автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Планирование и стабилизация траекторий неполноприводных динамических систем

Национальный Исследовательский Университет Информационных Технологий,

Механики и Оптики

На правах рукописи

Суров Максим Олегович

Планирование и стабилизация траекторий неполноприводных динамических систем

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

10 ОКТ 2013

005534742

Санкт-Петербург - 2013

005534742

Работа выполнена в Национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики.

Научный руководитель:

канд. техн. наук,

Пыркин Антон Александрович

Официальные оппоненты: докт. физ.-мат. наук, профессор

Тертычный Владимир Юрьевич

канд. физ.-мат. наук, Ананьевский Михаил Сергеевич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита состоится 31 октября в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.227.03 при Национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики, расположенном по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, НИУ ИТМО.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики.

Автореферат разослан 26 сентября 2013 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета.

докт. техн. наук, профессор

Ожиганов А.А.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Задачи управления различными механическими системами в условиях параметрической неопределённости, непролноприводно-сти, при наличии односторонних механических связей и ограничений на скорости движения являются весьма актуальными и изучаются многими исследователями [5, 8, 10, 11]. Особый интерес представляет проблема динамического манипулирования объектами. Подробный обзор различных подходов к решению этой задачи представлен в работе [6].

Такие проблемы возникают при решении задач управления силой, что весьма актуально в современном промышленном производстве. Например, в задаче программного управления шлифовальным станком при обработке материала необходимо стабилизировать как определённую траекторию движения, так и силу взаимодействия рабочей поверхности с обрабатываемой деталью, что приводит к увеличению размерности объекта управления. Задача динамической манипуляции зачастую возникает в ситуациях, когда жёсткая фиксация объекта манипулирования невозможна в силу его хрупкости (например, перекладывание роботом стеклянных или пластиковых предметов). Как следствие, появляются дополнительные неуправляемые степени свободы, увеличивается динамическая размерность объекта управления. В этом случае стандартные подходы к управлению, такие как линеаризация обратной связью, как правило, не работают. Кроме того, в неполноприводной механической системе не всякая желаемая траектория является физически реализуемой, поэтому поиск допустимых траекторий является одной из ключевых задач.

Таким образом, рассматриваемые задачи управления промышленными роботами в конечном счёте сводятся к траекторному управлению неполнопривод-ными механическими системами, и для их решения необходимо разработать эффективные методы как для планирования, так и для стабилизации траекторий движения.

При формализации подобные задачи зачастую очень схожи и сводятся к поиску траекторий динамических систем, обладающих определёнными свойствами, и поиску закона управления, обеспечивающего устойчивость найденных траекторий. Такие динамические системы как правило могут быть описаны системой дифференциальных уравнений Лагранжа [3]. Специфические свойства Лагран-жевых систем позволяют выработать универсальные методы и алгоритмы управления неполноприводными механическими системами.

С целью изучения задачи динамической манипуляции и для тестирования

различных алгоритмов управления неполноприводными механическими системами была разработана робототехническая система "Бабочка" [8]. Задача управления роботом интересна наличием односторонней голономной связи [4], которая приводит к существенным ограничениям на скорости движения объекта управления, что вносит дополнительные сложности в задачу планирования траекторий движения. Такая робототехническая установка позволяет смоделировать непол-ноприводные механические системы с одной пассивной степенью свободы, которые часто встречаются на практике в задачах управления с учетом сил взаимодействия робота с объектом манипулирования.

Диссертационная работа посвящена изучению объектов управления, поведение которых может быть описано системой дифференциальных уравнений Лагранжа. Основное внимание уделено изучению неполноприводных механических систем [5], методам планирования траекторий и методом орбитальной стабилизации траекторий [2], а также экспериментальным исследованиям алгоритмов управления робототехнической системой "Бабочка".

Цели диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка новых методов планирования и стабилизации траекторий движения механических систем при наличии пассивных степеней свободы и параметрической неопределённости. Дополнительной целью является проведение экспериментальных исследований полученных алгоритмов управления робототехнической системой "Бабочка".

Методы исследований. При получении теоретических результатов использовались метод функций Ляпунова, метод виртуальных голономных связей для планирования траекторий неполноприводных систем, метод построения стабилизирующих регуляторов для линейных нестационарных систем, различные методы классической механики, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории динамических систем, линейной алгебры, численных методов.

Экспериментальные результаты были получены с использованием современного программного обеспечения - пакетов Matlab и Simulink; технического оснащения - системы моделирования в реальном времени dSpace и робототехнической установки "Бабочка", предоставленной университетом Умео (Швеция). В состав технических средств так же входила система технического зрения: видеокамера для быстрой съёмки Point Grey Flea 3; программное обеспечение, разработанное с использованием среды разработки Microsoft Visual Studio 2012.

Научная новизна. В рамках данной работы впервые, на сколько известно автору диссертационной работы, была решена задача управления робототехнической системой "Бабочка", являвшейся нерешённой с 1998 года. На основании про-

ведённых исследований с роботом "Бабочка" были разработаны универсальные алгоритмы поиска виртуальных связей для неполноприводных систем, позволяющие находить траектории движений, удовлетворяющие заданным критериям. Разработан класс стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих орбитальную устойчивость траектории неполноприводной механической системы. Разработанный регулятор в отличие от ранее изученных [10] не требует численного интегрирования систем дифференциальных уравнений высокой размерности.

Предложен метод робастного управления ориентацией и скоростью движения шестиногого шагающего робота, гарантирующий асимптотическую устойчивость заданной скорости и ориентации объекта управления при неизвестном тензоре инерции.

Практическая ценность. Практическая значимость полученных методов управления механическими системами обусловлена развитием промышленных робототехнических систем. Полученные методы могут быть полезны при проектировании алгоритмов управления станками с числовым программным управлением, шагающими роботами, летательными аппаратами и другими робототехни-ческими устройствами.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Метод поиска виртуальных связей для планирования траекторий неполноприводных робототехнических систем с одной пассивной степенью свободы.

2. Метод синтеза стабилизирующего регулятора, обеспечивающего орбитальную устойчивость заданной траектории для неполноприводных механических систем.

3. Метод робастного управления, обеспечивающий асимптотическую устойчивость заданной ориентации и скорости движения динамических систем с неизвестным тензором инерции.

4. Алгоритмы планирования и стабилизации траекторий движения для неполноприводной робототехнической системы "Бабочка".

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

- Четвертая Традиционная Всероссийская молодежная летняя школа (IV ТМШ) «Управление, информация и оптимизация», 2012

- The 2012 IEEE Multi-Conference on Systems and Control, Dubrovnik, Croatia

- IFAC Conference of Manufacturing, Management and Control. Saint-Petersburg. Russia. 2013.

В 2011, 2012 и 2013 годах автор проходил стажировку в Университете Умео (Швеция) у профессора Антона Станославовича Ширяева и Леонида Борисовича Фрейдовича, известных своими работами в области управления робототехниче-скими системами, занимаясь теоретическими и экспериментальными исследованиями по управлению робототехнической системой "Бабочка".

Полученные в ходе научно-исследовательской работы алгоритмы управления были апробированы на робототехнической системе "Бабочка", изготовленной Университетом Умео (Швеция).

На разработанное программное обеспечение для системы управления роботом "Бабочка" было получено свидетельство о регистрации компьютерной программы для ЭВМ № 2013611597 от 07.03.2013.

Публикации. Автор диссертационной работы имеет 10 публикаций, 8 из которых входят в список ВАК, и свидетельство о регистрации компьютерной программы для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа объёмом в 103 страницы состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность задач, рассматриваемых в диссертационной работе и показана необходимость изучения неполноприводных механических систем и необходимость развития метода виртуальных голономных связей. Сформулированы цели и задачи исследования и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертационной работы представлен краткий обзор существующих методов управления неполноприводными механическими системами. Представлены основные проблемы и методы их решения.

Во второй главе представлены теоретические исследования в области планирования траекторий неполноприводных робототехнических систем. Рассмотрены существующие методы планирования траекторий. Изучен метод виртуальных голономных связей [10]. Предложен метод поиска виртуальных связей, позволяющий планировать траектории для неполноприврдных механических систем с одной пассивной степенью свободы с наперёд заданными ограничениями.

В качестве демонстрационного примера рассмотрена задача упаковки предметов роботом-манипулятором. Робот должен взять предмет с конвейерной ленты (точка рл £ §Е(3)) и переместить его в упаковочную коробку (точка рв € §Е(3)). При этом, манипулятор должен двигаться таким образом, чтобы не задеть расположенные вблизи предметы и не испортить перемещаемый предмет. Эти условия влекут за собой ограничения на пространственные координаты робота р £ §Е(3) и на скорости его движения.

Рассматривается случай, когда кинематика робота может быть описана вектором обобщённых координат (<?1, д2, •••, Яп) , а динамика описывается системой дифференциальных уравнений порядка 2п:

Ч = /(я,Ч,и), (1)

где и - входное управляющее воздействие.

Каждая конфигурация робота соответствует точке в конфигурационном многообразии М.. Начальным и конечным пространственным координатам робота рл,рв соответствуют точки (¡л, 0в конфигурационного многообразия (здесь и далее предполагается, что обратная задача кинематики разрешима). В результате, ограничения на пространственные координаты робота щ (р) < 0 могут быть представлены как ограничения на обобщённые координаты (см. рис. 1)

7Г (?) < 0. (2)

Как было сказано выше, в задачах подобного типа могут встречаться ограничения на скорости, которые, как правило, могут быть представлены в виде ограничения на обобщённые координаты и обобщённые скорости

АЫ)<0. (3)

В результате, задача планирования траекторий может быть формализована следующим образом:

Зада ч а 1. необходимо найти такое допустимое управляющее воздействие и(£), чтобы система дифференциальных уравнений (1) имела частное решение <?*(£), <7*(4), удовлетворяющее граничным условиям

9*(0) = Ча, Ч\Т) = Чв (4)

и ограничениям па координаты (2) и скорости (3).

Рис. 1. Траектория на конфигурационном многообразии

Задача (1) может являться неразрешимой. Во второй главе рассматривается задача планирования траекторий для случая, когда объект управления может быть описан системой дифференциальных уравнений Лагранжа:

М(д)д + С{д, д)д + в{д) = В{д)т, (5)

где геР' вектор обобщённых сил; Ь (д, д) = дТМ (д) д - II (д) - функция Лагранжа для натуральных лагранжевых систем представляет собой разность кинетической и потенциальной энергии; М (д) > 0 - матрица инерции.

Для решения задачи (1) применяется метод виртуальных голономных связей [10], суть которого заключается в предположении, что искомая траектория движения х* (1)Т = (д* (£)Т, д* (¿)Т) является периодической (или частью периодической траектории) и полностью лежит на некотором инвариантном многообразии

Я = {х е ТМ I/ (д* (¿)) = 0, V* е М} , / : К" -> К"-тп,

где функция /(<?) = 0 называется виртуальной голономной связью. В силу этого предположения задача поиска допустимой траектории сводится к поиску частного решения системы дифференциальных уравнений (5) на многообразии Л/". Траекторией механической системы в этом случае будет являться функция х*(1) = <?*(*)) при д*(1) = в(<р'(г)) и д*Ц) = ®{у*{1))ф*{1).

Предполагается, что виртуальная связь может быть представлена в виде д = 0(<р), (р = <1п- Динамика системы (5) на Л/" описывается дифференциальным уравнением второго порядка

а (9И, 9'М) Ф + Р (ВЫ, в'(<л), в"(р)) Ф2 +1 (вМ) = 0. (6)

Задача планирования траекторий в конечном счёте сводится к поиску виртуальной связи (\ = 0(<р), при которой существует частное решение уравнения (С), удовлетворяющее заданным ограничениям.

Для решения задачи поиска виртуальной связи рассматривается частное решение уравнения (6)

У(Ф) = Ф2 М =

_2ехр I.

а (в [т), в' (ш))

Г^(еы,е'М,е"М), I 7(в(д)) т

а(в(и>),&(10)) ( а(в(з),Э'{з)) '

Рассматриваются ограничения на функции а, /3,7, при которых будет существовать ограниченная периодическая траектория уравнения (6), удовлетворяющая граничным условиям (4) и ограничениям (2), (3). Показано, что при определенных свойствах матриц М, С, б задача поиска виртуальных связей может быть сведена к решению уравнения

N

= (8) 1=0

где

<Ро + 91 = 2—-

На основании проведённых исследований предложен алгоритм поиска виртуальной связи, позволяющий решить задачу планирования траекторий 1.

В третьей главе предложен метод стабилизации траекторий неполнопри-водных механических систем. Для реализации найденной траектории движения необходима разработка стабилизирующего регулятора, который должен обеспечивать слежение за заданной траекторией и гарантировать робастные свойства по отношению к возмущениям, возникающих в системе. Возмущения могут быть вызваны внешними воздействиями на объект управления, неточностью измерительных приборов. Они могут возникать по причине наличия неучтённой динамики в объекте управления, датчиках, двигателе; по причине параметрической неопределённости объекта управления.

В задачах траекторного управления при анализе устойчивости движения динамической системы, как правило, рассматривается орбитальная устойчивость й-

Задача орбитальной стабилизации применительно к механическим системам сформулирована следующим образом.

Задача 2. Для динамической системы вида

М(д)<1 + С(д,д)д + С(д) = В(Я)т (9)

задана реализуемая траектория движения

Необходимо синтезировать такое управляющее воздействие

т(х,х*,1), (10)

что траектория х*(Ь) замкнутой динамической системы (9), (10) будет орби-тальпо асимптотически устойчивой [2].

Применительно к методу виртуальных голономных связей задача орбитальной стабилизации сводится к стабилизации виртуальной связи и найденной траектории {<р*(^), ф*{Ь)) динамической системы (6). Для этого вводятся новые координаты:

у = д — б1..п_1(^), у € Е"-1 - отклонение от виртуальной связи

и <р - отклонение от траектории. Исходная система (5) записывается в новых координатах, производится линеаризация обратной связью по координатам у. В результате, как показано в работе [10], система (5) может быть представлена в виде

у = и,

а(1р)<р + /3 (ср) ф2 + 7 (<£>) = 9и (у, <р)и+9у (У, ф)У + 9у (у, <Р, У, Ф) У- (И)

где

и = ■ЙГ1..п-1,1..7»-1Т' — йх - виртуальный закон управления. В диссертационной работе изучены свойства фазовых траекторий уравнения

а{<р)ф + Р{<Р)Ф2 + 7 (¥>) = / (12)

при различных функциях /. Для этого вводится функция I как мера отклонения от заданной траектории (см. рис. 2):

1{!Р,Ф,Ч>%Ф1 = &(Ч>)-Ф'(.Ч>)- (13)

Рис. 2. Отклонение от траектории.

Далее показано, что если правая часть уравнения (12) задана в виде / = (/3 (<р) - кгф) I (#>, Ф, ч>\ Ф*), к! Є (О, К),

где К - некоторая положительная константа, то траектория ((¿>*(£), ф*(Ь)) является устойчивым предельным циклом.

На основании проведённого анализа предлагается закон управления следующего вида:

и =-куу - куу + —^-1{<р,ф,ір*,ф*), (14)

9и \Уі ф)

где коэффициенты к выбираются из условия устойчивости линеаризованной вдоль траектории системы.

Предложенный закон управления в отличие от известного метода стабилизации [10] позволяет построить регулятор с постоянными, не зависящими от времени коэффициентами к.

В четвёртой главе диссертационной работы рассмотрен пример управления шестиногим шагающим роботом. При некоторых допущениях, как было показано, задача управления неполноприводной механической системой может быть сведена к управлению полноприводной механической системой. В данной главе приводится краткое описание кинематических уравнений шестиногого шагающего робота. Предложен новый подход к решению задачи управления движением робота. Синтезированный в настоящей главе закон управления не требует информации о значениях компонент тензора инерции робота. Полученный регулятор обеспечивает асимптотическую устойчивость замкнутой системы. Для иллюстрации работы алгоритма управления в диссертационной работе представлены результаты численного моделирования.

\

Рис. 3. Преобразование координат

Рассмотрим упрощённую динамическую модель шестиногого робота. Предполагаем, что значения моментов инерции и массы ног робота пренебрежимо малы. Таким образом, мы можем использовать уравнения движения твёрдого тела для описания движения робота. Прежде всего, нам необходимо выразить моменты сил /у, приложенные к шарнирам ног, как функции равнодействующей силы и и равнодействующего момента т, приложенных к корпусу робота. Для этого запишем кинематические уравнения и применим метод виртуальных перемещений Д'Аламбера. Пусть координаты г-й ноги робота определены как функция обобщённых координат $ € ( <7;ъ <7;2, <7;з ) : г; = (<?;) (см. рис. 3). Явный вид данного соотношения может быть получен при помощи однородных преобразований [1].

Применяя принцип Д'Аламбера, получим выражение для равнодействующей силы и момента относительно системы координат робота:

7=1

где /у - момент силы, приложенный к j-мy звену г-й ноги робота; щ - сила, приложенная к г-й ноге робота в системе координат робота.

Подставляя выражения для вариации координат, получим:

Учитывая, что принцип Д'Аламбера справедлив для любых малых вариаций <5<7у,

з

получим следующее соотношение:

Т-(п \ — ( дк^

V 9<Ь> ' ' 3 )

/г = ( /г'Ь /¡2, /гЗ )

^ Ы Щ = -/;

Выражаем приложенный к г-й ноге момент:

т¡ = r¡xtí¡ = -/г; (<?;) х ТГ1 ($) /¿,

где знак х обозначает векторное произведение.

Равнодействующая сила и равнодействующий момент, приложенные к корпусу робота, представляют собой сумму сил:

б б

и = = (15)

1—1 ¡=1 о б

т = ^ п х щ = - ^ ь Ш х тг1 (®) Л- (16)

¿=1 1=1

Выражение (15) представляет собой систему из 6 линейных алгебраических уравнений с 18-ю неизвестными /у. Чтобы система имела единственное решение необходимо наложить дополнительные ограничения. Если при ходьбе робота в каждый момент времени 3 ноги опираются на поверхность и точки соприкосновения с поверхностью не лежат на одной прямой, то (15) имеет единственное решение. При некоторых типах ходьбы уравнение (15) может не иметь решений. В этом случае система представляет собой неполноприводную механическую систему.

В зависимости от количества уравнений связи задача управления роботом может сводиться к задаче управления полноприводной, сверхприводной, или нсполноприводной системой. Рассмотрим случай, при котором уравнение (15) имеет единственное решение. В этом случае задача управления роботом может быть сведена к задаче управления ориентацией и линейной скоростью твёрдого тела в пространстве, к которому приложена сила и и момент т.

Пусть задана система координат АЕ с началом в точке А и ортами е\, ез; неподвижная система координат О! с началом в точке О и ортами г^. г2, ¿3. Точка А совпадает с центром инерции робота. Вектор г определяет координаты А в системе 01. Желаемая ориентация робота задана системой координат

АК с началом в точке А и ортами Ь,к2, /.'з- Система координат А1 вводится аналогичным образом.

Ориентация АЕ относительно А1 задана нормализованным кватернионом Ф; ориентация АК относительно А1 - кватернионом Ф. Скорость точки А в 01 обозначим V = г. Необходимо, чтобы ориентация робота АЕ сходилась к желаемой ориентации АI и скорость движения V = г сходилась к скорости г^е5.

Движение робота может быть описано следующей системой дифференциальных уравнений

тто = —ф о«оф + т(3

< Зи> = —ш х Зи> + т (17)

ф = 1ф о ш

где г 6 Е3х1 - момент, развиваемый ногами робота в системе координат АЕ, 3 е М3х3 - тензор инерции робота в АЕ (в силу того, что моменты инерции ног робота малы, 3 рассматриваем как константу), V - скорость центра масс робота в 01, и сила, развиваемая ногами робота, задана в АЕ, т - масса робота, С = (0,0,д) - вектор ускорения свободного падения.

В диссертационной работе предлагается закон управления

т = -к\ (аса! ^ФоФ^ уесЛ ^Фоф|- к2и>, и = ткз Ф о (у- ьЛее) о Ф + тФ о (? о Ф, (18)

где кг, к2, к3 > 0 и функция sgn (ж) определена как:

3§пИ=(1' (19)

х < О

и доказывается асимптотическая устойчивость замкнутой системы (18), (17).

Закон управления (18) интересен тем, что не зависит от матрицы инерции 3. Это существенно упрощает его реализацию и расширяет область практического применения.

В пятой главе главе представлено решение задачи управления робото-технической системой "Бабочка". Эта задача была сформулирована 1998 году в работе [8] и до настоящего времени не имела законченного решения. Робот "Бабочка" был разработан для изучения проблемы динамической манипуляции [8] и для тестирования различных методов управления неполноприводными механическими системами. Задача динамической манипуляции в последнее время активно

(а). Установка

Рис. 4. РоГкгг

(в). Система технического зрения

"БлОочкв"

изучается многими исследователями, подробный обзор различных подходов к со решению приволен п работе |С|.

Задача усложнена наличием системы технического зрения, предназначен ной для измерения обобщённых координат и скоростей. Система технического зрения вносит существенные возмущения и задержки в канал изме|>ений и требует разработки робастной к подобным воздействиям системы управления.

При планн|к>вании траекторий робота "Бабочка" рассмотрены различные подходы, в том числе, результат, представленный во второй главе данной диссертационной работы. Так же внимание уделено исследованию кусочно-гладких виртуальных голономных связей.

Робот "Бабочки" (см. рис. 4) состоит из обода в форме бабочки (далее: диск) с моментом инерции 7,/,,» и шарика массы т. Предполагается, что шарик может быть ¡>ассмот|>он как материальная точка, скользящая безотрывно по диску (такие модельные приближения были предложены в работе |8|, которые в дальнейшем будут пересмотрены). Обод приводится в движение электрическим двигателем, развивающим момент силы т.

Робот представляет механическую систему, которая в силу приведённых выше допущений может быть описана вектором обобщённых координат— (1?, ¿)т. где О угол поворота диска относительно нсподпижноА гортонтлльной оси н ^ угол, определяющий положение шарика в системе координат, связанной с ободом (см. рис. 5. а).

Как показано в работе [8. 9|. динамика данной механической системы может

(а). Обобщённые координаты (б). Положение ратюпесня

1'мс. 5. Схематическое обозначение робота "Бабочка"

быть описана следующей системой дифференциальных уравнений:

М(Я)Ч + С(Ч,Ч)Ч + С(Ч)=(ТА (20)

где М(ч) матрица инерции, С(д,ф) - кориолисова матрица. С(д) вектор силы тяжести:

( ¿і + Лш -¿2 \

М(ч) = т{ б2 + б"2 ) '

СМ-«*( *>. Н^2^)),

( \ (?) = п*(^8іп (*-„) + 6' )■

Здесь введены следующие обозначения: 6 = 6 (<,?) расстояние от оси вращения диска до точки соприкосновения диска и шарика, 6' = ^¡У и 6" = его

производные по угловой координате.

В диссертационной работе решены следующие задачи управления роботом:

Задача 3. Необходимо найти такое задакпцес входное воздействие т = т(1), при котором механическая система начинает движение из точки цд = (0,0)т и достигает неустойчивого положение равновесия дц = (0, ^|огус|)г (см. рис. 5, б).

Задача 4. Необходимо найти такое задающее входное воздействие т = т(1), при котором механическая система совершает периодические движения, проходя через точки — (0,0)г и </о = с нулевой скоростью.

Для анализа безотрывного скольжения шарика записываются уравнения Лагрянжа первого рода и вычисляется сила реакции связи между шариком и диском. Для этого вводится дополнительная степень свободы г - полярная координата шарика и уравнение связи

f = 6(<p)-r = 0. Условие безотрывного скольжения шарика записано в виде

т (д"ф2 + 5'ф) -тб (ф-¿У + тд cos (<р-д) = (21)

\(д,д,т)<0. (22)

Как показано в диссертационной работе, для решения задачи 3 достаточно выбрать линейную виртуальную связь вида

Э (if) = 7?target + k (ip - ftarget) ■ (23)

Динамика рассматриваемой системы вдоль виртуальной голономной связи (23) описывается уравнением:

а(ч>)ф + /3(р)ф2 + т(<р) = 0, (24)

где коэффициенты могут быть вычислены подстановкой соотношения (23) во второе уравнение системы (20):

а = —m<520' + т(52 + 5'2),

/3 = -т52в" - тб'бе12 + т (5'6" + 6'6),

7 = тд5' cos (<р — 9) — тд5 sin (ip — 0). Чтобы уравнение (24) не меняло порядок, необходимо наложить ограничение a (ip) yé 0\/(р е К, или

e'M^l + J. (25)

Для поиска траектории, удовлетворяющей условиям задачи 3, проведён анализ фазового портрета уравнения (24) (см. рис. 6, а). Показано, что существуют такие коэффициенты виртуальной связи (23), при которых уравнение (24) имеет периодические решения, удовлетворяющие условиям поставленной задачи. Доказано, что движение шарика вдоль найденных траекторий является безотрывным, удовлетворяет условию (22) (см. рис. 6, б).

(а). ф&юный портрет

(б), сила реакции сними

Рис. 6. Шаимроиаиио траектории робота

Для решения задачи 4 линейная виртуальная связь но подходит, так как не удастся одновременно удовлетворить ограничению (25) и условиям на Гранине чл = (0.0)т, чв = (т, *)т. В связи с этим рассмотрен случай кусочно-гладкой голономной связи и некоторые п|х)6лемм. возникающие при использовании негладких функций.

При дальнейших теоретических и экспериментальных исследованиях выяснилось. что выбранные в работе |8| модельные приближения не описывают достаточно точно реальные процессы. В частности, кинетическая энергия вращательного движения шарика имеет тот же порядок, что и кинетическая энергия поступательного движения, и что вращательным движением пренебрегать нельзя.

Модельные приближения были пересмотрены. Была рассмотрена модель, в которой шарик катится по поверхности диска без проскальзывания. Были получены следующие уравнения движения робота "Бабочка" учитывающие вращение шарика:

(20)

где матрицы А/, С и С определены в (27), (28), (29).

(27)

С (я, д) = тб' (

2 6ф -2бф -6д (Т+1)(<$ + *")^

(28)

Г(п\ ди тп( ¿sin^-í?) N т)

= ~dq ~ тЯ { 6'casiv - á) - Ssin (*-*))' (29)

где введены обозначения

т _ Jmi

JhaU момент инерции шарика. R расстояние от оси вращения шарика до точки соприкосновения с диском.

Аналогичным образом вычислена сила реакции связи между шариком и диском

- j^-6<p2+mg cas =(30)

Как несложно убедиться, уравнения (26) совпадают с уравнениями (20) в случае Jbaii = 0, Т = 0.

Для полученных уравнений движения (2G) была решена задача поиска виртуальной голономной связи методом, предложенным во второй главе диссертационной работы. В этом случае виртуальная связь задаётся как решение уравнения

•7 (<р) = mgó'сов (¡р - 0) - mgi sin (ip - в) = mgf,

где функция

/ = /(V>) = *(v?-f) (V-POHV-I + PO).

Одно из решений этого уравнения (в случае функции /. допускающей существование такого решения в рассматриваемой области <р € [у>ь^г])

6 (v) = V? - arctan (-fS + 6'y/S* - P + 6*.fó' + 6^6* - /2 + ¿г) . (31)

На рисунке 7 изображены фазовые траектории при различных коэффициентах виртуальной связи к функции /. Легко видеть, что варьируя к. можно получить различные виртуальные связи, обеспечивающие различные скорости на траектории. На рисунке 8. а представлен фазовыи портрет с эелСноП областью, обозначающей допустимые состояния системы (А < 0) и красной области отрыва шарика от поверхности диска (Л < 0). На рисунке 8. б представлено значение множителя Лагранжа А как функции координаты <р и скорости ф. Несложно убедиться, что фазовая траектория при к = 0,001 удовлетворяет всем условиям задачи 4.

(в), фазовый портрет (б), сила реакции силш

Рис. 8. Планирование 1расктории робота

График виртуальной связи в(у?) изображен на рисунке 9, а. Условие а = О означает пересечение графиков функций в'(^) и в,,дно из рисунка

9, б, условие о ф 0 на всём рассматриваемом промежутке выполняется.

Для спланированных траекторий были построены стабилизирующие регуляторы. основанные на результатах второй главы диссертационной работы. Представлены результаты компьютерного модсли1>ования и результаты проведённых на лабораторной установке 4 экспериментальных исследований.

Заключение

В диссертационной работе решены следующие задачи:

1. Разработан метод планирования траекторий неполноприводных робототех-нических систем с одной пассивной степенью свободы, основанный на ме-

' <Р ' ' — хда"

(а). Виртуальная сияіь в(^г) (Л). Производная ниртуалі.-

ІІПЙ связи в'(^)

Рис- 9. Виртуальная сняіь 7(в. ір) =

тодс виртуальных голономных связей. Предложена процедура для поиска виртуальных связей, обеспечивающих существование траекторий, удовло-творяющих наперёд заданным ограничениям на скорости и координаты.

2. Разработан алгоритм синтеза стабилизирующего регулятора, обеспечивающего орбитальную устойчивость заданной траектории для неполнопривод-ных механических систем. Предложенный алгоритм не сопряжён с большими вычислительными сложностями, подходит для стабилизации систем с одной пассивной степенью свободы.

3. Решена задача управления робототехнической системой "Бабочка". Рассмотрена задача планирования траекторий для различных граничных условий и ограничений на скорости движения. Изучены различные методы задания виртуальных связей. Построены стабилизирующие ртгуляторы. обеспечивающие орбитальную устойчивость для найденных траекторий движения. Проведено численное моделирование и экспериментальные исследования на реальной лабораторной установке.

4. Решена задача стабилизации управления шестиногим шагающим роботом при наличии параметри ческой неопределённости. Построен стабилизирующий регулятор, обеспечивающий асимптотическую устойчивость замкнутой системы. П|х>ведеио численное моделирование поведения объекта управления для полученного закона управления.

Публикации по теме диссертации

1. Bobtsov A., Kolyubin S., Pyrkin A., Shavetov V., Chepinskiy S., Kapitanyuk Y., Kapitonov A., Bardov V., Titov A., Surov M., Using of LEGO Mindstorms NXT Technology for Teaching of Basics of Adaptive Control Theory // 18th IFAC World Congress. Milan. Italy. 2011.

2. Surov M., Pyrkin A., Bobtsov A., Attitude Control of the Spacecraft with Unknown Inertia Tensor // IEEE Multi-Conference on Systems and Control. Dubrovnik. Croatia. 2012.

3. Surov M., Pyrkin A., Bobtsov A., Motion control of the six-legged walking robot with unknown inertia matrix // IFAC Conference on Manufacturing Modelling, Management, and Control, 2013, St.-Petersburg, Russia.

4. Pyrkin A., Bobtsov A., Kolyubin S., Surov M., Vedyakov A., Vlasov S., Feskov A., Krasnov A., Borisov O., Gromov V., Dynamic Positioning System for Nonlinear MIMO Plants and Surface Robotic Vessel // IFAC Conference on Manufacturing Modelling, Management, and Control, 2013, St.-Petersburg, Russia.

5. Pyrkin A., Bobtsov A., Kolyubin S., Surov M., Shavetov S., Borisov O., Gromov V., Simple Output Stabilization Approach for Robotic Systems // IFAC Conference on Manufacturing Modelling, Management, and Control, 2013, St.-Petersburg, Russia.

6. Пыркин A.A., Мальцева T.A., Лабадин Д.В., Суров M.О., Бобцов А.А., Синтез системы управления квадрокоптером с использованием упрощенной математической модели // Изв. ВУЗов. Приборостр. 2013. № 4. С. 47-51.

7. Бобцов А.А., Пыркин А.А., Суров М.О., Управление ориентацией летательного аппарата с неизвестным тензором инерции // Мехатроника, Автоматизация, Управление. 2013. № 3. С. 65-70.

8. М.В. Фаронов, А.А. Пыркин, И.Б. Фуртат, С.А. Колюбин, М.О. Суров, А.А. Ведяков Робастное управление мобильными роботами с использованием технического зрения // Изв. ВУЗов. Приборостр. 2012. № 12. С. 63-65.

9. Суров М.О., Пыркин А.А., Бобцов А.А. «Программа для управления роботом-бабочкой «Butterfly controller»», Компьютерная программа для ЭВМ. Заявка № 2013611597 от 07.03.2013.

10. Суров М.О. "Управление неполноприводными системами на примере робо-тотехничсской системы "Бабочка" Четвертая Традиционная Всероссийская молодежная летняя школа (IV ТМШ) «Управление, информация и оптимизация», 2012

Список использованных источников

1. R. К. Mittal, I. J. Nagrath. Robotics And Control Tata McGraw-Hill Education, 2003.

2. H.K. Khalil. Nonlinear Systems, Prentice Hall.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. 1988.

4. Козлов В.В. Трещсв Д.В., Биллиарды. Издательство МГУ 1991.

5. M.W. Spong, "Underactuated mechanical systems,"in В. Siciliano & К. Valavanis (Eds.), Control Problems in Robotics and Automation. Vol. 230 of Lecture Notes in Control and Inf. Sci., London, UK: Springer-Verlag.

G. A. Bicchi, V. Kumar, "Robotic Grasping and Contact: A Review Robotics and Automation, 2000. Proceedings. ICRA '00. IEEE International Conference.

7. M.W. Spong, "Energy based control of a class of underactuated mechanical systems"

8. M. Lynch, N. Shiroma, H. Arai, K. Tanie, "The roles of shape and motion on dynamic manipulation: the butterfly example," in Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation, 1998.

9. M. Cefalo, L. Lanari, G. Oriolo, "Energy-based control of the butterfly robot," in Proceedings of 8th International IFAC Symposium on Robot Control, 2006.

10. A. S. Shiriaev, J. W. Perram, C. Canudas-de-Wit, "Constructive Tool for Orbital Stabilization of Underactuatcd Nonlinear Systems: Virtual Constraints Approach,"IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 50, no. 8, pp. 1164-1176, 2005.

11. A. Astolfi, D. Karagiannis, R. Ortega, "Nonlinear and Adaptive Control with Applications", Springer. 2005.

Подписано в печать 25.09.13 Формат 60х84'/і6 Цифровая Печ. л. 1.0 Тираж 100_Заказ 20/09_печать_

Отпечатано в типографии «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики

На правах рукописи

Планирование и стабилизация траекторий неполноприводных динамических систем

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

(в технических системах)

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель кандидат технических наук Пыркин Антон Александрович

Санкт-Петербург - 2013

Содержание

Введение ................................... 4

Глава 1. Обзор методов управления неполноприводными механическими системами.........................13

Глава 2. Планирование траекторий неполноприврдных робото-технических систем...........................17

2.1. Введение...............................17

2.2. Постановка задачи..........................17

2.3. Метод виртуальных голономных связей..............21

2.4. Заключение..............................28

Глава 3. Стабилизация траекторий неполноприврдных механических систем..............................29

3.1. Введение...............................29

3.2. Постановка задачи орбитальной стабилизации..........30

3.3. Разработка стабилизирующего регулятора............32

3.4. Заключение..............................40

Глава 4. Управление движением шестиногого шагающего робота с неизвестным тензором инерции ..............41

4.1. Введение...............................41

4.2. Постановка задачи..........................43

4.3. Анализ существующих решений..................48

4.4. Синтез закона управления.....................49

4.5. Результаты компьютерного моделирования............52

4.6. Заключение..............................54

Глава 5. Задача управления роботом "Бабочка".........57

5.1. Введение...............................57

5.2. Постановка задачи..........................58

5.3. Планирование траекторий робота с использованием линейной виртуальной связи..........................62

5.4. Планирование траекторий робота с использованием кусочно-гладкой виртуальной связи.....................66

5.5. Исследование уравнений движения робота............69

5.6. Исследование виртуальных связей.................75

5.7. Синтез стабилизирующего регулятора...............80

5.8. Результаты компьютерного моделирования............82

5.9. Результаты экспериментальных исследований..........83

5.10. Заключение..............................83

Заключение..................................92

Слова благодарности............................94

Литература..................................95

Введение

Задача управления различными механическими системами в условиях параметрической неопределённости, непролноприводности, при наличии односторонних механических связей, ограничений на скорости движения является весьма актуальной и изучается многими авторами [59, 62, 65, 68]. Особый интерес так же представляет задача динамического манипулирования объектами, подробный обзор различных подходов к решению этой задачи представлен в работе [60]. При формализации подобные задачи зачастую очень схожи и сводятся к поиску траекторий динамических систем, обладающих определёнными свойствами и поиску закона управления, обеспечивающего устойчивость найденных траекторий. Такие динамические системы как правило могут быть описаны системой дифференциальных уравнений Лагранжа [55]. Специфические свойства Лагранжевых систем позволяют выработать общие подходы к управлению подобными системами.

Данная диссертационная работа посвящена изучению объектов управления, поведение которых может быть описано системой дифференциальных уравнений Лагранжа. Особое внимание уделено изучению неполноприводных механических систем [59], методам планирования траекторий и методом орбитальной стабилизации траекторий [42].

Неполноприводные механические системы согласно [59] - это такие системы, у которых количество управляющих сигналов меньше количества степеней свободы. Пассивные (неуправляемые) степени свободы могут возникать в результате различных факторов. В экспериментальных установках для академических исследований наличие пассивных степеней свободы является преднамеренным. Задача управления неполноприводными системами так же возникает при проектировании систем управления мобильными роботами, например, когда манипулятор закреплён на мобильную платформу, на

корпус космического летательного аппарата, или на подводного робота [56].

Полученные теоретические результаты были аппробированы в задаче управления робототехнической системой "Бабочка" [62]. Робот "Бабочка" был разработан с целью изучения задачи динамической манипуляции и для тестирования различных алгоритмов управления неполноприводными механическими системами. Задача интересна наличием односторонней голономной связи [57], которая приводит к существенным ограничениям на скорости движения объекта управления, что вносит дополнительные сложности в задачу планирования траекторий движения. Задача динамической манипуляции зачастую возникает в ситуациях, когда жёсткая фиксация объекта манипулирования невозможна (например, в силу его хрупкости). Как следствие, появляются дополнительные неуправляемые степени свободы, увеличивается порядок дифференциальных уравнений, описывающих поведение объекта управления. В этом случае стандартные подходы к управлению, такие как линеаризация обратной связью, как правило, не работают.

Близкие по сложности задачи возникают даже в классических (кинематических) подходах управления промышленными роботами-манипуляторами, если, например, потребовать оптимизации времени выполнения их рабочих циклов. Это влечет увеличение скорости движения звеньев робота, при которых их жесткость может быть недостаточна, чтобы игнорировать появление новых пассивных степеней свободы в динамике робота. Такие эффекты имеют место даже при незначительном увеличении скоростей звеньев. При этом, как известно, за исключением редких случаев, такая динамика уже не может быть приведена к эквивалентной линейной системе управления за счет обратной связи и замены координат, и как следствие задача планирования (суб-) оптимальных движений манипулятора и их робастная стабилизация становится чрезвычайно сложной и нерешенной проблемой. Естественно, что подобные сложности возникают при намеренном уменьшении жесткости зве-

ньев робота и уменьшении их масс для обеспечения безопасности работы робота в присутствии человека.

Кроме того, похожие теоретические проблемы возникают при решении задачи управления силой, что весьма актуально в современном промышленном производстве. Например, в задаче программного управления шлифовальным станком при обработке материала необходимо стабилизировать как определённую траекторию движения, так и силу взаимодействия рабочей поверхности с обрабатываемой деталью, что приводит к увеличению размерности объекта управления.

Таким образом, многие задачи управления промышленными роботами в конечном счёте сводятся к задаче траекторного управления неполнопривод-ными механическими системами и могут быть решены при помощи методов, предложенных в данной диссертационной работе.

Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка новых методов планирования траекторий и управления механическими системами при наличии параметрргческой неопределённости, неполноприводности. А так же проведение экспериментальных исследований полученных алгоритмов применительно к робототехнической системе "Бабочка".

В процессе достижения поставленной цели решены следующие задачи:

1. Разработан метод планирования траекторий неполноприводных робото-технических систем с одной пассивной степенью свободы, основанный на методе виртуальных голономных связей. Разработанный метод предлагает процедуру для поиска виртуальных связей, обеспечивающих существование траекторий, удовлетворяющих наперёд заданным ограничениям на скорости и координаты.

2. Предложен алгоритм синтеза стабилизирующего регулятора, обеспечивающего орбитальную устойчивость заданной траектории для неполно-приводных механических систем. Предложенный алгоритм не сопряжён с большими вычислительными сложностями, подходит для стабилизации систем с одной пассивной степенью свободы.

3. Решена задача управления робототехнической системой "Бабочка". Исследована задача планирования траекторий для различных граничных условий и ограничений на скорости движения. Изучены различные методы задания виртуальных связей. Построены стабилизирующие регуляторы, обеспечивающие орбитальную устойчивость для найденных траекторий движения. Проведено численное моделирование и эксперименты на реальной лабораторной установке.

4. Исследована задача стабилизации управления шестиногим шагающим роботом при наличии параметрической неопределённости. Простроен стабилизирующий регулятор, обеспечивающий асимптотическую устойчивость замкнутой системы. Проведено численное моделирование поведения объекта управления для полученного закона управления.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались метод функций Ляпунова, метод виртуальных голономных связей для планирования траекторий неполноприводных систем, метод построения стабилизирующих регуляторов для линейных нестационарных систем, различные методы классической механики, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории динамических систем, линейной алгебры, численных методов.

Экспериментальные результаты были получены с использованием современного программного обеспечения - пакетов МаШЬ и БтиНпк; техническо-

го оснащения - системы моделирования в реальном времени dSpace и робо-тотехнической установки "Бабочка", предоставленной университетом г. Умео (Швеция). В состав технических средств так же входила система технического зрения: видеокамера для быстрой съёмки Point Grey Flea 3; программное обеспечение, разработанное с использованием среды разработки Microsoft Visual Studio 2012.

Научная новизна. В рамках данной работы впервые, на сколько известно автору диссертационной работы, была решена задача управления ро-бототехнической системой "Бабочка", являвшейся нерешённой с 1998 года. На основании проведённых исследований с роботом "Бабочка" были разработаны универсальные алгоритмы поиска виртуальных связей для неполнопри-водных систем, позволяющие находить траектории движений, удовлетворяющие заданным критериям. Разработан класс стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих орбитальную устойчивость траектории неполноприводной механической системы. Разработанный регулятор в отличии от ранее изученных [65] не требует численного интегрирования систем дифференциальных уравнений высокой размерности.

Предложен стабилизирующий регулятор управления ориентацией и скоростью движения шестиногого шагающего робота, гарантирующий асимптотическую устойчивость заданной скорости и ориентации объекта управления при неизвестном тензоре инерции.

Практическая значимость. Практическая значимость полученных методов управления механическими системами обусловлена развитием промышленных робототехнических систем. Полученные методы могут быть полезны при проектировании алгоритмов управления станками с числовым программным управлением, шагающими роботами, летательными аппаратами и другими робототехническими устройствами.

На защиту выносятся следующие основные результаты и поло-

жения:

1. Метод поиска виртуальных связей для планирования траекторий непол-ноприводных робототехнических систем с одной пассивной степенью свободы.

2. Алгоритм синтеза стабилизирующего регулятора, обеспечивающего орбитальную устойчивость заданной траектории для неполноприводных механических систем.

3. Экспериментальные исследования полученных результатов в задаче управления робототехнической системой "Бабочка".

4. Стабилизирующий регулятор, обеспечивающий асимптотическую устойчивость заданной ориентации и скорости движения шестиногого шагающего робота с неизвестным тензором инерции.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

- Четвертая Традиционная Всероссийская молодежная летняя школа (IV ТМШ) «Управление, информация и оптимизация», 2012

- The 2012 IEEE Multi-Conference on Systems and Control, Dubrovnik, Croatia

- IFAC Conference of Manufacturing, Management and Control. Saint-Petersburg. Russia. 2013.

В 2011, 2012 и 2013 годах автор проходил стажировку в Университете Умео (Швеция) у профессора Антона Станославовича Ширяева и Леонида Борисовича Фрейдовича, известных своими работами в области управления робототехническими системами, занимаясь теоретическими и экспери-

ментальными исследованиями по управлению робототехнической системой "Бабочка".

Полученные в ходе научно-исследовательской работы алгоритмы управления были исследованы на робототехнической системе "Бабочка", изготовленной Университетом Умео (Швеция).

На разработанное программное обеспечение для системы управления роботом "Бабочка" был получен патент под номером 2013611597 от 07.03.2013.

Публикации. Автор диссертационной работы имеет 10 публикаций и свидетельство о регистрации патента на разработанную систему управления роботом "Бабочка".

1. Bobtsov A., Kolyubin S., Pyrkin A., Shavetov V., Chepinskiy S., Kapitanyuk Y., Kapitonov A., Bardov V., Titov A., Surov M., Using of LEGO Mindstorms NXT Technology for Teaching of Basics of Adaptive Control Theory // 18th IFAC World Congress. Milan. Italy. 2011.

2. Surov M., Pyrkin A., Bobtsov A., Attitude Control of the Spacecraft with Unknown Inertia Tensor // IEEE Multi-Conference on Systems and Control. Dubrovnik. Croatia. 2012.

3. Surov M., Pyrkin A., Bobtsov A., Motion control of the six-legged walking robot with unknown inertia matrix // IFAC Conference on Manufacturing Modelling, Management, and Control, 2013, St.-Petersburg, Russia.

4. Pyrkin A., Bobtsov A., Kolyubin S., Surov M., Vedyakov A., Vlasov S., Feskov A., Krasnov A., Borisov O., Gromov V., Dynamic Positioning System for Nonlinear MIMO Plants and Surface Robotic Vessel // IFAC Conference on Manufacturing Modelling, Management, and Control, 2013, St.-Petersburg, Russia.

5. Pyrkin A., Bobtsov A., Kolyubin S., Surov M., Shavetov S., Borisov O., Gromov V., Simple Output Stabilization Approach for Robotic Systems // IFAC Conference on Manufacturing Modelling, Management, and Control, 2013, St.-Petersburg, Russia.

6. Пыркин А.А., Мальцева T.A., Лабадин Д.В., Суров М.О., Бобцов А.А., Синтез системы управления квадрокоптером с использованием упрощенной математической модели // Изв. ВУЗов. Приборостр. 2013. № 4. С. 47-51.

7. Бобцов А.А., Пыркин А.А., Суров М.О., Управление ориентацией летательного аппарата с неизвестным тензором инерции // Мехатроника, Автоматизация, Управление. 2013. № 3. С. 65-70.

8. М.В. Фаронов, А.А. Пыркин, И.Б. Фуртат, С.А. Колюбин, М.О. Суров, А.А. Ведяков Робастное управление мобильными роботами с использованием технического зрения // Изв. ВУЗов. Приборостр. 2012. № 12. С. 63-65.

9. Суров М.О., Пыркин А.А., Бобцов А.А. «Программа для управления роботом-бабочкой «Butterfly controller»», Компьютерная программа для ЭВМ. Заявка № 2013611597 от 07.03.2013.

10. Суров М.О. "Управление неполноприводными системами на примере робототехнической системы "Бабочка" Четвертая Традиционная Всероссийская молодежная летняя школа (IV ТМШ) «Управление, информация и оптимизация», 2012

Личный вклад автора Автором диссертационной работы были проведены теоретические и экспериментальные исследования в задачах планирования и стабилизации траекторний неполноприводных механических систем.

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы.

Глава 1

Обзор методов управления неполноприводными механическими системами

В данной главе диссертационной работы приведён краткий обзор методов управления неполнопиводными механическими системами. Рассмотрены основные недостатки этих методов.

Задача управления робототехническими системами исследуется многими авторами [1-23]. В том числе большое внимание уделено задаче управления шагающими роботами [8, 16, 25, 27, 71], задаче траекторного управления [2, 4-7, 17], предложены различные методы задания траектории движения и её стабилизации.

В задаче стабилизации траекторий движения неполноприводных систем наиболее популярен метод управления энергией системы [23, 61, 63, 68]. Пусть объект управления описывается системой дифференциальных уравнений порядка 2 п

<7 = /(<7,<7,т), (1.1)

где д - вектор обобщённых координат. Суть метода управления энергий заключается в следующем. Рассматривается множество траекторий, для которых полная механическая энергия рассматриваемой системы

Е(х) = Е0

(х е Ш2п - вектор состояния, составленный, например, из обобщённых координат и скоростей хт = (дт, с[Т) механической системы) является постоянной величиной. На этом множестве выбирается единственная, удовлетворяющая

критерию

ф{х) = О, ф : К2п Ж211'1

траектория. В этом случае задача управления неполноприводной системой сводится к поиску такого управляющего входного воздействия г(х), для которого замкнутая система (1) обладает следующими свойствами:

Е -»■ Е0, ф^ О

(см. подробнее [63]). Если в координатах Е и ф система (1) является глобально асимптотически устойчивой, то любая траектория рассматриваемой динамической системы в конечном счёте сойдётся к желаемой траектории.

Существуют различные методы построения регулятора для системы в координатах Е и ф. Известны работы, в которых синтез регулятора производился при помощи метода функций Ляпунова [63]; методом скоростного градиента [