автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка алгоритмов параметрической идентификации с ограниченной чувствительностью к исходным данным

РГБ ОД

- 2 ОКТ 1995

Поляков Колствнтин Львович

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ

ИДЕНТИФИКАЦИИ С ОГРАНИЧЕННОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬЮ К ИСХОДНЫМ ДАННЫМ

Специальность 03. 13. 01 - "Управление в технических системах"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации иа соискание

ученой степени'

кандидата технических наук

МОСКВА 1595

Работа выполнена в Московском Государственном Институте Электроники и Математики.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Афанасьев В. Н. •

Официальные оппоненты: доктор фиэнко-ммвмлтичеекнх профмее? М*тмо» А.И.

док*ор технических наук, профессор Кравнлыцмко« М.Н.

„ _„ _ АООТ Москоискк* ИНОТИТГТ

Ведущее предприятие. эЛвКтромвх*Ю1КИ К МТОИНТМКК

Защита состоится *<?А " Ы-жиТрм 1995_г. в./'У нас. на заседании диссертационного Совета Д 063. 68. 03 - ,

Московского Государствегшого Института Электроники и Математики

по адресу: Москва, Б. Вузовский пер., д. 3/12. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ. Автореферат разослав * 21 " Р& 1995~г.

Ученый секретарь специализированного Совета

к. т. в., доцент_; , _Бузкиков С. Е.

Актуальность работы.

Одним из важнейших этапов конструирования управления любым физическим объектом является построение его математической модели. Структура последней определяется физическими соображениями или выбирается волевым решением в -соответствии с требованием наилучшего в некотором фиксированном смысле описания поведения объекта. В качестве теоретического аппарата построения моделей обычно выступает Математическая Теория Систем, объекты которой - динамические системы рассматриваются как недели объектов управления. Синтез конкретных алгоритмов управления требует строгого описания класса систем и правила выбора элемента внутри него. Если первая задача трудно формализуема и в йтсугствии физических аргументов носит полузмпирическ!1Й характер в силу широты класса динамических систем, то вторая вполне определяется выбором критерия и • конечномерной параметризацией указанного класса моделей,-обращаясь в проблему параметрической идентификации. Классический подход к ее решению предполагает выполнение некоторых условий на Всем отрезке времени идентификации. Если речь идет о вероятностной интерпретации управления, то эти условия касаются сохранения свойств случайных процессов, описывающих измерительные шумы и неконтролируемые воздействия на объект,

пересчитанные, как не измеряемые входные. Значения оценок, полученные в этой случае, считаются истинными.

Между тем, практика показывает, что подобные предположения носят неоправданно волюнтаристский характер и сбоя аппаратуры повсеместно нарушают их. С другой стороны, критерий выбора адекватной модели обычно стремятся определить максимально чувствительным к измеряемым данным с целью обеспечения наибольшей скорости сходимости основанных на его минимизации оценок параметров модели. В - реальных условиях, когда возможны пусть даже очень редкие, но серьезные отклонения характера функционирования объекта и влияния окружающей среды от предполагаемых, такая высокая чувствительность приводит к тому, что алгоритмы идентификации синтезируют оценки, значения которых существенно отличаются от значений в модельных условиях. В силу того, что указанные выше отклонения не могут быть рассмотрены, как следствие устранимого недоучета в модели' некоторых физических особенностей объекта и окружающей среды, эти значения оценок необходимо интерпретировать, как ложные (смещенные), использование которых при конструировании управления даст неверные результаты. Например, теоретические и экспериментальные исследования показывают, что такой популярный критерий, как средний квадрат отклонений предсказаний .от

г •

реального выхода объекта облагает подобными неприятными свойствами его практическое использование может привести к полной потере информативности процедуры идентификации. С другой стороны при выполнении предположения о гауссовском характере распределения измерений для широко распространенного . класса линейных моделей его использование дает наилучшие по скорости сходимости результаты.

В связи с вышесказанным актуальной является задача разработки алгоритмов параметрической идентификации, которые в модельных условиях дают то же значите оценки, что и алгоритм основанный на минимизации некоторого базового критерия, а . при нарушении последних сходятся к значениям, которые отличаются от истинных не более, чем • на заранее заданную величину, т. е. • являются устойчивыми к возмущениям по смещению.

Цель работы. .

Анализ литературных данных показывает, что разработка.!., алгоритмов параметрической идентификации с заданной верхней границей смещения при наличии произвольных искажений "данных носит не систематический и достаточно частный характер. Авторы либо пытаются эмпирически реализовать общую идею "ограничения чувствительности оценки к даипым", либо ориентируются на узкие специфические классы'моделей возможных искажений информации,

/

связь которых с практическими ситуациями типа аддитивного шума нередко проблематична, например "модель больших ошибок". В связи с этим в работе были поставлены и решены следующие задачи.

1. Определить класс оценок параметров статических и динамических моделей временных радов, обладающих заданной верхней грающем смещения при наличии произвольных искажений исходной информации.

2. Предложить и обосновать теоретически конструктивный метод проверки принадлежности к указанному классу.

3. Определить путь решения задачи синтеза алгоритмов, принадлежащих данному классу.'

4. Построить примеры не рекуррентных оцелок параметров динамических и статических моделей, принадлежащих рассматриваемому • классу, доказать их сходимость я проанализировать асимптотическое поведение при иаличш возмущений.

5. Построить . примеры рекуррентных алгоритме: параметрической идентификации статических и динамически: моделей, принадлежащих рассматриваемому классу, доказать и: сходимость и проанализировать асимптотическое поведение пр] наличии возмущений.

6. Экспериментально проанализировать качество функционирования некоторых алгоритмов нз указанного выше класса в среднем на конечном интервале времени.

Методы исследования.

В настоящем исследовании всюду предполагается, что данные носят дискретный по времени характер, и представляют собой измерения выхода некоторого физтеского объекта или характеристик некоторого явления - временной ряд. . При их интерпретации и аналнзе асимптотического поведения оценок автор придерживается вероятностного подхода, т. е. пространство всевозможных бесконечных последовательностей - измерений рассматривается, как пространство с конечной неотрицательной , мерой, различные варианты которой принадлежат некоторому параметризованному множеству. Под моделью объекта или явления понимается алгоритм прогнозирования очередного значения проводимого измерения. Введено понятие фазового пространства модели, т. е. пространства, по элементам которого осуществляется прогноз, а также расширенного фазового пространства как прямого произведения фазового пространства и пространства, которому принадлежит каждое очередное измерение. Множество мер на данном пространстве индуцируется множеством мер на пространстве всевозможных последовательностей измерений. Асимптотическое

значениз оценок параметров модели рассматривается, как значение функционала определенного на указанном выше множестве мер. Всевозможные неучтенные в модели шумы и сбои рассматриваются как отклонения реальной меры на расширенном фазовом пространства от модельной к их величина оценивается в метрике Колмогорова. В основе анализа качества оценивания лежит анализ сильной дифференцируемое™ (по Фреше) функционалов оценок.

В данной работе осуществлены постановка и решение задач" разработки метода анализа и конструирования алгоритмов параметрической идентификации статичгских и динамических моделей физических объектов и явлений, качество функционирования которых в смысле величины смещения значения оценки при произвольном искажении исходных данных определяется только величиной данного искажения, т. е. незначительные искажения не могут привести к потере информативности, т. е. сколь угодно большому смещению оценки. Конструктивно описан класс алгоритмов, обладающих заданной верхней границей смещения при произвольных искажениях исходных данных и предложена теоретически обоснованная процедура проверки наличия данного свойства. Приведены примеры алгоритмов, порождающих Подобные оценки, доказана Их сходимость. Путем численного моделирования

6. Экспериментально проанализировать качество функционирования некоторых алгоритмов из указанного выше класса в среднем иа конечном интервале времени.

МеТОДИ ИССЛ?Д(739НИЯ,

В настоящем исследовании всюду предполагается, что данные носят дискретный по времени характер. и представляют собой измерения выхода некоторого физического объекта или характеристик' некоторого явления - временной ряд. . При их интерпретации и анализе асимптотического поведения оценок автор придерживается вероятностного подхода, г. е. пространство всевозможных бесконечных последовательностей - измерений рассматривается, как пространство с копечкой неотрицательной , мерой, различные варианты которой принадлежат некоторому параметризованному множеству. Под моделью объекта или явления понимается алгоритм прогнозирования очередного значения проводимого измерения. Введено понятие фазового пространства модели, т. е. пространства, по элементам которого осуществляется прогноз, а также расширенного фазового пространства как прямого произведения фазового пространства и пространства, которому принадлежит каждое очередное измерение. Множество мер на данном пространстве индуцируется множеством мер на пространстве всевозможных последовательностей измерений. Асимптотическое

значение оценок параметров модели рассматривается, как значение функционала определенного на указанном выше множестве мер. Всевозможные неучтенные в модели шумы и сбои рассматриваются как отклонения реальной меры на расширенном фазовом пространстве от модельной н их величина оценивается в метрике Колмогорова. В основе анализа качества оценивания лежит анализ сильной дифференцируемостн (по Фреше) функционалов оценок.

Нзучнзя новизна.

В данной работе осуществлены постановка и решение задач" разработки метода анализа и конструирования алгоритмов параметрической идентификации статических и динамических моделей физических объектов и явлений, . качество функционирования которых в смысле величины смещения значения оценки при произвольном искажении исходных данных определяется только величиной данного искажения, т. е. незначительные искажения не могут привести к потере информативности, т. е.' сколь угодно большому смещению оценки. Конструктивно описан класс алгоритмов, обладающих заданной верхней границей смещения при произвольных искажииях исходных данных и предложена теоретически обоснованная процедура проверки наличия данного свойства. Приведены примеры алгоритмов, порождающих Подобные оценки, доказана их сходимость. Путем численного моделирования

проведен анализ поведения некоторых из них в среднем па конечных отрезках врем&ш.

Практическая ценность.

Достоверная информация о значениях параметров модели объекта управления является необходимым условием успешного синтеза его управления. Между тем искажения измеряемой информации вызванные сбоями датчиков и внешними помехами приводят к потере информативности многих классических методоз вдентпфикацш!. Проведенные в диссертационной работе исследования позволяют яа практике отобрать: из имеющихся или синтезировать новые алгоритмы параметрической идентификации устойчивые к указанным видам возмущений. Предлагаемая методика • конструктивна н. не требует использования излишне сложного математического аппарата. Рост объема вычислений при реализации указанных алгоритмов яе столь велик, что бы препятствовать их использованию яа стандартной вычислительной аппаратуре. В этом смысле, большое практическое значение имеют рекуррентные алгоритмы, обладающие устойчивостью по смещению к искажениям информации, хорошо приспособлены для работы в режиме реального времени, , ' ' , '

/

Внедрение,

Предложенная в работе методика анализа и синтеза алгоритма была использована была использована при раз работе алгоритмического, обеспечения функционирования адаптивны: антенных решеток и организации автоматизированного контроль качества производства некоторых видов красителей.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации апробированы и заседаниях семинара каф. "Кибернетика" "МГОЭМ и каф "Прикладная Механика" МГУ.

Публикации.

Ряд положений диссертационной работы изложен в публикациях.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, ' списк литературы и приложений. Объем работы 187 страни машинописного текста. Библиография содержит 58 наименований * них 28 на иностранных языках.

Содержание, работы

Введение. Во введении обосновывается актуальность темы, ее научное и практическое значение, описывается структура работы и приводятся основные положения, выносимые на защиту.

Глава 1. Первая глава носит обзорный характер. .В ней излагаются основные подходы к построению робастных оценок, т. е. оценок, качество которых определяется только степенью искажения исходной информации, а также различные подходы к анализу сходимости алгоритмов параметрической идентификации для статических и динамических моделей временных радов, некоторые из которых в качестве теоретической базы будут использованы в исследованиях представленных во второй главе. В частности, параграф 1.2. посвящен обзору методов робастизации оценок. Известно две основных точки зрения на рббастность - минимаксная, основанная на идеях Хыобера, и дифференциальная, основанная на идеях фон Мязеса и Хампеля.

.Минимаксно - робастная постановка задачи оценивания

(раздел 1.2. 1.) может быть сформулирована следующим образом.

Пусть 2- пространство наблюдений, {р} - множество вероятностных Мер на нем параметризованных параметром а , {1) •

класс алгоритмов оценивания. Свяжем с , оценкой некоторый

критерий качества J*^J{Fd,1),Fdъ {у.),Те(Т\ . Обычно критерием

является либо асимптотическое смещение , либо асимптотическая

дисперсия. В многомерном случае соответственно норма смещения-

или след матрицы асимптотической дисперсии. Необходимо найти

оценку и меру удовлетворяющие соотношению

То, ОД :У(ОД,То) = 5ир ш? ЦЩТ), т. е. эта пара образует седлопую «в(ц|г«{7)

точку ' критерия. Относительно асимптотического смещения

установлено, что, если в качестве множества мер рассматривать

модель большой ощибхи для симметричных унимодальных

распределений, а к часе оценок состоит только из оценок

инвариантных относительно переноса, то решение указанной выше

задачи дает медиана, т. е.. фактически ^решение уравнения

я 2 ¡¡¡п(2(к)-а)=>0. Задача робастизашш асимптотической дисперсии ы

решается в соответствии с предложениями Хыобера путем применения метода максимума правдоподобия основанного на плотности "наихудшего" для данного множества распределения, где понятие " наихудшее", определяется из соображения минимизации информации Фишера Лл(И) =зир - множество

непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем, для которых знаменатель дроби не раин нулю. Существенным недостатком данного подхода является . достаточно ¿ложная процедура нахождения "наихудшего" распределения.

Дифференциально ■ робаст ,ая постановка задачи оценизашя (раздел 1. 2. 2.) может быть сформулирована следующим образом. Пусть:

и

' ь) Z - пространство наблюдений, {ц} - множество вероятностных мер на пространстве наблюдений, параметризованных параметром а,

b) ¡7} - некоторый класс оценок значения параметра меры,

c) критерий качества оценки ./: {й} * {Г}

например, норма смещения или след асимптотической дисперсионной матрицы,

(1) /Уо 6 {р} г некоторое известное распределение.

Для заданного, с > 0 необходимо ' найти оценку Т,

удовлетворяющую условию

■ УИб и(га>)с{И):

ЩРУо)- множество, не обязательно окрестность, содержащая

Решение данной задачи исторически-имеет Два подхода. Оба

основаны на представлении оценки в виде функционала на пространстве мер задашых на пространстве наблюдений. Подход Мизеса - Хампеля (подраздед 1. 2. 2. (А)) использует для анализа и построения робастных по смещению оценок по!штие слабой производной (в смысле Гато) и требует ее ограниченности - В робастность. Хампель исходит из приближенного соотношения 7ТЯ/))-7Хгаг)з /Щг.зЭДГ^ОО-Шг)), где /Яг, а) - .слабая производная или функция влияния - центральное - понятие

дифференциальной робастности. Полузмпирический характер связи смещения со слабой производной заставил ряд специалистов пересмотреть определение функции влияния и использовать понятие сильной дифференцируемости (подраздел 1. 2. 2. (В)). Однако,

/ ■

по-прежнему использовалось только требование ее ограниченности, т. е. авторы следовали определению рсбастности данному Хампелем.

Параграф 1. 3. посвящен рассмотрению проблемы робастизации М - оценок, т. е. оценок, значения которых получаются как решения уравнения а(п):; 2 <?(о(л);г(/г)) = 0 или задачи

и я

а(п): I; ЕЛсКпУ.Ф)) =сви112Ха(п);г(п)), где - к - значение точки в расширенном фазовом пространстве модели. Особое внимание к данному классу оценок вызвано тем, что для любой другой оценки, для которой корректно определено понятие функции влияния можно построить М - оценку с той же функцией влияния, а следовательно с теми же асимптотическими свойствами. Кроме того они допускают проотое обобщение на многомерный случай. Все практически значимые результаты в данной работе получены для класса М -оценок.

Раздел 1. 3. 1. посвящен обзору свойств М - оценок для статических (регрессионных) моделей временных рядов. Приведены известные условия их сходимости и асимптотической нормальности.

Робастизация М - оценок основаьа на том, что их функция влияния имеет, как можно показать, вид Щг;а)= {^¿дК;«!)]}"1^«0) для любого из перечисленных способа определенна. Однако, если

установить наличие слабой дифференцируемости, как правило, не представляет особого труда, то определение наличия сильной производной требует привлечения специальных исследований. В

основном они основываются на совпадении вида сильной и слабой

производных. Характерно, что для определения наличия сильной дифференцируемости привлекается понятие полной вариации - FV[.) функции, порождающей М - оценку и вводятся условия типа

Особенно важен раздел 1. 3. 2., где рассматривается проблема робастизации М - оценок параметров динамических моделей (подраздел 1. 3. 2. (С)). В основном широко известны результаты для критериального подхода к их определению, т. е. когда значения оценок определяется как решите задачи минимизации критерия

где /: Л х х Я1» -> Мг», К): Л'.

В ряде работ, однако, рассматриваются оценки более общего

вида, представленные как решение уравнений

Следует отметить, что их использование носит, по имеющимся литературным данным, 6 основном полуэмпирический характер, основано на аналогии с оценками параметров статических моделей и преследует цель ограничения влияния на значите оценки отдельных аномально больших слагаемых в приведенной сумме. В работе Кюнша, однако, сделана попытка строгого определения, функции влияния подобных оценок для параметров авторегрессионъпс моделей временных рядов на основе слабой дифференцируемости.

J{a-,N) = Ь №г,Щ,0(а-,Щ = Кк,а,е(к,а)),

а

Автор показывает, что при определенных условиях она имеет вид = (/9{г,а){^г,а)}Гц(&))"1«(г,а).'

Параграф 1. 4. посвящен анализу поведения рекуррентных алгоритмов оценивания о(4) = а(к) + а(к -1) Д) - для

статических моделей и

а{к) = а{к-+ 1)),><*)-><*. 1)))

для динамических.

Этот класс оценок особенно важен, если речь идет об

оценивании в режиме реального времени. По имеющимся

литературным данным можно сделать два основных вывода. Во -

первых, асимптотическое смещение данных. оценок совпадает со смещением М - оценок, основанных на той же функции $(.), во -вторых, скорость сходимости атих оценок в лучшем случае совпадает

со скоростью сходимости М - оценох, что достигается путем введения

дополнительных вычислений.

Глава 2. Данная глава посвящена результатам, полученным автором диссертационной работы и вьшгеимым им на защиту.

Прежде всего в ней приведены примеры неконтролируемого поведения метода максимума правдоподобия для широкого класса распределений при наличии даже весьма маловероятных искажений исходных данных на примере статических задач нахождения математического ожидания и коэффициентов линейной регрессия (раздел 2. 2. 3.), а также динамической задачи определения коэффициента авторегрессионой модели первого порядка (раздел 2.

3. 3.). Показано, что даже в этих простейших случаях смещение значения оценки может стать произвольно большим.

В разделе 2. 2. 2. в связи с приведенными примерами сформулирована строгая постановка задачи для статической (регрессионной) модели.

Пусть

а) измерения в отсутствии искажений удовлетворяют линейной

регрессионной модели с некоторым истинным значением параметра,

, Ь) рассматривается класс алгоритмов параметрического

оценивания для указанной модели такой, что оценки являются

функционалами на пространстве распределений в пространстве наблюдений а = а(Рс!() и их асимптотические значения в отсутствии искажений совпадают с Истинным значением параметра,

с) искажения моделируются отклонением функции распределения измерений от первоначального величина искажений определяется с помощью наперед заданной метрики в пространстве вероятностных мер

Требуется построить оценку параметров модели, которая, обладает свойством

= +о(<*(л*{,/У<)),

где о(да) - асимптотическое значение оценки для искаженных данных, а - истинное значение параметра.

. 'к

i. .

В разделе 2. 3. 2. приведена аналогичная постановка задачи для параметрической идентификации динамических моделей временных рядов, которые рассматриваются как реализации скалярных случайных , процессов вида

С(') = 7= }ехр(,0>/)(Г(схр(,а>))у(^), где ЩЦ = Ш = > О,

от,и заданы. Обозначим пространство всевозможных бесконечных в одну сторону последовательностей из Л1, как /, вероятностную меру порожденную на нем случайным процессом ф) как щ е {ц;}, а вектор параметров модели ряда как а.

Пусть

a) измерения в отсутствии искажений являются реализациями случайного процесса указанного выше типа, с некоторым истинным значением вектора параметров,

b) рассматривается класс алгоритмов параметричгского оценивания указанной модели такой, что асимптотические значения

оценок вектора параметров являются значениями функционалов на

множестве мер {щ) или их проекций на некоторое конечномерное подпространство пространства 1: а = и в отсутствии искажений

совпадают с его истинным значением,

c) искаженные измерения являются реализацией случайного

процесса £ отличного от исходного, который порождает, на пространстве / иную вероятностную меру (Д;, величина отклонения

. которой от первоначальной определяется в наперед заданной метрике и характеризует величину искажений. Необходимо построить оценку параметров указанной модели, которая о&ладает свойством

где о(°о) - асимптотические значения оценок для искаженных данных, а а - истинное значение вектора параметров.

В разделе 2. 2. 4., по аналогии с В - робастностью, введено понятие В* - робастности. Целью введения нового сиойствц оценок является конструктивное описание класса оценок, обладающих ограниченной величиной асимптотического смещения значения оценки при произвольных искажениях исходных данных.

Определение 2. 2. 4. - 1

1 Назовем оценку параметра а вероятностной меры цт(а) В* -робастной относительно метрики в пространстве указанных выше мер с1 если:

a) она является функционалом на пространстве всевозможных

вероятностных мер - о = в(ц),

b) для о(ц) существует сильный дифференциал Фреше в точке ц"(г;а) - -ц™] относительно (1,

c) для дифференциала Фреше выполняется соотношение

Теоретическое обоснование процедуры проверки наличия В* робастности потребовало определения процедуры взятия по частям интеграла Лебега - Стилтьеса. Соответствующие выкладки приведены в разделе 2. 2. 5. как вспомогательные утверждения.

Теорема 2. 2. 5. - 1 О взятии по частям двумерного ннтеграла Стилтьеса.

{2,<м>

1 ш>Z2jnta) -Jg(?I Jllln.*2,mta)} Отметим, что область интегрирования в исходном интеграл-

является прямоугольником. Результат теоремы обобщается на случа]

произвольной размерности.

Дальнейший анализ в соответствии с материалами nepnoi

главы проведен для М - оценок. Введены два свойства оцено]

связывающих порождающую их функцию q с мерой на расширенно:

фазовом пространстве модели временного ряда, которо

предполагается конечномерным - Rm. Мера определяется функции распределения Fd(z) и в качестве метрики рассматривается расстояин Колмогорова dK(FditFdi) =sup \FdiU)-Fd2(z)\.

Условие'A', : •• •

Семейство распределений и функция q удовлетворяют условию 'А', если

VKse<;3*0(J&e<) > ОД. > 0: Vi> k„;FV[q,z,dRectk\dK(Fdi,Fdi,dRi!Cti): SLdx(Fdi,Fdi,R"*)\Recti e Rsel;VFd,,Fd2 с {Fd}. Rsel - последовательность взаимно вложенных прямоугольны: областей в R", dK(Fdi, Fd2,8Reclt), FV[q, 2, dReclt] - расстояни

Колмогорова и полная вариация, вычисленные по границе области. Условие "АГ.

Семейство распределений и функция д удовлетворяют условию 'АГ, если

VRset;\/Fdi,Fd2 е {F};Hni (FV[q,z,dRectAddFdi,Fd2,dRectt)} = О

В разделе 2. 2. 6. доказаны теоремы, устанавливающие

непрерывность М - оценок как функционалов на пространстве

конечных мер. Пусть Circle{Fd<¡,r)- открытый шар радиуса г с центром в Fd<¡.

Теорема 2, 2. 6.-2

Пусть выполняются условия

a). q(z,a) е C[fi" х .^покомпонентно,

b) 3j>0:Vo е A\Vk=üña\FV{qk,z,Rm} <s,

c) Va е ^выполняется условие'А'.

Тогда

ЭВ > 0: Va б A; \Q[a,Fd¡) -&а,< BdK(FduFdi).

Теорема 2, 2. 6. - 2.

• i '

Пусть выполняются условия-

a) q(z,áy,FXÁ) - удовлетворяют условиям предыдущей теоремы,

b) Vr > 0, VFd<¡ е Щ)\ 3Fd б F[A): Fd е Circle(Fda, г).

Тогда

' Ve>0\35>0:VFdi,Fd2eF(4)-,dK(,Fdi,Fd2)<&z:>¡a(,Fdi)-a(Fd1)l<e

В разделе 2. 2. 7. доказана теорема относящаяся к

существованию слабой производной М - оценок. Пусть r(4,Fd0): VFdе => VO¿t á í;(l ~i)Fd+ xFdo е r(A,Fd„).

Теорема 2. 2. 7. - Í.

Пусть выполняются условия

' а) М • оценка состоятельна по Фишеру относительно F"(A,Fd0)

b) 3í > 0: Ve е A,Fd е Г(А,Fd0);Ш<*.Щ < s,

c) VaeA;3M(á,Fdo)='¿eCa, Fdo)- невырожденная, • е) 3K>Q:;4aeAlSrl(a>Fd<t)Í<K.

Тогда VFd е F"l/i,Fday,DG(,a-Fclo,Fíí) = \riCaa,Fdíl)Q(ao,Fd-Fdo). Раздел 2. 2. 8. посвящен анализу сильной

. диффереицируемостн и является основным для анализа наличия В* -робастности. Пусть F(A) = {Fd(i; а),а е А с Л""}.

Теорема 2. 2. 8. - 1.

Пусть выполняются условия

a) a(Fd) - состоятельна по Фишеру для f\A),

b) a(Fd) - непрерывна для Fdо е f\A),

c) 6(о,Fd<¡),M(a, Fd<i) в С„\А\ поэлементно, M(a,Fd<¡) -

невырождена,

d)3X>0: Va е AlM~t(a,Fdo%<K ,

e)VFdе F[Á),Fdt>,ij(z,á) - выполняется условие 'Al',

f) Jim FV[q(z,a)-q(z,al>),z,Rm] = Q-

g> Bí > 0 : Va б А; ГЦ}(г, о)г, Лт J < í

Тогда функционал M - оценки имеет сильный дифференциал Фреше, который совпадает с его слабой производной, о Параграф 2. 3. посвящен проблеме робастизации М - оценок

параметров динамических моделей временных рядов. В соответствии с приведенным вЫше определением В* - робастности для данных оценок указанное свойство будет выполняться при условии

сходимости значений оценки к решению уравнения вида fh(z;q)n(dz) = 0, где левая часть удовлетворяет приведенным выше теоремам. Теоретический аппарат предложенный в работах Льюнга вполне подходит для поведения подобных исследований. Достаточно с его помощью установить сходимость исследуемой оценки и проанализировать левую часть асимптотического уравнения.

В данной работе приведены условия сходимости для подкласса класса М - оценок параметров динамических моделей временных рядов.

9(n): s E%?,v(t>9),4ftj)) = 0,ri(í;?) = |v(2;?),v(r,j) - ошибка J1)

прошозирования, qT = (aT,bT).

Доказано три вспомогательных леммы.

Лемма 2. 3. 4. (А) - 1.

Пусть выполняются условия

ж

1 = f exp(i'Qf)Pf(exp(/co))v(í/co) J -t

- íifi _ i - n

= ёлЗ = '6o>0'

2) Vr„ = r„ e 0c/e(0,1),

3) Vi» : £?n.(í«;¿») = 0 => i„ 6 C¡rcle(0,1),

*

4), v(/) = | exp(to()v(í/a), где v(a) - ортогональная

*

стохастическая мера на [-я,я],С» - £[v1(/)] <ю . Тогда 3V(/;j) :

A) Ve.*) е ОД*+1+<]},

B) ке зависит от/,{^[0 + л]} ,

Лемма 2. 3. 4. (А) - 2

Пусть

<р(Г) = } exp (ítüí)^—(f(exp (iúi))v(dai) [

—ж

%

2. = J exp (iü>t)№'(exp(io}))v(dú>)

3. Vj : = 0;i e CWe(0,1) Тогда 3C9 > 0,0 < Я < 1 :

4¡<K()»4] ¿ c»(¿ 1)'d"4)4 •

Лемиа 2. 3. 4. (A) - 3

Пусть для ■ последовательности случайных величин выполняются условия

1) HC > О, О < X < 1 : V// > 0; Щ < СХ'-';

2)УЫ>0;Щ(к,Щ = 0.

N

Тогда с вероятностью 1 lim i Z ¡;(£,ЛГ) = 0.

аь» " ы

Теорема 2. 3. 4. (А) - i

Пусть выполняются условия

1) условия на информацию

1. а ) измерения являются реализацией процесса вида , который удовлетворяет условиям Леммы 2. 3. 4. (А) - 1,

2) условия на алгоритм оценивания

Vii,v3[/s-Circ/e((v,T]);8):V(v,ri) б Щ

2. а ) Ч, v, п) - <7, vi, j})|| S v, J])| v - vi | 2. 6) 8ft(i,?.v,Ti)-A(i,9,v,T)i)lÄi:1,(i,?,v,ii)84-1il

2. в ) /r,(/,9,v,n)+JC,(i,g,v,rj)5(l + М+Ы)

3) условия на систему прогнозирования

3. а)

3. б ) Vr: Р,Лг;Ь) = 0 => г е CircleQO, 1)

4 ) На область поиска оценки

4. а) q б De iE*4 - компактное множество. Тогда/>(Ит |тах(%?;v;n)-£iA(/;?;v;ti)]) } = 0j = 1.

В разделе 2: 3. 3. приведены конкретные примеры оценок

параметров динамических моделей временных рядов. Прежде всего

определен класс оценок, сходящихся к решению уравнения, левая

часть которого дифференцируема по искомому параметру, поскольку

это свойство является необходимым для существования сильной

производной функционала оценки по мере. <

Теорема 2. 3. 5. - 1 О дифференцнруемостн левой части.

Пусть

1) Л(г, 4): Д< х (О, с Я"«) -> Л1, А/, М<

, еХ)? Кы> = и ... и О*.....

= (г 6 Я* : V/» е [<?*,(.',, ...2^,; ч), (р*„, (г,,.. лм; ?)] <р*ы . •• Ам^Й] V [<(>л,(21, ; -ко)}

3) = 1,п<;;Уг1,„^ы;<р4/(г,,...Пц;9) е С'[0,]

4) V? е е 5 К(г,9)

е V*.....Уг 6 О*.....м№до*......*ч(?)

Кг>ч) « с][£),.....

6) 6 плотность распределения на пространстве

наблюдений,£[К(С;?)] <а>,£[ОД;9)]<«> , где интегралы сходятся

равномерно. Тогда

А)Д?) = £[А«;?)] в С'р,],

М */»1 я<-1 «

......г*;?)]*

....., где <р?,(2,, ; <?)

обозначает предел г», -»<р*Дг|,..л(_,;0)±О.

Среди рассмотренных оценок - частично В - робастная оценка на основе преобразования Хьюбера

/ИЬ(г;с) =

с,г>с

гМ.^с

—С.2 <—С

робастная оценка на основе

преобразования Швеппе

(Ми^пт)

В* - робастная оценка на основе преобразования Маллоуза

, ".cij /„„.j \ /.„(?,0(z;9),= inC.?)-—-77i-L/hb{^-,C2) . Для всех

оценок доказано выполнение условий теоремы 2. 3. 4. (А) - 1.

Раздел 2. 3. 6. посвящен анализу рекуррентных оценок. Общая

его идея заключается в том, что, как установлено в работах Льюнга,

при определенных условиях траектории оценок ведут себя подобно

траекториям некоторого асимптотического дифференциального

уравнения и свойство сходимости оценок определяется устойчивостью по Ляпунову решения Ч = Я<>р> -истинное значение параметра. Рассматриваются алгоритмы вида

R(k) = R(k- l)+7W[nWin T(k)-R(t~ 1)], j?(0) = Д0, где для 1г(() = (£(f)r|r0)) выполняются соотношения

Доказано следующее утверждение о сходимости.

Теорема 2. 3. 6. - 1

Пусть

1) исходная информация и функция удовлетворяют условиям Теоремы 2. 3. 4. (А) - 1;

2) прогноз очередного значения временного ряда 40) и вектора коэффициентов чувствительности прогноза к значениям параметров rjW определяются в соответствии с приведенными выше уравнениями; , ■

3) очередное значение оценки определяется из приведенных

выше уравнений ;

4) 3V(q,R): R^xM^**, -> R*',

Пусть

1) А(г;д): Л* х (£>, с Л"*) -> Л',

, 2)у? 6 о, = и... и ок.....м(ч)

*Н_

Ок.....м<а) = {г 6 Л"5 : 1,^.'; 6 ;<7),. ,;"?)]

''(-».ФЪ,,^. ••■г*/-,".'?)] V [<?1,(г,, ..1км; д),+оо)}

4) V? 6 е 5 У(г,д)

6 £>» V*,,-**; 6 Ок,. .м((1)Шк1.....

б) //{(г) 6 плотность распределения па пространстве наблюдений,£[К|К; ?)]<«,£[#(£;?)] <«> , где интегралы сходятся

равномерно. Тогда

в) = + 1 ,;</)}*

.....гкгг, 4>*,(гь■•■**<-> I ?). .....?) Iх

'*/</«(*......>.ч>»,(г|,..;9)......г»^!4"1, где <р*((г|,..л*н;д)

обозначает предел -> (?»,(гь-"2»н;?)±0.

Среди рассмотренных оценок - частично В - робастная оценка на основе преобразования Хыобера

НнбМъч). п(*;«)) -

№(г,с)=

с,г>с г, 1*1.5 с -с,г <-с

В - робастная оценка на основе

преобразования Швеппе В* - робастная оценка на основе преобразования Маллоуза

(пГ<<*Уп«*>.)

= -у^МУ^г1^) ■ Для всех

1лг(«Ип('иу

оценок доказано выполнение условий теоремы 2. 3. 4. (А) - 1.

Раздел 2. 3. 6. посвящен анализу рекуррентных оценок. Общая

его идея заключается в том, что, как установлено в работах Льюнга,

при определенных условиях траектории оценок ведут себя подобно

траекториям некоторого асимптотического дифференциального

уравнения и свойство сходимости оценок определяется устойчивостью по Ляпунову решения д = д«р< -истинное значение параметра. Рассматриваются алгоритмы вида

Ф) = <?(*-1) + П№).?(0) = 9о,

Ж*) = цк -1)+г(*>[яС*)зп г№-*('-!)]■ т=До,

где для Хг(|) = (¡;0)г) г(')) выполняются соотношения

Доказано следующее утверждение о сходимости.

Теорема 2. 3. 6. - 1

Пусть

1) исходная информация и функция удовлетворяют условиям

Теоремы 2. 3. 4. (А) - 1;

2) прогноз очередного значения временного ряда ^(г) и вектора коэффициентов чувствительности прогноза к значениям параметров определяются в соответствии с приведенными выше уравнениями; , •

3) очередное значение оценки определяется из приведенных

выше уравнений ;

4) :Ят'хМт,иЧ -»Л*;

,§(/), кОУ-удовлетворяют системе уравнений

=Я'ЧОЧНЧ^пФ)].^=-•*(') ;

Тогда выполняется одно из двух утверждений:

A) (<?('),«(/)) -» Д / -»оо или

B)<](/)->дЯта.

Показано, что для оценок построенных на указанных выше преобразованиях условия теоремы выполняются.

Глава 3.

- Третья глава посвящена проблемам практической реализации ■ | В* - робастных оценок. В параграфе 3. 2. приведены результаты экспериментального, анализа оценок указанного типа. На основе метода независимых испытаний Мойте - Карло сопоставлено среднее функционирование рекуррентной оценки на основе преобразования Маллоуза с рекуррентным методом наименьших квадратов параметра авторегрессионой модели первого порядка в услошшх, когда Происходят редкие, но существенные искажения информации.

I . •

Результаты обобщены в виде графиков. Показано, что даже при вероятности искажений 0.03 метод наименьших квадратов имеет смещение абсолютно искажающее истинное значение параметра. С другой стороны, оценка на основе преобразования Маллоуза позволяет получить смещение меньшее в 3 - 4 раза на интервале в 250 шагов оценивания. Очевидной становится необходимость ограничения влияния не тэлько остаточной разности, но и вектора

||П • ' I .

коэффициентов чувствительности прогноза. Эффект ограниченности смещения проявляется не только асимптотически, но и на сравнительно небольшом (несколько десятков шагов) интервале времени оценивания.

Параграф 3. 3. посвящен приложениям приведенной в работе теории. Результаты получешше автором были использованы при разработке помехоустойчивого алгоритмического обеспечения настройки адаптивных антенных решеток (раздел 3. 3. 1.) и при организации контроля качества некоторых видов красителей (раздел 3. 3. 2.). Использование результатов подтверждено актами о частичном использовании результатов диссертационной работы.

Выводы:

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Определен класс оценок параметров статических и динамических моделей временных рядов, обладающих заданной верхней границей смещения при наличии произвольных искажений исходной информации.

2. Предложен и обоснован теоретически конструктивный метод проверки принадлежности к указанному классу.

3. Определен путь решения задачи синтеза алгоритмов, принадлежащих данному классу.

4. Построены примеры не рекуррентных оценок параметров динамических и статических моделей, принадлежащих рассматриваемому классу, доказана их сходимость и проанализировано асимптотическое поведение при наличии возмущений.

5. Построены примеры рекуррентных алгоритмов параметрической идентификации статических и динамических • моделей, принадлежащих рассматриваемому классу, доказана их

■ 1 сходимость и проанализировано асимптотическое поведение при наличии возмущений.

6. Экспериментально проанализировано качество функционирования некоторых алгоритмов из указанного выше класса в среднем на конечном интервале времени.

Список основных публикаций автора по теме диссертации.

1.Афанасьев В. Н., Поляков К. Л. Построение оптимальных фильтров в задачах инерциальной навигации. В сборнике "Гравнинерциалыгые приборы и измерения" Института Физики Земли им. О. Ю. Шмидта АН СССР, стр. 160 - 168, Москва ИФЗ АН СССР, 1985 г.

2. Поляков К. Л. Использование дополнительных измерений для коррекции инерциальиых навигационных систем. В сборнике Травкинерциалыдае приборы и измерения" Института Физики

Земли им. О. Ю. Шмидта АН СССР, стр. 169 - 173, Москва ИФЗ

1.. •

АН СССР, 1985 г.

3. Данилина А. Н., Поляков К. Л. Субоптимальное управление многоканальными системами обработки информации при неизвестных возмущающих воздействиях. В сборнике "Математическое и программное обеспечение вычислительных информационных и управляющих систем" (Межвузовский сборник научных трудов), Москва МИЭМ, 1989 г.

4. .Поляков К. Л. Введите в теорию фильтрации., Москва МИЭМ, 1991 г.

5. Поляков К. Л., Иванова О. Г., Рогачев Ю. Б. Применена робастных методов статобработки экспериментов при оценке растеши на устойчивость к болезням. Доклад на Всесоюзной Школе