автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и моделирование алгоритмов интерполяции случайных полей по дискретным отсчетам

На правах рукописи

СЛУЖИВЫЙ Максим Николаевич

РАЗРАБОТКА И МОДЕЛИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ ПО ДИСКРЕТНЫМ ОТСЧЕТАМ

Специальность: 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ульяновск — 2006

Работа выполнена на кафедре «Телекоммуникации» Ульяновского государственного технического университета

Научный руководитель:

заслуженный деятель науки и техники РФ,

доктор технических наук, профессор Васильев Константин Константинович Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Кумунжиев Константин Васильевич кандидат технических наук, доцент Гладких Анатолий Афанасьевич

Ведущее предприятие:

ОАО «Ульяновский механический завод», г.Ульяновск.

Защита состоится «13» сентября 2006 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г.Ульяновск, ул.Северный Венец, 32, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного технического университета.

Автореферат разослан «"» июля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.т.н., профессор

В .Р .Крашенинников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Эффективность многих современных информационных систем существенно зависит от алгоритмов формирования и структурирования передаваемой информации, а также от качества функционирования приемников информации, зачастую представляющих собой пространственные апертуры датчиков.

При этом во многих случаях передаваемая информация содержится в многомерном случайном поле (СП), наблюдаемом на фоне помех. Важными задачами обработки таких полей является восстановление (интерполяция) СП, а также оптимальное размещение ограниченного числа датчиков (измерителей) в пространстве с целью минимизации дисперсии ошибки интерполяции. Подобные задачи возникают в системах с пространственными апертурами датчиков, многочастотных системах связи с пилот-сигналами, аэрокосмических системах глобального мониторинга Земли и в других приложениях.

Исследованию вопросов интерполяции СП посвящены работы

A.Н.Колмогорова, Н.Винера, А.МЛглома, Р.Ш.Липцера, А.Н.Ширяева,

B.А.Сойфера, С.В.Михайлова, С.М.Пригарина, А.А.Новикова и др. Анализ известных работ в области интерполяции СП показал, что в настоящее время отсутствуют удовлетворительные решения ряда задач статистического синтеза и анализа алгоритмов интерполяции многомерных СП, заданных на дискретных сетках. Кроме этого, в известных публикациях недостаточно разработана задача оптимизации размещения датчиков (измерителей) на дискретной сетке.

В связи с этим задача повышения эффективности процедур интерполяции СП представляется весьма актуальной, что также подтверждается поддержкой грантом РФФИ 03-01-00370 темы диссертационной работы.

Цель работы. Целью работы является повышение точности интерполяции СП по неполным наблюдениям, а также снижение вычислительных затрат посредством модификации известных алгоритмов интерполяции. Для достижения заданной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Провести сравнительный анализ известных алгоритмов интерполяции случайных последовательностей и полей.

2. Разработать алгоритмы интерполяции СП с использованием оптимальных оценок. Провести моделирование соответствующих алгоритмов. Получить оценки относительной дисперсии ошибки интерполяции при различных параметрах СП.

3. Разработать алгоритмы поиска оптимальных планов пространственного размещения датчиков. Провести моделирование соответствующих алгоритмов. Оценить эффективность неравномерного расположения датчиков по сравнению с регулярным расположением.

4. Дать рекомендации относительно количества размещаемых датчиков на сетке заданных размеров в зависимости от требуемого качества интерполяции.

5. Осуществить программную реализацию предложенных"алгоритмов интерполяции и размещения датчиков с возможностью их модификации для различных прикладных задач.

Методы исследования основываются на теории вероятностей, теории оптимальной линейной фильтрации СП, методах дискретной математики. При разработке программного обеспечения применялись численные методы и методы объектно-ориентированного программирования в среде Matlab 5.3.

Научная новизна положений, выносимых на защиту.

1. Впервые предложен алгоритм интерполяции случайных полей на основе оптимальных оценок. Проведен сравнительный анализ точности алгоритмов интерполяции СП на основе зашумленных наблюдений . и на основе оптимальных оценок.

2. Получены выражения, позволяющие оценить максимальную дисперсию ошибки интерполяции по наблюдениям, заданным на N -мерной прямоугольной сетке.

3. Получены зависимости, позволяющие по заданной максимальной дисперсии ошибки интерполяции определить необходимые корреляционные расстояния между наблюдениями, используемыми для восстановления непрерывного информационного СП с заданным отношением сигнал/шум (ОСШ).

4. Разработаны алгоритмы поиска оптимального плана размещения датчиков на одно- и двумерной дискретных сетках методом полного перебора. Разработан алгоритм поиска методом улучшенного перебора, позволяющий существенно снизить вычислительные затраты, связанные с поиском оптимального плана размещения датчиков.

. Достоверность. Достоверность положений диссертации обеспечивается корректным использованием математических методов и подтверждается результатами проверки независимыми методами.

Практическая значимость. Предложенные алгоритмы интерполяции могут быть использованы при разработке устройств оценивания параметров каналов с помощью пилот-сигналов в перспективных мобильных системах связи, а также при разработке новых методов восстановления изображений и их последовательностей. Разработанные алгоритмы поиска оптимального плана размещения датчиков на одно- и двумерной дискретных сетках могут оказаться полезными при создании пространственных апертур датчиков различных информационных систем. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих НТК:

• 6,h Open German-Russian Workshop on Pattern Recognition and Image Understanding (OGRW-6-2003, August 25-30,2003);

• X Международная НТК «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2004 г.);

• VII Международная конференция «Распознавание образов и анализ изображений» (Санкт-Петербург, 2004 г.);

• VII-VIII Международные конференции и выставки «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (Москва, 2005,2006 гг.);

• 61 Научная сессия, посвященная Дню Радио (Москва, 17-18 мая 2006 г.);

• ежегодные конференции профессорско-преподавательского состава Ульяновского государственного технического университета (2002-2006 гг.).

Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 11 печатных трудах, в числе которых 5 трудов Международных научных конференций и 3 статьи.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 135 наименований, а также приложений. Объем диссертации составляет 140 страниц машинописного текста, содержащего 37. рисунков и 6 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи работы, ее научная новизна, практическая значимость полученных результатов и научные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации представлен обзор моделей СП, заданных на многомерных сетках. Проанализированы авторегрессионные СП с разделимой корреляционной функцией (КФ). Рассмотрены известные методы интерполяции СП по неполным наблюдениям, заданным на сетке отсчетов. Особое внимание уделено двухэтапным процедурам винеровской интерполяции. Рассмотрен алгоритм восстановления по неполным наблюдениям изображения с биэкспо-ненциальной КФ посредством рекуррентной калмановской процедуры. Выделены последовательные процедуры восстановления двумерного СП для каузальных и полукаузальных моделей. Кратко описаны известные методы размещения датчиков на дискретной сетке. Сформулированы основные задачи диссертационной работы.

Вторая глава посвящена разработке и исследованию алгоритмов интерполяции СП X = {xj, Je с разделимой КФ, определенных на 7V-мерной прямоугольной сетке отсчетов J = =(У],у2,. • -,jN)T =1...М,|,А: = 1...jvj, по

неполным наблюдениям.

Предполагается, что наблюдения на N -мерной прямоугольной сетке J представляют собой аддитивную смесь полезного сигнала и белого гауссовско-го шума: .

г1=х1+в1,

где J = (j\,j2, ■. -, /v), Xj - полезный сигнал, заданный многомерным уравнением авторегрессии-скользящего среднего; д~ - белый гауссовский шум с нулевым средним и дисперсией al.

Интерполяционная оценка х0 = f{xj, в-, Je у} в N -мерном непрерывном

пространстве RN =|м =(и,,м2,...,«„):{-<»<ик <со},£ = 1...Л'}, соответствующем N -мерной прямоугольной сетке J, формируется в виде линейной комби-

нации зашумленных наблюдений г у с соответствующими весовыми коэффици-

МI м,

Л-" л

• ¿>7*7 •

(1)

При этом одной из задач является оценка потенциально достижимой точности интерполяции. Очевидно, наибольшая погрешность интерполяции имеет место в центре, как наиболее удаленной точке от всех наблюдений. При этом : оптимальность алгоритмов рассматривается в смысле минимума дисперсии ошибки оценивания

=Л/{(*0 -*о)2} = А/{х02)-2М{*Л} + , (2)

по параметрам а-, линейной комбинации (1).

Вначале рассмотрены алгоритмы интерполяции СП по незашумленным наблюдениям Ху. Показано, что разница в дисперсии ошибки интерполяции в узлах с наблюдениями и в центре (между узлами) снижается с увеличением коэффициента корреляции р между наблюдениями.

Проведен анализ погрешностей интерполяции СП, заданных посредством многомерной авторегрессионной модели при наличии гауссовского шума с заданной дисперсией сг^. Полученные аналитические результаты позволяют дать оценки относительной дисперсии ошибки интерполяции ст^/ст^ при различных параметрах СП, заданных многомерной моделью авторегрессии с разделимой КФ.

Впервые получены аналитические выражения для дисперсии ошибки интерполяции в ТУ -мерном пространстве на основе п = 2" элементов, равноотстоящих от точки х0, т.е. в центре N -мерного параллелепипеда:

2" р,р2...р„

Ар) \

| --Ы

где /(р) = 1 + - + £ Ч *-1

т Е ла -Л,

4=1 '2-1

. Ч = —т> А> Рг.....Ры - коэффициен-

ты корреляции по соответствующим осям в Л''-мерном пространстве.

Проанализированы зависимости критического значения ОСШ от коэффициента корреляции р при заданном граничном условии а^/сг* < 0.1 для СП различных размерностей ( а) - дисперсия ошибки оценивания в точке наблюдения), что позволяет сделать вывод о том, что оценку в центре Л''-мерного параллелепипеда целесообразно производить при достаточно сильно коррелированных сигналах р > 0.9 и слабых шумах д > 10 дБ.

Получены зависимости интервала корреляции т = \/{\- р) между соседними отсчетами наблюдений от ОСШ д, при которых выполняется условие сг^0/с7д. <0.01 для одно- и двумерного СП (сг*0 - дисперсия ошибки интерполяции в центре между узлами с наблюдениями). Показано, что с увеличением коэффициента корреляции р, предельно допустимое ОСШ снижается, что позволяет по заданной допустимой дисперсии ошибки определить необходимые корреляционные расстояния между наблюдениями, требуемыми для восстановления непрерывного информационного СП с заданным ОСШ.

Впервые разработан алгоритм интерполяции СП на основе оптимальных оценок, полученных с помощью оптимального линейного фильтра. При этом, как и в случае интерполяции по наблюдениям г-, у е./, интерполяционная оценка х0=/{ху, ./' е •/} в ТУ-мерном пространстве Л" =|«=(м,,ы2,...,иы):{-<»<ик <оо}Д = формируется в виде линейной

комбинации оптимальных линейных оценок Ху с соответствующими весовыми

ЛЛ м, мк

коэффициентами /Зу". ха -/,/,■••/, Ру*у • .

Л'> Л 1я

Дисперсия ошибки интерполяции может быть вычислена по формуле (2).

N

При этом , =

>/а

Р\

х0 Х1

------О-------® -----------

——^

4К : Д . !

1 4*0 I ■

Л ф ''о™ А -ф

1 •' I

! Ръ !

1 . 1

4—-------® -

В)

Рис. 1

Рис. 2

Ковариация оценок равна

М{х,х]}=м{{х1-е1){х]-Е1)) = м{х1х))-М{е1€1).

При этом ошибка оценивания выражается как

= х1-Пор,гп

где Нор1 - передаточная функция оптимального фильтра Винера, вычисляемая как Нор1 = Яг^лг > где Игг - автокорреляционная матрица входных наблюдений ЯЛ7 - матрица взаимных корреляций между наблюдениями г, и полезным сигналом х,. Здесь также учтена лемма об ортогональности наблюдений 2у и ошибок оценивания еу. М{г, е, } = 0, на основе которой вычислена взаимная ковариация сигнала и ошибки

Лф,х,} = М{е1{х1-Н0р,г])} = м{е,е].

Ковариации ошибок оценивания М{£,£,} находятся с помощью фильтра

Винера, для чего в диссертационной работе выполнен ряд интегральных преобразований и использованы численные методы.

Предлагаемый метод интерполяции на основе оптимальных оценок можно интерпретировать как алгоритм интерполяции, состоящий из двух этапов:

1) фильтрация СП дискретных наблюдений с целью получения оптимальных оценок;

2) собственно интерполяция значений в промежуточных отсчетах дискретной сетки, находящихся между известными наблюдениями.

Данный алгоритм требует примерно столько же умножений на 1 отсчет поля, как и оптимальный алгоритм интерполяции СП на основе зашумленных наблюдений (табл. 1, 2), реализованный на основе фильтра Калмана.

В табл. 1 показано количество умножений при обработке случайной последовательности из п отсчетов,

Таблица 1

По наблюдениям 2- По оценкам х-

На основе 2 отсчетов (рис. 1, а) п 15 п

На основе 4 отсчетов (рис. 1, б) 2 п 16л

Оптимальный фильтр Винера п2 -

Оптимальный фильтр Калмана 14 и -

В табл. 2 показано количество умножений при обработке двумерного СП размера их и отсчетов. Таблица 2

По наблюдениям г-. По оценкам х-

На основе 4 отсчетов (рис. 1, в) п2 4 п>+п2

На основе 8 отсчетов (рис. 1, г) 3 п2 4л3 + Зп2

Оптимальный фильтр Винера и4 -

Оптимальный фильтр Калмана 4п3 -

Сравнительный анализ алгоритмов интерполяции СП на основе зашумленных наблюдений 2- и на основе оптимальных оценок х- показал, что при интерполяции на основе оптимальных оценок удается достичь существенного снижения дисперсии ошибки интерполяции (особенно при малых ОСШ и высоких корреляциях) порядка 10-30 % - для одномерного СП (последовательности) и в 2-3 раза - для двумерного СП по сравнению с алгоритмом интерполяции с помощью фильтра Калмана (кривая Ка1тап4 на рис. 2) по зашумленным наблюдениям для СП размеров 100x100 элементов.

В то же время в ряде случаев (при больших отношениях сигнал/шум <7 >20 дБ, малых корреляциях р < 0.9 и жестких ограничениях на вычислительные ресурсы) было бы целесообразнее использовать интерполяционные оценки на основе зашумленных наблюдений.

На рис.2 показаны зависимости относительной дисперсии ошибки интерполяции на двумерной сетке (сплошная линия - при интерполяции по оптимальным оценкам, пунктирная линия - при интерполяции по зашумленным наблюдениям) от интервала корреляции т = 1/(1 - р) при различных конфигурациях расположения отсчетов (рис. 1, в, г).

•—О—

-О—о-4 5

-О 7

8

Рис. 3

О—•—О—о—•—о—»

9 10 11 12 13 14 15

Рис. 4

В третьей главе решена задача оптимизации расположения ограниченного количества тр датчиков (измерителей, пилот-сигналов) на дискретной сетке отсчетов с целью нахождения плана размещения датчиков с наименьшей максимальной дисперсией ошибки интерполяции. Разработаны алгоритмы поиска оптимального плана размещения датчиков (обозначены в виде черных кругов на рис. 3, 4) на одно- и двумерной дискретных сетках в виде алгоритмов полного перебора. На рис. 4 представлены различные конфигурации расположения датчиков на двумерной сетке для случая регулярной расстановки (а) и нерегулярной расстановки (б), которая имеет место при сильных шумах < 5 дБ и сильной корреляции р > 0.995.

Намечены пути снижения вычислительных затрат, связанных с перебором большого количества планов размещения датчиков на одно- и двумерной сетке. Они основаны на двух закономерностях, первая из которых заключается в следующем: в случаях, представляющих практический интерес ( л > 10, тр>Ъ) для любого оптимального плана расстановки датчиков выполняется соотношение вида

+ 1)-/?(*:) ? р(к)-р(к- 1)-//Ш' где р(к) - номер позиции датчика.

Вторая закономерность состоит в том, что конечные допустимые позиции датчиков не могут превышать соответствующие позиции этих же датчиков при их регулярной расстановке более чем на единицу, т.е.

где рг (Аг) - позиция к -го датчика при регулярной расстановке.

В табл. 3 показано, что метод улучшенного перебора позволяет существенно снизить количество планов размещения датчиков, для которых требуется вычислить максимальное значение дисперсии ошибки.

'____Таблица 3

Параметры плана расстановки Полный перебор Улучшенный перебор

« = 31, тр = 7 40 18

« = 31, »г,, =11 360 46

п = 49,тр=5 12 11

и = 49, тр = 9 840 123

п = 49, тр = 13 23040 483

шах ор1

Получены зависимости- выигрыша в снижении максимальной дисперсии ошибки интерполяции для оптимального плана размещения датчиков по сравнению со случаем равномерного (регулярного) размещения. При этом показано, что при слабых шумах g >10 дБ и сильной корреляции р > 0.995 выигрыш увеличивается и достигает 20 % при коэффициентах корреляции р < 0.9995, имеющих место в реальных приложениях.

В результате анализа графических зависимостей максимальной дисперсии ошибки интерполяции для оптимального плана расстановки датчиков показано, что приемлемое качество интерполяции достигается при малых шумах q ä 10 дБ и сильной корреляции р > 0.99. На рис. 5 представлены зависимости, на основе которых могут быть даны рекомендации по выбору количества тр размещаемых датчиков на дискретной сетке заданных размеров п для различных параметров СП при которых максимальная дисперсия ошибки для оптимального плана удовлетворяет неравенству cr* max opl jсг], < 0.1.

Разработан комплекс программ в среде MatLab 5.3 фирмы Math Works Inc., позволяющий получать оптимальные планы размещения пилот-сигналов на одно- и двумерной дискретных сетках (рис. 6).

Iillljoi J'ilotSynitiol /41 Allocation

H eg/0pt Gan, X

I a 365922 E«t£nM«0pt

4 0 0390901 J

Alocate J

Regular Allocation

Field Si» 2

I..........«........; 4

Plot-Symbols in 1/4

1 « Б

СмгвЙюп В

j 0.997

1D

SNH. dB

2 4 6 6 • Optimal Allocation

m

8-10

Рис. 6

Четвертая глава посвящена вопросам практического применения предложенных алгоритмов интерполяции СП и оптимизации размещения датчиков на дискретной сетке. Дано описание систем связи с ортогональным частотным мультиплексированием, а также устройств оценивания параметров канала связи.

Предложено использовать авторегрессионную модель канала связи с замираниями и доплеровским смещением спектра путем аппроксимации КФ соответствующих сигналов, позволяющую синтезировать оптимальные алгоритмы обработки сигналов для многочастотных систем связи с OFDM.

Рассмотрены известные алгоритмы интерполяции изображений. Показано, что при наличии неполных наблюдений методы интерполяции, предлагаемые во второй главе, позволяют снизить максимальную ошибку интерполяции до 10 раз по сравнению с методом билинейной интерполяции. Рассмотрены возможности использования результатов, полученных в диссертационной работе, при решении задач, связанных с интерполяцией изображений.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

1. Предложен алгоритм интерполяции CII на основе оптимальных оценок. Проведен сравнительный анализ точности алгоритмов интерполяции СП на основе зашумленных наблюдений и на основе оптимальных оценок. Показано, что при интерполяции на основе оптимальных оценок удается достичь выигрыша по дисперсии ошибки интерполяции порядка 10-30 % - для одномерного СП и в 2-3 раза - для двумерного СП по сравнению с алгоритмом интерполяции по зашумленным наблюдениям при незначительном увеличении вычислительных затрат.

2. Получены выражения, позволяющие оценить максимальную дисперсию ошибки интерполяции по наблюдениям, заданным на N -мерной прямоугольной сетке. Получены зависимости, позволяющие по заданной максимальной дисперсии ошибки интерполяции определить необходимые корреляционные расстояния между наблюдениями, используемыми для восстановления непрерывного информационного СП при заданном ОСШ.

3. Разработаны алгоритмы поиска оптимального плана размещения датчиков на одно- и двумерной дискретных сетках. Показано, что метод улучшенного перебора позволяет существенно снизить вычислительные затраты, связанные с поиском оптимального плана размещения датчиков.

4. Получены зависимости выигрыша в снижении максимальной дисперсии ошибки интерполяции, которое достигает 20-30 % за счет оптимизации размещения датчиков. Даны рекомендации по выбору количества размещаемых датчиков на сетке заданных размеров в зависимости от требуемого качества интерполяции при различных параметрах СП.

5. Разработан комплекс программ, позволяющий осуществлять поиск оптимального плана размещения пилот-сигналов на одно- и двумерной сетке при различных параметрах сигнала, размерах дискретной сетки, количестве пилот-

сигналов. Реализованные программные пакеты в среде MatLab имеют простую структуру и Moiyr быть изменены для решения различных прикладных задач.

6. Рассмотрены возможные применения разработанных алгоритмов интерполяции СП и оптимизации размещения датчиков на дискретной сетке в многочастотных системах связи с пилот-сигналами, а также при разработке новых алгоритмов обработки изображений.

В приложениях приведены аналитические преобразования, необходимые для получения дисперсии ошибки интерполяции при различных конфигурациях наблюдений, а также акт внедрения результатов диссертационной работы в учебный процесс.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Vasiliev, К. Recurrent Adaptive Algorithms for Image Restoration / K. Vasiliev, M. Sluzhivyi // The Proceedings of the 6-th German-Russian Workshop "Pattern Recognition and Image Understanding". - Novosibirsk, 24-30 August 2003. -PP. 128-131.

2. Васильев, К. К. Алгоритм минимизации максимальной дисперсии ошибки оценивания комплексных амплитуд в многочастотных системах связи / К. К. Васильев, М. Н. Служивый // Труды X Международной НТК «Радиолокация, навигация, связь». — Воронеж, 2004. - С. 301-304.

3. Служивый, М. Н. Исследование алгоритмов расстановки пилот-сигналов в многочастотных системах связи / М. Н. Служивый, С. М. Наместников // Вестник УлГТУ. - 2004. - №2. - С. 51-54.

4. Служивый, М. Н. Алгоритм полного перебора вариантов расстановки пилот-сигналов в многочастотных системах связи / М. Н. Служивый // Труды 4-й Всероссийской научно-практической конференции «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем». — Ульяновск, 2004. — С. 74-77.

5. Vasiliev, К. Errors of Random Field Restoration Based on Discrete Samples / K. Vasiliev, M. Sluzhivyi // The Proceedings of the 7th International Conference on Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies, PRIA-7-

2004, St. Petersburg, Russian Federation. - 18-23 October, 2004. - PP. 130-132.

6. Vasil'ev, K. The Errors of Random Field Restoration on the Basis of Discrete Samples / K. Vasil'ev, M. Sluzhivyi // Pattern Recognition and Image Analysis. -

2005.-Vol. 15,-No. 1.-PP. 101-103.

7. Васильев, К. К. Восстановление случайных полей по дискретным отсчетам / К. К. Васильев, М. Н. Служивый // Труды РНТОРЭС им. А.С.Попова, серия: Цифровая обработка сигналов и её применение, вып. VII-2, 7-я Международная научно-техническая конференция. - М., 2005. - С. 345-349.

8. Служивый, М. Н. Анализ погрешностей интерполяции случайных полей по дискретным отсчетам / М. Н. Служивый // Вестник УлГТУ. - 2005. — №3. -С. 64-67. ' •

9. Васильев, К. К. Сравнительный анализ алгоритмов интерполяции случайных полей / К. К. Васильев, М. Н. Служивый // Труды РНТОРЭС им.

А.С.Попова, серия: Цифровая обработка сигналов и её применение, вып. УШ-2, 8-я Международная научно-техническая конференция. - М., 2006. - С. 412-413.

10. Служивый, М. Н. Алгоритмы интерполяции случайных последовательностей и полей по малому количеству наблюдений / М. Н. Служивый // Труды РНТОРЭС им. А.С.Попова, серия: Научная сессия, посвященная Дню Радио, вып. ЬХ1. - М., 2006. - С. 355-358.

11. Служивый, М. Н. Интерполяция случайных полей по оптимальным оценкам / М. Н. Служивый // Труды Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике». - Ульяновск: УлГТУ. - 2006. - Т. 4. - С. 275-276.

Служивый Максим Николаевич

Разработка и моделирование алгоритмов интерполяции случайных полей по

дискретным отсчетам

Автореферат

Подписано в печать 30.06.2006 . Формат 60x84/16. Бумага писчая. Усл.печ.л. 0,93. Уч.-изд.л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ с?<РО

Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИНТЕРПОЛЯЦИИ

СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Методы имитации дискретных случайных полей

1.3. Методы интерполяции случайных полей.

1.4. Оптимальное позиционирование измерителей.

1.5. Выводы.

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

НА МНОГОМЕРНЫХ СЕТКАХ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Анализ погрешностей интерполяции многомерных случайных полей по незашумленным наблюдениям.

2.3. Алгоритмы интерполяции случайных полей по зашумленным наблюдениям.

2.4. Алгоритмы интерполяции случайных полей по оптимальным оценкам.

2.5. Выводы.

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ РАЗМЕЩЕНИЯ ПИЛОТ-СИГНАЛОВ

НА МНОГОМЕРНЫХ СЕТКАХ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Оптимизация размещения пилот-сигналов на последовательности отсчетов.

3.3. Оптимизация размещения пилот-сигналов на двумерной сетке.

3.4. Особенности программной реализации алгоритмов размещения пилот-сигналов.

3.5. Выводы.

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЯ АЛГОРИТМОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И ОПТИМИЗАЦИИ РАЗМЕЩЕНИЯ ПИЛОТ-СИГНАЛОВ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Применения методов интерполяции при проектировании многочастотных систем связи с OFDM.

4.3. Авторегрессионные модели замираний в многолучевом канале связи.

Актуальность темы. Эффективность многих современных информационных систем существенно зависит от алгоритмов формирования и структурирования передаваемой информации, а также от качества функционирования приемников информации, зачастую представляющих собой пространственные апертуры датчиков.

При этом во многих случаях передаваемая информация содержится в многомерном случайном поле (СП), заданном посредством некоторой модели. Важными задачами обработки таких полей является оптимальная интерполяция значений СП, заданного на дискретной сетке, по неполным наблюдениям, а также задача оптимального размещения датчиков (измерителей) на дискретной сетке с целью минимизации максимальной дисперсии ошибки интерполяции. Подобные задачи возникают в системах с пространственными апертурами датчиков, многочастотных системах связи с пилот-сигналами, а также аэрокосмических системах глобального мониторинга Земли.

Исследованию вопросов интерполяции СП посвящены работы

A.Н.Колмогорова, Н.Винера, А.М.Яглома, Р.Ш.Липцера, А.Н.Ширяева, I

B.А.Сойфера, С.В.Михайлова, С.М.Пригарина, А.А.Новикова и др. Наряду с этим анализ известных работ в области интерполяции СП показал, что в настоящее время отсутствуют удовлетворительные решения разнообразных задач статистического синтеза и анализа соответствующих алгоритмов интерполяции многомерных СП, заданных на дискретных сетках. Кроме этого, в известных публикациях недостаточно разработана задача оптимизации размещения датчиков (измерителей) на дискретной сетке.

В связи с этим задача повышения эффективности процедур интерполяции СП представляется весьма актуальной и выполненное в диссертационной работе исследование этих вопросов является очередным шагом в решении актуальной научной проблемы, имеющей важное прикладное значение, что также подтверждается поддержкой грантом РФФИ 03-01-00370 темы диссертационной работы.

Цель работы. Целью работы является разработка, моделирование и оптимизация алгоритмов интерполяции случайных полей по неполным наблюдениям, обладающих малой вычислительной сложностью и обеспечивающих снижение дисперсии ошибки оценивания за счет модификации известных алгоритмов интерполяции. Для достижения заданной цели необходимо решить следующие задачи.

1. Провести сравнительный анализ известных алгоритмов интерполяции одно- и двумерных СП.

2. Разработать алгоритмы интерполяции СП с использованием оптимальных оценок. Получить оценки относительной дисперсии ошибки интерполяции СП при различных параметрах.

3. Разработать алгоритмы поиска оптимального плана размещения датчиков на одно- и двумерной дискретных сетках. Оценить количественно преимущества оптимального плана размещения датчиков по сравнению со случаем регулярного размещения.

4. Разработать адекватную модель многолучевого канала связи С( подвижным объектом.

5. Дать рекомендации относительно количества размещаемых датчиков на сетке заданных размеров в зависимости от требуемого качества интерполяции.

6. Осуществить программную реализацию предложенных алгоритмов интерполяции и размещения датчиков с возможностью их модификации для различных прикладных задач.

Методы исследования основываются на теории вероятностей, теории оптимальной линейной фильтрации СП, методах дискретной математики. При разработке программного обеспечения применялись численные методы и методы объектно-ориентированного программирования в среде Matlab 5.3.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

1. Предложен алгоритм интерполяции случайных полей на основе оптимальных оценок. Проведен сравнительный анализ точности алгоритмов интерполяции СП на основе зашумленных наблюдений и на основе оптимальных оценок. Показано, что при интерполяции на основе оптимальных оценок удается достичь выигрыша по дисперсии ошибки интерполяции порядка 10-30 % - для одномерного СП и в 2-3 раза - для двумерного СП по сравнению с алгоритмом интерполяции по зашумленным наблюдениям.

2. Получены выражения, позволяющие оценить максимальную дисперсию ошибки интерполяции по наблюдениям, заданным на N-мерной прямоугольной сетке. Получены зависимости, позволяющие по заданной максимальной дисперсии ошибки интерполяции определить необходимые корреляционные расстояния между наблюдениями, используемыми для восстановления непрерывного информационного СП с заданным отношением сигнал/шум.

3. Разработаны алгоритмы поиска оптимального плана размещения датчиков на одно- и двумерной дискретных сетках. Показано, что метод улучшенного перебора позволяет снизить вычислительные затраты, связанные с поиском оптимального плана размещения датчиков, до 40-50 раз по сравнению с алгоритмом полного перебора.

4. Получены зависимости снижения максимальной дисперсии ошибки интерполяции, который достигает 20-30 % за счет оптимизации размещения датчиков. Даны рекомендации по выбору количества размещаемых датчиков на сетке заданных размеров в зависимости от требуемого качества интерполяции при различных параметрах СП.

Практическая значимость. Предложенные алгоритмы интерполяции могут быть использованы при разработке устройств оценивания параметров каналов с помощью пилот-сигналов в перспективных мобильных системах связи, а также при разработке новых методов интерполяции изображений.

Разработанные алгоритмы поиска оптимального плана размещения датчиков на одно- и двумерной дискретных сетках могут оказаться полезными при проектировании пространственных апертур датчиков различных измерительных систем. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих НТК:

• 6th Open German-Russian Workshop on Pattern Recognition and Image Understanding (OGRW-6-2003, August 25-30,2003);

• X Международная НТК «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2004 г.);

• VII Международная конференция «Распознавание образов и анализ изображений» (Санкт-Петербург, 2004 г.);

• VII-VIII Международные конференции и выставки «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (Москва, 2005, 2006 гг.);

• 61 Научная сессия, посвященная Дню Радио (Москва, 17-18 мая 2006 г.);

• ежегодные конференции профессорско-преподавательского состава Ульяновского государственного технического университета (2004-2006 гг.). < Содержание работы. В первой главе представлен обзор моделей СП, заданных на многомерных сетках. Рассмотрены известные методы интерполяции СП по неполным наблюдениям, заданным на дискретной сетке. Кратко описаны известные методы позиционирования датчиков на дискретной сетке.

Вторая глава посвящена разработке и исследованию эффективных алгоритмов интерполяции СП по неполным наблюдениям. Проведен анализ погрешностей интерполяции СП, заданных посредством многомерной авторегрессионной модели при наличии гауссовского шума с заданной дисперсией. Описан алгоритм интерполяции СП на основе оптимальных оценок, полученных с помощью оптимального линейного фильтра. Приведены аналитические выражения, позволяющие оценить максимальную дисперсию ошибки интерполяции по наблюдениям, заданным на N -мерной прямоугольной сетке. Рассмотрены зависимости позволяющие по заданной максимальной дисперсии ошибки интерполяции определить необходимые корреляционные расстояния между наблюдениями, заданными на дискретной сетке. Представлены сравнительные характеристики предложенных алгоритмов.

В третьей главе представлены алгоритмы поиска оптимального плана размещения датчиков на дискретных сетках. Описан метод улучшенного перебора вариантов размещения датчиков. Даны рекомендации по выбору количества размещаемых датчиков на дискретной сетке заданных размеров для различных параметров СП. Представлены качественные показатели предложенных алгоритмов.

Четвертая глава посвящена вопросам практического применения предложенных алгоритмов интерполяции СП и оптимизации размещения датчиков на дискретной сетке. Дано описание систем связи с ортогональным частотным мультиплексированием, а также устройств оценивания параметров канала связи. Описана авторегрессионная модель канала связи с замираниями и доплеровским смещением спектра. Рассмотрены известные алгоритмы4 интерполяции изображений, а также возможности использования результатов, полученных в диссертационной работе.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Анализ алгоритмов интерполяции СП по неполным наблюдениям показал, что существующие на данный момент алгоритмы интерполяции СП имеют ряд недостатков. Показано, что актуальной проблемой является снижение вычислительных затрат при нахождении оптимального плана размещения датчиков на дискретной сетке с целью минимизации максимальной дисперсии ошибки интерполяции.

2. Предложен алгоритм интерполяции случайных полей на основе оптимальных оценок. Проведен сравнительный анализ точности, а также моделирование алгоритмов интерполяции СП на основе зашумленных наблюдений и на основе оптимальных оценок. Показано, что при интерполяции на основе оптимальных оценок удается достичь выигрыша по дисперсии ошибки интерполяции порядка 10-30 % - для одномерного СП и в 23 раза - для двумерного СП по сравнению с алгоритмом интерполяции по зашумленным наблюдениям при незначительном увеличении вычислительных затрат.

3. Получены выражения, позволяющие оценить максимальную дисперсию ошибки интерполяции по наблюдениям, заданным на N -мерной прямоугольной сетке. Получены зависимости позволяющие по заданной максимальной дисперсии ошибки интерполяции определить необходимые корреляционные расстояния между наблюдениями, используемыми для восстановления непрерывного информационного СП с заданным ОСШ.

4. Разработаны алгоритмы поиска оптимального плана размещения датчиков на одно- и двумерной дискретных сетках. Показано, что метод улучшенного перебора позволяет существенно снизить вычислительные затраты, связанные с поиском оптимального плана размещения датчиков.

5. Получены зависимости выигрыша в максимальной дисперсии ошибки интерполяции, который достигает 20-30 % за счет оптимизации размещения датчиков. Даны рекомендации по выбору количества размещаемых датчиков на сетке заданных размеров в зависимости от требуемого качества интерполяции при различных параметрах СП.

6. Разработан комплекс программ, позволяющий осуществлять поиск оптимального плана размещения пилот-сигналов на одно- и двумерной сетке при различных параметрах сигнала, размерах дискретной сетки, количестве пилот-сигналов. Реализованные программные пакеты в среде MatLab имеют простую структуру и могут быть изменены для решения различных прикладных задач.

7. Рассмотрены возможные применения разработанных алгоритмов интерполяции СП и оптимизации размещения датчиков на дискретной сетке в многочастотных системах связи с пилот-сигналами, а также при разработке новых алгоритмов обработки изображений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Адаптивные фильтры / под ред. К. Ф. Н. Коуэна, П. М. Гранта; пер. с англ. Н. Н. Лихацкой, под ред. С. М. Ряковского. М.: Мир, 1988. - 392 с.

2. Александров, В. В. Применение базисных сплайнов в задачах дискретизации многомерных сигналов конечной протяженности / В. В. Александров // Измерительная техника. 2000. - № 1. - С. 3-6.

3. Андерсон, Дж. Дискретная математика и комбинаторика / Дж. Андерсон; пер. с англ. М. М. Беловой, под ред. С. С. Шкильняка и М. Р. Саит-Аметова. М.: Вильяме, 2003. - 960 с.

4. Балакришнан, А. В. Теория фильтрации Калмана / А. В. Балакришнан; пер. с англ. С. М. Зуева, под ред. А. А. Новикова. М.: Мир, 1988. - 168 с.

5. Бакалов, В. П. Цифровое моделирование случайных процессов / В. П. Бакалов. М.: Сайнс-пресс, 2002. - 88 с. - (Серия «Конспекты лекций по радиотехническим дисциплинам» ; вып. 4).

6. Басараб, М. А. Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона / М. А. Басараб, Е. Г. Зелкин, В. Ф. Кравченко, В. П. Яковлев. М.: Радиотехника, 2004. - 72 с.

7. Бокс, Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. В 2 вып. Вып. 1 / Дж. Бокс, Г. Дженкинс; пер. с англ. A. JI. Левшина, под ред. В. Ф. Писаренко. М.: Мир, 1974. - 406 с.

8. Бор, К. де Практическое руководство по сплайнам / К. де Бор; пер. с англ. В. К. Галицкого и С. А. Шестакова, под ред. В. И. Скурихина. М. : Радио и связь, 1985.-304 с.

9. Браммер, К. Фильтр Калмана-Быоси / К. Браммер, Г. Зиффлинг; пер. с нем. В. Б. Колмановского, под ред. И. Е. Казакова. М.: Наука, 1982. - 200 с.

10. Ю.Быков, В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике / В. В. Быков. М.: Советское радио, 1971. - 328 с.

11. П.Ван Трис, Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. В 3 т. Т. 1 / Г. Ван Трис; пер. с англ. В.В.Липьяйнена, под ред. В.И.Тихонова. М.: Советское радио, 1972. - 744 с.

12. Василенко, Г. И. Восстановление изображений / Г.И.Василенко,

13. A. М. Тараторин. М.: Радио и связь, 1986. - 300 с.

14. З.Васильев, К. К. Нелинейные модели случайных многомерных полей / К. К. Васильев // Методы обработки сигналов и полей : сб. науч. тр. / Ульян, политехи, ин-т. Ульяновск, 1987. - С. 13-19.

15. Н.Васильев, К. К. Калмановская фильтрация изображений / К.К.Васильев,

16. B. Г. Герчес // Методы обработки сигналов и полей: сб. науч. тр. / Ульян, политехи, ин-т. Ульяновск, 1990. - С. 105-111.

17. Васильев, К. К. Анализ эффективности фильтрации многомерных случайных полей / К. К. Васильев // Методы обработки сигналов и полей : сб. науч. тр. / Ульян, политехн. ин-т. Ульяновск, 1992. - С. 18-27.

18. Васильев, К. К. Методы фильтрации многомерных случайных полей / К. К. Васильев, В. Р. Крашенинников. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990.- 128 с.

19. Васильев, К. К. Сравнительный анализ алгоритмов интерполяции случайных полей : тез. докл. 8-й Междунар. науч-техн. конф. «Цифровая обработка сигналов и её применение» / К. К. Васильев, М. Н. Служивый // Труды

20. РНТОРЭС им. А.С.Попова. М., 2006. - С. 412—413. - (Серия «Цифровая обработка сигналов и её применение» ; вып. VIII-2)

21. Винклер, Г. Анализ изображений, случайные поля и динамические методы Монте-Карло. Математические основы / Г. Винклер. Новосибирск : Изд-во СО РАН, Фил. «Гео», 2002. - 343 с.

22. Виттих, В. А. Обработка изображений в автоматизированных системах научных исследований / В. А. Виттих, В. В. Сергеев, В. А. Сойфер. М.: Наука, 1982.-312 с.

23. Волков, Л. Н. Системы цифровой радиосвязи: базовые методы и характеристики / JI. Н. Волков, М. С. Немировский, Ю. С. Шинаков. М.: Эко-Трендз, 2005. - 392 с.

24. Годунов, С. К. Разностные схемы / С.К.Годунов, В. С. Рябенький. М.: Наука, 1977.-440 с.

25. Голяницкий, И. А. Математические модели и методы в радиосвязи / И. А. Голяницкий; под ред. Ю. А. Громакова. М.: Эко-Трендз, 2005. -440 с.

26. Гонсалес, Р. Цифровая обработка изображений / Р. Гонсалес, Р. Вудс; пер. с англ. М.: Техносфера, 2004. - 912 с.

27. Гренандер, У. Краткий курс вычислительной вероятности и статистики / У. Гренандер, В. Фрайбергер; пер. с англ., под ред. С. М. Ермакова. М.: Наука, 1978.- 192 с.

28. Даджион, Д. Цифровая обработка многомерных сигналов / Д. Даджион, Р. Мерсеро; пер. с англ. В. А. Григорьева, К. Г. Финогенова, под ред. Л. П. Ярославского. М.: Мир, 1988. - 488 с.

29. Денисенко, А. Н. Применение различных методов восстановления непрерывных сигналов по их дискретным значениям / А. Н. Денисенко, В. Н. Исаков // Радиотехника. 2001. -№ 10. - С. 16-20.

30. Дерин, X. Случайные процессы марковского типа с дискретными аргументами / X. Дерин, П. Келли // ТИИЭР. 1989. - Т. 77, № 10. - С. 4271.

31. Джайн, А. К. Успехи в области математических моделей для обработки изображений / А. К. Джайн // ТИИЭР. 1981. - Т. 69, № 5. - С. 9-39.

32. Дьяконов, В.П. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник / В. П. Дьяконов. СПб.: Питер, 2002. - 608 с.

33. Ершов, JI. А. Марковская модель декаметрового канала связи / JI. А. Ершов,

34. A. В. Коренной, А. В. Шелковников//Радиотехника. 1998. -№ 3. - С. 7-14.

35. Жуков, А. И. Метод Фурье в вычислительной математике / А. И. Жуков. -М.: Наука, 1992.-176 с.34.3яблов, В. В. Высокоскоростная передача сообщений в реальных каналах /

36. B. В. Зяблов, Д. JI. Коробков, С. J1. Портной. М.: Радио и связь, 1991. -288 с.

37. Игнатов, М. И. Натуральные сплайны многих переменных / М. И. Игнатов,

38. A. Б. Певный. J1.: Наука, Ленинградское отделение, 1991. - 125 с.

39. Казаков, В. А. Восстановление реализаций нестационарных случайных процессов по совокупности дискретных отсчетов / В. А. Казаков, М. А. Беляев // Известия вузов. Радиоэлектроника. 1997. - №9. - С. 43-49.

40. Кашьяп, Р. Л. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным / Р. Л. Кашьяп, А. Р. Рао; пер. с англ., под ред.

41. B.С.Пугачёва. М.: Наука, 1983. - 384 с.

42. Кемени, Дж. Введение в конечную математику / Дж. Кемени, Дж. Снелл, Дж. Томпсон. М.: Мир, 1965. - 486 с.

43. Коршунов, 10. М. Математические основы кибернетики / Ю. М. Коршунов. М.: Энергоатомиздат, 1987. - 494 с.

44. Красильников, Н. Н. Цифровая обработка изображений / Н. Н. Красильников. М.: Вузовская книга, 2001. - 320 с.

45. Крашенинников, В. Р. Волновые модели многомерных случайных полей / В. Р. Крашенинников // Методы обработки сигналов и полей : сб. науч. тр. / Ульян, политехи, ин-т. Ульяновск, 1987. - С. 5-13.

46. Крейнделин, В. Б. Итерационный алгоритм фазовой синхронизации в системе OFDM, использующей рассеянные пилот-сигналы /

47. В. Б. Крейнделин, А. В. Колесников // Радиотехника. 2005. - № 10. - С. 3740.

48. Кучеренко, К. И. Двумерные медианные фильтры для обработки изображений / К. И. Кучеренко, Е. Ф. Очин // Зарубежная радиоэлектроника. 1986. - № 6. - С. 50-61.

49. Лебедев, А. Н. Вероятностные методы в инженерных задачах: Справочник / А. Н. Лебедев, М. С. Куприянов, Д. Д. Недосекин, Е. А. Чернявский. СПб.: Энергоатомиздат, Санкт-Петербургское отделение, 2000. - 333 с.

50. Левин, Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники / Б. Р. Левин. М.: Радио и связь, 1989. - 656 с.

51. Леоненко, Н. Н. Статистический анализ случайных полей / Н. Н. Леоненко, А. В. Иванов. Киев : Вища школа, 1986.-216 с.

52. Липцер, Р. Ш. Статистика случайных процессов / Р. Ш. Липцер,

53. A. Н. Ширяев. М.: Наука, 1974. - 696 с.

54. Литтл, Р. Дж. А. Статистический анализ данных с пропусками / Р. Дж. А. Литтл, Д. Б. Рубин; пер. с англ. А. М. Никифорова. М.: Финансы и статистика, 1991. - 336 с. - (Серия «Математико-статистические методы за рубежом»)

55. Малла, С. Вэйвлеты в обработке сигналов / С. Малла; пер. с англ. Я. М. Жилейкина. М. : Мир, 2005. - 671 с.

56. Малышев, В. А. Гиббсовские случайные поля. Кластерные разложения /

57. B. А. Малышев, Р. А. Минлос. М.: Наука, 1985. - 288 с.

58. Маркюс, Ж. Дискретизация и квантование / Ж. Маркюс; пер. с франц. 3. Л. Персица, под ред. А. В. Шилейко. М.: Энергия, 1969. - 144 с.

59. Методы компьютерной обработки изображений: учебное пособие / под ред. В. А. Сойфера. 2-е изд. - М.: Физматгиз, 2004. - 317 с.

60. Методы компьютерной обработки изображений / под ред. В. А. Сойфера. -М.: Физматлит, 2001. 784 с.

61. Мирабель, А. П. Об одном алгоритме в задаче интерполяции многомерных временных рядов / А. П. Мирабель, JL И. Питербарг // Проблемы передачи информации, 1982. -№3.- С. 53-61.

62. Новиков, А. А. Оптимальная интерполяция частично наблюдаемых двумерных случайных полей / А. А. Новиков // Probability Theory Banach Center Publications, PWN Polish Scientific Publishers. - Warsaw, 1979. -Vol. 5.-P. 211-220.

63. Попело, В. Д. Оценивание случайных полей при обработке изображений в условиях наличия локально пораженных участков и неоднородностей / В. Д. Попело, А. А. Сирота, М. Н. Лантюхов // Радиотехника. 2001. -№ 10.-С. 91-95.

64. Пригарин, С. М. Методы численного моделирования случайных процессов и полей / С. М. Пригарин. Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2005.-259 с.

65. Прикладная теория случайных процессов и полей / Васильев К. К., Драган Я. П., Казаков В. А. и др.; под ред. Васильева К. К. и Омельченко В. А. Ульяновск : УлГТУ, 1995. - 256 с.

66. Прэтт, У. Цифровая обработка изображений / У. Прэтт; пер. с англ., под ред. Д. С. Лебедева. М.: Мир, 1982. - 790 с.

67. Пугачев, В. С. Стохастические дифференциальные системы: анализ и фильтрация / В. С. Пугачев, И. Н. Синицын. М.: Наука, 1990. - 630 с.

68. Рамм, А. Г. Теория оценивания случайных полей / А. Г. Рамм. М.: Мир, 1996.-352 с.

69. Растригин, Л. А. Статистические методы поиска / Л. А. Растригин. М.: Наука, 1968.-376 с.

70. Родимов, А. П. Проблемы построения процедур обработки двумерных случайных полей / А. П. Родимов, В. В. Поповский, В. И. Дмитриев, В. В. Никитченко // Зарубежная радиоэлектроника. 1981. - № 5. - С. 96105.

71. Романовский, И. В. Дискретный анализ / И. В. Романовский. 3-е изд. -СПб.: Нев. диалект, БХВ-Петербург, 2003. - 320 с.

72. Саати, Т. Целочисленные проблемы оптимизации и связанные с ними экстремальные проблемы / Т. Саати; пер. с англ. В. Н. Веселова, под ред. И. А. Ушакова. М.: Мир, 1973. - 302 с.

73. Самарский, А. А. Теория разностных схем: учебное пособие / А. А. Самарский. М.: Наука, 1989. - 614 с.

74. Самарский, А. А. Численные методы: учебное пособие / А. А. Самарский, А. В. Гулин. М.: Наука, 1989. - 429 с.

75. Связь с подвижными объектами в диапазоне СВЧ / под ред. У. К. Джейкса; пер. с англ., под ред. М. С. Ярлыкова и М. В. Чернякова. М.: Связь, 1979. -520 с.

76. Сейдж, Э. П. Теория оценивания и её применение в связи и управлении / Э. П. Сейдж, Дж. J1. Меле; пер. с англ., под ред. Б. Р. Левина. М.: Связь, 1976.-495 с.

77. Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов: учебное пособие для вузов / А. Б. Сергиенко. СПб.: Питер, 2002. - 608 с.

78. Сизиков, В. С. Устойчивые методы обработки результатов измерений: учебное пособие / В. С. Сизиков. СПб.: СпецЛит, 1999. - 240 с.

79. Служивый, М. Н. Исследование алгоритмов расстановки пилот-сигналов в многочастотных системах связи / М. Н. Служивый, С. М. Наместников // Вестник УлГТУ. 2004. - №2. - С. 51-54.

80. Служивый, М. Н. Анализ погрешностей интерполяции случайных полей по дискретным отсчетам / М. Н. Служивый // Вестник УлГТУ. 2005. - №3. -С. 64-67.

81. Сотсков, Б. М. Теория и техника калмановской фильтрации при наличии мешающих параметров / Б. М. Сотсков, В. Ю. Щербаков // Зарубежная радиоэлектроника. 1985. - № 2. - С. 3-30.

82. Спектор, А. А. Многомерные дискретные марковские поля и их фильтрация при наличии некоррелированного шума / А. А. Спектор // Радиотехника и электроника. 1985. - Т. 30, № 5. - С. 965-972.

83. Спектор, А. А. Двухэтапная фильтрация изображений при действии коррелированной помехи / А. А. Спектор // Радиотехника. 1985. - № 9. -С. 21-23.

84. Спектор, А. А. Исследование точности рекуррентной фильтрации изображения / А. А. Спектор, Ю. Э. Малов // Методы обработки сигналов и полей : сб. науч. тр. / Ульян, политехи, ин-т. Ульяновск, 1987. - С. 38-44.

85. Спектор, А. А. Рекуррентная фильтрация гауссовских дискретных полей, наблюдаемых в гауссовских шумах / А. А. Спектор // Радиотехника и4 электроника. 1994.-Т. 39, №7.-С. 1132-1140.

86. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. / сост. В. С. Королюк, Н. И. Портенко, А. В. Скороход, А. Ф. Турбин; под ред. В. С. Королюка. Киев : Наукова думка, 1985. - 583 с.

87. Стечкин, С. Б. Сплайны в вычислительной математике / С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин. М.: Наука, 1976. - 248 с.

88. Тихонов, В. И. Статистический синтез и анализ радиотехнических систем и устройств / В. И. Тихонов, В. Н. Харисов. М.: Радио и связь, 1991. - 608 с.

89. Тихонов, В. И. Марковские процессы / В. И. Тихонов, М. А. Миронов. М.: Советское радио, 1977. - 488 с.

90. Устинов, Н. Д. Цифровые методы восстановления и фильтрации изображений / Н. Д. Устинов, В. Н. Ломакин, Ю. К. Клоков,

91. В. Н. Сидельников, Р. Р. Хамитов // Зарубежная радиоэлектроника. 1978. -№ 10.-С. 3-18.

92. Фомин, В. Н. Операторные методы теории линейной фильтрации случайных процессов / В. Н. Фомин. М.: Наука, 1996. - 308 с.

93. Хабиби, А. Двумерная байесовская оценка изображений / А. Хабиби // ТИИЭР. 1972. - Т. 60, № 7. - С. 153-159.

94. Хемминг, Р. В. Численные методы для научных сотрудников и инженеров / Р. В. Хемминг; пер. с англ., под ред. Р. Г. Гутера. М.: Наука, 1972. - 400 с.

95. Цифровая обработка изображений в информационных системах: учебное пособие / сост. И. С. Грузман, В. С. Киричук, В. П. Косых, В. Н. Перетягин, А. А. Спектор. Новосибирск : НГТУ, 2002. - 352 с.

96. Шафер, Р. Методы цифровой обработки сигналов в задачах интерполяции / Р. Шафер, Л. Рабинер // ТИИЭР. 1973. - Т. 61, № 6. - С. 5-18.

97. Шлома, А. М. Адаптивная интерполяция нестационарных марковских последовательностей / А. М. Шлома // Известия вузов. Радиоэлектроника. -1991.-№ З.-С. 52-56.

98. Шмелев, А. Б. Основы марковской теории нелинейной обработки случайных полей / А. Б. Шмелев. М. : МФТИ, 1998. - 208 с.

99. Яглом, А. М. Экстраполирование, интерполирование и фильтрация стационарных процессов с рациональной спектральной плотностью / А. М. Яглом // Тр. Моск. мат. об-ва. 1955. - Т. 4. - С. 333-374.

100. Adireddy, S. Optimal placement of training for frequency selective block-fading channels / S. Adireddy, L. Tong, H. Viswanathan // IEEE Transactions on Information Theory. 2002. - Vol. 48, No. 8. - P. 2338-2353.

101. Aidarous, S. E. Optimal sensors' allocation strategies for a class of stochastic distributed systems / S. E. Aidarous, M. R. Gevers, M. I. Installe // Intern. J. Contr. 1975. - Vol. 21. - P. 197-213.

102. Cai, X. Error probability minimizing pilots for OFDM with M-PSK modulation over Rayleigh fading channels / X. Cai, G. B. Giannakis // IEEE Transactions on Vehicular Technology.-2004.-Vol. 53, No.l.-P. 146-155.

103. Caselles, V. An Axiomatic Approach to Image Interpolation / V. Caselles, J.-M. Morel, C. Sbert // IEEE Transactions on Image Processing. 1998. - Vol. 7, No. 3.-P. 376-390.

104. Cavers, J. K. An Analysis of Pilot Symbol Assisted Modulation for Rayleigh Fading Channels / J. K. Cavers // IEEE Transactions on Vehicular Technology. -1991. Vol. 40, No. 4. - P. 686-693.

105. Chang, R. W. Synthesis of band-limited orthogonal signals for multichannel data transmission / R. W. Chang // Bell System Tech. J. 1966. - Vol. 45, No. 12. -P. 1775-1796.

106. Chen, W. H. Optimal location of process measurements / W.H.Chen, J. H. Seinfeld // Intern. J. Contr. 1975. Vol. 21. - P. 1003-1014.

107. Cheng, Zh. Time versus Frequency Domain Channel Tracking Using Kalman

108. Filters for OFDM Systems with Antenna Arrays. ICSP'02, Aug.26-30, 2003 /th

109. Zh. Cheng, D. Dahlhaus // Proc. of the 6 Intern. Conf. on Signal Processing. -2003.-Vol. 2.-P. 1340-1343.

110. Ciesielski, Z. Probabilistic and Analytic Formulas for the Periodic Splines Interpolating with Multiple Nodes / Z. Ciesielski // Probability Theory Banach Center Publications, PWN Polish Scientific Publishers. - Warsaw. - 1979. -t Vol. 5.-P. 35-45.

111. Cimini, L. J. Analysis and simulation of digital mobile channel using orthogonal frequency division multiplexing / L. J. Cimini // IEEE Transactions on Communications. 1985. - Vol. 33, No. 7. - P. 665-675.

112. Coleri, S. Channel estimation techniques based on pilot arrangement in OFDM systems / S. Coleri, M. Ergen, A. Puri, A. Bahai // IEEE Transactions on Broadcasting. 2002. - Vol. 48, No. 9. - P. 223-229.

113. Curtain, R. F. Optimal location of sensors for filtering for distributed systems / R. F. Curtain, A. Ichikawa // Lect. Notes Contr. Inform. Sci. 1978. - Vol. 1. -P. 236-255.

114. Dikshit, S. S. A Recursive Kalman Window Approach to Image Restoration / S. Dikshit // IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. -1982.-Vol. 30, No. 4.-P. 125-140.

115. Dong, M. Optimal Design and Placement of Pilot Symbols for Channel Estimation / M. Dong, L. Tong // IEEE Transactions on Signal Processing. -2002. Vol. 50, No. 12. - P. 3055-3069.

116. Edfors, O. OFDM channel estimation by singular value decomposition / O. Edfors, M. Sandell, J.-J. van de Beek, S. K. Wilson, P. O. Borjesson // IEEE Transactions on Communications. 1998. - Vol. 46, No. 7. - P. 931-939.

117. Ekstrom, M. P. Realizable Wiener filtering in two dimensions / M. P. Ekstrom // IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. 1982. -Vol. 30, No. 1.-P. 31-40.

118. Glumov, N. Proceedings of 15th International Conference on Pattern Recognition ICPR-2000, Barcelona, Spain / N. Glumov, M. Gashnikov, V. Sergeyev. - 2000. - Vol. 3. - P. 232.

119. Hoeher, P. TCM on frequency-selective land mobile fading channels / P. Hoeher // Proceedings of the 5th Tirrenia International Workshop on Digital Communications. Sept. 1991. Tirrenia, Italy. 1991. - P. 317-328.

120. Hoeher, P. Pilot-symbol-aided channel estimation in time and frequency / P. Hoeher, S. Kaiser, P. Robertson // Proc. 6 Commun. Theory Mini-Conf. in conjunction with IEEE GLOBECOM'97. November, 1997. Phoenix, Arizona. -1997.-P. 90-96.

121. Jain, A. K. Partial differential equations and finite difference method in image processing. Pt I. Image representation / A. K. Jain // J. Optimiz. Theory and Appl. 1977.-Vol. 23.-P. 65-91.

122. Jain, A. K. Partial differential equations and finite difference method in image processing. Pt II. Image restoration / A. K. Jain, J. R. Jain // IEEE Trans. Automat. Contr. 1978. - Vol. 23, No. 5. - P. 817-834.

123. Lancaster, D. Using Cubic Spline Basis Functions for Image Pixel Interpolation.-2003. http://www.tinaja.com

124. Malandrakis, С. Optimal location of sensors for linear stochastic distributed parameters / C. Malandrakis // Lect. Notes Contr. Inform. Sci. 1978. - Vol. 1. -P. 92-113.

125. Meijering, E. Piecewise Polynomial Kernels for Image Interpolation: A Generalization of Cubic Convolution / E. Meijering, W. J. Niessen, M. A. Viergever // Proc. of International Conference on Image Processing -ICIP'99. 1999. - Vol. 3. - P. 647-651.

126. Meijering, E. A Chronology of Interpolation: From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing / E. Meijering // Proceedings of the IEEE. -2002. Vol. 90, No. 3. - P. 319-342.

127. Morelli, M. A Comparison of Pilot-aided Channel Estimation Methods for OFDM Systems / M. Morelli, U. Mengali // 1ЕЕД Transactions on Signal Processing. 2001. - Vol. 49, No. 12. - P. 3065-3073.

128. Muresan, D. D. Adaptively Quadratic (AQua) Image Interpolation / D. D. Muresan, T. W. Parks // IEEE Transactions on Image Processing. 2003. -Vol. 12, No. 12.-P. 1720-1744.

129. Necker, M. An Adaptive Wiener-Filter for Improved Channel Estimation in Mobile OFDM-Systems / M. Necker, F. Sanzi, J. Speidel // Proc. of Internat. Symp. on Signal Proc. and Inform. Technol., IEEE 28-30 Dec. 2001. P. 213216.

130. Nee, R. van OFDM for wireless multimedia communications / R. van Nee, R. Prasad. -N.-Y.: Artech House, 2000.

131. Ogorodnikov, V. A. On stochastic interpolation of discrete random processes and fields / V. A. Ogorodnikov, S. M. Prigarin // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1996. - Vol. 11, No. 1. - P. 49-69.

132. Omatu, S. Optimal sensor location problem for a linear distributed parameter system / S. Omatu, S. Koide, T. Soeda // IEEE Trans. Automat. Contr. 1978. -Vol. 23, No. 4.-P. 665-673.

133. Perko, R. Efficient Implementation of Higher Order Image Interpolation / R. Perko, H. Bischof // WSCG Short Communication papers proceedings. Plzen, Czech Republic. February 2-6, 2004. P. 213-226.

134. Prigarin, S. M. On the interpolation of positive definite functions and stationary random sequences / S. M. Prigarin // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1998. - Vol. 13, No. 3. - P. 235-243.

135. Schafhuber, D. Kalman Tracking of Time-Varying Channels in Wireless MIMO-OFDM Systems / D. Schafhuber, G. Matz, F. Hlawatsch // Proc. 37th Asilomar Conf. Signals, Systems, Computers, Pacific Grove (CA). Nov. 2003. -P. 1261-1265.

136. Simeone, O. Adaptive Pilot Pattern for OFDM Systems / 0. Simeone, U. Spagnolini // IEEE International Conference on Communications, Paris, June 20-24, 2004.

137. Vasiliev, K. Recurrent Adaptive Algorithms for Image Restoration / K. Vasiliev, M. Sluzhivyi // The Proceedings of the 6-th German-Russian Workshop "Pattern Recognition and Image Understanding". Novosibirsk, 24-30 August 2003.-P. 128-131.

138. Vasil'ev, K. The Errors of Random Field Restoration on the Basis of Discrete Samples / K. Vasil'ev, M. Sluzhivyi // Pattern Recognition and Image Analysis. -2005. Vol. 15, No. l.-P. 101-103.

139. Weinstein, S. B. Data Transmission by Frequency Division Multiplexing using the Discrete Fourier Transform / S. B. Weinstein, P. M. Ebert // IEEE Transactions on Communications. 1971. - Vol. 19, No. 10. - P. 628-634.

140. Wilson, S. K. 16-QAM Modulation with Orthogonal Frequency Division Multiplexing in a Rayleigh-fading Environment / S. K. Wilson, R. E. Khayata,

141. J. M. Cioffi //Proc. IEEE Vehic. Technol. Conf. June, 1994. Stockholm, Sweden. 1994.-P. 1660-1664.

142. Woods, J. W. Two-Dimensional Discrete Markovian Fields / J. W. Woods // IEEE Transactions on Information Theory. 1972. - Vol. 18, No. 3. - P. 232240.

143. Woods, J. W. Two-dimensional Kalman filtering / J.W.Woods //Topics in Applied Physics. Berlin, 1981. - Vol. 42. - P. 155-208.