред с различными магнитными свойствами.

2. На базе векторного метода конечных элементов разработан и реализован алгоритм моделирования нестационарных векторных электромагнитных полей в трехмерных неоднородных областях.

3. Экспериментально определен оптимальный параметр схемы Ньюмарк-бета (/3 = 0.25) аппроксимации по времени. Построен аналог этой схемы для неравномерного шага по времени.

4. Проведен ряд вычислительных экспериментов, подтверждающих эффективность предложенных схем при сравнении с результатами физических экспериментов и аналитическими решениями. Определено влияние величины магнитной проницаемости вещества колонны, соединительных муфт, а также дефектов различной конфигурации на значения ЭДС в измерительном контуре дефектоскопа.

Значимость работы. Предложены и реализованы алгоритмы решения нестационарных уравнений Максвелла в неоднородных областях в осесимметричном и трехмерном случаях. На основе разработанного комплекса программ в осесимметричном случае проведено исследование влияния групп дефектов и соединительных муфт на результаты дефектоскопии. На ряде модельных задач исследован новый подход к решению нестационарных векторных уравнений, основанный на векторном МКЭ. Проведено сравнение ВМКЭ с

классическим скалярным МКЭ. Результаты исследования позволяют сделать вывод о возможности применения ВМКЭ для решения реальных задач электромагнетизма.

Личный вклад. Все результаты, изложенные в диссертации без ссылок на работы других авторов, принадлежат лично автору.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и докладывались на: XXXVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». (Новосибирск, 2000); XXXVTX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2001); Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (Новосибирск, 2001); Региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых «НАУКА. ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ» (Новосибирск, 2001); Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2002 (Новосибирск, 2002); III Международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2002); региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых «НАУКА. ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ» (Новосибирск, 2002); Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке технике и образовании» (Усть-Каменогорск, 2003); Международной конференции «Математические методы в геофизике» (Новосибирск, 2003); объединенном семинаре Института вычислительной математики и математической геофизики и кафедры вычислительной математики Новосибирского государственного университета (Новосибирск, 2004); семинаре им. К.И.Бабенко Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН (Москва, 2004); семинарах кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 14 работ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (131 наименование) и приложения. Работа изложена на 118 страницах, включая 24 иллюстрации и 19 таблиц.

Основное содержание работы

Введение. Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы и показана научная новизна.

Глава 1. Методы моделирования электромагнитных полей.

Целью этой главы является обзор современных методов, используемых для моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей.

В п. 1.1 дано краткое описание электромагнитных методов нераз-рушающего контроля и задач, возникающих при интерпретации данных измерений.

В п. 1.2 представлен обзор современных подходов к выбору математических моделей, используемых при численном моделировании нестационарных электромагнитных полей и методов пространственной дискретизации.

Одно из главных условий эффективности численного моделирования реальных электромагнитных процессов - выбор корректной математической модели наблюдаемых явлений. Пространственная модель и система координат выбирается в зависимости от геометрических параметров среды и физических особенностей протекающих процессов. Учет характера распространения и изменения по времени электромагнитного поля позволяет прийти к существенному упрощению моделей [Beck et al., 1997].

На сегодняшний день ведущие позиции при численном решении дифференциальных уравнений занимают сеточные методы. Наиболее популярными для решения задач электромагнетизма являются методы конечных разностей (МКР) [Yee, 1966; Piket-May, Taflove, Baron, 1994], конечных объемов (МКО) [Haber et al., 2000; Hermeline, 1993] и конечных элементов (МКЭ).

Несмотря на преимущества, такие как эффективность конструирования конечноэлементных аппроксимаций на неструктурирован-

ных сетках и возможностью построения практически полностью автоматизированной вычислительной процедуры, классический скалярный МКЭ имеет недостатки. Векторный МКЭ (ВМКЭ) лишен большинства этих недостатков. ВМКЭ широко применяется для аппроксимации нестационарных электромагнитных полей [Bossavit, 1998; Chen, Du, Zou, 2000; White, 2000]. Тем не менее, этот метод остается недостаточно изученным и требует дальнейшего исследования для построения на его основе новых вычислительных схем.

В п. 1.3 проведен анализ основных схем аппроксимации по времени, используемых при численном решении задач электромагнетизма.

Рассмотрены два класса явных схем аппроксимации по времени - Рунге-Кутты и Адамса-Башфорта. Отмечено, что явные схемы характеризуются низкими вычислительными затратами, и универсальностью в смысле распараллеливания любого уровня. Общим недостатком явных схем являются строгие ограничения на соотношение шагов по пространству и времени, требуемые для обеспечения устойчивости. Особенностью построения МКЭ-апппроксимаций с использованием явных схем аппроксимации является необходимость диаго-нализации матрицы массы, которая в общем случае несимметрична. В работе проведен анализ подходов к диагонализации матриц массы. Отмечено, что для ВМКЭ эта процедура нетривиальна и требует исследования, что делает неэффективным применение явных схем при использовании ВМКЭ-аппроксимаций.

Представлен обзор неявных схем аппроксимации по времени. Несмотря на то, что такие схемы требуют решения СЛАУ на каждом временном слое, они более устойчивы, чем явные, и часто оказываются более экономичными из-за большего числа временных слоев в явных схемах, необходимого для их устойчивости. Описаны особенности использования полунеявных схем аппроксимации по времени и схем Тейлора-Галеркина.

Несмотря на разнообразие подходов к аппроксимации задач электромагнетизма, четких рекомендаций к выбору оптимальной схемы не существует. Этот выбор должен делаться на основании многих факторов, таких как физические и геометрические особенности решаемой задачи, вычислительные ресурсы.

Глава 2. Постановка задачи. В данной главе формулируются

постановки задач для моделирования нестационарных электромаг-

нитных полей в трехмерном и осесимметричном случаях.

Предложенные в данной работе вычислительные схемы ориентированы на использование в качестве инструментария при моделировании работы дефектоскопа обсадных колонн нефтегазовых скважин, разработанного НППГА «Луч» совместно с Институтом геофизики СО РАН. Этому физическому приложению соответствует достаточно сложная математическая модель, обобщающая ряд частных случаев. В связи с этим, алгоритмы, предложенные для решения этой задачи могут использоваться для решения достаточно большого класса задач.

В п. 2.1 представлены описание модели среды и физическая постановка задачи. Отмечено, что в области моделирования физические параметры среды могут изменяться в широком диапазоне. Удельная электропроводность изменяется в пределах (0.01-^108 См/м), магнитная проницаемость в стальных конструкциях в десятки раз превышает магнитную проницаемость вакуума.

Работу дефектоскопа можно условно разделить на два этапа. На первом этапе по генераторным катушкам протекает постоянный сторонний ток. Затем этот ток отключается. На втором этапе работы происходит регистрация показаний ЭДС в измерительном контуре. Подход, используемый в данной работе, предполагает формулирование и решение задач двух типов — стационарной на этапе действия постоянного тока и нестационарной после отключения тока. В качестве начальных условий для нестационарной задачи используется решение стационарной задачи.

В п. 2.2 формулируются математические модели и соответствующие им вариационные постановки.

Фундаментальная математическая модель базируется на системе уравнений Максвелла с соответствующими краевыми условиями и условиями на границах сред. В осесимметричном случае введены постановки в терминах векторного потенциала для моделирования стационарных и нестационарных электромагнитных полей и соответствующие им вариационные задачи. Предложен способ учета скачкообразного поведения напряженности магнитного поля на границах материалов.

В трехмерном случае постановки задач сформулированы в терминах естественных переменных (напряженности магнитного поля). Для моделирования стационарного электромагнитного поля на эта-

пе работы постоянного тока введена постановка с ограничениями, в которую введены множители Лагранжа. Использование такой постановки позволяет учесть закон Гаусса и отделить нуль-ядро rot — rot-оператора. Для постановки с ограничениями введена соответствующая ей вариационная задача, ориентированная на ВМКЭ.

Для заданного Jo € L2(fi)3 найти Н £ #o(rot; Ct), р € i?o(fi), такие, что VF € Щ(гоЪ; П), Vg 6 Hq(Q)>выполняется

/nrotH-rotFdfi + fn gradp • (/x F) dfi — /an(rotH x n) • Fdfi =

В нестационарном случае задача формулируется отдельно для диэлектрических и проводящих подобластей. Для каждой из таких задач построена вариационная постановка, ориентированная на ВМКЭ. В проводящих подобластях Пс такие постановки базируются на параболических

Для заданного Jo € Ь2(П)3 найти Н 6 #o(rot; П), такое, что VF 6 i?o(ii), выполняется

/п fJ. ¿)tH • F dfi 4- fn cr-1 rot H • rot F dfi —

- fdsic (a-1 rot H x n) • F dS = /П{? cr-1 J0 • rotF dfi-

в диэлектрических подобластях - на гиперболических уравнениЯХ

Для заданного Jo 6 Z.2(Q)3 н а й H £ i/o(rot; П), о e , что

выполняется

fn pl dtthl • F dii + f„A e-1 rot H • rot F dfi -

- rotH x n) • F dS = /Пд е-1 J0 • rotFdfi-

Глава 3. Дискретизация задач. Глава посвящена построению пространственной дискретизации вариационных задач, построенных в главе 2, а также аппроксимации по времени нестационарных задач.

В п. 3.1 введены основные определения скалярных и векторных конечных элементов на параллелепипедах. Введены базисы для скалярных трилинейных элементов и векторных Н(го11)-конформных конечных элементов Неделека 1-го типа 1-го порядка.

В п. 3.2 введены определения скалярных конечных элементов на прямоугольниках и соответствующие билинейные базисы.

В п. 3.3 построены дискретные аналоги вариационных постановок. В результате пространственной дискретизации задач в осесим-метричном случае приходим к следующим матричным уравнениям в стационарном и нестационарном случаях:

Ка = Mj.

£ М + сг М 9ta + К а = М f.

(1) (2)

Для трехмерной стационарной задачи получаем блочно-матричное уравнение вида:

(Д f)(:)-(?).

В нестационарном случае приходим к уравнению: e/iM dtth + (r/iM 5ih + К h = R f.

(3)

(4)

В (l)-(4) M - матрица массы, К - матрица жесткости, R - матричный аналог аппроксимации слагаемых вида fn F • (rot F) dfi, L - матричный аналог аппроксимации слагаемых с множителями Jla-гранжа вида F • gradg dfi.

В п. 3.4 для аппроксимации по времени нестационарных задач (2) и (4) использована схема Ныомарк-бета [Gedney, Navsariwala, 1995]. Для уравнения (4) эта схема имеет вид:

едМ

у - гь^1 + У-2

+ <T(iM

У - у-2

+

+K(/?h> + (1-2 ^Ы-1 +/3 = R + (1 - 2/3) f'"1 + /?Р~2) ,

Построен аналог схемы Ньюмарк-бета для неравномерного шага по

времени:

Глава 4. Численные результаты. Четвертая глава посвящена описанию разработанного программного комплекса, вычислительным экспериментам и обсуждению их результатов.

В п. 4.1 рассматриваются особенности учета стороннего тока для ВМКЭ-аппроксимаций.

В п. 4.2 описывается структура программного комплекса, его основные модули и их функциональные особенности. Приводятся портреты матриц СЛАУ, получаемые при ВМКЭ-аппроксимациях для простых и смешанных постановок.

П. 4.3 посвящен тестированию разработанных программ. Тестирование проводилось для ряда модельных задач с гладкими аналитическими решениями на последовательности вложенных пространственных сеток для различных шагов по времени. Экспериментально показано, что порядок аппроксимации по времени для схемы Ньюмарк-бета составляет 0(т2). С точки зрения точности аппроксимации, оптимальные результаты дает значение параметра схемы /? = 0.25, при увеличении значения параметра погрешность возрастает. Результаты сравнения скалярного МКЭ и ВМКЭ показали, что для решения СЛАУ, полученных с помощью скалярного МКЭ требуется в 2-3 раза больше итераций метода сопряженных градиентов, чем при использовании ВМКЭ.

В п. 4.4 реализация алгоритма решения трехмерной эллиптической задачи на скалярных и векторных конечных элементах верифицирована на задаче нахождения вектор-потенциала и магнитного поля тока, текущего в круглой петле. Погрешность расчета не превышает 8% на грубой сетке, и убывает при уменьшении шага по про-

странству. В п. 4.5 проводится моделирование электромагнитных полей, возникающих при дефектоскопии обсадных колонн нефтегазовых скважин. Проведено сравнение результатов численного моделирования и экспериментальных данных для стальной трубы без дефектов. Рассматривалась стальная труба (сг = 0.4 • 107 См/м, ц = 9Ь с внутренним радиусом г = 0.073 м и толщиной 0.006 м. Измерительная катушка имеет радиус г\ = 0.024 м, высоту Н\ = 0.0086 м и состоит из П1 = 39 витков медного провода. Параметры генераторных катушек: гг = 0.024 м, /12 = 0.004, пг = 14. Расстояние между катушками - Л — 0.0105 м. Экспериментальная и рассчитанная кривые ЭДС в измерительном контуре представлены на рисунке. Проведено исследование влияния групп кольцевых дефектов на кривую ЭДС в измерительном контуре. Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что наличие большего числа дефектов увеличивает абсолютную разность ЭДС, но сохраняет характер зависимости, увеличивая лишь ее максимальные и минимальные значения.

Исследование влияния муфты на поведение ЭДС показали, что при использовании полного сигнала генераторных контуров максимальное влияние муфты имеет место в положении центра зонда г = 0, а затем, по мере удаления центра зонда от зазора между соединяемыми трубами убывает. При дифференциальном сигнале генераторных контуров при положении центра зонда г = 0 в силу симметричности конструкции влияние муфты минимально. Максимальное влияние муфты отмечается при некотором небольшом смещении центра зонда от зазора и это влияние убывает по мере дальнейшего смещения центра зонда. Совместное использование полного и дифференциального сигналов генераторных контуров дает возможность исключить влияние крепежных зазоров муфты на результаты дефектоскопии скважин.

Рис. Сравнение результатов расчета с данными физического эксперимента

Для различных конфигураций соединения секций обсадной колонны (15 моделей) получены кривые профилирования.

Основные результаты работы

На основе проведенных в диссертационной работе исследований получены следующие результаты.

1. Предложены и реализованы алгоритмы решения задач моделирования нестационарных электромагнитных полей в неоднородных по физическим свойствам областях в трехмерном и осесимметричном случаях.

2. Тестирование разработанных программных комплексов осуществлено при численном решении задач с аналитическим решением. Для бездефектной трубы выполнено сравнение результатов численного моделирования с данными физического эксперимента.

3. Эффективность и экономичность ВМКЭ-аппроксимаций подтверждена при сравнении со скалярным МКЭ.

4. Проведено исследование схемы Ньюмарк-бета аппроксимации по времени и выявлен оптимальный параметр для этой схемы. Численно получены оценки порядка аппроксимации этой схемы 0(т2). Предложена модификация схемы Ньюмарк-бета для неравномерного шага по времени.

5. Исследовано влияние величины магнитной проницаемости вещества колонны, соединительных муфт, а также дефектов различной конфигурации на значения ЭДС в измерительном контуре дефектоскопа. Получены кривые профилирования для различных конфигураций соединения секций обсадной колонны.

Достоверность полученных результатов подтверждена

результатами экспериментального оценивания порядков аппроксимации построенных вычислительных схем, сравнениями с

аналитическими решениями, сопоставлением с данными физического эксперимента.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (проект №03-05-64795), совместного международного проекта РФФИ (проект №04-01-89003) и N^3 (проект №047.016.003).

Автор выражает искреннюю признательность и глубокую благодарность научному руководителю д.т.н., профессору Элле Петровне Шуриной, а также руководству Института геофизики СО РАН и НППГА <Луч> и лично д.т.н., чл.-корр. РАН Михаилу Ивановичу Эпову за помощь и поддержку при работе над диссертацией.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах

1. ГЕЛЬБЕР А.В. Исследование различных схем дискретизации по времени систем нестационарных векторных уравнений. // Материалы XXXVIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Часть И. Новосиб. ун-т. Новосибирск, - 2000. - с. 14.

2. ГЕЛЬБЕР А.В. Исследование схем аппроксимации по времени при моделировании нестационарных электромагнитных полей с использованием векторного метода конечных элементов // IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Программа и тезисы докладов. - Институт вычислительных технологий СО РАН, - 2003. - с. 18-19.

3. ГЕЛЬБЕР А.В. Метод конечных элементов для моделирования работы дефектоскопа обсадных колонн скважин. // НАУКА. ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ// Региональная конференция студентов, аспирантов, молодых ученых: Тез. Докладов в 5 частях. Новосибирск: Изд-во НГТУ, - 2002. Часть 1. - с. 110-111.

4. ГЕЛЬБЕР А.В. Моделирование нестационарных электромагнитных полей в осесимметричном случае. // Материалы

ХХХУГХ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Ново-сиб. ун-т. Новосибирск, - 2001. - с. 84.

5. ГЕЛЬБЕР А.В. Моделирование электромагнитного поля дефектоскопа нефтегазовых скважин с использованием метода конечных элементов. // Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям: программа и тезисы докладов, Институт вычислительных технологий, - Новосибирск. - 2002. - с. 21-22.

6. ГЕЛЬБЕР А.В., ШУРИНА Э.П. Численное моделирование нестационарных электромагнитных процессов при дефектоскопии нефтегазовых труб. // НАУКА. ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ, региональная конференция студентов, аспирантов, молодых ученых: Тез. докладов в 5 частях. Новосибирск: Изд-во НГТУ, - 2001. Часть 1. - с. 55.

7. ШУРИНА Э.П., ГЕЛЬБЕР А.В. Исследование векторного метода конечных элементов для моделирования нестационарных электромагнитных полей // Вестник НГУ. - Новосибирск, -2004.

8. шурина э.п., гельбер м.а., гельбер А.В. Математическое моделирование векторных полей в неоднородных средах. // Тезисы докл. Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика". - 2001. http://www.ict.nsc.ru/ws/NikNik/

9. шурина Э.П., гельбер А.В., гельбер М.А. Математическое моделирование электромагнитных процессов для дефектоскопии газовых и нефтегазовых скважин. // Информационные технологии в экономике, промышленности и образовании: Сб. науч. трудов. Вып. №5. - М.: "Электрика". - Новокузнецк: НФИ КемГУ, - 2002. - с. 24-25.

10. Математическое моделирование нестационарного электромагнитного поля дефектоскопа обсадных колонн. / ШУРИНА Э.П.,

ГЕЛЬБЕР А.В., ГЕЛЬБЕР М.А., Эпов М.И. // Вычислительные технологии, - Т. 7; №6. - 2002. - с. 114-129.

11. ШУРИНА Э.П., Эпов М.И., ГЕЛЬБЕР А.В. Математическое моделирование нестационарных электромагнитных полей при дефектоскопии обсадных колонн нефтегазовых скважин. // Труды Международной конференции "Математические методы в геофизике". Ч. I. - Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, - 2003. - с. 288-293.

12. ШУРИНА Э.П. ГЕЛЬБЕР А.В. Применение векторного метода конечных элементов для моделирования нестационарных электромагнитных полей при дефектоскопии нефтегазовых скважин. // Вычислительные технологии (2003, Т. 7), Региональный вестник Востока (2003, Т. 3). Совместный выпуск по материалам Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке технике и образовании". Ч. IV. - Новосибирск - Алматы - Усть-Каменогорск, - 2003. - с. 5-12.

13. GELBER A.V., SHURINA E.P., EPOV M.I. An application of finite element method for solving the problem of modeling non-stationary electromagnetic fields of defectoscope // Proceedings of the international conference on computational mathematics ICCM-2002. -Novosibirsk. - 2002. P. 427-431.

14. E.P. SHURINA, A.V. GELBER Mathematical modeling of 3D non-stationary electromagnetic fields using vector finite element method // Bull. Nov. Сотр. Center, Num. Anal. - 2003. #12, -P. 65-77.

Подписано в печать 25.05.2004 г. Формат 84x60x1/16 Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Печ.л. 1,25. Заказ № 337

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К.Маркса, 20

»124 2 9

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

1.1 О предмете исследования

1.2 Методы математического моделирования

1.3 Методы аппроксимации по времени . . .,. . . .,

Глава 2 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

2.1 Модель среды и физическая постановка задачи

2.1.1 Модель среды . . . . . . . . . .—

2.1.2 Модель зондирующей установки

2.2 Математическая модель и вариационные постановки

2.2.1 Осесимметричный случай

2.2.2 Трехмерный случай

Глава 3 ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ЗАДАЧ

3.1 Конечные элементы на параллелепипедах.

3.1.1 Конечные элементы Неделека 1-го типа первого порядка.

3.1.2 Скалярные конечные элементы первого порядка

3.2 Конечные элементы в осесимметричном случае

3.3 Дискретные аналоги вариационных постановок . .'.

3.3.1 Дискретные задачи для осесимметричного случая

3.3.2 Дискретизация векторных вариационных задач

3.4 Аппроксимация по времени

3.4.1 Равномерные временные сетки

3.4.2 Схема Ньюмарк-бета для неравномерного шага по времени

Глава 4 ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

4.1 Особенности учета стороннего тока для ВМКЭ-аппроксимаций.

4.2 Структура программного комплекса.

4.2.1 Модуль генерации сетки.

4.2.2 Генерация портрета матрицы СЛАУ.

4.2.3 Модуль генерации СЛАУ.

4.2.4 Модуль решения СЛАУ.

4.2.5 Модуль'обработки результатов

4.3 Тестирование методов.I

4.4 Моделирование поля витка с током.

4.5 Моделирование работы дефектоскопа.

4.5.1 Сравнение с физическим экспериментом.

4.5.2 Моделирование кольцевых дефектов в трубе

4.5.3 Анализ влияния соединительной муфты.

Современный уровень развития вычислительной техники предоставляет все более широкие возможности для математического моделирования различных физических процессов. Необходимость эффективного численного моделирования электромагнитных полей возникает во множестве технических приложений, таких как разработка аппаратуры для дефектоскопии, электроразведки, геоэкологических методик, электрических машин.

Одной из основных методик неразрушающего контроля технического состояния машин, механизмов и других объектов техники является дефектоскопия. Используя дефектоскопы, можно получать быстрые и надежные результаты измерений толщины или обнаруживать, скрытые внутренние дефекты без разрезания или разделения объектов контроля. Наиболее эффективными для исследования и контроля при бурении и эксплуатации нефтяных и газовых скважин являются методы, основанные на применении электромагнитных процессов. Для интерпретации данных электромагнитного зондирования требуется наличие эффективных средств математического моделирования электромагнитных полей.

В связи с этим актуальным становится разработка и исследование новых эффективных и устойчивых численных алгоритмов решения системы уравнений Максвелла и их практическая реализация. Одним из наиболее распространенных методов моделирования электромагнитных полей является метод конечных элементов. В 80-х годах XX века была предложена новая модификация метода конечных элементов - векторный метод конечных элементов. Исследование этого метода является актуальной задачей вычислительной математики, и существует ряд вопросов, связанных с его применением к различным классам задач и практической реализацией. На сегодняшний день векторный метод конечных элементов является одним из основных методов решения задач электромагнитизма, тем не менее он остается практически неосвещенным в отечественной литературе. В данной работе проводится исследование этого метода применительно к решению нестационарных уравнений Максвелла и сравнение его с классическим скалярным методом конечных элементов.

Целью работы является разработка и реализация алгоритмов на базе узлового и векторного методов конечных элементов для моделирования нестационарных электромагнитных полей в осесимметрич-ных и трехмерных областях, а также моделирование электромагнитных полей, возникающих при дефектоскопии обсадных колонн нефтегазовых скважин.

Методы исследования. Методы вычислительной математики. Сравнительный анализ результатов моделирования и имеющегося аналитического решения. Расчеты на последовательности сгущающихся сеток с последующим анализом сходимости к экспериментальным данным и аналитическим решениям.

Научные новизна и защищаемые положения:

• Разработан и реализован алгоритм моделирования нестационарных электромагнитных полей в осесимметричном случае в неоднородных областях; предложен способ учета скачка поля на границе раздела сред с различными магнитными свойствами.

• На базе векторного метода конечных элементов разработан и реализован алгоритм моделирования нестационарных векторных электромагнитных полей в трехмерных неоднородных областях.

• Экспериментально определен оптимальный параметр схемы Нью-марк-бета (ft = 0.25) аппроксимации по времени. Построен аналог этой схемы для неравномерного шага по времени.

• Проведен ряд вычислительных экспериментов, подтверждающих эффективность предложенных схем при сравнении с результатами физических экспериментов и аналитическими решениями. Определено влияние величины магнитной проницаемости вещества колонны, соединительных муфт, а также дефектов различной конфигурации на значения ЭДС в измерительном контуре дефектоскопа.

Значимость работы. Предложены и реализованы алгоритмы решения нестационарных уравнений Максвелла в неоднородных областях в осесимметричном и трехмерном случаях. На основе разработанного комплекса программ в осесимметричном случае проведено исследование влияния групп дефектов и соединительных муфт на результаты дефектоскопии. На ряде модельных задач исследован новый подход к решению нестационарных векторных уравнений, основанный на векторном МКЭ. Проведено сравнение ВМКЭ с классическим скалярным МКЭ. Результаты исследования позволяют сделать вывод о возможности применения ВМКЭ для решения реальных задач электромагнетизма.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

• XXXVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2000,

• XXXVIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2001,

• Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика». Новосибирск, 2001,

• региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых «НАУКА. ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ». Новосибирск, 2001,

• региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых «НАУКА. ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ». Новосибирск, 2002,

• Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2002. Новосибирск, 2002,

• III Международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2002,

• Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке технике и образовании». Усть-Каменогорск, 2003,

• Международной конференции «Математические методы в геофизике». Новосибирск, 2003,

• семинаре кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Новосибирск, 2004,

• объединенном семинаре Института вычислительной математики и математической геофизики и кафедры вычислительной математики Новосибирского государственного университета. Новосибирск, 2004,

• семинаре им. К.И.Бабенко Института прикладной математики РАН им. М.В. Келдыша. Москва, 2004.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 14 печатных работ [1] — [14].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (131 наименование) и приложения. Работа изложена на 118 страницах, включая 24 иллюстрации и 19 таблиц.

Выводы: Расчеты для задач с аналитическими решениями позволяют сделать вывод о правильности работы разработанных программных комплексов для решения осесимметричных и трехмерных задач. Показаны преимущества ВМКЭ над классическим скалярным МКЭ. Исследована погрешность схемы Ньюмарк-бета в зависимости от значения параметра /3. Реализованные программные комплексы применены к моделированию электромагнитных полей при дефектоскопии обсадных колонн нефтегазовых скважин. Проведено сравнение результатов численного моделирования с данными физического эксперимента для бездефектной трубы.

Сравнение ЭДС, рассчитанных для дефектной и бездефектной труб

ЭДС, мкВ ЭДС, мкВ а) (б)

Рис. 4.16. Кривые профилирования для моделей 1,2,3,4, 5,6в моменты времени t = 0.3 мс (а) и t = 0.9 мс (б)

ЭДС, мкВ ЭДС, мкВ а) (б)

ЭДС, мкВ эдс, мкВ а) (б)

Рис. 4.18. Кривые профилирования для моделей 1, 7, 9, 11, 12в моменты времени t = 0.3 мс (а) и t = 0.9 мс (б)

ЭДС, мкВ ЭДС, мкВ а) (б) рис. 4.8) позволяет сделать вывод о том, что наличие большего числа дефектов увеличивает абсолютную разность ЭДС, но сохраняет харкк тер зависимости, увеличивая лишь ее максимальные и минимальные значения.

Исследование влияния муфты (рис. 4.10) на поведение ЭДС показали, что при использовании полного сигнала генераторных контуров максимальное влияние муфты имеет место в положении центра зонда z = 0, а затем, по мере удаления центра зонда от зазора между соединяемыми трубами убывает. При дифференциальном сигнале генераторных контуров при положении центра зонда z = 0 в силу симметричности конструкции влияние муфты минимально. Максимальное влияние муфты отмечается при некотором небольшом смещении центра зонда от зазора и это влияние убывает по мере дальнейшего смещения центра зонда. Совместное использование полного и дифференциального сигналов генераторных контуров дает возможность исключить влияние крепежных зазоров муфты на результаты дефектоскопии скважин.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложены и реализованы алгоритмы решения задач моделирования нестационарных электромагнитных полей в неоднородных по физическим свойствам областях в трехмерном и осесимметричном случаях. Предложены модели для решения нестационарных задач в естественных переменных, учитывающие скачки поля на границах материалов с различными физическими свойствами.

Расчеты для задач с аналитическими решениями позволяют сделать вывод о правильности работы разработанных программных комплексов для решения осесимметричных и трехмерных задач. Реализованные комплексы программ были использованы для моделированию электромагнитных полей при дефектоскопии обсадных колонн нефтегазовых скважин. Сравнение результатов численного моделирования для бездефектной трубы с данными физического эксперимента, полученными в Институте геофизики СО РАН совместно с НППГА «Луч», показало хорошее совпадение, что свидетельствует о корректности моделирования осесимметричных электромагнитных полей.

Проведено исследование схемы Ньюмарк-бета аппроксимации по времени и выявлен оптимальный параметр для этой схемы. Численно получены оценки порядка аппроксимации этой схемы 0(г2). Предложена модификация схемы Ньюмарк-бета для неравномерного шага по времени.

Эффективность и экономичность основанных на векторном МКЭ аппроксимаций для моделирования нестационарных электромагнитных полей подтверждена при сравнении со скалярными конечноэле-ментными аппроксимациями. Сравнение со скалярным МКЭ при решении аналогичных задач показало значительное преимущество ВМКЭ по числу итераций метода сопряженных градиентов для решения СЛАУ, что обусловлено меньшим количеством ненулевых элементов в матрице дискретного аналога при использовании ВМКЭ-аппрокси-мации. Тем не менее, был выявлен ряд недостатков векторного МКЭ, основным из которых является сложность адаптации метода для неравномерных сеток. В связи с этим, дальнейшего исследования требует вопрос применения предложенных алгоритмов для работы с несогласованными сетками и методами пространственной декомпозиции.

1. Гельбер А.В. Моделирование нестационарных электромагнитных полей в осесимметричном случае. // Материалы XXXVIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Новосиб. ун-т. Новосибирск, 2001. — с. 84.

2. Шурина Э.П., Гельбер А.В. Исследование векторного метода конечных элементов для моделирования нестационарных электромагнитных полей // Вестник НГУ. — Новосибирск, 2004.

3. Математическое моделирование нестационарного электромагнитного поля дефектоскопа обсадных колонн. / Шурина Э.П., Гельбер А.В., Гельбер М.А., Эпов М.И. // Вычислительные технологии, Т. 7; №6. - 2002.-е. 114-129.

4. E.P. Shurina, A.V. Gelber Mathematical modeling of 3D non-stationary electromagnetic fields using vector finite element method // Bull. Nov. Сотр. Center, Num. Anal. 2003. №12, - P. 65-77.

5. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Методы решения СЛАУ большой размерности. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. - 70 стр.

6. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

7. Давыдычева С.Н., ДРУСКИН B.JI. Прямая задача расчета электромагнитного поля на оси наклонной скважины в анизотропной слоистой среде // Труды Международной Конференции «Горногеологической службе России 300 лет». С.-Петербург, 2000.

8. Дворецкий П.И., Ярмахов И.Г. Электромагнитные и гидродинамические методы при освоении нефтегазовых месторождений. М.: Недра, - 1998. - 318 е.: ил.

9. Дробышевич В.И., Лаевский Ю.М., Яушева JI.B. Алгоритм решения параболических уравнений с различными временными шагами в подобластях // Препринт /РАН Сиб. отд-ние. ВЦ СО АН СССР; 855. Новосибирск, 1989.

10. Ермолов И.Н. Теория и практика ультразвукового контроля. М.: Машиностроение, -1981.

11. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения линейных систем.М.: Физмат лит, 1995.22. ильин в.п. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, - 2000. — 345 с.

12. Ильин В.П., туракулов А.А. Об интегробалансных аппроксимациях трехмерных краевых задач. — Новосибирск, 1993. 24 с. (Препринт / РАН, Сиб. отд-ние ВЦ; №986)

13. Мату с П. П. Об одном классе разностных схем на составных сетках для нестационарных задач математической физики // Дифф. уравн. 1990. - Т. 26, №. 7. - С. 1241-1254.

14. ПИССАНЕЦКИ С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, -1988.

15. Потапов А.П., Khejijiep Л.Е. Численное решение задачи становления магнитного диполя в скважинах много колонной конструкции // НТВ «Каротажник». Тверь, - 1999. - Вып. 52. -С. 76-83.

16. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Шурина Э.П. Сеточные методы решения краевых задач математической физики: Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. - 120 с.

17. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. -616с.

18. Самарский А.А., Гулин В.А. Численные методы. М.: Наука, 1989.

19. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. - 392 с.

20. Сидоров В.А. Скважинные дефектоскопы-толщиномеры для исследования многоколонных скважин // НТВ «Каротажник». Тверь, 1996. - Вып. 24. - С. 83-94.

21. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М. Изд-во иностр. лит-ры, 1954. - 604 с.

22. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. -М.: Мир, 1977.-350 с.л

23. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1982. - 350 с.

24. Технология исследования нефтегазовых скважин на основе ВИ-КИЗ. Методическое руководство / Ред. Эпов М.И., Антонов Ю.Н. Новосибирск: НИЦ ОИГГМ СО РАН, Издательство СО РАН, 2000.-121 с.

25. Тихонов а.н., арсенин в.я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986.

26. Шурина Э.П., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Решение трехмерных нелинейных магнитостатических задач с использованием двух потенциалов: Препринт 1070. ВЦ СО РАН, 1996. 26 с.

27. A mixed face-edge finite element formulation for the 3D magne-tostatic problems / Alotto P., Delfino F., Molfino P., Nervi M., Perugia I. // IEEE Trans. Magn. -1998. Vol. 34. - P. 24452448.

28. A nonlinear inversion method for 3D electromagnetic imaging using ajoint fields / Dorn O., Bertete-Aguirre H., Berryman

29. J.G., Papanicolaou G.C. // Inverse Problems. 1999. - Vol. 15.-P. 1523-1558.

30. Adaptive multilevel methods for edge element discretization of Maxwell's equations / Beck R., Deuflhard P., Hiptmair R., Wohlmuth B. // Preprint SC-97 66. Conrad-Zuse-Centrum, Berlin, 1997.

31. Albanese R., Rubinacci G. Analisys of three-dimensional electromagnetic fields using edge elements // J. Comput. Phys. -1993. Vol. 108. - P. 236-245.

32. Ambrosi D., Quartapelle L. A Taylor-Galerkin method for simulating nonlinear dispersive water waves // J. Comput. Phys. 1998. - Vol. 146. - P. 546-569.

33. An application of edge elements to three-dimensional nonlinear magnetostatic problems / Kanayama H., Ikeguchi S., Endo K., Kikuchi F. // GAKUTO Int. Series. 1993. - Vol. 1. - P. 149-157.

34. Arnold D., Falk R., Winther R. Multigrid in #(div) and Я (curl) // Numer. Math. 2000. - Vol. 85. - P. 197—217.

35. Assous F., Ciarlet P., Segre J. Numerical solution to the time-dependent Maxwell equations in two-dimensional singular domains: the singular complement method //J. Comput. Phys. -2000. Vol. 161. - P. 218-250.

36. Assous F., Degond P., Segre J. Numerical approximation of the Maxwell equations in inhomogeneous media by a P1 conforming finite element method // J. Comput. Phys. 1996. - Vol. 128. - P. 363-380.

37. Bao G., Wei G. Zhao S. Local spectral time-domain method for electromagnetic wave propagation // Optics Lett. 2003. - Vol. 28; №. 7.-P. 513-515.53. bossavit A. Computational electromagnetism. Academic Press, San Diego. -1998.

38. Botchev M., Steijpen G., van der Vorst H. Low-dimensional Krylov subspace iterations for enhancing stability of time-step integration schemes // Preprint №. 1004. University Utrecht, -1997.

39. Botchev M., Steijpen G., van der Vorst H. Stability control for approximate implicit time-stepping schemes with minimal residual iterations // Preprint №. 1043. University Utrecht, — 1997.

40. Bourgeois В., Suignard K., Perrusson G. Electric and magnetic dipoles for geometric interpretation of three-component electromagnetic data in geophysics // Inverse problems. 2000. - Vol. 16.-P. 1225-1261.

41. Braess D. Finite elements. Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics // Cambridge University Press. — 2001.

42. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods // Springer-Verlag. 1991.

43. Buffa A., Mad ay Y., Rapetti Y. Calculation of eddy currents in moving structures by a sliding mesh-finite element method // IEEE Transactions on Magnetics. -2000. Vol. 36; №4. -P. 1356-1359.

44. Cai W., Yu Y., Yuan X. Singularity treatment and high order RWG basis functions for integral equations of electromagnetic scattering // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2000. 00:1-6

45. CAIZ. On the finite volume method // Numer. Math. 1991. - Vol. 58.-P. 713-735.

46. Chan H., Cai C., Cheung Y. Convergence studies of dynamic analysis by using the finite element method with lumped mass matrix // J. of Sound and Vibration. 1993. - Vol. 165; №. 2. -P. 193-207.

47. Cioni J.-P., Fezoui L., Issautier D. High order upwind schemes for solving time-domain Maxwell equations // La Recherche Aerospatiale. -1994. №5. P. 319-328.

48. Cingoski V. Study on improved three-dimensional electromagnetic field computations utilizing vector edge finite elements // Doctoral Dissertation. -1996.

49. Chen Z., Du Q., Zou J. Finite element methods with matching and nonmatching meshes for Maxwell equations with discontinuous coefficients // SIAM J. Numer. Anal. 2000. - Vol. 37; №. 5. - P. 1542-1570.

50. Couliette D., KOCH M. On the difficulties and remedies in enforcing the div=0 condition in the finite element analysis of thermal plumes with strongly temperature-dependent viscosity // Int. J. numer. methods fuids. 1994. - Vol. 18. - P. 189-214.

51. Computation of 3D current driven skin effect using current vector potential / Biro O., Preis K., Reinhart W., Vrisk G., Richteret F. // IEEE Trans. Magn. 1993. - Vol. 29. - P. 13251332.

52. Computation of optical modes inside axisimmetric open cavity resonators / Chinellato O., Arbenz P., Streiff M., Geus R. Preprint: FGSC. Zurich, 2003.

53. Donea J, Quartapelle L., Selmin V. An analysis of Time Discretization in the Finite Element Solution of Hyperbolic Problems // J. Comput. Phys. 1987. №. 70. - P. 463-499.

54. Donea J, Quartapelle L. An introduction to finite element methods for transient advection problems // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 1992. №. 45. - P. 169-203.

55. Electromagnetics via the Taylor-Galerkin finite element method on unstructured grids / Ambrosiano J., Brandon S. Lohner R., DeVore C.R. //J. Comput. Phys. 1994. №. 110. - P. 546-569.

56. Fast simulation of 3D electromagnetic problems using potentials / Haber E., Ascher U.M., Aruliah D.A., Oldenburg D.W. // J. Comput. Phys. 2000. - Vol. 163. - P. 150-171.

57. Gedne y S., N a vs ariwala U. An unconditionally stable finite element time-domain solution of the vector wave equation // IEEE Microwave and Guided Wave Lett. 1995. - Vol. 5; №10. - P. 332334.

58. Gonzalez Garcia S., Lee T.-W., Hagness S.C. On the Accuracy of the ADI-FDTD Method // IEEE Antennas and Wireless Propagat. Lett. -2002. Vol. 1; №. 1. - P. 31-34.

59. Grivet-Talocia S., Canavero F. Wavelet-Based High-Order Adaptive Modeling of Lossy Interconnects // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 2001. - Vol. 43; №2. 4. - P. 471484.

60. Demkowicz L., Oden L., Rachowicz W. Toward a universal hp adaptive finite element strategy, Part 1. Constrained approximation and data structure // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1989. - Vol 77. - P. 79-112.

61. Dubois-Pelerin y., Zimmermann т., Bomme t. Object-oriented finite element in programming: II: A prototype program in Smalltalk // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1992. - Vol. 98. - P. 361-397.

62. Heise B., Kuhn M., Langer U. A mixed variational formulation for 3D linear and nonlinear magnetostatics in the space #o(rot) П #o(div) // HEJ Manuscript no.: ANM-981030-A. 1998. - 16 p.

63. HERMELINE F. Two coupled particle-finite volume methods using Delaunay-Voronoi meshes for approximation of Vlasov-Poisson and Vlasov-Maxwell equations // J. Comput. Phys. 1993. - Vol. 106. -P. 1-18.

64. Hiptmair R. Finite elements in computational electromagnetism // Acta Numerica. Cambridge, 2002. - P. 237-339.

65. Hjelt S.-E., Pirttijarvi M. Some characteristics of the conducting plate model in the inversion of geophysical electromagnetic data // Inverse probl. 2000. №. 27. - P. 1209-1225.

66. Holland R., Cable V., and Wilson L. Finite-volume time-domain techniques for EM scattering // IEEE Trans. Electromagnetic Compatibility. 1991. Vol. 33; №. 4. - P. 281-294.

67. Hunter P., Pullan A. FEM/BEM notes // University of Auckland, 2003. - 147 P.

68. Hybrid time domain solvers for the Maxwell equations in 2D / Abenius E., Andersson U., Edelvik F., Eriksson L., Ledfeld G. // Int. J. Numer. Meth. Engng. -2002. №°53. P. 2185—2199.

69. Igarashi H., Honma Т. On convergence of ICCG applied to finite-element equation for quasy-static fields // IEEE Trans. Magn. -2002. Vol. 38; №2. - P. 565-568.

70. Igataki M., Brebbia C.A. Generation of higher order fundamental solutions to the two-dimensional modified Helmholtz equation // Eng. Analysis with Bound. Elem. 1993. - Vol. 11; № 1. — P.87-90.

71. Jiang B., Wu J., Povinelli L. A. The origin of spurious solutions in computational electromagnetics // J. Comput. Phys. 1996. -Vol. 125.-P. 104-123.

72. Jones O.S., Shumlak U., Eberhardt D.S. An Implicit scheme for nonideal magnetohydrodynamics // J. Comput. Phys. 1997. -Vol. 130.-P. 231-242.

73. Kikuchi F. Mixed and penalty formulations for finite element analysis of an eigenvalue problem in electromagnetism // Comput. Meth. Applied. Mech. Engin. 1987. - Vol. 64. - P. 509-521.

74. Кон D., Lee H.-B., Itoh T. A hybrid full-wave analysis of via-hole grounds using finite-difference and finite-element time-domain methods // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1997. - Vol. 45; №. 12. - P. 2217-2223.

75. Kunz K., Luebbers R. The finite difference time domain method for electromagnetics //CRC Press, Boca Raton, Florida. 1993.

76. Lacoste P. Solution of Maxwell equation in axisymmetric geometry by Fourier series decomposition and by use of Я (rot) conforming finite element // Numer. Math. 2000. - Vol. 84. - P. 577-609.

77. Lee J.-F., Lee R., Cangellaris A. Time domain finite element methods // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1997. - Vol. 45; №3. -P. 430-442.

78. Lee R., Madsen N. A mixed finite element formulation for Maxwell's equations in the time domain // J. Comput. Phys. -1990. Vol. 88. - P. 284-304.

79. Leonard P., Rodger D. Finite element scheme for transient 3D eddy currents // IEEE Trans. Magn. 1988. - Vol. 24. -P. 90-93.

80. Litvinenko P.A. On explicit-implicit domain decomposition method without overlapping fo parabolic problems // Bull. NCC. Numer.Anal. 1995. - Is. 6. - P. 43-60.

81. Madsen N., Ziolkowski R. A 3 dimensional modified finite volume technique for Maxwell's equations // Electromagnetics. -1990. Vol. 10; №1. - P. 147-161.

82. Mahadevan K., Mittra R., Vajda P. Use of Whitney edge and face element for efficient finite element time domain solution of Maxwell's equations // J. Electrom. Waves and Appl. 1994. -Vol. 8.-P. 1173-1191.

83. Munz C.-D., Schneider R., Voss U. A finite-volume method for the Maxwell equations in the time domain // SIAM J. Sci. Comput.- 2000. Vol. 22; №2. - P. 449-475.

84. Nagy D.A. Software engeering for finite element analysis // J. Struct. Divis. 1978. - Vol. 104; №ST8. - P. 1287-1298.

85. Nedelec J.C. Mixed finite elements in R3 //Numer. Math. 1980.- Vol. 35.-P. 315-341.

86. Nedelec J.С. A new family of mixed finite elements in R3 // Numer. Math. 1986. - Vol. 50. -P. 57-81.

87. Newman G.A., Hoversten G.M. Solution strategies for two-and three-dimensional electromagnetic inverse problems // Inverse Problems. 2000. - Vol. 16. - P. 1357-1366.

88. Newman G.A., Alumbaugh D.L. Frequency-domain modelling of air-borne electromagnetic responses using staggered finite differences // Geophys. Prospecting 1995. - Vol. 43. - P. 1021-1042.

89. Oden J., Patra A., Feng Y. Parallel domain decomposition solver for adaptive HP finite element methods // SIAM J. Numer. Anal. 1997. - Vol. 34; №6. - P. 2090-2118.

90. On a finite-element method for solving the three-dimensional Maxwell equations / Assous F., Degond P., Heintze E., Rayiart P., Segre J. // J. Comput. Phys. 1993. - Vol. 109. -P. 222-237.

91. PaulsenK.D.,LynchD.R.,Strobehn J.W.Three-dimensional finite, boundary and hybrid element solutions of the Maxwell equations for lossy dielectric media // IEEE Trans. Microw. Theory Tech. 1998. - Vol. 36. - P. 682-693.

92. Perugia I., Schotzau D., Monk P. Stabilized interior penalty methods for the time-harmonic Maxwell equations // Сотр. Meth. Appl. Mech. Engrg. 2002. - Vol. 191. - P. 4675-4697.

93. Piket-MayM., Taflove A., Baron J. FD-TD modeling of digital signal propagation in 3-D circuits with passive and active loads // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. -1994. Vol. 42. - P. 1514— 1523.

94. Polsyanko S.V., Lee J.-F. Two-level hierarchical FEM method for modeling passive microwave devices // J. Comput. Phys. — 1998. Vol. 140. - P. 400-420.

95. Potential integrals for uniform and linear source distributions on polygonal and polyhedral domains / Wilton D., Rao S., Glisson A., Schaubert D., Al-Bundak O., Butler C. // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1984. - Vol. АР-32; №. 3.

96. Ravas R. Automation of evaluation of measuriment in defectoscopy of power steam generator // Measurim. Sci. Review. -2001. Vol. 1. №. l. -P. 103-106.

97. Riley D.J., Turner C.D. VOLMAX: A solid-model-based, transient volumetric Maxwell solver using hybrid grids // IEEE Antennas Propagat. Magazine. 1997. - Vol. 39; №.1. - P. 2033.

98. Rodrigue G., White D. A vector finite element time-domain method for solving Maxwell's equations on unstructured hexahedral grids // SIAM J. Sci. Comput. 2001. - Vol. 23; №. 3. - P. 683-706.

99. Rylander Т., bondeson A. Application of Stable FEM-FDTD Hybrid to Scattering Problems // IEEE Trans. Antennas Propagat. -2002. Vol. 50; №2. - P. 141-144.

100. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. — PWS Publishing Company. 1996.

101. Scales J., Snieder A. The anatomy of inverse problems // Geophysics. 2000. - Vol. 65; №6. - P. 1708-1710.

102. Schwab С., Wendland W. On the numerical cubatures of singular surface integrals in boundary element methods // Numer. Math. -1992. Vol. 62. - P. 343-369.

103. ShankarV., Mohammadian A., Hall W. A time-domain finite-volume treatment for the Maxwell equations // Electromagnetics. -1990.-Vol. 10; №. l.-P. 127-145.

104. Shurina E.P., Solonenko O.P., Voitovich Т.V. Technologies of finite volume-finite element method for the solution of convection-diffusion problems on unstructured grids //Вычислительные технологии. 2002 - Т. 7; №2 3. - C.98-120.

105. Taflove A., Brodwin M. E. Numerical solution of steady-state electromagnetic scattering problems using the time-dependent Maxwell's equations // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. -1975. Vol. MTT-23; №. 8. - P. 623—630.

106. Wang Т., Hohmann G.W. A finite-difference time-domain method for three-dimensional electromagnetic modelling // Geophysics. 1993. - Vol. 58. - P. 797-809.

107. Webb R. Edge elements and what they can do for you // IEEE Trans, on Magn. 1993. - Vol. 29; №2. - P. 1460-1465.

108. Whitney H. Geometric integration theory. // Princeton University Press, Princeton. 1957.

109. WlNSLOW A.M. Numerical solution of the quasilinear Poisson equation in a nonuniform triangle mesh //J. Comput. Phys. -1967. Vol. 2. - P. 149-172.

110. Yee K.S., Chen J.S. Conformal hybrid finite difference time domain and finite volume time domain // IEEE Trans. Antennas Propagat. -1994. Vol. 42; №10. - P. 1450-1454.

111. Yee K.S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1966. - Vol. 14. - P. 302—307.

112. Yioultsis T.V., Tsiboukis T.D. Vector finite element analysis of waveguide discontinuities involving anisotropic media // IEEE Trans. Magn. 1995. - Vol. 31; №3. - P. 1550-1553.