автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.03, диссертация на тему:Расчет пространственных пластинчатых оболочечных конструкций летательных аппаратов и судов

Основные обозначения

Введение

Глава I. Построение приближенных уравнений механики деформирования оболочек и пластин с неизменяемым контуром поперечного сечения.

§1.1. Основные гипотезы расчетной модели.

§ 1.2. Перемещения и деформации пологой оболочки с неизменяемым контуром поперечного сечения

§ 1.3. Дифференциальные уравнения равновесия.

§ 1.4. Уравнения свободных колебаний оболочечных элементов с неизменяемым контуром поперечного сечения.

Глава П. Численный метод исследования напряженно-деформированного состояния пологих оболочек с неизменяемым контуром поперечных сечений.

§ 2.1. Постановка задачи

§ 2.2. Соотношения упругости.

§ 2.3. Алгоритм численного решения уравнений равновесия.

§ 2.4. Алгоритм и математическое обеспечение расчетов по разработанному методу.

§ 2.5. Численное исследование точности и сходимости разработанного метода и его применение к решению некоторых задач

Глава Ш. Численный метод исследования свободных колебаний пологих оболочек с неизменяемым контуром поперечных сечений

§ 3.1. Алгоритм численного решения уравнений свободных колебаний.

§ 3.2. Экспериментальное определение характеристик свободных колебаний

§ 3.3. Расчетно-экспериментальные исследования точности и сходимости разработанного численного метода

§ 3.4. Исследование характеристик свободных колебаний лопаток ГТД.

Глава 1У. Метод расчета характеристик свободных колебаний крыльевых систем

§ 4.1. Выбор расчетной схемы крыльевой системы и построение кинематических условий стыковки ее элементов

§ 4.2. Уравнения свободных колебаний крыльевой системы

§ 4.3. Основы метода решения задачи свободных колебаний крыльевой системы

§ 4.4. Решение уравнений свободных колебаний крыльевой системы

§ 4.5. Математическое обеспечение расчетов по разработанному методу.

§ 4.6. Исследование влияния мембранных деформаций элементов крыльевой системы на характеристики ее свободных колебаний

§ 4.7. Исследование характеристик свободных колебаний реальной конструкции

I. Обоснование цели исследований

В конструкциях современных летательных аппаратов (ЛА) и судов с динамическими принципами поддержания (СДПП) можно выделить оболочечные и пластинчатые элементы одного частного класса, имеющие одинаковый характер деформирования под воздействием внешних нагрузок. Две противоположные кромки у них всегда свободны, а расстояние между ними (в дальнейшем его будем называть хордой), как правило, меньше, чем расстояние между двумя другими противоположными кромками (длина элемента). В направлении длины одна из кромок всегда является закрепленной при свободной другой кромке (консольная схема), или обе кромки элемента бывают закреплены.

Описаные элементы могут представлять ообой либо самостоятельную в функциональном отношении конструкцию, как различного рода монолитные несущие и управляющие поверхности (крыло, стабилизатор и т.д.)(рис. 0.1 а) или лопатки турбин, компреосоров и вентиляторов газотурбинных двигателей (ГГД) (рис. 0.1 б), либо являются элементами сложных составных конструкций, как, например, '^"-образное хвостовое оперение самолета, стабилизатор с концевыми шайбами или крыльевая система (КС) судна на подводных крыльях (рис. 0.1 в, рис. 0.2 а,б).

Обеспечение прочности элементов описанного класса по существу является необходимым условием обеспечения надежности эксплуатации всей конструкции как ЛА, так и СДПП. Известно, например, что разрушение (отрыв) даже одной лопатки приводит не только к выходу из строя двигателя, но и непосредственно угрожает живучести всего ЛА. Это предъявляет высокие требования к точности методов оценки прочности рассматриваемых элементов конструкций, вклю

Рис.O.I

S)

Рис.0.2 чающей в себя целый комплекс задач, касающихся механики их поведения под воздействием как статических, так и динамических нагрузок.

Необходимо подчеркнуть особую важность динамических задач. Именно динамические нагрузки во многих случаях являются причиной разрушения как несущих и управляющих поверхностей, так и лопаток. Как известно, одной из задач исследования динамики конструкций является задача определения характеристик свободных колебаний. Решение этой задачи диктуется не только необходимостью выявления и принятия мер по предотвращению резонансных режимов работы конструкции, но и для решения других, более сложных задач ее динамического поведения (флаттера, динамической реакции и т.д.).

Различным аспектам проблемы расчета элементов конструкций, описанного класса,к настоящему времени посвящена обширная научная литература. Разработанные в ней методы прочностного анализа можно классифицировать по применяемым в них расчетным схемам *

Наиболее употребительной из них является простейшая балочная схема, базирующаяся на использовании традиционной гипотезы плоских сечений, а также более точная расчетная схема, основанная на использовании соотношений теории пластин.

Балочная схема, являющаяся простейшей, в силу принятых в ней гипотез имеет весьма ограниченные пределы применимости при исследовании как напряженно-деформированного состояния, так и динамических характеристик. Она в настоящее время используется на практике при расчете монолитных крыльев большого удлинения, сложных крыльевых систем СДЩ1, а также различных лопаток двигателей большого удлинения. Недостатки балочной расчетной схемы общеизвестны -она не позволяет учесть протяженность элемента конструкции в поперечном направлении (хорды) и, как следствие, эффектов стесненного кручения.

Свободной от указанных недостатков балочной схемы является вторая, базирующаяся на применении соотношений теории пластин. Большинство исследований в этом направлении к настоящему времени выполнено в рамках теории пластин, базирующейся на гипотезе прямой нормали. Если перемещения элемента конструкции являются малыми, то уравнения, описывающие механику его деформирования, разделяются на уравнение относительно прогиба уУ (нормального перемещения) и на систему двух уравнений, записанных относительно тангенциальных перемещений точек срединной поверхности элемента. Первое из этих уравнений относительно иг описывает задачу изгиба элемента конструкции, а два других описывают плоокое напряженное состояние. Применительно к проблеме расчета монолитных конструкций наиболее исследованной к настоящему времени является первая из этих задач, а именно, задача изгиба конструкции от действия нормальных поверхностных нагрузок, сводящаяся к определению прогиба ¿¿г точек срединной поверхности элемента конструкции. Для ее решения исследователями применялись как различные вариационные, так и численные методы, в частнооти методы Ритца и Канторовича-Власова, методы конечных разностей и конечных элементов, а также вариационно-разностный и интегрально-разностный методы.

В отличие от балочной, описанная расчетная схема позволяет учесть как протяженность и деформацию элемента конструкции в направлении хорды, так и сложный характер закрепления его торцевых сечений. Однако рамки ее применения ограничены монолитными крыльями, имеющими симметричный профиль поперечного сечения и, как следствие, плоскую форму срединной поверхности.

В большинстве случаев монолитные крылья как авиационных конструкций, так и СДЕШ, имеют несимметричные профили поперечных сечений и искривленную срединную поверхность. По своей геометрии они относятся к классу пологих оболочек, имеющих переменную толщину. К этому же классу оболочек нередко можно отнести и лопатки газотурбинных двигателей. Поэтому, естественно яри расчете на статическую прочность таких элементов и исследовании их динамических характеристик использовать оболочечную модель в рамках соотношений теории пологих оболочек. Однако, это направление исследований в научной литературе до настоящего времени не получило должного развития.

При использовании оболочечной модели, базирующейся на соотношениях классической теории пологих оболочек, расчет элементов конструкций, описанного класса,сводится к решению связанной системы трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно прогиба и двух тангенциальных перемещений точек срединной поверхности. Эта задача является достаточно сложной даже при расчете на прочность отдельного оболочечного элемента в виде монолитного крыла с иокривленной срединной поверхностью или лопатки ГТД, если при формулировании задач не использовать дополнительные упрощающие предположения. Тем более, чрезвычайно сложной в такой постановке оказывается задача прочностного анализа крыльевой системы СДПП, представляющей собой составную пространственную оболочечную конструкцию.

Одной из самых замечательных гипотез, используемой при расчете авиационных конструкций уже более полувека, является так называемая гипотеза о неизменяемости формы поперечного сечения. Согласно этой гипотезе предполагается, что в процессе деформаций поперечное сечение крыла или фюзеляжа перемещается в пространстве как жесткий диск, не изменяя свою форму, а на перемещения в направлении, нормальном к этому сечению, никаких ограничений не накладывается, то есть допускаются произвольные депланации. Основанием для применения этой гипотезы служат, во-первых, недопустимость значительного изменения формы поперечного сечения (профиля) в процессе эксплуатации, что достигается применением поперечного подкрепляющего набора в виде нервюр в крыльях (стабилизаторах) и в виде шпангоутов в фюзеляжах самолетов и корпусах ракет, во-вторых, сам характер механики деформирования указанных элементов, связанный с наличием двух свободных противоположных кромок (например, в крыльях).

Пределы применимости гипотезы о неизменяемости формы поперечного сечения при расчете авиационных конструкций и крыльевых устройств СДПП достаточно широки и к настоящему времени хорошо изучены как теоретически, так и экспериментально. На основе применения этой гипотезы построены как теория расчета тонкостенных авиационных конструкций в работах многих советских и зарубежных ученых, в частности И.Ф.Образцова [74], Ю.Г.Одинокова [75], так и монолитных крыльев летательных аппаратов и СДПП в работах В.М. Фролова [121-123], М.Б.Вахитова [16, 34], В.И.Меркурьева [68-70] и многих других.

Целью настоящей диссертации является построение новой расчетной модели, являющейся единой для расчета описанных выше конструкций - авиационных и судовых монолитных крыльев и крыльевых систем, лопаток ГТД, базирующейся на привлечении соотношений классической теории пологих оболочек с использованием гипотезы о неизменяемости формы поперечного сечения, а также разработка на ее основе единых численных методов исследования их напряженно-деформированного состояния и свободных колебаний.

2. Обзор литературы по теме исследований

Как отмечалось выше, в конструкциях современных летательных аппаратов широкое применение находят крылья, имеющие толстую обшивку, воспринимающую основную часть нагрузки. Очевидно, что их расчет в рамках традиционной в строительной механике ЛА тонкостейной расчетной модели Г75], согласно которой основная нагрузка воспринимается продольными силовыми элементами (лонжероны, стрингеры), а тонкая обшивка работает только на одвиг, невозможен.

Характерные для таких монолитных крыльев малая относительная толщина в сочетании с толстой обшивкой, а также малое удлинение позволяют считать их по характеру деформирования весьма близкими к пластине. Именно поэтому для их расчета широкое применение получили методы, базирующиеся на гипотезах и соотношениях теории тонких пластин.

Решению задач статики и динамики монолитных крыльев в такой постановке посвящено достаточно большое число работ, в которых для решения оистемы уравнений теории пластин используются различные вариационные и численные методы.

Одним из таких методов является метод Ритца, нашедший широкое применение при решении динамических задач монолитных крыльев. В работах М. V. Ьаг-Ьп'а [138] и В.VI/. /Ыег^еп'а [137] этот метод использовался при решении задачи свободных колебаний скошенных и трапецевидных пластин, моделирующих крыло. Прогиб точек срединной поверхности в них представлялся в виде двойного ряда по формам свободных колебаний консольной (по размаху) и свободной (по хорде) балок. В.Г.Буньковым на основе представления прогиба в виде одинарного степенного полинома решались задачи колебаний ортотропных пластин [13] и колебаний с учетом деформации одвига [14]. Применению метода Ритца для расчета монолитных крыльев посвящены также работы [63, 66, 135].

Существенным недостатком метода Ритца является необходимость специального подбора координатных функций, соответствующих конфигурации и закону распределения жесткостей конкретной конструкции. Поэтому методы расчета, базирующиеся на его основе, не обладают общностью, что является серьезным препятствием их применения в инженерной практике.

Наиболее полно охватить многообразие конструктивных схем монолитных крыльев, моделируемых жесткой пластиной, позволяет применение для решения уравнений теории пластин численных методов, в частности, методов конечных разностей (метод сеток), конечных элементов, интегрально-разностного и других.

К одним из первых работ, посвященных применению метода сеток для решения уравнения изгиба пластины, следует отнести работы ЪЖ WiltiCLMS 'а [155, 156], в которых рассматривались изотропные пластины как постоянной, так и переменной толщины, моделирующие монолитное крыло. Для расчета ортотропных пластин типа монолитного крыла этот метод использовался £. G Lenke [ 142-143].

Применению метода сеток для расчета крыльев-пластин посвящены работы К.А.Жекова [47-49], П.М.Варвака [37], а также В.А.Бе-лоуса [6], в которой при решении уравнения изгиба крыла учитывалось его взаимодействие с фюзеляжем.

В [56, 57] В.А.Комаровым для расчета крыльев малого удлинения используется вариационно-разностный метод.

Широкое применение при расчете пластин типа монолитного крыла получил также и метод прямых. В работах Т.Г.Зураева [51] и В.А.Белоуса [7] этот метод использовался для расчета крыльев малого удлинения. В [51] вариационным путем получены уравнения метода прямых для крыла со сходящимися продольными кромками, для решения которых использовался метод Ритца. В [7] на его основе решалаоь задача изгиба к£ыла с учетом взаимодействия с фюзеляжем.

Эффективным методом решения двумерных краевых задач механики деформируемого твердого тела является интегрально-разностный метод, основы которого были заложены в работах Б.Я.Кантора {J541, М.Б.Вахитова [26], В.Н.Паймушина [76]. По существу он представляет собой один из вариантов метода прямых, отличающийся тем, что дифференциальные уравнения по линиям в нем решаются методом конечных суш.

В [27, 31, 33, 106, 107, 124, 125] интегрально-разностный метод иопользовался для решения задач статической прочности и свободных колебаний монолитных крыльев.

В настоящее время в практике прочностных расчетов широкое применение находит метод конечных элементов [50, 93» 97, 104] , позволяющий учитывать нерегулярности конструкции практически любого характера. Поэтому вполне закономерно, что в первую очередь он нашел практическое применение для расчета тонкостенных конструкций [15, 45, 52, 53, 61, 88].

Рассмотренные выше методы расчета монолитных крыльев связаны с решением двумерных краевых задач без каких-либо предварительных упрощений исходных соотношений теории пластин, что существенно осложняет их практическую реализацию. Очевидно, что областью наиболее рационального использования таких методов являются поверочные расчеты, где затраты, связанныес проведением сложных и емких как по времени подготовки, так и реализации расчетов, вполне оправдывает конечная цель - окончательная оценка прочности готовой конструкции. На отадии же проектирования предпочтительнее использование более простых методов, позволяющих при незначительных затратах на их практическую реализацию получить необходимую информацию о прочности разрабатываемой конструкции с приемлемой для практики точноотыо.

Как правило, при разработке таких методов расчета используются дополнительные гипотезы и допущения, позволяющие с определенной степенью точности выявить наиболее важные и главные особенности механики деформирования конкретного класса конструкций. В конечном итоге использование таких гипотез позволяет получить более простые уравнения, описывающие механику их деформирования.

В этом смысле важной особенностью монолитных крыльев является то, что основную роль в их напряженно-деформированном состоянии играет изгиб по размаху. Эта особенность, подтвержденная исследованиями [17, 68, 142], явилась основой приближенного вариационного метода расчета монолитного крыла, согласно которому функция прогиба представляется в виде разложения в степенной ряд по хордовой координате т кКх,£) = S Х^кСХ). (0.1) к=о

Использование (0.1) позволяет исходную двумерную задачу изгиба пластины свести к одномерной, в рамках которой ЦДС крыла описывается системой m + i обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций \Рк , зависящих лишь от одной координаты по размаху крыла.

Одной из первых работ, посвященных применению подхода, основанного на (0.1), является работа Е. Reissner'a и M.SteirTa [148J.

В наиболее общей постановке (при произвольном числе членов ряда (0.1))этот подход использовали М. Stein и М.Б.Вахитов. В работе М.Stein'a [I5l] получены уравнения изгиба изотропной пластины-крыла. М.Б.Вахитовым [20] предложен метод расчета конструктивно-анизотропных пластин произвольной жесткости. Его практической реализации для решения задач статической прочности [19] и свободных колебаний [23] крыльев малого удлинения во многом способствовал разработанный также М.Б.Вахитовым эффективный метод численного решения дифференциальных уравнений - метод интегрирующих матриц [25, 32].

Применению (0.1) для расчета крыльев-пластин посвящены также работы В.М.Фролова [I2I-I23], В.В.Новицкого [72 , 73], В.И.Меркурьева [68-70] и других авторов [62, 87, 148, 150, 153].

Следует отметить, что для монолитных крыльев решение на основе ряда (0.1) при двух членах разложения (т = I), соответствует широко известной в строительной механике ЛА гипотезе неизменяемости формы поперечного сечения. В этом случае изгиб крыла описывается всего лишь двумя обыкновенными дифференциальными уравнениями. Именно поэтому такой подход нашел широкое применение при создании практических методов решения задач прочности монолитных крыльев. Тем более, что исследования различных авторов (В.М.Фролова, М.Б. Вахитова, М.С.Сафариева и др.) подтвердили приемлемость гипотезы о неизменяемости формы поперечного сечения для расчета как монолитных, так и тонкостенных крыльев малого удлинения. Среди работ этого направления следует отметить работы В.М.Фролова, посвященные расчету крыльев различных очертаний (скошенных, трапецевидных) [121-122], а также переменной толщины [123].

Простота уравнений, которыми опиоывается механика деформирования монолитного крыла в рамках рассматриваемого приближенного подхода, предопределила его широкое применение при создании методов расчета сложных составных крыльевых систем. Примерами таких систем в конструкции ЛА могут служить "Т"-образное хвостовое оперение самолета, стабилизатор с концевыми шайбами и т.д. (рис.ОЛв, 0.2 а). Наиболее сложные пространственные крыльевые сиотемы, состоящие из большого числа элементов, состыкованных под произвольными углами, используются в конструкции судов с динамическими принципами поддержания (рис. 0.2 б). Очевидно, именно поэтому созданию специальных методов их расчета, как составных пространственных систем, посвящено наибольшее число работ.

Основы расчета на прочность КС СДПП как пространственной системы, состоящей из пластинчатых элементов, в рамках рассмотренного выше приближенного подхода, были заложены в работах М.Б.Вахитова и М.С.Сафариева [28 , 30 , 32 , 34, ЮО-ЮЗ]. В частности, в [28, 30] экспериментальным путем была подтверждена приемлемость гипотезы неизменяемости формы поперечного сечения (разложение (0.1) при т = I) для описания механики деформирования типового элемента системы и разработан метод решения задачи статической прочности КС частного вида - двухстоечных [303 и многоопорных крыльев [29, 100-103]. В работах [29, 32, 34] он был обобщен для систем произвольного вида, что позволило создать на его основе вычислительный комплеко для ЭВМ средней мощности, охватывающий практически все существующие схемы КС СДПП. В дальнейшем этот метод был распространен на физически нелинейные задачи [4]. Наиболее полно вопросы, связанные с расчетом на статическую прочность КС, освещены в монографии М.Б.Вахитова, М.С.Сафариева и В.Ф.Снигирева [34], представляющей собой обобщение многолетнего опыта практического применения методов, оонованных на пластинной расчетной модели.

Несмотря на свою актуальность, динамические задачи являются наименее исследованной областью в общей проблеме прочности крыльевых систем. Это в полной мере относится и к задаче свободных колебаний. Так, до настоящего времени для определения частот и форы свободных колебаний таких конструкций продолжают широко использоваться методы, основанные на весьма приближенных, с точки зрения их адекватности реальным объектам, расчетных моделях в виде стержневой рамы [i, 41, 94] или эквивалентного стержня с сосредоточенными массами [105, 130]. Применению пластинной расчетной модели к решению задачи свободных колебаний КС посвящены работы [89-92], представляющие собой посуществу развитие подхода, использованного при решении задачи статики [34]. С целью снижения трудоемкости расчета в них рассматривались лишь изгибно-крутильные колебания элементов КС, а в лобовом направлении (в плоскости наибольшей жесткости) они считались недеформируемыми. Предполагалось, что это приведет к потере лишь не представляющих практического интереоа высокочастотных тонов колебаний КС, связанных непосредственно с деформацией ее элементов в своей плоскости. Однако, вопрос правомерности такого упрощения задачи остался не исследованным.

Задачи статической прочности и свободных колебаний КС на основе пластинной расчетной модели с применением гипотезы неизменяемости формы поперечного сечения рассматривались.также в Гб4, 110, 112, ИЗ], где для их решения использовался метод конечного элемента.

Практически все методы расчета монолитных крыльев и в том числе рассмотренные выше, базируются на соотношениях теории пластин. Однако, в большинстве своем несущие поверхности имеют несимметричные профили и как следствие, искривленную срединную поверхность. Применение пластинной расчетной модели для описания механики деформирования таких крыльев, как показали экспериментальные исследования [100], не позволяет с достаточной точностью отразить их напряженно-деформированного состояния, что ограничивает область применения методов,, базирующихся на пластинной аналогии, крыльями с симметричным профилем.

Естественное стремление расширить рамки существующих методов расчета монолитных крыльев привело к использованию известных и созданию новых приближенных способов учета эффектов, связанных с искривленной геометрией их срединной поверхности в рамках теории пластин. По-видимому, впервые такой подход был предложен в работе С.П.Тимошенко [114], в которой по существу пологая оболочка рассматривалась как пластина с начальной погибью, вызванной приложением фиктивной нагрузки. В дальнейшем были разработаны разнообразные варианты приближенного расчета оболочечных элементов с пологой срединной поверхностью в рамках теории пластин [38, 39, 100, 109, 141]. Однако, все они обладают теми или иными недостатками. В одних случаях это - отсутствие общности вследствии учета лишь частных вариантов формы срединной поверхности, как например [38, 39, 100, 109], в других - громоздкость самого приема, приводящая к существенному усложнению всего процесса решения задачи [141 ].

Наиболее общей расчетной моделью монолитных крыльев следует считать пологую оболочку. Применение уравнений теории пологих оболочек для решения задач прочности монолитных крыльев с несимметричным профилем поперечного сечения позволило бы с высокой точностью учесть практически все особенности их НДС. В то же время решение этих уравнений практически ничем не отличается от решения уравнений теории пластин. Однако, в существующей литературе по расчету на прочность монолитных крыльев работы, посвященные применению оболочечной расчетной модели, отсутствуют.

Как отмечалось выше, к рассматриваемому в данной работе типу пластинчатых и оболочечных элементов летательных аппаратов отног» сятся лопатки газотурбинных двигателей. В практике их расчета на прочность широко используется балочная модель [10, 65, 95, 108, 127]. В рамках этой модели НДС конструкции описывается весьма простыми соотношениями, практическое применение которых не вызывает каких-либо существенных затруднений даже без привлечения ЭВМ. Однако точность, с которой определяется напряженно-деформированное состояние лопатки, в этом случае весьма низкая. Так, в работе НД.Кузнецова [60] на основе экспериментальных данных показано, что истинные напряжения в лопатке даже в случае воздействия на нее только растягивающей инерционной нагрузки могут отличаться от вычисленных по балочной теории в полтора-два раза. Это объясняется тем, что используемая в балочной теории гипотеза плоских сечений не в состоянии в достаточно полной мере отразить особенности механики деформирования лопатки, имеющей весьма сложную пространственную геометрию. Так, Б.Ф.Шором [131] показано, что характерный для балочной модели равномерный закон распределения нормальных напряжений по сечению при воздействии растягивающей инерционной нагрузки справедлив лишь для лопаток, имеющих очень малые углы естественной закрутки. При значительных же углах вследствие раскрутки их профильной части происходит существенное перераспределение нормальных напряжений по поперечному сечению, причем максимальных значений напряжения достигают в средней части профиля, а минимальных на его концах. В связи с этим отмечается возможность возникновения на входной и выходной кромках лопатки, имеющей большой угол закрутки, напряжений сжатия и, как следствие, местной потери устойчивости. В этой же работе разработан приближенный прием их расчета в рамках теории стержней. В [132] этот прием использовался при решении задачи свободных колебаний. Исследованию пространственного НДС естественно закрученных лопаток посвящена работа И.А.Биргера [9], в которой решение отыскивается методом последовательных приближений.

Исследованию особенностей механики деформирования лопатки,-связанных с кривизной ее профильной части, при свободных колебаниях посвящены работы [144, 145]. На оонове сравнения решений, полученных на основе оболочечной и балочной моделей отмечается неудовлетворительность последней при определении даже низших частот свободных колебаний лопаток, имеющих малую относительную толщину и удлинение. Отмечается также погрешность балочной модели при определении частот крутильных колебаний, связанная с отсутствием в ее рамках возможности учета эффекта стесненного кручения.

Важность динамических задач в общей проблеме прочности лопаток авиационных ГТД, обусловленная спецификой условий их работы, характеризующихся постоянным воздействием динамических нагрузок, является причиной того, что именно при создании методов их решения в первую очередь используются уточненные оболочечные модели. Как уже отмечалось выше, одной из наиболее важных задач динамики является задача свободных колебаний. Ее решению на основе оболочеч-ной расчетной модели посвящены работы [5, 44, 67, 96, 99, 149]. Практически во всех из этих работ используются соотношения классической теории оболочек, основанной на гипотезе прямой нормали, а двумерная краевая задача решается вариационными методами. В работах [67 , 5] в качестве расчетной модели лопатки используется пологая оболочка, при этом вводятся допущения о малости энергии деформации сдвига и растяжения срединной поверхности. Решение строится на основе разложения функции прогиба по балочным формам колебаний. Решению задачи свободных колебаний лопатки с позиций теории оболочек в наиболее общей постановке посвящена работа В.А. Рудавца [98].

В [99] этот подход используется при исследовании влияния на частоты и формы свободных колебаний центробежных сил. Среди работ зарубежных авторов, посвященных применению оболочечной расчетной модели, следует отметить работы ЬесЯБ'а [144, 145], в которых разработан метод расчета собственных частот и форм свободных колебаний лопаток, в котором для решения уравнений используется также вариационный метод Ритца. Решению задачи свободных колебаний на основе оболочечной расчетной модели посвящены также работы [12, 128, 136, 146], в которых для решения краевой задачи используется метод конечных элементов. ч

Следует отметить, что несмотря на очевидные преимущества оболочечной модели по сравнению с балочной, последняя не утратила своего практического значения. Она продолжает успешно применяться в исследованиях, основной целью которых является качественная оценка влияния различного рода факторов на механику деформирования лопатки [43, 55, 119, 133, 139], а также при решении сложных задач, как, например, определение характеристик, связанных колебаний бан-дажированных лопаток [II, 134]. Обширный материал, касающийся вопросов практического применения существующих методов решения задачи свободных колебаний лопаток ГТД, основанных на стержневой и оболочечной расчетных моделях, содержится в работе И.А.Биргера и Б.Ф.Шорра [4б]. В ней , в частности, отмечается, что 5-6 тонов низкочастотного спектра свободных колебаний лопаток, представляющих, как правило, наибольший практический интерес, имеют изгибно-кру-тильные (балочные) формы. Это в определенной степени является подтверждением того, что в НДС лопатки, как и монолитного крыла, основную роль играет изгиб по ее длине. Поэтому областью наиболее рационального использования сложных и трудоемких методов расчета, основанных на непосредственном решении двумерной краевой задачи теории оболочек, следует считать определение характеристик тонов высокочастотного спектра свободных колебаний лопаток, формы которых представляют сложную комбинацию балочных и оболочечных форм. Для определения же характеристик тонов низкочастотного спектра, имеющих балочные формы, целесообразно использовать оболочечную модель в сочетании с простыми приближенными методами решения краевой задачи, в качестве которых могут быть использованы подходы, основанные на представлении прогиба точек срединной поверхности лопатки в виде ряда (0.1) или применения гипотезы неизменяемости формы поперечного сечения. Их применение, как было показано на примере монолитных крыльев, позволяет разработать эффективные методы расчета, отличающиеся простотой, низкой трудоемкостью реализации и в то же время обладающих достаточной для практических целей точностью.

Обобщая все выше сказанное можно сделать вывод об актуальности создания для прочностных расчетов элементов конструкций летательных аппаратов и судов с динамическими принципами поддержания рассматриваемого класса практических методов, основанных на естественной их расчетной модели в виде пологой оболочки переменной жесткости. При этом для решения краевой задачи теории оболочек целесообразно применять приближенные методы, базирующиеся на использовании указанной особенности механики деформирования таких элементов, что позволяет разработать эффективные, легко реализуемые на практике методы их расчета.

3. Цель и содержание работы.

Целью настоящей работы является:

- разработка' на основе гипотезы неизменяемости формы поперечного сечения оболочечной модели рассматриваемого класса элементов конструкций ЛА и СДПП и получение соотношений, описывающих механику их деформирования при статическом и динамическом нагружении;

- вывод уравнений свободных колебаний пространственных составных систем, состоящих из элементов рассматриваемого класса;

- разработка на основе выведенных соотношений алгоритмов и численных методов решения задач статики и свободных колебаний рассматриваемого класса элементов конструкций, а также свободных колебаний составных систем;

- применение разработанных методов к исследованию НДС и характеристик свободных колебаний реальных оболочечных элементов ЛА и крыльевых систем СДПП.

Практическая ценность диссертации состоит в разработке на основе полученных соотношений эффективных алгоритмов и численных методов решения задач статики и свободных колебаний рассматриваемого класса оболочечных элементов конструкций и составных систем, которые реализованы в виде вычислительных комплексов на алгоритмическом языке ФОРТРАН ОС ЕС ЭВМ. С их помощью проведено исследование НДС и характеристик свободных колебаний оболочечных элементов конструкции ЛА и составных систем СДПП и, в частности, лопаток двигателей ЛА и крыльевых систем оудов.

Результаты диссертационной работы внедрены в двух организацшх.

Диссертационная работа является обобщением работ автора [3536, 81-86, 115-118] и состоит из введения, четырех глав и заключения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В рамках соотношений классической теории тонких пологих оболочек, используемых в сочетании с обобщенной гипотезой неизменяемости формы поперечного сечения, состоящей в комбинированном использовании традиционной гипотезы неизменяемости формы поперечного сечения и известной сдвиговой модели С.П.Тимошенко для учета поперечного сдвига при изгибе в лобовом направлении, разработана уточненная общая расчетная модель оболочечных элементов конструкций, к которым относятся монолитные несущие и управляющие поверхности ЛА, лопатки лопастных аппаратов газотурбинных двигателей, а также элементы крыльевых устройств СДПП. На ее основе получены соотношения, описывающие ЦДС и свободные колебания рассматриваемого класса оболочечных элементов конструкций.

2. Разработаны численные методы и алгоритмы решения задач статики и свободных колебаний монолитных оболочечных элементов рассматриваемого класса, базирующиеся на представлении сформулированных краевых задач в форме интегро-алгебраических уравнений и их последующем решении методом конечных сумм в варианте интегрирующих матриц М.Б.Вахитова. Алгоритмы решения этих задач реализованы в виде пакета прикладных программ, обладающего широкими возможностями и позволяющего проводить прочностные расчеты оболочечных элементов реальных конструкций.

3. Проведено численное исследование сходимости разработанных методов расчета и установлена достоверность получаемых с их помощью результатов путем сравнения с имеющимися в литературе, а так- ■ же результатами полученными экспериментальным путем с помощью специальной установки. Решен также ряд практически важных задач по определению НДС и характеристик свободных колебаний оболочечных элементов конструкции ЛА.

4. На основе разработанной оболочечной расчетной модели получены основные соотношения, описывающие свободные колебания сложных составных систем, к которым относятся крыльевые устройства ЛА и СДЩ1.

5. Разработан численный метод решения задачи свободных колебаний КС, основанный также на применении метода конечных сумм. Построен алгоритм решения этой задачи, реализованный в виде пакета прикладных программ, позволяющего проводить расчеты реальных конструкций.

6. Установлена достоверность получаемых с помощью разработанного метода результатов, путем их сравнения с имеющимися в литературе. На основе численных и экспериментальных исследований показана возможность возникновения существенных погрешностей при определении характеристик свободных колебаний КС с помощью методик, не учитывающих мембранных деформаций их элементов, широко используемых в настоящее время в практике прочностных расчетов. Проведено численное исследование характеристик свободных колебаний реальной конструкции крыльевого устройства СДПП.

7. Разработанные методы и созданные на их основе пакеты прикладных программ внедрены в двух организациях и используются в настоящее время в расчетной практике.

1. Ананьев И.В. и др. Динамика конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1972. - 415 с.

2. Андреев C.B. Некоторые задачи статики однослойных и трехслойных косоугольных пластин. В кн.: Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Межвуз. сб. Казань: КАИ, 1981, с. 7-13.

3. Бадретдинов P.P. Расчет крыльевых систем с учетом пластических деформаций. Казань, 1980. - Рукопись предст. Казанским авиац.ин-том. Деп. в ВИНИТИ 26 января 1981, № 301-81 Деп. - 23 с.

4. Бедчер Ф.С. Исследование вибраций компрессорных лопаток.-В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. М.: Машиностроение, 1966, с. I32-141.

5. Белоус В.А. 0 влиянии податливости фюзеляжа на напряженно-деформированное состояние крыла. Ученые записки ЦАГИ, 1973, т. 4, № 5, с. II9-124.

6. Белоус В.А. Применение вариационно-разностного метода прямых к расчету деформаций срединной поверхности к^ыла. Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. 9, № 2, с. 87-93.

7. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980 - 480 с.

8. Биргер И.А. Пространственное напряженное состояние в лопатках с начальной закруткой. В кн.: Труды Центр, ин-та авиац. моторостр., М., 1982, № 996, с. 7-23.

9. Биргер И.А. Вариационные методы в строительной механике турбомашин. М.: Оборонгиз, 1959, 28 с.

10. Блинник Б.С., Ефремова В.Т., Шорр Б.Ф. Расчет собственных частот связанных колебаний лопаток с бандажными полками. В кн.: Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1975, вып. 16,с. 240-260.

11. Борискин О.Ф. Исследование колебаний деталей турбомашин на основе использования конечно элементной программной системы. -Труды 13-ой Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Таллин, 1983, ч. I, А-В, с. 132-138.

12. Буньков В.Г. Расчет на флаттер крыла малого удлинения на быстродействующей вычислительной машине. Труды ЦАГИ. М.: 1964, вып. 905, - 82 с.

13. Буньков В.Г. Учет деформации сдвига при расчете колебаний крыла малого удлинения методом многочленов. Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. 3, № 4, с. Ш-П9.

14. Бурман З.И., Лукашенко В.И., Тимофеев М.Т. Расчет тонкостенных подкрепленных оболочек методом конечных элементов с применением ЭЦВМ. Казань: КГУ, 1973 - 569 с.

15. Вахитов М.Б. К расчету монолитных крыльев. В кн.: Труды КАИ. Казань: КАИ, 1966, вып. 91, с. 3-15.

16. Вахитов М.Б. Вопросы статической прочности и свободных колебаний несущих поверхностей летательных аппаратов. Дисс. на соиск. уч. ст.докт.техн.наук. - Казань, КАИ, 1965, - 241 с.

17. Вахитов М.Б. К вопросу поперечного изгиба консольных пластин. В кн.: Труды КАИ. Казань: КАИ, 1959, вып. 16, с. 5-13.

18. Вахитов М.Б. К численному решению уравнения поперечного изгиба монолитного крыла. Изв.вузов: Авиационная техника, 1960, )Ь 4, с. 132-141.

19. Вахитов М.Б. Расчет на прочность монолитного крыла с непараллельным набором. Изв.вузов: Авиационная техника, 1961, В 2, с. 47-58.

20. Вахитов М.Б. К расчету прочности скошенного крыла монолитной конструкции. Изв.вузов: Авиационная техника, 1958, № I, с. 61-68.

21. Вахитов М.Б. К расчету на прочность тонкостенных крыльев малого удлинения. Изв.вузов: Авиационная техника, № I, 1967,с. 128-132.

22. Вахитов М.Б. Составление матрицы влияния для монолитного крыла и применение ее к расчету свободных колебаний. Изв.вузов: Авиационная техника, 1962, № 2, с. 48-55.

23. Вахитов М.Б. К расчету собственных форм и частот монолитного крыла. Изв.вузов: Авиационная техника, 1959, № I, с. 16-27.

24. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики. - Изв. вузов: Авиационная техника, 1968, № 3, с. 50-61.

25. Вахитов М.Б., Гранкин Ю.Г., Шевченко В.П. Расчет круглых пластин переменной жесткости при неосесимметричном загружении.

26. В кн.: Вопросы прочности элементов авиационных конструкций. Куйбышев: Куйбышевский авиац.ин-тут, 1975, вып. 2, с. 13-23.

27. Вахитов М.Б., Селин И.С., Гарифуллин М.Ф. Расчет на колебания несущих поверхностей с учетом изгиба хорды. В кн.: Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. Куйбышев: КуАИ, 1980, с. 11-15.

28. Вахитов М.Б., Сафариев М.С. Расчет прочности двухопорно-го монолитного крыла. В кн.: Труды КАИ. Казань: КАИ, 1966, вып. 91, с. 16-26.

29. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снигирев В.Ф. К расчету пространственных пластинчатых рам типа подводных крыльевых устройств. В кн.: Труды КАИ. Казань: КАЙ, 1972, вып. 145, с. 41-47.

30. Вахитов М.Б., Сафариев М.С. Расчет прочности двухстоеч-ного подводного крыла с изломами осей. В кн.: НТО СП. Л.: Судостроение, 1969, вып. 129, с. 151-157.

31. Вахитов М.Б., Сафариев М.С. К применению метода прямых для расчета пластин. В кн.: Труды КАИ. Казань: КАИ, 1972, вып. 143, с. 59-67.

32. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снигирев В.Ф. Расчет крыльевых устройств СПК как пластинчатых рам с учетом деформации элементов в своей плоскости. В кн.: НТО СП. Л.! Судостроение, 1973, вып. 194, с. 41-44.

33. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Халиулин В.И. Расчет крыльев по пластинной аналогии с использованием интегрально разностного метода. Изв.вузов: Авиационная техника, 1980, № 2, с. 25-29.

34. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снигирев В.Ф. Расчет крыльевых устройств судов на прочность. Казань: Таткнигоиздат, 1975, 212 с.

35. Вахитов М.Б., Селин И.С., Тинчурин Т.Ф. К уточнению динамической модели элемента пластинчатой рамы. В кн.: Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. Куйбышев: КуАИ, 1979, с. 9-15.

36. Вахитов М.Б., Селин И.С., Тинчурин Т.Ф. Колебания статически неопределимых пластинчатых рам с учетом деформации элементов в своей плоскости. В кн.: Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. Куйбышев: КуАИ, 1980, с. 3-10.

37. Варвак П.М. Расчет прямоугольных консольных пластинок методом конечных разностей. В кн.: Труды ВВЙА. М., 1962, вып. 918.

38. Винокуров Л.П. Прочность и устойчивость искривленных плит. В кн.: Труды ХАИ. Харьков: ХАИ, 1954, вып. 15, с. 17-21.

39. Винокуров Л.П. Прямые методы решения пространственной и контактной задачи для массивов и фундаментов. Харьков: ХГУ, 1956, 279 с.

40. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Стройиз-дат, 1940, - 275 с.

41. Воловой Д.И., Деменьтьев В.А., Перельман Б.С., Филин А.И. Расчеты по строительной механике корабля с применением ЭВМ. Л.: Судостроение, 1967, 270 с.

42. Воробьев Н.Д. Влияние касательных напряжений на частоту свободных колебаний стержней по уточненным теориям. В кн.: 3-й Всесоюз. съезд по теор. и прикл.механике, М., 1968, 80 с.

43. Гринберг С.М. Вариационный метод расчета частот и форм колебаний шарнирных лопаток. В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. М.: Машиностроение, 1965, с. 264-291.

44. Гринберг С.М. К расчету частот колебаний лопаток компрессора методами теории оболочек. В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. М.: Машиностроение, 1969, с. 242-255.

45. Гурьев Н.И., Поздышев В.Л., Старокадомская З.М. Матричные методы расчета на прочность крыльев малого удлинения. М.: Машиностроение, 1972, 260 с.

46. Динамика авиационных газотурбинных двигателей. Под ред. И.А.Биргера и Б.Ф.Шарра. М.: Машиностроение, 1981, 232 с.

47. Жеков К.А. Применение метода конечных разностей для расчета консольных пластин. Изв.вузов: Авиационная техника, 1962,1. с. 13-16.

48. Жеков К.А. К расчету на прочность крыльев малого удлинения методом сеток. В кн.: Вопросы прочности и устойчивости элементов тонкостенных конструкций. М.: Оборонгиз, 1963, № I, с. 195214.

49. Жеков К.А. Метод сеток и собственные колебания консольных изотропных пластин. В кн.: Прочность и устойчивость тонкостенных авиационных конструкций. М.: Машиностроение, I97L, с. 101109.

50. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975 - 544 с.

51. Зураев Т.Г. 0 применении вариационно-разностного метода в расчетах крыльев малого удлинения. Ученые записки ЦАГИ, 1971, т. 2, № 4, с. 90-95.

52. Иванов Ю.И. Расчет подкрепленных тонкостенных конструкций методом конечных элементов. Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. 3,№1,с. 51-60.

53. Иванов Ю.И. Исследование напряженно-деформированного состояния агрегатов и сложных участков планера летательного аппарата на основе метода конечных элементов. Дис. . доктора техн. наук, Москва, 1976 - 373 с.

54. Кантор Б.Я. Згин пластини змПнной товщини, яка маэ форму кругового прямокутника I закреплена меньшому дуговому краю. -Прикладна мехайка, 1960, 6, № 4, с. 18-24.

55. Коваленко В.И. К определению частот собственных колебаний коротких лопаток паровых турбин. Механика твердого тела, 1968, В 6, с. 41-45.

56. Комаров В.А. Расчет крыла малого удлинения как пластины переменной жесткости. В кн.: Труды Куйбышевского авиац.ин-та. Куйбышев: КуАИ, 1968, вып. 32, с. 27-38.

57. Комаров В.А. 0 рациональных силовых конструкциях крыльев малого удлинения. В кн.: Труды Куйбышевского авиац.ин-та. Куйбышев: КуАИ, 1968, вып. 32, с. 6-26.

58. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Фирсов В.А. К решению двумерных задач механики деформирования оболочек сложной геометрии. -В кн.: Вопросы вычислительной математики и прикладной механики.I

59. Ташкент: ФАН, 1980, 60, с. 70-79.

60. Кудрявцев Е.П. Об учете сдвигов и инерции вращения на изгибные колебания упругих стержней. Изв. АН СССР, отд.тех.н. Механика и машиностр ., i960, № 5, с. 156-159.

61. Кузнецов Н.Д. Прочность деталей турбины ГТД в условияхj сложного нагружения и связанные с ней проблемы. Проблемы прочности, 1982, № 3, с. 10-14.

62. Кудряшов А.Б., Снисаренко Т.В., Чубань В.Д. Основные теоретические принципы построения комплекса программ "Система-4" по расчету на прочность конструкций летательных аппаратов методом конечных элементов. Труды ЦАГИ, М., 1981, вып. 2099, - 58 с.j

63. Левашов П.Д. К определению жесткостных характеристик подкрепленных пластинок, Изв.вузов: Авиационная техника, 1970, № 4, с. I4I-I44.I

64. Левашов П.Д. Вариант построения численного решения для i определения прогибов и напряжений в монолитном криле обобщеннымметодом Ритца. Изв.вузов: Авиационная техника, 1973, № 4, с.9-11.

65. Лукаш Э.П., Снигирев В.Ф., Шишенин Е.А. Вывод матрицы жесткости для расчета крыльевых устройств судов на подводных крыльях. В кн.: Теория и практика модернизации судов. М.: ЦРИА "Морфлот", 1981, с. 47-52.

66. Малинин H.H. Прочность турбомашин. М.: Машгиз, 1962, -! 291 с.

67. Марченко Г.А. Исследование колебаний консольных треугольных и трапецевидных пластин методом Ритца. Изв.вузов: Авиационная техника, 1965, № I, о. II5-II9.

68. Меерович И.И. Распределение напряжений в компрессорных лопатках при колебаниях. М.: Оборонгиз, 1961, - 107 с.

69. Меркурьев В.И., Горлов К.В. Изгиб консольных пластин с жесткими поперечными сечениями. Труды ЦАГИ, М., 1969, вып. 1162,- 59 с.

70. Меркурьев В.И. Центры жесткости консольных пластин с жесткими поперечными сечениями. Труды ЦАГИ. М., 1965, вып. 952,- 16 с.

71. Меркурьев В.И. Изгиб и кручение консольных пластинок с жесткими ребрами. Труды ЦАГИ. M., 1964, вып. 899, - 74 с.

72. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 431 с.

73. Новицкий В.В. О расчете крыльев малого удлинения. В кн.: Труды ВВИА им. Жуковского. M., 1959, вып. 808, с. 132-152.

74. Новицкий В.В. Расчет тонких крыльев малого удлинения с учетом деформаций поперечного сечения. В кн.: Труды ВВИА им.Жуковского. M., 1961, вып. 841, с. 132-152.

75. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных систем. М.: Машиностроение, 1973 - 536 с.

76. Одиноков Ю.Г. Расчет самолета на прочность. М.: Машиностроение, 1973, - 392 с.

77. Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф., Галимов Н.К. Поперечный изгиб консольных трехслойных пластин. В кн.: Труды семинара по теории оболочек. Казань, 1974, вып. 4, с. II7-I2I.

78. Паймушин В.Н., Фирсов В.А. К решению задач статики тонких оболочек сложной формы, пологих относительно поверхности отсчета. В кн.: Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. Куйбышев: КуАИ, 1978, вып. 4, с. 26-34.

79. Паймушин В.Н. Некоторые задачи статики незамкнутых оболочек сложной формы и об одном методе их численного решения. В кн.: Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Казань: КАИ, 1979, вып. 2, с. 67-75.

80. Паймушин В.Н., Андреев C.B. Поперечный изгиб консольно закрепленных пластин со слоями переменной толщины, подкрепленных по контуру упругими диафрагмами. Изв.вузов: Авиационная техника, 1979, № 4, с. 58-62.

81. Паймушин В.Н., Фирсов В.А. Об одном способе математического описания и решения краевых задач механики деформирования оболочек, лежащих на сплошном или дискретном упругом основании.

82. Пробл.машиностроения, 1982, вып. 16, с. 18-23.

83. Паймушин В.Н., Тинчурин Т.Ф. К уточнению модели элемента крыльевого устройства при динамических расчетах. В кн.: Колебания упругих конструкций с жидкостью. М.: ЦНТИ "Волна", 1984, с. 203-206.

84. Паймушин В.Н., Тинчурин Т.Ф. К расчету пологих оболочечных элементов с двумя свободными краями и недеформируемым поперечным сечением. В кн.: Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Казань: КАИ, 1982, с. 69-76.

85. Паймушин В.Н., Тинчурин Т.Ф. Исследование динамическиххарактеристик оболочечных элементов типа лопаток турбин и компрессоров авиационных двигателей. Тезисы IX Всесоюзной научно-техн.конф. Куйбышев, 1983, с. 121-122.

86. Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф., Тинчурин Т.Ф. Исследованиехарактеристик свободных колебаний пологих оболочечных элементов сложной геометрии. Техн. отчет № 01827055674 лаб. № 25 НИЧ КАИ,1984, 22 с.

87. Пановко Я.Г. Изгиб и кручение полосы. Изв. АН Латвийской ССР, 1953, № 8, с. 112-117.

88. Петрушенко Ю.Я. Численное решение задачи колебаний пластинчатых рам на основе теории пластин. Казань, 1979. - Рукопись предст. Казанским авиац. ин-том. Деп. в ВИШ 18 марта 1977,1. ВМ. Д 02847, 18 с.

89. Петрушенко Ю.Я. К расчету свободных колебаний элементов пластинчатых рам. Казань, 1977. - Рукопись предст. Казанским авиац. ин-том. Деп. в ВИМИ 18 марта Х977, № ВМ Д 02848, - II с.

90. Петрушенко Ю.Я. Расчет свободных колебаний крыльевых сис-' тем на основе пластинной аналогии. Дис. . канд. техн. наук,1. Казань, КАИ, 1977. 164 с.

91. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977. - 344 с.

92. Поляков В.И. Вибрационные расчеты корпусных стержневых конструкций. В кн.: Проблемы прочности судов. Л.: Судостроение, 1975, с. 23-29.

93. Прочность паровых турбин. /Под ред. А.А.Шубенко-Шубина/.-М.: Машиностроение, 1973. 452 с.

94. Пухлий В.А., Поляков В.А. К расчету трехслойных естественно закрученных лопаток осевых турбомашин. В кн.: Труды Центр.ин-та авиац. машиностроения. М., 1982, № 996, с. 115-128.

95. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

96. РудавецВ.А., Шорр Б.Ф. Расчет собственных частот и форм пространственных колебаний закрученных компрессорных лопаток.- В кн.: Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973, с. 550-555.

97. Рудавец В.А. Расчет частот и форм собственных колебаний компрессорных лопаток в поле центробежных сил методами теории оболочек. В кн.: Труды Центр, ин-та авиац. моторостроения. М., 1982, № 996, с. 141-147.

98. Сафариев М.С. К поперечному изгибу двухопорного крыла. -В кн.: Труды Казанского авиац. ин-та. Казань: КАИ, 1968, вып. 95, с. 90-99.

99. Сафариев М.С. К расчету многоопорных подводных крыльев. В кн.: НТО СП Л.: Судостроение, вып. 101, 1968, с. I55-I6I.

100. Сафариев М.С. Расчет общей прочности многоопорных монолитных крыльев. Дис. . канд. техн. наук. - Казань, КАИ, 1967.- 176 с.

101. Сафариев М.С. Численное решение уравнений изгиба многоопорных крыльев. В кн.: Труды Казанского авиац. ин-та. Казань: КАИ, 1968, 1968, вып. 101, с. II4-II9.

102. Сахаров A.C., Кислоокий В.Н. и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Вища школа, 1982. - 384 с.

103. Селин И.С. Численное решение одномерных задач изгиба устойчивости и колебаний авиационных конструкций с помощью интегрирующих матриц. Дисс. . канд» техн. наук. - Казань, КАИ, I97E.- 108 с.

104. Селин И.С., Гарифуллин М.Ф. Колебания консольных пластин с частичной заделкой. В кн.: Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Казань: КАИ, 1980, с. 95-100.

105. Снигирев В.Ф. Уравнения деформации участка крыльевого устройства с учетом искривления срединной поверхности. Рукопись предст. Брянским ин-том транспорт, машиностроения. Деп. в ВИНИТИ 7 декабря 1978, № 3735-78. - 17 с.

106. НО. Снигирев В.Ф. Анализ напряженно-деформированного состояния участка крыльевого устройства. Рукопись предст. Брянским ин-том транспорт, машиностроения. Деп. в ВИНИТИ I февраля 1979, I № 439-79. - 36 с.

107. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 635 с.

108. Тинчурин Т.Ф. К уточнению расчетной схемы элемента пластинчатой рамы при расчете ее на колебания. Тезисы докл. научно-техн. конф. "Молодые ученые и специалисты Куйбышевской обл. - 60-летию ВЛКСМ", Куйбышев, 1978, с. 40.

109. Тинчурин Т.Ф. Численное исследование свободных колебаний крыльевых устройств на основе уточненной модели.- В кн.:

110. Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Казань: КАИ, 1980, с. II0-II3.

111. Тинчурин Т.Ф., Тинчурин Р.Ф. Об одном подходе к исследованию свободных колебаний оболочечных элементов типа лопаток турбин. В кн.: Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Казань: КАИ, 1983, с. 83-88.

112. Тюленев В.Н. Резонансные колебания шарнирных лопаток. -В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. М.: Машиностроение, 1966, вып. 4, с. I43-I7I.

113. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, i960. - 656 с.

114. Фролов В.М. Собственные колебания и деформации прямоугольных и стреловидных консольных пластинок. Труды ЦАГИ, М., 1952, - 32 с.

115. Фролов В.М. Собственные колебания и деформации треугольной пластины малого удлинения. Труды ЦАГИ, М., 1955, - 28 с.

116. Фролов В.М. Применение методов корректирующей функции в расчетах деформаций консольных пластин. Труды ЦАГИ, М., 1957, вып. 705. - 34 с.

117. Халиулин В.И. К расчету монолитных крыльев разностно-ин-тегральным методом. В кн.: Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. Куйбышев: КуАИ, 1977, вып. 3,1.с. 13-20.

118. Халиулин В.И. Расчет несущих поверхностей со сложными условиями закрепления на основе пластинной аналогии. Дис. .канд. техн. наук. Казань, КАИ, 1979. - 211 с.

119. Христофоров В.В. О поперечных колебаниях стержня с учетом влияния инерции вращения при симметричных граничных условиях.-В кн.: Исследования по дифференциальным уравнениям. Ташкент, АН УзССР, 1963, с. 176-183.

120. Хронин Д.В. Теория и расчет колебаний в двигателях летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1970. 412 с.

121. Черненко A.C. Решение уравнений одной математической модели лопатки турбомашины методом конечных элементов. Доклады АН УССР, 1983, А, № 8, с. 21-23.

122. Шалабанов А.К., Кузнецов Ю.М. Исследование высокочастотных колебаний прямоугольных анизотропных пластин методом перемещающейся опоры. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: КГУ, 1980, с. I05-114.

123. Швилкин В.А., Чудаев Б.Я., Башкин В.Н. Расчет частот и форм собственных колебаний самолета с крылом большого удлинения методом начальных параметров. Труды ЦАГИ, М., 1975, вып. 1662, -15 с.

124. Шорр Б.Ф. Расчет на прочность естественно закрученных лопаток. Труды ЦИАМ, М., 1954, № 256. - 18 с.

125. Шорр Б.Ф. Изгибно крутильные колебания закрученных компрессорных лопаток. В кн.: Прочность и динамика авиац.двигателей. М.: Машиностроение, 1964, вып. I, с. 217-246.

126. Шорр Б.Ф. Приближенные оценки собственных частот изгиб-ных колебаний элементов турбомашин с учетом деформации сдвига.

127. В кн.: Вибрационная прочность и надежность двигателей и систем летательных аппаратов. Куйбышев: КуАИ, 1981, № 8, с. 156-166.

128. Шорр Б.Ф., Блинник Б.С., Ефремова В.Т. Определение спектjpa частот собственных колебаний лопаток объединенных полочным бан-дажем. -Труды ЦИАМ, М., 1975, № 680. 16 с.

129. Яремчук Ю.Ф. Выбор функций возможных перемещений прирасчете сложных конструкций методом Ритца. Ученые записки ЦАГИ, М., 1973, т. 4, № 5, с. II5-II8.

130. Abbat В. А. И Simple finite elements for dynamic analysis of thick pre-tu/Uted blade*. -„Aeron. J.<979, 83 r ÜS27 r P> 450 453 .

131. Anderten ß.W. Vibration of triangular cantilever plates by the Ritz method. -JAM, 195b, N4,p71-9Z.

132. Barton M. V. Vibration of rectangular and skew cantilever plate6 . JAM , 1951, H2 , p. 129 -/34.

133. Bauer H.F. Vibration of rot at long uniform beam, part I: orientation in the axil of rotation. „ U.Sound and Vibr. " , i960, 72 , Ы2 p. 177-189.

134. Hoiegau/a M. JnfLuence of rotatory inertion of transferee vibrations of inotropic elastic rectangular platet. -16th Japan Nat. Congr. Appl.Mech., Tokyo, 1967 T p. 293

135. Leina A.W., Ewing M.S. Comparison of beam andhelL theories for the \/Lb ration* of thin turbomachlneryblades. -„ Tram. ASME: J. Eng. Paw er", /983, 105, №, p. 383-392.

136. R&istner EStein M. Torsion and transfers bending of cantilever plates. ~MACA TN №1 ,N2369 p. 112-127.

137. Sollmon //. Berechnung von Shaufeleinfrecuenten und Untersuchung spezieller Einflute. „ Techn. Mech.u,1981,2, N1, s. 41-47.

138. Shuereh Zur itatik vor dtinen Flugzeugtrang flctehen. Leen on AG., Zürich, 1950 , - 236s.

139. Stein M., Anderson J., Hedgepeth J- Deflection and stress Analysis of Thin Solid Wings of Arbitrary Plan Form with ParticuLa Reference to Delta Wings . NASA Report N1131 ) 1953, p. 155-146.

140. Traill Nach R.W; Collar A. R. The effect* of clear flexibility and rotatiory enertlol on the bending Vibration of beams. -Quart. J. Mech. and Appl. Moth1955 , b,1. N2 p. 186-222 .

141. Temer E. Some ßemarks on the Structural Ana-lusis of Swept Wings. -AE. N307, 1954 , p. 54-61.

142. Weidmon D.J. The effect! of clear deformations and cross- section a¿ d'litort ion on the nutural frequencies of Wide-flanged beams. -Develops. Mech. Vol. i.Hew-YorR, 1961 r p. 47 60.

143. WilLiamS D. Recent Development6 in the structural Appoach to fleroelastic Problemd. -7. R.A.S., N522, 1954 fp. 161-196.

144. Willi arm D. A General Method (Depending on the Aid of a digitat Computer ) for deriving the itructurat Influence Coefficientá of Aerop lam Wings. -RAE Report, N structures 168, fgs^ , p. 45-57.