автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Прогностическое моделирование и анализ двумерного перехода от упорядоченности к хаосу на основе итерационного уравнения Ферхюльста-Пирла

На правах рукописи

Прогностическое моделирование и анализ двумерного перехода от упорядоченности к хаосу на основе итерационного уравнения Ферхюльста - Пирла

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Воронеж - 2005

г».

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель - доктор физико - математических наук, профессор

Родин Владимир Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор ЛОЗГАЧЕВ Геннадий Иванович

доктор физико — математических наук, доцент АГРАНОВИЧ Юрий Яковлевич

Ведущая организация - Ярославский государственный университет

Защита состоится «3 0» 2005 г. в на заседании

диссертационного совета Д. 212.038.10 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь. 1, ВГУ, физический факультет, конференц - зал

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного Университета

Автореферат разослан ¿¿£7 >7 <МО Я 2005г.

/

Ученый секретарь

диссертационного совета ///' / МАРШАКОВ В.К.

66М

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Огромное количество работ относится к моделированию и изучению исторически первых по рассмотрению отношений "хищник-жертва". Отношение "хищник-хищник" изучено, по мнению автора, значительно хуже. Цикл замечательных работ Шапиро А.П., которые по видимому впервые образовали целое направление изучения конкурирующих популяций послужил отправной точкой для исследований, проведенных в диссертационной работе. Недавно, в Ростовском университете была выполнена интересная работа по изучению конкурирующих групп людей. Построена модель для определения численности групп субъектов. Каждый субъект в 1 группе характеризовался двумя параметрами: силой (физической,

интеллектуальной и т.д.) и рейтингом (звание, должность и т.д.). Взаимодействие заключалось в переходе участников из одной группы в другую, в соответствии с функцией доход/рейтинг. Были выявлены: как явления устойчивого существования групп, так и условия неустойчивости и раскола, явления циклического обмена участников между группами. Именно эти работы, в которых определены и выделены случаи возможного устойчивого ненулевого существования двух конкурирующих популяций, послужили идеей рассмотрения дискретной модели совместного существования двух хищных популяций, которые не просто конкурируют, а осуществляют восстановление за счет частичного уничтожения или полного использования антагонистической популяции. Популяции рассматриваются как динамические системы (образующие во времени "траектории", последовательности или "орбиты"), связанные рекуррентными соотношениями, регулирующими численность. Полученный в работе сценарий имеет два управляющих параметра (управляющие константы).

Анализ сценария перехода к хаосу, проведенный в средине 70-х годов Митчеллом Фейгенбаумом, ознаменовал прорыв в понимании проблемы перехода к хаосу. В модели двух систем, которые изучаются в диссертации ' указанный сценарий (дерево Фейгенбаума) получается как частный случай из

более общей модели, при равенстве управляющих параметров а = р.

Бесспорно, интересным и перспективным направлением является изучение взаимодействия групп органов правопорядка и криминальных групп, групп экономического роста и теневой экономики, перераспределение финансовых потоков и Т.д. Построение и изучение таких моделей сверх актуальная задача нашего времени.

Цели и задачи исследования. Основной целью работы являлось изучение свойств модели отношения "хищник-хищник", построенной на основе следующей системы итерационных уравнений, описывающей изменение численности двух взаимодействующих популяций

У„+\=ахп{\-хп)

Хт-Х^РУгМ^-Уп*)' (1)

И>С. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА .

Здесь х„ - численность одного вида, а у„ - другого в п -ом году. В соответствии с поставленной целью задачами исследования являются:

1. Разработка аналитического метода исследования задачи управления возможными состояниями системы, характеризующейся разным числом решений, в зависимости от размеров управляющих параметров.

2. Построение численной модели для качественного исследования траекторий решений системы итерационных уравнений Ферхюльста -Пирла на основе компьютерной программы, улавливающей такие явления как: устойчивость решений, число решений, появление циклов и хаотическое поведение.

3. Получение аналитического описания и графического изображения зон появления циклов в итерационной системе, зон непредсказуемости и зоны хаоса, а так же поведения траекторий решений в случае произвольного изменения управляющих параметров.

4. Проведение приближенного ренормгруппового анализа системы «в целом».

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертации задач использовались методы теории динамических систем, математического моделирования, теории систем и управления, геометрические методы исследования алгебраических уравнений, методы теории функций действительной переменной, методы вычислительной математики и программирования.

Основные результаты работы. На защиту выносятся следующие результаты, отличающиеся научной новизной:

1. Алгебраический метод, основанный на применении новой конфигурации диаграмм Ламерея в виде двух парабол, и ряд теоретических утверждений позволивших точно описать зоны, характеризующиеся разным числом решений, в зависимости от размеров управляющих параметров, как для случая а = р, так и для ранее неизвестного случая а* р.

2. Аналитический метод, основанный на ренормгрупповом анализе системы итерационных уравнений и позволяющий описать эволюцию поведения траекторий решений в случае произвольного изменения управляющих параметров ("фрактальная капуста").

3. Алгоритм численного моделирования, приближенно улавливающий зоны с такими явлениями как: устойчивость решений, существование различных циклов и хаотическое поведение решений системы двух уравнений Ферхюльста - Пирла с разными управляющими параметрами

4. Комплекс алгоритмов и программ, позволяющих визуализировать зоны появления циклов в итерационной системе, зоны непредсказуемости и зоны хаоса.

Научная новизна основных результатов работы определяется следующим.

1. Рассмотрены системы итерационных уравнений, моделирующих антагонистические отношения вида "хищник - хищник", которые не просто конкурируют, а осуществляют восстановление численности за счет частичного

./(< I о !

* « :

> .. г. - * • <

уничтожения или полного использования антагонистической популяции. Популяции рассматриваются как динамические системы (образующие во времени "траектории", последовательности или "орбиты"), связанные рекуррентными соотношениями, регулирующими численность. Полученный в работе сценарий имеет два управляющих параметра (управляющие константы). Первоначально система на базе уравнения Ферхюльста — Пирла изучается численными методами. А именно создана программа " вылавливающая появление точек бифуркации, циклов различного порядка и хаотического поведения". Полученная диаграмма послужила отправным пунктом для дальнейших исследований.

2. Использование новой основы в виде двух парабол для моделирования поведения решений системы двух уравнений Ферхюльста - Пирла с разными параметрами позволило доказать ряд вспомогательных геометрических утверждений. Данные утверждения в свою очередь позволили разработать аналитические методы точного определения границ различного числа решений для (а, /?) е [0,4]х [0,4] Ранее, существование таких зон в квадрате [0,4]х [0,4] было предсказано численным моделированием и изучением различных литературных источников.

3. Исследования, проведенные в работе показали, что в зависимости от значения управляющих параметров "траектории решений" могут иметь от одной точки сходимости (0,0) (эффект вырождения) до четырех (из них три невырожденных (ху,х2) и Х) х2 ¿0). При этом каждая из невырожденных точек может быть устойчивой и неустойчивой, может не быть точкой сходимости а иметь "вокруг себя" некоторый аттрактор (в простейшем случае это прямоугольник с центром в этой точке). Этот прямоугольник является предельным множеством для траектории. Получены необходимые и достаточные условия сходимости метода парабол для многочленов вида

, связанных с моделью Ферхюльста-Пирла к одному из

корней.

4. Как следствие всех видов исследований проведенных в работе впервые получено трехмерное графическое изображение эволюции перехода через удвоение к хаосу ("фрактальная капуста").

Актуальность, ценность и достоверность полученных результатов подтверждается тем фактом, что в сечении указанной выше диаграммы, при равенстве управляющих параметров а = р, получено известное классическое дерево Фейгенбаума.

Практическая значимость результатов работы состоит в том, что исследуя моменты пересечения двух аттракторов обнаружено, доказано и графически проиллюстрировано явление регулярного переброса траекторий решений от одного аттрактора к другому. Впервые получено наглядное трехмерное изображение перехода эволюций решений через удвоение к хаосу. Данное изображение в динамике своего развития и роста может служить наглядным пособием о сосуществовании детерминированности и хаоса.

Результаты работы могут найти практическое применение при исследовании (для прогноза развития) сосуществования антагонистических групп (социальных, экономических, финансовых, криминальных и т.д.). Кроме того, результаты работы уже нашли применение в педагогической деятельности.

Внедрение научных результатов. Полученные в диссертационной работе результаты, диаграммы и рисунки нашли применение в педагогической деятельности кафедры теории функций и геометрии ВГУ и кафедры теоретических и прикладных математических дисциплин Воронежского института МВД России, что подтверждается соответствующими актами.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

• Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Лиманчик, Ростов-на-Дону,. 2002, 2004г.

• Конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений." ВГУ, Воронеж, 2003 г.

• Всероссийская научно - практическая конференция. "Современные проблемы борьбы с преступностью", Радиотехнические. Науки. Институт. МВД, Воронеж, 2004 г.

• Всероссийская научно - практическая конференция "Охрана, безопасность и связь ", Институт. МВД, Воронеж, 2004 г.

• Конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы" ВГУ, Воронеж, Материалы зимн. Мат. Шк. 2005 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе 3 статьи в центральной печати. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателем предложены: в [1],[4],[6],[8] - дискретная модель совместного существования двух популяций хищников, условия возникновения положения равновесия этой системы и циклов, в [5],[11] - области изменения управляющих параметров, гарантирующие появление зоны хаоса и неопределенности, в [7],[9] - области изменения управляющих параметров, условия появления бифуркации и циклов, в [10] - алгоритм получения приближенных значений известных констант бифуркационных раздвоений.

Объем и структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Объем диссертации составляет 118 страниц машинописного текста, содержит 6 приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

• Во введении диссертации обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цели и задачи работы, ее научная новизна, практическая значимость полученных результатов и научные положения, выносимые на защиту.

• В первой главе диссертации приведены необходимые определения и сведения из общей теории систем и управления, собраны известные результаты для одного итерационного уравнения, приведены известные диаграммы Ламерея для модели конкуренции, представленной в виде системы

дифференциальных уравнений, показана возможность устойчивого равновесия между конкурирующими видами, приведены основы ренормгруппового анализа, приведены сведения из теории динамических систем и теории фракталов. Разобран классический сценарии Фейгенбаума. Эта глава необходима для определения места положения исследований, проведенных в диссертации, их значимости и актуальности.

• Во второй главе проведен приближенный ренормгрупповой анализ системы (1). Показано, что более естественным путем в ситуации исследования системы является путь проведения анализа сразу в двух уравнениях системы, а не сведения системы к одному уравнению более высокого порядка и дальнейшего анализа по известной схеме. Результатом анализа является получение приближенных значений известных констант бифуркационных раздвоений.

• В третьей главе приведено исторически первое, качественное, компьютерное моделирование поведения траекторий решений системы итерационных уравнений Ферхюльста - Пирла с разными управляющими параметрами.

/? ▲

О 1 2 3 4 а

Рис.1. Результаты численного моделирования системы при изменении параметров 0<а,р < 4. 1-область, оба вида вырождаются; 2-область, численность обоих видов стабилизируется; 3-область, появляется устойчивый цикл Б2; 4-областъ, появляются циклы периода 3 и больше и возникает неопределенность переходящая в хаос. Точные границы раздела были неопределенны.

Подробно разобрана ситуация с моментом появления циклов. Для этого проиллюстрирована и доказана серия несложных геометрических утверждений. Приведем одно из них:

Теорема Если а = р, (а* 2), то для угловых коэффициентов касательных к параболам, составляющим систему (I), в точке их пересечения лежащей на диагонали, справедливо равенство | к\ х к2 | = 1.

Для случая равенства параметров получено новое оригинальное представление (в виде эллипса) о множестве точек, которое может содержать неподвижные точки системы при равенстве управляющих параметров. Проследим за эволюцией решений системы (1) на рис.2. Для О <« < 1 имеется одно решение (0,0), для I <а <3 два решения (0,0) и (х,,х^)- точка на отрезке ОМ. Для а = 3 точка бифуркации М является точкой касания прямой * + у = I +1 / а эллипса х2+у2+ху-х-у-0 и одновременно точкой х, = у, = 1 -1/а = 2/3. Если 3<а<4, то кроме нулевой точки мы имеем три точки, одна лежит на диагонали вне эллипса М\ и имеет координаты (! - -1/а). Две симметричные точки и Л2 - точки пересечения эллипса х2 + у1 +ху-х-у = 0 и прямой х + у = 1 + 1/а

, 1

х + у = 1 + —

(3/4,3/4)

Рис.2.

• В четвертой главе получены все основные результаты работы. В пункте 4.1 получено аналитическое описание различных зон, в которых система у - а х(1 - х)

х = РУ{\ ~ У) имеет различное число решений.

Получены значения неподвижных точек системы (2):

2 Л(-1 + ¿т/3) (а - 3)Д1 + ¿-Л)

(2)

х,=0,

* 3 12/?а ЗЛ

2 Л 2(а - 3)>0

х7 = — +-+ —-—

* 3 6/?а ЗЛ

2 Л(1 + /л/3) (а - 3) /?(-1 + /л/3) Лд =---н--,

3 12/?аг ЗЛ

(3)

где

Л = ^'(36а/?-8а2/?-108+1,

и выражение под знаком радикала имеет вид

^(а,/?) = 81-54ау0+12а/?г-За2/?2 +12«2/?.

Положительность данной функции определяет точную границу существования четырех устойчивых решений. Формулы (3) содержат в общем случае комплексные числа и, в зависимости от величины параметров, содержат

_ 2

различное количество вещественных значений (от 1 до 4). Точку (*,5>)е[0,1] как обычно будем называть стационарной или точкой положения равновесия, если она удовлетворяет системе (2). Определены зоны изменения параметров

(а,Р) е[0,4]2 точно гарантирующие определенное количество стационарных, устойчивых точек. Основным инструментом для определения этих зон послужил анализ взаимного расположения графиков парабол с ► перпендикулярными осями симметрии.

Рис.5.Карта числа корней. Рис.б.Карта устойчивости корней.

Запишем систему (2) в виде одного уравнения х = Е(х ), где

Р(х)=а/Зх-аР(\+а)хг +2а?0х> -с?Рх\

Согласно теореме о сжимающих отображениях, получим условие локальной устойчивости нулевой точки в виде |^'(0)|<1, или ар< 1. Это неравенство определяет зону (лежащую ниже гиперболы ар -1) существования одного устойчивого корня х1 = 0 системы (2) и автоматически дает границу области для появления второго корня системы. Если ар = 1, то л, = 0 имеет кратность 2, Р"(0) ~' и на всей границе ар = 1 ноль теряет устойчивость. Используя вспомогательные утверждения и графическое изображение ЭВМ, получены карты Рис.5, 6, значительно уточняющие результаты численного моделирования - Рис. 1. Получены аналитически точные выражения для границ 8 8

(6) и (7) Рис.6: р =- а =--Это области, в

' в(4-в) Р( 4-0)

которых возможно появление итерационных циклов. Точки пересечения этих

функций: а = р = 2 и а = р = 1 + ^5 определяют границы неустойчивости

решений, что совпадает с поведением на диагонали (глава 2 п. 2.2.). Однако

такой переход еще не гарантирует появление итерационных циклов, поскольку

для них еще должно выполнятся условие Р\ Г г = • Выписывая это условие в виде «/?(! - 2х)(1 - 2 у) = -1, где х,у решение системы (2) получим область возникновения бифуркаций (области закрашены серым цветом на Рис 6).

Наиболее интересные, сложные и трудно исследуемые явления происходят в зонах, которые определяются управляющими параметрами неравенствами: 3<в<4, 3</?<4. Прежде чем исследовать эту область, приведем новые, полученные в работе паутинные диаграммы Ламерея, демонстрирующие такие явления, как появление аттракторов, переброс траекторий от одного аттрактора к другому, непредсказуемости, переходящей в хаос.

С помощью этих диаграмм, которые были получены поточечным рисованием в программе МаЛСас! в приложении 5 диссертации, было установлено необычное явление переброса траектории с одного аттрактора в окрестность другого.

У

о

X

о

X

Рис. 7.

Рис. 8.

На рис. 7 изображено появление цикла вокруг неподвижной устойчивой точки при а = 2, р = 3,5. В зависимости от начальных данных

траектория сходится к одной из устойчивых точек а =3,6, р = 3,5. Рис. 8.

Появилась задача: определить условия возникновения данного явления. В работе доказано, что условием появления переброса служит не пустое пересечения аттракторов лежащих по разную сторону от диагонали первой четверти. Поясним на рис.9, условия возникновения переброса.

Р

4

3 5-

(вершииой

* 3 35

Рис.9. Рис.10.

Ширина цикла ограничивается максимумом функций параболы). Пусть мы имеем два цикла проходящие через максимумы функций стоящих в правой части первого и второго уравнений системы (2). Первоначальная эволюция одного цикла протекает через состояния 0-и->2-»3, эволюция другого - через состояния 0'-> Гч> 2'-> 3' Очевидно, что ключевую роль здесь играет точка «А» - пересечения графиков. Если ширина аттрактора оказывается больше чем превышение точки «О» (или «О'») над точкой «А», то итерационный цикл 0-И-»2->3 не сможет достичь своего аттрактора, поскольку перейдет в зону действия другого аттрактора. Возникает явление переброса траекторий решений.

В работе это явление было обнаружено с помощью компьютерного моделирования.

Теорема Зона хаоса ограничена двумя ветвями уравнения

4 ^ 4Д. 4 I, 4)_ 4 Данная теорема совместно с другими, доказанными в работе утверждениями, позволяет получить карту более тонких явлений в зоне 3<а<4, 3 < /?< 4. (Рис 10). Важным следствием, показывающим значимость результата является

тот факт, что для а = р выражение в теореме принимает вид

1 — ^ ! -1 = 0 и

имеет вещественное решение, удовлетворяющее ограничению на управляющие

2

параметры, а = -

л/19 + Зл/зЭ -

«3 678.

л/19 + ЗЛ/зЗ

Таким образом, при значениях а,р г 3 678 возникает то, что принято называть хаосом. Это число встречается в одномерных моделях. Например, при исследовании решений одного уравнения Ферхюльста - Пирла.

Итак, при а,/?>3 678 "траектория" может принимать практически любые значения, пытаясь равномерно заполнить все пространство состояний (Рис.11)

Используя пространственное числовое моделирования, пошаговым изменением значений управляющих параметров аг, р и выбирая опытным путем нужную подсветку и ракурс, в работе удалось в динамики проследить развитие фрактальной поверхности Рис 12.

Отметим, что данная поверхность в сечении точно дает нам известное дерево Фейгенбаума, являясь тем самым его прямым расширением. В работе данная поверхность (Рис.12) детально не изучалась. Предположительно в ее сечениях можно обнаружить обобщенный ковер Серпинского и пыль Кантора, фрактальные явления пространственного самоподобия с изменением масштаба (скайлинга) и др. Исследование свойств полученной поверхности является отдельной самостоятельной работой. В случае произвольных перебрасываний (рис.11), кривая стремиться заполнить весь квадрат.

г~ — ■

/

¡хл

Рис.11. Эволюция системы при а = 3 95, р = 3 9

а) 6)

Рис.12. Эволюция бифуркационной диаграммы двумерного отображения Ферхьюльста-Пирла (3.3). а) а, р < 3.6, б) а,р < 3.9.

В пункте 4.3 в отличие от всех предыдущих пунктов главы, в которых конкурирующая популяция полностью использовала ресурс другой, изучается возможность совместного существования двух популяций, каждая из которых лишь частично поддерживает свою численность за счет сокращения численности другого вида, а также имеет некоторую воспроизводящую функцию. Построена модель и найдены условия на управляющие параметры для устойчивости ненулевого равновесия совместного существования этих видов. В силу более общего вида уравнений модели, детальное изучение не так прозрачно. Важным выводом является тот факт, установленный в работе, что совместное устойчивое сосуществование возможно при определенных условиях.

Система разностных уравнений описывает совместное существование особей двух видов.

Уп+ I = ЫУп)-*п(а + РУп) хп+1 =Л(Хп)-уЛР+Г*п) '

Изучаются две модели с наиболее распространенными функциями воспроизводства: экспоненциальная модели Риккера или / (л) = А хе а и

а(г

модель Шапиро. / (х) =-г-. Показано, что медленно растущая и

Ь+г

ограниченная функция Шапиро не обеспечивает устойчивое ненулевое состояние ни при каких управляющих параметрах, а модель Риккера обеспечивает. Предложенные в главе 4 модели не ограничены «биологической» сферой применения. Разновидности описанных моделей могу г найти применение в задачах финансовой математики, экономике, военном деле, юриспруденции и др Основной вывод работы заключается в том, что устойчивое положение сосуществования двух «хищных» популяций

возможно и не является в дискретных моделях исключительным явлением, в отличие от непрерывных дифференцируемых моделей.

• В заключении подведены итоги по диссертационной работе в целом и сформулированы основные результаты, которые сводятся к следующему:

1. Рассмотрены системы итерационных уравнений, моделирующих антагонистические отношения вида "хищник - хищник", которые не просто конкурируют, а осуществляют восстановление численности за счет частичного уничтожения или полного использования антагонистической популяции. Популяции рассматриваются как динамические системы (образующие во времени "траектории", последовательности или "орбиты"), связанные рекуррентными соотношениями, регулирующими численность Полученный в работе сценарий имеет два управляющих параметра (управляющие константы). Первоначально система на базе уравнения Ферхюльста - Пирла изучается численными методами А именно создана программа "вылавливающая" появление точек бифуркации, циклов различного порядка и хаотического поведения. Полученная диаграмма послужила отправным пунктом для дальнейших исследований.

2. Использование новой основы в виде двух парабол для моделирования поведения решений системы двух уравнений Ферхюльста - Пирла с разными параметрами позволило доказать ряд вспомогательных геометрических утверждений. Данные утверждения в свою очередь позволили разработать аналитические методы точного определения границ различного числа решений для (а,0)е |0,4]х [0,4] Ранее, существование таких зон в квадрате [0,4]х|р.4] было предсказано численным моделированием и изучением различных литературных источников.

3. Исследования, проведенные в работе показали, что в зависимости от значения управляющих параметров "траектории решений" могут иметь от одной точки сходимости (0,0) (эффект вырождения) до четырех (из них три невырожденных (х1,х2) и^^О, х2 * 0). При этом каждая из невырожденных точек может быть устойчивой и неустойчивой, может не быть точкой сходимости а иметь "вокруг себя" некоторый аттрактор (в простейшем случае это прямоугольник с центром в этой точке). Этот прямоугольник является предельным множеством для траектории. Получены необходимые и достаточные условия сходимости метода парабол для многочленов вида

- ^j 1 - ~ , связанных с моделью Ферхюльста-Пирла к одному из корней.

4. Как следствие всех видов исследований проведенных в работе впервые получено трехмерное графическое изображение эволюции перехода через удвоение к хаосу ("фрактальная капуста").

5. Полученные в диссертационной работе результаты, диаграммы и рисунки нашли применение в педагогической деятельности кафедры теории функций и геометрии ВГУ и кафедры теоретических и прикладных математических

дисциплин Воронежского института МВД России, что подтверждается соответствующими актами.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Волкова, Н.В. О совместном существовании двух популяций хищников /

H.В.Волкова, В.А.Родин // Промышленная информатика. Межвузовский сборник трудов ВГПУ, Исследования в смежных областях. Воронеж. -2002.- С. 131-134.

2. Волкова, Н.В. Об одной модели естествознания, основанной на системе разностных уравнений / Н.В.Волкова // Междунар. Школа-семинар по геометрии и анализу. Лиманчик, Ростов-на-Дону, Тез. Докл. - 2002,-С.182.

3. Волкова Н.В. О некоторых особенностях решения системы рекуррентных уравнений, основанной на дискретном аналоге модели Ферхюльста-Пирла / Н.В.Волкова // ВГУ, факультет ПММ, Сб. матем. моделирование.- 2003 - № 2. - С. 46-49.

4. Волкова, Н.В. Особенности решения системы разностных уравнений, моделирующих динамику численности двух конкурирующих агрессивных систем / Н.В.Волкова, В.А.Родин // Труды конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифф.ур." ВГУ, Воронеж. - 2003,- С. 65-67.

5. Волкова Н.В. О сценарии перехода к фрактальносш и хаосу в двумерной модели Ферхюльста-Пирла / Н В. Волкова, В.Н. Думачев, В.А. Родин // Сборник материалов. Всероссийская науч. - практ. Конф. "Современные проблемы борьбы с преступностью", Радиотех. Науки. Инс. МВД, Воронеж. - 2004. - С. 32-33.

6. Волкова Н.В. Устойчивость решения системы разностных уравнений, моделирующих динамику численности двух конкурирующих агрессивных систем / Н.В.Волкова, В.А.Родин // Сборник материалов. Всероссийская науч. - практ. конф. "Охрана, безопасность и связь", Часть

I, Инс. МВД, Воронеж. - 2004,- С. 38.

7. Волкова Н.В. О расширении модели Ферхюльста-Пирла / Н.В. Волкова, В.Н. Думачев, В.А. Родин // Вестник ВИ МВД России, Воронеж. - 2004. -1(16). - С. 21-25.

8. Волкова Н.В. О совместном существовании двух популяций хищников / Н.В.Волкова, В.А.Родин // Промышленная информатика. Межвуз. Сборник трудов ВГПУ. - 2002. - С. 130-134.

9. Волкова Н.В. Система рекуррентных уравнений на базе модели Ферхюльста-Пирла / Н.В. Волкова, В.Н. Думачев, В.А. Родин // Вестник ВГУ, Серия Физика, Математика. - 2004. - № 1. - С. 88-95.

10. Волкова Н.В. Приближенный ренормгрупповой анализ двумерной модели Ферхюльста-Пирла / Н.В. Волкова, В.Н. Думачев, В.А. Родин // Труды участников межд. шк,- семинара по геом. и анализу памяти Н.В.Ефимова. Лиманчик, Ростов-на-Дону. - 2004. - С. 182-184.

11. Волкова Н.В. Сценарий перехода к хаосу в двумерной модели Ферхюльста-Пирла / Н.В. Волкова, В.Н. Думачев, В.А. Родин // Системы

Р124 ¿0

управления и информационные технологии. Воронеж. - 2004. - № 4 (16). -С. 5-11.

12. Моделирование сосуществования двух конкурирующих видов, непосредственно влияющих на численность друг друга / Н.В. Волкова // Известия РАЕН серия МММИУ. - 2003. - т.7. - № 3-4. -С.80-87.

РНБ Русский фонд

2006-4 5631

Заказ № 384 от2б 05 05 г Тир 100 экз Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

Введение.

Глава 1. Основные направления исследований связанные с темой диссертации

1.1. Элементы общей теории систем и управления.

1.2. Непрерывная модель конкуренции.

1.3. Математические модели. Бифуркация, одномерная модель Ферхюльста-Пирла.

1.4. Основы ренормгруппового анализа, фракталы в итерационном процессе.

Глава 2. Ренормгрупповой анализ.

2.1. Ренормгрупповой анализ при а = р

Глава 3. Анализ двумерной модели и управление числом Решений

3.1 Численное моделирование.

3.2. Эволюция корней системы при а = р.

Глава 4. Исследование модели в общем случае

4.1. Эволюция корней системы при а* р.

4.2. Исследование зоны четырех корней.

4.3. Модель с частичной зависимостью от конкурирующего вида.

4.4. Приближенный ренормгрупповой анализ системы в общем случае.

Актуальность темы исследования. Модель, согласно В. А. Штоф фу [8], это мысленно представимая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте. Модель, которая соответствует своему оригиналу, - это уже новая информация о моделируемом объекте. Методами моделирования широко пользуются самые разные науки (см. например [5]). Огромное количество работ относится к моделированию и изучению исторически первых по рассмотрению (В 1931 г. Вито Вольтерра предложил эту модель) отношений "хищник-жертва". Здесь отметим некоторые работы, монографии, и учебники в которых с разных сторон изучались эти отношения [36] - [42]. В этих работах рассматривают: и влияние среды обитания, и кормовую базу, решают задачи линейного и динамического программирования для оптимизации численности определенных популяций, и моделируют схемы сетей и графов, и применяют элементы теории матричных игр для принятия решений по ведению фермерских хозяйств или одновременного разведения различных популяций рыб и т.д. Применяют методы компьютерного моделирования [3]. Отношение ''хищник-хищник" изучено значительно хуже.

Отметим непрерывную модель в [5], описываемую системой двух дифференциальных уравнений. Изучение устойчивости отличных от нуля решений в данной работе проходит с помощью фазовых диаграмм (см. главу 1 п. 1.2), с определением вида критической точки. Отметим также, целый цикл работ Шапиро А.П. [23], [44] -[50], которые по-видимому впервые образовали целое направление изучения конкурирующих популяций. Недавно, в Ростовском университете была выполнена интересная работа по изучению конкурирующих групп людей [17].

Именно эти работы, в которых определены и выделены случаи возможного устойчивого ненулевого существования двух конкурирующих популяций, послужили идеей рассмотрения дискретной модели совместного существования двух хищных популяций, которые не просто конкурируют, а осуществляют восстановление за счет частичного уничтожения или полного использования антагонистической популяции. Популяции рассматриваются как динамические системы (образующие во времени "траектории", последовательности или "орбиты"), связанные рекуррентными соотношениями, регулирующими численность. Полученный в работе сценарий имеет два управляющих параметра (управляющие константы).

Известно, что системы с отрицательной обратной связью в некоторых случаях являются неустойчивыми. Возможно возникновение незатухающих колебаний, неустойчивых состояний и переход через удвоение периода к хаосу.

Анализ сценария перехода к хаосу, проведенный в средине 70-х годов американским физиком Митчеллом Фейгенбаумом, ознаменовал прорыв в понимании проблемы перехода к хаосу. В модели двух систем (глава 2) настоящей работы указанный сценарий (дерево Фейгенбаума) получается как частный случай из более общей модели, при равенстве управляющих параметров а = р.

В диссертации, сначала в главе 2 в виде компьютерной программы численными методами изучается модель совместного существования двух конкурирующих, антагонистических популяций, которые частично, или полностью поддерживают свое современное состояние уничтожая соперника. В главе 2 получена приближенная картина двупараметрической модели Ферхюльста - Пирла и рассмотрены некоторые родственные модели. Полученные в этой главе результаты показали, что, так же как и в обычной, однопараметрической модели возможно появление точек бифуркации, возможны различные циклы разных периодов и даже явление хаоса. В отличие от традиционного дерева, демонстрирующего удвоение длинны циклов (см. гл. 1 и приложение 1) в главе 3 аналитическими методами с вычислением границ различных состояний решений итерационной системы и компьютерной графики получена фрактальная капуста. (Приложение 4 - рост графического объекта при увеличении по разным координатам параметров модели.) Глава 3 содержит аналитические методы изучения модели существования - двух конкурирующих, антагонистических популяций на основе двух связанных вместе итерационных уравнений типа уравнений Ферхюльста - Пирла. Известно, что наиболее интересным и содержательным выводом, который получается при изучении дискретных моделей динамики численности локальной популяции [4] - это наличие собственных внутренних колебаний численности без всякого влияния среды. Полученная в главе 3 двупараметрическая модель полностью подтверждает эти явления и на диагонали демонстрирует известную ранее модель Фейгенбаума [10], и Шарковского [9], являясь тем самым, обобщением известных ранее явлений. В четвертой главе проведен приближенный ренормгрупповой анализ и приведены некоторые вспомогательные утверждения. Первая глава носит вводный, ознакомительный характер, содержит известные утверждения помогающие определить направление исследований в главах 2-4.

Результаты, полученные в диссертационной работе, имеют и практическую значимость. Антагонистические отношения последнее время рассматривают и для моделирования взаимодействия социальных групп. Так в 2002 году в Ростовском госуниверситете [17] построили модель для определения численности групп субъектов. Каждый субъект в группе характеризовался двумя параметрами: силой (физической, интеллектуальной и т.д.) и рейтингом (звание, должность и т.д.). Взаимодействие заключалось в переходе участников из одной группы в другую в соответствии с функцией доход/рейтинг. Были выявлены: как явления устойчивого существования групп, так и. условия неустойчивости и раскола, явления циклического обмена участников между группами. Бесспорно, интересным и перспективным направлением является изучение взаимодействия групп органов правопорядка и криминальных групп, групп экономического роста и теневой экономики и т.д. Построение таких моделей, к сожалению, сверх актуальная задача нашего времени. Известно, что как и в Чеченской республике так и в Грузии и в других районах существенному ухудшению уровня жизни предшествовала значительная криминализация этих территорий и потеря государственной власти.

Наиболее серьезными работами, оказавшими большое влияние на стиль и направление исследований в диссертационной работе, являются работы Кузнецова С.П. и соавторов [11]-[12] , [20]-[22]. Эти работы в отличие от основополагающих теоретических работ - в первую очередь Арнольда В.И. (например обзор [13], [14] ) носят более прикладной и демонстрационный характер, что соответствует тематике диссертационной работы - управление процессами на основе изучения модели. В работах [12], [21]-[22] рассмотрено много примеров систем итерационных уравнений, ведущих к двупараметрическим моделям, но указанные системы в этих работах носят принципиально другой характер, чем в диссертационной работе. Так как в основном одно из уравнений в системе, как правило, линейно. Наиболее близкими к тематике работы можно определить исследования проведенные Шапиро А.П. [19] - по моделированию явлений каннибализма в популяции окуня, при этом различные возрастные группы выступают как антагонистические. В указанной работе рассматривалась несколько другая система итерационных уравнений, так как младшая группа в данной модели выступает скорее как жертва. Удивительным явлением открытым в указанной работе является существование ненулевого устойчивого состояния разных по возрасту групп.

Отметим монографии [3] - [6] содержащие обширную библиографию, как наиболее конкретно связанные с материалом, изучаемым в работе, а также работы Шапиро А.П. в сборнике [23].

Диссертационная работа выполнена на кафедре теории функций и геометрии Воронежского госуниверситета. Материалы работы опубликованы в работах [24] - [35].

Цели и задачи исследования. Рассмотрим систему итерационных уравнений, описывающую изменение численности двух взаимодействующих популяций yn+i=ax„(l-x„) 1 xn+i=fiy„+i(l-yn+i)'

Здесь xn - численность одного вида, a yn - другого в л-ом году. Заметим, что относительная численность в и + i году популяции уп+1 зависит от численности хп в п -ом году (0<хп,уп <1). В свою очередь лг„+1 зависит от уп+\. Поскольку численность вида регулируется исключительно враждующей популяцией — такое взаимодействие мы называем антагонистическим.

Основной целью работы являлось изучить свойства модели отношения "хищник-хищник" на базе указанной выше системы и на базе некоторых других родственных систем итерационных уравнений. Данные свойства менялись под управлением двух параметров. В соответствии с поставленной целью задачами исследования являются:

1. Построение численной модели на основе компьютерной программы улавливающей такие явления как: устойчивость решений, число решений, появление циклов и хаотическое поведение.

2. Разработка аналитических методов исследования задачи управления возможными состояниями системы - характеризующиеся разным числом решений, в зависимости от размеров управляющих параметров как для случая а = р, так и для ранее неизвестного случая аФ р.

3. Получить аналитическое описание и графическое изображение зон появления циклов в итерационной системе, зоны непредсказуемости и зоны хаоса, а так же поведения траекторий решений в случае произвольного изменения управляющих параметров.

4. Провести приближенный ренормгрупповой анализ системы.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертации задач использовались методы теории динамических систем, математического моделирования, теории систем и управления, геометрические методы исследования алгебраических уравнений, методы теории функций действительной переменной и методы функционального анализа, методы вычислительной математики и программирования.

Научная новизна. На защиту выносятся следующие результаты, впервые полученные в настоящей работе:

1. Разработаны аналитические методы исследования задачи управления возможными состояниями системы - характеризующиеся разным числом решений, в зависимости от размеров управляющих параметров для случая а = р. Получена новая графическая иллюстрация расположения корней системы.

2. Получено описание зон появления циклов в итерационной системе, зон непредсказуемости и зоны хаоса для случая а^р. Дано графическое изображение указанных выше зон.

3. Получен пакет компьютерных программ, позволяющий проследить и эволюцию решений в зависимости от значений управляющих параметров.

4. Проведено сравнение исходной системы с системой на базе логистического уравнения и проведен приближенный ренормгрупповой анализ системы.

Теоретическая и практическая значимость. В процессе диссертационных исследований получены следующие результаты, имеющие теоретическую значимость:

1. Описана аналитическими методами бифуркационная диаграмма двумерного отображения типа Ферхюльста - Пирла, обобщающая классические исследования. Диагональное сечение этого отображения содержит известное бифуркационное дерево Фегенбаума. Данную диаграмму можно иллюстрировать, как двумерный переход от устойчивости решений к хаосу.

2. На базе полученных исследований, усложняя модель в дальнейшем возможно моделирование антагонистических отношений социальных, экономических и др. сообществ с целью прогнозирования развития ситуации.

3. Получено графическое изображение двумерной модели Ферхюдьста — Пирла, которое можно использовать для практической демонстрации сценария перехода от неустойчивости к хаосу в качестве учебного пособия в курсах: "Теория катастроф", "Динамические системы", и др.

Реализация и внедрение результатов работы. Получен программный продукт, позволяющий демонстрировать двумерный сценарий перехода к хаосу ("фрактальная капуста"). Исследования внедрены в учебный процесс Воронежского госуниверситета в качестве спецкурса на 5-ом курсе на кафедре теории функций и геометрии. (Акт внедрения от 2004 г.)

Личный вклад автора в диссертационную работу. Диссертационные исследования проводились автором на кафедре теории функций и геометрии Воронежского госуниверситета под руководством доктора физико-математических наук, профессора Родина В.А. Большая часть результатов получена автором самостоятельно, что подтверждается единоличными публикациями. Полностью самостоятельно выполнены все алгоритмы.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались, обсуждались и получили положительные оценки на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу (Лиманчик РГУ, 2002г. 2004г.); международной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" ВГУ, Воронеж, 2003г.2005г.; научно-практических конференциях ВИ МВД России (2002-2004); научном семинаре ВГУ по теории функций и функциональному анализу; на кафедре Т.и П.М.Д. ВИ МВД России (2002-2005).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах. В том числе 9 статей в журналах и сборниках, из них 3 в списках ВАКА, - 3 в сборниках тезисов докладов.

Структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 118 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 90 наименований, приложений 1-4 с графическими иллюстрациями, приложения 5 с текстами программ и 6 — с документами о внедрении результатов исследований.

Заключение

В работе моделируется ситуация совместного существования двух антагонистических популяций частично или полностью восстанавливающих свою численность за счет уничтожения противоположного вида. В качестве уравнения описывающего "собственную жизнь одной популяции" (изменения численности во времени в зависимости от значения управляющего параметра) в основном (гл. 2-4) выбрано классическое разностное уравнение Ферхюльста — Пирла, или эквивалентное по поведению логистическое уравнение. Система таких двух уравнений, в которой выходные данные первого уравнения являются входными (начальными) для второго, дает двупараметрическую картину (параметры в разных уравнениях разные), впервые подробно изученную в данной диссертационной работе.

Опираясь на многочисленные диаграммы Ламерея, полученные с помощью использования стандартных программ и индивидуального программирования, рассматривающие одновременно две параболы (это тоже впервые применено в диссертации, все известные автору работы содержат биссектрису первого координатного угла и кривую линию - график определенного полинома, как правило параболу) позволили в работе применить "симметричные" аналитические и геометрические соображения и, как следствие, впервые получить трехмерное графическое изображение эволюции перехода через удвоение к хаосу ("фрактальная капуста").

Актуальность и ценность полученных результатов подтверждается тем фактом, что в сечении, при равенстве управляющих параметров а =р получено известное классическое дерево Фейгенбаума со сдвигом на одно бифуркационное число. Изменяя соотношения между управляющими параметрами в работе не только получены известные факты о переходе через удвоение периода к непредсказуемому поведению "траектории решения", но и получено численным моделированием и изучено аналитически новое явление, контролирующее перескакивание "траектории решения" от одного аттрактора к другому, расположенному по другую сторону от биссектрисы первого координатного угла.

Работа показала, что в зависимости от значения управляющих параметров "траектории решений" могут иметь от одной точки сходимости (0,0) (эффект вырождения) до четырех (из них три невырожденных (х],х2) и xj х2*0). При этом каждая из невырожденных точек может не быть точкой сходимости а иметь "вокруг себя" некоторый аттрактор (в простейшем случае это прямоугольник с центром в этой точке). Этот прямоугольник является предельным множеством для траектории. Впервые обнаружена и аналитически доказана возможность случайного переброса траектории от одного такого прямоугольника к другому.

Результаты диссертационной работы опубликованы в 12 работах. Пункт 2.1 второй главы, в котором содержится численное моделирование, позволившее сделать различные гипотезы, был выполнен автором самостоятельно и являлся первой нитью в исследовании. Моделирование, основанное на самостоятельном применении диаграмм Ламерея, содержащих две параболы выполнено в работах ранее и затем внедрено в исследования диссертации. Аналитическое вычисление момента переброса траектории с одного аттрактора на другой приведено в работе для полноты и последовательности изложения. Модель частичного использования ресурсов антагонистической популяции и все выводы о возможности нетривиального сосуществования полностью получены и опубликованы [35] автором самостоятельно. В этой главе для управляющих параметров системы определенного вида найдено множество, гарантирующее устойчивое ненулевое решение системы. Глава 1 необходима для определения места положения исследований, проведенных в диссертации. В главе 2 получено новое оригинальное представление (в виде эллипса) о множестве точек, которое может содержать неподвижные точки системы при равенстве управляющих параметров.

В четвертой главе в отличие от классического ренормгруппового анализа (см. например работы [20] — [22], [85]), этот анализ проведен сразу для системы, а не путем сведения к одному уравнению со сложным параметром. Однако точность приближенного анализа в системе получилась не высокой, что скорее говорит о не совершенстве этого метода.

После учета замечаний рецензентов на работы [29] - [34] автор ознакомился с работами [85] - [87]. Бесспорно результаты исследований проведенных в диссертации имеют связь с классической теорией катастроф и синергетикой (см. работы [86] - [90]), но автор в диссертационной работе изучал установленные явления с позиций динамических итерационных систем и теории управления моделями.

Работа проходила под руководством профессора Родина В.А. (кафедра теории функций и геометрии ВГУ).

Результаты, подтверждающие возможность не вырождающегося со временем, совместного сосуществования двух антагонистических популяций очень актуальны в современной действительности.

1. Месарович М. Основания общей теории систем. В.Сб.: Общая теория систем. М.: Мир, 1966.

2. Новик И.Б. О моделировании сложных систем. М.: Мысль, 1965.

3. Меншуткин В.В. Математическое моделирование популяций и сообществ водных животных. Наука. Ленинград, 1971.

4. Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я., Шапиро А.П. Дискретные модели динамики численности популяций и оптимизация промысла. Изд. Наука. Москва, 1979. — 166 с.

5. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. УРСС, Москва, 2002. 142 с.

6. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2001.

7. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab. СПб., Наука, 2001.

8. Штофф В.А. Моделирование и философия. Изд.Наука. Москва, 1966.

9. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя // УМЖ, 1964, т. 16, № 1, С. 61 -71.

10. Ричард М. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 352 с.

11. П.Кузнецов С.П. Хаос: сценарий Фейгенбаума и его обобщения // Империя математики,, 2000. № 1. С. 1-119.

12. Кузнецов С.П.-, Кузнецов А.П., Сатаев И.П. Воздействие фрактального сигнала на систему Фейгенбаума и бифуркация в уравнении ренормогруппы // Изв. Вузов. Радиофизика. 1990. т.34. №6.

13. Арнольд В.И Перестройка особенностей потенциальных потоков бесстолкновительной среды и метаморфозы каустик в трехмерном пространстве // Труды сем. И.Г.Петровского, 1982. Т.8. С. 21-57.

14. Арнольд В.И. Теория катастроф 3-е изд. М. '.Наука. 1990.- 123 с.

15. Rodin V.A., Rodina E.V. The fractal dimension of Tokyo's streets.// FRACTALS, 2000. Vol.8. N4. P. 413-418.

16. Rodin, V., Rodina, E., Dumachev, V. Methods and Principles of Police Deployment within "Chaotic" Urban Structure, In the Materials of the University Collage of London, 2003. Vol.2. P. 410-419.

17. Ильичев В.Г., Задорожный А.И. К моделированию динамики групп // Матем. Моделирование, 2002. т. 14. №12. С. 72-86.

18. Компьютеры и нелинейные явления. Сборник, М.: Наука. 1988.

19. Шапиро А.П. Об устойчивости популяций каннибалов // Матеем. Мод ел. Популяционных экологических процессов. Владивосток, 1987. С. 106-112.

20. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть 1. Сценарий Фейгенбаума // Изв. Вузов. ПНД, 1993. т.1. № 1-2 С. 15-31.

21. Кузнецов С.П. Динамика двух однонаправлено-связных систем у порога гиперхаоса. Ренормгрупповой анализ // Изв. Вузов. Радиофизика, 1990. т.ЗЗ. №7.

22. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фуйгенбаума // Изв. Вузов. Радиофизика, 1985. т.28. №6.

23. Динамические системы и теория приближений. Сборник работ Даль. отд. Акад. Наук. Владивосток. 1979.

24. Волкова Н.В. О совместном существовании двух популяций хищников // Промышленная информатика. Межвузовский сборник трудов ВГПУ, Исследования в смежных областях. Воронеж. 2003. С.131-134.

25. Волкова Н.В. Об одной модели естествознания, основанной на системе разностных уравнений // Междунар. Школа-семинар по геометрии и анализу. Лиманчик, Ростов-на-Дону,Тез. Докл. 2002, С. 182.

26. Волкова Н.В. О некоторых особенностях решения системы рекуррентных уравнений, основанной на дискретном аналоге модели Ферхюльста-Пирла. // ВГУ, факультет ПММ, Сб. матем. моделирование, 2003. № 2. С. 46-49.

27. Волкова Н.В., Думачев В.Н., Родин В.А. О расширении модели Ферхюльста-Пирла // Вестник ВИ МВД России, Воронеж, 2004. 1(16). С. 21-25.

28. Волкова Н.В., Родин В.А. О совместном существовании двух популяций хищников. Промышленная информатика. Межвуз. Сборник трудов ВГГГУ, 2002.

29. Волкова Н.В., Думачев В.Н., Родин В.А. О расширении модели Ферхюльста-Пирла // Вестник ВГУ, Серия Физика, Математика, 2004. № 1. С. 88-96.

30. Волкова Н.В., Думачев В.Н., Родин В.А. Приближенный ренормгрупповой анализ двумерной модели Ферхюльста-Пирла // Труды участников межд. шк.-семинара по геом. и анализу памяти Н.В.Ефимова. Лиманчик, Ростов-на-Дону, 2004. С. 182-184.

31. Волкова Н.В., Думачев В.Н., Родин В.А. Сценарий перехода к хаосу в двумерной модели Ферхюльста-Пирла // Системы управления и информационные технологии, 2004. № 4 (16). С. 5-11.

32. Волкова Н.В. Моделирование сосуществования двух конкурирующих видов, непосредственно влияющих на численность друг друга. // Известия РАЕН серия МММИУ, 2003. т.7. № 3-4 (80-86). С. 80-87.

33. Андреев B.JL, Нагорский А.А., Шапиро А.П. Модель популяции рыб с двухлетним циклом и однократным нерестом // Проблемы кибернетики, 1972. вып. 25.

34. Гиммельфарб А.А., Гинзбург J1.P. Динамическая теория биологических популяций. М.: Наука. 1974.

35. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций // Проблемы кибернетики, 1972. в.25.

36. Математическое моделирование в популяционных исследованиях.-.Владивосток-ИАПУ ДВО АН СССР, 1990. 142 с.

37. Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я. Математическое моделирование экологических систем // Проблемы космической биологии, 1972. в.20.

38. Фрисман Е.Я. Об одной модели динамики численности // Модели биологических сообществ. Владивосток. ДВНЦ. 1978.

39. Jaquette D.L. Mathematical models for controlling growing biological populations.-Surv.Curr. Res. 1972. N6.

40. May R.M. Stability and complexity in model ecosystems. New Jersey.-Princeton Univ.- Chicago Press. 1968.

41. Шапиро А.П. Математические модели конкуренций // Управление и информация. Владивосток. ДВНЦ, 1974. в.2. .

42. Шапиро А.П. Об одной модели конкурирующих видов // ДАН СССР. 1975. т.215. № 5.

43. Шапиро А.П. Дискретная модель конкуренции двух популяций // ДАН СССР. 1975. т.215. №3.

44. Шапиро А.П., Лейбович Т.Е. Оптимизация вылова нескольких конкурирующих популяций. Математическая теория биологических процессов. Калининград, 1976.

45. Шапиро А.П., Лейбович Т.Е. Оптимизация режима эксплуатации конкурирующих популяций // Математическая моделирование биологических сообществ. Владивосток. ДВНЦ. 1977.

46. Шапиро А.П., Луппов С.П. Об управлении некоторыми биосистемами, состоящими из конкурирующих популяций // Управление и информация. Владивосток. ДВНЦ. 1974. в.2, 5.

47. Шапиро А.П. Математические модели конкуренции // Управление и информация. Владивосток. ДВНЦ АН СССР. 1974. т. 10. С. 5-75.

48. May R.M. Biological populations obeying difference equations stable points, stable cycles and chaos // J.Theor. Biol. 1975.V.51. P.511 -524.

49. Feigenbaum M. J. Quantitative universality for a class of nonlintar transformations //J. Stat. Phys. 1978. v.19. N 1. P. 25-52.

50. Collet P., Eckman J.P. Iterated maps of the interval as dynamical sestem. Boston. Birkhauser, 1980.-248 p.

51. Жолондей Г. Версальность одного семейства симметричных векторных полей на плоскости // Мат. Сб. 1983. № 120. С. 473-499.

52. Zoladek Н. Bifurcations of Certain Family of Planar Vector Fields Tangent to Axes//Journ. OfDiff. Equa. 1987. V.67. N 1. P. 1-55.

53. Меншуткин B.B., Жаков Л.А. Опыт математического определения характера динамики численности окуня в заданных экологических условиях // Озера Карельского перешейка. М.Л. 1964. С. 140-155.

54. Бурмакин Е.В., Жаков Л.А. Опыт определения рыбопродуктивности окуневого озера//Научно-техн. Бюлл. ГосНИОРХ, 1961. № 17.

55. Ricker W.E. Stock and recruitment // Journ. Fish, re 3. Doard of Canada. 1954. V.ll. N 5. P.559-623.

56. Арнольд В.И. Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонанса и версальные деформации эквивалентных полей // Функц. анализ и его приложения, 1977. Т.2. №2. С. 1 10.

57. Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. М.: Мир, 1993.

58. Mandelbrot Benoit В. The Fractal Geometry of Nature. Freeman. San Francisco, 1982.

59. Mandelbrot Benoit В., Van Ness J.W. Fractional Brownian Motions? Fractional Noises and Applications. SIAM Review, 1968. Vol.10. N.4. P. 422-437.

60. Feder G. Fractals. Plenum Press, New York, 1988.

61. Шредер M. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск. Изд. дом "Удмурдский университет 2000.

62. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. М.: Мир, 1994.

63. Prusinkiewicz P., Hanan, J. Lindenmayer Systems, Fractals, and Plents, Lecture Notes in Biomathematics, N.79, Springer Verlag, New York, 1989.

64. Каток А.Б., Хефелблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал. 1999.

65. Якобсон М.В. О свойствах динамических систем, порождаемых отображениями вида х-*Ахе~Рх // В кн. Моделирование биологических сообществ. Владивосток. ДВНЦ, 1975.

66. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм // УМН. 1984. т.39, в. 3. С. 3-37.

67. Каданов Л.П. Пути к хаосу. // В кн. Физика за рубежом.- М.: Мир. 1985. С. 9-32.

68. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997.

69. Hudchinson John Е. Fractals and Self Similarity // Indiana University Mathematics Journal. 1981. Vol. 30. N. 5. P. 713-747.

70. Damsley M. Fractals Everywhere. Academic Press. Boston. 1988.

71. Sullivan D. Bounded structure of infinitely renormalizable mappings, in P.Cvitanovic (ed.), Universality in Chaos, Sec. Ed., Fdam Hilger, Bristol, 1989.

72. McMullen C.T. Renormalization and 3-manifjIds which fiber over the circle, Princeton University Press, 1996.

73. McMullen C.T. Complex dynamics and renormalization, Princeton University Press, 1994.

74. Tresser С., Coullet P. Ieration d'tndomorphismes et droupe de renormalization, C.R. Acad. Sc. Paris 287 A, 1978, P. 577-580.

75. Gleick J. Chaos: Making a New Science, Viking, New York, 1987.

76. Jackson T.A. Perspectives in Nonlinear Dynamics // Cambridge University Hress, Cambridge. 1989. Vols. 1-2,

77. Levaney R. L. A Fist Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experimtnts, Addison Wesly, Reading, Mass., 1993.

78. Banks J.,Drooks J., Cairns G., Davis G., Stacey P. On Devaney's Definition of Chaos, Amer. Math. Monthly, 1992. Vol.99. N.4. P. 332-334.

79. Kenneth Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons, New York, 1990.

80. Devaney R.L. A First Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experiments, Addison Wesley, Reading, Vass.,1993.

81. Banks J.,Brooks G.,Davis G., Stacey. On Devaney's Definition of Chaos, American Mathematical Monthly, 1992. Vol.99. No. 4. P. 332-334.

82. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.

83. Капица С.П., Курдьмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. -М.:Наука, 1997.

84. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. М.:УРСС, 2000.

85. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.-УРСС, 2000.

86. Арнольд В.И. Теория катастроф. Изд. Московского университета, 1983.

87. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.92