автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод линейно-аппроксимирующей цифровой обработки сигналов в информационно-измерительных системах

На правах рукописи

ОСИПОВ ЛЕВ АЛЕКСАНДРОВИЧ

УДК 625.173.001.4

МЕТОД ЛИНЕЙНО-АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 2003

На правах рукописи

Осипов Лев Александрович

УДК 625.173.001.4

МЕТОД ЛИНЕЙНО-АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ

СИСТЕМАХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 2003

Работа выполнена в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения Министерства путей сообщения Российской Федерации (РГОТУПС)

Официальные оппоненты — заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор Матов В.И.,

заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор Дудник П.И.. заслуженный связист РФ, доктор технических науки, профессор Дмитриенко И.Е.

Ведущее предприятие — Московский институт радиотехники,

электроники и автоматики (государственный технический университет).

Защита диссертации состоится "// "сл{л>Т< 2003 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 215.001.01 при Военно-воздушной инженерной академии им. проф. Н.Е. Жуковского по адресу: 125190, г. Москва, ул. Пилота Нестерова, д. 4, в ауд. Д-226.

С диссертацией можно ознакомиться в технической библиотеке ВВИА.

Автореферат разослан в марте 2003 г.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенных печатью, просим направлять в Совет ВВИА по адресу: 125190, Москва, ул. Планетая, д. 3.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 215.001.01, канд. физ.-мат. наук_____} Се^^"' Г Анфиногенов А.Ю.

;• /ОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА

I оэ ущ I / |

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Современные информационно-измерительные системы (это — системы связи, телеметрии, радиолокации, радионавигации, телевидения, автоматики, робототехники, технической и медицинской диагностики) строятся на основе цифровых ЭВМ. Для цифровой обработки сигналов на подвижных объектах (авиация и другие виды транспорта, ракеты и космические аппараты) в осно-ном используются специализированные микропроцессоры (МП), к которым предъявляются повышенные требования по весо-габаритным характеристикам, надежности, точности и быстродействию, обеспечивающему решение задач в реальном времени. Создание для этих систем более совершенных и рациональных технологий цифровой обработки сигналов (ЦОС) является наиболее актуальной задачей. Новые алгоритмические методы и комплексы программ обработки информации крайне важны для повышения эффективности функционирования таких систем.

Решению-этих проблем посвящена данная диссертация, которая является развитием работ автора, выполненных в период с 1952 г. по 1999 г., по теоретическим вопросам обработки импульсных и. аналоговых сигналов, представленных дискретными отсчетами, и их практической реализации в конкретных системах.

В традиционных методах цифровой обработки аналоговых сигналов (дискретное преобразование Фурье — ДПФ и Z-пpeoбpaзoвaниe) применяется их представление последовательностью модулированных дельта-функций с равными интервалами между отсчетами. При таких методах после обработки выходной сигнал получают только в точках отсчета, а для промежуточных значений используют интерполяцию или экстраполяцию во временной области. Восстановление полной картины сигнала на всем отрезке наблюдения требует большой вычислительной работы и часто не укладывается в режим реального времени. Кроме того, в цифровых фильтрах замена непрерывных сигналов

дискретными отсчетами вносит значительные методические ошибки. Например, при ДПФ полученные спектры решетчатых функций имеют частотную полосу, равную 1/2Т (где Т — интервал дискретности), и не отражают спектры непрерывных сигналов, полоса которых не менее 1/Т (спектр прямоугольных импульсов длительностью Т). Ограничение количества членов ряда Фурье, описывающих функции, вы-звает волнистость между точками отсчета восстанавливаемых сигналов (названная явлением Гиббса). При фильтрации она приводит к ошибкам выходных процессов и в узловых точках. Отсюда — проблема использования частотных методов фильтрации дискретных сигналов.

Автоматизированные системы измерения параметров, передачи данных, их обработки, анализа и технического контроля часто работают с нерегулярными интервалами дискретизации. Это может быть связано с особенностями самих устройств или аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей (АЦП и ЦАП), а также с задержками в системах обработки информации. Согласование их функционирования требует не только дополнительных операций, но и вносит определенные погрешности, затрудняющие принятие адекватных решений.

Таким образом, проблема состоит в определении по дискретным отсчетам спектра не решетчатой, а исследуемой модулирующей непрерывной функции. Назовем такой спектр аппроксимирующим. Речь идет об использовании цифрового спектрального анализа для обнаружения и идентификации сигналов, а также для решения траекторных задач. Впервые проблему построения с помощью тригонометрических рядов непрерывных траекторий планет по дискретным засечкам их координат поставил астроном Ф. Бессель в 1838 г. Учитывая, что эти траектории были достаточно гладкими, он применил метод трапеций ко всему интервалу вычисления интегралов Эйлера для коэффициентов преобразования Фурье. Формулы Бесселя и составили ДПФ.

В настоящее время, когда на МП возложена обработка существенно более сложных функций, возникла проблема

совершенствования цифровой технологии обработки дискретной информации (сложность определяется видом и возможными разрывами функций и их производных). Сюда можно отнести, в частности, алгоритмы цифровой обработки импульсных сигналов (для которых не заданы функции переходов от одного отсчета к другому) и нелинейных систем. Аппроксимированные функции позволяют применением экстраполяции или подбором моментов съёма сигналов управления обеспечить более широкую область устойчивости импульсных автоматических систем.

После появления цифровых ЭВМ и их применения для цифровой обработки сигналов необходимость решения проблемы получения аппроксимирующих спектров для дискретных сигналов, особенно при неравномерных интервалах дискретности, указывалась во многих работах (Э. Джури, A.A. Хар-кевич, JI.T. Кузин, К.В. Кэтермоул, Я.3. Цыпкин, Ю.А. Ро-манюк, C.JI. Марпл (мл.), Д. Каханер, С. Минами и др.). Однако, решения ее до сих пор не было получено. Из известных нам работ только в одной (Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1974) сделан шаг к решению этой задачи, которая отнесена к разряду проблем: для многих типов интерполяции дискретных (с равными интервалами) функций найдены приближенные (в виде бесконечных сумм) формулы для непрерывных спектров. Такое решение оставляет для математиков проблему суммирования бесконечных рядов Фурье, а для радистов проблему сжатия спектров. Суть в том, что при ограничении количества суммируемых членов тригогометрического ряда возрастают методические ошибки, а при увеличении — растут время суммирования, требуемая память для данных и вычислительные погрешности.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. В диссертации поставлена задача разработки и исследования метода и алгоритмов получения после цифровой (дискретной) обработки входных импульсных или аналоговых сигналов непрерывных выходных сигналов непосредственно по их спектру. При этом ставится

задача рассмотреть общий случай, не связанный с постоянными интервалами дискретности и дающий аппроксимированное восстановление выходных сигналов в произвольные моменты времени без этапов буферизации и интерполяции.

Задача состоит в получения достаточно точного решения в частотной области, позволяющего упростить числовое определение переходных процессов, фильтрацию и дифференцирование дискретных сигналов и в то же время не допускающего расширения частотной полосы спектра.

Дополнительные задачи работы: построение алгоритмов исследования нелинейных систем и определение эффективных методов компрессии цифровых данных, сохраняемых на носителях информации, а также разработка комплекса программных инструментов для исследования и проектирования микропроцессорных систем цифровой обработки сигналов.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Для теоретических разработок применены методы спектрального анализа и гармонического синтеза на основе дискретного преобразования Фурье для периодических функций. Из различных вариантов заполнения интервалов между точками отсчета исходного сигнала в качестве основной принята гипотеза о кусочно-линейной интерполяция, как наиболее рациональной по вычислительной сложности и обеспечиваемой точности. Для аппроксимации функций использовались численные методы приближения функций и функциональных рядов. Эмуляция микропроцессорных систем обработки информации, необходимая для оценки точности и времени реализации алгоритмов в специализированных системах ЦОС, потребовала учета кодирования данных и способов выполнения операций над ними в конкретных сигнальных процессорах.

Исследование точности разработанных формул проводилось методом вычислительного эксперимента с помощью созданного комплекса примерно из 200 программ на языке турбо-Паскаль (от этого языка достаточно прост переход к микропроцессорной реализации, 36 из этих программ включены в приложение к диссертации), а также с использованием интегрированного пакета МаШСАО.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Разработаны научные теоретические и практические основы нового метода цифровой обработки сигналов. Выведены формулы определения спектра кусочно-линейно интерполированных аналоговых сигналов при равномерных и неравномерных интервалах разбиения отрезка наблюдения. Найден способ свертывания бесконечных рядов Фурье и выведены формулы коррекции спектра, определенного простым ДПФ, обеспечивающие линейно-аппроксимированное (непрерывное) восстановление функций времени. Получено уточнение формулы Эйлера-Маклорена для нахождения сумм бесконечных функциональных рядов путем замены остаточных членов с числами Бернулли простым алгебраическим выражением. Сформулировано правило взятия отсчетов с аналоговых сигналов по уровню второй центральной разности (второй производной). На основе линейно-аппроксимирующего преобразования при неравных интервалах дискретности разработан алгоритм практически точного определения спектров сигналов на выходе нелинейных систем, а также способ вычисления непрерывных производных дискретных входных сигналов. Определен эффективный метод компрессии данных, сохраняемых на носителях информации. Разработанный метод позволил существенно (в 3-5 раз) снизить явление Гиббса в восстанавливаемых непрерывных сигналах и на порядок повысить точность цифровой частотной фильтрации.

ДОСТОВЕРНОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ определяется:

— применением апробированных методов вычислительной математики и преобразования Фурье при выводе новых теоретических зависимостей;

— обоснованным выбором моделей, описывающих исследуемые процессы;

— тестированием достоверности и точности разработанных формул, алгоритмов и программ с помощью широкого вычислительного эксперимента и сравнением его результатов с практически точными решениями, полученными другими методами.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Разработанные формулы и программы аппроксимирующего прямого и обратного преобразования Фурье показали высокую точность восстановления функций (ошибки в узлах на многих примерах не выходили за 0,1% от их среднего абсолютного значения). Обеспечено свертывание полосы спектра непрерывного сигнала до значения, обратного величине минимального интервала дискретности. Полученный линейчатый спектр описывает огибающую дискретных отсчетов (непрерывную функцию) и может непосредственно использоваться в программах конкретных систем ЦОС и при исследованиях комбинированных цифро-аналоговых комплексов, включая и нелинейные устройства.

Аппроксимирующее преобразование позволяет получать оригинал сигнала или результат его фильтрации в произвольные моменты времени, не связанные с точками отсчета, без буферизации и интерполяции. Для случайных дискретных последовательностей метод обеспечивает средне-квадратические ошибки восстановления непрерывных сигналов в 3-5 раз меньшие, чем при простом ДПФ. При цифровой фильтрации с помощью ДПФ волнистость дискретных сигналов, скрытая в спектре, проявляется и в узловых точках отклика таких систем (ошибки здесь составляют 5-10%). Аппроксимирующее преобразование существенно (до десятых долей %) снижает такие ошибки.

Содержание диссертации ориентировано, на её практическое использование для микропроцессорной обработки аналоговых и импульсных сигналов в системах широкого назначения. Разработаны алгоритмы построения переходных процессов, фильтрации и коррекции сигналов, определения их производных, исследования нелинейных устройств и аппроксимации табличных функций.

Некоторые области применения разработанного метода:

— системы связи, радионавигации, радиолокации, телевидения, передачи и обработки телеметрической информации;

— системы автоматического регулирования и управления;

— комплексы автоматизации производственных процессов и робототехники;

— техническая диагностика и контроль устройств автоматики и телемеханики;

— комплексы цифровой медицинской диагностики (кардиография, томография);

— системы восстановления изображений (в частности, выделения, опознавания и регистрации наземных объектов с помощью аэро-космической аппаратуры);

— моделирование на ЭВМ динамических дискретных процессов при исследовании функционирования и проектировании автоматических систем;

— аппроксимация экспериментальных табличных данных.

ВНЕДРЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЙ.

1. В [2] впервые была определена спектральная плотность помех на выходе двуполярного временного дискриминатора и получены формулы для расчета вероятности срыва слежения в системах с ограниченной апертурой. Эта работа использовалась для определения параметров импульсного радиодальномера, обеспечивающих минимум вероятности срыва слежения в условиях помех, при проектировании изделия К-10, принятого на вооружение. Теоретическая часть этой работы была опубликована в монографии [3] и в статье [18].

2. Руководил коллективом сотрудников двух КБ и принимал непосредственное участие в ОКР по разработке алгоритмов и комплекса программ цифровой обработки сигналов для автоматизированной системы управления 1-го в стране авиационного комплекса с цифровой ЭВМ, принятого на вооружение. О внедрении этой работы имеется заключение 30-ЦНИИ МО от 25.01.2001 г.

3. В 1991 г. на ВДНХ Гос. комитетом по вычислительной технике и информатике СССР за разработку пакета — «Прикладные программы для исследования автоматического управления» награжден Дипломом 3-й степени и удостоен звания Лауреата I Всесоюзного конкурса программных средств ПЭВМ [16].

4. Комплекс разработанных программ используется в научно-исследовательских работах. Например, для решения задач диагностического контроля механических неисправностей тягового привода [22,23]. В 1998-99гг. участвовал в разработке цифрового фильтра на сигнальном процессоре типа АБ8Р-2181 для связной радиостанции [34]. На испытаниях фильтр показал увеличение отношения сигнал/помеха на 8 дБ. Работа принята заказчиком (Акт Няндомской дистанции сигнализации и связи Северной ж.д. от 16.08.99г.).

5. Материал диссертации используется в учебном процессе. В 1999г. в РГОТУПС издано учебное пособие [28], которое разослано в крупнейшие библиотеки страны. В марте 2001 г. издана монография [1]. В эти работы включены основные формулы и программы разработанного метода аппроксимирующего преобразования Фурье дискретных функций.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСИТСЯ теория и комплекс алгоритмов и программ цифровой обработки импульсных и аналоговых сигналов на основе разработанного аппроксимирующего преобразования Фурье дискретных функций. Работа, представленная в рукописи и монографии [1], включает в себя:

— формулы коррекции спектров дискретных сигналов, обеспечивающие обратным преобразованием Фурье непосредственное восстановление при произвольном времени непрерывных (практически линейно-аппроксимированных) сигналов;

— метод свертывания бесконечного спектра интерполированного дискретного сигнала до полосы, обратной минимальному интервалу дискретности, путем использования для сумм функциональных рядов вместо формул Эйлера-Маклорена с остаточными членами из чисел Бернулли простых полиномов 3-4 — ой степени от относительных номеров гармоник;

— формулы и алгоритмы определения линейно-аппроксимирующего спектра сигналов при неравных интервалах дискретности;

— метод аппроксимирующего преобразования Фурье, использующий в формулах Бесселя под знаком суммы вместо дискретных отсчетов функций их вторые центральные разности;

— метод компрессии данных, сохраняемых на носителях информации, за счет исключения отсчетов, в которых вторые разности сигналов по абсолютному значению ниже заданного порога чувствительности;

— алгоритмы применения в задачах цифровой фильтрации частотных методов теории непрерывных автоматических систем вместо вносящих дополнительные погрешности сложных методов г-преобразований;

— метод построения алгоритмов определения аппроксимирующих спектров на выходе нелинейных устройств с произвольными характеристиками;

— метод получения по дискретным отсчетам функций непрерывных производных высокого порядка;

— алгоритм цифрового решения задачи идентификации, обеспечивающей определение оптимальных частотных характеристик сисргем по заданным дискретным входным сигналам и требуемым выходным сигналам.

Данные разработки позволили практически решить проблему Бесселя — определения непрерывных траекторий по дискретным отсчетам координат.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. По основным положениям и полученным результатам диссертации сделано: 3 доклада на 3-й и 4-й межвузовских научно-методических конференциях РГОТУПС (март 1998 г. и март 1999 г.); сообщения на семинарах: НИИ эксплуатации и ремонта авиационной техники (декабрь 1998 г.), кафедры 401 МАИ (июнь 2000 г.), кафедры «Высшая математика» РГОТУПС (ноябрь 2000 г.), кафедры 703 МАИ (ноябрь 2000 г.), кафедры «Информационно-измерительные технологии» МЭИ (февраль 2001 г.), Института проблем информатики РАН (июнь 2001 г.), кафедры «Высшая математика» МАДИ (май 2002 г.), Тверского государственного университета (май 2002 г.), кафедры 44 Военно-воздушной инженерной академии им. Н.Е. Жуковского

(ноябрь 2002г.); доклады на семинарах Международной Академии информатизации (сентябрь 1999 г.) и Военно-воздушной инженерной академии им. Н.Е. Жуковского (май 2001 г.), на Международной юбилейной конференции РГОТУПС (сентябрь 2001 г.) и на Международной юбилейной научной сессии МИФИ (январь 2002 г.).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные труды по математическому моделированию, численным методам и алгоритмизации изложены примерно в 100 печатных работах. Разработанный новый метод представлен в монографии, учебном пособии и 12 статьях и тезисах докладов.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, шести глав, выводов по работе, заключения, приложения и библиографии. Работа изложена на 108 стр., содержит 33 рисунка, 36 программ и список литературы из 61 наименования. Монография [1] содержит 114 стр., прошла рецензирование и издана в 2001г. тиражом 2000 экз.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы, теоретическая и практическая важность решения поставленной проблемы. Намечаются пути разработки и исследований.

Применение цифровой вычислительной техники для передачи, хранения и обработки аналоговых сигналов требует их представления в дискретных точках отсчета (дискретизация по времени) в виде числовых значений (квантование по уровню). Такое представление сигналов по сравнению с аналоговым обеспечивает значительную помехоустойчивость, а их обработка на цифровых процессорах (называемая цифровой обработкой сигналов — ЦОС) дает более высокую точность анализа сигналов и синтеза систем коррекции и фильтрации.

В сложных системах передачи и ЦОС отдельные звенья часто работают с различными частотами дискретизации

или даже с нерегулярными интервалами и их сопряжение в едином функционирующем комплексе вызывает определенные трудности. Некоторые сложности возникают и при получении после цифровой обработки значений выходного аналогового сигнала в промежутках между узлами дискретизации. Решение проблемы разработки рациональных (по точности, требуемой памяти ЭВМ и трудоемкости) численных методов ЦОС, дающих непрерывный процесс, и составляет цель данной диссертации. В работе рассматривается решение таких задач на основе преобразования Фурье, как наиболее распространенном в микропроцессорных системах ЦОС.

При ЦОС интегралы, определяющие коэффициенты разложения Фурье (частотный спектр), заменяются на ограниченные суммы дискретных значений. Особая роль дискретному анализу отводится в системах цифровой обработки изображений, которые требуют огромного количества отсчетов для их представления. Естественно, что эффективные цифровые методы передачи и обработки сигналов актуальны и для других систем.

Отсутствие публикаций (кроме упомянутой выше книги академика В.И. Крылова) по разработкам, связанным с поставленной целью диссертации, потребовало определенным образом построить ее изложение. С единым методическим подходом были получены различные варианты формул ДПФ (многие из них, хотя и с некоторыми отличиями, можно найти в литературе). Главное здесь состояло в разработке программ для численного анализа их работы при непрерывном времени, необходимого в дальнешем для сопоставления с новыми теоретическими и программными разработками.

В 1-Й ГЛАВЕ работы программным методом анализируются с использованием прямого и обратного ДПФ задачи определения составляющих дискретных спектров и восстановления по ним непрерывных функций времени. Назначение этого материала состоит в систематизации и числовой проверке на ЭВМ различных формул ДПФ, в определении

их точности при непрерывных аргументах (в литературе практически нет прямых расчетов значений восстанавливаемых функций между узлами дискретизации) и конкретизации эффективных путей совершенствования ЦОС.

Для примера на рис. 1 приведены распечатки с монитора ЭВМ входного прямоугольного импульса, заданного 8-ю дискретными отсчетами, и реакции на такое воздействие инерционного звена, полученных простым прямым и обратным ДПФ. Волнистость восстановленного в непрерывном виде входного сигнала (явление Гиббса) переходит и на реакцию системы, вследствие чего даже в узловых точках «экспонента» начинается с отрицательного значения, а затем выходит за установившийся уровень. Если выходной сигнал подается на систему управления, то его обычно фиксируют в моменты отсчета на текущие интервалы (фиксатор нулевого порядка), что усугубляет погрешности.

Следовательно, после дискретной обработки выходной сигнал получит дополнительно внесенные ошибки в точках отсчета. Ошибки останутся и при определении промежуточных значений путем интерполяции во временной области по этим точкам, а при линейной экстраполяции может быть получен даже абсурдный результат (см. рис. 1). Естественно, что такая обработка сигналов не может считаться удовлетворительной ни для анализа, ни для управления. Отсюда возникает задача

построения спектра, определенным образом аппроксимирующего выходной сигнал после дискретной обработки.

Учитывая, что в различных источниках формулы преобразования Фурье могут отличаться в множителях или в знаках отдельных элементов, принятые в этой главе обозначения и форма записи математических зависимостей установлены едиными для всей работы. По главе сделаны выводы.

2-Я ГЛАВА посвящена алгоритмам и программам, особенно важным для микропроцессорных систем ЦОС, работающих в реальном времени. Повышение производительности таких систем ЦОС, как правило, обеспечивается применением алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ) векторов и матриц. Кроме того, для повышения быстродействия ДПФ применяются табличные способы ввода тригонометрических и других функций, а также сокращается число операций деления. Эти обстоятельства будем учитывать при выводе новых формул.

Для анализа сигналов даются программы построения линейчатых спектров. Исследованиями спектров ДПФ (БПФ) установлено, что выборка из аналоговых сигналов дискретных отсчетов с интервалами, равными Т, ограничивает спектры частотой 1/2Т. Это означает, что дискретизация выполняет роль полосового фильтра. Например, если на систему ЦОС воздействует белый шум с бесконечной полосой спектра, то после дискретизации полоса шума будет урезана до значения 1/2Т.

Для исследования и проектирования микропроцессорных систем ЦОС приводится программный эмулятор микропроцессора на ЭВМ общего назначения, позволяющий оценить время обработки алгоритма и точность вычисления по формулам, реализуемым на микропроцессорах [1]. По главе сделаны выводы.

На формулы и расчеты глав 1-2 делаются многочисленные ссылки в последующем изложении. Это позволило для удобства чтения работы избежать многочисленные отсылки на различные внешние источники (с необходимыми при этом пояснениями) и сократить излагаемый материал.

ГЛАВЫ 3-6 содержат основной материал по разработке и построению аппроксимирующей цифровой обработки сигналов в частотной области. В них обосновывается методология и разрабатывается метод линейно-аппроксимирующего преобразования Фурье при равномерных и неравномерных интервалах дискретизации входных сигналов.

Для постоянных интервалов дискретизации выведены формулы аппроксимирующего преобразования в виде частотных корректоров к гармоникам спектра ДПФ (БПФ), что не вносит дополнительных вычислений. Аппроксимирующее преобразование дает спектр практически непрерывной функции и сохраняет в нем количество гармоник, равное числу отсчетов функции на отрезке наблюдения. Выведены формулы для преобразования Фурье при неравных интервалах дискретности. Сформулировано правило взятия отсчетов с аналоговых сигналов, обеспечивающее сокращение данных, сохраняемых в памяти процессоров. Определены области применения разработанного метода, в том числе для исследования импульсных и нелинейных систем и вычисления производных входных дискретных сигналов.

Теоретический материал подкреплен расчетами и графиками, полученными на ЭВМ с использованием разработанных формул и программ. Материал может читаться без анализа программ. Программы и контрольные расчеты по ним вынесены в Приложение. К ним можно обращаться для сверки формул и контроля решений, полученных другими методами. Разработанный комплекс программ имеет и самостоятельное практическое значение как инструмент для исследования дискретных процессов при проектировании систем ЦОС.

На некоторых параграфах этих глав остановимся более подробно с тем, чтобы изложить методику подхода к решению проблемы, дать основные теоретические положения и полученные формулы. Этого материала достаточно для практической работы и дальнейших исследований в данном направлении.

1. Постановка задачи

Одной из целей получения после цифровой обработки аппроксимированных сигналов в произвольные моменты времени является согласование работы нескольких устройств, работающих с разными частотами дискретности. В устройствах хранения, преобразования, передачи и обработки цифровых данных частоты дискретизации /т= У Т (Т— интервал между отсчетами) могут не только не совпадать, но и существенно отличаться. Подобное часто имеет место в специализированных системах ЦОС. Следовательно, преобразование частот дискретизации во многих системах ЦОС является актуальной задачей (особенно, когда эти частоты некратны).

В системах телеметрии (в частности, в радиолокационных станциях) информация имеет интервалы, зависящие от значений измеряемых параметров. Для цифровой обработки равные интервалы между отсчетами обеспечивают их сдвигом, что приводит к соответствующим погрешностям. Нерегулярность может возникнуть в нелинейных элементах, при случайных потерях импульсов, нарушении работы системы синхронизации или изменении времени вычислений в устройствах цифровой обработки. Само исследование на цифровьгс ЭВМ импульсных сигналов (с ШИМ или ЧИМ) остается проблемой.

В устройствах цифрового управления съём управляющих сигналов может быть вообще нерегулярным (асинхронным). В системах телеметрии, в технической и медицинской диагностике ступенчатость и волнистость воспроизводимых графиков (получаемых обычным ДПФ) нарушают адекватное восприятие информации и могут привести к ошибочным решениям. Отсюда возникает необходимость спектрального анализа дискретных сигналов с переменными интервалами и гармонического синтеза по линейчатым спектрам непрерывных функций в произвольные моменты времени без накопления массивов рассчитаннщх точек и без процедур интерполяции.

На практике обычно используют только простые методы преобразования для сигналов с кратными частотами диск-

ретизации. Сокращение объёма памяти сохраняемых данных (компрессия) требует разработки правил отсчетов с неравномерными интервалами, обеспечивающих в то же время необходимую точность восстановления и фильтрации сигналов.

Случаи, когда исходные и требуемые точки отсчета не совпадают, являются более сложными. Здесь необходимо вводить коррекцию в преобразование Фурье и в гармонический синтез. Задача состоит в переходе от решетчатых функций к непрерывным на основе гипотез о заполнении интерполяционными зависимостями промежутков между отсчетами.

В отмеченной выше работе В.И.Крылова рассмотрены многие способы интерполяции исходной функции v(nT), где Т— интервал дискретизации, а п = 0...°°, с целью численного преобразования Фурье для восстановления v(t) при любом t. В этой работе получены в виде бесконечных сумм формулы непрерывных спектров для различных интерполяционных представлений и дана оценка точности этих спектров в зависимости от вариации второй производной сигнала. При ограничении полосы частот спектра этими формулами практически пользоваться нельзя из-за их невысокой методической точности. Суть проблемы состоит в получении методов уточнения ограниченных спектров.

Есть несколько работ, в которых хотя и рассматривают нерегулярную дискретизацию, но решаемые в них задачи носят характер иного направления. Задача в них решается во временной области и сводится к интерполяции и экстраполяции входных или выходных сигналов, заданных дискретными отсчетами. Для решения поставленной задачи на практике обычно получают искомую последовательность в узловых точках, запоминаемых в буфере, а затем аппроксимируют или интерполируют (например, рядом Котельникова) для определения значений функции при произвольном времени. В ряде случаев приходится значительно расширять спектр.

В диссертации исследованы. пути решения в частотной области задач, сформулированных выше. При этом рассмотрены наиболее рациональные для практического ис-

пользования способы интерполяции входных сигналов: прямоугольная и линейная (триангулярная или полигональная). Для них выведены формулы аппроксимирующих спектров, приведенные затем к экономичной для реализации форме. 2. Методология определения аппроксимирующего спектра С целью выработки методики восстановления непрерывных сигналов при цифровой обработке дискретных отсчетов взята прямоугольная интерполяция, широко используемая во многих источниках.

Входную периодическую функцию v(i) представим на отрезке наблюдения t = 0.../^ симметричными относительно точек отсчета прямоугольниками с основаниями Т- tJN, где N — количество интервалов. Полученная кусочно-непрерывная ступенчатая функция описывается суммой

где D(z) = [sign(z + 772) - sign(z - TI2)]I2 — выделяющий единичный прямогольник:

D{z)-\ при |z|< 772 и D(z)=0 при |z| > 772;

sign(x) — сигнум-функция (-1 при х < 0;

0 при * = 0; +1 при л: > 0).

При ограниченном количестве разрывов и абсолютной интегрируемости исходной функции v(r) она может быть представлена рядом Фурье

N-1

v(0= 2,v(nT)Dit-nT),

(1)

(оо)ЛГ-1

К0= cos kwt + bk sinkWt),

k=o

(2)

где IV = 2тс/^ — основная частота;

к— номер гармоники; ак,Ък— составляющие спектра У(кН/) = ак- / = , полученные прямым дискретным преобразованием Фурье:

«О =77 xW); ¿0=0; (3)

N n=0

ak =—-—-— 2*v(nT)cosk.wn\ kwN n=0

, 4sin kw/21^1 . h =—7—г,— ZJv(nT)smkwn. kwN n=i

Сравнение (3) с коэффициентами обычного ДПФ показывает, что; эти формулы отличаются от формул ДПФ только множителем 4sm(kw/2)/kw, где w = 2n/N — угловая дискретность, k=\...N-l. Формулы (3) приведены в [24].

При обычном ДПФ верхний предел суммы в (2) берется N-1, но восстанавливать v(0 достаточно точно можно только в точках отсчета. Между этих узлов возникают выпучивания такие же, как и при интерполяции негладких функций полиномами Лагранжа степени выше 3-й. Восстанавление v(i) по N коэффициентам (3) без коррекции дает в узлах ошибки до 50%. Для получения в узлах достаточной точности следует брать весьма много гармоник. Необходимую точность пребразования можно обеспечить и без расширения полосы частот (при N—1 в пределе суммы (2)), если учесть в (3) периодичность функции sm(kn/N).

Свертывание спектра (3) методом наслоения требует ввести дополнительные корректирующие множители к его составляющим в виде бесконечного ряда: =1-1/(1 + Nik) + + 1/(1 + 2N/k)-ll(\ + 3N/k)+... . Этот ряд зависит только от относительных номеров гармоник k/N. Сумму такого ряда можно определить по формуле Эйлера-Маклорена, которая состоит из интеграла и двух остаточных членов с числами Бернулли. В диссертации разработан достаточно простой и точный способ суммирования ряда, не имеющий остаточных членов. Кроме того, для суммы Sk(klN) определена методом наименьших квадратов экономичная аппроксима-

ция, и общий корректирующий множитель к спектру ДПФ получил вид:

кл

N

к

Из (4) видно, что и вся коррекция зависит только от кШ. Расчеты с использованием (4) показали,. что в точках отсчета ошибки не выходят за пределы 0,3%.

г = к!И, доказано, что ЯКк=2-Як, к = 1...М2. Коррекцию Як удалось упростить и увеличить ее точность. От параметра г для методом наименьших квадратов получен полином ¿(г) = г{1,384+ 675-т-(0,635+ 0,505г)]}, с помощью которого составляющие (.Ак, Вк) аппроксимирующего спектра вычисляются по спектру обычного ДПФ (ак, Ьк) для к - 1...М2 по формулам: А„к=акя(г); ВКк= Ак= аД2-.у(г)];

Вк- Ьк[2-$(г)]. При такой коррекции ошибки в узлах практически отсутствуют.

Прямоугольная интерполяция дает между узлами отсчетов более плавные переходы, чем при простом ДПФ, но ее нельзя считать удовлетворительной из-за остающейся волнистости восстанавливаемой функции (причиной этого является присущая прямоугольной интерполяции ступенчатость, что сохраняет явление Гиббса).

Таким образом, определено, что методика получения аппроксимирующих спектров состоит из подбора интерполирующих дискретные сигналы функций, вычисления спектров как суммы спектров функций на отдельных интервалах, свертывания бесконечных спектров (как функции относительных номеров гармоник) и контроля методом вычислительного эксперимента достоверности и точности полученных формул и алгоритмов путем прямого и обратного преобразований функций или сравнения их результатов с данными обработки точными методами.

С помощью равенства

3. Линейная с постоянными интервалами интерполяция сигнала

При линейной интерполяции исходная функция v(t) может быть представлена на отрезке t - последовательностью треугольных импульсов

v(0= IКлЛад, z = t!T-п, tN = NT, (5)

л=0

где D(z) = 0,5(1-л-sign z)[ 1 + sign(l-z-sign z)] — единичный треугольный (выделяющий) импульс с основанием 2Г;

sign г — сигнум-функция Z.

Огибающая треугольников обеспечивает соединение точек отсчета функции v(t) прямыми отрезками. Полученную непрерывную кусочно-линейную периодическую функцию можно представить рядом Фурье (2), а коэффициенты спектра определить из суммы спектров треугольников по формулам

ûo =77 iW); А) =0;

" л=0

= ^^ cos/evv) ^ уj cos . ^

(kwYN л=о , 4(1-cosfew) , _v . . (fov) N я=1

Составляющие спектра (6) отличаются от простого ДПФ множителем 4(l-cos kw)/(kw)2 = 2sm2(kn/N)/(kTt/N)2. Эти формулы приведены в [1, 24-30]. Ошибки восстановления v(í) по формуле (2) с использованием N коэффициентов (6) велики (для принятой в работе случайной последовательности они доходили в точках отсчета до 30%). Ошибки можно снизить

за счет увеличения количества гармоник (расширения спектра), что является нежелательным. В ряде работ указывалось, что спектр следует расширить примерно в 10 раз.

В диссертации определено, что полоса спектра не превысит значения, обратного величине интервала дискретизации, если учесть периодичность тригонометрических функций и ввести дополнительные корректирующие множители к спектру Ск = 1 + 1/(1 + Мку + 1/(1 + 2Мк)2 + 1/(1 + ЪИ/к)2 +.... Этот ряд удалось свернуть до формулы. Применяя для Ск по методу наименьших квадратов аппроксимацию степенным рядом, для общего корректирующего множителя была определена зависимость, показавшая высокую точность восстановления непрерывных исходных функций

^=2[зт(ЫЛ0/(кл/Л0]2 {1Цк/Ы)2[1,55-(к/Щ1,55-0,66/с/ЛО]}. (7)

к= 1...ЛГ/2. При этом для методом наименьших квадратов получена [32, 33] аппроксимация с(г) = г2[3,29 + /■(5,28-7,72/')], позволяющая по коэффициентам спектра обычного ДПФ с высокой точностью определять апроксимирующий спектр:

А^к=акф); В„_ =-Ькс(гУ, А= ак[2-с(г)]\ Вк= Ьк[2-с(г)]. Пря-

мое по этим формулам и обратное по формуле (2) ДПФ с линейно-аппроксимирующей коррекцией спектра на расчетных примерах показали, что ошибки восстановления р(?) в узловых точках практически отсутствуют. Внутри интервалов дискретности обеспечивается близкая к линейной аппроксимация с небольшими закруглениями в точках излома. Существенно (в 3-5 раз) снижена волнистость (явление Гиббса). Заметим, что при такой коррекции вычислительная сложность определения аппроксимирующего спектра практически остается такой же, как и при простом ДПФ (здесь можно использовать и быст-

С помощью полученного равенства

+ 2 г2

= 1, где г = кШ, доказано, что к- 2-Я

к>

рое преобразование Фурье - БПФ для расчета N12 комплексных коэффициентов спектра).

С использованием корректора с(к/1чТ) найдено отклонение результата восстановления непрерывных функций, полученного по формулам ДПФ, от результата, полученного с помощью линейно-аппроксимирующего преобразования (ЛАП)

Дм(0= X с(—)[{2ак8т2 — + Ь1с8т^^)со8к1¥{ + к=\ N Т Т

■ 2 Ш • 2тс?. . , тг, , + (2Ък бш — - ад. эт вт к Ж/].

Здесь ак, Ък — составляющие спектра простого ДПФ;

Это отклонение по существу определяется явлением Гиб-бса. Если его отнять от выходной функции простого ДПФ, то получим линейно-аппроксимированный выходной сигнал. Известна теорема о минимизирующем свойстве коэффициентов Фурье: «Из всех тригонометрических полиномов уУ-ой степени наименьшее среднее квадратическое уклонение от заданной на определенном сегменте непрерывной функции м(0 имеет полином, коэффициенты которого определяются интегралами Эйлера». В конце автореферата приводится теорема, в которой доказывается, что восстановление непрерывных функций с помощью ЛАП приводит к меньшим среднеквадратическим погрешностям, чем при использовании сумм Бесселя (ДПФ).

Предельная частота полученного спектра (/^-УТ) является парадоксом для непрерывной функции, так как фактический интервал дискретности равен нулю, а, следовательно, спектр должен быть бесконечным. Скорректированный спектр соответствует непрерывному сигналу и может непосредственно использоваться в алгоритмах проектирования и исследования цифро-аналоговых систем.

4. Линейная с неравномерными интервалами интерполяция сигнала

В ряде источников есть высказывания, что при неравных интервалах дискретности спектр сигнала не может быть теоретически определен. В диссертации эту задачу удалось решить, используя гипотезу о линейной интерполяции сигнала между отсчетами [1, 26-33].

При переменных интервалах между отсчетами исходная периодическая функция у(/) на отрезке времени в

случае линейной интерполяции может представляться формулой (рассмотрим наиболее сложный случай, когда функция импульсная, имеет период 2гы и у(/) = 0 при -tN<t< 0):

N-1

у(0 = У0О0 (о + X УиЦ, (*-/„) + (I - ), (8)

я=1

где ул= г(гп) — значения функции в узловых точках /я, п = 0

- - /п+1)]/Г+1} — несимметричный треугольный импульс с единичной высотой при I = /я;

Г = /„-/„., — интервал между отсчетами; п = 1...//; Г, = /,; £>„(0 = ОД/.-О^п / - - г,)]//,;

- д = о,5(/ - /№|)[ыцп(* - /№|) - 51еп(г - д]/г„.

Функцию (8) можно представить также на каждом интервале прямыми отрезками, соединяющими точки отсчета:

у(0 = 0,5Х(р„ -!„)], (9)

л=1

где р = (V .с - V I ,)1Т\ д = (у - V ,)1Т.

* П 4 П-\ п П П-V П' "й 4 Я Л-К П

Формулы (8) и (9) используем при определении линейчатого спектра кусочно-линейно интерполированного аналогового сигнала. Формулу ряда Фурье (2) повторим с учетом особенностей представления сигнала

м

=Х(акС05кт + ьк8™кт), (10)

к=О

где IV = тс//л, — основная частота;

акмЬк — составляющие спектра;

М — количество членов ряда (будет обсуждено в дальнейшем).

Коэффициенты ряда (10) определены выражениями:

а0 =

0,25

lN

N-1

Vi + ~Lvn(tn+i -t„-i).+vN(tN -tN_o n=i

ak

_ h

nz!c2

N-1

qNcask%-qx + dncoskWtn n=i

(H)

Vo-v^cosbt^

N-l

^dn smkWtn

,n= 1

>,dn=qn-qn+ï.

Здесь dn— вторая центральная разность (при постоянных интервалах 7). Проведенными исследованиями установлено, что для получения удовлетворительной точности восстановления непрерывной функции времени v(t) минимальным количеством (М) вычисляемых составляющих спектра является значение, равное отношению периода функции к наименьшему из интервалов: M = 2t{JTmin. При расчете v(f) с помощью ряда (10) путем суммирования составляющих только для к = 0...М обеспечивается точность порядка единиц процентов, что в ряде задач нельзя считать удовлетворительной. Вычислительным экспериментом определено, что для сложных сигналов получение высокой точности в узловых точках (порядка 0,1%) требует суммировать до (20...40)M гармоник.

Свертывание спектра можно получить применением соответствующей коррекции его составляющих, обеспечивающей достаточную точность и при M гармониках. Анало-

гично ранее рассмотренным методикам определены аппроксимирующие формулы для двух корректирующих множителей к составляющим спектра:

с. = 1 + (к/М)2[ 1,55 - (Ш/)( 1,55 - 0,65к/М)];

(12)

^ = 1 + (к/М)[0,5 + (к!М)(\,5 - 2к1М)].

В (11) выражения в квадратных скобках для ак и Ьк следует умножать на ск, а в Ьк разность у0- у^собкк — на Применение полученных формул на множестве детерминированных и случйных функций показало высокую точность их восстановления. Точность скорректированных формул (ошибки в узлах менее 0,1% от среднего абсолютного значения функций) обеспечивается при целых отношениях 1п/Тт.а(п = Л...И). Заметим, что для относительно гладких функций и менее жестких требованиях к ошибкам в узловых точках спектр, определенный по вторым разностям (¿Г), обеспечивает достаточно высокую точность их непрерывного восстановления при М гармониках и без коррекций (12). Это дает особенно хороший результат при фильтрации сигналов из помех.

Если периодическая функция определена на сегменте [/0, /д,) и задана в N произвольных точках (при этом у(/0)=у(/л,)), то ее период В этом случае \¥= 2п1х„, М = х^Тт.п

и формулы преобразования станут следующими:

м-1

?(*) = ^\аксжкТУг + Ькяак1¥1), (13)

ы о

где а0 =

0,5

ЛГ-1

"о 'лг-1) + IX С„+1 ~ 'п-1)

п—1

; Ь= 0;

пк . " 2(7хк)2

ы-1

qNcoskсоък\У1а + £ сси А:IV!п ч=1

к -со

7Ск

2(лк)2

ЛМ

Если функция определена на сегменте [О, то её период

у0= и формулы коэффициентов

ряда Фурье получат вид:

0,5 <70 = —

ак

N-1

п=\

-Ъ + Ъп^кЖ^ ) (14)

2{%ку\ п=I )

и

Ои =-:

2(%ку

И-1

п=1

В формулах (14) под знаком сумм стоит величина которая фактически является первой разностью первых разделенных разностей. Она пропорциональна второй центральной разности (или второй производной) сигнала у(/). В этом можно убедиться, если преобразовать эти формулы для случая постоянных интервалов (Тя= Т= сош1и М = Л0 [1]:

] N-1

°о=Т7 5>„; 60=0;

" п=0

ак =

Ыс,

2 (пк)2

лм 2 %кп

2У0 - V! - + X (2уи - У„_, -У„+1)С05—--«=1 ^ .

» ЛГс* V Ьк=-'

2пкп

N

(14')

;ч2 2 С2уя-Ул_, -Уи+Озт-^^Р-, к=1...(ЛГ-1).

2(пку п=1

Из сравнения этих формул с (6) наблюдается удивительный результат — формирующий тригонометрический множитель зт2кк/М перешел во вторые разности в суммах, и из спектра исчез периодически повторяющийся множитель. Такое аппроксимирующее преобразование для равных интервалов дискретности является новым (точность его высокая и без корректора сА).

Так как в (14') под знаком сумм стоят вторые централь-

ные разности входной последовательности v(nT), то точки отсчета для расчета ак и Ък можно брать там, где абсолютные значения вторых производных исходной функции превышают некоторый порог (это обеспечивает попадание отсчетов в окрестности максимумов и минимумов функции, что и необходимо для правильного восстановления непрерывного сигнала). Такая методика по существу решает и задачу компрессии данных при записи цифровых отсчетов сигналов на носители информации.

5. Линейная аппроксимация на основе косинус-преобразования

Если имеется табличная функция v(x), заданная в N + I точках на отрезке x0...xN, то она приводится к периоду 0...tN заменой аргумента t = При аппроксимации табличных функций нет проблемы граничных точек и формулы можно упростить. Для этого функцию v{t) следует симметрично, отобразить на левый отрезок оси t от -tN до 0. Тогда получим четную функцию с периодом 2tN, к которой можно применить косинус-преобразование Фурье:

м-1

v(t)= XakcoskWt, (15)

к-0

0 5 Г N-i где «0=7- Vi + Xv„('«+1 -tn-0+vN('n ~'n-i) :

lN L n=l

N-1

qNcoskK-qi+YjdncoskWtn .

n=\

„ _ 2tNck

ak --

тс 2k2

Аналогичным образом можно образовать нечетную функцию с периодом 2^ и применить синус-преобразование Фурье по формулам:

м-1

*(0= (16)

к=1

где

п к „=1

Формулы косинус-преобразования показали высокую точность воспроизведения весьма «угловатых» табличных функций, не поддающихся аппроксимации другими методами. Метод практически обеспечивает линейную аппроксимацию между узлами заданной таблицы, а волнистость отсутствует. При косинус-преобразовании функция точно вычисляется и на границах отрезка. На аппроксимации нет всплесков, так как нет разывов самой функции (разрывы производных здесь оказывают незначительное влияния).

Таким образом, аппроксимирующее преобразование, практически не расширяя спектр сигнала по сравнению с простым ДПФ, существенно снижает явление Гиббса. Заметим, что для представления сложных функций, кроме последовательностей треугольников или прямоугольных трапеций, можно использовать сумму прямоугольного импульса и лучей, исходящих из точек излома [1]. 6. Исследование переходных процессов Для решения различных задач по ЦОС на основе аппроксимирующего метода и анализа полученных формул в диссертацию включен комплекс из 36 программ на языке турбо-Паскаль. Ряд программ и результаты их применения приведены также в учебном пособии [28] и в монографии [1].

Полученный с помощью линейно-аппроксимирующего преобразования линейчатый спектр, как уже говорилось, определяет непрерывный сигнал и может непосредственно использоваться в программах исследования на основе методов непрерывной автоматики переходных процессов или фильтрации в аналоговых системах. Если сигнал у(г) воздействует на аналоговую динамическую систему с частотной характеристикой Ф(/ю) = г,(со) + ^(со), то по формуле дискретной свертки непрерывный выходной сигнал системы будет определяться выражением

м

У(0 = а0г 1 (0) + X {[ак2х (кЩ + Ькг2 (к\У)]со*к1¥1 +

Ы (17)

+ [Ь^(кЮ-акг2{кЮ]йпк1¥1}.

В этой формуле выражения в квадратных скобках равны коэффициентам гармоник спектра непрерывного выходного сигнала, не зависят от времени и могут быть вычислены однократно до восстановления функции при произвольно меняющемся времени. Для автоматических систем это позволит снимать сигнал управления с повышенной частотой, чем будет обеспечена необходимая устойчивость. Перенос процесса интерполяции из временной области в частотную существенно улучшил цифровое решение задач фильтрации, коррекции и определения производных высоких порядков для дискретных входных сигналов.

Для исследования реакции непрерывной автоматической системы с передаточной функцией Ф(р) на заданный входной сигнал составлена программа, реализующая формулу (17). Программа построена так, что любая дробно-рациональная передаточная функция Ф(р) задается непосредственно массивами коэффициентов многочленов числителя и знаменателя, для чего применен алгоритм преобразования многочлена в комплексное число [12].

С помощью этой программы рассмотрена реакция инерционного звена (системы с передоточной функцией Ф(р)= = Hip + 1)) на одиночный трапецеидальный импульсный сигнал, заданный на половине периода tN в 4-х точках с неравными интервалами значениями 0, 1, 1, 0 (на остальной половине периода ^ сигнал равен нулю). На мониторе построен график переходного процесса при практически непрерывном времени t (по 640 точкам) на интервале от 0 до 1,8^ и выполнена его распечатка на принтере. Вид восстановленного импульса и переходного процесса даны на рис. 2. (На рис. 1 приведен тот же процесс, но полученный с помощью традиционного ДПФ). Как видно, явление Гиббса уменьшилось до небольших всплесков на перегибах, а экспонента получилась идеальной.

На рис. 3 с помощью разработанного метода построены и распечатаны с ЭВМ управляющий двуполярный сигнал v(f) с широтно-импульсной модуляцией и отклик x{t) на этот сигнал системы с передаточной функцией Ф(р)= К/(р2 + ар + К).

Качество непрерывного восстановления кусочно-ломанного входного сигнала v(/) очень высокое, а явление Гиббса наблюдается только на его срезе в виде узкого всплеска. Вид графика выходного сигнала x(t) имеет качество, лучшее, чем можно получить с АВМ на шлейфовом осциллографе. Кроме того, процесс распечатки с ЭВМ более прост и доступен, чем вывод функций с АВМ на регистрирующие приборы. Решение, естественно, повторяется периодически.

Вычисление производных входного дискретного сигнала с?"у(*)/Лт может рассматриваться как переходной процесс на выходе звена с частотной характеристикой Фт(/со) = = (/со)т = + /г2(со). В диссертации проиллюстрировано вычисление при непрерывно меняющемся времени на всем отрезке наблюдения производных до 3-го порядка от гармонической дискретной функции по формуле (17). В задачах экстраполяции траекторий можно вычислять производные только в задаваемых на отрезке наблюдения нескольких (3-5) точках.

7. Компрессия данных

В системах ЦОС упаковка данных, сохраняемых на носителях информации, является актуальной проблемой. Линейно-аппроксимирующее преобразование, как отмечалось ранее, формирует спектр в основном из компонент, пропорциональных вторым разностям (второй производной, см. с1п в формулах (11), (14)—(16)). Следовательно, на участке, близком к линейному, где первые производные меняются мало, отсчеты могут браться только в его начале и в конце. Этим обеспечивается отбрасывание отсчетов, где параметр <1п по абсолютному значению не превосходит задаваемого порога чувствительности, что приводит к сокращению объема сохраняемых данных. При этом в аппроксимирующем преобразовании можно сохранять только вторые разности (с1п), а вместо последовательности точек отсчета (п запоминать интервалы между отсчетами - / .

Для исследования уплотнения данных сгенерирована случайная последовательность из N = 696 чисел, по характеру близкая к насыщенной элементами строке телевизионного изображения (пррядка 30 контрастных элементов). Программа упаковки вычисляет и сохраняет те данные, которые необходимы для определения спектра и восстановления сигнала методом линейно-аппроксимирующего преобразования. К таким данным относятся: время наблюдения ^ постоянная составляющая а0, постоянная <у = д{, количество N сохраняемых параметров с1} = ц- и их массив для у = 1...ЛМ. В программе был установлен порог чувствительности. После

•' О И Л Ц О!; Л л Ь!! Л л '

• БИБЛИОТЕКА

I Г

1 'ОЭ зоа .г» !

упаковки выдано сообщение: кол. элем. = 257 (вместо 696); макс, аргумент = 695.0; коэф. уплот. = 36.9%. Компрессия может быть увеличена учетом межстрочной и межкадровой корреляции.

8. Фильтрации сигналов

Математически задача фильтрации решается так же с помощью формулы (17). В работе рассмотрена программа с полосовым фильтром, применяемым в случае, когда спектр полезного сигнала определен только граничными частотами, а спектральная плотность помех практически равномерна в более широкой полосе частот.

В программе обычной полосовой цифровой фильтрации для уменьшения пульсаций выходного сигнала используется скорректированная (рабочая) амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) полосового фильтра, полученная после оконной коррекции (например, по Хеммингу) исходной бесконечной импульсной переходной характеристики (ИХ). Рабочая АЧХ вводится в память ЭВМ набором частотных коэффициентов. При. этом происходит нежелательное расширение полосы частот и закругленность углов АЧХ [34].

Преимущество аппроксимирующего преобразования состоит в том, что оконная коррекция не требуется, а просто устанавливаются граничные частоты для выходного спектра. Аппроксимирующий метод вполне успешно применяется и в случае достаточно сложных фильтров, учитывающих частотные характеристики аналоговых полезных сигналов и помех.

При решении задач фильтрации сигналов требовалось получать нормально распределенные последовательности из равномерно распределенных от 0 до 1. Для этого методом экспоненциальной регрессии были определены^ простые и достаточно точные аппроксимации для интеграла вероятности Гаусса Ф(0 ~ 1_ю *(°>34+0-16*> и его обратной функции:

при р = Ф(х) х = 1,07(71-5,5^(1 -р)-1). Ошибки Ф(х) при д:< 1,3 не выходят за ±0,001, а при х-2 имеется плавный прогиб порядка -0,0028 [33].

9. Применение метода к исследованию нелинейных систем

Метод линейно-аппроксимирующего преобразования с неравномерными интервалами дискретизации имеет 3 основных свойства, позволяющих не только исследовать системы с нелинейными элементами, но и существенно упростить этот процесс. Во-первых, линейная аппроксимация облегчает определение значения обратной функции нелинейности (аргумента) при заданном ее значении. Во-вторых, получаемые при нелинейном преобразовании неравномерные интервалы ¡между отсчетами не являются препятствием для данного метода. В-третьих, метод при обратном преобразовании обеспечивает непосредственное точечное восстановление оригинала сигнала в любой момент времени без буферизации и без применения интерполяции.

В диссертации рассмотрен алгоритм применения данного метода к системе с типовым нелинейным элементом «ограничение — линейный участок — насыщение». Для нелинейного элемента задается функция преобразования, и последовательно перебираются все точки отсчета. При нелинейном преобразовании изменются интервалы между отсчетами и их общее количество, так как некоторые отсчеты могут оказаться за ограничениями и отпадут, а могут появиться и новые отсчеты в точках перехода на ограничения. Полученные новые последовательности запоминаются соответственно в двух параллельных массивах. Размеры этих массивов Должны выбираться с некоторым запасом. Для выходного сигнала нелинейного элемента (НЭ) определяется спектр по приведенным выше формулам для неравномерной дискретности.

На рис. 4 дана реакция на сложный сигнал системы с нелинейным элементом (ограничения на уровнях: -3 и 7) и инерционным звеном. Переходной процесс построен простой подстановкой спектра сигнала, полученного на выходе нелинейного элемента, в формулу свертки. При наличии в устройстве нескольких нелинейных элементов указанная выше процедура должна применяться неоднократно.

v(t)x(i) 7-

НЭ, Ф(р) = J+-Î

-3--

О

t

Рис. 4

10. Сравнение аппроксимирующего преобразования с

Докажем теорему: Линейно-аппроксимирующее преобразование (ЛАП) обеспечивает в среднем более высокую точность восстановления непрерывных функций, чем ДПФ.

1. Пусть отрезок наблюдения [0, tN] непрерывной функции v(i) с интегрируемым квадратом разбит на N интервалов величиной Т. Функцию симметрично отобразим на отрезок [-/^,0] и будем считать периодической с периодом 2tN, что даст основную частоту косинус-преобразования Фурье W = %/tN. Такое представление упрощает формулы, не нарушая общности исследования.

2. По теореме Ляпунова-Парсеваля средний квадрат уклонения от непрерывной функции v{t) ее представления рядом Фурье

ДПФ

#».=■ ak2; HmL_>00^v =0, (18)

где полагается, что

L

v(t) ~ XakcosklVt,

k=o

(19)

lN 0 lN 0

lN 0

3. Коэффициенты ДПФ (вычисление (20) по методу трапеций, формулы Бесселя):

ак = м

к = 0,\,...,М-1\ (21)

1 ( Уо+У^СОвЛл ^

2 И=1

где уп=у(п7); М-2Ы\ п> = пШ — угловая дискретность.

4. При ЛАП: дискретная функция представляется непрерывной кусочно-ломаной, и в (19) ак заменяются на Ак, вычисляемые для суммы спектров М треугольников. При

Мп^/ЛГ (тск'/Ы)2

к! = 1...°°. Спектр можно свернуть до М гармоник, учитывая периодичность тригонометрических функций. Для к' = к + тМ, т = 0,1,...°° получим

. „ , . ¿.МП ЛЛ I 1V

этом А0 = а0, а для непрерывной функции Ак> = , ,,,жг 2 ак>

Ак=ак&к>Кк =

$1П22кг (. тл

2(яг)2

1+— г

■2

, г = к/М, к = \...М-\. (22)

При таком представлении мультипликатор Як зависит только от относительных номеров гармоник г, а бесконечный спектр свернут до М гармоник.

5. В формуле (18) для ДПФ Ь = М- 1 и <^>0 (неравенство Бесселя), а для ЛАП по существу Ь ~ <*> и ^ должен быть существенно меньше. В формуле (19) в обоих случаях верхний предел суммы I- остается равным М- 1.

Оценку разности средних квадратов уклонения при ДПФ и ЛАП можно получить из (18) с учетом (22):

М~Х 2 Я,2 = ?уДПФ - <7уЛАП = X <Л - (23)

6. Действительная часть спектра ДПФ имеет симметрию относительно частоты 1/2Т, поэтому ам к= ак для к -

С другой стороны, для мультипликаторов Як (22) имеется соотношение Ям к=2- Як при к - (см. п.З), что позволяет вычислять их по формулам: Кк=2-с(г); Лмк=с(г), где с(г) - функция относительного значения г = к1М. Разбив сумму (23) на 2 части и представив Як через с(г), получим

Полученная сумма всегда положительная, следовательно, ЛАП обеспечивает в среднем более высокую точность восстановления непрерывной функции v(t), чем ДПФ, что и требовалось доказать.

7.Сравнение ДПФ и ЛАП методом вычислительного эксперимента на множестве детерминированных и случайных ограниченных функий позволило оценить среднеквадрати-ческие ошибки восстановления непрерывных функций (по

(18) av = л/<?7): для ДПФ — 5-8%, а для ЛАП — 0,7-1,8% от

разности максимального и минимального значений функций. При решении задач фильтрации ЛАП обеспечивает погрешности на порядог ниже, чем при ДПФ (что обусловлено при ЛАП существенным подавлением явления Гиббса).

2

(24)

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

В диссертации проанализированы алгоритмы и программы ЦОС на основе методов спектрального анализа, а также разработаны и проверены новые (аппроксимирующие) методы и программы решения таких задач. По проведенным анализу и исследованиям можно сделать следующие выводы.

1. Обычное ДПФ при использовании решетчатых функций с равными интервалами во многих практических задачах не обеспечивает эффективной и рациональной цифровой обработки импульсных и аналоговых сигналов.

2. Разработана методика решения актуальной проблемы частотной цифровой обработки аналоговых сигналов, обеспечивающей непосредственно по спектру восстановление функций времени вне точек отсчета, интервалы между которыми могут быть неравномерными, без применения интерполяции на конечном этапе.

3. Наиболее рациональной гипотезой для решения поставленной задачи является кусочно-линейная интерполяция исходного аналогового сигнала и применение к ней преобразования Фурье. Прямоугольная интерполяция такого сигнала между точками отсчета или интерполяция полиномами 2-й и более высоких степеней являются нерациональными: 1-й — по причине невысокой точности, а 2-й — из-за сложности вычислительного алгоритма и накопления инструментальных погрешностей.

4. В работе выведены формулы получения по дискретным (равномерным и неравномерным) отсчетам ограниченного по частоте линейно-аппроксимирующего спектра и восстановления непрерывных (аналоговых) сигналов, показавшие в широком вычислительном эксперименте достаточно высокую точность (ошибки в узлах порядка десятых долей %).

5. При равномерных интервалах дискретности для получения аппроксимирующего спектра выведены зависимости для коэффициентов, корректирующих составляющие спект-

ра простого ДПФ (БПФ). Показано, что при такой коррекции для непрерывного входного сигнала не требуется расширения полосы спектра сверх частоты /м= ИТ, где Т — интервал дискретности. Восстанавливаемый сигнал в точках отсчета воспроизводится практически точно, а между точек отсчета близок к линейной интерполяции, имея небольшое закругление в угловых точках.

Для вычисления корректирующих множителей была уточнена формула Эйлера-Маклорена и разработан достаточно точный метод определения сумм медленно сходящихся бесконечных функциональных рядов.

6. Для неравномерных интервалов дискретности выведены формулы составляющих линейно-аппроксимирующего спектра. Показано, что формулы дают высокую точность восстановления исходных сигналов при количестве составляющих М = и обеспечении целыми всех отношений Г/Гл, где гы — отрезок наблюдения; ТЫп — минимальный из интервалов дискретности Г, где п - \...Ы — номера отсчетов.

7. Определено, что линейно-аппроксимирующее преобразование существенно подавляет всплески и волнистость (явление Гиббса), присущие дискретному преобразованию Фурье при ограниченном количестве членов его ряда, когда имеются разрывы исходной функции или ее производных. Показано, что в данном методе значительно снижено влияние разрывов производных на волнистость восстанавливаемых функций.

8. Выведены формулы аппроксимирующего преобразования, в которых существенная часть составляющих спектра определяется суммой выражений, пропорциональных вторым центральным разностям (вторым производным) исходной функции. Отсюда сформулировано правило отсчетов, согласно которому внутри участков, где первые производные функций меняются незначительно (вторые производные малы), отсчеты можно не брать, чем обеспечить сокращение количества данных, сохраняемых на носителях информации (компрессия данных).

9. Аппроксимирующий линейчатый спектр соответствует непрерывному сигналу и может непосредственно использоваться в программах систем ЦОС при исследовании переходных процессов или фильтрации на основе частотных методов теории непрерывных автоматических систем.

10. Из различных видов аппроксимирующих формул, полученных в работе, наиболее предпочтительным является косинус-преобразование. Во-первых, для него требуется меньше коэффициентов разложения, во-вторых, такое преобразование не имеет проблемы граничных точек (значения исходной функции в нулевой и в последней точках могут не совпадать, кроме того, упрощается сочленение соседних отрезков функции, обрабатываемой по частям). Такое преобразование особенно удобно для аппроксимации таблиц, заданных с неравномерными шагами аргумента.

11. Разработан алгоритм применения линейно-аппроксимирующего преобразования при неравномерных интервалах для исследования автоматических систем с нелинейными элементами и для определения непрерывных производных по входным дискретным сигналам.

12. В вычислительном эксперименте для детерминированных и случайных дискретных последовательностей определено, что среднеквадратическое отклонение непрерывных результатов фильтрации от точных решений при аппроксимирующем преобразовании примерно на порядок меньше, чем при простом ДПФ.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. О с и п о в JI.А. Обработка сигналов на цифровых процессорах. Линейно-аппроксимирующий метод: Монография. — М.: Горячая линия — Телеком, 2001. — 114 с.

2. Осипов Л.А. Исследование помехоустойчивости автоматических радиолокационных дальномеров против активных помех шумового типа: Канд. диссертация. — М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1956. — 152с. (Отпечатана в 35 экз. и разослана в ведущие КБ и НИИ).

3. Осипов Л.А. О помехоустойчивости автоматического импульсного радиодальномера: Монография. — М.: Труды ВЦ-3 МО, 1957, вып.2. — 36 с.

4. Осипов Л.А. Приближенное вычисление переходного процесса по операционному изображению//Труды ВЦ-3 МО, 1960, вып. 46, с. 48-67.

5. О с и п о в Л.А. Методика оценки эффективности автоматизированной системы контроля и индикации// Исследования по динамике управления и системам контроля. — М.:ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1970. Научные статьи, вып. 1273, с. 18-27.

6. Осипов Л.А. Интерпретирующая система для обучения на ЦВМ общего назначения программированию в кодах специализированной ЦВМ//Научно-методические материалы по применению ЭВМ в учебном процессе. — М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1974, с. 87-102.

7. О с и п о в Л.А. Проектирование бортовых вычислительных машин: Учебное пособие. — М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1974. — 34 с.

8. Осипов Л.А., Б ей лин В.П. Использование метода аффинных преобразований для аппроксимации многомерных функций//Научно-метод. сборник. — М.: ВВИА им. Н.Е.Жуковского, 1975, с. 71-78.

9. Осипов Л.А. Алгоритм быстрого преобразования Фурье//Научно-мет. сб./Под ред. И.Е. Казакова. — М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1978, с. 172—177.

10. Осипов Л.А., Огурцов В.К.Процедура двумерного быстрого преобразования Фурье // Научно-метод. материалы. — М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1979, с. 47-54.

11. Осипов Л.А., Огурцов В.К. Процедура быстрого двумерного преобразования Фурье. — М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, фонд алгоритмов и программ, Ф-47/2, 1979.

12. О с и п о в Л.А. Язык аналитик и его сравнение с языками алгол и фортран: Библиотека программиста. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. — 160 с.

13. Осипов Л.А. Процедуры быстрого преобразования Фурье// Учебное пособие «Алгоритмический язык ПЛ/1». — М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1983, с.52-59.

14. Осипов Л.А. Программирование боевых задач на алгоритмических языках: Учебник для вузов ВВС. — М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1984. — 190 с.

15. Осипов Л.А. Подпрограмма триангуляции по точкам, произвольно распределенным на плоскости. — М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, фонд алгоритмов и программ, Ф-22/2, 1985.

16. Осипов Л.А. Прикладные программы для исследования систем автоматического управления. — М.: ВДНХ. Диплом лауреата I Всесоюз. конкурса программных средств ПЭВМ и премия ГК ВТИ, 1991.

17. Бодунов Н.К., Осипов Л.А. Вычислительная техника в исследовании систем автоматического управления. — М.: ВЗИИТ, 1991. — 48 с.

18. Осипов Л.А. Параметрическая оптимизация нелинейной импульсной автоматической системы // Теория и системы управления. — М.: Изв. РАН, 1995, N 6, с. 71-82.

19. О с и п о в Л.А. Решение прикладных задач на ЭВМ: Учебное пособие. — М.: РГОТУПС, 1995. — 56 с.

20. Осипов Л.А.Математическое моделирование. — М.: РГОТУПС, 1997. — 14 с.

21. Бодунов Н.К., Осипов Л.А. Основы теории управления. — М.: РГОТУПС, 1997. — 30 с.

22. Осипов Л.А., Микита Г.И., Рамлов В.А. Компьютерная обработка вибросигналов тягового привода 2-го класса вагонов метрополитена процедурами быстрого преобразования Фурье // Межвуз. сб. науч. тр. — М.: РГОТУПС, 1997, с. 145-146.

23. Рамлов В.А., Микита Г.И., Осипов Л.А. Диагностические программы контроля механических неисправностей тягового привода, реализуемые мультимедиа средствами и про-

граммным обеспечением OLA // Тезисы докл. 3-й межвуз. науч-но-мет. конф., ч. 2. — М: РГОТУПС, 1998, с. 76-77.

24. Осипов JI.А. Процедуры аппроксимирующего преобразования функции времени в дискретный спектр // Тезисы докл. 3-й межвуз. научно-мет. конф., ч. 2. — М: РГОТУПС, 1998, с. 52-4.

25. Осипов JI.A. Новые алгоритмы обработки аналоговых сигналов на цифровых ЭВМ // Межвуз. сб. науч. тр., ч. 1. — М.: РГОТУПС, 1998, с. 128-131.

26. Осипов JI.A. Разложение в ограниченный ряд Фурье функции, заданной в точках с неравномерным шагом // Межвуз. сб. науч. тр., ч. 2. — М.: РГОТУПС, 1998, с. 78-82.

27. Осипов JI.A. Алгоритм быстрого преобразования Фурье с аппроксимирующей коррекцией // Тезисы докл. 4-й межвуз. научно-мет. конф., ч. 2. — М.: РГОТУПС, 1999, с. 39-41.

28. Осипов JI.A. Эффективные алгоритмы и программы цифровой обработки сигналов: Учебное пособие. — М.: РГОТУПС, 1999. — 70 с.

29. Осипов JI.A. Оптимальная цифровая обработка кусочно-линейной интерполяции аналоговых сигналов // Труды VIII международного семинара «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации». — М.: Междунар. Академия информатизации, сент. 1999, с. 122-125.

30. Осипов JI.A. Коррекция дискретного спектра для восстановления образующего его сигнала // Радиотехника, 1999, N 12, с. 39-43.

31. Осипов JI.A. Новая цифровая информационная технология обработки импульсных и аналоговых сигналов // Новые научные разработки проф. — преп. состава, рекомендуемые для внедрения. - М.: РГОТУПС, 2000, с. 116-119.

32. Осипов JI.A. Аппроксимирующее преобразование Фурье дискретных функций и его приложение// Сб. научных трудов по материалам международной юбилейной конференции. — М.: РГОТУПС, 2001, с. 489-490.

33. Осипов JI.A. Аппроксимирующий спектр дискретного сигнала // Труды международной юбилейной научной сессии МИФИ, 2002, т. 1, с. 208-209.

34. Зильберман-Мягков Я.С., Осипов JI.A. и др. Цифровой фильтр для поездной радиосвязи// Автоматика, связь, информатика, 2002 , № 3, с. 36-38.

35. Осипов Л.А. Математические модели в расчетах на ЭВМ. Применение интегрированных пакетов в инженерных расчетах. — М.: РГОТУПС, 2002. — 24 с.

36. Осипов Л.А. Способ преобразования аналогового сигнала, заданного дискретными отсчетами, в аппроксимирующий спектр: Заявка на патент. — М.: Федеральный институт промышленной собственности, июль 2001. (В октябре 2001г. получено подтверждение о приеме материалов на экспертизу).

ОСИПОВ Лев Александрович

МЕТОД ЛИНЕЙНО-АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

05.13.18. — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

_ЛР№ 020307 от 28.11.91_

Тип.зак. ££ ______Изд.зак.147 Тираж 90 экз.

Подписано в печать ¿74'. ОЯ. 03 Гарнитура Times. Офсет

Усл. печ. л. $ 0 Формат 60x90'/,

Издательский центр РГОТУПСа, 125933, Москва, Часовая ул., 22/2

Типография РГОТУПСа, 107078, Москва, Басманный пер., 6

2ро?~/ lis - 3 5 1 9

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ.

1.1. Спектр периодического аналогового сигнала.

1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

1.3. Дискретная свертка функций.

Выводы по 1-й главе.

Глава 2. АЛГОРИТМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ МИКРОПРОЦЕССОРНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ.

2.1. Одномерное двустороннее БПФ.

2.2. Двумерное БПФ.

2.3. Построение линейчатого спектра.

2.4. Дискретная фильтрация.

2.5. Эмуляция микропроцессоров ЦОС.

Выводы по 2-й главе.

Глава 3. МЕТОДОЛОГИЯ КОРРЕКЦИИ ДИСКРЕТНЫХ СПЕКТРОВ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕЙ ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Прямоугольная интерполяция входного сигнала.

3.3. Метод коррекции спектра суммой функционального ряда.

3.4. Методика оценки точности преобразования.

Выводы по 3-й главе.

Глава 4. РАЗРАБОТКА МЕТОДА ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПРИ РАВНОМЕРНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ.

4.1. Линейная с постоянным интервалом интерполяция сигнала.

4.2. Определение формул коррекции ограниченного спектра.

4.3. Оценка точности преобразования.

Выводы по 4-й главе. S

Глава 5. РАЗРАБОТКА МЕТОДА ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПРИ НЕРАВНОМЕРНЫХ ИНТЕРВАЛАХ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ.

5.1. Линейная с неравномерными интервалами интерполяция входного сигнала импульсного вида.

5.2. Коррекция ограниченного спектра

5.3. Оценка точности преобразования.

5.4. Правило отсчетов.

5.5. Аппроксимирующее преобразование периодических функций.

5.6. Аппроксимирующее преобразование четных функций.

5.7. Аппроксимирующее преобразование нечетных функций.

5.8. Сужение спектра с уменьшением явления Гиббса.

Выводы по 5-й главе.

Глава 6. ПРИМЕНЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩЕГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ. 103 6.1 .Распечатка графиков с монитора.

6.2. Исследование переходных процессов.

6.3. Компрессия данных.

6.4. Восстановление и фильтрация сигналов

6.5. Применение метода к исследованию нелинейных систем.

6.6. Определение производных сигналов и идентификация систем.

6.7. Оптимизация программ аппроксимирующего преобразования.

6.8. Практическая реализация разработок.

Диссертация является развитием исследований и результатов работ [17-23, 25, 26, 28-33], связанных с теоретическими вопросами обработки дискретных сигналов и их практической реализацией в конкретных системах. Работа над проблемой получения непрерывных выходных сигналов после дискретной обработки (цифровой фильтрации) входных сигналов велась в период с 1952 г. по 1999 г. Впервые проблему построения непрерывных траекторий по дискретных засечкам координат планет с помощью тригонометрических рядов поставил астроном Ф.Бессель (1838г.), им получены формулы дискретного преобразования Фурье, используемые и по сей день в системах цифровой обработки сигналов [1, 3, 6, 11, 13, 52, 54-57, 59-62].

Совершенствование методов цифровой обработки дискретных сигналов особенно важно для информационно-измерительных систем подвижных объектов (транспорта, аэро-космических комплексов, их измерителей бортовых данных, устройств автоматики и телемеханики), а также для робототехники [5]. Разработанный в диссертации новый (аппроксимирующий) метод цифровой обработки сигналов изложен в [3538,41-47].

Применение цифровой вычислительной техники для передачи, хранения и обработки аналоговых сигналов требует их представления в дискретных точках отсчета (дискретизация по времени) в виде числовых значений (квантование по уровню) [1]. Дискретное представление сигналов по сравнению с аналоговым обеспечивает более значительную помехоустойчивость, а их обработка на цифровых процессорах называемая цифровой обработкой сигналов - ЦОС) дает более высокую точность анализа сигналов и синтеза систем коррекции и фильтрации.

В сложных системах передачи и ЦОС отдельные звенья часто работают с различными частотами дискретизации и их сопряжение в едином функционирующем комплексе вызывает определенные трудности, связанные с получением после цифровой обработки значений выходного сигнала в промежутках между узлами. Разработка рациональных (по точности, требуемой памяти ЭВМ и времени реализации) численных методов ЦОС в таких сложных системах в [11] отнесена к разряду проблем. В данной работе рассматривается решение проблемы на основе преобразования Фурье, как наиболее удобном для реализации и распространенном в микропроцессорных системах ЦОС. Особенность такой реализации состоит в том, что требуется получить эффективное (в смысле наилучшее) решение в ограниченных технических возможностях конкретного микропроцессора (МП).

Разработанный метод, дающий сглаженный выходной сигнал, в значительной степени устраняет многие недостатки, свойственные дискретному преобразованию Фурье и Z-преобразованию.

При ЦОС интегралы, определяющие коэффициенты разложения Фурье (частотный спектр), заменяются на ограниченные суммы дискретных значений [6, 12, 13, 54-57, 59-62]. Особая роль дискретному анализу отводится в микропроцессорных системах цифровой обработки изображений, работающих в реальном времени [4, 58]. Для таких систем важна разработка экономичных методов запоминания и обработки сигналов. Эффективные методы обработки дискретных сигналов актуальны и для систем связи, телеметрии, диагностики и цифрового управления [1, 3, 34, 48, 53]. Не последнюю роль здесь играют и экономические показатели проектируемых микропроцессорных систем ЦОС.

Традиционные методы ЦОС - дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и Z - преобразование осуществляют обработку сигналов, взятых в фиксированных точках отсчета с постоянными интервалами. В этих же точках получают и выходные сигналы, а промежуточные значения определяют посредством интерполяции накопленных массивов точечных расчетов. Замена непрерывных входных сигналов дискретными отсчетами вносит методические ошибки. Например, при ДПФ получают спектр с полосой частот 1/2Т (где Т - интервал дискретности) в то время, как полоса непрерывного сигнала должна быть не менее 1/Т (спектр прямоугольного импульса, заполняющего пробел между дискретами). Из-за погрешностей спектра при цифровой фильтрации на непрерывный выходной сигнал накладывается значительная волнистость (явление Гиббса).

Таким образом, цифровая обработка аналоговых и импульсных сигналов имеет серьезные проблемы при решении задач фильтрации, коррекции, определения переходных процессов, производных. Использование в этих задачах Z-преобразования вносит дополнительные ошибки и ограничения.

Многие системы автоматического управления технологическими процессами и комплексы робототехники работают на принципе времяимпульсной модуляции управляющих сигналов [5]. В таких системах нет регулярности поступления дискретных сигналов. Кроме того, эти системы часто имеют нелинейные элементы. Все это усложняет исследование и проектирование систем автоматического управления, работающих в ответственных комплексах.

Основные цели данной диссертации состоят: - в разработке методов и алгоритмов цифрового спектрального анализа аналоговых и импульсных сигналов, дискретизированных с произвольными интервалами, с целью исключения недостатков обычного ДПФ и ускорения вычислительных процессов;

- в разработке алгоритмов синтеза временного сигнала в виде, удовлетворяющем требованиям его последующего использования (выходной сигнал системы ЦОС должен быть непрерывным, не иметь заметной волнистости, обеспечивать адекватное восприятие, допускать съём его значений в произвольные моменты времени);

- в разработке алгоритмов решения задач определения переходных процессов, фильтрации, дифференцирования и формирования управляющих сигналов с использованием частотных методов теории непрерывных автоматических систем;

- в разработке алгоритмов исследования нелинейных систем;

-в разработке рационального правила отсчетов для аналоговых входных сигналов и их компактного дискретного представления на носителях цифровой информации;

- в разработке комплекса программ для исследования и проектирования систем ЦОС.

В имеющихся работах рассматриваются задачи ЦОС в основном при равномерных интервалах дискретизации, приводятся расчеты по различным формулам обработки, но только в узловых точках и отсутствуют расчеты при непрерывных значениях аргументов [12, 6062]. Для подавления явления Гиббса применяют коррекцию импульсных характеристик [6]. Работы по аппроксимирующим спектрам с ограниченной полосой частот нам неизвестны.

Учитывая эти обстоятельства, в диссертацию включены две главы, цель которых проанализировать возможности алгоритмов ДПФ для получения непрерывных выходных сигналов. В 1-й и 2-й главах введены обозначения, получены различные варианты формул ДПФ и выполнены расчеты для типовых процессов, что позволило оценить их 7 точность и в последующих главах сравнить с ними результаты расчетов по новым аппроксимирующим формулам. Учитывая, что в различных источниках формулы преобразования Фурье могут отличаться в множителях или в знаках отдельных элементов, в этих главах определяется единая для данной работы форма записи математических зависимостей. Такой подход позволил избежать ссылки на внешние источники (с соответствующими им пояснениями) и этим сократить объём работы.

В эти главы включены также разработанные инструменты для исследования и проектирования ЦОС: программы построения и распечатки графиков и линейчатых спектров, а также программный эмулятор сигнального микропроцессора типа ADSP-21xx. Рассматриваются алгоритмы и программы быстрого преобразования Фурье (БПФ) векторов и матриц, что важно для микропроцессорных систем ЦОС. Дается анализ методов повышения быстродействия ДПФ за счет табличного ввода некоторых функций и исключения в программах операций деления.

Назначение этого материала состояло в определении эффективных путей совершенствования ДПФ на основе анализа его возможностей по получению непрерывных выходных сигналов. Выводы по главам 1 и 2 конкретизировали направление исследований по диссертации.

Разработка и исследование нового метода ДПФ приводятся в главах 3-6. В главе 3 формируются методики построения аппроксимирующих преобразований Фурье, сжатия бесконечных спектров и оценки точности разработанных формул и алгоритмов.

В главе 4 разрабатывается и исследуется метод линейно-аппроксимирующего преобразования при равных интервалах дискретизации, а в главе 5 - при неравных интервалах. 8

Аппроксимирующие свойства процесса цифровой обработки (определение выходного сигнала при произвольном времени) обеспечиваются новым подходом к построению частотных спектров. Для получения коррекций и сжатия спектров, разработан способ достаточно точного определения сумм бесконечных функциональных рядов.

Вычислительным экспериментом определено, что разработанный аппроксимирующий метод обеспечивает высокую точность двойного (прямого и обратного) преобразования Фурье, а применение полученной коррекции по существу не расширяет по сравнению с обычным ДПФ спектр практически непрерывного сигнала. В 5-й главе сформулировано также правило взятия отсчетов с аналоговых сигналов по уровню второй центральной разности. Показано существенное снижение волнистости воспроизводимых процессов между узлами. Сглаженные и практически непрерывные процессы позволяют применением экстраполяции или увеличением частоты съёма сигналов рассогласования повысить устойчивость цифровых систем управления.

В главе 6 даны методики применения аппроксимирующего преобразования в различных типовых задачах ЦОС. Программно реализованы алгоритмы применения разработанного метода для исследования переходных процессов, фильтрации и коррекции сигналов в автоматических системах, в том числе и в системах, содержащих нелинейные элементы и дифференциаторы. Определен алгоритм компрессии данных, сохраняемых на носителях информации.

Весь теоретический материал подтвержден расчетами и графиками, полученными на ЭВМ с использованием разработанных формул и программ. Материал может читаться без анализа программ.

Программы и контрольные расчеты по ним вынесены в Приложение и обозначены как рисунки с номерами, начинающимися с буквы П. К ним 9 можно обращаться для сверки формул и контроля решений, полученных другими методами. Приведенный в Приложении комплекс из 36 программ имеет и самостоятельное практическое значение как инструмент для исследования различных процессов в системах ЦОС. Программы комплекса используются в учебном процессе и в научных исследованиях. Этому способствовало включение разработанных программ в изданное учебное пособие [43] и в монографию [46].

Список литературы содержит работы, наиболее близко связанные с темой диссертации. Из 100 печатных работ автора в список включено 35. Сделаны выводы о работоспособности, обеспечиваемой точности и областях применения разработанного метода линейно-аппроксимрующей цифровой обработки сигналов.

По выполненным исследованиям приведен перечень их практической реализации (наиболее важным из них является разработка программного обеспечения 1-го в стране авиационного комплекса с бортовой ЭВМ, принятого на вооружение и отмеченного Государственной премией [22,23]).

Области применения разработанного метода ЦОС:

- системы радиосвязи, радиолокации, радионавигации, телевидения;

- системы обработки информации от бортовых устройств и приборов;

- комплексы цифровой обработки телеметрической информации;

- системы автоматического и автоматизированного управления;

- цифровые комплексы технической диагностики;

- цифровые системы медицинской диагностики (томографии);

- комплексы автоматизации производственных процессов и робототехники.

Рациональное решение этих задач актуально для научных исследований и практического применения во многих отраслях народного хозяйства.

Диссертация ориентирована на техническое и прикладное назначение и ее математическая часть изложена в стиле, рекомендованном в книге [9]. Микропроцессорная реализация алгоритмов потребовала приведения полученных формул к экономичной вычислительной схеме. В частности, для исключения в алгоритмах операций деления или вычисления стандартных и специальных функций (в МП это требует соответственно в 16 и в 25 раз больше времени вычислений, чем сложение или умножение [14]) все выведенные в работе формулы приводятся, по-возможности, с помощью метода наименьших квадратов к степенным полиномам, вычисляемым по схеме Горнера.

Для оценки точности и времени микропроцессорной реализации алгоритмов потребовалось разработать программный эмулятор МП, как это делалось в работах [22, 23, 25] при проектировании специализированных систем ЦОС.

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

В работе рассмотрены алгоритмы и программы ЦОС, основанные на методах современного спектрального анализа, а также разработаны и программно проверены новые методы решения таких задач. По проведенным анализу и исследованиям можно сделать следующие выводы.

1.Обычное ДПФ при использовании решетчатых функций с равными интервалами дискретности во многих практических задачах не обеспечивает эффективной и рациональной цифровой обработки аналоговых сигналов.

2.Актуальной проблемой является разработка методов цифровой обработки аналоговых сигналов, обеспечивающих восстановление функций времени вне точек отсчета, интервалы между которыми могут быть неравномерными, без применения интерполяции на конечном этапе.

3.Наиболее рациональным методом для решения поставленной задачи является гипотеза о кусочно-линейной интерполяции исходного дискретного сигнала и применение к ней преобразования Фурье. Прямоугольная интерполяция такого сигнала между точками отсчета или интерполяция полиномами 2-й и более высоких степеней являются нерациональными: 1-й - по причине невысокой точности, а 2-й - из-за сложности вычислительного алгоритма и увеличения инструментальных погрешностей.

4.Доказана теорема, что линейно-аппроксимирующее преобразование обеспечивает в среднем более высокую точность обработки сигналов по сравнению с обычным дискретным преобразованием Фурье. Вычислительным экспериментом определено, что точность фильтрации и восстановления непрерывных сигналов увеличивается в 2-4 раза. При простом восстановлении сигналов по спектру ошибки в узловых точках не выходили за сотые доли %.

5.При равномерных интервалах дискретизации для получения аппроксимирующего спектра выведены зависимости для множителей, корректирующих составляющие спектра простого ДПФ (БПФ). Показано, что при такой коррекции для кусочно-линейного (по существу непрерывного) входного сигнала не требуется расширение спектра сверх частоты fM=l/T, где Т - интервал дискретизации. Восстанавливаемый сигнал в точках отсчета воспроизводится практически точно, а между ними близок к линейной интерполяции, имея небольшие закругления в окрестности угловых точек.

6.Для определения корректирующих множителей получены простые аппроксимации на основе разработанного способа вычисления сумм бесконечных медленно сходящихся функциональных рядов.

7.Для неравномерных интервалов дискретизации определены формулы составляющих линейно-аппроксимирующего спектра. Показано, что формулы обеспечивают высокую точность восстановления исходного сигнала при количестве составляющих M=tN/Tmin и обеспечении целыми всех отношений Tn/Tmin, где tN - отрезок наблюдения; Tmin - минимальный из интервалов дискретизации Tn , n=l.N - номера отсчетов.

ЪЪ

8.При равных интервалах дискретности метод аппроксимирующего преобразования для неравных интервалов, приводит к форме преобразования Фурье, в котором дискретные отсчеты функции заменяются ее 2-ми центральными разностями.

9.Показано, что линейно-аппроксимирующее преобразование существенно (в 3-5 раз) подавляет всплески и волнистость (явление Гиббса), присущие преобразованию Фурье при ограниченном количестве членов ряда, когда имеются разрывы исходной функции или ее производных. В разработанном методе существенно ослабленно влияние разрывов производных на вид восстанавливаемых функций.

10.В разработанном методе существенная часть составляющих спектра определяется суммой, элементы которой пропорциональны вторым разностям исходной функции. Отсюда сформулировано правило отсчетов, согласно которому внутри участков, где первые производные меняются незначительно (вторые разности малы), отсчеты можно не делать, чем обеспечить сокращение количества данных, сохраняемых на носителях информации (компрессию данных).

11.Аппроксимирующий линейчатый спектр соответствует непрерывному сигналу и в работе показано, как полученные формулы непосредственно используются в алгоритмах аналоговых систем при исследовании переходных процессов или фильтрации. Приведены примеры прямого получения производных высоких порядков для дискретных сигналов.

12.Из различных видов аппроксимирующих формул, приведенных в работе, наиболее предпочтительным является косинус-преобразование. Во-первых, для него требуется в 2 раза меньше коэффициентов разложения, во-вторых, такое преобразование не имеет проблемы граничных точек (значения исходной функции в нулевой и в последней точках могут не совпадать, кроме того, упрощается сочленение соседних отрезков функции, обрабатываемой по частям). Такое преобразование особенно удобно для аппроксимации табличных функций, заданных с неравномерными интервалами аргумента.

13.Разработан алгоритм и показано применение линейно-аппроксимирующего преобразования при неравномерных интервалах дискретности для исследования автоматических систем с нелинейными элементами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Существо разработанного метода состоит в том, что по взятым с аналогового сигнала дискретным отсчетам строится и корректируется спектр с ограниченной полосой, позволяющий восстановить линейно-аппроксимированный выходный сигнал в любой момент времени без процедур интерполяции. Использование метода снимает ряд проблем цифровой обработки сигналов. Кратко перечислим основные элементы и возможности метода:

- формулы и программы определения аппроксимирующего спектра непосредственно по отсчетам входного сигнала с равномерными или неравномерными интервалами дискретизации;

- коррекция частотного спектра, ограничивающая его полосу;

- метод определения сумм бесконечных функциональных рядов;

-восстановление с достаточно высокой точностью линейноаппроксимированного сигнала при непрерывных значениях аргумента;

- алгоритм аппроксимирующего преобразования по вычислительной сложности аналогичен алгоритму простого ДПФ;

- простое сопряжение нескольких систем, работающих с некратными частотами дискретизации;

- снижение явления Гиббса;

- возможность съёма сигналов управления в произвольные моменты времени, чем может быть обеспечено расширение области устойчивости автоматических систем;

- возможность непосредственного использования скорректированного линейчатого спектра в алгоритмах исследования непрерывных систем;

- простой алгоритм исследования нелинейных систем;

- возможность непрерывного вычисления производных входных дискретных сигналов;

- правило отсчетов по уровню второй производной входного сигнала, сокращающее количество суммируемых амплитуд сигнала;

- обеспечение компрессии данных, сохраняемых на носителях информации;

- возможность адекватной замены в исследованиях аналоговых машин и устройств цифровыми ЭВМ (с распечаткой непрерывных графиков).

В рамках данной работы разрешена проблема определения дискретного спектра ограниченной ширины, обеспечивающего восстановление в произвольные моменты времени (практически непрерывного) линейно-аппроксимированного сигнала. С помощью разработанных программ показана работоспособность и высокая точность аппроксимирующего метода на типовых задачах в основных процессах время-частотных преобразований сигналов. Для этого в течение четырех лет было составлено и отлажено более 200 программ ЦОС, 36 из которых приведены в Приложении.

В процессе работы были получены представления функций л sinTtx/rcx и (sin7cx/rcx) в виде бесконечных функциональных рядов.

Автор благодарен всем, принявшим участие в обсуждении представленного здесь материала, за конструктивную критику и предложения по его совершенствованию, а также по конкретным задачам для решения разработанным методом.

1.Баранов J1.A. Квантование по уровню и временная дискретизация в цифровых системах управления.-М.: Энергоатомиздат, 1990.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Электронный учебник для вузов. М.: МГУ, 2001.

3. Болнокин В.Е., Чинаев П.И. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы.-М.: Радио и связь, 1986.

4. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. С-Пб, Военный университет связи, 1999.5 .Времяимпульсные системы автоматического управления / Под ред. И.М.Макарова.-М.: Наука.Физматлит,1997.

5. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. Пер. с англ.-М.: Сов. радио, 1973.

6. Гольдман С. Гармонический анализ, модуляция и шумы. Пер. с англ.-М.: 1951.

7. Горелов Г.В. Нерегулярная дискретизация сигналов.-М.: Радио и связь, 1982.

8. Калиткин Н.Н. Численные методы: Электронный учебник. М: МГУ, ИПМ РАН, 2001.

9. Ю.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Пер. с англ.-М.: Наука, 1974.

10. П.Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа.-М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1974.

11. Кузин JI.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. М.: Машгиз, 1962.

12. З.Логинов В.А. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов. М.: МЭИ, 2000.

13. Н.Марков С. Цифровые сигнальные процессоры. Кн.1.-М.: МИКРОАРТ, 1996.

14. Осипов Л.А. О помехоустойчивости автоматическогоимпульсного радиодальномера: Монография. Труды ВЦ-3 МО, 1957, вып. 2. 36 с.

15. Осипов Л.А. Параметрическая оптимизация нелинейной импульсной автоматической системы// Теория и системы управления,-М.: Изв. РАН, 1995, №6, с.71-82.

16. Осипов Л.А. (отв. исп.) . Разработка методов теоретического определения технических требований к бортовым ЦВМ: Отчет по1. НИР. ВЦ-3 МО, 1958.

17. Осипов JI.A. Алгоритм быстрого преобразования Фурье//

18. Научно-мет. сб./ Под ред. И.Е.Казакова.-М.: ВВИА, 1978.

19. Осипов JI.A., Огурцов В.К. Процедура двумерного быстрого преобразования Фурье// Научно-метод. материалы.-М.: ВВИА, 1979.

20. Осипов JI.A. Язык аналитик и его сравнение с языками алгол и фортран: Библиотека программиста. -М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1982.- 160 с.1. МА

21. Осипов JI. А. Процедуры быстрого преобразования Фурье//Учебное пособие "Алгоритмический язык ПЛ/Г'.-М.: ВВИА, 1983.32.0сипов Л.А. Программирование боевых задач на алгоритмических языках: Учебник для вузов.-М.: ВВИА, 1984.- 190с.

22. Осипов Л.А. Процедуры аппроксимирующего преобразования функции времени в дискретный спектр// "Актуальные проблемы и перспективы развития железножорожного транспорта". Тез. докл. 3-й межвуз. научно-мет. конф.-М.: РГОТУПС, 1998.

23. Осипов Л.А. Аппроксимирующее преобразование Фурье дискретных функций и его приложение// Сб. научных трудов по материалам международной конференции.-М.: РГОТУПС, 2001, с.489-490.

24. Осипов Л.А. Обработка сигналов на цифровых процессорах. Линейно-аппроксимирующий метод: Монография.-М.: Горячая линия -Телеком, 2001. 114 с.

25. Поляков Д.В., Круглов И.Ю. Программирование в среде Турбо-Паскаль (версия 5.5). -М.: МАИ, 1992.

26. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ.-М.: Мир, 1978.

27. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа.-М.: Физматгиз, 1980.

28. Романюк Ю.А. Основы обработки сигналов: Учебное пособие. -М.: МФТИ, 1989.

29. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов.-С-Пб, Питер, 2002.

30. Солодовников В.В. Введение в статистическую динамику систем автоматического управления.-М.: ГИТТЛ, 1952.

31. Фролов А.В., Фролов Г.В. Мультимедиа для Windows.-M.: Диалог МИФИ, 1996.

32. Харкевич А.А. Спектры и анализ. -М.: ГИФМЛ, 1962.

33. Цифровая обработка сигналов: Справочник / Л.М.Гольден-берг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк.-М.: Радио и связь, 1985.

34. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для вузов/ Л.М.Гольденберг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк.-М.: Радио и связь, 1990.

35. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. -М.: Наука, ГРФМЛ, 1977.

36. Atzeni С., Masotti L. A new sampling procedure for the synthesis of linear trasversal filters. IEEE Trans., 1971, July, AES-7, №4, pp. 662-670.

37. Vaidyanathan P.P., Phoong S-M. Discrete time signals which can be recovered from samples. Proc. IEEE Int. Conf. Acoust. Speech, and Signal Proc., Detroit, pp. 1448-1451, May 1995.

38. Unser M. Sampling 50 years after Shannon. Proc. of the IEEE, vol. 88, no. 4, pp. 569-587, April 2000.