автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Расчет оптимальных режимов для некоторых нелинейных процессов в гидродинамике и микроэлектронике

На правах рукописи

Романенков Александр Михайлович

Расчет оптимальных режимов для некоторых нелинейных процессов в гидродинамике и микроэлектронике.

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2013

005544940

005544940

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и

Официальные оппоненты:

информационные технологии» ФГБОУ ВПО «МАТИ - Российского государственного технологического университета имени К. Э. Циолковского»

Научный руководитель Заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Муравей Леонид Андреевич Потапов Михаил Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова Асланов Сергей Жамболатович, кандидат технических наук, старший специалист ООО «Дойчебанк»

ФГБОУ ВПО Московский Государственный Университет тонкой химической технологии имени М. В. Ломоносова

Ведущая организация:

Защита состоится 26 декабря 2013 года в 16.00 на заседании диссертационного совета Д 212.110.08 при «МАТИ - Российском государственном технологическом университете имени К. Э. Циолковского» по адресу: 121552, г. Москва, ул. Оршанская, д. 3, 612А Автореферат разослан 25 ноября 2013 г.

Ученый секретарь , Спыну Марина Валерьевна

диссертационного /' '

совета Д 212.110.08 кандидат / _ / физико-математических наук ' - "

Общая характеристика диссертации.

Диссертационная работа посвящена разработке численных методов оптимального управления в задачах, связанных с гашением колебаний жидкости со свободной поверхностью, а также минимизации ухода геометрических размеров вытравливаемых элементов в технологическом процессе ионно-лучевого травления

В работе рассматриваются две нелинейные задачи оптимального управления. Первая задача посвящена гашению колебаний слабо возмущенной свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Необходимость гашения колебаний жидкости возникает во многих задачах, связанных с движением космических аппаратов, перевозками жидкого топлива и др.

Вторая задача посвящена построению оптимального управления процессом ионно-лучевого травления, который является одним из этапов изготовления интегральных схем субмикронных размеров. Рассматриваемый процесс описывается существенно нелинейным гиперболическим уравнением.

Актуальность работы

В диссертационной работе основное внимание сосредоточено на построении численных методов расчета оптимального уравнения, которые основаны на применении принципа максимума Л.С. Понтрягина. Стоит отметить, что методы построения оптимальных режимов в значительной степени развиты для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для процессов, которые описываются уравнениями в частных производных, возникают значительные

трудности при поиске оптимального управления. Только для некоторого класса задач можно установить принцип максимума. Основные результаты в теории оптимального управления принадлежат Л. С. Понтрягину, Н. Н. Моисееву, В. Г. Болтянскому, Р. В. Гамкрелидзе.

Цель работы.

Цель диссертации - разработка численных методов расчета оптимального управления для некоторых нелинейных трехмерных уравнений в частных производных, которые представляют собой математические модели процессов колебания жидкости со свободной поверхностью и ионно-лучевого травления.

Научная новизна.

Развиты методы расчета оптимального управления, основанные на применении принципа максимума Л. С. Понтрягина. С этой целью установлен принцип максимума в форме Л. С. Понтрягина для обеих рассматриваемых в диссертационной работе задач.

Задача гашения колебаний жидкости со свободной поверхностью в трехмерном сосуде сведена к решению задачи Коши для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, анализ которой позволяет установить ряд механических эффектов, связанных с эффективностью оптимального управления.

Математическая модель процесса ионно-лучевого представляет существенно нелинейное уравнение гиперболического типа. Управляющая функция, а именно, угол падения ионного луча, зависит от времени, и, таким образом, задача оптимального управления становится задачей с нефиксированным временем. При установлении принципа максимума вместо независимой переменной времени, рассматривается

монотонная функция - глубина протравливаемого элемента, что позволило поставить задачу оптимального управления как задачу с фиксированным временем. На основе применения сингулярных вариаций было установлено, что нет необходимости решать возникающую систему сопряженных уравнений.

Практическая значимость.

В диссертационной работе разработан математический аппарат применительно к модельным задачам и комплекс расчётных программ, позволяющий рассчитывать оптимальные режимы соответствующих нелинейных процессов. Разработанные программы позволяют проводить расчеты для широкого класса различных параметров, краевых и начальных условий обеих задач. Построены многочисленные графики и проведен анализ эффективности оптимального управления.

Кроме того, получены результаты, которые дают возможность делать выводы о свойствах и возможностях оптимального управления. Так, например, симметричные колебания невозможно погасить, применяя лишь воздействия по осям х и у; управления в уравнения для определения коэффициентов потенциала поля скоростей входят линейно и другие утверждения, которые установлены в диссертации.

Полученные результаты расчётов в задаче моделирования процесса ионно-лучевого травления показывают высокую эффективность оптимального управления процессом. В связи с этим можно рекомендовать фирмам, производящим технологические установки, предусматривать возможность управления, способом, рассмотренным в диссертации.

В целом можно заключить, что разработанные в диссертации методы решения задач оптимального управления могут найти применение в разных областях техники, связанных с авиацией, космическими исследованиями, в микроэлектронике и других сферах деятельности человека. Результаты диссертации, посвященные установлению принципа максимума Л. С. Понтрягина, используются в учебном курсе «Дополнительные главы прикладной математики» в ФГБОУ ВПО «МАТИ - Российского государственного технологического университета имени К. Э. Циолковского» при обучении магистров по направлению «Прикладная математика и информатика».

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях: Conference on Mathematics for Industry, San Francisco, USA, 2009; Международный авиационно-космический салон «МАКС-2009» «Современные наноматериалы и технологии их обработки», 2009; 1062nd AMS MEETING, Syracuse University, Syracuse, New York, 2010; III International conference on optimization methods and applications (OPTIMA-2012). Costa da Caparica, Portugal, 2012; International conference on optimization methods and applications (OPTIMA -2013), 2013.

На международных молодежных научных конференциях Гагаринские чтения №№ XXXIV, XXXV, XXXVI, XXXVII, XXXIX.

Личный вклад автора.

Автор принимал участие во всех этапах работы: в постановке задачи и цели исследования, в разработке теоретических методов при

выполнении основной части работы, в анализе полученных результатов, в разработке программных комплексов для сформулированных задач. Публикации.

По теме диссертации опубликовано 10 работ. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. Работа содержит 102 страницы машинописного текста, 21 рисунка, список литературы из 106 наименований.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Использование аппарата сингулярных вариаций для установления принципа максимума Л. С. Понтрягина в некоторых нелинейных задачах для уравнений в частных производных.

2. Метод приведения краевой задачи о движении жидкости со свободной поверхностью к задаче Коши для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Алгоритм автоматического составления нелинейной модельной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, на основе представления решения в виде обобщенного ряда Фурье.

4. Итерационный метод расчета оптимального управления на основе принципа максимума.

5. Установлены факты, связанные со свойствами возможных оптимальных режимов в задаче о гашении колебаний свободной поверхности.

6. Разработана трехмерная математическая модель процесса ионно-лучевого травления с возможностью управления данным процессом.

7. Установлен принцип максимума, для задачи ионно-лучевого травления, позволяющий в данной задаче рассчитать оптимальное управление без решения сопряженной системы, что в значительной мере ускоряет процесс вычисления. Краткое содержание диссертации.

Во введении изложены цели, актуальность диссертационной работы, сформулированы задачи, показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе проведен анализ слабо возмущённого движения идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в ограниченном трехмерном пространстве. В предположении, что свободная поверхность жидкости мало отклоняется от равновесной, граничные условия снесены на равновесную поверхность. Решение задачи представлено в виде обобщенного ряда Фурье, коэффициентами которого являются неизвестные функции времени. Для определения этих коэффициентов сформулирована задача Коши, которая решена методом последовательных приближений. Поставлена задача оптимального управления с терминальным функционалом. С использованием формализма Гамильтона — Понтрягина получено численное решение задачи с ограничениями на управление типа неравенств.

Необходимо найти потенциал поля скоростей cp(x,y,z,t) идеальной несжимаемой жидкости, ограниченной сосудом кубической формы, удовлетворяющий уравнению Лапласа в области

а>: {(ж, у, z): 0 < ж, у < 1,0 < z < /(ж, у, 01-

(где /(ж, у, t) — форма свободной поверхности жидкости) с граничными условиями Неймана на границах области и двумя нелинейными условиями на свободной поверхности. Стоит отметить, что область, в которой справедливо уравнения Лапласа, не является стационарной, а в такой области решение не существует.

Предполагается, что колебания жидкости слабо возмущены и, что свободная поверхность мало отклоняется от положения равновесия. Это предположение позволяет перенести граничное условие со свободной поверхности на равновесную (z = 1). Тогда

На свободной поверхности выполняются два нелинейных условия: чисто кинематическое

отражающее тот факт, что частица жидкости, попав на свободную поверхность, навсегда остается на ней, и динамическое, являющиеся следствием уравнения движения Эйлера:

дср\

df df д<р df д<р дер dt dx dx dy dy dz

(2)

dtp 1Э2

dt

Применив метод Фурье потенциал поля скоростей можно представить двойным рядом Фурье:

аз со

(р(х,у, z, t) = ^ ^ Рпк (t)ch (пу]п2 + k2z) cos 7гпх cos лку (4)

п=0к=0

Функцию, выражающую форму свободной поверхности, тоже разложим в ряд Фурье по косинусам:

00 оэ

fix, у, t) = 1 + ^ ^ qnk (t) cos лпх cos пку (5) п=оfc=o

Будем воздействовать на сосуд с колеблющейся жидкостью ограниченной переменной силой, которую назовем управлением

2(0 = {ux(t),uy(t),u2(t)} где ux(t),uy(t),uz(t) — компоненты силы по соответствующим осям координат, причем

"min ^ Ux(f),Uy(t),Uz(t) <

Введенное воздействие приведет к изменению уравнения (3): дер i?2

где Ф'(0 = ((. 0,0,g~) + u(t),s(t)> — потенциальная энергия, s(t) =

t) — 1}; (у) —стандартное скалярное произведение в IR3.

Окончательно получим динамическое условие с учетом воздействия:

dtp ß2 ,

+ у + "x(0* + uy(t)y + (5 + u2(t))(f - 1)= 0 (6)

Будем рассматривать задачу (1), (2), (6). Очевидно, что изменяя ux(t),uy(t),uz(t), будем получать различные решения задачи. По теореме о непрерывной зависимости системы обыкновенных

дифференциальных уравнений от начальных данных и правой части решение непрерывно зависит от и(£).

Рассмотрим функционал характеризующий интенсивность колебаний:

00

7(Й(0)= £ + 4^,3(0)) (7)

п2+к2>1

Необходимо подобрать 2(0 таким образом, чтобы функционал (7) был минимальным в момент времени Т, то есть ДЛ =У(м(Г)) -» гшп

В данной главе доказан ряд утверждений, посвященных структуре оптимального управления.

Управления не входят в кинематическое условие (2) (оно остается неизменным). Управления в уравнения для определения коэффициентов потенциала поля скоростей входят линейно.

Симметричные колебания невозможно погасить, применяя лишь воздействия по осям х и у. Ассиметричные колебания можно погасить, используя все компоненты вектора управлений.

Вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений для определения неизвестных коэффициентов (4) и (5) позволяет установить некоторые механические факты, связанные с движением жидкости. В главе 1 рассмотрен пример системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которую можно получить, взяв первые члены из разложений (4) и (5), которые удовлетворяют условию тах(п, к) < 2. При анализе полученной системы замечены следующие факты.

Если изначально возбуждены ассиметричные колебания, то с течением времени будут возбуждены и симметричные. Более того, если

в начальный момент времени возмущена любая ассиметричная гармоника, то с течением времени будут возмущены другие ассиметричные, а также симметричные гармоники.

Если изначально возбуждены только симметричные гармоники, то ассиметричные возбуждены не будут. Если в начальный момент времени возбуждена любая симметричная гармоника, то с течением времени все остальные симметричные гармоники будут возбуждены, а ассиметричные гармоники возбуждены не будут.

Поставлена и решена задача оптимального управления для функционала (7) и дифференциальными связями, которым подчинены коэффициенты Фурье из соотношений (4) и (5). Данная задача является задачей оптимального управления со свободным концом и с фиксированным временем. Решение этой задачи найдено на основе известного принципе максимума Л. С. Понтрягина.

Для возникшей задачи оптимального управления построена функция Гамильтона Я((Р,д),1/|,и(0), получена система сопряженных уравнений:

дН дН

и задача Коши для нее.

Численное решение систем найдено методом Рунге-Кутты 4-ого порядка. При решении прямой системы необходимо хранить данные со всех слоев, так как на их основе будет строиться оптимальное управление. При решении сопряженной системы (8) знак шага меняется на минус; назовем этот процесс обратным проходом. При обратном проходе необходимо выбирать новое управление. На каждой итерации

управление следует выбирать так, чтобы функция Гамильтона была

максимальной по управлению, то есть:

2

шахН = — гшп

ПМ ит-т<их,иу,и2^тах

ОМ* +

) и2 + о)

(4>бЯ01 + Ф7Яю_ ФвЧи + 02 + ^10<?20

V сЬп сЬпл/2 сЪ2л

где О —слагаемые функции Гамильтона, которые не зависят от управлений

Представлены результаты численных экспериментов. Например, на ассиметричные колебания невозможно воздействовать лишь вертикальной силой, приходиться применять воздействия по всем координатным направлениям. На рисунке 1 видно, что задействованы все составляющие вектора управления.

Ояатянчж»«»} Ш» «я»» 25 : ЗЮЙ»

» О '^укарб^чкрв«« X V 1

1« «Я; ;

Рис. 1

Вторая глава посвящена задаче оптимального управления процессом ионно-лучевого травления с целью минимизации ухода геометрических размеров вытравливаемых элементов. Данная задача решается с помощью изменения угла падения ионного луча относительно мишени (метод ИЛТ).

Одним из преимуществ метода ИЛТ является наличие достаточно точной математической модели, описывающей эволюцию процесса. Эволюция поверхности произвольной формы в процессе ионно-лучевого травления описывается уравнением (9):

= О (9)

где высота стравливаемой формы в момент времени t в

положении X, v(¿?) скорость ионного распыления материала, зависящая

от угла 0, образованного лучом падения ионов и нормалью к распыляемой поверхности. В частности, если пучок ионов

дф / \

перпендикулярен оси X, то в = агс^-Характерной

дх

особенностью всех существующих резистов является немонотонность функции то есть существование некоторого , при котором

максимальна. Как правило функция определяется

экспериментальным путем. Если в = —, то с достаточно

большой степенью точности можно аппроксимировать функцией у(<9)= ¡1 +2зт2 в)сО50. Направление пучка ионов может меняться со временем, тогда угол д можно представить в следующем виде:

0(г) = ш+ (10)

дх

где угол между направлением падения ионного луча и осью У .

Будем считать управлением, на которое наложены естественные

ограничения

0<а(0<«тах (11)

В случае вращения в трехмерном пространстве уравнение ИЛТ имеет вид (9) , а формула для угла 6 будет другой, а именно,

С05

О) = 008 <*(') '~ Фх (*> <* (101)

л/1+<р1М

где 60 - угловая скорость вращения маски.

У

Рабочий слой

Маска

X

Рисунок 2. Схема продвижения точки х0 влево в результате ИЛТ.

Отметим, что рабочий слой также распыляется и при этом скорость распыления зависит от угла между направлением ионного луча и нормалью к поверхности и имеет вид, аналогичный функции Обозначим эту функцию через У, ($). Будем считать, что процесс травления прекращается, когда рабочий слой протравлен на глубину к . Интерес представляет скорость продвижения точки Х0 влево, где Х0 -

пограничная точка между защитной маской и рабочим слоем (см. рисунок 2). Из рисунка 2 и простых геометрических рассуждений получено

= V 8<р \

л [ах

ах

д<р ~дх

(12)

Кроме того, введем еще одну функцию у{{) такую, что:

| = Ло)=о (13)

Очевидно, что _у(/) - это эволюция плоской поверхности рабочего слоя.

Таким образом, процесс заканчивается, когда где 1 -

конечный момент времени процесса ИЛТ.

Итак, собирая все вместе, получаем, что наша задача описывается следующими уравнениями (9), (12) и (13) С начальными условиями:

8(х)=^1-х2 х0=1, у(0) = 0 (14)

OC\tj- управление с ограничениями (11) . Отметим, что уравнение (9) справедливо в области 0 < X < 1, 0 <t <Т. Момент окончания процесса Т определяется из условия

J v, («(')>" = * (15)

о

Таким образом, наша задача является задачей с нефиксированным временем Т. Это создает дополнительные трудности, так как помимо функций &(t) и (p{t 1 х) приходится искать и момент окончания

процесса Т. Но в данном случае легко перейти от задачи с нефиксированным временем к задаче с фиксированным временем. Из

i

формулы (15) несложно заметить, что переменная h(t)= jv1(a(rJ)JT

о

является монотонной функцией. Этот факт позволяет перейти вместо переменной t к новой переменной h(t), где 0 <h(t)<h. И, таким образом, задача становится задачей с фиксированным временем. После замены переменной получено, что уравнения (9), (12) примут следующий вид (снова переобозначено hit) через /):

=о (16)

dt v,(«) I (&J

dx0(t) _v(e(t)+a)

vj(a) дер

дх 0=0

"" (17)

dt

Условия (14) и ограничение (11) на управление остаются без изменений. Отметим, что решив задачу в такой постановке, мы легко можем

восстановить зависимость функций и <p(t,x) от «истинного»

времени t. В качестве минимизируемого функционала выбрана следующая величина:

У(а(0) = хо(0 (18)

Таким образом, можно окончательно сформулирована задача: необходимо найти управление a(t), удовлетворяющее ограничениям (11), доставляющее минимум функционалу (18), с дифференциальными связями (16), (17) и начальными условиями (14). Обозначим для краткости правые части уравнений (16), (17) соответственно, через

<p(<px,t,a(t)) и F(<px(x0,t),a(t)). Тогда вместо (16) и (17) получим:

^ + - 0, ^ = F(ç>x(x0,t)Mt))

dt dt

В диссертационной работе автором установлен Принцип максимума JI. С. Понтрягина. Будем называть управление a(t) допустимым, если a(t) - кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая ограничениям (11). Предположим, что a(t) -

некоторое допустимое управление, a (pit, X) и х0 (?) соответствующие решения уравнений (16), (17) с условиями (14). Введем понятие

[ a,t е [г,г + е]

сингулярной вариации управления a (?) = s r -,. Этим

[a(t),t <£ [г, г + s\

термином мы будем называть следующую конструкцию (рис. 3):

«(0

а a(i)

т+е

0 г t

Рисунок 3. Сингулярная вариация управления.

Здесь Т - заданная точка непрерывности функции Oc(t\ S — произвольное положительное число такое, что 0 < Г + S <Т, а постоянная а такова, что О < a{t) < «max Разность

OCE(t) — a(t) = ôoc(t) будем называть сингулярной вариацией управления. Интерес представляет результат воздействия на функцию (p(t,x) и X0(t) сингулярных вариаций управления.

Обозначим через (pe(t,x) и Х0 £(t) решения уравнений, соответствующие управлению ае (?) и определим вариации этих функций следующим образом:

h(t, ж) = lim

<p£(t,x)-(p(t,x) _(

\

K(t) =

Содержательный смысл вариации h(t, x) и hQ (/) состоит в том, что при & —^ 0 выражения sh(t, л) и ¿JlQ (/, х) являются главной линейной частью приращения функции <p(t, х) и XQ (/) вследствие сингулярного

варьирования управления.

В главе 2 диссертационной работы показано что, функции

<pe(t,x\ip(t,x),x0£(t),x0(t) удовлетворяют соответствующим

интегральным уравнениям и из этих интегральных представлений

получено, что вариации h{t,X) и h^it) - разрывные функции. При

О <t < T,h[f,x) = l\{f) = 0, а при t>T они удовлетворяют дифференциальным уравнениям

с начальными условиями

Для установления принципа максимума в форме Л. С. Понтрягина получена система сопряженных уравнений

^ = (21)

с начальными условиями

*г{Т,х) = 0, ч/0{г) = -\ (22)

После проведенного анализа установлено, что решать сопряжённую систему не нужно. Далее следует, что из вида второго уравнения в

системе (21) следует, что функция не меняет своего знака на всем

интервале t & [О, Т~\. Из условия (22) следует, что она на всем интервале отрицательна. В результате сформулирован принцип максимума Л. С. Понтрягина для рассмотренной задачи.

Если управление о;(?) и траектория Х0 (() доставляют минимум функционалу (18) при уравнениях связи (16), (17), условиях (14) и ограничения на управление (13), то при каждом ^ £ [О, Т~\

функция ^\(рхХ0достигает в точке своего

максимума по всем допустимым ОС. Следует отметить, что, согласно принятым обозначениям, функция (/, Х0 (/)), )] имеет вид

р=0

дер

дх <р=0

Отсюда видно, что управление а(0 присутствует лишь в сомножителе

у(б>(г) + а(г)) да

—-——. , а - всегда меньше нуля. Этот вывод и был

V, (а) дх

использован при реализации алгоритма для численного решения задачи.

Результаты работы программного комплекса, разработанного для моделирования и оптимизации процесса ионно-лучевого травления представлены в главе 2. В качестве примера на рисунке 4 приведен расчет ИЛТ с применением оптимального управления для угла, падения ионов а, угловой скоростью вращения а> = 3, глубины травления Н = 0.4, граничная точка х0 = 0.69.

Изменение профили поверхности во времени

х

Значение угла альфа

Рисунок 4. ИЛТ с оптимальным управлением.

Основные выводы и заключение.

В двух главах данной работы поставлены и решены задачи нахождения оптимальных режимов для нелинейных систем дифференциальных уравнений. Использована техника сингулярных вариаций для получения условий оптимальности.

1. Решена задача оптимального управления движением жидкости со свободной поверхностью. Для слабо возмущённого движения жидкости, удалось снести граничные условия с нестационарной поверхности на равновесную. Для определения коэффициентов Фурье получена система обыкновенных дифференциальных уравнений с квадратичной нелинейностью и задача оптимального управления с фиксированным временем и терминальным функционалом, которая решена с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина.

2. Разработана программа, составляющая модельную систему дифференциальных уравнений для любой длины частичных сумм ряда Фурье. При анализе полученной системы был установлен следующий эффект: при ассиметричном возмущении, впоследствии, возбуждаются все гармоники, а при симметричном возмущении возбуждаются симметричные гармоники, а ассиметричные гармоники не возбуждаются. Стоит отметить, что данный эффект не имеет места для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Разработано приложение, которое моделирует движение свободной поверхности и строит оптимальное управление, на основе принципа максимума Понтрягина, которым можно гасить возмущения свободной поверхности.

4. Доказано, и аналитически и численным экспериментом, что симметричные колебания можно погасить, применяя лишь вертикальное ускорение, а для гашения ассиметричных колебаний необходимо применять ускорения по всем осям координат.

5. Вывод уравнения ионно-лучевого травления; получено аналитическое представления для угла между нормалью к распыляемой поверхности и потоком ионных лучей в случае вращения образца с маской.

6. Сведение задачи оптимального управления с нефиксированным временем к задаче с фиксированным временем.

7. Установлен принцип максимума Л. С. Понтрягина для плоского случая и для случая вращения в трехмерном пространстве.

8. Разработано приложение, позволяющее моделировать и строить оптимальный режим управления процессом ИЛТ.

Проведены расчеты, численные эксперименты и приведен ряд примеров.

Список опубликованных работ.

1. А. А. Гурченков, А. М. Романенков. Оптимальное управление движением жидкости со свободной поверхностью. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 2

2. А. М. Романенков. Приближенный метод решения трехмерной задачи о движении идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью. XXXIV Гагаринские чтения, т. 5, с. 98. - М.: МАТИ, 2008

3. А. М. Романенков. Трехмерная задача оптимального управления движением жидкости со свободной поверхностью. Случай симметричных возмущений. XXXV Гагаринские чтения, т. 5. - М.: МАТИ, 2009

4. А. М. Романенков. Задача оптимального управления совместного термического и диффузионного технологического процесса производства интегральных микросхем. XXXV Гагаринские чтения, т. 5. - М.: МАТИ, 2009

5. А. М. Романенков. Моделирование и оптимизация процесса ионно-лучевого травления. XXXVI Гагаринские чтения, т. 5, -М.: МАТИ, 2010

6. А. М. Романенков. Математическое моделирование и оптимизация геттерирования кремневых пластин. XXXVII Гагаринские чтения, т. 5, - М.: МАТИ, 2011

7. А. М. Романенков. Метод сингулярных вариаций для доказательства принципа максимума в нелинейных

гиперболических задачах. XXXIX: Гагаринские чтения, т. 5, — М.: МАТИ, 2013

8. А. М. Романенков, Л. А. Муравей, В. М. Петров. Трехмерная задача оптимального управления движением жидкости со свободной поверхностью. Международный авиационно-космический салон «МАКС-2009» «Современные наноматериалы и технологии их обработки», с. 212. -Рыбинск: РГАТА, 2009

9. L. A. Muravey V.M. Petrov, A.M. Romanenkov. Modeling and optimization of ion-beam etching process. Proceedings. Ill International conference on optimization methods and applications (OPTIMA-2012). Costa da Caparica, Portugal, September 2012. ISBN 978-5-91601 -051 -0.

10. L. A. Muravey V.M. Petrov, A.M. Romanenkov. Modeling and optimization of ion-beam etching process II. Proceedings. International conference on optimization methods and applications (OPTIMA-2013). 2013.

Подписано в печать: 25.11.2013 Объем: 1,4 усл.п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 937 Отпечатано в типографии «Реглет» 107031, г.Москва, ул. Рождественка, д.5/7, стр. 1 (495) 623 93 06 www.reglet.ru

МАТИ - Российский государственный технологический университет

имени К. Э. Циолковского

На правах рукописи 04201452392 ^

Романенков Александр Михайлович

Расчет оптимальных режимов для некоторых нелинейных процессов в гидродинамике и микроэлектронике.

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор Муравей Леонид Андреевич

Москва-2013

Содержание.

Введение................................................................................3

Глава 1. Оптимальное управление движением жидкости со свободной поверхностью.

1.1. Постановка задачи......................................................9

1.2. Аналитическое решение и расчеты.................................11

1.3. Задача оптимального управления......................................17

1.4. Численный эксперимент, результаты и расчеты.................28

Глава 2. Моделирование и оптимизация технологического процесса ионно-лучевого травления.

2.1. Физическая постановка задачи.....................................31

2.2. Математическая модель задачи....................................33

2.3. Принцип максимума Л. С. Понтрягина...........................41

2.4. Численный метод. Устойчивость разностной схемы..........48

2.5. Результаты расчетов...................................................52

Заключение...........................................................................55

Приложение.

1. Утилита «Фурьер»........................................................58

2. Программный комплекс «Гашение»..................................67

3. Программный комплекс для моделирования

и оптимизации процесса ионно-лучевого травления..............85

Библиография........................................................................94

Введение.

Диссертационная работа посвящена разработке численных методов оптимального управления в задачах, связанных с гашением колебаний жидкости со свободной поверхностью, а также минимизации ухода геометрических размеров вытравливаемых элементов в технологическом процессе ионно-лучевого травления

В работе рассматриваются две нелинейные задачи оптимального управления. Первая задача посвящена гашению колебаний слабо возмущённой свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Необходимость гашения колебаний жидкости возникает во многих задачах, связанных с движением космических аппаратов, перевозками жидкого топлива и др.

В этой задаче, рассматривается объемное безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в сосуде кубической формы. Так как течение жидкости безвихревое, то для определения поля скоростей возникает уравнение Лапласа [2, 17-21]. Область, в которой справедливо уравнение Лапласа является нестационарной: по бокам и снизу жидкость ограничена стенками сосуда, а сверху свободной поверхностью жидкости, которая меняет свою форму с течением времени. Таким образом, возникает задача с неизвестной границей и задача оптимального управления с фиксированным временем и терминальным функционалом.

Вторая задача посвящена построению оптимального управления процессом ионно-лучевого травления, который является одним из этапов изготовления интегральных схем субмикронных размеров. Рассматриваемый процесс описывается существенно нелинейным гиперболическим уравнением [35]. В этом процессе в силу нелинейной зависимости скорости травления от угла падения ионного луча возникает эффект вырождения защитной маски в клин с углом полу раствора, соответствующим

максимальной скорости распыления, что приводит к нежелательному уходу геометрических размеров вытравливаемых элементов. Одним из способов борьбы с этим эффектом является изменение угла падения ионного луча во времени. Стоит отметить, что данная задача рассматривалась в работах [49, 50]. Однако в этих работах не был определен оптимальный режим процесса, позволяющий получать формы стравливаемой поверхности, близкие к желаемым. Кроме того, вопросы, связанные с математическим моделированием и оптимизации рассматривались в работах [14, 16, 45, 46, 50,51,52].

На данный момент написано очень работ посвященных оптимальному управлению и они посвящены самым разным классам задач: динамике движения тела с полостью [8-11, 38-44]; управление процессами микроэлектроники [48-51], [67]; математическим основаниям оптимального управления [71 -74], [76-81 ], [82], [85], [90-93]

Актуальность работы. В диссертационной работе основное внимание сосредоточено на построении численных методов расчета оптимального уравнения, которые основаны на применении принципа максимума JI.C. Понтрягина [53]. Стоит отметить, что методы построения оптимальных режимов в значительной степени развиты для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [25-28, 30, 63]. Для процессов, которые описываются уравнениями в частных производных, возникают значительные трудности при поиске оптимального управления. Только для некоторого класса задач можно установить принцип максимума. Основные результаты в теории оптимального управления принадлежат JI. С. Понтрягину, Н. Н. Моисееву, В. Г. Болтянскому, Р. В. Гамкрелидзе.

Цель работы. Цель диссертации - разработка численных методов расчета оптимального управления для некоторых нелинейных трехмерных уравнений в частных производных, которые представляют собой

математические модели процессов колебания жидкости со свободной поверхностью и ионно-лучевого травления.

Научная новизна. Развиты методы расчета оптимального управления, основанные на применении принципа максимума Л. С. Понтрягина. С этой целью установлен принцип максимума в форме Л. С. Понтрягина для обеих рассматриваемых в диссертационной работе задач.

Задача гашения колебаний жидкости со свободной поверхностью в трехмерном сосуде сведена к решению задачи Коши для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, анализ которой позволяет установить ряд механических эффектов, связанных с эффективностью оптимального управления.

Математическая модель процесса ионно-лучевого представляет существенно нелинейное уравнение гиперболического типа. Управляющая функция, а именно, угол падения ионного луча, зависит от времени, и, таким образом, задача оптимального управления становится задачей с нефиксированным временем. При установлении принципа максимума вместо независимой переменной времени, рассматривается монотонная функция -глубина протравливаемого элемента, что позволило поставить задачу оптимального управления как задачу с фиксированным временем. На основе применения сингулярных вариаций было установлено, что нет необходимости решать возникающую систему сопряженных уравнений.

Методы исследования. В диссертационной работе применяются

следующие математические методы. В главе 1 для получения представления

решения эллиптического уравнения, используется метод Фурье [29, 32, 33].

Для получения бесконечной системы дифференциальных уравнений для

коэффициентов обобщенных рядов Фурье используется проекционный метод

[22, 23, 63]. Для численного решения системы используется метод Рунге-

Кутты 4-ого порядка [23]. В главе 2 для численного решения

гиперболического уравнения используется неявная схема «левый угол». Для

решения возникающего уравнения, которое определяет неизвестные

значения на следующем слое по времени, используется метод Ньютона [23]. В качестве метода оптимизации и в главе 1 и в главе 2 используется метод последовательных приближений, а критерий выбора оптимального управления основан на принципе максимума J1. С. Понтрягина [25, 63].

Приложения, разработанные в данной работе, написаны на языке С# 3.0. Построение графиков осуществлялось с помощью элементов управления Windows Forms .net framework 4.0

Практическая значимость. В диссертационной работе разработан математический аппарат и комплекс расчётных программ, позволяющий рассчитывать оптимальные режимы соответствующих нелинейных процессов. Кроме того, получены результаты, которые дают возможность делать выводы о свойствах и возможностях оптимального управления. Так, например, симметричные колебания невозможно погасить, применяя лишь воздействия по осям х и у; управления в уравнения для определения коэффициентов потенциала поля скоростей входят линейно и другие утверждения, которые установлены в диссертации.

Полученные результаты расчётов в задаче моделирования процесса ионно-лучевого травления показывают высокую эффективность оптимального управления процессом. В связи с этим можно рекомендовать фирмам, производящим технологические установки, предусматривать возможность управления, способом, рассмотренным в диссертации.

В целом можно заключить, что разработанные в диссертации методы решения задач оптимального управления могут найти применение в разных областях техники, связанных с авиацией, космическими исследованиями, в микроэлектронике и других сферах деятельности человека. Результаты диссертации, посвященные установлению принципа максимума J1. С. Понтрягина, используются в учебном курсе «Дополнительные главы прикладной математики» в ФГБОУ ВПО «МАТИ - Российского государственного технологического университета имени К. Э.

Циолковского» при обучении магистров по направлению «Прикладная математика и информатика».

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях: Conference on Mathematics for Industry, San Francisco, USA, 2009; Международный авиационно-космический салон «МАКС-2009» «Современные наноматериалы и технологии их обработки», 2009; 1062nd AMS MEETING, Syracuse University, Syracuse, New York, 2010; III International conference on optimization methods and applications (OPTIMA-2012). Costa da Caparica, Portugal, 2012; International conference on optimization methods and applications (OPTIMA-2013), 2013.

На международных молодежных научных конференциях Гагаринские чтения №№ XXXIV, XXXV, XXXVI, XXXVII, XXXIX.

Публикации основных результатов. По теме диссертации опубликовано 10 работ ([4-6, 46-48, 67-70]), в том числе одна работа в изданиях, входящих в перечень ведущих журналов и изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертаций на соискания ученой степени доктора и кандидата наук.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, приложения и библиографии.

В главе 1 рассматривается задача гашения колебаний слабо возмущённой свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости. В 1.1 ставится задача моделирования движения жидкости со свободной поверхностью. В 1.2 получены представления формы свободной поверхности жидкости и потенциала скоростей в виде обобщенного ряда Фурье с неизвестными коэффициентами. В 1.3 поставлена задача оптимального управления и на основании принципа максимума JI. С. Понтрягина описан вид управляющей функции. В 1.4 представлены численные примеры,

иллюстрирующие установленные в параграфах 1.2-1.3 свойства колебаний свободной поверхности и управляющей функции. Представлены графики соответствующих функций.

В главе 2 рассматривается задача оптимального управления процессом ионно-лучевого травления (ИЛТ). В 2.1 вводится физическая постановка задачи. В 2.2 описывается математическая модель задачи: выводится уравнение ИЛТ, выводится формула для угла между нормалью к стравливаемой поверхности и потоком ионных лучей для плоского и трехмерного случая с вращением. Ставится задача оптимального управления и осуществляется переход от задачи с нефиксированным временем к задаче оптимального управления с фиксированным временем. В 2.3 установлен принцип максимума Л. С. Понтрягина для задачи ИЛТ. В 2.4 разбирается численное решение задачи оптимального управления процессом ИЛТ. Описывается разностная схема и ее устойчивость, описывается численный алгоритм построения оптимального управления. В 2.5 приведены результаты вычислений, представлены различные примеры.

Приложение содержит исходные коды трех программ и описание к

ним.

Библиографический список содержит 106 наименований.

Глава 1.

Оптимальное управление движением жидкости со свободной

поверхностью.

1. Постановка задачи.

В главе рассматривается движение идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в ограниченной области в трехмерном пространстве. Целью исследования является моделирование формы свободной поверхности, определение потенциала поля скоростей и разработка метода позволяющего погасить возникающие колебания свободной поверхности. Задачи описания формы свободной поверхности при различных предположениях встречается в работах [1-3]. Результаты, касающиеся данной задачи, отражены в работах [4-6, 47]. Другие важные результаты можно найти в [7-11, 36-39, 41-43, 101-102].

Как известно, движение жидкости описывается следующими уравнениями:

с1р

+ р (Иу($) = 0 (1.1)

аг

дд Уд2 1

— + -— + го^х-д = Р + -сИу(Р) (1.2) ¿^ 2 р

где р - плотность жидкости, д — 3(Х), где X £ М3 —скорость жидкости, F —

массовая сила, численно равная ускорению свободного падения, Р =

Р(Х) —давление. Уравнение (1.1) отражает закон сохранения массы,

уравнение (1.2) это закон сохранения импульса, который в литературе

известен как уравнение Эйлера в форме Громека-Ламба. Исследуются

безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости, поэтому

уравнения (1.1) и (1.2) примут следующий вид

дд Ут92 1

(Цуд = 0 (1.1% —+ — = Т7 + -сНУР (1.2 0

ot I р

9

Жидкость находится в поле силы тяжести, движение жидкости баротропное и безвихревое, поэтому имеют место следующие факты:

3ер: д = \7ер; 3Ф: = -\7Ф; (Ну Р = -Ур. Несложно заметить, что Дер = 0 и

дер д2 _ + т + ф + р = т(0

(1.3)

Соотношение (1.3) известно, как уравнение Бернулли.

Теперь сформулируем задачу. Необходимо найти потенциал поля скоростей ер{х,у,г,Ь) идеальной несжимаемой жидкости, ограниченной сосудом кубической формы, удовлетворяющий уравнению Лапласа в области ею:{(х,у,г)-. О < х,у < 1,0 < z<f{x,y,t)}

с граничными условиями Неймана на границах области и двумя нелинейными условиями на свободной поверхности. Стоит отметить, что область, в которой справедливо уравнения Лапласа, не является стационарной, а в такой области решение не существует.

Предполагается, что свободная поверхность жидкости слабо возмущена. Это предположение позволяет перенести граничное условие со свободной поверхности на равновесную, то есть г: = 1.

Аср = 0

гдер

дх х-0

дер

ду у=0

дер

V дг

дер дх дер

ду

г=0

Х=1 у=1

= о

0 0

(1.4)

Условия (1.4) называются условиями непроницаемости и отражают тот факт, что жидкость не может «просочиться» сквозь стенки сосуда, которые ее ограничивают.

Положим в формуле (1.3) т (t) = 0 и р = О, а Ф = д(/ — 1) (где / = /(х, у, t) — форма свободной поверхности), тогда получим

+ у + = 0 (1.5)

или

)

Выведем кинематическое условие, отражающие тот факт, что частица жидкости, попав на свободную поверхность, навсегда останется на ней. Возьмем полную производную по времени от f(x, у, t):

df _df dfdx dfdy dt dt dx dt dy dt

и дх о d(p dy Q d<p

Но ведь — = vx = —, и — = = — тогда получим

df _df df d<p dfd<p dt dt dx dx dy dy

С другой стороны = (скорость по оси z)

df dfd(p dfd(p dcp

+ + (L6)

2. Аналитическое решение и расчеты.

Применим метод разделения переменных (метод Фурье). Положим (р = X(x)Y(y)Z(z), тогда Дср = X"YZ + XY"Z + XYZ" = 0. После несложного анализа имеем:

СО 00

(р{х, у, z,t) = ^ ^Г Рпк (t)ch (njn2 + k2z^j cos nnx cos nky

n—Ok=0

Функцию, выражающую форму свободной поверхности, тоже разложим в ряд Фурье по косинусам:

ОО 00

f(x, y,t) = l + 22 í?nk(0 cos nnx cos nky

n-Ok=O

Здесь Pnfc(t) и qnk(t) неизвестные функции времени, которые необходимо определить.

Для их определения воспользуемся условиями (1.5') и (1.6). Возьмем частные суммы ряда для (р и / и положим z — 1. Для начала, ограничимся длиной разложения max(n, к) <2.

f = 1 + q0i(.t) cosпу + q10(t) cosnx + qlt(t) cosnx cos ny +q02(0 cos 2ny + <72o(0 cos 27ГХ + q12(t) COS TCX cos 27ГУ + q2l(t) COS 27DC cos7ry + qi2 (t) cos 2nx cos 2ny (1-7)

(p = P01 (t) ch я cos ny + P10 (t) ch 7Г cos 7гл;

+ Pn(t) ch V27T cos тех cos тсу ~^~Pq2 (0 ch27TCOS27Ty + P20(t) ch 271 cos 2ях + P12(t) chV5 я cos7rx cos 2лу + P2i(t) ch л/Бтг cos 2тгх cos7ry + ^22(0 с\\2л/2л cos 2nx cos 27ry (1-8)

Теперь необходимо подставить (1.7)и (1.8)в (1. 5') и (1.6).

Для начала выпишем отдельные слагаемые:

а/

— = —nq10 sin 7DC — 7П7Ц sin 7ГХ COS 7Гу — 2я^20 sin 27ГХ

1/Л

— 271^21 sin 27ГЛ: COS Try — 7rq12 sin 7ГХ COS 27Гу

— 271^22 sin 27Г% COS 27Гу (1.9)

дер r-

— = -7гР10 ch п sin nx - пРг1 ch у2п sin тех cos тгу - 2nP20 ch 2тг sin 2пх

— 2пР21 ch VStt sin 2nx cos тгу — nP12 ch л/5тг sin nx eos 2ny

— 2nP22 ch 2л/2тг sin 2nx eos 2ny (1.10)

df

— = q'01(t) eos ny + qío(t) cosnx + ^(t) eos rae eos ny + q'02(t) eos 2ny

+ q'20(t) cos2nx + q[2(t) cosnx eos 2ny + q'21(t) cos2ra: cosny + q'21 (0 cos cos 2тгу (1.11)

дер

— = P¿i(t) cos тгу + P{0(t) cosnx

4- Píi(t) cosnx cosny + Р'02(Х) cos 2ny + P20(t) cos 2nx + P{2 (t) cos 7гх cos 2тгу + P21 (t) cos 2nx cos ny + P21(t) cos 2nx cos 2ny (1.12)

Аналогично можно выписать выражения для ^г- и При подстановке

ду ду dz

необходимо перемножать громоздкие выражения, уже при единичной длине привлеченного ряда количество слагаемых в получающихся соотношениях равно 15.

Пример 1. Привлечем члены ряда, удовлетворяющие следующему условию max(n, к) < 1

Тогда после подстановки в (1.6) получим:

q'01(t) cosny + q[0(t) cosnx + q'nit) cosnx cosny + n2q10P10 ch7rsin2 nx + Tr2q10P11 ch л/2тг sin2 nx cos ny + n2qxlP10 ch n sin2 nx cos ny + n^-q^P^ ch V2TT sin2 nx cos2 ny + n2q01P01 chn sin2 ny + n2q01Ptl ch л/2тг sin2 ny cos nx + n2q1±P01 chn sin2 ny cosnx + n^q^P^ ch7r sin2 ny cos2 nx = n sh TT (P10 cos ПХ + P01 cos ny) + 7tV2 sh yflnPn cos nx cos ny

Подобное соотношение можем получить после подстановки в (1.5'). Для получения выражений q'm^it) и P^fc(t) необходимо домножить полученные соотношения на cos mux cos ктсу и проинтегрировать от 0 д�