автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка алгоритмов численного дифференцирования и интерполяции сигналов на основе частотных представлений

На правах рукописи

СОЗОНОВА Татьяна Николаевна

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕРПОЛЯЦИИ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

по специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ии3452861

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Белгород - 2008

003452861

Работа выполнена в Белгородском государственном университете

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Жиляков Евгений Георгиевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Ломазов Вадим Александрович

кандидат технических наук, доцент Васильев Павел Владимирович

Ведущая организация:

Воронежский государственный университет, г. Воронеж

Защита диссертации состоится 28 ноября 2008 г. в 12.00 часов на заседании диссертационного совета Д212.015.04 при Белгородском государственном технологическом университете по адресу: 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного технологического университета.

Автореферат разослан «_»_________2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Т.А. Дуюн

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Необходимость оценивания производных и интерполяции некоторого сигнала по имеющимся его дискретным отсчётам часто возникает при решении различных задач науки и техники. В качестве примеров можно привести проблемы восстановления промежуточных значений сигналов и их производных в связи и управлении, формирование канальных сигналов при передаче в режиме частотного уплотнения, анализ и синтез речевых сигналов, увеличение размеров (масштабирование) изображений, повышение чёткости изображений на основе градиентных методов и т.д.

Проблема численного дифференцирования и интерполяции сигналов по дискретизованным данным исследовалась в работах многих авторов. В результате этих исследований предложено достаточно много методов интерполяции: полиномиальная, сплайн-интерполяция, метод Уттикера-Котельникова-Шеннона. При этом, как правило, в качестве оценок производных предлагается использовать соответствующие производные интерполирующих функций.

В тех случаях, когда анализируемые отсчеты порождены сигналом с финитным спектром, а интервалы дискретизации согласованы определенным образом с шириной области определения последнего, интерполирующая функция позволяет адекватно, в смысле имеющейся информации, вычислять значения сигнала в пределах интервала его регистрации. Это составляет основное преимущество формулы Утгикера-Котельникова-Шеннона перед полиномиальной или сплайн-интерполяцией.

Существенным недостатком существующих подходов к численному дифференцированию по эмпирическим данным является неустойчивость получаемых оценок производных.

Таким образом, проблема построения алгоритмов численного дифференцирования и интерполяции сигналов по эмпирическим данным, позволяющих получать устойчивые оценки производных и осуществлять восстановление значений сигналов в интервалах между отсчетами, является актуальной.

Устойчивость оценок производных можно повысить, если использовать вариационный принцип минимизации квадрата евклидовой нормы

II/II2 = | /2МА оценки первой производной аппроксимирующей функции

(модели)/(/) = <Ю(01Ж при выполнении интерполяционных условий

й, =й(едо = м,,1 = 0,1,...,Л'. (1)

Д/ - интервал дискретизации.

При этом сама интерполяция легко осуществляется на основе численной реализации формулы Ньютона-Лейбница

й<0 = «„ + }/(*)<&.

о

С позиций повышения устойчивости оценок производных предлагается также использовать класс аппроксимирующих функций с финитными областями определения трансформант Фурье (с финитными спектрами Фурье), что вместе с тем позволяет получать устойчивые оценки производных высших порядков как результат дифференцирования частотного представления для первой производной

/(')= | ^(<а)ехр(уй)0^й)/2л-1П = [-П2,-П1)и[П,,П2);0<й1 <П2 <°о

где предполагается, что соотношение для трансформанты Фурье первой производной Р((о) получается в результате минимизации её нормы с учётом интерполяционных условий (1). Ясно, что правая часть последнего соотношения является дифференцируемой произвольное количество раз.

Представляется естественным построенные на такой основе алгоритмы называть вариационными и устойчивыми.

Разработка и реализация такого подхода и составляет основное содержание данных диссертационных исследований.

Целью работы является разработка и исследование вариационных алгоритмов интерполяции и численного оценивания производных сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе частотных представлений с использованием моделей функций с финитными областями определений трансформант Фурье (финитными спектрами Фурье).

Для достижения этой цели на основе анализа состояния вопроса были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка и исследование алгоритмов численного дифференцирования сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе частотных представлений и минимизации евклидовых норм получаемых оценок производных с финитными спектрами Фурье;

2. Разработка и исследование алгоритмов интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе частотных представлений и интегрирования оценки производной с минимальной евклидовой нормой и финитным спектром Фурье.

3. Сравнительные исследования погрешностей оценивания производных и интерполяции сигналов с помощью предложенных и наиболее распространенных алгоритмов на основе вычислительных экспериментов,

4. Создание программной реализации вариационных алгоритмов интерполяции и оценивания производных сигналов и её апробация при обработке реальных эмпирических данных.

Методы исследований:

- Методы анализа и синтеза сигналов на основе частотных представлений и использования вариационных принципов;

- Численные методы высшей математики;

- Вычислительный эксперимент. Научно-практическая значимость работы. Научную новизну работы составляют:

• подход к решению проблемы численного дифференцирования и интерполяции сигналов по эмпирическим данным на основе формулирования изначальных требований непосредственно к характеристикам первой производной аппроксимирующих функций и применение для этих целей частотных представлений;

• использование вариационного принципа минимизации евклидовой нормы оценки первой производной для отбора моделирующих функций из класса целых при интерполяции и оценивании производных сигналов по дискретным эмпирическим данным, что позволяет повысить устойчивость к влиянию погрешностей измерений оценок производных всех порядков, включая процедуру интерполяции;

• математические представления для оценок первой и второй производных, интерполирующей функции и определенных интегралов от неё и разработанные на этой основе соответствующие устойчивые сходящиеся вычислительные алгоритмы.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в разработке устойчивых и сходящихся вариационных алгоритмов численного дифференцирования и интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным.

Отдельные положения диссертации используются при подготовке специалистов по направлениям «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» и «Сети связи, системы коммутации».

Практическую полезность представляет программная реализация разработанных алгоритмов интерполяции, численного оценивания определенных интегралов и дифференцирования сигналов по дискретным эмпирическим данным.

Достоверность полученных результатов и выводов обусловлена корректностью математических преобразований, отсутствием противоречий с известными теоретическими положениями и выводами и подтверждается результатами большого количества вычислительных экспериментов по обработке модельных и реальных эмпирических данных.

Личный вклад соискателя

Все разделы диссертационной работы выполнены лично автором. Все изложенные в диссертационной работе результаты исследований получены либо соискателем лично, либо при его непосредственном участии.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях:

- Международная конференция «Тихонов и современная математика: Вычислительная математика и информатика», Москва, 2006 г.

- Седьмая международная конференция «Проблемы информатики и моделирования - 2007», Харьков, 2007 г.

- Десятая международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и ее применение», Москва, 2008 г.

Связь с научно техническими программами

Исследования по проблеме численного дифференцирования и интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным проводились в рамках следующих проектов:

- проект РНП.2.1.2.4974 «Разработка и исследование вариационных методов анализа и восстановления сигналов в линейных системах по дискретным эмпирическим данным ограниченной длительности» аналитической ведомственной целевой программы федерального агентства по образованию РФ «Развитие научного потенциала высшей школы в 2006 - 2008 гг.»;

- проект «Разработка и исследование методов и алгоритмов обработки речевых данных для создания информационных технологий их сжатия при хранении, передаче и обеспечении скрытности в информационно-телекоммуникационных системах» федеральной целевой программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России 2007 - 2012 гг.», государственный контракт №02514114010 от 26.02.2007 г.

Публикации

Основные положения диссертационной работы изложены в 9 печатных работах, из них 7 статей, 3 из которых в журналах из списка ВАК, и 2 свидетельства Роспатента РФ об официальной регистрации программ для ЭВМ.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и Приложения. Работа изложена на 147 страницах машинописного текста,

включающего 40 рисунков, 19 таблиц и список литературных источников из 137 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования и формулируется его цель. Дается общий обзор содержания диссертации. Указывается научная новизна и практическая полезность. Приводятся сведения о публикациях и апробации результатов работы.

Глава 1. Методы и алгоритмы численного дифференцирования и интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным В этой главе основное внимание уделено рассмотрению проблем интерполяции и численного дифференцирования регистрируемых сигналов.

В частности, обоснована целесообразность использования частотных представлений и учёта сосредоточенности подавляющей доли энергии реальных сигналов в ограниченных частотных интервалах. Делается вывод о том, что с точки зрения адекватности отражения физических свойств сигналов целесообразно для их моделирования использовать класс функций с финитными областями определений трансформант Фурье (финитными спектрами Фурье).

Дан аналитический обзор существующих методов и алгоритмов обработки дискретных значений сигналов при их интерполяции и численном дифференцировании. Показано, что многие из используемых к решению этих задач подходов не вполне удовлетворяют требованию адекватности отражения физических свойств реальных сигналов.

На основании проведенного анализа сформулированы конкретные задачи диссертационного исследования, решение которых позволяет достичь основной цели работы.

Глава 2. Разработка и исследование устойчивых алгоритмов численного дифференцирования сигналов на основе принципа минимизации евклидовых норм аппроксимаций производных с финитными спектрами Фурье

Во второй главе проведен углублённый анализ основных методов численного дифференцирования сигналов, заданных своими значениями в дискретном наборе точек области определения. При этом основное внимание уделялось двум аспектам: адекватности основным целям обработки регистрируемых данных и устойчивости соответствующих вычислительных процедур (алгоритмов) к погрешностям регистрации.

Рассмотрены некоторые направления использования оценок производных для решения прикладных задач обработки сигналов.

Проблема повышения устойчивости вычислений оценок производных рассматривалась в работах многих авторов, что свидетельствует о её важности. Вместе с тем в имеющихся литературных источниках отмечается, что она далека от окончательного решения. На наш взгляд основной причиной такого положения дел является то, что требования к аппроксимирующим функциям формулируются, исходя из необходимости решения задачи интерполяции, а оценка производной определяется на основе дифференцирования интерполирующих функций. В данной работе предлагается формулировать принцип отбора моделирующих функций на основе требований к свойствам их производных с учётом интерполяционных условий.

Такой подход рассмотрен в разделе 2.2 диссертации, где разработан новый алгоритм оценивания производных сигналов по дискретным эмпирическим данным. При этом используются следующие математические основы.

Пусть в результате измерений в эквидистантных точках =/¿</ = 0,...,^, интервала

te[b,Nàt], (2)

области определения некоторого сигнала u(t) получен набор (вектор) эмпирических данных

Û = (U0,..,U„)T, !!,=«(/ДО, 1 = 0,...,//, (3)

где символ Т означает транспонирование.

Из соображений адекватности представляется целесообразным областью определения аппроксимирующей функции считать всю числовую ось, т.е.

- 00 S t < а>, (4)

т.к. нет оснований полагать, что она ограничивается интервалом регистрации (2).

При этом на основе физических соображений можно утверждать, что реальные сигналы являются непрерывными со всеми своими производными. Таким образом, для достижения адекватности необходимо, чтобы в любой точке области определения существовали и были непрерывными производные любого порядка, причем выполнялись неравенства

]]г(',(0|2<л<°°Д = о,1...

(5)

В основе дальнейших построений используется представление

«(<) = «.+ )/(*№. (6)

о

которое позволяет по оценке производной вычислить интерполирующую функцию. Очевидно, что при этом должны выполняться интерполяционные равенства и, = û(iAt) = uk,i = Q,l,...,N.

Для повышения устойчивости вычислений оценок производных по регистрируемым дискретным данным предлагается использовать

аппроксимирующие функции с финитными спектрами Фурье, которые представимы в виде

/(г) = --- J/W«fo. (7)

где О - интервал оси частот

F(<a) - трансформанта Фурье, связанная с модельной функцией дуальным (7) соотношением

+<ю

F(®)= \me--dr (8)

Выбор области определения Q трансформанты Фурье может быть продиктован априорными сведениями о свойствах сигнала.

Подстановка представления (7) в правую часть (6) позволяет получить соотношение для интерполирующей функции на основе трансформанты Фурье производной

1 sin т) iï

«(О = "о + ~ J ' du, (9)

LK /2

так что условиям интерполяции (1) нетрудно придать вид

. (ûAli*\

, sm -Т" ] а». /

i I г <10>

/2

где

V, =(«,-«„),<• (11)

Для отбора конкретной аппроксимации из класса (7) предлагается использовать вариационный принцип минимизации евклидовой нормы оценки производной, что также повышает устойчивость вычислений. На основе представления (7) и равенства Планшереля (Парсеваля), этому принципу нетрудно придать вид

]/2(г)Л- = -1- ЬЩ'ёсо^тт,

^¿а (12)

Таким образом, задача сводится к поиску решения вариационной изопериметрической задачи, определяемой условием (12) и ограничениями вида (10). В работе показано, что искомое решение представимо в виде

. ( аЛи\

» 5ШПГ та, и^р.-ЦА^, (13)

когда а е О и Р(а>) = 0 нулю в противном случае.

Для вычисления вектора множителей Лагранжа /3 = (Д,..., Д„)г следует воспользоваться подстановкой представления (13) в левые части равенств (10). В результате нетрудно получить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которым должен удовлетворять набор коэффициентов в (13)

лр = у=(у,.....уы)Т, ^

где

, (вШ]

ж -*

щ

Л; Пг = Д/П„г = 1,2. (15)

В строгом смысле симметричная матрица с элементами вида (15) является положительно определенной. Отметим, что если интервал интегрирования в (15) удовлетворяет условию

П2-а, =ЛГД/(Ог-П,)2;2я-, (16)

то определитель матрицы А будет заметно больше нуля, следовательно решение СЛАУ вида (14) будет устойчивым. Неравенство вида (16) всегда можно выполнить за счёт соответствующего выбора размеров области определения трансформанты Фурье моделирующей (аппроксимирующей производную) целой функции. Иными словами, в указанном смысле решение сформулированных задач оценивания производной и интерполяции на основе соотношения (9) всегда существует.

Если же, в целях повышения гладкости решения, интервал интегрирования удовлетворяет условию

Л'(Пг-П,)<л-, (17)

то определитель матрицы А будет близок к нулю, следовательно решение СЛАУ вида (14) будет неустойчивым. В этом случае при вычисления вектора р предлагается использовать псевдообратную матрицу А+.

^=ел'ат. _ _ (18)

Lí=diag(Я¡,...,Л.J), Л, >¿2 >...>А, >0, =(<?,,...,д.,)

Отметим, что с позиций рассматриваемой проблемы неравенство (16) позволяет управлять параметрами интерполяционного процесса, чем обеспечивается его сходимость при любом шаге дискретизации Д/.

На основе соотношений (13) и (15) нетрудно получить вычислительную формулу для оценивания производной сигнала по эмпирическим данным

(а&1 ^

/«-¿¿А?-(19)

-1 а, /2

Очевидно, что соотношение (19) представляет собой новый инструмент численного дифференцирования сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе частотных представлений модельных функций с финитными спектрами Фурье, отбираемых на основе принципа минимизации евклидовой нормы при выполнении интерполяционных условий (10).

Пусть теперь заранее известен набор точек т„, к = 1,,..,£, интервала [0,Шг], в которых предполагается в дальнейшем вычисление оценок производных. Тогда, с учетом СЛАУ (14) можно получить следующую вычислительную формулу.

/ = </(*,),..,/(О)1" =&<*5, (21)(20)

где

В = {ЬЬ}, к = 1,...,Л; /=1,...,ЛЛ (сШ Л

'2 (22)(21)

Удобство применения этих формул заключается в том, что матрицы В и А могут быть вычислены заранее и многократно использоваться при каждом новом измерении вектора V.

В параграфе 2.3 изложены два метода вычисления оценки второй производной сигнала по дискретным эмпирическим данным. Первый метод оценивания производной второго порядка основан на минимизации евклидовой нормы второй производной.

Второй из предлагаемых методов оценки производной второго порядка основан на дифференцировании представления (19) для первой производной.

Проведенные вычислительные эксперименты с использованием модельных данных показали, что более эффективным является второй из предлагаемых методов, который целесообразно использовать.

При этом вычислительное соотношение имеет вид:

. (ш Л

а 0,5111 -1

ф) = 4Г(г) / Л = | ^ - - (22)

Для случая заранее фиксированных эквидистантных точек области определения, в которых предполагается вычисление значений оценки второй производной, нетрудно получит аналогичные представлению (20) вычислительные соотношения

ф = ВВ1А'7, (23)

БШ -1

_ (с-МЛ

лыи = I У1 л ~Г| ))с/<" (24)

На основе полученных выше формул разработаны алгоритмы вычисления оценок производных сигналов по эмпирическим данным. Описания этих алгоритмов приводятся в параграфе 2.4. второй главы диссертации.

С целью сопоставления относительных среднеквадратических погрешностей численного дифференцирования с использованием разработанных алгоритмов с аналогичными погрешностями оценивания производных известными методами были проведены вычислительные эксперименты с различными модельными функциями.

Погрешность оценок первой и второй производных оценивалась по формуле

"Ьяг- (25)

где У, - точные значения производных модельной функции; / = 1,..., ИМ; г, - значения численной оценки производных функций.

При этом для сравнений используется также оценка производных, как результат дифференцирования кубического сплайна.

Результаты некоторых экспериментов приведены ниже в Таблице 1. Здесь N - количество узлов интерполяции. М - количество промежуточных значений оценок производных между узлами интерполяции.

Таблица 1. Относительные погрешности численного дифференцирования модельных сигналов. М— 5.__

Сигнал N Относительная Относительная Относительна Относительная

погрешность погрешность я погрешность погрешность

оценки первой оценки первой оценки второй оценки второй

производной, производной производной производной

(вариационный кубического (второй кубического

алгоритм) сплайна алгоритм) сплайна

1 21 0.0106 0.0204 0.1199 0.2571

> I + 25*1

31 0.0029 0.0069 0.0078 0 2408

41 0.0014 0.0024 0 0029 0.2352

_V = cosl0x 21 0.0083 0.2735 0.0049 0.3960

31 7.3537*10"* 0.2272 0.0165 0.3542

41 swmio"4 0.0400 0.0020 0.1348

Отметим, что среднеквадратическая погрешность оценивания производных как первого, так и второго порядков во многих случаях значительно меньше чем у оценок на основе производных интерполирующего кубического сплайна. Аналогичные выводы следуют и из результатов вычислительных экспериментов с другими модельными данными.

Глава 3. Разработка и исследование алгоритмов интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе интегрирования оценок их производных с минимальной евклидовой нормой и финитными спектрами Фурье

В первом параграфе главы углубленно рассмотрены основные применяемые в настоящее время методы интерполяции дискретно заданных сигналов с позиции

адекватности их применения для эмпирических данных. Отмечено, что центром внимания при этом является выбор класса аппроксимирующих зависимостей.

В отличие от известных подходов к решению задачи интерполяции в данной диссертации при отборе моделирующей функции предлагается накладывать условия не на саму функцию, а на норму оценки её производной. Одним из аргументов в пользу целесообразности такого подхода служит гарантия наименьшей в смысле этой меры колебательности интерполирующей функции.

В разделе 3.2 изложены основы нового метода интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным. Суть метода заключается в следующем.

В основе построений используется выражение (6), позволяющее представить функцию через ее производную первого порядка. При этом должны выполняться интерполяционные равенства

Аналогично изложенному выше методу численного дифференцирования, полагаем, что производная интерполирующей функции должна обладать финитным спектром, то есть имеет место представление вида (7). Из соображений повышения устойчивости вычислений к воздействиям случайных ошибок измерений, а так же из соображений целесообразности построения функции с наименьшей в смысле евклидовой нормы производной скорости изменения значений для отбора интерполирующей функции используется вариационный принцип минимизации евклидовой нормы оценки производной.

Представление для интерполирующей функции после подстановки в (9) соотношения (13) принимает вид:

. (й)т\ (соМ

*Чтп~г] __«

Ли, (27)

Нта

Вектор коэффициентов здесь должен удовлетворять СЛАУ вида (14), условия устойчивого решения которой определяются неравенством (16).

Отметим еще одну возможность организации вычислений. Если заранее

известен набор тк, к = 1.....1 интервала [0,№4/], в которых предполагается в

дальнейшем вычисление интерполирующих функций. Тогда, используя (27) с учетом СЛАУ (14) можно получить следующую вычислительную формулу

й = (й(т,),...,й(ч))т = "<А +СА^ = Яу + и0ё,, (28)

где

Ч =(1—1)г;

. (от Л . (а)М .

и 51Л -- БШ--1

Ау; (29)

Если неизменными остаются условия регистрации данных и точки интерполяции, то матрицы А и С можно заранее вычислить и многократно использовать для вновь поступивших данных.

Заметим также, что интерполирующая функция обладает непрерывными производными любого порядка.

В качестве интервала интегрирования в представлениях (27) и (29) предлагается использовать частотный интервал, в котором сосредоточена максимальная доля энергии отрезка зарегистрированных эмпирических данных.

В параграфе 3.3 диссертации описан метод выбора частотного интервала интегрирования при вычислении интерполирующей функции. Данный метод

основан на разбиении всего частотного интервала на подинтервалы и вычисление долей энергии в каждом подинтервале с использованием соотношения

Р,=йтА,й, (30)

апк = (5т(П,. (/ - к)) - sin(Q,_, (/ - k)))ln(i -к);

О, =г*я-/й;П0 =0.

Эти соотношения взяты из работы Жиляков Е.Г. Вариационные методы анализа и построения функций по эмпирическим данным: моногр. / Е.Г. Жиляков. - Белгород: Изд-во БелГУ, 2007. - 160 с.

Затем по результатам вычислений определяются границы интервала, в котором сосредоточен подавляющая (свыше 95%) доля энергии отрезка отсчётов эмпирических данных. Именно границы этого частотного интервала в дальнейшем и используются в качестве верхнего и нижнего пределов интегрирования в соответствующих формулах.

В параграфе 3.4 диссертации разработан и описан алгоритм вычисления интерполирующих функций по эмпирическим данным. В этом параграфе приведены результаты вычислительных экспериментов по исследованию сходимости интерполяционных процессов и сравнению относительных среднеквадратических погрешностей предложенного метода интерполяции с известными, такими, как интерполяция кубическими сплайнами и интерполяция по методу Уиттикера-Котельникова-Шенона. Погрешность интерполяции оценивалась по формуле (26), где У, - точные значения модельной функции; i=\,...,NM ,Z, - значения интерполирующей функций.

Таблица 2. Погрешность интерполяции модельных сигналов. М=5.

Сигнал N Относительная Относительна Относительная

погрешность я погрешность погрешность

интерполяции (вариационный алгоритм) интерполяции (кубический сплайн) интерполяции (метод Котельникова)

i У \ + 15х2 21 0.0011 0.0022 0.0028

31 1 6793*10"4 4.9432* 10"4 0.0028

41 9.9795*10° 1.2463*10"4 0.0025

у = coslO* 21 0.0065 0.4706 0.4699

31 4.9362* 10"4 0.1263 0.0333

41 4.9820*10"4 0.0189 0.0261

Данные таблицы 2 свидетельствуют о том, что при использовании разработанного алгоритма среднеквадратическая погрешность интерполяции предложенным методом значительно меньше, чем при интерполяции кубическим сплайном или по методу Котельникова. Аналогичные выводы следуют и из результатов других вычислительных экспериментов.

Важно также то, что увеличение узлов интерполяции не увеличивает погрешности приближений. Таким образом, предлагаемей интерполяционный процесс сходится.

В параграфе 3.5 диссертации получены квадратурные формулы для численного интегрирования на основе предлагаемого метода интерполяции. Целесообразность рассмотрения этого аспекта моделирования обусловлена необходимостью проведения анализа характеристик сигналов, среди которых важное место занимают средние значения и энергии( интеграл от квадрата функции). При этом представляется естественным для получения квадратурной

формулы воспользоваться разработанными для построения интерполирующих функций соотношениями.

Формула для вычисления определенного интеграла получается в результате интегрирования выражения (27) с учетом определения входящих в него коэффициентов.

ЦТ) = Ти0-гтГу, (31)

где у, определяются выражением

-^ (32)

Проведенные вычислительные эксперименты с использованием аналитически интегрируемых функций, некоторые результаты которых представлены в диссертации, подтверждают работоспособность предложенного метода численного интегрирования. Некоторые из результатов вычислительных экспериментов приведены в таблице 3.

Таблица 3. Численное интегрирование на основе предложенного вариационного метода интерполяции.___

№ Функция пределы интегрирования Численное значение интеграла, рассчитанное аналитическим путем Численное значение интеграла, рассчитанное предложенным методом Относительная погрешность численного интегрирования, %

а ь

1 0 1 0.333 0.334 0.3

2 у = 51Г|(х) 0 л 2 1.998 0.1

3 0 1 0.250 0.251 04

4 0 1 3.194 3.198 0.1

5 1 0 1 0.275 0.274 0.3

Из приведенных данных видно, что, на основе предложенного вариационного алгоритма интерполяции, имеется возможность осуществлять численное интегрирование

Глава 4. Программная реализация и апробация разработанных

алгоритмов численного дифференцирования н интерполяции сигналов

по эмпирическим данным

Разработанные в главах 2 и 3 алгоритмы численного дифференцирования и интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным были реализованы в виде программной системы.

Архитектура программной поддержки включает в себя следующие взаимодействующие блоки:

1. Модуль предварительных расчетов.

2. Модуль оценки первой производной.

3. Модуль вычисления интерполирующей функции и определенного интеграла.

4. Модуль вычисления оценки второй производной.

5. Модуль вычисления спектров Фурье по дискретным значениям функций. Позволяет рассчитать и визуально отобразить спектры Фурье исходного сигнала и результата его интерполяции.

Апробация разработанных алгоритмов и их программной реализации осуществлялась в рамках выполнения перечисленных выше проектов федеральных целевых и ведомственных программ. Подробное описание решаемых задач и результатов их решения приведены в разделе 4.2.

Одна из целей исследований заключалась в оценивании возможностей сжатия хранимых или передаваемых речевых данных на основе восстановления прореженных отсчётов (интерполяции). Результаты оценивания относительных погрешностей восстановления промежуточных отсчётов при разных темпах прореживания (сохранение только одного из Ь подряд идущих отсчётов) в различных словах и фразах приведены в следующей таблице, и иллюстрируются рисунками ниже. Фразы выбирались исходя из требования максимальной представительности в смысле распределения энергии по частотным интервалам.

Рисунки 1 - 2 показывают, что при единичном прореживании (Ь=1) с помощью предложенного метода интерполяции удается практически точно восстановить исходный сигнал. При прореживании с Ь~2 погрешности восстановления увеличиваются. Такой эффект обусловлен невыполнением условий Найквиста, которые гарантируют отсутствие эффекта «наложения частот», так как энергия звука «А» в основном сосредоточена в полосе частот от О до 4000 Гц. Энергия звука «К» сосредоточена в полосе частот, верхняя граница которых незначительно превышает 4000 Гц, поэтому уже при прореживании с Ь=1 возникают погрешности восстановления за счет интерполяции.

Рисунок 1. Фрагмент сигнала, соответствующий звуку «А» (а) и звуку «К» (б) при Ь=1

- восстановленный сигнал

---исходный сигнал

Рисунок 2. Фрагмент сигнала, соответствующий звуку «А» (а) и звуку «К» (б) при Ь=2

- восстановленный сигнал

---исходный сигнал

На рисунках 1 - 2 для наглядности значения исходного и восстановленного сигналов соединены пунктирной и сплошной линиями соответственно.

Данные таблицы 4 показывают, восстановление на основе разработанного алгоритма интерполяции осуществляется с существенно меньшей погрешностью чем при интерполяции по Котельникову.

Таблица 4. Относительные погрешности восстановления Ь пропущенных отсчётов

Фраза Относительная погрешность восстановления (вариационный алгоритм) при L=1 Относительная погрешность восстановлени я(метод Котельникова) при L=1 Относительная погрешность восстановления (вариационный алгоритм) при 1=2 Относительная погрешность восстановления (метод Котельникова) при L=2

Аппроксимация 0.0024 0.0119 0 0087 0.0369

Мама 0.0066 0.0135 0.0042 0.1102

Приоритет 0 0039 0.0274 0.0056 0.0273

Шашки 0.0564 0 4319 0.0810 0.5178

Среднеквадратичес кий 0.0069 0.0128 0.0087 0.0134

Покушай хачапури 0 0878 0.2796 0.1991 0.43251

Другим важным направлением апробации является исследование возможностей применений разработанных алгоритмов для обработки изображений. При этом показано, что разработанный алгоритм интерполяции с успехом может быть применен для увеличения их размеров (масштабирования), необходимость в котором возникает достаточно часто.

Существенное значение имеет необходимость повышения четкости изображений, что, например, целесообразно для выделения контуров разных объектов при визуальном анализе или распознавании.

Для повышения чёткости изображений часто рекомендуется применять суммирование их с соответствующими численными оценками производных. При этом перепады интенсивности на изображениях становятся более отчётливыми.

На рисунках 3-4 приведены результаты некоторых применений разработанного алгоритма численного дифференцирования для увеличения четкости изображений. При этом вычислялись и затем накладывались на исходное изображения две её частные первые производные по соответствующим координатам.

г-.

I:

Рисунок 3. Исходное изображение (а), изображение после обработки (б)

а б

Рисунок 4. Исходное изображение (а), изображение после обработки (б) По результатам эксперимента видно, что предлагаемый алгоритм

увеличения четкости изображений позволяет повысить детальность наблюдаемой

картины и дает возможность наблюдения мелких деталей на всех участках

изображения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Обоснована целесообразность построения алгоритмов численного дифференцирования и интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе вариационного принципа минимизации евклидовой нормы получаемой оценки первой производной, которая обладает финитным спектром Фурье;

2. Разработаны алгоритмы численного дифференцирования сигналов (оценивание первой и второй производных) по дискретным эмпирическим данным на основе минимизации евклидовых норм получаемых оценок с финитными спектрами Фурье;

3. Разработан алгоритм интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе интегрирования оценки производной с минимальной евклидовой нормой и финитным спектром Фурье.

4. На основе вычислительных экспериментов проведено сравнение погрешностей предложенных и наиболее часто используемых алгоритмов оценивания производных и интерполяции сигналов;

5. Результаты проведенных вычислительных экспериментов подтверждают устойчивость и сходимость вычислительных процедур интерполяции и оценивания производных на основе разработанных алгоритмов и их преимущества в точности по сравнению с наиболее широко используемыми в настоящее время алгоритмами;

6. Создана программная реализация алгоритмов, позволяющая осуществлять интерполяцию и получать оценки производных сигналов на основе эмпирических данных.

7. Разработанные алгоритмы численного дифференцирования и интерполяции сигналов прошли апробацию в рамках выполнения следующих проектов: проект РНП.2.1.2.4974 «Разработка и исследование вариационных методов анализа и восстановления сигналов в линейных системах по дискретным эмпирическим данным ограниченной длительности» аналитической ведомственной целевой программы федерального агентства по образованию РФ «Развитие научного потенциала высшей школы в 2006 - 2008 гг.»; проект «Разработка и исследование методов и алгоритмов обработки речевых данных для создания информационных технологий их сжатия при хранении, передаче и обеспечении скрытности в информационно-телекоммуникационных системах» федеральной целевой программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития

научно-технологического комплекса России 2007 - 2012 гг.», государственный контракт №02514114010 от 26.02.2007 г.

Апробация осуществлялась при решении следующих задач обработки сигналов и изображений:

• восстановления речевых данных в задачах их сжатия за счёт прореживания;

• увеличения четкости изображений на основе численного

дифференцирования (вычисления оценок частных производных);

• масштабирование изображений на основе покоординатной интерполяции.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в научных изданиях, входящих в перечень рекомендованных ВАК

1. Созонова Т.Н. Вариационный метод дифференцирования и интерполяции дискретных сигналов [Текст] / Жиляков Е.Г., Чудинов С.М., Созонова Т.Н. // «Вопросы радиоэлектроники». - Москва, 2006. - выпуск 1. - С. 146-154.

2. Созонова Т.Н. Вариационный метод оценивания производных и интерполяции сигналов по эмпирическим данным [Текст] / Жиляков Е.Г., Созонова Т.Н., Мисливец И.Ю. // Вестник Воронежского государственного университета, Серия: Системный анализ и информационные технологии. -Воронеж, 2006. - выпуск 2. - С.70-73.

3. Созонова Т.Н. Исследование методов интерполяции и дифференцирования функций по дискретным значениям [Текст] / Созонова Т.Н., Титова Н.С. // «Вопросы радиоэлектроники». - Москва, 2007. - выпуск 4. - С. 104-114.

Статьи в научных журналах и сборниках трудов

4. Созонова Т.Н. О вычислении оценок вторых производных по дискретным эмпирическим данным [Текст] / Жиляков Е.Г., Созонова Т.Н. II Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Информатика. Прикладная математика. Управление. - Белгород, 2007. -№7(38), выпуск 4. - С. 3-12.

5. Созонова Т.Н. О вычислении вторых производных по эмпирическим данным на основе частотных представлений [Текст] / Жиляков Е.Г., Созонова Т.Н. // Вестник национального технического университета «Харьковский политехнический институт». Сборник научных трудов. Тематический выпуск: Информатика и моделирование. - Харьков, 2007. - № 9. - С. 71-82.

Статьи в материалах и сборниках трудов научных конференций

6. Созонова Т.Н. Вариационный метод интерполяции и оценивания производных в классе целых функций [Текст] / Жиляков Е.Г., Созонова Т.Н. // Материалы международной конференции «Тихонов и современная математика: Вычислительная математика и информатика» МГУ : секция №3. - Москва, 2005. - С.150-151.

7. Созонова Т.Н. Интерполяция и оценивание производных на основе частотных представлений [Текст] / Т.Н. Созонова // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени A.C. Попова. Серия: Цифровая обработка сигналов и ее применение. Выпуск. Х-2. - Москва, 2008. - С. 108-112.

Официальная регистрация программ

8. Созонова Т.Н. Программная система интерполяции и оценки производной по дискретным эмпирическим данным [Текст] / Жиляков Е.Г., Созонова Т.Н., Щербинина Н.В. - Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ, 2007. - № 2007614833.

9. Созонова Т.Н. Программная система обработки природных архивов на основе частотных представлений [Текст] / Жиляков Е.Г., Созонова Т.Н., Щербинина Н.В., Прохоренко Е.И. - Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ, 2008. - № 2008613352.

Подписано а печать 24.10.2008. Формат 60x84/16. Гарнитура Times Усл. п л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 259. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015 г Белгород, ул. Победы, 85

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Методы и алгоритмы численного дифференцирования и интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным.

1.1 Интерполяция и численное дифференцирование сигналов в науке и технике.

1.2 Полиномиальная и сплайн-интерполяция.

1.3 Оценивание производных по дискретным эмпирическим данным.

1.4 Интерполяция на основе частотных представлений.

1.5 Задачи исследования.

Глава 2. Разработка и исследование устойчивых алгоритмов численного дифференцирования сигналов на основе принципа минимизации евклидовых норм аппроксимаций производных с финитными спектрами Фурье.

2.1 Проблема устойчивости численного дифференцирования.

2.2 Вариационный алгоритм устойчивого оценивания производных сигналов первого порядка.

2.3 Алгоритмы оценивания производных второго порядка.

2.4 Сравнительные исследования погрешностей численного дифференцирования.

Необходимость оценивания производных и интерполяции некоторого сигнала по имеющимся его дискретным отсчётам часто возникает при решении различных задач науки и техники. В качестве примеров можно привести проблемы восстановления промежуточных значений сигналов и их производных в связи и управлении, формирование канальных сигналов при передаче в режиме частотного уплотнения, анализ и синтез речевых сигналов, увеличение размеров (масштабирование) изображений, повышение чёткости изображений на основе градиентных методов и т.д.

Проблема численного дифференцирования и интерполяции сигналов по дискретизованным данным исследовалась в работах многих авторов. В результате этих исследований предложено достаточно много методов интерполяции: полиномиальная, сплайн-интерполяция, метод Уттикера-Котельникова-Шеннона. При этом, как правило, в качестве оценок производных предлагается использовать соответствующие производные интерполирующих функций.

В тех случаях, когда анализируемые отсчеты порождены сигналом с финитным спектром, а интервалы дискретизации согласованы определенным образом с шириной области определения последнего, интерполирующая функция позволяет адекватно, в смысле имеющейся информации, вычислять значения сигнала в пределах интервала его регистрации. Это составляет основное преимущество формулы Уттикера-Котельникова-Шеннона перед полиномиальной или сплайн-интерполяцией.

Существенным недостатком существующих подходов к численному дифференцированию по эмпирическим данным является неустойчивость получаемых оценок производных.

Таким образом, проблема построения алгоритмов численного дифференцирования и интерполяции сигналов по эмпирическим данным, позволяющих получать устойчивые оценки производных и осуществлять восстановление значений сигналов в интервалах между отсчетами, является актуальной.

Устойчивость оценок производных можно повысить, если использовать

СО вариационный принцип минимизации квадрата евклидовой нормы ||/||2= | /2 (х)сЬс со оценки первой производной аппроксимирующей функции (модели) /(/) = с!и({)/ Ж при выполнении интерполяционных условий и, = ы(/Д0 = и,, I = ОД,., N. (1)

At - интервал дискретизации.

При этом сама интерполяция легко осуществляется на основе численной реализации формулы Ньютона-Лейбница t) = и0 + J f{x)dx . о

С позиций повышения устойчивости оценок производных предлагается также использовать класс аппроксимирующих функций с финитными областями определения трансформант Фурье (с финитными спектрами Фурье), что вместе с тем позволяет получать устойчивые оценки производных высших порядков как результат дифференцирования частотного представления для первой производной

О = J F (со) exp(jcot)dû) / In, Q = [-Q2 ,-Qj )u[Q1,Q2);0<Q,<Q2<oo oeQ где предполагается, что соотношение для трансформанты Фурье первой производной F{co) получается в результате минимизации её нормы с учётом интерполяционных условий (1). Ясно, что правая часть последнего соотношения является дифференцируемой произвольное количество раз.

Представляется естественным построенные на такой основе алгоритмы называть вариационными и устойчивыми.

Разработка и реализация такого подхода и составляет основное содержание данных диссертационных исследований.

Целью работы является разработка и исследование вариационных алгоритмов интерполяции и численного оценивания производных сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе частотных представлений с использованием моделей функций с финитными областями определений трансформант Фурье (финитными спектрами Фурье).

Для достижения этой цели на основе анализа состояния вопроса были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка н исследование устойчивых алгоритмов численного дифференцирования сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе принципа минимизации евклидовых норм получаемых оценок первых производных из класса аппроксимаций с финитными спектрами Фурье;

2. Разработка и исследование устойчивых алгоритмов интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе интегрирования аппроксимации первой производной с финитным спектром Фурье, обладающей минимальной евклидовой нормой.

3. Проведение на основе вычислительных экспериментов сравнительных исследований погрешностей оценивания производных и интерполяции сигналов с помощью предложенных и наиболее распространенных алгоритмов.

4. Создание программной реализации устойчивых вариационных алгоритмов интерполяции и оценивания производных сигналов и её апробация при обработке реальных эмпирических данных.

Методы исследований:

Методы анализа и синтеза сигналов на основе частотных представлений и использования вариационных принципов; Численные методы высшей математики; Вычислительный эксперимент. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и Приложения, в котором приведены документы, подтверждающие внедрение результатов работы.

4.3 Основные результаты и выводы главы

1. На базе среды программирования МАТЬАВ создан прототип программной реализации разработанных устойчивых вариационных алгоритмов численного дифференцирования, интерполяции и интегрирования сигналов по дискретным эмпирическим данным.

2. Разработанные алгоритмы интерполяции и численного дифференцирования были апробированы при решении задач сжатия речевых данных и обработки изображений в информационно-телекоммуникационных системах

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения диссертационного исследования были получены следующие результаты:

1. Обоснована целесообразность построения алгоритмов численного дифференцирования и интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе вариационного принципа минимизации евклидовой нормы получаемой оценки первой производной, которая обладает финитным спектром Фурье;

2. Разработаны алгоритмы численного дифференцирования сигналов (оценивание первой и второй производных) по дискретным эмпирическим данным на основе минимизации евклидовых норм получаемых оценок с финитными спектрами Фурье;

3. Разработан алгоритм интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе интегрирования оценки производной с минимальной евклидовой нормой и финитным спектром Фурье.

4. На основе вычислительных экспериментов проведено сравнение погрешностей предложенных и наиболее часто используемых алгоритмов оценивания производных и интерполяции сигналов;

5. Результаты проведенных вычислительных экспериментов подтверждают устойчивость и сходимость вычислительных процедур интерполяции и оценивания производных на основе разработанных алгоритмов и их преимущества в точности по сравнению с наиболее широко используемыми в настоящее время алгоритмами;

6. Создана программная реализация алгоритмов, позволяющая осуществлять интерполяцию и получать оценки производных сигналов на основе эмпирических данных.

7. Разработанные алгоритмы численного дифференцирования и интерполяции сигналов прошли апробацию в рамках выполнения следующих проектов: проект РНП.2.1.2.4974 «Разработка и исследование вариационных методов анализа и восстановления сигналов в линейных системах по дискретным эмпирическим данным ограниченной длительности» аналитической ведомственной целевой программы федерального агентства по образованию РФ «Развитие научного потенциала высшей школы в 2006 — 2008гг.»; проект «Разработка и исследование методов и алгоритмов обработки речевых данных для создания информационных технологий их сжатия при хранении, передаче и обеспечении скрытности в информационно- телекоммуникационных системах» федеральной целевой программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России 2007 - 2012гг.», государственный контракт №02514114010 от 26.02.2007г. Апробация осуществлялась при решении следующих задач обработки сигналов и изображений: a.восстановления речевых данных в задачах их сжатия за счёт прореживания; b. увеличения чёткости изображений на основе численного дифференцирования (вычисления оценок частных производных); c.масштабирование изображений на основе покоординатной интерполяции.

1. Алберг, Дж. Теория сплайнов и ее приложения Текст. / Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш. -М,: Мир, 1972.

2. Амосов, A.A. Вычислительные методы для инженеров Текст. / A.A. Амосов, Ю.А.Дубинский, Н.В.Копченова. М.: Высшая школа, 1994.

3. Ахиезер, Н.И. Лекции по теории аппроксимации Текст. / Н.И. Ахиезер. — М.: Наука, 1965.

4. Бабенко, К.И. Основы численного анализа Текст. / К.И. Бабенко. — М.: Наука, 1986.

5. Бакушинский, А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения Текст. / А.Б. Бакушинский, A.B. Гончарский. — М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1989.

6. Бакушинский А.Б. Итеративные методы решения некорректных задач Текст. / А.Б. Бакушинский, A.B. Гончарский. — М.: Наука, 1989.

7. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст. / Н.С. Бахвалов. М.: Наука, 1973.

8. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. -М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

9. Бахвалов, И.С Численные методы в задачах и упражнениях Текст. / И.С. Бахвалов,

10. A.B. Лапин, Е.В. Чижонков. — М.; Высшая школа, 2000.

11. Бердышев, В.И. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения Текст. / В.И. Бердышев, Л.В. Петрак. Екатеринбург: УрО РАН, 1999.

12. Бердышев, В.И. Численные методы приближения функций Текст. / В.И.Бердышев, Ю.Н.Субботин. — Свердловск. Средне-Уральское книжное издательство, 1979.

13. Бейкер, Дж. Аппроксимации Паде Текст. / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис. — М.: Мир, 1986.

14. Боглаев, ЮЛ. Вычислительная математика и программирование Текст. / ЮЛ. Боглаев. — М.: Высшая школа, 1990.

15. Бор, К. Практическое руководство по сплайнам Текст. / К. Бор. М.: Радио и связь, 1985.

16. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов 13-е изд Текст. / И.Н. Бронштейн, К.А.Семендяев. М.: Наука, 1986.

17. Буслов, В.А. Численные методы I. Исследование функций Текст. / В.А. Буслов, С.Л. Яковлев. Санкт-Петербург, 2001.

18. Вапник, В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным Текст. /

19. B.Н.Вапник. М.: Наука, 1979.

20. Васин, В.В. Об устойчивом вычислении производной Текст. / В.В. Васин // Журн. вычисл. математики и мат. Физики. -1973. 13, №6. - С. 15-22.

21. Васин, В.В. Об устойчивости проекционных методов при решении некорректных задач Текст. / В.В. Васин, В.П. Танана // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1975.- 15, № 1.-С. 19-29.

22. Васин, В.В., Некорректные задачи с априорной информацией Текст. / В.В. Васин, А.Л. Агеев. Екатеринбург: УИФ «Наука», 1993.

23. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач Текст. / Ф.П. Васильев. М.: Наука, 1988.

24. Варга, Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе Текст. / Р. Варга М.: Мир, 1974.

25. Вентцель, Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология Текст. / Е.С. Вентцель. М.: Наука, 1980.

26. Вержбицкий, В.М. Численные методы Текст. / В.М. Вержбицкий. М.: Высшая школа, 2000.

27. Вержбицкий, В.М. Обращение матриц и решение нелинейных систем Текст. / В.М. Вержбицкий. Ижевск: Изд. ИМИ, 1980.

28. Воеводин, В. В. Вычислительные основы линейной алгебры Текст. / В. В. Воеводин. М.: Наука, 1977.

29. Воеводин, В. В. Матрицы и вычисления Текст. / В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. -М.: Наука. 1984.

30. Воеводин, В. В. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами Текст. / В. В. Воеводин, Е. Е. Тыртышников. — М. : Наука, 1987.

31. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц Текст. / Ф. Р. Гантмахер. 3-е изд. — М. : Наука, 1967.

32. Гельфонд, А. О. Исчисление конечных разностей Текст. : учеб. пособие / А. О. Гельфонд. 3-е изд., испр. — М. : Наука, 1967.

33. Гонсалес, Р. Цифровая обработка изображений Текст. / Р. Гонсалес, Р.Вудс. — М.: Техносфера, 2006.

34. Гутер, P.C. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта Текст. / P.C. Гутер, Б.В. Овчинский М.: Наука, 1970.

35. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы Текст. / Г.Б. Двайт. М.: Наука, 1966.

36. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики Текст. / Б.П. Демидович, И.А. Марон -М.: Наука, 1970.

37. Демидович, Б.П Численные методы анализа Текст. / Б.П. Демидович, И А. Марон, Э.З. Шувалова — М.: Наука, 1967.

38. Демьянов, В.Ф. Введение в минимакс Текст. / В.Ф. Демьянов, В.Н. Малоземов — М.: Наука, 1972.

39. Дженкинс, Г. Спектральный анализ и его приложения Текст. / Г. Дженкинс, Д. Вате. М.: Мир, 1971.

40. Долгополова, Т.Ф. О численном дифференцировании Текст. / Т.Ф. Долгополова,

41. B.К. Иванов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1966. - 6, № 3. - С. 5-11.

42. Жиляков, Е.Г. Вариационный метод дифференцирования и интерполяции дискретных сигналов Текст. / Е.Г. Жиляков, С.М. удинов, Т.Н. Созонова // «Вопросы радиоэлектроники». Москва, 2006. - выпуск 1. - С. 146-154.

43. Жиляков, Е.Г. О вычислении оценок вторых производных по дискретным эмпирическим данным Текст. / Е.Г. Жиляков, Т.Н. Созонова // Научные ведомости

44. Белгородского государственного университета. Серия: Информатика. Прикладная математика. Управление. Белгород, 2007. - №7(38), выпуск 4. - С. 3-12.

45. Жиляков, Е.Г. Вариационные методы частотного анализа звуковых сигналов Текст. / Е.Г. Жиляков, С.П. Белов, Е.И. Прохоренко // Труды учебных заведения связи. СПб, 2006. - №174. - С. 163-170.

46. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций Текст. / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, B.JI. Мирошниченко. М.: Наука, 1980.

47. Игнатов, М.И. Натуральные сплайны многих переменных Текст. / М.И. Игнатов, А.Б. Певный. Ленинград: Наука, 1991.

48. Канторович, JI.B. Приближенные методы высшего анализа Текст. / JI.B. Канторович, В.И. Крылов. M.-JL: Физматгиз, 1962.

49. Кейнон, Дж. Пространственно-временной спектральный анализ с высоким разрешением Текст. / Дж. Кейнон // ТИИЭР. 1969. - Т. 57, № 8. - С. 69-79.

50. Кендалл, М. Дж. Многомерный статистический анализ и временные ряды Текст. / М. Дж. Кендалл, А. Стьюарт ; пер. с англ.: Э. JI. Пресмана, В. И. Ротаря ; под ред. А. Н. Комогорова. М. : Наука, 1976.

51. Коллатц, JI. Функциональный анализ и вычислительная математика Текст. / JI. Коллатц. -М.: Мир, 1969.

52. Коллатц, JI. Теория приближений. Чебышевские приближения и их приложения Текст. / JI. Коллатц, В. Крабе. М.: Наука, 1978.

53. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями Текст. / Л. Коллатц. М.: Наука, 1968.

54. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа Текст. / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. -М.: Наука, 1972.

55. Корнейчук, Н.П. Сплайны в теории приближений Текст. / Н.П. Корнейчук. М.: Наука, 1984.

56. Корнейчук, Н. П. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов Текст. / Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун. Киев : Наук, думка, 1992.

57. Корнейчук, Н.П. Точные константы в теории приближений Текст. / Н.П. Корнейчук.-М.: Наука, 1987

58. Краснов, М.Л. Вся высшая математика: Учебник. Т.6 Текст. / А.И. Киселев, Г.И. Макаренко, Е.В. Шикин, В.И. Заляпин. -М.: Едиториал УРСС, 2003. -256с.

59. Краснощекое, П.С. Принципы построения моделей Текст. / П.С. Краснощекое, A.A. Петров. М.: МГУ, 1984.

60. Краскевич, В.Е. Численные методы в инженерных исследованиях Текст. / К.Х. Зеленский, В.И. Гречко. Киев: Вища школа, 1986.

61. Крошьер, Р. Е. Интерполяция и децимация цифровых сигналов Текст. : метод, обзор / Р. Е. Крошьер, Л. Р. Рабинер // ТИИЭР. 1981. - Т. 69, № 3. - С. 14-40.

62. Крылов, В.И. Начала теории вычислительных методов. Интерполирование и интегрирование Текст. / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. — Минск: Наука и техника, 1983.

63. Крылов, В.И. Справочная книга по численному интегрированию Текст. / В.И. Крылов, Л.Т. Шульгина. — М.: Наука, 1966.

64. Крылов, А.Н. Лекции о приближенных вычислениях Текст. / А.Н. Крылов. Изд. 5. -М.-Л.:ГТТИ, 1950.

65. Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1 Текст. / Р. Курант. М.: Наука, 1967.

66. Ланцош, К. Практические методы прикладного анализа Текст. : справ, рук. / К. Ланцош ; пер. с англ. М. 3. Кайнера. М.: Физматгиз, 1961.

67. Лаврентьев, М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики Текст. / М.М. Лаврентьев. Новосибирск : Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962.

68. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа Текст. / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. М.: Наука, 1980.

69. Леснин, В.В. Основы методов оптимизации Текст. / В.В. Леснин, Ю.П. Лисовец. — М.: Изд-во МАИ, 1995.

70. Лисковец, O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач Текст. / O.A. Лисковец. Минск: Наука и техника, 1981.

71. Макаров, В.Л. Сплайн-аппроксимация функций Текст. / В.Л. Макаров, В.В. Хлобыстов. -М.: Высшая школа, 1983.

72. Мак-Кракен, Д. Численные методы и программирование на Фортране Текст. / Д. Мак-Кракен, У. Дорн ; пер. с англ. Б. Н. Казака; под ред. и с доп. Б. М. Наймарка. — 2-е изд., стереотип. М. : Мир, 1977.

73. Макс, Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях Текст. : в 2-х т. / Ж. Макс ; пер. с фр. Ю. В. Пяткова ; под ред. Н. Г. Волкова. — М.: Мир, 1983. Т. 2. Техника обработки сигналов. Применения. Новые методы.

74. Марпл, С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения Текст. / С. Л. Марпл ; пер. с англ.: О. И. Хабарова, Г. А. Сидоровой ; под ред. И. С. Рыжака. — М. : Мир, 1990.

75. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики Текст. / Г.И. Марчук. -М.: Наука, 1977.

76. Морс, Ф.М. Методы теоретической физики. В 2-х тт Текст. / Ф.М. Морс, Г. Фешбах. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1958.

77. Михлнн, С.Г. Численная реализация вариационных методов Текст. / С.Г. Михлин. -М.: Наука, 1966.

78. Назаров, A.B. Современная телеметрия в теории и на практике Текст. / A.B. Назаров, Г.И. Козырев, И.В. Шитова. СПб.: Наука и Техника, 2007.

79. Никифоров, А.Ф. Классические ортогональные полиномы Текст. / А.Ф. Никифоров, С.К. Суслов // Математика, кибернетика. М.: Знание. 1985. -№12. -С. 8-15.

80. Носач, В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров Текст. / В.В. Носач. М.: МИКАП, 1994.

81. Парлетт, Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы Текст. / Б. Парлетт, Пер. с англ.- М.: Мир, 1983.

82. Петров, Ю.П. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями: Учебное пособие для вузов Текст. / Ю.П. Петров, B.C. Сизиков. — СПб: Политехника, 2003.

83. Попов, Б.А. Приближение функций для технических приложений Текст. / Б.А. Попов, Г.С. Теслер. Киев: Наукова думка, 1980.

84. Поршнев, C.B. Вычислительная математика. Курс лекций Текст. / C.B. Поршнев. — СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

85. Пытьев, Ю. П. Методы анализа и интерпретации эксперимента Текст. / Ю. П. Пытьев. — М. : Изд-во Моск. гос. ун-та, 1990. 286 с.

86. Ракитин, В.И. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров Текст. / В.И. Ракитин, В.Е. Первушин. — М.: Высшая школа, 1998.

87. Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике Текст. / К. Ректорис. -М.: Мир, 1984.

88. Рябенький, B.C. Введение в вычислительную математику Текст. / B.C. Рябенький. -М.: Наука, 1994.

89. Самарский, A.A. Математическое моделирование Текст. / A.A. Самарский. М.: Наука, 1997.

90. Самарский, A.A. Численные методы математической физики Текст. / A.A. Самарский, A.B. Гулин. М.: Научный мир, 2000.

91. Смирнов, В. И. Курс высшей математики Текст. : учеб. пособие для мех.-мат. и физ.-мат. фак. ун-тов : в 5-ти т. / В. И. Смирнов. 6-е изд., перераб. и доп. - М. : Наука, 1974. - Т. 4, ч. 1. - 336 с.

92. Созонова Т.Н. Исследование методов интерполяции и дифференцирования функций по дискретным значениям Текст. / Т.Н. Созонова, Н.С. Титова // «Вопросы радиоэлектроники». Москва, 2007. - выпуск 4. - С. 104-114.

93. Стечкин, С.Б. Сплайны в вычислительной математике Текст. / С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин. М.: Наука, 1953.

94. Тейлор, Дж. Введение в теорию ошибок Текст. / Дж. Тейлор. — М.: Мир, 1985.

95. Тимман, А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного Текст. / А.Ф. Тимман. М.: Физматгиз, 1960.

96. Тихонов, А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач Текст. / А.Н. Тихонов // ДАН СССР. 1963. - 153, № 1. - С. 49-52.

97. Тихонов, А.Н. О решении некорректно поставленных задач Текст. / А.Н. Тихонов // ДАН СССР. 1963. - 151, № 3. - С. 32-38.

98. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач Текст. / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. 2-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. -1979.

99. Тихонов, А.Н. Численные методы решения некорректных задач Текст. / А.Н. Тихонов, A.B. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. М.: Наука, 1990.

100. Тихонов, А.Н. Вводные лекции по прикладной математике Текст. / А.Н. Тихонов, Д.П. Костомаров. М.: Наука, 1984.

101. Турчак, Л.И. Основы численных методов Текст. / Л.И. Турчак, П.В. Плотников.- 2-е изд., перераб. и доп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

102. Уилкинсон, Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений Текст. / Дж.Х. Уилкинсон. -М.: Наука, 1970.

103. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления Текст. / Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука. - 1969.

104. Хемминг, Р.В. Численные методы Текст. / Р.В. Хемминг. М.: Наука, 1968.

105. Хургин, Я. И. Финитные функции в физике и технике Текст. / Я. И. Хургин, В. П. Яковлев. -М.: Наука, 1971.

106. Шикин, Е.В. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей Текст. / Е.В. Шикин, А.И. Плис. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996.

107. Abramowitz, М. Handbook of Mathematical Functions, Applied Matematics Series Text. / M. Abramowitz, I.A. Stegun // National Bureau of Standards. Washington. -1964.-№55.-P. 15-26.

108. Brandenburg, K. ASPEC: Adaptive Spectral Entropy Coding if High Quality Music Signals Text. /К. Brandenburg et. al. // Proc. 90th Conf. Aud. Ehg. Soc. 1991. - Feb.

109. Acton, F. S. Numerical Methods That Work Text. / F. S. Acton. Harper and Row, New York, 1970.

110. Brandt, A. Multi-Level Adaptive Solutions to Boundary-Value Problems Mathematics of Computation Text. / A. Brandt. vol. 31, no. 138. - 1977. - P. 333-390.

111. Brent, R. P. Algorithms for Minimization without Derivatives, Chaps. 3 and 4 Text. / R. P. Brent. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. - 1973.

112. Chapra, S. C. Numerical Methods for Engineers Text. / S. C. Chapra, R. P. Canale. -3rd ed. McGraw-Hill, New York, 1998.

113. Courant, R. Uber die Partiellen Differenzengleichungen der Mathematischen Physik Text. / R. Courant, К. O. Friedricks, H. Lewy // vol. 100. 1988. - P. 32-74.

114. Crank, J. Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of the Heat-Conduction Type Text. / J. Crank, P.A. Nicolson // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. vol. 43, no. 50. - 1947. - P. 50-67.

115. Douglas, J. General Formulation of Alternating Direction Implicit Methods, Part I: Parabolic and Hyperbolic Problems Text. / J. Douglas, J. E. Gunn // A Numerische Mathematik. vol. 6. -1964, - P. 428-453.

116. Ferziger, J. H. Numerical Methods for Engineering Application Text. / J. H. Ferziger.- John Wiley & Sons, New York, 1981.

117. Freudenstein, F. Approximate Synthesis of Four-Bar Linkages Text. / F. Freudenstein.- Transactions of the American Society of Mechanical Engineers. vol. 77. - 1955. - P. 853-861.

118. Gerald, С. E. Applied Numerical Analysis Text. / С. E. Gerald, P O. Wheatley. 6th ed. - Addison-Wesley, Reading, MA., 1999.

119. Gragg, W. On Extrapolation Algorithms for Ordinary Initial Value Problems Text. / W. Gragg. Journal Soc, Ind. Appl. Math., Numer. Anal. Ser. B2, 1965, P. 384-403.

120. Henrici, P. K. Elements of Numerical Analysis Text. / P. K. Henrici. John Wiley & Sons, New York, 1964.

121. Hildebrand, F. В. Introduction to Numerical Analysis Text. / F.B. Hildebrand. — McGraw-Hill, New York, 1956.

122. Householder, A. S. The Theory of Matrices in Numerical Analysis Text. / A. S. Householder. Blaisdell, New York, 1970.

123. Muller, D. E. A Method of Solving Algebraic Equations Using an Automatic Computer Text. / D.E. Muller. -Mathematical Tables and Other Aids to Computation (MTAC), vol. 10,- 1956.-P. 208-215.

124. Ralston, A. First-Course in Numerical Analysis Text. / A. Ralston, P.A. Rabinowitz. — 2nd ed. McGraw- Hill, New York, 1978.

125. Rao, S. S. The Finite Element Method in Engineering Text. / S.S. Rao. Pergamon Press, New York, 1982.

126. Reddy, J. N. An Introduction to the Finite Element Method Text. / J.N. Reddy. 2nd ed. - McGraw-Hill, New York, 1993.

127. Rice, J. R. Numerical Methods, Software and Analysis Text. / J.R. Rice. McGraw-Hill, New York, 1983.

128. Richardson, L. F. The Appropriate Arithmetical Solution by Finite Differences of Physical Problems with an Application to the Stresses in a Masonary Dam Text. / L. F. Richardson // Phil. Trans. Roy. Soc, London Series. vol. 210. - 1970. - P. 307-357.

129. Southwell, R. V. Relaxation Methods in Engineering Science Text. / R.V.Southwell. -Oxford University Press, London, 1940.

130. Stewart, G. W. Introduction to Matrix Computation Text. / G.W. Stewart. Academic Press, New York, 1973.

131. Stoer, J. Introduction to Numerical Analysis Text. / J. Stoer, R. Bulirsch. SpringerVerlag, New York, 1980.

132. Strong, G. An Analysis of the Finite Element Method Text. / G. Strong, G. J. Fix. -Prentice Hall, Englewood Cliffs, NT, 1988.

133. Vaidyanathan, P. P. Multirate Systems and Filter Banks / P. P. Vaidyanathan // Englewood Cliffs. NY.: Prentice Hall, 1993.

134. Wilkinson, J. H. The Algebraic Eigenvalue Problem Text. / J. H. Wilkinson. -Clarendon Press, Oxford, England, 1965.

135. Wiener, N. The Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series with Engineering Applications / N. Wiener // John Wiley & Soon, Inc. New-York, 1949.

136. Zienkiewicz, O.C. The Finite Element Method Text. / O.C. Zienkiewicz, R. L. Taylor. vols. 1 and 2. - McGraw-Hill, New York, 1991.