автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Расчет характеристик многопотоковых моделей систем массового обслуживания с учетом реакции абонента на отказ в обслуживании

российская академия наук

институт проблел1 передачи информации

РГ6 ол

, . . . На правах рукописи

г ; -лиг

ГРУБИЯНОВ СЕРГЕЙ ФЕДОРОВИЧ

УДК 654.153.2.072:65.011.56:159.87

РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК МНОГОПОТОКОВЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С УЧЕТОМ РЕАКЦИИ АБОНЕНТА НА ОТКАЗ В ОБСЛУЖИВАНИИ

Специальности: 05.13.01 — Управление в технических системах 05.12.14 — Сети, узлы связи и распределение информации

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1994 г.

Работа выполнена в Институте проблем передачи информации РАН

Наушый руководитель — доктор технических наук

С. Н. Степанов

Официальные оппоненты — профессор, д. т. н.

В. М. Вишневский, профессор, к. т. н. А. П. Пшеничников

Ведущая организация — Ленинградский отраслевой научно-исследовательский институт связи

Защита состоится « »-1994 г. в —__.час.

на заседании специализированного совета Д.003.29.01. при ИППИ РАН по адресу: 101447, Москва, Г-СП-4, ул. Ермоловой, 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИППИ РАН.

Автореферат разослан «,_?.-- 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.003.29.01.

доктор технических наук л —• С. Н. Степанов

Ых1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Развитие современной техники связи вдет по пути увеличения количества услуг, представляемых абоненту, и улучшения'качества его обслуживания. Современные средства телекоммуникации проектируются исходя из возможности передачи разнородной информации, требующей различного качества обслуживания и имеющей различные приоритеты при ее обработке. Технически поставленные; задачи решаются переходом на цифровую передачу информации по каналам связи, применением микропроцессоров и других элементов вычислительной техники для контроля за установлением соединения и осуществлением диалога между абонентом и обслуживающей системой.

Все перечисленные выше факторы осложняют схемы функционирования сетей связи и приводят к адекватным по сложности математическим моделям. Сложность соответствующих моделей вытекаот из того обстоятельства, что они должны достаточно подробно описывать потоки нагрузки, поступающие на каналы связи и, насколько это возможно, отражать специфику взаимодействия абонента и системы.

Необходимость и важность исследования многопотоковых моделей с учетом реакции абонента на отказ.в обслуживании наяодит свое отражение в постоянно возрастанием числе публикация, посвященных этой теме. Наиболее существенный вклад внесли следующие отечественные и зарубежные ученыеА.М.Зэлинсюгё), Г.Л.Иопин, D.H.KojiHiiaeB, С.Н.Степанов, Г.И.Фалин, Е,И.Школьный, М.А.Шнепс, И.И.Цитович, J.Cohen, R.Evers, G.Gosztony и другие авторы.

Анализируя состояние проблемы оценки характеристик многопотоковых моделей с учетом реакции абонента на отказ в обслуживании необходимо отметить, что для решения поставленной задачи в основном использовались стандартные метода, развитые в теория массового обслуживания. Такое состояние дел, с одной стороны, ограничивало класс рассматриваемых моделей достаточно простыми ситуациями, в с другой, в значительной степени сужало диапазон изменения структурных параметров (число обслуживающих устройств а потоков). Поставленную задачу мозею решить, разработав эф$вк~ тявнве в вычислительном оаме приближенные методы оценки характеристик многопотоковых моделей с созданием на нх основе соотао-тствувяего прзгрегжшого обеспечения.

Решение поставленной задачи и является целью настоящей ра-' боты. Соответствующее исследование выполнено на примере модели с подробным учетом потерь на различных'этапах установления соединения по междугородному телефонному тракту и модели с произвольным числом входных потоков и абсолютным приоритетом. Таким образом, тематика диссертационной работы актуальна и отвечает нувдам и запросам практики. '

ЦЕЛЬЮ ДИССЕРТАЦИИ является разработка, теоретическое обоснование и практическая реализация методов оценки характеристик качества обслуживания моделей систем массового обслуживания, у которых входной поток состоит из нескольких потоков, имеющие различные интенсивности и приоритеты в обслуживании, либо возникающие из-за различных аспектов взаимодействия абонента с системой.

метода ИССЛЕДОВАНИЯ. Для решения поставленных в диссертации задач использовались методы теории телетрафжа, теории вероятностей, математической статистики и вычислительной математики.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА работы состоит в следующем:

1. Разработаны математические модели многопотоковых систем, в которых учитывается:

- наличие произвольного числа входных потоков первичной на-, грузки; ^ •

- приоритетность в обслуживании поступающих вызовов;

- возможность получить отказ с последующим повторением вы- 4 зова из-за занятости всех приборов, занятости или неответа вызываемого абонента, старения передаваемой информации, вытеснения с обслуживания вызовом с более высоким приоритетом, превышения отведенного на повторение времени, потерь на этапах установления соединения, предшествующих обслуживающим приборам системы.

2. Для введенных моделей получены соотношения между вероятностными характеристиками, облегчающие их вычисление или измерение и разработаны оптимальные метода оценки характеристик, основанные на решении системы уравнений равновесия. Оптимальность алгоритмов достигнута за счет удаления из расчетной области состояний, имеющих пренебрежительно малые вероятности.

3. Разработаны приближенные метода оценки характеристик многопотоковых моделей с учетом реакции абонентов на отказ в обслуживании и приоритетами, обеспечивающие удовлетворительную ;

о

точность оценки характеристик для любых практически интересных значений входных параметров. Метод основан на последовательном упрощении структуры входного потока и изменении правила обслуживания вызовов. Указанное преобразование совершается с помощью введения в рассматриваемую модель дополнителышх входных параметров. Получены неявные уравнения для их определения и разработан алгоритм решения этих уравнений.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД. Все научные результаты, изложенные в диссертации, а также разработанные на их основе алгоритмы и программы. Получены лично автором.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Формулы и алгоритмы вычисления вероятностных характеристик многопотоковых моделей, полученные в диссертации, могут быть использованы для создания инженерных методов расчета систем связи, при моделировании которых необходимо учитывать влияние поведения абонента на процесс формирования входного штока вызовов. Для обеспечения более простого внедрения результатов диссертации в практическую деятельность инженеров и проектировщиков систем связи все все полученные в диссертации алгоритмы доведены до программных продуктов и сданы в ГосФАП.

РЕАЛИЗАЦИЯ В НАРОДНОМ ХОЗЯЙСТВЕ. Результаты диссертации нашли практическое применение на Московской междугородной телефонной сети и на Московской городской телефонной сети, что подтверждается соответствуйцяма актами об использовании.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положат« работа докладывались и обсуждались на 4-м международном семинаре по теории телетрафика и компьютерному моделированию, (Москва, 1992 г.), ХЬУП научной сессии, посвященной Дню радио (Ыосква, 1992), IX и X Белорусской зимйей школа-семинаре "Анализ и применение систем и сетей массового обслуживания" (Минск, 1993 г., 1994 г.), Санкт-Петербургском международном семинаре "Управление циГровыкя сетями связи" (1993г.), семинаре "Методы расчета характеристик сетей связи" Института проблем передачи информации РАН (199) г.,199?. г., 1993 г.).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертационной работы изложены в одиннадцати печатных работах.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения в приложения, изложена на 120 страницах текста. Спи-

сок литературы включает 95 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ 'РАБОТЫ Во ВВЕДЕНИИ обоснован выбор темы диссертации, ее актуальность, новизна, сформулированы цели и основные задачи исследования.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ рассматривается необходимость изучения многопотоковых моделей.

Для более точного описания функционирования реальных систем связи необходимо вести детальное рассмотрение структуры входного потока вызовов, который приходится разделять на насколько, по разному ведущих себя, потоков. Учет повторных вызовов уже делает модель двухпотоковой - в ней необходимо различать потоки первичных вызовов и повторных вызовов. В диссертации рассматриваются более сложные модели, в которых число входных потоков больше Двух. ,

Необходимость рассмотрения многопотоковых моделей в основном обусловлена двумя причинами: либо в системе приходится раз-,^КЧкть, кроме потока первичных вызовов, несколько потоков повторных вызовов, каждый из которых возникает из-за учета какого-то аспекта взаимодействия вызова с системой; либо в систему посту-, пает несколько потоков первичных вызовов, каждый из которых требует учота своих особенностей при обслуживании. Естественно, обе эти причины могут действовать одновременно, и тогда чис/ю потоков еще более возрастает. В диссертации рассматриваются методы расчета характеристик многопотоковых моделей на основе рассмотрения двух моделей. В первой присутствует несколько потоков повторных вызовов, которые возникают из-за детального рассмотрения взаимодействия вызова с системой. Эта модель возникла из практической задачи оценки характеристик функционирования пучка каналов междугородной телефонной станции. В дальнейшем будем называть ее моделью моделью МТС. Вторая модель, которую назовем моделью с приоритетами, имеет несколько разноприоритетных потоков торвичных вызовов и такое же количество повторных вызовов.

Модель МТС устроена следующим образом: на полнодоступную систему из о обслуамваших устройств поступают пуассоновский поток первичных вызовов интенсивности К и три потока повторных вызовов, образованных соответственно:

- из-за отказов на первом этапе установления соединения '(эту ситуация в дальнейшем будем обозначать символом г);

- из-за отказов на втором этапе установления соединения, т.е. после полного набора номера, но до попадания на вход канала, а также отказы из-за занятости всех каналов или вызываемого абонента (эта ситуация обозначается символом ы);

- из-за неответа вызываемого абонента (эту ситуацию обозначим

СИМВОЛОМ па).

Поступление первичного или повторного вызова с вероятностью Р приводит к занятию свободного канала на время разговора, распределенное экспоненциально с параметром а4, с вероятностью РЬи абонент получает отказ из-за занятости вызываемого абонента, и канал занимается на время слушания сигнала "занято", распределенное экспоненциально с параметром ' и с вероятностью Р абонент получает отказ из-за неответа вызываемого

па Ъ Ъи.

абонента и канал занимается на время слушания сигнала "контроля посылки вызова", моделируемое случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение с параметром, равным л .

В модели различаются три потока повторных вызовов. Первый поток образован из-за отказов на первом этапе устаноыютш соединения. В. этой ситуации абонент с вероятностью повторяет вызов через случайное время, имеющее экспоненциальное распределение с параметром ц^., и с вероятностью (1-Рг^.) покидает систему необслуженным. - .

Второй поток образован по причине отказа на. втором этапе установления соединения, занятости всех каналов или занятости вызываемого абонента. В этой ситуации абонент с вероятностью Рг повторяет вызов через случайное время, имеющеэ экспоненциальное распределение с параметром цЬ1, и с вероятностью (1 -Рр) покидает систему необслужвншм.

Третий поток повторных вызовов образован по причине неответа вызываемого абонента. В анализируемой ситуации абонент с вероятностью Ргша повторяет вызов через случайной время, иметее экспоненциальное распределение с параметром и с дополнительной вероятностью покидает систему необслужетмм.

Введенная модель опяснвзстся мврксвским пропчссом

с бесконечным множеством состояний

{ = 1Ьи * 'па + " ОИ.....К,)

где .У__ число абонентов, повторяющих вызов по причине;

/. О 4 нч»

отказа на первом этапе установления соединения - /; отказа на втором этапе установления соединения, занятости всех каналов или занятости вызываемого абонента - 'Ы; неответа вызываемого абонента - па; 1г - число каналов пучка, занятых на время установления соединения, оканчивающееся занятостью вызываемого абонента, неответом вызываемого абонента или разговором соответственно.

Стандартным образом для введенной модели выписывается система уравнений статистического равновесия, связывающая вероятности pUf^Jь-l^Jna.lЪu,lna^1■t) стационарных состояний марковского процесса, определяется набор вероятностных характеристик модели и выписываются законы сохранения, связывающие основные вероятностные характеристики модели.

Модель с приоритетами имеет следуюций вид: имеется полнодоступная система из и обслуживающих устройств, на которую поступает л независимых пуассоновских потоков первичных Вызовов с интенсивностями л^, к=1,2,....п. Получив отквз в обслуживании, абонент, чьи вызовы образуют к - ый поток нагрузки, повторяет вызов через случайное время, имеющее экспоненциальное распределение с параметром Если за время, имеющее экспоненциальное распределение с параметром , абонент из й - го потока нагрузки не попадает на обслуживание, то он покидает систему. •

Время пребывания вызова в системе ограничено случайной величиной, имеющее экспоненциальное распределение с параметром а. Если за это время абонент не закончит обслуживание, то вызов считается потерянным из-за старения передаваемой информации.В этом случае вызов не повторяется. Время обслуживания вызова распределено экспоненциально с параметром р. Время старения информации и время обслуживания не зависят от номера потока и от типа вызова (первичный или повторный).

Будем предполагать, что вызов к - го потока имеет приоритет над вызовам! потоков с номерами 1>к. Если в момент поступления первичного или повторного вызова с к - ым приоритетом все обслуживающие приборы заняты вызовами с более высоким или равным'

ему & - ым приоритетом, то вызов теряется, если же нет, то поступивший вызов замещает обслуживаемый вызов самого низшего приоритета.

Обозначим через число абонентов, создающих й - ый

поток нагрузки, получивших отказ в обслуживании и собирающихся в момент времени г повторить требование к соединению, через (^(П обозначим число линий, занятых в момент времени I обслуживанием вызовов к - го потока. Функционирование модели (см. рис.2.) описывается марковским процессом Щ) с непрерывным временем и бесконечным пространством состояний

"ет = .....

где JЛt)=0,1,2,... для &=1,2,...,п; 1(ОгЮ - целое для

Л О

3=1,2.....п; tíí't^+... + tnfíKu. Здесь число повторяющих

вызов абонентов й-го приоритета; число обслуживающих уст-

ройств, занятых обслуживанием вызовов й-го приоритета.

Материалы первой главы опубликованы в 11-7).

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена исследованию модели МТС.

Система уравнений равновесия стационарных состояний марковского процесса имеет бесконечное число неизвестных. Для перехода к модели с конечным числом состояний предполагаем, что число абонентов, повторяющих вызов по каждой из причин, ограничено числами и Н^ соответственно. Для этого в схеме функционирования базовой модели сделаем следующие изменения. Если по схеме функционирования базовой модели должен появиться новый источник повторных вызовов, а соответствующая очередь заполнена, то предполагается, что с вероятностью единица происходит потеря вызова. В этом случае система уравнений, описывающих марковский процесс, конечна и может решаться каким-либо методом, например итерационным методом Гаусса-Зейдаля.

Основной сложностью при решении системы уравнений статистического равновесия введенной модели полнодоступной системы итерационным методом является болыаая размерность и, в следствии этого, большое число состояний в случайном процессе, описывающем ее функционирование. Формула, показывающая число состояний в исследуемом процессе, имеет езд

Ч*{ЯГ ♦1)<1ГЬ1+1)<ЯпаИ)(»И)(«»2К1на)/6. (I)

В практически интересном диапазоне изменения входил параметров кололи значение и -число обслупиваюиих устройств лепт в

пределах и=50+150, а величины, определяющие ограни-

чения на максимально возможное число абонентов, повторяющих вызов, принимают значения: /У =20+40 ,' N.,=20+40, N =20+40. СлеТ Ь1 па ,

доватвльно, число" неизвестных в системе уравнений равновесия, рассчитанное по формуле (1), определяется величиной порядка 109 +1012. Понятно, что решение соответствующей системы линейных уравнений даже с привлечением самьа: современных ЭВМ, становится задачей нереальной и единственным способом вычисления характеристик введенной модели для имеющих практический интерес значений входных параметров остается реализация какой-либо приближенной схемы вычислений, а решение системы уравнений равновесия будет использоваться для контроля точности приближенных методов.

В литературе по повторным вызовам для решения подобных задач рекомендуется использовать замену потоков повторных вызовов на пуассоновские с интенсивностью, определяемой из решения неявных уравнений. Для реализации этого подхода делаются следующие предположения. Будем считать, что потоки повторных вызовов, поступающие от абонентов, повторяющих вызов соответственно, по причине занятости всех каналов, по причине занятости вызываемого абонента, а также по причине неответа вызываемого абонента подчиняются закону Пуассона- с некими неизвестными интенсивностями х . хьг, х . Значения этих интенсивностей находятся из решения неявных уравнений, которые следуют из предположения о выполнении законов сохранения для полученных таким образом оценок вероятно- -стных характеристик исходной модели.

Полученную в результате выполнения указанных преобразований модель назовем упрощенной, моделью. Схема ее функционирования такова: на полнодоступную систему из и обслуживающих устройств поступают пуассонбвский поток первичных вызовов интенсивности А. и три пуассоновских потока повторных вызовов с интенсивностями х^, хы' хпа' Образованных, соответственно, из-за потерь на первом этапе установления соединения, из-за потерь на втором этапе установления соединения, занятости всех каналов или занятости вызываемого абонента, из-за неответа вызываемого абонента. Поступление первичного или повторного вызова с вероятностью Р{ приводит к занятию свободного канала на время разговора, распределенное экспоненциально с параметром с вероятностью ГЬц абонент получает отказ из-за занятости вызываемого абонента, и.канал за- -г-

шагается на время слушания сигнала "занято", распределенное экспоненциально с параметром <<Ьи, и, наконец, с вероятностью Рпа=1-Р4-РЬи абонент получает отказ из-за неответа вызываемого абонента и канал занимается на время слушания сигнала "контроль посылки вызова", моделируемое случайной величиной, имоюцей экспоненциальное распределение с параметром «* . В случае отказа в обслуживании, вызванного разными причинами абонент покидает систему. Таким образом, введенная модель функционирует согласно схеме модели с явными потерями.

Упрощенная модель описывается марковским процессом =

с конечным множеством состояний Я, зада-

Си гь£* X

ваемым соотношениями

3 " {((Ьи'(па'Ф' 1 » V* 1тга + и ' 0.».....»>.

Здесь: - число каналов пучка, занятых в мо-

мент времени í на время установления соединения, оканчиваадее-ся занятостью вызываемого абонента, оканчивающееся . неответом вызываемого абонента или разговором соответственно.

Обозначим через Р( 1ь ,I ,1г) стационарную вероятность яа-ховдвния марковского процесса I* И) в состоянии (1^,(пл,г^). Тогда из системы уравнений статистического равновесия, связывающая стационарные вероятности Р('Ьи» £па» получаем формулы, выражающие в явном виде-вероятности стационарных состояний через входные параметры модели и неизвестные параметры яу, хы,

Используя характеристики упрощенной модели, дадим оценки основным вероятностным характеристикам исследуемой модели, входящим в запись законов сохранения. Оценка для вероятности потерь первичного вызова ' имеет вид: . ■

р1г = ЕР^ьЛЛ»4«> (здесь Оценки других характеристик выражаются через Р1р, значения вход-1Ш7. параметров и величины лу, хьг, х^.

Значения хь,,гьи,л'па.находим из решения уравнений, которые получаются из требования выполнения для оценок соотношений, по форме совпадающих с законами сохранения исходной модели. Нетрудно проверить, что три равенства выполняются тождественно, а ос-товшиеся дают три неявных уравнения для определения неизвестных х^>х>,1'хпа' Соответствующие уравнения имеют следующий вид

*па= \otal Pr<'"Vbtn Pna Prna' . \otal = + xf+ ZbX^na)'

Правая часть (2) в явном виде зависит от входных параметров модели, от неизвестных xf, хЬ1, х^ и от характеристики PJp , которая уже в неявном виде зависит от неизвестных х^, хЬ1> : Значение PJp рассчитывается по формуле Эрланга .

Р = Ви(Л) = (Ли/и!)/<1+Л+Лг/2!+...+ AVvl). а зависимость Л от неизвестных задается соотноше-

нием Л = л^+л^«- Л4. где Льи= л^ 'V-V

Xbu= ^total' " btn ' Pbu' ЛиГ ^totaí' b/ ' b<n ' Fna1

V\otal' Ь/ ' btn • Pf

Система уравнений (2) решается итерационным методом. Обозначим через i*t, х^. х^ решение (2). Последовательность значений x^l x^í представляющая собой ft-о« (Í^O.I.,.. ) приближение к х*,, х^, х^. определяете;! из (fe-t )-ro праблваяния по следующим рекуррентным формулам

=г/-где Р{р-1 ^ определяется из выражения

где Л - Л**"1 >4Л<* 1 > + А**"1* Л<*-1)= •

где л(к_.,Abu +ли1 + л{ . .льи = л.^ л*,^,

AU-1), Х(*-1)/<д ; Л(*-1) = xU-lb na no tu» t t t

total - <*• ♦ Xj, . < гы ш» Sm *total °«n 4u' na ■ \otal 'na' At " total °f Dta ft' .

Начальное нгиладжвние x'0) =0, =0, «0..

/ o* na .

Можно дак^оть, что сформулированная итерационная схема всегда сходится к единственному решению. Условие выхода из итерационного цикла определяется степенью малости выражения

Материалы второй главы опубликованы в CfI-C4I.(111. ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена разработке приближенных методов дха

Ю

оценки характеристик модели с приоритетами.

Оценку характеристик, относящихся к потоку &-го приоритета, проводим путем последовательного преобразования исходной многопотоковой модели в двухпотоковую. Метод расчета двухпотоковой модели следующий: сначала осуществляем переход к модели с конечным числом состояний, для чего предполагаем, что число абонентов, повторяющих вызов, ограничено числами Н{ и Нг для потоков вызовов приоритетов 1 и 2 соответственно. После этого стандартным образом выписывается система уравнений статистического равновесия для стационарных вероятностей состояний марковского процесса Ри)^г,1),1г), число неизвестных в которой равно.

)и(1>+/)/2. Из этого следует, что оценку характеристик путем решения уравнений равновесия ¡можно вести при числе линий лежащем в пределах Ю - 30. :

Переход к анализу пучков большей емкости требует1 разработки приближенного метода оценки характеристик. При этом для оценки погрешности приближенного методе будем использовать точный метод расчета. Приближенный метод, использованный для расчету характеристик, основан на использовании упрощенных уравнений равновесия и замене потоков повторных вызовов на пуассоновские. Будем считать, что рассматриваемая полнодоступная система приборов обслуживает два пуассоновских потока вызовов с переменными интенсив-костями где ^«СО.У^], - целое, или 2. Оба пото-

ка рассматриваются в рамках модели с потерями заблокированных вызовов.

Пусть Р^ J^ { - оценка вероятности Р(полученная в предположении, что законы сохранения для макросостоя-пий исходной модели выполнены и для микросостояиий.

Алгоритм перебора значений Jy, „/2 для определения Р. , , , следующий. Полагаем /,=0, У_=0. Решив систему ура-

шюний равновесия для интенсивности приоритетного потока и непраоритетного - \г, находим . ненормированные значение ро о I I ' ДаЛ00' используя равенство, полученное из законов

сохранения исходной модели:

г,

12 (Ьог

М

Г 2

"Л* ^¡^^л^^г^г-шф^ . V0'1.....»1.

(1 + г2=у г г I г г г ,/г=ОИ,

рассчитываем семейство вероятностей Р0 9 \ ( • Затем береи /г=2 и т.д. до расчета семейства вероятностей Р0>м >{ . Аналогичным образом рассчитываем семейство Р, . , , . Связь между

этим семейством вероятностей и найденным на предыдущем шаге (при ,/,=0) реализуется с помощью равенств, также полученных из законов сохранения:

"г г си1(

<2 2 "г и

+ £ Е Р, . , . (Л + Пс,. /,=0,1.....Аг

* <,<«>

Затем берем / =2 и т.д. до Окончательно значения

оценок находятся после нормировки.

При разработке программного средства особое внимание при ходится уделять обработке асимптотических случаев, поскольку в этой области могут возникнуть машинные остановки из-за переполнения или исчезновения порядка. В диссертации предложены метода расчета в трех, наиболее важных, предельных случаях: при больаой нагрузке, малой нагрузке и малой интенсивности повторения.

Расчет многопотоковой модели рассматривается на основе тра-июгокавой модели (ясно, что все остальные случаи сводятся- к этому) . Здесь имеются две ситуации:

I. Если интенсивность приоритетного потока мала, т.е. выполнено условия £(!>,*.,) < КГ'° (здесь £(и,л) - функция Зрланга). то значение увеличивается на величину и мы переходим к случаю дауяютоковой модели.

2. Значение не признано малым. Тогда рассчитываем двузшото-ковув модель с входными потоками , %г. Находим суммарное число воононтов, повторявдих вызов, Затем переходим к двужяотоковой модели с интенсивностью приоритетного потока интенсивность» повторения вызова ц*-т(п(ц)и ввро-

ятяостьв повторения Р^ . которая подбирается 'из условия Параметры второго потока не меняются.

Мотивировка именно такого перехода от многопотоковой модели к двухпотоковоЯ вызвана следующими обстоятельствами:

1. Такой подход дает точный ответ в случаях отсутствия повторных вызовов и в случае равенства моделей поведения абонентов для эсех потоков; ,

2. Анализ численных данных позволяет утверадать. что указанный выбор интенсивности повторения вызовов для суммарного потока позволяет получить нужный тип оценки времени и вероятности доставка сообщения (для вероятности доставки получается оценка снизу, а для временя доставки - оценка сверху).

Материалы третьей главы опубликованы в 171,181.

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА посвящена применению теоретических результатов к реаений двух практических задач:

(.Определение катодов оценки дополнительного числа каналов, обе-сгочкващего заданный уровень качества обслуживания по общей ин-теяскшостя входного потока для модели МТС; . >

2.Оценка вероятности и среднего времени доставки сообщения заданного приоритета для модели с приоритетами.

Аппаратура, гтазсааяся на автоматической междугородной стелится, измеряет количество вызовов, поступивши за определенный нктврввл времени. По этому параметру и длительности интервала определяется экспериментальное значение общей интенсивности входной нагрузки Л8лсп. По заданному числу каналов, используя алго-ра№э , прмвэдешше в главе 2, определяется интенсивность первичных вызовов к, как репзение уравнения неявного Л(Х)=ЛЕ,КСЙ, где А (А.) - значение общей интенсивности входной нагрузки, являющееся функцией параметра Л. Ишя интенсивность первичных вызовов, можно определить общую вероятность потерь *0 как функция *0(ы) числа каналов и. Трэбуедае число каналов и* определяется по формуле'

л1п {г0(у)<РГТОТ9рь), где Рпотерь - допустимая вероятность потерь.

Для решения второй задачи (оценка вероятности и среднего времени доставка сообщения к-го приоритета) получены формулы, Бнражаюсие искомые величины. через следующие характеристики, которые вычисляются с использованием алгоритмов, изложенных в„гла-

ве 3: Ik - среднее число занятых линий k-ro потока; Pk(u) - вероятность потерь первичных вызовов из-за занятости всех линий и ijj - интенсивность вызовов, вытесненных с обслуживания.

Алгоритмы решения двух задач, содержащиеся в данной главе, реализованы в виде программ для компьютера типа IBM PG. Программы имеют дружественный к пользователю интерфейс и рассчитаны на использование инженерами, не имеющши опыта в программировании. Программы сданы в Государственный фонд алгоритмов и програш.

Материалы четвертой главы опубликованы в I7J.I9J-I111.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для более точного приближения математической модели к реальным системам массового обслуживания необходимо более детальное рассмотрение структуры входного потока вызовов. Этого можно достичь путем разбиения входного потока на несколько потоков, что, в свою очередь, вызывает увеличение размерности марковского процесса, описывающего функционирование системы. Вследствие этого число неизвестных в системе уравнений статистического равновесия становится слишком большим, чтобы найти стационарные вероятности путем решения системы уравнений. Диссертация посвящена разработке приближенных методов анализа таких моделей.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Разработаны модели систем массового обслуживания, в которых учитывается следующие особенности реальных систем связи: наличие нескольких входных потоков нагрузки и приоритетности в их обслуживании; старение передаваемой информации; ограничение на время повторения; наличие нескольких потоков повторных вызовов, образованных из-за отказов на разных этапах взаимодействия пользователя с системой. Построенные модели обеспечивают более детальное описание процессов обслуживания вызовов в действующих системах связи.

2. Даны определения основным вероятностным характеристикам моделей. Составлены системы уравнений статистического равновесия, позволяющие находить статистические характеристики при числе неизвестных в системе не более 103,

3. Разработана схема приближенного анализа, основанная ва рассмотрена вместо исходной модели ее некоторого упро-вэпного аналога, который получается в результате замены потоков

повторных вызовов на пуассоновские о неизвестной интенсивностью, определяемой из решения системы неявных уравнений. Трудоемкость реализации приближенного метода сравнима с использованием формулы Эрланга. Это позволяет вести оценку характеристик качества функционирования модели для любых практически интересных значений входных параметров. При реализации на персональной ЭВМ скорость счета в худших случаях не превосходит нескольких секунд-.

4. Численное исследование точности приближенного метода показало, что метод обеспечивает относительную погрешность оценки основных вероятностных характеристик порядка 5+10 процентов. Метод дает асимптотически точные результаты в области малых и больших потерь.

Б. Разработан алгоритм определения числа каналов, обеспечивающих заданное качество обслуживания при заданной входной нагрузке для модели МТС.

6. Разработан алгоритм оценки вероятности и времени доставки сообщения произвольного потока заявок модели с приоритетами для реальных значений числа входных потоков и числа обслуживающих устройств.

7. Вычислительные возможности алгоритма расширены за счет специального рассмотрения случаев большой нагрузки, малой нагрузки и маЛой интенсивности повторения заблокированного вызова.

8. Разработанные алгоритмы для модели МТС и модели с приоритетами реализованы в виде программ для компьютеров типа IBM PC XT/AT с возможностью представления результатов вычисления в виде таблиц и графиков.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: •

1. Грубиянов С.Ф. Оценка характеристик одной модели массового обслуживания с учетом нескольких потоков повторных вызовов, /депон. рукопись ВИНИТИ, N 1920 В93 от 07.07.1993, 12 стр.

2. Грубиянов С.Ф. Оценка характеристик одной модели массового обслуживания с учетом повторных вызовов./ Математические методы исследования систем и сетей массового обслуживания. Минск,199Э. 2 стр.

3. Грубиянов С.Ф. Разработка оптимиэировшшнх алгоритмов рорчота моделей информационно-вичислителышх: систем с учетом поведения

пользователя./ в отчете "Перспективные средства телекошмуншсацнЯ и интегрированные системы связи, Москва, 1992,12 стр. 4. I.I.Citovioh, S.F.Grubianov, S.H.Stepanovl The modeling, of line oooupaHon with taking into aooount the eubeoriber behavior in oaee of called eubeoriber be busy or no answer. /InPr. of St.Petersburg Regional Teletraffio Seminar; "Digital oontiiunioa-tion network management", St.Petersburg, 1993. 11 стр. 6. Грубиянов С.Ф. Оценка характеристик модели с ожиданием о повторными вызовами./Тезисы докл. XLYII науч.сессии, посвященной Дню радио. М.1992. 1 стр. ;<-'<'

6. Степанов С.Н., Грубиянов С.Ф..Виткова A.A. Об одном приближенном способе оценки стационарных характеристик полнодоступной системы с учетом повторных вызовов и наличием внутренних блогда-ровок/депон. рукоп. ВИНИТИ, Н1920 В93 от 07.ОТ.1993, 18 стр.

7. Степанов С.Н., Грубиянов С.Ф., Виткова A.A. Расчет многопотоковой модели с учетом приоритетности в обслуживании и возможностью повторения заблокированного вызова / долен, рукопись ВИШ5ТИ,

• ' М 1920 В9Э ОТ 07.(Л.199Э, 3V стр.

8. Степанов С.Н., Грубиянов С.Ф., Виткова A.A. Расчет вероятное-'1 тных характеристик многопотоковой модели о учетом приоритетов в повторными вызовами - программа PREP/ Программные средства. Информ.бюллетень. 2 стр.

9. Степанов С.Н., Грубиянов С.Ф., Виткова A.A. Программное средство оценки вероятностных характеристик основной модели с повторными вызовами/ 4-ыЯ Международный семинар по теории теле трафика и компьютерному моделированию. М.,1992., 1стр.

10. Степанов С.Н., Грубиянов С.Ф., Виткова A.A. Расчет оценок вероятностных характеристик основной модели с повторными вызовами - программа KRC./ Программные средства. Информационный бюллетень. Вып.8, Ы.,1992 г. 1 стр. 5.

11. Грубиянов С.Ф., Степанов С.Н., Цятович И.И. Программное средство расчета характеристик фрагмента телефонной сети./Анализ и применение систем и сетей массового обслуживания. Минск,1994. 2 стр.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОПОТОКОВЫХ

МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ СВЯЗИ

1.1 .Многопотоковые модели информационных систем.

1.2. Многопотоковые модели, учитывающие особенности взаимодействия абонента и обслуживающей системы

1.2.1. Схема функционирования модели

1.2.2. Марковский процесс

1.2.3. Система уравнений статистического равновесия

1.2.4. Характеристики качества функционирования

1.2.5. Законы сохранения

1.3. Многопотоковые модели с приоритетами

1.3.1. Обобщенная модель полнодоступной системы с повторными вызовами и приоритетами

1.3.2. Марковский проце сс, описывающий функционирование системы

1.3.2. Характеристики качества функционирования

1.4. Особенности анализа многопотоковых моделей

1.5. Задачи работы

Глава 2. Многопотоковые модели, учитывающие особенности взаимодействия вызывающего абоненента и обслуживающей системы

2.1. Переход к конечному числу состояний

2.2. Система уравнений равновесия вспомогательной модели

2.3. Определение вероятностных характеристик урезанной модели

2.4. Законы сохранения

2.5. Оценка характеристик итерационным методом

2.6. Общие принципы построения оценок

2.7. Анализ упрощенной модели

2.7.1.Схема функционирования

2.7.2.Система уравнений статистического равновесия

2.7.4.Вычисление стационарных вероятностей

2.7.5. Определение параметров упрощенной модели

2.7.6. Решение системы неявных уравнений

Глава 3. Расчет многопотоковой модели с приоритетами и повторными вызовами

3.1. Переход к модели с явным заданием функции настойчивости абонента

3.2. Определение характеристик и соотношения между ними

3.3. Расчет двухпотоковой модели

3.3.1. Точное решение системы уравнений статистического равновесия

3.3.2. Приближенное решение, основанное на использовании упрощенных уравнений равновесия

3.3.3. Расчет модели в случае большой нагрузки

3.3.4. Расчет модели в случае малой нагрузки

3.3.4. Расчет модели в случае малой нагрузки

3.4. Схема расчета многопотоковой модели

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ДВУХ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

4.1. Оценка числа каналов, необходимого для обеспечения заданного процента потерь вызовов

4.2. Определение вероятности и среднего времени доставки сообщения для модели с приоритетами

4.2.1. Постановка задачи

4.2.2. Эквивалентное определение для вероятности доставки сообщения

4.2.3. Определение среднего времени доставки сообщения

4.2.4. Пример формулировки и решения задачи оптимизации процедуры повторения

Развитие современной техники связи идет по пути увеличения количества услуг, представляемых абоненту, и улучшения качества его обслуживания. Современные средства телекоммуникации проектируются с учетом возможности передачи разнородной информации, требующей различного качества обслуживания и имеющей различные приоритеты при ее обработке. Технически поставленные задачи решаются переходом на цифровую передачу информации по каналам связи, применением микропроцессоров и других элементов вычислительной техники для контроля за установлением соединения и осуществлением диалога между абонентом и обслуживающей системой ([6,15, 25,381).Все перечисленные выше факторы осложняют схемы функционирования сетей связи и приводят к адекватным по сложности математическим моделям. Сложность соответствующих моделей вытекает из того обстоятельства, что они должны достаточно подробно описывать потоки нагрузки, поступаюпще на каналы связи и, насколько это возможно, отражать специфику взаимодействия абонента и системы. Для более точного описания поступающей нагрузки приходится рассматривать входной поток не как нечто единое, а разбивать его на несколько потоков с разными законами или параметрами распределения, т.е. рассматривать многопотоковые модели.Необходимость и важность исследования многопотоковых моделей с учетом реакции абонента на отказ в обслуживании находит свое отражение в постоянно возрастающем числе публикаций, посвященных этой теме ([19,26-30,33-36,43,53,54,56-72,75-83,85,87]).Наиболее существенный вклад внесли следующие отечественные и зарубежные ученые: А.М.Зелинский, Г.Л.Ионин, Ю.Н.Корнышев, Н.Степанов, Г.И.Фалин, И.И.Цитович, Е.И.Школьный, М.А.Шнепс, J.Cohen, R.Evers, G.Gosztony и другие авторы.Анализируя состояние проблемы оценки характеристик многопотоковых моделей с учетом реакции абонента на отказ в обслуживании необходимо отметить, что для решения поставленной задачи в основном использовались стандартные методы, развитые в теории массового обслуживания ([1,19,26,34,783). Такое состояние дел, с одной стороны, ограничивало класс рассматриваемых моделей достаточно простыми ситуациями, а с другой, в значительной степени сужало диапазон изменения структурных параметров (например, число обслуживающих устройств и потоков не должно быть слишком велико, чтобы ответ можно было бы получить за конечное, с точки зрения практики, время). Поставленную задачу можно решить, разработав эффективные в вычислительном смысле приближенные методы оценки характеристик многопотоковых моделей с созданием на их основе соответствущего программного обеспечения.Решение поставленной задачи и является целью настоящей работы. Причин, из-за которых появляется многопотоковость, можно выделить в основном две: либо входной поток первичных вызовов состоит из нескольких потоков, требующих различного обслуживания и имеющих различные параметры распределения; либо при детальном рассмотрении взаимодействия абонента с обслуживающей системой приходится вводить в рассмотрение несколько потоков повторных вызовов, каждый из которых появляется на своем этапе обслуживания. Естественно, обе эти причины могут действовать одновременно, и тогда число потоков еще более возрастает. Проведенное в диссертации исследование выполнено на примере модели с подробным учетом потерь на различных этапах установления соединения по междугородному телефонному тракту и модели с произвольным числом входных потоков и абсолютным приоритетом. Таким образом, тематика диссертационной работы актуальна и отвечает нуждам и запросам практики.Целью диссертации является разработка, теоретическое обоснование и практическая реализация методов оценки характеристик качества обслуживания моделей систем массового обслуживания, у которых входной поток состоит из нескольких потоков, имеющие различные интенсивности и приоритеты в обслуживании, либо возникакщие из-за различных аспектов взаимодействия абонента с системой.Для решения поставленных в диссертации задач использовались методы теории телетрафика, теории вероятностей, математической статистики и вычислительной математики.Научная новизна работы состоит в следующем: 1. Разработаны математические модели многопотоковых систем, в которых учитывается: - наличие произвольного числа входных потоков первичной нагрузки; - приоритетность в обслуживании поступающих вызовов; - возможность получить отказ с последующим повторением вызова из-за занятости всех приборов, занятости или неответа вызываемого абонента, старения передаваемой информации, вытеснения с обслуживания вызовом с более высоким приоритетом, превышения отведенного на повторение времени, потерь на этапах установления соединения, предшествуюпщх обслуживающим приборам системы.2. Для введенных моделей получены соотношения между вероятностными характеристиками, облегчающие их вычисление или измерение и разработаны оптимальные методы оценки характеристик, основанные на решении системы уравнений равновесия. Оптимальность алгоритмов достигнута за счет удаления из расчетной области состояний, имеющих пренебрежительно малые вероятности.3. Разработаны приближенные методы оценки характеристик многопотоковых моделей с учетом реакции абонентов на отказ в обслуживании и приоритетами, обеспечивающие удовлетворительную точность оценки характеристик для любых практически интересных значений входных параметров. Метод основан на последовательном упрощении структуры входного потока и изменении правила обслуживания вызовов. Указанное преобразование совершается с помощью введения в рассматриваемую модель дополнительных входных параметров. Получены неявные уравнения для их определения и разработан алгоритм решения этих уравнений.Все научные результаты, изложенные в диссертации, а также разработанные на их основе алгоритмы и программы, получены лично автором.Формулы и алгоритмы вычисления вероятностных характеристик многопотоковых моделей, полученные в диссертации, могут быть использованы для создания инженерных методов расчета систем связи, при моделировании которых необходимо учитывать влияние поведения абонента на процесс формирования входного потока вызовов.Для обеспечения более простого внедрения результатов диссертации в практическую деятельность инженеров и проектировщиков систем связи все все полученные в диссертации алгоритмы доведены до программных продуктов и сданы в ГосФАП. Результаты диссертации нашли практическое применение на Московской междугородной телефонной сети и на Московской городской телефонной сети, что подтверждается соответствунщими актами об использовании.Основные положения работы докладывались и обсуждались на 4-м международном семинаре по теории телетрафика и компьютерному моделированию (Москва, 1992 г.), XLVII научной сессии, посвященной Дню радио (Москв1э, 1992), IX и X Белорусской зимней школесеминаре "Анализ и применение систем и сетей массового обслуживания" (Минск, 1993 г., 1994 г.), Санкт-Петербургском международном семинаре "Управление цифровыми сетями связи" (1993г.), семинаре "Методы расчета характеристик сетей связи" Института проблем передачи информации РАН (1991 г.,1992 г., 1993 г.).Основные результаты диссертационной работы изложены в одиннадцати печатных работах.Текст диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. - 10

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Разработаны модели систем массового обслуживания, в которых учитываются следующие особенности реальных систем связи: наличие нескольких входных потоков нагрузки и приоритетности в их обслуживании; старение передаваемой информации; ограничение на время повторения; наличие нескольких потоков повторных вызовов, образованных из-за отказов на разных этапах взаимодействия пользователя с системой. Построенные модели обеспечивают более детальное описание процессов обслуживания вызовов в действующих системах связи.

2. Даны определения основным вероятностным характеристикам моделей. Составлены системы уравнений статистического равновесия, позволяющие находить статистические характеристики при числе неизвестных в системе не более 105.

3. Разработана схема приближенного анализа, основанная на рассмотрении вместо исходной модели ее некоторого упрощенного аналога, который получается в результате замены потоков повторных вызовов на пуассоновские с некоторыми неизвестными интенсивно с тями. Значения этих интенсивностей определяются путем решения системы неявных уравнений, получаемой из предположения, что законы сохранения для исходной модели выполняются и для упрощенной модели. Трудоемкость реализации приближенного метода сравнима с использованием формулы Эрланга. Это позволяет вести оценку характеристик качества функционирования модели для любых практически интересных значений входных параметров. При реализации на персональной ЭВМ скорость счета в худших случаях не превосходит нескольких секунд.

4. Численное исследование точности приближенного метода показало, что метод обеспечивает относительную погрешность оценки основных вероятностных характеристик порядка 5+10 процентов. Метод дает асимптотически точные результаты в области малых и больших потерь.

5. Использовав методы расчета характеристик многопотоковой модели, учитывающей особенности взаимодействия абонента и обслуживающей системы, разработан алгоритм определения числа каналов, обеспечивающих заданное качество обслуживания при заданной входной нагрузке для автоматической междугородной телефонной станции.

6. Разработан алгоритм оценки вероятности и времени доставки сообщения произвольного потока заявок модели с приоритетами для практически любых значений числа входных потоков и числа обслуживающих устройств.

7. Вычислительные возможности алгоритма расширены за счет специального рассмотрения случаев большой нагрузки, малой нагрузки и малой интенсивности повторения заблокированного вызова.

8.Разработанные алгоритмы для модели автоматической междугородной телефонной станции и модели с приоритетами реализованы в виде программ для компьютеров типа IBM PC XT/AT с возможностью представления результатов вычисления в виде таблиц и графиков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для боле© точного приближения математической модели к реальным системам массового обслуживания необходимо более детальное рассмотрение структуры входного потока вызовов. Этого можно достичь путем разбиения входного потока на несколько потоков, что, в свою очередь, вызывает увеличение размерности марковского процесса, описывающего функционирование системы. Вследствие этого число неизвестных в системе уравнений статистического равновесия становится слишком большим, чтобы найти стационарные вероятности путем решения системы уравнений. Диссертация посвящена разработке приближенных методов анализа таких моделей.

1. Александров A.M. О системе массового обслуживания с повторными вызовами. -Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. -1974. -N2. -с. 86-89.

2. Андронов A.M. Оценка нагрузки систем массового обслуживания с бесконечным числом обслуживающих аппаратов.-Проблемы передачи информации. -1972. -т.8. Вып.2. -с. 75-82.

3. Архипов И.М. Об алгоритмах увеличения пропускной способности сети связи при повторных вызовах.-Системы управления информационных сетей. -М.: Наука. -1983. -с. 137-141.

4. Архипов И.М. Развитие модели с предварительным обслуживанием и повторными вызовами. -Модели информационных сетей. -М.: Наука. -1984. -с. 36-41.

5. Башарин Г.П. Об аналитических и численных методах исследования коммутационных систем.-В кн. Системы распределения информации. -М. -1972. -с. 17-31.

6. Башарин Г.П., Харкевич А.Д., Шнепс-Шнеппе М.А. Массовое обслуживание в телефонии. -М.: Наука. -1968. -с. 320.

7. Бенеш В.Э. Математические основы теории телефонных сообщений. -М.: Связь. -1986.

8. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. -М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. -1978. -с. 400.

9. Греденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. -М.: Наука. -1966. -с. 461.

10. Грубиянов С.Ф. Оценка характеристик модели с ожиданием и повторными вызовами.-Тезисы докл. XLYII науч.сессии, посвященной Дню радио. -М. -1992. -1 стр.

11. Грубиянов С.Ф. Разработка оптимизированных алгоритмов расчета моделей информационно-вычислительных систем с учетом поведения пользователя, -в отчете "Перспективные средства телекоммуникаций и интегрированные системы связи, -Москва, -1992, -12 стр.

12. Грубиянов С.Ф. Оценка характеристик одной модели массового обслуживания с учетом нескольких потоков повторных вызовов, -депон. рукопись ВИНИТИ, N 1920 В93 от 07.07.1993, -12 стр.

13. Грубиянов С.Ф. Оценка характеристик одной модели массового обслуживания с учетом повторных вызовов.- Математические методы исследования систем и сетей массового обслуживания. -Минск, -1993. -2 стр.

14. Грубиянов С.Ф., Степанов С.Н., Цитович И.И. Программное средство расчета характеристик фрагмента телефонной сети. -Анализ и применение систем и сетей массового обслуживания. -Минск, -1994. -2 стр.

15. Данилов В.И., Фань Гэн-Линь. Цифровые сети интегрального обслуживания. -Ленинград. -1989.

16. Деменьтьева Н.Г. О расчете вероятностей потерь в оптимальных ступенчатых схемах, обслуживающих потоки с повторными вызовами. -Тр. учебных институтов связи. -1976. -Вып. 80. -с. 43-48.

17. Драгиева В.И. Некоторые характеристики системы массового обслуживания с конечным источником и повторными заявками. -Труды второго международного семинара по теории телетрафика и компьютерному моделированию. -М. -1989. -с. 16-25.

18. Драгиева В.И., Насьр Г.А. Система массового обслуживания с конечным источником и повторными заявками. -Ргос. of the international Seminar on teletraffic theory and computer modelling.-1988. -Sofia, -p. 135-145.

19. Дузь В.И., Зелинский A.M., Корнышев Ю.Н. Исследование процесса обслуживания потока с повторными вызовами и переменным параметром. -Электросвязь. -1984. N7. -с. 15-19.

20. Емельянов С.В., Калашников В.В. Исследование сложных систем с помощью моделирования. -Техническая кибернетика (Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР). -М.: ВИНИТИ. -1981. Т. 14. -с. 158209.

21. Ендальцев И.Г., Мелик-Гайказова Э.И., Степанов С.Н. Общая характеристика средств инженерного расчета моделей с повторными вызовами. -В кн.: Модели информационных сетей. -М.: Наука. -1984. -с. 21-30.

22. Ендальцев И.Г., Степанов С.Н. Расчет вероятностных характеристик полнодоступной системы с многоэтапным обслуживанием и несколькими типами источников повторных вызовов. -Алгоритмы и программы. -Инф. бюл. ВНТИ-центра. -1985. N4(67). -с. 77-78.

23. Захаров Г.П., Варакосин Н.П. Расчет количества каналов связи при обслуживании с ожиданием. -М.: Связь. -1967. -с. 304.

24. Ивченко Г.И. и др. Теория массового обслуживания. -М.: Высшая школа. -1982. -с. 255.

25. Иносе X. Интегральные цифровые сети связи. Введение в теорию и практику. -Пер. с англ. под ред. Неймана В.Н. -М.: Радио и связь. -1982. -с. 317.

26. Ионин Г.1., Седол Я.Я. Оценка абонентской занятости с учетом повторных вызовов и предварительного обслуживания. Труды десятой всесоюзной школы-семинара по теории телетрафика. -1988. -М. -с. 97-104.

27. Ионин Г.Л., Седол Я.Я. Таблицы вероятностных характеристик полнодоступного пучка при повторных вызовах. -М.: Наука. -1970. с. 155.

28. Монин Г.Л. Теория телетрафика. -Рига: Рижский политехнический институт. -1975.

29. Ионин Г.П., Седол Я.Я. Исследование полнодоступной схемы с повторными вызовами и предварительным обслуживанием. В кн.: Методы теории телетрафика в системах распределения информации. -М.: Наука. -1975.

30. Ионин Г.П., Седол Я.Я. Исследование телефонных систем при повторных вызовах. -Латвийский ежегодный еженедельник. -Рига.: Зинатне. -1970. -Вып.7. -с. 71-80.

31. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. Пер. с англ. Грушко И.И. Под ред. Неймана В.И. -М.: Мир. -1979. -с. 200.

32. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. Пер. с англ. под ред. Цыбакова B.C. -М.: Мир. -1979. -с. 600.

33. Корнышев Ю.Н. Система с повторными вызовами при конечном числе источников. -Электросвязь. -1977. -N5. -с. 58-62.

34. Корнышев Ю.Н. Расчет полнодоступной коммутационной системы с повторными вызовами. -Электросвязь. -1969. -N11. -с. 65-72.

35. Корнышев Ю.Н. Комплекты ожидания для перегруженных направлений. -Электросвязь. -1974. -N7. -с. 32-39.

36. Ле Галль П.К. Теории повторных телефонных вызовов. -В сб.: Системы распределения информации. -М.: Наука. -1972.

37. Лившиц B.C., Пшеничников А.П., Харкевич А.Д. Теория телетрафика. -М.: Связь. -1979. -с. 224.

38. Матвеев В.Ф., Ушаков В.Г. Системы массового обслуживания. -М.:1. МГУ. -1984. -с. 240.

39. Мелик-Гайказова Э.И., Степанов С.Н., Юдкина Б.Ф. Расчет оптимальных смен телефонистов на справочной службе ГТС. -Электросвязь. -1982. -N3. -с. 29-32.

40. Наумов В.А. Марковские модели потоков требований. Системы массового обслуживания и информатика. -М.: УДН. -1987. -с. 67-73.

41. Наумов В.А. Матричный аналог формулы Эрланга. Труды десятой всесоюзной школы-семинара по теории телетрафика. -М. -1988. -с. 39-43.

42. Наумова Е.О. О смещении оценок вероятностных характеристик системы с повторными вызовами и предварительным обслуживанием. -Методы информационных сетей и коммутационных систем. -М.: Наука. -1982. -с. 40-44.

43. Наумова Е.О., Школьный Е.И. Измерение интенсивности потока первичных вызовов в системах с повторными вызовами. Теория телетрафика и сети с управляемыми элементами. -М.: Наука. -1980. -с. 82-89.

44. Нейман В.И. Структуры систем распределения информации. -М.: Связь. -1975.

45. Никифоров Н.П., Иванов А.А. Некоторые аспекты математического моделирования реализации и управления гибкими производственными системами с повторными заявками. Труды десятой всесоюзной школы-семинара по теории телетрафика. -М. -1988. -с. 217-220.

46. Обтерин Ю.Е., Скатков А.В. Анализ надежности систем телетрафика средствами теории полумарковских процессов. Труды десятой всесоюзной школы-семинара по теории телетрафика. -М. -1988. -с. 29-34.

47. Певцов Н.В. Оценка влияния поведения абонентов на нагрузку междугородной телефонной сети. -Электросвязь. -1984. -N4. -с. 21-24.

48. Попова А.Г., Степанов С.Н. Расчет систем распределения информации итерационным методом: Учебное пособие. -МИС. -М. -1989.

49. Поляк Д.Г. Оценка точности статистического моделирования систем массового обслуживания. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. -1970. -N1. -с. 80-88.

50. Пономарев А.А., Соколова-Курганская И.М. Влияние повторных вызовов на качество обслуживания телефонной нагрузки. Научные тр. ОмИИТа. -1966. -Вып. 66. -с. 18-24.

51. Риордан Д. Вероятностные системы обслуживания. Пер. с англ. под ред. Харкевича А.Д. -М.: Связь. -1966. -с. 184.

52. Рогинский В.Н., Харкевич А.Д., Шнепс М.А., Давыдов Г.Б., Тол-ган А.Я. Теория сетей связи. -М.: Радио и связь. -1981. -с. 192.

53. Седол Я.Я. Исследование неполнодоступных схем при больших нагрузках. Латвийский математический ежегодник. -Рига: Зинатне. -1969. -Вып. 6. -с. 165-168.

54. Седол Я.Я. Применение метода последовательных приближений к расчету систем массового обслуживания. Латвийский математический ежегодник. -Рига: Зинатне. -1969. -Вып. 6. -с. 157-164.

55. Сергеев В.О., Чекмарева Е.В. О верхней и нижней оценке общей вероятности потерь в системе с повторными вызовами на полнодоступном пучке. Труды десятой всесоюзной школы-семинара по теории телетрафика. -М. -1988. -с. 52-59.

56. Степанов С.Н. Алгоритмы приближенного расчета систем с повторными вызовами. Автоматика и телемеханика. -1983. -N1. -с. 8090.

57. Степанов С.Н. Еще раз о точности численного метода расчета характеристик систем с повторными вызовами. -Электросвязь. -1986. -N5. -с. 48-50.

58. Степанов С.Н., Халаф Х.Ф. Анализ использования дополнительных видов обслуживания. Анализ систем информатики. -М.: Наука. -1991. -с. 76-81.

59. Степанов С.Н. Об улучшении численных методов расчета характеристик систем с повторными вызовами. -Электросвязь. -1986. -N11. -с. 30-34.

60. Степанов С.Н. Оптимальный расчет стационарных характеристик многопотоковых моделей с повторными вызовами. Ргос. of the international Seminar on teletraffic theory and. computer modelling. -Sofia. -1988. -p. 111-112.

61. Степанов С.Н. Оптимальный расчет характеристик моделей с повторными вызовами. Изложение алгоритмов. -М. -1986. -с. 56. (препринт АН СССР. Институт проблем передачи информации).

62. Степанов С.Н. Оптимизация численного расчета характеристик многопотоковых моделей с повторными вызовами. Проблемы передачи информации. -1989. -Т.25. -Вып. 2. -с. 67-78.

63. Степанов С.Н. О решении уравнений равновесия большой размерности. Автоматика и телемеханика. -1989. -N5. -с. 89-99.

64. Степанов С.Н. Расчет пучка линий с повторными вызовами и ожиданием. -Электросвязь. -1983. -Т.6. -с. 9-13.

65. Степанов С.Н. Способы повышения эффективности численных методов расчета моделей с повторными вызовами. Проблемы передачиинформации. -1986. -Т.22. -Вып. 4.-е. 78-94.

66. Степанов С.Н. Численные методы расчета систем с повторными вызовами . -М.: Наука. -1983. -с. 230.

67. Степанов С.Н. Асимптотический анализ моделей с повторными вызовами в области больших потерь. М., 1987.- 63 с.-(препринт /АН СССР. Институт проблем передачи информации).

68. Степанов С.Н., Грубиянов С.Ф., Виткова А.А. Об одном приближенном способе оценки стационарных характеристик полнодоступной системы с учетом повторных вызовов и наличием внутренних блокировок -депон. рукоп. ВИНИТИ, -N1920 В93, -07.07.1993, -18 стр.

69. Степанов С.Н., Грубиянов С.Ф., Виткова А.А. Расчет многопотоковой модели с учетом приоритетности в обслуживании и возможностью повторения заблокированного вызова -депон. рукопись ВИНИТИ, -N 1920 В93, -07.07.1993, -31 стр.

70. Степанов С.Н., Грубиянов С.Ф., Виткова А.А. Расчет вероятностных характеристик многопотоковой модели с учетом приоритетов и повторными вызовами программа PREP. -Программные средства. Информ.бюллетень. -2 стр.

71. Степанов С.Н., Грубиянов С.Ф., Виткова А.А. Программное средство оценки вероятностных характеристик основной модели с повторными вызовами -4-ый Международный семинар по теории телетрафика и компьютерному моделированию. -М., -1992., -1стр.

72. Степанов С.Н., Грубиянов С.Ф., Виткова А.А. Расчет оценок вероятностных характеристик основной модели с повторными вызовами программа МНС. -Программные средства. Информационный бюллетень. Вып.8, -М., -1992 г. -1 стр.

73. Степанов С.Н., Цитович И.И. Эквивалентные определения вероятностных характеристик моделей с повторными вызовами и их применение. Проблемы передачи информации. -1989. -Т.25. -Вып. 2. -с. 79-90.

74. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. -Т.1. -М.: Мир. -1984.

75. Школьный Е.И., Наумова Е.О., Харкевич А.Д. Определение дополнительного числа линий в перегруженных пучках с учетом повторных вызовов и точности измерения характеристик. -Электросвязь. -1985. -N1. -с. 20-25.

76. Шнепс-Шнеппе М.А., Степанов С.Н. Некоторые соотношения для систем с повторными попытками. В кн.: Информационные сети и их анализ. -М.: Наука. -1978. -с. 26-31.

77. Шнепс-Шнеппе М.А., Озолс А.А. Нормирование нагрузки междугородных телефонных каналов с учетом повторных вызовов. -Электросвязь. -1983. -N4. -с. 24-26.

78. Шнепс М.А. Основы расчета автоматической сети связи при наличии повторных попыток. -В сб.: Методы развития теории телетрафика. -М.: Наука. -1979.

79. Bretschnider G. Repeated calls with limited Repetition proba-biliti. Proc. of the 6th International Teletraffic Congress. -Munchen. -1970.

80. Gohen J.W. Basic problems of telefone traffic and the influence of repeated calls. -Philips Telecom. Rev. -1957. -18. -N2. -p. 49-100.

81. Pal in G.I. Multichannel Queue ing systems with repeated calls under high intensity of repetetlori. Journal of Information Processing and Cibernetics. -EIK. -1987. -N1. -p. 37-47.

82. Gosztony G. Comparison of calculated and simulated results for trunk groups with repeated attempts. Proc. of the 8th International Teletraffic Congress. -1976. -p. 1-11.

83. Holtzman J.M. Extremal of functions of random variables optimal control theory and teletraffic theory. Proc. of the 12th International Teletraffic Congress. -Tourino. -1988. -p. 1-7.

84. Ionin G.L., Sedol I.I. Telephone systems with repeated calls, -in proc. 6th International Teletraffic Congress in Munhen. -1970. -preprint book. -repr. N435. -p. 1-5.

85. Kappel J.G. Digital switching systems traffic analysis, proc. of the 12th International Teletraffic Congress. -1988. -p.1-7.

86. Katzschner L. Loss systems with displacing priorities. -In. Proc. of 6th International Teletraffic Congress, -Munich, 1970, p.224/1-8.

87. Macfayden N.W. Statistical observation of repeated attempts in the arrival process. Proc. of the 12th International Teletraffic Congress. -Torremolinos. -1979.

88. No jo S., Kimura G. New approximation for general distributions by n-stage markov processes based on continued fractions. Proc. of the 12th International Teletraffic Congress. -Torino. -1988. -p. 1-7.

89. Stepanov S.N. Optimal calculation of characteristics of models with repeated calls. Proc. of the 12th International Teletraffic Congress. -1988. -Torino, -p. 1-7.

90. Stepanov S.N. The construction of effective algorithms for numerical analysis of multilinear systems with repeated calls. Proc. of the 11th International Teletraffic Congress. -Kyoto. -1985. -p. 1.

91. Stordahi K. Methods for traffic matrix forecasting. Proc. of the 12th International Teletraffic Congress. -Torino. -1988. -p. 1-7.

92. Udagava K., Miva E. A complete group of trunks and poissontype repeated calls which influence it. -Electron, and commun. -Jap. -1965. -48. -N10. -p. 42-53.