автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вэйвлеты (всплески) ненулевой высоты

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЛЕ Тхи Ни Бик

ВЭЙВЛЕТЫ (ВСПЛЕСКИ) НЕНУЛЕВОЙ ВЫСОТЫ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2010

- 7 ОПТ ?ою

004609878

Работа выполнена на кафедре параллельных алгоритмов математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор ДЕМЬЯНОВИЧ Юрий Казимирович

доктор физико-математических наук, профессор ВАГЕР Борис Георгиевич (Государственный Архитектурно-строительный университет (ГАСУ))

доктор физико-математических наук, профессор РЯБОВ Виктор Михайлович (Санкт>Петербургский государственный университет)

Научно-исследовательский вычислительный центр Московского государственного университета им. Ломоносова (НИВЦ МГУ)

Защита состоится " 2£ " СИ-Ц ([{Ц 2010 г. в 4часов на заседании совета Д 212.232.51 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб. Т/9.

Автореферат разослан " ГШ г^С^яг^ 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета (д/О у Даугавет И. К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задача сокращения объемов цифровой информации за счет отбрасывания несущественных се составляющих весьма актуальна, причем степень важности эффективного решения этой задачи постоянно возрастает. На первом месте среди средств решения этой задачи несомненно находятся вэйвлеты (всплески), что подтверждается большим числом приложений в различных технических и научных областях. Тем не менее остается актуальной разработка новых типов вэйвлетов (всплесков) и исследование их свойств. К новым типам вэйвлетов относятся вэйвлеты ненулевой высоты, разработки которых будут посвящены в данной работе.

Разработка новых алгоритмов сплайн-вэйвлетпого разложения актуальна и в вопросах шифрования, потому что многие типы известных вэйвлетов обеспечивают быстрое, но весьма неточное сжатие. В данной работе используются сплайн-вэйвлетные системы с гарантированно высокой точностью приближения гладких цифровых потоков. Они приводят к эффективному сжатию и к достаточно точному результату, ибо учитывают "гладкость" обрабатываемого потока цифровой информации. Для случаев, когда исходный поток интерпретируется как значения гладкой функции на некоторой сетке, разработаны сплайн-вэйвлетные разложения лагранжева типа. В тех случаях, когда исходный поток распадается на два потока — на поток значений функции и на поток значений ее производной в узлах сетки, построены сплайн-вэйвлетные разложения эрмитова типа.

При разложении исходного информационного потока на основной и вэйвлет-ный потоки основными характеристиками служат малость компонент вэйвлетного потока, степень разреженности основного потока (по сравнению с исходным потоком), степень сложности формул декомпозиции/реконструкции и погрешность восстановления исходного потока; они определяют возможности экономии ресурсов вычислительной системы (ВС) и каналов связи (времени передачи, времени обработки и необходимых объемов памяти ВС). Сплайн-вэйвлетные разложения для потоков, определяемых гладкими (и дифференцируемыми) функциями, обладают свойствами асимптотической оптимальности по ЛГ-поперечнику аппроксимируемых компактов и простотой формул декомпозиции и реконструкции; возможность использовать неравномерную сетку и неполиномиальные сплайны приводит к определенной гибкости при выборе упомянутых разложений и к дальнейшему улучшению

их характеристик.

Разработке сплайн-вэйвлетного разложения эрмитова типа первой высоты была посвящена работа Ю.К. Демьяновича и A.B. Зимина; при этом рассматривается вэйвлетное разложение потоков, включающих поток значений производной аппроксимируемой функции, и строится вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа (на неравномерной сетке), не встречавшееся ранее даже в полиномиальном случае. В данной работе разрабатывается сплайн-вэйвлетное разложение эрмитова типа второй и третьей высоты; полученные здесь теоретические результаты проиллюстрированы на модельных примерах. Цель работы.

• Разработать новые сплайн-вэйвлетные разложения в следующих случаях:

1. когда исходный поток распадается на три потока — на поток значений функции, на поток значений ее производной и на поток значений ее второй производной в узлах сетки (вэйвлетное разложение спайнов эрмитова типа второй высоты);

2. когда исходный поток распадается на четыре потока — на поток значений функции, на поток значений ее производной, на поток значений ее второй производной и на поток значений ее третьей производной в узлах сетки (вэйвлетное разложение спайнов эрмитова типа третьей высоты);

3. когда исходный поток можно интерпретировать как поток значений гладкой функции, определенной на интервале (а, /3) вещественной оси при замене производных на разности.

• Привести формулы оценки устойчивости и аппроксимации.

• Провести практическую апробацию полученных результатов на модельных задачах.

Методы исследования. В диссертации используются методы линейной алгебры и функционого анализа. Для построений применен метод апроксимационных соотношений.

Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов подтверждена строгими доказательствами; результаты согласуются с проведенными практическими экспериментами.

Основные результаты. В работе получены следующие основные научные результаты:

1. Получено сплайн-вэйвлетное разложение эрмитова типа второй высоты для весьма произвольных генерирующих дважды непрерывно дифференцируемых функций. Полученные базисные вэйвлеты дважды непрерывно дифференцируемы и имеют компактный носитель, причем добавление одного узла ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на три единицы. Выводятся новые формулы декомпозиции и реконструкции.

2. Получено сплайн-вэйвлетное разложение эрмитова типа третьей высоты для весьма произвольных генерирующих трижды непрерывно дифференцируемых функций. Полученные базисные вэйвлеты трижды непрерывно дифференцируемы и имеют компактный носитель, причем добавление одного узла ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на четыре единицы. Здесь также установовлены формулы декомпозиции и реконструкции.

3. Получено сплайн-вэйвлетное разложение эрмитова типа при замене производной на разности для весьма произвольных гладких функций. Полученные базисные вэйвлеты непрерывны, имеют компактный носитель, причем добавление двух узлов ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на две единицы. Здесь также установлены новые формулы декомпозиции и реконструкции, основанные на замене производных разностными отношениями.

4. Приведены оценки устойчивости и аппроксимации для случая сплайн-вэйвлет-ного разложения эрмитова типа первой высоты.

5. Доказан ряд теорем, связанных с построением новых вэйвлетных разложений и созданием формул декомпозиции и реконструкции.

6. Написана программа для апробации теоретических результатов на некоторых модельных задачах. Полученные численные эксперименты согласуются с заданной теорией (малая погрешность вычислений происходит из-за ошибок округления).

Научная новизна. Все основные научные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая ценность и практическая значимость. Теоретическая ценность работы состоит в обогащении теории в области обработки больших числовых массивов информации с помошью вэйвленого разложения. Полученные результаты могут быть применены для создания эффективных алгоритмов решения многих прикладных задач, связанных с обработкой больших числовых массивов информации, в часности к обработке изображений и к задачам аппроксимации. Апробация работы. Полученные результаты обсуждались на семинарах кафедры параллельных алгоритмов (2008-2010г.) и докладывались на ХЬ и ХЫ Международной научной конференции "Процессы управления и устойчивость", С-Петербург, 6-9 апреля 2009 и 5-8 апреля 2010, и на XVI Всероссийской научно-методической конференции "Телематика", С-Петербург, 22-25 июня 2009.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах [15]. Из них два публикации [1, 2] в журналах из перечня ВАК. Работы [1], [2], [4] написаны в соавторстве. В работах |1, 2, 4| Ю.К.Демьяновичу принадлежат постановки задач вэйвлетного разложения сплайнов эрмитова типа второй, третьей высоты, и вэйвлетного разложения сплайнов эрмитова типа при замене производных на разности, а соискателю принадлежит решение поставленных задач: построение вэйвлетного разложения и вывод формул декомпозиции/реконструкции. В работе [5], Ю.К.Демьяновичу принадлежит идея построения программы , а соискателю принадлежат реализации и обоснования описываемых методов, создание демонстрационных примеров и программных средств.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 88 источников. Текст занимает 112 страниц, содержит 8 рисунков и три таблицы.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность тематики диссертационной работы и кратко излагаются ее основные результаты.

В первой главе "Некоторые понятия и результаты" рассматривается основная идея вэйвлетного преобразования, приведены некоторые понятия теории вэйвлетов: пространство вэйвлетов, вэйвлегное разложение и формулы декомпозиции, реконструкции, а также кратно-масштабные соотношения,... проиллюстрированные на

примере вэйвлетов Хаара. В пункте 1.8 приведены результаты Ю.К.Демьяновича и А.В.Зимина о вэйвлетным разложение пространств сплайнов эрмитова типа первой высоты; изложенную там основную идею автор диссертации использует для развития теории сплайн-вэйвлетных разложений.

Во второй главе "Вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа" рассматриваются вэйвлетные разложения сплайнов эрмитова типа второй и третьей высоты и вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа при замене производной на разности. Кроме того, получены оценки устойчивости и аппроксимации. Базисы таких сплайнов отыскиваются из аппроксимационных соотношений при минимальной (почти везде на рассматриваемом промежутке) кратности накрытия носителями базисных функций; таким образом, эти сплайны относятся к классу минимальных.

В пункте 2.1 рассматривается разложение числовых потоков, включающих поток значений первой и второй производной аппроксимируемой функции (как правило, это улучшает качество аппроксимации), строится всплесковое разложение сплайнов эрмитова типа. Строятся вэйвлетные разложения и выводятся формулы декомпозиции/реконструкции. Полученные базисные вэйвлеты дважды дифференцируемы и имеют компактный носитель, причем добавление одного узла ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на три единицы.

Итак, рассмотрим шестикомпонентную вектор-функцию ip(t) класса С2(а,/3), удовлетворяющую условию

def

{В) WB = det(ip"(x),tp'(x), <р(х), tp"{y), <р'{у), <р(у)) ф О, для всех различных х,у е (a,ß), хф у.

Пусть X - сетка вида

,, def ,-jdef

X : ■ ■ ■ < < х0 < xi < ...; а= lim xjt ß= lim х}.

j—*—oo oo

Введем обозначения:

G=f(J (xj,xj+i), tpk = ip(xk), ip'k, = ip'(xk) tpl = ip"{xk). je z

Функции w3j_2(i),w3j-i(i) и u!3j(t),t € G,j e Z, определим из аппроксимационных соотношений

Wj+l^3j-2{t) + (p'j+1U}3j-l{t) + tpj+i"3j(t)) = <p(t)

j

при условиях

вирро;з_,-_2 С [г,-, яирро^зу-! С [ху, ху+2], вирр«зу С [ггу, ату+2].

Теорема 1. Пусть е С2(а,0), и выполнено условие (В). При любом ц функции и>зя-2^), 0)3,-1^) и и!зя(Ь) могут быть продолжены на весь интервал (а, /3) до функций класса С2(а,(3), так что

^3,-2 (Яд) = <¿3,-2 (я,+1) = Ш3я-2{х,+2) = О,

и'зя-2(хя) = "4,-2 = ^3,-2(®«+2) = О,

"Ь-гМ = <4,_2(х,+0 = 1, <4'5_2(хд+2) = О,

= ь;34_1(а;,+1) = о;3,_1(х,+2) = О, ^3,-1(^9) = ^-1(^+1) = 1. "з,-1(^+2) = О,

<"3,-1 (я,) = ^з',_!(!,+!) = и>зя-1(Хд+2) = О,

"3,(1,) = о, а;3,(ж,+1) = 1, и3,(х,+2) = О, и'зч(хЧ) = ^,(^+1) = шзя(хя+г) = 0. и3д{хч) = "з'Д^+О = Ц',(Х1+2) =

Добавляя £ к сетке X, £ £ (хь,хк+1), получим новую сетку X. Обозначим ху = ху при 3 < к, ху = Ху_1 при ] > Л + 2, = Построим новые базисные

функции Е?у (<),.? € аналогичным методом.

Теорема 2. £сди выполнено условие (В), то при ( € (а,/?) справливы соотношения

где

Р;у = ¿¡у при j < — 3, = при ] > Зк + 1, Р.,з1Ь-2 = 0 при (г < ЗА; — 6) V (г > + 1), Рзк-5,31:-2 = шз*-5(£)> Рз*-4,Зк-2 = Рзк-3,Зк-2 = "з*._з(£), Рзк-2,ЗЬ-2 = (£), РзА;-1,Зк-2 = "3/С-1Ю. РзК;,3*:-2 = Ш3'к СО > Рг,3)^—1 = 0 при (г < З/с - 6) V (г > Зк +1), Рзк-5,3*-1 = "з*:-5(0> Рзк-4,3«с-1 = и'зк_4(0,

р3к-3,3к~1 = и'зк_3({), рзк-2,Зк-1 = Ц*_2(£)>

Рзк-1,3»р-1 = ь/зк-1(0< р3к,3к-! = и'з к(0< Р.,зк = 0 при (г < Зк - 6) V (г > Зк + 1), Рзк-5,3к = Рзк-4,3 к = 4(0,

Рз*-з,з* = изк-з(0> Рз*-2,з* = ^ЗЬ—г(С)> Рзк-1,3к = ^з (С), рзк.зк = Шз*:(0>

Над пространством С2(а, /3) рассмотрим систему линейных функционалов определяемых соотношениями

(9З9-2, «) =Ги"(х,+1), (539-1, "> '=и'(1,+1), (д3„и)'=и(1?+1). Обозначим

Теорема 3. Справедливы соотношения

Чу = <5у при з <3к- 3, Чу = ¿¿¿_з при 7 > ЗА: Н-1,

Ч;,3)Ь-2 = Ч>,3*:-1 = = 0 Уг 6 г.

Теорема 4. (Формулы декомпозиции). Для всплескового разложения справедливы следующие соотношения :

a¡ = С{ при г < Зк — 3, в; = й+з при г > Зк — 2, Ь} = 0 при (г < Зк - 3) V 0' > ЗА; + 1), Ьзк-2 = Сзк—2 - ~ Сзк-4и>ак-ЛО ~

-сз*+1«&-2(0 - сз^Ц'^ЛО - с3*+зи&($),

&Зк-1 = Сзк-1 - Сз*_5и44_5(С) - Сзк^гк_4(0 - Сзк^зю'зк_3{^)-

-сзн^зь-гЮ - Сзы-гЧь-ЛО - сзк+з^зьЮ,

Ьзк = С3/ь - Сз^-5гиз|Ь_5(^) - С3к-4Ызк-*(0 - СЗк-ЗЩк-&)-

-сзк+^зк-гЮ - Сзц+гтзк-^О ~ сз*+з"'з*(0-

Теорема 5, (Формулы реконструкции). Пусть известны коэффициенты а¡, Ъзк-2, Ьзк-х, Ьзк в разложениях проекций элемента й 6 на пространство

Б^Х) иШ, Рй = <Э" = 6з1-2^зк-2+&зк--1^з1ь-1+6з*:^зь Тогда коэффициенты

I

сь в формуле й = с^аТ*: имеют вид к

с; = а< при г < ЗА: — 3, — з при г > Зк+ I, Сзк-2 = + а3 к-Ь™зк-ц{0 + аз*-4«&-4(0 + °з*-з«'з'*-з(0+

+03^-2^36-2(0 + + аз

сзк-1 = Ьзк-1 + азк-5П>'зк^{0 + Озк-4Шм-4(0 + ^-3^-3(0+ +азк-2^-2(0 + Оз/иЧк-ЛО + аз*Ц*(0.

сзь = 63* + азк-ьЫзк-&(0 + о3»_4ги»_4(0 + азь-зМзк-зКН +аз*-2«ед-2(0 + аз*-1Мз*-1(0 + азкШзь^).

В пункте 2.2 рассматривается разложение числовых потоков, включающих поток значений третьей производной аппроксимируемой функции, что в ряде случаев позволяет улучшить качество аппроксимации; строится вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа. Полученные базисные вэйвлеты три раза дифференцируемы и имеют компактный носитель, причем добавление одного узла ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на четыре единицы.

Рассмотрим восьми-компонентную вектор-функцию класса С3{а,0), удовлетворяющую условию:

(С) 1УС ^(/'(х), </(*), ¿{х), <р{х), <р"Ъ), 4>'{у), Ш) 1 О для всех различных х,у е (а,/3),х ф у.

Введем обозначения: ¡р"'(хк). Функции 6

в,] 6 Z, определим из аппроксимационных соотношений:

+ + + = ф)

при условиях вирр^-з С 8иррш4]_2 С [х^Жя-г], вирриЛц^ с [х^, х3+2],

вирриц С [г,-,^-«]-

Теорема 6. Пусть <р{Ь) 6 С3(а,/3), и выполнено условие (С). При любом д 6 2 функции Ш4д_з(<),Ш4?_2({),а14?-1(') и могут быть продолжены на весь ин-

тервал (а, Р) до функций класса С3(а,0). Кроме того выполнены соотношения:

"м-Лъ) = ¿«-иА»

где г = 0,1,2,3; ] = д, д + 1, д + 2; 5 = 0,1,2,3; ? е Ъ.

Теорема 7. Если выполнено условие (С), то при Ь £ (а,/?) справедливы соот-ношепия

где

Ру = при з <4к-4, Ру = при .? > 4£ + 1, Рм*-. = 0 при я = 0,1,2,3, (г < 4к - 8) V (г > 4к + 1), р;,4к-, = при в = 1,2,3, 4£ — 7 < г < 4к.

Над пространством С3(а, /?) рассмотрим систему линейных функционалов определяемых соотношениями

(для~„ и) =;«(5'(х,+1), при 5 = 0,1,2,3.

¿е/

Обозначим Чу =(<?!,о7^).

Теорема 8. Справедливы соотношения

Чу = ¿у при ] <4к- 4, чу = ¿_4 при > + 1, = Цг,1к-2 = Ч>,4к-1 = 44,4»: = 0 V I €

Теорема 9. (Формулы декомпозиции). Для всплескового разложения справедливы следующие соотношения :

a¿ = при I < 4к — А, а.{ = с;+4 при г > — 3, Ъ] = 0 при (i<4k-4)V {] >4к+ 1), ¿>4*-< = С4*-4 - С4ь_7ги2_7(0 - С4|Ь_в1и^)_в(0 ~

-С4*_4«4)_4(0 - с4*:+1И'2-.З(0 - С41+2^_2(0--С4*+3">4*-1(0 ~ к+Мк(0 при г = 0,1,2,3.

Теорема 10. (Формулы реконструкции). Пусть известны коэффициенты а,{,

i>4fc—3i b,ik-2, li &4fe б разложениях проекций элемента u € на простран-

ство S%,(X) uW, Рй = J^aiWi,Qu = Ь4к-зйы-з + 641-2^41-2 + bik-iZJik-i + Ь4кш4к. i

Тогда коэффициенты ck в формуле й = Cfca7jt имеют вид

к

(к = a,i при г < 4к — 4, q = а;_4, г > 4А: + 1, c4t-i = i^t-i + a4t_7u;2_r(0 + а4к-б"'2-6(0 + а4*-5и>зк-5(0+ + а4к-згий_з(0 + а44_2гий_2(0+

при г = 0,1,2,3.

Цель данной работы в пункте 2.3 — разработать сплайн-вэйвлетные разложения эрмитова типа в случаях, когда исходный поток можно интерпретировать как поток значений гладкой функцнн, определенной на интервале (а,/3) вещественной оси. Замена производных разностными отношениями приводит к новому вэйвлет-ному разложению пространств (вообще говоря, неполиномиальных) сплайнов эрмитова типа. Строятся новые вэйвлетные разложения и выводятся новые формулы декомпозиции и реконструкции, основанные на замене производных разностными отношениями. Полученные базисные вэйвлеты имеют компактный носитель, причем добавление двух узлов ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на две единицы.

Рассмотрим четырехкомпонентную вектор-функцию ip{t) класса С(а,/3), удовлетворяющую условию:

(D) WD =f det(v(x)My)Mz),<f(t)) i 0

для всех попарно различных х, y,z,t € (a, /3).

def

Введем обозначения l2k = x2k+i - х2ь Функции w2j-i{t) и u2j(t),t е G,j 6 Z, определим из аппроксимационных соотношений

£ ,_l(i) + = v(t)

j 2j'+2

при УСЛОВИЯХ SUppu>2j-l С [x2j,X2j+4], SUpptt>2j С \X2j, X2j+4].

Теорема 11. Пусть <p(£) е С(а,(3) и выполнено условие (D). При любом q 6 Ъ фунщии U2q-i{t) и и>2,(t) могут быть продолжены на весь интервал (а,@) до функций класса С(а, 0). Кроме того, выполнены соотношения

U2q-l(X2q) = u2q _l(22?+l) = ^29-1(129+2) = W2J-ifeí+í) = °> W2,-l(X2,+3) = kq+2, ¿>2q(x 2q) = ^2q(X2q+l) = ^2,(^29+4) = 0,

^29(129+2) = ^2,(129+3) =

Теорема 12. Если выполнено условие (П), то при Ь € (а,0) справедливы соотношения

jez

где

ру = при з < 2к - 4, ру = при j > 2к + 1, Р»,2Ь+з = 0 при г < 2/г - 4 V г > - 1,

Р2к-3,2к-3 = "7-> Р2(с-2,2к-3 — -7-1

- Х2к ~ Х2к

р{,2к-2 = й,2к-2 при г £ Ъ, р;,2*-1 = 0 при г < 2к - 4 V г > 2к + 1,

р2к-3,2к-1 = -7-, р2к-2,2к-1 = —7-,

?2 ~ Х2к+1 С2 - 12к+1

Ь>2*-1(&) и2к(&)

г2к—1,2к—1 ~ 7-, Р2к,2к-1 ~ 7-,

С2 - Х2к+1 42 -

р1,2к = о при г < 2к -4 Уг > 2к - 1, р2к-з,2к = 12к, р2к-з,2к = 1.

Рассмотрим систему линейных функционалов {<?;};ег наД пространством С(а, /3), определяемых соотношениями

¿г/ и(х2я+з) - «(129+2) , , Л/ , > ы _ „ <92,-1, и) = 2-(929-«> = «(^29+2) V? 6 г.

^29+3 — ^29+2

Обозначим Чу

Теорема 13. Справедливы соотношения

Чу = "Р" 3 <1к- 4, Чу = 5у_2 при > 2к + 1, Чг,2к-3 = Ч>,2)с-1 = о при % € Ъ,

Ч; 2к—2 = 0 при (г < 2к - 4) V (« > 2к - 1),

1 , _ 1 Ц2к-3,2к-2 = 7 > Ч2*:-2,2к-2 — 1, Ч2*-3,24 — 7—, '2* 12к

Ц1,2к = о при (г < 2£ - 4) V (г > 2£ - 2).

Теорема 14. (Формулы декомпозиции) Для взйвлетпого разложения справедливы следующие соотношения:

а^ = с, при г < 2к — 4, а* = с<+2 пРи I >

С2/Ь-2 . С2к с2к+1

02к-3 =--;--Г -.—, а2к-2 — с2к-2> 0,2к-1 —

, ( 0>2*-з(?и , Ц -«-ох,!,

»2к-3 — С2к~3 - I —77-П--1--7-)С2к-2--7-1-С2Ь

\ — х2к)кк - Х2к '

. I . ) — ^¿к-л «¿к—1 — , 1

Ьк '2 к '2к+2

С1 — х2 к

( ^2к-з{Ь)-кк . Ш2к-2{&) -

-1 = -I -77-г;--1--7- )С2к-2 + с2к-1-

4 (?2 - Х2к+1)кк Ь - Х2к+1 ' Ш2к-3 (Ы — кк и2к{&) "77-— 77-й-~ 7-с2*+2.

(.« - Х2к+1)кк (.« - Х2к+1)12к+2 «-Х2к+1

Ь] = 0 при остальных ) е Z.

Теорема 15. (Формулы реконструкции) Пусть известны коэффициенты ai в разложении проекции элемента й 6 на пространство в^Х) и коэф-

фициенты Ь2к-з,Ь2к-1 в разложении проекции элемента й на пространство IV, Рй = = Ь2к-з^2к-з + Ь2к-1^2к-1- Тогда коэффициенты Ск в формуле

I

й = скйк имеют вид к

С| = о; при г <2 к — 4, С{ = г > 2к + 2, , , /,Ш2к-з(ЬЮ2к ~ 1) , ,

с2к-3 = 02к-3 + I -77-Г!--1--7- ]0-2к-2+

\ - Х2к)кк <¡1 - %2к '

Н--7-а2А:-3,

?1 - Х2к

С-гк-2 = Ь2к-2,

, , <^2*;-2($2)-1 , Ы2к-з(&) ~ кк

С2к-1 = 021е-1 н--7-а-2к-2 Н--7-а2к-з+

?2 — Х2к+1 ?2 — Х2к+1

. ^-1(6) Ь>2к(Ь)

+7-^24-1 — т-<*2к,

« — С2 - Хгк+1

С2к = Ьк^к-З + 0,2к-2, С2»:+1 = 12к+2Я2к-1-

В пункте 2.4 приведены оценки устойчивости и аппроксимации для вэйвлетного разложения сплайнов эрмитова типа первой высоты.

Итак, рассмотрим четырехкомпонентную вектор-функцию <p(t) класса С1(а,/?), удовлетворяющую условию

def

(Л) WA{x,y,¡p) = det{tp'(x),ip{x),ip'{y),ip(y)) ф 0, для всех различных х,у 6 (а,Р). dp.f

Пусть h = sup(xj+i — Xj). При фиксировании к G Z обозначаем wA{k) = det(ifi'k, ipk, <p'k+i> <Рк+1)- Благодаря условию (A), ф О VA: е Z.

Теорема 16. (Об устойчивости). Существуют такие £о > 0, /lo > 0, что при h < ho верны соотношения:

max |o¡| < max Ы; ¿ez 1 1 _ iez 1 "

max |c¡| < max |b¿| + (1 + r¡ + ) max |a¿|, г£ Z ieZ /4(/t) ieZ

где rç = max{ii+i - xit ——).

Теорема 17. (Об аппроксимации). Если <р,и€ С4[a,/3],t 6 (xi¡,xk+i) и hkd— zjc+i — Xk,k £ Z достаточно мало, то при условии Wk^(<pkiV'ki<Pk''Pk) Ф О верна оценка:

Zíteü(t) = j(t).

jez

В третьей главе "Вэйвлетное разложение для модельных задач" рассматриваются вэйвлетные разложения пространств сплайнов эрмитова типа для некоторых модельных задач. Здесь изучаются алгоритмы разложения числовых потоков, включающих поток значений (первой, второй и третьей) производной некоторой элементарной функции и строятся вэйвлетные разложения, а также выводятся формулы декомпозиции/реконструкции. Алгоритмы реализуются на языке СПолученными результатами являются значения вэйвлетной составляющей и разности между значениями входного потока и значениями потока, восстановленного с помощью формул реконструкции.

В заключении диссертации подведены итоги проведенного и завершенного в рамках поставленных задач исследования.

Работы автора по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

(1] Демьянович Ю.К., Ле, Т.Н.Б. Вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа третьей высоты // Проблемы математического анализа, 2010. Вып. 44. С.

[2] Демьянович Ю.К., Jle Т.Н.Б. Вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа // Веста. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2010. Вып. 2. С. 32-38.

Другие публикации:

[3] Ле Т.Н. Б. О всплесковом разложении сплайнов эрмитова типа при замене производных на разности // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2009. С. 209-214.

[4] Демьянович Ю.К., Ле Т.Н.Б. Вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа второй высоты // Методы вычислений/ Под ред. В.М. Рябова. СПб: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2010. Вып. 23. С. 99-112.

[5] Ле Т.Н.Б. Вэйвлетные разложения для модельных задач // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2010. С. 182-185.

С5-72.

Подписано к печати 08.09.10. Формат 60 »84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4894. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-40-43,428-69-19

Введение.

1 Некоторые понятия и результаты

1.1 Основная идея вэйвлетного преобразования.

1.2 Вэйвлеты.

1.3 Пространства основных функций. Кратно-масштабные соотношения

1.4 Ортогональность вэйвлетпых пространств.

1.5 Формулы декомпозиции и реконструкции.

1.6 О многообразии вэйвлетпых систем.

1.7 Некоторые подходы к построению вэйвлетов.

1.8 Вэйвлетное разложение пространств сплайнов эрмитова типа первой высоты.

1.8.1 Сплайн эрмитова типа

1.8.2 Калибровочные соотношения.

1.8.3 Биортогональная система функционалов и их значения на функциях

1.8.4 Всплесковое разложение.

2 Вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа

2.1 Вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа второй высоты.

2.1.1 Построение сплайнов эрмитова типа второй высоты

2.1.2 Калибровочные соотношения.

2.1.3 Биортогональной системы функционалов и их значения на функциях

2.1.4 Вэйвлетное разложение. Формулы декомпозиции и реконструкции.

2.2 Вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа третьей высоты.

2.2.1 Минимальные сплайны эрмитова типа третьей высоты

2.2.2 Калибровочные соотношения.

2.2.3 Биортогональная система функционалов и их значения на функциях .ТО

2.2.4 Всплесковое разложение. Формулы декомпозиции и реконструкции.

2.3 Вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа при за! мене производной на разности.

2.3.1 Сплайн эрмитова типа при замене производных на разности.

2.3.2 Калибровочные соотношения.

2.3.3 Биортогональна,я система функционалов и их значения на функциях LOj{t)

2.3.4 Вэйвлетное разложение. Формулы декомпозиции и реконструкции.

2.4 Оценка устойчивости и аппроксимации.

2.4.1 Оценка устойчивости.

2.4.2 Оценка аппроксимации

3 Вэйвлетное разложение для модельных задач

3.1 Потоки числовой информации, сигналы, сеточные функции и вэйвлетные разложения

3.2 Формулы декомпозиции и реконструкции.

3.2.1 Формулы декомпозиции.

3.2.2 Формулы реконструкции

3.3 Вычисление значений в формулах декомпозиции и реконструкции. 3.4 Описание программы

3.5 Численные результаты.

Актуальность темы. Задача сокращения объемов цифровой информации за счет отбрасывания несущественных ее составляющих весьма актуальна, причем степень важности эффективного решения этой задачи постоянно возрастает. На первом месте среди средств решения этой задачи несомненно находятся вэйвлеты (всплески), что подтверждается большим числом приложений в различных технических и научных областях (см. работы [27, 35, 45, 50, 61, 79] и имеющуюся в них библиографию). Тем не менее остается актуальной разработка новых типов вэйвлетов (всплесков) и исследование их свойств. К новым типам вэй-влетов относятся вэйвлеты ненулевой высоты, разработки которых будут посвящены в данной работе.

Теория вэйвлетов появилась несколько десятилетий тому назад. Согласно [58] истоки вэйвлетов идут от работы К.Вэйерштрасса, который в 1873 году описал семейство функций, построенных масштабированием данной базисной функции. В 1909г. А.Хаар построил первую ортонорми-рованную систему функций с компактным носителем, называемую базисом Хаара. В 1940г. Рикер ввел понятие "вэйвлет" для описания процесса возмущения от сильного сейсмическрго импульса или заряда взрывчатого вещества. В 1946г. Д.Габор описал неортогональный базис вэйвлетов с неограниченным носителем, построенный по гауссианам. В 1982г. Морле применил функции, определенные Табором, к моделированию сейсмических импульсов. Затем Гроссман и Морле установили как анализировать произвольные сигналы, масштабируя и сдвигая порождающий вэйвлет.

Большой вклад в развитие теории вэйвлетов внесли И.Мейер, Ч.К.Чуи, И.Добеши, С.Малла, Ж.Баттле, П.Ж.Лемарье, А.Коэн, Р.Койфман, Г.Стрэнг и др. Число публикаций в этой области, по-видимому, превзошло тысячу (см. работы [27, 35, 45, 50, 61, 66, 72, 81, 83] и имеющуюся в них библиографию). В России теорией вэйвлетов одним из первых заинтересовался профессор С.Б.Стечкин, хотя первой работой по данной тематикр в СССР можно считать работу [53] В.Л.Рвачева и В.А.Рвачева, опубликованную в 1971 году. Дальнейшее развитие теории связано с именами ученых: И.Я.Новиков, М.А.Скопина, А.П.Петухов, В.Н.Малоземов, В.А. Желудев, В.Ю.Протасов и др. (см. [2-5], [9], [26], [28-31], [33, 34], [36-39], [41, 43], [45-49], [51, 52, 55, 56, 59, 60, 62, 76, 79]). В русскоязычной литературе иногда используется термин "всплеск" в качестве эквивалента термину "вэйвлет" (англ. wavelet, фр. ondelette).

К настоящему времени теория вэйвлетов завоевала прочные позиции в математике и нашла глубокие приложения в физике, астрономии, медицине, и, конечно, в инженерном деле, поскольку основной результат этой теории — эффективные алгоритмы обработки больших потоков информации (см. [1, 71, 73, 75, 82]). Под эффективностью в данном случае понимают экономное (с точки зрения экономии ресурсов компьютера: памяти и времени обработки) разложение потока информации на составляющие, так чтобы можно было выделить основной информационный поток, уточняющий инфомационный поток и информационный поток с несущественной информацией. Как правило, основной информационный поток значительно менее плотный, чем исходный поток информации; поэтому его можно передать быстро, и при этом не требуется использовать линии связи с широкой полосой пропускания и с большим количеством проводников. Уточняющий информационный поток не во всех случаях необходим, его можно передавать фрагментарно в зависимости от потребностей. Наконец, поток с несущественной информацией вообще может быть отброшен. Конечно, вопрос о том, какая инфора-ция является основной, какая уточняющей, а какая — несущественной, выходит за рамки математических исследований и должен решаться в каждом отдельном случае специалистом предметной области.

Роль теории вэйвлетов (всплесков) состоит в том, что она даег предметному специалисту достаточно широкий арсенал средств, из которых он может выбрать то средство, которое ему подходит для обработки (для разложения на составляющие) интересующего его потока информации. Такими средствами в теории вэйвлетов являются наборы вложенных (основных) пространств функций и их представлений в виде прямой (а иногда и ортогональной) суммы вэйвлетных пространств. Весьма важными являются базисы основных пространств, а также базисы вэйвлетов; построению и изучению свойств таких базисов посвящено много работ (см. [35, 45, 50, 61] и библиографию в них).

Разработка новых алгоритмов сплайн-вэйвлетного разложения актуальна и в вопросах шифрования (см. [22, 23]), потому что многие типы известных вэйвлетов обеспечивают быстрое, но весьма неточное сжатие. В данной работе используются сплайн-вэйвлетные системы с гарантированно высокой точностью приближения гладких цифровых потоков (см. [14, 16]). Они приводят к эффективному сжатию и к достаточно точному результату, ибо учитывают "гладкость" обрабатываемого потока цифровой информации. Для случаев, когда исходный поток интерпретируется как значения гладкой функции на некоторой сетке, разработаны сплайн-вэйвлетные разложения лагранжева типа (см. [18, 24]). В тех случаях, когда исходный поток распадается на два потока — на поток значений функции и на поток значений ее производной в узлах сетки, построены сплайн-вэйвлетные разложения эрмитова типа (см. [20]).

При разложении исходного информационного потока на основной и вэйвлетный потоки основными характеристиками (см. [15, 35, 44, 61]) служат малость компонент вэйвлетного потока, степень разреженности основного потока (по сравнению с исходным потоком), степень сложности формул декомпозиции/реконструкции и погрешность восстановления исходного потока; они определяют возможности экономии ресурсов вычислительной системы (ВС) и каналов связи (времени передачи, времени обработки и необходимых объемов памяти ВС). Сплайн-вэйвлетные разложения для потоков, определяемых гладкими (и дифференцируемыми) функциями, обладают свойствами асимптотической оптимальности по А^-поперечнику аппроксимируемых компактов и простотой формул декомпозиции и реконструкции; возможность использовать неравномерную сетку и ненолиномиальные сплайны (см. [12, 14], [17-19], [24, 63, 64, 67, 68]) приводит к определенной гибкости при выборе упомянутых разложений и к дальнейшему улучшению их характеристик.

Разработке сплайн-вэйвлетного разложения эрмитова типа первой высоты была посвящена работа Ю.К. Демьяновича и A.B. Зимина (см. [20]); при этом рассматривается вэйвлетное разложение потоков, включающих поток значений производной аппроксимируемой функции, и строится вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа (на неравномерной сетке), не встречавшееся ранее даже в полиномиальном случае. В данной работе разрабатывается сплайн-вэйвлетное разложение эрмитова типа второй и третьей высоты (это весьма важно для качественной аппроксимации); полученные здесь теоретические результаты проиллюстрированы на модельных примерах.

Цель работы :

• Разработать новые сплайн-вэйвлетные разложения в следующих случаях:

1. когда исходный поток распадается на три потока — на поток значений функции, па поток значений се производной и на поток значений ее второй производной в узлах сетки (вэйвлетное разложение спайнов эрмитова типа второй высоты);

2. когда исходный поток распадается на четыре потока — на поток значений функции, на поток значений ее производной, на поток значений ее второй производной и на поток значений ее третьей производной в узлах сетки (вэйвлетное разложение спайнов эрмитова типа третьей высоты);

3. когда исходный поток можно интерпретировать как поток значений гладкой функции, определенной на интервале (а, ß) вещественной оси при замене производных на разности.

• Привести формулы оценки устойчивости и аппроксимации.

• Провести практическую апробацию полученных результатов на модельных задачах.

Методы исследования. В диссертации используются методы линейной алгебры и функционого анализа. Для построений применен метод апроксимационных соотношений.

Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов подтверждена строгими доказательствами; результаты согласуются с проведенными практическими экспериментами.

Основные результаты. В работе получены следующие основные научные результаты:

1. Получено сплайн-вэйвлетное разложение эрмитова типа второй высоты для весьма произвольных генерирующих дважды непрерывно дифференцируемых функций. Полученные базисные вэйвлеты дважды непрерывно дифференцируемы и имеют компактный носитель, причем добавление одного узла ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на три единицы. Выводятся новые формулы декомпозиции и реконструкции.

2. Получено сплайн-вэйвлетное разложение эрмитова типа третьей высоты для весьма произвольных генерирующих трижды непрерывно дифференцируемых функций. Полученные базисные" вэйвлеты трижды непрерывно дифференцируемы- и имеют компактный носитель, причем добавление одного узла ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на четыре единицы. Здесь также установовлены формулы декомпозиции и реконструкции.

3. Получено сплайн-вэйвлетное разложение эрмитова типа при замене производной на разности для весьма произвольных гладких функций. Полученные базисные вэйвлеты непрерывны, имеют компактный носитель, причем добавление двух узлов ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на две единицы. Здесь также установлены новые формулы декомпозиции и реконструкции, основанные на замене производных разностными отношениями.

4. Приведены оценки устойчивости и аппроксимации для случая сплайнвэйвлетного разложения эрмитова типа первой высоты.

5. Доказан ряд теорем, связанных с построением новых вэйвлетных разложений и созданием формул декомпозиции и реконструкции.

6. Написана программа для апробации теоретических результатов на некоторых модельных задачах. Полученные численные эксперименты согласуются с заданной теорией (малая погрешность вычислений происходит из-за ошибок округления).

Научная новизна. Все основные научные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая ценность и практическая значимость. Теоретическая ценность работы состоит в обогащении теории в области обработки больших числовых массивов информации с помошью вэйвленого разложения. Полученные результаты могут быть применены для создания эффективных алгоритмов решения многих прикладных задач, связанных с обработкой больших числовых массивов информации, в часности к обработке изображений и к задачам аппроксимации.

Апробация работы. Полученные результаты обсуждались на семинарах кафедры параллельных алгоритмов (2008-2010г.) и докладывались на ХЬ и ХЫ Международной научной конференции "Процессы управления и устойчивость", С-Петербург, 6-9 апреля 2009 и 5-8 апреля 2010, и на XVI Всероссийской научно-методической конференции "Телематика" , С-Петербург, 22-25 июня 2009.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах [84-88]. Из них два публикации [86], [87] в журналах из перечня ВАК. Работы [85], [86], [87] написаны в соавторстве. В работах [84-87] Ю.К.Демьяновичу принадлежат постановки задач вэйвлетного разложения сплайнов эрмитова типа второй, третьей высоты, и вэйвлетного разложения сплайнов эрмитова типа при замене производных на разности, а Т.Н.Б.Ле принадлежит решение поставленных задач: построение вэйвлетного разложения и вывод формул декомпозиции/реконструкции.

В работе [88], Ю.К.Демьяновичу принадлежит идея построения программы , а Т.Н.Б.Ле принадлежат реализации и обоснования описываемых методов, создание демонстрационных примеров и программных средств.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 88 источников Текст занимает 112 страниц, содержит 8 рисунков и три таблицы.

Заключение

В заключение перечислим еще раз основные результаты данной работы:

1. Получено сплайн-вэйвлетное разложение эрмитова типа второй высоты для весьма произвольных генерирующих дважды непрерывно дифференцируемых функций. Полученные базисные вэйвлеты дважды непрерывно дифференцируемы и имеют компактный носитель, причем добавление одного узла ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на три единицы. Выводятся новые формулы декомпозиции и реконструкции.

2. Получено сплайн-вэйвлетное разложение эрмитова типа третьей высоты для весьма произвольных генерирующих трижды непрерывно дифференцируемых функций. Полученные базисные вэйвлеты трижды непрерывно дифференцируемы и имеют компактный носитель, причем добавление одного узла ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на четыре единицы. Здесь также установовлены формулы декомпозиции и реконструкции.

3. Получено сплайн-вэйвлетное разложение эрмитова типа при замене производной на разности для весьма произвольных гладких функций. Полученные базисные вэйвлеты непрерывны, имеют компактный носитель, причем добавление двух узлов ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на две единицы. Здесь также установлены новые формулы декомпозиции и реконструкции, основанные на замене производных разностными отношениями.

4. Приведены оценки устойчивости и аппроксимации для случая сплайн-вэйвлетного разложения эрмитова типа первой высоты.

5. Доказан ряд теорем, связанных с построением новых вэйвлетных разложений и созданием формул декомпозиции и реконструкции.

6. Написана программа для апробации теоретических результатов на некоторых модельных задачах. Полученные численные эксперименты согласуются с заданной теорией (малая погрешность вычислений происходит из-за ошибок округления).

1. Астафьева Н.М. Вэйвлет-анализ: основы теории и примеры применения// Успехи физических наук. 1998. Е. 166. №11. С. 1145-1170.

2. Бердышев В.И., Петрак Л.В. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. 296 с.

3. Берколайко М.З., Новиков И. Я. О бесконечно гладких почти-всплесках с компактным носителем// Докл. РАН. 1992. Т. 326. №6. С. 935-938.

4. Берколайко М.З., Новиков И. Я. Базисы всплесков в пространствах дифференцируемых функций анизотропной гладкости// Докл. РАН. 1992. Т. 323. №4. С. 615-618.

5. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Теория минимальных сплайнов. СПб., 2000. 316 с.

6. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. О сплайнах максимальной гладкости// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 2. С. 5-9.

7. Вагер Б.Г., Серков Н.К. Сплайны при решении прикладных задач метеорологии и гидрологии. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 160 с.

8. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вэйвлет-преобразования. СПб.: Изд-во ВУС, 1999. 208 с.

9. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М., 1984. 303 с.

10. Демьянович Ю.К. Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны. СПб., 1994. 356 с.

11. Демьянович Ю.К. Всплесковые разложения в пространствах сплайнов на неравномерной сетке// Докл. РАН. 2002. Т. 382, №3. С. 313-316.

12. Демьянович Ю.К. Всплески h минимальные сплайны. СПб., 2003. 200 с.

13. Демьянович Ю.К. Гладкость пространств сплайнов и всплесковые разложения// Доклады РАН. 2005. Т.401, е 4. С. 1-4.

14. Демьянович Ю.К. Локальный базис всплесков на неравномерной сетке// Зап. науч. сем. ПОМИ. 2006. Т. 334. С. 84-110.

15. Демьянович Ю. "К. Всплесковые разложения на неравномерной сетке// Тр. С.-Петерб. мат. о-ва 13 (2007), 27-51.

16. Демьянович Ю. К. Минимальные сплайны и всплески// Вестн. С.-Петербур. ун-та. Сер. 1. 2008. Вып. 2. С. 8-22.

17. Демьянович Ю.К., Зимин A.B. О всплесковом разложении сплайнов эрмитова типа // Проблемы математического анализа. 2007., Вып. 35. С. 33-45.

18. Демьянович Ю.К., Иванцова О.Н. Гладкость пространств сплайнов третьего порядка. Сб. Математические модели. Теория и приложения. Вып.7. СПб.: ВВМ, 2006. С. 58-64.

19. Демьянович Ю.К., Левина A.B. Вэйвлетные разложения и шифрование // Методы вычислений / Под ред. В.М. Рябова. СПб: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2008. Вып. 22. С. 41-63.

20. Демьянович Ю.К., Левина A.B. О вэйвлетных разложениях линейных пространств над произвольным полем и о некоторых приложениях // Журнал "Математическое моделирование 2008, Том 20, N 11, С. 104-108.

21. Демьянович Ю.К., Макаров A.A. Калибровочные соотношения для неполиномиальных сплайнов // Проблемы математического анализа. 2006., Вып. 34. С. 39-54.

22. Демьянович Ю.К., Михлин С.Г. О сеточной аппроксимации функций соболевских пространств// Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1973. Т.35. С. 6-11.л

23. Демьянович Ю.К., Ходаковский В.А. Введение в теорию вэйвле-тов. М.: СПб, 2007. 50 с.

24. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. М.-И. 2004. 464 с.

25. Желуде в В. А. О вэйвлетах на базе периодических сплайнов// Докл. РАН. 1994. №1. С. 9-13.

26. Желудев В.А. О цифровой обработке сигналов при помощи сплайн-вэйвлетов и вэйвлет-пакетов// ДАН. 1997. Т. 355. |No 5. С. 592-596.

27. Желудев В.А., Певный A.B. Биортогональные вэйвлетные схемы, основанные на интерполяции дискретными сплайнами// Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 2001. Т. 41. №4. С. 537-548.

28. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М., 1980. 352 с.

29. Квасов Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика Институт компьютерных исследований, 2006. 416 с.

30. Кирушев В.А., Малоземов В.Н., Певный A.B. Вэйвлетное разложение пространства дискретных периодический сплайнов// Мат. заметки. 2000. Т. 67. Вып. 5. С. 712-720.

31. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А., Пустовойт В.И. Алгоритм построения "waveletcncTeM для обработки сигналов// ДАН. 1996. Т. 346. №1. С. 31-32.

32. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М. 2005. 671 с.

33. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Сравнительное изучение двух вэйвлнных базисов// Пробл. передачи инф. 2000. Т. 36. Вып. 2. С. 27-37.

34. Малоземов В.H., Машарский С. M. Формула Глассмана, быстрое преобразование Фурье и вэйвлетные разложения// Труды С,-Петерб. мат. о-ва. 2001. Т. 9. С. 97-119.

35. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Обобщенные вэйвлетные базисы, связанные с дискретным преобразованием Виленкина-Крестепсона,// Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. Вып. 1. С. 111-157.

36. Малоземов В.Н., Певный А.Б., Третьяков A.A. Быстрое вэйвлет-ное преобразование дискретных периодических сигналов и изобра,-жений// Проблемы передачи инф. 1998. Т. 34. Вып. 2. С. 77-85.

37. Малоземов В.Н., Певный A.B. Полиномиальные сплайны. JL, 1986. 120 с.

38. Максименко И.Е., Скопина М.А. Многомерные периодические всплески// Алгебра и Анализ. 2003. Т. 15. №2. С. 1-39.

39. Михлин С.Г. Вариационно-сеточная аппроксимация// Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1974. Т.48. С. 32-188.

40. Новиков И.Я. Онделетты И.Мейера оптимальный базис в С(0,1)// Мат. заметки. 1992. Т. 52, №6. С. 88-92.

41. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: физматлит, 2005. 616 с

42. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков// Успехи математич. наук. 1998. Т.53, е 6. С.53-128.

43. Новиков И. Я. Константы неоределенности для модифицированных всплесков Добеши// Изд. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ, 1998. Т. 4, вып. 1. С. 107-111.

44. Новиков Л.В. Основы вэйвлет-анализ сигналов. Учебное пособие. СПб.: Изд-во ООО "МОДУС+у 1999. 154 с.

45. Петрухов А.П. Периодические дискретные всплески// Алгебра и Анализ. 1996. Т. 8. №3. С. 151-183.

46. Петрухов А.П. Периодические всплески// Математический сборник. 1997. Т. 188. №10. С. 69-94.

47. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб., 1999. 132 с.

48. Петухов А.П. Биортогональные базисы всплесков с рациональными масками и их приложения// Труды СПбМО. 1999. Т. 7. С. 168— 193.

49. Протасов В.Ю. Кусочно-гладкие масштабирующие функции// Алгебра и Анализ, 2004. Т. 16, №5. С. 98-111.

50. Рвачев В.Л., Рвачев В.А. Об одной финитной функции// ДАН УССР, 1971. №8. С. 705-707.

51. Скопина М.А. О нормах полиномов по системам периодических всплесков в пространствах Ьр// Мат. заметки, 1996. Т. 59. №5. С. 780-783.

52. Скопина М.А. Ортогональные полиномиальные базисы Шаудера С—1,1. с оптимальным ростом степеней// Мат. сб., 2001. Т. 192. №3. С. 115-136.

53. Смоленцев Н.К. Основы теории вэйвлетов. Вэйвлеты в MATLAB. М: ДМК Пресс, 2005. 304 с.

54. Стечкин C.B., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М., 1976. 248 с.

55. Столниц Э., Дероуз Т., Салезин Д. Вэйвлеты в компютериой графике/ пер. с англ. -Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика,• 2002. 272 с.

56. Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Всплески в пространствах гармонических функций// Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64. М. С. 145-174.

57. Фарков Ю.А. Ортогональные всплески на локально компактных абелевых группах. Функциональный анализ и его приложения, 1997. Т. 31, №4. С. 86-88.

58. Чуй К. Введение в вэйвлеты. М. 2001. 412 с.

59. Яковлев А.Н. Введение в вэйвлет-преобразования. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. 104 с.

60. Aldroubi A., Cabrelli C., Molter U. Wavelets onirregular grids with arbitrary dilation matrices, andframe atoms for L2(Rd). Preprint. Date: March 30, 2004. http: //atlas.math.vanderbilt.edu/^aldroubi/IW.ps

61. Aldroubi A., Sun Q., Tang W.-S. Non-uniform average sampling and reconstruction in multiply generated shift-invariant spaces// Constr. Approx., 20(2004). P. 173IJ189.

62. Buchwald B., Muhlbach G. Construction of B-splines for generalized spline spaces from local ECT-systems// Journal of Computational and Applied Mathematics 159 (2003). P. 249-267.

63. Cohen A., Ryan R. Wavelets and Multiscale signal processing. London: Chapman and Hall, 1995. 238 p.

64. Daubechies I., Guskov I., Schroder P., Sweldens W. Wavelets on Irregular Point Sets//Phil.Trans.: Math., Physical,Engng.Sci., 357(1999). P. 2397-2413.

65. Daubechies I., Guskov I., Sweldens W. Commutation for Irregular Subdivision//Const. Approx., 17(4),(2001). P.479-514.

66. Demjanovich Yu.R., Kosogorov O.M., Makarov A.A. Wavelet Decomposition for Adaptive Irregular Grids// Twelfth International Conference in Approximation Theory/ San Antonio, Texas, USA. March 4-8, 2007. Abstracts, p. 36.

67. Goel J.J. Construction of basis functions for numerical utilization of Ritz's method// Numer. Math. 1968. Vol. 12. P.435-447.

68. Jaffard S., Meyer Y., Ryan R: Wavelets/ Tools for science & technology. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. 256 P

69. Meyer Y. Wavelets and Operators. Cambridge University Press, 1992. 223 p.

70. Misiti M., Misiti Y., Oppenheim G., Poggi J.-M. Wavelets and their applications. ISTE Ltd, 2007. 332 p.

71. Muhlbach G. ECT-B-splines defined by generalized divided differences// Journal of Computational and Applied Mathematics 187 (2006). P. 96-122.

72. Ogden R.T. Essential wavelets for statistical applications and data analysis. Boston: Birkhauser, 1997. 205 p.

73. Protasov V. Fractal curves and their applications to wavelets|| Proc. of the Int. Workshop on self-similar systems, July 30 August 7, 1998/ Dubna, Russia, 1999. P. 120-125.

74. Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant date by analytic function// Quart. Appl. Math. 1946. Vol. 4. Pt A. P. 45-99; Pt. B. P. 112 141.

75. Schumacher L.L. Spline Functions. Basic Theory. Waley Interscience. New York. 1981. 548 p.

76. Skopina M. Multiresolution analysis of periodic functions// East Journal on Approximations. 1997. Vol.3, №2. P.614-627.

77. Strang G., Fix G. Fourier analysis of the finite element method in Ritz-Galerkin theory// Stud. Appl. Math. 1969. Vol.48, №3. P. 265-273.

78. Strang G., Strela V. Short wavelets and matrix dilation equations// IEEE Trans. Signal Proc., 1995. Vol. 3. P. 108-115.

79. Walker J.S. A primer on wavelets and their scientific applications. Taylor & Francis Group, LLC., 2008. 287 p.

80. Walnut D.F. An introduction to wavelet analysis. Boston: Birkhauser, 2004. 472 p.

81. Работы автора по теме диссертации:

82. Демьянович Ю.К., Ле Т.Н.В. Вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа второй высоты // Методы вычислений/ Под ред. В.М. Рябова. СПб: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2010. Вып. 23. С. 99112.

83. Демьянович Ю.К., Ле Т.Н.Б. Вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа третьей высоты // Проблемы математического анализа, 2010. Вып. 44. С. 65-72.

84. Демьянович Ю.К., Ле Т.Н.Б. Вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2010. Вып. 2. С. 32-38.

85. Ле Т.Н.Б. Вэйвлетные разложения для модельных задач // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2010. С. 182-185.