автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Расчет программных траекторий и задача синтеза оптимального регулятора для нестационарных систем

804613873

На правах рукописи

Гришенков Тимофей Евгеньевич

РАСЧЕТ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙ И ЗАДАЧА СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации» (промышленность)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2010

2 5 НОЯ 2010

004613878

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (государственном университете).

Научный руководитель: Северцев В. Н., д. т. н.

Официальные оппоненты: Зубов Н. В., д. ф.-м. н., проф. Назаренко К. М., к. ф.-м. н.

Ведущая организация

Учреждение российской академии наук

Центральный экономико-математический институт (ЦЭМИ) РАН

Защита диссертации состоится «_» _ 2010 г. в_ часов на

заседании диссертационного совета при Учреждении российской академии наук Вычислительном Центре им. A.A. Дородницына РАН по адресу: 119333, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40 в конференц-зале.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного Центра им. A.A. Дородницына РАН

С\

Автореферат разослан «_»

2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Мухин A.B.

Актуальность темы.

Проблема повышения качества и безопасности управления сложными техническими системами в настоящее время становится всё более актуальной вследствие усложнения, повышения качества систем управления в смысле точности и оперативности обработки поступающей информации. В этой области нельзя не отметить работы Шлейера Г. Э., Афанасьева В.Н., Головина В. И., Антоненко В. А., Берншшейна С. И., Лубкова А. В., Сиркен А. Б. и других авторов.

Предложенные методы синтеза регулятора имеют универсальный характер и могут применяться для оптимального управления различными техническими объектами в промышленных комплексах, а также морскими и речными подвижными объектами, летательными аппаратами. Цель работы.

1. Разработать эффективные алгоритмы для расчета программных траекторий в режиме реального времени для задач оптимального управления в линейных нестационарных системах.

2. Предложить решение задачи синтеза нестационарного линейного регулятора выхода, исключающее трудоемкую процедуру решения уравнения Риккати.

3. Проиллюстрировать эффективность методики на примере ряда задач оптимального управления из области судовождения.

Методы исследования

1. Схема Дубовицкого-Милютина. Задача Понтрягина. Схема Блисса-Больца-Майера.

2. Численные методы интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений явными схемами.

3. Оптимальное управление с обратной связью.

4. Задача синтеза нестационарного регулятора выхода.

5. Методы решения краевых задач для расчета программных траекторий.

6. Вычислительные эксперименты с математическими моделями.

Научная новизна.

1. Разработана новая методика численного решения задачи синтеза нестационарного линейного регулятора выхода, исключающая процедуру решения уравнения Риккати.

2. Предложены новые численные методы интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений и сингулярно возмущенных уравнений с малым параметром при производной.

Обоснованность научных положений.

1. Корректное использование известных положений и теорем: принципа максимума, аналитических методов исследования, теоремы Лакса-Рябенького.

2. Обоснование новых методов синтеза базируется на доказанных теоремах, а также на модельных экспериментах на ЭВМ.

Практическая ценность.

1. Предложенные методы имеют универсальный характер и могут применяться для широкого круга научно-исследовательских и прикладных задач в области численных методов и в задачах синтеза оптимального управления.

2. Эта методика позволяет значительно повысить скорость обработки данных в автоматизированных системах управления. В частности, данная методика использована в автоматизированной системе управления судном и показала свою эффективность при управлении в режиме реального времени.

3. Разработанная методика была реализована в пакете прикладных программ, который может использоваться для практических расчетов для управления сложными техническими системами на промышленных предприятиях.

Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались на научных конференциях ИСА РАН, МФТИ, ВЦ РАН, ИПМ РАН, ИПУ РАН, ЦЭМИ РАН, а также на международных конференциях.

По теме диссертационной работы имеется 5 публикаций, общим объемом 1.7 п.л., в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК России, объемом 0,9 п.л. В статьях с соавторами автору принадлежит 50% материалов. Личный вклад. Все приведенные результаты диссертации получены автором самостоятельно, а в совместных работах принадлежат их авторам в равных долях.

Структура и объем работ.

Текст диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 85 наименований. Диссертация содержит 95 страниц машинописного текста, 15 иллюстраций, 13 таблиц.

Краткое содержание работы В первой главе проводится обзор аналитических моделей движения различных типов судов, методов решения задач оптимального управления движением морских и речных судов, а также приводятся постановки задач оптимального управления движением судна с использованием авторулевых.

Задача 1. Разворот судна на заданный курс за минимальное время.

Уравнения движения судна в горизонтальной плоскости в связанной с судном системе координат можно представить в следующем виде:

«п «12 0 0 си 0

й (О _ «21 «22 0 0 со + 3 + 0 С12

Ш <Р 0 1 0 0 <Р 0 0 0 м

У 1 0 0 0 У 0 0 0

где V — скорость бокового сноса судна, часто вместо \у рассматривают угол дрейфа Р, который определяется по формуле Б1П /7 = V / V;

у - боковой снос, со — угловой снос, <р - курс судна, S — угол перекладки руля, F - возмущающая сила, М - возмущающий момент, / е [0,7"], Т - время разворота судна.

При этом критерий оптимального управления

Г—>min. (1.2)

В системе (1.1) отсутствует уравнение сил в продольном движении, так как обычно скорость движения судна принимается постоянной (vx= const), и отсутствуют уравнения моментов в продольной и поперечной плоскостях, так как часто пренебрегают воздействием крена и дифферента на динамику движения в горизонтальной плоскости.

Граничные условия для данной задачи имеют следующий вид:

а{т) = 0, <p{T) = (pv 8• <3<8 ,

шш — шах'

При этом v (!Г), у(Т), vy(T), у(Т) - произвольные.

(1.3)

Задача 2. Разворот судна на заданный курс за минимальное время без учета бокового сноса.

При исследовании только углового движения судна система (1.1) может быть представлена системой дифференциальных уравнений 3-го порядка

«11 ап 0 6, 0

со = «21 «22 0 со + h 6+ 0 С12

(р 0 1 0 <Р 0 0 0

(1.4)

t е [О,Г], Т —» min

Граничные условия в этом случае совпадают с условиями (1.3), при этом Дг) произвольно.

Задача 3. Прохождение судна по фарватеру за минимальное время.

Рекомендуемая траектория движения по фарватеру является ломаной линией, и потому рекомендуемый курс судна в функции времени является разрывной функцией с точками разрыва в моменты перехода от одного створа к другому. Эти точки можно считать распределенными по закону Пуассона, и, следовательно, корреляционная функция процесса изменения курса г(/) будет равна

^(г) = 0г<Г"', (1.5)

где Dz- дисперсия, зависящая от степени извилистости фарватера; значение коэффициента а, выраженное в единицах в секунду, зависит от фарватера и от скорости судна.

Для речных судов значение моментов сил, сбивающих судно с курса, невелико, и главная задача авторулевого заключается в отслеживании задаваемой программы изменения курса -(/). Уравнение движения речного судна может быть записано в виде

A(D)y = u + q>{t), (1.6)

где /((/)) - передаточная функция судна; у - текущее значение угла курса; возмущающее воздействие <p(l) для речных судов может быть принято равным нулю; управление а допустимо в границах щ<а<и2\ <е[0,Г], при этом Г min.

Граничные условия на угол курса могут быть записаны следующим образом:

где ylt у2 заданы.

Задача 4. Задача успокоения качки судна.

Известно, что качка судна существенно ухудшает условия его эксплуатации, и это ухудшение тем значительнее, чем больше интенсивность качки. Поэтому на судах широко применяются различные устройства, уменьшающие качку. Одним из наиболее совершенных устройств являются управляемые бортовые рули. Силы, действующие на эти рули, создаются набегающим потоком воды при движении судна. За счет поворота рулей достаточно быстродействующим приводом создается переменный во времени момент сил, действующих на судно со стороны рулей и направленный противоположно моменту сил, вызывающих бортовую качку. Уравнение бортовой качки судна, снабженного рулями успокоителями, для малых углов качки может быть записано в виде

(t,2D2 +T2D + \)e = u + (p(t), (1.8)

где Т\ и Т2 - постоянные времени в секундах; в - текущее значение угла крена; it(t) - момент рулей-успокоителей, измеряемый в градусах угла крена, создаваемого ими; (p{t) - угол эффективного волнового склона в градусах, являющийся в данном случае возмущающим воздействием; t е [0,7"].

Граничные условия на угол крена можно записать следующим образом: в,<в(Т)<в2, (1.9)

при этом Т -> min.

Во второй главе приводятся различные постановки задач принципа максимума. Сначала формулируется задача Понтрягина: x = f(x,u,t),K{p) = 0,p = (x(ta),x{tl),t„tx),

Здесь R - произвольное множество пространства и; х - фазовый вектор; и - вектор управления. Правая часть f{x,u,t) непрерывно дифференцируема по переменным х и t и непрерывна по управлению, К(р) - гладкая функция

от р\ функционал J{p) - выпуклый по р. Рассмотрение поставленной задачи (2.1) в классе игольчатых вариаций приводит к известному принципу максимума Понтрягина JI.C. Минимум ищется в классе всех ограниченных измеримых по Лебегу функций !<(/),/„,/,. При этом x{t) будет абсолютно интегрируемой функцией.

Необходимо заметить, что принцип максимума Понтрягина Л.С. был доказан для задачи с интегральным функционалом и фиксированными начальными и краевыми условиями.

Формулируется также задача Блисса-Больца: требуется найти min J(p)

neV(x,l)

при наличии следующих ограничений:

x = f{x,u,t), К{р) = 0, p = {x{t0),x{ti),t0,ti), хеЕ", g(x,u,t) = О, Ф(х,и,1)< О, V{x,t) = {u\g^4><0}, иеЕг,

где J,f,K,g,0 - гладкие функции по совокупности своих аргументов; J ,f,K,g,0\G, где G - некоторое открытое множество пространства x,u,t,p; запись Ф\С означает, что G является областью определения Ф; ограничения Ф < 0, g = 0 - независимые; независимость ограничений означает, что в каждой точке x,u,t, для которых эти ограничения выполнены, градиенты g'u,Ф[и,Ке j(x,uj) линейно независимы; j{x,u,t) - множество активных индексов. Активным индексом точки x,u,t и е V(x,t) называется число J, для которого выполнено соотношение 0J(x>u,t) = 0; на поверхности g = 0 ранг g'u = dimg = /] < г, размерность Ф - любая; минимум ищется в классе кусочно-непрерывных функций и(1).

Приводится также постановка канонической задачи Дубовицкого-Милютина: найти minJ(p), если выполнены следующие ограничения х = f{x,u,t), К(р) = 0, <р(р) < 0,р = (дг(/0),дг(/,),/„,/,) g{x,u,t) = 0,g = {gvg1,...,gr}, 0,(x,u,t)<Q, i<M,

и = (г<,,г/2),г/, е Ек', / = 1,2; и2 е Я

где Я - произвольное множество пространства ЕКг, ¡л - любое натуральное число, / = {/¡,...,/„}, д; е £",/ е [/„,/,].

Предположения, при выполнении которых производится вариационное исследование задачи /): функции /(х,и,1),К(р)^(х,а,1) и их частные производные по непрерывны по всем своим аргументам в некоторой

окрестности поверхности К = 0, g = 0. Ранг = сГкп^ < Л', для всех точек поверхности £ = 0. Функции .1 ,(р,Ф — локально выпуклые по х,их,р,1, размерность вектор-функции <р = {(р1) - любая. Траектория х0(/),г/0(/),/(р/,, исследуемая на экстремум, - измеримая и ограниченная. Непосредственно усматривается, что каноническая задача объединяет Понтрягинскую и Блиссовские постановки.

Ответ формулируется в виде интегрального принципа максимума П0 в регулярном случае. Также указывается класс задач оптимального управления, сводящихся к канонической задаче Дубовицкого-Милютина. Кроме того, приводится каноническая задача Дубовицкого-Милютина с непрерывной зависимостью от времени при фиксированном правом конце по I.

В третьей главе предлагаются явные численные методы интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений и сингулярно возмущенных уравнений с малым параметром при производной, а также новые методы синтеза систем с обратной связью с квадратичным критерием качества для линейных систем.

Методы интегрирования жестких систем Метод экспоненты

Рассмотрим две задачи Коши:

Нг

^ = *(°) = *о> 0<1<Т, хеК1, / £ Я1, (3.1)

$ = = Я б Я', (3-2)

ш

Применяя явный метод Эйлера к системам (3.1) - (3.2), получим г

/,=/(*„,/„). = (3.3)

= • (3.4)

Положим д:я = , f„-g„, .у = -¿„У, А„ > 0. Отсюда, согласно (3.4), имеем

Л _ У^Л _ /„ ехР(~ЛЛ,,1) 8„ -КУп К ехр(-Д„/„)

С учетом равенства (3.5) и g„ = , = получаем

= х„ СХР

—А/

. А'(3-6)

Замечание 1. В случае сложной правой части (3.1) при »0 полагаем ; = 1 + г = л;.

Замечание 2. Формула (3.6) применима также к системе уравнений типа (3.1) при хеЯ*, /еЯ1, ^еЯ*.

Метод Рунге-Кутта

Для численного интегрирования задачи (3.1) часто применяют метод Рунге-Кутта четвертого порядка. В целях простоты изложения рассмотрим одну из распространенных явных схем

*♦[/.] = + 2к2 + 2*з + кА), х„+1 = х„ + Л4[/„],

К=/(хМА<> ^=/(х„ + 0,5А„/„+0,5Д<)Д<, (3.7)

къ = /(х„ + 0,5£2,/„ + 0,5Д/)Д?, Л4 = /(х„ +£3,+Д?)Дл

Для каждого приближения в систему (3.7) введем параметр аг„ из условия В результате получим

х2 х

х ___ а _ ЛЛ-1

[/„К' " '

Окончательно имеем

2 , « = 1,2,..., х(0) = х0. (3.8)

Для п = 1 значение х, можно получить по формуле (3.6). Замечание 3. Схему типа (3.8) можно также применить и к системе дифференциальных уравнений.

Сингулярно возмущенныеуравенепия

Рассмотрим систему из двух уравнений

у = /(х,у), Ех = ё{х,у), х(0) = х0, Я0) = Л, /е[0,Г]. (3.9) Система (3.9) является жесткой при малых значениях параметра е. К системе (3.9) применим схемы (3.7), (3.8). В результате получим

Л+,=У„+Д,[/„], 2 Гг" 1 ' л = 1>2,- (3-10)

Основная трудность при применении формул (3.10) состоит в оценке х, (х0 - задано).

Для получения упомянутой оценки рассмотрим следующую систему:

ex = g{x,y), е: = И(:) = -а:2, а> 0, ;(0) = г0*0. (3.11) Применяя к системе (3.11) явный метод Эйлера, получим

*,=*„ + (,,(3.12)

а-о

Интегрирование уравнения е: = -а:г приводит к результату

~ = ~ + с = —, : = = £'"° , Д/ = г,. (3.13)

- е :д £ + а1:0 е + аЫи0

Из (3.12), (3.13) следует

*,=*„+Г----= --^1^1.(3.14)

{е + аМ:0 ) -аг0 ^ £ + аМ:0) а:0

Примечание. В формуле (3.10) у\ вычисляется по формуле

•у^л+яЛ/о]-

Замечание 4, Формула (3.14) позволяет рассматривать произвольно число сингулярных уравнений с различными малыми параметрами.

Линейная задача и метод решения

Рассмотрим задачу

т

J = j(xтQx + flтRй)dt^>min (3.15)

при условиях

х = А(!)х + В(г)й + Н{ О,

(3.16)

(3.17)

Будем считать фазовые координаты и-мерными векторами i(i)eR", управление ü{t)e UcR". Матрицы Q, R неотрицательно определенные для любого /е[Г0, ТУ Q(t)>0, R(i) > 0. Для решения задачи синтеза оптимальной системы с обратной связью (3.15) поделим отрезок [/„, Г] на отрезки вида [f,, i2]:\t2 - < e0. Величина s0 характеризует точность приближенных решений задачи. Рассмотрим отрезок [/,, /2], предполагая, что задача решена описанным ниже методом для всех предшествующих интервалов. Пусть /е[/,,/2]. Поскольку подынтегральное выражение в (3.15) неотрицательное, метод решения может быть применен. Положим 3c(i,) = 3c,. Изменим условие (3.16) па интервале [tv /2] на приближенное соотношение

x(t) = U(t)u{t) + V(t). (3.18)

Для того чтобы найти вектор V(t), примем ii(t) = 0 и решим вспомогательное уравнение

i = A(t)x + H(t), x(t,) = x1. (3.19)

В результате получим решение x(i) = V(t).

Для расчета /-го столбца й¡(t) матрицы {/(?) решим вспомогательное уравнение

П, = A{t)ül + B(t)ä\ + H{t), ЙД/,) = jf„ (3.20)

делая замену <5, = е), где с, - i -й орт.

Далее подставим (18) в (15) и получим легко решаемую задачу: <2

J = \{üTUTQx + üTRu)dt min.

J ii(r)eU

'i

Если U = Rm, то оптимальная система с обратной связью будет выглядеть следующим образом:

u(t) = ~(R-')TUTQm-

(3.21)

Проверка приближения метода

Определение 1. Решение u(s) приближенной задачи f.cu = f<c) приближает точное решение [г/]£ задачи Lu = f в степени к, если Le[u\ = /(е) +S/(e), где

Лемма 1 (о локальной аппроксимации управления). Для задачи (3.15) -(3.17) на интервале [/,, /2] оценка

верна. При этом и* удовлетворяет соотношению (3.21), и" - точное решение задачи (3.15)-(3.17) на интервале [/,, /2], С - определенная постоянная.

Рассмотрим возможность расширения применения Леммы 1 на общую задачу: с интервала [/,,/2]с[/0,Г] на интервал [/о,?4].

Лемма 2 (о локальной аппроксимации фазовых координат). При условиях Леммы 1 оценка

|»**-M*([<C|?2-i,|

(3.22)

\х"-х\\ <C(t2-tt)2

(3.23)

верна.

Теорема 1 (о глобальной аппроксимации управления). При условиях Леммы 1 метод сходится к точному решению задачи (3.15) - (3.17), то есть

sup |м*(0-м**(/)|<С|/2-/j |. (3.24)

<Ф„,л

Устойчивость и сходимость

Определение 2. Решение ии) аппроксимирует задачу Lji = /(е) сходится к решению [г/]£ задачи Lu=f с к-ой степенью е,если |[м]е-г/е'||<СеА. Определение 3. Задача устойчива, если 3S,e0: W < VJ/W :||<У/(в)|| < 6L.ие = /(е), Leze = /w + 8f{s) фв -ие\ < c||<5/(s)||.

Лемма 3. Метод, описанный в данном разделе, устойчивый. Другими словами, : V* < s0,VSfM :||<У/">|| <6Lt(и)х° = /<*>,

4 («У = /(s)+sfs) ■ I"" - и II s C\s /(е)||.

Пользуясь теоремой Лакса-Рябенького, из Леммы 3 и Теоремы 1 можно сформулировать следующую теорему. Теорема 2. Метод, описанный в данном разделе, сходится.

Связь с уравнением Риккати

Для оптимального стационарного регулятора найдем функцию Беллмана в форме [4, стр. 331] S(x) = x* Кх, где К - постоянная положительно определенная матрица, определяемая из алгебраического уравнения Риккати -КА^К + KBiR~lBlK-Q = 0. В этом случае оптимальное управление может быть рассчитано по формуле

u0(x) = -R~'B;Kx. (3.25)

Приравнивая управления, определенные уравнениями (17) и (20) из [5], получим

2 К в; К = QA• + 2 FAxAl + 2 FB\. (3.26)

Для нестационарной задачи оптимальное управление может быть представлено следующим образом [4, стр. 329]:

и0(х, t)=-(¡г'в;кх+о.5/с1 в; р), (з.п)

где симметричная матрица К (KsR"*") и вектор Р (Ре R") могут быть найдены из системы дифференциальных уравнений

К = -КА{ - А ¡К + KBiR'xE[K - Q,

р = KBtR-'B;p - л;р - гкнх

(3.28)

и граничных условии

= = (3-29)

Из соотношений (15) и (22) из [4] следует, что

В\Р = 2Л4'Я„ 25*АГ = + + 2^,'. (3.30)

Это следует из существования и единственности решения задачи синтеза оптимального нестационарного линейного регулятора.

Выводы

1. Разработана методика синтеза программных траекторий для задач оптимального управления.

2. Решена новая задача синтеза оптимального регулятора для нестационарных систем с обратной связью и квадратичным критерием качества для линейных систем.

3. В работе представлены постановки модельных задач оптимального управления судном с учетом фазовых ограничений.

4. В работе получены явные численные методы интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений и сингулярно возмущенных уравнений с малым параметром при производной.

5. Проведено обоснование предложенных методов.

6. Приведены численные примеры расчета прикладных задач судовождения.

Литература к реферату:

1. R. Gabasov, F. М. Kirillova, P. V. Gaishun, and S. V. Prischepova, J. of Control and Information Theory, 20(6), 409-427 (1991).

2. Черноусько Ф. Л., Колмановский В. Б., Оптимальное управление при случайных возмущениях, Москва, 1978.

3. The Riccati Equation, Ed. by S, Bittanti, A. J. Laub, and C. Willems,Springer-Verlag (1991).

4. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: Учеб. Пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 464 с.

5. V.V. Dikusar, A.V. Zubov, Optimal control of feed-back systems. (Computer Algebra Systems in Teaching and Research. Evolution, control and stability of dynamical systems. Wydawnictvo WSFiZ, Siedlice, 2009, p. 65)

Основные публикации:

1. Т. Grishenkov, V. Koska, A. Figara A problem of optimal feedback system synthesis. Computer Algebra Systems in Teaching and Research. Evolution, control and stability of dynamical systems. Wydawnictvo WSFiZ, Siedlice, 2009, p. 104

2. Гришенков Т.Е. Задачи оптимального управления движением судна. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем / Под редакцией Ю.С. Попкова. Т. 42 (2). -М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. - 220 е., с. 11-15.

3. Дикусар В. В., Гришенков Т.Е. Численные методы интегрирования жестких систем явными схемами. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем / Под редакцией Ю.С. Попкова. Т. 42 (2). -М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.-220 е., с. 147-155.

4. Гришенков Т.Е. Решение задачи оптимального управления на примере модели «хищник-жертва». (Труды ИСА РАН. Динамика нелинейных систем. 17(1), - Спб. «Мобильность плюс», 2005,275 е.), с. 256 - 263

5. Т.Е. Grishenkov. Implementation of the computer algebra methods in the solution of optimal control problem on the example of the "predator-prey" model. (Fourth International Workshop on Computer Algebra Systems in Teaching and Research (CASTR'2007), Siedlice, Poland, January 31 -February 3,2007), c. 175 - 182

Подписано в печать 01.11.2010 г. Исполнено 01.11.2010 г. Печать трафаретная

Заказ № 127 Тираж 80 экз.

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (495)975-78-56

www.autoreferat.ru

Содержание.

Введение.

1 Общие уравнения неустановившегося невозмущенного движения морских подвижных объектов.

1.1 Матричная модель продольного возмущенного движения судов с динамическим принципом поддержания.

1.2 Матричная модель бокового движения морских подвижных объектов.

1.3 Характеристики возмущающих сил.

1.4 Матричная модель возмущающих сил.

1.5 Постановка задач оптимального управления движением судна.

Выводы по первой главе.

2 Принцип максимума.

2.1 Необходимые условия экстремума.

2.1.1 Теория принципа максимума и схема Дубовицкого-Милютина.

2.1.2 Задача Понтрягина.

2.1.3 Задача Блисса-Больца.

2.2 Необходимые условия оптимальности.

2.3 Канонические задачи Дубовицкого-Милютина.

2.4 Структура смешанных ограничений.

2.5 Интегральный принцип максимума в регулярном случае.

2.6 О и — стационарности.

2.7 Интегральный принцип максимума п0.

2.8 Класс задач оптимального управления, сводящихся к задаче (2.1.9).

3 Расчет программных траекторий для нестационарных систем.

3.1 Методы продолжения решений по параметру.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Наилучший параметр продолжения решения.

3.1.3 Непрерывный аналог метода Ньютона.

3.1.4 Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.1.5 Обобщенный метод Ньютона.

3.1.6 Полиномы Чебышева и Лагранжа.

3.1.7 Полярное разложение матрицы Якоби.

3.1.8 Обобщенное продолжение решений по параметру.

3.1.9 Метод численного интегрирования сингулярно возмущенных уравнений.

3.2 Методы интегрирования жестких систем явными схемами.

3.2.1 Метод экспоненты.

3.2.2 Метод Рунге-Кутта.

3.2.3 Сингулярно возмущенные уравенения.

3.3 Оптимальное управление систем с обратной связью.

3.3.1 Синтез оптимальной линейной системы.

3.3.2 Стационарные линейные системы.

3.3.3 Связь с уравнением Риккати.

3.3.4 Оптимальный линейный регулятор выхода.

3.3.5 Нелинейные системы.

3.3.6 Нелинейная задача наблюдения.

3.3.7 Линейная задача и метод решения.

3.3.8 Проверка приближения метода.

3.3.9 Устойчивость и сходимость.

Выводы.

Проблема повышения качества и безопасности управления сложными техническими системами в настоящее время становится всё более актуальной вследствие усложнения, повышения качества систем управления в смысле точности и оперативности обработки поступающей информации. В этой области нельзя не отметить работы Шлейера Г. Э., Афанасьева В.Н., Головина В. И., Антоненко В. А., Берншшейна С. И., Лубкова А. В., Сиркен А. Б. и других авторов.

Цель настоящей работы — разработать эффективные алгоритмы для расчета программных траекторий в режиме реального времени для задач оптимального управления в линейных нестационарных системах.

В работе также будет предложено решение задачи синтеза нестационарного линейного регулятора выхода, исключающее трудоемкую процедуру решения уравнения Риккати. Методика проиллюстрирована на примере ряда задач оптимального управления из области судовождения.

Предложенные методы синтеза регулятора имеют универсальный характер и могут применяться для оптимального управления различными техническими объектами в промышленных комплексах, а также морскими и речными подвижными объектами, летательными аппаратами.

Выводы

1. Разработана методика синтеза программных траекторий для задач оптимального управления.

2. Решена новая задача синтеза оптимального регулятора для нестационарных систем с обратной связью и квадратичным критерием качества для линейных систем.

3. В работе представлены постановки модельных задач оптимального управления судном с учетом фазовых ограничений.

4. В работе получены явные численные методы интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений и сингулярно возмущенных уравнений с малым параметром при производной.

5. Проведено обоснование предложенных методов.

1. Gabasov R., Kirillova F.M., Gaishun P.V., Prischepova S.V. Synthesis of optimal controls on nonexact measurements of output signals // Problems Control Inform. Theory. Vol. 20, № 6. - P. 409 - 427.

2. Ю.В. Ракитский, С.M. Устинов, И.Г. Черноруцкий. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

3. В.И. Лебедев. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 2000.

4. В.В. Дикусар. Методы теории управления при численном интегрировании обыкно-венных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. Минск, 1994. Т. 30. №12. С 2116-2121.

5. The Riccati Equation, Ed. by S, Bittanti, A. J. Laub, and C. Willems, Springer-Verlag (1991).

6. Воронов A.A., Ким Д.П., Лохин В.М. и др. Теория автоматического управления (том 2). М., 1986

7. Тихонов А.Н. Некорректно поставленные задачи в естественных науках. М., 1992

8. Бенуа Ю.Ю., Дьяченко В.К., Колываев Б.А., Литвиненко В.А., Озимов И.В., Смирнов С.А. Основы теории судов на воздушной подушке. Л., «Судостроение», 1970

9. М.В. Булатов. Методы решения дифференциально-алгебраических и вырожденных интегральных систем. Дисс.докт. физ.-мат. наук Иркутск, 2002.

10. А.П. Афанасьев, В.В. Дикусар, A.A. Милютин, C.B. Чуканов. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990.

11. A.A. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. Вычислительные методы для ин-женеров. М.: Высш. шк., 1994.

12. Бортковский P.C. и др. Процессы переноса вблизи поверхности раздела океан-атмосфера. Л., «Судостроение», 1974

13. Богуславский И.А. Методы навигации и управления по неполной статической информации. М., «Машиностроение», 1970.

14. Бобнев М.П. Генерирование случайных сигналов. М., «Энергия», 1971

15. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М., «Мир», 197216. 1. В.И. Шалагпилин, Е.Б. Кузнецов. Метод продолжения решения по параметру и наи-лучшая параметризация. М.: УРСС, 1999.

16. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М., 1978

17. Василев П.И., Ильин В.В. Цифровое устройство сравнения. «Изв. ЛЭТИ», 1974, вып. 144

18. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры., М., 1974

19. А.П. Афанасьев, В.В. Дикусар, A.A. Милютин, C.B. Чуканов, Необхо-димое условие в принципе максимума. М.: Наука, 1990.

20. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. М., «Наука», 197027. 12. К. Декер, Я. Вервер. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелиней-ных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1988.

21. Доброленский Ю.П. Динамика полета в неспокойной атмосфере. М., «Машиностроение», 1969.

22. Егоров И.Т., Соколов В.Т. Гидродинамика быстроходных судов. Л., «Судостроение», 1965

23. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решений по параметру и наилучшая параметризация. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

24. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные мето-ды для инженеров. М.: Высш. шк., 1994.

25. Извольский Е.Г. Дифференициальные уравнения продольного движения корабля на подводных крыльях объекта регулирования. Труды МАИ, 1961, вып. 139.

26. Извольский Е.Г. Применение стохастических методов для исследования динамики движения судов на подводных крыльях при нерегулярном волнении. Сб. статей НТО судостроительной промышленности., вып. 4, 1964.

27. Иродов Р.Д. Критерий продольной устойчивости экраноплана. Ученые записки ЦАГИ. Том 1, п. 4. 1970

28. Казаков В. А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. М., «Советское радио», 1973.

29. В.А. Морозов. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

30. Л.Д. Кудрявцев. Математический анализ, т.2. М.: Высшая школа, 1973.

31. J.D. Lambert. Computational Methods in Ordinary Differential Equations N.Y.: Wilay, 1973.

32. Конов Э.А. Гидродинамические характеристики крыльевых систем быстроходных судов при пространственном движении. — Автореферат, Л., 1971

33. Кононкова Г.Е. Динамика морских волн. Издательство МГУ, 1969.

34. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование., М., «Наука», 1973.

35. Ю.В. Ракитский, С.М. Устинов, И.Г. Черноруцкий. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

36. В.В. Дикусар. Методы теории управления при численном интегрирова-нии ОДУ. Журн. Дифференциальные уравнения. Том 30. №12, 1994. Минск. С. 2116-2121.

37. Р. Хорн, Ч. Джонсон. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

38. Ю.Л. Гапоненко. Метод продолжения по параметру для уравнения вто-рого рода с липшиц-непрерывным и монотонным оператором. //ЖВМ и МФ. 1989. Т. 26. №8. С. 1123-1131.

39. Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

40. P.B. Гамкрелидзе, Г.Л. Харатишвили. Экстремальные задачи в линей^ных топологических пространствах. Известия АН СССР, сер. матем., т.ЗЗ, No.4, 1969, с. 781-839.

41. В.И. Шалагпилин, Е.Б. Кузнецов. Метод продолжения решения по параметру и наи~лучшая параметризация. М.: УРСС, 1999.

42. В.П. Аноров, Принцип максимума для процессов с ограничениями общего вида. I, II. Автоматика и телемеханика, 1967, N3, с.5-15, N4, с. 5-17.

43. A.M. Тер-Крикоров, Некоторые линейные задачи теории оптимального управления с фазовыми ограничениями. ЖВМ и МФ, N1, 1975, с. 55-66.

44. A.A. Милютин, Оптимальное управление. Лекции для студентов МГУ М.: МГУ, 1972.

45. B.В. Дикусар, A.A. Милютин, Количественные и качественные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989.

46. Абрамов А.П., Дикусар В.В. Нерегулярные точки в двусекторной экономической модели внешнего долга. Журнал "Дифференциальные уравнения", т.ЗЗ, №12, Минск, 1997, с. 1203-1209.

47. Савченко В.Т. Некоторые вопросы проектирования судов на подводных крыльях с автоматический стабилизацией. — автореферат, 1967.

48. Ногид Л.М. Устойчивость судна и его поведение на взволнованном море (проектирование морских судов). Л., «Судостроение», 1967.

49. F. Ficken. The Continuation Method for Nonlinear Functional Equations //Comm. Pure Appl. Math., 1951, V. 4, №4. P. 435-456.

50. H. Ehrmann. On Implicit Finction Theorems and the Existence of Solutions of Nonlinear Equations//Enseignement Math. V. 9. P. 129-176.

51. Д.Ф. Давиденко. О приложении метода вариации параметра к теории нелинейныхфункциональных уравнений. //Укр. мат. журн. 1955, Т.7. №1. С. 18-28.

52. М.К. Гавурин. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналогиитеративных методов //Изв. вузов. Математика. 1958. №5. С. 18-31.

53. М.Н. Яковлев. К решению систем нелинейных уравнений методомдиф-ференцирования по параметру. //ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. №11. С. 146- 149.

54. М.Н. Яковлев. О некоторых методах решения нелинейных уравнений //Тр. мат. инта им. Стеклова. 1965. №84. С. 8-40. В.А. Треногин. Функциональный анализ. М.: Наука, 1993.

55. Рахманин П.Н. Эмпирический спектр морского волнения. — Труды ЦНИИ им. А.Н. Крылова, вып. 126, 1958

56. Д. Ортега, В., Рейнболдт. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир. 1975.

57. Д.Ф. Давиденко. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений //ДАН СССР. 1953. Т. 88. №4. С. 601-602.

58. Д.Ф. Давиденко. О приближенном решении систем нелинейных уравне-ний //Укр. мат. журн. 1953, Т.5. №2. С. 196-206.

59. B.Е. Шаманский. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ. Ч. 2. Киев: Наукова думка, 1966.А.А. Самарский, А.В. Гулин. Численные методы. М.: Наука, 1989.

60. Спиди К., Браун Р., Гудвин Дж. Теория управления. М., «Мир», 1973 Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применения. М., «Машиностроение», 1974

61. C.W. Gear. Numerical initial value problems in ordinary differential equa-tions. N.Y.: Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1971.

62. Фирсов Г.А. Об энергетическом спектре морского волнения. — Труды ЦНИИ им.

63. A.Н. Крылова, вып. 127, 1958

64. О.Б. Арушанян, С.Ф. Залеткин. Численное решение ОДУ на ФОРТРА-НЕ. М.: МГУ, 1990.

65. Е. Hairer, G. Wanner. Solving Ordinary Differential Equations. 2. Stiff and Differential-algebraic Problems. Berlin, e.a.: Springer-Verlag, 1991.

66. B.И. Лебедев. Как решать явными методами жесткие системы ОДУ. //Вычислительные процессы и системы. 1991. Вып. 8. С. 237-291. Р.П. Федоренко. Жесткие системы ОДУ и их численное интегрирование //Вычислительные процессы и системы. 1991. Вып. 8. С. 328-380.

67. G. Dahlquist. A Spécial Stability Problem for Linear Multistep method //BIT. 1963. №3. P. 27-43.

68. A.H. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

69. B.А. Морозов. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

70. Т.Е. Гришенков Задачи оптимального управления движением судна. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем / Под редакцией Ю.С. Попкова. Т. 42 (2). -М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 220 е., с. 11-15.

71. Э. Дулан, Дж. Миллер, У. Шилдерс. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

72. В.И. Лебедев. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: ВИНИТИ, 1994.

73. В.А. Вергасов, И.Г. Журкин, М.В. Красикова и др. Вычислительная математика. М.: Недра, 1976.

74. Ю.В. Линник. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М.: Физматгиз, 1958.

75. А.П. Афанасьев, В.В. Дикусар, А.А. Милютин, С.А. Чуканов. Необхо-димое условие в оптимальном управлении. М., Наука, 1990.

76. А.Е. Умнов. Проблемы математического моделированим в условиях не-полной информации. Автореферат докторской диссертации. ИПУ РАН, 1994. 96. В.И. Лебедев. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 2000.

77. B.B. Дикусар. Методы теории управления при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. Минск, 1994. Т. 30. №12. С 2116-2121.

78. А.И. Задорин. Разностные схемы для нелинейных дифференциальных уравне-ний с малым параметром в ограниченных и неограниченных областях. Авто-реферат докторской диссертации, Новосибирск, 2000.

79. М.В. Булатов. Методы решения дифференциально-алгебраических и вырожденных интегральных систем. Дисс. докт. физ.-мат. наук Иркутск, 2002.

80. В.В. Кафаров, И.Н. Дорохов, JI.B. Дранишников. Системный анализ процессов химической технологии. М., Наука, 1991.

81. R.F. Hartl, S.P. Sethi, and R.G. Vockson. A survey of the maximum principles for optimal control problems with state constraints. SLAM Review v.37, No.2, June 1995, p. 181-218.

82. Б.А. Кир, Г.Г. Бебенин, В.А. Ярошевский. Маневрирование космичес ких аппаратов. М.: Машиностроение, 1970.

83. H.A. Бобылев, C.B. Емельянов, С.К. Коровин. Геометрические методы в вариационных задачах. М.: Магистр, 1998.

84. Ф.П. Васильев, А.Ю. Иваницкий. Линейное программирование. М.: Факториал, 1998.

85. A.B. Арутюнов. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997.

86. А.Я. Дубовицкий, В.А. Дубовицкий. Критерий существования содержа-тельного принципа максимума в задаче с фазовыми ограничениями.// Дифференциальные уравнения, 1995, t.31,No.10, с. 1634-1640.

87. В.В. Дикусар. Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида. М.: МФТИ, 1983.

88. А.Я. Дубовицкий, A.A. Милютин. Теория принципа максимума. М.: Наука, 1981.