автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вэйвлетные разложения пространств полиномиальных и тригонометрических сплайнов

¡111111111111111111111

004603732

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МОХАМЕД ВАЛИД САЛХ ОТМАН ГАБР

ВЭЙВЛЕТНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

СПЛАЙНОВ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1 о (1 ЮН 2010

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2010

Работа выполнена на кафедре параллельных алгоритмов математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Демьянович Юрий Казимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Малоземов Василий Николаевич (Санкт-Петербургский государственный университет)

доктор физико-математических наук, профессор Ходаковский Валентин Аветикович (Петербургский государственный университет путей сообщения)

Ведущая организация: Научно-исследовательский вычислительный центр

Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (НИВЦ МГУ)

Защита состоится "_______________2010 г. в____

часов па заседании совета Д 212.232.51 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " 11 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор

Даугавет И.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. К настоящему моменту вэйвлет-преобразования и вэйвлетный анализ используются во многих областях науки и техники для самых различных задач: для распознавания образов, для численного моделирования динамики сложных нелинейных процессов, для анализа аппаратной информации и изображений в медицине, космической технике, астрономии, геофизике, для эффективного сжатия сигналов и передачи информации по каналам с ограниченной пропускной способностью и т.п. Многие исследователи называют вэйвлет-анализ "математическим микроскопом" для точного изучения внутреннего состава и структур неоднородных сигналов и функций. Развитие теории осуществляли многие ученые: И. Мейер, С. Малла, И. Добеши, Г. Стр-энг, Ж. Ваттле, П. Ж. Лемарье, Ч. Чуй, А. Коэн, Р. Койфман, С. Б. Стечкин, В. А. Рвачев, И. Я. Новиков, М. А. Скопина, А. П. Петухов, В. Н. Малоземов, В. А. Желудев, В. Ю. Протасов и др.

Вэйвлеты широко применяются при решении задач вычислительной математики и цифровой обработки сигналов. Как правило, в подобных задачах требуется найти коэффициенты разложения функции по некоторому базису с целью извлечения информации о функции, для последующей обработки или анализа. В теории вэйвлетов изучаются различные базисы, последовательности базисов, последовательности вложенных пространств, а также алгоритмы преобразования коэффициентов разложений функций по этим базисам. Вложенность позволяет получить представление исходного пространства в виде прямой (а иногда и ортогональной) суммы его подпространств.

Многие типы известных вэйвлетов обеспечивают быстрое, но весьма неточное сжатие. В данной работе используются сплайн-вэйвлетные системы с гарантированно высокой точностью приближения гладких цифровых потоков. Они приводят к эффективному сжатию и к достаточно точному результату, ибо учитывают "гладкость" обрабатываемого потока цифровой информации. Стимулом к изучению этого направления исследований стали работы С. Г. Михлина и Ю. К. Демьяновича, поскольку исходными здесь являются аппроксимационные соотношения.

К вэйвлетным (всплесковым) разложениям пространств полиномиальных и тригонометрических сплайнов имеется естественный интерес: пространства этих сплайнов легко строятся и обладают асимптотически оптимальными (по ЛГ-понеречнику) аппроксимационными свойствами. Известно, однако, что построение ортогональных (в Ь2) разложений весьма затруднительно даже на равномерной сетке.

В случае, когда сетка равномерная, для построения вэйвлетных разложений удается применить мощный аппарат гармонического анализа (в Ь2(Ш) и ¡2). Однако, при обработке цифровых потоков с резко меняющимися характеристиками (со сменой плавного поведения на скачкообразное и наоборот) целесообразно использовать неравномерную сетку, приспосабливаемую к обрабатываемому потоку. Так для улучшения приближения могут понадобиться различные степени измельчения сетки в разных частях рассматриваемого промежутка, а для сжатия — различные степени укрупнения сетки. Весьма важны случаи, когда исходные данные естественным образом связаны с некоторым многообразием

(примерами могут служить цифровые потоки значений мощности излучения от поверхности тел различной формы: сферической, тороидальной и др.)

Для вэйвлетных разложений на неравномерной сетке можно использовать пространства сплайнов. Известна лифтинговая схема, основанная на интерполяции сплайнами. В настоящей работе исследуется вэйвлетная схема, основанная на аппроксимации сплайнами на неравномерной сетке с гарантированным порядком приближения и простыми формулами декомпозиции и реконструкции.

Цель диссертационной работы. Целыо работы является получение новых вэйвлетных разложений пространств полиномиальных и тригонометрических сплайнов лагранжева типа на неравномерных сетках.

Методы исследования. В диссертации используются методы линейной алгебры и теории функций вещественного переменного. Для построения биортогональной системы функционалов применены методы функционального анализа.

достоверность и обоснованность. Достоверность результатов подтверждена строгими доказательствами; результаты согласуются с проведенными численными экспериментами.

Результаты, выносимые на защиту

1. Разработаны способы продолжения системы функционалов, биортогональной системе полиномиальных сплайнов; кроме того, найдены продолжения системы функционалов, биортогональной системе тригонометрических сплайнов.

2. Предложены новые простые варианты проектирования объемлющего пространства на пространства полиномиальных и тригонометрических сплайнов.

3. Построены вэйвлетные (всплесковые) разложения полиномиальных и тригонометрических сплайнов пространств лагранжева типа на последовательности неравномерных измельчающихся сеток.

4. Даны формулы декомпозиции и реконструкции числовых потоков, генерируемых исходной функцией класса С(а,Р).

5. Исследованы свойства аппроксимации и устойчивости предлагаемых алгоритмов. Проведена их численная апробация на модельных примерах.

научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая полезность. Данная работа носит теоретический характер, однако полученные результаты могут быть применены для создания эффективных алгоритмов решения многих прикладных

задач, связанных с обработкой больших потоков числовой информации, в частности, к обработке изображений, к задачам интерполяции н аппроксимации, к численному решению ряда задач математической физики.

Апробация работы. Полученные результаты обсуждались и докладывались на XL международной научной конференции "Процессы управления и устойчивость", С.-Петербург, 6-9 апреля 2009 г., на XLI международной научной конференции "Процессы управления и устойчивость", С.-Петербург, 5-8 апреля 2010 г., и па семинаре кафедры параллельных алгоритмов математико-механического факультета СПбГУ в 2009 году.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 6 работах, в том числе 2 статьи в журналах, входящих в список изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией на момент публикации (см. раздел "Список опубликованных работ по теме диссертации" в конце автореферата).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы. Текст диссертации изложен на 171 странице, содержит 12 рисунков и 3 таблицы. Список литературы содержит 53 названия.

Содержание работы. Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы и излагаются основные полученные результаты.

В первой главе приведен краткий обзор биортогональных систем со свойством локальности и вэйвлетных разложений линейных пространств, рассматриваются вэйвлетные разложения пространств сплайнов лагранжева типа первой, второй и третьей степени. Для координатных сплайнов строятся системы функционалов {AJ,ez, биортогональные системам координатных сплайнов Н'0е) bez-

На конечном или бесконечном интервале (а, ß) вещественной оси R1 рассмотрим сетку Хл= {xj}j€z, Xj < Xj+i, для которой а = lim Xj, ß = lim Xj.

j—»—oo j—*+oo

Линейное пространство функций, г раз непрерывно дифференцируемых в точках открытого интервала (а,/3), обозначим Cr(a,ß). Рассмотрим полиномиальный сплайн первой степени utj^^ix), определяемый однозначно (с точностью до некоторой ненулевой константы) условиями и)^дд(х) 6 C°(a,ß), supp Uj,i,x(x) — [xj,T.j+2]- В пространстве C(a,ß) рассмотрим линейные функционалы Аi,i 6 Z , определяемые формулой (А„ /} = /(xi+i), f 6 C(a.,ß). Система функционалов {AJ^gz биортогональна системе функций {Wj,i,x(x)}j6z.

Для фиксированного к € Z положим

Vj='xj,j<k+ 1, 2/jd=ij-i, j > к + 1, Kd= {yj}jez- (1)

Для сетки К, полученной из сетки X добавлением одного узла, строятся сплайны и устанавливаются калибровочные соотношения (обобщаю-

щие кратно-масштабное уравнение), которые выражают сплайны и^х(х) в виде линейной комбинации сплайнов алц^х):

з

где числа ротыскиваются но формулам:

Vj е Z pij = ijj при г < к — 2, Pij = при i > к + 1,

pfc_ij = 0 при j ф к - l,k, pk,j = 0 при j ф к,к + 1,

h -1 и - Ук+2-j Z-Ук ,

pfc—l,jfc-l — г, рк-1,к — -, Рк.,к = -, Рк,к+1 — L-

Ук+2 - Ук Ук+2 - Ук

Соотношения вида (2) называются калибровочными соотношениями.

Рассмотрим пространство являющееся линейной оболочкой функций

23* = { и | и = £ c^jxx(x) Vcj SR1}-i

Пространство 23 x называется пространством сплайнов на сетке X, а ujj,i:x(x) — образующими этого пространства.

Ввиду калибровочных соотношений справедливо включение ЗЗхС 55у. Рассматривается оператор ^ проектирования пространства Sy на подпространство !Вх, задаваемый формулой

и оператор .2 = / - ¿3я, где / -- тождественный оператор. Пространством вэй-влетов (всплесков) называется пространство а получаемое прямое

разложение

ЗЗу = 58x4-^

— сплайн-вэйвлетное разложение пространства 93 у.

Пусть известны коэффициенты в разложениях проекций элемента у е 23у-на пространства 93 х и Для чисел а^ и получаем формулы декомпозиции

а; = с, при г < к — 1, а,; = при г > А;,

, Ук+2 £~Ук .г,

1>к=ск--ск-1--ск+и Щ = О при ] ф к.

Ук+2 ~ Ук Ук+2 ~ Ук

Если же известны коэффициенты в разложении элемента по базису, то

с, = при ] < к — 1, с; = при j > к + 1,

Ук+2 - С „ , С ~ У к , , .

с* =-ак-1 Н--ак + Ьк;

Ук+2 ~ Ук Ук+2 ~ Ук

эти формулы называются формулами реконструкции.

Далее на сетках X и У рассматриваются полиномиальные квадратичные сплайны и у{х), однозначно (с точностью до ненулевых посто-

янных множителей) определяемые условиями £ С1{а,0),

вирр ц,2,х(х) = [Xj,Xj+3}, вирр = [У1,У1+зЬ между и);,2,х(х) И Ш]2,г(х)

имеются калибровочные соотношения, аналогичные рассмотренным выше. Вводятся также системы функционалов {А;}^ и }iez> биортогональные системам функций {oJjt2,x(z)}jez 11 {ш],2,у(х)}зег соответственно; для функциО!1ала А; справедливо соотношение

<А„ /) t'2f +) - - i/(*,+2), (3)

а функционал i/f определяется формулой, полученной из (3) заменой Xi на у*. Строится вэйвлетное разложение = пространства By и выводятся

формулы реконструкции и декомпозиции. Далее доказываются теоремы об аппроксимации функции с помощью линейной комбинации образующих сплайнов, коэффициентами которой служат значения аппроксимационных функционалов на упомянутой функции. Обозначим Sm(x) пространство пространство многочленов степени < т и введем обозначения: ||Л|[а,ь] = sup |/(х)|, dist[0i(,j(/, Шх) =

а<х<Ь

inf II/ - u||M.

Теорема 1. Для / € Cz[a,0] верпа оценка

dist[aA(f,S2(x)) < ±¡{0 - a)3\\D3f\\[a,0].

Теорема 2. При х € [а, /3] верна оценка

distM1(/,<Bx) < - a)3\\D3f\\M.

Далее в первой главе для сплайнов третьей степени Шудл-(:г), для которых supp = [xj,xj+4], устанавливаются аналогичные калибровочные соот-

ношения и строятся системы функционалов {Aj}igz биортогональных системе {wj,3,x(^)}jsZi и использующих лишь значения генерирующей функции.

Теорема 3. Система функционалов {Aj},;ez, определяемых формулой /\ а 1 + 2г?1+2 ,, . 8(1 + 2^+2) с (+ xi+2\ ,

= - ыйу1 {—г—)+

Ч1+2) с fxi+2 + xi+s\ ,

+ 9^ S[Xi+2) ~ 9(1 + ^2) f I 2 ) +

9(1 + ^¡+2) - Xi

биортогоналъна no отношению к системе функций {ujj$:x{x)}jez-

Аналогичным образом для сплайнов третьей степени выводятся вэйвлетные разложения, формулы реконструкции и декомпозиции, а также доказываются теоремы об аппроксимации .

Вторая глава посвящена построению сплайн-вэйвлетного разложения пространств тригонометрических сплайнов второго и третьего порядков, основанного на применении биортогональных систем функционалов без использования

производных генерирующий функции; кроме того, получены оценки устойчивости.

На сетках X рассматриваются тригонометрические В-сплайны второго порядка 1j2,x(x), о пределяемые условиями Т,Ах(х) € С1(а,0), supp 1ji2,x{x) = [xj,Xj+2\. Пусть s(x) = sin (|) , c(x) = cos (|); рассмотрим линейное пространство Пх = {«1« = Ej Vcj е R1}-

Для сетки Y, полученной из сетки X добавлением одного узла в € (ц, Xfc+i), строятся сплайны Tj,2,у(х), supp Xj,2,y(s) = [j/jij/j+г]) устанавливаются калибровочные соотношения, выражающие сплайны 1it2,x{x) в виде линейной комбинации сплайнов 1j,2,Y(x), а именно 1^2,х(х) — Yhj<=zPi,jr^j,2,v(x)-

Теорема 4. Для сплайнов второго порядка коэффициенты p;j, i,j £ Z, отыскиваются по формулам:

pij = 5jj при i < к — 2, pij = ¿¿-i-ij при г > к + 1, pk-ij = 0 при j ф к - 1, fc, pit j = 0 при j ф к, к + 1,

1 и ~«

Pfc—l,fc—1 = i, Pfc-l,fc = —,-Ti Pfc.lt - —,-:-Г, Рк,М ~

¡¡(Ук+2 - Ук) s(j/*+2 - Ук)

Для сплайнов третьего порядка устанавливаются аналогичные калибровочные соотношения. Калибровочные соотношения для сплайнов третьего порядка представлены в теореме 5.

Теорема 5. Справедливы соотношения

j

где при i,j £ Z коэффициенты. p;j определяются равенствами Pij = при i < к - 3, рij = Si+ ij при i > к + 1,

Pfe-2,fe-2 = 1, Pfc-2,fc-l = ,, = 0 При зфк-2,к-\,

в\Ук+2 ~Ук-и

h-i^ = Pfc_lJfc = Л^Л = о при j Ф к - 1,*,

¿Ш+2 - Ук-1) S(yk+3 - ук)

рк'к = «{уш-кукУ Pfc,fc+1 = и Рм = 0 при J ^ ^+ L

Далее Vi,j € Z вводится система линейных функционалов над С(а,/3) согласно формулам (Лj,u) = u(xj+i), (A;, 1j,2,x{x)) = 5ij. На С(а,/3) рассматривается вопрос о системе функционалов, биортогональной системе функций тригонометрических сплайнов третьего порядка {З^.з.хО^Ь'ег- Эти результаты сформулированы в следующей теореме:

Теорема 6. Система функционалов {Aj}jez, определяемая формулой (Aj,/)t'2c2 / (^2±1±1Ж j_l/(a:.+l)_l/(x.+a) у/ е С{а,0),

биортогоналъна по отношению к системе функций {Tj,3,x{x)}j^z-

Также строятся силайн-вэйвлетные разложения и выводятся формулы реконструкции и декомпозиции.

Теорема 7. Для тригонометрического аишйи-вэйвлетного разложения второго порядка формулы декомпозиции имеют вид

ai = c¿ при i<k — 1, a¿ = c¿+i при i > k, , s{yk+2 - в) s(6 - yk)

bk = ck- —.-rc*_i - —--Ck+i, bj = 0 при j f. k,

э(Ук+2-Ук) s(yk+2-yk)

Теорема 8. Для тригонометрического сплайн-вэйвлетпого разлоэ/сения второго порядка формулы реконструкции умеют вид

Cj = a¡ при j < k — 1, Cj = Qj_i при j > k + 1,

4УШ - в) __ , s(9 - yk) д

C/t = -rO/c-l + -rak + bk-

S(yk+2 - Ук) S(yk+2 - yk)

Далее во второй главе строятся тригонометрические сплайн-вэйвлетные разложения третьего порядка; в этом случае также получены формулы реконструкции и декомпозиции.

Далее для сплайнов третьего порядка доказывается теоремы об устойчивости.

Теорема 9. Для любой сетки верно неравенство

max Ш < 7rmax |a¡| 4- |6fc_i| + |bj¡;|, j'ez ¿ez

а если сетка локально квазиравномерна, т.е. удовлетворяет неравенству < 'J+1-i < j^j npU некотором > 1, сщхюедлива оценка

оъо Xj — i

max Iа,-1 < c(Jéó) max |d¿|. j€Z ieZ

Явное представление í(^Éó) в зависимости от Ло дано в диссертации.

В третьей главе рассматривается неортогопальные вэйвлетные разложения пространств полиномиальных сплайнов т-й степени на сетке X с использованием операций проектирования лагранжева типа. Эти разложения построены с помощью одного варианта продолжения на С(а, f¡) системы функционалов, биортогональной координатным сплайнам минимального дефекта. При Vfc е Z, ж € (xk,xk+i), вводятся функции uJSt,n(x) с носителем [х3,хв+т], удовлетворяющие аппроксимационным соотношениям:

Í.J <^i(x3+í,...,xs+m)u}stm(x) = xl ¿ = 0,...,m; (4)

здесь (t¿(íi, ..., zm) — элементарные симметрические многочлены степени i от т переменных (Ti{zlt..., zm) = <h<h<...<ji<mzhzh-• ■ zh. При каждом фиксированном х € (xk,xk+i) соотношения (4) можно рассматривать как систему

т+1 линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно т+1 неизвестных {iJSim(a;)}{k-m,...,k}■ Меняя х в промежутке (хк, Хк+i), заметим, что линейная оболочка получающихся при этом правых частей системы (4) совпадает с пространством Rm+1 (определитель Вандермонда т + 1-го порядка для различных узлов, выбранных на интервале (а, Ь) £ {хк, i/t+i), отличен от нуля). Отсюда следует, что матрица СЛАУ (4) неособенная, а сплайны {i4s,m(z)}se{fc-m,...,Jt} образуют линейно независимую систему на любом промежутке (а, 6) £ (хк, Z/t+i).

Далее предлагается способ построения системы функционалов, биортого-нальной системе {(¿¿1т(х)};еz, с использованием аппроксимационных соотношений и оператора лагранжевой интерполяции (степени ш).

Лемма 1. Если х € (яы^-н), то для любых чисел zi,...,zm справедлива формула

т т I \ -1

Р(х) i' Ц(х-г,) = £(-1)..., гт) (т ) х 1=1 ¡=о ^1'

к

х ai(xs+i,...,xs+m)LJs,m(x).

s=k.—m

Рассмотрим обозначение: результат выбрасывания щ из последовательности щ,п\,-..,щ будем записывать в виде по, щ,..."..., щ. Зафиксируем к е Ъ. На отрезке [хк, хм\ рассмотрим сетку {hk,i}i=о.....т■ < hk,о < hk,i < • ■ - < hk,m <

Теорема 10. Система функционалов {А.,^}, определяемая формулой

т т

xom„i(hk,o,---"'.--,hk,m)(^j <?i(xs+u-..,xs+m), (5)

V5 € C(a,ß), биортогоналъна по отношению к системе функций {uJi.m(x)}.

Для фиксированного г € {-т,... ,0} обозначим Аг систему функционалов Ar = {K±k,k}kez- Соотношения (5) дают т + 1 вариант продолжения системы функционалов, биортогональной системе z, с пространства сплайнов Sx »а пространство функций C(a,ß) (а именно, варианты АТ, г = —т, —т + 1,..., 0). В дальнейшем будем рассматривать лишь случай г = 0. Для краткости введем обозначение А к = А к,к-

Аналогично предыдущему строятся функции u7Sim(x) на сетке Y и рассматривается система функционалов {А¿}iez. биортогональная системе функций {ö7jjm}j6z, такая, что носитель функционала А; содержится в отрезке гд.ц]: (K,üj<m(x)) = 5iJ± supp X С [уг, Vi+i]-

Пусть р^ = (\ии11т{х)), <P = (рм)т, qij = (Ai,ü}j,m(x)), Ö = (q;j) Vi, j G Z. Тогда справедливы следующие две теоремы.

Теорема 11. При х 6 (а, /3) справедливы калибровочные соотношения

Ы,,т(х) = Е Рм^.тМ.

уег

Г Sij при г < А — т,

= Ч С+ (1 - при к - т < г < Л,

°»+1о

при г > А-,

где й =

Уг+г.1 + 1—V.

Теорема 12. Справедливы формулы

Чм = <^,.1 при < А: — т — 1, = при А-+ 2 , Уг е Ч1 о = V г < А: — т, q¿j = ¿¿-ц V г > А; + 1 3 = к — т,..., А + 1; Ч^-н = 0 при i = к — т + ... ,к — 1. Кроме того, если ¡1кт_1 < £ < ц+ь то

Чк.м = ^ -

п=0 (п) ВДЛ*.™ - Л^)

а если 5 < 5 < в = 0,... т — 2, то

От-п{ЬкА, • . . , Л|с,т-1)Сп(2/к+2, • • • 1 У*:+т+1),

ЕЕ1

¡=»+1 „=0 (п) ии^ ~

Х&п{Ук+2, • • • ,2/*+т+1) < Ск

Су

Чм =

0, ••• ' ■■■Лк,т)х

V з = к + 1, V j = к — 1,..., к — т\

V г < з, г = Ь

V г >

при г = А: - т + 1,..., А; — 1, 3 = к — т,... ,к.

Далее устанавливается, что матрица £3 является левой обратной к матрице ф. На основании упомянутых результатов получается вэйвлетное разложение пространства

= {у\ь = е К1}

в прямую сумму пространства

<ВХ = {и)и = ^еци>г,т(х), а е К1}

¿62

К

и ш-мерного вэйвлетного пространства Ж = | ^ ЬГиГ^т(х),Ьг е К1^

Теорема 13. Для сплайн-вэйвлетного разложения формулы декомпозиции имеют вид

a,i = di Vi < k - m, a; = di+1 Vi > fc + 1, k-1 k+l (ц= qijdj Vfc - m + 1 < г < k - 1, ak = ^ q,t,jdj

j=k — m j=k~m

b = ~ ~ Pwaj j = k-m+l,...,k,

J 1 0 в противном случае.

где коэффициенты pfj- u qii;- даны в теоремах И и 12.

Теорема 14. Для сплайн-вэйвлетного разложения формулы реконструкции имеют вид

di = o,j Vi < fc — то, di = aj_i Vi > k + 1, dt = bi + pi-i,ifli-i + pi,¡a;, Vi = fc - m + 1,..., fc.

Для функции из пространства Cm+1(a,/3) строится аппроксимация в виде линейной комбинации базисных сплайнов, коэффициентами которой являются значения аппроксимационных функционалов. Выводятся оценки для аппрокси-мационных функционалов, полиномов и сплайнов.

Лемма 2. Для функционала \j справедлива оценка

|(А,-,/>| < ет||/И[«„*,+,]. VjeZ,

2т (m(m+l)}

где ет = N т[—<—.

Теорема 15. Для f е Cm+1[a,/3] верна оценка

distM(/,5m(x)) < 2т+1(^ + 1),Г+1||Дт+711м],

где I = /3 — а.

Теорема 16. Верна оценка.

disW/,®*) < 2J1(+m + 1)!r+1Hgm+1/liMi-

Четвертая глава посвящена моделированию полиномиальных и тригонометрических сплайнов. Получены формулы для вычисления базисных сплайнов. Проиллюстрирована вложенность пространств при одном варианте измельчения сетки и конкретизированы калибровочные соотношения в данной ситуации. Далее моделируется аппроксимируемая функция в виде линейной комбинации образующих сплайнов (полиномиальных и тригонометрических), коэффициентами которой служат значения аппроксимационных функционалов на упомянутой функции. Даны результаты приближения в случае сплайновой модели аппроксимации.

В заключении перечислены основные результаты исследований. Приложение содержит тексты программ для построения приближения непрерывно дифференцируемыми сплайнами.

Список цитируемой литературы

[1) Демьянович Ю. К. Минимальные сплайны и всплески // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. Вып. 2. С. 8 -22.

[2) Чуй Ч. К. Введение в вэйвлеты. // Пер. с англ. Я. М. Жилейкина. М.: Мир, 2001. 412 с.

[3) Завьялов Ю. С., Квасов В. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций // М.: Наука, 1980.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[1| Демьянович Ю. К., Габр М. В. С. Новый вариант вэйвлетного разложения пространств сплайнов // Вестн. С,- Петерб. ун-та. Сер. 10. 2009. Вып. 4. С. 58-68.

[2] Демьянович Ю.К., Габр М. В. С. Один вариант вэйвлетных разложений пространств полиномиальных сплайнов // Проблемы математического анализа. Т.45, 2010. С.53-68.

Другие публикации

[3] Демьянович Ю. К., Габр М. В. С. Всплесковое разложение пространств тригонометрических сплайнов // Методы вычислений выпуск 23, 2009. С. 30-52.

[4] Демьянович Ю. К., Габр М. В. С. О новом варианте вэйвлетного разложения пространств сплайнов третьей степени // Методы вычислений 23, 2009. С. 53-70.

[5] Габр М. В. С. О. Об одном варианте вэйвлетных разложений // Процессы управления и устойчивость: Тр. 40-й междунар. науч. конф. аспирантов и студентов. СПб., 6-9 апреля 2009г. / Под ред. Н. В. Смирнова, Тамасяна Г. Ш. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. С. 118-123.

[6] Габр М. В. С. О. Вэйвлетное разложение пространств полиномиальных сплайнов на неравномерной сетке // Процессы управления и устойчивость: Тр. 41-й междунар. науч. конф. аспирантов и студентов. СПб.,5-8 апреля 2010г. / Под ред. Н. В. Смирнова, Тамасяна Г. Ш. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2010. С.124-130.

Подписано к печати 07.05.10. Формат 60 х84 1/16 . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4763. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-40^3,428-69-19

Введение

1 Вэйвлетные разложения пространств сплайнов лагранжева типа

1.1 Биортогональные системы со свойством локальности и вэйвлетное разложение лилейных пространств.

1.2 Предварительные обозначения и биортогональная система функционалов для сплайнов первой степени.

1.2.1 Калибровочные соотношения.

1.2.2 Вэйвлетное разложение.

1.2.3 Формулы реконструкции

1.3 Вэйвлетное разложение пространств сплайнов второй степени

1.3.1 Некоторые обозначения.

1.3.2 Оператор проектирования.

1.3.3 Вложенность пространств и вэйвлетное разложение

1.3.4 Матрица декомпозиции.

1.3.5 Формулы декомпозиции и реконструкции.

1.3.6 Оценки аппроксимации.

1.4 Вэйвлетное разложение для кубических сплайнов.

1.4.1 Предварительные сведения.

1.4.2 Биортогональная система функционалов.

1.4.3 Калибровочные соотношения.

1.4.4 Вэйвлетные разложения.

1.4.5 Формулы декомпозиции и реконструкции.

1.4.6 Анализ погрешностей.

2 Вложенные пространства тригонометрических сплайнов и их вэйвлетное разложение

2.1 Сплайн-вэйвлетные разложения для сплайнов второго порядка

2.1.1 Предварительные обозначения и биортогональная система.

2.1.2 Калибровочные соотношения.

2.1.3 Вэйвлетное разложение.

2.2 Сплайн-вэйвлетные разложения для сплайнов третьего порядка

2.2.1 Обозначения и вспомогательные утверждения

2.2.2 Биортогональная система функционалов.

2.2.3 Переход к новой сетке добавлением одного узла

2.2.4 Матрица декомпозиции.

2.2.5 Вэйвлетные разложения.

2.2.6 Оценки устойчивости

3 Один вариант вэйвлетных разложений пространств полиномиальных сплайнов

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Калибровочные соотношения.

3.3 О системе функционалов, которая биортогональна, системе фуНКЦИЙ U)j.m (ж)

3.4 Вэйвлетное разложение. Формулы декомпозиции и реконструкции

3.5 Оценки погрешности.

4 Сплайновая модель аппроксимации

4.1 Квадратичное приближение на равномерной сетке.

4.2 Кубическая аппроксимация.

4.3 Тригонометрическая аппроксимация.

4.4 О добавлении произвольного числа узлов.

В настоящее время вэйвлет-преобразования и вэйвлетиый анализ используются во многих областях науки и техники для самых различных задач: для распознавания образов, для численного моделирования динамики сложных нелинейных процессов, для анализа аппаратной информации и изображений в медицине, космической технике, астрономии, геофизике, для эффективного сжатия сигналов и передачи информации по каналам с ограниченной пропускной способностью и т.п. Многие исследователи называют вэйвлет-анализ " математическим микроскопом" для точного изучения внутреннего состава и структур неоднородных сигналов и функций.

В то же время не следует рассматривать вэйвлет-методы обработки и анализа сигналов в качестве новой универсальной технологии для решения любых задач. Возможности вэйвлетов, несомненно, еще не раскрыты полностью. Однако это не означает, что их развитие приведет к полной замене традиционных средств обработки и анализа информации, хорошо отработанных и проверенных временем. Но оно может существенно расширить инструментальную базу информационных технологий обработки данных.

Теория вэйвлетов не является фундаментальной физической теорией, но она дает удобный и эффективный инструмент для решения многих практических задач. Основная область применения вэйвлетных преобразований: анализ и обработка сигналов и функций, нестационарных во времени или неоднородных в пространстве, когда результаты анализа должны содержать не только общую частотную характеристику сигна,-ла (распределение энергии сигнала по частотным составляющим), но и сведения об определенных локальных координатах, на которых проявляют себя те или иные группы частотных составляющих, или на которых происходят быстрые изменения частотных составляющих сигнала. По сравнению с разложением сигналов в ряды Фурье вэйвлеты способны с гораздо более высокой точностью представлять локальные особенности сигналов, вплоть до разрывов 1-го рода, (скачков).

Общий принцип построения базиса вэйвлет-преобразования состоит в использовании масштабного преобразования и смещений. Любой из наиболее часто применяемых вэйвлетов порождает полную ортонормирован-ную систему функций с конечным носителем, построенных с использованием масштабного преобразования и сдвигов. Именно за счет изменения масштабов вэйвлеты способны выявить различие характеристик в разных шкалах, а путем сдвига проанализировать свойства сигнала в разных точках на всем изучаемом интервале. В силу свойства полноты этой системы возможно сделать обратное преобразование. При анализе нестационарных сигналов за счет свойства локальности вэйвлеты получают существенное преимущество перед преобразованием Фурье, которое дает нам только глобальные сведения о частотах (масштабах) исследуемого сигнала, поскольку используемая при этом система функций (синусы, косинусы или комплексные экспоненты) определена на бесконечном интервале. Однако, используются и более общие определения вэйвлетов и их разные модификации, допускающие применение довольно широкого класса функций.

Литература, посвященная вэйвлетам, весьма обширна, и нетрудно получить огромное количество ссылок на нее. Математические проблемы подробно рассмотрены во многих книгах, статьях, монографиях (см., например, [18], [25], [26], [29], [31], [34], [22], [43]).

Интерес к области всплесковых (вэйвлетных) разложений связан с широким применением этих разложений в теории информации и в задачах обработки больших массивов чисел; основными методами исследования являются методы гармонического анализа. Информационные числовые массивы (называемые также цифровыми сигналами или информационными потоками) столь велики, что в первую очередь создаются средства их экономного компьютерного представления, обработки, хранения и передачи по каналам связи. Для достижения этих целей из информационного потока выделяют основной поток (несущий основную информацию) , уточняющий информационный поток (его иногда называют вэйвлетным потоком) и поток с несущественной информацией (который обычно отбрасывают); иногда, последний поток вообще не рассматривается: в этом случае исходный поток должен однозначно восстанавливаться по основному и вэйвлетному потокам.

Вопрос о том, какая информация является основной, какая уточняющей, а какая несущественной, выходит за рамки математических исследований и решается в каждом отдельном случае специалистом предметной области. Задача математических исследований состоит в том, чтобы предоставить предметному специалисту достаточно широкий набор средств для выделения необходимых информационных потоков.

В простейшем случае исходный сигнал отождествляется с функцией, которая задана на интервале (а, /3) вещественной оси; дальше эту функцию называем первоначальной. Для компьютерной обработки строится дискретный сигнал, представляющий собой сеточную функцию, определяемую как значения первоначальной функции (или результатов ее сглаживания) в узлах некоторой сетки (эту сеточную функцию и сетку назовем исходными). Использование исходной сеточной функции позволяет построить приближение к первоначальной функции с помощью того или иного аппарата аппроксимации или интерполяции. Линейное пространство таких приближений (будем называть его аналогично предыдущему — исходным пространством) затем представляют в виде прямой суммы пространств, одно из которых называют основным, а второе — вэйвлетным. Часто основное пространство связывают с сеткой, получающейся выбрасыванием узлов из исходной сетки, а подпространство вэйвлетов определяют операцией проектирования исходного пространства на основное. Таким образом, порождается разложение упомянутого приближения на основную и вэйвлетную составляющие. Центральными здесь оказываются два момента: вложенность основного пространства в исходное и задание операции проектирования исходного пространства на основное. Представления элементов этого разложения в базисах рассматриваемых пространств порождают соответствующие соотношения между коэффициентами этих представлений. Соотношения, позволяющие перейти от коэффициентов базиса исходного пространства к коэффициентам базисов основного и вэйвлетного пространств, называются формулами декомпозиции, а соотношения, дающие обратный переход — формулами реконструкции.

Каждое из упомянутых выше подпространств иногда также разлагают в прямую сумму некоторых подпространств и, возможно, продолжают этот процесс дальше; разложения подобного рода называются вэйвлет-пакетами.

Исследования в области обработки больших числовых массивов информации восходят к трем источникам, возникшим независимо друг от друга: к классической теории сплайнов, к методу конечных элементов и к теории вэйвлетов. В соответствии с этим можно выделить по крайней мере три направления развития теории обработки упомянутых массивов. Первое направление берет свое начало от работ Шоиберга (и. БсЬоепЬещ, 1946); здесь исходным моментом является решение какой-либо задачи интерполяции (задачи Эрмита, Эрмита-Биркгофа или Лагран-жа) в классе функций с " кусочными" свойствами и с определенной гладкостью в узлах рассматриваемой сетки (см. [17], [19], [30], [32], [40], [42]). Заметим, что если исходный массив числовой информации задан как сеточная функция на мелкой сетке, то замена этой сеточной функции на результат решения интерполяционной задачи для крупной сетки (являющейся подмножеством мелкой сетки) может рассматриваться как сжатие исходного массива числовой информации. Аппоксимационньте свойства и вычислительная простота получаемых сплайнов всякий раз исследуются дополнительно- Сюда относятся современные исследования по обобщенным сплайнам, так называемым ЕСТ-Б-сплайнам (см., например, [32], [40]); в этих работах для построения сплайнов на сеточных промежутках используются различные ЕСТ-системы, которые при определенных условиях удается гладко "склеить" в узлах.

Второе направление опирается на анпроксимациопные свойства рассматриваемых функций, где определение базисных функций связано с решением аппроксимационных соотношений, рассматриваемых как система уравнений (эти исследования появились в связи с теорией метода конечных элементов, см. [2], [6]-[13], [24], [37], [44]); при таком подходе интерполяционные свойства и алгоритмы минимизации вычислительной сложности (вложенность пространств и вэйвлетное представление цепочки вложенных пространств) приходится устанавливать дополнительно.

Третье направление - теория вэйвлетов - в основу кладет вычислительную простоту, отражением чего является кратно-масштабное уравнение (см. [34], [43], [29], [31], [22]); исследование последнего приводит в первую очередь ко вложенности получаемых пространств и к вэйв летному представлению соответствующей цепочки вложенных пространств (это ведет к минимизации вычислительной сложности); остальные из перечисленных выше свойств с большим или меньшим успехом исследуются дополнительно (см., например,[22]).

В теории сплайнов (см.[2]-[4[, [15], [19]-[23], [28), [30], [42] и библиографию в них) наиболее важными являются интерполяционные и ап-проксимационные свойства, свойства гладкости и устойчивости решения интерполяционных и апироксимационных задач; важно также минимизировать вычислительную сложность (объем используемых ресурсов вычислительной системы: памяти, каналов передачи результатов, времени счета). Если удается установить вложенность пространств сплайнов на последовательности измельчающихся сеток и представить цепочку вложенных пространств в виде прямой суммы вэйвлетных пространств, а также реализовать базисные функции с минимальной длиной носителя, то вычислительная сложность оказывается приемлемой.

Многие типы известных вэйвлетов обеспечивают быстрое, но весьма неточно сжатие. В данной работе используются сплайн-вэйвлетные подходы (см. [5]-[7]) с гарантированно высокой точностью приближения гладких цифровых потоков. Они приводят к эффективному сжатию и к достаточно результату, ибо учитывают "гладкость" обрабатываемого потока информации. Стимулом к разработке этого направления исследований стали работы С.Г. Михлина и Ю.К. Демьяновича, исходными здесь являются аппроксимационные соотношения.

Актуальность темы. Вэйвлеты широко применяются при составлении эффективных алгоритмов обработки больших потоков информации или цифровых сигналов. Роль теории вэйвлетов заключается в предоставлении предметному специалисту достаточно широкого набора средств, из которых он может выбрать именно то средство, которое ему подходит для обработки (для разложения на составляющие) интересующего его потока информации (цифрового сигнала).

В теории вэйвлетов упомянутыми средствами являются наборы вложенных пространств функций и их представлений в виде прямой (а иногда и ортогональной) суммы вэйвлетных пространств. Многие типы известных вэйвлетов обеспечивают быстрое, но весьма неточное сжатие. В данной работе используются сплайн-вэйвлетные системы с гарантированно высокой точностью приближения гладких цифровых потоков. Они приводят к эффективному сжатию и к достаточно точному результату. Стимулом к исследованиям в этом направлении стали работы С. Г. Михлина и Ю. К. Демьяновича.

В случае, когда (а, ¡3) = М1, а сетка - равномерная, удается применить мощный аппарат гармонического анализа (в пространстве функций и в пространстве последовательностей I'2). Этому случаю посвящено большое количество исследований (см. например, [22] и библиографию там). При обработке цифровых потоков с резко меняющимися характеристиками (со сменой плавного поведения на скачкообразное и наоборот) целесообразно использовать неравномерную сетку, приспосабливаемую к обрабатываемому потоку. Применение неравномерной сетки позволяет улучшить приближение функций без усложнения вычислений. Более того, для улучшения приближения могут понадобиться различные степени измельчения сетки в разных частях рассматриваемого промежутка. Особой задачей является получение вэйвлетных разложений в случае неравномерной сетки, поскольку обычно применяемое на равномерной сетке преобразование Фурье в условиях неравномерной сетки выполнить затруднительно. Оказалось, что использование биортого-нальной системы функционалов позволяет построить вэйвлетные разложения и при произвольном измельчении сетки (это ведет к упрощениям и в случае равномерной сетки). Для неравномерной сетки вэйвлеты рассматривались в работах [5]-[10], [27]. Весьма важны случаи, когда исходные данные естественным образом связаны с некоторым многообразием (примерами могут служить цифровые потоки значений мощности излучения от поверхности тел различной формы: сферической, тороидальной и др.)

К вэйвлетным (всплесковым) разложениям пространств полиномиальных и тригонометрических сплайнов имеется естественный интерес: пространства этих сплайнов легко строятся и обладают асимптотически оптимальными (по .А/"-поперечнику) аппроксимационными свойствами. Известно, однако, что построение ортогональных (в Ь2) разложений весьма затруднительно даже на равномерной сетке.

Ранее рассматривались вэйвлетные разложения пространств сплайнов, порождаемые дифференциальным распространением биортогональ-ной (к координатным сплайнам) системы функционалов определяемых с помощью производных генерирующей функции. Однако в тех случаях, когда величины производных генерирующей функции не известны, приходится ограничиваться необходимо лишь значениями самой функции.

В данной работе получен новый вариант вэйвлетного разложения пространства сплайнов; это разложение индуцируется разностным распространением упомянутой выше системы функционалов, построенных с помощью операций проектирования лагранжева типа, что позволяет строить вэйвлетные разложения, используя лишь упомянутую функцию.

Цель диссертационной работы. Целью работы является построения вэйвлетных разложений пространств полиномиальных и тригонометрических сплайнов лагранжева типа на неравномерных сетках.

Методы исследования. В диссертации используются методы линейной алгебры и теории функций вещественного переменного. Для построения биортогональной системы функционалов применены методы функционального анализа.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Разработаны способы продолжения на системы функционалов, биортогональной системы полиномиальных сплайнов; кроме того, найдены продолжения системы функционалов, биортогональной системы тригонометрических сплайнов.

2. Предложены новые простые варианты проектирования объемлющая пространства на пространства полиномиальных и тригономет-ричестах сплайнов.

3. Построены вэйвлетные (всплесковые) разложения полиномиальных и тригонометрических сплайнов пространств лагранжева типа на последовательности неравномерных измельчающихся сеток.

4. Даны формулы декомпозиции и реконструкции числовых потоков генерируемых исходной функцией класс С (а, /3).

5. Исследованы свойства аппроксимации и устойчивости предлагаемых алгоритмов. Проведена их численная апробация на модельных примерах.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая полезность. Данная работа носит теоретический характер, однако полученные результаты могут быть применены для создания эффективных алгоритмов решения многих прикладных задач, связанных с обработкой больших потоков числовой информации, в частности, к обработке изображений, к задачам интерполяции и аппроксимации, к численному решению ряда задач математической физики.

Апробация работы. Полученные результаты обсуждались на докладывались на ХЬ международной научной конференции "Процессы управления и устойчивость С.-Петербург, 6-9 апреля 2009 г., на ХЫ международной научной конференции "Процессы управления устойчивость С.Петербург, 5-8 апреля 2010 г., и на семинаре кафедры параллельных алгоритмов СПбГУ в 2009 году, математико-механического факультета.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 6 работах, в том числе 2 статьи в журналах, входящих в список изданий рекомендованных Высшей аттестационной комиссией на момент публикации (см. раздел "Работы автора но теме диссертации" в конце списка литературы.)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы. Текст диссертации изложен на 170 страницах, содержит 12 рисунков и 3 таблицы. Список литературы содержит 53 названия.

Заключение

Ранее рассматривались вэйвлетные разложения пространств сплайнов, порождаемые дифференциальным распространением биортогональ-ной (к координатным сплайнам) системы функционалов определяемых с помощью производных генерирующей функции. Однако в тех случаях, когда величины производных генерирующей функции не известны, приходится ограничиваться необходимо лишь значениями самой функции.

В данной работе получен новый вариант вэйвлетного разложения пространства сплайнов; это разложение индуцируется разностным распространением упомянутой выше системы функционалов, построенных с помощью операций проектирования лагранжева типа, что позволяет строить вэйвлетные разложения, используя лишь упомянутую функцию.

Разработаны способы продолжения системы функционалов, биорто-гональной системы полиномиальных сплайнов; кроме того, найдены продолжения системы функционалов, биортогональной системы тригонометрических сплайнов.

Предложены новые простые варианты проектирования объемлющего пространства на пространства полиномиальных и тригонометрических сплайнов.

Построены вэйвлетные (всплесковые) разложения полиномиальных и тригонометрических сплайнов пространств лагранжева типа на последовательности неравномерных измельчающихся сеток.

Даны формулы декомпозиции и реконструкции числовых потоков генерируемых исходной функцией класса С (а, ¡в).

Исследованы свойства аппроксимации и устойчивости предлагаемых алгоритмов. Проведена их численная апробация на модельных примерах.

1. Бахвалов Н. С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограниче ниях на эллиптический оператор // ЖВМиМФ. 1966. Т. 6. № 5. С. 861-883.

2. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Теория минимальных сплайнов. СПб, 2000. 316 с.

3. Вагер Б. Г., Серков Н. К. Сплайны при решении прикладных задач метеорологии и гидрологии. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 160 с.

4. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М., 1984. 303 с.

5. Демьянович Ю. К. Всплесковые разложения в пространствах сплайнов на неравномерной сетке. // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 3. С. 313-316.

6. Демьянович Ю. К. Всплески и минимальные сплайны, СПб, 2003. 200 с.

7. Демьянович Ю. К. Гладкость пространств сплайнов и всплес-ковые разложения. // Докл. РАН. 2005. Т.401, № 4. С.1-4.

8. Демьянович Ю. К. Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны СПб, 1994. 356 с.

9. Демьянович Ю. К. Калибровочное соотношение для В-сплайнов на неравномерной сетке. // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. № 9. С. 98-100.

10. Демьянович Ю. К. Минимальные сплайны и всплески. // Вестн. С.- Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. Вып. 2. С. 8-22

11. Демьянович Ю. К. Локальный базис всплесков на неравномерной сетке. Зап. научн. семин. ПОМП, 2006. Т. 334. С. 84-110.

12. Демьянович Ю. К. Сплайн-вэйвлетные разложения на многообразии. Проблемы математического анализа. 2007. Т. 36. С. 15-22.

13. Демьянович Ю. К., Михлин С. Г. Сеточной аппроксимации функций соболевских пространств. // Зап. науч. семинаров ЛО-МИАН СССР. 1973. Т. 35. С. 6-11

14. Демьянович Ю. К. Вложенные пространства тригонометрических сплайнов и их всплесковое разложение. // Мат. заметки, 2005. Т. 78. Вып. 5 С. 658-675.

15. Жёлудев В. А., Певный А., Б. Биортогональные вейвлетные схемы, основанные на интерполяции дискретными сплайнами // Журн. выч. мат. и матем. физ. 2001. Т. 41. №4. С. 537-548.

16. Жёлудев В. О вэйвлетах на базе периодических сплайнов. // Докл. РАН. 1994. №1. С.9-13.

17. Завьялов Ю. С., Квасов В. И., Мирошниченко В. JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.

18. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Основы дискретного гармонического анализа. СПб.: НИИММ, 2003.

19. Малозёмов В. Н., Певный А. Б. Полиномиальные сплайны. Л., 1986. 120 с.

20. Малозёмов В. Н., Селянинова Н. А. Прямая лифтинговая схема. // Семинар «DHA & CAGD». Избранные доклады. 26 апреля 2005 г. http://www.dha.spb.ru/

21. Малозёмов В. Н., Сергеев А. Н. Аналитические основы теории полярных форм // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10. Вып. 6. С. 156-185.

22. Маяла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. Пер. с англ. Я. М. Жи-лейкина. М.: Мир, 2005. 671 с.

23. Морозов В. А. Теория, сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченных операторов. // Ж. выч. матем. и матем. физики. 1971. Т. И № 3. С. 545-558.

24. Михлин С. Г. Вариационно-сеточная аппроксимация// Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1974. Т.48. С. 32-188.

25. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков. // Успехи математич. наук. 1998. Т. 53, № 6. С. 53-128.

26. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А. Теория всплесков. М.: 2005.

27. Осел еде И. В. Применение разделенных разностей и В-сплайнов для построения быстрых дискретных преобразований вейвлетов-ского типана неравномерных сетках. // Ж. Математические заметки. 2005. Т. 77, вып.5. С.743-752.

28. Певный А. Б. Дискретные сплайны и вейвлеты: Учебное пособие. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского университета. 2004. 166 с.

29. Петухов А. П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб., 1999. 132 с.

30. Стечкин С. В., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М., 1976. 248 с.

31. Чуй Ч. К. Введение в вэйвлеты. Пер. с англ. Я. М. Жилейкина. М.: Мир, 2001. 412 с.

32. Buchwald В., Miihlbach G. Construction of B-splines for generalized spline spaces from local ECT-sysfems // Journal of Computational and Applied Mathematics 159 (2003). P. 249-267.

33. Ford J. M. ,Oseleds I. V., Tyrtyshnikov E. E. Matrix approximations and solvers using tensor products and non-standardwavelet transforms related to irregular grids. Rus. J. Numer. Anal, and Math. Modelling. Vol. 19, No. 2(2004), 185-204.

34. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Пер. с англ. Е. В. Мищен- ко; под ред. А. П. Пегухова. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2004. 464 с.

35. Daubechies I., Guskov I., Sweldens W. Commutation for Irregular Subdivision. // Const. Approx., 17(4),(2001). P.479-514

36. Jawerth В., Sweldens W. An overvew of wavelet based resolution analysis // SIAM Rev. 1994. V. 36. R 377-412.

37. Goel J. J. Construction of basis functions for numerical utilization of Ritz's method 11 Numer. Math. 1968. Vol. 12. P. 435-447.

38. Koch P. E. ,Lyche T. , Neamtu M., Schumaker L. L. Control curves and knot insertion for trigonometric splines, Adv. Comput. Math., Vol.3 , P. 405-424. 1995

39. Meyer Y., Roques S. Progress in Wavelet Analysis and Applications Gif-sur-Yvette: Editions Frontiers, 1993.

40. Miihlbach G. ECT-B-splines defined by generalized divided differences // Journal of Computational and Applied Mathematics 187 (2006). P. 96-122.

41. Bohm W. Inserting new knots into b-spline curves // Computer-Aided Design. 1980. Vol. 12, N 4. P. 199-201.

42. Schumaker L. L. Spline Functions. Basic Theory. Waley Interscience, NY. 1981. 548 p.r

43. Skopina M. Multiresolution analysis of periodic functions.// East Journal on Approximations. 1997. Vol. 3, № 2. P. 614-627.

44. Strang G., Fix G. Fourier analysis of the finite element method in Ritz-Galerkin theory // Stud. Appl. Math. 1969. Vol.48, №3. P. 265273.

45. Wim Sweldens The Liftiny Scheme: A new philosophy in, biorthogonal wavelet constructions // Wavelet applications in signal and image processing III. pp. 68-79. Proc. SPIE 2569. 1995.

46. Wim Sweldens, Peter Schroeder Building your own wavelets at home. In "Wavelets in Computer Graphics", ACM SIGGRAPH Course Notes, 1996.

47. Wim Sweldens The lifting scheme: A construction of second generation wavelets. // SIAM J. Math. Anal., 29(2):511546, 1997.

48. Работы автора по теме диссертации:

49. Демьянович Ю. К. , Габр М. B.C. Новый вариант вэйвлетно-го разложения пространств сплайнов // Вести. С.- Петерб. ун-та. Сер. 10. 2009. Вып. 4. С. 58-68.

50. Демьянович Ю. К. , Габр М. В. С. Один вариант вэйвлетных разложений пространств полиномиальных сплайнов// Проблемы математического анализа. Т.45, 2010. С. 53-68.

51. Демьянович Ю. К. , Габр М. В. С. Всплесковое разложение пространств тригонометрических сплайнов // Методы Вычислений выпуск 23, 2009. С. 30-52.

52. Демьянович Ю. К. , Габр М. В. С. О новом варианте вэй-влетного разложения пространств сплайнов третьей степени// Методы Вычислений выпуск 23, 2009. С. 53-70.

53. В совместных работах научному руководителю принадлежит общая постановка задач и указание на идею исследования, детальная реализация идеи и ее использование в криптографии полностью принадлежит диссертанту.