автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка методов и алгоритмов субполосного моделирования эмпирических данных

На правах рукописи

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ СУБПОЛОСНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Специальность 05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о НОЯ 2011

Белгород - 2011

005001624

\

Работа выполнена в Белгородском государственном национальном исследовательском университете \

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Жиляков Евгений Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор

Глушак Александр Васильевич

доктор технических наук, с.н.с. Волчков Валерий Павлович

Ведущая организация

Ставропольский государственный университет, г. Ставрополь

Защита состоится 1 декабря 2011 года в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.015.04 при Белгородском государственном национальном исследовательском университете по адресу: 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного национального исследовательского университета.

Автореферат разослан «20» октября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Беленко В. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Эмпирическими данными называются результаты регистрации количественных значений тех или иных параметров, отражающих свойства исследуемых объектов или процессов. При моделировании эмпирических данных достаточно широко используются частотные представления вида

/(/)= (1)

где f(t) - вещественный, регистрируемый (наблюдаемый) параметр, зависящий от переменной t, которая для простоты называется временем; f(co) - непрерывная, в общем случае комплексная, функция (частотная характеристика) аргумента со, называемого круговой частотой со = 2яи, где и - переменная, называемая частотой.

Предполагается, что условия существования интеграла в (1) выполнены и f(t) принадлежит пространству Ь2, так что справедливо имеющее физический смысл равенство Парсеваля

||/||2 = ] f2(t)á=*^F(afdü>/2x, (2)

которое можно преобразовать к виду

|/||2=2>,> (3)

/•=о

где Рг - части энергии

pr = j\f(vfdo>j2x (4)

в частотных интервалах

Д, =[-«,♦.,J [Í2,AJ, П0=0, ' = 0,1,2,..., (5) выбор которых может быть продиктован различными соображениями.

Ясно, что представление (1) можно преобразовать к сумме компонент, определяемых только соответствующими отрезками частотной характеристики

f{t) = ¿ fr С), fX0 = [ F(co)expUc»t)dco /2л■. (6)

Описание свойств эмпирических данных с точки зрения выбранной из тех или иных соображений системы частотных интервалов вида (5) в рамках данной работы называется субполосным моделированием.

Достаточно часто в приложениях используется априорное предположение о финитности области частот, где сосредоточена подавляющая доля энергии исследуемой функции, т.е. имеет место приближенное равенство

I/I2* (7)

aeD

где D - частотный интервал конечных размеров вида (5), либо объединение нескольких таких интервалов. Это представление в рамках данной работы называется субполосной моделью эмпирических данных, степень адекватности которой необходимо оценивать.

Ясно, что в реальности осуществить проверку адекватности модели субполосных представлений можно только на основе анализа эмпирических данных, зарегистрированных на временных интервалах конечной длительности Т, т.е. по отрезку /((), r<t<T + г, г - начало регистрации. В этих условиях аппроксимацией неизвестной частотной характеристики служит трансформанта Фурье функции с финитным носителем

г

FT(co,r)=jf(t + T)e-J''dt, (8)

о

область определения которой финитной являться не может, а составляет всю числовую ось. Поэтому необходимо иметь эффективный метод проверки адекватности модели (7) на этой основе.

В задачах моделирования широко применяется частотно-временная интерпретация эмпирических данных в виде описания закономерности поведения исследуемого параметра на языке динамики изменений частей энергий

\\FMzfdvl27i, (9)

<0€Df

определяя в частности при этом множество частотных интервалов Л,(г), суммарная ширина которых минимальна, и где сосредоточена заданная доля m энергии отрезков наблюдений, то есть выполняется условие

Afrl = 1IIл ш= J f\t+T)A. (10)

reRi(r) о

Одним из самых эффективных методов моделирования эмпирических данных является разложение по функциональным базисам

Д/ + г) = £ at(v)<pk(t), t е (0,Г). (11)

*

Обзор специфик задач субполосного моделирования позволяет сформулировать следующие условия адекватности аппроксимационных свойств применяемых базисных функций (модель субполосного базиса): базисные функции должны с точностью до множителей полностью определяться отрезками своих трансформант Фурье из заданного частотного интервала; базисные функции должны быть ортогональны на интервале регистрации эмпирических данных; отрезки трансформант Фурье базисных функций в заданном частотном интервале должны быть ортогональны; должна обеспечиваться возможность интерполяции и оценивания производных частотных компонент по значениям эмпирических данных в дискретном наборе точек области регистрации (субполосные интерполяция и дифференцирование).

Используемые в настоящее время для субполосного моделирования базисы (дискретный базис Фурье, вейвлеты и другие) не отвечают

сформулированным выше условиям адекватности аппроксимационных свойств.

Поэтому совершенствование методов субполосного моделирования эмпирических данных за счет применения новых адекватных функциональных базисов является актуальной научной задачей.

Целью данной работы является разработка и исследование новых методов субполосного моделирования эмпирических данных на основе обладающих адекватными аппроксимационными свойствами функциональных базисов, создание соответствующих численных методов обработки отрезков эмпирических данных, а также их алгоритмических и программных реализаций.

Для достижения цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка и исследование функциональных базисов, свойства которых адекватно отражают специфику задач субполосного моделирования эмпирических данных (субполосных базисов).

2. Разработка вычислительных алгоритмов субполосного моделирования на основе дискретных эмпирических данных конечной длительности.

3. Разработка субполосных методов и алгоритмов интерполяции и численного дифференцирования дискретных эмпирических данных.

4. Разработка методов и алгоритмов проверки адекватности модели субполосных представлений и частотно-временной интерпретации эмпирических данных.

5. Разработка программных реализаций алгоритмов субполосного моделирования эмпирических данных.

Методы исследований базируются на теории преобразований Фурье, моделях субполосных представлений, методах линейной алгебры и вычислительных экспериментах.

Научную новизну работы составляет следующее:

1. Методы субполосного моделирования эмпирических данных на основе новых ортогональных базисов функций, аппроксимационные свойства которых адекватно отражают специфику задач описания закономерностей поведения исследуемых процессов в терминах характеристик их частотных компонент (субполосные базисы);

2. Численные методы обработки отрезков эмпирических данных на основе разложений по субполосным базисам;

3. Алгоритмы моделирования эмпирических данных на основе разложений по субполосным базисам и их программные реализации;

4. Методы и алгоритмы проверки адекватности моделей субполосных представлений и частотно-временной интерпретации эмпирических данных на основе разложений по субполосным базисам.

Практическая значимость работы определяется тем, что использование полученных в ней результатов позволит повысить

эффективность процедур субполосного моделирования эмпирических данных, и прежде всего их точность и достоверность выводов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Модели субполосных ортогональных базисов функций, включая результаты исследований их аппроксимационных свойств при дискретизации области определения.

2. Методы и алгоритмы субполосного моделирования эмпирических данных на основе разложений по новым субполосным базисам и их программные реализации.

3.Методы субполосной интерполяции и численного дифференцирования дискретных эмпирических данных на основе интерполяции и дифференцирования базисных функций.

4. Метод проверки на основе разложений по субполосным базисам адекватности моделей субполосных представлений (предположений о финитности области частот, где сосредоточена подавляющая доля энергии исследуемой функции).

5. Метод и алгоритм частотно-временной интерпретации эмпирических данных на основе разложений по субполосным базисам.

Достоверность выводов и рекомендаций обусловлена адекватностью аппроксимационных свойств разработанных базисов задачам субполосного моделирования эмпирических данных, корректностью применяемых математических преобразований, непротиворечивостью полученных результатов с установленными ранее фундаментальными фактами теории анализа эмпирических данных на основе частотных представлений, а также подтверждается результатами вычислительных экспериментов с реальными эмпирическими и модельными данными.

Личный вклад соискателя. Все изложенные в диссертации результаты исследования получены либо соискателем лично, либо при его непосредственном участии.

Апробация результатов диссертационного исследования.

Результаты диссертационного исследования обсуждались на следующих научно-технических конференциях: Первая и Вторая Международная научно-техническая конференция, «Компьютерные науки и технологии», 2009 г., 2011 г.г., Белгород, Россия; 12-я и 13-я Международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и ее применение», Б8РА - 2010., ББРА - 2011., Москва, Россия; XXIII Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-23» Россия, 2010, Саратов; Одиннадцатая международная научно-практическая конференция «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности», 2011 г., Санкт-Петербург, Россия.

Связь с научными и инновационными программами. Диссертационное исследование проводилось в рамках следующих программ фундаментальных, поисковых и инновационных исследований: Аналитическая ведомственная целевая программа «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» Федерального агентства по

образованию, подраздел 2.1.2. «Проведение фундаментальных исследований в области технических наук», проект 2.1.2/656 «Разработка на основе частотных представлений математических моделей и оптимальных методов обработки речевых сигналов при хранении и передаче речевых сообщений в информационно-телекоммуникационных системах (ИТС)»; ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры для инновационной России» на 2009-2013 годы, гос. контракт №14.740.11.0390, проект по теме: «Разработка вариационных методов и алгоритмов обработки изображений земной поверхности в задачах их дешифрирования»; ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры для инновационной России» на 2009-2013 годы, гос. контракт №02.740.11.5128, проект по теме: «Разработка автоматизированной системы количественного синтеза результатов внедрения технологий электронного обучения».

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 14 печатных работ (из них 6 в журналах из списка ВАК РФ), в том числе два Свидетельства Роспатента РФ о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и Приложений. Работа изложена на 178 страницах машинописного текста, включая 30 рисунков, 34 таблиц и список литературных источников из 134 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность диссертационного исследования, формулируется его основная цель и дается обзор содержания глав.

В первой главе диссертации «Методы математического моделирования эмпирических данных. Состояние вопроса и задачи исследования» делается обзор методов математического моделирования эмпирических данных, определяется роль и значение частотных представлений и основанных на них методов субполосного моделирования, оценивается адекватность задачам субполосного моделирования применяемых в настоящее время базисов и формулируются конкретные задачи, решение которых способствует достижению поставленной цели исследования.

Во второй главе диссертации «Математические основы субполосного моделирования эмпирических данных» уточняются формулировки задач субполосного моделирования эмпирических данных, решается задача разработки базисов, аппроксимационные свойства которых адекватно отражают направления субполосного моделирования, рассматривается проблема вычисления базисных функций на основе квадратурных формул и методы построения субполосных разложений эмпирических данных по базисным функциям, а также проведены вычислительные эксперименты, иллюстрирующие свойства субполосных базисов.

В разделе 2.1 «Модель субполосного ортогонального базиса» на

основе общих требований получены математические соотношения,

определяющие ортогональные базисные функции, применение которых

позволяет эффективно решить задачи субполосного моделирования

эмпирических данных.

Доказано, что непрерывная функция gг(t), 0 < / < Г тогда и только тогда с

точностью до постоянного множителя сг определяется отрезком своей

трансформанты Фурье в заданном частотном интервале

с г:

gr(t) = — \Ог(со)е'мс1а), где С,(а) = когда она удовлетворяет

о

т

соотношению gr(t) = cr jgr(x)A,(t-x)dx, т.е. является собственной функцией

о

ядра

р*"^. (12)

Правая часть последнего соотношения определяет симметричное ядро, которое в дальнейшем называется субполосным.

Для непрерывной функции 2(1), о < / < т справедливо соотношение

г г

I ¡г{х)г(0Аг (/ - х)сЫ1 = | 12(<у) |2 с/®/ 2л,

О О <цеОг

которое показывает, что ядро вида (12) является положительно определенным. Поэтому оно обладает набором ортонормальных собственных функций

/ = 1,2,... (13)

О

= = (14)

о

где 61к - символ Кронекера, совокупность которых является полным базисом в пространстве 12[0,Г], то есть функций с ограниченной евклидовой нормой с указанной в квадратных скобках областью определения.

Непосредственно из (13) с учетом определения (12) и свойства (14) нетрудно получить следствие

= / = 3,к \ Ок{0>)О1Ш<о12я. (15)

О О Ы'-О,

Установлено, что для ортогональности в рассматриваемом частотном интервале отрезков трансформант Фурье двух функций из пространства Ь2 [О, Т] достаточно, чтобы они были трансформантами Фурье собственных функций субполосного ядра.

Из соотношения (15) следует справедливость равенства

4= | |СДет)|2 ¿юПл. (16)

Очевидно, что в силу (14) и равенства Парсеваля (2) выполняется неравенство

О < К < 1 ■ (17)

В дальнейшем для удобства записей предполагается упорядоченность собственных чисел по убыванию, так что выполняется неравенство лм,г <К> ' = 1.2,- •

Базис из собственных функций ядра Л, (г) является полным в 12[о,г], так что для любой функции из этого пространства справедливо представление

(18)

т

*кг "

. = |л('Ы0<*. (19)

о

Так как ряд (18) с коэффициентами (19) можно интегрировать почленно, то и для её трансформанты Фурье справедливо соотношение

^»»¿«„О». (20)

Поэтому в виду (15) выполняется равенство

1Л жО, ¡-1 »=1 1Я охОг

а попадающая в заданный частотный интервал часть энергии произвольной функции определяется соотношением

(21)

»=1

Кроме того, определяемая соотношением /,г(0 = ^Рт(ш)е'""с1(о/2я

аей,

зависящая только от отрезка трансформанты Фурье в заданном частотном интервале компонента произвольной функции из пространства 12[о,г], представима в виде

= (22)

/Ы

Таким образом, получены соотношения, определяющие искомые ортогональные базисы для субполосного моделирования эмпирических данных, и соответствующие представления для их описания в терминах свойств частотно-временных компонент.

На основе известного разложения симметричных положительно

определенных ядер вида = ортонормальности их

к= 1

собственных функций и определения (12) нетрудно получить соотношение ¿Акг=Т{0.гЛ-С1г)!л, которое говорит о том, что сумма положительных

собственных чисел является конечной. Поэтому, начиная с некоторого индекса ,]г, их величины будут мало отличаться от нуля.

В разделе 2.2 «Вычисление дискретизованных аппроксимаций функций субполосных базисов» рассматриваются способы вычислений дискретных значений субполосных базисных функций, так чтобы для них выполнялись условия ортонормированности с весом, то есть

Т N

\&Лх)ёЛхУЬ:''^Ь^кг{х1)^ь.(х1)=811, где ¿яу = о,...,ЛГ - положительные

о 1-О

коэффициенты, определяемые видом используемой квадратурной формулы; крышка сверху означает аппроксимацию значений базисных функций в соответствующих точках области определения хп причем предполагается эквидистантная дискретизация, так что имеет место= jA,} = О,...,Л' (д - шаг дискретизации, n - количество интервалов интегрирования, т = Л'Д).

Получена соответствующая форма для вычисления с помощью стандартных программ математических пакетов собственных чисел и аппроксимирующих векторов

(23)

где дкг ={йкМЛ-'&Л'н))тзнак транспонирования; Икг - собственные векторы симметричной положительно определенной матрицы С = 4в-Аг-4в, то есть имеет место

ЛА=СА; (24)

В = ^diag{b0,b¡,...,bN); Д = {д.(г,.-*,)}; I, = /Л, ху=уД, iJ = 0,...,N.

Рассмотрены три квадратурные формулы.

Квадратурная формула прямоугольников (КФЩ. В данном случае диагональная матрица весовых коэффициентов имеет вид В = ДсЛ'а^(1,1,...д).

= А^/л/д. (25)

Квадратурная формула трапеций (КФТ). Матрица весовых коэффициентов имеет вид в = ДЛа£(0,5;1,...,1;0,5).

Квадратурная формула Симпсона (КФС). Предполагается, что количество слагаемых является четным. Элементы матрицы весовых коэффициентов определяются соотношениями

¿„=¿„=1/3, 6, =4/3, ; = 2к, к = \,2,...,ЫЬ] = 2/3, у = 2к + 1, к = 1,2,...,N-2.

Таким образом, задача вычисления базисных функций может быть сведена к вычислению собственных векторов и собственных чисел матриц. В работе проведено большое количество вычислений собственных функций и чисел субполосных ядер для различных частотных интервалов. При этом использовалось легко получаемое из определения (12) явное выражение для субполосного ядра

Д(/-х)= 25т((П„, -ПД(Г-Х)/2)со5((П„, +ПГ)(/-*)/2)/(*(/-*)). (26)

Результаты вычислений показывают близость значений собственных чисел субполосного ядра, рассчитанных на основе трех различных квадратурных формул с различными шагами дискретизации. Тот же вывод справедлив и относительно близости результатов вычислений дискретизованных значений базисных функций (если осуществить

соответствующую нормировку). Поэтому, представляется целесообразным применять для вычислений квадратурную формулу прямоугольников (КФП).

В разделе 2.3 «О сокращении объема вычислений наборов собственных функций» показано, что при использовании четного количества частотных интервалов г = 0,...,Д одинаковой ширины, так что имеет место

Д(П,+| -Пг) = сом1, г = О,...,Л = 2и-1, Пм=я-/Д (27) дискретизованные аппроксимации собственных функций в частотных интервалах с номерами р и Я-р, р = 0,...,п-1 обладают некоторой симметрией, которая позволяет сократить объем их вычислений почти в два раза. Получены соответствующие вычислительные соотношения.

В основе построений использовался установленный факт ортогонального подобия

А^И-'А^О, р = 0,...,п~1; (28)

О = 07^(1-1,1,-1,-, (-1)")

матриц вида

Аг=\Аг(1,-х;)\ и = 0...,лг. (29)

Отсюда следует одинаковость наборов собственных чисел рассматриваемых матриц и соотношение

Г = 0,..,/7-1, (30)

связывающее собственные векторы, соответствующие равным собственным числам.

Это позволяет сократить трудоемкость вычислений субполосных базисов такого полного набора частотных интервалов и затраты на хранение их значений.

В разделе 2.4 «О субполосных представлениях эмпирических данных» рассмотрены некоторые характерные аспекты выбора субполосного базиса для построения разложений эмпирических данных. Основным критерием при этом служит «экономность» получаемых представлений в смысле количества используемых слагаемых в соответствующих рядах, получаемых из (18)

/гМ«/г,«(0=1Хи<)- (31)

»=1

Погрешность такого «усечения» определяется равенством

=||/г-/г,м н2= 2Х- (32)

к=М11

Предположим теперь, что можно определить частотный интервал так, что выполняется условие

г

= (33)

о

В этом случае погрешность аппроксимации ограничена сверху значением

*2/||/г||2< ¿л- (34)

(-Л/+1

Таким образом, необходимо выбирать такое число слагаемых, чтобы собственные числа в правой части были достаточно малыми. Это можно осуществить тогда, когда подавляющая доля энергии моделируемого отрезка эмпирических данных сосредоточена не в сплошном, а некотором наборе не примыкающих друг к другу частотных интервалов. Тогда следует образовать суммарное ядро вида

Аа = £А,(<-х), (35)

геД,

где Я, - множество указанных интервалов, и вычислить соответствующие собственные функции. Заметим, что рассмотренные подходы к субполосному моделированию по существу являются адаптивными, так как используется оценка концентрации энергии моделируемой функции и вычисляемые затем адекватные базисные функции.

В разделе 2.5 «Некоторые частотно-временные свойства субполосных базисных функций» приведены результаты исследований на основе вычислительных экспериментов свойств собственных чисел и функций субполосных ядер.

Ориентируясь на представление (26), введен параметр

с = Г(Пг+1 -Пг)/2, (36)

который характеризует сочетание ширины частотного интервала и длительности моделируемого отрезка эмпирических данных.

Показано что для всех использованных частотных интервалов, начиная с индекса (квадратная скобка означает целую часть числа)

Уг=2[Г(П,.+|--П,)/2;г] + 4 = 2[с/;г;1 + 4 (37)

собственные числа с достаточной степенью точности удовлетворяют равенствам

4=0, к>Зг. (38)

Таким образом, в соотношениях (21) и (22) следует учитывать только конечное число слагаемых.

Установлено, что значения упорядоченных по убыванию собственных чисел зависят только от параметра (36) и не зависят от расположения частотного интервала.

Пары ненулевых собственных чисел при сочетании индексов ((2£-1,2£), А: = 1,2,...) близки по величине, а соответствующие собственные функции проявляют колебательный характер с изменяющейся по одному тому же закону амплитудой. Периоды колебаний тг равны

гг=4л-/(Пг+1 + Пг), (39)

а сдвиг по фазе в составляет угол л 12.

Показано, что количество ненулевых собственных чисел для суммарных ядер (см. предыдущий раздел) определяется соотношением

^ = (40)

гей,

Проведено сравнение частотных концентраций энергий базисных функций и вейвлетов Морле (0 = е~'г/2 сов(5/) и Гаусса первого порядка У'Саи,(')= -Зк/е '1 (параметр к выбирается так, чтобы евклидова норма равнялась единице), которые достаточно широко применяются для моделирования эмпирических данных. Результаты вычислений показывают, что при одинаковой длительности концентрация энергии в частотном интервале у предлагаемых базисных функций выше, чем у рассматриваемых вейвлетов.

В разделе 2.6 формулируются основные результаты и выводы главы.

В третьей главе диссертации «Разработка методов и алгоритмов субполосного моделирования эмпирических данных на основе их дискретных значений» рассмотрены проблема построения разложений отрезков эмпирических данных по их дискретным значениям, задачи интерполяции и численного дифференцирования, а также предложен метод ускорения вычислений коэффициентов разложений эмпирических данных по субполосным базисам.

В разделе 3.1 «О вычислении коэффициентов субполосных разложений эмпирических данных по дискретным значениям» рассматривается проблема построения представлений вида (18) эмпирических данных на основе вычислений коэффициентов разложений, имея в виду, что в виду конечности количества ненулевых значений собственных чисел субполосных ядер (см. соотношение (37) и (38)) при описании их частотно-временных свойств (субполосном моделировании) соотношения (21) и (22) преобразуются к виду

(41)

к=1

(42)

А=1

Здесь имеется в виду, что реально регистрируется только набор значений эмпирических данных в некотором наборе точек интервала наблюдений / =/г(',)> причем в большинстве случаев используется эквидистантная дискретизация, так что ti = г'Д, г = 0,...,лг, ,¥Л = Г. Крышка над коэффициентами означает, что используются оценки, вычисленные по таким данным, однако речь идет о построении аппроксимаций для непрерывных эмпирических функций. Поэтому возникает задача разработки алгоритмов вычисления оценок коэффициентов с использованием «прореженных» значений базисных функций.

С точки зрения простоты вычислений целесообразно в соответствии с определением (19) для вычисления скалярных произведений применять квадратурную формулу прямоугольников, чтобы имело место

М) 1=0

Крышки в этом соотношении означают, что используются прореженные версии аппроксимаций базисных функций, вычисленных при малой величине шага разбиения д их области определения, так как речь идет о моделировании непрерывных эмпирических данных. Возникает необходимость определить границу сверху для шага дискретизации базисных функций, исходя из условий сохранения хотя бы приближенно условий ортогональности результатов прореживания, то есть условия

£ тФк. (44)

¡=0

Очевидно, что единственным инструментом такого исследования в данном случае может служить только вычислительный эксперимент.

Суть исследования состоит в нахождении максимального значения интервала дискретизации Дт„ базисных функций, при котором матрица Грама дискретизованных аппроксимаций базисных функций близка к диагональной. В качестве исходных значений базисных функций (г) используются значения, полученные в результате применения метода вычисления базисных функций на основе квадратурной формулы прямоугольников с начальным интервалом дискретизации (шагом интегрирования) Д, выбранный заведомо достаточно малым. При их вычислениях для имитации эмпирических данных использовались модельная функция

/(/) = 5т(«,/)+ 1,58т(ю2/)+ 25т(й)з4<€ [<У]!

(О, = 2;г• 20;ги2 =2я--19,98; щ = 2л-20,21.

Установлено, что при выполнении условий (квадратные скобки означают целую часть числа, границы частотного интервала выражены в Гц) М<[2о^/{иг«-иг)] (45)

полученные в результате прореживания базисных функций векторы сохраняют ортогональность.

В разделе 3.2 «Субполосная интерполяция и численное дифференцирование эмпирических данных» непосредственно на основе определения базисных функций разработаны методы и алгоритмы их интерполяции и численного дифференцирования, что позволяет решать эти задачи для моделируемых эмпирических данных. Кроме того использование интерполяционных процедур дает возможность хранить значения базисных функций в прореженном виде, что уменьшает затраты памяти компьютеров.

Исходные соотношений для интерполяции и численного дифференцирования базисных функций нетрудно получить из определения (13) при замене интегрирования на квадратурную формулу (в данном случае прямоугольников)

Л,г§, (0 = д£ А, (/ - (М), (46)

к=0

4=0

Здесь штрих, в том числе у субполосного ядра, означает производную, а крышка сверху - соответствующую оценку значений базисной функции или её производной на основе имеющихся дискретизированных с некоторым шагом значений.

Для исследования погрешностей воспроизведения значений базисных функций или их производных использовался метод вычислительных экспериментов. Установлено, что погрешности аппроксимаций базисных функций и их производных существенно зависят от значений соответствующих собственных чисел (от концентрации энергии в выбранном частотном интервале). При этом чем больше собственное число тем меньше возникающие отклонения вычисляемых оценок от исходных посчитанных с малым шагом дискретизации (исходных) значений базисных функций. Снова следует отметить, что выполнение неравенства (45) позволяет получить малые погрешности при субполосных интерполяции и численном дифференцировании на основе соотношений (46) и (47).

В разделе 3.3 «О сокращении объемов вычислений при субполосном моделировании эмпирических данных» показано, что при разбиении частотной оси дискретных данных на четное количество частотных интервалов одинаковой ширины (см. соотношение (27)) дискретизованные базисные функции для частотных интервалов с индексами р и Я-р, р = 0,...,п-\ обладают симметрией, описываемой соотношением (30), что позволяет почти в два раза сократить объем вычислений скалярных произведений вида (43), которые входят в определяющие частотно-временные модели эмпирических данных соотношения (41) и (42). Для реализации возникающей последовательности вычислений разработан соответствующий алгоритм.

В разделе 3.4 приводятся основные результаты и выводы по третьей главе.

В четвертой главе «Разработка алгоритмов проверки адекватности модели субполосных представлений и частотно-временной интерпретации эмпирических данных» рассматриваются прикладные аспекты субполосного моделирования эмпирических данных на основе разработанных ортогональных базисов.

В разделе 4.1 «Алгоритм проверки адекватности модели субполосных представлений» рассматривается проверка адекватности предположения о том, что регистрируемые эмпирические данные порождаются в соответствии с представлением (моделью) (7), то есть область частот, где сосредоточена подавляющая доля энергии порождающего процесса, финитна - £) = у д., которая может состоять из Л, разделенных

гей,

частотных интервалов ограниченной ширины вида (5).

В качестве меры адекватности проверяемой модели предлагается использовать значение доли энергии анализируемого отрезка эмпирических данных, попадающей в заданный частотный интервал

«п> = 5Хг/Ш12. (48)

геЛ,

Входящие сюда величины определяются соотношениями (9) и (10) (г = 0).

Очевидно, что правую часть последнего соотношения можно интерпретировать как вероятность попадания энергии регистрируемого отрезка эмпирических данных в заданный набор частотных интервалов. Поэтому представляется естественной следующая интерпретация результатов проверки исходной гипотезы: субполосная модель вида (7) справедлива на уровне тт. Этот уровень должен сравниваться с некоторым заранее оговоренным порогом, например 0,8, так что, когда вычисленное значение правой части (48) будут меньше него, то исходное предположение о сосредоточенности энергии порождающего эмпирические данные процесса в заданном наборе частотных интервалов должно быть отвергнуто.

Вместе с тем нетрудно понять, что возможна альтернативная проверка предположения о финитности области частот, где сосредоточена подавляющая (заданная) с1 доля энергии порождающего эмпирические данные процесса. В этом случае набор соответствующих частотных интервалов Я, минимальной суммарной ширины

(Пм1-П,) (49)

лей,

определяется адаптивно на основе сравнения характеристики (48) с заданным уровнем ¿1. Далее вычисляется отношение

Г=Д<7,/*, (50)

которое является мерой частотной сосредоточенности заданной доли энергии в пределах половины частоты дискретизации (нормированной

полосы частот для дискретизованных значений). Ясно, что меньшее значение характеристики (50) говорит о большей частотной сосредоточенности заданной доли энергии эмпирических данных. Для количественных оценок следует снова ввести порог, превышение которого правой частью (50) дает основание отвергнуть предположение о финитности области частот.

Показано, что для получения достоверных выводов длительность анализируемого отрезка эмпирических данных должна удовлетворять неравенству

Г>4я7тт(Пг+1-ПД геЯ,. (51)

Разработан соответствующий алгоритм ускоренных вычислений долей энергий при обработке эмпирических данных.

В разделе 4.2 «Алгоритм частотно-временной интерпретации эмпирических данных» разработаны метод и соответствующий вычислительный алгоритм, позволяющий описать отрезки эмпирических данных на основе вычислений коэффициентов разложений по всем субполосным базисам, которые определяются заданной системой покрывающих частотную полосу [0,гг/д) дискретизированных данных частотных интервалов (Я неперекрывающихся частотных интервалов)

' = 1,...,*. (52)

Сопоставительный анализ для каждого частотного интервала величин

Jr

¿1 с их суммами = позволяет определить множества индексов

»=1

Кг,г = 1,...,Я слагаемых в представлениях (52), коэффициенты при которых вносят подавляющий вклад в общую энергию, так что остальные можно исключить из рассмотрения.

Тогда при синтезе (восстановлении) моделируемого отрезка достаточно использовать соотношение

(53)

г=|

что позволяет существенно сократить сохраняемую информацию (коэффициенты частотно-временной модели) об отрезках эмпирических данных.

В разделе 4.3 «Программная реализация разработанных алгоритмов субполосного моделирования эмпирических данных» создан прототип программной реализации разработанных алгоритмов субполосного моделирования эмпирических данных.

В разделе 4.4 приводятся основные результаты и выводы по четвертой главе.

В Заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В пяти Приложениях приведены: документы, подтверждающие научную новизну представленных в диссертации алгоритмов субполосного моделирования эмпирических данных; часть результатов экспериментальных исследований; функциональные схемы, интерфейсы и демонстрация работы модулей программной реализации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1. Разработаны и исследованы новые функциональные базисы, свойства которых адекватно отражают специфику решаемых задач субполосного моделирования эмпирических данных (модель субполосных базисов).

2. Разработаны методы субполосного моделирования эмпирических данных на основе ортогональных базисов функций (субполосные базисы).

3. Разработаны и исследованы процедуры вычислений субполосных базисов.

4. С точки зрения субполосного моделирования эмпирических данных по их дискретным значениям проведены исследования дискретизованных субполосных базисов и установлены условия сохранения свойства ортогональности соответствующих дискретизированных аппроксимаций базисных функций.

5. Разработаны методы субполосной интерполяции и численного дифференцирования дискретных эмпирических данных на основе интерполяции и численного дифференцирования базисных функций, позволяющие уменьшить затраты на хранение их значений за счет предельной дискретизации.

6. На основе установленных свойств субполосных базисов разработаны ускоренные алгоритмы субполосного моделирования эмпирических данных, позволяющие существенно сократить трудоемкость вычислений.

7. На основе разложений по субполосным базисам отрезков дискретных эмпирических данных разработан метод проверки адекватности модели субполосных представлений, заключающейся в том, что область частот, где сосредоточена подавляющая доля энергии эмпирических данных, финитна.

8. Разработан метод и алгоритм частотно-временной интерпретации эмпирических данных на основе разложений по субполосным базисам, что позволяет описать динамику изменений их энергетических характеристик и уменьшить объем битовых представлений (провести сжатие данных).

9. Разработаны программные реализации основных алгоритмов субполосного моделирования эмпирических данных.

10. Результаты проведенных вычислительных экспериментов с реальными эмпирическими и модельными данными иллюстрируют работоспособность предлагаемых алгоритмов субполосного моделирования эмпирических данных.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Жиляков, Е.Г. О наилучшем ортогональном базисе для субполосного анализа и синтеза сигналов / Е.Г. Жиляков, С.П. Белов, C.B. Туяков, Д.В. Урсол // Информационные системы и технологии. - 2011. - № 2. - С. 26-33.

2. Жиляков, Е.Г. О вычислении собственных функций субполосного ядра / Е.Г. Жиляков, C.B. Туяков // Вопросы радиоэлектроники. Сер. Электронная вычислительная техника (ЭВТ). - 2011. - Вып. 1. - С. 25-34.

3. Туяков, C.B. О свойстве субполосных матриц и их собственных векторов / C.B. Туяков // Научные ведомости БелГУ. Серия История. Политология. Экономика. Информатика. - 2010. - № 1, вып. 13/1. - С. 83-87.

4. Жиляков, Е.Г. Формирование адаптивных базисов для аппроксимации функций на основе частотных представлений / Е.Г. Жиляков, C.B. Туяков // Информационные системы и технологии. - 2010. - № 3. - С. 72-79.

5. Жиляков, Е.Г. Кратномасштабная аппроксимация функции / Е.Г. Жиляков, C.B. Туяков // Вопросы радиоэлектроники. Сер. Электронная вычислительная техника (ЭВТ). - 2010. - Вып. 1.-С. 26-38.

6. Туяков, C.B. Сравнение базисных векторов для представления функций / C.B. Туяков // Научные ведомости БелГУ. Серия История. Политология. Экономика. Информатика.-2009,-№9, вып. 11/1.-С. 131-137.

Статьи в материалах и сборниках трудов научных конференций

7. Туяков, C.B. Уменьшение вычислительной сложности алгоритма вычисления точного значения доли энергии отрезка эмпирических данных в заданном частотном интервале / C.B. Туяков // Цифровая обработка сигналов и ее применение - DSPA -2011 : 13-я междунар. конф., Москва, Россия : докл. - М., 2011. - С. 155-158. - (Труды

Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени А. С. Попова. Сер. Цифровая обработка сигналов и ее применение. Вып. 13-1).

8. Жиляков, Е.Г. Внедрение ЦВЗ в речевое сообщение на основе замещения частей энергии в заданном частотном интервале окна аудио-сигнала / Е.Г. Жиляков, П.Г. Лихолоб, C.B. Туяков // Высокие технологии, образование, промышленность : Одиннадцатая междунар. науч.-практ. конф. Санкт-Петербург, Россия: сборник статей. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2011, С. 73-78. (Сборник статей Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности под ред. А.П. Кудинова. Т. 3).

9. Туяков, C.B. Частотная фильтрация дискретных эмпирических данных в вейвлет-базисе и базисе собственных векторов субполосной матрицы / C.B. Туяков // Цифровая обработка сигналов и ее применение - DSPA - 2010 : 12-я междунар. конф., Москва, Россия : докл. - М., 2010. - С. 281-284. - (Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени А. С. Попова. Сер. Цифровая обработка сигналов и ее применение. Вып. 12-1).

10. Жиляков, Е.Г. Об одном подходе к построению адаптивных базисов для аппроксимации функций на основе частотных представлений / Е.Г. Жиляков, C.B. Туяков // Инновационные подходы к применению информационных технологий в профессиональной деятельности: Вторая междунар. науч.-практ. интерпет-конф., Белгород, Россия: Сборник научных трудов. - Белгород, 2010. - С. 327-330.

11. Жиляков, Е.Г. Об одном подходе к формированию адаптивных базисов для аппроксимации функций / Е.Г. Жиляков, C.B. Туяков // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-23: XXIII междунар. науч. конф., Саратов, Россия: сборник трудов. - Саратов.: Изд-во СГТУ, 2010. - С. 145-149. - (том 1 секция 1).

12. Туяков, C.B. О базисах для представления функций / C.B. Туяков // Компьютерные науки и технологии: 1 междунар. науч.-техн. конф., Белгород, Россия: Сборник трудов, Белгород, 2009. - С. 248-250. - (Часть 2).

Программы для ЭВМ

13. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010617662 «Программная система быстрых вычислений значений долей энергии сигнала в равномерных частотных интервалах», Жиляков Е.Г., Туяков C.B. Заявка № 2010615778, дата поступления 21 сентября 2010 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 19 ноября 2010 г.

14. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010617224 «Программная система аппроксимации сигнала в базисе собственных векторов», Жиляков Е.Г., Туяков C.B. Заявка № 2010615629, дата поступления 13 сентября 2010 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 29 октября 2010 г.

Подписано в печать 11.10.2011. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 215. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в ИПК НИУ «БелГУ» 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Методы математического моделирования эмпирических данных. Состояние вопроса и задачи исследования.

1.1 Регистрация и основные аспекты математической обработки эмпирических данных

1.2 Основы частотных представлений в моделировании эмпирических данных.

1.3 Субполосное моделирование эмпирических данных (характеристика направления)

1.4 Базисы, как средство моделирования эмпирических данных.

1.5 Задачи исследования.

ГЛАВА 2. Математические основы субполосного моделирования эмпирических данных.

2.1 Модель субполосного ортогонального базиса.

2.2 Вычисление дискретизованных аппроксимаций функций субполосных базисов.

2.3 О сокращении объема вычислений наборов собственных функций.

2.4 О субполосных представлениях эмпирических данных.

2.5 Некоторые частотно-временные свойства субполосных базисных функций.

Актуальность работы. Эмпирическими данными называются результаты регистрации количественных значений тех или иных параметров, отражающих свойства исследуемых объектов или процессов. Основным инструментом описания на количественном уровне имеющихся закономерностей в поведении объектов служат математические модели, которые также позволяют сформулировать априорные предположения и осуществить проверку их адекватности.

При моделировании эмпирических данных достаточно широко используются частотные представления вида со

0= \р{а>Уш йаИл, (1)

-со где /(/) — вещественный, регистрируемый параметр, зависящий от переменной которая для простоты называется временем; F(бy) — непрерывная, в общем случае комплексная, функция (частотная характеристика) аргумента со, называемого круговой частотой

СО = 27ТО . (2)

Здесь и - переменная, называемая частотой.

Предполагается, что условия существования интеграла в (1) выполнены и /(/) принадлежит пространству ¿2, так что справедливо имеющее физический смысл равенство Парсеваля со со

Г = | /гШ= \\Ficofdcol2n, (3)

-со -о? которое можно преобразовать к виду со

1ИГ =Т,рг> (4) г=0 где Рг - части энергии р/ = (5) со<=1)г в частотных интервалах й, -О, №,.0,*.), ^0=0- /- = 0.1,2,., (6) выбор которых может быть продиктован различными соображениями.

Ясно, что представление (1) можно преобразовать к сумме компонент, определяемых только соответствующими. отрезками частотной характеристики = £ Л С), Л (0 = | Р{р)(щ>и<оМ(о / 2ж . (7)

Описание свойств эмпирических данных с точки зрения выбранной из тех или иных соображений системы частотных интервалов вида (6) в рамках данной работы называется субполосным моделированием.

Достаточно часто в приложениях используется априорное предположение о финитности области частот, где сосредоточена подавляющая доля энергии исследуемой функции, т.е. имеет место приближенное равенство

2« \\Ficofdcol27r, (8) ше!) где £> - частотный интервал конечных размеров вида (6), либо объединение нескольких таких интервалов. Это представление в рамках данной работы называется субполосной моделью эмпирических данных, степень адекватности которой необходимо оценивать.

Ясно, что в реальности осуществить проверку адекватности модели субполосных представлений можно только на основе анализа эмпирических данных, зарегистрированных на временных интервалах конечной длительности Т, т.е. по отрезку /(/), г</<Г + г, г - начало регистрации. В этих условиях аппроксимацией неизвестной частотной характеристики служит трансформанта Фурье область определения которой финитной являться не может, а составляет всю числовую ось. Поэтому необходимо иметь эффективный метод проверки адекватности модели (8) на этой основе.

В задачах моделирования так называемых нестационарных процессов, например речевых сигналов, широко применяется частотно-временная интерпретация эмпирических данных в виде описания закономерности поведения исследуемого параметра на языке динамики изменений частей энергий

Рг;к)= ¡^{со^асоИл, (10) со€.1)г определяя в частности при этом множество частотных интервалов Л,(г), суммарная ширина которых минимальна, и где сосредоточена заданная доля т энергии отрезков наблюдений, то есть выполняется условие

Н1//1; = 2Х/0-). ил II//2(/+г)л. (и) гей,(г) о

Таким образом, определяются частотные интервалы с повышенной концентрацией энергии, что в свою очередь свидетельствует о наличии в поведении исследуемого параметра квазициклических (квазипериодических) компонент.

Одним из самых эффективных методов моделирования эмпирических данных является разложение по функциональным базисам

Д/+ г) = 2>* (*>*('), /6(0, Т). (12) к

Обзор специфик задач субполосного моделирования позволяет сформулировать следующие условия адекватности аппроксимационных свойств применяемых базисных функций (модель субполосного базиса): базисные функции должны с точностью до множителей полностью определяться отрезками своих трансформант Фурье из заданного частотного интервала; базисные функции должны быть ортогональны на интервале регистрации эмпирических данных; отрезки трансформант Фурье базисных функций в заданном частотном интервале должны быть ортогональны; должна обеспечиваться возможность интерполяции и оценивания производных частотных компонент по значениям эмпирических данных в дискретном наборе точек области регистрации (субполосные интерполяция и дифференцирование).

В настоящее время основным инструментом субполосного моделирования, включая расчёт КИХ-фильтров для выделения квазициклических компонент, служит дискретный базис Фурье, коэффициенты разложение по которому принято называть дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Однако его нельзя назвать адекватным решаемым задачам. Кроме того применяемые базисные функции конечной длительности не обладают достаточной степенью концентрации энергии в узких частотных полосах.

Для преодоления этого недостатка в последние десятилетия интенсивно развиваются теория и методы частотно-временного (кратномасштабного) анализа эмпирических данных на основе вейвлет-базисов. Однако применяемые вейвлет-базисы также не отвечают сформулированным выше требованиям адекватности.

Поэтому совершенствование методов субполосного моделирования эмпирических данных за счет применения новых адекватных функциональных базисов является актуальной научной задачей.

Целью данной работы является разработка и исследование новых методов субполосного моделирования эмпирических данных на основе обладающих адекватными" аппроксимационными свойствами функциональных базисов, создание соответствующих численных методов обработки отрезков эмпирических данных, а также их алгоритмических и программных реализаций.

Методы исследований:

- Теория преобразования Фурье;

- Модели субполосных представлений;

- Методы линейной алгебры;

- Вычислительный эксперимент.

Научную новизну работы составляет следующее:

1. Методы субполосного моделирования эмпирических данных на основе новых ортогональных базисов функций, аппроксимационные свойства которых адекватно отражают специфику задач описания закономерностей поведения исследуемых процессов в терминах характеристик их частотных компонент (субполосные базисы);

2. Численные методы обработки отрезков эмпирических данных на основе разложений по субполосным базисам;

3. Алгоритмы моделирования эмпирических данных на основе разложений по субполосным базисам и их программные реализации;

4. Методы и алгоритмы проверки адекватности моделей субполосных представлений и частотно-временной интерпретации эмпирических данных на основе разложений по субполосным базисам. V

Практическая значимость работы определяется тем, что использование полученных в ней результатов позволит повысить эффективность процедур субполосного моделирования эмпирических данных, и прежде всего их точность и достоверность выводов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Модели субполосных ортогональных базисов функций, включая результаты исследований их аппроксимационных свойств при дискретизации области определения;

2. Методы и алгоритмы субполосного моделирования эмпирических данных на основе разложений по новым субполосным базисам и их программные реализации;

3. Методы субполосной интерполяции и численного дифференцирования дискретных эмпирических данных на основе интерполяции и дифференцирования базисных функций;

4. Метод проверки на основе разложений по субполосным базисам адекватности моделей субполосных представлений (предположений о финитности области частот, где сосредоточена подавляющая доля энергии исследуемого процесса);

5. Метод и алгоритм частотно-временной интерпретации эмпирических данных на основе разложений по субполосным базисам.

Достоверность выводов и рекомендаций обусловлена адекватностью аппроксимационных свойств разработанных базисов задачам субполосного моделирования эмпирических данных, корректностью применяемых математических преобразований, непротиворечивостью полученных результатов с установленными ранее фундаментальными фактами теории анализа эмпирических данных на основе частотных представлений, а также подтверждается результатами вычислительных экспериментов с реальными эмпирическими и модельными данными.

Личный вклад соискателя

Все изложенные в диссертации результаты исследования получены либо соискателем лично, либо при его непосредственном участии.

Апробация результатов диссертационного исследования.

Результаты диссертационного исследования-обсуждались на следующих научно-технических конференциях:

1. Первая Международная научно-техническая конференция, «Компьютерные науки и технологии», 2009 г., Белгород, Россия.

2. Вторая Международная научно-техническая конференция, «Компьютерные науки и технологии», 2011 г., Белгород, Россия.

3. 12-я Международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и ее применение», ОБРА - 2010., Москва, Россия.

4. 13-я Международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и ее применение», БЭРА - 2011., Москва, Россия.

5. XXIII Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-23» Россия, 2010, Саратов.

6. Одиннадцатая международная научно-практическая конференция «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности», 2011, Санкт-Петербург, Россия.

Связь с научными и инновационными программами

Диссертационное исследование проводилось в рамках следующих программ фундаментальных, поисковых и инновационных исследований: Аналитическая ведомственная целевая программа «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» Федерального агентства по образованию, подраздел 2.1.2. «Проведение фундаментальных исследований в области технических наук», проект 2.1.2/656 «Разработка на основе частотных представлений математических моделей и оптимальных методов обработки речевых сигналов при хранении и передаче речевых сообщений в информационно-телекоммуникационных системах (ИТС)»; Федеральная целевая программа «Научные и научно-педагогические кадры для инновационной России» на 2009-2013 годы, гос. контракт №14.740.11.0390, проект по теме: «Разработка вариационных методов и алгоритмов обработки изображений земной поверхности в задачах их дешифрирования»; Федеральная целевая программа «Научные и научно-педагогические кадры для инновационной России» на 2009-2013 годы, гос. контракт №02.740.11.5128, проект по теме: «Разработка автоматизированной системы количественного синтеза результатов внедрения технологий электронного обучения (META-ANALYSIS E-LEARNING)».

Публикации

По теме диссертационного исследования опубликовано 14 печатных работ (из них 6 в журналах из списка ВАК РФ), в том числе два Свидетельства Роспатента РФ о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и Приложения. Работа изложена на 178 страницах машинописного текста,

4.4 Основные результаты и выводы главы

1. Разработана процедура принятия решения об адекватности модели субполосных представлений, в основе которой используются вычисления долей энергий анализируемого отрезка эмпирических данных, попадающих в заданный частотный интервал:

• разработан ускоренный алгоритм вычисления значений долей энергии анализируемых отрезков эмпирических данных, попадающих в четное количество частотных интервалов одинаковой ширины, на которые разбивается полоса частот с верхней частотой, равной половине частоты дискретизации;

• разработан способ определения частотных интервалов, в которых сосредоточена заданная доля энергии отрезка эмпирических данных.

2. Разработан алгоритм частотно-временной интерпретации эмпирических данных на основе вычисления коэффициентов разложения анализируемых отрезков по субполосным базисам системы частотных интервалов и определения такого их минимального количества, которое позволяет восстановить исходные данные с малой погрешностью.

3. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие работоспособность (адекватность модели субполосных представлений) и перспективность модели субполосного частотно-временного представления эмпирических данных для задач их сжатия.

4. На базе среды программирования МАТЬАВ создан прототип программной реализации разработанных алгоритмов субполосного моделирования эмпирических данных.