автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.09, диссертация на тему:Оптимизация схем выведения космического аппарата на высокие рабочие орбиты

На правах рукописи УДК 629.78

ОПТИМИЗАЦИЯ СХЕМ ВЫВЕДЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА НА ВЫСОКИЕ РАБОЧИЕ ОРБИТЫ

Специальность 05.07.09 «Динамика, баллистика, управление движением летательных аппаратов»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ЙУ4ЬЙЬ83Э

МОСКВА 2010

004606889

Работа выполнена на кафедре «Космические системы и ракетостроение» Московского авиационного института (государственного технического университета, МАИ).

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Константинов Михаил Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук Сихарулидзе Юрий Георгиевич

кандидат технических наук Володин Валерий Дмитриевич

Ведущая организация: Федеральное государственное унитарное предприяти «Научно-производственное объединение им С.А.Лавочкина» (ФГУП «НПО им. С.А. Лавочкина»)

Защита состоится 2010 года в_часов на заседании диссерта

ционного совета Д 212.125.12 Московского авиационного института (государственно го технического университета, МАИ) по адресу: 125993, г.Москва, ГСП-3, А-80, Воло коламское шоссе, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационног института (государственного технического университета, МАИ).

Автореферат разослан «Qfr» ЛСС^Л 2010 года.

Отзывы, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 125993, г.Москва ГСП-3, А-80, Волоколамское шоссе, д.4, Ученый совет МАИ.

Ученый секретарь диссертационного сов; К.Т.Н., доц.

Д 212.125.12

ОДЛЛАЛ^-

1.Дарнопых

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы работы. В работе рассматриваются вопросы, связанные с оптимизацией схем выведения космических аппаратов (КА) имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки (двигательные установки большой и малой тяги) на высокие рабочие орбиты. Электроракетные двигательные установки, имея высокий удельный импульс, находят все большее применение в практике космических полетов. Их использование позволяет повышать эффективность транспортных космических систем, обеспечивать решение транспортных проблем на базе более легких ракет-носителей или увеличивать полезную нагрузку КА. Настоящую работу, как работу, способствующую внедрению новых технологий (перспективных двигателей) и направленную на повышение эффективности космических транспортных операций, следует считать актуальной.

В диссертации анализируется широкий спектр вопросов, касающихся оптимизации движения КА с двигателем малой тяги. Большое внимание уделяется методам оптимизации траекторий таких КА. При этом основные усилия были направлены на регуляризацию процесса решения краевых задач оптимального управления. Применение принципа максимума Л.С.Понтрягина позволяет свести оптимизационную задачу к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой и составляет основную трудность при использовании непрямых методов. Трудности решения таких краевых задач носят принципиальный характер, связанный с вопросами существования, единственности и ветвления решений. Методические сложности связаны с вычислительной неустойчивостью и с ограниченностью области сходимости численных методов решения. Традиционно для решения задач оптимизации траекторий КА с двигательными установками малой тяги используются различные модификации метода Ньютона. Основной трудностью при использовании этого класса методов является определение начального приближения, достаточно близкого к оптимальному решению. Современные численные методы оптимизации не могут гарантировать получения решения, сходимости используемых итерационных процедур.

Таким образом, тема диссертационной работы, посвященная оптимизации схем выведения на высокие рабочие орбиты КА, имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки, является актуальной как и для практики решения транспортных космических проблем, так и для развития теории одного из разделов механики космического полета.

Целью диссертационной работы является разработка совершенных методов оптимизации схем выведения космических аппаратов на высокие рабочие орбиты, имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки (двигательные установки большой и малой тяги) для повышения эффективности выполнения транспортных космических операций. Такие методы должны позволить находить схемы полета КА, требующие минимальные затраты на их реализацию. Их использование должно позволить или увеличить массу КА, выводимого на рабочую орбиту (и поэтому расширить возможности выведенного аппарата), или уменьшить масштабность транспортной системы (что дает возможность использовать более легкие и поэтому дешевые ракеты-носители).

Для достижения сформулированной цели в работе решаются следующие задачи:

• Продолжается разработка регулярных численных методов оптимизации межор битальных траекторий, включая:

> оптимизацию траекторий выведения с околоземной орбиты на высоку1 рабочую орбиту.

> разработку программного обеспечения, реализующего численные метод оптимизации.

• Разрабатываются приближенные методы оптимизации траектории КА рассмат риваемого класса такие простые, чтобы их было достаточно просто внедрить инженерную практику космических конструкторских бюро.

• Исследуются возможности использования электроракетных двигателей для реа лизации актуальных космических проектов на базе существующих и перепек тивных космических систем.

Методы проведения исследования. В данной диссертационной работе исполь зованы следующие подходы и методы решения задачи:

• принцип максимум Л.С. Понтрягина.

• метод осреднения уравнений движения.

• численные методы решения системы обыкновенных дифференциальных урав нений.

• численные методы решения краевых задач для системы обыкновенных диффе ренциальных уравнений (метод продолжения по параметру, модифицированны метод Ньютона и гибридный метод, который объединяет метод Левенберга Марквардга и модифицированный метод Ньютона).

Научная новизна полученных результатов. В рамках данной работы впервы получены следующие научные результаты:

• Разработаны практически регулярные численные методы оптимизации мно говитковых межорбитальных перелетов при выведении на высокую рабочу орбиту КА с электроракетными двигателями.

• Проанализирован вопрос о существовании двух типов экстремалей при пере лете между круговыми некомпланарными орбитами и о критическом накло нении, при котором появляется второй тип экстремали. Несмотря на сущест вующие публикации, эту проблему до настоящего времени нельзя считат решенной. В настоящей работе было получено подтверждение правильност оценки величины этого критического наклонения для полета с низкой около земной орбиты на орбиту, радиус которой равен геостационарной орбите.

• Исследована возможность использования электроракетных двигателей для реализации нескольких космических проектов на базе существующих и перспективных космических систем. Результаты исследования показывают существенное увеличение массовой эффективности выполнения транспортных операций при использовании таких двигателей в комбинации с традиционными химическими двигателями.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с результатами, опубликованными другими авторами, в том числе российскими, американскими и западноевропейскими (прежде всего, французскими) исследователями. Такое сравнение выполнено в работе.

Практическая значимость. Практическая значимость работы состоит в следующем:

• Разработано программно-алгоритмитическое обеспечение оптимизации траектории КА, имеющих в своем составе двигательные установки большой и малой тяги.

• Разработан программный комплекс, автоматизирующий решение задач оптимизации траекторий КА с малой тягой.

• Получено решение задачи оптимизации траектории перелета КА с малой тягой на ГСО на базе ракетно-космического комплекса «Союз-Фрегат» и а так же на базе ракетно-космического комплекса «Рокот-Бриз».

Апробация работы. Методы и результаты оптимизации схем выведения КА на высокие рабочие орбиты, имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки обсуждались:

• на международной конференции «The 3rd CSA-IAA Conference on Advanced Space Systems and Applications» (октябрь 2008);

• на XLIV Научных чтениях, посвященные памяти К.Э. Циолковского (сентябрь 2009);

• на XXXIV Академических чтениях по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва (январь 2010);

• на двух научных конференциях для студентов и аспирантов Аэрокосмического факультета МАИ (в 2008 и 2009 годах).

Личный вклад и публикации. Все результаты, приведенные в диссертации, получены лично автором. Основные результаты опубликованы в 3 научных работах, в том числе в статье [1] в журнале «Вестник МАИ», входящим в перечень изданий, рекомендованных ВАКом Минобрнауки России.

Основные научные положения, выносимые на защиту.

• Метод оптимизации траектории многовиткового перелёта КА с малой тягой с промежуточной эллиптической орбиты на высокие рабочие круговые орбиты.

• Результаты решения задачи оптимизации траектории перелёта КА с малой тягой с промежуточной орбиты на геостационарную орбиту:

> С использованием модельной задачи для получения полуаналитического решения.

> С использованием метода продолжения по параметру.

> С использованием гибридного метода, который объединяет метод Левен-берга - Марквардта и модифицированный метод Ньютона.

• Результаты анализа двух типов экстремалей при многовитковом перелете между круговыми некомпланарными орбитами и определение критического наклонения, при котором появляется экстремаль второго типа.

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников. Основный текст содержит 135 страниц, включая 3 таблицы и 76 рисунков. Список литературы состоит из 57 наименований.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованна актуальность темы диссертации, сформулировань цель и задачи исследования, отмечена научная новизна и практическая значимость по лученных результатов, приведены основные положения диссертационной работы, вы носимые на защиту, сведения об апробации результатов работы и описана структур диссертации.

В главе 1 рассматривается задача оптимизации траектории многовиткового пе релета космического аппарата с эллиптической орбиты на некомпланарную ей круто вую орбиту за минимальное время с двигательной установкой малой постоянной тяги Предполагается, что линия апсид начальной орбиты лежит на линии узлов начально и конечной орбит. Предполагается, что величина реактивного ускорения на нескольк порядков меньше величины гравитационного ускорения КА. Это определяет то, что тра ектория перелета КА оказывается многовитковой.

Рассматриваемая задача оптимального управления формулируется так:

Найти оптимальный закон управления движением КА (программу управления дви жением по углу тангажа и рыскания), при котором КА известной начальной массы т0 начальной орбиты, определяемой набором ее элементов, будет переведен на конечну орбиту с заданными элементами за минимизируемое время (Т). Предполагается, чт КА имеет в своем составе нерегулируемую двигательную установку малой тяги (ее тя га и удельный импульс известны). Можно показать, что при минимизации времен перелета на траектории перелета отсутствуют пассивные участки. На траекториях бе пассивных участков минимизация времени перелета эквивалентна минимизации тре буемого для перелёта топлива.

Предложена некоторая упрощенная модельная задача. Она сформулирована так, чтобы ее решение всегда существовало, было единственным и это решение можно было достаточно легко получить и анализировать. Далее решение модельной задачи используется как некоторое приближенное решение рассматриваемой общей проблемы.

В модельной задаче используются два типа допущений. Допущения первого типа, по сути, есть сужение класса допустимых управлений. Допущения второго типа следует рассматривать, как некоторые упрощения математической модели движения КА. При этом используется идея осреднения уравнений движения КА. Перечислим введенные допущения модельной задачи.

Структура управления на каждом отдельном витке траектории фиксируется следующей:

> На каждом витке траектории трансверсальная компонента тяги ускоряет КА на одной дуге витка траектории и тормозит КА на остальной дуге траектории.

> Радиальная компонента тяги тождественно равна нулю на всей траектории перелета.

> Модуль угла рыскания является выбираемым параметром на каждом витке траектории. Знак угла рыскания меняется в точках траектории с аргументом широты равным 90° и 270° относительно плоскости конечной орбиты. При этом бинормальная компонента тяги изменяет свое направление.

Среди допущений второго типа (кроме уже отмеченного осреднения уравнений движения) следует отметить предположение о постоянстве реактивного ускорения на отдельных витках траектории и пренебрежение некоторыми величинами в правых

частях уравнений движения КА, описывающих изменение оскулирующих элементов орбиты КА.

В основном варианте использования модельной задачи предполагается симметричность используемого закона управления относительно линии апсид оскулирующей орбиты. Это обстоятельство вместе с предположением о том, что линия апсид начальной орбиты совпадает с линией узлов конечной орбиты (по отношению к начальной орбите), а конечная орбита является круговой, позволяет, использую принцип максимума, свести решение модельной задачи к трехпараметрической краевой задаче. Удалось получить явную форму записи трех трансцендентных уравнений этой краевой задачи. Решение этих уравнения обеспечивает удовлетворение условий выхода на конечную орбиту (по большой полуоси, эксцентриситету и наклонению). Уравнения имеют вид:

т.

Ak

10 ))

если — 1 < Л1к < А1о < 1 если — 1 < Л1к < 1 и/11о > 1

(1)

—г— если-1<Л10<1иЛ1к<-1 w

g(aa>s{-A10)) (уЧк f+Á

-Mí

1 ели Лис > Л10

< -1и Л1к > 1

acos (-Л10) sin(x)2

J ráeos acos(-.

Л1к) в(.хУ+Л24 acosí-A101sin(xy

dx если - 1 < Л1к < Л1о < 1 г/Л4 ф О

Jr-acosi acos (■

Ai +

■Лгу) 9W

еСО-ек-<

íaJ'2 f

•'acos (-.

í

pcOS(-/l10)s¡nM2

Jo 30)

3/

л1 + л1о)2

■dx если — 1 < Л1к < Л1о <1 и/14 = О

(' sin О)2 д(х) ,

Д 2 l\z dx есш л4 * 0 и - 1 < Л1к < 1 и Ли > 1 Jar ' ' 4 П Г

acos (-Л1к)

sin (х)2

acos (-Л,*) 3(х)

dx если — \ < Л1к < 1 и Л. = 0 и Л1о > 1

S(*)2 + Л24 '

dx если - 1 < Л10 <1 и At Ф 0 и Л1к < -1

dx если — 1 < Л1о <1 иЛ, = ОиЛ1к<— 1

(л10)3/2 f

J о

I

sin (х)2

Jo 3(.х) О если Л1к > Л1о

"sin (х)2/(х)

, ——-rrdx если /14 Ф 0 и Л1к < -1 и Л,„ > 1

'о д(хУ+ЛХ

dx еслиЛ1к < —1 иЛ4 = 0 иЛ1а > 1

i СО - ik =

' Л facos(-^ю) s'"M j 4 Jacos (-л1к) д(х)*+л1

Л* f* , , ■, + -atan

* Jacos д(ху+л\ п

л i-acosf-ilio) sin fx) , 2

At/, , ,,dx--atan

0 д(*)2+л1 "

- 1 < Л1!с < Лго < 1 если — 1 < Ацс < '

если — 1 < •

: 1иЛ1о > 1

sinfct) j 2

, l^íC'llo-l)

— atan

— 1 < Л10 < 1и Л1к < —1

если

если Л^

Л1к<-1 и Л1о > 1

еслиЛ1к > Л10

(3)

Здесь A(t) - большая полуось оскулирующей орбиты КА в произвольной (например, начальной) точке траектории; e(t) и i(t) - эксцентриситет и наклонение оскулирующей орбиты КА в этой точке траектории; Afc, е^ - значения большой полуоси,

наклонения и эксцентриситета конечной орбиты КА; д{х) = sin(x) + (j - *) cos (х).

Неизвестными в приведенной системе трех уравнений являются значения сопряженных переменных Ai0, A]k и Л4. Определив Ai0, Л)к и Л4 и зная оскулирующие элементы в какой-либо точке траектории перелета КА (например, в начальной точке), легко найти закон управления движением КА в рассматриваемой точке траектории и прогнозировать дальнейшее движение КА. Таким образом, решение модельной задачи дает некоторый закон управление движением КА в виде синтеза закона управления перелетом. Решая записанную выше систему трех уравнений для текущей точки траектории, удается найти сопряженные переменные, которые предлагается использовать для нахождения закона управления движением (угла тангажа и рыскания) в «реальной» (не модельной) задаче. Заметим, что при приближении КА к конечной орбите введенные упрощения математической модели модельной задачи оказываются все более корректными. Поэтому есть основания предполагать, что на полученных из решения модельной задачи значениях сопряженных переменных удастся удовлетворить краевые условиям «реальной» задачи.

Был реализован алгоритм решения задачи оптимального управления для полной модели межорбитального перелета, блок-схема которого приведена ниже.

Фа;ювые элементы (A. i, е) для некоторой начальной или текущей точки траектории известны.

Нахождение параметров, определяющих значений сопряженных переменных к большой полуоси и наклонению в начальной (текущей) точке и конечной точке траектории перелета.

i

Определение сопряженных переменных с использованием найденных параметров.

■

Выбор продолжительности исследуемого участка т раектории. Например, один лень, или 2 витка траектории вокруг "Земли.

i

Интегрирование системы уравнений оптимального движения КА на выбранном интервале времени.

-Да—/ Ныхол Пег

Параметры фазовых элементов исследуемого участка траектории используются как начальные условия для следующего участка траектории

Рис.1. Блок-схема алгоритма решения задачи оптимального управления при межорбитальном перелете

Несколько пояснений приведенной блок-схемы. Второй сверху элемент блок-схемы реализует решение приведенной выше системы трех уравнений краевой задачи для начальной или текущей точки траектории перелета. Результат - нахождение значений сопряженных переменных A]0h Л4.

Следующим этапом алгоритма является определение величин сопряженных переменных к равноденственным элементам (интегрирование уравнений движение ведется в равноденственных элементах). При этом используются соотношения:

Рех = cosí! - Af2 sin П (4b)

реу - Ал sinCl + Xf2 eos n (4c)

Pix = 2 A¡nc coS (f )2 coso -4az!lhglhisinn (4d)

piy = 2 Amc eos (f)2 sin O + Xírflt^"ri cosCl (4e)

где, Л1пс -2Л4 Ja}, + Л}2 , Afl = -cos (ш) ,Xf2 = -sin (со) , Лп = 0.

По этим величинам из условия максимума гамильтониана находятся углы тангажа и рыскания на дальнейшем участке траектории перелета. Величина участка есть

выбираемый параметр. Как правило, мы выбирали его равным одним суткам. В течение этого времени траектория КА определяется найденными в начале участка значениями сопряженных переменных и не корректируется. Исследование траектории на участке ведется по неупрощенным возмущенным уравнениям движением КА (часто в уравнения вводили вторую зональную гармонику).

Определяются и анализируются условия движение в конечной точке участка траектории. Если КА еще не достиг конечной орбиты, конечная точка рассмотренного участка рассматривается как начальная для следующего участка траектории. Опять решается система трех уравнений краевой модельной задачи, по ним определяется закон управление движением КА на следующем участке.

Такая процедура выполняется до достижения КА конечной орбиты, а полученное решение считается рациональным оптимальным.

Таким образом, в этой главе описан метод оптимизации траектории выведения с эллиптической орбиты на некомпланарную круговую орбиту за минимальное время с двигательной установкой малой тяги. Основная идея разработанного метода - введение некоторой модельной задачи, для которой задача многовиткового перелета с двигателем малой тяги всегда имеет решение и оно единственное. Основная особенность развиваемого похода в том, что его использование практически исключает итерационные процедуры, снимает проблему сходимости, делает алгоритм регулярным.

В главе 2 анализируется другой (по сравнению с главой 1) метод оптимизации траектории выведения КА с электроракетной двигательной установкой на некомпланарную круговую орбиту. Базовая методическая идея есть принцип максимума Л.С. Понтрягина. Рассматривается использование метода продолжения по параметру. А так же анализируется возможность использования гибридного метода, объединяющего метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона, для решения нелинейных систем краевых задач принципа максимума. Проводится сравнительный анализ эффективности этого метода и метода продолжения по параметру. Как критерий оптимизации рассматривается или время выполнения космического маневра (оно минимизируется, задача быстродействия), или время работы двигателя (моторное время, оно минимизируется при фиксированном времени выведения).

Управляемое движение реализуется двигателем малой тяги. На траектории допускаются пассивные участки. Величина тяги и скорость истечения включенной ЭРДУ считаются постоянными.

Проекции реактивного ускорения на орты орбитальной системы координат имеют вид:

и1=ЦР/т)со5(в)со^(\\1), аг=5(/5/ш)зт(е)со5(\)/), ап=5(Р/гп) бш^) (5)

где, а,, а,, а„ - соответственно трансверсальная, радиальная и бинормальная проекции реактивного ускорения. 5 - функция включения двигателя (5 = 1 на активном участке траектории (при включенной ЭРДУ), и 5 =0 при неработающей ЭРДУ); Р - тяга ЭРДУ; ш - масса КА; в - угол тангажа (угол между проекцией вектора тяги на плоскость ос-кулирующей орбиты КА и трансверсапьным направлением); у - угол рысканья (угол между вектором тяги и плоскостью оскулирующей орбиты КА).

Для исключения особенностей уравнений движения КА в окрестности нулевых значений эксцентриситета и наклонения рассматриваются уравнения движения в равноденственных элементах (к = ^; проекции вектора эксцентриситета ех = есоз(С1 +

со), еу = esin(Cl + со); проекции вектора наклонения ix = tg^cosQ, ix = tg^sinfl; истинная долгота точки орбиты К A F = v + со + Q):

= 8 hcosdcosip, (6а)

lit = 8^{t;sinFsinecosip + [({ + l)cosF]cosecosip ~ eyrjsinxp}, (6b)

^ = 5^j{-{cosFsinecos\f> + [({ + 1 )sinF + ey]cos6cosip + exi]sinip}, (6c)

7F= cosF sirv^' ^

if = 5 mj\<PSinF (6e)

= ^ + (6f)

dt h3 mf ™ 4 '

dm rP ,, .

здесь p - фокальный параметр; e - эксцентриситет; Q - долгота восходящего узла; и -истинная аномалия; ш - аргумент перигея; ( = 1 + excosF + eysinF, rj = ixsinF -iySinF, <p = 1 + ix + iy, w - скорость истечения ЭРДУ KA, ц - гравитационный параметр центрального тела.

Требуется перевести КА начальной массы Шо с начальной орбиты

h — h0, сх — gxo, еу £уо> ^х i-х о» iy — tyo (7)

на конечную орбиту

h = hk,ex = ехк,еу = eyk,ix - iXh.,iy = iyk (8)

за заданное или минимизируемое время Т. Рассматривается задача минимизации функционала

J = ft S^dt-*min, (9а)

соответствующая задача о перелёте с минимальными затратами топлива. Отметим, что при отсутствии ограничений на время перелёта Т и при 5=1, функционал (9а) соответствует задаче о перелёте за минимальное время. Более традиционным, однако, для задачи оптимального быстродействия является функционал

/ = fg dt -> min. (9b)

Гамильтониан задачи оптимального управления имеет вид:

Р (2 Р h

Н — —S — (1 + pm) + S—j(ATcosecosip + Arsin9cos\p + Ansinip), (10)

где

А = hpA + [(f + l)cosF + ex]pex + [(( + 1 )sinF + ey]pey,

Ar = ^{sinF. pex - cosF.pey),

An - V(-eyPex + sxPey) +\<p{cOsF.pix + SinF.piy) + Ph, Pex, Pey, Pix, Piy, Pf, Pm - переменные, сопряженные к фазовым координатам h, ex, еу, ix, iy, Fum соответственно.

Оптимальное управление S(t), 9(t), y(t) определяется из условия максимума гамильтониана (13):

cos {в) = , Ах , sin(9) = Ar (11)

Jv

и

соз(.ф) = , ^г+Аг , зт(ф) = Ап (12)

^ат2+аг2+ап2 ^ат2+аг2+ап2

_ [1, если > О (I, если^ >0

0 ~ (0, если гр3 < 0 \0, если)р5 <0

где хр3 = + + Аг + АпУ/2 ~ функция переключения.

Полученные выражения для оптимального управления позволяют записать гамильтониан на оптимальном управлении в виде:

Н = 8Р (Л? +Аг + Л2)1/2-1±Ей]+ ¿рР = + Ь] + Нк, (14)

где к=±\,А = (Л? + Л? + А1У'\ Ь = -^,НР=£рГ. Уравнения оптимального движения имеют вид:

41 ~ Эр' ¿гдх

где х=[кех еу ¿х 1уРт] , р = [рк рех реу р1х р1у рР рт] .

В задаче о перелёте за минимальное время 5 = 1, а дифференциальные уравнения для переменных т и рт можно исключить из рассмотрения, используя явную зависимость

массы КА от времени т = тп0- ^/ц?^

Так как рассматривается межорбитальный перелёт, и значение истинной долготы F в конечной точке траектории перелета не фиксировано, то из условия трансверсальности легко получить /?Д7)=0.

Интегрирование уравнений (15) с произвольным набором недостающих начальных условий дает возможность определить значения фазового вектора х и вектора сопряженных переменных р в конечный момент времени Т, также как и значения невязок решения краевой задачи.

Решение краевой задачи оптимального уравнения сводится к решению системы нелинейных уравнений, составленной из невязок заданных фазовых координат на правом конце траектории и из условий трансверсальности относительно параметров начальных значений сопряженных переменных. Для численного решения этой системы используются:

> Метод продолжения по параметру;

> Гибридный метод, который объединяет метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона.

Метод продолжения по параметру. Пусть необходимо решить систему нелинейных уравнений

Кг) = 0 (16)

При некотором начальном приближении 2о вычислим Г(г0) = Ь. Рассмотрим однопа-раметрическое семейство нелинейных уравнений

^1(2, т) = Г(г) - (1 - т)Ь = 0. (17)

При т = 0, г = го уравнение (17) выполняется автоматически в силу выбора вида функций Г,:

^0,0) = 0, (18)

а при т = 1 уравнение (17) совпадает с исходным уравнением (16): fx(z, 1) = f(z). Представим решение задачи (16) в виде функции от параметра продолжения т: z = z(t). В силу (17) и (18) z(t) определяется системной дифференциальных уравнений

S-FST» да

с начальными условиями

z(0) = zo- (20)

Интегрируя систему (19), (20) по т от 0 до 1, получаем решение исходной задачи (16). Таким образом, решение системы нелинейных уравнений (16) формально сведено к задаче Коши (19), (20). Система (19) называется системой дифференциальных уравнений метода продолжения.

Метод продолжения по параметру показал свою высокую эффективность при решении задачи оптимального быстродействия. Для большинства задач сходимость к оптимальному решению обеспечивалась выбором следующего начального приближения для вектора параметров краевой задачи:

Vh = l.Pex = Реу = Pix = Piy = 0.7" = "m°

¡Wk

где T *- оценка безразмерного времени перелета. Она находится, как время перелета между компланарными круговыми орбитами с радиусами равными большим полуосям начальной (а<)) и конечной (ak) орбит. В выражении оценки времени перелета pt - гравитационный параметр Земли, р - тяга электроракетного двигателя.

Считая метод продолжения по параметру весьма надежным, мы полагаем, что целесообразно развивать и другие методические направления. В данной работе анализируется возможность использования гибридного метода, объединяющего метод Jle-венберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона, для решения нелинейных систем в задачах оптимального управления.

Гибридный метод, объединяющий метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона.

Пусть необходимо решить систему нелинейных уравнений:

f(z) = 0. (21)

Поставим задачу нахождения таких компонентов вектора z, которые минимизируют сумму квадратов невязок системы (21). Можно утверждать, что при определенных условиях решение системы уравнений (21) эквивалентно нахождению нулевого значения минимума функции F(z):

Я*) -\1{=1Ш)2 = i||f(*)ll2 = \f(*№), (22)

где j - размерность вектора f (в нашем случае для решения краевой задачи j=6). Итерационный процесс метода Левенберга-Марквардта принимает вид:

zt+1 = zt - (Я(г()+« сНедСВД))"1^) (23)

Здесь Н- матрица Гессе, а - параметр, управляющий итерационным процессом.

Приращение аргумента в методе квазиньютона основывается на использовании

оценки матрицы вторых производных от F В « ^(z;), величина итерационного шага h, по аргументам находится из соотношения:

й£ = -В^), (24)

Для оценки матрицы вторых производных может быть использована формула BFGS (Broyden, Fletcher, Goldfarb and Shanno):

Bi+1 = Bi + ф/iyf ~ (25)

где, щ = Bihh y£ = Ii+1TJi+1/ii + Qi+1 -/¡)rf(zi+1). J -матрица Якоби.

Комбинация метода Левенберга-Марквардта с квазиньютоновским методом. Итерационный поиск начинается с ряда шагов, выполняемых с использованием метода Левенберга-Марквардта. Если выполнение этих шагов показывает, что значение F(z*) сильно отлично от нуля и слабо уменьшается по итерациям:

g(Zi)<0.02*F(Z) (26)

(здесь число 0.02 - один из параметров управления итерационным процессом), то обеспечивается переход к использованию квазиньютоновского метода. Переход к квазиньютоновскому методу предлагается осуществлять, если условие (26) удовлетворено в трех последовательных, успешных итеративных шагах. Как только эффективность итерационного процесса снижается (норма dF/az(z) уменьшается медленно), то необходимо вернуться к использованию метода Левенберга-Марквардта.

Этот алгоритм оформлен в виде процедуры библиотеки программ MatLab и этой процедурой удалось успешно воспользоваться.

Этот гибридный метод показал высокую эффективность при решении задачи оптимального быстродействия. Для большинства задач сходимость к оптимальному решению обеспечивалась выбором уже введенного набора начального приближения для вектора параметров краевой задачи.

Приведем результаты анализа и оптимизации траектории выведения КА с эллиптической орбиты (ее радиус перигея 10000 км, радиус апогея 65000 км, наклонение 30°, аргумент перигея равен нулю) на ГСО. Пусть космический аппарат на начальной орбите имеет следующие характеристики: начальная масса 1500 кг, тяга электроракетной двигательной установки - 0.4 Н, удельный импульс ЭРДУ - 2000 сек.

Решение задачи по быстродействию описанными методами не вызвало никаких затруднений. Минимальное время перелёта на ГСО оказалось равно 93.1 суток. Масса КА в момент выведения на ГСО равна 1335.93 кг.

Для решения задачи с фиксированным временем перелета (оно должно быть больше минимального времени перелета) метод продолжения по параметру и гибридный метод оказываются недостаточно эффективными. Это, по-видимому, происходит в связи с разрывностью правых частей дифференциальных уравнений при появлении или исчезновении пассивных участков траектории. В этом случае более эффективным для решения краевой задачи оказывается использование модификаций метода Ньютона. При этом в качестве начального приближения целесообразно использовать начальные значения сопряженных переменных, которые получены в результате решения задачи оптимального быстродействия.

Общая схема решения имеет такой вид. Время перелета меняется с некоторым шагом от найденного ранее минимального времени. Оно фиксируется выбором параметра C,f(Ctf > 1):

Tf=Tfillin*Ctf (27)

Когда Ctf равняется единице, то рассматриваемая задача есть задача оптимального быстродействия.

На рис.2 характеристическая скорость маневра выведения КА на ГСО представлена как функция параметра Ctf,. Видно, что увеличение времени выведения приводит к уменьшению характеристической скорости маневра. Увеличение времени выведения на 2% уменьшает характеристическую скорость КА на примерно 60 м/с (на 2.63%, с 2242 м/с до 2183 м/с). Увеличение времени выведения на 10% уменьшает требуемую характеристическую скорость КА до 2023 м/с (на 9.77 %). Увеличение времени выведения на 20% уменьшает характеристическую скорость КА до 1936 м/с (на 13.65 %).

characteristics velocity wrt Ctf to Tfrnin

Рис.2. Характеристическая скорость [м/сек] как функция Ctf (времени выведения)

Увеличение времени выведения приводит к росту массы КА на ГСО. Рассматриваемая зависимость нелинейная. Если увеличение времени выведения на 2 % приводит к увеличению массы КА примерно на 4 кг (примерно, на 0.3 %), то увеличение времени на 10 % (на 9 суток) приводит к увеличению массы К А на ГСО всего на 15 кг (примерно, на 1.1 %). На наш взгляд, это обстоятельство объясняет то, что многие считают возможным использовать при проектных исследований решение задачи оптимального перелета КА с ЭРДУ при минимизации времени выведения (решение задачи быстродействия). Хотя, конечно, выбирая время перелета большее минимального, можно увеличить массовую отдачу выполнения транспортной операции.

Описанные в главе методы оптимизации схем выведения КА с двигателей малой тяги с эллиптической орбиты на пространственную круговую орбиту показали высокую эффективность. Достаточно легко удается справиться с задачей минимизации характеристической скорости маневра при ограничении времени перелета.

В главе 3 приведены результаты сравнения полученных нами численных результатов для нескольких типовых задач с результатами, опубликованными в литературе. В работе «Caillau J.B., Gerguad J., Noailles J., 3D Geosynchronous Transfer of a Satellite: Continuation on the Thrust, journal of optimization theory and applications. Vol.118, No: 3, pp.541-565, September 2003» приведено решение неосредненной задачи минимизации времени перелета КА с вытянутой эллиптической орбиты на ГСО. Были приняты следующие проектные параметры КА и параметры перелета: начальная масса КА 1500 кг, тяга ЭРДУ 0.2 Н, скорость истечения ЭРДУ 19561.82 м/с, фокальный параметр начальной орбиты 11625 км, начальный эксцентриситет 0.75, начальное наклонение 7°, конечная орбита - круговая экваториальная орбита радиусом 42165 км. Для

этой задачи в указанной работе было получено минимальное время перелета равное 177.738 суток. В работе В.Г. Петухова «Оптимизация многовитковых перелетов между некомпланарными эллиптическими орбитами. Космические исследования, том 42, №42, с. 1-20,2004.» для тех же входных условий получено минимальное время перелета 177.360 суток. Использование приведенного гибридного метода в настоящей работе для соответствующей задачи привело к значению времени перелета 178.01 суток. С нашей точки зрения, полученная оценка времени перелета достаточно высока. Отметим, что точность удовлетворения условий выведения КА на ГСО оказывается очень высокой (сумма безразмерных квадратов невязок равна 0.00000775).

В главе проведен анализ и сравнения численных результатов оптимизации траектории многовиткового перелета между некомпланарными круговыми орбитами с малой тягой за минимальное время. Была осуществлена попытка найти такое наклонение орбиты (угол между плоскостями начальной и конечной орбит), при котором появляется вторая экстремаль (¿'-решение). Для этого был проведен анализ решений для диапазона наклонений орбит - 47°,...,51.6°. Этот диапазон анализировался с шагом 1°. Получить ¿'-решение для наклонения меньшего 47° не удалось, и мы считаем, что его в этом диапазоне наклонений не существует. Результаты численного анализа решений сведены в таблицу.

Таблица 1. Сравнение решений для диапазона наклонения [47°,...,51.6°] конечной ор-_ биты по отношению к начальной орбите__

Наклонение (градусы) 51.6° 51° 50° 49° 48° 47°

шах эксцентриситет (Е-решение) 0.1797 0.1623 0.1355 0.0937 0.0425 0.0054

min Tf (С решение) [сутки] 248.80 247.14 244.51 241.80 239.0 236.1

min Tf (Е решение) [сутки] 247.25 245.86 243.68 241.50 239.1 236.2

min Tf (решение модельной задачи) [сутки] 249 247 244 242 239 236

min Tf (решение Эдельбаума) [сутки] 254.29 252.70 250.00 247.30 244.4 241.7

Во второй строке таблицы приведены значения максимального оскулирующего эксцентриситета на Е-экстремали. Третья и четвертая строки таблицы дают значения критерия оптимизации (времени перелета) для двух найденных типов экстремалей. Анализ показывает, что время перелета на Е-экстремали меньше времени перелета на С-экстремали во всех рассмотренных вариантах наклонения, кроме наклонения 47°. При таком наклонении времена перелетов практически совпадают и, скорее всего, разница этих времен меньше точности проводимого численного анализа. С нашей точки зрения проведенный анализ подтвердил вывод В.Г. Петухова, в работе «Оптимизация многовитковых перелетов между некомпланарными эллиптическими орбитами» (Космические исследования, том 42, №42, с. 1-20, 2004), о том, что ¿-решение появля-

ется при наклонениях больших некоторого критического (таким наклонением В.Г. Петухов считает наклонение 47.3°). И при этом ^-решение (когда оно существует) всегда лучше (по величине критерия - времени перелета) С-решения. К сожалению, недостаточная точность нашего анализа не позволяет утверждать, что величина критического наклонения равна строго 47.3°, но то, что критическое наклонение близко к этому значению, нами подтверждено.

Проведенные сравнения показывают достоверность результатов, получаемых разработанными в настоящей работе методами. Это дает возможность утверждать, что предлагаемая методика может быть использована для оптимизации многовитковых перелетов с эллиптической начальной орбиты на ГСО для КА с ЭРДУ.

В главе 4 рассматривается задача оптимизации схемы перелета КА с комбинированной двигательной установкой между некомпланарными круговыми орбитами. Проектирование схем выведения космического аппарата при использовании комбинированной двигательной установки предполагает сквозную оптимизацию всей схемы выведения. При этом находится оптимальная программа управления движением КА при его выведении на рабочую орбиту на всех этапах выведения. Как критерий оптимизации максимизируется масса КА в момент выведения на рабочую орбиту. Оптимизационная задача сводится к задаче математического программирования, в которой неизвестными параметрами являются элементы базовой и промежуточной орбит, максимизируется масса КА в момент выведения на рабочую орбиту, а функцией-ограничением является время выведения на рабочую орбиту. Отметим, что время выведения на рабочую орбиту в рассматриваемой постановке можно считать равным времени перелета КА с промежуточной орбиты на рабочую орбиту.

Для выбора оптимальной промежуточной орбиты сначала представим результаты оптимизации схемы перелета КА с ЭРД. Рассматривается трехпараметрическое семейство промежуточных орбит. Эти три параметра характеризуют высоту перигея орбиты, высоту апогея орбиты и наклонение начальной орбиты по отношению к конечной орбите (наклонение конечной круговой орбиты считается нулевым). Аргумент перигея начальной орбиты считается равным нулю, долгота восходящего узла в нашей постановке произвольна.

Переходя к системе безразмерных переменных, удается сформулировать задачу оптимального перелета между произвольными рассматриваемыми орбитами как функцию трех параметров. Использовалась системы безразмерных переменных, в которой за единицу расстояния принимается величина радиуса конечной орбиты Гк, за единицу скорости выбирается местная круговую скорость на удалении гк от гравитационного центра (скорость на конечной орбите). За единицу времени выбираем время прохождения КА одного радиана при движении на конечной орбите, за единицу ускорения - ньютоновское ускорение на расстоянии равном радиусу конечной орбиты.

При этом задача перелета с произвольной промежуточной орбиты на конечную круговую орбиту фиксируется тремя безразмерными характеристиками. Задача оптимального управления формулируется так:

найти такой закон управления движением (такие программы углов тангажа и рыскания), чтобы обеспечить перелет КА с начальной орбиты {гр гф г} на конечную экваториальную круговую орбиту {гк=1, ¡ь~0} за минимальное время.

Минимум времени перелета соответствует в рассматриваемой постановке минимуму характеристической скорости. Будем рассматривать интеграл от реактивного

17

ускорения как текущую характеристическую скорость и примем эту скорость как независимую переменную (она монотонно меняется вместе с изменением времени полета). Тогда удается получить универсальное решение, справедливое для очень широкого диапазона реактивных ускорений, которые могут обеспечивать электроракетные двигательные установки. Таким образом, для рассматриваемой задачи оказалось возможным получить решения на трехмерной сетке значений высоты перигея, высоты апогея и наклонения начальной орбиты и затем использовать эти решения для интерполяции для любого набора начальных условий. При этом во всех узлах выбранной сетки были получены значения безразмерной характеристической скорости маневра и значения сопряженных переменных, которые обеспечивают решения краевой задачи.

В работе «Konstantinov M.S. and Petukhov V.G., Easy engineering techniques of optimal electric propulsion trajectory estimation, IAC.06, C4.4.06» представлена трехмерная таблица безразмерной характеристической скорости маневра перелета КА с ЭРД как функции трех безразмерных характеристик начальной орбиты {гр, га, /}. На основе выполненного решения 840 задач оптимизации траекторий перелета, соответствующих различным наборам элементов {гр, г„, /} начальной орбиты. Радиус перигея и радиус апогея промежуточной орбиты рассматривались 200, 1000, 5000, 10000, 20000, 35800, 45000, 60000, 80000, 100000, 120000, 140000, 160000 и 180000 км и наклонение промежуточной орбиты 0, 15,30,45,60,75 и 90 градусов. Таким образом, трехмерная линейная интерполяция дает возможность оценить необходимую характеристическую скорость при перелете с произвольной эллиптической орбиты на конечную круговую орбиту за минимальное время перелета. А так же можно найти элементы промежуточной орбиты {гр, га, ;'} для заданной характеристической скорости или зафиксированного времени перелета.

Для перелета с базовой орбиты на промежуточную орбиту с химическим разгонным блоком рассматриваются двухимпульсный и трехимпульсный перелеты с базовой орбиты на некомпланарную эллиптическую орбиту.

После того, как нами описаны решения задачи на обоих участках перелетной на конечную орбиту траектории (как функции характеристик промежуточной орбиты), можно считать, что задача сквозной оптимизации выведения КА на конечную орбиту сводится к задаче поиска оптимальных элементов промежуточной орбиты. Такая задача может быть рассмотрена как задача на условный экстремум. Постановка задачи может быть такой:

Найти элементы промежуточной орбиты (высоту ее перигея и апогея, наклонение орбиты) такие, чтобы время выведения на конечную орбиту было некоторым фиксированным (заданным), и при этом какой-либо массовый показатель маневра (например, масса полезного груза, выводимого на конечную орбиту) оказался максимальным.

Такая задача математически представляет собой задачу на условный экстремум в пространстве трех выбираемых аргументов (высоты перигея Нр, высота апогея На, и наклонения i промежуточной орбиты). Существует одно ограничение типа равенства на время выведения (Т* - заданное время выведение):

Т(НР, На, i)=T*.

Требуется найти такие Нр, На, i, чтобы было выполнено записанное условие и обеспечивалось максимальное значение массового критерия:

М(НР, На, i)—>тах

Для решения сформулированной задачи был разработан алгоритм, суть которого заключается в следующем. Для каждой пары рассматриваемых значений высоты перигея Нр и высоты апогея На промежуточной орбиты (эти пары могут быть взяты из сетки, использованной для оптимизации перелета с промежуточной на конечную орбиту с ЭРД) находятся время перелета как функция наклонения промежуточной орбиты. Анализируется диапазон возможных времен перелета для каждой пары Нр, На, и проверяется принадлежность заданного значения Т* диапазону возможных времен перелета. Если Т* принадлежит диапазону, то с использованием интерполяции находится возможное наклонение промежуточной орбиты, при которых время перелета равно заданному. Для полученного решения рассчитываем массовый критерий.

Если Т* не принадлежит диапазону, то рассматриваемую пару значений высот перигея и апогея отбраковываем.

После анализа всех пар высот перигея и апогея, находим такую пару, для которой массовый критерий максимален.

В главе 5 анализируются схемы выведения КА с комбинированной двигательной установкой на геостационарную орбиту. Рассматриваются траектории перелета на ГСО при использовании двух космических транспортных систем «Союз/Фрегат» и «Рокот/Бриз». Стационарный плазменный двигатель был рассмотрен как основа для используемой электроракетной двигательной установки.

Анализ схемы выведения КА с использованием космической транспортной системы «Рокот/Бриз». Параметры промежуточной орбиты считаются следующими: высота перигея - 700 км, высота апогея - 10000 км, наклонение -51.6 градусов. Масса космического аппарата в момент старта ЭРДУ - 520 кг. Тяга ЭРДУ - 0.08Н и удельный импульс - 1650с.

Ставится задача оценить массу КА, который может быть выведен на ГСО. Были спроектированы две траектории перелета с рассмотренной эллиптической орбиты на геостационарную орбиту. Первая траектория [А] была спроектирована с использованием модельной задачи (глава 1), вторая траектория [В] спроектирована с использованием гибридного метода объединяющего метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона, для решения нелинейных систем в задачах оптимального управления. Полученные траектории были сравнены и выбрана лучшая из них траектория перелета на геостационарную орбиту. Так же сравнивались полученные два закона управления движением КА на перелете (законы изменения функции угла тангажа и угла рыскания по траектории А и В).

Анализ показал, что траектории В лучше, чем траектория А. На траектории А время перелета равно 353 суток и, соответственно, выводимая масса КА в момент входа на ГСО получается 369 кг. На траектории В время перелета существенно меньше -337.8 суток и, соответственно, масса КА в момент выведения КА на ГСО равна 375.7 кг. На рис. 3...6 представлены характеристики траектории перелета, при использовании решения В.

Рис.3. Изменение безразмерных радиусов перигея и апогея [42164 км] как функции времени перелета [сутки]

Time in day time in day

Рис.5. Изменение угла тангажа [град] как Рис.6. Изменение угла рыскания функции времени полета [сутки] [град] как функции времени полета

[сутки]

На рис.3 видно, что оскулирующий радиус апогея (в отличие от радиуса перигея) меняется немонотонно. На первом участке траектории (его продолжительность около 270 суток) радиус апогея монотонно увеличивается и достигает в конце участка максимального значения 51564.3 км. На втором участке выведения радиус апогея уменьшается до радиуса ГСО в конце траектории перелета. Радиус перигея монотонно увеличивается до радиуса ГСО вдоль всей траектории перелета.

На рис.4 представлено изменение эксцентриситета оскулирующей орбиты вдоль траектории выведения на ГСО. Эксцентриситет на траектории выведения изменяется j немонотонно. В начале перелета (продолжительность участка 130 суток) эксцентриси- 1 тет немного увеличивается и достигает значения 0.454. После этого эксцентриситет уменьшается сначала медленно, а затем все быстрее. Рост эксцентриситета в начале перелета, по-видимому, связан с целесообразностью создания на траектории перелета благоприятных условий для изменения наклонения оскулирующей орбиты за счет би- I нормальной составляющей тяги в апогейной области. При этом целесообразно в ano- _ гее иметь как можно меньшую скорость.

Наклонение на траектории выведения монотонно уменьшается. На рис.5 показано изменения угла тангажа как функции времени перелета. Видно, что угол тангажа на первых витках траектории изменяется от 180° до -180°. При

............

\

\

........ А

\ \.....

\

\

\

i \

Time in day

Рис.4. Изменение эксцентриситета как функции времени перелета [сутки]

этом тяга двигателя разгоняет КА в перигейной зоне оскулирующего витка и тормозит КА в апогейной зоне витка траектории. Такой характер управления движением сохраняется до примерно 80 суток полета. Затем программа по углу тангажа становится колебательной. На всем витке траектории КА разгоняется реактивной тягой. Амплитуда колебания величины угла тангажа на этом участке траектории (80...270 сутки полета) уменьшается от 90° до нуля. Примерно на 270 сутки полета значение угла тангажа практически равно нулю на некотором временном интервале. Затем на дальнейших витках траектории перелета значения угла тангажа оказываются практически любыми в диапазоне плюс 180° - минус 180°. При этом на перигейных участках витков траектории КА тормозится используемым ракетным двигателем и разгоняется на апогейной части оскулирующих витков траектории.

Не менее интересно изменение угла рыскания вдоль оптимальной траектории выведения (рис.6). На каждом витке траектории этот угол изменяется от некоторого положительного максимального значения (достигается в перигее оскулирующей орбиты) до отрицательного минимального значения (в апогее оскулирующей орбиты).

Анализ схемы выведения КА с использованием космической транспортной системы «Союз/Фрегат». Траектории ракеты-носителя и Фрегата даны и не анализируются. Исследуются траектории перелета КА различных миссий с использованием электроракетной двигательной установки СПД -140. В качестве примера приведем траекторию перелета для выведения космической платформы «Space bus 3000». Параметры КА и промежуточной орбиты считаются следующими: Ракета - носитель Союз/Фрегат

ЭРДУ 4 СПД-140

Промежуточная орбита Высота апогея 45500 км

Высота перигея 290 км

Наклонение 51.8 градусов

Начальная масса КА 2141кг

Решение показало, что время перелета для задачи оптимального быстродействия получается 62.464 суток и, соответственно, выводимая масса КА в момент входа на ГСО получается 1767.44 кг. На Рис. 7 представлена функция переключения вдоль всей траектории перелета для зафиксированного времени перелета [70 суток]. Время перелета превышает минимальное время на 12.06%. Видно, что функция переключения бывает отрицательной с 13-х суток перелета. Именно на этих витках траектории появляются пассивные участки.

Рис.7. Функция переключения как функция времени полета на всей траектории

перелета на ГСО

Анализ показывает, что увеличение времени выведения на 7.5 суток (с минимального 62.46 суток до 70 суток) может увеличить выводимую на ГСО массу на 35 кг. В некоторых случаях такое увеличение массы может быть целесообразным.

В таблице 2. представлена результаты, характеризующие эффективность использования пассивных участков при увеличении времени перелета.

Таблица 2. Характеристики маневра выведения космической платформы «Space bus

Время перелета [сутки] Моторное время [сутки] Время перелета / Моторное время [С,г1 Конечная масса КА [кг]

62.464 62.464 1 1767.44

63 61.299 1.0086 1774.41

64 60.098 1.0246 1781.59

65 59.269 1.0406 1786.55

66 58.841 1.0566 1789.11

67 58.154 1.0726 1793.22

68 57.459 1.0886 1797.16

69 57.07 1.1046 1799.70

70 56.645 1.1206 1802.24

На рис.8 представлена экваториальная проекция траекторий перелета на ГСО. На рис.9 проставлена проекция траектории перелета на плоскость YZ. Активные участки полета показаны сплошной линией. Светлые области на Рис. 9 и 10 есть пассивные участки полета. Видно, что пассивные участки на витках траектории располагаются центрально симметрично относительно линии узлов. Линия узлов практически не меняется своего положения вдоль всей траектории перелета.

■0.5 0 0.5 У»42164кт

Рис.8. Проекция траектории перелета Рис.9. Проекция траектории перелета КА КА на ГСО на плоскость экватора на ГСО на плоскость У7

3. ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

В настоящей работе проведен анализ и оптимизация межорбитапьных перелетов К А с ЭРДУ, проанализировано несколько методических подходов к решению этих задач и описаны полученные результаты оптимизации перелетов. Основными результатами можно считать следующие результаты:

• Метод оптимизации траектории многовиткового перелета КА с двигательной установкой малой тяги с эллиптической орбиты на некомпланарную круговую орбиту за минимальное время. Основная идея разработанного метода - введение некоторой модельной задачи, для которой задача многовиткового перелета с двигателем малой тяги всегда имеет решение и оно единственное.

• Проанализирована возможность и эффективность метода оптимизации траекторий межорбитального перелета КА с двигательными установками малой тяги при использовании идеи метода продолжения по параметру.

•Предложена и проанализирована возможность использования гибридного метода, объединяющего метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона для оптимизации многовитковой траектории перелета КА с малой тягой. Представлены результаты анализа оптимальной траектории выведения КА с ЭРДУ на ГСО, оптимального управления движением КА при этом выведении.

• Проведено сравнение полученных с использованием разработанных методов результатов оптимизации межорбитальных перелетов с результатами, опубликованными другими авторами. Такое сравнение подтвердило достоверность получаемых результатов и эффективность предлагаемых методов.

• Исследована задача оптимизации траектории выведения космического аппарата с комбинированной двигательной установкой между некомпланарными круговыми орбитами.

• Проанализированы различные схемы выведения КА на геостационарную орбиту при использовании двух космических транспортных систем «Союз/Фрегат» и «Рокот/Бриз» и электроракетной двигательной установки. Представлены характеристи-

•1.5 -I 45 0 05 1 Хш 42164кт

\

ч\

ки траектории перелета не только для задачи оптимального быстродействия, но для задачи фиксированного времени перелета.

• Проведен анализ свойств оптимальных траекторий, типов законов оптимальног управления движением КА на перелетных траекториях. В частности, проанализиро ван вопрос о существовании двух типов экстремалей при перелете между круговы ми некомпланарными орбитами и о критическом наклонении, при котором появля ется второй тип экстремали. Получено подтверждение правильности оценки вели чины этого критического наклонения для полета с низкой околоземной орбиты н орбиту, радиус которой равен геостационарной орбите.

• Разработаны математические модели, алгоритмы и программные средства для оп тимизации выполнения космических маневров с низкой околоземной орбиты на вы сокие рабочие орбиты, в частности, на геостационарную орбиту.

4. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССТАЦИИ

1. Константинов М.С., Мин Тейн. Метод оптимизации траектории выведен КА с электроракетной двигательной установкой на ГСО / Вестник МАИ: 2009. - т. 16 №.5, С.282-290.

2. Константинов М.С., Мин Тейн. Проектирование схем выведения космиче ского аппарата на геостационарную орбиту при использовании химического разгонно го блока и двигателей малой тяги // Материалы ХЫУ научных чтений памят К.Э.Циолковского. - Калуга 2009. - С.119-120.

3. Константинов М.С., Мин Тейн. Метод оптимизации траектории выведен КА на ГСО при использовании электроракетной двигательной установки // Материаль XXXIV академических чтений по космонавтике. - М.: 2010. - С.119-120.

ВВЕДЕНИЕ.

1. МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ МНОГОВИТКОВОГО ПЕРЕЛЕТА КА С ДВИГАТЕЛЕМ МАЛОЙ ТЯГИ С ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ НА НЕКОМПЛАНАРНУЮ КРУГОВУЮ ОРБИТУ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ.

ВВЕДЕНИЕ.

1.1 Математическая формулировка задачи.

1.2 Оптимизация многовиткового перелета КА с двигателем малой тяги между произвольными орбитами. методический подход.

1.3 модельная задача.

1.3.1 Ограничения по постановке задачи оптимизации перелета.

1.3.2 Сужение (ограничения) рассматриваемого класса законов управления движением КА с малой тягой:.

1.3.3 Идеи метода и схема нахождения^оптимальиогоуправления модельной задачи.

1.3.4 Упрощение уравнений движения КА, которые используются в модельной задаче.

1.3.5 Формулировка модельной задачи оптимального управления. Оптимальное управление

1.3.6 Синтез закона оптимального управления модельной задачи.

1.4 полная модель движения ка с малой тягой (модель, в которой осреднение уравнений движения не производится).

1.4.1 Анализ траектории КА с малой тягой при оптимальном управлении в полной модели движения.

1.4.2 Связь сопряженных переменных для двух рассматриваемых систем фазовых переменных

1.4.3 Алгоритм решения задачи оптимального управления для полной модели движения КА с малой тягой.

1.5 анализ численных результатов.

2.1 Уравнения движения.49

2.2 Оптимальное управление.52

2.3 Краевая задача.54

2.4 Решение краевой задачи.55

2.4.1 Метод продолжения по параметру.56

2.4.2 Гибридный метод, объединяющий метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона.59

2.5 Численные результаты для задачи оптимального быстродействия при выведении на ГСО .65

2.6 Анализ закона управления ориентацией тяги вдоль траектории выведения КА на ГСО 70

2.6.1 Анализ закона управления углом тангажа космического аппарата.72

2.6.2 Анализ закона управления углом рыскания космического аппарата.74

2.7 Анализ численных результатов для задачи с фиксированным временем перелета.76

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.82

3 АНАЛИЗ ДОСТОВЕРНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ, ПОЛУЧАЮЩИХСЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗРАБОТАННЫХ МЕТОДОВ.83

3.1 Перелет с эллиптической орбиты на некомпланарную круговую орбиту.83

3.2 перелет между некомпланарными круговыми орбитами.85

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.91

4 ОПТИМИЗАЦИЯ СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТА КА С КОМБИНИРОВАННОЙ ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКОЙ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ КРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ.92

ВВЕДЕНИЕ.92

4.1 Критерии оптимизации.95

4.2 Используемые допущения по схеме перелета и по значениям некоторых элементов промежуточной орбиты.95

4.3 Выбор оптимальной промежуточной орбиты.97

4.4 Анализ перелета с базовой орбиты на промежуточную орбиту с химическим разгонным блоком.104

4.5 Оптимизация характеристик промежуточной орбиты.106

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.107

5. ОПТИМИЗАЦИЯ СХЕМЫ ВЫВЕДЕНИЯ КА С КОМБИНИРОВАННОЙ ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКОЙ НА ГЕОСТАЦИОНАРНУЮ ОРБИТУ.108

ВВЕДЕНИЕ.108

5.1 Анализ схемы выведения КА с использованием космической транспортной системы «Рокот/Бриз».108

5.1.1 Характеристики космической транспортной системы «Рокот/Бриз».108

5.1.2 Характеристики электроракетпой двигательной установки.109

5.2 анализ схемы выведения ка с использованием космической транспортной системы «Союз/Фрегат».115

5.2.1 Выведение космической платформы «Space bus 3000».116

5.2.2 Выведение космической платформы Euro Star 2000.123

5.2.3 Выведение космической платформы «Star 2».124

5.2.4 Выведение космической платформы «Space bus 1000».124

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.125

ВЫВОДЫ.127

ЛИТЕРАТУРА.129

ПРИЛОЖЕНИЕ.135

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы работы♦ В работе рассматриваются вопросы, связанные с оптимизацией схем выведения космических аппаратов (КА) имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки (двигательные установки большой и малой тяги) на высокие рабочие орбиты. Электроракетные двигательные установки, имея высокий удельный импульс, находят все большее применение в практике космических полетов. Их использование позволяет повышать эффективность транспортных космических систем, обеспечивать решение транспортных проблем на базе более легких ракет-носителей или увеличивать полезную нагрузку КА. Настоящую работу, как работу, способствующую внедрению новых технологий (перспективных двигателей) и направленную на повышение эффективности космических транспортных операций, следует считать актуальной.

В диссертации анализируется широкий спектр вопросов, касающихся оптимизации движения КА под влиянием малой тяги. Большое внимание уделяется методам оптимизации траекторий КА с малой тягой. При этом основные усилия были направлены на регуляризацию процесса решения краевых задач оптимального управления. Применение принципа максимума Л.С.Понтрягина позволяет свести оптимизационную задачу к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой и составляет основную трудность при использовании непрямых методов. Трудности решения таких краевых задач носят принципиальный характер, связанный с вопросами существования, единственности и ветвления решений. Методические сложности связаны с вычислительной неустойчивостью и с ограниченностью области сходимости численных методов решения. Традиционно для решения задач оптимизации траекторий

КА с двигательными установками малой тяги используются различные модификации метода Ньютона. Основной трудностью при использовании этого класса методов является определение начального приближения, достаточно близкого к оптимальному решению. Практически до сих пор не разработано достаточно универсальных алгоритмов определения начальных значений этих параметров для обеспечения сходимости методов типа Ньютона.

Таким образом, тема диссертационной работы, посвященная оптимизации схем выведения на высокие рабочие орбиты космических аппаратов (КА), имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки, является актуальной как и для практики решения транспортных космических проблем, так и для развития теории одного из разделов механики космического полета.

Целью диссертационной работы является разработка совершенных методов оптимизации схем выведения космических аппаратов на высокие рабочие орбиты, имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки (двигательные установки большой и малой тяги) для повышения эффективности выполнения транспортных космических операций. Такие методы должны позволить находить схемы полета КА, требующие минимальные затраты на их реализации. Их использование должно позволить или увеличить массу КА, выводимого на рабочую орбиту (и поэтому увеличить потребительские свойства выведенного аппарата) или уменьшить масштабность транспортной системы (что дает возможность использовать более легкие и поэтому дешевые ракеты-носители).

Для достижения сформулированной цели в работе решаются следующие задачи:

• Продолжается разработка регулярных численных методов оптимизации межорбитальных траекторий, включая: оптимизацию траекторий выведения с околоземной орбиты на высокую рабочую орбиту. разработку программного обеспечения, реализующего численные методы оптимизации.

• Разрабатываются приближенные методы оптимизации траектории КА рассматриваемого класса такие простые, чтобы их было достаточно просто внедрить в инженерную практику космических конструкторских бюро.

• Исследуются возможности использования электроракетных двигателей для реализации актуальных космических проектов на базе существующих и перспективных космических систем.

Методы проведения исследования. В данной диссертационной работе использованы следующие подходы и методы решения задачи:

• Основным подходом при оптимизации траекторий космического аппарата с электроракетной двигательной установкой, а также траекторий космических аппаратов с комбинированной двигательной установкой считается подход принципа максимума Л.С. Понтрягина.

• Для решения задачи оптимизации многовитковых межорбитальных перелетов КА с электроракетной двигательной установкой используются принцип максимума, метод продолжения по параметру, модифицированный метод Ньютона и гибридный метод, который объединяет метод Левенберга - Марквардта и модифицированный метод Ньютона.

Научная новизна полученных результатов. В рамках данной работы впервые получены следующие научные результаты:

• Разработаны практически регулярные численные методы оптимизации многовитковых межорбитальных перелетов при выведении на высокую рабочую орбиту КА с электроракетными двигателями.

• Разработано программное обеспечение, реализующее численные методы оптимизации многовитковых межорбитальных перелетов КА с электроракетными двигателями.

• Проанализирован вопрос о существовании двух типов экстремалей при перелете между круговыми некомпланарными орбитами и о критическом наклонении, при котором появляется второй тип экстремали. Несмотря на существующие публикации, эту проблему до настоящего времени нельзя считать решенной. В настоящей работе было получено подтверждение правильности оценки величины этого' критического наклонения для полета с низкой околоземной орбиты на орбиту, радиус которой равен геостационарной орбите.

• Исследована возможность использования электроракетных двигателей для реализации нескольких космических проектов на базе существующих и перспективных космических систем. Результаты исследования показывают существенное увеличение массовой эффективности выполнения транспортных операций при использовании таких двигателей в комбинации с традиционными химическими двигателями.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с результатами, опубликованными другими авторами, в том числе российскими, американскими и западноевропейскими (прежде всего, французскими) исследователями.

Практическая значимость. Практическая значимость работы состоит в следующем:

• Разработано программно-алгоритмитическое обеспечение оптимизации траектории КА, имеющих в своем составе двигательные установки большой и малой тяги.

• Разработан программный комплекс, автоматизирующий решение задач оптимизации траекторий КА с малой тягой.

• Получено решение задачи оптимизации траектории перелета КА с малой тягой на ГСО на базе ракетно-космического комплекса «Союз-Фрегат» и а так же на базе ракетно-космического комплекса «Рокот-Бриз».

Апробаиия работы. Методы и результаты оптимизации схем выведения КА на высокие рабочие орбиты, имеющих в своем составе химические и электроракетные двигательные установки обсуждались:

• на международной конференции «The 3 rd CSA-IAA Conference on Advanced Space Systems and Applications» (октябрь 2008);

• на XLIV Научных чтениях, посвященные памяти К.Э. Циолковского (сентябрь 2009);

• на XXXIV Академических чтениях по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва (январь 2010);

• на двух научных конференциях для студентов и аспирантов Аэрокосмического факультета МАИ (в 2008 и 2009 годах).

Личный вклад и публикации. Все результаты, приведенные в диссертации, получены лично автором. Основные результаты опубликованы в 3 научных работах.

Основные научные положения. выносимые на защиту.

• Метод оптимизации траектории многовиткового перелёта КА с малой тягой с промежуточной эллиптической орбиты на высокие рабочие круговые орбиты.

• Результаты решения задачи оптимизации траектории перелёта КА с малой тягой с промежуточной орбиты на геостационарную орбиту:

С использованием модельной задачи для получения полуаналитического решения.

С использованием метода продолжения по параметру.

С использованием гибридного метода, который объединяет метод Левенберга - Марквардта и модифицированный метод Ньютона.

• Алгоритм моделирования и оптимизации траектории многовиткового перелёта с малой тягой в центральном ньютоновском гравитационном поле.

• Результаты анализа двух типов экстремалей при многовитковом перелете между круговыми некомпланарными орбитами и определение критического наклонения, при котором появляется экстремаль второго типа.

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников. Основный текст содержит 135 страниц, включая 3 таблиц и 76 рисунок. Список литературы состоит из 57 наименований.

выводы

В настоящей работе анализировались межорбитальные перелеты в окрестности одного гравитирующего тела (Земли) и описаны полученные результаты оптимизации этих перелетов. Основными результатами можно считать следующие результаты:

• Метод оптимизации траектории многовиткового перелета КА с двигательной установкой малой тяги с эллиптической орбиты на некомпланарную круговую орбиту за минимальное время. Основная идея разработанного метода введение некоторой модельной задачи, для которой задача многовиткового перелета с двигателем малой тяги всегда имеет решение и оно единственное.

• Проанализирована возможность и эффективность метода оптимизации траекторий межорбитального перелета КА с двигательными установками малой тяги при использовании идеи метода продолжения по параметру.

• Предложена и проанализирована возможность использования гибридного метода, объединяющего метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона для оптимизации многовитковой траектории перелета КА с малой тягой. Представлены результаты анализа оптимальной траектории выведения КА с ЭРДУ на ГСО, оптимального управления движением КА при этом выведении.

• Проведено сравнение полученных с использованием разработанных методов результатов оптимизации межорбитальных перелетов с результатами, опубликованными другими авторами. Такое сравнение подтвердило достоверность получаемых результатов и эффективность предлагаемых методов.

Исследована задача оптимизации траектории выведения космического аппарата с комбинированной двигательной установкой между некомпланарными круговыми орбитами.

Проанализированы различные схемы выведения КА на геостационарную орбиту при использовании двух космических транспортных систем «Союз/Фрегат» и «Рокот/Бриз» и электроракетной двигательной установки. Представлены характеристики траектории перелета не только для задачи оптимального быстродействия, но и для задачи фиксированного времени перелета.

Проведен анализ свойств оптимальных траекторий, типов законов оптимального управления движением КА на перелетных траекториях. В частности, проанализирован вопрос о существовании двух типов экстремалей при перелете между круговыми некомпланарными орбитами и о критическом наклонении, при котором появляется второй тип экстремали. Получено подтверждение правильности оценки величины этого критического наклонения для полета с низкой околоземной орбиты на орбиту, радиус которой равен геостационарной орбите.

Разработаны математические модели, алгоритмы и программные средства для оптимизации выполнения космических маневров с низкой околоземной орбиты на высокие рабочие орбиты, в частности, на геостационарную орбиту.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проанализированы различные схемы выведения КА на геостационарную орбиту при использовании двух космических транспортных систем «Союз/Фрегат» и «Рокот/Бриз» и электроракетной двигательной установкой на базе стационарных плазменных двигателей. Представлены характеристики траектории перелета не только для задачи оптимального быстродействия, но и для задачи с фиксированным временем перелета. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

• При использовании космической транспортной системы «Рокот/Бриз» с электроракетной двигательной установкой можно вывести на ГСО КА с массой 375.7 кг при времени выведения 337.8 суток.

• При использовании космической транспортной системы «Союз/Фрегат» с электроракетной двигательной установкой типа СПД-140 проанализирована возможность выведения четырех космических geostationary transfer trajectory in XY plane платформ: «Space bus 3000», «Euro Star 2000», «Star2», и «Space bus 1000».

1. При выведении космической платформы «Space bus 3000» минимальное время выведения оказалось равным 62.464 суток. При этом масса выведенного на ГСО КА равна 1767.44 кг. При увеличении времени перелета до 70 суток можно увеличить массу выводимого на ГСО КА до 1802.24 кг. То есть можно довольно сильно (на 34.8 кг) увеличивать массу выводимой платформы.

2. При выведении космической платформы «Euro Star 2000» минимальное время выведения оказалось равным 67.795 суток. При этом масса выведенного на ГСО КА равна 1385.3 кг. При увеличении времени перелета до 80 суток можно увеличить массу выводимого на ГСО КА до 1408.5 кг.

3. При выведении космической платформы «Star2» минимальное время выведения оказалось равным 43.38 суток. При этом масса выведенного на ГСО КА равна 1093.3 кг.

4. При выведении космической платформы «Space bus 1000» минимальное время выведения оказалось равным 21.47 суток. При этом масса выведенного на ГСО КА равна 678.9 кг.

1. Аксенов Е.П. Специальные функции в небесной механике. М.: Наука, 1986.

2. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1977.

3. Аттетков А. В., Галкин С. В., Методы оптимизации. Издательство «МГТУ им. Н. Э. Баумана» , 2003.

4. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984.

5. Дубошин Г.Н. (ред.). Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976.

6. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука,1975.

7. Жулин С. С., Метод продолжения решения по параметру и его приложение к задачам оптимального управления. Вычислительные методы и программирование, том.8, 2007.

8. Константинов М.С. Методы математического программирования в проектировании летательных аппаратов. М., Машиностроение, 1975.

9. Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Механика космического полета. М., Машиностроение, 1989.

10. Ю.Константинов М.С., Мин Тхейн., Метод оптимизации траектории выведения КА с электроракетной двигательной установкой на ГСО. Вестник МАИ. Т. 16. №.5, 2009.

11. Петухов В.Г. Оптимизация многовитковых перелетов между некомпланарными эллиптическими орбитами. Космические исследования, том 42, №42, с. 1-20, 2004.

12. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983

13. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

14. Салмин В.В. Оптимизация космических перелетов с малой тягой. М.: Машиностроение, 1987.

15. Салмин В.В., Лазарев Ю. Н., Методы оптимального управления и численные методы в задачах технических систем. Издательство «СГАУ САМАРА», 2007.

16. Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л., Численные Методы. Под редакцией А.

17. И. Кибзуна. «Физматлит» , 2006.

18. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б., метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. Издательство «Эдиториал УРСС», 1999.

19. A1-Baali М. and Fletcher R.: Variation methods for non-linear least-squares. J. Opl. Res. Soc. 36, No.5 pp 405-421, 1985.

20. Allgower E., Georg K.: Numerical continuation method. An introduction. Springer-Verlag, 1990.

21. Azizov A. G., Korshunova N.A, On an analytical solution of the optimum trajectory problem in a gravitational field. Celestial mechanics 39, p. 297-306, 1986.

22. Battin Richard H., An Introduction to Mathematics and Methods of Astrodynamics, Revised Edition. AIAA Education Series, 1999.

23. Bernard Bonnard, Jean-Baptiste Caillau, Romain Dujol, Averaging and optimal control of elliptic Keplerian orbits with low propulsion. Science Direct, Systems & Control Letters 55, p 755 760, 2006.

24. Brouke R. A. and Cefola P. J. "On the Equinoctial Orbital Elements", Celestial Mechanics, Vol. 5, pp. 303-310,1972.

25. Caillau J. B., Gergaud J. and Noailles J., (TfMin): short reference manual. Technical report Technical Report RT/APO/Ol/3, CNES, France.

26. Caillau J.B., Gerguad J., Noailles J., 3D Geosynchronous Transfer of a Satellite: Continuation on the Thrust, journal of optimization theory and applications. Vol.118, No:3, pp.541-565, September 2003.

27. Chobotov V.A. Orbital Mechanics, Third Edition. AIAA Education series, 2002.

28. Edelbaum T. N., Sackett Lester L., Optimal low-thrust geocentric transfer. AIAA 10th electric propulsion conference, 1973.

29. Edelbaum T. N., Sackett Lester L., Solar electric geocentric transfer with altitude constraints: analysis. Final technical report of NASA contract NAS 318886, 1975.

30. Falck Robert and Gefert Leon, A method of efficient inclination changes for low-thrust spacecraft. NASA/TM—2002-211871, AIAA-2002-4895, 2002.

31. Fernandes Da. Silva, A note on solution of coast arcs problem. Acta Astronáutica Vol. 45, No. 1, pp. 53-57, 1999.

32. Fernandes Da. Silva, Solution of coast-arcs problem using sundman transformation. Acta Astronáutica Vol. 50, No. 1, pp. 1-11, 2002.

33. Fourcade J., Geffroy S., Epenoy R. An Averaging optimal control tool for low thrust optimum time transfer. (http://logiciels.cnes.fr/MIPELEC/en/logiciel.htm)

34. Gaylor David E., Low-Thrust circle to circle orbit transfer. May 14, 2002.

35. Geffroy Sophie, Epenoy Richard, Optimal low thrust transfers with constraints generalization of averaging techniques. Acta Astronáutica Vol. 41, No.3, p 133-149, 1997.

36. Gergaud J. and Martinon P., Using switching detection and variational equations for shooting method. ENSEEIHT-IRIT, UMR CNRS 5505. John Wiley & Sons, Ltd, 2006.

37. Haberkorn T., Gergaud J. and Martinon P., Low Thrust Minimum-fuel orbital transfer: an homotopic approach. Technical report «Contract No 02/CNES/0257/00-DPI 500» CNES, France.

38. Haberkorn T., Gergaud J. and Noailles J., MflVIax(v0 & vl): Method explanation manual 1. Technical report RT/APO/04/03 (January 2004).

39. Jaan Kiusalaas. Numerical Methods in Engineering with MATLAB, Published in the United States of America by Cambridge University Press, New York, 2005.

40. Kechichian Jean A., "Equinoctial Orbit Elements: Application to Optimal Transfer Problems", AIAA 90-2976, AIAA/AAS Astrodynamics Conference, Portland, OR, 20-22 August 1990.

41. Kechichian Jean A., Minimum fuel time fixed rendezvous using constant low thrust. Advances in astronautical science, vol.82, ISSN 00653438, 1995.

42. Kechichian Jean A., Optimal low thrust rendezvous using equinoctial orbital elements. Acta Astronáutica Vol. 38, No. 1, pp. 1-14, 1996.

43. Kiforenko Boris. M., Pasechnik Zoya V., Kyrychenko Svitlana B., Vasiliev Igor Yu., Minimum time transfers of a low-thrust rocket in strong gravity fields. Acta Astronáutica 52 P 601 611, 2003.

44. Konstantinov M.S. and Petukhov V.G., Easy engineering techniques of optimal electric propulsion trajectory estimation. LAC.06, C4.4.06.

45. Konstantinov M.S. Optimization of low thrust transfer between no coplanar elliptic orbits. Paper IAF-97-A.6.06, Turin, Italy, October 1997.

46. Konstantinov M.S. Optimization of Low Thrust transfer from elliptical orbit into noncoplanar circular orbit. Proceedings of 2nd International Symposium on Low-Thrust Trajectories LOTUS-2, Toulouse, France, 2002.

47. Konstantinov M.S., Fedotov G.G. , Petukhov V.G., et al. Electric Propulsion Mission to GEO Using Soyuz/Fregat Launch Vehicle. 52nd International Astronautical Congress. IAF-01-V.3.02, Toulouse, France, October 1-5, 2001.

48. Konstantinov M.S., Popov G.A., Fedotov G.G., Estimation of possibility of using of stationary plasma thrusters M100.M200 for insert into working earth orbits. Space Technology, Vol. 19, Nos. 5-6, pp. 273-284, 1999.

49. Madsen K., Nielsen H.B., Tingleff O. Methods for non-linear least square problems, 2nd Edition, April 2004.

50. Marec, J.P. Optimal Space Trajectories. Amsterdam: Elsevier Scientific Publishing Co., 1979.

51. Matogawa Yasunori, Optimum low thrust transfer to geosynchronous orbit. Acta Astronáutica Vol. 10, No. 7, pp. 467-478, 1963.

52. Petukhov V.G. Low-Thrust Trajectory Optimization. Presentation at the seminar on Space Flight Mechanics, Control, and Information Science of Space Research Institute (IKI), Moscow, June 14, 2000. (http://arc.iki.rssi.ru/seminar/200006/QLTTE2.ppt)

53. Petukhov V.G. Spacecraft insertion into high working orbits using light class launcher and electric propulsion. 17th International symposium on space flight dynamics. Moscow, Russia, June 16, 2003.

54. Werner. C. Rheinboldt, Methods for solving systems of nonlinear equations, second edition, SIAM, 1998.

55. Eurockot user's guide. Issue 4, Rev 0, November 2004.