автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.02, диссертация на тему:Компьютерный анализ сигналов во время - частотной области на основе сплайн интерполяции

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭНЕРГЕТИКЕ .

РГ6 од

О с и.,-,- >->■"■■' На 'Травах рукописи

о нл/г! Ьь'п

АПС8ЯН ТИГРАН ФЁРДИНАНДОВИЧ

КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ ВО ВРЕМЯ - ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ НА ОСНОВЕ СПЛАЙН ИНТЕРПОЖЩ

/5. /ё

Специальность >06."математическое моделирование

-в научных исследованиях "

Автореферат . диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Киев - 1995

Диссертацией является рукопись ■

Работа выполнена в' Институте проблем моделирования в энергетике Национальной Академии Наук

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор Береговенко Г.Я.

N

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор Хорошко В.А. кандидат технических наук Семагина Э.П.

Ведущая организация: Институт кибернетики НАН Украины

Защита состоится »и сю(лР 1995 г. в _ час. на

заседании специализированного совета -Д 01.91.01 в Институте проблем моделирования в энергетике НАН Украины ( £52680, ?иев -164, ул. Генерала Наумова , 16)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем моделирования, в энергетике НАН Украины

Автореферат разослан 1995 г.

Ученый секретарь : Специализированного совета, кандидат технических наук :

Семагина Э.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

Актуальность темы . С развитием вычислительной техники , всё более серьёзные требования предъявляются к методам цифровой обработки сигналов (ЦОС), которые являются мощным инструментом компьютерного анализа сигналов и динамических систем .

Однако традиционные методы ЦОС имеют ряд недостатков , обусловленных следующими причинами :

- отсутствуют соотношения , позволяющие с общих позиций описывать непрерывные и дискретные сигналы ;

- для ■ анализа периодических и непериодических сигналов используются две не связанные формы , основанные на ряде или интеграле Фурье .

При этом несмотря на теоретические разрайотки по решэ-нию-отдельных задач в области время - частотного анализа' , до настоящего времени -отсутствуют универсальные прикладные пакеты программ, позволяюшцие с единых время - частотных позиций анализировать различные по своему характеру сигналы : дискретные , непрерывные , периодические и непериоди"еские .

Кроме,того , вычисление локальных интегралов требует специальных методов, позволяющих учитывать свойства реальных сигналов . Особенности этих методов обуславливаются видом принятой аппроксимации "подинтегральных функций .

.Таким образом, актуальной является следующая постановка задачи .

Цель работы : На основе единого время - частотного подхода разработать математическое описание сигналов, моделирующих процессы в системах различной физической природы . Задачи иссгэдования :

- разработать математические модели сигналов для время -частотного анализа, позволяющие исследовать непрерывные , дискретные , периодические и непериодические процессы .

- разработать методику эффективного определения .спектральной характеристики объектов различной физической природы, учитывающую особенность моделей для время - частотного анализа .

-■построить алгоритмы вычислительных процедур моделирования

- г -

■ сигналов во время - частотной, области и исследовать изс характеристики сходимости и точности .

^- реализовать предложенные ' алгоритмы' в пакете прикладных - программ, обеспечивающем широкие возможности компьютерного моделирования эадач время. - частотного анализа .

Методы исследования . Решение поставленных в работе за-,, ..дач основано на методах, спектрального анализа,' теории систем и сигналов, теории аппроксимации, а также методах приближён- , його вычисления.интеграла Фурье

Научная новизна работы : . Предложен метод' локальной сплайн - интерполяции,учитывающий. особенности функций, характеризующих дискретные' и

• непрерывные сигналы при' время - частотном анализе .

Разработаны'алгоритмы вычисления интеграла Фурье с использованием локальной сплайн - интерполяции-при определении мгновенных , текущих и установившихся спектров .

Указанные алгоритмы.позволяют осуществлять прямое и .обратное пре'образование, а также вычислять коэффициенты ряда Фурье в случае периодических функций

Предложен . способ синтеза цифровых фильтров,позволяющих обеспечить заданные .характеристики во время - частотной' .области . ' ' , ■ -

Апробация работы . ' Основные результаты выполненных в ■ . диссертационной работе исследований, получили положительную оценку на " Конференции молодых учёных " -(Киев ИнКиб. 1988), на восьмой республиканской научно - технической конференции .' " Бионика" (Кременчуг 1989) ,. на научно - технической конференции в ИПМЭ HAH Украины (Киев 1995).

■ Публикации . По основным результатам выполненных исследований опубликовано-6 научных работ . •

Практическая ценность работы: Разработанные алгоритмы '. предназначены для время - частотного анализа при цифровой обработке сигналов.. Эти алгоритмы реализованы в пакете .прикладных программ., который использован при математическом моделировании динамических систем решении ряда задач элек- ■

■ тро- , и радиотехники , биологии , а также для фильтрации '

• данных о вертикальной перегрузке при ■ посадке самолёта ТУ - 154 . . г *

., . Результаты диссертации внедрены в учебный процесс / КМУГА а также использовались при обработке данных-медико-биологических исследований в- ИК HAH Украины

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава работы посвещенва вопросам спектрального анализа и методам цифровой обработки сигналов .

Рассмотрены различные математические модели сигналов, воздействующих на аналоговые, цифровые и дискретные системы.

Сделан обаор. основных методов и соотношений, предназначенных для цифровой обработки дискретных и непрерывных сигналов.

■• Обсуждаются - различные подходы к реализации время -частотного анализа , взаимосвязь■между временным и частотным описанием сигналов и предельные переходы от время - частотного описания . к • временному и частотному .

Показано, что допущения которые применяются при ,;спользовании дискретного преобразования Фурье (ДПФ) не всегда достаточно обоснованы'и в этом случае ДПФ представляет собой приближённый : метод вычисления коэффициентов ряда-Фурье при. аппроксимации подинтегральной функции полиномом нулевого порядка: . Это порождает'низкую точность вычислений , связаную с необходимостью учитывать ■ достаточное число, равноотстоящих отсчетов и приводит к большим 'затратам машинного времени. . Обсуждаются основные методы приближённого вычисления интеграла Фурье. Приведены некоторые оптимальные по. точности алгоритмы вычисления интеграла Фурье .

Показано , что из-за отсутствия единого время - частотного подхода к описанию систем и сигналов многие методы, ■ применяемые в цифровой обработке являются чисто формальны-; ми. '. ....

Ставится задача разработки методов анализа сигналов во время - частотной области и реализации их в виде прикладного пакета программ . '

■ Во второй главе рассматривается взаимосвязь различных критериев приближения функции во временной области в связи с точностью вычисления её интеграла Фурье .

infw sup

f е м 1 f e м

Inf№ ■._sup f e m rç.M

ûf-e

-3wt

dt

J 1 ' Af j dt a

(1)

(2)

inf „6 sup 11ДГЦ f e m f e m . x e ta, ьз

(3)

Обоснована необходимость практического сравнения результатов вычисления интеграла Фурье различными методами , и осущесвлён выбор .тестирующих функций вида :

fl(t) - Ai-exp(- otit) ,

f2(t) - ■ Во + Bi-exp(~ ait) + Вг-ехр(- 0¿t) , (4) f3(t) - (Bo-sin(-ctot) - Bi-exp(- ait))-sin(wt) .

Приведены сравнительные,результаты вычисления интеграла Фурье от тестирующих функций при различных способах аппроксимации подинтегрального выражения . Так для ДПФ имеет место выражение

Ск - 1 Г f(t)

Т о

N-1 Тп+1

•e_Jwtdt * 1 Г т /_

п-0 1п

J f(tn)-

-jWoTn

.N-1

1 у- f(tn)-e

' n=0

-ja^kn/N

Ck - В - J-A

... .В предположении постоянства функции на локальных инте. рвадах интегрирования получено выражение

N-i хт N-I xm

I(W) - у J f(x)-e_;lwxdx * у *f(Xi) J e"Jwxdx . 7=0 Xi ; 7^0 xi

-jwix _ -jWl

1-е Г f(xj) • e

. 1-0

При- вамене функции её средним значением на каждом иэ этих интервалов приближённое выражение интеграла Фурье имеет вид

-JwAx Л.1 -3ut

I(w) - 1 - а V f0p • е ,

jw /_

■j-о

fop - f(xt) + f(xi-n) .

с

Кусочно-линейная интерполяция приводит к выражению 2*

Ап - Г f(x)-sin(nx)dx - 140) - f(gff) • i 1 - зШ(пДх) ) + £ n v тШ '

n-l

+ 2 ; 1 - соз(пДх) V fK*sln(nkAx)

n2 • Дх

/_ k-l

2ЯГ '

Bn - J f(x)-oos(nx)dx;- (f(0) - f(2rt)) • 1 - oos(nAx) + 0 п2-Дх< n-l

+ 2 • 1 - cos(nAx) у fk-cos(nkto) . Дх - /\t-w- 2JT/N.

п2>йх

k-l

.Методы, используемые в'цифровой' обработке сигналов , не ' ■учитывают особенности анализируемых функций . В частности, 'не определяются, участки, на которых функция имеет.экстремумы и точки ' перегиба . . .

. Цредложен метод аппроксимации функций для время - частотного анализа'..сигналов с сохранением их экстремумов, и то- ' чек перегиба , С : этой целью ,• возможные комбинации /четырёх'' последовательных - знамений функции разбиваются на пять' случаев ;. Функция, проходящая через.точки, 'являющиеся границами:^ среднего.интервала, и удовлетворяющая определённым требова- t ниям , принадлежит соответственно одному из классов. ..Fi*, F2*. Fa*. F*4. ,' F5*. "функция, .соответствующая заданной дискретной последовательности, принадлежит классу Fe* , если... на каждом локальном отрезке , она входит в один из пяти рассмотренных классов Ft*. F2", F3*, F*4 , F5* .

■ Получены, оценки- погрешности ■ вычисления интеграла'' Фурье'от функций принадлежащих .классам Fi* - Fe* ■

.На локальном участке интегрирования получено выражение следующая оценка погрешности ...

„ , 2&Fni Ш AQoi№I2-- AFmfiX

е(йFn,w) < mln { -г- - ■-:- , - -

... ^ .и uAGqz 2'

ДХгДб12ДВ01 л AFm - "'ma* ( sup (f) - inf (f) ) " "11 --:— } . Ш-1.Х1Г txj-l.xi']

Ошибка интегрирования функции, принадлежащей классу Ре* вычисляется суммированием ошибок .на локальных отрезках .

n

е(ш) <. у

Их значения определяются из приведенного выше выражения

каждом локальном" участке интегрирования строится сплайн , ~принадлежащий - классу Ре* и входящий в классы Рхн - Р5* .

Доказывается , что (х) удовлетворяет условиям налагаемым на функции из классов Га", Кг", Рз* ,

41(х) - А-ехр(сх-(х-1)) + В-х '+ С .

(Б)

-Условиям . налагаемым на .функции классов ' , Рб* 'удовлетворяет многочлен

Н(х) - азх3 + агх2 + в1Х + ао

. (6)

Разработанны итерационные алгоритмы вычисления параметров функции 4>1(х) и решения уравнения , содержащего неив-веси!е коэффициенты локальных сплайнов,<|>4<х).

Получены формулы для вычисления интеграла Фурье от неравномерных данных , а также для вычисления текущих и мгновенных спектров '. При этом . используется локальная сплайн - интерполяция выражениями (5) и (6) .

Если интерполяция • осуществляется выражением ' (3) , то текущее преобразование Фурье определяется выражением

Р -ос^

цш) г..'}6 +

9 ¿Ь

( А^-е . Вн^ё

- -:-- 4

^ -(«.1 +

-(аз + ,»

-Л»

В1 -е

-и

X

С^-е

-3«

вид

Для-синусно.! и косинусной составляющих оно принимает

, » • , > и г Из «ГАз-е- 1

А/ - 31п(«А) ■ —О - -О-5—

иг сен"4 + ьг >

t

- соэ

( и-Аа'в. В3Ь+С Ч

(«Л) • —5-2~ + --

+ от « '

X'

ъ-1

-и-Р

В/ - 31П(«1) • -^-г + -Г—

. ■;■:

• ( . «гаге л

+ роз(иг) • [—5 - - . 2. 1 о

'. ' «г - ; ад^ + ьг '

Этим выражениям придаётся следующая форма Аз* - • - • +

+ • ООЗ(и^) - 005(М-^-1) •,

в/ - з1п(м-^> • Рз(гз) - • +

..где ) -

РП^) -В этом случае ' ь

В)

(О2-

Ы'Аз-е

«гАз-е . о^2 + «е

Вд--С^ + с

с^2 + и2

А! - | Г(Ь) • ЭШЫ) <1г Т | (Аг В^ + С^

3-1 *1-1

•з1п(<<Л)-<Л. - у (з1п(их'з) • СЬ(^) - з1п(и^-1) • .7^1

\-+ у (ооз(о)Тз) • Рз(^) - С03(«Т1-1) • РИ*!-!))

1-1

N

Ь N

;; Bj - Г f(t)-oos(ut) dt * V ... j t_ " a j-l

H ''

•cos(wt)-dt - y CsinCwXj) -PjCtj) - slniutj-iJ -PjCtj-i)) • ¡Ti

' . M

+ У (oos(wTj) • Qj(tj) - oosCdrtj-i) • Qj(td-l))

•.'' i-1

При интерполяции дискретной последовательности .выражением (4) текущее преобразование записывается, в виде

t

Г о о "J«t

Ко») - I (азх° + агх + aix + ad ) • е dt - .

г (( 3t2 0 \ 2taz ai \

■ H«t> • (( - ) • аз + -JJ- ? ) . + .ln(«t) .

(( 6t ^ ( tZ о, 3 tai . ao\i г • ---з ) ' ®з 4 а2'--2/«э + — + —

г у/ 3t2 6 \ 2ta2 ai N

• - 3; [ Sin.(«t) ((_._). as.4 _ + - ). - ooect). •

■ X

(t t3 6t -i / t2 2 • tai + ao I

' 11---3 ' + 32 -----4

tj-1

. В третьей главе рассматриваются особенности и структура пакета программ по время - частотному анализу . Описываются основные подходы и алгоритмы используемые в пакете программ.

.ti

Р -djt

J , (Aj- 9 + Bjt + С,) •

+ з'

А ; \ /. \

|/ • А

и

1э-

\/

га

Рис. 1. Тестирующая функция 1 а 01. Рис. 4. Восстановление функции по 17

отсчете*; мгтадсм лскаякной спя айн - интерполяц ии .

Г 3

1

20

> 3

28

Рис. 2. Теоретическое значение мнимой Рис. 5. Мнмюя часть спектра полученная части спектральной тстюстм методом яокаяыюй спяайм • интерпопяци

♦ 21 ,

II

2В

20

Рис. 3. Теоретическое значение Рис. 6. Действительная часть спектр и. действительной части полученная методом локальн

спектральной плотности . сплайн - интерполяции .

- И -

+ 3

Рис. 7. Мнимая часть спектре

полученная методом ДПФ 120-точечной последовательности .

.111141

Рис.8. Мнимая часть.спектра получения методом ДПФ 100-точечной последова тельности.

v 2

Рис. 9. Действительная часть спектра полученная методом ДПФ 120-точечной последовательности .

¡Г"

31

Рис. 10. Действительная часть спектра полученная методом ДПФ 100-точечной последовательности .

г

IT

2»

Рис.11. Мнимая часть спектра полученная локальной сплайн-интерполяцией последовательности из семи точек.

ТППЩП,

20

Рис. 12. Действительная часть спектра полученяа локальной сплайн - интерполяцией последовательности из семи точек.

w

N

Рис. 13.-На рисунке представлены время - .частотные характеристики сигнала в виде отрегка синусойды, при различном шаге по оси частот А) 0.0525-У/о И В) 0.125-Мо .

р-

в)

Рис. 14. На рисунке представлены примеры расчёта время - частотных характеристик цифрового синусного'фильтра , при различном шаге по оси частот А) С.0625^0 и В) 0.125-Уо

■ Проведён сравнительный анализ точности вычисления ин- ' теграла Фурье методом локальной сплайн - интерполяции с дру- - -гими методами по тестирующим функциям (4) . '

. Результаты расчётов для функции Гз(Ь) .методом средних , ■ ДПФ , а также методом локальной - сплайн интерполяции представлены- на рис.2,3,6-12. На рисунках 1,4. показано воо- . становление функции по её'семнадцати ' отсчётам . На рис.13. ' приведены примеры расчёта время-частотных характеристик сиг- . нала в виде отрезка синусойды "...

х ■ ■ ■

^(и) - ] вШСЬг) - в сК. .

-. " XI-1

Время -частотные характеристики сигнала приведены при различном шаге по оси ;частот соответственно равном

0.0625.0 и: 0.125-Ио .

На рис.14, приведены примеры расчёта время,-, частотных . характеристик■синусного фильтра , также для двух различных . значений частоты ■ <

В работе синтезирован набор цифровых фильтров нижних о различной Крутизной амплитудно - частотной характеристики для фильтрации .данных о вертикальной-перегрузке-при посадке самолёта ТУ - 154 .

- ' ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. - - На основе анализа ¡различных способов аппроксимации осу- _ ществлён выбор экспоненциально - полиномиальной сплайн-"ин- -терполяции , хорошо [описывающей .реальные сигналы".

2. Предложены процедуры построения' локальной сплайн -интерполяции ., обеспечивающие допустимый"уровень искажений Аппроксимируемого сигнала . •

3. Разработаны итерационные алгоритмы определения парамет- . ров, сплайн, --интерполяции , доказана их сходимость и исследована эффективность на основе вычислительного экспери-. мента ,. получены оценки погрешности интерполяции .

4. " Построена методика'вычисления интеграла Фурье на основе экспоненциально - полиномиальной сплайн - интерполяции / по-вволяющая с высокой точностью вычислять мгновенные ,• текущие и установившиеся . спектры для различного рода сигналов и ха-'■ рактеристик. их реализаций ■. Получены зависимости 'для оценки

погрешности вычислений . -■б. Разработанные модели сигналов легли % основу пакета программ время - частотного анализа'сигналов и систем, моделирующих процессы в объектах различной физической природы":, радиотехнических , электрических биологических и т-.п. . -

Пакет программ включает следующие процедуры обработки сигналов : ■ ,

т процедуры интерполяции' стандартными' методами и методом . экспоненциально - полиномиальной сплайн - интерполяции -' - вычисления спектральных характеристик различными методами, включая метод,основанный на локальной т сплайн-интерполяции;

- разложения и суммирования ряда Фурье .-вычисления обратного преобразования Фурье ;

- процедуры построения цифровых и аналоговых фильтров и цифровой фильтрации ; '

- вычисления свёрток и интеграла Дюамеля ; . ' .

- осуществления преобразования Гильберта ;

- процедура решения нелинейных уравнений итерационными методами . .

Осуществлена возможность выбора произвольной последовательности и набора процедур при обработке сигналов .

6. Эффективность пакета программ подтверждена результатами сравнительного анализа с известными методами определения спектральных характеристик тестирующих сигналов .

7. Пакет программ использован для синтеза набора цифровых фильтров нижних частот с различной крутизной амплитудно -частотной характеристики при фильтрации данных о вертикальной перегрузке при посадке самолёта ТУ - 154 .'

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:' ■1. М.Ю.Антомонов, Л.Т.Русакова, В.О.Волощенко, Т.Ф.Апозян Автоматизированная система анализа данных биолого -гигиенических исследований У Системы авгоматизаций научных исследований : Межвуз.сб.науч.тр, - Днепропет- ■

' роВск,'ДГУ,1989, с'. 33-38.

2. Т.Ф.Апозян. Использование методов цифрового спектрального анализа при обработке медико - биологической информации в автоматизированном режиме / Бионика -;89 : Тез.докл.Y1II Респ.конф.- Кременчуг 1989, с.7.

3. Т.Ф.Апозян. ' Разработка метода определения структуры и' параметров математических моделей /Биомедицинская ки-

' бернетика : Сб.науч.тр./АН УССР.Ин.киб.- К.1989. с.49 -53.

4. Т.Ф.Апозян. Использование методов цифрового спектрального анализа при моделировании реакции биологических

. объектов на внешнее воздействие / Физиологическая и медицинская информатика : Сб.науч.тр./АН УССР.Ин.Киб. -К.1990. с.49-53.

5. Т.Ф.Апозян.. Применение экспоненциально - полиномижаль-ной интерполяции функции по её дискретным отсчётам в . средства^ РЭР../ Защита информации : Сб.науч.тр./КМУГА-

, К. 1995. с.68-70. .

6. Т.Ф.Апозян. Пакет программ время - частотного анализа; электрических цепей /Методы управления системами эффективного функционирования электрофицированных пилотируг емых навигационных комплексов / Авионика- 95 : Тр. III .Межд.конф./КМУГА - К.1995. с.38-39

В работе [1] автору принадлежат алгоритмы математического моделирования-и программное обеспечение . ■•

Апозян Т.Ф/ Розробка метод1в апроксиЫац11 функЩй для машинного анал1зу сигнал1в в часо-частотн1й обласИ. Дисертац1я на здобут-тя вченного ступени кандидата техн1чних наук за спец1альн1ств 05.13.02 - математичне моделювання в наукових досл1дженнях. 1нсгитут проблем моделювання в енергетиЩ HAH Укра1ни, Ки1в,. 1995.

Пропонуеться метод локально1 сплайн-1нтерполяц11 для анал1зу сигнал1в в часо-частотн1й област1. На його грунт1 ре-ал1зуЕться алгоритм обчислення миттевих , поточних та сталих спектр1в." Розроблен пакет програм часо-частотного анал1зу сиг-

нал1в та систем. Пакет програм дозволяе синтевувати цифров1 та аналогов! ф1льтри в часо-частотн1й област1.

Apozyan T.F. Development of function approximation methods fbr automatic analysis of signals in the time"- friquency band .

Theses -the candidate's degree of engineering speoilty 05.13.02 - mathematical simulation in scientific research. Institute of. simulation' problems in power engineering Ukrainian National Academy of Sciences , Kiev'1996 .

The. method of local spline - interpolation for, signal analysis in the time - friquency band suggested . Based on this method the algorythm for calculation of instantaneous , current and steady spectrums is implemented . The:softwear package for the time - friquency analysis of slgnaland systems developed . This softwear allows to design digital . filters In the time friquency band

Подписано к печати /5".о5". 1995'г. формат €0x84/16 Бумага офсетная Усл.-печ.лист, 1,0. Уч.-изд.лист 1,0, Тиражюо, Заказ¿38,

Полиграф." уч-к Института электродинамики Alt Украины, 253057, Кпев-57, проспеят Победы, 56.