автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Расчеты сечений столкновительных процессов в плазме многозарядных ионов по модели Хартри-Фока-Слэтера

Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской Академии Наук

На правах рукописи

ЗАХАРОВ Василий Сергеевич

Расчеты сечений столкновительных процессов в плазме многозарядных ионов по модели Хартри-Фока-Слэтера

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических_наук

□0307037 1

Москва 2007

003070371

Работа выполнена в Институте прикладной математики им М В Келдыша РАН

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор В Г Новиков

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук Л Г Дьячков

доктор физико-математических наук Г В Шпатаковская

Ведущая организация

Государственный научный центр Российской Федерации Троицкий институт инновационных и термоядерных исследований

Защита состоится "_"_ 2007 г в _ час _ мин

на заседании диссертационного совета Д 002 024 02 в Институте прикладной математики им М В Келдыша РАН по адресу 125047 Москва, Миусская ил , д 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им М В Келдыша РАН

Автореферат разослан 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук

О В Щерица

Общая характеристика работы

Актуальность темы

При моделировании неравновесной астрофизической и экспериментальной плазмы необходимо знание сечений и скоростей атомных процессов Как один из наиболее актуальных примеров такой плазмы можно рассматривать источники экстремального ультрафиолетового (ЭУФ) или мягкого рентгеновского излучения, используемого в целях рентгеновской литографии

Учет нестационарности плазмы многозарядных ионов является новой, быстро развивающейся областью физики плазмы Поэтому теоретическое исследование скоростей атомных процессов с учетом неравновесности является актуальной задачей и позволяет получить необходимые на практике оценки ионизационного баланса плазмы

Расчеты столкновительных процессов в неравновесной плазме для решения широкого круга естественнонаучных и прикладных задач требуют совершенствования моделей и создания эффективных методов расчета на основе современной многопроцессорной вычислительной техники

Несмотря на значительный прогресс в понимании физических явлений и методах описания квантовых процессов в плазме, расчеты столкновительных процессов в плазме многозарядных ионов представляют значительные трудности в виду неприменимости водородоподобных приближений для многоэлектронной системы

Для вычисления сечений элементарных процессов разработан ряд методов, дающих хорошие результаты в припороговых областях, главным образом, для легких элементов, такие, например, как метод сильной связи, где производится учет нескольких каналов рассеяния [1] Но часто эти методы неприменимы для многоэлектронных атомов и ионов в широком диапазоне энергий, а значит имеют большую погрешность при расчете скоростей процессов Также из-за большой сложности и плохой сходимости системы уравнений такие методы являются еще недостаточно изученными на данный момент, и их можно использовать только для расчета отдельных переходов

Одним из основных методов расчета столкновительных процессов является приближение Борна, где свободные электроны, участвующие во взаимодействии, рассматриваются в приближении плоских волн [1, 2] Часто для расчета процессов применятся модификация приближения Борна - борн-кулоновское приближение, где вместо плоских волн для налетающих и рассеиваемых частиц используются кулоновские волновые функции в поле ядра или иона Существуют также и другие модификации, например, приближение Борна-Оппенгеймера с учетом обменного взаимо-

действия Однако при вычислении сечений столкновительных процессов в плазме многозарядных ионов большое значение имеет потенциальное поле, в котором рассчитываются волновые функции электронов непрерывного спектра, поэтому результаты, полученные в кулоновском поле иона, могут существенно отличаться от эксперимента

Для описания состояния плазмы многозарядных ионов и вычисления скоростей атомных процессов в широком диапазоне температур и плотностей следует использовать достаточно совершенные квантово-статистичес-кие модели вещества, основанные на приближении самосогласованного поля В настоящей работе используется хорошо зарекомендовавшая себя модель самосогласованного поля Хартри-Фока-Слэтера (ХФС) [3] В результате решения уравнения Шредингера с полученным самосогласованным потенциалом может быть найден энергетический спектр многозарядного иона, соответствующие волновые функции, а также средние числа заполнения и средняя степень ионизации вещества в модели так называемого среднего атома (иона) [4]

Универсальным и наиболее общим для вычисления сечений и скоростей электрон-ионных столкновительных процессов в плазме (хотя и весьма трудоемким) подходом является приближеиие искаженных волн и его модификации, где, как правило, волновые функции электронов вычисляются в самосогласованном потенциале Хартри-Фока, а взаимодействие налетающего электрона с ионом рассчитывается по теории возмущений [1, 5]

Цель работы

Цель работы состоит в разработке, программной реализации и применении эффективного универсального метода расчета сечений и скоростей электрон-ионных столкновительных процессов в самосогласованном потенциале многозарядных ионов в неравновесной плазме на основе приближения искаженных волн Целью работы также является моделирование атомных процессов в конкретных физических экспериментах

Научная новизна работы

1 Предложен эффективный метод расчета сечений и скоростей столкновительных процессов в приближении искаженных волн с использованием численных и квазиклассических волновых функций электронов, рассчитываемых в самосогласованном потенциале Хартри-Фока-Слэтера

2 Разработан универсальный параллельный код для расчета сечений электрон-ионных столкновительных процессов в плазме многозарядных ионов в широком диапазоне температур и плотностей

3 Учтено влияние плотностных эффектов на величину сечений процессов столкновительного возбуждения и ионизации

4 Исследовано влияние быстрых электронов на ионизационный баланс в плазме

5 В результате применения рассчитанных скоростей процессов при моделировании ряда прикладных задач динамики плазмы объяснены наблюдаемые в эксперименте эффекты

Научная и практическая ценность работы

Разработанный параллельный код может быть применен для расчета скоростей и сечений в широком диапазоне температур и плотностей Проведено сравнение результатов с расчетными и экспериментальными данными Исследовано влияние плотностных эффектов на величину сечений и проведен анализ процессов непрямой ионизации Проведено моделирование неравновесной плазмы аргона и показано влияние быстрых электронов на ионизационный состав Вычислительный код, рассчитанные по нему скорости процессов, аппроксимационные формулы и разработанные модели кинетики ионизации применяются для моделирования динамики плазмы и объяснения экспериментальных результатов

Апробация работы

Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на XIX - XXI Международных конференциях "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество" и "Уравнения состояния вещества" (Эльбрус, 2004-2006), 6-й Международной конференции по плотным Z-пинчaм (Оксфорд, Великобритания, 2005), Европейской конференции по спектрометрии рентгеновского излучения (Париж, Франция, 2006), 33-й Международной конференции по плазменной науке (Траверс-сити, США, 2006), 18-й Европейской конференции по атомной и молекулярной физике ионизованных газов (Лечче, Италия, 2006), II - V Международных симпозиумах по ЭУФ литографии (Антверпен, Нидерланды, 2003, Миязаки, Япония, 2004, Сан-Диего, США, 2005, Барселона, Испания, 2006), Международных совещаниях по источникам ЭУФ излучения (Санта-Клара, США, 2004, Сан-Хосе, США, 2005, Ванкувер, Канада, 2006, Барселона, Испания, 2006)

Публикации

По теме диссертации опубликованы 20 научных работ

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения Общий объем диссертации 113 страниц Диссертация содержит 40 рисунков, 1 таблицу, и список цитируемой литературы из 106 наименований

Содержание диссертации

Во введении обсуждаются особенности неравновесной и нестационарной плазмы многозарядных ионов, для моделирования которой необходимы скорости и сечения элементарных процессов электрон-атомного взаимодействия Перечисляются используемые в настоящее время методы и приближения для расчета сечений и скоростей столкновительных процессов и границы их применимости Рассматриваются проблемы и трудности, связанные с вычислением сечений в плазме многозарядных ионов Излагаются основные положения диссертации

В первой главе представлена система уравнений поуровневой кинетики, постановка задачи теории рассеяния и основные выражения в приближении искаженных волн для расчета сечений и скоростей столкновительных процессов

Исследование плазмы многозарядных ионов, наблюдаемой в лазерных, разрядных или астрофизических задачах требует учета ее неравновесности Параметры неравновесной плазмы определяются населенностями уровней, для которых выполняются условия баланса в виде системы уравнений поуровневой кинетики, приведенной в п 1 В систему уравнений поуровневой кинетики плазмы входят скорости элементарных радиационных и столкновительных процессов, таких как возбуждение и гашение, ионизация и трехчастичная рекомбинация, поглощение и излучение в линиях, фотоионизация и фоторекомбинация, автоионизация и диэлектрон-ный захват Скорости радиационных процессов зависят от поля излучения через спектральную интенсивность и выражаются через эффективные сечения взаимодействия, которые уже не зависят от поля излучения Скорости столкновительных процессов зависят от распределения электронов по энергиям в плазме и выражаются через соответствующие сечения

Электрон-ионные столкновительные процессы не имеют точного аналитического решения, т к относятся к разряду задач теории многих тел Для расчета сечений этих процессов используется соответствующая теория возмущений

В основе математической постановки задачи теории неупругого взаимодействия электронов с атомами и ионами, кратко изложенной в п 2, лежит представление свободной частицы в виде падающей и рассеянной волны Использование асимптотики при г —> оо для волновой функции

свободного электрона позволяет выразить сечение взаимодействия через амплитуду волновой функции рассеянной волны, для нахождения которой, в общем случае, необходимо решать бесконечную систему связанных интегро-дифференциальных уравнений

В методе вычисления сечений и скоростей электрон-ионных столкнови-тельных процессов в плазме на основе приближения искаженных волн используется так называемое статическое приближение, т е вместо решения задачи взаимодействия многих тел для статического поля ионов используется самосогласованный потенциал В этом случае решение бесконечной системы уравнений сводится к решению задачи с двумя независимыми уравнениями

В приближении искаженных волн эффективное сечение одночастич-ного возбуждения иона для перехода из усредненного по конфигурации состояния 70 в 7 (с возбуждением электрона из состояния с квантовыми числами п1 в состояние с квантовыми числами п'1'), как показано в п 3, может быть записано в виде

= Яга 1 -

9пЧ'

£

а'к(п£,п'£') + а" к{п1,п'(!)

= ^ 1

ЛГ,

п'С

9п'1'

7о 7

Здесь Агп( и Лг„< е> - количество электронов в конфигурациях 70 и 7 с квантовыми числами п£ и п'£' соответственно, дп>£1 = 2(2£' + 1) - статистический вес состояния электрона п'£', а' к(п£,п'£') включает в себя прямую и интерференционную части сечения, а"к(п£, п'£') - обменную часть

а'к(п£,п'£') =

4тг3

(2£+1

А,А'

У^-Р« ( Рп ~ ^^Рк'к ) >

а"к{п£,п'£') =

4тг3

(2£ +

( Х^«'« ) >

А,Л' 4 к' '

где к = (2е)^2 - импульс налетающего электрона, е, е' и Л, Л' - энергии и орбитальные моменты этого электрона до и после столкновения, и РЦ,К - так называемые прямые и обменные радиальные интегралы, которые выражаются через интегралы Слэтера с использованием символов Вигнера

(2£+1)(2£' + 1)(2А + 1)(2А' + 1)

О

2к+ 1

А А' О О

Д

(к)

п1,п'С ,е\,е'1

= (-1)К+К',У(2К + 1)(2£ + 1)(2£' + 1)(2A + 1)(2A' + l)x

(к! i Л' \ f к' A t \ f к1

X \ 0 0 ojvo О О J \ К

Здесь R^fj 7 s - интеграл Слэтера

дйл,* = / / RMM^^RMRsi^dndri,

где Ra(r), Rp(r), Ry(r), Rs(r) - радиальные части одноэлектронных волновых функций дискретного и непрерывного спектра

Скорость столкновительных процессов, пропорциональна электронной плотности Ne (1/см3), а также усредненному по распределению электронов произведению сечения на скорость свободных электронов v = у/2е

СО

= Ne a3 i/0 < o'^v >= Ne a3 v0 J уРГе <r^7(e)F(e)de,

Дг

где щ - атомная частота, Ne (1/см3) - электронная плотность, оо - боровский радиус, Дс - энергия перехода п£ —n'l', F{e) - функция распределения свободных электронов по энергиям

Для нахождения сечений девозбуждения (гашения) необходимо поменять местами начальное и конечное состояния частиц или использовать симметрию силы столкновения относительно прямых и обратных процессов

В п 4 приведены формулы для вычисления сечений и скоростей процессов столкновительной ионизации и трехчастичной рекомбинации, которые получаются, когда одно из состояний 70 или 7 является состоянием непрерывного спектра В этом случае для вычисления сечения ионизации сг"0 7 полученное дифференциальное сечение г/<т"о7 необходимо просуммировать по моментам А* и проинтегрировать по энергиям е* ионизованного электрона

(£~?/2da"

a707 = Nn( £ J -ff- de* = Nnt <7, л* о

где ег - энергия ионизации атома (иона) с уровня п£

Аналогичным образом в приближении искаженных волн получаются выражения для расчета сечений диэлектронного захвата и вероятностей

t А' 1 (К') А е

процесса автоионизации, изложенные в и 5, которые имеют большое значение при анализе экспериментальных данных, а также в расчетах процессов диэлектронной рекомбинации

Вторая глава посвящена применяемым численным и аналитическим методам, а также другим особенностям реализации расчетов скоростей и сечений в приближении искаженных волн с использованием формул из главы 1

В п 1 кратко описана модель ХФС и приведен метод расчета волновых функций электронов непрерывного спектра в самосогласованном потенциале При расчете сечений и скоростей столкновительных процессов, ввиду многократного суммирования по моментам свободных электронов и интегрирования по энергиям, требуется вычисление большого количества волновых функций электронов непрерывного спектра Применение улучшенного квазиклассического приближения с использованием функций Бесселя позволяет на порядок ускорить процесс получения волновых функций электронов, обеспечивая при этом высокую точность расчетов Частота осцилляций волновых функций непрерывного спектра пропорциональна к — \/2е и при больших энергиях е требуется очень подробная сетка по г для передачи осцилляций Предложенный в диссертации критерий выбора оптимальной сетки для волновых функций позволяет эффективно распределить вычислительную нагрузку

При вычислении сечений столкновительных процессов в приближении искаженных волн подынтегральными функциями в интегралах Слэтера являются произведения радиальных волновых функций непрерывного и дискретного спектра В зависимости от количества участвующих во взаимодействии свободных электронов, т е от типа процесса, меняется число подынтегральных волновых функций непрерывного спектра Волновые функции электронов непрерывного спектра являются быстро меняющимися функциями, частота которых растет с увеличением энергии частиц и зарядом иона Это сильно усложняет интегрирование, особенно для процессов ионизации и трехчастичной рекомбинации В процессе расчета сечений приходится вычислять огромное количество интегралов, проводя суммирование по мультипольностям взаимодействий и моментам свободных электронов, поэтому эффективность вычисления интегралов Слэтера в большой степени влияет на время и точность всего расчета В п 2 предлагается быстрый метод вычисления интегралов на переменных сетках, основанный на выделении кратных интегралов с переменными пределами интегрирования и построении рекуррентных формул с учетом поведения волновых функций Для расчета сечений требуется проводить многократное суммирование по орбитальным моментам А свободных электронов Это сильно усложняет процесс вычисления сечений Максимальные значения Атах определяются условием существования классической области дви-

жения внутри атомной ячейки с радиусом го для свободного электрона с энергией е в потенциале У(г), то есть условием

2е + 2У(г0) - Лтах(Лтаа2х + 1/2) > О го

Величина Атах растет с увеличением энергии е и, очевидно, что при проведении расчетов целесообразно проводить суммирование до определенных эффективных значений Л = \тах Как показано в п 3, при больших значениях энергий свободных электронов ряд по Л и Л' сходится достаточно медленно и при расчетах сечений приходится учитывать не менее 40-50 членов (см рис 1) Также рассмотрен вклад взаимодействий с различной

Энергия электрона, эВ

Рис 1 Сечение возбуждения 4с1-4£ в ионе Хе XI, рассчитанное в приближении искаженных волн с различным количеством членов Хтах в сумме по А (Атах = 10, 20, 30, 40, 50)

мультипольностью в сечения процессов и определено необходимое максимальное количество учитываемых при суммировании членов Приводится зависимость дифференциальных сечений ионизации от энергии ионизованных частиц

Массовый расчет скоростей и сечений столкновительных процессов (в особенности процессов ионизации и трехчастичной рекомбинации) даже с использованием эффективных методов расчета требует использования многопроцессорных вычислительных систем и параллельных алгоритмов ввиду значительной трудоемкости вычислений В п 4 изложена основная

информация о разработанном вычислительном коде и рассмотрены способы распараллеливания для расчета сечений столкновительных процессов Предлагаемый алгоритм распараллеливания с динамическим распределением задач позволяет добиться высокой эффективности вычислений, что подтверждается результатами тестирования на МВС-15000

Двух- и трехпараметрические аппроксимационные формулы для скоростей основных процессов, получаемых при массовых расчетах на параллельных системах, приведены в п 5 Представленные выражения используются при моделировании динамики плазмы

В третьей главе проводится анализ результатов расчетов в приближении искаженных волн и рассматриваются эффекты, влияющие на величину сечений столкновительных процессов в плазме многозарядных ионов Приведены результаты моделирования плазмы аргона с учетом быстрых электронов

В п 1 вычисленные в приближении искаженных волн сечения и скорости возбуждения и ионизации для ионов Хе и Эп сравниваются с результатами, полученными по формулам Лотца и Ван Режемортера, в борнов-ском н борн-кулоновском приближениях, с американским вычислительным комплексом ГАС [6], результатами детальных расчетов зарубежных авторов и с экспериментальными данными Для рассматриваемых ионов приближение искаженных волн позволяет получить хорошие результаты, поскольку здесь важен учет искажения падающей и рассеянной волн за счет сильного и дальнодействующего поля иона Это приводит к значительному росту сечения в припороговой области, которое более чем в 3 раза отличается от сечения, полученного в приближении Борна Из результатов расчетов следует, что борновское приближение дает заниженные значения сечений, особенно при малых энергиях, так как при малых скоростях налетающего электрона происходит существенное искажение волны притягивающим полем иона Широко применяемая на практике формула Ван Режемортера дает сечения возбуждения для перехода 4Ф5р в ионе Хе XI близкие к результатам, полученным в приближении искаженных волн, однако для перехода 4с1-4Г с Ап = 0 в ионе Бп X эти сечения отличаются более чем в два раза Эмпирическая формула Томсона также в ряде случаев занижает сечение ионизации более чем в 2 раза по сравнению с приближением искаженных волн

Потенциальное поле, создаваемое ионом в плазме, может сильно отличаться от кулоновского, что связано с присутствием в плазме свободных электронов, экранирующих потенциал при удалении от ядра Поэтому сечения, рассчитываемые в кулоновском потенциале и неплохо соответствующие измерениям для отдельных ионов, могут быть существенно завышенными относительно значений сечений в плазме На рис 2 показаны результаты расчета сечений в кулоновском потенциале и потенциале ХФС

в сравнении с вычислительным комплексом FAC [6] и формулой Лотца Различия в результатах для кулоновского и самосогласованного потенциала ХФС достигают нескольких раз

0 05

0 04 «0 03

сГ 5 И

О)

£ 0 02

0 01 о

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Энергия электронов, эВ

Рис 2 Результаты расчета сечений ионизации уровня 4d в ионе Хе IX в приближении искаженных волн с использованием потенциала ХФС (HFS) и кулоновского потенциала (Coulomb) в сравнении с формулой Лотца и результатами расчета кодом FAC [6]

Для расчета скоростей важное значение имеет точность сечений при малых энергиях электронов, где имеются значительные расхождения в поведении сечений для различных подходов и приближение искаженных волн является наиболее предпочтительным из всех рассмотренных

При сравнении результатов расчетов сечений ионизации с экспериментальными данными, значения, вычисляемые с помощью разработанного кода в приближении искаженных волн, хорошо соответствуют эксперименту и более детальным расчетам При расчете сечений столкновительных процессов в приближении искаженных волн используются одноэлектрон-ные волновые функции дискретного и непрерывного спектра, рассчитанные в самосогласованном потенциале Хартри-Фока-Слэтера для атомной ячейки Полученная при этом электронная плотность, а значит и потенциал, зависят от плотности вещества, в т ч из-за изменения радиуса атомной ячейки Все это приводит к смещению уровней энергии, изменению волновых функций и тп Таким образом, сечение столкновительных процессов в модели среднего атома зависит от плотности вещества

В п 2 в результате моделирования выявлена различная форма зависимости от плотности плазмы для различных типов процессов Плотностные эффекты могут оказывать значительное влияние на величину сечений На рис 3 показано почти двухкратное изменение сечения возбуждения 4с1-5р для иона Хе X при росте плотности с 10~6 г/см3 до Ю-1 г/см3

Энергия электрона, эВ

Рис 3 Эффективное сечение возбуждения 4с1-5р в ионе Хе X при различной плотности плазмы

Заметим, что проведение сравнения сечений ионизации с экспериментальными данными требует тщательного анализа, поскольку существенный вклад в сечения могут вносить дополнительные эффекты, такие как возбуждение внутренних оболочек и последующая автоионизация (т н непрямая ионизация)

Непрямые процессы ионизации могут сильно повлиять на величину сечений В п 3 на основе детальной структуры уровней энергии ионов проводится оценка вклада непрямых процессов в сечения ионизации ионов Хе и приведены результаты сравнения с экспериментальными данными и результатами расчетов зарубежных коллег Полученные результаты позволяют сделать вывод, что непрямые процессы ионизации могут приводить к более чем двукратному росту сечений

На процессы столкновительной ионизации и возбуждения может оказать большое влияние наличие в плазме так называемых быстрых электронов, те электронов с большой энергией Это приводит к заметному изменению ионизационного состояния плазмы даже при малой относительной концентрации таких электронов В п 4 приведены результаты исследова-

ния влияния быстрых электронов на ионизационный баланс плазмы аргона в модели столкновительно-излучательного равновесия для прозрачной плазмы Учет быстрых электронов производится посредством расчета скоростей столкновительных процессов с неравновесной функцией распределения электронов по энергиям

Распределение электронов по энергиям в плазме с потоком быстрых электронов представлено в виде суммы двух распределений

= + (1)

где ^о - распределение Максвелла, - распределение быстрых электронов со средней энергией Е, £ - относительная концентрация быстрых электронов, Т - температура, е - энергия свободных электронов Предполагается, что (Е,е) = Р()(Е,е) Наряду с таким распределением также рассматривалась дельта-функция ё(е — Е) Как показали расчеты, такая замена не оказывает принципиального влияния на распределение ионов и их средний заряд Данное распределение используется для расчета скоростей столкновительных процессов из сечений, вычисленных в приближении искаженных волн

Учет быстрых электронов существенно меняет картину ионизационного баланса Степень влияния энергии и относительной концентрации быстрых электронов на ионизационный состав плазмы можно оценить из рис 4, где показаны результаты расчетов без учета и с учетом быстрых электронов с энергиями 1, 5, 10 кэВ и концентрациями от 0 1% до 10%

Отмечено, что результаты расчетов средней ионизации в случае нормального (максвелловского) распределения электронов при использовании формулы Томсона и приближения искаженных волн в диапазоне температур Г от 5 до 1000 эВ показывают близкие результаты Небольшое расхождение результатов при температурах плазмы свыше 60 эВ обусловлено быстрым спадом сечений, получаемых по формуле Томсона для больших энергий налетающих электронов Однако именно такое занижение сечений является причиной существенного отличия результатов, полученных по формуле Томсона, от приближения искаженных волн, при наличии быстрых электронов Таким образом, учет быстрых электронов требует применения точных приближений для расчета сечений, которые справедливы в широком диапазоне энергий электронов

10 keV 5 keV 1 keV norm

5 6 8 10 20 40 60 100 200

Температура, эВ

400 600 1000

5 6 8 10

40 60 100 200

Температура, эВ

400 600 1000

Рис 4 Зависимость среднего заряда в плазме аргона от концентрации и энергии быстрых электронов а) с относительной концентрацией 1% и энергиями 1,5, 10 кэВ в сравнении с нормальным распределением (norm), б) с энергией 5 кэВ и относительными концентрациями 0, 0 1, 1, 10%

В четвертой главе представлены некоторые результаты применения рассчитанных сечений и скоростей электрон-атомных взаимодействий при моделировании динамики плазмы на одном из наиболее актуальных примеров плазмы источников экстремального ультрафиолетового излучения (ЭУФ) с длиной волны около 13 5 нм, используемом в целях рентгеновской литографии Нужные для этого параметры плазмы могут быть достигнуты только при больших плотностях энергии, вложенной в плазму, которые реализуются в лазерной плазме, а также в электрических разрядах, таких как Z-пинч, капиллярный разряд, плазменный фокус Наиболее сильными излучателями в 2% спектральном диапазоне около 13 5 нм являются ионы ксенона и олова При этом для достижения нужной степени ионизации и излучения квантов с энергией около 92 эВ плазма должна быть нагрета до температуры равной десяткам эВ Моделирование динамики плазмы многозарядных ионов проводилось с помощью радиационно-магнитогидродинамического (РМГД) вычислительного комплекса Z* (или его электронно-гидродинамической версии), широко применяемого для моделирования различных экспериментальных источников мягкого рентгеновского излучения на основе электрических разрядов и лазеров [7]

В п 1 для РМГД вычислительного комплекса были рассчитаны таблицы скоростей атомных процессов в плазме ксенона и олова, а также используемого в экспериментах аргона Примеры результатов таких расчетов столкновительных скоростей, вычисленных на основе модели ХФС в приближении искаженных волн, рассмотрены в главе 3 Для создания баз данных расчеты проводились с учетом плотностных эффектов Другие атомные характеристики, такие как силы осцилляторов, уровни энергии, уравнение состояния для различных материалов и смесей, спектральные и плазменные транспортные коэффициенты вычисляются на основе релятивистской модели ХФС с помощью комплекса THERMOS [3]

На основе интерполяции таблиц параметров плазмы и скоростей атомных процессов построена упрощенная нестационарная кинетическая модель для расчета неравновесных атомных явлений в плазменной динамике В предложенной модели нестационарные процессы ионизации, радиационные и кинетические характеристики плазмы многозарядных ионов описываются упрощенными уравнениями вида

^ = s (Ф(/) - Ф(/е,)),

для каждого параметра / - среднего заряда, коэффициентов излучения и других величин, используемых в уравнениях РМГД Эффективная скорость S и соответствующее равновесное значение состояния feq вычислены и интерполированы посредством функции Ф(/) из предварительно рассчитанных таблиц параметров плазмы в зависимости от температуры

электронов и плотности вещества В тех случаях, когда влияние быстрых электронов на степень ионизации плазмы важно, таблицы эффективных скоростей 5' и равновесных значений /еч рассчитывались в зависимости от энергии и доли быстрых электронов в рамках модели, описанной в предыдущей главе В качестве процессов, обратных столкновительной ионизации, учитывались фото- и трехчастичная рекомбинация

В пп 2 и 3 рассмотрены неравновесные эффекты в динамике разрядной плазмы экспериментальных источников ЭУФ В капиллярном разряде с полым катодом в аргоне ускоренные в сильном электрическом поле так называемые "убегающие" электроны формируют пучок быстрых частиц и ионизационную волну Скорость и условия распространения ионизационной волны в значительной степени определяются зависимостью сечений ионизации от энергии частиц Используемые для моделирования сечения ионизации в приближении искаженных волн, как видно из рис 5, хорошо соответствуют экспериментальным данным [8]

Энергия электронов, эВ

Рис 5 Результат расчета сечения ионизации атомов аргона в приближении искаженных волн (Б\¥А) в сравнении с экспериментальными данными [8]

Пучок электронов и ионизационная волна создают канал для последующего развития разряда и нагрева плазмы Рассчитанные параметры канала качественно соответствуют экспериментальным наблюдениям Расчеты проводились при различных параметрах геометрии капилляров и начальных распределениях газа В процессе разряда и формирования обла-

сти горячей плазмы с температурой 18 эВ 0 1% добавка быстрых электронов приводит к росту ионизации аргона на 20%, и, соответственно, возрастанию в 5 раз ЭУФ эмиссии из плазмы по сравнению с расчетом без учета неравновесности распределения электронов В результате достигается согласие расчетных значений эмиссии ЭУФ с измерениями

В другом типе источника ЭУФ, плотном плазменном фокусе (ППФ), рассмотренном в п 3, нестационарность плазмы смеси гелия и ксенона приводит к уменьшению степени ионизации по сравнению с равновесной плазмой За время существования плотного пинча < ~ 25 не в моделируемом ППФ и плотности электронов пе = 4 9 1016 см-3 оптимальная концентрация ионов Хе XI, наиболее интенсивно излучающих ЭУФ на длине волны 13 5 нм, достигается при температуре электронов Те = 60 еУ, что выше значения Те = 30 — 40 еУ, которое получается при моделировании равновесной стационарной плазмы Это объясняет наблюдаемую экспериментально относительно низкую эффективность конверсии электрической энергии в ЭУФ излучение в ППФ

В заключении сделаны выводы и изложены основные результаты диссертации

Основные результаты и выводы

1 На основе приближения искаженных волн разработан универсальный метод расчета скоростей и сечений столкновительных процессов в модели ХФС для плазмы многозарядных ионов с использованием как численных, так и квазиклассических волновых функций электронов

2 Создан программный код для расчета скоростей и сечений на параллельных вычислительных системах Достигнута высокая эффективность распараллеливания Проведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными и результатами расчетов других авторов Показано хорошее соответствие экспериментальным данным и результатам наиболее продвинутых кодов В ряде важных для приложений случаев разработанный метод значительно уточняет широко распространенные приближенные методы и отличия могут достигать нескольких раз

3 Проанализированы процессы непрямой ионизации и их вклад в полное сечение Получено хорошее соответствие результатов данным эксперимента Показано, что вклад непрямых процессов в полное сечение ионизации ионов Хе VI - Хе VII может достигать 60-70%

4 Рассмотрено влияние плотности плазмы на величину сечений столкновительных процессов Впервые показано, что изменение эффек-

тивного потенциала иона при увеличении плотности плазмы вызывает значительную модификацию сечений возбуждения и ионизации

5 Проведено моделирование ионизационного равновесия прозрачной плазмы аргона с учетом быстрых электронов Показана высокая чувствительность ионизационного баланса к точности используемых сечений, что требует применения приближений справедливых в широком диапазоне энергий электронов

6 Разработаны модели и рассчитаны таблицы скоростей атомных процессов для МГД моделирования плазмы аргона, ксенона и олова На основе интерполяции таблиц построена упрощенная нестационарная кинетическая модель для расчета неравновесных атомных явлений в плазменной динамике

7 Показано, что добавка быстрых электронов при моделировании волны ионизации и динамики плазмы капиллярного разряда приводит к дополнительной ионизации и, как следствие, к возрастанию ЭУФ эмиссии на длине волны 13 5 нм из плазмы по сравнению с расчетом без учета неравновесности распределения электронов по энергиям В результате достигается согласие расчетных значений с результатами эксперимента

8 Объяснен наблюдаемый эффект пониженной степени ионизации плазмы ксенона в плотном плазменном фокусе по сравнению с равновесным значением За счет нестационарности процесса ионизации оптимальная концентрация ионов Хе XI достигается при более высоком значении температуры электронов плазмы, что объясняет наблюдаемую относительно низкую эффективность конверсии электрической энергии в ЭУФ излучение на длине волны 13 5 нм в плотном плазменном фокусе

Цитируемая литература

[1] В А Вайнштейн, И И Собельман, Е А Юков Возбуждение атомов и уширение спектральных линий -М Наука, 1979

[2] Г Ф Друкарев Столкновения электронов с атомами и молекулами -М Наука, 1978

[3] А Ф Никифоров, В Г Новиков, В Б Уваров Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы и методы расчета росселандовых пробегов и уравнений состояния -М Физматлит, 2000

[4] В F Rozsnyai Collisional-radiative average-atom model for hot plasmas // Physical Review E - 1997 - V 55 - P 7507

[5] S M Younger Electron-impact ionization cross sections for highly ionized hydrogen- and lithium-like atoms // Phys Rev A - 1980 - V 22 - P 111

[6] Gu M F Flexible atomic code // (http //kipac-tree Stanford edu/fac/)

[7] Zakharov S V , Novikov V G , Choi P Z*-code for DPP and LPP source modelling EUV Sources for Lithography SPIE PRESS, 2005 - P 223275

[8] F J de Heer, R H J Jansen, W Van der Kaay Total cross sections for electron scattering by Ne, Ar, Kr and Xe // J Phys В - 1979 -V 12(6) - P 979

Публикации по теме диссертации

[1] R Benattar, S V Zakharov, A F Nikiforov, V G Novikov, V A Gasilov, A Yu Krukovskn, V S Zakharov Influence of magnetohydrodynamic Rayleigh-Taylor instability on radiation of imploded heavy ion plasmas // Physics of Plasmas - 1999 - V 6 - P 175

[2] V G Novikov, V S Zakharov, A D Solomyannaya, V V Nagov-itsyn, S V Zakharov Ionization & Excitation Rate Coefficient Calculations for Plasma Emitting in EUV Range // 2nd Int Extreme Ultraviolet Lithography (EUVL) Symposium, Antwerp, 2003 (http //www sematech org/meetings/archives/Iitho/euvl/20030930/posters/ Poster%20098%20-%20V %20Zakharov pdf )

[3] V G Novikov, V S Zakharov, S V Zakharov, A F Nikiforov, P Choi Ionization & Excitation Rate Calculations in Nonequihbrium Plasma of EUV Source // EUVL Source Workshop, Santa Clara, 2004 -N 12 (http //www sematech org/meetings/archives/litho/euvl/20040222b/posters/ 12Zakharov pdf)

[4] V G Novikov, V S Zakharov, S V Zakharov, P Choi Ionization and Excitation Rates of Multicharged Ions in Non-equilibrium Plasma of EUV Sources // 3rd International EUVL Symposium, Miyazaki, 2004, SoP 44 (http //www sematech org/meetings/archives/litho/euvl/20041101euvl/posters/ SoP44_ Zakharov pdf)

[5] S V Zakharov, P Choi, A Yu Krukovskiy, Q Zhang, V G Novikov, V S Zakharov, A D Solomyannaya Modelling of the non-equilibrium plasmas of EUV sources // 3rd International EUVL Symposium, Miyazaki, 2004 (http//www sematech org/meetings/archives /litho/euvl/20041101euvl/presentations/day3/Sol6_zakharov pdf)

[6] P Choi, R Aliaga-Rossel, V Braic, M Braic, С Dumitrescu, С Leblanc,

V G Novikov, M Qiu, К D Ware, A Yuan, S V Zakharov, V S Za-kharov, Q Zhang, L Zhen The SOARING Micro Plasma Pulse Discharge EUV Source // 3rd International EUVL Symposium, Miyazaki, 2004 (http //www sematech org/meetmgs/archives/litho/euvl/20041101euvl/posters/ SoP12_Choi pdf)

[7] S V Zakharov, P Choi, С Dumitrescu, A Krukovskiy,

V G Novikov, A D Solomyannaya V S Zakharov, Q Zhang Black Box Modeling Engine for EUV Plasma sources // 3rd International EUVL Symposium, Miyazaki, 2004 (http //www sematech org/meetings/archives/htho/euvl/20041101euvl/posters/ SoP45_Zakharov pdf)

[8] Захаров В С , Новиков В Г Расчет скоростей и сечений столкнови-тельных процессов по модели Хартри-Фока-Слэтера / ИПМ им М В Келдыша РАН - Препринт - М , 2005

[9] S V Zakharov, Р Choi, V G Novikov, V S Zakharov, A Krukovskiy, A D Solomyannaya Modelling of the non-equilibrium plasmas of EUV sources / Сборник статей "Физика экстремальных состояний вещества-2005", Черноголовка, 2005 - С 50

[10] Захаров В С , Никифоров А Ф , Новиков В Г Скорости процессов ионизации и возбуждения по модели Хартри-Фока-Слэтера / Сборник статей "Физика экстремальных состояний вещества-2005", Черноголовка, 2005 - С 122

[11] Р Choi, R Aliaga-Rossel, Y An, К Bauramra, V Novikov, S Zakharov,V Zakharov The Micro Plasma Pulse Discharge EUV Source // EUV Source Workshop, San Jose, 2005

(http //www sematech org/meetings/archives/litho/euvl/20050227/posters/ ОЗШОЕ pdf)

[12] S V Zakharov, P Choi, V G Novikov, V S Zakharov, A Krukovskiy, A D Solomyannaya Upgrade m the Modeling of the Non-equilibnum Plasmas of EUV Sources // EUV Source Workshop, San Jose, 2005 (http //www sematech org/meetings/archives/htho/euvl/20050227/posters/ 02EPPRA pdf)

[13] S V Zakharov, P Choi, A Krukovskiy, Q Zhang, V G Novikov, V S Zakharov A Black Box Modelling Engine for EUV Plasma sources // AIP Conf Proceedings 808 6th Int Conf on Dense Z-pmches Ed J Chittenden Oxford, UK - P 275

[14] VS Zakharov, VG Novikov Ionization & Excitation Collision Rates and Cross-Sections in Multicharged Ion Plasmas // AIP Conf Proceedings 808 6th Int Conf on Dense Z-pinches Ed J Chittenden Oxford, UK -P 323

[15] V S Zakharov, V G Novikov, S V Zakharov Impact ionization and excitation of multicharged ions m DPP & LPP / / 4th International EUVL Symposium, San Diego, 2005 (http //www sematech org/meetings/archives/Iitho/euvl/7470/Poster/FinalS2/ 2-SO-43%20Zakharov_Keldiysh%20Inst-App%20Math%20Poster pdf)

[16] Захаров В С , Новиков В Г Ионизационное равновесие плазмы аргона С учетом влияния быстрых электронов // Сборник статей "Физика экстремальных состояний вещества - 2006", Черноголовка, 2006 - С 213

[17] S V Zakharov, Р Choi, AY Krukovskiy, VG Novikov, VS Zakharov Benchmarking of EUV Source Models MPP Capillary Discharge Simulation with Z* Blackbox Modelling Engine // EUV Source Workshop, Vancouver ВС, 2006

(https //www sematech org/7813/Posters/ll%20Zakharov%20EPPRA pdf)

[18] P Choi, S Zakharov, R Ahaga-Rossel, Y An, С Dumitrescu, С Leblanc, О Sarroukh, V Zakharov Strongly Multiplexed Micro Plasma Pulse EUV Source with Non-Destructive EUV Radiation Collimating-Focussmg Structure // 5th International EUVL Symposium, Barcelona, 2006 (http //www sematech org/meetmgs/archives/litho/euvl/7870/index htm)

[19] SV Zakharov, P Choi, VG Novikov, VS Zakharov, AY Krukovskiy Update on EUV Source Modeling Benchmarking // EUV Source Workshop, Barcelona, 2006

(https //www sematech org/7855/proceedings/36_zakharov_eppra pdf)

[20] S V Zakharov, P Choi, V.G Novikov, V S Zakharov, A Y Krukovskiy Progressing Modeling of LPP, Laser Induced DPP and Hollow Cathode Micro Plasma Pulsed EUV Sources with Z* Blackbox Modeling Engine // EUV Source Workshop, Barcelona, 2006 (https //www sematech org/7855/posters/ll_Zakharov_EPPRA pdf)

Заказ № 251/04/07 Подписано в печать 26 04 2006 Тираж 75 экз Уел пл 1,25

^^ ООО "Цифровичок", тел (495) 797-75-76, (495) 778-22-20

у, \vrnv с/г ги , е-тси1 т/о@с/г ги

Введение

Глава 1. Кинетика многозарядной плазмы и роль столкновительных процессов

1.1. Поуровневая кинетика электронов в приближении среднего иона

1.2. Постановка задачи теории неупругого взаимодействия электронов с атомами и ионами.

1.3. Возбуждение и гашение электронным ударом

1.4. Ионизация и трехчастичная рекомбинация.

1.5. Автоионизация и диэлектронный захват

Глава 2. Метод расчета сечений и скоростей атомных процессов

2.1. Численные и квазиклассические волновые функции по модели Хартри-Фока-Слэтера.

2.2. Вычисление интегралов Слэтера.

2.3. Суммирование парциальных сечений и интегрирование дифференциальных сечений

2.4. Вычислительный код для параллельных вычислительных систем

2.5. Аппроксимационные формулы для скоростей столкновитель-ных процессов

Глава 3. Сравнение результатов расчетов с другими приближениями и анализ атомных процессов в плазме

3.1. Анализ точности вычисления сечений и скоростей в приближении искаженных волн.

Влияние плотностных эффектов на величину сечений

Анализ непрямых процессов ионизации.

Быстрые электроны в плазме многозарядных ионов

Глава 4. Некоторые результаты применения расчетов сечений и скоростей электрон-ионных взаимодействий при моделировании динамики плазмы

4.1. Ионизационное состояние и радиационные свойства плазмы

Аг, Хе и Бп.

4.2. Моделирование неравновесной плазмы капиллярного разряда с полым катодом.

4.3. Ионизационные и радиационные характеристики плотного плазменного фокуса

Плазма многозарядных ионов представляет значительный интерес в связи с исследованиями в области атомной и квантовой физики [1], а также в астрофизических задачах [2, 3]. Интенсивное излучение плазмы элементов с большим Z используется для различных исследований фундаментального [4] и прикладного характера [5-8]. Как один из наиболее актуальных примеров применения такой плазмы можно рассматривать источники экстремального ультрафиолетового (ЭУФ - Е11У) или мягкого рентгеновского излучения, используемого в целях рентгеновской литографии для производства электронных структур с разрешением выше 45 нм [9].

В естественных условиях высокотемпературная плазма многозарядных ионов реализуется в звездных атмосферах [2], а лабораторная плазма создается в результате воздействия на вещество излучением мощных лазеров [5, 6], а также в электрических разрядах с высокой плотностью тока [7, 8]. Энерговклад в плазму может превышать десятки кэВ в расчете на один ион, однако большая часть этой энергии идет на ионизацию или успевает излучиться за счет высокой эмиссионной способности многозарядных ионов. Таким образом, нагрев и динамика плазмы многозарядных ионов в значительной степени зависят от процессов ионизации, возбуждения и излучения плазмы. В связи с этим решение многих актуальных проблем современной физики и плазменной технологии требует все большего объема информации об элементарных процессах электрон-атомного взаимодействия в различных состояниях плазмы. В то же время сильно возрастают требования к точности экспериментальных и расчетных данных о скоростях процессов и спектральных свойствах плазмы. Новые возможности спектроскопии [10] позволяют проводить более точную диагностику лабораторной и астрофизической плазмы, что также повышает требования к точности и детализации расчетных данных.

Плазма многозарядных ионов находится, как правило, в неравновесном состоянии (вне локального термодинамического равновесия), как за счет частичного выхода излучения [11-13], так и за счет эффектов нестационарности быстропротекающих процессов в плазме невысокой плотности [14, 15]. В неравновесной плазме неприменимо термодинамическое распределение Больцмана по состояниям, оно определяется кинетикой атомных процессов. Скорости этих процессов определяют ионизационный состав плазмы, распределение ионов по уровням ионизации и энергиям возбуждения и, в конечном счете, эмиссионную способность и спектральные характеристики плазмы.

В плазме многозарядных ионов атомные процессы отличаются разнообразием за счет сложного взаимодействия свободных и связанных электронов. Благодаря высокой скорости электронов электрон-ионные или электрон-атомные столкновения преобладают над столкновениями тяжелых частиц даже в слабоионизованном газе. Столкновительные процессы возбуждения ионов электронным ударом и ионизации электронов с верхних оболочек являются доминирующими неупругими процессами в большинстве видов плазмы. Обратные процессы трехчастичной рекомбинации на верхние оболочки и электронное девозбуждение (гашение) преобладают над соответствующими фотопроцессами при относительно высоких плотностях плазмы. Процесс диэлектронного захвата (процесс - обратный автоионизации), который является частью более сложного процесса - диэлектронной рекомбинации, имеет существенное значение в высокотемпературной плазме низкой плотности (когда скорость трехчастичной рекомбинации мала) [16, 17].

Неравновесность экспериментальной плазмы может быть обусловлена также присутствием пучков быстрых электронов (так называемых убегающих электронов). Это может происходить в лазерной плазме из-за особенностей взаимодействия лазерного излучения с веществом [18], либо в плазме пинчей [7] и капиллярных разрядов с полым катодом [19], а также в плазме эксимерных лазеров [20]. Присутствие быстрых электронов способно существенно повлиять на распределение ионов в такой плазме. Учет неравновесности кинетики плазмы многозарядных ионов является новой, быстро развивающейся областью физики плазмы. Поэтому теоретическое исследование скоростей атомных процессов и моделирование кинетики плазмы с учетом эффектов неравновесности является актуальной задачей и позволяет получить необходимые на практике оценки ионизационного баланса плазмы.

При моделировании этих и других видов неравновесной плазмы, с различными столкновительно-излучательными моделями, необходимо знание сечений и скоростей атомных процессов. Множество формул для вычисления сечений и скоростей для различных столкновительных процессов, упомянутых выше, можно найти в литературе. Однако все формулы имеют ограниченные рамки применимости, а также имеются существенные различия в результатах между ними, большая часть которых еще не исследована.

Одним из наиболее популярных выражений для расчета сечений и скоростей ионизации уже долгое время является аппроксимационная формула Лотца [21], коэффициенты в которой выбираются исходя из экспериментальных данных и интерполяции результатов теоретических расчетов. Однако в связи с относительно небольшим количеством экспериментальных данных, а также недостаточной точностью теоретических данных, зачастую формула Лотца дает завышенные или, наоборот, заниженные результаты (см., например, [22]). Кроме того, экспериментальные данные зачастую включают в себя непрямые процессы ионизации, которые могут существенно повлиять на величину сечений и сильно зависят от условий эксперимента [23, 24]. В связи с этим в научной литературе можно обнаружить сравнительно много публикаций, в которых предложены уточнения формулы Лотца для ряда элементов (см., например, [22]), или иные многопараметрические аппрокси-мационные формулы [25]. Для расчета сечений возбуждения используется приближение Бете [26], которое применимо для больших значений энергий налетающих частиц, и выражения, полученные Ван Режемортером на основе экспериментальных данных [27].

Одним из основных методов расчета столкновительных процессов является приближение Борна [28, 29], где свободные электроны, участвующие во взаимодействии, рассматриваются в приближении плоских волн (см., например, [30, 31]). Часто для расчета процессов применятся модификация приближения Борна - Борн-кулоновское приближение, где вместо плоских волн для налетающих и рассеиваемых частиц используются кулоновские волновые функции в поле ядра или иона [30, 32]. Существуют также и другие модификации, например приближение Борна-Оппенгеймера с учетом обменного взаимодействия [30, 33]. Однако при вычислении сечений столкновительных процессов в плазме многозарядных ионов большое значение имеет потенциальное поле, в котором рассчитываются волновые функции электронов непрерывного спектра, поэтому результаты, полученные в кулоновском поле иона могут существенно отличаться от эксперимента.

Универсальным и наиболее общим для вычисления сечений и скоростей электрон-ионных столкновительных процессов в плазме (хотя и весьма трудоемким) подходом является приближение искаженных волн и его модификации [29, 30, 34, 35], где, как правило, волновые функции электронов вычисляются в потенциале Хартри-Фока [36] или используются аналитические хартри-фоковские функции [37].

Несмотря на значительный прогресс в понимании физических явлений и методах описания квантовых процессов в плазме многозарядных ионов, расчеты столкновительных процессов в плазме представляют значительные трудности в виду неприменимости водородоподобных приближений для многоэлектронной системы и требуют создания эффективных методов расчета.

Для вычисления сечений элементарных процессов разработан ряд методов, дающих хорошие результаты в припороговых областях, главным образом, для легких элементов, такие, например, как метод сильной связи, где производится учет связи каналов рассеяния [29-31]. Но часто эти методы неприменимы для многоэлектронных атомов и ионов в широком диапазоне энергий, а значит имеют большую погрешность при расчете скоростей процессов. Также из-за большой сложности и плохой сходимости системы уравнений такие методы являются еще недостаточно изученными на данный момент и их можно использовать только для расчета отдельных переходов.

Для описания состояния плазмы многозарядных ионов и вычисления скоростей атомных процессов в широком диапазоне температур и плотностей следует использовать достаточно совершенные квантово-статистические модели вещества, основанные на приближении самосогласованного поля. В настоящей работе используется хорошо зарекомендовавшая себя модель самосогласованного поля Хартри-Фока-Слэтера (ХФС). В модели ХФС используется самосогласованное иоле Хартри и приближение локального обмена, уточняющее обменный потенциал Слэтера. В результате решения уравнения Шредингера с полученным самосогласованным потенциалом может быть найден энергетический спектр многозарядного иона, соответствующие волновые функции, а также средние числа заполнения и средняя степень ионизации вещества в модели так называемого среднего атома (иона) [38-40]. Для описания движения свободной частицы в потециале иона может быть применено квазиклассическое приближение [38, 41], возможность аналитической записи волновых функций в котором значительно упрощает их вычисление в сложных потенциалах [42].

В данной работе полученные в модели ХФС характеристики состояния многозарядных ионов используются для прямого расчета скоростей столкновительных процессов ионизации, возбуждения, гашения, трехчастичной рекомбинации, автоионизации и диэлектронного захвата. Разработанный код позволяет проводить расчеты в широком диапазоне температур и плотностей плазмы произвольных веществ. Вычисленные сечения и скорости процессов сравниваются с другими широко используемыми методами и экспериментальными данными. Разработанный код, рассчитанные по нему скорости процессов, аппроксимационные формулы и разработанные модели кинетики ионизации применяются для моделирования экспериментальной плазмы.

В диссертацию вошли материалы, опубликованные в статьях и докладах на российских и международных научных конференциях. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

1. На основе приближения искаженных волн разработан универсальный метод расчета скоростей и сечений столкновительных процессов в модели ХФС для плазмы многозарядных ионов с использованием как численных, так и квазиклассических волновых функций электронов.

2. Создан программный код для расчета скоростей и сечений на параллельных вычислительных системах. Достигнута высокая эффективность распараллеливания. Проведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными и результатами расчетов других авторов. Показано хорошее соответствие экспериментальным данным и результатам наиболее продвинутых кодов. В ряде важных для приложений случаев разработанный метод значительно уточняет широко распространенные приближенные методы и отличия могут достигать нескольких раз.

3. Проанализированы процессы непрямой ионизации и их вклад в полное сечение. Получено хорошее соответствие результатов данным эксперимента. Показано, что вклад непрямых процессов в полное сечение ионизации ионов Хе VI - Хе VII может достигать 60-70%.

4. Рассмотрено влияние плотности плазмы на величину сечений столкновительных процессов. Впервые показано, что изменение эффективного потенциала иона при увеличении плотности плазмы вызывает значительную модификацию сечений возбуждения и ионизации.

5. Проведено моделирование ионизационного равновесия прозрачной плазмы аргона с учетом быстрых электронов. Показана высокая чувствительность ионизационного баланса к точности используемых сечений, что требует применения приближений справедливых в широком диапазоне энергий электронов.

6. Разработаны модели и рассчитаны таблицы скоростей атомных процессов для МГД моделирования плазмы аргона, ксенона и олова. На основе интерполяции таблиц построена упрощенная нестационарная кинетическая модель для расчета неравновесных атомных явлений в плазменной динамике.

7. Показано, что добавка быстрых электронов при моделировании волны ионизации и динамики плазмы капиллярного разряда приводит к дополнительной ионизации и, как следствие, к возрастанию ЭУФ эмиссии на длине волны 13.5 нм из плазмы по сравнению с расчетом без учета неравновесности распределения электронов по энергиям. В результате достигается согласие расчетных значений с результатами эксперимента.

8. Объяснен наблюдаемый эффект пониженной степени ионизации плазмы ксенона в плотном плазменном фокусе по сравнению с равновесным значением. За счет нестационарности процесса ионизации оптимальная концентрация ионов Хе XI достигается при более высоком значении температуры электронов плазмы, что объясняет наблюдаемую относительно низкую эффективность конверсии электрической энергии в ЭУФ излучение на длине волны 13.5 нм в плотном плазменном фокусе.

1. R.C. Elton. X-ray Lasers. Boston: Academic Press, 1990.

2. D. Mihalas. Stellar atmospheres. 2nd ed. San Francisco: W.H. Freeman & Co, 1978.

3. В.Д. Франк-Каменецкий. Физические процессы внутри звезд. М.: Физ-матгиз, 1959.

4. Р.Т. Springer, K.L. Wong, С.А. Iglesias, С.А. Hammer, J.H. Porter et al. Laboratory measurement of opacity for stellar envelopes //J. Quant. Spec-trosc. Radiat. Transfer. 1997. - V. 58. - P. 927.

5. J. Lindl. Development of the indirect-drive approach to inertial confinement fusion and the target physics basis for ignition and gain // Physics of Plasmas. 1995. - V. 2. - P. 3933.

6. M. Egan, S. Ellwi, A. Comley et al. Intense In-band Source Based on High Power Laser Produced Plasma // 1st International EUV Lithography Symposium, Dallas, 2002.

7. I. Fomenkov, R. Oliver, S. Melnychuk et al. Characterization of a Dense Plasma Focus Device as a Light Source for EUV Lithography // 1st International EUV Lithography Symposium, Dallas, 2002.

8. International Technology Road Map for Semiconductors (ITRS). 2003 Edition.

9. J.-F. Delpech, J. Boulmer, F. Devos. Transitions between Rydberg Levels of Helium Induced by Electron Collisions // Phys. Rev. Lett. 1977. - V. 39. - P. 1400.

10. И. В.Г. Новиков, А.Д. Соломянная. Спектральные характеристики плазмы, согласованные с излучением // ТВТ. 1998. - Т. 36(6). - С. - 858.

11. V.G. Novikov, S.V. Zakharov. Modeling of non-equilibrium radiating tungsten liners // Journal of Quantitative Spectroscopy к Radiative Transfer. -2003. V. 81. - P. 339.

12. Novikov V.G., Vorob'ev V.V., D'yachkov L.G., Nikiforov A.F. Effect of a Magnetic Field on the Radiation Emitted by a Nonequilibriurn Hydrogen and Deuterium Plasma // JETP. 2001. - V. 92. - P. 441.

13. JI.M. Виберман, B.C. Воробьев, И.Т. Якубов. Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы. М.: Наука, 1982.

14. М. Masnavi, М. Nakajima, Е. Hotta, К. Horioka. Influence of Nonequilibriurn Ionization Process on Efficiency of Discharge Pumped EUV Xe Source // 2nd Int. Extreme Ultraviolet Lithography (EUVL) Symposium, Antwerpen, 2003.

15. Burgess A. Dielectronic recombination and the temperature of the solar corona // Astrophys. J. 1964. - V. 139. - P. 776.

16. Massey H.S.W, Bates D.R. The properties of neutral and ionized atomic oxygen and their influence on the upper atmosphere // Rept. Progr. Phys. 1942. - V. 9. - P. 62.

17. Duderstadt J.J., Moses G.A. Inertial Confinement Fusion. NY: J.Wiley, 1982.

18. Mond M., Rutkevich I., Kaufman Y., Choi P., Favre M. Ionization waves in electro-beam-assisted, shielded capillary discharge // Phys. Rev. E. 2000. - V. 62(4). - P. 5603.

19. Бойченко A.M., Держиев В.И., Жидков А.Г., Яковленко С.И. Кинетическая модель ArF-лазера // Квант, электрон. 1992. - Т. 19(5). - С. 486.

20. W. Lotz. Electron-impact ionization cross-sections for atoms up to Z = 108 // Ztschr. Phys. 1970. - V. 232 - P. 101.

21. V.A. Bernshtam, Yu.V. Ralchenko and Y. Maron. Emperical formula for cross section of direct electron-impact ionization of ions //J. Phys. B.2000. V. 33. - P. 5025.

22. В. Файт. Измерение сечений возбуждения и ионизации при столкновениях. В сб.: Атомные и молекулярные процессы: Пер. с англ./Под ред. Д.Р. Бейтса. - М.: Мир, 1964.

23. D.C. Gregory, D.H. Crandall. Measurement of the cross section for electron-impact ionization of Xe6+ ions // Physical Review A. 1983. - V. 27. - P. 2338.

24. Г.А. Бете, Э. Солпитер. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. М.: Физматгиз, 1960.

25. Н. Van Regernorter. Rate of collisional excitation in stellar atmospheres // Astrophysical Journal. 1962. - V. 132. - P. 906.

26. M. Борн. Лекции no атомной механике. Харьков-Киев: ОНТИ, 1934.

27. Н. Мотт, Г. Месси. Теория атомных столкновений. М.: Издательство иностранной литературы, 1951.

28. В.А. Вайнштейн, И.И. Собельман, Е.А. Юков. Возбуждение атомов и уширение спектральных линий. М.: Наука, 1979.

29. Г.Ф. Друкарев. Столкновения электронов с атомами и молекулами. -М.: Наука, 1978.

30. A. Burgess, D. G. Hummer, J. A. Tully. Electron Impact Excitation of Positive Ions // Philos. Trans. Roy. Soc. 1970. - V. 266. - P. 225.

31. В.И. Очкур. О методе Борна-Оппенгеймера в теории атомных столкновений // ЖЭТФ. 1963. - Т. 45 - С. 735.

32. S.M. Younger. Electron-impact ionization cross sections for highly ionized hydrogen- and lithium-like atoms // Phys. Rev. A. 1980. - V. 22. - P. 111.

33. S.M. Younger. Distorted-wave electron-impact ionization cross sections for the argon isoelectronic sequence // Phys. Rev. A. 1982. - V. 26. - P. 3177.

34. M.S. Pindzola, D.C. Griffin, C. Bottcher. Electron-impact excitation-autoionization in the cadmium isoelectronic sequence: A case of target term dependence in scattering theory // Phys. Rev. A. 1983. - V. 27(5). - P. 2331.

35. E. Clementi, С. Roetti // At. Data Nucl. Data Tables. 1974. - V. 14. - P. 177.

36. А.Ф. Никифоров, В.Г. Новиков, В.Б. Уваров. Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы и методы расчета росселандовых пробегов и уравнений состояния. М.: Физматлит, 2000.

37. B.F. Rozsnyai. Relativistic Hartree-Fock-Slater calculations for arbitrary temperature and matter density // Phys. Rev. A. 1972. - V. 5, N. 3. -P. 1137.

38. B.F. Rozsnyai. Collisional-radiative average-atom model for hot plasmas // Physical Review E. 1997. - V. 55. - P. 7507.

39. A.C. Давыдов. Квантовая механика. M.: Физматгиз, 1963.

40. Д.А. Киржниц, Ю.Е. Лозовик, Г.В. Шпатаковская. Статическая модель вещества // Успехи физических наук. 1975. - Т. 117(1). - С. 3.

41. Gu M.F. Flexible atomic code // (http://kipac-tree.stanford.edu/fac/)

42. V.S. Zakharov, V.G. Novikov, S.V. Zakharov. Impact ionization and excitation of multicharged ions in DPP & LPP // 4th International EUVL Symposium, San Diego, 2005.

43. B.A. Базылев, М.И. Чибисов. Возбуждение и ионизация многозарядных ионов электронами // Успехи физических наук. 1981. - Т. 133(4). - С. 617.

44. JI.А. Вайнштейн, И.И. Собельман. Вывод радиальных уравнений теории столкновений электронов с атомами // ЖЭТФ. I960. - Т. 39. - С. 767.

45. Захаров B.C., Новиков В.Г. Расчет скоростей и сечений столкновитель-ных процессов по модели Хартри-Фока-Слэтера / Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2005. - № 43.

46. Д.А. Варшалович, А.Н. Москалев, В.К. Херсонский. Квантовая теория углового момента. JL: Наука, 1975.

47. Б.М. Смирнов. Введение в физику плазмы. М.: Наука, 1975.

48. M.R.H. Rudge and M.J. Seaton. Ionization of atomic hydrogen by electron impact // Proc. Phys. Soc. A. 1965. - V. 283. - P. 262.

49. J. Oxenius. Kinetic Theory of Particles and Photons. Berlin: Springer-Verlag, 1986.

50. Bethe H.A. Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie // Ann. Physik. 1930. - V. 397(3). - P. 325.

51. Rudge M.R.H. and Schwarz S.B. The ionization of hydrogen and of hydro-genic positive ions by electron impact // Proc. Phys. Soc. (London). 1966. - V. 88(3). - P. 563.

52. LaGattuta K.J. and Hahn Y. Electron impact ionization of Fe15+ by resonant excitation double Auger ionization // Phys. Rev. A. 1981. - V. 24. - P. 2273.

53. Y. Hahn. Radiative capture and recombination in electron-atom collisions // Phys. Rev. A. 1975. - V. 12. - P. 895.

54. D.C. Griffin, C. Böttcher, M.S. Pindzola, S.M. Younger, D.C. Gregory and

55. D.H. Crandall. Electron-impact ionization in the xenon isonuclear sequence // Physical Review A. 1984. - V. 29. - P. 1729.

56. А.Ф. Никифоров, В.Г. Новиков. Применение фазового метода для определения собственных значений энергии // Математическое моделирование. 1998. - Т. 10(10). - С. 64.

57. В.Б. Уваров, В.И. Алдонясов. Фазовый метод определения собственных значений энергий для уравнения Шредингера // ЖВМиМФ. 1967. -Т. 7(2). - С. 436.

58. А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984.

59. Захаров B.C., Никифоров А.Ф., Новиков В.Г. Скорости процессов ионизации и возбуждения по модели Хартри-Фока-Слэтера // Сборник статей "Физика экстремальных состояний вещества-2005", Черноголовка, 2005. С. 122.

60. O'Sullivan G., Carroll Р.К. 4d-4f emission resonances in laser-produced plasmas // J. Opt. Soc. Am. 1981. - V. 71(3). - P. 227.

61. M.E. Bannister, D.W. Mueller, L.J. Wang, M.S. Pindzola, D.C. Griffin, and D.C. Gregory. Cross sections for electron-impact single ionization of Kr8+ and Xe8+ // Physical Review A. 1988. - V. 38. - P. 38.

62. L.G. D'yachkov. Approximation for the probabilities of the realization of atomic bound states in a plasma // Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. 1998. - V. 59. - P. 65.

63. V.S. Zakharov, V.G. Novikov. Ionization к Excitation Collision Rates and Cross-Sections in Multicharged Ion Plasmas // AIP Conf. Proceedings 808. 6th Int. Conf. on Dense Z-pinches. Ed. J. Chittenden. Oxford, UK. P. 323.

64. В.Г. Новиков, А.Д. Соломянная. Расчет спектров многозарядных ионов в приближении связи промежуточного типа / Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2001. - № 65.

65. Захаров B.C., Новиков В.Г. Ионизационное равновесие плазмы аргона с учетом влияния быстрых электронов // Сборник статей "Физика экстремальных состояний вещества 2006", Черноголовка, 2006. - С. 213.

66. Zakharov V.S., Novikov V.G. Ionization equilibrium in argon plasma with fast electrons // 18th European Conference on Atomic and Molecular Physics of Ionised Gases (ESCAMPIG XVIII), Lecce, 2006.

67. M.S. Pindzola, D.C. Griffin, and C. Bottcher. Correlation enhancement of the electron-impact ionization cross section for excited-state Ne-like ions // Phys. Rev. A. 1990. - V. 41 - P. 1375.

68. Y. Zhang, C.B. Reddy, R.S. Smith, D.E. Golden, D.W. Mueller, D.C. Gregory. Measurement of electron-impact single-ionization cross-sections of Ar8+ // Phys. Rev. A. 1991. - 44(7). - P. 4368.

69. D. Salzman. Atomic Physics in Hot Plasmas. New York Oxford: Oxford University Press, 1998.

70. Zakharov S.V., Novikov V.G., Choi P. Z*-code for DPP and LPP source modelling. EUV Sources for Lithography. SPIE PRESS, 2005. P. 223-275.

71. Zakharov S.V., Nikiforov A.F., Novikov V.G., Krukovskii A.Yu., Starostin A.N., Stepanov A.E. et al. ZETA code: physical models and numerical algorithms / Отчет ИПМ им. M.B. Келдыша РАН. 1994.

72. А.А. Самарский, Ю.П. Попов. Разностные схемы газовой динамики. -М.: Наука, 1973.

73. М.П. Галанин, Ю.П. Попов. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах. М.: Наука, Физматлит, 1995.

74. S.V. Zakharov, P. Choi, C. Dumitrescu, A. Krukovskiy, V.G. Novikov, A.D. Solomyannaya V.S. Zakharov, Q. Zhang. Black Box Modeling Engine for EUV Plasma sources // 3rd International EUVL Symposium,

75. Miyazaki, 2004. (http://www.sematech.org/rneetings/archives/litho/euvl/20041101euvl/posters/ SoP45Zakharov.pdf)

76. S.V. Zakharov, P. Choi, V.G. Novikov, V.S. Zakharov, A. Krukovskiy, A.D. Solomyannaya. Modelling of the non-equilibrium plasmas of EUV sources // Сборник статей "Физика экстремальных состояний вещества-2005", Черноголовка, 2005. С. 50.

77. P. Choi, R. Aliaga-Rossel, Y. An, К. Bauramra, V. Novikov, S. Zakharov, V. Zakharov. The Micro Plasma Pulse Discharge EUV Source // EUV Source Workshop, San Jose, 2005.http://www.sematech.org/meetings/archives/litho/euvl/20050227/posters/ 03INOE.pdf)

78. S.V. Zakharov, P. Choi, A. Krukovskiy, Q. Zhang, V.G. Novikov, V.S. Zakharov. A Black Box Modelling Engine for EUV Plasma sources // AIP Conf. Proceedings 808. 6th Int. Conf. on Dense Z-pinches. Ed. J. Chittenden. Oxford, UK. P. 275.

79. S.V. Zakharov, P.Choi, A.Y. Krukovskiy, Q. Zhang, V.G. Novikov, V.S. Zakharov, A.D. Solomyannaya. A Black-box Modeling Engine for optimization modeling of EUV plasma sources // 4th International EUVL Symposium, San Diego, 2005.

80. P.Choi, R.Aliaga-Rossel, K.Bouamra, Y. An, C. Dumitrescu, A.Y.

81. Krukovskiy, C. Leblanc, S.V. Zakharov, V.S. Zakharov, Q. Zhang. The strongly multiplexed micro plasma pulse EUV source concept // 4th International EUVL Symposium, San Diego, 2005.

82. S.V. Zakharov, P.Choi, A.Y. Krukovskiy, V.G. Novikov, V.S. Zakharov. Benchmarking of EUV Source Models: MPP Capillary Discharge Simulation with Z* Blackbox Modelling Engine // EUV Source Workshop, Vancouver BC, 2006.

83. S.V. Zakharov, P.Choi, V.G. Novikov, V.S. Zakharov, A.Y. Krukovskiy. Update on EUV Source Modeling Benchmarking // EUV Source Workshop,

84. Barcelona, 2006. (https://www.sematech.org/7855/proceedings/36zakharoveppra.pdf)

85. S.V. Zakharov, P. Choi, V.G. Novikov, V.S. Zakharov, A.Yu. Krukovskiy,

86. С. Dumitrescu, K.D. Ware. Performance evaluation on discharge and laser based EUV sources // XVIII Международная конференция "Уравнения состояния вещества", Эльбрус, 2004.

87. V.S. Zakharov, V.G. Novikov. Ionization к Excitation Collision Rates and Cross-Sections in Multicharged Ion Plasmas // EUV Source Workshop, Vancouver ВС, 2006.

88. A.F. Nikiforov, V.G. Novikov, V.B. Uvarov, V.V. Dragalov, A.D. Solomyan-naya. // Third International Opacity Workshop к Code Comparison Study, WorkOp-III:94, Final Report MPQ 204, Max-Planck-Institute fur Quantenoptik, Garching, 1995.

89. I. Krisch, P. Choi, J. Larour, M. Favre, J. Rous, C. Leblanc. A Compact Ultrafast Capillary Discharge for EUV Projection Lithography // Contrib. Plasma Phys. 2000. - V. 40. - P. 135.

90. P. Choi, M. Favre. Fast Pulsed Hollow Cathode Capillary Discharge Device // Rev. Sei. Instrum. 1998. - V. 69. - P. 3118.

91. S.V. Zakharov, P. Choi. The Radiation Magnetohydrodynamics of a Nanosecond Capillary Discharge // Digest of Technical Papers "2001 IEEE Pulsed Power Plasma Science Conf.". 2002. - N. 73.

92. Zakharov V.S., Novikov V.G. Ionization equilibrium in multicharged ion plasma with fast electrons // 33rd IEEE International Conference on Plasma Sciences (ICOPS 2006), Traverse City, Michigan, 2006.

93. Zakharov V.S., Novikov V.G. Ionization equilibrium in multicharged ion plasma with fast electrons // European Conference on X-Ray Spectrometry (EXRS 2006), Paris, 2006.

94. M. Favre, P. Choi, H. Chuaqui, I. Mitchell, E. Wyndham and A.M. Len-ero. Experimental Investigation of Ionization Growth in the Pre-Breakdown Phase of Fast Pulsed Capillary Discharges // Plasma Sources Sei. Tech. -2003. V. 12. - P. 78.

95. S.V. Zakharov, P. Choi, V.G. Novikov, A.D. Solomyannaya, A.Yu. Kroukovski. Performance Evaluation on Discharge EUV Sources Using 2-D Radiation MHD Simulations // 1st International EUVL Symposium, Dallas, 2002.