автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.09, диссертация на тему:Разработка алгоритмического обеспечения и методов расчета двухимпульсных межорбитальных перелетов на основе использования гало-орбит и орбит F-класса

На правах рукописи

Звягин Феликс Валерьевич

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ И МЕТОДОВ РАСЧЕТА ДВУХИМПУЛЬСНЫХ МЕЖОРБИТАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГАЛО-ОРБИТ И ОРБИТ Б-КЛАССА

Специальность 05.07.09 — Динамика, баллистика, управление движением

летательных аппаратов.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 6 МАЙ 2011

Москва-2011

4847980

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана» (МГТУ им. Н.Э.Баумана).

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Пантелеев Владимир Павлович

Научный консультант:

Заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор Лысенко Лев Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Бетанов Владимир Вадимович

доктор технических наук, профессор Иванов Виталий Александрович

Ведущая организация:

ФГУП НПО им. С.А.Лавочкина

и*>к<]( 2011 г. в

Защита состоится « 2011 г. в часов на

заседании диссертационного совета ДС 212.008.01 при Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана по адресу: 105007, г. Москва, Госпитальный пер., д. 10, факультет Специального машиностроения МГТУ им. Н.Э.Баумана.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э.Баумана

Автореферат разослан « ¿г; СуЬСОХ 2011 г.

Ваш отзыв в одном экземпляре, заверенный гербовой печатью, просьба направлять по адресу; 105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, МГТУ им. Н.Э. Баумана, ученому секретарю диссертационного совета ДС 212.008.01.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессо

"Калугин В.Т.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Космические программы различных стран и групп стран предполагают активное изучение и освоение не только околоземного пространства, но также и исследование дальнего космоса. При этом акцент делается на практическом использовании ранее уже изученных и апробированных возможностей, предоставляемых, например, выведением космических аппаратов (КА) на периодические орбиты в окрестностях точек либрации. Использование указанных орбит позволяет не только проводить мониторинг текущего состояния космического пространства, астрономические и космогонические исследования, но и своевременно оповещать службы Земли о нестационарных явлениях на Солнце, их интенсивности, заблаговременно предупреждать о возможных последствиях. Кроме того, рассматриваются варианты построения группировок КА, таких как интерферометры, для исследований с большим разрешением удаленных объектов в космическом пространстве. Осуществление названных и других проектов требует значительных затрат характеристических скоростей на выведение и поддержание орбит, что требует повышения точности баллистических расчетов, оптимизации схем выведения за счет применения новых методов, разработанных в последнее время; применения ранее не использовавшихся для практических целей орбит. В связи с этим, тема диссертации, в которой обсуждаются методы решения и разрабатываются алгоритмы расчета двухимпульсных схем межорбитальных перелетов на гало-орбиты и орбиты Б-класса, находятся оценки устойчивости указанных орбит и выделяются среди них субоптимальные по суммарному потребному импульсу характеристической скорости, представляется актуальной.

Целью исследования является сокращение энергетических затрат на выполнение межпланетных миссий путем выбора наиболее рациональных баллистических схем полета.

Задачи исследования формулируются в соответствии с поставленной целью работы следующим образом:

- используя методику расчетов устойчивых и неустойчивых многообразий коллинеарных точек либрации выделить оптимальные по импульсу характеристической скорости орбиты перелета на гало-орбиты в соответствии с ограничениями, накладываемыми двухимпульсными схемами межорбитальных перелетов;

- получить оценки устойчивости гало-орбит;

- провести классификацию полученных орбит перелета по различным параметрам и определить ограничения на начальные условия движения по этим орбитам;

- оценить потребные импульсы характеристической скорости на коррекцию траекторий перелета;

- провести исследование устойчивости орбит Р-класса;

-рассчитать двухимпульсные маневры и классифицировать их, выбрав оптимальные по величине суммарного потребного импульса характеристической скорости;

- провести сравнительный анализ возможных перелетов с круговых околоземных орбит ожидания на гало-орбиты с последующим выведением на орбиты Р-класса с прямым выведением на обозначенные орбиты.

Методы исследования. Для решения сформулированных задач использовались методы небесной механики, проектной космической баллистики, теории динамических систем, теории управления, математического моделирования и программирования.

Научная новизна основных результатов, выносимых на защиту, заключается в том, что

• разработан алгоритм классификации двухимпульсных орбит перелета на основе использования гало-орбит и орбит Р-класса;

• исследованы параметры устойчивости орбит Р-класса с помощью возвратов Пуанкаре и по Ляпунову, выделены диапазоны орбит указанного класса, пригодные для практического использования;

• проведен сравнительный анализ возможных перелетов с круговых околоземных орбит ожидания на гало-орбиты с последующим выведением на орбиты Р-класса с прямым выведением с круговых околоземных орбит ожидания.

Практическая ценность работы состоит в том, что ее результаты могут быть использованы при разработке проектов, в которых предполагается выведение КА на орбиты в окрестностях точек либрации. Проведенные исследования выявили существование технической возможности организации интерферометрических измерений со сверхбольшой базой посредством организации космической группировки на орбитах, лежащих за коллинеарными точками либрации системы Солнце— Земля, то есть вне зоны космического пространства, в которой имеется вероятность встречи с космическими объектами различного происхождения.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Метод расчета двухимпульсных межорбитальных перелетов с использованием гало-орбит и орбит Р-класса.

2. Результаты определения характеристик устойчивости гало-орбит и орбит Р-класса.

3. Метод кластеризации орбит перелета по интегральному параметру и результаты его применения для анализа орбит перелета.

4. Результаты расчетов и характеристики орбит перелета с низких круговых орбит ожидания.

5. Результаты анализа схем выведения на орбиты Р-класса.

Достоверность полученных результатов подтверждается

- применением строгих математических методов исследования, базирующихся на классических исследованиях ограниченной задачи трех тел;

- совпадением модельных результатов расчетов с результатами других авторов, в том числе, как частный случай — при расчете одноимпульсных перелетов на гало-орбиты.

- применением современных методов исследований, использующих методы численного интегрирования высокой точности, разработанные мировыми лидерами в этой области.

Апробация работы и внедрение. Результаты диссертационной работы нашли отражение в материалах докладов, прочитанных автором на XXXIV и XXXV Академических чтениях по космонавтике «Актуальные проблемы российской космонавтики», г. Москва, 2010 и 2011 гг. [4—6].

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 научных работ, в том числе 3 научные статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ [1—3].

Структура и объем работы. Диссертация включает в себя введение, четыре главы, заключение, список использованной литературы, содержащий 32 наименования; общий объем диссертации 164 стр. машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется тема исследования и ее актуальность, приводится краткий обзор исследований по теме диссертации и реализованных проектов. Рассмотрены методы исследований, раскрывается научная новизна и практическая значимость работы. Приводится структура работы с кратким изложением глав исследования. Излагаются основные положения, выносимые на защиту, сведения об апробации и публикациях.

Первая глава посвящена теоретическим основам разработки алгоритмического обеспечения межорбитальных перелетов с использованием гало-орбит и орбит Р-класса. Предполагая, что в рассматриваемой системе число степеней свободы есть к, ее состояние может быть однозначно определено обобщенными координатами Если Т(Г, — живая сила

рассматриваемой материальной системы, являющаяся непрерывной функцией времени обобщенных координат <7 и обобщенных скоростей д и обладающая непрерывными частными производными первого и второго порядков, движение материальной системы происходит под действием сил, обладающих силовой функцией и, являющейся непрерывной функцией времени и обобщенных координат д, имеющей непрерывные частные

производные первого и второго порядков, то задача определения общих уравнений движения допускает нахождение решения на основе принципа Остроградского — Гамильтона и уравнений Лагранжа, которые могут быть

а

представлены в виде —

дИ

дТ

дТ ди . , „ , „

•—— = ——, ] = 1,2,...,к. Введя вместо Щ] Щ]

обобщенных скоростей </у, новые зависимые переменные ру дТ .

как: р: =-,) = 1,2,...,к, получим новую запись уравнении движения в

^<37 ЭЯ Ф/ ЭЯ

форме Гамильтона: —— =-, —— =--, где Я— функция Гамильтона.

Л др] Ж Задается вывод уравнений движения ограниченной задачи трех тел в неравномерно вращающейся (пульсирующей) барицентрической системе координат в безразмерных величинах на основании перехода от уравнений движения общей задачи трех тел в абсолютных координатах к ее ограниченной форме с использованием интегралов движения. Расстояния между основными телами (меньшего массы // и большего массы (1-//)) принимается равньм 1. Истинная аномалия меньшего тела обозначается о, постоянная тяготения равна 1. Уравнения движения:

д2х _2ф _ 1 дО.

Эу2 1 + ес05У дх

д2у „ (к 1 Э£2 --- + 2—= — — —

Эи2 (IV 1 + есоБ1> ду д2г 1 ЭП

(1)

Эу2 1 + есоБи Эг где силовая функция определена как

^ \ - и и \ ( 2 2\ 1 2 2 / \2 2 2

& = —— + — + — х + у—ег ={х + /1) + у + г ,

>Ъ 1 >2

г? =(х-1 + {1)2 +у2 +г2.

Далее проводится исследование уравнений движения круговой задачи трех тел с построением областей возможного движения в проекции на сечения поверхности Хилла на основании значений постоянной Якоби. Определяются особые точки системы уравнений — точки либрации и проводится линеаризация уравнений движения в окрестности коллинеарной точки либрации Ь, расположенной вблизи меньшего притягивающего тела. В плоской постановке задачи координаты точки либрации могут быть записаны как (хе,уе,хе,уе) = (хе, 0,0,0), тогда, разложив квадратные члены Гамильтониана Я в окрестности точки (хе,уе,рхе,руе) = (хе,0,0,хе) и

перенеся начало координат в (хе,0,0,хе), получаем квадратичные члены

гамильтониана:

\2,/„ „\2 __2 . 1.2

(Рх+у) +{ру~х) -ах2+Ьу2

(2)

где а = 2/г-ь 1 >0, Ъ = 1>0 и //=//|хе+ +(1-//)

■3 • ■ -3

хе+//

, откуда

линеаризованный вид уравнений в форме Гамильтона приобретает форму:

(3)

. ЭН, . дн,

X = —-!-=рх+у, рх=-—!- = р -х + аХ; дрх дх

. д Н, д Н,

У=~^=рУ~х' Ру=—^- = -Рх-у-ьУ-

Во второй главе выполнено исследование фазового пространства окрестности коллинеарных точек либрации, определены количественные характеристики гало-орбит. Приводится специальный случай теоремы Ляпунова-Мозера, позволяющий установить существование локального интеграла в точке либрации. В рассматриваемом случае уравнения имеют одну пару точек равновесия с действительными собственными числами ±л и другую — с мнимыми ±¡0). Гамильтониан записывается в форме:

Щх, у) = Лх1У1+^(х1 + у1) + 03(х, у), (4)

где х = (Х|, Х1), у = (уь у2) и О„(■,■) обозначает члены разложения порядка п и выше. Линеаризованные уравнения получены из гамильтониана, содержащего квадратичные члены. Тогда, в соответствии с теоремой Ляпунова-Мозера, решение линеаризованных уравнений может быть записано как:

Х](0 = х\еМ, х2(0 = Х2(()е~Л¿(0 = х2(?) + iy1{t) = , (5)

где постоянные х{\ и = х2 + /у2 — начальные условия. Эти линеаризованные уравнения допускают существование интегралов. А именно, функции х\у\ и |г|2 = х\+ у\ постоянны вдоль решений. Собственные числа линеаризованной системы имеют форму ±/ и ±/у, где X и V положительные постоянные. Соответствующие им собственные векторы м| = (1,-¿г, Л,-Лег), и2 =(\,о,-Х,-Ха),щ = (1,-/'Г,/У,уг), = (1,/Г,-/У,УГ), где о и т постоянные, причем а > 0 и г< 0. Используя собственные векторы йх,Ъ2,м>\,щ рассматриваемого пространства состояний как новые оси координат (с, щ, ¿ь (2), получающиеся из старой системы координат линейным преобразованием, записываем уравнения в новой системе координат, причем решения уравнений в новой системе имеют вид

где постоянные с°, г]° и = + — начальные условия. Линеаризованные уравнения имеют дополнительные интегралы, а именно: цс, и = ^ + ¡¿¡2 являются постоянными вдоль решения. Для положительных е и с может быть определена область равновесия К посредством Е/ = е, и \т] - < с, то есть для каждого фиксированного значения из интервала 1=[-с, с], уравнение Е} = е определяет две области

+ + = £ + ■ Ограничивающая Я область, для

которой ц - £ = ~с обозначается а для которой ц - = с, пг, представлены на рис. 1. Множество точек ограничивающей области, в которых ^ + с = О называется экватором, а множества точек, в которых г\ + £ > 0 или /у + £ < О северной или южной полусферой соответственно.

В окрестности коллинеарной точки либрации существует девять классов орбит, которые можно сгруппировать в четыре категории.

1. Начало координат £ = ц = 0, соответствует периодической орбите в Л, называемой ляпуновской орбитой (плоская периодическая гало-орбита в окрестности точки либрации).

2. Четыре полуоткрытых сегмента осей гиперболы = 0 (что эквивалентно \£\2 = р* где р* = 2г/\) соответствуют четырем потокам орбит, асимптотически стремящимся к ляпуновской орбите либо в прямом (£ = 0), либо в обратном (// = 0) времени. Они обозначены линиями со стрелками.

3. Сегмент гиперболы, определяемый как ц£=сот1> 0 (что эквивалентно \С\2 < р*), соответствует двум потокам, пересекающим Л из одной ограничивающей сферы в другую с посещением обеих, причем первой северную, если они следуют из области ц - +с ъ ц - £ = -с, и наоборот в обратном случае. Такие орбиты называются транзитными. Обозначены на 6

рис. 1 как Т|2 и T2i.

4. Сегмент гиперболы, определяемый как )/<f = const < 0 (\(\2 > р*) соответствует двум потокам орбит в R, каждый из которых переходит из одной полусферы в другую по одной и той же ограничивающей сфере. Так, если f > 0, то ограничивающей является сфера ri\ = -с) и орбита переходит из южной (//+£ < 0) в северную (;;+£ > 0) полусферу. В случае, когда £ < 0, ограничивающей является сфера п2. Проекции такого типа орбит обозначены на рис. 1 как Тц и T2j. Таким образом, потоки орбит через окрестность точки либрации можно разделить на четыре категории: периодические ляпуновские орбиты (плоские гало-орбиты), асимптотические орбиты, транзитные орбиты и нетранзитные орбиты.

Далее рассматриваются уравнения движения относительно начала координат, совмещенного с точкой либрации как функции полиномов Лежандра, при этом коэффициенты полиномов c„(/i) есть

J_

У

(1 + гГ

, причем верхний знак соответствует L\, а

нижний — Ь2. В линеаризованном виде уравнения записываются как: х-2у-{\ + 2с2)х = 0, у + 2х + (с2~\)у-0, '¿ + с2г-0. И таким образом, при х = 0 и у = 0 решение по оси 2 имеет колебательный характер для сх > 0 и не зависит от х и у. Характеристическое уравнение системы имеет два действительных и два мнимых корня, откуда вытекает, что коллинеарные точки либрации имеют тип седлох-центрхцентр с собственными числами [±Л,±шр,±1щ):

Á = ±r1 + f4^_8 + 9с2'

I-г- i (7)

J-2 + с2- ф2 V"8 + 9с2 г—

СОр - ±-S--J=-, Щ, = Jc2

Наличие двух действительных собственных чисел разного знака ведет к появлению бесконечно растущих во времени членов уравнений. Поэтому требуется выбрать начальные условия таким образом, чтобы решение в плоскости ху было ограниченным. В этом случае решение линеаризованных уравнений может быть записано в виде:

х = -Ах cos[a)pt + у = кАх sin[copt + <¡>},z = Az sin(й^,/ + у/), (8)

ft¿ + l+2c2 2 Л

где к = —-= —-. Для ¿i системы Земля-Солнце: \=

2 Юр Л2 + 1-с2

2.531566528358456; а>р= 2.085786663029686; cov= 2.014528005224145 и

тогда, для случая Az= 110 000 км имеем Ах = 206 000 км и Ау = кАх = 665 000 км (к = 3.228314863). Для амплитуд гало-орбиты Ах и А- существует

1 У

нелинейное соотношение: 1\АХ + ¡2Аг + А = 0. Для Ь\ системы Земля-Солнце: /,= -15.9650314, /2 = 1.740900800, А = 0.29221444425. Откуда следует, что существует минимальная амплитуда Ах, при которой Аг> 0. Так, для Ь\ системы Земля-Солнце Ах т;п = 200000 км, что соответствует координате

точки пересечения орбитой оси .V Ях =0.98856 а.е.

В третьей главе излагается методика расчета плоских гало-орбит и построения двухимпульсных схем перелета в их окрестности; определяются параметры орбит перелета и проводится кластеризация орбит перелета по интегральному параметру.

Метод расчета гало-орбиты основывается на линеаризованном решении в малой окрестности коллинеарной точки либрации ¿¡, задающем первое приближение, которое далее методом дифференциальной коррекции и численного продолжения расширяется для заданного энергетического уровня е. Начальные условия движения в линеаризованной постановке могут быть записаны как:

х0 = Д0,0) + 211е(М) = (хе - Ах,0,0,иу0), (9)

где = = +

Определяемые таким образом условия движения задают начальное приближение для гало-орбиты при Ах 1. Однако, для задаваемого уровня энергии е амплитуда Ах может быть достаточно большой, что противоречит условиям линеаризации уравнений. Поэтому для получения значения начальной скорости при фиксированном положении относительно оси абсцисс для построения гало-орбиты используется метод дифференциальной коррекции. Рассматривается множество фазовых траекторий дифференциального уравнения х = / (х) с х(!о) = х@, обозначенное ф(г,/0;х0) или 0(/;хд), где /0 — начальное время. Возмущенная периодическая орбита с исходным приближением начальных условий х,д, начинающаяся в точке хд + отклонится за время / + ¿)/ от заданного опорного решения *(?) на 8х{1 + 8() = ф((+81,1о',хо + 8х^)-ф(1,1о',хо). Раскладывая в ряд Тейлора отклонение за время /1 + и учитывая, что решение уравнения <Кс(/1) = Ф(/|,Г0)<5хо> гДе Ф('ь'о) является переходной матрицей, может быть получено численно, итерационный процесс нахождения начальных условий движения для некоторой заданной точки для которой в момент времени ) = 7о) = х\ =х^-8х\, причем

> с1, можно записать в виде: Ф((ь'о'>хо + = + + А = х1+$хх+А = х(1+А, (10)

где Д обозначены члены разложения более высокого порядка. Изменение хд

через посредство <5x0 = Ф(/| ,/д) ' задает первую итерацию коррекции. Итерационный процесс сходится к ^(/[,/д^о + Д*го)~-га'|<й'> где — сумма коррекций ¿хд, приводящая к конечному значению с заданной точностью с/.

а. е.

0.986 0.988 0.990 0.992 0.994 0.996 0.998 1.000

Рис. 2.

Плоская периодическая гало-орбита как пересечение потоков орбит из устойчивого и неустойчивого многообразий притягивающих центров.

Затем дается описание построения многообразий коллинеарных точек либрации на основании теоремы Флоке для уравнений с периодическими коэффициентами. В случае плоских гало-орбит собственные числа матрицы монодромии М = Ф(7) состоят из двух пар, в первой из которых собственные

числа действительны, а во второй равны 1: Л\> 1, Я.2=—, А3 = Д4 = 1.

Собственный вектор, соответствующий Ль задает неустойчивое направление, а собственный вектор, отвечающий Х2, — устойчивое. Численным интегрированием в прямом времени собственного вектора неустойчивого многообразия с отклонением ±е, могут быть получены траектории двух

ветвей неустойчивого многообразия ТУи± периодической орбиты. Точно так же, но при интегрировании в обратном времени, могут быть получены и

г+

ветви устойчивого многообразия IV ~ (рис. 2). Для построенного семейства гало-орбит исследуется вопрос устойчивости в линейной постановке круговой ограниченной задачи трех тел, а также определяются старшие показатели Ляпунова для гало-орбит в эллиптической задачи трех тел.

Наконец, рассматривается схема построения двухимпульсных перелетов из

9

окрестности меньшего притягивающего тела на плоскую периодическую

гало-орбиту путем выделения в устойчивом многообразии IV ~ орбит с заданными свойствами. Каждая орбита из многообразий может быть представлена как функция времени. Для плоского случая имеем:

4,1(0

УЫ( О

4,1 (о уШ

= /¿1(0' ' = ' = 1.»,И -к-

(П)

где п — количество точек, в которых производится возмущение параметров орбиты по скорости, к — количество дискрет отклонений угла вектора по скорости, т — количество дискрет отклонений по модулю

вектора скорости. Для всех орбит //0| (г) проводится процедура определения минимума импульса характеристической скорости по времени t при ограничениях на удаление от меньшего притягивающего центра:

О. Л'/2

ДГо =

4,1(0—

УЫ«)

4л(02+(1-4,1«+//)

2 А

1/2

у У

4,1 <0 + -

1-4,1(0

2

(о2+(1-41(0+//)

1/2

= П11П

'=<0

(12)

<К„

при условии

Чо\0о)-1+А у\оМ)

где Ят — предельный радиус круговой орбиты ожидания, ЯЕ — минимальный радиус круговой орбиты ожидания. Отобранные по указанным критериям

орбиты перелета задаются своими начальными условиями на время /д и интегрированием в прямом времени получаются орбиты перелета на плоскую периодическую орбиту в окрестности точки либрации. При этом суммарный потребный импульс характеристической скорости может быть определен как:

АУ£ = АКц + , где ДУ{ — импульс в точке входа на гало-орбиту. Для исследования полученных множеств орбит //с,(г), удовлетворяющих 10

наложенным ограничениям, удобно использовать карты параметров, показывающих зависимости характеристик указанных орбит от начальных условий интегрирования дифференциальных уравнений задачи, в том числе таких как точки и направления приложения импульсов, время перелета и т.д. На рис.3 приводятся некоторые карты параметров 14 248 орбит перелета с круговых орбит ожидания различного радиуса на плоскую периодическую гало-орбиту вокруг точки либрации с параметром 0.9895 а. е. для характеристических импульсов скорости в точке старта АУо, в точке выхода на орбиту А К), суммарного импульса характеристической скорости А , времени перелета 1\ и расстояния точки старта от меньшего притягивающего центра Ямп. Так как статистическое распределение по параметрам не позволяет провести классификацию орбит перелета, была использована функция кластеризации, использующая функцию Якоби в форме, данной Маршалом:

Г(х,у,2,Ух,Уу,У::) = м

(ц + х — \) +

(1-А)

(М + х) +

/¿+х)2+у2+22

уМ + Х- 1):

2 2

2 2 2 + у

■+У*

(13)

2+У2+У2+г2

)

Рассматривая интеграл по времени от разности функции Якоби для движущейся и покоящейся точек, имеющих одни и те же координаты:

% = ¡¡(г(х}0(оЖоМоМоМо,%о(о)~

}

-г( 4,(0,^(0,4,(0,одо))А

(14)

являющихся координатами точек рассматриваемых орбит перелета, оказывается возможным провести кластеризацию орбит перелета по

параметру Г'[0.

Пример распределения орбит перелета по параметру Г,а демонстрирует рис. 4. По указанному параметру орбиты перелета четко кластеризуются. Обозначенные точки соответствуют орбитам перелета, приводимым на рис. 5.

Были выделены орбиты перелета, на которые возможен старт с низких круговых орбит ожидания, построены карты параметров, проведена кластеризация орбит. Карты параметров демонстрируют возможность одноимпульсного перелета доя гало-орбит с параметром Ях < 0.9888 и возможность достижения сколь угодно малой окрестности точки либрации с выходом на гало-орбиту.

В заключительной части главы приводятся результаты определения импульсов коррекции орбит перелета, наиболее выгодных с энергетической точки зрения.

Д У0,м/с

2500 г \ .

'П.'. '.тгааш.гич.

.....

20000 40000 60000 80000 100000

> КМ

40000 60000 80000 100000 , км

АГ^м/с

величина импульса ХС для достижения второй космической скорости_

20000 40000 60000 80000 100000 > км

АГг.м/с

2500 -200015001000 н

I 1 м 1

0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025

50 100 150 200 250 300 350 400

, сут.

Рис. 3.

Карты параметров орбит перелета для = 0.9895 а.е.

^1аг1, км

0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025

АК^, м/с кол-во орбит

0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 г

1 го

Рис. 4.

Карта распределения орбит перелета по параметрам расстояния от меньшего притягивающего центра и ГГо (вверху); карта распределения орбит перелета по суммарному потребному импульсу характеристической скорости и Г,0, функция кластеризации (р{Г1о) и гистограмма распределения орбит по параметру ГГо (внизу).

0.990 0.992 0.994 0.996 0.998 »Пап = 38059.4 км, (ел£/ = 114.64 сут. ДГ0=!254.52 м/с, ДГ, - 97.31 м/с, А1'х = 1351.83 м/с г.„=0.000388234

0.004

0.990 0.992 0.994 0.996 0.998 1.000 Ътп " 37673.0 км. 1 т11 = 282.763 сут. ДК„=1260.51 м/с, =130.87 л/с, ДГг = 1391.38 л/с Г,„=0.00112119

-0.002

-0.004

' ^^ 4

' л '

■у. X • р^ |)

; ; ; ^^ ;

: ; Ч : 8

п/\

V/ \ 1/1

! ;

! !

_____—-----

------3

1 : \

0.990 0.995 1.000 1.005 Кяап = 18371.4 км, 1еш1 = 313.325 15™. ДГ0=1988.71 м/с, ДК]=143.921 м/с, ДКг = 1988.71 лА Г,.=0.00144782

0.990 0.995 1.000 1.005 =8669.31 км, /т(< = 366.536 от.

«Г0=3076.62м/с, -127.11 «/с, 3204.33 м/с Г,„=0.00161995

1 1 ; 1 1 | 1 '1

¡^ /

1 | : \

0.990 0 95 1.000 1.005

Дгйп - 99889.9 км, = 368.415 сут. АГ0=703.645 м/с, ДК, =2.076м/с, ДКг = 705.721 м/с Г,„-0.00200349

0.990 0.992 0.994 0.996 0.998 1.000 1.002 ЯлаП = 39588.3 км, = 310.74 сут. ДИ0=1223.25 м/с, Д^ =104.701 м/с, ДК^- 1327.95 м/с Г(о=0.00165759

0.004 0.002 0.000 -0.002 -0.004

0.990 0.995 1.000 1.005 Хеш "99641.2км,1ет1 -337.522сут. ДК0=704.331 л/с, ДК, =36.524 м/с, ДК^ = 740.855 м/с Г,„=0.0020707

0.990 0.992 0.994 0.996 0.998 1.000 1.002 «пап - 37701.7 км, 1епЛ - 381.161 от. ДРд=1255.68 м/с, ДГ| =125.684 м/с, ДГ2 = 1381.36м/с /■.„=0.00227977

0.990 0.995 1.000 1.005 1.010 Дяа« -19911.2 км, (СЛ<, = 370.427 сут. ДК0-1750.6м/с, =98.661 м/с, ДК£-1849.26 м/с /-,„=0.00273521

Рис. 5.

Орбиты перелета. Нумерация соответствует рис. 4.

В четвертой главе исследуются особенности орбит Р-класса, способы их достижения с круговых околоземных орбит, анализируются возможности их практического применения. В первой части главы приводятся характеристики семейства орбит Р-класса: зависимости периода орбиты от ее размера, график изменения значений функции Якоби для рассматриваемого диапазона орбит, а также график изменения значения функции ГР орбит Р-класса. Далее представлена одна из орбит исследуемого класса в проекции на поверхность Хилла; приведен пример возмущенной орбиты в проекции на плоскость эклиптики.

Исследование устойчивости орбит Р-класса осуществляется через расчет статистических характеристик времени возвратов Пуанкаре; вычислен спектр показателей Ляпунова. Показано, что для орбит рассматриваемого класса существует диапазон начальных условий, при которых они являются квазипериодическими с точностью до погрешности вычислений. Существует область минимумов ляпуновских характеристических показателей; орбиты, определяемые значениями начальных условий из этой области, имеют асимптотическую устойчивость по оси аппликат.

Ввиду устойчивости орбит Р-класса по Пуассону, одноимпульсные перелеты с околоземных круговых орбит ожидания невозможны, поэтому для расчета двухимпульсных межорбитальных перелетов была использована схема, описанная в третьей главе диссертации. Выделены оптимальные по суммарному импульсу характеристической скорости орбиты перелета, построены карты параметров этих орбит (рис. 6).

Проведен сравнительный анализ перелетов между орбитами Р-класса и гало-орбитами с прямым выведением на орбиты Р-класса из окрестности Земли. В результате рассмотрения гало-орбит как возможных промежуточных орбит для перехода на орбиты Р-класса, показано, что оптимальными для таких переходов являются точки пересечения орбитами оси абсцисс слева от точки либрации для случая и соответственно, справа, для случая ¿2 ввиду того, что в этих точках орбиты касаются друг друга. Минимальный импульс характеристической скорости для перехода с гало-орбиты на орбиту Р-класса при этом достигается при значении 0.97718 а. е. и составляет 104 м/с. Принимая во внимание данные по потребным суммарным характеристическим импульсам на выведение для различных орбит, построены сравнительные карты параметров прямого выведения и выведения через гало-орбиту на орбиты Р-класса для некоторых возможных начальных условий (рис.7). Использование этих карт позволило определить диапазон начальных условий йх, лежащих на отрезке [0.9785, 0.9845] а.е. для перехода с гало-орбиты на орбиту Р-класса и наоборот, при которых суммарные потребные импульсы для двух рассматриваемых схем выведения отличаются не более чем на 100 м/с.

ДК„,л</с 4200

. км 67001-1 11

• •

3600

3400*

3200

•; I ■!!»? • 19 Ьпч» >

•8» :»;«»I • • ¡1|!П|. (

3000

I

• ~ " * :> • • *:; Ч1«8! *|'ци; \

6400

• • •

• • • «• 1 •

. • I

•! «!: •: • ••

• • •• . . 1 .• •

, I . .. .1

0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

АУ^м/с_ _ _ _ _ _ _ _ ДК„,л(/с _ _ _

500 Г

• . ..

6400 6450 6500 6550 6600 6650 6700 КмаП. КМ

• • • > • *

• •• • f •• .

.V /V

•. • • ' ..• •% • ' V

.*• г ■ ' . . .

6400 6450 6500 6550 6600 6650 6700 К-ьЬаН > км

Рис. 6.

Карты параметров орбит перелета на орбиты Б-класса со стартом с низких круговых орбит ожидания

3ООО -,

6400

А м/с 4500

6450

6500

6550

6600 6650

6700

Яд, КМ.

4000

3500

3000 0.970

* * I

• • • *

• • • • «

. : « • . *

11

|,:ч1М

V )

0.975

0.980

0.985

0.990 Кх> а е-

• Орбиты перелета с прямым выведением

• Орбиты перелета с выведением через гало-орбиту

Рис. 7.

Сравнение суммарного потребного импульса характеристической скорости при прямом выведении на орбиту Б-класса и при выведении через промежуточную плоскую гало-орбиту

о

а.

В заключении диссертационной работы приводятся общие выводы по результатам проведенных исследований в целом.

Основные результаты и выводы

1. В диссертации предложены машинно-ориентированные алгоритмы и методы расчета двухимпульсных межорбитальных перелетов на основе использования гало-орбит и орбит Р-класса.

2. Проведено исследование свойств семейств конечных орбит, на которые выводятся КА, определены характеристики устойчивости этих орбит и выделены пригодные для практического применения.

3. Предложен машинно-ориентированный способ кластеризации орбит перелета по интегральному параметру.

4. Исследованы характеристики орбит перелета и получены оценки потребных импульсов характеристических скоростей на коррекцию этих орбит.

5. Выполнен анализ схем выведения на орбиты Р-класса, построены графики суммарных потребных импульсов характеристической скорости, которые показывают, что оптимальным является прямое выведение.

6. Существует возможность одноимпульсных переходов КА с гало-орбиты на орбиту Р-класса и наоборот с минимумом в области 0.97..0.98 а.е.

7. Характеристики устойчивости орбит Р-класса, а также суммарные затраты характеристической скорости на выведение позволяют использовать орбиты Р-класса, имеющие точку пересечения оси абсцисс в диапазоне

0.94..0.99.а.е. в качестве основы для проектов длительного времени существования, в том числе для построения интерферометров со сверхбольшими базами.

Публикации по теме диссертации

1. Звягин Ф.В. Об одном классе орбит в задачах трех и четырех тел // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Приборостроение. — 2010. — №2. — С. 105—113.

2. Звягин Ф.В. Об оптимизации орбит перелета в окрестность точки либрации Ь| системы Солнце—Земля // Полет. — 2010. — №4. — С. 19—24.

3. Звягин Ф.В. Об управляемом движении космического аппарата в окрестности коллинеарных точек либрации // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Приборостроение. — 1997.—№ 1.—С.62—71.

4. Звягин Ф.В. Об одном классе устойчивых периодических орбит в задачах трех и четырех тел // Материалы 34 академических чтений по космонавтике. — М., 2010, —С. 478.

5. Звягин Ф.В. Об использовании свойств гомоклинических траекторий задач трех и четырех тел // Материалы 34 академических чтений по космонавтике. — М., 2010. — С. 478.

6. Звягин Ф.В. Субоптимальные перелеты на гало-орбиты с околоземных орбит // Материалы 35 академических чтений по космонавтике. — М., 2011. —С. 493.

7. Воробьев АЗ., Звяпш Ф.В. Система раннего предупреждения природных и техногенных катастроф при конгроле солнечной акшвносш с помощью орбитальных космических аппаратов // Авиакосмическое приборостроение. — 2002. — №1. — С. 40—46.

Введение

Глава 1. Теоретические основы разработки алгоритмического обеспечения межорбитальных перелетов с использованием гало-орбит и орбит Г-класса

1.1. Уравнения Лагранжа, описывающие материальные системы, имеющие силовую функцию

1.2. Уравнения Гамильтона и их интегралы

1.3. Уравнения движения в ограниченной задаче трех тел как основной модели исследования

1.4. Поверхность Хилла, функция П(х, у) и области возможных движений круговой ограниченной задачи трех тел

1.5. Точки либрации ограниченной задачи трех тел как особые точки системы дифференциальных уравнений

1.6. Линеаризация уравнений движения в окрестности коллинеарных точек либрации

Глава 2. Исследование фазового пространства окрестности коллинеарных точек либрации. Количественные характеристики гало-орбит

2.1. Теорема Ляпунова-Мозера и локальный интеграл в коллинеарной точке либрации

2.2. Фазовый портрет системы в окрестности точки либрации

2.3. Отображение потоков орбит в окрестности точки либрации

2.4. Траектории в областях «горлышек»

2.5. Пространственное движение в окрестности точек либрации

Глава 3. Методика расчета гало-орбит и построения двухимпульсных схем перелета в их окрестности

3.1. Дифференциальная коррекция

3.2. Исследование инвариантных многообразий периодических орбит

3.3. Исследование устойчивости автономных гамильтоновых систем

3.4. Проектирование траекторий полета с посещением заданных областей

3.5. Численная оценка устойчивости гало-орбит

3.6. Основные задачи построения двухимпульсных орбит перелета в окрестность гало-орбит

3.7. Характеристики субоптимальных орбит перелета. Карты параметров

3.8. Орбиты перелета при старте с низких круговых орбит ожидания

3.9. Коррекция орбит перелета

Глава 4. Особенности орбит Р-класса и анализ возможностей их практического применения

4.1. Краткая характеристика орбит Б-класса

4.2. Исследование устойчивости орбит Б-класса

4.3. Характеристики двухимпульсных перелетов. Карты параметров

4.4. Сравнение перелетов между орбитами Б-класса и гало-орбитами с прямым выведением на орбиты Р-класса из окрестности Земли

4.5. Анализ практического применения орбит Р-класса 156 Выводы и заключение 157 Список литературы

Реализованные и перспективные проекты использования орбит в окрестности коллинеарных точек либрации [26—30]. Первым проектом (1978 год), в котором КА был выведен на орбиту в окрестности точки либрации L\ системы Солнце-Земля стал ISEE (International Sun-Earth Explorer — Международный проект исследования Солнечно-Земных связей). Проект предполагал исследование солнечного ветра и его влияние на магнитосферу Земли посредством двух КА (ISEE-1 и ISEE-2), обращавшихся по высокоэллиптическим околоземным орбитам, и третьего КА (ISEE-3), выведенного на орбиту с амплитудами по оси аппликат 120 ООО км и по оси ординат 666 670 км относительно точки либрации L\. В течение четырех лет проводились научные исследования, отрабатывались методики проведения коррекций орбиты. Суммарные импульсы характеристической скорости на поддержание орбиты составили не более 10 м/с в год. Данный проект послужил основой для реализации многих последовавших проектов с использованием орбит в окрестности коллинеарных точек либрации, расположенных вблизи Земли. По завершении основной части проекта, ISEE-3, названный ICE (International Cometary Explorer — Международный проект по исследованию кометы) был использован для измерений параметров частиц при пролете через хвост кометы Якобини-Зиннера в 1985 году в 8000 км от ядра.

Следующим проектом, в котором предполагалось выведение КА на орбиту в окрестности коллинеарной точки либрации L2 с целью исследования магнитосферы Земли, должен был стать проект 1990 года «Реликт-2», разрабатывавшийся в СССР, но не реализованный ввиду финансовых и политических причин. Проект предусматривал использование маневра раскачивания Луной перицентра высокоэллиптической орбиты для сокращения расходов характеристической скорости на выведение в окрестность точки либрации. Указанный маневр ранее был рассчитан и применен для перевода ISEE-3 на орбиту сближения с кометой.

В декабре 1995 года NASA и ESA была запущена Солнечная гелиосферическая обсерватория, известная как SOHO. Траектория проекта полностью скопирована с ISEE-3. В середине 1998 года связь с SOHO была временно потеряна. В настоящее время исследование Солнца SOHO продолжается, результаты регулярно публикуются на его официальном сайте в интернете.

Третьим реализованным проектом стал ACE (Advanced Composition Explorer) — проект исследования заряженных частиц и физических полей космического пространства. Также как и в предыдущих проектах, в данном использовалась орбита в окрестности коллинеарной точки либрации L\, но, в отличие от проектов ISEE-3 и SOHO это была орбита Лиссажу, то есть возмущенная гало-орбита с кратным соотношением частот обращения в плоскости эклиптики и по вертикали к ней, таким, что КА не входил в запретную для радиосвязи с Землей область. Амплитуда орбиты по оси х относительно точки либрации составила 81 755 км, по оси г — 157 406 км.

В июне 2001 года NASA был запущен проект MAP (Microwave Anisotropy Probe) — проект исследования реликтового излучения. Для выведения были использованы выполненные ранее наработки советского проекта «Реликт-2». Конечная орбита Лиссажу характеризуется малыми размерами и спроектирована таким образом, чтобы исключить даже минимальное время попадания КА в область частичного затмения вследствие движения Луны.

В августе 2001 года стартовал проект Genesis, целью которого являлся сбор заряженных частиц солнечного ветра. Траектории для выведения и последующей работы КА были также как и в проекте SOHO похожими на аналогичные траектории проекта ISEE-3. Проект предусматривал возвращение на Землю образцов собранного вещества и в сентябре 2004 успешно завершился.

В мае 2009 года стартовал проект Европейского космического агентства, в котором на периодические орбиты в окрестности точки либрации Ь2 системы Солнце—Земля были выведены одним ракетоносителем сразу два КА «Планк» и «Гершель». Первый из названных используется для изучения реликтового излучения, второй — для проведения инфракрасной съемки Вселенной [31, 32]. Реализованные в проектах орбиты относятся к классу орбит Лиссажу и близки по параметрам к использовавшимся в проекте MAP.

Планирующиеся космическими агентствами проекты [7,30] с использованием коллинеарных точек либрации предполагают продолжение ранее выполненных исследований солнечного ветра, реликтового излучения, мониторинг Солнечно-Земных связей. Кроме того, проектом NASA TPF (Terrestrial Planet Finder) предполагается организация интерферометрических измерений с базой Li — Земля с целью поиска в звездных системах планет, похожих на Землю. Следует отметить, что практически реализуются лишь две схемы выведения на орбиты, отработанные в ранних проектах.

Другой из рассмотренных в диссертации классов орбит — орбиты F-класса — пока не получили практического применения, несмотря на то, что этот класс орбит был численно определен еще в 60-е годы прошлого века. Астрономические наблюдения [8] подтвердили существование орбит F-класса. В 1986 году был открыт астероид 3753 Cruithne, обращающийся по возмущенной орбите указанного класса, в 2002 году был обнаружен небольшой астероид 2002 АА29, также обращающийся по возмущенной орбите .указанного класса. Характерной особенностью орбит F-класса является их устойчивость, причем не только в смысле определения Лагранжа, но и в смысле определения Пуассона, то есть эти орбиты являются квазипериодическими.

Использование как гало-орбит, так и орбит F-класса позволяет не только проводить мониторинг текущего состояния космического пространства, астрономические и космогонические исследования, но и своевременно оповещать службы Земли о нестационарных явлениях на Солнце, их интенсивности, заблаговременно предупреждать о возможных последствиях. Кроме того, как например в проекте TPF NASA, рассматриваются варианты построения группировок КА, таких как интерферометры, для исследований с большим разрешением удаленных объектов в космическом пространстве.

Осуществление названных и других проектов требует значительных затрат характеристических скоростей на выведение и поддержание орбит, что требует повышения точности баллистических расчетов,, оптимизации схем выведения за счет применения новых методов, разработанных в последнее время; применения ранее не использовавшихся для практических целей орбит. В связи с этим, тема диссертации, в которой обсуждаются методы решения и разрабатываются алгоритмы расчета двухимпульсных схем межорбитальных перелетов на гало-орбиты и орбиты F-класса, находятся оценки устойчивости указанных орбит и выделяются среди них субоптимальные по суммарному потребному импульсу характеристической скорости, представляется актуальной.

Целью исследования является сокращение энергетических затрат на выполнение межпланетных миссий путем выбора наиболее рациональных баллистических схем полета.

Задачи исследования формулируются в соответствии с поставленной целью работы следующим образом: используя методику расчетов устойчивых и неустойчивых многообразий коллинеарных точек либрации выделить оптимальные по импульсу характеристической скорости орбиты перелета на гало-орбиты в соответствии с ограничениями, накладываемыми двухимпульсными схемами межорбитальных перелетов; получить оценки устойчивости гало-орбрщ провести классификацию полученных орбит перелета по различным параметрам и определить ограничения на начальные условия движения по этим орбитам; оценить потребные импульсы характеристической скорости на коррекцию траекторий перелета; провести исследование устойчивости орбит Б-класса; рассчитать двухимпульсные маневры и классифицировать их, выбрав оптимальные по величине суммарного потребного импульса характеристической скорости; провести сравнительный анализ возможных перелетов с круговых околоземных орбит ожидания на гало-орбиты с последующим выведением на орбиты Б-класса с прямым выведением на обозначенные орбиты.

Методы исследования. Для решения сформулированных задач использовались методы небесной механики, проектной космической баллистики, теории динамических систем, теории управления, математического моделирования и программирования.

Научная новизна основных результатов, выносимых на защиту, заключается в том, что

• разработан алгоритм классификации двухимпульсных орбит перелета на основе использования гало-орбит и орбит Б-класса;

• исследованы параметры устойчивости орбит Б-класса с помощью возвратов Пуанкаре и по Ляпунову, выделены диапазоны орбит указанного класса, пригодные для практического использования;

• проведен сравнительный анализ возможных перелетов с круговых околоземных орбит ожидания на гало-орбиты с последующим выведением на орбиты Р-класса с прямым выведением с круговых околоземных орбит ожидания.

Практическая ценность работы состоит в том, что ее результаты могут быть использованы при разработке проектов, в которых предполагается выведение КА на орбиты в окрестностях точек либрации. Проведенные исследования выявили существование технической возможности организации интерферометрических измерений со сверхбольшой базой посредством организации космической группировки на орбитах, лежащих за коллинеарными точками либрации системы Солнце— Земля, то есть вне зоны космического пространства, в которой имеется вероятность встречи с космическими объектами различного происхождения.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Метод расчета двухимпульсных межорбитальных перелетов с использованием гало-орбит и орбит Р-класса.

2. Результаты определения характеристик устойчивости гало-орбит и орбит Р-класса.

3. Метод кластеризации орбит перелета по интегральному параметру и результаты его применения для анализа орбит перелета.

4. Результаты расчетов и характеристики орбит перелета с низких круговых орбит ожидания.

5. Результаты анализа схем выведения на орбиты Р-класса.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением строгих математических методов исследования, базирующихся на классических исследованиях ограниченной задачи трех тел; совпадением модельных результатов расчетов с результатами других авторов, в том числе, как частный случай — при расчете одноимпульсных перелетов на гало-орбиты. применением современных методов исследований, использующих методы численного интегрирования высокой точности, разработанные мировыми лидерами в этой области.

Апробация работы и внедрение. Результаты диссертационной работы нашли отражение в материалах докладов, прочитанных автором на XXXIV и XXXV Академических чтениях по космонавтике «Актуальные проблемы российской космонавтики», г. Москва, 2010 и 2011 гг. [12—14].

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 научных работ, в том числе 3 научные статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ [9—11].

Первая глава посвящена теоретическим основам разработки алгоритмического обеспечения межорбитальных перелетов с использованием гало-орбит и орбит Б-класса. Предполагая, что в рассматриваемой системе число степеней свободы есть к, ее состояние может быть однозначно определено обобщенными координатами ql, <?а Если Г(/,<7,д) —живая сила рассматриваемой материальной системы, являющаяся непрерывной функцией времени обобщенных координат ц и обобщенных скоростей д и обладающая непрерывными частными производными первого и второго порядков, движение материальной системы происходит под действием сил, обладающих силовой функцией V, являющейся непрерывной функцией времени и обобщенных координат q, имеющей непрерывные частные производные первого и второго порядков, то задача определения общих уравнений движения допускает нахождение решения на основе принципа Остроградского — Гамильтона и уравнений Лагранжа, которые могут быть а представлены в виде —

Э Т

Л у дт д и

У = 1,2,.,к. Введя вместо обобщенных скоростей qj, новые зависимые переменные ру эг как:/>/=-, /= 1,2,.,«:, получим новую запись уравнении движения в дц форме Гамильтона: ад: Эн ар аг У эя где Н— функция Гамильтона. дpj б// Задается вывод уравнений движения ограниченной задачи трех тел в неравномерно вращающейся (пульсирующей) барицентрической системе координат в безразмерных величинах на основании перехода от уравнений движения общей задачи трех тел в абсолютных координатах к ее ограниченной форме с использованием интегралов движения. Расстояния между основными телами (меньшего массы ц и большего массы (1-//)) принимается равным 1. Истинная аномалия меньшего тела обозначается v, постоянная тяготения равна 1. Уравнения движения:

1 эа д2х дь2 \2

2^ = аг> Х + есоБУ дх

1 дО э у п ах

-тг + 2-= аи Х + есоъу Эу

1 эп дь э2^

Эу2 \ + ео,о^г) дг где силовая функция определена как

0.1)

1-// //1/2 ; г0 1\ 2 \ гу =(х-1 + //)2 + у2 +г2.

--ег2 соб^Го2 = (х + /1)2 + у2 +г2,

Далее проводится исследование уравнений движения круговой задачи трех тел с построением областей возможного движения в проекции на сечения поверхности Хилла на основании значений постоянной Якоби.

Определяются особые точки системы уравнений — точки либрации и проводится линеаризация уравнений движения в окрестности коллинеарной точки либрации Ь, расположенной вблизи меньшего притягивающего тела. В плоской постановке задачи координаты точки либрации могут быть записаны как (хе,уе,хе,уе) = (хе,0,0,0), тогда, разложив квадратные члены

Гамильтониана Я в окрестности точки {хе,уе,рхе,руе) = (хе,0,0,хе) и перенеся начало координат в (хе,0,0,хе), получаем квадратичные члены гамильтониана:

2 , / N2 2 , ; 2

1 2

2 / \ 2 г (Рх+У) +\Ру-х) ~ах +ЬУХ

0.2)

-3 "3 где я = 2// +1 > 0, Ь = /и-1 > 0 и /л = ¡и\хе -1 + + (1 - /и)

Хе+М откуда линеаризованный вид уравнений в форме Гамильтона приобретает форму: ЭЯ/ . Э Я, х = —-± = Рх+у, Рх=—^- = ру-х + ах, арх дх '

0.3) ЭЯ/ ЭЯ/ , ^

У=ъ=Ру-х' ,РУ=-^Г± = -РХ-У-ЬУар у * ду

Во второй главе выполнено исследование фазового пространства окрестности коллинеарных точек либрации, определены количественные характеристики гало-орбит. Приводится специальный случай теоремы Ляпунова-Мозера, позволяющий установить существование локального интеграла в точке либрации. В рассматриваемом случае уравнения имеют одну пару точек равновесия с действительными собственными числами ±Х и другую — с мнимыми ±1со. Гамильтониан записывается в форме: Я(х, у) = Лх1У1 +±V (х| + у\) + 03 (х, у), (0.4) где х = (л*!,), V = (Л,У2 ) и Оп (•,•) обозначает члены разложения порядка п и выше. Линеаризованные уравнения получены из гамильтониана, содержащего квадратичные члены. Тогда, в соответствии с теоремой

Ляпунова-Мозера, решение линеаризованных уравнений может быть записано как:

О = x\eXt, х2 (0 = х${t)e~Xt, z(t) = х2 (/) + (у2 (0 = » (°-5) где постоянные xf, уу и z° = х% + iyn — начальные условия. Эти линеаризованные уравнения допускают существование интегралов. А

I |2 2 9 именно, функции х^ и jz| = + J2 постоянны вдоль решений.

Собственные числа линеаризованной системы имеют форму ±Х и ±/v, где X и v положительные постоянные. Соответствующие им собственные векторы щ = (1,-а,Л,—Лег), «2 = (1,с,-Л,—Лег), щ = (1 ,-ît,îv,vt), = (1,/т, —¿v,vt), где о и т постоянные, причем <т > 0 и г < 0. Используя собственные векторы и j, й2, vv !, рассматриваемого пространства состояний как новые оси координат (Ç,TJ,Ç\,C2) > получающиеся из старой системы координат линейным преобразованием, записываем уравнения в новой системе координат, причем решения уравнений в новой системе имеют вид еО 0 у0 /-0 . где постоянные ç , rj и Ç = Ç\ + iÇ2 — начальные условия. Линеаризованные уравнения имеют дополнительные интегралы, а именно: и = Çi + iÇ2 являются постоянными вдоль решения. Для положительных £п с может быть определена область равновесия R посредством = £, и \rj - < с, то есть для каждого фиксированного значения ц—^ из интервала 1= [~с, с], уравнение Е[ — £ определяет две области ^{V + Ç)2+ ) = г + Ограничивающая К область, для которой 77 — - -с обозначается п\, а для которой77 — <f = с, ; представлены на рис. 2.1. Множество точек ограничивающей области, в которых 77 + ^ = 0 называется экватором, а множества точек, в которых 77 + £ > 0 или 77 + £ < 0 северной или южной полусферой соответственно.

В окрестности коллинеарной точки либрации существует девять классов орбит, которые можно сгруппировать в четыре категории.

1. Начало координат % = rj = 0, соответствует периодической орбите в R, называемой ляпуновской орбитой (плоская периодическая гало-орбита в окрестности точки либрации).

2. Четыре полуоткрытых сегмента осей гиперболы = 0 (что эквивалентно |£|2 = р* где р* ~ 2s/v) соответствуют четырем потокам орбит, асимптотически стремящимся к ляпуновской орбите либо в прямом (с = 0), либо в обратном (ц — 0) времени. Они обозначены линиями со стрелками.

3. Сегмент гиперболы, определяемый как rj%=const>0 (что эквивалентно </?*), соответствует двум потокам, пересекающим К из одной ограничивающей сферы в другую с посещением обеих, причем первой северную, если они следуют из области 7]-^ = +с в = , и наоборот в обратном случае. Такие орбиты называются транзитными. Обозначены на рис. 2.1. как Т\2 и T2iгу

4. Сегмент гиперболы, определяемый как — const < 0 > р*) соответствует двум потокам орбит в К, каждый из которых переходит из одной полусферы в другую по одной и той же ограничивающей сфере. Так, если с > 0, то ограничивающей является сфера щ — -с) и орбита переходит из южной (?/+£ < 0) в северную (77> 0) полусферу. В случае, когда £ < 0, ограничивающей является сфера п2. Проекции такого типа орбит обозначены на рис. 2.1 как Тц и Т22- Таким образом, потоки орбит через окрестность точки либрации можно разделить на четыре категории: периодические ляпуновские орбиты (плоские гало-орбиты), асимптотические орбиты, транзитные орбиты и нетранзитные орбиты.

Далее рассматриваются уравнения движения относительно начала координат, совмещенного с точкой либрации как функции полиномов Лежандра, при этом коэффициенты полиномов сп(р) есть с, п причем верхний знак соответствует L\, а нижний — В линеаризованном виде уравнения записываются как: х-2у-(\ + 2с2)х = 0, у + 2х + (с2 -1)у = 0, г + с2г = 0. И таким образом, при х = О и у = 0 решение по оси £ имеет колебательный характер для с2 > 0 и не зависит от х и у. Характеристическое уравнение системы имеет два действительных и два мнимых корня, откуда вытекает, что коллинеарные точки либрации имеют тип седлохцентрхцентр с собственными числами

Наличие двух действительных собственных чисел разного знака ведет к появлению бесконечно растущих во времени членов уравнений. Поэтому требуется выбрать начальные условия таким образом, чтобы решение в плоскости ху было ограниченным. В этом случае решение линеаризованных уравнений может быть записано в виде: х = -Ах eos[cúpt + ф},у = кАх sin(¿yp¿ + sin(ú^t + у/), (0.8)

6¿+1 + 2C2 2/1 где к = —-= —-. Для L! системы Земля-Солнце: к=

2сор Л2+1 -с2

2.531566528358456; сор= 2.085786663029686; 2.014528005224145 и тогда, для случая Az= 110 000 км имеем Ах = 206 000 км и Ау = кАх = 665 000 км (к = 3.228314863). Для амплитуд гало-орбиты Ах и А: существует

2 2 нелинейное соотношение: 1\АХ +А = 0. Для L\ системы Земля

Солнце: -15.9650314, /2 = 1.740900800, А = 0.29221444425. Откуда следует, что существует минимальная амплитудапри которой А:> 0. Так,

0.7) для Ь\ системы Земля-Солнце Ахт\п =200000 км. То есть, наиболее близко расположенная к точке либрации Ь\ периодическая орбита, не лежащая в плоскости земной эклиптики, пересекает ось х слева от точки либрации в точке с координатой Ях =0.98856 а. е.

В третьей главе излагается методика расчета плоских гало-орбит и построения двухимпульсных схем перелета в их окрестности; определяются параметры орбит перелета и проводится кластеризация орбит перелета по интегральному параметру.

Метод расчета гало-орбиты основывается на линеаризованном решении в малой окрестности коллинеарной точки либрации Ц, задающем первое приближение, которое далее методом дифференциальной коррекции и численного продолжения расширяется для заданного энергетического уровня е. Начальные условия движения в линеаризованной постановке могут быть записаны как: х0 = (хе,0,0,0) + 2 Яе ) = (хе - Ах,0,0,уу0), (0.9) где = -лхут > 0, V = /7 — 2 — л]эд2 -8/7 ^ > 0, т = -(V2 + 2/7 +11 /2у.

Определяемые таким образом условия движения задают начальное приближение для гало-орбиты при Ах 1. Однако, для задаваемого уровня энергии е амплитуда Ах может быть достаточно большой, что противоречит условиям линеаризации уравнений. Поэтому для получения значения начальной скорости при фиксированном положении относительно оси абсцисс для построения гало-орбиты используется метод дифференциальной коррекции. Рассматривается множество фазовых траекторий дифференциального уравнения х = /(х) с ) = хр, обозначенное ф{1,1'о^о) или ф(1;\хо), где /0 — начальное время. Возмущенная периодическая орбита с исходным приближением начальных условий Зсд, начинающаяся в точке х"о + ¿>хо отклонится за время 1 + 51 от заданного опорного решения х(/) на

5х(( + 8^ = ф^ + +— . Раскладывая в ряд Тейлора отклонение за время + 8^ и учитывая, что решение уравнения 8x^1) = )3 где Ф(¿1,/о) является переходной матрицей, может быть получено численно, итерационный процесс нахождения начальных условий движения для некоторой заданной точки х^, для которой в момент времени ц: х = = = Х<Л ~ » причем можно записать в виде: = + +Д = ^1 + 8х\ +А = х£/ +А,

0.10) где А обозначены члены разложения более высокого порядка. Изменение хд через посредство = ф(/| ,/0) 1 8х{ задает первую итерацию коррекции.

Итерационный процесс сходится к (^, /д; + Ахд) - хс{ < в., где Ахд — сумма коррекций с^хр, приводящая к конечному значению х^ с заданной точностью ¿/.

Затем дается описание построения многообразий коллинеарных точек либрации на основании теоремы Флоке для уравнений с периодическими коэффициентами. В случае плоских гало-орбит собственные числа матрицы монодромии М = Ф(Т) состоят из двух пар, в первой из которых собственные числа действительны, а во второй равны 1:

Х\ > 1, = —= Л-4 =1. Собственный вектор, соответствующий задает Л1 неустойчивое направление, а собственный вектор, отвечающий Х2,—устойчивое. Численным интегрированием в прямом времени собственного вектора неустойчивого многообразия с отклонением ±8, могут быть получены траектории двух ветвей неустойчивого многообразия ¡¥и± периодической орбиты. Точно так же, но при интегрировании в обратном времени, могут быть получены и ветви устойчивого многообразия IV ~ (рис. З.З.). Для построенного семейства гало-орбит исследуется вопрос устойчивости в линейной постановке круговой ограниченной задачи трех тел, а также определяются старшие показатели Ляпунова для гало-орбит в эллиптической задачи трех тел.

Наконец, рассматривается схема построения двухимпульсных перелетов из окрестности меньшего притягивающего тела на плоскую периодическую гало-орбиту путем выделения в устойчивом многообразии ¡V орбит с заданными свойствами. Каждая орбита из многообразий может быть представлена как функция времени. Для плоского случая имеем:

4л( О

У\а 1(0 4,1(0

Уы( о.

-/¿1(0» ' =

0.11) где п — количество точек, в которых производится возмущение параметров орбиты по скорости, к — количество дискрет отклонений угла вектора по скорости, т. — количество дискрет отклонений по модулю вектора скорости. Для всех орбит /¿1 (0 проводится процедура определения минимума импульса характеристической скорости по времени ( при ограничениях на удаление от меньшего притягивающего центра:

2 М/2

4,1(0

4,1 ( 0

4л (О2 + 1-4,1(0+// У V

УЫ (0

1-4,1(0 (О2+(1-4,1(0+/*)

2 ^

1/2 ш1п 4

0.12) при условии

А г Л

ЯЕ< ят, хыШ~1 + М

Уы(*о) где Ят — предельный радиус круговой орбиты ожидания, — минимальный радиус круговой орбиты ожидания. Отобранные по указанным критериям орбиты перелета задаются своими начальными условиями на время

О и интегрированием в прямом времени получаются орбиты перелета на плоскую периодическую орбиту в окрестности точки либрации. При этом суммарный потребный импульс характеристической скорости может быть определен как: АУ% = А Уд + А У{, где А У{ — импульс в точке входа на гало-орбиту. Для исследования полученных множеств орбит /(0 (7), удовлетворяющих наложенным ограничениям, удобно использовать карты параметров, показывающих зависимости характеристик указанных орбит от начальных условий интегрирования дифференциальных уравнений задачи, в том числе таких как точки и направления приложения импульсов, время перелета и т.д. На рис. 3.8. приводятся некоторые карты параметров 14 248 орбит перелета с круговых орбит ожидания различного радиуса на плоскую периодическую гало-орбиту вокруг точки либрации с параметром Ях = 0.9895 а.е. для характеристических импульсов скорости в точке старта АРд, в точке выхода на орбиту АУ^, суммарного импульса характеристической скорости А времени перелета и расстояния точки старта от меньшего притягивающего центра ■ Так как статистическое распределение по параметрам не позволяет провести классификацию орбит перелета, была использована функция кластеризации, использующая функцию Якоби в форме, данной Маршалом: г(х,у,г,Ух,Гу,У2) = // (// + х-1)2 + 2

2 2 Ьу +г + V у1(М + х- I)2 + у2+г 2 С

1 -//) (// + х)2 +-====== у1(М + Х)2+У2+22

- (в с08(и) +1) (к2 + Г2 + V2 + г2)

Рассматривая интеграл по времени от разности функции Якоби для движущейся и покоящейся точек, имеющих одни и те же координаты: являющихся координатами точек рассматриваемых орбит перелета, оказывается возможным провести кластеризацию орбит перелета по параметру Г'[а.

Пример распределения орбит перелета по параметру Г1о демонстрируют рис. 3.11. и 3.12. По указанному параметру орбиты перелета четко кластеризуются. Обозначенные точки соответствуют орбитам перелета, приводимым на рис. 3.13.

Были выделены орбиты перелета, на которые возможен старт с низких круговых орбит ожидания, построены карты параметров, проведена кластеризация орбит. Карты параметров демонстрируют возможность одноимпульсного перелета для гало-орбит с параметром Ях < 0.989 а.е. и возможность достижения сколь угодно малой окрестности точки либрации с выходом на гало-орбиту.

В заключительной части главы приводятся результаты определения импульсов коррекции орбит перелета, наиболее выгодных с энергетической точки зрения. г [х\о (0, у\о (0,4 (0,4 (0, у\о (0,4 со) о

0.14)

В четвертой главе исследуются особенности орбит Б-класса, способы их достижения с круговых околоземных орбит, анализируются возможности их практического применения. В первой части главы приводятся характеристики семейства орбит Р-класса: зависимости периода орбиты от ее размера, график изменения значений функции Якоби для рассматриваемого диапазона орбит, а также график изменения значения функции ГР орбит Б-класса. Далее представлена одна из орбит исследуемого класса в проекции на поверхность Хилла; приведен пример возмущенной орбиты в проекции на плоскость эклиптики.

Исследование устойчивости орбит Б-класса осуществляется через расчет статистических характеристик времени возвратов Пуанкаре; вычислен спектр показателей Ляпунова. Показано, что для орбит рассматриваемого класса существует диапазон начальных условий, при которых они являются квазипериодическими с точностью до погрешности вычислений. Существует область минимумов ляпуновских характеристических показателей; орбиты, определяемые значениями начальных условий из этой области, имеют асимптотическую устойчивость по оси аппликат.

Ввиду устойчивости орбит Б-класса по Пуассону, одноимпульсные перелеты с околоземных круговых орбит ожидания невозможны, поэтому для расчета двухимпульсных межорбитальных перелетов была использована схема, описанная в третьей главе диссертации. Выделены оптимальные по суммарному импульсу характеристической скорости орбиты перелета, построены карты параметров этих орбит (рис. 4.10.).

Проведен сравнительный анализ перелетов между орбитами Б-класса и гало-орбитами с прямым выведением на орбиты Б-класса из окрестности Земли. В результате рассмотрения гало-орбит как возможных промежуточных орбит для перехода на орбиты Б-класса, показано, что оптимальными для таких переходов являются точки пересечения орбитами оси абсцисс слева от точки либрации для случая Ьх и соответственно, справа, для случая Ьг ввиду того, что в этих точках орбиты касаются друг друга. Минимальный импульс характеристической скорости для перехода с гало-орбиты на орбиту Р-класса при этом достигается при значении 0.97718 а.е. и составляет 104 м/с. Принимая во внимание данные по потребным суммарным характеристическим импульсам на выведение для различных орбит, построены сравнительные карты параметров прямого выведения и выведения через гало-орбиту на орбиты Р-класса для некоторых возможных начальных условий (рис.4.14.). Использование этих карт позволило определить диапазон начальных условий Ях, лежащих на отрезке [0.9785, 0.9845] а.е. для перехода с гало-орбиты на орбиту Р-класса и наоборот, при которых суммарные потребные импульсы для двух рассматриваемых схем выведения отличаются не более чем на 100 м/с.

Основные результаты и выводы

1. В диссертации предложены машинно-ориентированные алгоритмы и методы расчета двухимпульсных межорбитальных перелетов на основе использования гало-орбит и орбит Б-класса.

2. Проведено исследование свойств семейств конечных орбит, на которые выводятся КА, определены характеристики устойчивости этих орбит и выделены пригодные для практического применения.

3. Предложен машинно-ориентированный способ кластеризации орбит перелета по интегральному параметру.

4. Исследованы характеристики орбит перелета и получены оценки потребных импульсов характеристических скоростей на коррекцию этих орбит.

5. Выполнен анализ схем выведения на орбиты Б-класса, построены графики суммарных потребных импульсов характеристической скорости, которые показывают, что оптимальным является прямое выведение.

6. Существует возможность одноимпульсных переходов КА с гало-орбиты на орбиту Б-класса и наоборот с минимумом в области 0.97.0.98 а.е.

7. Характеристики устойчивости орбит Б-класса, а также суммарные затраты характеристической скорости на выведение позволяют использовать орбиты Б-класса, имеющие точку пересечения оси абсцисс в диапазоне 0.94.0.99 а.е. в качестве основы для проектов длительного времени существования, в том числе для построения интерферометров со сверхбольшими базами.

Проведенный в работе анализ показал, что для выведения КА на гало-орбиты и орбиты F-класса могут быть использованы двухимпульсные перелеты с низких круговых орбит ожидания в окрестности Земли. При этом суммарный импульс характеристической скорости заметно ниже потребного для выведения КА на параболические траектории с тех же круговых орбит.

Рассматривая возможность построения одноимпульсных перелетов на гало-орбиты, следует отметить, что принципиальная возможность таковых существует для выведения КА на гало-орбиты достаточно большого радиуса с амплитудой по оси у порядка 600 ООО км, что может существенным образом ограничивать проекты исследования космического пространства. Траекториями перелетов на такие орбиты являются асимптотические и почти асимптотические траектории коллинеарных точек либрации. В последнее время в основном реализуются проекты, использующие орбиты Лиссажу, имеющие существенно меньшую амплитуду движения вдоль указанной оси, причем периоды обращения КА по орбите Лиссажу в плоскости земной эклиптики и в плоскости, ортогональной ей не совпадают. Выведение на такие орбиты производится за счет использования гравитационного поля Луны для изменения положения перицентра высокоэллиптической орбиты с последующим перелетом в окрестность точки либрации. Однако, в случае отсутствия в некоторой планетной системе спутника, подобного Луне, чье гравитационное поле можно использовать для маневров, способ теряет универсальность и не может быть использован.

Рассмотренный вариант использования в качестве орбит перелета при двухимпульсных переходах транзитных орбит из окрестности точек либрации оказывается свободным как от первого ограничения — по величине реализуемой гало-орбиты, так и от второго — необходимости использования гравитационного поля четвертого тела, напрямую не учитываемого в уравнениях движения исследуемой задачи. Затраты характеристического импульса на двухимпульсные перелеты оказываются: сравнимыми и практически равными затратам на одноимпульсные перелеты.

Другой важной особенностью рассмотренной двухимпульсной схемы является; возможность построения; орбит перелета' в случае, когда конечная? орбита является устойчивой. Рассматривается вариант выведения на периодическую или квазипериодическую орбиту Б-класса, так как возможно одноимпульсное выведение КА на возмущенную орбиту. Б-класса, не являющуюся на достаточно малом отрезке времени, сравнимым с периодом, обращения меньшего притягивающего тела относительно большего, периодической или квазйпериодической. Исследование показало, что при текущем уровне развития техники при использовании рассмотренной схемы невозможно достижение области локальных минимумов спектра; ляпуновских показателей, в, которой! наблюдается асимптотическая устойчивость по оси: аппликат. Тем не менее область, достижимая для выведения, КА, может, быть использована для реализации различных проектов.

Орбиты Р-класса; ввиду их устойчивости по Пуассону, могут быть использованы для1 реализации проектов длительного времени существования. К таковым можно отнести как проекты,, аналогичные уже реализованным, например, космические телескопы, сканеры инфракрасного диапазона, исследования реликтового излучения, так и'проекты, реализация которых запланирована на перспективу — интерферометры со сверхбольшими базами, автоматические заводы для получения сверхчистых материалов, . наконец, пилотируемые станции с практически неограниченным ресурсом существования. Последние могут монтироваться на Б-орбите в течение достаточно длительного срока. Учитывая то, что Б-орбита удалена от Земли на расстояние немногим превышающее 1% расстояния от Земли до Солнца, обеспечение микроклимата на станции не может представлять; значительных затруднений: уже на современном этапе развития техники и технологий. При этом существует возможность перелета в ближайшую окрестность Земли или посадки на нее как за счет перехода на гало-орбиту с последующим движением в требуемую область космического пространства, так и за счет прямого перелета.

Исследование позволило определить допустимые области начальных условий для старта на орбиты перелета, которые представляют собой достаточно узкий промежуток углов, задающих точку старта и угол стрельбы в этой точке. Построенные карты параметров орбит и гистограммы их статистического распределения показали, что по этим параметрам невозможно однозначно прогнозировать топологию орбиты перелета и провести их классификацию, в связи с чем возникла необходимость получения интегрального параметра, позволяющего решить задачу классификации. Таким интегральным параметром оказался введенный на основе функции Якоби параметр Г,„, который показал свою высокую эффективность при кластеризации и классификации орбит перелета.

Анализ возможности проведения коррекций орбит перелета на гало-орбиты показывает, что потребные импульсы характеристической скорости на проведение коррекций, при условии проведения таковых в оптимальные сроки, не превысит 110 м/с, что подтверждается уже реализованными проектами космических агентств. Траекториями перелетов на орбиты класса фактически являются отрезки самих возмущенных орбит указанного класса, обладающие, как показано в исследовании, устойчивостью по Лагранжу, а потому перелет по этим траекториям требует минимальных затрат характеристической скорости на коррекцию.

Таким образом, работа являет собой не только законченное актуальное исследование, но также представляет алгоритмическое обеспечение и методы расчета двухимпульсных межорбитальных перелетов в рамках ограниченной задачи трех тел на примере системы Солнце-Земля.

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. — М.: Наука, 1968. —800 с.

2. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. / В.К. Абалакин и др. ; Под ред. Г.Н. Дубошина. — М.: Наука, 1976. — 864 с.

3. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел : / пер. с англ. / Под ред. Г.Н. Дубошина. — М.: Наука, 1982. — 656 с.

4. Маршал К. Задача трех тел. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 640 с.

5. Кузнецов С.П. Динамический хаос. — М.: Физматлит, 2001. — 296 с.

6. Современные проблемы хаоса и нелинейности. / К. Симо и др. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 304 с.

7. Крейсман Б.Б. Одноимпульсные перелеты с орбит искусственных спутников на орбиты вокруг точек либрации L\ или L2 II Препринт ФИАН. — 2009. —№15. —31 с.

8. Кандидат в спутники Земли. // Вселенная, пространство, время. — 2006,—№1. —С. 22.

9. Звягин Ф.В. Об одном классе орбит в задачах трех и четырех тел //Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Приборостроение. — 2010. — №2. — С. 105—113.

10. Звягин Ф.В. Об оптимизации орбит перелета в окрестность точки либрации Li системы Солнце—Земля // Полет. — 2010. — №4. — С. 19—24.

11. Звягин Ф.В. Об управляемом движении космического аппарата в окрестности коллинеарных точек либрации // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Приборостроение. — 1997. — №1. — С. 62—71.

12. Звягин Ф.В. Об одном классе устойчивых периодических орбит в задачах трех и четырех тел // Материалы 34 академических чтений по космонавтике. — М., 2010. — С. 478.

13. Звягин Ф.В. Об использовании свойств гомоклинических траекторий задач трех и четырех тел // Материалы 34 академических чтений по космонавтике. — М., 2010. — С. 478.

14. Звягин Ф.В. Субоптимальные перелеты на гало-орбиты с околоземных орбит // Материалы 35 академических чтений по космонавтике. — М., 2011. — С. 493.

15. Воробьев А.З., Звягин Ф.В. Система раннего предупреждения природных и техногенных катастроф при контроле солнечной активности с помощью орбитальных космических аппаратов // Авиакосмическое приборостроение. — 2002. — №1. — С. 40—46. ,

16. Moser J. On the generalization of a theorem of Liapunov // Comm. Pure Appl. Math. — 1958, —№11. —P. 257—271.

17. Conley С. C. On the ultimate behavior of orbits with respect to an unstable critical point. I. Oscillating, asymptotic, and capture orbits // J. Differential Equations. — 1969. — №5. — P. 136—158.

18. Transversality of the invariant manifolds associated to the Lyapunov family of periodic orbits near L2 in the restricted three-body problem / J. Llibre et al. // J. Differential Equations. — 1985. — №58. — P. 104—156.

19. Conley С. C. Low energy transit orbits in the restricted three-body problem // SIAM J. Appl. Math. — 1968. — №16. — P. 732—746.

20. Richardson D. L. Analytical construction of periodic orbits about the collinear points I I Celestial Mechanics. — 1980.— №22. — P. 241—53.

21. Halo orbit mission correction maneuvers using optimal control / R. Serban et al. // Automática. — 2002. — №38. — P. 571—583.

22. Andreu M.A. The quasi-bicircular problem / Departament de matematica aplicada i analisi. — Barcelona: Universität de Barcelona, 1998. — 199 p.

23. The first libration point satellite, mission overview and flight history /R.W. Farquhar et al. // AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conf. — Provincetown (MA). — 1979. — 647 p.

24. McGehee R.P. Some homoclinic orbits for the restricted 3-body problem. — Madison: University of Wisconsin, 1969. — 34 p.

25. Dynamical Systems, the Three-Body Problem and Space Mission Design. / Wang Sang Koon et al. // International Conference on Differential Equations. — Berlin, 1999,—P. 1167—1181.

26. The first libration point satellite, mission overview and flight history / R.W. Farquhar et al. // AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference. — Provincetown (Massachusetts), 1979. — P. 575—584.

27. Trajectories and orbital maneuvers for the first libration-point satellite / R.W. Farquhar et al. // Journal of Guidance and Control. — 1980. — №3. — P. 549-554.

28. Mission design for a halo orbiter of the Earth / R.W. Farquhar et al. // Journal of Spacecraft and Rockets. — 1977. — №14. — P. 170-177.

29. Farquhar R.W. The flight of ISEE-3/ICE: origins, mission history, and a legacy // The Journal of the Astronautical Sciences. — 2001 — №49. — P. 23-73.

30. Libration Point Orbits and Applications / M.W. Gomez et al.. — Singapore: World Scientific, 2003. — 671 p.

31. Hechler M. Herschel, Planck and GAIA Orbit Design // 7th International Conference on Libration Point Orbits and Application. — Girona, 2002. —P. 321—348.

32. Planck Early Results: The Planck mission / P.A.R. Ade et al.. // Astronomy & Astrophysics manuscript. — Planck2011-1.1, 2011. — P. 1—17.