автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование дифракции электромагнитного поля на плоских экранах

О,

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Факультет Вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи ИВАХНЕНКО Владимир Игоревич

УДК 517.958:535.42

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПЛОСКИХ ЭКРАНАХ

Специальность 05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)

Авторе ферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва— 1990

Работа выполнена в Московском ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени М. В. Ломоносова на кафедре Математической физики факультета Вычислительной математики и кибернетики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ильинский А. С.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор МАИ А. Ю. Гринев; доцент, кандидат физико-математических наук, директор НИВЦ В. М. Репин.

Ведущая организация — МКБ «Алмаз».

Защита диссертации состоится «

II 199П г.

в «-» часов на заседании специализированного совета К.053.05.87 по математике при МГУ по адресу: 119899, Москва, ГСП, Ленинские горы, МГУ, факультет Вычислительной математики и кибернетики, ауд---

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК.

Автореферат разослан « 2. 5"» _£ ■-1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета , у

к, ф.-м. н., доцент / / // Говоров В. М.

Ода' ' "! ОНДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЕ

сссртеци^-1 Актуальность проблемы.. Математическое моделирование в настоящее время является неотъемлемой частью исследования различных физических процессов и явлений. Значительное место в этих исследованиях занимает анализ моделей, возникающих в электродинамике сверхвысоких частот (СВЧ).

Одно из актуальных направлений математического моделирования в электродинамике СВЧ связано с исследованием моделей микрополосковых устройств, изучением влияния геометрических параметров на электродинамические характеристики мик-рополоскового устройства. В частности, большой интерес представляют математические модели микрополосковых антенн.

Микрополосковые антенны используются в технике СВЧ сравнительно недавно, однако они нашли широкую область применения благодаря простоте изготовления, низкой себестоимости и компактности. На основе микрополосковых антенн разрабатываются антенные решетки, которые используются в сантиметровом и миллиметровом диапазоне волн (например,' для космической связи).

Создание микрополосковых антенн невозможно без разработки методов достаточно точного расчета электродинамических характеристик микрополосковых антенн, поскольку выбор геометрических параметров излучателя и подложи, обеспечивающих необходимые электродинамические характеристики антенны, не может быть сделан без детального математического исследования. Подобный расчет встречается с рядом математических трудностей. Во-первых, приходится решать внешнюю трехмерную векторную краевую задачу для уравнений Максвелла в слоистой среде; во-вторых, граничные условия ставятся на незамкнутых поверхностях. Существующие приближенные методы расчета микрополосковых антенн не удовлетворяют в должной мере требованиям практики. Поэтому построение строгих математических моделей микрополосковых антенн и разработка численных методов решения связанных с ниш краевых задач является актуальной

научно-технической проблемой.

Цель работы: исследование математических моделей микрополосковых антенн, разработка численного метода расчета, построение алгоритмов и программ расчета электродинамических характеристик микрополосковых антенн.

Научная новизна В работе рассмотрены математические модели микрополосковых антенн, основанные на постанов!« задачи дифракции на экране. Исходная краевая задача для уравнений- Максвелла сведена к эквивалентному векторному интегро-дифференциадьному 'уравнению относительно плотности поверхностного тока, наведенного на экране. Предложен метод обращения векторного дифференциального оператора, входящего в интегро-дифференциальное уравнение, и получена система интегральных уравнений с вполне непрерывным оператором на соответствующим образом выбранной паре функциональных пространств. Построен алгоритм расчета электродинамических характеристик микрополосковых антенн.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы для расчетов при разработке и проектировании микрополосковых антенн.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ.

Апробации. Результаты диссертации докладывались на 1Х-ом Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (г.Телави, 1985), на Всесоюзной конференции "Современные проблемы физики и ее приложений" (г. Москва, 1987, 1988), на Всесоюзной школе молодых ученых "Теоретические и прикладные .проблемы вычислительной математики и математической фи-аики" (г. Одесса,1987), на Всесоюзной конференции "Опыт применения автоматизации и проектирования интегральных приборов СВЧ" (г. Киев,1988), на I Всесоюзной научно-технической конференции "Устройства и методы прикладной электродинамики" (г.Одесса, 1988), на симпозиуме - The 1989 URSI International Symposium on Electromagnetic Theory (Stockholm, Sweden, 1989), на научно-исследовательском семинаре кафедры

математики физического факультета МГУ, на научно-исследовательском семинаре кафедры математикой физики факультета ШиК. МГУ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы 90 названий. Объем диссертации - 16? страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обсуддается актуальность данной работы, рассматриваются трудности,возникающие при исследовании математических моделей теории микрополосковых структур, приводится обзор работ и методов, существующих в данной области математического моделирования и дается краткое содержание диссертационной работа

В первой главе рассматривается трехмерная задача дифракции монохроматической электромагнитной волны на плоском идеально проводящем экране, расположенном в свободном пространстве.

В §1 данной главы рассматривается математическая постановка задачи дифракции монохроматической электромагнитной волны на плоском двумерном экране Б, расположенном в трехмерном пространстве Краевая задача формулируется относительно рассеянного экраном электромагнитного поля Е(М), Н(М), которое доллио удовлетворять:

1. Однородной системе уравнений Максвелла вне экрана Б:

го{ В(м)='а^с гс±Н(Му-1и>1оЩм)?

Условиям излучения на бесконечности. Условиям Мейкснера на ребре экрана Граничному условию

«

на обеих сторонах поверности экрана Б.

2.

3.

4.

- б -

где е2 - единичный орт. нормальный к плоскости экрана, Е° - падающее поде.

Решение поставленной краевой задачи ищется в классе функций, которые удовлетворяют следующим условиям:

где Е_ - касательная к границе экрана а Б составляющая поля Е;

б) С ЩЖ^) №«[ёг, Ще 10

фг, й * Ц = 01%; Л Нг] ёг] <*>

■ где Н* - предельные значения поля Н(Ю сверху и снизу экрана.

В §2 данной главы исходная краевая задача для уравнений Максвелла сводится к векторному интегро-дифференциальному уравнению относительно плотности поверхностного тока Т-[©2,Н'ЧГЗ, наведенного на экране.

Пусть Т(0) - двумерная векторная функция, заданная на области Б. Вводятся векторный потенциал

С5)

и векторные поля Н(М) и Е(М) по формулам:

Вводится линейное нормированное пространство Х(Б) двумерных векторных функций, заданных на Б:

У«« С

с нормой:

||[ +<8)

где касательная составляющая поля Е определяется через функцию 1 по формуле (7).

Вводится пространство Х(Б) как пополнение пространства Х(Б) по норме (8).

Исходная краевая задача для уравнений Максвелла сводится к векторному интегро-дифференциальному уравнению относительно скачка на экране касательной компоненты магнитного поля Т-1ё "Н"]:

(СпМ^/ф^Ц,^/. £1[М)} (9)

где Е^ - проекция 1* на плоскость экрана Б.

Справедливо следующее утверждение:

Теорема 1. Решение краевой задачи 1. - 4. на множестве функций, удовлетворяющих условиям а) -0), эквивалентно решению векторного интегро - дифференциального уравнения (9) на множестве функций из пространства Х(Б).

В §3 предлагается метод обращения векторного дифференциального оператора, входящего в интегро-дифференциальное уравнение (9). Для этого уравнение (9) записывается относительно векторного потенциала А(М):

(С-гаЛЯн'х у- = шНЕ^Рс Е^М) (9')

и строится фундаментальное решение уравнения:

+ЩМР); !>-*,/ (10)

■ б •(!(*/), о)) Щ 'И°> Щ

В работе доказана следующая лемма:

Векторные функции

являются фундаментальными решениями уравнения (10).

__ Из уравнения (9'), умноженного на векторную функцию ГЩг). вычитается уравнение (10), умноженное на векторную функцию А(М), Полученный результат интегрируется по области 'БЧ(^(Р), где 0£(Р) - круг радиуса £ с центром в точке Р. После ряда тождественных преобразований (с учетом представления векторного потенциала "А (М) через функцию Т) получается система интегральных уравнений относительно вектора плотности поверхностного тока, которая может быть записана в виде операторного уравнения

КГ-Г (11)

В работе приводится явное представление для оператора К.

В §4 данной главы исследуется полученная система интегральных уравнений» и для оператора К справедлива

. Теорема 2. Оператор К является вполне непрерывным из пространства Х(Б) в пространство р >У<з.

Справедливо также__следующее утверждение: Теорема 3. Пусть £ Е^^ЦЪЫЕ^ /] Е^ £ Ц/^ В классе векторных функций Ус Х(Б) векторное интегро-дифференциальное уравнение (9) эквивалентно операторному уравнению (11).

Во второй главе проводится обобщение результатов, полученных в первой главе на трехмерную задачу дифракции монохроматической электромагнитной волны на плоском идеально проводящем экране, который расположен в плоскослоистой среде параллельно границе раздела сред.

В §1 данной главы рассматривается математическая постановка задачи дифракции на плоском двумерном экране Б, расположенном в плоскослоистой среде параллельно границе раздела сред. Диэлектрическая и магнитная проницаемости являются кусочно-постоянными функциями относительно координаты г, нормальной к границе раздела сред. Краевая задача формулируется относительно рассеянного экраном электромагнитного поля"Е(М), Н(М), которое должно удовлетворять:

1. Однородной системе уравнений Максвелла вне экрана Б и границ раздела сред Г.:

2. Условиям непрерывности касательных составляющих полей Е^и Нхна границах раздела сред .

3. Условиям излучения на бесконечности.

4. Условиям Мейкснера на ребре экрана.

5. Граничному условию

на обеих сторонах поверности экрана Б.

Решение поставленной краевой задачи ищется в классе функций, которые удовлетворяют следующим условиям

а) Е(М{$) [I

я ^Гё2,Щ]Чгр)Лвте ?>%> ср^р о»)

ЛЪиСъ, Щм)Мг(!) (\([ёг Щ (Г)

Как и в главе 1, краевая задача для уравнений Максвелла сводится к векторному интегро-дифференциальному уравнению

относительно скачка на экране касательной компоненты магнитного поля (которое получено в §2). Ядра Т(М,0) и 6((М,0) имеют особенность 1/Н и выражаются через элементы тензора Грина плоскослоистой среды.

Для функций, принадлежащих функциональному пространству (которое является аналогом пространства ЖБ)), доказывается

Теорема 1а Решение краевой задачи 1.-5. на множестве функций, . удовлетворяющих условиям а) -б), эквивалентно решению векторного интегро-дифференциального уравнения (12) на множестве функций из пространства ХДБ).

В §3 вводятся векторные потенциалы '

" Щ&С,(14)

используя которые интегро-дифференциальное уравнение (12) мохет быть записано в виде:

В уравнении (12') дифференциальный оператор обращается так же, как и в главе 1. В результате (с учетом представлений потенциалов А'(М) и А4(И) черев функцию получается система интегральных уравнений относительно вектора плотности поверхностного тока, которая шлет быть записана в виде операторного уравнения:

/V., л/

К^ (15)

*

В работе приводится явное представление для оператора К .

В §4 исследуется полученная система интегральных уравнений, и для оператора К справедлива

Теорема 2а. Оператор "К является вполне непрерывным из пространства Х,(Б) в пространство ЬЛБ

Справедливо также следующее утверждение: Теорема За Пусть £°: ^ЦфШЕ^/г)/) В классе векторных функций Б) векторное.интегро-дифференциальное уравнение (11) эквивалентно операторному уравнению (15).

Шказано, что операторное уравнение (15) совпадает с уравнением (11), если тензор Грина слоистой среды принимает значение тензора Грина свободного пространства.

В §5 данной главы рассматривается задача дифракции монохроматического электромагнитного поля на бесконечной двупе-риодической решетке, образованной плоскими экранами в слоистой среде. Для уравнений Ыаксвелла ставится краевая задача в канале Флоке, которая затем сводится к векторному интег-ро-дифференциальному уравнению. Далее строится фундаментальное решение дифференциального уравнения (10), удовлетворяйте условиям Флоке. Это решение используется для получения из ин-тегро-дифференциального уравнения системы интегральных уравнений, которая аналогична системе, рассмотренной в §3 данной главы.

В главе 3 рассматривается численный метод решения полученных в предыдущих главах систем интегральных уравнений. Нахождение решения таких систем является некорректно поставленной задачей и требует применения регуляризирующих алгоритмов. В данной работе-применяется метод саморегуляризавди, основанный на слабой особенности в ядрах .интегральных уравнений. В §2 рассмотрены два способа аппроксимации плотности

поверхностного тока: а) при помощи функций с прямоугольным носителем, С) при помощи функций с треугольным носителем. Как одна, так и другая аппроксимация построены так, что для полей выполняются условия Мейкенера на ребре. Б общем виде рассматривается вопрос о выделении особенностей в ядрах интегральных операторов.

В §3 основные этапы общего метода решения системы интегрального уравнения иллюстрируются на примере решения задачи дифракции плоской электромагнитной волны на прямоугольной микрополосковой антенне. Для данной задачи строится тензор Грина слоистой среды; в явном виде выделяются особенности в ядрах интегральных операторов и определяется касательная составляющая электрического поля падающей волны на прямоугольном экране.

В §4 дается краткое описание программного комплекса ШПШТ, в котором реализован разработанный в данной работе алгоритм решения задачи дифракции электромагнитного поля на микрополосковой антенне. Приводятся результаты решения тестовой задачи дифракции на квадратной пластине в свободном пространстве и проводится сравнение с результатами других авторов.

В §5 приводятся рузультаты математического моделирования поверхностных токов, наводимых на микрополосковой антенне электромагнитной волной. Задача дифракции решалась для двух типов поляризации падающей волны и при различных углах падения. Приводятся результаты расчета нормированных диаграмм направленности (в приближении свободного пространства) по поло Е для разных значений толщины подложи, а также исследуется зависимостьот толщины подлодки.

В §6 данной главы строится математическая модель прямоугольной микрополосковой антенны, учитывающая возбуждение от полубесконечной микрополосковой линии, которая имеет с антенной электрический контакт. Используя априорные предположения о поведении поверхностного тока в микрополосковой линии, получена система интегральных уравнений относительно плотности поверхностного тока на микрополосковой антенне и

конечном участке микрополосковой линии. Данная система аналогична системе, полученной в главе 2. Для определения коэффициента отражения в микрополосковую линию используется условие непрерывности по току. Приводится численный алгоритм нахолздения коэффициента отражения и векторной функции, аппроксимирующей плотность поверхностного тока на микрополосковой антенне.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ К ЗАЩИТЕ

1. Задача дифракции электромагнитного поля на плоском экране, расположенном в свободном пространстве, сведена к векторному интегро-дифференциальному уравнению. Для функций из пространства Х(Б) доказана эквивалентность векторного' интегро-дифференциального уравнения и исходной краевой задачи для уравнений Ыаксвелла.

2. Предложен метод обратят векторного дифференциального оператора в интегро-дифференциальном уравнении, и получена система интегральных уравнений (в проекциях на координатные оси). Доказана эквивалентность векторного интегро-дифференциального уравнения и полученной системы интегральных уравнений для функций из пространства Х(Б).

3. Доказано, что матричный оператор, связанный с системой интегральных уравнений, является вполне непрерывным на.паре функциональных пространств Х(Б) и

4. Результаты, изложенные в п. п. 1-3, обобщены для вадачи дифракции электромагнитного поля на плоском экране, расположенном в плоскослоистой среде параллельно границе раздела сред, а также для задачи дифракции электромагнитного поля на бесконечной двупериодической решетке из плоских экранов, расположенных в слоистой среде.

5. Разработан алгоритм численного решения полученных в работе систем интегральных уравнений,'основанный на методе саморегуляризации. Этот алгоритм реализован на ЭВМ ЕС-1045 в виде комплекса программ на языке ГОКП?АМ-4 применительно к решению задачи дифракции плоской электромагнитной волны на пряшу-

гольной микрополосковой антенне.

6. Доведено математическое моделирование поверхностных токов, наводимых на микрополосковой антенне плоской волной (при разных углах падения для Е и Н поляризации падающего поля). Исследована зависимость нормированной диаграммы направленности по полю Е от толщины подложки.

7. Разработана математическая модель микрополосковой антенны, учитывающая возбуждение от полубесконечной линии, и предложен численный алгоритм для определения коэффициента отражения и плотности поверхностного тока на микрополосковой антенне.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Ивахненко Е И., Ильинский А. С. "Численный метод исследования задач дифракции в нерегулярных микрополосковых устройствах". // В кн.: Математические модели и вычислительные методы.- й: йзд-во МГУ, 1987, с. 145-156.

2. Ивахненко R И., Ильинский А. С. "Исследование операторных уравнений задач дифракции ка плоском ограниченном экране". Вестн. моек, ун-та. сер. 15,Вычислительная математика и кибернетика. 1988, N4, с. 23-29.

3. Ильинский А. С., Ивахненко Е И. "Метод граничных операторных уравнений для исследования распространения электромагнитных волн в нерегулярных микрополосковых линиях. "//Вэлны и дифракция-85 IX Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн. -Тбилиси: 1985,Т. 2, С. 297-300.

4.. Ивахненко К И, Ильинский А. С. "Математическая модель микрополосковой антенна"//Современные проблемы физики и ее приложений. Тезисы докладов. - М.:,ВИНИТИ АН СССР, 1987, часть I, с. 23-24. 5. A.S. Ilyinsky, V.I. Ivakhnenko."Scattering by patch in the multilayered media" Proceedings of the 1989 URSI International Symposium on electromagnetic theory, Stockholm, Sweden, 1989, p. 79-81.

л - ///-ОТ 7нр.М&- За к—¿¿fiSi—

Предприятие «ПАТЕНТ». Москва, Г-59, Бережковская наб., 24